Algebra Lekciju kurss - Fizmati

LATVIJAS UNIVERSITĀTE
A. BĒRZIŅŠ
ALGEBRA
LEKCIJU KURSS
U V
( U V )
u ∩ ( U ∩V )v
( U v)
u ∩ ( u ∩V )v
u v
u ∩ V
U ∩ v
Rīga 2001

Bērziņš A. Algebra. Lekciju kurss. Rīga: Latvijas Universitāte, 2001. - 81 lpp.
"Algebra" ir lekciju kursa "Diskrētā matemātika un algebra" 2.daļa; tas iekļauts LU matemātikas
maģistru programmas A daļā. Aplūkojot klasiskās algebriskās struktūras (grupas, gredzenus,
laukus, moduļus, utt.), tiek definētas vispārīgās algebriskās struktūras. Tajās tiek pētītas dažādas
algebriskas konstrukcijas: apakšalgebras, morfismi, kongruences, faktoralgebras, tiešās summas.
Klasiskās algebriskās struktūras tiek interpretētas kā noteiktas signatūras algebras. Tiek aplūkotas
arī speciālas algebru klases: varietātes un kvazivarietātes. Apskatīts brīvās algebras jēdziens, lauku
un lauku paplašinājumu teorija. Kursa mērķis ir parādīt, ka dažādu matemātisku objektu pētīšanā ir
iespējama vienota algebriska pieeja.
ISBN 9984 - 725 - 05 - 7 © Aivars Bērziņš, 2001
Reģ. apl. No. 2-0266.
Iespiests SIA "Mācību grāmata", Raiņa bulv. 19, Rīgā, LV - 1586, tel./fax. 7615695
2

Satura rādītājs
1. Vispārīgās algebriskās struktūras 5
1.1. Ievads 5
1.2. Algebru klases ar vienu bināro operāciju 5
1.3. Algebru klases ar divām binārajām operācijām 8
1.4. Vairākšķiru algebras 9
1.5. Būla algebras 11
2. Algebriskās konstrukcijas 12
2.1. Algebriskās konstrukcijas kopās 12
2.2. Algebriskās konstrukcijas grupās 14
2.2.1. Apakšgrupa 14
2.2.2. Grupu morfisms 15
2.2.3. Grupu tiešā summa 17
2.2.4. Blakusklases, normālā apakšgrupa, faktorgrupa (klasiskā pieeja) 18
2.2.5. Kongruences un faktorgrupas (universālā pieeja) 20
2.3. Algebriskās konstrukcijas gredzenos 22
3. Ω-algebras, algebru varietātes 26
3.1. Ω-algebras (fiksētas signatūras algebras) 26
3.1.1. Ω-algebru apakšalgebru struktūra 27
3.1.2. Ω-algebru morfismi 28
3.1.3. Ω-algebru tiešais reizinājums 29
3.1.4. Kongruence Ω-algebrā 29
3.1.5. Ω-algebru faktoralgebra 30
3.2. Ω-algebru klases 32
4. Kategorijas jēdziens un komutatīvo diagrammu valoda 34
4.1. Ievads 34
4.2. Kategorijas un funktori 36
4.3. Komutatīvās diagrammas 38
4.3.1. Morfismu tipi 39
4.3.2. Universālie sākuma un beigu objekti 40
3

5. Brīvā algebra 44
5.1. Ievads 44
5.2. Brīvā Ω-algebra 44
5.3. Brīvā grupa 49
5.4. Brīvā Ābela grupa 50
5.5. Brīvā komutatīvā algebra 52
6. Lauki un to paplašinājumi 54
6.1. Lauka definīcija un piemēri 54
6.2. Lauka harakteristika 57
6.3. Komutatīvo gredzenu faktorgredzeni 58
6.4. Gredzenu reprezentācija 60
7. Algebriskie paplašinājumi 63
7.1. Vienkāršs algebrisks paplašinājums 63
7.2. Dažādi algebrisko paplašinājumu tipi 65
7.3. Teorēma par primitīvo elementu 67
7.4. Otrās pakāpes paplašinājumi 69
8. Ģeometriskās konstrukcijas 72
8.1. Ievads 72
8.2. Ģeometriskās konstrukcijas un lauku paplašinājumi 73
8.3. Neiespējamās konstrukcijas 77
8.3.1. Kuba dubultošana 77
8.3.2. Teorēma par konstruējamiem skaitļiem 78
8.3.3. Leņķa trisekcija 78
8.3.4. Regulārs septiņstūris 79
8.3.5. Regulārs desmitstūris 79
8.3.6. Riņķa kvadratūra 80
Literatūra 81
4

1. lekcija
Vispārīgās algebriskās struktūras
1.1. Ievads
Grupas, gredzena, lauka, algebras, moduļa un citu algebrisku
struktūru definīcijas un piemēri.
Lekcijas mērķis ir parādīt, ka šo algebrisko konstrukciju pamatā ir
"reāli" matemātiski objekti, kas sastopami visās matemātikas
nozarēs.
Abstraktās algebras pirmsākums saistās ar franču matemātiķa Galuā vārdu, kurš pirmais
ieveda grupas jēdzienu. Viņš izmantoja simetriju grupas jēdzienu, lai pierādītu, ka
algebrisku vienādojumu, kura pakāpe ir lielāka par 4 nevar atrisināt, izmantojot tikai
algebriskās operācijas un radikāļa zīmi. Kopš tā laika – 19.gadsimta sākuma algebra pilnīgi
pārvērtās. Ja līdz šim laikam algebras pamatobjekti bija algebriskie vienādojumi un
vienādojumu sistēmas, tad tagad algebras pamatobjekti kļuva dažādas algebriskas
struktūras – grupas, gredzeni, lauki, utt. Bet jau pirmais Galuā rezultāts parādīja, ka šo
abstrakto struktūru pētīšana var tikt izmantota "reālu" rezultātu iegūšanā.
Tagad aplūkosim algebras pamatobjektu definīcijas.
Vispirms, pārejot pie konkrētiem objektiem, atzīmēsim, ka algebriskā struktūra (tālāk
sauksim par algebru) sastāv no kopas A, kurā definētas operācijas un izpildās noteiktas
aksiomas.
Definīcija 1.1. Par n-āru operāciju kopā A sauc attēlojumu
A n → A .
Visbiežāk mēs izmantojam binārās operācijas (saskaitīšana, reizināšana, atņemšana).
−1
Atzīmēsim arī vienvietīgās (unārās) operācijas: a → −a,
a → a .
n
Atsevišķi jānorāda, ka, ja n = 0, tad kopa A sastāv no viena elementa un attēlojums
A 0 → A faktiski norāda vienu atsevišķu kopas A elementu. Tātad kāda noteikta kopas A
elementa fiksēšana var tikt uzskatīta kā 0-vietīga algebriska operācija.
Aksiomas algebrā apraksta ar predikātu loģikas formulām, kurās var ievietot algebriskas
identitātes; taču svarīgākās algebru klases – tā saucamās algebru varietātes tiek uzdotas ar
noteikta tipa formulām, kuras izpildās visiem mainīgajiem:
∀ x ∀x
∀x
f x Kx
g x Kx
.
( ( ) ( ))
1 2
K
n 1 n
=
1
n
Šajā gadījumā mēs varam nelietojot loģisko simboliku ∀ x1,
K , ∀xn
un saukt šīs formulas
par identitātēm. Algebru klasēm, kas aprakstītas tikai ar identitātēm, izpildās daudzas
speciālas īpašības, un tāpēc algebru klases, kas aprakstītas, izmantojot tikai identitātes, ir
daudz vieglāk pētīt ar algebriskām metodēm.
1.2. Algebru klases ar vienu bināro pamatoperāciju
Pāriesim pie algebrisko pamatstruktūru definīcijām, un parādīsim, ka daudzām no šīm
struktūrām aksiomas var būt pierakstītas kā identitātes. Atzīmēsim arī, ka ne vienmēr tas ir
iespējams. Piemēram, lauku nevar definēt, izmantojot tikai identitātes.
5

Definīcija 1.2. (Pusgrupa). Pāri , ( G , ⋅)
, kur G – kopa, ⋅ – bināra operācija kopā G, sauc
par pusgrupu, ja tajā izpildās identitāte:
a ⋅ ( b ⋅ c) = ( a ⋅ b) ⋅ c – asociativitāte.
Nākošā būs monoīda definīcija. Sākumā gan monoīda, gan grupas definīcijas būs dotas
klasiskajā variantā, izmantojot predikātu loģikas formulas; tālāk parādīsim, kā šīs formulas
var izteikt kā identitātes – tātad, neizmantojot predikātu loģiku.
Definīcija 1.3. (Monoīds). Pāri ( G , ⋅)
monoīdu, ja tajā izpildās aksiomas:
( 1) ∀a,
b,
c ∈ G a ⋅ ( b ⋅ c) = ( a ⋅b)
⋅ c,
( 2) ∃e
∈ G ∀a
∈ G e ⋅ a = a ⋅ e = a
(neitrālā elementa eksistence.)
Definīcija 1.4. (Grupa). Monoīdu ( , ⋅)
( 3 ) ∀ x ∈ G ∃y
∈ G : x ⋅ y = y ⋅ x = e
(apgrieztā elementa eksistence.)
, kur G – kopa, ⋅ – bināra operācija kopā G, sauc par
G sauc par grupu, ja tam izpildās aksioma
Tagad aplūkosim kā monoīda un grupas definīciju var pārveidot, izmantojot tikai
algebriskas identitātes. Operācijas, kuras tiek ievestas algebrā, sauc par algebras signatūru.
Gan pusgrupā, gan monoīdā, gan grupā mēs signatūrā izmantojām tikai vienu operāciju.
Taču signatūru var mainīt, pievienojot jaunas operācijas. Definējot monoīdu, pievienosim
0-vietīgu operāciju – tātad atsevišķa G elementa fiksēšanu.
Definīcija 1.5. Monoīds ir kopa G, kurā definētas divas operācijas : ( G ,e)
operācija, e – 0-vietīga operācija – kopas G elements.
Kopā G izpildās identitātes:
( G1
) a ⋅ ( b ⋅ c) = ( a ⋅b)
( G ) a ⋅ e = e ⋅ a = a..
2
⋅ c
Definējot grupu jāpievieno vēl viena unāra operācija:
−1
a → a .
−1
Definīcija 1.6. Grupa ir kopa, kurā definētas trīs operācijas: ( G , ⋅,
e,
)
,⋅ , kur ⋅ – bināra
, kur ⋅ – bināra
operācija; e – 0-vietīga operācija – kopas G elements; -1 – unāra operācija.
Aksiomas :
G a ⋅ b ⋅ c = a ⋅b
⋅ c
(
1
) ( ) ( )
( G
2
) a ⋅ e = e ⋅ a = a
−1
−1
( G ) a ⋅ a = a ⋅ a = e.
3
Grupu G sauc par komutatīvu grupu (jeb Ābela grupu), ja tajā definētā binārā operācija ir
komutatīva :
( G ) a ⋅ b = b ⋅ .
4
a
Aplūkosim pusgrupu, monoīdu un grupu piemērus.
Piemēri:
1. Naturālie skaitļi ar "+" operāciju veido pusgrupu.
2. Ja naturāliem skaitļiem pievieno 0, tad attiecībā pret "+" operāciju tie veido
monoīdu (0 – neitrālais elements).
3. Veselie skaitļi, attiecībā pret "+" operāciju veido grupu. Šo skaitļu grupu sauc par
veselo skaitļu aditīvo grupu.
6

4. Atlikumu grupa pēc moduļa n Z n
= { 0,1,2,
K , n −1}
Operācija "+" ir summa pēc moduļa n. Šai grupai ir ļoti daudz pielietojumu skaitļu teorijā.
Tagad aplūkosim multiplikatīvās struktūras.
5. Naturālie skaitļi ar "⋅" operāciju veido pusgrupu.
∗
∗
∗
6. Racionālie skaitļi – Q (arī reālie R , kompleksie C ), ja no tiem izslēgts skaitlis
0, kopā ar reizināšanas operāciju veido grupu – skaitļu multiplikatīvo grupu.
Taču grupu teorija, kā jau tika pieminēts, sākās ar Galuā teoriju, kuras pamatobjekts bija
simetriju grupa S .
n
1 K . S
n
ir visu bijekciju kopa, kas attēlo
kopu Ω uz kopu Ω .
⎛1
2 3 K n
Pieraksts
⎟ ⎞
A =
⎜
apzīmēs, ka elements 1 attēlojas par i 1
, elements 2 – par i 2
, ...,
⎝ i1
i2
i3
Ki n ⎠
n – par i n
. Operācija, ko sauksim par reizināšanu, ir attēlojumu kompozīcija.
Piemēram,
⎛ 1234 ⎞⎛1234
⎞ ⎛ 1234 ⎞
⎜ ⎟⎜
⎟ = ⎜ ⎟
⎝ 2143 ⎠⎝
2341⎠
⎝ 3214 ⎠
⎛1234
⎞⎛
1234 ⎞ ⎛1234
⎞
⎜ ⎟⎜
⎟ = ⎜ ⎟ .
⎝ 2341⎠⎝
2143 ⎠ ⎝1432
⎠
Kā redzam piemērā reizināšana šajā grupā nav komutatīva. Visos iepriekšējos piemēros
grupas operācija bija komutatīva.
8. Grupas matemātikā un arī citās zinātnes nozarēs galvenokārt tiek izmantotas, lai
aprakstītu objekta simetriju. Iepriekšējais piemērs (galīgas skaitļu kopas simetriju grupa) ir
grupu teorijas pirmsākums.
Ar I(P) Apzīmēsim visu plaknes P izometriju kopu. Izometrija ir plaknes attēlojums uz
plakni, kas saglabā attālumus starp punktiem. Ar F apzīmēsim patvaļīgu figūru plaknē P.
Ar S(F) apzīmēsim visu plaknes izometriju kopu, kas attēlo figūru F par figūru F:
7. Ar Ω apzīmēsim skaitļu kopu { ,2, , n}
S ( F ) { A∈
I( P) A( F ) = F}
Grupas ( F )
= / .
S operācija ir attēlojumu kompozīcija. Piemēram, ja F ir vienādsānu trijstūris
(skat. 1.zīm.),
B
A
H
C
1 .zīm .
tad ir tikai divas izometrijas, kas attēlo figūru F par figūru F: identiskais attēlojums E un
simetrija pret asi BH. Tātad
S ( F ) = { E,
S BH
}.
Regulārs trijstūris (skat. 2.zīm.) ir daudz simetriskāks.
B
O
A C
2. zīm.
7

Tā simetriju grupa satur 6 elementus:
°
°
240
( F ) = { e, S , , , }
120 BO
SCO
S
AO
RO
, RO
S .
Vienīgā ierobežotā izliektā figūra, kuras simetrijas grupa ir bezgalīga, ir riņķis. Simetrijas
grupas plaši tiek pielietotas kristalogrāfijā, aprakstot kristālu struktūru.
1.3. Algebru klases ar divām binārajām pamatoperācijām.
Aplūkosim algebriskas struktūras, kuru pamatā ir divas bināras operācijas. Algebras
pamatobjekts ar divām binārajām operācijām ir gredzens. Tā kā mēs gribam aprakstīt
gredzenu tikai ar identitātēm, tad signatūrā būs jāpievieno vēl pretējā elementa operācija un
nulles operācija.
Definīcija 1.7. Gredzens ir kopa K , kurā definētas četras operācijas: "+" – divvietīga, "⋅"
divvietīga, "–" – unāra, "0" – nulvietīga (tātad fiksēts elements).
Aksiomas
(R 1 ) ( a + b) + c = a + ( b + c),
( R2
) 0 + a = a + 0 = a,
( R3
) a + ( − a) = ( − a)
+ a =
( R4
) a + b = b + a,
( R5
) a ⋅ ( b + c)
= a ⋅ b + a ⋅ c,
( R6
) ( a + b)
⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c,
( R ) ( a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c).
7
0,
Definīcija 1.8. Komutatīvs gredzens ir gredzens, kurā papildus izpildās šāda aksioma:
( R8 ) a ⋅b
= b ⋅ a .
Definīcija 1.9. Komutatīvs gredzens ar 1 ir komutatīvs gredzens, kurā papildus definēta
nullāra operācija (fiksēts elements 1) un izpildās šāda aksioma:
( R
9
) 1⋅
a = a ⋅1
= a.
Definīcija 1.10. Lauks ir komutatīvs gredzens P ar 1, kurā papildus izpildās aksioma:
( ) ∀a
∈ P a ≠ 0 ∃b
∈ P ( a ⋅b
= b ⋅ a 1)
G .
10
=
Elementu b sauc par elementa a apgriezto elementu un apzīmē ar
−1
a .
Atšķirībā no iepriekšējām aksiomām, aksiomu ( G
10
) nevar pārveidot identitātes formā, jo
"apgrieztā elementa operācija" faktiski nav operācija laukā P ( tā nav definēta elementam
0); tātad to nevar ievest signatūrā, pārvēršot pēdējo aksiomu par identitāti. Protams, šī frāze
nav pierādījums, ka lauka aksiomas nevarētu kādā citādā veidā pierakstīt kā identitātes, bet
tas tiks pierādīts nākošajās lekcijās, aplūkojot algebru varietātes jēdzienu.
Gredzeni ir objekti, kas matemātikā ir sastopami visbiežāk. Sāksim ar klasiskajiem
piemēriem (signatūrā norādītas tikai binārās operācijas).
Piemēri:
Z -- veselo skaitļu gredzens.
Q -- racionālo, reālo, komplekso skaitļu gredzeni.
Protams ir daudz (pat bezgalīgi daudz) dažādas skaitļu struktūras, kas veido gredzenus.
Lekcijā par skaitļu lauku paplašinājumiem ar tiem iepazīsimies sīkāk.
1. ( ,+,⋅)
2. ( , + , ⋅) , ( R,
+ , ⋅) , ( C,
+ , ⋅)
8

3. ( [ x]
,+,⋅)
4. ( [ x , x , 2
, x ],+,⋅
)
P – polinomi ar koeficientiem laukā P no viena mainīgā x.
P K – polinomi no vairākiem mainīgajiem.
1 n
5. Dažādas funkciju klases (ar noteiktu definīcijas apgabalu, nepārtrauktas,
diferencējamas, bezgalīgi diferencējamas, integrējamas, utt.).
Vispārīgi runājot, parasti, ja matemātikā tiek izmantoti simboli "+" un "⋅", tad aplūkojamā
struktūra veido gredzenu. Tiesa, ne vienmēr gredzena definīcijā tiek iekļauta 7. aksioma
(reizināšanas asociativitāte); formāli runājot mums vajadzētu runāt par asociatīvu gredzenu,
jo algebrā ir vairākas struktūras, kurās 7. aksiomas vietā ieved citu aksiomu, kas raksturo
gredzena reizināšanas īpašības. Tādi ir Lī gredzeni un Jordāna gredzeni. Mēs šīs struktūras
neaplūkosim; tāpēc uzskatīsim, ka 7. aksioma ir iekļauta gredzena definīcijā.
Visi šie piemēri bija komutatīvu gredzenu piemēri; reizināšanas operācija ir komutatīva.
Taču gredzeni mēdz būt arī nekomutatīvi, un svarīgākais (universālais) nekomutatīvā
gredzena piemērs ir matricu gredzens.
6. M n
( k)
– kvadrātisku matricu kopa ( n × n)
ar elementiem no lauka k. Kvadrātisko
matricu gredzens veidojas arī, ja matricu elementi ir noteikta gredzena elementi, piemēram,
veseli skaitļi.
1.4. Vairākšķiru algebras
Pāriesim pie vispārīgākām algebriskām struktūrām. Algebrā var tikt izmantotas vairākas
pamatstruktūras. Piemēram, mēs bieži izmantojam vienlaicīgi skaitļus, matricas un
vektorus.
Abstraktās algebras definīcija ir šāda.
Definīcija 1.11. (Vairākšķiru algebra). Vairākšķiru algebra sastāv no kopām
{ A , A , 1 2
K , An
} un vairākšķiru algebras operācijām.
Operācija vairākšķiru algebrā ir attēlojums: α : A × A × L×
A → A .
Algebras aprakstā tiek norādītas arī aksiomas, kādas izpildās dotajām operācijām.
Aplūkosim vienkāršāko piemēru, kurā nepieciešami divu šķiru objekti. Tā ir lineārā telpa.
Piemērs. (Lineārā telpa)
Lineārās telpas apraksts satur divu šķiru elementu kopas: skaitļu kopu K un vektoru kopu
V. Lineārās telpas pamatoperācijas (binārās operācijas):
"+" ( K × K ) → K skaitļu summa,
"×" ( K × K ) → K skaitļu reizinājums,
" ×
λ
" ( K × V ) → V skaitļa reizinājums ar vektoru,
"+ v " ( V × V ) → V vektoru summa.
−1
Šeit netika pieminētas unārās operācijas { ,
0 , 1, 0 , kuras
var ievest arī kā atvasinātas operācijas.
Piemēram, elementu 0 r var definēt kā vektoru, kuram izpildās īpašība:
∀x ∈V
0 r + x = x .
Līdzīgi definējiet arī pārējās atvasinātās operācijas!
Lineārās telpas pilnu aksiomu sarakstu skat., piemēram, (Kostr.).
Ja lineārās telpas definīcijā skaitļu lauku aizvieto ar komutatīvu gredzenu, tad iegūstam
algebrisku struktūru, ko sauc par moduli.
i
j
− } un nulvietīgās operācijas { }
k
l
9

Piemērs. (Modulis)
Definīcija 1.12. Moduli M pār komutatīvu gredzenu K definē šādi:
Pamatkopas:{ K, M}
.
Pamatoperācijas: { +
K
, ⋅K
, ⋅λ , +
M
} . (Precizējiet kādu šķiru objektiem pielieto katru no šīm
operācijām!)
Aksiomas:
(A) ( K, +
K
, ⋅M
) ir komutatīvs gredzens ;
(B) ( M , +
M
) ir Ābela grupa;
(C) 1) ∀ a, b ∈ K ∀x
∈ A ( a + b) ⋅ x = a ⋅ x + b ⋅ x ,
2) ∀ a ∈ K ∀x, y ∈ A a ⋅ ( x + y) = a ⋅ x + a ⋅ y ,
Piemērs. (Algebra)
Kā daudziem jēdzieniem matemātikā arī vārdam "algebra" ir vairākas nozīmes. Šajā
gadījumā "algebra" ir konkrēts matemātisks objekts ar divu šķiru elementiem. Tātad
"algebra" sastāv no skaitļu kopas – gredzena K un algebras A.
Definīcija 1.13. Algebra ir kopu pāris (K, A) ar piecām pamatoperācijām:
"+" – skaitļu saskaitīšana,
"×" – skaitļu reizināšana,
" + A
"– algebras elementu saskaitīšanu,
" × A
" – algebras elementu reizināšana,
" × λ
" – algebras elementu reizināšana ar skaitli.
Aksiomas :
(A) ( K,
+, × ) ir komutatīvs gredzens ar 1;
(B) ( A , +
A,
) ir gredzens;
(C) 1) ∀ a, b ∈ K ∀x
∈ A ( a + b) ⋅ x = a ⋅ x + b ⋅ x ,
2) ∀ a ∈ K ∀x, y ∈ A a ⋅ ( x + y) = a ⋅ x + a ⋅ y ,
3) ∀ a, b ∈ K ∀x
∈ A a ⋅ ( b ⋅ x) = ( a ⋅b) ⋅ x ,
4) ∀ a ∈ K ∀x, y ∈ A a ⋅ ( x ⋅ y) = ( a ⋅ x)
⋅ y ,
5) ∀x ∈ A 1 ⋅ x = x .
Faktiski "algebra" ir algebriska struktūra, kas vienlaicīgi ir gredzens A un modulis A pār
komutatīvu gredzenu K. (C) grupas aksiomas nodrošina visu operāciju saskaņotību.
Algebru piemēri:
1. ( P [ x]
,+,⋅)
– polinomi ar koeficientiem no lauka P no viena mainīgā x.
2. ( P[ x , , 1
x2 K , xn
],+,⋅
) – polinomi no vairākiem mainīgajiem.
3. Dažādas funkciju klases (ar noteiktu definīcijas apgabalu, nepārtrauktas,
diferencējamas, bezgalīgi diferencējamas, integrējamas, utt.).
4. M n
( k)
– kvadrātisku matricu kopa ( n × n)
ar elementiem no lauka k.
Kā redzam, iepriekš aplūkotie gredzenu piemēri var tikt uzskatīti arī par algebrām.
Piemērs. (Trīsšķiru algebra)
Pamatkopas: { K , V , M}
, skaitļi, vektori, matricas;
Binārās operācijas:
+
K
: K × K → K skaitļu saskaitīšana,
⋅
K
: K × K → K skaitļu reizināšana,
+ : V × V → V vektoru saskaitīšana,
V
+ : M × M → M matricu saskaitīšana,
M
10

⋅
M
: M × M → M matricu reizināšana,
⋅
KM
: K × M → M matricas reizināšana ar skaitli,
⋅ : K × V → V vektora reizināšana ar skaitli,
KV
⋅
MV
: M × V → V matricas reizināšana ar vektoru.
Pilns aksiomu saraksts šajā struktūrā ir ļoti liels. Tas iekļauj sevī komutatīva gredzena
aksiomas skaitļiem; gredzena aksiomas matricām; lineārās sakarības starp skaitļiem un
vektoriem, starp skaitļiem un matricām, starp matricām un vektoriem; dažāda tipa
asociatīvos likumus starp dažādu šķiru elementiem. Neskatoties uz lielo aksiomu skaitu,
izpildīt pārveidojumus šajā struktūrā ir vienkārši, jo aksiomu saraksts faktiski atbilst
īpašībām, kādas izpildās "reālā" matemātiskā objektā, kad mēs veicam pārveidojumus ar
skaitļiem, vektoriem un matricām.
1.5. Būla algebra
Šīs algebras pamatā ir objekts, kurš izveidojās, aprakstot izteikumu loģiku algebriskā
valodā. Tā kā Būla algebru aksiomātika būtiski atšķiras no klasisko "tīri" algebrisko objektu
aksiomātikas, tad aplūkosim šīs algebras pilnu aksiomu sarakstu. Rakstot aksiomu sarakstu,
varam iedomāties divus klasiskos Būla algebras piemērus:
1. Kopa, kas sastāv no diviem izteikumiem { a , p}
, un izteikumu loģikas operācijas.
2. Pamatkopa ir fiksētas kopas A visu apakškopu kopa P ( A)
, ar kurām izpilda šādas
operācijas: papildinājums, apvienojums, šķēlums.
Definīcija 1.14. Būla algebra sastāv no vienas kopas B, kurā definētas 5 pamatoperācijas :
¬ – negācija, unāra operācija;
∨ – disjunkcija, bināra operācija;
∧ – konjunkcija, bināra operācija;
0 – nulles elements, konstante (nullāra operācija);
1 – vienības elements, konstante (nullāra operācija).
Aksiomas (visas aksiomas ir identitātes):
(1) a ∧ b = b ∧ a
(1') a ∨ b = b ∨ a komutatīvie likumi;
(2) a ∧ a = a
(2') a ∨ a = a
idempotence;
(3) a ∧ ( b ∧ c) = ( a ∧ b) ∧ c (3') a ∨ ( b ∨ c) = ( a ∨ b) ∨ c associativitāte;
(4) a ∧ ( a ∨ b) = a
(4') a ∨ ( a ∧ b) = a absorbcijas likums;
(5) a ∧1 = a
(5') a ∨ 0 = a
neitrālie elementi;
(6) a ∧ ( b ∨ c)
= ( a ∧ b) ∨ ( a ∧ c)
(6') a ∨ ( b ∧ c) = ( a ∨ b) ∧ ( a ∨ c)
distributivitāte;
(7) a ∧ ¬ a = 0
(7') a ∨ ¬ a = 1 papildinājuma likums.
Šajā lekcijā tika aplūkoti dažādi algebrisko struktūru piemēri. Skaidrs, ka tādā interpretācijā
mēs varam aplūkot algebras, kas sastāv no patvaļīga skaita kopām, un ievest tajās dažādas
operācijas, kurām izpildās patvaļīgas aksiomas. Taču šādas struktūras, kuru aksiomātika
nebāzējas uz konkrētiem piemēriem, kas saistīti ar "reāliem" objektiem, matemātikā parasti
netiek pētīti. Matemātika ir instruments, kas palīdz citām zinātnēm pētīt reālo pasauli.
Protams, matemātikai ir savi iekšējie attīstības virzieni, un ne vienmēr iepriekš var noteikt,
kurš virziens, kāds objekts būs svarīgs zinātnes attīstībai, kāds nē. Kāda tad ir galvenā
algebriskās struktūras jēdziena ievešanas loma matemātikā Uz šo jautājumu var atbildēt
pavisam konkrēti. Daudzas īpašības, konstrukcijas, teorēmas dažādās algebru klasēs ir ļoti
līdzīgas. Pierādot kādu teorēmu par vispārīgām algebriskām struktūrām, mums vairs nebūs
nepieciešamības to darīt katrā atsevišķā algebru klasē. Tātad "universālās algebras" mērķis
ir atrast to kopīgo, kas piemīt visām algebriskām struktūrām. Tieši šim uzdevumam būs
veltītas otrā un trešā lekcijas.
11

2. lekcija
Algebriskās konstrukcijas
Aplūkojot grupas un gredzenus tiek ievesti sekojoši jēdzieni:
apakšalgebra, morfisms, kongruence, faktoralgebra, tiešā summa.
Šie jēdzieni tiek aprakstīti tādā formā, lai tos varētu vispārināt
patvaļīgām algebriskām struktūrām.
2.1. Algebriskās konstrukcijas kopās
Šajā paragrāfā aplūkosim algebriskās konstrukcijas vienkāršākajās algebriskajās struktūrās,
t.i. struktūrās, kurās vispār nav algebrisko operāciju, – tātad kopās. Atcerēsimies galvenos
jēdzienus šajās struktūrās.
Definīcija 2.1. (Apakškopa) Kopu A sauc par kopas B apakškopu (apzīmējam A ⊂ B ), ja
∀ x ( x ∈ A ⇒ x ∈ B)
.
Aplūkojot attiecību ⊂ visu dotās kopas X apakškopu kopā P ( X ) , iegūstam sakārtojumu
(skat. [Str] ).
Definīcija 2.2. Attiecību ∝ kopā A sauc par ekvivalenci, ja tai izpildās trīs īpašības:
a) refleksivitāte: x ∈ A ( x ∝ x)
∀ ,
b) simetriskums: x y ∈ A (( x ∝ y) ⇒ ( y ∝ x)
)
∀ , ,
c) transitivitāte: ∀ x y,
z ∈ A ( x ∝ y ∧ y ∝ z ⇒ x ∝ z)
, .
Definīcija. 2.3. Par attēlojumu no kopas A kopā B sauc "likumu", kas katram kopas A
elementam x piekārto vienu kopas elementu B; pieraksta
f : A → B jeb A→ f B .
Faktiski šeit uzrakstītā frāze nav definīcija, bet mēģinājums paskaidrot, kas ir attēlojums.
Ceturtajā lekcijā, runājot par kategorijām, aplūkosim precīzu attēlojuma definīciju.
Attēlojumu sauc par
a) injektīvu, ja ∀ x, y ∈ A ( x ≠ y ⇒ f ( x) ≠ f ( y)
);
b) sirjektīvu, ja ∀ y ∈ B ∃x
∈ A ( f ( x) = y)
;
c) bijektīvu, ja tas ir gan injektīvs, gan sirjektīvs.
Im f .
Attēlojuma attēlu apzīmēsim ar ( )
Par attēlojuma f kodolu (apzīmēsim Ker(
f ) ) sauc ekvivalenci
šādi:
( x ≈ y ⇔ f ( x) f ( y)
)
∀ x, y ∈ A
f
= .
≈
f
kopā A, kuru definē
Tas nozīmē, ka elementi, kas dotajā attēlojumā attēlojas vienā elementā tiek uzskatīti par
ekvivalentiem.
Definīcija 2.4. Dotas n kopas
A ,
, ,
1 2
n 1 2
K
, A , 1 2
K An
. Par šo kopu Dekarta reizinājumu sauc kopu
{( a a , a ) ∀i
a ∈ A }
A = A × A × L × A =
/
.
Dekarta reizinājuma elementus sauksim par kortēžiem.
n
i
i
12

