IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A
IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A
50 II nodal¸a. SKAITLISKĀS METODES Izmantojot Lagranˇza metodi (skat. 1.2.4. apakˇsparagrāfu), var iegūt ˇsīs problēmas atrisinājumu: x = 15 18 , y = 14 14 . Pielietosim S.F.M. Sastādīsim jaunu funkciju FN(x; y) = f(x; y) + N(2x + 3y − 6) 2 , kura ir atkarīga no parametra N. Locekli N(2x + 3y − 6) 2 sauc par sodu par nosacījuma neizpildīˇsanos: jo tālāk punkts (x; y) ir no taisnes 2x + 3y − 6 = 0, jo lielāks ir elements N(2x + 3y − 6) 2 . Meklējam problēmas FN(x, y) −→ min atrisinājumu, lietojot jebkuru brīva ekstrēma meklēˇsanas metodi. Risinot sistēmu ∂FN = 8x + 4N(2x + 3y − 6) = 0, ∂x ∂FN ∂y = 10y + 6N(2x + 3y − 6) = 0, atrodam 2x + 3y − 6 = − 2x N , 2x + 3y − 6 = − 5y 3N , no kurienes seko, ka x = 5y 6 . Ievietojot x pēdējās vienādojumu sistēmas otrajā vienādojumā, iegūsim Tad y = 18 14 + 5 . N x = 15 14 + 5 . N Kad N tiecas uz bezgalību, tad x −→ 15 14 un y −→ 15 14 , t.i., x un y tiecas uz sākotnējā uzdevuma atrisinājumu. S.F.M. apraksts. Problēma: F (x) −→ min, gk = 0 (k = 1, . . . , m).
2.3. Minimuma punkta meklēˇsanas metodes vairāku argumentu funkcijām 51 Nosacījumi gk = 0 definē piel¸aujamo apgabalu U. Par soda funkciju sauc funkciju PN(x) ar ˇsādām īpaˇsībām: 1) PN(x) ≥ 0, x ∈ U, N > 0; 2) lim N→∞ PN(x) = Iespējamās soda funkcijas: 0, ja x ∈ U, +∞, ja x ∈ U, PN(x) = m i=1 PN(x) = 1 N PN(x) = N · g 2 i (x), m g · eN· i=1 2 i (x) , m gi(x) . i=1 Nobeigumā apskatīsim vēl vienu piemēru. 2.12. piemērs. f(x; y) = x 2 + xy + y 2 −→ min, g(x; y) = x + y − 2 = 0. Soda funkcija: PN(x; y) = N(x + y − 2) 2 . Meklējam problēmas FN(x; y) = x 2 + xy + y 2 + N(x + y − 2) 2 −→ min atrisinājumu. Risinot sistēmu ∂FN ∂x ∂FN ∂y = 2x + y + N(x + y − 2) = 0, = 2y + x + N(x + y − 2) = 0, atrodam, ka 2x + y = 2y + x jeb x = y. Tāpēc no pirmā vienādojuma izriet, ka Tad x = 2 2 + 3 . N y = 2 2 + 3 . N Acīmredzams, ja N → ∞, tad x → 1 un y → 1. Problēmas atrisinājums - punkts (1; 1), kurā funkcija f iegūst nosacītu minimumu. 2.5. piezīme. Izvērstāku informāciju par soda funkciju metodi var atrast grāmatās [1], [3], [5].
- Page 1 and 2: DAUGAVPILS UNIVERSIT ĀTE Matemāti
- Page 3 and 4: IEVADS Mācību līdzeklī ir izkl
- Page 5 and 6: I nodal¸a VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKC
- Page 7 and 8: 1.1. Brīvais ekstrēms 7 1.1. zīm
- Page 9 and 10: 1.1. Brīvais ekstrēms 9 ◮ Funkc
- Page 11 and 12: 1.1. Brīvais ekstrēms 11 ◮ Funk
- Page 13 and 14: 1.1. Brīvais ekstrēms 13 Apskatī
- Page 15 and 16: 1.2. Nosacītais ekstrēms 15 Līdz
- Page 17 and 18: 1.2. Nosacītais ekstrēms 17 1.2.2
- Page 19 and 20: 1.2. Nosacītais ekstrēms 19 1.9.
