IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A
IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A
46 II nodal¸a. SKAITLISKĀS METODES 2.6. piemērs. Apskatīsim problēmu f(x; y) = x 2 + y 2 −→ min. Pieņemsim, ka sākumpunkts ir u0 = (1; 1). Tad grad f(1; 1) = (2; 2). Ja α1 = 2, tad tuvinājums u1 = u0 − α1 · grad f(1; 1) = (1; 1) − 2 · (2; 2) = (−3; −3). Acīmredzot, f(u1) = f(−3; −3) = 9 + 9 > f(u0) = 2. Var arī gadīties, ka process kl¸ūs oscilējoˇss. Tā, pieņemsim, ka iepriek- ˇsējā piemērā α1 = α2 = · · · = 1, u0 = (1; 1). Tad u1 = u0 − α1 · grad f(u0) = (1; 1) − (2; 2) = (−1; −1), f(u1) = 2, u2 = u1 − α2 · grad f(u1) = (−1; −1) − (−2; −2) = (1; 1), f(u2) = 2 utt. Katrā solī parametrs α ir jāizvēlās tā, lai funkcijas f vērtība punktā un+1 būtu pēc iespējas mazāka. Meklējam α kā viena argumenta funkcijas minimizēˇsanas problēmas atrisinājumu. f(un+1) = F (α) = f un − α grad f(un) −→ min 2.7. piemērs. Apskatīsim problēmu f(x; y) = x 2 + y 2 −→ min. Pieņemsim, ka sākumpunkts ir u0 = (1, 1). Tad f(u1) = f u0 − α1 · grad f(u0) = f(1 − 2α1; 1 − 2α1), kur α1 ir problēmas f(1 − 2α; 1 − 2α) −→ min
2.3. Minimuma punkta meklēˇsanas metodes vairāku argumentu funkcijām 47 atrisinājums. Funkcijas minimuma punkts ir α = 1 2 f(1 − 2α; 1 − 2α) = (1 − 2α) 2 + (1 − 2α) 2 . Tad f(u1) = f 1 − 2 · 1 1 ; 1 − 2 · = f(0; 0) = 0 2 2 un funkcijas f minimums (un minimuma punkts) ir atrasts jau pirmajā solī. 2.8. piemērs. Apskatīsim problēmu f(x; y) = 2x 2 + xy + y 2 −→ min. Funkcijas f gradients grad f = (4x + y; x + 2y). Pieņemsim, ka sākumpunkts ir u0 = (1; 1). Pirmajā solī no kurienes izriet u1 = u0 − α1 · grad f(u0), x1 = x0 − α1 · (4x0 + y0) = 1 − 5α1, y1 = y0 − α1 · (x0 + 2y0) = 1 − 3α1. Meklējam optimālo α1, risinot minimizēˇsanas problēmu f(x1; y1) = 2(1 − 5α1) 2 + (1 − 5α1)(1 − 3α1) + (1 − 3α1) 2 −→ min. Pēc α1 = 17 74 Atrodam atraˇsanas aprēk¸inām f(u1) = 2 x1 = − 17 74 , y1 = 23 74 . − 11 2 + − 74 11 74 un aprēk¸inus var turpināt tālāk. 2.9. piemērs. Apskatīsim problēmu 23 + 74 f(x; y) = x 2 + xy + y 2 −→ min. 2 23 = 5 74 27 74
- Page 1 and 2: DAUGAVPILS UNIVERSIT ĀTE Matemāti
- Page 3 and 4: IEVADS Mācību līdzeklī ir izkl
- Page 5 and 6: I nodal¸a VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKC
- Page 7 and 8: 1.1. Brīvais ekstrēms 7 1.1. zīm
- Page 9 and 10: 1.1. Brīvais ekstrēms 9 ◮ Funkc
- Page 11 and 12: 1.1. Brīvais ekstrēms 11 ◮ Funk
- Page 13 and 14: 1.1. Brīvais ekstrēms 13 Apskatī
- Page 15 and 16: 1.2. Nosacītais ekstrēms 15 Līdz
- Page 17 and 18: 1.2. Nosacītais ekstrēms 17 1.2.2
- Page 19 and 20: 1.2. Nosacītais ekstrēms 19 1.9.