Definīcija 2.5. Par kopas A sadalījumu sauc kopas A apakškopu kopu { i ∈ I}
izpildās šādas īpašības:
1. Ja i ≠ j , tad A ∩A
= ∅ .
2. a ∈ A ∃i
( a ∈ )
∀ .
i
A i
Izvēloties no katras kopas
pilnu pārstāvju sistēmu { i ∈ I}
j
A
i
pa vienam elementam
i
i
A i
/ , kurai
a ∈ A , mēs iegūsim dotā sadalījuma
a i
/ ; lietosim arī šādu pierakstu a
i
= Ai
(tas nozīmē, ka,
uzrādot sadalījuma klases pārstāvi, mēs faktiski uzrādām arī pašu sadalījuma klasi).
Piezīme. Bieži, aprakstot sadalījuma pirmo aksiomu, ir ērti to aizvietot ar šādu
apgalvojumu:
Ja
A i
∩A
j
≠ ∅ , tad A
i
= A
j
.
Šajā gadījumā, pierakstot kopas sadalījumu formā { i ∈ I}
/ , katra no sadalījuma kopām
var pierakstā tikt atkārtota vairākas reizes. Protams, ka pieraksts, kurā katra sadalījuma klase
ir uzskaitīta tieši vienu reizi ir "ērtāks", taču ne vienmēr izdodas konstruktīvi aprakstīt
sadalījuma klases tā, lai katra klase būtu uzskaitīta tieši vienu reizi.
Sadalījumu piemēri:
1) A = { a,
b,
c,
d,
e,
f }; A
1
= { a}
, A
2
= { b,
c,
f }, A = 3
{ d,
e}
.
Kopa B = { A , A A } ir kopas A sadalījums; kopa { a c,
e}
1 2
,
sadalījuma pilna pārstāvju sistēma.
3
A i
, ir viena no iespējamām šī
2) Katrai ekvivalencei ≈ , kas definēta kopā A, viennozīmīgi atbilst kopas A sadalījums
ekvivalences klasēs S≈ = { Ax / x ∈ A}
. Ar A
x
apzīmēta visu to A elementu kopa, kuri ir
ekvivalenti ar x:
A x
{ y y ∈ A ∧ y ≈ x}
= / .
Pārbaudiet, ka S
≈
ir kopas A sadalījums.
Otrādi, katrs kopas A sadalījums S = { Ai / i ∈ I}
viennozīmīgi nosaka ekvivalenci ≈
S
kopā
A:
x ≈
S
y ⇔ ∃i
∈ I ( x ∈ Ai
∧ y ∈ Ai
) .
Faktiski mēs esam ieguvuši savstarpēju atbilstību starp kopas A sadalījumiem un
ekvivalencēm kopā A.
Tā kā patvaļīga attēlojuma f : A → B kodols ir ekvivalence kopā A, tad katram
attēlojumam f atbilst kopas A sadalījums. Šo sadalījumu apzīmēsim ar S
Ker( f )
(kādreiz
saīsināti S
f
).
Definīcija 2.6. (Faktorkopa). Kopā A dota ekvivalence ≈ . Tai atbilst kopas A sadalījums
ekvivalences klasēs S≈ = { Ax / x ∈ I}
.
Par kopas A faktorkopu sauc kopu, kuras elementi ir šī sadalījuma ekvivalences klases:
A = { Ax
/ x ∈ I}
.
≈
Piezīme. Šajā pierakstā nevar atšķirt ekvivalences klašu kopas un faktorkopas formālos
pierakstus. Lai tālāk nesarežģītu šos pierakstus, lietosim tos abiem jēdzieniem, bet
atcerēsimies, ka sadalījuma gadījumā ar A apzīmēta kopa, kas sastāv no kopas A
elementiem, bet faktorkopas gadījumā ar
elements.
x
A
x
apzīmēts elements – faktorkopas
A
≈
13

2.2. Alebriskās konstrukcijas grupās.
Atbilstošos jēdzienus, kas tika ievesti, aplūkojot kopas, tagad definēsim algebriskām
struktūrām ar vienu pamatoperāciju – grupām (sīkāk par grupu teoriju skat., piem., [Varden]
). Ievestie jēdzieni netiks ilustrēti ar lielu piemēru skaitu; tos var atrast norādītajā literatūrā .
Visas šīs definīcijas ir līdzīgas atbilstošajām definīcijām kopās, bet ir viena būtiska
atšķirība: algebriskās konstrukcijas grupās ir saistītas ar grupas operāciju. Vārda
"saistīts" nozīme tiks aprakstīta katram jēdzienam atsevišķi.
2.2.1. Apakšgrupa
Šis jēdziens atbilst apakškopas jēdzienam kopās.
Definīcija 2.7. (Apakšgrupa). Saka, ka grupas G apakškopa H ir grupas G apakšgrupa un
pieraksta H < G , ja tai izpildās sekojošas īpašības:
∀ a, b ∈ G a,
b ∈ H ⇒ a ⋅b
∈ H ,
a) ( )
−1
b) ∀a
∈ G ( a ∈ H ⇒ a ∈ H )
,
c) e ∈ H .
Vārdiski to varētu aprakstīt šādi: G apakškopa H ir grupas G apakšgrupa, ja tā ir slēgta
attiecībā pret visām grupas G pamatoperācijām; tāda ir frāzes "saistīts ar operācijām" jēga
šajā gadījumā.
Vēl iespējams arī šāds definīcijas variants: G apakškopa H ir grupas G apakšgrupa, ja tā ir
grupa attiecībā pret grupas G operācijām.
Apakšgrupu sakārtojums.
A ir definēta attiecība "

Kopu teorijas operācijas ar apakšgrupām.
Tā kā grupas ( G , + ) apakšgrupas vienlaicīgi ir arī kopas G apakškopas, tad ar tām var
izpildīt visas kopu teorijas pamatoperācijas (šķēlums, apvienojums, papildinājums, starpība,
simetriskā starpība). Taču no grupu teorijas viedokļa svarīga loma ir tikai tām kopu teorijas
operācijām, kuras, pielietojot apakšgrupām, rezultātā dod apakšgrupu. Izrādās, ka tikai
šķēluma operācija ir saskaņota ar apakšgrupu struktūru.
Teorēma 2.1. Ja K un L ir grupas G apakšgrupas, tad arī kopa K ∩ L ir grupas G
apakšgrupa.
Piezīme. Šo toerēmu varētu formulēt šādi: Dotās grupas apakšgrupas veido struktūru, kas ir
slēgta attiecībā pret kopu šķēluma operāciju. Atceroties arī apakšgrupu sakārtojuma
attiecību, nonākam pie sekojošas struktūras:
( A ( G ),

f × f
G × G H × H
⋅ G ⋅ H
f
G H
Mūsu mērķis ir vispārināt morfisma jēdzienu uz citām algebriskām struktūrām, kurās
operācijas un aksiomas var pilnīgi ašķirties no grupas operācijām un aksiomām. Tāpēc rodas
jautājums: "Kāpēc mēs morfisma definīcijā neiekļaujam analoģiskas īpašības pārējām
divām grupas operācijām".
Atcerēsimies grupas sākotnējo definīciju (def. 1.4.). Šajā definīcijā grupa tika definēta kā
kopa ar vienu bināro operāciju. Pārējās operācijas tika ievestas kā atvasinātas operācijas,
izmantojot grupas aksiomas.
Teorēma 2.2. Patvaļīgam grupu morfismam f : G → H izpildās sekojošas īpašības:
f e = f ,
(GM 2 ) ( ) ( )
1
e 2
(GM 3 ) ∀ ∈ G ( f ( x ) ( ) )
−1 = f x
−1
x .
Pierādījums. (GM 2 ) No morfisma un neitrālā elementa īpašībām seko:
f e ⋅ f e = f e ⋅ e = f .
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
e1
Pareizinot šo vienādību ar grupas H elementu
−
( e ) 1
1
−1
−1
f ( e1
) ⋅ ( f ( e1
) ⋅ f ( e1
)) = f ( e1
) ⋅ f ( e1
) ⇒
−1
f ( e ) ⋅ f ( e ) ⋅ f e = e ⇒ e ⋅ f e = e
f no kreisās puses, iegūsim:
(
1
1
) (
1
)
2
2
(
1
)
2
⇒ f ( e1
) = e2
.
−1
−1
−1
(GM 3 ) e = f ( e ) = f ( x ⋅ x ) = f ( x) ⋅ f ( x ). Tātad ( x )
2 1
f apgrieztais
elements. Teorēma pierādīta.
Tātad, interesējoties tikai par grupām, morfisma definīcijā var neiekļaut īpašības (GM 2 ) un
(GM 3 ), jo šīs īpašības var izvest no (GM 1 ); taču tā ir tikai grupu specifika. Domājot par
morfisma jēdziena vispārinājumu, vēlreiz uzrakstīsim grupu morfisma definīciju.
f ir elementa ( x)
−1
−1
Definīcija 2.9. (Grupu morfisms). Dotas grupas ( G , ⋅,
e,
) un ( H , ⋅,
e,
)
f : G → H sauc par grupu morfismu, ja tam izpildās sekojošas īpašības:
(GM 1 ) ∀ x, y ∈ G f ( x ⋅ y) = f ( x) ⋅ f ( y)
.
f e = f ,
(GM 2 ) ( ) ( )
1
e 2
(GM 3 ) ∀ ∈ G ( f ( x ) ( ) )
−1 = f x
−1
. Attēlojumu
x .
Piezīme. Šo definīciju vārdiski var formulēt šādi: "Morfisms ir attēlojums no grupas G
grupā H, kas ir "saskaņots" ar visām grupā definētajām pamatoperācijām." Šo frāzi
precīzi apraksta morfisma aksiomas (GM 1 ), (GM 2 ) un (GM 3 ). Cits precīzs šīs frāzes
apraksts iespējams, izmantojot komutatīvo diagrammu valodu (skat. 4. lekc.).
Speciāla veida morfismiem ir savi nosaukumi.
1) Injektīvu morfismu f : G → H sauc par monomorfismu.
2) Sirjektīvu morfismu f : G → H sauc par epimorfismu,
3) Bijektīvu morfismu f : G → H sauc par izomorfismu; grupas G un H sauc par
izomorfām grupām un to pieraksta šādi: G ≅ H .
4) morfismu f : G → G sauc par endomorfismu; visu endomorfismu kopu apzīmē ar
End ( G)
.
16

5) izomorfismu f : G → G sauc par automorfismu; visu automorfismu kopu apzīmē ar
Aut ( G)
; šajā kopā "dabīgā" veidā var ievest reizināšanas operāciju, iegūstot grupas
automorfismu grupu (skat. [Plotk] ).
Definīcija 2.10. Dots grupu morfisms f : G → H .
• Par morfisma f attēlu sauc grupas H apakškopu
Im f = { y ∈ H / ∃x
∈ G f ( x)
= y}
,
• Par morfisma f kodolu sauc grupas G apakškopu
Ker f = { x ∈ G / f ( x)
= e}
.
Piezīme. Atcerēsimies, ka, aplūkojot kopas, attēlojuma kodols tika definēts (skat. def. 2.3.)
kā ekvivalence attēlojuma izejas kopā, bet grupās kodols ir vienkārši izejas kopas
apakškopa. Skaidrs, ka grupas kodola definīcija šādā veidā nav vispārināma uz visām
algebriskām struktūrām, jo definīcija satur konkrētu elementu (grupas neitrālo elementu),
bet šāds elements var nebūt definēts algebriskajā struktūrā. Pat pusgrupu gadījumā doto
definīciju nevar izmantot. Šī problēma tiks atrisināta, ievedot grupā jaunu kodola definīciju,
kurā grupas kodols tiešām būs noteikta tipa ekvivalence, bet starp šo ekvivalenci un
attēlojuma kodolu tradicionālajā izpratnē pastāvēs kanoniska savstarpēji viennozīmīga
atbilstība. Jāatzīmē, ka grupas kodola definīcijas jaunais variants kā arī grupas faktorizācijas
tradicionālās definīcijas pārveidošana jaunā formā ir paši būtiskākie jautājumi, kuri bija
jāatrisina, lai algebriskajās struktūrās varētu ievest visas tradicionālās algebriskās
konstrukcijas, kuras jau sen bija pazīstamas grupās un gredzenos.
Teorēma 2.3. Dots grupu morfisms f : G → H .
1. Morfisma f attēls ir grupas H apakškopa.
2. Morfisma f kodols ir grupas G apakšgrupa.
Piezīme. Vēlāk tiks pierādīts, ka morfisma kodols ir speciāla veida apakšgrupa – normālā
apakšgrupa.
Pierādījums. 1. Pārbaudīsim, ka kopai Im f izpildās visas trīs apakšgrupas definīcijā (def.
2.7.) norādītās īpašības:
( y
) ( ( ) ( ) )
1
∈ Im f ∧ y2
∈ Im f ⇒ ∃x1
f x1
= y1
∧ ∃x2
f x2
= y2
a)
f ( x ⋅ x ) = f ( x ) ⋅ f ( x ) = y ⋅ y ⇒ y ⋅ y ∈ Im f ,
1
2
b) f ( e ) e ⇒ e Im f
1 2
2
∈
1
= ,
2
1
2
1
−1
( f ( x)
= y) ⇒ ∃x
∈ G f ( x ) = f ( x)
y ∈ Im f ⇒ ∃x
∈ G
c)
−1
y ∈ Im f .
2. Par Ker f apgalvojumu pierādiet patstāvīgi !
Teorēma pierādīta.
2
⇒
−1
−1
( = y )
⇒
2.2.3. Grupu tiešā summa
Grupu tiešā summa atbilst Dekarta reizinājuma jēdzienam kopās.
−1
Definīcija 2.11. Dotas grupas {( G , ⋅ , e , i ) / i ∈{ 1, 2, K n
}
i i i
,
n
. Par šo grupu tiešo summu
sauc kopu G = G1 × G2
× G3
× L × G n
= ∏G i
, kurā definētas grupas signatūras
operācijas:
( Atcerēsimies, ka kopa G sastāv no kortēžiem ( x , x , 2
, )
i=
1
1
K x n
, kur xi
∈ Gi
.)
17

a) ( a
1, a2
, , an
) + ( b1
, b2
, K,
bn
) = ( a1
+ b1
, a2
+ b2
, K,
an
+ bn
)
b) e = ( e , e , 2
, ),
K ,
1
K
e n
1 −1
−1
−1
c) ( a , a , , a ) ( a , a , K a )
− = 1 2 n
1 2
,
n
L .
Grupu tiešo summu pieraksta šādi:
G ⊕ G ⊕L ⊕ G n
= ⊕G
.
1
2
Tā kā katrā no kortēža koordinātēm operācijas izpildās neatkarīgi no citām koordinātēm,
tad grupas aksiomu pārbaude grupu tiešajai summai ir acīmredzama.
Piemērs. Aplūkosim aditīvo grupu pēc moduļa 2: Z
2
= ({ 0,
1 },
+
2
, 0,
−
2
) un aditīvo grupu
Z = 0,
1, 2 , + , 0 − . Tad
pēc moduļa 3:
3
({ }
3
,
3
)
⊕ Z {( 0, 0) , ( 0, 1 ),
( 0, 2) , ( 1, 0) , ( 1, 1 ),
( 1, 2)
, }
Z
2 3
=
.
Saskaitīšanas operācija ar pirmo koordināti izpildās pēc moduļa 2, bet ar otro koordināti –
pēc moduļa 3. Aplūkosim attēlojumu
f : Z Z ⊕ Z f x = x mod 2 , x mod3 .
Ar ( k)
6
2
3
n
i=
1
→ , kur ( ) ( ( ) ( ))
x mod apzīmējam skaitļa x atlikumu, dalot ar k.
Uzdevumi.
1. Pierādīt, ka f ir grupu morfisms.
2. Pierādīt, ka f ir grupu izomorfisms; tātad Z
6
≅ Z
2⊕Z
3
.
3. Doti savstarpēji prmskaitļi n un m. Pierādīt, ka Z
nm
≅ Z
n
⊕ Z
m
.
2.2.4. Blakusklases, normālās apakšgrupas, faktorgrupa (klasiskā pieeja)
Dota grupa G un tās apakšgrupa H.
Definīcija 2.12. Par apakšgrupas H kreiso blakusklasi grupā G sauc grupas G apakškopu
gH = { gh / h ∈ H}
, kur g – patvaļīgs grupas G elements. Līdzīgi definē labo blakusklasi
Hg.
Lemma 2.1. g
1
∈ gH ⇔ g1H
= gH .
Teorēma 2.4. Dota grupa G un tās apakšgrupa H. Apakšgrupas H kreisās (labās)
blakusklases veido grupas G sadalījumu:
S H
= { gH / g ∈ G}
.
Pierādījums. Skat. ([Holl], teorēma 1.5.1.)
Atzīmēsim, ka grupas G sadalījumi kreisajās un labajās klasēs var nesakrist.
Piemērs. Grupa S
3
= { e, ( 1,2 ),
( 1,3 ),
( 2,3 ),
(1,2,3), ( 1,3,2 )}
(izmantots substitūciju pieraksts
ciklu reizinājumu formā). Apakšgrupa H = { e, ( 1,2 )}
.
Grupas S
3
sadalījums apakšgrupas H kreisajās blakusklasēs sastāv no trim divelementu
kopām:
e ⋅ H = { e, (1,2) },
(1,3) ⋅ H = {( 1,3 ),
( 1,3,2 )},
( 2,3) ⋅ H = {( 2,3 ),
( 1,2,3 )}
.
Reizinot H ar kādu no citiem S
3
elementiem, iegūsim kādu no jau aprakstītajām
blakusklasēm.
Grupas S
3
sadalījums apakšgrupas H labajās blakusklasēs arī sastāv no trim divelementu
kopām:
H ⋅ e = { e, (1,2) },
H ⋅ ( 1,3) = {( 1,3 ),
( 1,2,3 )},
H ⋅ ( 2,3) = {( 2,3 ),
( 1,3,2 )}
.
Redzam, ka šie sadalījumi ir atšķirīgi.
Definīcija 2.13. Grupas G apakšgrupu H sauc par grupas G normālo apakšgrupu
(normālo dalītāju, invarianto apakšgrupu) un apzīmē H < G , ja
∀ g ∈ G gH = Hg .
( )
i
18

−1
Lemma 2.2. H G ⇔ ∀g
∈ G ∀h
∈ H ( g ⋅ h ⋅ g ∈ H )
< .
Pierādījums. Pierādīt patstāvīgi vai skat. ( [Holl], lemma 2.1.1.).
Piemēri.
1. Komutatīvā grupā jebkura apakšgrupa ir normālā apakšgrupa.
2. Jebkurā grupā triviālās apakšgrupas ir normālie dalītāji: { e } < G, G < G .
3. Apakšgrupas H blakusklašu skaitu grupā G sauc par apakšgrupas indeksu un apzīmē
( G : H ); ja ( G : H ) = 2 , tad H ir normālā apakšgrupa.
4. Apakšgrupa { e , ( 1,2 )}
nav normālā apakšgrupa grupā S
3
.
Teorēma 2.5. Dots grupu morfisms f : G → H . Morfisma f kodols Ker f ir
grupas G normālais dalītājs.
Pierādījums. Tā kā
nosacījumu:
( g ∈ G,
h ∈ Ker f )
⇒
Ker f ir G apakšgrupa, tad atliek pārbaudīt tikai lemmas 2.2.
−1
−1
−1
−1
( f ( g ⋅ h ⋅ g ) = f ( g) ⋅ f ( h) ⋅ f ( g) = f ( g) ⋅ e ⋅ f ( g) = f ( g) ⋅ f ( g)
= e)
−1
( g ⋅ h ⋅ g ∈ Ker f ).
Teorēma pierādīta.
Aplūkojot normālo apakšgrupu H < G , lietosim terminu "normālās apakšgrupas
blakusklases", izlaižot vārdu "kreisās" vai "labās", jo šie jēdzieni sakrīt.
Definīcija 2.14. Grupā G dota normālā apakšgrupa H. Teiksim, ka divi grupas G elementi
x, y ir kongruenti pēc moduļa H un pierakstīsim
( mod H )
x ≡ y vai x ≡
H
y ,
ja x un y atrodas vienā un tai pašā normālās apakšgrupas blakusklasē; faktiski tas nozīmē,
ka xH = yH .
Piemērs. Aplūkosim veselo skaitļu aditīvo grupu ( Z ,+)
un tās apakšgrupu ( nZ ,+)
(n –
fiksēts naturāls skaitlis, nZ – skaitļa n daudzkārtņi). Tad jēdziens x ≡ y ( mod nZ ) sakrīt ar
parasto kongruences jēdzienu skaitļu teorijā.
Uzdevums. Pārbaudiet, ka attiecība ≡
H
ir ekvivalence grupā G.
Rezumējums. Grupā G dota normālā apakšgrupa H. Tai viennozīmīgi atbilst
1) grupas G sadalījums normālas apakšgrupas H blakusklasēs: S
H
,
2) kongruence ≡
H
grupā G.
Sadalījums S
H
un kongruence ≡
H
savstarpēji viennozīmīgi atbilst viens otram.
Definīcija 2.15. (Faktorgrupas klasiskā definīcija). Grupā G dota normālā apakšgrupa
H. Tai atbilst kongruence ≡
H
. Aplūkosim faktorkopu
G = { gH / g ∈ H}
.
≡
H
Definēsim tajā grupas operācijas:
( xH ) ⋅ ( yH ) = ( x ⋅ y)
e
H
Faktorkopa
def
def
def
= eH = H ,
−1
−1
( xH ) = x H.
G ≡
H
H,
attiecībā pret ievestajām operācijām veido grupu, kuru sauc par grupas
G faktorgrupu pēc normālā dalītāja H un apzīmē ar
G .
H
⇒
19

Piezīme. Faktorkopas definīcija sevī satur apgalvojumus, kurus ir jāpierāda, lai definīcija
būtu korekta.
Definīcijas korektuma pierādījums.
1. Tā kā katru blakusklasi var pierakstīt dažādos veidos (izvēloties dažādus blakusklases
pārstāvjus), tad vispirms jāpārbauda, ka reizināšanas un apgrieztā elementa definīcijas ir
korektas – rezultāts nav atkarīgs no blakusklases pārstāvja izvēles.
a) Reizināšana. Dots, ka x1 H = x2H
un y1 H = y2H
.
H ⋅ y H = x H y H . Tiešām,
x1 1
2
⋅
2
def
Jāpierāda, ka ( ) ( ) ( ) ( )
( x H ) ⋅ ( y H ) = ( x ⋅ y ) H = x ⋅ ( y H ) = x ⋅ ( y H ) = x ⋅ ( Hy )
1
( x H ) ⋅ y = ( x H ) ⋅ y = ( Hx ) ⋅ y = H ⋅ ( x ⋅ y ) = ( x ⋅ y ) H = ( x H ) ⋅ ( y H ).
1
2
1
2
1
1
2
1
2
b) Apgrieztā elementa operācijas korektumu pierādiet patstāvīgi.
2. Jāpārbauda visas trīs grupas aksiomas.
def
1
2
(G 1 ) xH ( yH ⋅ zH ) = ( x ⋅ ( y ⋅ z)
) H = (( x ⋅ y)
⋅ z) H = ( xH ⋅ yH ) ⋅ zH
1
2
2
⋅ ,
def
def
H
=
def
def
−1
1
(G 2 ) e xH = ( eH ) ⋅ ( xH ) = ( e ⋅ x) H xH
⋅ ,
−1
−
(G 2 ) ( xH ) ⋅ ( xH ) = ( xH ) ⋅ ( x H ) = ( x ⋅ x ) H = eH = eH
.
Definīcijas korektums pierādīts.
∗
Uzdevums. Aprakstiet faktorgrupas G , G ,
( Z,
+ )
,
( R , ⋅) { }
(
+
G e nZ R , ⋅)
un izdomājiet
arī citus faktorgrupu piemērus.
2.2.5. Kongruences un faktorgrupas (universālā pieeja)
Kongruences, sadalījuma un faktorgrupas jēdzienu pamatā iepriekšējā paragrāfā bija
normālās apakšgrupas jēdziens. Taču skaidrs, ka šo pieeju nevar realizēt patvaļīgās
algebriskās struktūrās. Tāpēc šajā paragrāfā par pamatu izvēlēsimies kongruences
jēdzienu – ekvivalenci grupā G, kas "saistīta" ar grupas operācijām. Ar katru kongruenci ir
saistīts grupas sadalījums; sadalījuma klases var uzskatīt par faktorgrupas elementiem. Lai
vienkāršotu kongruences jēdziena definīciju, šoreiz uzskatīsim, ka grupā ir tikai viena
pamatoperācija – reizināšana, pārējās operācijas tiek ievestas kā atvasinātas operācijas.
Definīcija 2.16. (Kongruence). Dota grupa ( G ,+)
. Ekvivalences tipa attiecību ≈ kopā G
sauc par kongruenci grupā G, ja tai izpildās sekojoša īpašība:
(GK 1 ) ∀ x1 , x2
, y1,
y2
∈ G ( x1
≈ x2
∧ y1
≈ y2
⇒ x1
⋅ y1
≈ x2
⋅ y2
).
Piezīme. Vārdiski mēs šo aksiomu (GK 1 ) formulējam tā: "Kongruence grupā G ir "saistīta"
ar grupas bināro operāciju". Ja grupas signatūrai mēs pievienotu arī operācijas "e" un " -1 ",
tad būtu jāpievieno arī aksioma
1 −1
(GK 2 ) ∀x , y ∈ G ( x ≈ y ⇒ x
− ≈ y ).
Speciāla aksioma nullārajai operācijai nav vajadzīga.
Piemērs. Ja H ir normālā apakšgrupa grupā G, tad tai atbilstošajai kongruencei ≡
H
izpildās
aksioma (GK 1 ) (faktiski tas tika pierādīts klasiskās faktorgrupas definīcijas korektuma
pierādījumā); tātad ≡
H
ir kongruence no universālās pieejas viedokļa.
Tagad aplūkosim teorēmu, kas no vispārīgo algebrisko struktūru viedokļa ir pati svarīgākā
šajā nodaļā. Kā mēs redzējām piemērā, tad katrai grupas normālajai apakšgrupai atbilst
noteikta "universālā kongruence" ≡
H
. Bet vai visas grupas universālās kongruences ir
šādā veidā iegūstamas Ja tas tā nebūtu, un universālās kongruences jēdziens būtu plašāks,
tad rastos arī plašāka grupu faktorizācijas iespēja, un vecā klasiskā pieeja faktiski būtu
2
1
2
2
def
2
def
=
def
2
2
20

jāaizmirst (tā būtu daļa no universālās faktorizācijas). Taču nākošā teorēma parādīs, ka
klasiskā faktorizācija pēc būtības ir ekvivalenta ar universālo faktorizāciju un atšķiras tikai
no pieraksta viedokļa. Universālais pieraksts, kura pamatā ir konguence grupā mums
nepieciešams tikai tāpēc, lai pārnestu faktorgrupas jēdzienu uz citām algebriskām
struktūrām.
Teorēma 2.6. Pieņemsim, ka grupā G dota kongruence ≈ . Tad grupā G eksistē
viennozīmīgi noteikta normālā apakšgrupa H, kurai atbilstošā kongruence ≡
H
sakrīt ar
doto kongruenci ≈ .
Pierādījums. Aplūkosim šādu grupas G apakškopu:
H = { x ∈ G / x ≈ e}
.
1. H ir grupas G apakšgrupa. Pārbaudīsim apakšgrupas aksiomas:
a) ( x,
y ∈ H ) ⇒ ( x ≈ e ∧ y ∧ e) ⇒ ( x ⋅ y ≈ e ⋅ e = e) ⇒ ( x ⋅ y ∈ H ) ,
b) e ∈ H jo e ≈ e ,
−1
−1
−1
c) ( x ∈ H ) ⇒ ( x ≈ e) ⇒ ( x ≈ e = e) ⇒ ( x ∈ H ).
2. H ir grupas G normālā apakšgrupa. No lemmas 2.2. seko, ka jāpārbauda apgalvojums
−1
∀g
∈ G ∀h
∈ H g ⋅ h ⋅ g ∈ H . Pārbaudīsim to:
( )
−1
−1
−1
−1
( h ≈ e) ⇒ ( g ⋅ h ⋅ g ≈ g ⋅ e ⋅ g = g ⋅ g = e) ⇒ ( g ⋅ h ⋅ g ∈ H )
h ∈ H ⇒
.
3. Pierādīsim, ka ekvivalences ≡
H
un ≈ ir vienādas. Lai to izdarītu, jāpierāda
∀ x,
y ∈G
x ≡
H
y ⇔ x ≈ y . Pierādīsim to.
apgalvojums: (( ) ( ))
( x ≡
H
y) ⇔ ( xH = yH ) ⇒ ∃h
∈ H ( x = yh) ⇒ ∃h
( h ≈ e ∧ x = yh)
( x ≈ yh ≈ ye = y) ⇒ ( x ≈ y) .
−1
−1
−1
−1
( x ≈ y) ⇒ ( x ⋅ y ≈ x ⋅ x = e) ⇒ ( x ⋅ y ∈ H ) ⇒ ∃h
∈ H ( x ⋅ y = h)
( x = hy) ⇒ ∃h
∈ H ( xH = Hx = Hhy = Hy = yH ) ⇒ ( x y) .
∃h
∈ H
≡ H
Teorēma pierādīta.
Tagad varam pārformulēt faktorgrupas definīciju "universālā valodā".
−1
Definīcija 2.17. (Faktorgrupa, universālā pieeja). Dota grupa ( G , ⋅,
e,
) un kongruence
≈ grupā G. Aplūkosim faktorkopu
G = { Ai
/ i ∈ I} = { ai
/ i ∈ I}
.
≈
( { A i
} – sadalījuma klases – faktorkopas elementi; { a i
} – pilnā pārstāvju sistēma; katra
klase pierakstīta vienu reizi}.
Kopā G definētas operācijas:
≈
Kopa
def
a) x ⋅ y = x ⋅ y ,
def
G
≈
=
−1
def
b) e e ,
−1
c) ( x) = x
.
G ar ievestajām operācijām veido grupu, kuru sauc par grupas G faktorgrupu un
≈
G −1
, ⋅,
,
≈
e .
apzīmē ( )
⇒
⇒
21

Definīcijas korektuma pierādījums.
1. Operācijas definētas korekti; t.i., rezultāts nav atkarīgs no ekvivalences klases pārstāvja
izvēles:
def
def
⎛
⎞
a) ( x1 ≈ x2
∧ y1
≈ y2
) ⇒ ⎜ x1
⋅ y1
= x1
⋅ y1
= x2
⋅ y2
= x2
⋅ y2
⎟ ,
⎝
⎠
⎛
⎞
c) ( ≈ ) ⇒ ⎜( ) − 1
def
def
−1
−1
−
x y x = x = y = ( y) 1
⎟ .
⎝
⎠
2. Ievestajām operācijām izpildās visas grupas aksiomas.
(G 1 ) x ( y ⋅ z) = x ⋅ ( y ⋅ z) = ( x ⋅ y) ⋅ z = ( x ⋅ y) ⋅ z
⋅ ,
(G 2 ) e ⋅ x = e ⋅ x = x, x ⋅ e = x ⋅ e = x ,
−1
−1
−1
−1
(G 3 ) x ⋅ x = x ⋅ x = e, x ⋅ x = x ⋅ x = e .
2.3. Algebriskās konstrukcijas gredzenos
Īsumā aplūkosim, kā veidojas algebriskās konstrukcijas gredzenos – struktūrās ar divām
binārajām operācijām. Šajā paragrāfā tiks dotas tikai definīcijas, teorēmu formulējumi,
paskaidrojumi un daži piemēri; ar teorēmu pierādījumiem var iepazīties, piem., [Kostr.].
Gredzens ir algebriska struktūra (algebra, vārda ''algebra" plašajā nozīmē). To veido:
1) Kopa, kuru apzīmēsim ar K.
2) Gredzena signatūras Ω operāciju kopa Ω
K
.
Gredzena un arī jebkuras algebras signatūra Ω ir algebras pamatoperāciju apraksts: tiek
uzskaitīti visu operāciju nosaukumi (vārdi, apzīmējumi) un operāciju aritātes. Formāli to
var aprakstīt šādi:
Ω = {( op
1, a1
),
( op2
, a2
),
K,
( op n
, a n
)}
.
Operācijas vārds – op ir jebkura simbolu virkne.
i
Operācijas aritāte – a
i
ir vesels nenegatīvs skaitlis.
Gredzena signatūra:
Ω = {( + , 2) , ( 0, 0) , ( −,
1 ),
( ⋅,
2)
} .
Gredzena operāciju kopa:
Ω
K
= { +
K
, −
K
, 0
K
, ⋅K
}
+
K
: K × K → K,
−
K
: K → K,
0
K
∈ K,
⋅K
: K × K → K .
Piezīme. Aplūkojot gredzenu ar vieninieku (unitāru gredzenu), gredzena signātūrai
pievienojas vēl viena nullāra operācija.
3) Gredzena aksiomas ir predikātu loģikas formulas, kurās par bāzes termiem tiek
izmantotas vienādības f = g , kur f un g ir gredzena signatūrā uzrakstāmas formulas.
Gredzena aksiomas aprakstītas definīcijā 1.7.
Definīcija 2.18. Par gredzena K apakšgredzenu sauc gredzena K apakškopu L, kura ir
slēgta attiecībā pret visām gredzena signatūras operācijām ( apzīmējam L < K ):
1) ∀ x, y ∈ K ( x,
y ∈ L ⇒ x + y ∈ I ),
2) 0
K
∈ L ,
3) ∀ x ∈ K ( x ∈ L ⇒ ( − x)
∈ L)
,
∀ x, y ∈ K x,
y ∈ L ⇒ x ⋅ y ∈ L .
4) ( )
22

