IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A

70 III nodal¸a. LINE ĀRĀS PROGRAMMĒˇ SANAS UZDEVUMI
kur A ir n × m matrica, b = (b1; . . . ; bm) ∈ R n . Piel¸aujamais apgabals F ,
kuru nosaka nevienādība (3.10), ir izliekts daudzskaldnis telpā R n .
Pierādīsim, ka kopa F ⊂ R n ir izliekta, t.i., kopa F reizē ar jebkuriem
diviem saviem punktiem x1 un x2 satur arī nogriezni ar galapunktiem x1
un x2:
[x1; x2] = {x ∈ R n : αx1 + (1 − α)x2, 0 ≤ α ≤ 1}. (3.11)
Tieˇsām, ja x = αx1 + (1 − α)x2, kur 0 < α < 1, tad
Ax = A[αx1 + (1 − α)x2] = αAx1 + (1 − α)Ax2 ≤ αb + (1 − α)b = b,
un, tā kā apgabals F ir definēts ar nevienādību (3.10), tad visi nogrieˇzņa
(3.11) punkti pieder kopai F .
Viegli redzēt, ka kopas F robeˇza sastāv no hiperplakņu
segmentiem.
ai1x1 + . . . + ainxn = bi (i = 1, 2, . . . , n) (3.12)
Par n-dimensionāla daudzskaldņa F virsotnēm sauc punktus, kuri pieder
vismaz n hiperplaknēm (3.12).
Triju (vai divu) dimensiju gadījumā, t.i., ja n = 3 (vai n = 2), var
sniegt uzskatāmu daudzskaldņa ˇgeometrisko interpretāciju. Ja n = 3, tad
F ir daudzskaldnis, un vismaz triju plakņu, kuras veido F robeˇzu, kopējais
punkts ir daudzskaldņa F virsotne. Piemēram, 3.2. zīmējumā attēlotā kopa
F - vienības kubs ar noˇsk¸eltu virsotni - izliekts daudzskaldnis ar 7 skaldnēm
un 10 virsotnēm. Katra F virsotne ir triju plakņu, kuras veido F robeˇzu,
kopīgais punkts. Protams, var iedomāties daudzskaldni (3-dimensiju telpā)
ar virsotni, kura ir vairāk nekā triju plakņu kopīgais punkts, piemēram,
piramīdu, kuras pamatā ir četrstūris.
Lineārās programmēˇsanas teorijas pamatrezultāts saka, ka, ja lineārās
programmēˇsanas problēmai ir atrisinājums, tad obligāti atradīsies ˇsīs problēmas
piel¸aujamā apgabala F virsotne, kas sakrīt ar ˇso atrisinājumu.
ˇSim faktam var sniegt uzskatāmu ˇgeometrisko interpretāciju, apskatot
lineārās programmēˇsanas problēmas divu un triju dimensiju gadījumā.
Tieˇsām, iedomāsimies 3-dimensionālu izliektu daudzskaldni (- piel¸aujamais
apgabals F ), kuru ˇsk¸el¸ plakne (- mērk¸a funkcijas līmeņvirsma). Paralēli
pārnesot ˇso plakni, tā “pēdējā momentā” pieskaras apgabala F robeˇzai.
ˇSis “moments”, precīzāk sakot, pieskarˇsanās punkta koordinātas, atbilst
ekstremālās problēmas atrisinājumam. Pārvietojot līmeņvirsmu (plakni)