IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A

22 I nodal¸a. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJU EKSTRĒMI
veidā:
gi(x) ≤ 0 (i = 1, . . . , m).
Ievedīsim m fiktīvus mainīgos z1, . . . , zm (tie līdzsvaro ierobeˇzojumus
nevienādību veidā):
gi(x) + z 2 i = 0 (i = 1, . . . , m).
Tālāk jāminimizē funkciju f pie nosacījumiem vienādību veidā. Sastādām
Lagranˇza (n + 2m) argumentu funkciju formā
m
L(x; z; λ) = f(x) + λi gi(x) + z 2 i
un atrodam tās stacionāros punktus. Tātad problēmas atrisinājumi
atrodas starp (n + 2m) vienādojumu sistēmas
⎧
⎨ Lxi = 0 (i = 1, . . . , n),
Lzj = 0 (j = 1, . . . , m),
⎩
= 0 (j = 1, . . . , m),
atrisinājumiem.
Lλj
1.12. piezīme. Atˇsk¸irībā no gadījuma, kad ierobeˇzojumi ir vienādību
formā un kad, kā jau tika iepriekˇs minēts, nav jēgas aplūkot problēmas,
kurās ierobeˇzojumu skaits m ir lielāks vai vienāds ar mainīgo skaitu
n, problēmas, kurās ierobeˇzojumi ir nevienādību formā, var būt saturīgas
arī tad, ja ierobeˇzojumu skaits m ir lielāks par minimizējamas
funkcijas f argumentu skaitu n. Iedomājieties, piemēram, regulāru
seˇsstūri ar centru punktā (0; 0), tā iekˇsieni kā piel¸aujamo apgabalu
(ko var uzdot ar 6 ierobeˇzojumiem nevienādību formā) un aplūkojiet
funkcijas f(x; y) = x 2 + y 4 (argumentu skaits n = 2) minimizēˇsanas
problēmu (seˇsstūri var arī aizvietot ar m-stūri).
1.2.6. Lagranˇza reizinātāju metode, kad ierobeˇzojumi ir gan
vienādību, gan nevienādību veidā
Kā rīkoties, ja dal¸a ierobeˇzojumu ir vienādību veidā un dal¸a - nevienādību
veidā? Aplūkosim problēmu:
i=1
f(x) → ekstr, x ∈ R n ,
gi(x) ≤ (i = 1, . . . , m),
hj(x) = 0, (j = 1, . . . , k).