IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A
IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A
24 I nodal¸a. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJU EKSTRĒMI df(x0; y0) un līdz ar to ∆f(x0; y0) pieņemtu gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības). Diferencējot saiti g(x; y) = 0 punktā M0, iegūstam piel¸aujamo diferenciāl¸u kritēriju: piel¸aujamiem diferenciāl¸iem ir jāapmierina nosacījums dg(x0; y0) = gx(x0; y0)dx + gy(x0; y0)dy = 0. (1.3) Tātad lokālā minimuma punktā ir jāizpildās vienādojumu sistēmai: ⎧ ⎨ ⎩ df(x0; y0) = fx(x0; y0)dx + fy(x0; y0)dy = 0, dg(x0; y0) = gx(x0; y0)dx + gy(x0; y0)dy = 0, g(x0; y0) = 0. (1.4) 1.13. piezīme. Tā kā diferenciāl¸i dx un dy nav patval¸īgi, tad no vienādības df(x0, y0) = 0 nevar secināt, ka fx(x0, y0) = 0 un fy(x0, y0) = 0. Piemēram, aplūkosim problēmu: x 2 + y 2 −→ min, x + y = 1, kuras minimuma punkta koordinātas ir (0, 5; 0, 5). Minimuma punktā diferenciāl¸i apmierina vienādību dx + dy = 0. Funkcijas diferenciālis minimuma punktā ir 2x|x=0,5 · dx + 2y|y=0,5 · dy = dx + dy un tas, protams, ir vienāds ar nulli visiem piel¸aujamiem diferenciāl¸iem (dx + dy = 0), kaut arī funkcijas f(x; y) = x 2 + y 2 parciālie atvasinājumi minimuma punktā nav vienādi ar nulli (fx = fy = 1 minimuma punktā). Lagranˇza ideja ir ievest pagaidām nenoteiktu parametru λ un aplūkot lielumu dL = df(x; y) + λdg(x; y). Tad dL = fx(x0; y0)dx + fy(x0; y0)dy + λ gx(x0; y0)dx + gy(x0; y0)dy = = fx(x0; y0) + λgx(x0; y0) dx + fy(x0; y0) + λgy(x0; y0) dy. Tā kā df(x0; y0) un dg(x0; y0) ir vienādi ar nulli, tad dL = 0 minimuma punktā. Sekojot Lagranˇza idejai, jāaizvēlas tādu parametru λ, lai viena no iekavām (teiksim, pirmā) iepriekˇsējās izteiksmes pēdējā rindiņā būtu vienāda ar nulli (tas ir iespējams, ja gx(x0; y0) = 0). Tad fx(x0; y0) + λgx(x0, y0) = 0.
1.2. Nosacītais ekstrēms 25 Tā kā dL minimuma punktā ir vienāds ar nulli un diferenciālis dy var būt izvēlēts patval¸īgi, tad koeficientam pie dy arī ir jābūt vienādam ar nulli. Tātad fy(x0; y0) + λgy(x0; y0) = 0. Minimuma punktā jāizpildās arī vienādībai g(x0; y0) = 0. Nosacītā minimuma problēmā minimuma punkta noteikˇsanai iegūstam trīs vienādojumu sistēmu, kura sakrīt ar sistēmu (1.4). Tātad minimuma punkta atraˇsanai jārisina sistēma (1.4) attiecībā pret x, y, λ. 1.14. piezīme. Ja mēs no paˇsa sākuma sastādītu funkciju L(x; y; λ) = f(x; y) + λg(x; y) un meklētu tai brīvā ekstrēma punktu, tad iegūtu sistēmu: ⎧ ⎨ ⎩ Lx = fx(x, y) + λgx(x, y) = 0, Ly = fy(x, y) + λgy(x, y) = 0, Lλ = g(x, y) = 0. Tagad aplūkosim gadījumu, kad nosacītā ekstrēma problēma ir formā: f(x) −→ ekstr, x ∈ R n , gi(x) = 0 (i = 1, . . . , m). Nepiecieˇsamais nosacījums lokālam ekstrēmam ir vienādība n ∂f df = dx = 0, ∂xi kurai jāizpildās visiem piel¸aujamiem diferenciāl¸iem dxi. i=1 Savukārt piel¸aujamiem diferenciāl¸iem jāapmierina vienādības n ∂gj dgj = dxi = 0 (j = 1, . . . , m). (1.5) ∂xi i=1 Tagad reizinām (1.5) katram j ar pagaidām nenoteiktiem skaitl¸iem λj un sastādām izteiksmi m dL = df + λj dgj. (1.6) j=1
- Page 1 and 2: DAUGAVPILS UNIVERSIT ĀTE Matemāti
- Page 3 and 4: IEVADS Mācību līdzeklī ir izkl
- Page 5 and 6: I nodal¸a VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKC
- Page 7 and 8: 1.1. Brīvais ekstrēms 7 1.1. zīm
- Page 9 and 10: 1.1. Brīvais ekstrēms 9 ◮ Funkc
- Page 11 and 12: 1.1. Brīvais ekstrēms 11 ◮ Funk
- Page 13 and 14: 1.1. Brīvais ekstrēms 13 Apskatī
- Page 15 and 16: 1.2. Nosacītais ekstrēms 15 Līdz
- Page 17 and 18: 1.2. Nosacītais ekstrēms 17 1.2.2
- Page 19 and 20: 1.2. Nosacītais ekstrēms 19 1.9.
