IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A

24 I nodal¸a. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJU EKSTRĒMI
df(x0; y0) un līdz ar to ∆f(x0; y0) pieņemtu gan pozitīvas, gan negatīvas
vērtības). Diferencējot saiti g(x; y) = 0 punktā M0, iegūstam piel¸aujamo
diferenciāl¸u kritēriju: piel¸aujamiem diferenciāl¸iem ir jāapmierina nosacījums
dg(x0; y0) = gx(x0; y0)dx + gy(x0; y0)dy = 0. (1.3)
Tātad lokālā minimuma punktā ir jāizpildās vienādojumu sistēmai:
⎧
⎨
⎩
df(x0; y0) = fx(x0; y0)dx + fy(x0; y0)dy = 0,
dg(x0; y0) = gx(x0; y0)dx + gy(x0; y0)dy = 0,
g(x0; y0) = 0.
(1.4)
1.13. piezīme. Tā kā diferenciāl¸i dx un dy nav patval¸īgi, tad no vienādības
df(x0, y0) = 0 nevar secināt, ka fx(x0, y0) = 0 un fy(x0, y0) = 0.
Piemēram, aplūkosim problēmu:
x 2 + y 2 −→ min, x + y = 1,
kuras minimuma punkta koordinātas ir (0, 5; 0, 5). Minimuma punktā
diferenciāl¸i apmierina vienādību dx + dy = 0. Funkcijas diferenciālis
minimuma punktā ir
2x|x=0,5 · dx + 2y|y=0,5 · dy = dx + dy
un tas, protams, ir vienāds ar nulli visiem piel¸aujamiem diferenciāl¸iem
(dx + dy = 0), kaut arī funkcijas f(x; y) = x 2 + y 2 parciālie atvasinājumi
minimuma punktā nav vienādi ar nulli (fx = fy = 1 minimuma
punktā).
Lagranˇza ideja ir ievest pagaidām nenoteiktu parametru λ un aplūkot
lielumu
dL = df(x; y) + λdg(x; y).
Tad
dL = fx(x0; y0)dx + fy(x0; y0)dy + λ gx(x0; y0)dx + gy(x0; y0)dy =
= fx(x0; y0) + λgx(x0; y0) dx + fy(x0; y0) + λgy(x0; y0) dy.
Tā kā df(x0; y0) un dg(x0; y0) ir vienādi ar nulli, tad dL = 0 minimuma
punktā. Sekojot Lagranˇza idejai, jāaizvēlas tādu parametru λ, lai viena
no iekavām (teiksim, pirmā) iepriekˇsējās izteiksmes pēdējā rindiņā būtu
vienāda ar nulli (tas ir iespējams, ja gx(x0; y0) = 0). Tad
fx(x0; y0) + λgx(x0, y0) = 0.