You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
20 I nodal¸a. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJU EKSTRĒMI<br />
Risināˇsanas shēma. Aplūkosim vairāku argumentu funkcijas f(x),<br />
x ∈ R n , minimizēˇsanas problēmu, kad ir uzdoti m (m < n) ierobeˇzojumi<br />
vienādību veidā:<br />
gi(x) = 0 (i = 1, 2, . . . , m).<br />
Jāsastāda (n + m) argumentu Lagranˇza funkcija<br />
m<br />
L(x; λ) = f(x) + λigi(x)<br />
un jāaplūko brīva ekstrēma problēma ˇsai Lagranˇza funkcijai. Tātad,<br />
problēmas atrisinājumi atrodas starp (n + m) vienādojumu sistēmas<br />
<br />
Lxi = 0 (i = 1, . . . , n),<br />
= 0 (j = 1, . . . , m),<br />
atrisinājumiem.<br />
Lλj<br />
1.2.5. Lagranˇza reizinātāju metode, kad ierobeˇzojumi ir nevienādību<br />
veidā<br />
Paskaidrosim Lagranˇza metodes būtību ˇsajā gadījumā ar piemēru palīdzību.<br />
1.5. piemērs. [Divi argumenti, viens ierobeˇzojums]<br />
Minimizēt funkciju f(x; y) = x 2 + y 2 pie nosacījuma x + y ≥ 1.<br />
Mēˇgināsim atrast minimuma punktu, lietojot Lagranˇza reizinātāju<br />
metodi. Ievedīsim fiktīvu mainīgo z un ar tā palīdzību līdzsvarosim<br />
ierobeˇzojumu x + y ≥ 1, pārrakstot to vienādības veidā:<br />
i=1<br />
x + y = 1 + z 2 .<br />
Tagad jāminimizē funkcija f, ja nosacījums ir vienādības veidā. Sastādīsim<br />
Lagranˇza funkciju formā<br />
L(x; y; z; λ) = f(x; y) + λ(x + y − z 2 − 1)<br />
un atradīsim tās stacionāros punktus. Risinot vienādojumu sistēmu<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
Lx = 2x + λ = 0,<br />
Ly = 2y + λ = 0,<br />
Lz = −2zλ = 0,<br />
Lλ = x + y − z 2 − 1 = 0,
Change language