IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A
IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A
20 I nodal¸a. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJU EKSTRĒMI Risināˇsanas shēma. Aplūkosim vairāku argumentu funkcijas f(x), x ∈ R n , minimizēˇsanas problēmu, kad ir uzdoti m (m < n) ierobeˇzojumi vienādību veidā: gi(x) = 0 (i = 1, 2, . . . , m). Jāsastāda (n + m) argumentu Lagranˇza funkcija m L(x; λ) = f(x) + λigi(x) un jāaplūko brīva ekstrēma problēma ˇsai Lagranˇza funkcijai. Tātad, problēmas atrisinājumi atrodas starp (n + m) vienādojumu sistēmas Lxi = 0 (i = 1, . . . , n), = 0 (j = 1, . . . , m), atrisinājumiem. Lλj 1.2.5. Lagranˇza reizinātāju metode, kad ierobeˇzojumi ir nevienādību veidā Paskaidrosim Lagranˇza metodes būtību ˇsajā gadījumā ar piemēru palīdzību. 1.5. piemērs. [Divi argumenti, viens ierobeˇzojums] Minimizēt funkciju f(x; y) = x 2 + y 2 pie nosacījuma x + y ≥ 1. Mēˇgināsim atrast minimuma punktu, lietojot Lagranˇza reizinātāju metodi. Ievedīsim fiktīvu mainīgo z un ar tā palīdzību līdzsvarosim ierobeˇzojumu x + y ≥ 1, pārrakstot to vienādības veidā: i=1 x + y = 1 + z 2 . Tagad jāminimizē funkcija f, ja nosacījums ir vienādības veidā. Sastādīsim Lagranˇza funkciju formā L(x; y; z; λ) = f(x; y) + λ(x + y − z 2 − 1) un atradīsim tās stacionāros punktus. Risinot vienādojumu sistēmu ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ Lx = 2x + λ = 0, Ly = 2y + λ = 0, Lz = −2zλ = 0, Lλ = x + y − z 2 − 1 = 0,
1.2. Nosacītais ekstrēms 21 1.4. zīm. Funkcijas f(x; y) = x 2 +y 2 līmeņlīnijas x 2 +y 2 = C1 un x 2 +y 2 = C un taisne AB ar vienādojumu x+y = 1, kura pieskaras pirmajai līmeņlīnijai. iegūsim x, y, z un λ vērtības: x = 0, 5, y = 0, 5, z = 0, λ = −1. Tātad nosacītā ekstrēma punkts (no ˇgeometriskā viedokl¸a ir skaidrs, ka tas ir minimuma punkts) ir punkts (0, 5; 0, 5). Pie ˇsī paˇsa secinājuma varēja nonākt, izmantojot tikai ˇgeometriskus spriedumus. 1.4. zīmējumā ir attēlota (x; y)-plakne, taisne AB, kuras vienādojums ir x + y = 1, un divas funkcijas f līmeņlīnijas. Atgādināsim, ka par funkcijas līmeņlīnijām sauc līnijas, uz kurām dotās funkcijas vērtības ir konstantas. Pieņemsim, ka līmeņlīnija C1 pieskaras taisnei AB. Pieskarˇsanās punkta koordinātas ir (0, 5; 0, 5). No ˇgeometriskā viedokl¸a ir skaidrs, ka tieˇsi līmeņlīnijas C1 un taisnes AB pieskarpunkts ir dotās problēmas atrisinājums. 1.11. piezīme. Fakts, ka z vērtība ir nulle, norāda uz to, ka ekstrēma punkts atrodas uz piel¸aujamā apgabala robeˇzas, kur izpildās vienādība x + y = 1. Risināˇsanas shēma. Aplūkosim vairāku argumentu funkcijas f(x), x ∈ R n , minimizēˇsanas problēmu, kad ir uzdoti m ierobeˇzojumi nevienādību
- Page 1 and 2: DAUGAVPILS UNIVERSIT ĀTE Matemāti
- Page 3 and 4: IEVADS Mācību līdzeklī ir izkl
- Page 5 and 6: I nodal¸a VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKC
- Page 7 and 8: 1.1. Brīvais ekstrēms 7 1.1. zīm
- Page 9 and 10: 1.1. Brīvais ekstrēms 9 ◮ Funkc
- Page 11 and 12: 1.1. Brīvais ekstrēms 11 ◮ Funk
- Page 13 and 14: 1.1. Brīvais ekstrēms 13 Apskatī
- Page 15 and 16: 1.2. Nosacītais ekstrēms 15 Līdz
- Page 17 and 18: 1.2. Nosacītais ekstrēms 17 1.2.2
- Page 19: 1.2. Nosacītais ekstrēms 19 1.9.