Piezīme. Aplūkojot unitāro gredzenu klasi, būtu jāpievieno arī aksioma, ka apakšgredzens L
satur gredzena K vieninieku. Līdz ar to, izvēloties algebru klasi, kuru mēs aplūkojam
(gredzenus vai unitārus gredzenus), apakšgredzena jēdziens ir jāinterpretē dažādi.
Piemērs. Aplūkosim veselo skaitļu gredzenu Z un tā apakškopu 2Z. Gredzenu klases
signatūrā 2Z ir gredzena Z apakšgredzens, bet unitāro gredzenu klases signatūrā 2Z nav
gredzena Z apakšgredzens.
K Ω K
L, Ω L
(Ω -- gredzenu klases signatūra).
Attēlojumu f : K → L sauc par gredzenu morfismu, ja f ir saskaņots ar visām gredzena
signatūras operācijām:
f x + y = f x + f y ,
Definīcija 2.19. Doti gredzeni ( , ) un ( )
1) ( ) ( ) ( )
2) f ( 0 ) = 0 ,
3) f ( − x) = − f ( x)
,
⋅ .
Unitāro gredzenu klases signatūrā papildus jāpievieno aksioma
5) f ( 1 ) = 1.
Lai nerastos pārpratumi, morfismus unitāro gredzenu klasē sauc par unitāriem morfismiem.
Piemērs. Aplūkosim reālo skaitļu gredzenu ( R, Ω R
) un otrās kārtas kvadrātisko matricu
(
2
R , Ω
M R
) gredzenu klases signatūrā Ω. Definēsim attēlojumu
4) f ( x y) = f ( x) ⋅ f ( y)
M
2
gredzenu ( ) ( )
⎛ x 0⎞
f : R → M
2
( R)
ar formulu f ( x) = ⎜ ⎟ .
⎝0
0⎠
Viegli pārbaudīt, ka attēlojums ir saistīts ar gredzena signatūras operācijām; tātad f ir
gredzenu morfisms.
⎛1
0⎞
Bet šis morfisms nav unitārs morfisms, jo f ( 1) = ⎜ ⎟ nav vienības elements matricu
⎝0
0⎠
gredzenā. Taču, ja aplūkosim gredzenu Im f , tad f ( 1)
būs vienības elements šajā matricu
gredzena apakšgredzenā Im f .
Analoģiski grupām, arī gredzenu klasē tiek aplūkoti dažādi morfismu veidi; tos
neanalizēsim, jo šīs definīcijas tiks vispārīgā formā ievestas patvaļīgās algebru klasēs.
Gredzenu tiešo summu definē kā gredzenu kopu Dekarta reizinājumu, operācijas izpildot
neatkarīgi katrai kortēža koordinātei atsevišķi. Tagad aplūkosim pašu būtiskāko jēdzienu
gredzenu teorijā – ideālu. Šis jēdziens ir pamatā gredzena kongruences un faktorgredzena
definīcijām klasiskajā variantā; faktiski ideāla loma gredzenu klasē ir analoģiska normālās
apakšgrupas lomai grupu klasē.
Definīcija 2.20. (Ideāls). Gredzena K apakškopu I sauc par gredzena K ideālu un apzīmē
I < K , ja tai izpildās sekojošas īpašības:
(I 1 ) ∀ x, y ∈ K ( x,
y ∈ I ⇒ x + y ∈ I ),
(I 2 ) 0
K
∈ I ,
(I 3 ) ∀ x ∈ K ( x ∈ I ⇒ ( − x)
∈ I ),
(I 4 ) ∀ x, y ∈ K ( x ∈ I ⇒ x ⋅ y ∈ I ∧ y ⋅ x ∈ I ).
Piezīme. Uzmanīgi aplūkojiet aksiomu (I 4 ). Tā ir vienīgā atšķirība ideāla un apakšgredzena
definīcijās ( lai reizinājums būtu ideāla elements, pietiek, ka viens no reizinātājiem pieder
ideālam!).
Definīcija 2.21. Par gredzenu morfisma f : K → L kodolu sauc gredzena K apakškopu
Ker f = x ∈ K / f x = 0 .
{ ( ) }
23

Teorēma 2.7. Gredzenu morfisma f : K → L kodols ir gredzena K ideāls.
Pierādījums. Jāpārbauda, ka kopai Ker f izpildās visas ideāla definīcijā norādītās īpašības:
x,
y ∈ Ker f ⇒ f x = 0, f y = 0 ⇒
( ) ( ( ) ( ) )
(I 1 )
( f ( x + y) = f ( x) + f ( y)
= 0 + 0 = 0) ⇒ (( x + y)
∈ I ) .
Līdzīgi pārbauda pārējās īpašības.
Definīcija 2.22. Dots ideāls I gredzenā K. Saka, ka divi elementi
x, y ∈ K ir kongruenti
pēc moduļa I un pieraksta x ≡
I
y vai x ≡ y (mod I ) , ja ( x − y) ∈ I .
Definīcija 2.23. (Kongruence, universālā pieeja). Ekvivalenci ≈ gredzenā K sauc par
kongruenci, ja tā ir "saistīta" ar visām gredzena signatūras operācijām, kuru aritāte nav 0:
(1) ( x
1
≈ x2
∧ y1
≈ y2
) ⇒ ( x1
+ y1
≈ x2
+ y2
),
(3) ( x ≈ y) ⇒ (( − x) ≈ ( − y)
),
(4) ( x1 ≈ x2
∧ y1
≈ y2
) ⇒ ( x1
⋅ y1
≈ x2
⋅ y2
).
Teorēma 2.8.
1. Attiecība ≡
I
ir ekvivalence gredzenā K.
2. Ekvivalencei ≡
I
atbilstošais sadalījums S
I
sastāv no ideāla I, blakusklasēm:
{ x + I x ∈ K} = { x x ∈ K}
S I
= / / .
3. Attiecība ≡
I
ir kongruence gredzenā K.
4. Jebkurai kongruencei ≈ gredzenā K atbilst viennozīmīgi noteikts gredzena K ideāls I,
kuram atbilstošā kongruence ≡
I
sakrīt ar kongruenci ≈.
Pierādījums. 1. Pierada ar formālu ekvivalences trīs aksiomu pārbaudi.
2. Pēc definīcijas: ekvivalencei atbilstošā sadalījuma klase x sastāv no visiem gredzena K
elementiem, kas ir ekvivalenti ar x; tātad
x = { y ∈ K / y ≡
I
x} = { y ∈ K / ( y − x)
∈ I}
=
{ y ∈ K / ∃i
∈ I ( y − x = i)
} = { y ∈ K / ∃i
∈ I ( y = x + i)
} = x + I .
Prasītais pierādīts.
3. Pierāda, pārbaudot, ka ekvivalencei izpildās kongruences definīcijā (def. 2.23.) norādītās
īpašības. Pārbaudīsim sarežģītāko no šīm īpašībām:
( x1
≡
I
x2
∧ y1
≡ y2
) ⇒ ( ∃i1
, i2
∈ I ( x2
= x1
+ i1
∧ y2
= y1
+ i2
))
⇒
(4) ∃i1
, i2
∈ I ( x2
⋅ y2
= ( x1
+ i1
) ⋅ ( y1
+ i2
) = x1
⋅ y1
+ x1
⋅i2
+ i1
⋅ y1
+ i1
⋅ i2
) ⇒
∃i
∈ I ( x2
⋅ y2
= x1
⋅ y1
+ i) ⇒ ( x2
⋅ y2
− x1
⋅ y1
) ∈ I ⇒ ( x2
⋅ y2
≡
I
x1
⋅ y1
).
Pierādījumā elementu i izvēlējāmies vienādu ar ( x ⋅ i + i ⋅ y + i ⋅ )
ideālam I seko no ideāla definīcijas.
1 2 1 1 1
i2
4. Dota kongruence ≈. Aplūkojam gredzena K apakškopu = { x ∈ K / x ≈ 0}
I .
; tas, ka i pieder
Jāpārbauda, ka I ir ideāls un tam atbilstošā kongruence ≡
I
sakrīt ar kongruenci ≈.
Pierādījums analoģisks teorēmas 2.6. pierādījumam.
Piezīme. Šīs teorēmas būtība ir sekojoša: "universālā kongruence" un uz tās bāzes veidotā
"universālā faktorizācija" gredzenu gadījumā sakrīt ar tradicionālo gredzena faktorizāciju
pēc ideāla. Faktorizācija ir svarīgākais un arī konstruktīvi sarežģītākais no šajā lekcijā
aplūkotajiem pamatjēdzieniem. Redzam, ka gredzenu gadījumā visa faktorizēšanas teorija
var balstīties uz ideāla jēdziena, kas ir daudz vienkāršāks un dziļi izpētīts. Protams, pārejot
uz vispārīgām algebriskām struktūrām, par pamatu būs jāizvēlas "universālā kongruence".
Bet ar to ideāla loma nebeidzās. Starp visām algebrisko struktūru klasēm (algebru klasēm)
var izdalīt algebru klašu grupu, kurās iespējams definēt jēdziena "ideāls" vispārinājumu.
24

Tas iespējams gadījumā, ja algebru klases signatūra satur operācijas ( + 0,
−)
, , attiecībā pret
kurām algebra veido Ābela grupu. Lekciju beigsim ar faktorgredzena definīciju.
Definīcija 2.24. (Faktorgredzens). Gredzenā K dota kongruence ≈ . Aplūkosim faktorkopu
K = { Ai
/ i ∈ I} = { ai
/ i ∈ I}
.
≈
( { A i
} – sadalījuma klases – faktorkopas elementi; { a i
} – pilnā pārstāvju sistēma; katra
klase pierakstīta vienu reizi).
Kopā K definētas operācijas:
≈
def
a) x + y = x + y
b) 0 def
= K
0 ,
c) − x def = − x ,
def
d) x ⋅ y = x ⋅ y .
Kopa K ar ievestajām operācijām veido gredzenu, kuru sauc par gredzena K
≈
faktorgedzenu un apzīmē ⎜
⎛ K , Ω ⎟
⎞
⎝ ≈
K .
≈ ⎠
Faktorgredzena definīcijas korektumu pārbauda analoģiski faktorgrupas definīcijas
korektuma pārbaudei.
Uzdevums. Dots gredzens K un tā ideāls I. Aprakstīt kongruenci ≡
I
, sadalījumu S
I
un
faktorgredzenu
1. { } < K
K sekojošos gadījumos:
I
0 ,
2. K < K ,
3. ( 3) = 3Z < Z ,
4. ( x 1) < R[ x]
2 + ,
R – polinomu gredzens ar reāliem koeficientiem no viena mainīgā,
[ x]
x 2 +1 – ideāls , kas sastāv no visiem polinomiem ( x)
( )
saucamais galvenais ideāls, kura veidotājelements ir polinoms x 2 + 1).
f , kuri dalās ar ( x
2 +1)
. (Tā
25

3. lekcija
Ω-algebras, algebru varietātes.
Balstoties uz otrajā lekcijā aplūkotajām konstrukcijām grupās un
gredzenos, tiek ievesti šo konstrukciju vispārinājumi patvaļīgās
Ω-algebrās – algebrās ar fiksētu signatūru. Tiek aplūkotas
speciālas algebru klases: varietātes un kvazivarietātes.
3.1. Ω-algebras (fiksētas signatūras algebras)
Iepriekšējo lekciju piemēros mēs faktiski jau bijām nonākuši pie algebriskās struktūras
(algebras) un algebru klases definīcijām. Faktiski algebru nosaka kopa (mēs pētīsim tikai
vienšķiru algebras; nav būtisku atšķirību starp vienšķiru un vairākšķiru algebrām, taču tas
ļoti sarežģī definīciju un teorēmu pierakstu un to saturs kļūst grūtāk izprotams), operācijas
un aksiomas.
Sāksim ar pašu vispārīgāko algebru klasi, klasi, kuru nosaka tikai signatūra – operāciju
saraksts un netiek formulētas nekādas operāciju īpašības – aksiomas.
Ω = Ω a , kur
Definīcija 3.1. Par signatūru sauc pāri ( )
a
,
Ω ir patvaļīga kopa (operāciju nosaukumu kopa),
a : Ω → N 0
-- attēlojums, kas norāda katras operācijas aritāti.
Piezīme. Turpmāk Ω
a
vietā rakstīsim vienkārši Ω.
Definīcija 3.2. Par dotās signatūras Ω algebru jeb vienkārši par Ω-algebru sauc pāri
AΩ = ( A, Ω
A
), kur
A – patvaļīga kopa – algebras elementu kopa,
( )
Ω
A
= { ω
A
/ ω ∈ Ω}
, A a ω
ω
A
: → A – algebras operāciju kopa.
Piezīme. Katram signatūras Ω operācijas nosaukumam algebrā ( A, Ω A
) ir definēta
atbilstošās aritātes algebriska operācija.
Visas iepriekšējās lekcijās aplūkotās (vienšķiru) algebras ir Ω-algebru piemēri. Tomēr
atzīmēsim dažas nianses. Ja signatūra satur tikai galīgu operāciju nosaukumu skaitu (un,
protams, mūs pamatā interesē tieši šādas algebras), tad signatūru var aprakstīt uzskaitot
visas operācijas un noradot to aritātes.
−1
Aplūkosim signatūras Ω
1
= {( ⋅, 2)
}, Ω
2
= {( ⋅,
2) , ( e,
0)
}, Ω3
= {( ⋅,
2) , ( e , 0) , ( , 1)
}.
Tad pusgrupa ir Ω1-algebra, bet nav Ω
2
-algebra un Ω3
-algebra;
monoīds ir Ω1-algebra un Ω
2
-algebra, bet nav Ω3
-algebra;
grupa ir gan Ω1-algebra, gan Ω
2
-algebra, gan Ω3
-algebra.
Konkrētu algebru var interpretēt kā Ω-algebru dažādos veidos. Piemēram, gredzenu K var
interpretēt kā Ω1-algebru, uzskatot par pamatoperāciju (vienīgo operāciju, kas jādefinē šajā
signatūrā) gan reizināšanu, gan saskaitīšanu; var izvēlēties arī atvasinātu operāciju:
piemēram, definējot ( x − y) = x + ( − y)
un aplūkojot pāri ( K , −)
, iegūstam vēl vienu K
interpretāciju kā Ω1-algebru.
26

3.1.1. Ω-algebru apakšalgebru struktūra
Definīcija 3.3. Dota signatūra Ω. Saka, ka Ω-algebra B
Ω
ir Ω-algebras A
Ω
apakšalgebra
un apzīmē B
Ω
< AΩ
, ja
(1) B ir A apakškopa,
(2) ∀ ω ∈Ω (( ω A
) | B = ω B
).
Otrā īpašība norāda, ka operācijas apakšagebrā B
Ω
ir Ω-algebras A
Ω
operācijas; tikai
sašaurināts to definīcijas apgabals.
Visu Ω-algebras A
Ω
apakšalgebru kopu apzīmēsim ar Sub ( A Ω
). Šī kopa veido interesantu
matemātisku struktūru, ar kuru sīkāk var iepazīties ([Kon], 2.4, 2.5). Atzīmēsim tikai dažas
svarīgākās Sub ( A Ω
) īpašības.
Definīcija 3.4. Dota sakārtota kopa ( A , p)
un tās apakškopa X ( p – nestingrs
sakārtojums).
Kopas A elementu m sauc par apakškopas X precīzu apakšējo robežu (infīmu) un apzīmē
X ∀ y ∈ A y p X ⇒ y p m ; X
∀ x ∈ X y p x .
inf ( ), ja ( )
Līdzīgi definē arī precīzu augšējo robežu sup ( X )
y p nozīmē, ka ( )
. Ne visiem sakārtojumiem un ne visām
apakškopām eksistē infīmi un suprēmi. Taču apakšalgebru sakārtojumā tie eksistē.
Nākošajā teorēmā atzīmētas dažas no apakšalgebru struktūras svarīgākajām īpašībām.
Teorēma 3.1. Dota algebra A
Ω
.
1. ( Sub( A
Ω
),
< ) ir sakārtota kopa.
2. Sub ( A Ω
) ir slēgta attiecībā pret šķēluma operāciju:
a) X Y ∈Sub(
A ) ⇒ X ∩Y
∈Sub(
A ) ,
,
Ω
Ω
⎛
⎞
b) ( ∀i
∈ I ( X i
∈Sub ( A
Ω
))) ⇒ ⎜I
X i
∈Sub( A
Ω
)⎟ .
⎝ i∈I
⎠
A Ω
M = X
i
/ i ∈ I eksistē precīza apakšējā robeža,
un to atrod šādi:
inf M = .
3. Jebkurai kopas Sub ( ) apakškopai { }
( ) I
i∈I
X i
4. Jebkurai kopas Sub ( A Ω
) apakškopai M = { X
i
∈ ( A ) / Ω
i ∈ I}
augšējā robeža, un to atrod šādi: apzīmēsim U = { Y ∈ Sub ( A ) / Ω
∀i
∈ I X
i
< Y}
sup ( M ) = inf ( U ) .
5. Kopā Sub ( A Ω
) eksistē maksimums – algebra A
Ω
.
6. Kopā Sub ( A Ω
) eksistē minimums. Ar Ω
A
( 0)
apzīmēsim algebras
Ω
kopu – algebras A
Ω
konstanšu kopu. Tad visu algebras
kuras satur visas A
Ω
konstantes, ir Sub ( A Ω
) minimums.
Pierādījums.
1. a) Refleksivitāte ir acīmredzama.
b) Simetriskums. Aplūkosim algebras A
Ω
un B
Ω
; tad
A B ∧ B < A ⇒ A ⊂ B ∧ B ⊂ A ⇒ A =
( ) ( ) ( B)
Ω
<
Ω Ω Ω
.
Arī operācijas šajās kopās ir vienādas:
∀ ω ∈ Ω ω = ω B = ω A = ω .
Tātad
A
Ω
= BΩ
.
( )
B
A
A
c) Transitivitāte. ( A B ∧ B < C ) ⇒ ( A ⊂ B ∧ B ⊂ C) ⇒ ( A ⊂ C)
A
Ω
<
Ω Ω Ω
.
Sub eksistē precīza
, tad
A nullāro operāciju
A
Ω
tādu apakšalgebru šķēlums,
27

Operācijas ir saskaņotas, jo ω ∈ Ω ( ω A = ω B A = ω A = ω )
∀ .
C
2. a) Aplūkosim B
Ω
,CΩ
∈Sub( A
Ω
). Acīmredzami ( B ∩ C) ⊂ A. Definēsim kopā ( B ∩ C)
Ω-algebras struktūru: ∀ω
∈ Ω ω ( ∩ ) = ω ( B ∩ C)
. Jāpārbauda, ka operācija definēta
(
B C A
)
Im ( ω
B∩C
) ⊂ ( B ∩ C)
. Tiešām
( ω ) ⊂ ( Im( ω ) ∩ Im( ω )) ⊂ ( B ∩ C)
korekti, t.i., ka ( )
Im .
( B∩C
)
B
C
b) punkta pierādījums ir analoģisks a) punkta pierādījumam un atšķiras tikai ar garāku
formālo pierakstu.
M = X
i
∈ Sub A / Ω
i ∈ I . No 2.b) seko, ka
3. Aplūkosim kopas Sub ( ) apakškopu { ( ) }
I
A Ω
C
B
A
X = Ω
X ir algebras i
A
Ω
apakšalgebra. Pieņemsim, ka Y
Ω
ir kopas M apakšējā robeža,
i∈I
Z
Ω Ω
<
Ω
. Jāpierāda, ka Y
Ω
< X
Ω
t.i. ∀ ∈ M ( Y Z )
. Tiešām
( ) ( )
⎟ ⎞
⎜ ⎛
∀Z
Ω
∈ M YΩ
< Z
Ω
⇒ ∀Z
Ω
∈ M Y ⊂ Z ⇒ Y ⊂ I Z = X .
⎝ ZΩ∈M
⎠
Algebrās X
Ω
un Y
Ω
operācijas ir saskaņotas, jo faktiski tās ir algebras A
Ω
operāciju
sašaurinājumi. Tātad Y
Ω
< X
Ω
.
4. Pierādījums līdzīgs iepriekšējā punkta pierādījumam.
5. Acīmredzams apgalvojums.
6. Apzīmēsim mAΩ = X
Ω
. Acīmredzami mA
Ω
ir kopas Sub ( A Ω
) minimums, jo
I
X Ω∈Sub
Ω
∈ ( A
Ω
) ( mAΩ
< X
Ω
)
( A )
∀X
Sub .
Teorēma pierādīta.
Ω
Sekas. No teorēmas 1., 3. un 4. punktiem seko, ka ( (
Ω
),
< )
jebkuriem diviem elementiem X Y Sub( ) eksistē inf { X , } un { X , }
Sub A ir sakārtota kopa, kurā
Ω
,
Ω
∈ AΩ
Ω
Y Ω
sup
Ω
Y Ω
.
Šāda veida sakārtotas kopas sauc par struktūrām (atkal redzam, ka kārtējais matemātiskais
termins – "struktūra" tiek izmantots kā šaurā tā plašā nozīmē).
3.1.2. Ω-algebru morfismi
Atzīmēsim, ka universālajā algebrā ērti lietot pierakstu, kurā attēlojuma vai operācijas
simbols rakstīts aiz mainīgo saraksta.
Definīcija 3.5. Dotas Ω-algebras A
Ω
un B
Ω
, attēlojums f : A → B un ω ∈ Ω( n)
. Saka, ka
attēlojums f saskaņots (saistīts) ar operāciju ω, ja
(( a a Ka
ω ) f ( a f )( a f ) K( a f ) ω )
∀ a
.
1
, a2
, K,
an
∈ A
1 2 n A
=
1 2
Attēlojumu f sauc par Ω-algebru morfismu, ja f ir saskaņots ar visām operācijām ω ∈ Ω .
Tāpat kā grupās tiek definēti speciāla veida morfismi: epimorfismi, monomorfismi,
izomorfismi, endomorfismi un automorfismi (skat. 2. lekc.).
Morfisma f : A → B kodols ir attiecība ≡
f
kopā A, kuru definē šādi:
x ≡
f
y ⇔ xf = yf .
Viegli pārbaudīt, ka ≡
f
ir ekvivalence.
Ja eksistē monomorfisms f : A → B , tad saka, ka algebru A
Ω
var ievietot algebrā B
Ω
.
Ja eksistē epimorfisms f : A → B , tad saka, ka algebra B
Ω
ir algebras A
Ω
morfisks attēls.
Ω-algebras
End ;
A endomorfismu kopu apzīmē ar ( )
Ω
A Ω
n
B
28

Ω-algebras
Ω
Aut A Ω
.
Ja f : A → B un g : B → C ir Ω-algebru morfismi, tad attēlojumu kompozīcija
(reizinājums) f o g : A → C , kuru definē ar formulu x ( f o g) = ( xf )g arī ir Ω-algebru
morfisms.
A automorfismu kopu apzīmē ar ( )
Teorēma 3.2. Dota Ω-algebra A
Ω
.
1. ( End( A Ω
),
o)
ir monoīds.
2. ( Aut( A
Ω
),
o)
ir grupa.
Pierādījums ir formāla monoīda un grupas aksiomu pārbaude. Sīkāk ar šo struktūru uzbūvi
var iepazīties [Plotk].
3.1.3. Ω-algebru tiešais reizinājums
Algebrā pastāv divi jēdzieni: tiešā summa un tiešais reizinājums. Ja algebru skaits ir galīgs,
tad šie jēdzieni sakrīt; taču ja algebru skaits ir bezgalīgs, tad šie jēdzieni ir būtiski atšķirīgi.
Šajā paragrāfā aplūkosim tikai algebru tiešo reizinājumu, ko var uzskatīt par Dekarta
reizinājuma tiešu vispārinājumu.
Fiksēsim signatūru Ω un visas algebras
Definīcija 3.6. Aplūkosim Ω-algebru saimi ( A i
) i∈
I
. Ar P apzīmēsim šo kopu Dekarta
reizinājumu ar projekcijām ε : P → A . Jebkuru P elementu a viennozīmīgi nosaka tā
projekcijas
i
aε
i
un jebkura elementu saime ( )
i
kuram i ∈ I ( a
i
= a( i)
)
pierakstu: a ( a( 1) , a( 2) , K,
a( m)
)
operācijai ∈ Ω( n)
i
a i ∈ A viennozīmīgi nosaka elementu a ∈ P ,
∀ ε . (Protams, ja I ir galīga kopa, tad varam lietot arī klasisko
= ). Tātad, ja a , a , , a ∈
1 2
K
n
P , tad katrai signatūras
ω varam definēt a 1
a 2
Ka n
ω , norādot operācijas rezultāta katras
projekcijas (koordinātes) vērtību:
( a1 a2
Kanω
) ε
i
= ( a1ε
i
)( a2ε
i
) K( anε
i
) ω
i
. (*)
Iegūto Ω-algebru ( P, Ω P
) sauc par algebru ( A i
) i∈
I
tiešo reizinājumu un apzīmē ar ∏ A
i
.
Vienādība (*) parāda, ka projekcijas ε : P → A ir Ω-algebru morfismi.
3.1.4. Kongruence Ω-algebrā
i
Definīcija 3.7. Ekvivalences tipa attiecību ≈ kopā A sauc par kongruenci Ω-algebrā
ja tā ir saistīta ar visām operācijām ω ∈ Ω( n)
, t.i., ja
ω ∈ Ω ( ∀k
∈ ( 1,
2, , n) ( a ≈ b ) ⇒ ( a a Ka
ω ≈ b b Kb
ω ))
∀ .
K
k k 1 2 n 1 2
Kongruencei ≈ atbilstošo sadalījumu apzīmēsim ar S = { A i ∈ I} = { a i ∈ I}
i
≈ i
i
/
n
/ .
Teorēma 3.3. Ω-algebru morfisma f : A → B kodols ir kongruence Ω-algebrā A
Ω
.
Pierādījums. Jāpārbauda, ka ekvivalence Ker f ir saistīta ar visām signatūras Ω operācijām.
Tiešām, ja ω ∈ Ω( n)
, tad
( ∀k
( a ≡ b )) ⇒ ∀k
( a f = b f )
k f k
(
k k
) ⇒
(( a1
f )( a2
f ) K( an
f ) ω = ( b1
f )( b2
f ) K( bn
f ) ω ) ⇒
(( a a Ka
ω ) f = ( b b Kb
ω ) f ) ⇒ ( a a Ka
ω ≡ b b Kb
ω ).
Teorēma pierādīta.
1
2
n
1
2
n
1
2
n
f
1
2
n
i∈I
A
Ω
,
29

Algebras
Ω
Kon A Ω
. Šajā kopā var ievest attiecību
p . Teiksim, ka kongruence ≈
1
ir kongruences ≈
2
apakškongruence un pierakstīsim
≈1p ≈ 2
, ja ∀ x, y ∈ A (( a ≈1
b) ⇒ ( a ≈
2
b)
). Tā kā kongruence ir attiecība kopā A, tad tām
ir definēta šķēluma operācija. Nākošajā teorēmā formulētas galvenās kongruenču kopas
īpašības.
Teorēma 3.4. Aplūkosim algebras A
Ω
visu kongruenču kopu ar attiecību p :
K A
= ( Kon( A Ω
),
p)
.
1. K
A
ir sakārtota kopa.
2. K
A
ir slēgta attiecībā pret šķēluma operāciju:
a) X , Y ∈ K
A
⇒ X ∩Y
∈ K
A
,
⎛ ⎞
b) ( ∀i ∈ I ( X
i
∈ K
A
)) ⇒ ⎜I
X
i
∈ K
A
⎟ .
⎝ i∈I
⎠
3. Jebkurai kopas K
A
apakškopai M = { X
i
/ i ∈ I}
eksistē precīza apakšējā robeža, un to
atrod šādi:
inf M = .
A visu kongruenču kopu apzīmēsim ar ( )
( ) I
i∈I
X i
4. Jebkurai kopas K
A
apakškopai M { X
i
∈ K
A
i ∈ I}
un to atrod šādi: apzīmēsim U { Y ∈ K
A
∀i
∈ I X
i
p Y}
sup ( M ) = inf ( U ) .
= / eksistē precīza augšējā robeža,
= / , tad
5. Kopā K
A
eksistē maksimums – vienības kongruence ≈
e
; šajā kongruencē visi A
Ω
elementi tiek uzskatīti par kongruentiem.
6. Kopā K
A
eksistē minimums – nulles kongruence ≈
0
( faktiski tā ir vienādība algebrā
A
Ω
).
Teorēmas pierādījums ir analoģisks teorēmas 3.1. pierādījumam.
3.1.5. Ω-algebras faktoralgebra
Definīcija 3.8. Dota Ω-algebra A
Ω
un tās kongruence ≈ . Aplūkosim faktorkopu
A = { Ai
/ i ∈ I} = { ai
/ i ∈ I}
.
≈
Katrai ω ∈ Ω( n)
kopā A definēsim n-āru operāciju ω
≈
A
:
≈
x
x ω x x Kxnω
.
1
x2
K
n A
=
1 2
≈
A
Ω-algebru
Ω
= ⎜
⎛ A , Ω ⎟
⎞
≈ ⎝ ≈
A
sauc par Ω-algebras A
≈ ⎠
Ω
faktoralgebru pēc kongruences
≈.
Jāpārbauda definīcijas korektums; tas nozīmē, ka jāpārbauda, ka operācijas rezultāts nav
atkarīgs no sadalījuma klases pārstāvja izvēles:
( ∀i
( x = y
) ⇒ ∀i
( x ≈ y )
x
i
i
( ) ⇒ ( x x x ω ≈ y y K y ω ) ⇒
i
i
1
2
K
n A 1 2
1
x2
K xnω
A
= x1x2
Kxnω
= y1
y2
K ynω
= y1
y2
K ynω
A
.
≈
≈
Korektums pierādīts.
Uzdevums. Aprakstiet faktoralgebras
AΩ un
≈
e
A Ω
≈ 0
.
n
A
30

Dota Ω-algebra A
Ω
un tās kongruence ≈. Aplūkosim attēlojumu kan : A → A , kur
≈
kan ( a) = a . No faktoralgebras definīcijas seko, ka kan ir morfisms, turklāt tas ir
epimorfisms. Šo morfismu sauc par kanonisko morfismu no algebras uz faktoralgebru. Lai
nesarežģītu pierakstu turpmāk algebru A bieži apzīmēsim vienkārši ar A.
Ω
Teorēma 3.5. ( Teorēma par morfismiem)
Dots Ω-algebru morfisms f : A → B . Tad eksistē vienīgais morfisms ϕ : A → B ,
Ker( f )
kuram izpildās vienādība kan o ϕ = f ; šis morfisms ir monomorfisms, un, tātad,
A ≅ Im
( ) ( f ) .
Ker f
Pierādījums. Lai labāk saprastu pierādījumu, attēlosim visus aplūkojamos morfismus
"komutatīvas diagrammas" veidā.
A
f
B
kan
ϕ
A / Ker(f)
No dotā seko, ka a ( kan o ϕ ) = af ⇒ ( a kan) ϕ = af ⇒ aϕ
= af
viennozīmīgi noteikts ar formulu ∀a ∈ A
( ) ( a ϕ = af )
Ker f
izpildās prasītā vienādība. Jāpārbauda sekojoši punkti:
1. Attēlojums nav atkarīgs no sadalījuma klases pārstāvja izvēles. Tiešām,
( a b) ⇒ ( aϕ = af = bf = bϕ )
= .
2. Attēlojums ir morfisms (saskaņots ar visām algebras operācijām):
( a1ϕ
)( a2ϕ
) K( anϕ ) ω = ( a1
f )( a2
f ) K( an
f ) ω =
( a a Ka
ω ) f = ( a a Ka
ω ) ϕ = ( a a K a ω )ϕ
1
2
n
3. Attēlojums ir monomorfisms:
aϕ = bϕ
⇒ af = bf ⇒ a ≡
f
b ⇒ a = b .
1
2
( ) ( ) ( ) ( )
n
1
2
n
. Redzam, ka attēlojums ϕ ir
. Skaidrs, ka šādam attēlojumam
Teorēma pierādīta.
Šī teorēma pēc būtības apgalvo, ka dotās algebras morfisko attēlu kopa un algebras
faktoralgebru kopas ir vienādas.
Rezumējums. Visas otrajā lekcijā aplūkotās konstrukcijas tagad ir definētas patvaļīgām Ω-
algebrām. Mēs redzam, ka ir trīs būtiski atšķirīgas metodes, kā no dotām Ω-algebrām
izveidot jaunas Ω-algebras:
1) aplūkot Ω-algebras apakšalgebras,
2) aplūkot Ω-algebru saimes tiešo reizinājumu ,
3) aplūkot Ω-algebras morfiskos attēlus jeb faktoralgebras.
31

