IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A

30 I nodal¸a. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJU EKSTRĒMI
atrisinājumu.
a) Lagranˇza funkcija
Risinot sistēmu ⎧⎨
L(x; y; λ) = xy + y 2 + λ(xy 2 − 2).
⎩
Lx = y + λy 2 = 0,
Ly = x + 2y + 2λxy = 0,
Lλ = xy 2 − 2 = 0,
iegūstam stacionāro punktu: x = 2, y = 1, λ = −1.
b) Diferencējot saiti g = 0, punktā (2;1) iegūstam sakarību
d(xy 2 − 2) = y 2 dx + 2xydy = dx + 4dy = 0.
c) Noskaidrojam stacionārā punkta raksturu.
d 2 L = Lxxdx 2 + 2Lxydxdy + Lyydy 2 = 2(1 + 2λy)dxdy + (2 + 2λx)dy 2 .
Ja x = 2, y = 1, λ = −1, tad
d 2 L = −2dxdy − 2dy 2 .
Uzskatīsim y par neatkarīgo mainīgo, bet x - par atkarīgo. Tā kā
dx = −4dy, tad
d 2 L = 8dy 2 − 2dy 2 = 6dy 2 ,
un, acīmredzot, kvadrātiskā forma ir pozitīva.
Secinājums: punkts (2; 1) ir nosacītā maksimuma punkts.
1.9. piemērs.
a) Lagranˇza funkcija
Sistēmai ⎧⎪ ⎨
xyz −→ ekstr, x + y + z = 1.
L(x; y; z; λ) = xyz + λ(x + y + z − 1).
⎪⎩
Lx = yz + λ = 0,
Ly = xz + λ = 0,
Ly = xz + λ = 0,
Lλ = x + y + z − 1 = 0,