IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A
IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A
28 I nodal¸a. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJU EKSTRĒMI Pieņemsim, ka x0 ir Lagranˇza funkcijas L(x; λ) = f(x) + m λigi(x) stacionārais punkts, bet λ = (λ1; . . . ; λm) ir attiecīgais Lagranˇza reizinātāju vektors. Stacionārā punkta raksturs ir atkarīgs no funkcijas pieauguma ∆f = f(x) − f(x0) zīmes, kur x apmierina saites (1.8). Atzīmēsim, ka ∆L = L(x) − L(x0) = f(x) − f(x0) + m i=1 i=1 λi gi(x) − gi(x0) = f(x) − f(x0) visiem x, kuri apmierina nosacījumus (1.8), jo tad g(x) − g(x0) = 0. Tas nozīmē, ka funkcijas pieauguma ∆f vietā var analizēt ∆L. Iegūstam ∆L = dL(x0) + 1 2 d2 L(x0) + ε, kur ε ir augstākas kārtas loceklis attiecībā pret argumentu pieaugumu. Tā kā dL(x0) = 0, tad pieauguma ∆L zīme ir atkarīga no kvadrātiskās formas d 2 L(x0) zīmes, kura savukārt ir atkarīga no n mainīgajiem dx 2 i (i = 1 . . . , n). Diferencējot saites, iegūstam sakarības Pieņemot, ka matricas dg1 = ∂g1 dx1 + · · · + ∂x1 ∂g1 , ∂xn dgm = ∂gm ∂x1 ∂gi ∂xj · · · dx1 + · · · + ∂gm . ∂xn rangs ir m (tas nozīmē, ka vismaz viens ˇsīs matricas m-tās kārtas minors punktā x0 nav vienāds ar nulli, bet katrs ˇsīs matricas (m + 1)-tās kārtas minors punktā x0 ir vienāds ar nulli), varam izteikt m atkarīgo mainīgo diferenciāl¸us ar n−m neatkarīgo mainīgo diferenciāl¸iem. Tad n mainīgo kvadrātiskā forma d 2 L(x0) kl¸ūs par n − m neatkarīgo mainīgo formu Q. ˇ So kvadrātisku formu var pētīt standarta veidā (skat. 1.1.5. apakˇsparagrāfu) un spriest par stacionārā punkta raksturu. Atgādināsim, ka, ja forma Q ir pozitīva, tad punktā x0 ir minimums (nosacītais!), bet, ja Q ir negatīva, tad punkts x0 ir nosacītā maksimuma punkts.
1.2. Nosacītais ekstrēms 29 1.7. piemērs. f(x; y) = e x + e y −→ max, g = e 2x + e 2y − 2e 2 = 0. a) Lagranˇza funkcija Risinot sistēmu ⎧⎨ L(x; y; λ) = e x + e y + λ(e 2x + e 2y − 2e 2 ). ⎩ Lx = e x + 2λe 2x = 0, Ly = e y + 2λe 2y = 0, Lλ = e 2x + e 2y − 2e 2 = 0, iegūstam stacionāro punktu x = 1, y = 1, λ = 1 2e . b) Diferencējot saiti g = 0, iegūstam sakarību 2e 2x dx + 2e 2y dy = 0, un punktā (1; 1) ir spēkā vienādība dx + dy = 0. c) Noskaidrojam stacionārā punkta (1; 1) raksturu. Atrodam: d 2 L = Lxxdx 2 +2Lxydxdy+Lyydy 2 = (e x +4λe 2x )dx 2 +(e x +4λe 2x )dy 2 . Ja x = 1, y = 1, λ = − 1 2e , tad d 2 L = −e dx 2 − e dy 2 . Pieņemam x par neatkarīgo mainīgo, bet y - par atkarīgo. Tā kā dy 2 = dx 2 , tad d 2 L = −2e dx 2 , un, acīmredzot, kvadrātiskā forma −2e dx 2 ir negatīva. Secinājums: punktā (1; 1) funkcijai f ir nosacītais maksimums. 1.8. piemērs. Problēma par cilindru ar minimālo virsmas laukumu pie dotā tilpuma (skat. 1.2.1. apakˇsparagrāfu) reducējas uz nosacītā ekstrēma problēmu: f(x; y) = xy + y 2 −→ min, xy 2 = const. Pieņemsim, ka const = 2 un atradīsim problēmas: f(x; y) −→ min, xy 2 = 2,
- Page 1 and 2: DAUGAVPILS UNIVERSIT ĀTE Matemāti
- Page 3 and 4: IEVADS Mācību līdzeklī ir izkl
- Page 5 and 6: I nodal¸a VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKC
- Page 7 and 8: 1.1. Brīvais ekstrēms 7 1.1. zīm
- Page 9 and 10: 1.1. Brīvais ekstrēms 9 ◮ Funkc
- Page 11 and 12: 1.1. Brīvais ekstrēms 11 ◮ Funk
- Page 13 and 14: 1.1. Brīvais ekstrēms 13 Apskatī
- Page 15 and 16: 1.2. Nosacītais ekstrēms 15 Līdz
- Page 17 and 18: 1.2. Nosacītais ekstrēms 17 1.2.2
- Page 19 and 20: 1.2. Nosacītais ekstrēms 19 1.9.