3.2. Ω-algebru klases
Skaidrs, ka aplūkojot visu Ω-algebru kopu, kurā operācijām nepiemīt nekādas īpašības –
aksiomas, mēs nevarēsim iegūt nopietnus algebriskus rezultātus; tāpēc mēs tagad
pievērsīsimies Ω-algebru kopas apakškopām, sauksim tās par klasēm. Ja kāda no
aplūkojamām klasēm satur algebru A, tad uzskatīsim, ka tā satur arī visas algebrai A
izomorfās algebras un būtībā uzskatīsim izomorfās algebras par vienādām. Īpašu interesi
izraisa algebru klases, kuras ir slēgtas attiecībā pret iepriekšējā iedaļā aplūkotajām
konstrukcijām. Visu Ω-algebru klasi apzīmēsim ar ( Ω ).
Definīcija 3.9.
1. Saka, ka algebru klase K ( Ω)
ir S-slēgta ( slēgta attiecībā pret apakšalgebrām), ja
( A ∈ K( Ω)
∧ B < A) ⇒ ( B ∈ K( Ω)
).
2. Saka, ka algebru klase K ( Ω)
ir P-slēgta ( slēgta attiecībā pret tiešajiem reizinājumiem),
ja
⎛
⎞
( ∀i
∈ I ( Ai ∈ K( Ω)
)) ⇒ ⎜∏
Ai
∈ K( Ω)⎟ .
⎝ i∈I
⎠
3. Saka, ka algebru klase K ( Ω)
ir Q-slēgta ( slēgta attiecībā pret faktoralgebrām), ja
A ∈ K Ω ∧ ≈∈ Kon A ⇒ A ∈ K Ω .
( )
( ( ) ( ( ))) ( )
≈
4. Algebru klases, kas ir S-slēgtas, P-slēgtas un Q-slēgtas sauc par algebru varietātēm.
5. Algebru klases, kas ir S-slēgtas un P-slēgtas sauc par algebru kvazivarietātēm.
Otrajā lekcijā faktiski bija pierādīts, ka tādas algebru klases, kā pusgrupas, monoīdi, grupas,
gredzeni ir algebru varietātes. Lauku klase nav algebru varietāte, jo lauku tiešais
reizinājums nav lauks.
Parasti tiek aplūkotas algebru klases, kurās izpildās noteiktas aksiomas. Aprakstīsim, ko
mēs saprotam ar vārdu "aksioma" Ω-algebru klasē. Precīzas šo jēdzienu definīcijas tiek
aplūkotas predikātu loģikas un algebriskās loģikas kursos.
Dotās signatūras Ω terms. Fiksējam mainīgo kopu X; parasti izvēlas sanumurējamu kopu
X = { x , x , 2
K , x ,K}
. Definēsim kopu T ( , X )
1 m
Ω induktīvi;
1. Dotās signatūras konstantes un mainīgie x ∈ X ir termi (bāzes termi).
2. Ja t , t , 1 2
K , tn
ir termi un ω ∈ Ω( n)
, tad t 1
t 2
Kt n
ω arī ir terms.
3. Visi termi ir iegūstami ar pirmajos divos punktos aprakstītajām operācijām.
Vienādība dotajā signatūrā ir izteiksme t
1
= t2
, kur t 1
un t 2
ir termi.
Predikātu loģikas formula dotās signatūras algebrām ir predikātu loģikas formula, kurā par
bāzes predikātiem izmantotas vienādības dotajā signatūrā. Uzskatīsim, ka algebru klašu
aksiomas ir pierakstītas tieši šādā veidā. Šīm predikātu loģikas formulām jābūt slēgtām, tas
nozīmē, ka visi mainīgie formulā ir saistīti (ar kvantoriem). Konkrētā Ω-algebrā šī
predikātu loģikas formula pārvēršas par izteikumu. Ja visas aksiomas ir patiesi izteikumi
konkrētā algebrā, tad uzskatām, ka algebra pieder algebru klasei, kas aprakstīta ar
aksiomām. Ω-algebru klases, kas aprakstītas tikai ar aksiomām, sauc par aksiomatizējamām
algebru klasēm.
Identitātes ir aksiomas, kuras pierakstāmas šādā formā:
( t ( x , x , K,
x ) t ( x , x , x ))
1, x2
, K , xn
1 1 2 n
=
2 1 2
K
∀ x ,
n
.
Parasti, pierakstot identitātes, formulā atstāj tikai algebrisko vienādību.
Kvaziidentitātes ir aksiomas, kuras pierakstāmas šādā formā:
∀x
, x u = v ∧ u = v ∧K
∧ u = v ⇒ u v ,
šeit
u
((( ) ( ) ( )) ( ))
1
K,
n 1 1 2 2
m m
=
i
, vi
, u,
v ir termi, kas atkarīgi no mainīgajiem x , x , 2
, xn
1
K .
32

Teorēma 3.6. Dota Ω-algebru klase K ( Ω)
, kura aprakstīta ar identitātēm ID (identitāšu
kopa). Tad K ( Ω)
ir algebru varietāte.
Piezīme. Patiess ir arī apgrieztais apgalvojums (Birhhofa teorēma).Tā ir viena no
universālās algebras svarīgākajām teorēmām, taču tās pierādījums ir ļoti sarežģīts un
izmanto metodes, kas mūsu kursā netiek aplūkotas.
Pierādījums.
1. ( Ω)
patvaļīga K ( Ω)
identitāte; tad
K ir S-slēgta. Pieņemsim, ka algebra B ir algebras A apakšalgebra un t
1
= t2
( ∀x1,
K,
xm
∈ A ( t1( x1,
K,
xm
) = t2
( x1,
K,
xm
)))
( ∀x
, K,
x ∈ B ( t ( x , K,
x ) = t ( x , K,
x ))).
1
m
1
1
m
2
1
Prasītais pierādīts.
2. K ( Ω)
ir P-slēgta. Pierādījums seko no tā, ka tiešā reizinājuma katrai koordinātei
identitātes izpildās; tātad izpildās arī reizinājuma kortēžiem.
K Ω ir Q-slēgta. Ja ≈ ir kongruence algebrā A un u = v identitāte, kas izpildās algebrā
3. ( )
A, tad u ( x K , x ) u( x , K,
x ) = v( x , K,
x ) = v( x , , x )
m
⇒
1, m 1 m 1 m 1
K
faktoralgebrā.
Teorēma pierādīta.
Līdzīgi pierāda sekojošu teorēmu.
= ; tātad izpildās arī jebkurā
Teorēma 3.7. Dota Ω-algebru klase K ( Ω)
, kura aprakstīta ar kvaziidentitātēm KID
(kvaziidentitāšu kopa). Tad K ( Ω)
ir algebru kvazivarietāte.
Arī šīs teorēmas apgrieztais apgalvojums ir patiess. Sīkāk ar algebru varietāšu,
kvazivarietāšu un citu aksiomatizējamo algebru klašu teoriju var iepazīties, piem., ([Kon],
4., 6., nodaļas). Tālākais mūsu mērķis ir parādīt, ka visas galīgi bāzētas Ω-algebras kā arī
visas galīgi bāzētas Ω-algebras fiksētā algebru varietātē faktiski var iegūt no vienas Ω-
algebras izmantojot definētās konstrukcijas. Algebru, kas būs pamatā visu dotās algebru
varietātes algebru izveidošanai sauksim par universālo algebru. Lai šos jēdzienus varētu
precīzi pierakstīt un uzskatāmi demonstrēt, nākošajā lekcijā tiks aplūkots viens no
vispārīgākajiem matemātiskajiem objektiem, kurš apraksta ne tikai algebriskas struktūras,
bet ir sastopams praktiski visās matemātikas nozarēs. Šis objekts ir kategorija . Komutatīvo
diagrammu valoda, kas raksturīga kategoriju teorijai, palīdzēs mums labāk izprast
aplūkojamo algebrisko konstrukciju būtību.
m
33

4. lekcija
Kategorijas jēdziens un komutatīvo diagrammu valoda.
4.1. Ievads
Lekcijā dots priekšstats par vienu no universālākajām
matemātiskajām teorijām – kategoriju teoriju, kuras objekti var būt
patvaļīgas matemātiskas struktūras. Parādīts kā komutatīvo
diagrammu valoda palīdz uzskatāmi pierakstīt sarežģītus
apgalvojumus, kas saistīti ar attēlojumu kompozīcijām
Izpratne ir viena realitātes tipa pārveidošana
citā realitātes tipā.
Klods Levī-Strauss.
Šīs lekcijas mērķis ir dot vispārīgu priekšstatu par kategorijas jēdzienu un kategoriju
teorijas vietu matemātikā. Sākumā atzīmēsim, ka visās matemātikas nozarēs ir divi
svarīgākie jēdzieni, uz kuriem bāzējās aplūkojamā teorija:
1) objekti: parasti tās ir kopas ar zināma veida struktūru; kopu teorijā – kopas, algebrā – Ω-
algebras, topoloģijā – topoloģiskās telpas, matemātiskajā analīzē – reālie vai kompleksie
skaitļi, skaitļu teorijā – veselie skaitļi, diferenciālajā ģeometrijā – diferencējamas varietātes,
utt.;
2) funkcijas jeb attēlojumi no viena objekta otrā ( A→
f B ); kopu teorijā – attēlojumi,
algebrā – morfismi, topoloģijā – nepārtraukti attēlojumi, matemātiskajā analīzē – funkcijas,
skaitļu teorijā – funkcijas, kas atbilst veselām izteiksmēm, diferenciālajā ģeometrijā –
diferencējami pārveidojumi, utt. .
Divdesmitā gadsimta sākumā, kad daudzas matemātiskās teorijas bija jau ļoti sīki izpētītas,
radās nepieciešamība atrast vienotu pamatu visām matemātikas teorijām. Protams, ka šis
pamats bija kopa. Jebkuras matemātiskās teorijas pamatobjekts tika interpretēts kā kopa ar
noteiktu matemātisku struktūru. Kopu teorijas fanāti pavisam neuztraucās par to, ka jebkurā
matemātiskā teorijā ir nepieciešami arī attēlojumi. Šo jautājumu viņi atrisināja ļoti
vienkārši, definējot attēlojumu kā divu kopu Dekarta reizinājuma apakškopu, kurai izpildās
funkcionālā īpašība. Formāli viss bija pareizi, bet šī definīcija izsvītroja no matemātikas
pamatjēdzienu saraksta pēc būtības pašu svarīgāko jēdzienu matemātikā – attēlojumu.
Attēlojuma interpretācija kopu teorijas valodā ir pretrunā ar cilvēka izpratni par attēlojuma
būtību. Kopa ir fiksēts nekustīgs objekts; attēlojums ir kopas pārveidojums – tā ir
kustība. Ja formālā definīcija neatbilst cilvēka intuitīvajam priekšstatam par definējamo
jēdzienu, cilvēks neizprot šo jēdzienu un faktiski nevar izprast arī visu matemātisko teoriju,
kas balstīta uz neizprastiem jēdzieniem. Vienīgais, ko viņš var darīt ir izpildīt formālus
pārveidojumus šajā teorijā kā robots (taču robota darbu daudz veiksmīgāk var realizēt
mūsdienu datori).
Kategoriju teorijas galvenā ideja ir par matemātikas bāzes jēdzieniem izvēlēties gan kopas
gan attēlojumus. Jāsaka, ka attīstot kategoriju teoriju, radās arī otra galējība: ņemot par
pamatu attēlojuma jēdzienu (bultiņu – kustību), nekustīgos objektus – kopas uzskatīt par
atvasinātiem jēdzieniem (bultiņas izeja un ieeja). Arī šo pieeju var precīzi formalizēt, taču
nevar saskaņot ar cilvēka psiholoģiju un intuīciju. Tāpēc klasiskajā kategoriju teorijā ir divi
pamatjēdzieni – kopas un attēlojumi (objekti un morfismi).
Kategoriju teorija ir viena no matemātiskām teorijām, kas saistīta ar visiem matemātikas
virzieniem; tāpēc atcerēsimies dažas epizodes no matemātikas vēstures. Lai gan matemātika
34

ir viena no vecākajām zinātnēm, joprojām nav pat aptuvena apraksta – definīcijas, kas
atbildētu uz jautājumu: "Kas ir matemātika". Pareizāk sakot tādu definīciju ir daudz, bet
katru no tām atbalsta tikai daļa no matemātiķiem vai arī citu zinātņu pārstāvjiem.
Viena no matemātikas definīcijām atrodama K. Marksa līdzgaitnieka F. Engelsa darbos:
"Matemātika ir zinātne par skaitļiem un ģeometriskām formām". Protams, ka šī definīcija ir
smieklīga no mūsdienu matemātikas viedokļa; kas tad tādā gadījumā ir Galuā teorija,
automātu teorija, kopu teorija, utt. Skaidrs, ka nevar aprakstīt matemātiku, norādot
objektus, ko matemātika drīkst pētīt. Diemžēl, mēģinot atrast kādu mūsdienīgāku
matemātikas aprakstu, atšķīru Latvijas padomju enciklopēdijas 6. sējuma 498. lappusi un
izlasīju frāzi: "Matemātika ir zinātne par reālās pasaules kvantitatīvām attiecībām un
telpiskām formām". Faktiski tā ir F. Engelsa definīcija jaunā redakcijā.
Divdesmitā gadsimta pirmajā pusē, kad daudzās matemātikas nozarēs ielauzās kopu teorija,
parādījās iespēja uz kopu teorijas bāzes veidot visu matemātiku. Šeit īpaši vajadzētu atzīmēt
izcilo franču matemātiķu grupu, kas strādāja ar pseidonīmu Nikola Burbaki, un 1935. gadā
nolēma "aksiomātiski aprakstīt visu matemātiku". Rezultātā 40 gadu laikā iznāca apmēram
40 šī darba sējumi; protams, šo darbu var uzskatīt par pašu universālāko matemātikas
aprakstu pasaulē. 1949. gadā Burbaki paziņoja: "Visas matemātiskās teorijas var uzskatīt
par vispārīgās kopu teorijas paplašinājumiem ... es apgalvoju, ka uz šī fundamenta var
uzbūvēt visu mūsdienu matemātikas ēku". Šo frāzi var uztvert kā vēl vienu mēģinājumu
paskaidrot kas ir matemātika. Tā ir zināmā mērā pretstats F. Engelsa definīcijai. Šeit nav
neviena vārda par to, ar ko jānodarbojas matemātikai, bet ir mēģinājums (ja ne priekš
citiem, tad vismaz priekš sevis) uzlikt "tabū" jautājumam par to kādus jēdzienus jāizvēlas
par matemātikas pamatjēdzieniem. Līdzīgi izteicās arī slavenais matemātiķis P. Koens, kurš
1963. gadā atrisināja slaveno kontinum-hipotēzi (šis rezultāts izraisīja sprādzienu kopu
teorijas attīstībā): "Analizējot matemātiskos spriedumus, loģiķi ir nākuši pie pārliecības, ka
kopas jēdziens ir pats svarīgākais matemātikā". Par laimi šī frāze, kuru izteicis klasiskās
formālās matemātikas pārstāvis ir tik neformāla, ka no formālistu viedokļa nesatur nekādu
informāciju. Domāju, ka arī pārējiem matemātiķiem, kas matemātiku neuztver tikai kā
abstraktu formulu virkņu formālu pārveidojumu virkni, bet gan kā zinātnes nozari, kas,
pastāvīgi attīstās un kopā ar citām zinātnes nozarēm palīdz cilvēkam pareizāk izprast un
pārveidot pasauli, kurā mēs dzīvojam, vajadzētu šajā jautājumā piekrist formālistu
uzskatam: " Citētā frāze nesatur nekādu informāciju ." ( Protams, arī pēdējais apgalvojums
nav "pareizs". Psihologi daudz ko varētu pateikt par cilvēku, kurš uzrakstījis citēto frāzi).
Jāatzīmē tomēr, ka tieši franču matemātiķi bija arī vieni no pirmajiem, kas pamanīja, ka
kopu teorijas absolutizēšana neveicina matemātikas attīstību. Renē Toms rakstīja: " Vecā
Burbaki cerība redzēt kā visas matemātiskās struktūras dabīgā veidā tiek iegūtas no kopu
hierarhijas, no to apakškopām un kombinācijām, neapšaubāmi ir tikai ilūzija."
Līdz ar kategoriju teorijas izveidošanos Koena apgalvojums vairs nelikās tik absolūts.
Varbūt, ka ir iespējams kategoriju teorijas valodā aprakstīto matemātiku kaut kādā veidā
formāli uzrakstīt kopu teorijas valodā un pierādīt abstraktas teorēmas par šo teoriju
"izomorfismu", bet faktiski tas maz ko dotu matemātikas attīstībai. Daudz svarīgāks ir
uzdevums atrast tādu formālu un precīzu pieeju matemātikai, kurā definētie pamatjēdzieni
būtu pēc iespējas tuvāki cilvēka intuitīvajiem priekšstatiem par pasauli. Tikai tādā gadījumā
realizēsies tās cilvēka smadzeņu darbības iespējas, ar ko cilvēka domāšana atšķiras no
datora darbības.
Jāatzīst, ka kopu teorijas valoda ir ļoti ērta un precīza pētot dažādas matemātiskās
struktūras. Sevišķi svarīga loma kopu teorijai ir uzdevumos, kas saistīti ar atsevišķa
matemātiskā objekta iekšējās struktūras analīzi (objektu uztveram kā elementu kopu un
analizējam likumsakarības starp kopas elementiem). Taču, analizējot noteiktas klases visu
objektu (piemēram, algebru vai topoloģisko telpu) savstarpējās sakarības, svarīgāka ir
35

attēlojumu un attiecību analīze starp objektiem, nekā konkrēta objekta elementu saraksts
(mēs pat varam aizmirst, ka objekts sastāv no elementiem; ). Precīzāk varētu teikt šādi:
matemātikai, kas vēlas aprakstīt reālo pasauli jāaplūko arī objekti, kuriem nepastāv jēdziens
"objekta elements". Šāda pieeja raksturīga mūsdienu fizikai, sevišķi kvantu mehānikai.
Neviens no fiziķiem nemēģinās aprakstīt elementāro daļiņu kā atsevišķu nedalāmu
elementu vai elementu kopu. Vispār fiziķi labprāt runās par objektu "elektrons" un par viņa
mijiedarbībām ar citiem objektiem (tikai neprasiet viņiem: "No kā sastāv elektrons un kas
tur ir iekšā). Ja Jums sveša kvantu mehānika, tad vismaz pamēģiniet aprakstīt kaķi kā
elementu kopu. Droši vien tas nav vienkārši. Jums būs jāpiekrīt, ka frāze "suns ķer kaķi"
cilvēkam ir saprotamāka nekā frāze "par kaķi sauc kopu, kuras elementus definējam šādi:
...".
Nekādā gadījumā nepretendējot uz kategoriju teorijas kā vienīgās un absolūtās matemātikas
bāzes teorijas lomu, atzīmēsim tikai to, ka atsevišķu (īpaši globālu) matemātisku uzdevumu
risināšanā kategoriju valoda ir daudz piemērotāka nekā kopu teorijas valoda.
4.1. Kategorijas un funktori
Definīcija 4.1. Kategorija K sastāv no
1) objektu klases Ob(K);
2) katram objektu pārim A, B ∈ Ob( K ) atbilstošas morfismu kopas Hom(
A , B)
;
3) morfismu kompozīcijas likuma : ∀ A, B,
C ∈ Ob( K ) definēta morfismu kompozīcija:
Hom( A , B) × Hom( B,
C) → Hom( A,
C)
.
Kategorijā izpildās aksiomas:
( Kat 1.) Kopām Hom(
A , B)
un Hom(
A ', B'
) nav kopīgu elementu, izņemot gadījumu, kad
A = A' un B = B'
; šajā gadījumā morfismu kopas sakrīt.
( Kat 2.) Katram objektam A∈ Ob( K ) atbilst vienības morfisms e ∈ Hom( A,A)
izpildās sekojošas īpašības:
a) ∀ f ∈ ( A,
B) ( eA ⋅ f = f )
Hom ,
b) ∀ f ∈ ( B,
A) ( f ⋅ eA = f )
Hom .
Ā
, kuram
( Kat 3.) Morfismu kompozīcija ir asociatīva: ja f ∈ Hom( A,
B)
, g Hom( B,
C)
h ∈ Hom( C,
D)
, tad ( f ⋅ g) ⋅ h = f ⋅ ( g ⋅ h)
.
∈ ,
Jāatzīmē, ka piemēros, kuri bija pamatā kategoriju teorijas izveidošanai, pamatobjekti
tiešām bija kopas ar noteiktu matemātisku struktūru un morfismi – attēlojumi, kas saskaņoti
ar šo struktūru. Aplūkosim daļu no šiem klasiskajiem piemēriem, lai ilustrētu to, cik plašs ir
kategoriju teorijas pielietojumu lauks.
36

Kategorija Objekti Morfismi
Set Visas kopas Visi attēlojumi starp kopām
Finset Visas galīgas kopas Visi attēlojumi starp galīgām
kopām
Nonset Visas netukšās kopas Visi attēlojumi starp netukšām
kopām
Top Visas topoloģiskās telpas Nepārtraukti attēlojumi starp
topoloģiskām telpām
Vect Lineārās telpas (pār fiksētu Lineārie operatori
lauku)
Mon Monoīdi Monoīdu morfismi
Grp Grupas Grupu morfismi
Ω-alg Dotās signatūras algebras Algebru morfismi
Met Metriskās telpas Saspiedošie attēlojumi
Man Bezgalīgi diferencējamas Gludie attēlojumi
varietātes
Top Grp Topoloģiskās grupas Nepārtrauktie morfismi
Pos Sakārtotas kopas Monotonie attēlojumi
Plane Fiksēta plakne Plaknes izometrijas
Iepriekšējos piemēros objekti bija elementu kopas un morfismi – noteikta veida attēlojumi.
Tagad aplūkosim piemērus, kuros objektiem nebūs elementu un morfismi būs abstraktas
bultiņas.
Piemēri.
1. Kategorija 1. Tās objektu kopa satur vienu objektu, ko apzīmēsim ar a; morfismu kopa
Hom ( a , a) = { f } . No kategorijas definīcijas seko, ka f = eA
. Šīs kategorijas objektus un
morfismus var attēlot diagrammas veidā.
f
a
2. Kategorija 2. Ob ( 2 ) = { 0, 2}
; Hom( 0,0) = { e 0
}; Hom( 1,1) = { e 1
}; ( 0,1) = { f }
Hom ( 1,0) = ∅ . Diagramma:
Hom ;
0 f 1
3. Diskrētās kategorijas. Vispirms atzīmēsim, ka katram kategorijas objektam x eksistē
vienīgais vienības morfisms e
x
. Tiešām, ja e' būtu otrs objekta x vienības morfisms, tad no
37

(Kat 2.) sekotu
e
= e ⋅ e' e'
. Diskrētā kategorija sastāv no patvaļīgas objektu kopas
x x
=
Ob(D) un morfismu kopām: ∀ x ∈ Ob( D ) ( Hom( x,
x) = { })
un ∀x ≠ y ( ( x,
y)
= ∅)
e x
Hom .
4. Kategorija N 0 . Kategorija sastāv no viena objekta N 0 un bezgalīga morfismu (bultiņu)
skaita: Hom( N
0,
N
0
) = { n / n ≥ 0, vesels skaitlis}
. Divu morfismu kompozīciju definē
šādi:
n
⋅
n
def
= m + n ; morfismu kompozīcijas asociativitāte seko no skaitļu saskaitīšanas
asociativitātes.
Definīcija 4.2. Par kovariantu funktoru F no kategorijas K1 kategorijā K2 sauc likumu,
kas
1) katram K1 objektam x piekārto K2 objektu xF,
2) katram kategorijas K1 morfismam f ∈ Hom( x,
y)
piekārto kategorijas K2 morfismu
fF ∈ Hom( xF,
yF ),
tā, ka izpildās sekojošas aksiomas:
∀x ∈ Ob K1 e F = ,
(Fun 1) ( ) (
x
e xF
)
(Fun 2) ∀ f ∈ ( x,
y) ∀g
∈ Hom( y,
z) (( f ⋅ g) F = ( fF ) ⋅ ( gF ))
Hom .
Piemēri.
1. Identisks funktors E
K
no kategorijas K kategorijā K.
−1
2. Aplūkosim funktoru : Grp → Set
, ⋅,
e,
G piekārtosim tās kopu G.
Katru grupas morfismu uzskatīsim par kopu attēlojumu. Šādu funktoru sauc par dzēsošo
funktoru (tas ir identisks attēlojums, kas aizmirst par grupas struktūru).
F . Katrai grupai ( )
Uzdevumi.
1. Aprakstīt kovariantu funktoru, kas attēlo grupu kategoriju Grp monoīdu kategorijā Mon.
2. Aprakstīt kovariantu funktoru, kas attēlo visu gredzenu kategoriju Ring Ābela grupu
kategorijā Ab. Jāatceras, ka jebkurš gredzens attiecībā pret saskaitīšanas operāciju veido
Ābela grupu.
3. Aprakstīt visu grafu kategoriju Graph un definēt funktoru , kas attēlo Graph kategorijā
Set.
Definīcija 4.3. Funktoru F no kategorijas K1 kategorijā K2 sauc par kategoriju
izomorfismu, ja eksistē tāds funktors G no kategorijas K2 kategorijā K1, ka
F ⋅ G = E K1
un G ⋅ F = E K
.
2
E
K 1
un E
K
-- identiskie funktori kategorijās K1 un K2.
2
4.3. Komutatīvās diagrammas
Kategorijas objektus un morfismus ir ērti attēlot diagrammu (orientētu grafu) veidā,
apzīmējot objektus ar punktiem, bet morfismus ar bultiņām. Piemēram, morfismu
kompozīciju varētu attēlot šādi:
f
A B
h g
C
Teiksim, ka šī diagramma ir komutatīva, ja f ⋅ g = h ; tātad neatkarīgi no tā, pa kādu ceļu
mēs no viena objekta "aizejam" uz otru objektu, rezultāts (morfisms) būs viens un tas pats.
38

Definīcija 4.4. Par diagrammu sauksim punktu (objektu) kopu, daži no kuriem ir savienoti
ar bultiņām (morfismiem). Teiksim, ka diagramma ir komutatīva, ja jebkuri divi ceļi šajā
grafā, kas sākas no viena objekta un beidzas vienā objektā, nosaka morfismu kompozīcijas,
kas ir vienādi morfismi.
Parasti diagrammas sastāv no trijstūriem vai četrstūriem. Trijstūrveida komutatīvu
diagrammu jau aplūkojām. Aplūkosim četrstūrveida diagrammu.
f
A B
k g
Šī diagramma ir komutatīva, ja
4.3.1. Morfismu tipi
D m C
f ⋅ g = k ⋅ m .
Atcerēsimies, ka, aplūkojot algebras, mēs definējām dažāda tipa morfismus:
monomorfisms, epimorfisms, izomorfisms, endomorfisms, automorfisms. Kā šos jēdzienus
definēt patvaļīgās kategorijās Skaidrs, ka endomorfismu un automorfismu definēt nav
sarežģīti, jo tie ir morfisms un izomorfisms, kuriem sakrīt izejas un ieejas objekti.
Vienkārša ir arī izomorfisma definīcija.
Definīcija 4.5. Dota kategorija K. Morfismu f : A → B , A, B ∈ Ob( K)
sauc par
izomorfismu ja eksistē tāds morfisms g : B → A , ka f ⋅ g = eA
un g ⋅ f = eB
.
Sarežģītāk ir definēt monomorfismu un epimorfismu. Jāatcerās, ka klasiskajās definīcijās,
kad objekti ir kopas, kas sastāv no elementiem, monomorfisma un epimorfisma definīcijās
tiek izmantoti šo kopu elementi. Atcerēsimies, ka
1) monomorfisms f ir morfisms, kuram no vienādības xf = yf seko vienādība x = y ,
2) epimorfisms f : A → B ir morfisms, kuram ∀ y ∈ B ∃x
∈ A ( xf = y)
.
Mums šie jēdzieni jādefinē, neizmantojot elementa jēdzienu. Pieņemsim, ka f : A → B ir
monomorfisms kategorijā, kuras objekti ir kopas; aplūkosim patvaļīgus morfismus
g : C → A un h : C → A un patvaļīgu x ∈ C . Tad, ja visiem x ∈ C izpildās vienādība
( xh ) f = ( xg) f , tad arī visiem x ∈ C izpildās vienādība xh = xg ; tas nozīmē, ka morfismi
h un g ir vienādi. Tagad varam šo īpašību pārformulēt, neizmantojot elementa jēdzienu.
Definīcija 4.6. Kategorijas K morfismu f : A → B sauc par monomorfismu, ja jebkuram
objektam C ∈ Ob( K)
un jebkuriem morfismiem h : C → A un g : C → A no vienādības
h ⋅ f = g ⋅ f seko vienādība h = g .
Līdzīgi, analizējot epimorfisma īpašības kategorijā, kuras objekti ir kopas, iegūstam
epimorfisma definīciju.
Definīcija 4.7. Kategorijas K morfismu f : A → B sauc par epimorfismu, ja jebkuram
objektam C ∈ Ob( K)
un jebkuriem morfismiem h : C → A un g : B → C no vienādības
f ⋅ h = f ⋅ g seko vienādība h = g .
Ir būtiska atšķirība starp monomorfisma, epimorfisma un izomorfisma jēdzieniem
klasiskajā situācijā, kad objekti ir kopas, un vispārīgajā situācijā.
Teorēma 4.1.
1. Ja f : A → B ir kategorijas K izomorfisms, tad f ir gan monomorfisms gan epimorfisms.
39

2. Kategorijas K morfisms f : A → B , kas ir gan monomorfisms gan epimorfisms ne
obligāti ir kategorijas izomorfisms.
Pierādījums. 1. Pieņemsim, ka f ir izomorfisms; tad tam eksistē apgrieztais izomorfisms
−1
f . Pieņemsim, ka morfismiem h un g izpildās vienādība hf = gf ; pareizinot šo
vienādību no labās puses ar
f
−1
, iegūsim
−1
−1
−1
−1
( h ⋅ f ) ⋅ f = ( g ⋅ f ) ⋅ f ⇒ h ⋅ ( f ⋅ f ) = g ⋅ ( f ⋅ f ) ⇒ h = g
.
Pierādīts, ka f ir monomorfisms.
−1
Pieņemsim, ka f ir izomorfisms; tad tam eksistē apgrieztais izomorfisms f . Pieņemsim,
ka morfismiem h un g izpildās vienādība fh = fg ; pareizinot šo vienādību no kreisās puses
ar
f
−1
, iegūsim
−1
−1
−
( f ⋅ h) = f ( f ⋅ g) ⇒ ( f ⋅ f ) ⋅ h = ( f ⋅ f ) ⋅ g ⇒ h g
−1
f
1
=
Pierādīts, ka f ir epimorfisms.
2. Pietiek parādīt kategorijas piemēru, kurā morfisms, kas ir gan monomorfisms gan
epimorfisms, nav izomorfisms. Aplūkosim kategoriju 2 (skat. diagrammu).
a b
0 f 1
Pārbaudīsim, ka morfisms f ir monomorfisms. Dota vienādība x ⋅ f = y ⋅ f , kur x, y ir
kategorijas morfismi. viegli redzēt, ka abi šie reizinājumi ir definēti tikai, ja x = y = a ;
tātad f ir monomorfisms. Līdzīgi pārbauda, ka f ir dotās kategorijas epimorfisms.
Taču f nav izomorfisms, jo tam neeksistē apgrieztais morfisms.
Uzdevumi. Pierādīt, ka patvaļīgā kategorijā
1) ja f un g ir monomorfismi, tad f ⋅ g ir monomorfisms,
2) ja f ⋅ g ir monomorfisms, tad f ir monomorfisms,
3) ja f un g ir epimorfismi, tad f ⋅ g ir epimorfisms,
4) ja f ⋅ g ir epimorfisms, tad g ir epimorfisms.
Pierādīsim pirmo apgalvojumu.
Dots, ka x ⋅ ( f ⋅ g) = y ⋅ ( f ⋅ g)
; x, y, f, g kategorijas K morfismi, turklāt, f un g ir
monomorfismi. Jāpierāda, ka x = y .
No dotā seko, ka ( x ⋅ f ) ⋅ g = ( y ⋅ f ) ⋅ g . Tā kā g ir monomorfisms, tad x ⋅ f = y ⋅ f ; tā kā f
ir monomorfisms, tad x = y . Apgalvojums pierādīts.
.
40

