Matematiskas analize - Fizmati

1.MĀJAS DARBS
FUNKCIJAS
Uzzīmēt doto funkciju grafiku skices (bez funkcijas pētīšanas)!
Uzskatot, ka funkciju starta kopa un finiša kopa ir R, noteikt:
a) definīcijas apgabalu, vērtību apgabalu;
b) vai funkcija ir injekcija, sirjekcija, bijekcija.
1. f(x) = x2 −1
x
2. y(x) = |2x 2 + 3x − 5|
{
5, t = 0
3. z(t) =
|t|, t ≠ 0
4. Atrast f un g tā, lai p = f ◦ g, ja p(x) = sin 4 √ (x 2 + 5) ! Uzrakstīt vismaz 3 dažādus
variantus!
5. Atrast f ◦g un g◦f un noteikt iegūto funkciju definīcijas apgabalus, ja f(x) = x 2 , g(x) = √ x !
Atrast robežas:
3x
6. lim
2 +3x
Atbilde: 3
x→−1 2x 2 −3x−5 7
√
7. lim √ x 2 +5−3 √
x→2 x+7− 11−x
Atbilde: 2
4−
8. lim
√ 16−x
1
Atbilde:
x→0 12x 2 +5x 40
2.MĀJAS DARBS
ROBEŽAS I
9. Pierādīt pēc robežas definīcijas, ka: lim
x→3
2x 2 −3x−9
x−3
= 9
Atbilde: 0 < δ ≤ ε 2
⎧
⎪⎨ x 2 , x ≤ 0,
10. Uzzīmēt funkcijas f(x) = x, 0 < x < 1,
⎪⎩ 1 + x 2 , x ≥ 1
grafika skici un atrast robežas,
ja tās eksistē: a) lim
x→0
f(x),
b) lim
x→1
f(x),
c) lim
x→1 − f(x),
d) lim
x→1 + f(x).

3.MĀJAS DARBS
ROBEŽAS II
Uzrakstīt doto robežu atbilstošās definīcijas:
√
3x
11. lim
2 −8x
= 10 12. lim h(x) = 33 13. lim
x→10 2x+2 x + 2 = 0
x→−4
x→−2 +
x∈[−5;17[
Aprēķināt vienpusējās robežas:
3x−|x|
3x−|x|
14. a) lim , b) lim .
x→0 − 2x
x→0 + 2x
Atbilde: a) 2; b) 1
1
1
15. a) lim , b) lim .
x→−1 − x−[x]
x→−1 + x−[x]
Atbilde: a) 1; b) neeksistē
4.MĀJAS DARBS
NEPĀRTRAUKTĪBA
16. Pierādīt pēc nepārtrauktības definīcijas, ka funkcija f(x) = cos x ir nepārtraukta, izmantojot
dotu apgalvojumu: ∀x ∈ R : | sin x| ≤ |x|.
17. Vai vienādojumam sin x − x + 1 = 0 ir kaut viena reāla sakne Kāpēc
Noteikt doto funkciju pārtraukuma punktus un to veidu. Uzzīmēt funkciju grafikus.
⎧
1
⎪⎨ , x < 0
{
x−1 −
18. y = (x + 1) 2 1
, 0 ≤ x < 2 19. y =
, x < 0
x
⎪⎩
x 2 5x − x
+ 5, x > 2
2 , 0 ≤ x
20. Izpētīt funkcijas g(x) =
13
(x+2)(x−3)
nepārtrauktību intervālos [a; b], ja
a) [a; b] = [−1; 2]; b) [a; b] = [−5; 0]; c) [a; b] = [−3; 4].
5.MĀJAS DARBS
ATVASINĀŠANA I
21. Atrast funkcijas f(x) atvasinājumu pēc definīcijas:
a) f(x) = 2x−1
b) f(x) = √ 3
x−4 x−2
−7
−3
Atbilde:
Atbilde:
(x−4) 2 2(x−2) √ x−2
Atrast atvasinājumu dotajām funkcijām (izmantojot atvasināšanas formulas un likumus):
22. f(x) = 3x −4 + 5 √ x
− 2 5√ x 3 + ln x + 5 sin x − 7 · 9 x
23. g(t) = (15t 4 − 6t + 9)e t
24. h(z) =
3√
z 2
sin z−cos z
25. Aprēķināt funkcijas y = x 3 + 2x pieaugumu ∆y un diferenciāli dy, ja arguments mainās no
x 0 = 2 līdz x 1 = 2, 1. Kāda ir absolūtā kļūda, ja funkcijas pieaugumu aizvieto ar tās diferenciāli
Piez”ime. Ja m”er”am”a lieluma paties”a v”ert”iba ir a, bet izm”er”it”a v”ert”iba ir x, tad
starp”ibu |a − x| sauc par m”er”ijuma absol”uto k”l”udu.
Atbilde: 1, 461; 1, 4; 0, 061