- Page 21 and 22: 1.2. Nosacītais ekstrēms 21 1.4.
- Page 23: 1.2. Nosacītais ekstrēms 23 Risin
- Page 27 and 28: 1.2. Nosacītais ekstrēms 27 1.2.8
- Page 29 and 30: 1.2. Nosacītais ekstrēms 29 1.7.
- Page 31 and 32: 1.2. Nosacītais ekstrēms 31 ir ˇ
- Page 33 and 34: II nodal¸a SKAITLISKĀS METODES Fu
- Page 35 and 36: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 37 and 38: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 39 and 40: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 41 and 42: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 43 and 44: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 45 and 46: 2.3. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 47 and 48: 2.3. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 49 and 50: 2.3. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 51 and 52: 2.3. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 53 and 54: III nodal¸a LINEĀRĀS PROGRAMMĒ
- Page 55 and 56: 3.1. Ievads 55 koordinātas vienād
- Page 57 and 58: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 59 and 60: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 61 and 62: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 63 and 64: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 65 and 66: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 67 and 68: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 69 and 70: 3.3. Simpleksa metode 69 18. Firma
- Page 71 and 72: 3.3. Simpleksa metode 71 vienā vir
- Page 73 and 74: 3.3. Simpleksa metode 73 mainīgo x
1.2. Nosacītais ekstrēms 25<br />
Tā kā dL minimuma punktā ir vienāds ar nulli un diferenciālis dy var būt<br />
izvēlēts patval¸īgi, tad koeficientam pie dy arī ir jābūt vienādam ar nulli.<br />
Tātad<br />
fy(x0; y0) + λgy(x0; y0) = 0.<br />
Minimuma punktā jāizpildās arī vienādībai<br />
g(x0; y0) = 0.<br />
Nosacītā minimuma problēmā minimuma punkta noteikˇsanai iegūstam trīs<br />
vienādojumu sistēmu, kura sakrīt ar sistēmu (1.4). Tātad minimuma<br />
punkta atraˇsanai jārisina sistēma (1.4) attiecībā pret x, y, λ.<br />
1.14. piezīme. Ja mēs no paˇsa sākuma sastādītu funkciju<br />
L(x; y; λ) = f(x; y) + λg(x; y)<br />
un meklētu tai brīvā ekstrēma punktu, tad iegūtu sistēmu:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
Lx = fx(x, y) + λgx(x, y) = 0,<br />
Ly = fy(x, y) + λgy(x, y) = 0,<br />
Lλ = g(x, y) = 0.<br />
Tagad aplūkosim gadījumu, kad nosacītā ekstrēma problēma ir formā:<br />
f(x) −→ ekstr, x ∈ R n ,<br />
gi(x) = 0 (i = 1, . . . , m).<br />
Nepiecieˇsamais nosacījums lokālam ekstrēmam ir vienādība<br />
n ∂f<br />
df = dx = 0,<br />
∂xi<br />
kurai jāizpildās visiem piel¸aujamiem diferenciāl¸iem dxi.<br />
i=1<br />
Savukārt piel¸aujamiem diferenciāl¸iem jāapmierina vienādības<br />
n ∂gj<br />
dgj = dxi = 0 (j = 1, . . . , m). (1.5)<br />
∂xi<br />
i=1<br />
Tagad reizinām (1.5) katram j ar pagaidām nenoteiktiem skaitl¸iem λj<br />
un sastādām izteiksmi<br />
m<br />
dL = df + λj dgj. (1.6)<br />
j=1
Change language