4.3.2. Universālie sākuma un beigu objekti
Definīcija 4.8. Dota kategorija K. Par kategorijas universālo sākuma objektu sauc tādu
objektu 0
K
, ka jebkuram A∈ Ob( K)
eksistē vienīgais morfisms f : 0
K
→ A .
Par kategorijas universālo beigu objektu sauc tādu objektu 1
K
, ka jebkuram A∈ Ob( K)
eksistē vienīgais morfisms f : A → 1 .
K
Ievērosim, ka kategorijā var neeksistēt ne sākuma ne beigu objekti. Tāda, piemēram, ir
kategorija, kas satur vienu objektu A un morfismus Hom ( A , A) = { e,
a}
, a ⋅ a = e .
Uzdevums. Pierādīt, ka jebkuri divi kategorijas sākuma objekti (beigu objekti) ir savā
starpā izomorfi.
Piemēri.
1. Kategorijā Set sākuma objekts ir tukša kopa, bet beigu objekts vienelementa kopa.
2. Kategorijā Grp gan sākuma objekts gan beigu objekts ir grupa, kas sastāv no viena
neitrālā elementa.
3. Kategorijā 2 sākuma objekts ir 0, bet beigu objekts ir 2.
4. Diskrētā kategorijā D nav ne sākuma objektu ne beigu objektu, jo ne no viena objekta
neiziet morfismi, kas ietu uz citu objektu.
Nākošais mūsu uzdevums ir vispārināt patvaļīgām kategorijām Dekarta reizinājuma
jēdzienu (Ω-algebrās šā jēdziena vispārinājums ir tiešais reizinājums). Ļoti rūpīgi
izanalizējiet šo piemēru, jo pārnesot kategoriju teorijā daudzus jēdzienus, ko mēs pazīstam
no kopu teorijas vai no Ω-algebru teorijas, mums jārīkojas analoģiski. Galvenā problēma ir
tā, ka kopu teorijas definīcijās tiek izmantoti kopu elementi, bet kategoriju teorijā šāds
jēdziens nepastāv. Tātad, aplūkojot kādu kopu teorijas jēdzienu, mums jāatrod tāda
raksturīga šī jēdziena īpašība, kas ir formulējama, neizmantojot elementa jēdzienu un
viennozīmīgi raksturo šo jēdzienu.
Atcerēsimies kopu Dekarta reizinājuma definīciju. Par kopu A, B Dekarta reizinājumu sauc
kopu P = A×
B = {( a, b)
/ a ∈ A,
b ∈ B}
; Dekarta reizinājumam atbilst divi attēlojumi
p A
: A×
B → A un p B
: A×
B → B , kur ( a, b) p
A
= a un ( a, b) pB = b . Šos attēlojumus
sauc par projekcijām. Tiešo reizinājumu Ω-algebru klasē definē ievedot Ω-algebras
signatūras operācijas atbilstošo kopu Dekarta reizinājumam.
Teorēma 4.2. Dotas kopas A, B un šo kopu Dekarta reizinājums P = A×
B .
1. Ja C ir patvaļīga kopa, f A
: C → A un f B
: C → B -- patvaļīgi attēlojumi, tad eksistē
vienīgais tāds attēlojums f : C → P , kuram sekojoša diagramma ir komutatīva:
P
p A
f
p B
f A
f B
A C B
tas nozīmē, ka f ⋅ p A
= f
A
un f ⋅ p B
= f
B
.
2. Pieņemsim, ka Q ir kopa, q A
: Q → A un q B
: Q → B ir tādi attēlojumi, ka jebkurai
kopai C ar attēlojumiem : C → A un : C → B eksistē vienīgais attēlojums f, kuram
f A
f B
41

izpildās vienādības f ⋅ q A
= f
A
un f ⋅ q B
= f
B
. Tad eksistē vienīgais izomorfisms
k : Q → P , kuram izpildās vienādības k ⋅ p A
= q
A
un k ⋅ p B
= qB
.
Piezīme. Šajā teorēma ir aprakstīta Dekarta reizinājuma raksturīgā īpašība (īpašība, kas
izpildās tikai divu kopu Dekarta reizinājumam) neizmantojot kopas elementa jēdzienu.
Pierādījums. 1. Ņemsim patvaļīgu x ∈ P . No dotā seko
( xf ) p
A
= x( f ⋅ p
A
)
( xf ) p = x( f ⋅ p )
⎧
= xf
A
⎨
⇒ xf = ( xf
A,
xf
B
) ( ∗)
⎩ B
B
= xf
B
Tātad attēlojums f ir noteikts viennozīmīgi; viegli pārbaudīt, ka attēlojumam, kurš uzdots ar
formulu ( ∗ ) izpildās nosacījumā prasītās īpašības.
2. No dotā seko, ka eksistē vienīgais attēlojums k : Q → P un vienīgais attēlojums
h : P → Q tādi, ka k ⋅ p A
= q
A
, k ⋅ p B
= qB
, h ⋅ q A
= p
A
, h ⋅ q B
= pB
. No šejienes seko,
ka attēlojumam ( k ⋅ h) : Q → Q izpildās īpašības ( k ⋅ h) ⋅ q A
= q
A
un ( k ⋅ h) ⋅ q B
= qB
. No
dotā seko, ka attēlojums no kopas Q kopā Q ar šādām īpašībām ir vienīgais; protams, ka
identiskajam attēlojumam e Q
: Q → Q šīs īpašības izpildās, tātad k ⋅ h = eQ
. Līdzīgi
pamatojam, ka h ⋅ k = eP
. Tātad k un h ir apgriezti attēlojumi; tas nozīmē, ka k ir
izomorfisms. Teorēma pierādīta.
Tagad doto teorēmu pārformulēsim kategoriju teorijas valodā. Aplūkosim kategoriju Set
un fiksēsim divus objektus A un B. Aplūkosim jaunu kategoriju Pr(A,B).
1. Tās objekts ir patvaļīga kopa C un attēlojumu pāris c A
: C → A , c B
: C → B .
2. Morfisms f ∈ Hom( C,
D)
ir attēlojums f : C → D , kuram sekojoša diagramma ir
komutatīva:
D
d A d B
A f B
c A c B
C
Tagad teorēmas 4.2. apgalvojumu var formulēt šādi: "Kategorijā Pr(A,B) eksistē
universālais beigu objekts; šo objektu sauksim par kopu A un B Dekarta reizinājumu".
Esam nonākuši pie tiešā reizinājuma definīcijas patvaļīgā kategorijā.
Definīcija 4.9. Dota kategorija K un tās objekti A un B. Aplūkosim jaunu kategoriju
Pr(A,B).
1. Tās objekts ir patvaļīgs kategorijas K objekts C un morfismu pāris c A
: C → A ,
c B
: C → B .
2. Kategorijas Pr(A,B) morfisms f ∈ Hom( C,
D)
ir attēlojums f : C → D , kuram
sekojoša diagramma ir komutatīva:
42

D
d A d B
A f B
c A c B
C
Universālo beigu objektu šajā kategorijā sauc par objektu A un B tiešo reizinājumu.
Definīcija 4.10. Dota kategorija K un tās objekti A un B. Aplūkosim jaunu kategoriju
Kopr(A,B).
1. Tās objekts ir patvaļīgs kategorijas K objekts C un morfismu pāris c A
: A → C ,
c B
: B → C .
2. Kategorijas K morfisms f ∈ Hom( C,
D)
ir attēlojums f : C → D , kuram sekojoša
diagramma ir komutatīva:
D
d A d B
A f B
c A c B
C
Universālo sākuma objektu šajā kategorijā sauc par objektu A un B koreizinājumu.
Piemēri.
1. Kategorijā Grp grupu tiešais reizinājums ir grupu tiešā summa . Komutatīvu grupu
kategorijā arī koreizinājums ir grupu tiešā summa
2. Kategorijā Set tiešais reizinājums ir kopu Dekarta reizinājums. Kopu koreizinājums ir
kopu A un B disjunktīvais apvienojums; ja kopām A un B nav kopīgu elementu, tad
disjunktīvais apvienojums ir parastais kopu apvienojums; ja tām ir kopīgi elementi, tad
izvēlamies nešķeļošas kopas A' un B', kas ir izomorfas atbilstoši kopām A un B
( f : A → A'
un g : B → B'
bijekcijas). Tad A'
∪ B'
kopā ar injekcijām f : A a A'
∪B'
un
g : B a A'
∪B'
ir kopu A un B koreizinājums.
3. Aplūkosim kategoriju Kat(n). Tās objekti ir skaitļi 0, 1, 2, ... , n. Morfismus definējam
šādi:
a) ja i > j , tad Hom ( i, j) = ∅ ;
b) ja j
i ≤ , tad ( i , j) { i,
j }
Hom = , (tātad sastāv no vienīgā morfisma).
Morfismu kompozīcija faktiski noteikta viennozīmīgi:
i , j ⋅ j,
k = i,
k .
Šajā kategorijā divu objektu i un j tiešais reizinājums ir min ( i, j)
max ( i, j)
.
, bet koreizinājums ir
4. Kategorijā Field (objekti – lauki, morfismi – gredzenu morfismi) neeksistē ne objektu
reizinājumi ne koreizinājumi.
Ar šo piemēru analīzi var iepazīties ([Goldb] 3.8, 3.9).
43

5. lekcija
Brīvā algebra
5.1. Ievads
Lekcijā aplūkots brīvās algebras jēdziens dažādās algebru klasēs. Šajā
gadījumā universālā pieeja atļauj tikai definēt aplūkojamo objektu; tā
eksistence un konstrukcija ir jāapraksta katrā algebru klasē atsevišķi.
Lai tie, kas atnāks pēc manis, uzdod jautājumu, kāpēc
es izdomāju šīs prātam nesaprotamās konstrukcijas un
kā tās var apvienot vienā filozofijā; mani apmierina
tas, ka es šīs konstrukcijas izveidoju ar pārliecību, ka
tās palīdz izprast cilvēka domāšanu.
L. E. J. Brauers.
Dabīgas Ω-algebru klases (kopas, monoīdi, grupas, gredzeni, lauki, utt.) veidojas kā
abstrakti objekti, kuros izpildās īpašības (aksiomas), kas piemīt aplūkojamo objektu klasei.
Piemēram, grupas aksiomas tika iegūtas, aplūkojot substitūciju grupas S
n
īpašības. Taču
pēc tam rodas jautājums: "Kā aprakstīt visus dotās klases objektus". Ir vairākas
konstrukcijas, ar kurām mēs no dotajiem objektiem varam iegūt citus objektus no dotās
algebru klases. Šīs konstrukcijas ir dotās algebras apakšalgebru šķēlums, algebru tiešā
summa un tiešais reizinājums, kā arī algebras faktorizācija. Izrādās, ka daudzās klasiskajās
algebru klasēs visas šīs klases algebras var iegūt, no vienkārši konstruējamām algebrām
(brīvajām algebrām), izmantojot tikai faktorizācijas operāciju. Brīvā algebra faktiski ir
objekts, kurā doti sākuma elementi, ar tiem var izpildīt visas algebras operācijas, un par
vienādiem elementus uzskata tikai, ja to vienādība seko no algebru klases aksiomām
5.2. Brīvā Ω-algebra
Šajā lekcijā aplūkosim brīvās algebras jēdzienu dažādās algebru klasēs. Šoreiz galvenā
uzmanība tiks pievērsta nevis formālai brīvās algebras definīcijai patvaļīgā algebru klasē,
bet brīvās algebras konkrētai realizācijai. Visvienkāršāk šī konstrukcija ir realizējama visu
Ω-algebru klasē ( Ω ).
Ar X apzīmēsim patvaļīgu kopu, kuras elementus sauksim par mainīgajiem. Ar C
apzīmēsim Ω-algebras konstanšu simbolu kopu.
Definīcija 5.1. Par Ω-algebras brīvo termu algebru no mainīgajiem X sauksim kopu
F ( Ω , X ), kuras elementus – termus definēsim induktīvi.
1. Ω-algebras konstanšu simboli un mainīgie x ∈ X ir Ω-algebras termi; šos termus sauc
par bāzes termiem.
2. Ja t 1
, t 2
, K , tn
ir Ω-algebras termi un ω ∈ Ω( n)
-- n-vietīgas operācijas simbols, tad
t 1
t 2
Kt n
ω ir Ω-algebras terms.
3. Visus Ω-algebras termus var iegūt atkārtoti pielietojot definīcijas pirmos divus punktus.
Kopā F ( Ω , X ) definēsim visas Ω-algebras operācijas. Ja t , t 2
, , tn ∈ F( , X )
∈ Ω( n)
( X )
def
K un
1
Ω
ω , tad t1 t2
Ktnω
F
= t1t2
Ktnω
.
F Ω , ar ievestajām operācijām veido Ω-algebru, ko sauc par dotās signatūras brīvo
termu algebru no mainīgajiem X, jeb vienkārši par brīvo Ω-algebru.
44

Piezīme. Kaut gan tas nav nepieciešami, bieži, lai formula būtu labāk pārskatāma, jauno
termu iekļauj iekavās: ( t 1
t 2
Kt n
ω ) ; arī binārās operācijas simbols parasti tiek rakstīts starp
termiem; t.i., ab + vietā rakstām ( a + b)
.
Faktiski terms ir izteiksme, kuru var uzrakstīt dotās signatūras algebrā, sākot no
pamatelementiem – mainīgajiem un konstantēm.
Uzdevumi.
1. Ω-algebrā, kuras signatūra ir Ω = {( + , 2) , ( 0,0) , ( −,1 ),
( ⋅,2) , ( 1,0 )}
pierakstītās formulas pierakstīt kā formālus termus:
2
a) ( a − b) = ab − + ab − + ⋅,
b) 2 = 11+
,
c) ( 2 x − y + z) = ,
ax − b x + y = ,
3
d) 2 ( )
2 2 2 2
e) a b − c d = .
2. Dotos formālos termus pierakstīt neformālā veidā:
a) a11 + b ⋅ + = a + 2b
,
b) a 1 − + a11
+ −⋅ = ,
c) aa ⋅ xy − + xy − + ⋅ + = ,
d) abcde ⋅⋅⋅⋅ = .
e) abcdef + ⋅ + ⋅+ = .
Terma vērtība. Pieņemsim, ka t ir terms brīvajā termu algebrā F ( Ω , X )
konkrētu Ω-algebru A . Ja t = t( x , x , 1 2
K,
x n
), { x , x , 2
, x n
}
terma t pierakstā, tad ar t ( a , a , 2
, a n
)
aizvietojot termā t ( x , x , 2
, ) x , x , 2
, x
, dotās neformāli
. Aplūkosim
1
K -- mainīgie, kas izmantoti
1
K apzīmēsim algebras A elementu, kas iegūts,
1
K x n
mainīgos
1
K
n
ar elementiem a , a , 1 2
K , an
un
terma t operāciju simbolus ar atbilstošajām operācijām algebrā A.
Nākošajā definīcijā uzskatīsim, ka X ir sanumurējama kopa.
Definīcija 5.2. Dota Ω-algebra A un tās apakškopa
apakškopu S = { t( a , a2 , , a ) / t ∈ F( Ω,
X ),
a ∈ S}
S ⊂ A . Ar S apzīmēsim algebras A
1
K
n
i
. Skaidrs, ka S ir algebras A
apakšalgebra; to var definēt arī kā mazāko algebras A apakšalgebru, kas satur kopu S.
Apakšalgebru S sauksim par kopas S ģenerēto apakšalgebru un kopu S par
apakšalgebras S veidotājsistēmu jeb bāzi. Ja
S = A , tad S sauc par algebras A bāzi.
(atcerieties, ka arī termins "bāze" algebrā tiek lietots neviennozīmīgi; piemēram, lineāro
telpu gadījumā par bāzi sauc tikai minimālo veidotājsistēmu).
Faktiski apakšalgebra S sastāv no visiem algebras A elementiem, ko var iegūt no S
elementiem, izmantojot algebras operācijas.
Piemēri.
n
1. Grupā G fiksēsim elementu a. Tad { a} a = { a n ∈ Z}
kuras veidotājelements ir a.
= / , ir cikliskā apakšgrupa,
2. Aplūkosim polinomu gredzenu R [ x, y]
; tad x = Z[ x]
. Ja polinomus [ x y]
kā R-algebru (tātad atļauta arī polinoma reizināšana ar reālu skaitli), tad R[ x]
R , aplūkojam
x = .
45

3. Racionālo skaitļu lauka veidotājsistēma sastāv no viena skaitļa 1. Tiešām, jebkuru
pozitīvu racionālu skaitli var iegūt no skaitļa 1, izmantojot summas, reizināšanas un
apgrieztā elementa operācijas:
m ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜
1+
4243 1+
L + 1
⎟ ⋅
⎜
1+
42 1+
L 43 + 1
⎟ ;
n ⎝ m ⎠ ⎝ n ⎠
Negatīvos racionālos skaitļus iegūst, izmantojot pretējā elementa operāciju.
4. Ja lauku R aplūko gredzenu kategorijā, tad šim gedzenam neeksistē galīga bāze;
R-algebru kategorijā lauka R bāze sastāv no viena elementa 1.
Uzdevumi
1. Pierādīt, ka kopa {( i . j) / i j,
i,
j ∈{ 1,2, K,
n
}
−1
≠ ir substitūciju grupas S
n
veidotājsistēma.
2. Pierādīt, ka grupas S
n
veidotājsistēma ir kopa, kas satur tikai divus elementus
{( , 2) , ( 1, 2, , n)
}
1 K .
3. Pierādīt, ka substitūciju grupas veidotājsistēma satur vismaz divus elementus.
Protams, katrai algebrai eksistē bāze; katrai algebrai A par bāzi var izvēlēties visu algebras
A elementu kopu. Taču pētot algebru ir izdevīgi izvēlēties pēc iespējas mazāku bāzi.
Algebras, kurām eksistē galīgas bāzes, sauc par galīgi bāzētām algebrām.
Aplūkosim Ω-algebru klasi, kurām ir "fiksēta" bāze. Lai to izdarītu aplūkosim jaunu
kategoriju. Fiksēsim kopu X un algebras signatūru Ω. Ar ( Ω , X ) apzīmēsim sekojošu
kategoriju:
1. Tās objekti ir pāri ( f )
A, , A – Ω-algebra , : X → A -- attēlojums no kopas X kopā
A
A; turklāt Im f
A
ir algebras A bāze. Šādu objektu apzīmēsim ar X A ; ja tas nevar
izsaukt pārpratumus, tad objektu apzīmēsim vienkārši ar A.
2. Kategorijas morfisms h ir Ω-algebras A morfisms Ω-algebrā B, kuram sekojoša
diagramma ir komutatīva:
f A
f A
A
X h (∗)
→
f A
f B
B
f ,
Protams, brīvo termu algebra F ( Ω , X ) kopā ar dabīgo attēlojumu X → F
F( Ω X ) (katrs
mainīgais pats ir terms) ir kategorijas ( Ω , X ) objekts.
Kopas X { xi i ∈ I}
a , i ∈ I . Kopa { / i ∈ I }
= / elementu attēlus algebrā A apzīmēsim ar
i
a i
ir algebras A bāze. Algebru A sauksim par X-bāzētu Ω-algebru. Ja X ir galīga kopa, tad
algebru A sauksim par galīgi bāzētu Ω-algebru.
Teorēma 5.1.
1. Algebra F ( Ω , X ) ir kategorijas ( , X )
katram kategorijas ( , X )
F( Ω, X ) → A x k = a ).
k A
: , kuram
i A i
Ω universālais sākuma objekts; (tas nozīmē, ka
Ω objektam – algebrai A eksistē vienīgais morfisms
46

2. Morfisms k
A
ir epimorfisms.
Ω objektu – algebru A. Pieņemsim, ka
k A
∗ komutativitātes
seko, ka x
ik
A
= ai
. Tā kā morfisms k
A
ir saskaņots ar visām Ω-algebras operācijām un
terms veidojas kā atkārtota šādu operāciju pielietošana bāzes termiem, tad
t x x , K , x k = t x k , x k , K,
x k = t a , a , , a .
Pierādījums. Aplūkosim patvaļīgu kategorijas ( , X )
: F( Ω, X ) → A ir dotās kategorijas morfisms; tad no diagrammas ( )
( ) ( ) ( )
1, 2 n A 1 A 2 A n A 1 2
K
Tas nozīmē, ka jebkura brīvās termu algebras elementa attēls ir viennozīmīgi noteikts;
formāla pārbaude parāda, ka attēlojums, ko apraksta ar uzrādīto vienādību ir Ω-
algebru morfisms. Teorēmas pirmais punkts pierādīts.
Lai pierādītu teorēmas 2. punktu jāpierāda, ka ( k A
) = A
k ⊃ { t( x , x , K , x ) k } = { t( a , a , K,
a ) / t ∈ F( X )}
. Tā kā { }
Im
2
tad Im k A
= A . Teorēma pierādīta.
A 1 2 n A 1
n
Ω,
n
Im . Ievērosim, ka
a ir algebras A bāze,
Secinājums 1. Jebkura X-bāzēta Ω-algebra ir brīvās termu algebras F ( Ω , X )
faktoralgebra.
No pierādītās teorēmas seko, ka jebkura X-bāzēta Ω-algebra A ir brīvās termu algebras
F ( Ω , X ) morfiskais attēls. No teorēmas par morfismiem (3.5.) seko, ka algebra A ir
algebras F ( Ω , X ) faktoralgebra.
Secinājums 2. Jebkurai Ω-algebrai A eksistē tāda mainīgo kopa X, ka algebra A ir algebras
F ( Ω , X ) faktoralgebra.
Tas seko no tā, ka katrai algebrai A eksistē bāze.
Iegūto rezultātu analīze. Šajā vispārīgākajā situācijā mums izdevās aprakstīt visas
algebras kā fiksētas un konstruējamas algebras F ( Ω , X ) faktoralgebras. Taču šī vispārīgā
situācija, lai gan formāli ir ļoti sarežģīta (patvaļīgs skaits patvaļīgu operāciju), faktiski ir
pati vienkāršākā, jo Ω-algebras operācijas nav saistītas ne ar kādām aksiomām. Tas nozīmē,
ka visi formāli uzrādītie termi šajā situācijā ir dažādi brīvās termu algebras elementi.
Izvēloties brīvo termu algebru par pamatobjektu, katru Ω-algebru var aprakstīt kā brīvās
termu algebras faktoralgebru (vienā klasē apvienojas termi, kas ir vienādi dotajā algebrā).
Taču patvaļīgās algebru klasēs, kuras tiek aprakstītas ar aksiomām, atšķirīgi uzrakstītie
termi var būt vienādi kā dotās algebru klases elementi.
−1
Piemēram, grupu klasē izpildās šādas vienādības: a ⋅ a = e , ( x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z)
, un arī
citas: ( a ⋅ b) ⋅ ( x ⋅ y) = ( a ⋅ ( b ⋅ x)
) ⋅ y , ... .
Uzdevums. Pierakstiet šīs vienādības formālā brīvo termu valodā.
Protams, no teorēmas 5.1. seko, ka jebkuru grupu var iegūt kā noteiktas signatūras
−1
Ω = {( ⋅,2) , ( e ,0),
( ,1)
} brīvās termu algebras faktoralgebru. Taču šis apgalvojums ir ļoti
mazefektīvs no praktiskā pielietojumu viedokļa divu iemeslu dēļ.
1. Brīvās termu algebras objekts ir ļoti sarežģīta konstrukcija, kas pat grupu gadījumā vienu
grupas elementu apraksta bezgalīgi daudzos veidos. Piemēram, sekojoši termi brīvo termu
algebrā ir dažādi objekti, bet jebkurā grupā tie ir vienādi elementi (notiek faktorizācija pēc
grupas aksiomām):
−1
−1
( a ⋅ b) ⋅ c , a ⋅ ( b ⋅ c)
, ( e ⋅ e) ⋅ (( x ⋅ x ) ⋅ a) ⋅ ( b ⋅ ( e ⋅ c)
)), utt.
Tas nozīmē, ka, aplūkojot grupu kategoriju, šos termus vajadzētu uzskatīt par vienādiem;
tātad termu algebru būtu jāfaktorizē pēc kongruences, kurā termi, kuru vērtības ir vienādas
jebkurā grupā, tiktu uzskatīti par vienādiem. Diemžēl faktorizēšana vispārīgajā gadījumā ir
nekonstruktīva operācija: neeksistē algoritms, kas atļautu noskaidrot kādi termi ir vienādi
i
47

algebrā, kurā izpildās noteiktas aksiomas. Tomēr dažās algebru klasēs tāda faktorizācija ir
iespējama un jebkurā ekvivalences klasē var norādīt viennozīmīgu un viennozīmīgi
pierakstāmu klases pārstāvi, kas apraksta doto faktorizācijas klasi. Šajā gadījumā mēs
iegūstām dotās algebru klases brīvo objektu (tas, protams, ir saistīts ar mainīgo kopas X
elementu skaitu). Līdz ar to pirmā konstruktīvā problēma būtu atrisināta. Šādā algebru klasē
katrai kopai X eksistē universāls objekts ar mainīgo kopu X , kura faktoralgebras veido visu
dotās algebru klases objektu kopu.
2. Otra problēma ir vēl sarežģītāka. Pat, ja fiksētā Ω-algebru klasē fiksētai mainīgo kopai X
eksistē konstruktīvs universāls objekts (tātad jebkura Ω-algebra ir universālās algebras
faktoralgebra), iegūtais faktorobjekts var nebūt konstruktīvs. Tāda situācija ir iespējama,
piemēram, grupu varietātē. Precizēsim šo problēmu. Pieņemsim, ka F ( Ω , X ) -- brīvā
algebra dotajā algebru klasē. Tās objekti ir precīzi aprakstāmi un katrs pieraksts apzīmē
vienu elementu. Jebkura Ω-algebra A (ar bāzi Xf
A
) ir šīs algebras faktoralgebra; bet
faktoralgebras elementi ir sākotnējās algebras elementu kopas. Tātad, lai noskaidrotu, vai
divi elementi faktoralgebrā
F( Ω, X )
≅ A ir vienādi, jāmāk noskaidrot, vai divi elementi
≈
x, y ir ekvivalenti brīvajā algebrā F ( Ω , X ) . Ekvivalence ir uzdota ar algebras aksiomām.
Izrādās, ka šī problēma vispārīgajā gadījumā nav atrisināma.
Daudzās klasisko algebru klasēs (pusgrupās, grupās, gredzenos, utt.) pirmā problēma
(universāla objekta eksistence) ir atrisināma. Taču otrā problēma ir neatrisināma daudzās
klasisko algebru klasēs (piemēram, grupu un asociatīvo gredzenu klasēs). Kā pozitīvu faktu
var atzīmēt to, ka šī problēma ir atrisināta galīgi bāzētu komutatīvo gredzenu un komutatīvo
algebru klasēs.
Aplūkosim brīvās algebras definīciju fiksētā algebru klasē.
Definīcija 5.3. (Brīvā algebra). Dota Ω-algebru klase K un mainīgo kopa X.
Aplūkosim jaunu kategoriju ( K , X ) :
A, f , A ∈ K , : X → A -- attēlojums no kopas X kopā A;
1. Tās objekti ir pāri ( )
A
f A
turklāt Im f
A
ir algebras A bāze. Šādu objektu apzīmēsim ar X A ; ja tas nevar izsaukt
pārpratumus, tad objektu apzīmēsim vienkārši ar A.
2. Kategorijas morfisms h ir Ω-algebras A morfisms Ω-algebrā B, kuram sekojoša
diagramma ir komutatīva:
→
f A
f A
A
X h (∗)
Universālo izejas objektu kategorijā ( , X )
veidotājkopu X.
f B
B
K sauc par algebru klases K brīvo algebru ar
Teorēma 5.1. apgalvo, ka visu Ω-algebru klasē eksistē brīvās algebras jebkurai
veidotājkopai X.
48

5.3. Brīvā grupa
−1
Atcerēsimies, ka grupas signatūra ir = {( ⋅,2) , ( ,0),
( ,1)
}
Ω e un grupu klasi G nosaka
aksiomas – identitātes:
(G1) ( a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c)
,
(G2) e ⋅ x = x ⋅ e = x ,
−1
−1
(G3) x ⋅ x = x ⋅ x = e .
No pirmās grupas aksiomas seko, ka, rakstot jebkuru termu patvaļīgā grupā, mēs varam
G , X .
nelietot iekavas. Aplūkosim X-bāzētu grupu kategoriju ( )
Aplūkosim kopu F( X ) { x x x x X x x k Z k } k 1 k2
k
G = ⋅ ⋅L⋅
{ e}
n / ∈ , ≠ ∈ ≠ ∪
+
, , 0
,
1 2
n i
i i 1
kopā definēsim grupas signatūras operācijas:
1. reizināšana:
a) reizināšana ar e nemaina elementu;
L
2
L
k1
kn−1
kn
l1
l
lm
b) ( x ⋅ ⋅ x ⋅ x ) ⋅ ( y ⋅ y ⋅ ⋅ y ) = r
1 n−1
n 1 2 m
,
i
i
. Šajā
k1
kn−1
kn
l1
l2
lm
α) ja x n
≠ y1
, tad r = x1 ⋅L⋅
xn−
1
⋅ xn
⋅ y1
⋅ y2
⋅L⋅
ym
,
β) ja x n
= y1
un k + l ≠
k1
kn
kn
+ l l
lm
n 1
0 , tad r = x ⋅ ⋅ xn− − 1
1 2
1
L
1
⋅ xn
⋅ y2
⋅L⋅
ym
,
γ) ja x n
= y1
un k + l =
k1
kn−1
l2
l
n 1
0 , tad r = ( x x ) ( m
1
⋅L⋅
n−1
⋅ y2
⋅L⋅
ym
); šajā gadījumā atkal
jāatgriežas pie reizinājuma definīcijas α) un β) punktiem. Tā kā mainīgo skaits ir
samazinājies, tad šis process beigsies. Šeit vēl ir jāatzīmē, ka γ) variantā kāda no
iekavām var būt tukša; uzskatām, ka tukšs reizinājums ir vienāds ar e.
2. Neitrālais elements ir e.
x
k1
k2
kn
−kn
−k2
−k1
3. Apgrieztais elements: ( )
Kopa F ( , X )
1
⋅ x
2
n
−1
⋅L ⋅ x = x ⋅L⋅
x ⋅ x .
G ar ievestajām operācijām veido grupu. Šis (šķietami vienkāršais)
apgalvojums ir jāpierāda. Precīzs pierādījums nav vienkāršs, un ar to var iepazīties ([Holl]
7.1.).
Teorēma 5.2. Grupu klasē G jebkurai mainīgo kopai X eksistē brīvā algebra (brīvā
F G , X .
grupa). Šī grupa ir ( )
Pierādījums. Grupas F ( , X )
ka F ( G , X ) ir universāls objekts X-bāzēto grupu klasē ( G , X )
objektu (grupu) šajā klasē:
f F
,
X → F
( G X )
n
2
G elementu kopa un operācijas ir aprakstītas. Atliek pierādīt,
. Aplūkosim patvaļīgu
X
→
f A
. Aplūkosim komutatīvo diagrammu:
1
A . Brīvā grupa šajā kategorijā ir aprakstāma šādi:
f F
F(G, X)
X h (**)
fA
A
Jāpierāda šāda grupu morfisma h eksistence un unitāte.
k k
kn
Aplūkosim patvaļīgu F(G, X) elementu g = x1 1 ⋅ x ⋅L⋅
x
2 2
n
. Tā kā h ir grupu morfisms,
tad elementa a attēls ir noteikts viennozīmīgi:
49

k1
k2
kn
k k
kn
( x ⋅ x ⋅L⋅
x ) h = a
1 2
⋅ a ⋅ ⋅ a
gh =
1 2
n
1 2
L
n
, kur
x
ih
= ( xi
f
F
) h = xi
( f
F
⋅ h) = xi
f
A
= ai
.
Jāpārbauda, ka h ir grupu morfisms; pierādījumu skat. ([Holl] 7.1.).
5.4. Brīvā Ābela grupa
Ābela grupas ir grupas, kurām papildus izpildās komutativitātes aksioma:
∀ x, y ∈ A ( x ⋅ y = y ⋅ x)
. Aplūkosim Ābela grupas, kurām eksistē galīga bāze
X = x , x , 2
, . No Ābela grupas komutativitātes likuma seko, ka jebkuru X-
{ }
1
K
x n
bāzētas elementu a var uzrakstīt formā
elementiem izpildās īpašības:
x
⋅ x
⋅
⋅ x
⋅
x
⋅ x
⋅L⋅
x
a = x L
k k
kn
1 1 ⋅ x ⋅ ⋅ x
2 2 , k i
∈ Z
= x
k1
k2
kn
l1
l2
ln
k1+
l1
k2
+ l
kn
+ ln
1) ( ) ( )
2)
⋅ x
L
2
1 2
n 1 2 n 1 2
n
,
e = x ⋅ x ⋅L
⋅ x
x
0 0 0
1 2 n
−1
2
1
⋅ x ⋅L⋅
x = x ⋅ x ⋅L⋅
x .
k1
k2
kn
−k1
−k
−kn
3) (
2
n
)
1 2
n
k
k
Kopu F( , X ) = { x x x k Z}
k1
2
⋅ ⋅ ⋅
n / ∈
1 2
L
n
i
n
⋅L⋅
x
. Acīmredzami šādiem
Ab ar definētajām operācijām sauksim par brīvo
Ābela grupu ar veidotājelementiem
x , x , 1 2
K , x .
Teorēma 5.3. Ābela grupu klasē Ab jebkurai mainīgo kopai X eksistē brīvā algebra (brīvā
F Ab , X .
Ābela grupa). Šī grupa ir ( )
Pierādījums. Faktiski grupas F ( , X)
patvaļīga Ābela grupa ar veidotājsistēmu { } i
veidotājsistēma, tātad
i
A
i
n
Ab eksistence jau ir pierādīta. Pieņemsim, ka A ir
a un : X → A attēlojums, kura attēls ir A
f A
x f = a . Definēsim attēlojumu h : F( A,
X ) → A ar formulu:
k1
k2
kn
k1
k2
kn
( x ⋅ x ⋅L⋅
x ) h = a ⋅ a ⋅L⋅
a
x h = a .
1 2
n
1 2
n
, kur
i i
A ir brīva algebra (Ābela grupu klasē) ir jāpierāda, ka sekojoša
diagramma ir komutatīva un attēlojums h ir viennozīmīgi noteikts.
Lai pierādītu, ka F ( , X )
f F
F(A, X)
X h (**)
fA
A
k
k
1 n
1
n
1
n
; tas
k1
kn
1
n k1
kn
Tā kā h ir grupu morfisms, tad ( x ⋅Lx
) h = ( x h) ⋅L⋅
( x h) = a ⋅L⋅
a
nozīmē, ka morfisms h ir viennozīmīgi noteikts. Tieša pārbaude parāda, ka h ir grupu
morfisms. Teorēma pierādīta.
Vēlreiz aplūkosim situāciju, kad brīvās Ābela grupas veidotājsistēma ir galīga kopa. Tādā
k k kn
gadījumā F ( Ab , X)
sastāv no viennozīmīgi noteiktiem elementiem x1 1 x2 2 Lxn
, k i
∈ Z .
Skaidrs, ka šo elementu viennozīmīgi apraksta veselo skaitļu kortēžs ( k , k , 1 2
K , k n
). Šo
n
kortēžu var aprakstīt kā Ābela grupas Z ⊗ Z ⊗K ⊗ Z = Z elementu (šajā gadījumā nav
50

atšķirības starp tiešo summu un reizinājumu). Tātad eksistē attēlojums no Ābela grupas
n
F ( Ab , X)
Ābela grupā Z . Viegli pārbaudīt, ka dotais attēlojums ir grupu morfisms
(reizinot pakāpes atbilstošie kāpinātāji summējas); acīmredzami šis attēlojums ir sirjektīvs
un injektīvs. Tātad esam pierādījuši teorēmu.
Teorēma 5.4. Ja X ir galīga kopa, tad brīvā Ābela grupa ar veidotājsistēmu X ir izomorfa
Z ,+ tiešajam reizinājumam.
Ābela grupu ( )
Kā bija atzīmēts iepriekšējās lekcijās Ābela grupās (arī patvaļīgās grupās) eksistē gan tiešās
summas gan tiešie reizinājumi. Šajā lekcijā mēs dosim tikai priekšstatu par šiem
jēdzieniem. Sīkāku analīzi skat. ([Konn] 4.2.). Tātad galīgi bāzētu Ābela grupu gadījumā
šie jēdzieni ir ekvivalenti. Tagad aplūkosim šo jēdzienu definīcijas, kad Ābela grupu kopa
/ i ∈ I , I – bezgalīga indeksu kopa.
ir bezgalīga; Šo kopu var aprakstīt šādi: { }
Definīcija 5.4. Dota bezgalīga Ābela grupu kopa { A i
i ∈ I}
reizinājumu sauc grupu = {( a ) a ∈ A }
∏
i∈I
neatkarīgi katrai koordinātei.
Aplūkosim bezgalīgu ciklisko grupu
i
i
A i
i
i
/ ; par šīs grupu saimes tiešo
A / . Operācijas šajā grupā tiek izpildītas
n
C
i
reizinājumu ∏ i
( Ci
= { xi
n ∈ Z}
≅ Z )
i∈I
C / .
Neformāli runājot, šī grupa sastāv no bāzes elementu x
i
"bezgalīgiem reizinājumiem". Tā
kā grupā nepastāv bezgalīgi reizinājumi, tad elementi x
i
nav šīs grupas bāze. No
elementiem x
i
var iegūt tikai tos grupas C
i
elementus, kuri satur galīgu skaitu
elementu x
i
.
Tātad ievestais objekts ir pārāk liels, ja tā elementus sākam konstruēt no sākotnējiem
x ∈
. Tāpēc Ābela grupu kategorijā tiek aplūkota sekojoša konstrukcija.
elementiem { i
} i I
Definīcija 5.5. Dota bezgalīga Ābela grupu kopa { A i
i ∈ I}
sauc grupu A = {( a ) / a ∈ A , a = e for almoust all i ∈ I }
∏
i∈I
/ ; par šīs kopas tiešo summu
⊕
i i i i i
. Tātad faktiski kopa ⊕ Ai
i∈I
i∈I
k1
k 2 kn
xi
1
⋅ xi2
⋅L ⋅ x1
n
, kur x il
∈ X .
sastāv no visiem galīgiem reizinājumiem
Acīmredzot galīga skaita Ābela grupu gadījumā tiešais reizinājums un tiešā summa ir
ekvivalenti jēdzieni, bet bezgalīga skaita Ābela grupu gadījumā tie ir atšķirīgi. Atceroties
kategoriju teoriju var pierādīt, ka Ābela grupu tiešais reizinājums atbilst kategoriju teorijas
reizinājuma jēdzienam, bet Ābela grupu tiešā summa atbilst kategorijas teorijas
koreizinājuma jēdzienam. Sīkāk ar šiem jēdzieniem var iepazīties ([Konn] 3.5, 3.6.)
Uzdevumi.
1. Pierādīt, ka Z
2
⊕ Z
3
≅ Z
6
. (Jāparāda, ka elements ( 1,
1) ∈ Z
2
⊕ Z
3
ir grupas Z
2
⊕ Z
3
veidotājelements)
2. Pierādīt, ka grupa Z
2
⊕ Z
4
nav izomorfa grupai Z
8
.
3. Pierādīt, ka Z
n
⊕ Z
m
≅ Z
nm
, ja n un m ir savstarpēji pirmskaitļi.
51