- Page 23 and 24: 1.2. Nosacītais ekstrēms 23 Risin
- Page 25 and 26: 1.2. Nosacītais ekstrēms 25 Tā k
- Page 27 and 28: 1.2. Nosacītais ekstrēms 27 1.2.8
- Page 29 and 30: 1.2. Nosacītais ekstrēms 29 1.7.
- Page 31 and 32: 1.2. Nosacītais ekstrēms 31 ir ˇ
- Page 33 and 34: II nodal¸a SKAITLISKĀS METODES Fu
- Page 35 and 36: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 37 and 38: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 39 and 40: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 41 and 42: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 43 and 44: 2.2. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 45 and 46: 2.3. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 47 and 48: 2.3. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 49 and 50: 2.3. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 51 and 52: 2.3. Minimuma punkta meklēˇsanas
- Page 53 and 54: III nodal¸a LINEĀRĀS PROGRAMMĒ
- Page 55 and 56: 3.1. Ievads 55 koordinātas vienād
- Page 57 and 58: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 59 and 60: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 61 and 62: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 63 and 64: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 65 and 66: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 67 and 68: 3.2. Lineārās programēˇsanas uz
- Page 69 and 70: 3.3. Simpleksa metode 69 18. Firma
1.2. Nosacītais ekstrēms 21<br />
1.4. zīm. Funkcijas f(x; y) = x 2 +y 2 līmeņlīnijas x 2 +y 2 =<br />
C1 un x 2 +y 2 = C un taisne AB ar vienādojumu x+y = 1,<br />
kura pieskaras pirmajai līmeņlīnijai.<br />
iegūsim x, y, z un λ vērtības:<br />
x = 0, 5, y = 0, 5, z = 0, λ = −1.<br />
Tātad nosacītā ekstrēma punkts (no ˇgeometriskā viedokl¸a ir skaidrs,<br />
ka tas ir minimuma punkts) ir punkts (0, 5; 0, 5). Pie ˇsī paˇsa secinājuma<br />
varēja nonākt, izmantojot tikai ˇgeometriskus spriedumus.<br />
1.4. zīmējumā ir attēlota (x; y)-plakne, taisne AB, kuras vienādojums<br />
ir x + y = 1, un divas funkcijas f līmeņlīnijas. Atgādināsim, ka<br />
par funkcijas līmeņlīnijām sauc līnijas, uz kurām dotās funkcijas<br />
vērtības ir konstantas. Pieņemsim, ka līmeņlīnija C1 pieskaras taisnei<br />
AB. Pieskarˇsanās punkta koordinātas ir (0, 5; 0, 5). No ˇgeometriskā<br />
viedokl¸a ir skaidrs, ka tieˇsi līmeņlīnijas C1 un taisnes AB pieskarpunkts<br />
ir dotās problēmas atrisinājums.<br />
1.11. piezīme. Fakts, ka z vērtība ir nulle, norāda uz to, ka ekstrēma<br />
punkts atrodas uz piel¸aujamā apgabala robeˇzas, kur izpildās vienādība<br />
x + y = 1.<br />
Risināˇsanas shēma. Aplūkosim vairāku argumentu funkcijas f(x), x ∈<br />
R n , minimizēˇsanas problēmu, kad ir uzdoti m ierobeˇzojumi nevienādību
Change language