Galīgo elementu metode

1.3.
POTENCIĀLĀS ENERǴIJAS MINIMUMA PRINCIPS 13
Sistēmas potenciālā enerǵija ir
Π= 1 2 (k 1δ 2 1 + k 2 δ 2 2 + k 3 δ 2 3 + k 4 δ 2 4) − F 1 q 1 − F 3 q 3 (1.13)
kur δ 1 ,δ 2 ,δ 3 un δ 4 ir pārvietojumi atsperēs. Tā kā δ 1 = q 1 − q 2 ,δ 2 =
q 2 ,δ 3 = q 3 − q 2 ,δ 4 = −q 3 ,tadpotenciālo enerǵiju var izteikt caur mezglu
pārvietojumiem q i
Π= 1 2 [k 1(q 1 − q 2 ) 2 + k 2 q 2 2 + k 3 (q 3 − q 2 ) 2 + k 4 q 2 3] − F 1 q 1 − F 3 q 3 (1.14)
Tātadšai sistēmai ir 3 brīvības pakāpes q 1 ,q 2 un q 3 . Lai iegūtu sistēmas
līdzsvaru, ir jāatrodΠ minimums. To nosaka atvasinot Π pēc q i
∂Π
=0, i =1, 2, 3 (1.15)
∂q i
jeb izvērstā veidā
∂Π
= k 1 (q 1 − q 2 ) − F 1 =0, (1.16)
∂q 1
∂Π
= −k 1 (q 1 − q 2 )+k 2 q 2 − k 3 (q 3 − q 2 )=0,
∂q 2
∂Π
= k 3 (q 3 − q 2 )+k 4 q 3 − F 3 =0
∂q 3
Šos vienādojumus var uzrakstīt matricu formā
Kq = F (1.17)
kur K ir sistēmas stinguma matrica
⎡
⎤
k 1 −k 1 0
K = ⎣ −k 1 k 1 + k 2 + k 3 −k 3
⎦ (1.18)
0 −k 3 k 3 + k 4
bet q T =[q 1 ,q 2 ,q 3 ]irpārvietojumi un F T =[F 1 , 0,F 3 ]irspēki.
Alternatīva ir šķēlumu metode (sk. Zīm. 1.3), kuru izmantojot var
uzrakstīt 3 līdzsvara vienādojumus
k 1 δ 1 = F 1 , (1.19)
k 2 δ 2 − k 1 δ 1 − k 3 δ 3 =0,
k 3 δ 3 − k 4 δ 4 = F 3
Var redzēt, ka šie vienādojumi sakrīt ar vienādojumiem (1.17), kas iegūti,
izmantojot potenciālās enerǵijas minimuma principu.