5.5. Brīvā komutatīvā algebra
Komutatīvā algebra nedaudz atšķiras no objektiem, kurus mēs pētījām šajā nodaļā. Formāli
komutatīvā algebra ir vairākšķiru algebra: tās definīcija satur skaitļu lauku K un algebru A.
Taču, lai vienkāršotu situāciju, mēs šo objektu interpretēsim kā vienšķiru algebru, uzskatot,
ka visi skaitļi ( lauka K elementi) ir dotās algebras fiksēti elementi – konstantes. Tātad,
aplūkojot polinomu algebru K [ x, y]
uzskatīsim, ka skaitļi a ∈ K ir nulltās pakāpes
polinomi. Šāda interpretācija atļaus mums formāli vairākšķiru algebru uzskatīt par
vienšķiru algebru, kurā ir fiksēta bezgalīga konstanšu kopa – kopa K. Protams jāatceras, ka
šajā kopā skaitļiem izpildās visas lauka aksiomas; taču no monomorfisma K → K[ x,
y]
eksistences seko, ka operācijas ar skaitļiem var izpildīt atbilstoši polinomu operācijām.
Tādejādi mēs komutatīvo K-algebru kopu varam uzskatīt par vienšķiru algebru ar sekojošu
signatūru :
{( + , 2) , ( 0,0) , ( −,1 ),
( ⋅,2) , ({ k}
,0)}
Ω =
, k ∈ K .
Šādu algebru klases sauc par algebrām ar fiksētu konstanšu kopu. Doto algebru klasi
apzīmēsim ar Kom(K). Šī sarežģītā definīcija faktiski apraksta matemātisko objektu, kas ir
visbiežāk sastopamais visās matemātiskajās teorijās sākot no skolas algebras pamatkursa.
Visas veselās izteiksmes, kas izmantotas skolas algebras kursā ir brīvās algebras elementi
šajā Ω-algebru klasē.
Šajā algebru klasē aplūkosim n-bāzētas algebras Kom (K,n); t.i. algebras, kurām eksistē
galīga bāze, kas sastāv no n elementiem.
Algebrā aprakstīsim brīvo objektu, kas atbilst mainīgo kopai X { x , x , 1 2
K,
x n
}
algebras aksiomām seko, ka jebkuru algebras A ( Kom( K ),
n)
formā
f
=
∑
α∈K
α
k1
k2
kn
a1 ⋅ a La
. Šeit elementi a
i
ir elementu
i1i2
Kin
2
n
= . No
∈ elementu f var aprakstīt
x
i
attēli morfismā, kura
eksistence aprakstīta universālā objekta definīcijā. No šī apraksta ir skaidrs, ka algebra,
kuras kopa sastāv no elementiem
f
=
∑
α∈K
α
x
⋅ x
k1
k2
i1i
2Kin
1 2
Lx
kn
n
K un sauksim par
polinomu algebru no mainīgajiem X ar koeficientiem laukā K. Faktiski mēs esam
pierādījuši teorēmu:
ir universāls objekts šajā algebru kategorijā. Šo algebru apzīmēsim ar [ X ]
Teorēma 5.5. Komutatīvo algebru klasē ( ( K ),
X )
no mainīgajiem X.
Kom brīvā algebra ir polinomu algebra
Šis ir viens no nedaudzamajiem gadījumiem, kad ne tikai pati brīvā algebra K [ X ]
, bet arī
visas tās faktoralgebras ir konstruktīvi objekti. Šī apgalvojuma pierādījums ir saistīts ar
Grebnera bāzes eksistenci; tās definīcija, eksistences pierādījums un konstruktīvs algoritms
tās atrašanai tiek aplūkots konstruktīvās algebras kursā.
Piemērs. Komutatīvo R-algebru klasē aplūkosim brīvo algebru, kuras veidotājsistēma
Kom R , x . Faktiski šī algebra ir polinomu algebra no viena
sastāv no viena elementa x: ( ( ) { })
mainīgā x ar koeficientiem laukā R. Šajā algebrā aplūkosim ideālu I = ( x 2 +1)
faktoralgebru
R
[ x ] ( ) = f ( x ) + I / f ( x ) ∈ R [ x ]
x
+ 1
Izdalot polinomu ( x)
{ }
2 .
f ar polinomu x 2 + 1 ar atlikumu iegūstam:
. Aplūkosim
52

2
( x) = ( x + 1) ⋅ q( x) + ( a bx)
f +
.
Atlikums ir polinoms, kura pakāpe ir mazāka par 2. No uzrakstītās vienādības seko, ka
f ( x) I = ( a + bx) + I
R x
var aprakstīt šādi:
x 2 +1
+ . Tātad aplūkojamo faktorgredzenu
[ ] ( )
R[ x] (
2 )
= {( a + bx)
+ I / a,
b ∈ R} = { a + bx / a,
b ∈ R}
.
x
+ 1
R x
Šajā pierakstā katrs gredzena
[ ] ( x 2 +1)
(ar i apzīmējām elementu x ). Atzīmēsim, ka
2
2
2
i = x = ( x + 1) −1
= −1
gredzenā
R[ x] ( x 2 +1)
elements ir viennozīmīgi pierakstīts formā
Tātad aplūkojamais faktorgredzens faktiski ir komplekso skaitļu lauks
2
{ a + bi / a,
b ∈ R,
= −1}
C = i .
.
a + bi
53

6. lekcija
Lauki un to paplašinājumi
Lekcijā aprakstīti lauku un komutatīvu gredzenu paplašinājumi. Kā
galvenos rezultātus ir jāuzskata primitīvā lauka jēdziens kā arī
iespēja galīgus lauka paplašinājumus realizēt matricu gredzenā.
6.1. Lauka definīcija un piemēri
Algebriskais objekts – lauks jau vairākas reizes ir parādījies mūsu lekcijās. Pirms dosim šā
jēdziena definīciju, jāatzīmē, ka lauks ir visas matemātikas (vismaz skaitļu matemātikas
pamatobjekts). Šeit jāatzīmē, ka skaitļa jēdziens matemātikā veidojās pakāpeniski:
1) Sākumā bija naturālie skaitļi N (vēlāk, pievienojot šim objektam arī 0 elementu, ieguvām
naturālos skaitļus ar 0 – N
0
). Šajā kopā varēja izpildīt saskaitīšanas un reizināšanas
operācijas.
2) Pirmā pretruna bija saistīta ar to, ka naturālo skaitļu kopā nebija definēta atņemšanas
operācija. Šī problēma tika viegli atrisināta, ievedot negatīva skaitļa jēdzienu un nonākot
pie kopas Z – veselo skaitļu kopas. No mūsdienu matemātikas viedokļa tika izveidots
veselo skaitļu gredzens – algebriska struktūra, kurā var izpildīt saskaitīšanas, atņemšanas
un reizināšanas operācijas. Ievērosim, ka saskaitīšanas un reizināšanas operācijas skaitļu
kopās ir komutatīvas, tātad saskaitāmo un reizinātāju secībai nav nozīmes.
3) Nākošā problēma bija saistīta ar to, ka praksē bija nepieciešama arī dalīšanas operācija:
a (šī problēma radās pašās vienkāršākajās sadzīves situācijās, kad kopīgi iegūtā manta
b
bija jāsadala vienādās daļās). Tādā veidā radās racionālās daļas. Līdz ar to radās arī
racionālo skaitļu kopas Q jēdziens; ar daļu aritmētiku mēs iepazīstamies pamatskolas kursā.
No algebriskā viedokļa šeit jāatzīmē divas nianses:
a) daļu a var definēt, ja elementam b ir definēts apgrieztais elements; t.i. elements
b
−1
−
b , tāds, ka 1 −1
b ⋅b
= 1; tādā gadījuma varam definēt a = a ⋅ b
b
un pārbaudīt, ka
visas operācijas ar daļām a izpildās atbilstoši prasītajām īpašībām;
b
1
b) elementam 0 nevar piekārtot elementu 0 − , kura ievešana gan loģiski gan
aritmētiski neizsauktu pretrunas skaitļu aritmētikā.
Šī vienkāršā pretruna (punkts b))no algebras viedokļa ir ļoti nopietna. Tieši šī iemesla dēļ
lauku teorija neiekļaujas vispārīgo algebru varietāšu teorijā un lauku teorija ir īpašs
matemātikas virziens, kas nepieciešams praktiski visu matemātisko teoriju attīstībai, bet kā
objekts neiekļaujas pat vienkāršākajā algebras struktūrā – algebru varietāšu jēdzienā.
Tālākā skaitļu kopas attīstība bija saistīta ar vairākām pretrunām, kas parādīja, ka
aplūkojamais objekts neatbilst realitātei. Šādas pretrunas nevis norāda dotās teorijas
aplamumu, bet dod iespēju matemātiķiem vispārināt šo teoriju, pieskaņojot to realitātes
prasībām.
Šeit būtu jāatzīmē divi galvenie skaitļu kopas paplašinājuma virzieni. Tie ir saistīti ne tikai
ar skaitļa jēdziena vispārinājumu. Šie divi virzieni noteica arī skaitļu teorijas (un arī visas
matemātikas, jo nav matemātikas bez skaitļiem,) attīstību divos virzienos.
1. Pirmo pieeju varētu nosaukt par diskrēto pieeju. Tās pamatā ir "absolūti
neapgāžama" ideja: "Katru apgalvojumu cilvēks var pierakstīt tikai diskrētā veidā (tiešām,
apgalvojuma pierakstu matemātikā mēs esam spiesti pierakstīt formālu simbolu virknē)".
54

To, ka diskrētais pieraksts ne vienmēr var precīzi atspoguļot aprakstāmo objektu, mēs
varētu pārliecināties, noklausoties izcilu muzikantu koncertu tiešā izpildījumā un salīdzināt
to ar ierakstu kompaktdiskā.
No Pitagora teorēmas seko, ka kvadrāta, kura mala ir vienāda ar 1, diagonāles kvadrāts ir
vienāds ar 2. Vienkārši var pierādīt, ka nav tāda racionāla skaitļa, kura kvadrāts būtu
vienāds ar 2. Tātad kvadrāta diagonāles garumu nevar aprakstīt racionāls skaitlis.
Algebriskās skaitļu teorijas pieeja bija sekojoša: apzīmēsim ar α "skaitli", kuram izpildās
vienādība α 2 = 2 . Tālāk aplūkosim skaitļu lauku Q( 2) = { a + bα / a,
b ∈ Q}
, kurā
algebriskos pārveidojumus izpildām pēc parastajiem aritmētikas likumiem, papildus
ievērojot vienādību α 2 = 2 .
Šo lauku var algebriski aprakstīt kā polinomu gredzena Q [ x]
faktorgredzenu:
Q [ 2 ] ≅
Q[ x] ( x
2 − 2 )
.
Viegli pārbaudīt, ka šādā objektā var saskaņoti izpildīt visas aritmētiskās operācijas.
Protams, ka šī pieeja noveda pie vispārinājumiem, kuros racionālo skaitļu laukam tika
pievienoti elementi m d kā arī patvaļīga algebriska vienādojuma f ( x)
sakne α. Šādu
objektu formālās definīcijas tiks aplūkotas turpmākajās lekcijās.
2. Otrā ideja racionāla skaitļa un šī skaitļu lauka vispārināšanai bija "nepārtrauktā"
pieeja. Nepārtrauktās idejas pamatā bija doma, ka visus skaitļus var sakārtot uz skaitļu ass.
Tātad, katram veselam skaitlim n atbilst skaitļu ass punkts ( n ). Viegli konstruēt arī visus
racionālos skaitļus ( m ) . Šāda interpretācija labi saskaņojās ar cilvēka psiholoģisko uztveri
n
par kvantitātes jēdzienu. Problēmas, kas radās algebriskajā skaitļu teorijā (teiksim skaitļa
2 eksistence) bija atrisinātas; uz skaitļu ass (izmantojot Pitagora teorēmu) varēja atzīmēt
punktu, kura vērtība ir 2 . Vispār, reāls skaitlis tagad bija virkne
anan− 1
K a0
, a−
1,
a−2
, K,
a−k
, K – skaitļa pieraksts decimālajā, binārajā vai jebkurā
pozicionālajā sistēmā. Šajā pierakstā slēpjas pati būtiskākā "pretruna" starp diskrēto un
nepārtraukto matemātiku. Diskrētajā pierakstā apzīmējumam
anan− 1
K a0
, a−
1,
a−2
, K,
a−k
, K nav jēgas, jo tas nav galīgi pierakstāms. Nepārtrauktajā
matemātikā šim pierakstam ir jēga (nepārtrauktajā matemātikā netiek prasīts, lai konkrēts
objekts būtu konkrēti pierakstīts}; turklāt ir iespējams šo objektu aprakstīt konkrētam
skaitlim k; tas dod iespēju nepārtraukto skaitļa pierakstu uztvert par abstraktu objektu,
kuram, atkarībā no nepieciešamās precizitātes, var piekārtot "diskrētu" skaitli ar aptuveni
atbilstošām aritmētiskajām īpašībām. Šī pieeja deva iespēju izveidot abstraktu reālā skaitļa
jēdzienu, kura precīzs pieraksts nevar būt diskrētajā matemātikā realizējams (tas būtu
pretrunā ar informācijas daudzuma jēdzienu).
Rezultātā mēs ieguvām divas skaitļu teorijas:
1) teoriju, kas atzīst tikai skaitļu kopas vispārinājumus, kas izmanto tikai diskrēto
matemātiku un
2) teoriju, kas atzīst reālos skaitļus un dažādus nekonstruktīvus reālo skaitļu
paplašinājumus.
Kā jau katra šāda pretruna, tā nav jāuztver kā matemātiska pretruna ( vai, jo vairāk, kā
matemātikas gals), bet gan kā jautājums: "Kā atrisināt šo problēmu".
Pirmo problēmu izdevās atrisināt diezgan vienkārši. Algebriskos skaitļus, kas bija konkrētu
polinomu saknes izdevās aprakstīt kā reālus vai kompleksus skaitļus, kurus var aprēķināt ar
patvaļīgu precizitāti.
Nākošā problēma apvienoja gan diskrēto pieeju gan nepārtraukto pieeju. Izrādījās, ka
2
vienādojuma x + 1 = 0 sakne, kas no diskrētās pieejas nav sliktāks objekts kā vienādojuma
55

2
x − 2 = 0 sakne, nevar būt attēlots kā reāls skaitlis uz skaitļu ass. Tad nepārtrauktās
matemātikas veidotāji ieveda abstraktu simbolu i, kuru definēja kā skaitli, kura kvadrāts ir
" − 1". Acīmredzot, šajā momentā viņi aizmirsa par strīdu starp nepārtraukto un diskrēto
matemātiku. Jāsaka, ka viņiem paveicās; jo izrādījās, ka skaitļu kopā
2
C = R[ i] = { a + bi / a,
b ∈ R,
i = −1}
tagad bija iespējams atrisināt jebkuru algebrisku
vienādojumu.
Teorēma 6.0. ( Komplekso skaitļu algebras pamatteorēma).
Jebkuram polinomam f ( x)
, kura pakāpe ir ne mazāka par 1, komplekso skaitļu laukā C
eksistē skaitlis c ∈ C , kas ir šī polinoma sakne.
Pirmais šo teorēmu pierādīja ģeniālais vācu matemātiķis Gauss. No šīs teorēmas seko, ka
jebkuru polinomu ar kompleksiem koeficientiem var uzrakstīt kā lineāru polinomu
reizinājumu:
f ( x) = a ⋅ ( x − c1 ) ⋅ ( x − c2
) ⋅L⋅
( x − c n
).
Tātad, risinot algebriskus vienādojumus, tālākā komplekso skaitļu paplašināšana nebija
nepieciešama. Jāatgādina tikai, ka gan lauks R , gan lauks C nav konstruktīvi objekti: tas
nozīmē, ka jebkura to realizācija datoros ir saistīta ar aptuveno aritmētiku.
Tagad aplūkosim lauka definīciju.
Definīcija 6.1. Par lauku P sauc komutatīvu gredzenu ar vieninieku ( tā signatūra
aprakstīta iepriekšējās lekcijās), kuram papildus izpildās šāda īpašība:
( x ⋅ y )
∀x ≠ 0 ∃y
= 1 .
Piemēri.
1. Skaitļu lauki: Q – racionālo skaitļu lauks, R – reālo skaitļu lauks, C – komplekso skaitļu
lauks, un dažādi šo lauku apakšlauki.
2. Skaitļu lauks Q( − ) = { a + b − 5 / a,
b ∈ Q}
gredzena Q [ x]
faktorgredzenu:
( − 5) =
Q[ x] ( x
2 + 5)
Q .
5 ; šo lauku var aprakstīt kā polinomu
3 3 2
3. Skaitļu lauks Q( α ) = { a + b ⋅ 7 + c 7 / a,
b,
c ∈ Q}
3
x − 7 = 0 sakne.
4. Racionālo daļu lauks K ( x , x , 2
, )
x n
, kur α ir kubiskā vienādojuma
1
K – tās ir visas racionālās izteiksmes, kuras var
uzrakstīt izmantojot norādītos mainīgos.
5. Skaitļu lauks pēc moduļa p: = { 0,
1, 2, , p −1}
tiek izpildītas pēc moduļa p.
Z p
K – tas ir galīgs lauks, kurā operācijas
Katrā algebru klasē mēs definējām vairākus pamatjēdzienus, kas dod iespēju no dotajām
algebrām izveidot jaunu algebru. Nekādas problēmas nerodas, aplūkojot apakšlauka
definīciju; piemēram, lauks Q ( 3)
ir reālo skaitļu R apakšlauks.
Otra metode – tiešais reizinājums ir absolūti nepiemērojama lauku teorijā, jo lauku tiešais
reizinājums nav lauks.
Piemēram, Q × Q = {( a, b)
/ a,
b ∈ Q}
ir komutatīvs gredzens, bet apgrieztais elements šajā
gredzenā eksistē tikai tiem elementiem ( a, b)
, kuriem a ≠ 0 un b ≠ 0 . Redzam, ka šajā
gredzenā apgrieztais elements nav definēts visiem nenulles elementiem; tātad tas nav lauks.
Arī lauka faktorizēšana nevar dot jaunus objektus.
56

Teorēma 6.1. Jebkurā laukā K eksistē tikai divi ideāli: nulles ideāls un vienības ideāls K.
Pierādījums. Pieņemsim, ka ideāls I nav nulles ideāls. Tādā gadījumā eksistē a ∈ I , a ≠ 0 .
Šim elementam eksistē apgrieztais elements, un no ideāla definīcijas seko, ka
−1
1 = a ⋅ a ∈ I ; bet tādā gadījumā arī jebkurš lauka elements k = k ⋅1pieder ideālam I. Tas
nozīmē, ka šajā gadījumā I = K .
Faktorizēšana pēc nulles ideāla nemaina lauku, bet faktorizēšana pēc vienības ideāla
pārvērš lauku par triviālu objektu – gredzenu, kas sastāv tikai no viena – nulles elementa,
un tas nav lauks, jo lauka definīcijā tiek pieprasīts, lai vienības elements nebūtu vienāds ar
0.
Atliek aplūkot lauku morfismus. Lauka morfismu definē kā gredzena morfismu (tas, ka
apgrieztais elements attēlojas apgrieztajā elementā viegli izriet no gredzenu morfisma
definīcijas). Tātad katra lauku morfisma
f : K → L kodols ir lauka K ideāls. Tā kā
patvaļīgam laukam K ir tikai divi ideāli { 0 } un K, tad iespējami divi gadījumi:
1) Ja f : K → L un Kerf = K , tad attēlojums ir triviāls (visi elementi attēlojas
nulles elementā). Šajā gadījumā Im f = 0 un attēlojuma rezultātā pazūd visa informācija
par sākotnējo lauku; turklāt, attēls nav lauks, jo laukā vienības elements nav vienāds ar
nulles elementu; tātad gredzens Im f nav lauks.
2) Ja f : K → L un Kerf = { 0}
, tad attēlojums ir injektīvs; tas nozīmē, ka
K ≅ Im f un lauku K faktiski var uzskatīt par lauka L apakšlauku, bet lauku L par lauka K
paplašinājumu. Tātad lauku situācijā morfisma jēdziens reducējas uz lauka paplašinājuma
jēdzienu.
Definīcija 6.2. Lauku K sauc par primitīvu, ja tas nesatur citus apakšlaukus.
Lai varētu aprakstīt visus primitīvos laukus, mēs ievedīsim lauka harakteristikas jēdzienu.
6.2. Lauka harakteristika
Ar n ⋅1
apzīmēsim lauka K elementu 1 + 42 1+
K 43 + 1.
n reizes
Definīcija 6.3. Dots lauks K. Mazāko naturālo skaitli p, kuram izpildās vienādība p ⋅1 = 0
sauc par lauka K harakteristiku. Ja šāds skaitlis p neeksistē, tad saka, ka lauka
harakteristika ir 0.
Atzīmēsim, ka n ⋅1
nav reizināšanas operācija laukā K , bet tikai summas 1 + 42 1+
K 43 + 1
n reizes
apzīmējums.
Iespējamas divas situācijas:
1) Starp elementiem k ⋅1
ir vienādi elementi; tas nozīmē, ka eksistē k > m , kuriem
k ⋅1 = m ⋅1
⇒ ( k − m) ⋅1
= 0 . Tātad eksistē tāds naturāls skaitlis n, kuram izpildās
vienādība n ⋅1 = 0 .
Pierādīsim, ka šajā gadījumā p ir pirmskaitlis. Pieņemsim pretējo, ka p = n ⋅ k, n ≠ 1, k ≠ 1.
Tādā gadījumā ( p ⋅1 ) = ( n ⋅1) ⋅ ( k ⋅1) = 0 ; tā kā laukā nav nulles dalītāji, tad n ⋅1 = 0 vai
k ⋅1 = 0 , bet tas ir pretrunā ar to, ka p ir mazākais elements, kuram p ⋅1 = 0. Tātad lauka
Z p
= 0,
1, 2, K , p −1
;
harakteristika var būt tikai pirmskaitlis. Šāda lauka piemērs ir lauks { }
operācijas tiek izpildītas pēc moduļa p. Viegli pārbaudīt, ka šis lauks ir primitīvs, jo tas
nesatur netriviālus apakšlaukus.
2) Visi elementi { k ⋅ 1 / k ∈ Z}
ir dažādi; tad lauks K satur gredzenu, kas ir izomorfs
gredzenam Z .
57

Tā kā laukā ir iespējama arī elementu dalīšana, tad K satur arī racionālo skaitļu lauku Q. Arī
racionālo skaitļu lauks ir primitīvs, jo visus tā elementus var iegūt no elementa 1, atkārtoti
pielietojot lauka operācijas. Faktiski mēs esam pierādījuši sekojošu teorēmu:
Teorēma 6.2. Jebkurš lauks ir primitīva lauka paplašinājums. Primitīvi lauki ir lauks Q un
lauki Z jebkuram pirmskaitlim p.
p
Tiešām, atkarībā no tā kāda ir lauka harakteristika, lauks satur vai nu lauku
Z
p
vai lauku Q.
Ja lauks ir lauka Q paplašinājums, saka, ka tā harakteristika ir 0, ja lauks ir lauka
paplašinājums, tad saka, ka lauka harakteristika ir p.
Tagad fiksēsim pamatlauku K , un pārējos laukus L uzskatīsim par lauka K
paplašinājumiem. Arī šajā situācijā veidojas objekts, ko formāli vajadzētu uzskatīt par
vairākšķiru objektu, bet atkal ir vienkārša iespēja lauku L uzskatīt par vienšķiru objektu,
visus apakšlauka K elementus uzskatot par konstantēm. Tātad mēs varam aplūkot divus
lauku tipus (lauku paplašinājumu tipus):
1) racionālo skaitļu lauka Q paplašinājumi ( lauki ar harakteristiku 0);
2) lauka Z
p
paplašinājumi (lauki ar galīgu harakteristiku).
Ar K apzīmēsim pamatlauku; tad ar L vai K ⊂ L apzīmēsim patvaļīgu lauka K
paplašinājumu. Par paplašinājuma L automorfismu grupu sauksim kopu
{ f ∈ Aut ( L)
/ ∀x
∈ K xf = x}
;
automorfismu reizinājumu definējam kā attēlojumu kompozīciju. Tātad lauka
paplašinājuma automorfisms ir identisks attēlojums bāzes laukā. Aplūkosim vienu no
svarīgākajiem lauku paplašinājumiem algebrā: R ⊂ C .
C = { a + bi / a,
b ∈ R}
ir komplekso skaitļu lauks.
a + bi f = a + b if . Atliek
Pieņemsim, ka f ir lauka C automorfisms pār lauku R. Tad ( ) ( )
noskaidrot if vērtību. No vienādības ( 1) 2 ( ) 2
Z
p
− 1 = − f = i f = if seko, ka pastāv divas
iespējas:
a) if = i ; šajā gadījumā f ir identisks attēlojums;
b) if = −i
; šajā gadījumā ( a + bi) f = ( a − bi)
, un attēlojums f piekārto kompleksam
skaitlim z tā saistīto skaitli.
Redzam, ka komplekso skaitļu laukā eksistē divi automorfismi: identiskais attēlojums un
saistītā skaitļa piekārtojums.
Vispārīgā gadījumā patvaļīga lauka paplašinājumu K ⊂ L raksturo tā automorfismu grupa
Aut
K
( L)
. Ja šis paplašinājums ir normāls (ar normāla paplašinājuma jēdzienu un Galuā
teoriju var iepazīties literatūrā [Lang] 8.1.)), tad šo grupu sauc arī par paplašinājuma Galuā
grupu .
6.3. Komutatīvo gredzenu faktorgredzeni
Komutatīvus gredzenus no lauka atšķir viena, bet ļoti būtiska īpašība; komutatīvos
gredzenos nav definēta dalīšanas operācija. Viena no īpašībām, kas neļauj realizēt elementu
dalīšanu it nulles dalītāju eksistence.
Definīcija 6.4. Saka, ka gredzena elementi a, b ir nulles dalītāji, ja a ≠ 0,
b ≠ 0 , bet to
reizinājums a ⋅ b = 0 .
Gredzenu, kuram neeksistē nulles dalītāji sauc par veseluma apgabalu.
58

Skaidrs, ka komutatīvā gredzenā, kas ir lauks, šāda situācija nav iespējama. Šāda situācija
nav iespējama arī veselo skaitļu gredzenā (tāpat arī racionālo, reālo un komplekso skaitļu
laukā).
Piemēri.
1. Gredzenā Z
6
nulles dalītāji ir elementi 2 un 3, jo 2 ⋅ 3 = 0 .
2. Matricu gredzenā ( R)
A ⋅ B = 0 .
Uzdevumi.
⎛1
1⎞
⎛ 1 1 ⎞
M 2
nulles dalītāji ir matricas A = ⎜ ⎟ un B = ⎜ ⎟ , jo
⎝0
0⎠
⎝−1
−1⎠
1. Pierādiet, ka Z
n
ir veseluma apgabals tad un tikai tad, kad n ir pirmskaitlis.
2. Pierādiet, ka matricu gredzenā M n
( R)
nulles dalītāji ir tās un tikai tās matricas, kuru
determinanti nav vienādi ar 0.
Veseluma apgabalos principiāli atšķirīga ir vienādojumu risināšanas teorija.
2
Aplūkosim tikai vienu piemēru. Jāatrisina vienādojums x − 3x + 2 = 0 reālo skaitļu laukā.
Mēs pārveidojam vienādojumu formā ( x −1 ) ⋅ ( x − 2) = 0 ; tā kā reālo skaitļu laukā skaitļu
reizinājums var būt nulle tikai, ja kāds no reizinātājiem ir 0, tad mēs secinām, ka
( x −1 ) = 0 ∨ ( x − 2) = 0 , no šejienes atrodot divus atrisinājumus x = 1 , x = 2 .
Tagad atrisināsim šo vienādojumu gredzenā Z
6
. Šajā gadījumā izmantosim tiešās pārlases
metodi. Sastādot tabulu, iegūstam:
x
2
( x − 3x + 2) ( mod6)
0 2
1 0
2 0
3 2
4 0
5 0
Redzam, ka šajā gadījumā vienādojumam ir 4 atrisinājumi.
Nulles dalītāja jēdziens ir tieši saistīts ar primitīvā ideāla jēdzienu.
Definīcija. 6.5. Ideālu I komutatīvā gredzenā K sauc par primitīvu ideālu, ja no tā, ka
a ⋅ b ∈ I seko, ka ( a ∈ I ) ∨ ( b ∈ I ).
Viegli pārbaudīt, ka veselo skaitļu gredzenā galvenie ideāli, ko veido pirmskaitļi, un
polinomu gredzenos galvenie ideāli, ko veido primitīvi polinomi, veido primitīvus ideālus.
Teorēma 6.3 I ir primitīvs ideāls gredzenā K tad un tikai tad, ja K ir veseluma apgabals.
I
Pierādījums. Pieņemsim, ka I nav primitīvs ideāls. Tādā gadījumā eksistē elementi a ∉ I
un b ∉ I , kuru reizinājums a ⋅ b ∈ I . Tātad a ⋅ b = 0 gredzenā K , bet a ≠ 0 un b ≠ 0
I
gredzenā K ; līdz ar to pierādīts, ka K nav veseluma apgabals.
I
I
Otrādi; pieņemsim, ka I ir primitīvs ideāls. Tad vienādība a ⋅ b = 0 nozīmē, ka a ⋅ b ∈ I . Tā
kā ideāls ir primitīvs, tad ( a ∈ I ) ∨ ( b ∈ I ); tas nozīmē, ka a = 0 ∨ b = 0 ; tātad K ir
I
veseluma apgabals.
Analoģiski var pierādīt sekojošu teorēmu (pierādījumu skat. [Zar], 2.4.).
59

