IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A

1.2. Nosacītais ekstrēms 23
Risināˇsanas shēma. Ievedīsim m fiktīvus mainīgos z1, . . . , zm (tie līdzsvaro
ierobeˇzojumus nevienādību veidā):
gi(x) + z 2 i = 0 (i = 1, . . . , m).
Tālāk jāminimizē funkciju f pie nosacījumiem vienādību veidā. Sastādām
Lagranˇza (n + m + m + k) argumentu funkciju formā
L(x, z, λ) = f(x) +
m
i=1
λi gi(x) + z 2 i +
k
λm+jhj(x)
un atrodam tās stacionāros punktus. Tātad problēmas atrisinājumi,
ja tie eksistē, atrodas starp (n + m + m + k) vienādojumu sistēmas
⎧
⎨ Lxi = 0 (i = 1 . . . , n),
Lzj = 0 (j = 1, . . . , m),
⎩
= 0 (j = 1, . . . , m + k)
atrisinājumiem.
Lλj
1.2.7. Lagranˇza reizinātāju metodes pamatojums
Kādēl¸ Lagranˇza reizinātāju metode dod labus (pareizus) rezultātus? Lai
atbildētu uz ˇso dabisko jautājumu, jāveic analīze. Vēsturiski tā bija lietota
tieˇsi tāpat, kā mūsu tekstā: sākumā praktiski, un tikai pēc kāda laika bija
dots metodes pamatojums.
Sākumā aplūkosim vienkārˇsu gadījumu, kad minimizējamai funkcijai ir
divi argumenti un ir viens ierobeˇzojums vienādības formā:
f(x; y) −→ min, g(x; y) = 0.
Pieņemsim, ka abām funkcijām ir nepārtraukti parciālie atvasinājumi.
Ja problēmai ir atrisinājums, t.i., lokālā minimuma punkts, kuru apzīmēsim
ar M0(x0; y0), tad kādas punkta M0 apkārtnes ˇsk¸ēlumā ar piel¸aujamo apgabalu
{(x, y) : g(x; y) = 0} izpildās vienādība
j=1
∆f(x0; y0) = f(x; y) − f(x0; y0) = df(x0; y0) + ε,
kur df(x0; y0) = fx(x0; y0)dx + fy(x0; y0)dy, bet ε apzīmē augstākas kārtas
(attiecībā pret dx un dy) elementus. Tā ka (x0; y0) ir lokālā minimuma
punkts, tad funkcijas pieaugums ∆f(x0; y0) ir nenegatīvs. Tātad df(x0; y0)
ir vienāds ar nulli visiem piel¸aujamiem dx un dy (jo pretējā gadījumā