- Page 21 and 22: 1.2. Nosacītais ekstrēms 21 1.4.
- Page 23 and 24: 1.2. Nosacītais ekstrēms 23 Risin
- Page 25 and 26: 1.2. Nosacītais ekstrēms 25 Tā k
- Page 27 and 28: 1.2. Nosacītais ekstrēms 27 1.2.8
- Page 29 and 30: 1.2. Nosacītais ekstrēms 29 1.7.
- Page 31 and 32: 1.2. Nosacītais ekstrēms 31 ir ˇ
- Page 33 and 34: II nodal¸a SKAITLISKĀS METODES Fu
- Page 35 and 36: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 37 and 38: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 39 and 40: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 41 and 42: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 43 and 44: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 45: 2.3. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 49 and 50: 2.3. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 51 and 52: 2.3. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 53 and 54: III nodal¸a LINEĀRĀS PROGRAMMĒ
- Page 55 and 56: 3.1. Ievads 55 koordinātas vienād
- Page 57 and 58: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 59 and 60: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 61 and 62: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 63 and 64: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 65 and 66: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 67 and 68: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 69 and 70: 3.3. Simpleksa metode 69 18. Firma
- Page 71 and 72: 3.3. Simpleksa metode 71 vienā vir
- Page 73 and 74: 3.3. Simpleksa metode 73 mainīgo x
- Page 75 and 76: 3.3. Simpleksa metode 75 1. solis.
- Page 77 and 78: 3.3. Simpleksa metode 77 5. solis.
- Page 79 and 80: 3.3. Simpleksa metode 79 21a. f(x1;
- Page 81: ATBILDES 1. p1 = 52, q1 = 48, p2 =
- Page 85 and 86: SATURS IEVADS 3 I VAIRĀKU ARGUMENT
2.3. Minimuma punkta meklēˇsanas metodes vairāku argumentu funkcijām 47<br />
atrisinājums. Funkcijas<br />
minimuma punkts ir α = 1<br />
2<br />
f(1 − 2α; 1 − 2α) = (1 − 2α) 2 + (1 − 2α) 2<br />
. Tad<br />
<br />
f(u1) = f 1 − 2 · 1<br />
<br />
1<br />
; 1 − 2 · = f(0; 0) = 0<br />
2 2<br />
un funkcijas f minimums (un minimuma punkts) ir atrasts jau pirmajā<br />
solī.<br />
2.8. piemērs. Apskatīsim problēmu<br />
f(x; y) = 2x 2 + xy + y 2 −→ min.<br />
Funkcijas f gradients grad f = (4x + y; x + 2y). Pieņemsim, ka<br />
sākumpunkts ir u0 = (1; 1).<br />
Pirmajā solī<br />
no kurienes izriet<br />
u1 = u0 − α1 · grad f(u0),<br />
x1 = x0 − α1 · (4x0 + y0) = 1 − 5α1,<br />
y1 = y0 − α1 · (x0 + 2y0) = 1 − 3α1.<br />
Meklējam optimālo α1, risinot minimizēˇsanas problēmu<br />
f(x1; y1) = 2(1 − 5α1) 2 + (1 − 5α1)(1 − 3α1) + (1 − 3α1) 2 −→ min.<br />
Pēc α1 = 17<br />
74<br />
Atrodam<br />
atraˇsanas aprēk¸inām<br />
f(u1) = 2<br />
x1 = − 17<br />
74 , y1 = 23<br />
74 .<br />
<br />
− 11<br />
2 <br />
+ −<br />
74<br />
11<br />
74<br />
un aprēk¸inus var turpināt tālāk.<br />
2.9. piemērs. Apskatīsim problēmu<br />
<br />
23<br />
+<br />
74<br />
f(x; y) = x 2 + xy + y 2 −→ min.<br />
2 23<br />
= 5<br />
74<br />
27<br />
74
Change language