Definīcija 6.6. Gredzena K ideālu sauc par maksimālo ideālu, ja neeksistē tāds gredzena K
ideāls J, kuram I ⊂ J ⊂ K .
≠
≠
Teorēma 6.4. Dots komutatīvs gredzens ar vieninieku K. Tā faktorgredzens
tad un tikai tad , kad ideāls I ir gredzena maksimālais ideāls.
K ir lauks
I
Aplūkosim patvaļīgu lauku L un tā paplašinājumu L ⊂ K . Kā jau tika pieminēts šo objektu
var aplūkot kā vienšķiru algebru, uzskatot visus L elementus par konstantēm. No lauka
aksiomām seko, ka K ir lineāra telpa pār lauku L. Ar E apzīmēsim lineārās telpas K bāzi pār
lauku L. Ja E ir galīga kopa, tad teiksim, ka K ir galīgs lauka L paplašinājums. Galīga
paplašinājuma piemēri ir Q ⊂ Q( 2 ) un R ⊂ C . Bezgalīga lauka paplašinājuma piemērs ir
R ⊂ R( x)
. Galīgos lauku paplašinājumus aplūkosim nākošajā lekcijā; faktiski tad būs
pierādīts, ka jebkuru galīgu lauka paplašinājumu var iegūt no pamatlauka, pievienojot tam
noteikta algebriska vienādojuma sakni.
Uzdevumi.
1. Vai lauki Q ( 2)
un Q ( 5)
ir izomorfi
2. Vai jebkurš galīgs veseluma apgabals K ir lauks
3. Pierādīt, ka jebkurš komutatīvs gredzens K, kurš sastāv no 5 elementiem ir vai nu
izomorfs gredzenam Z
5
, vai tas ir gredzens ar triviālo reizināšanu (t.i. ∀a , b a ⋅ b = 0 )
n
4. Gredzena K elementu x sauc par nilpotentu, ja ∃n
∈ N x = 0 . Pierādīt:
a) ja x ir nilpotents elements, tad ( 1 − x)
ir apgriežams elements;
b) gredzens Z
m
satur nilpotentus elementus tad un tikai tad, kad m dalās ar kāda
naturāla skaitļa n > 1 kvadrātu.
⎧⎛
a b⎞⎫
5. Pierādīt, ka matricu kopa ⎨⎜
⎟⎬, a, b ∈ Z
3
veido lauku no 9 elementiem, kura
⎩⎝
− b a⎠⎭
multiplikatīvā grupa ir cikliska 8-elementu grupa.
6.4. Gredzena reprezentācija
Mēs aplūkosim gredzenus, kuri ir fiksētu lauku – teiksim lauku Q, R, C vai
paplašinājumi. Katru šādu paplašinājumu K ⊂ L var aplūkot kā lineāru telpu pār lauku K.
Aplūkosim situāciju, kad L ir galīgi bāzēta lineāra telpa pār lauku K. Tādā gadījumā katru L
elementu var aprakstīt kā lineāru kombināciju no telpas L bāzes elementiem; t.i.,
l = a1e1
+ a2e2
+ L + anen
, ai
∈ K . Tātad faktiski katrs L elements ir n-dimensionālas
n
lineārās telpas K elements. Jādefinē ir tikai L elementu reizināšana. Tā kā gredzenā
izpildās lineārie un distributīvie likumi, tad
n
∑
a e
⋅
n
∑
b e
=
∑
i i j j
i= 1 j=
1
i,
j
a b
i
j
( e ⋅ e )
i
j
;
tas nozīmē, ka jādefinē tikai bāzes elementu reizinājumi. Katram telpas L elementam l
atbilst lineārs operators:
( x) = l ⋅ x
l : L → L,
l .
Šā lineārā operatora matricu apzīmēsim ar lˆ .
Z
p
60

Faktiski mēs esam aprakstījuši attēlojumu f L → M ( K )
:
n
. Aprakstītais attēlojums ir
injektīvs gredzenu morfisms, un to sauc par gredzena L regulāro reprezentāciju matricu
K . No šejienes seko teorēma.
gredzenā ( )
M n
Teorēma 6.5. Jebkurš gredzens, kurš ir galīgs lauka K paplašinājums ir izomorfs matricu
M n
K apakšgredzenam.
gredzena ( )
Tas dod mums iespēju uzskatīt matricu gredzenu kā universālu gredzenu, kura
apakšgredzeni realizē visus gredzenus, kas ir galīgi lauka K paplašinājumi.
Piemēri.
2
1. Aplūkosim reālo skaitļu lauku R. Aplūkosim vienādojuma x + 1 = 0 sakni. Apzīmēsim
šo "skaitli" ar i. Lineārās telpas R [ i]
bāze sastāv no elementiem 1 un i.. Lauks C = R[ i]
, kā
lineāra telpa pār lauku R ir divdimensionāla telpa; tā bāze ir vektori 1 un i. Aprakstīsim
reizināšanas operāciju šiem elementiem:
1⋅1
= 1⋅1+
0 ⋅ 0
;
1⋅
i = 0 ⋅1+
1⋅i
⎛1
0⎞
tātad elementam "1" atbilst matrica 1ˆ = ⎜ ⎟ .
⎝0
1⎠
Reizinot ar elementu i iegūstam sakarības:
i ⋅1
= 0 ⋅1+
1⋅
i
i ⋅ i =
( −1) ⋅1+
0 ⋅i
;
⎛0
−1⎞
elementam "i" atbilst matrica î = ⎜ ⎟ .
⎝1
0 ⎠
⎛a
− b⎞
Patvaļīgam kompleksam skaitlim a + bi atbilst matrica ⎜ ⎟ .
⎝b
a ⎠
Aprakstītā atbilstība ir komplekso skaitļu reprezentācija matricu gredzenā. Šie lauki ir savā
starpā izomorfi un aprēķini abos objektos noved pie vienādiem rezultātiem. Lai gredzena
reprezentācijas jēdziens kļūtu skaidrāks, aplūkosim dažus uzdevumus.
Uzdevumi.
1. Aprakstīt doto gredzenu regulārās reprezentācijas:
Q 2 ,
a) ( ( )
b) ( ( 3
5
)
Q ,
3
( / α −α −1
= 0)
Q .
c) ( α )
Aplūkosim piemēru b). Ar k apzīmēsim elementu 3 5 ; gredzens ( ( 3
5
)
telpa pār lauku Q. Tās bāze ir vektori 1, k,
2
1⋅1
= 1⋅1+
0 ⋅ k + 0 ⋅ k
1⋅
k = 0 ⋅1+
1⋅
k + 0 ⋅ k
2
1⋅
k = 0 ⋅1+
0 ⋅ k + 1⋅
k
⎛1
0 0⎞
⎜ ⎟
Tātad 1ˆ = ⎜0
1 0⎟
.
⎜ ⎟
⎝0
0 1⎠
2
2
Q ir 3-dimensionāla
2
k . Aprakstīsim šo elementu matricas:
61

k ⋅1
= 0 ⋅1+
1⋅
k + 0 ⋅ k
2
2
k ⋅ k = 0 ⋅1+
0 ⋅ k + 1⋅
k .
2
2
k ⋅ k = 5⋅1+
0 ⋅ k + 0 ⋅ k
⎛0
0 5⎞
⎜ ⎟
Tātad ˆk = ⎜1
0 0⎟
.
⎜ ⎟
⎝0
1 0⎠
2
2
k ⋅1
= 0 ⋅1+
0 ⋅ k + 1⋅
k
2
2
k ⋅ k = 5⋅1+
0 ⋅ k + 0 ⋅ k .
2 2
2
k ⋅ k = 0 ⋅1+
5⋅
k + 0 ⋅ k
⎛0
5 0⎞
⎜ ⎟
Tātad k ˆ 2 = ⎜0
0 5⎟
.
⎜ ⎟
⎝1
0 0⎠
2
Patvaļīgu šā lauka elementu x = a + bk + ck var aprakstīt ar matricu
⎛a
5c
5b
⎞
⎜ ⎟
2
a + bk + ck = ⎜b
a 5c
⎟ .
⎜ ⎟
⎝ c b a ⎠
3
Q 5 ≅
K x
3 elementiem.
x − 5
Šajā piemērā parādīts kā konstruktīvi var strādāt ar lauka ( ) [ ] ( )
62

7. lekcija
Algebriskie paplašinājumi.
Lekcijā aplūkoti dažādi algebrisko paplašinājumu veidi: vienkāršs algebrisks
paplašinājums, salikts algebrisks paplašinājums, paplašinājums ar galīgu
skaitu algebriskiem elementiem, galīgs paplašinājums. Pierādīts, ka visi šie
paplašinājumu veidi ir ekvivalenti. Galvenais rezultāts ir teorēma par
primitīvo elementu. Atsevišķi aplūkoti otrās pakāpes paplašinājumi.
7.1. Vienkāršs algebrisks paplašinājums
Iepriekšējā lekcijā tika aplūkoti dažādi lauku paplašinājumi. Mūsu tagadējais mērķis ir
paplašināt lauku ar algebriskiem elementiem. Sāksim ar pamatdefinīciju.
Definīcija 7.1. Pieņemsim, ka L ir lauka K paplašinājums. Saka, ka elements α ∈ L ir
algebrisks pār lauku K, ja eksistē tāds nenulles polinoms f ( x) ∈ K[ x]
, kura sakne ir α .
Katram algebriskam elementam eksistē mazākās pakāpes polinoms, kura sakne ir α . Šo
polinomu sauc par algebriskā elementa minimālo polinomu. Ja pamatlauks K ir racionālo
skaitļu lauks, tad α sauc par racionālu skaitli.
Piemēram skaitļa 2 minimālais polinoms laukā Q ir polinoms x
2 − 2 . Izdalot minimālo
polinomu ar tā vecāko koeficientu, mēs varam iegūt minimālo polinomu, kura vecākais
loceklis ir vienāds ar 1; šādus polinomus sauc par unitāriem polinomiem. Algebriski ir arī
skaitļi 5 3 , 3 2 + 7 , utt. Šo skaitļu minimālie polinomi ir 5 3
x − 3 un ( x − ) − 7 . Taču ne
visi algebriskie skaitļi ir iegūstami, izmantojot aritmētiskās operācijas un radikāļa zīmes.
5
Piemēram, vienādojuma x − x −1
saknes nav "aprakstāmas radikāļos". Uz jautājumu,
kādu vienādojumu saknes var " izteikt radikāļos" , atbild Galuā teorija. Izrādās, ka
vispārīgu algebrisku vienādojumu, kura pakāpe ir augstāka par 4, nevar atrisināt radikāļos.
Svarīgs ir arī šāds jautājums: "Vai eksistē dotā lauka K paplašinājums, kurš satur fiksēta
primitīva polinoma p ( x)
sakni". Tāds lauks vienmēr eksistē, jo
L =
K[ x]
p x
( ( ))
ir lauka K paplašinājums, kurā x ir polinoma ( x)
pierādīts teorēmā 7.2.
Teorēma 7.1.
2 2
p sakne. Šis apgalvojums faktiski ir
1. Ja α ir algebrisks skaitlis pār lauku K, m ( x)
tā minimālais polinoms un ( x)
patvaļīgs polinoms, kura sakne ir α , tad f ( x)
dalās ar m ( x)
.
2. Katram algebriskam skaitlim α eksistē vienīgais unitārais minimālais polinoms.
3. Minimālais polinoms ir primitīvs polinoms.
Pierādījums. 1. Izdalīsim polinomu f ( x)
ar polinomu m ( x)
ar atlikumu:
f ( x) = m( x) ⋅ q( x) + r( x)
, turklāt deg ( r( x)
) < deg( m( x)
) .
Ievietojot vienādībā x vietā α , iegūstam vienādību r ( α ) = 0 . Tā kā ( x)
minimālais polinoms, tad vienādība r ( α ) = 0 var izpildīties tikai, ja ( )
polinoms. Tātad f ( x)
dalās ar m ( x)
.
f --
m ir elementa α
r x ir nulles
63

2. Pieņemsim, ka m 1
( x)
un ( x)
punkta seko, ka m 1
( x)
dalās ar m 2
( x)
un m 2
( x)
dalās ar ( x)
unitāri, tad tie ir vienādi.
m 2
ir divi elementa α minimālie polinomi. No iepriekšējā
. Tā kā abi polinomi ir
3. Pieņemsim pretējo, ka m( x) f ( x) ⋅ g( x)
Ievietojot vienādībā x vietā α , iegūstam vienādību = m( α ) = f ( α ) ⋅ g( α )
nulles dalītāju, tad f ( α ) = 0 ∨ g( α ) = 0
kura pakāpe ir mazāka par polinoma m ( x)
pakāpi un kura sakne ir α .
= , kur polinomu f un g pakāpes ir lielākas par 0.
0 . Tā kā laukā nav
; taču tā ir pretruna, jo mēs būtu atraduši polinomu,
Aplūkosim mazāko lauka K paplašinājumu, kas satur algebrisku elementu α . Elementa α
n
n−1
minimālo polinomu apzīmēsim ar m( x) = x + mn− 1x
+ L + m1x
+ m0
Lauka K
K α . Aplūkosim kopu
paplašinājumu apzīmēsim to ar ( )
2
n−1
A = { k0 + k1α + k
2
⋅α
+ L + k
n− 1
⋅ a / ki
∈ K}
, kur n deg( m( x)
)
Skaidrs, ka visi A elementi pieder laukam K ( α )
pierakstīti. Tiešām, no vienādības
` k
0
+ k α +
1
m 1
= .
. Turklāt šie elementi ir viennozīmīgi
n−1
n−1
L + kn− 1α
= l0
+ l1α
+ L + ln−
1α
sekotu vienādība
n−1
( k − l ) + ( k − l ) + + ( + ) α 0
0 0 1 1
k n −1
l n −1
=
α L ;
bet tā kā α minimālā polinoma pakāpe ir n, tad k = 0
l0, k = 1
l1,
K , k = n − 1
ln−
1
. Tā kā
n
n−1
elementam α izpildās vienādība α = −mn−
1α
−L − m1α
− m0
, tad kopā A nav jāiekļauj
lielākas α pakāpes.
Viegli pārbaudīt, ka šajā kopā var izpildīt saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas
operācijas; izpildot reizināšanas operāciju, iegūtais polinoms no α ir jāizdala ar atlikumu ar
α minimālo polinomu.
Piemērs. Aplūkosim racionālo skaitļu lauka Q paplašinājumu ar skaitli α , kura minimālais
3
2
polinoms ir x − x −1
. Tad kopa A sastāv no skaitļiem k + k ⋅α
+ k ⋅ . Aprēķināsim
reizinājumu
2 (
2 )
4 2
α ⋅ α + 1 = α + α ;
0 1 2
α
3
šis "polinoms" jāizdala ar "polinomu" α −α −1. Pareizāk būtu teikt, ka jāizdala polinoms
4 2
3
x + x ar polinomu x − x −1, un pēc tam x vietā jāievieto α .
4 2 3
2
α + α = α −α
−1 ⋅α
+ 2α
+ .
( ) α
2 2
2
Tātad ( α 1 ) 2α
α .
α ⋅ + = +
Uzdevumi.
Q x
1. Aplūkosim lauku Q( α ) ≅
[ ]
(
5
x − x − 1)
5
x − x −1. Aprēķināt :
4
2
α + 1 ⋅ α + 2 ,
a) ( ) ( )
; tātad skaitļa α minimālais polinoms ir
−1
b) α .
( Lielumiem jābūt izteiktiem kā polinomiem no α , kuru pakāpe nepārsniedz 4).
2. Pierādīt, ka skaitlis 2 + 5 ir algebrisks pār lauku Q un atrast šī skaitļa minimālo
polinomu.
Teorēma 7.2. Dots algebrisks elements α no lauku paplašinājuma
n
n−1
minimālais polinoms ir m( x) = x + mn− 1x
+ L + m1x
+ m0
.
K ⊂ L , kura
64

n−1
Kopa K( ) = { k + k ⋅α
+ + k k ∈ K}
α
0 1
L
n− 1α
/
i
veido lauku; tas ir mazākais lauks, kas
satur elementu α .
Piezīme. No lauka K ( α ) apraksta seko, ka K( ) ≅
K[ x]
( m( x)
)
α .
Pierādījums. Faktiski jau ir pierādīts, ka šī kopa veido komutatīvu gredzenu ar vieninieku.
Vienīgais, kas ir jāpierāda, ir apgrieztā elementa eksistence jebkuram nenulles elementam.
Aplūkosim patvaļīgu gredzena K ( α ) elementu h ( α ), deg ( h ) < n . No teorēmas par Eiklīda
algoritmu seko, ka polinomu h ( x)
un m ( x)
lielāko kopīgo dalītāju d ( x)
var izteikt formā
` d( x) = h( x) ⋅ f ( x) + m( x) ⋅ g( x)
.
Tā kā m ( x)
ir primitīvs polinoms un deg ( h) < deg( m)
, tad d ( x) = 1. Esam ieguvuši
vienādību
1 = h( x) ⋅ f ( x) + m( x) ⋅ g( x)
.
Ievietojot šajā vienādībā x vietā α , iegūstam vienādību
h ( α ) ⋅ f ( α ) = 1.
α
f α . Teorēma pierādīta.
Tas nozīmē, ka elementam h ( ) eksistē apgrieztais elements ( )
No lauka K ( α ) elementu pieraksta seko, ka ( α )
n−
sastāv no elementiem { 1, α,
K , α
1 }, tātad ( α )
( K ( α ):
K ) = n .
7.2. Dažādi algebrisku paplašinājumu tipi
Aplūkosim dažādus algebrisku paplašinājumu tipus.
(1) Vienkāršs algebrisks paplašinājums.
(2) Paplašinājums ar galīgu skaitu algebriskiem elementiem.
Aplūkosim lauku K un galīgu skaitu algebriskus elementus
Mazāko lauka K paplašinājumu, kas satur elementus
( a , α , 2
, α )
K
(3) Salikts algebrisks paplašinājums.
To definē šādi:
K( α 1
)( α 2
) K( α m
),
kur elements
k + 1
K ir lineāra telpa pār lauku K, kuras bāze
K ir n-dimensionāla lineāra telpa; t.i.,
α α , α
, , 1 2
K
m
pār lauku K.
, α , 1 2
K α
m
apzīmēsim ar
α ,
α , α , 1 2
K , α .
1
K
m
un sauksim par lauka K paplašinājumu ar elementiem
m
α ir algebrisks pār lauku ( α )( α ) K( )
K 1 2
α k
. Piemēram, mēs varam laukam
Q vispirms pievienot skaitli 5 , bet pēc tam pievienot skaitli 3 2 + 3 5 .
(4) Galīgs algebrisks paplašinājums.
Šis jēdziens bija definēts jau iepriekšējā lekcija; tas nozīmē, ka mēs aplūkojam
paplašinājumu K ⊂ L , kuram ( L : K ) ir galīgs skaitlis (L ir galīgi dimensionāla telpa pār
K).
(5) Algebrisks paplašinājums.
Tas ir paplašinājums K ⊂ L , kuram jebkurš L elements ir algebrisks pār lauku K.
Mūsu uzdevums ir parādīt, ka pirmie četri no šiem jēdzieniem ir ekvivalenti; piektais –
algebriskais paplašinājums ir plašāks jēdziens.
65

Teorēma 7.3. (2), (3) un (4) paplašinājumu tipi ir savā starpā ekvivalenti.
Pierādījums.
(2) ⇒ (3) . Acīmredzami, ka elements α
k + 1, kurš ir algebrisks pār lauku K ir algebrisks arī
par šī lauka paplašinājumu K( α 1
)( α 2
) K( α k
); par polinomu, kura sakne ir α
k + 1
un
koeficienti pieder laukam K( α 1
)( α 2
) K( α k
) var izvēlēties polinomu, kura sakne ir α
k + 1
un
koeficienti pieder laukam K. Tātad paplašinājumu K( a , α , 1 2
K , α
m
) , protams, var uzskatīt
arī par saliktu paplašinājumu K( α 1
)( α 2
) K( α m
).
(3) ⇒ (4) . Vispirms pierādīsim sekojošu lemmu:
Lemma. (Galīgu paplašinājumu tornis). Ja L ⊂ K ⊂ M ir divu galīgu paplašinājumu
tornis, ( K : L) = r un ( M : K ) = s , tad L ⊂ M ir galīgs paplašinājums un ( M : L) = r ⋅ s .
No dotā seko, ka K ir lineāra telpa pār L ar bāzi { a
1, a2 , K , a r
} un M ir lineāra telpa pār K
ar bāzi b , b , 2
, b
a ⋅ . No dotā seko,
1
K
s
. Pierādīsim, ka M ir lineāra telpa pār L ar bāzi { i
b j
}
ka jebkuru M elementu var uzrakstīt formā
m =
s
∑
j=
1
m = ∑∑
j= 1 i=
1
Tātad { i
b j
}
s
l
j
⋅b
j
, l
j
∈ L , tā kā l
j
= ∑ kijai
, tad
r
k a b .
ij
i
j
r
i=
1
a ir telpas M veidotājsistēma pār lauku L. Jāpierāda, ka šie vektori ir lineāri
neatkarīgi. Pieņemsim, ka
s
r
∑∑
j= 1 i=
1
No tā, ka { } j
k a b = 0 .
ij
i
j
b ir telpas M bāze pār lauku K seko, ka = 0
r
∑
i−1
k visiem j. No tā, ka { }
ijai
a ir
telpas K bāze pār lauku L seko, ka k
ij
= 0 visiem i un j. No šejienes seko, ka vektori a b i j
ir lineāri neatkarīgi. Lemma pierādīta.
Saliktu algebrisku paplašinājumu var uzskatīt par vienkāršu algebrisku paplašinājumu torni:
K ⊂ K( α1 ) ⊂ K( α1
)( α
2
) ⊂ K ⊂ K( α1
)( α
2
) K( α
m
). Tā kā katrs vienkāršs algebrisks
paplašinājums ir galīgs paplašinājums (teorēma 7.2), tad arī šo paplašinājumu tornis ir
galīgs paplašinājums.
(4) ⇒ (2) . Dots galīgs algebrisks paplašinājums K ⊂ L . Tas nozīmē, ka eksistē galīga L
bāze pār K , kopa a , a , 1 2
K , am
. Pierādīsim, ka visi šie elementi a
i
ir algebriski pār K.
Izvēlēsimies vienu no tiem a (faktiski tas var būt jebkurš galīgā paplašinājuma elements).
m
Aplūkosim m + 1 elementu 1,
a , K , a . Šie m + 1 elementi ir lineāri atkarīgi m-
m
dimensionālā telpā L. Tātad k + k a + L + k a m
0 ; tas nozīmē, ka a ir polinoma
f m
( x ) = k + k x + L+
k x
1
m
gadījumā L K( a , a , 2
, )
0 1
=
0
sakne, tātad a ir algebrisks elements pār lauku K. Bet tādā
=
1
K a m
, kur a
i
ir algebriski elementi pār lauku K. Tas nozīmē, ka L
ir algebrisks paplašinājums pār lauku L ar galīgu algebrisku veidotājelementu skaitu. Pie
viena ir pierādīts arī, ka katrs galīgs paplašinājums ir algebrisks, jo katram elementam a
eksistē minimālais polinoms.
Viegli pārbaudīt, ka patvaļīgs algebrisks paplašinājums var nebūt galīgs; piemēram
Q , 3, K , p , K nav galīgs paplašinājums, jo paplašinājums
paplašinājums ( )
2
i
i
66

( , 3, )
Q 2 K , ir
p i
i
2 -dimensionāla lineāra telpa; tātad turpinot elementu p
k
pievienošanu lineārās telpas dimensionalitāte kļūst lielāka par jebkuru skaitli.
7.3. Teorēma par primitīvo elementu
Atliek noskaidrot vienu jautājumu: "Vai katrs salikts algebrisks paplašinājums ir vienkāršs
algebrisks paplašinājums".
Izrādās, ka tas tiešām tā ir; šī ir viena no nozīmīgākajām teorēmām algebrisko
paplašinājumu teorijā.
Teorēma 7.4. (Teorēma par primitīvo elementu). Jebkurš lauka K paplašinājums, kuru
veido galīga algebrisku skaitļu sistēma ir vienkāršs algebrisks paplašinājums. (K ir
bezgalīgs lauks)
Pierādījums. Protams, ka pietiek šo teorēmu pierādīt divu algebrisku skaitļu gadījumā.
L = K α, β , kur
Aplūkosim lauku paplašinājumu ( )
α minimālais polinoms ir ( x)
β minimālais polinoms ir ( x)
f un tā saknes ir a α , α ,
1
=
2
K,
α
n
;
g un tā saknes ir β β, β ,
1
=
2
K,
β
m
.
δ −α
i
Aplūkosim δ = α + cβ
, kur c ∈ K un c ≠ ; ( i ≠ 1,
k ≠ 1)
. Protams, ka šāds elements
β
k
c eksistē, jo nedrīkst izpildīties tikai galīgs skaits nevienādību.
δ K α, β apakšlauks. Aplūkosim divus polinomus ar koeficientiem
Lauks K ( ) ir lauka ( )
laukā K ( δ ):
f ( δ − cx)
; šī polinoma saknes ir
1
( x)
β (jo δ − c β 1
= α1
) un skaitļi
δ −α i
c
g ; šī polinoma saknes ir β , β , 1 2
K , β
n
.
Šiem polinomiem ir kopīga sakne β
1. Citu kopīgu sakņu šiem polinomiem nav, jo no
δ −α
i
δ −α
i
vienādības β
k
= seko vienādība c = , bet tas ir pretrunā ar elementa c izvēli.
c
β
Tātad šo polinomu lielākais kopīgais dalītājs ir ( x − β )
f ( δ − cx) r( x) + g( x) s( x) = ( x − β ) .
Visu polinomu koeficienti pieder laukam ( δ )
ka elements β pieder laukam ( δ )
pieder laukam ( δ )
vienādība. Teorēma pierādīta.
k
, un to var izteikt formā
K . Ievietojot šajā vienādībā x = 0, iegūstam,
K . No vienādības α = δ − cβ
seko, ka arī elements α
K α, β ⊂ K δ . Līdz ar to pierādīta arī šo lauku
K . Tātad pierādīts, ka ( ) ( )
Praktiski, izvēloties elementu c, var ņemt jebkuru elementu un ar varbūtību 1 tas
apmierinās norādītās vienādības. No aprēķinu viedokļa nav skaidrs vai izvēlēties vairākus
vienkāršākus algebriskus elementus, vai izmantot vienu, bet sarežģītāku algebrisko
elementu.
K ; apzīmēsim α = 2 un β = 3 . Par primitīvo
elementu δ izvēlēsimies elementu δ = α + β . Atradīsim šī elementa minimālo polinomu
Piemērs. Aplūkosim lauku ( 2, 3)
un izteiksim elementus 2 un 3 ar primitīvo elementu δ .
K ir lineāra telpa pār K, kura bāze ir skaitļi 1 , 2, 3, 6 .
Lauks ( 2, 3)
;
67

Elementa δ minimālā polinoma pakāpe šajā laukā ir 4. Tāpēc izteiksim šā elementa pirmās
K 2, 3 :
četras pakāpes kā vektorus telpā ( )
1 = 1⋅1+
0 ⋅ 2 + 0 ⋅
δ = 0 ⋅1+
1⋅
2
δ
=
5 ⋅1+
0 ⋅
3
δ
0 ⋅1+
11
4
δ
49 + 20
( 2 + 3)
2
= δ ⋅δ
2 + 0 ⋅
2 + 9
2 2
= δ ⋅δ
=
6.
=
2 + 1⋅
2
= 5 + 2 6 =
3 + 2 ⋅
( 2 + 3) ⋅ ( 5 + 2 6 )
3 + 0 ⋅
3 + 0 ⋅
3 + 0 ⋅
6,
6,
6,
6,
( 5 + 2 6) ⋅ ( 5 + 2 6)
No šejienes iegūstām δ pakāpes kā vektorus telpā ( 2, 3)
1 =
δ =
2
δ
3
δ
( 1, 0, 0, 0)
( 0, 1, 1, 0)
= ( 5, 0, 0, 2)
= ( 0, 11, 9, 0)
= ( 49, 0, 0, 20)
=
=
K .
4
δ
Lai atrastu sakarību starp šiem vektoriem, jāatrisina homogēna vienādojumu sistēma:
⎛1
0 5 0 49 | 0⎞
⎜
⎟
⎜0
1 0 11 0 | 0⎟
⎜0
1 0 9 0 | 0⎟
⇔
⎜
⎟
⎝0
0 2 0 20 | ) ⎠
⎛1
0 5 0 49 | 0⎞
⎜
⎟
⎜0
1 0 9 0 | 0⎟
⎜0
0 2 0 20 | 0⎟
⇒
⎜
⎟
⎝0
0 0 2 0 | ) ⎠
x = , x = 0, x = −10,
x = 0, x 1.
4
1
3
2
1
0
=
h x = x
4 − x + .
No šejienes seko, ka elementa δ minimālais polinoms ir ( ) 10 2 1
Lai atrastu izteiksmes kā izteikt 2 un 3 ar δ , jārisina šādas vienādojumu sistēmas:
x ⋅ 1 + x ⋅δ + x 2
3
⋅δ
+ x
0 1 2
3
⋅δ
= α :
⎛1
0 5 0 | 0⎞
⎜
⎟
⎜0
1 0 11 | 1⎟
⎜0
1 0 9 | 0⎟
⎜
⎟
⎝0
0 2 0 | 0⎠
1 3
Iegūstam atrisinājumu ⋅ ( δ − δ ) = α . Varam pārbaudīt šo vienādību, pārbaudot identitāti
2
( 2 + 3) − ( 2 3) ⎟⎞
= 2
1 3
⋅ ⎜ ⎛ 2 ⎝
+ .
⎠
68

Līdzīgi var iegūt 3 izteiksmi, izmantojot δ = 2 + 3 . Šeit ir ļoti būtisks jautājums
(konstruktīvajā algebrā): "Kādus elementus izmantot vienkāršāk: divus vienkāršus 2 un
3 , vai vienu sarežģītu δ = 2 + 3 ". Atbilde nav viennozīmīga, un, atkarībā kādi ir
aplūkojamie uzdevumi, aprēķināšanas ātrums var būt lielāks gan pirmajā gan otrajā
gadījumā.
Uzdevumi.
1. Atrast lauka Q ( 2, 5)
primitīvo elementu δ un izteikt elementus 2 un 5 ar
elementu δ .
3 5 2 5
Q 2, 5
2. Sareizināt elementu ( 2 + ) ar ( 3 + ) , uzrakstot to kā lauka ( )
elementu un arī kā lauka Q ( δ ) elementu
3. Atrast elementa ( 5)
elementu un arī kā lauka Q ( δ ) elementu.
4. Atrast lauka ( 3, 3
3)
2 + apgriezto elementu. Uzrakstot to kā lauka Q ( 2, 5)
Q primitīvo elementu δ un izteikt 3 un 3 3 ar šo elementu.
7.4. Otrās pakāpes paplašinājumi
Vienkāršākie algebriskie paplašinājumi ir otrās pakāpes (jeb, tā saucamie kvadrātiskie)
paplašinājumi. Aplūkosim lauku K un algebrisku elementu α , kura minimālais polinoms ir
− p ± D
f ( x) = x
2 + px + q . Ievērosim, ka x = , kur D = p
2 − 4q
. Ja D ir kvadrāts laukā
2
K sakrīt ar pašu lauku. Ja D nav kvadrāts laukā K, tad
K D . Tātad visi otrās pakāpes
K, tad lauka K paplašinājums ( ) α
lauka K paplašinājums ( ) α
K sakrīt ar paplašinājumu ( )
paplašinājumi reducējas uz D pievienošanu laukam K.
Atzīmēsim, ka komplekso skaitļu lauks C ir reālo skaitļu lauka R
paplašinājums ar algebrisku skaitli i , kura kvadrāts ir vienāds ar –1. Precīzāk,
C ≅
R[ x] ( x
2 +1)
.
Šeit vajadzētu aplūkot divus paplašinājuma veidus:
K D = a + b D / a,
b ∈ K ,
1) Gredzena paplašinājums [ ] { }
2) Lauka paplašinājums K ( D ) = { a + b D / a,
b ∈ K}
.
kvadrātisks
Pirmajā gadījumā nav iespējama dalīšanas operācija. Aplūkosim lauka paplašinājumus, un
tikai atsevišķos gadījumos atzīmēsim gredzenu paplašinājumu atšķirīgās īpašības.
Vispirms aprakstīsim lauka K ( D ) automorfismu grupu. Tā kā
f ( a + b D ) = a + bf D ,
tad automorfismu f nosaka
D attēls. No vienādības
( D) = f ( D ⋅ D ) f ( D ) 2
D = f
=
seko, ka f ( D ) = D vai f ( D ) = − D .
Pirmajā gadījumā iegūstam identisku attēlojumu f ( a b D ) = ( a + b D )
Otrajā gadījumā iegūstam saistīto attēlojumu f ( a + b D ) = ( a − b D ).
Apzīmēsim saistītā skaitļa
automorfisma īpašībām.
+ .
x = a + b D attēlu ar x . Šī attēlojuma īpašības seko no
69