- Page 21 and 22: 1.2. Nosacītais ekstrēms 21 1.4.
- Page 23 and 24: 1.2. Nosacītais ekstrēms 23 Risin
- Page 25 and 26: 1.2. Nosacītais ekstrēms 25 Tā k
- Page 27 and 28: 1.2. Nosacītais ekstrēms 27 1.2.8
- Page 29 and 30: 1.2. Nosacītais ekstrēms 29 1.7.
- Page 31 and 32: 1.2. Nosacītais ekstrēms 31 ir ˇ
- Page 33 and 34: II nodal¸a SKAITLISKĀS METODES Fu
- Page 35 and 36: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 37 and 38: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 39 and 40: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 41 and 42: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 43 and 44: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 45 and 46: 2.3. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 47 and 48: 2.3. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 49: 2.3. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 53 and 54: III nodal¸a LINEĀRĀS PROGRAMMĒ
- Page 55 and 56: 3.1. Ievads 55 koordinātas vienād
- Page 57 and 58: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 59 and 60: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 61 and 62: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 63 and 64: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 65 and 66: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 67 and 68: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 69 and 70: 3.3. Simpleksa metode 69 18. Firma
- Page 71 and 72: 3.3. Simpleksa metode 71 vienā vir
- Page 73 and 74: 3.3. Simpleksa metode 73 mainīgo x
- Page 75 and 76: 3.3. Simpleksa metode 75 1. solis.
- Page 77 and 78: 3.3. Simpleksa metode 77 5. solis.
- Page 79 and 80: 3.3. Simpleksa metode 79 21a. f(x1;
- Page 81: ATBILDES 1. p1 = 52, q1 = 48, p2 =
- Page 85 and 86: SATURS IEVADS 3 I VAIRĀKU ARGUMENT
2.3. Minimuma punkta meklēˇsanas metodes vairāku argumentu funkcijām 51<br />
Nosacījumi gk = 0 definē piel¸aujamo apgabalu U. Par soda funkciju sauc<br />
funkciju PN(x) ar ˇsādām īpaˇsībām:<br />
1) PN(x) ≥ 0, x ∈ U, N > 0;<br />
2) lim<br />
N→∞ PN(x) =<br />
Iespējamās soda funkcijas:<br />
0, ja x ∈ U,<br />
+∞, ja x ∈ U,<br />
PN(x) =<br />
m<br />
i=1<br />
PN(x) = 1<br />
N<br />
PN(x) = N ·<br />
g 2 i (x),<br />
m<br />
g<br />
· eN· i=1<br />
2 i (x)<br />
,<br />
m <br />
gi(x) .<br />
i=1<br />
Nobeigumā apskatīsim vēl vienu piemēru.<br />
2.12. piemērs.<br />
f(x; y) = x 2 + xy + y 2 −→ min,<br />
g(x; y) = x + y − 2 = 0.<br />
Soda funkcija: PN(x; y) = N(x + y − 2) 2 . Meklējam problēmas<br />
FN(x; y) = x 2 + xy + y 2 + N(x + y − 2) 2 −→ min<br />
atrisinājumu. Risinot sistēmu<br />
∂FN<br />
∂x<br />
∂FN<br />
∂y<br />
= 2x + y + N(x + y − 2) = 0,<br />
= 2y + x + N(x + y − 2) = 0,<br />
atrodam, ka 2x + y = 2y + x jeb x = y. Tāpēc no pirmā vienādojuma<br />
izriet, ka<br />
Tad<br />
x = 2<br />
2 + 3 .<br />
N<br />
y = 2<br />
2 + 3 .<br />
N<br />
Acīmredzams, ja N → ∞, tad x → 1 un y → 1. Problēmas atrisinājums<br />
- punkts (1; 1), kurā funkcija f iegūst nosacītu minimumu.<br />
2.5. piezīme. Izvērstāku informāciju par soda funkciju metodi var atrast<br />
grāmatās [1], [3], [5].
Change language