IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A

1.2. Nosacītais ekstrēms 31
ir ˇsādi atrisinājumi (x; y; z; λ):
1
3
; 1
3
1
; ; −1
3 9
, (0; 0; 1; 0), (1; 0; 0; 0), (0; 1; 0; 0).
b) Diferencējot saiti g = 0, iegūstam sakarību starp mainīgo diferenciāl¸iem
dx + dy + dz = 0.
c) Noskaidrojam stacionārā punkta 1
3
Punktā 1
3
; 1
3
; 1
3
d 2 L = 2zdxdy + 2ydxdy + 2xdydz =
pie λ = − 1
9 raksturu.
= 2z dxdy + 2y dx(−dx − dy) + 2x dy(−dx − dy) =
= − 2y dx 2 + (2z − 2y − 2x)dxdy − 2x dy 2 .
iegūsim:
; 1
3
; 1
3
d 2 L = − 2
3 dx2 − 2 2
dxdy −
3 3 dy2 .
ˇSī kvadrātiskā forma ir negatīva.
Secinājums: punkts
1 1 1
3 ; 3 ; 3 ir funkcijas f nosacītā minimuma punkts.
Pārējos stacionārajos punktos formas d 2 L determinants ir vienāds ar
nulli. Viegli saprast, ka funkcija f jebkura cita stacionāra punkta
apkārtnē pieņem gan negatīvas, gan pozitīvas vērtības, un līdz ar to
funkcijai f ˇsajos punktos ekstrēma nav.
Sakarā ar to, ka nosacītā minimuma pietiekamie nosacījumi daˇzādos
avotos ir izklāstīti daˇzādi, pievērsīsim uzmanību daˇzām izplatītām kl¸ūdām.
1. kl¸ūda. Aplams ir apgalvojums, ka, lai noskaidrotu Lagranˇza funkcijas
stacionārā punkta raksturu, pietiek ar Lagranˇza funkcijas pētīˇsanu uz brīvo
ekstrēmu pie atrastās parametra λ vērtības. Apskatīsim 1.8. piemēru:
un izpētīsim Lagranˇza funkcijas
xy + y 2 −→ ekstr, xy 2 = 2,
L1(x; y) = L(x; y; −1) = xy + y 2 − (xy 2 − 2)
raksturu stacionārā punktā (2; 1) pie λ = −1. Atrodam:
d 2 L1 = 2(1 + 2λy)dxdy + (2 + 2λx)dy 2 = −2dxdy − 2dy 2 .