Galīgo elementu metode

2.5.
GALĪGAIS ELEMENTS 29
2.5.1 Elementa stinguma matrica
Galīā elementa stinguma matricu iegūstam, minimizējot potenciālās enerǵijas
funkcionāli. Uzrakstam funkcionāļus (2.4) un (2.7) matricu formā
Π=U − W = 1 ∫ L
2 A σ T ɛdx −
0
∫ L
0
u T pdx (2.32)
Potenciālo enerǵiju visai konstrukcijai var uzrakstīt diskrētā formā
Π= ∑ Π e = ∑ 1
2 A σ
e
e
∫e
T ɛdx − ∑ ∫
u T pdx (2.33)
e e
vai
Π= ∑ e
Π e = ∑ e
U e − ∑ e
W e (2.34)
Šeit viena galīgā elementa deformācijas enerǵija ir
U e = 1 ∫
2 A σ T ɛdx = 1 ∫ l
2 A σ T ɛdx (2.35)
e
0
un elementa ārējo spēku darbs ir
W e = 1 ∫
u T pdx = 1 ∫ l
u T pdx (2.36)
2 e 2 0
Ievietojot izteiksmē (2.35) formulas (2.29) un (2.31), iegūstam
U e = 1 ∫ l
2 A σ T ɛdx = 1 ∫ l
2 A q T B T EBqdx = 1 2 qT K e q (2.37)
0
kur K e ir galīgā elementa stinguma matrica
K e = A
∫ l
0
0
B T EBdx (2.38)
Šo matricu var nointegrēt analītiski. No formulas (2.19) iegūstam
dx = l dξ (2.39)
2
un formulu (2.38) pārveidojam
K e = A
∫ +l
−1
B T EB l dξ (2.40)
2