FIZIKAS eksāmena jautājumu atbildes - Fizmati

FIZIKAS eksāmena jautājumu atbildes
TEOR. Pieņem, ka S ir ierobežota, gabaliem gluda virsma, kura viennozīmīgi projicējama uz
jebkuru no 3 koordinātu asīm. A=(P,Q,R) ir nepārtraukti diferencējams vektoru lauks kādā virsmas S
apkārtnē no R 3 , n – vienības normāles vektors (pozitīvi orientēts), t - kontūra l(S robeža) pieskares vienības
vektors, tad
( rot a,
n)
dS = ( a,
τ ) dl
∫
S
Dekarta koordinātās izvērstā veidā:
⎡⎛
∂R
∂Q
⎞ ⎛ ∂P
∂R
⎞
S ⎣⎝
dy dz ⎠ ⎝ dz dx ⎠
∫
l
⎛ ∂Q
⎝ dx
∂P
⎞
dy ⎠
∫ ⎢⎜
− ⎟n1
+ ⎜ − ⎟n2
+ ⎜ − ⎟n3
⎥dS
= ∫ Pdx + Qdy +
Stoksa teorēma saista vektorlauka a cirkulāciju pa slēgtu kontūru l ar šī vektorlauka rotora rot a plūsmu
caur virsmu S, kuras robežlīnija ir kontūrs l.
Vektoru lauka diverģence
r
div a(
M
0
∂P(
M
) =
∂x
0
) ∂Q(
M
+
∂y
0
) ∂R(
M
+
∂z
0
)
⎤
⎦
l
Rdz
DEF. Par vektoru lauka ā={P;Q;R} diverģenci
punktā M 0 (x,y 0 ,z 0 ) sauc skalāru lielumu, ko apzīmē ar
div ā(M 0 ) un aprēķina ar izteiksmi:
Vektoru lauka diverģence raksturo lauka avota vai noplūdes intensitāti aplūkojamā apgabala punktā.
Gradients
DEF. Par skalāra lauka funkcijas u=u(x;y;z) gardientu punktā M 0 (x,y 0 ,z 0 ) sauc vektoru
grad u(
M
jeb saīsināti :
0
∂u(
M
) =
∂x
0
) r ∂u(
M
i +
∂y
0
)
r ∂u(
M
j +
∂z
0
) r
k
⎧∂u
∂u
∂u
⎫
gard u = ⎨ , , ⎬
⎩∂x
∂y
∂z
⎭
a)Gradients ir vektors, kas katrā apgabala punktā norāda virzienu, kādā funkcijas atvasinājums (t.i., skalārā
lieluma izmaiņas ātrums) ir vislielākais.
b)Gradienta modulis:
2
2
2
⎛ ∂u
⎞ ⎛ ∂u
⎞ ⎛ ∂u
⎞
gard u = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝ ∂x
⎠ ⎝ ∂y
⎠ ⎝ ∂z
⎠
ir gradienta virziena funkcijas atvasinājuma vērtība t.i., vislielākais skalārā lieluma izmaiņas ātrums.
c) gradienta virzienā skalārā lieluma vērtības palielinās visstraujāk, bet pretējā virzienā – samazinās visstraujāk.
Rotors
r
rot a(
M
0
DEF. Par vektoru lauka ā={P;Q;R} rotoru punktā M 0 (x,y 0 ,z 0 ) sauc vektoru
⎛ ∂R(
M
0
) ∂Q(
M
) = ⎜ −
⎝ ∂y
∂z
jeb, saīsināti
) ⎞r
⎛ ∂P(
M
⎟i
+ ⎜
⎠ ⎝ ∂z
r ⎧∂R
∂Q
∂P
∂R
∂Q
∂P
⎫
rot a = ⎨ − , − , − ⎬
⎩ ∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
⎭
0
0
) ∂R(
M
−
∂x
0
) ⎞ r ⎛ ∂Q(
M
⎟ j + ⎜
⎠ ⎝ ∂x
) ∂P(
M
−
∂y
) ⎞ r
⎟k
⎠
Šis darbs ir nācis no http://datzb.intelctuals.net/ - LU FMF DatZB Darbu Arhīva 16/16
©2002-2003 DatZB Team
0
0