1. ( x y) = ( x ± y)
± ,
⋅ = ⋅ ,
2. ( x y) x y
3. x = x .
y y
No šejienes seko teorēma.
Teorēma 7.5. Dots lauka paplašinājums K ⊂ K D un racionāla funkcija
f x , x K x , , f x K , x = f x , , .
(
1, n
) (
1
K x n
)
1, n 1
K x n
Šīs teorēmas apgalvojums izpildās arī gredzena paplašinājumiem, ja funkcija ( x)
K ∈ . Tad ( ) ( )
polinoms.
Aplūkosim uzdevumus, kura pierādījumā izmantota šī teorēma.
Uzdevumi.
1. Vai eksistē tādi racionāli skaitļi a b,
c,
d
2
2
( + b 2) + ( c + d 2) = 3 + 4 2
, , kuriem izpildās vienādība:
a
Atrisinājums. Ja izpildās šāda vienādība, tad izpildās arī saistītā vienādība:
2
2
( − b 2 ) + ( c − d 2) = 3 − 4 2
f ir
a .
Taču šī vienādība nav iespējama, jo vienādības kreisā puse ir pozitīvs skaitlis, bet
vienādības labā puse ir negatīvs skaitlis.
2. Pierādiet, ka jebkuram naturālam skaitlim n skaitli ( 2 − 1) n
var uzrakstīt formā
m +1 − m , kur m ir naturāls skaitlis.
Atrisinājums. No vienādības ( 1 2) = a + b 2
m
m
m
2 2
( 1− 2 ) = a − b 2 iegūstam , ka ( 1 2 ) ( 1+
2) = a − b
Tātad pāra skaitlim n izpildās vienādība
m
+ un saistītās vienādības
2 2
− , jeb a b = ( −1) m
n
2 2
2
2
( 2 1) = a − b 2 = a − 2b
= 2b
+ 1 − 2b
− ,
bet nepāra skaitlim n izpildās vienādība
n
2 2 2
2
( 2 1) = −a
+ b 2 = 2b
− a = a + 1 − a
− .
3. Atrast skaitļa ( 2 + 3) 100
pirmos trīsdesmit ciparus aiz komata.
Atrisinājums. Tā kā ( 2 + 3) 100
un ( 3) 100
( 2 + 3) 100 + ( 2 − 3) 100
ir vesels skaitlis. Ņemot vērā, ka
100
100 1 1
( 2 − 3) < ( 0,5) = < ,
100 30
2 10
2 − ir saistīti skaitļi, tad
iegūstam, ka skaitļa ( 2 + 3) 100
pirmie 30 cipari aiz komata ir devītnieki.
Teorēma 7.6. Aplūkosim lauka paplašinājumu K( D )
− .
K ⊂ un tā elementu x. Tad
x + x un x ⋅ x ir lauka K elementi. Skaitli x ⋅ x sauc par skaitļa x normu un apzīmē ar
|| x || .
2 2
Pierādījums. ( a + b D ) + ( a − b D ) = 2a
; ( a b D ) ⋅ ( a − b D ) = a − Db
+ .
70

Uzdevumi.
1. Dots, ka skaitļus x un y var izteikt formā
šādā formā var izteikt arī skaitli x ⋅ y .
2
a +
5b
2
, kur a un b veseli skaitļi. Pierādīt, ka
2 2
Pierādījumā izmantojiet to, ka skaitlis a + 5b ir algebriskā skaitļa a + b − 5 norma.
2. Pierādīt, ka vienādojumam x 2 − 2y
2 = 1 eksistē bezgalīgi daudz atrisinājumu veselos
skaitļos.
Skaitļu gredzenā Q 2 jāatrod skaitlis, kura norma ir vienāda ar 1. Kāpinot šo skaitli
patvaļīgā naturālā pakāpē, atradīsim bezgalīgu dotā vienādojuma atrisinājumu sēriju.
2 2
3. Pierādīt, ka naturālu skaitli n var izteikt formā x + y (x, y – veseli skaitļi) tad un tikai
tad, kad tādā formā var izteikt skaitli 2n.
Nākošajā lekcijā aplūkosim kvadrātisko paplašinājumu pielietojumus ģeometrisko
konstrukciju uzdevumos.
71

8. lekcija
Ģeometriskās konstrukcijas.
8.1. Ievads
Lekcijā parādīts, ka ģeometrisko konstrukciju iespējamība ir saistīta ar
algebrisko lauku paplašinājumu teoriju un dots neliels vēsturisks ieskats šīs
teorijas attīstībā.
Tas, kurš neatzīst Eiklīda ģeometriju
atgādina cilvēku, kas, atgriezies no svešām
zemēm, sāk nievāt savu māju.
G. Forders
Konstruktīvās problēmas ģeometrijā vienmēr ir interesējušas matemātiķus. Ko var
konstruēt ar lineālu un cirkuli Šeit jāatzīmē, ka lineālu nevar izmantot kā mērinstrumentu,
bet ar to var tikai novilkt taisni. No skolas kursa zināms, ka ar šiem instrumentiem var
izpildīt dažādas konstrukcijas: pagarināt nogriezni n reizes, sadalīt nogriezni m daļās (no
šejienes seko, ka sākot no vienības nogriežņa, var iegūt nogriezni ar patvaļīgu racionālu
garumu), vilkt perpendikulu pret taisni, vilkt paralēlu taisni, sadalīt leņķi divās vienādās
daļās, utt.
Šāds konstruējamo ierīču ierobežojums (lineāls un cirkulis) ir saistīts ar senām tradīcijām,
kuras klasiskās ģeometrijas pārstāvji ir atnesuši līdz mūsdienām.
Izmantojot citas ģeometrisko konstrukciju ierīces (taisnleņķa trijstūri, lineālu ar paralēlām
malām, riņķi, kas var ripot pa jebkuru jau uzzīmētu līkni un atzīmēt plaknē jebkura sava
punkta trajektoriju, utt), iespējams konstruēt daudzus ģeometriskos objektus, kuri ir
nekonstruējami ar cirkuli un lineālu; piemēram, atļaujot riņķa līnijai ripot pa taisni (kas
reālā dzīvē ir iespējams), vienkārši ir konstruēt skaitli π , līdz ar to atrisinot klasiskajā
ģeometrijā neatrisināmo riņķa kvadratūras problēmu.
Jāatzīmē, ka matemātiskā teorija par konstrukcijām ar citām ģeometriskām ierīcēm ir
praktiski neizpētīta. Mēs šajā lekcijā aplūkosim tikai konstruktīvos uzdevumus, kuros
izmantots tikai cirkulis un lineāls.
Viena no slavenākajām klasiskajām problēmām konstruktīvajā ģeometrijā ir Apolona
problēma : dotas trīs riņķa līnijas; jākonstruē riņķa līnija, kas pieskaras dotajām riņķa
līnijām. Šī senā problēma mūsu dienās ir atrisināta.
No visām konstruktīvajām problēmām ģeometrijā vislielāko interesi izsauca regulāra n-
stūra konstruēšana. Vienkārši konstruēt regulāru n-stūri, ja n = 3, 4, 6 . Ja n = 5 ,
konstrukciju aplūkosim šajā lekcijā. Taču šajā lekcijā tiks pierādīts arī, ka prasītā
konstrukcija nav iespējama, ja n = 7 .
Jāatzīmē arī trīs senās klasiskās konstruktīvās ģeometrijas problēmas.
1. Leņķa trisekcija.
Zīmējumā doto leņķi sadalīt trīs vienādās daļās.
2. Kuba dubultošana.
Konstruēt kuba malu, kura tilpums ir divas reizes lielāks par dotā kuba tilpumu. Faktiski
uzdevums reducējas uz skaitļa 3 2 konstruēšanas iespējamību.
3. Riņķa kvadratūra.
Konstruēt kvadrātu, kura laukums ir vienāds ar dotā riņķa laukumu. Šis uzdevums ir
saistīts ar skaitļa π konstruēšanas neiespējamību.
Daudzu gadsimtu garumā šīs problēmas neizdevās atrisināt. Rezultātā tās deva impulsu
vienam no interesantākajiem virzieniem matemātikā – idejai, ka mēdz būt uzdevumi, kurus
72

nav iespējams atrisināt. Līdz ar to matemātikā parādījās jauns ļoti sarežģīts uzdevums: "Kā
pierādīt, ka viena vai otra matemātiska problēma ir neatrisināma".
Algebrā analoģisks jautājums parādījās sakarā ar problēmu, kā atrisināt algebrisku
vienādojumu, kura pakāpe ir lielāka par 4. Jau 16. gadsimtā tika atrastas formulas, kas ļauj
trešās un ceturtās pakāpes vienādojumu saknes izteikt ar vienādojuma koeficientiem,
izmantojot aritmētiskās operācijas un n-tās pakāpes radikāļa zīmi. Līdzīgas formulas tika
meklētas arī piektās un augstākas pakāpes algebriskiem vienādojumiem.
Bet tikai 19. gadsimta sākumā itāļu matemātiķim Rufini (1765. – 1822.) un norvēģu
matemātiķim Ābelam (1802. – 1829.) radās ideja – pierādīt, ka vispārīgu algebrisku
vienādojumu, kura pakāpe ir lielāka par 4, nevar "atrisināt radikāļos". Šo apgalvojumu
pierādīja ģeniālais franču matemātiķis Galuā (1811. – 1832.). Savos darbos Galuā ieveda
grupas jēdzienu (faktiski viņš aplūkoja lauku paplašinājuma automorfismu grupu), kas
kļuva par pamatu visai mūsdienu algebrai. Viņš ne tikai ieveda jaunu algebrisku objektu
un izpētīja tā īpašības, bet, izpētot to, atgriezās pie sākotnējā uzdevuma – algebriska
vienādojuma sakņu formulas. Rezultātā viņš pierādīja, ka vispārīgu algebrisku
vienādojumu, kura pakāpe ir augstāka par 4 nevar "atrisināt radikāļos".
Ievērosim, ka atsevišķus augstas pakāpes algebriskus vienādojumus ir iespējams atrisināt
5
radikāļos. Piemēram, izmantojot substitūciju t = x , var atrisināt vienādojumu
x
10 − 5x
5 + 6 = 0 . Galuā teorija precīzi par katru vienādojumu atļauj noskaidrot vai šī
vienādojuma saknes ir pierakstāmas, izmantojot vienādojuma koeficientus aritmētiskās
operācijas un radikāļa zīmi, vai nē.
Jautājumu par regulāra n-stūra konstruēšanas iespējamību faktiski atrisināja vācu
matemātiķis Gauss. Viņš pētīja jautājumu par to, kādiem pirmskaitļiem p iespējams
konstruēt regulāru p-stūri. Atbilde bija tik pārsteidzoši interesanta, ka Gauss visu savu
mūžu nolēma veltīt tikai matemātikai. Izrādījās, ka konstrukcija ir iespējama tad un tikai
tad, kad p ir Fermā pirmskaitlis – tātad = 2 2 n
p + 1.
Pirmie Fermā pirmskaitļi ir 3, 5, 17, 257, 65537. Viegli pierādīt, ka uzkonstruējot n-stūri
un m-stūri (n un m ir savstarpēji pirmskaitļi), ir iespējams konstruēt arī nm-stūri.
Tā kā jebkuru leņķi var sadalīt divās vienādās daļās, tad var dubultot n-stūra malu skaitu.
Rezultātā mēs iegūstam apgalvojumu: regulārs n-stūris ir konstruējams, ja
k
n = 2 ⋅ p ⋅ p ⋅L⋅
p ,
1
2
m
kur p
i
ir dažādi Fermā pirmskaitļi.
Protams ģeometrisko konstrukciju teorijai ir vairāk teorētiska nekā praktiska nozīme, jo
uzkonstruēt, piemēram, regulāru n-stūri ar patvaļīgu precizitāti var izmantojot tuvinātās
metodes. Taču šie sarežģītie uzdevumi deva lielu impulsu visas matemātikas attīstībai, un
it īpaši algebras, algebriskās ģeometrijas un algebrisko skaitļu teorijas attīstībai.
Daudz mazāk pētīta ir ģeometrisko konstrukciju teorija ar citiem instrumentiem. Ir
iespējams izveidot mehāniskus instrumentus, ar kuriem var konstruēt parabolas,
hiperbolas, elipses un arī patvaļīgas algebriskas līknes. Taču joprojām nav vispārīgas
definīcijas, kas ir konstruējama līkne vai virsma; nav arī aprakstītas līkņu klases, ko
iespējams konstruēt, izmantojot noteikta veida instrumentus.
8.2. Ģeometriskās konstrukcijas un lauku paplašinājumi
Lekcijā aplūkosim kā ģeometriskās konstrukcijas saistītas ar algebru –, precīzāk, ar lauku
paplašinājumu teoriju. Mēs aplūkosim tikai klasiskās ģeometriskās konstrukcijas, tātad
konstrukcijas, kuras var izpildīt ar lineālu un cirkuli. Uzskatīsim, ka konstrukcijas tiek
izpildītas koordinātu plaknē, kurā atzīmēts vienības nogrieznis.
Jebkurš ģeometrisks zīmējums sastāv no trim pamatelementiem.
73

1. Punkts P, kuru apraksta divi skaitļi – punkta koordinātes ( x, y)
.
2 2
2. Taisne t, kuru apraksta lineārs vienādojums Ax + By + C = 0 , a + b ≠ 0 .
Ja B ≠ 0 , tad taisnes vienādojumu var pārveidot formā y = ax + b . Veicot
konstrukcijas, varam uzskatīt, ka neviena no taisnēm "nejauši" nebūs paralēla Oy
asij; tātad arī patvaļīgu taisni raksturo divi skaitļi a un b.
3. Riņķa līnija; to apraksta ar divām riņķa centra koordinātēm ( x, y)
un riņķa
rādiusu r.
Definīcija 8.1. Plaknē atzīmēts vienības nogrieznis. Saka, ka reāls skaitlis a ir
konstruējams, ja plaknē var uzkonstruēt nogriezni ar garumu a .
Viegli pārbaudīt sekojošu apgalvojumu: "Ja uzkonstruēti punkta, taisnes vai riņķa līnijas
raksturojošie skaitļi, tad var ģeometriski uzkonstruēt prasīto objektu. Un otrādi:
ģeometrisko objektu raksturojošie lielumi (punkta koordinātes ( x, y)
, taisnes vienādojuma
y = ax + b koeficienti ( a, b)
, riņķa līnijas centra koordinātes ( x, y)
un rādiuss r) ir
konstruējami skaitļi."
Teorēma 8.1. Dots zīmējums Pic – elementāro objektu kopa koordinātu plaknē. Dotajā
Kon Pic ir lauks, kas satur racionālo skaitļu lauku.
zīmējumā konstruējamo skaitļu kopa ( )
Kon ir slēgts attiecībā pret saskaitīšanas, atņemšanas,
reizināšanas un apgrieztā elementa operācijām.
1) Atliekot uz vienas taisnes nogriežņus AB = a un BC = b , atkarībā no virziena izvēles,
iegūstam nogriezni BC, kura garums ir skaitļu a un b summa vai starpība.
2) Skaitļu reizināšana. Doti nogriežņi, kuru garumi ir x un y; konstruēt skaitli, kura
garums ir xy. No punkta O novilksim divus patvaļīgus starus (skat. zīm. 8.1.).
Pierādījums. Jāpierāda, ka ( Pic)
y
C
1
A
O x B D
zīm. 8.1.
Uz pirmā stara atzīmēsim punktus A un C tā, lai OA = 1 un OC = y . Uz otra stara
atzīmēsim punktu B tā, lai OB = x . Novelkam taisni CD || AB . No trijstūru OAB un OCD
līdzības iegūstam:
OB OD OD
= ⇒ x =
OA OC
y
⇒ OD = xy .
Skaitļu reizinājums uzkonstruēts.
3) Apgrieztais skaitlis. Dots nogrieznis ar garumu x. Uzkonstruēsim taisnleņķa trijstūri
AHC ar katetēm AH = x un HC = 1; papildināsim zīmējumu līdz taisnleņķa trijstūrim
ACB (skat. zīm. 8.2.).
74

C
1
A x H B
zīm. 8.1.
No trijstūru BHC un CHA līdzības iegūstam:
HB 2
HC
HC
= ⇒ HB = =
1 .
HC AH
AH x
Apgrieztais skaitlis konstruēts. Teorēma pierādīta.
Q apzīmēsim mazāko lauku, kas satur visus sākotnējā zīmējuma Pic
pamatelementu raksturojošos lielumus. Jā sākotnējo elementu nav, tad aplūkojam lauku Q.
No teorēmas 8.1. seko, ka visi skaitļi no lauka Q ( Pic)
ir konstruējami. Taču izrādās, ka
konstruējami ir arī citi skaitļi.
Ar ( Pic)
Teorēma 8.2. Ja skaitlis x > 0 ir konstruējums dotajā zīmējumā, tad arī skaitlis x ir
konstruējums dotajā zīmējumā.
Pierādījums. Uz fiksētas taisnes atliekam nogriežņus AH = x un HB = 1. Konstruējam
nogriežņa AB viduspunktu O; velkam riņķa līniju ar centru punktā O un rādiusu OA.
Velkam perpendikulu HC⊥ AB . Esam ieguvuši taisnleņķa trijstūri ABC (skat. zīm. 8.3.).
C
A x O H 1 B
zīm. 8.3.
No trijstūru AHC un CHB līdzības iegūstam:
AH HC
2
= ⇒ HC = AH ⋅ HB
HC HB
⇒ HC = AH ⋅ HB = x .
Teorēma pierādīta.
Pieņemsim, ka P ir lauks un
P
( D ) = { a + b D / a,
b ∈ P}
D ∈ P , bet D 2 ∉ P . Tad lauks
ir otrās pakāpes lauka P paplašinājums. Pierādītā teorēma apgalvo: "Ja lauka P elementi ir
dotajā zīmējumā konstruējami skaitļi, tad arī lauka P ( D ) elementi ir dotajā zīmējumā
konstruējami skaitļi.
75

Teorēmas sekas. Zīmējuma sākotnējo pamatelementu raksturojošo lielumu veidoto lauku
apzīmēsim ar Q ( Pic) = P0
. Ja P0 ⊂ P1
⊂ L ⊂ Pn
, kur P i
⊂ P i+ 1
ir kvadrātiski
paplašinājumi, tad visi lauka Pn
elementi ir konstruējami.
Mēs esam pierādījuši, ka konstruējami ir skaitļi, kurus var izteikt izmantojot racionālos
skaitļus, dotā zīmējuma pamatobjektu raksturojošos lielumus, aritmētiskās operācijas un
kvadrātsaknes zīmi.
Uzdevums. Plaknē dots vienības nogrieznis. Uzkonstruēt plaknē nogriežņus, kuru garumi
ir 3 , 5 − 3 , 6 + 7 + 3 .
Tagad pierādīsim apgriezto teorēmu.
Teorēma 8.3. (Teorēma par konstruējamiem skaitļiem). Koordinātu plaknē dots
zīmējums Pic. Šī zīmējuma objektu raksturojošo elementu lauku apzīmēsim ar
Q ( Pic) = P0
. Skaitlis x ir konstruējams dotajā zīmējumā, ja eksistē tāds lauku
paplašinājumu tornis
P
0
⊂ P1
⊂ L ⊂ P n
,
ka visiem ∈{ 0,
1, , n −1}
pieder laukam P
n
.
i K P i
⊂ P i+ 1
ir kvadrātisks lauka P
i
paplašinājums, un skaitlis x
Piezīme. Šī ir galvenā teorēma konstruējamo skaitļu teorijā; faktiski tā apraksta kādi skaitļi
ir konstruējami dotajā zīmējumā.
Pierādījums. Lai pierādītu šo teorēmu, ir jāpierāda, ka, izpildot vienu elementāro
konstrukciju, zīmējuma objektu raksturojošo lielumu lauks P vai nu nemainās, vai arī tas
tiek paplašināts ar skaitli D , D ∈ P .
Vispirms jāatzīmē, ka var izpildīt arī šādas konstrukcijas:
1) izvēlēties patvaļīgu punktu,
2) vilkt patvaļīgu taisni (iespējams arī, ka caur norādītu punktu),
3) vilkt patvaļīgu riņķa līniju (iespējams ar norādītu centru vai rādiusu).
Visos šajos gadījumos varam uzskatīt, ka nenoteiktie raksturojošie lielumi tiek izvēlēti no
konstruējamā lauka P. Tāpēc jāaplūko tikai piecas pamatkonstrukcijas .
1. Vilkt taisni caur diviem dotiem punktiem.
Doti konstruējami punkti A
1
( x1, y1
) un A
2
( x2
, y2
); tas nozīmē, ka x 1
, x 2
, y 1
, y 2
∈ P .
Vilksim taisni caur punktiem A
1
un A
2
. Taisnes vienādojums ir
x − x1
y − y1
= .
x2
− x1
y2
− y1
Redzam, ka visi taisnes vienādojuma koeficienti pieder laukam P.
2. Atrast divu neparalēlu taišņu krustpunktu.
Divu taišņu y = a1x
+ b1
un y = a2 x + b2
krustpunkta koordinātes ( x, y)
atrodam no
vienādojumu sistēmas:
⎧y
= a1x
+ b1
b2
− b1
a1b2
− a2b1
⎨
⇒ x = , y =
.
⎩y
= a2x
+ b2
a1
− a2
a1
− a2
Redzam, ka arī šajā gadījumā konstruējamā objekta lielumi – punkta koordinātes atrodas
sākotnējā laukā P.
3. Riņķa līnijas konstruēšana.
Šī konstrukcija nemaina konstruējamo lielumu lauku.
76

4. Riņķa līnijas un taisnes krustpunkts.
2
2 2
Riņķa līnijas vienādojums ir ( x − x1 ) + ( y − y1
) = r ;
Taisnes vienādojums y = ax + b .
Skaitļi x
1
, x2 , r,
a,
b pieder laukam P. Riņķa līnijas un taisnes krustpunktu koordinātes
atrodam no vienādojumu sistēmas
2
( x − x ) + ( y − y )
2 2
⎧
1 1
= r
⎨
.
⎩y
= ax + b
Ievietojot pirmajā vienādojumā y vietā izteiksmi ax + b , iegūstam kvadrātvienādojumu
no x. Ja D ir šī vienādojuma diskriminants, tad abi skaitļi x un y pieder lauka P
kvadrātiskam paplašinājumam P ( D)
.
5. Divu riņķa līniju krustpunkts.
Dotas divas riņķa līnijas, kuru vienādojumi ir
2
2 2
2
2 2
( x − x ) + ( y − y ) = un ( x x ) + ( y − y ) =
1 1
r1
−
2 2
r2
.
Šo riņķa līniju krustpunktu koordinātes atrodam no vienādojumu sistēmas
2
⎧( x − x1
) + ( y − y1
)
⎨
2
⎩( x − x2
) + ( y − y2
)
2
2
= r
2
1
2
2
= r
.
Atņemot no pirmā vienādojuma otro, iegūstam lineāru vienādojumu no x un y . Tātad
varam izteikt y = ax + b , a, b ∈ P . Redzam, ka uzdevums ir reducējies uz 4. punkta
uzdevumu. Tātad konstruējamo punktu koordinātes pieder lauka P kvadrātiskam
paplašinājumam.
Teorēma pierādīta.
8.3. Neiespējamās konstrukcijas
8.3.1. Kuba dubultošana
Senajā uzdevumā bija prasīts uzkonstruēt kuba šķautni, kura tilpums ir divas reizes lielāks
par dotā kuba tilpumu. Faktiski bija jākonstruē skaitlis 3 2 .
Teorēma 8.4. Skaitlis 3 2 nav konstruējams.
Sekas. Kuba dubultošanas uzdevums nav atrisināms.
Pierādījums. Pieņemsim pretējo, ka skaitlis 3
2 ir konstruējams. Tad eksistē tāds
kvadrātisku paplašinājumu tornis
Q = F0 ⊂ F1
⊂ L ⊂ F k
, ka α = 3 2 ∈ Fk
.
No visiem kvadrātisko paplašinājumu torņiem, kas satur skaitli 3 2 , izvēlēsimies torni ar
mazāko pakāpienu skaitu k.
Tātad α ∈ Fk
, bet α ∉ F k− 1
. Tā kā F
k
ir lauka F
k−1
kvadrātisks paplašinājums, tad
α = p + q w , p , q,
w ∈ F k −1
.
Jāatzīmē, ka visi lauki F
i
, kas veidojas konstrukcijas gaitā ir reālo skaitļu lauka R
apakšlauki.
Apzīmēsim ar α skaitļa α saistīto skaitli α = p − q w paplašinājumā Fk
−1
⊂ Fk
. No
3
3
vienādības α − 2 = 0 seko saistītā vienādība α − 2 = α − 2 = 0 . Tas nozīmē, ka arī
3
77

skaitlis
p − q w ir vienādojuma 3 3
x − 2 reāla sakne. Taču vienādojumam x − 2 = 0 ir
tikai viena reāla sakne, jo funkcija y = x 3 − 2 ir monotoni augoša funkcija. Tātad
p + q w = p − q w ⇒ q w = 0.
Redzam, ka α p ∈ F
1, bet tā ir pretruna. Teorēma pierādīta.
=
k−
8.3.2. Teorēma par konstruējamiem skaitļiem
Teorēma 8.5. Pieņemsim, ka F ir lauks, kas satur sākotnējā zīmējuma visu objektu
raksturojošos elementus. Aplūkosim skaitli α , kura minimālā polinoma f ( x)
pakāpe ir n.
Ja n nav divnieka pakāpe, tad skaitlis α nav konstruējams dotajā zīmējumā.
Pierādījums. Pieņemsim, ka α ir konstruējams skaitlis. Tad eksistē tāds kvadrātisko
paplašinājumu tornis
F = F
L
0
⊂ F1
⊂ F2
⊂ ⊂ F k
,
ka α ∈ Fk
; tātad F( α ) ⊂ Fk
.
No lemmas par galīgu paplašinājumu torni (skat. teorēmu 7.3.) seko, ka
k
( F F ) 2
k
: = .
No galīgu lauku paplašinājumu īpašībām iegūstam vienādību:
k
2 = ( Fk
: F ) = ( Fk
: F( α )) ⋅ ( F( α ):
F ) .
k
Tātad ( F ( α ):
F ) ir skaitļa 2 dalītājs – tātad divnieka pakāpe. Paplašinājuma F ⊂ F( α )
pakāpe sakrīt ar elementa α minimālā polinoma pakāpi. Tātad elementa α minimālā
polinoma pakāpe ir divnieka pakāpe. teorēma pierādīta.
8.3.3. Leņķa trisekcija
Otrs senais uzdevums ir leņķa trisekcija. Plaknē uzzīmēts leņķis; ar cirkuli un lineālu
sadalīt to trīs vienādās daļās. Jāpierāda, ka vispārīgajā gadījumā to izdarīt nevar. Ja
eksistētu vispārīga metode kā sadalīt patvaļīgu leņķi trīs vienādās daļās, tad no 60 ° leņķa,
kuru var uzkonstruēt jebkurā zīmējumā, mēs varētu iegūt 20 ° lielu leņķi.
Aplūkosim zīmējumu, kura sākotnējo objektu raksturojošie lielumi ir racionāli skaitļi.
Pierādīsim, ka šajā zīmējumā nav iespējams konstruēt 20 ° lielu leņķi. Pieņemsim pretējo,
ka šāds leņķis ir konstruējams; tad iespējams arī konstruēt skaitli a = cos 20°
.
3 α
α
Ievietojot formulā cosα
= 4cos
3
− 3cos
3
leņķi α = 60°
iegūstam vienādību
1
= 4a 3 − 3a .
2
Secinām, ka skaitlis a ir vienādojuma 8x 3 − 6x −1
= 0 sakne. Šis polinoms ir primitīvs pār
lauku Q. Ja tas sadalītos reizinātājos, tad viens no reizinātājiem būtu lineārs, un
vienādojumam būtu racionāla sakne. Viegli pārbaudīt, ka šim vienādojumam nav racionālu
sakņu (jāpārbauda skaitļi b
a , kur
a, b – veseli skaitļi , a ir skaitļa 1 dalītājs, b ir skaitļa 8
dalītājs). Tātad polinoms 8 3 − 6x
−1
Q ⊂ Q a
ir kubisks paplašinājums, un no teorēmas 8.5. seko, ka skaitlis a nav konstruējams. Līdz ar
x ir primitīvs pār lauku Q. Tas nozīmē, ka ( )
78

to pierādīts, ka vispārīgajā gadījumā nav konstruējams leņķis, kas ir viena trešdaļa no dotā
leņķa.
8.3.4. Regulārs septiņstūris
Šajā paragrāfā pierādīsim, ka nav iespējams ar cirkuli un lineālu konstruēt regulāru 7-stūri.
Regulāra 7-stūra virsotnes komplekso skaitļu laukā var tikt aprakstītas kā vienādojuma
7
z −1
= 0 saknes (mēs interpretējam kompleksos skaitļus kā punktus kompleksajā
plaknē).
Viena no vienādojuma saknēm ir z = 1, bet pārējās ir vienādojuma
7
z −
= z
z −1
saknes. Dalot ar
1 6 5 4 3 2
+ z
+ z
+ z
+ z
+ z + 1 = 0
3
z , iegūstam vienādojumu:
3 1 2 1 1
z + + z + + z + = 0 . (*)
3
2
z z z
1
Ievietojot y = z + , iegūstam vienādojumu:
z
3 2
y + y − 2y
−1
= 0 .
Mēs zinām, ka viena no vienādojuma (*) saknēm ir skaitlis
z = cosϕ
+ isinϕ
,
2π
ϕ = .
7
1
No šejienes iegūstam vienādību y = z + = 2cos ϕ .
z
Tātad, ja konstruējams ir regulārs 7-stūris, tad konstruējams ir arī leņķis ϕ , līdz ar to arī
skaitlis = 2cosϕ
Q y ir kubisks lauka Q paplašinājums, jo vienādojumam
y . Taču ( )
3 2
y + y − 2y
−1
= 0 nav racionālu sakņu. No teorēmas 8.5. seko ka skaitlis y nav
konstruējams; līdz ar to pierādīts, ka konstruējams nav arī regulārs 7-stūris.
8.3.5. Regulārs desmitstūris
Lai konstruētu regulāru 10-stūri, jāmāk konstruēt 36 ° leņķis. Aplūkosim vienādmalu
trijstūri ABC, kuram ∠ACB = 36°
, ∠CAB
= ∠CBA
= 72°
(skat. zīm. 8.4.).
C
K
A B
zīm. 8.4.
Novilksim leņķa A bisektrisi AK. Uzskatīsim, ka AC = BC = 1 un AB = x . Tā kā AKB ir
vienādsānu trijstūris
1
( ∠ KAB = ∠ CAB = 36°
, ∠AKB
= 180 ° − ∠KAB
− ∠KBA
= 72°
= ∠KBA
),
2
un arī AKC ir vienādsānu trijstūris
79

1
( ∠ACK
= 36 ° = ∠CAB
= ∠CAK
),
2
tad x = AB = AK = KC .
Atzīmēsim, ka trijstūri ACB un KAB ir līdzīgi. Tātad
CB AB 1 x
2
= ⇒ = ⇒ x − x −1
= 0 ⇒ x
2 − x −1
= 0 .
AB KB x 1−
x
5 −1
No šejienes x = (otra vienādojuma sakne ir negatīvs skaitlis).
2
Tātad regulāra 10-stūra mala, kurš ievilkts riņķa līnijā ar rādiusu 1, ir konstruējams
skaitlis. Protams izejot no 10-stūra var konstruēt arī regulāru 5-stūri. Skaitli 5 var
konstruēt kā taisnleņķa trijstūra hipotenūzu, kura malas ir 1 un 2. No šī skaitļa, atņemot 1
un izdalot ar 2, iegūstam 10-stūra malas garumu.
8.3.6. Riņķa kvadratūra
Ir pierādīts, ka kuba kvadratūras un leņķa trisekcijas konstrukcijas nav iespējamas. Taču
riņķa kvadratūras neiespējamības pierādījums ir sarežģītāks. Ar Q ( Pic)
mēs apzīmējām
lauku, kuru veido sākotnējā zīmējuma pamatobjektu raksturojošie lielumi. Riņķa
kvadratūras gadījumā šis lauks ir racionālo skaitļu lauks. No teorēmas 8.3. seko, ka
konstruējami ir tikai skaitļi, kas pieder lauka Q kvadrātisko paplašinājumu tornim.
Protams, ka visi šādi skaitļi ir algebriski. Kvadrātisko paplašinājumu tornis ir galīgs lauka
Q paplašinājums, tātad algebrisks paplašinājums. Lai pierādītu, ka riņķa kvadratūras
konstrukcija nav iespējama, jāpierāda, ka skaitlis π nav algebrisks, tātad transcendents
skaitlis.
Tehnisko aparātu, kas nepieciešams, lai pierādītu, ka π ir transcendents skaitlis izveidoja
Šarls Ermits (1822. – 1905.) ; viņš arī pierādīja, ka skaitlis e ir transcendents. Izmantojot
Ermita metodi F. Lindenmans 1882. gadā pierādīja, ka arī skaitlis π ir transcendents. Līdz
ar to bija pielikts punkts arī pēdējai no trim seno konstrukcijas uzdevumu problēmai.
80

LITERATŪRA.
[Holl] M. Holl. Grupu teorija. (tulkojums krievu valodā), Maskava 1962.g.
[Kon] P.M. Cohn. Universal algebra. (tulkojums krievu valodā), Maskava 1968.g.
[Goldb] R. Goldblat. Topoi, The categorial anaysis of logic. North-Holland Publ. Comp.,
Amsterdam, New York, Oksford. 1979. (Tulkojums krievu valodā, Maskava, 1983.)
[Plotk] B. Plotkin. Algebrisko sistēmu automorfismu grupas. Maskava 1970.g. (kr.v.)
[Kostr] A.I. Kostrikins. Ievads algebrā. Maskava 1977.g. (kr. v.)
[Strazd] I. Strazdiņš. Diskrētā matemātika. Rīga 1980.g.
[Varden] Van der Warden. Algebra (tulkojums krievu valodā). Maskava 1966.g.
81