IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A

26 I nodal¸a. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJU EKSTRĒMI
Ievietojot lielumu df un dgi izteiksmes vienādībā (1.6) un sagrupējot
locekl¸us, iegūstam
n
m
∂f ∂gj
dL = + λj dxi.
∂xi ∂xi
i=1
Lielumam dL ir jābūt vienādam ar nulli visiem piel¸aujamiem diferenciāl¸iem
dxi, jo dL saskaņā ar (1.6) sastāv no divām dal¸ām, katra no kurām ir
vienāda ar nulli visiem piel¸aujamiem diferenciāl¸iem. Tātad
j=1
dL = 0
visiem piel¸aujamiem argumentu pieaugumiem dxi. No tiem tikai n − m
diferenciāl¸i var būt izvēlēti patval¸īgi, jo argumentu pieaugumi dxi ir saistīti
savā starpā ar m ierobeˇzojumiem. Izvēlēsimies Lagranˇza reizinātājus λj
(j = 1, . . . , m) tā, lai pirmās m iekavas lieluma dL izteiksmē būtu vienādas
ar nulli. Iegūsim m vienādojumu sistēmu attiecībā pret λj:
m ∂f ∂gj
+ λj = 0 (i = 1, . . . , m),
∂xi ∂xi
j=1
kura ir atrisināma, ja determinants det ∂gi
= 0. Pārējās n − m iekavas
∂xj
ir koeficienti pie atlikuˇsajiem n − m diferenciāl¸iem, kuri var būt izvēlēti
patval¸īgi, un līdz ar to ˇsie koeficienti arī ir nulles. Iegūsim vēl n − m
vienādojumus
m ∂f ∂gj
+ λj = 0 (i = m + 1, . . . , n).
∂xi ∂xi
j=1
Visbeidzot, minimuma punktā ir jāizpildās arī ierobeˇzojumiem
gi(x) = 0 (i = 1, . . . , m).
Kopā n+m nezināmajiem xi, λj (i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , m) ir jāapmierina
n + m vienādojumu sistēmu.
1.15. piezīme. Vienādojumu sistēmu nezināmo xi, λj atraˇsanai var iegūt
arī, sastādot Lagranˇza funkciju
m
L(x; λ) = f(x) + λjgj(x)
un meklējot tai brīvā ekstrēma punktu.
j=1