- Page 21 and 22: 1.2. Nosacītais ekstrēms 21 1.4.
- Page 23 and 24: 1.2. Nosacītais ekstrēms 23 Risin
- Page 25 and 26: 1.2. Nosacītais ekstrēms 25 Tā k
- Page 27: 1.2. Nosacītais ekstrēms 27 1.2.8
- Page 31 and 32: 1.2. Nosacītais ekstrēms 31 ir ˇ
- Page 33 and 34: II nodal¸a SKAITLISKĀS METODES Fu
- Page 35 and 36: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 37 and 38: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 39 and 40: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 41 and 42: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 43 and 44: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 45 and 46: 2.3. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 47 and 48: 2.3. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 49 and 50: 2.3. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 51 and 52: 2.3. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 53 and 54: III nodal¸a LINEĀRĀS PROGRAMMĒ
- Page 55 and 56: 3.1. Ievads 55 koordinātas vienād
- Page 57 and 58: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 59 and 60: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 61 and 62: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 63 and 64: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 65 and 66: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 67 and 68: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 69 and 70: 3.3. Simpleksa metode 69 18. Firma
- Page 71 and 72: 3.3. Simpleksa metode 71 vienā vir
- Page 73 and 74: 3.3. Simpleksa metode 73 mainīgo x
- Page 75 and 76: 3.3. Simpleksa metode 75 1. solis.
- Page 77 and 78: 3.3. Simpleksa metode 77 5. solis.
1.2. Nosacītais ekstrēms 29<br />
1.7. piemērs.<br />
f(x; y) = e x + e y −→ max, g = e 2x + e 2y − 2e 2 = 0.<br />
a) Lagranˇza funkcija<br />
Risinot sistēmu ⎧⎨<br />
L(x; y; λ) = e x + e y + λ(e 2x + e 2y − 2e 2 ).<br />
⎩<br />
Lx = e x + 2λe 2x = 0,<br />
Ly = e y + 2λe 2y = 0,<br />
Lλ = e 2x + e 2y − 2e 2 = 0,<br />
iegūstam stacionāro punktu x = 1, y = 1, λ = 1<br />
2e .<br />
b) Diferencējot saiti g = 0, iegūstam sakarību 2e 2x dx + 2e 2y dy = 0, un<br />
punktā (1; 1) ir spēkā vienādība<br />
dx + dy = 0.<br />
c) Noskaidrojam stacionārā punkta (1; 1) raksturu. Atrodam:<br />
d 2 L = Lxxdx 2 +2Lxydxdy+Lyydy 2 = (e x +4λe 2x )dx 2 +(e x +4λe 2x )dy 2 .<br />
Ja x = 1, y = 1, λ = − 1<br />
2e , tad<br />
d 2 L = −e dx 2 − e dy 2 .<br />
Pieņemam x par neatkarīgo mainīgo, bet y - par atkarīgo. Tā kā<br />
dy 2 = dx 2 , tad<br />
d 2 L = −2e dx 2 ,<br />
un, acīmredzot, kvadrātiskā forma −2e dx 2 ir negatīva.<br />
Secinājums: punktā (1; 1) funkcijai f ir nosacītais maksimums.<br />
1.8. piemērs. Problēma par cilindru ar minimālo virsmas laukumu pie<br />
dotā tilpuma (skat. 1.2.1. apakˇsparagrāfu) reducējas uz nosacītā ekstrēma<br />
problēmu:<br />
f(x; y) = xy + y 2 −→ min, xy 2 = const.<br />
Pieņemsim, ka const = 2 un atradīsim problēmas:<br />
f(x; y) −→ min, xy 2 = 2,
Change language