FIZIKAS eksāmena jautājumu atbildes - Fizmati

FIZIKAS eksāmena jautājumu atbildes
Beidzās 6-8 jautājums
12. Elektromagnētiskā lauka potenciāli un to īpašības
Elektromagnētisko lauku var raksturot ar diviem lauka potenciāliem - skalāro potenciālu j un
vektorpotenciālu A. Pirmais no tiem, j, ir līdzīgs potenciālam mehānikā: potenciāla spēka F laukam ir potenciāls j un
F=grad j, bet potenciālā enerģijaU=-j. Potenciāls j (vai potenciālā enerģija U) spēka lauku F nosaka viennozīmīgi,
bet apgrieztais apgalvojums nav pareizs - zinot spēka lauku, potenciālu viennozīmīgi nevar atrast. Tiešām, potenciāli
j un j'=j+const atbilst vienam un tam pašam spēka laukam, jo F'=grad j'=F.
Elektromagnētiskā lauka potenciālus j un A lieto galvenokārt lauka aprēķinos. Izmantojot potenciālus, nav
jārisina Maksvela parciālo diferenciālvienādojumu sistēma, jo lauka atrašanu var reducēt uz problēmu, kas bieži
risināma vienkāršāk, t.i., uz potenciālu vienādojumu risināšanu, ievērojot atbilstošos robežnosacījumus. Ja potenciāli
ir zināmi, tad aprēķināt E un B ir viegli.
Elektromagnētiskā lauka potenciālus izvēlas tā, lai tie apmierinātu homogēnos Maksvela vienādojumus:
1 ∂B
rot E = − , divB
= 0
c ∂t
Var pārliecinātie, ka šie vienādojumi ir apmierināti, ja j un A definē, izmantojot sakarības:
1 ∂A
E = -grad − , (1)
c ∂t
B = rotA
(2)
Tiešām, ievietojot pirmajā Maksvela vienādojumā lielumu E saskaņā ar (1), atrodam, ka
1 ∂A
1 ∂A
− rotgradϕ
− rot = − rot ,
c ∂t
c ∂t
kur vienādojuma labajā pusē mainīta vietām atvasināšana pēc koordinātēm un pēc laika. Tā kā
vienmēr rotgrad ϕ = 0 , tad esam ieguvuši identitāti. Līdzīgi pārliecināmies, ka pastāv identitāte
div B = divrotA = 0 , jo magnētiskais lauks ir solenoidāls un tam vienmēr eksistē vektprpotenciāls A (2).
Izteiksmes (1) un (2) vektoru E un B laukus nosaka viennozīmīgi. Tomēr potenciālu j un A izvēle nav
viennozīmīga: eksistē bezgalīgi daudz potenciālu j un A', kuri definē vienus un tos pašus laukus E un B. Patiešām,
izvēlēsimies patvaļīgu, nepārtrauktu un vismaz divreiz diferencējamu skalāru funkciju f un definēsim jaunus
potenciālus
1 ∂f
ϕ ′ = ϕ −
(3)
c ∂t
un
A ′ = A + gradf . (4)
Formulas (3) un (4) ir tā sauktās potenciālu gradientās transformācijas. Atradīsim laukus E' un B' pēc izteiksmēm
(1) un (2), ievietojot tajās potenciālus j' un A' saskaņā ar gradiento transformāciju formulām:
1 ∂A
1 ∂f
1 ∂f
E ′ = −gradϕ
− + grad − grad = E
c ∂t
c ∂t
c ∂t
un
B ′ = rot A + rotgradf = B
Esam pārliecinājušies, ka elektriskā lauka intensitāti E un magnētisko indukciju B gradientās transformācijas
neietekmē, t.i., elektromagnētiskā lauka vektori ir invarianti attiecībā pret potenciālu gradientajām transformācijām.
Šo elektromagnētiskā lauka īpašību dažkārt sauc par lauka kalibrēto invarianci, un , kā pierāda kvantiskajā lauka
teorijā, tā ir viennozīmīgi saistīta ar to, ka elektromagnētiskā lauka kvantiem (fotoniem) nav miera masas. Jāatzīmē,
ka potenciālu gradientās transformācijas atspoguļo īpašu elektromagnētiskā lauka iekšējo simetriju.
Noskaidrosim kāda ir potenciālu j un A fizikālā interpretācija. Vektorfunkciju E un B fizikālā jēga ir
viennozīmīgi skaidra: tās definē ar Kulona un Lorenca spēka likumiem. Līdz ar to vienmēr iespējams noteikt
intensitāti E un indukciju B konkrētā eksperimentā. Turpretī jautājums par lauka potenciālu j un A fizikālo jēgu un
to mērīšanas iespējām nebūt nav viennozīmīgi skaidrs. Var teikt, ka vispārīgajā gadījumā nav tādu eksperimentu,
kas ļautu atrast j un A vērtības dotajā elektromagnētiskā lauka lauka punktā. Ja elektriskais lauks ir stacionārs
bezvirpuļu lauks, kurš apmierina Maksvela vienādojumu rot E = 0 , tad skalāro potenciālu un lauka intensitāti
Šis darbs ir nācis no http://datzb.intelctuals.net/ - LU FMF DatZB Darbu Arhīva 23/23
©2002-2003 DatZB Team