IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A

18 I nodal¸a. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJU EKSTRĒMI
1.8. piezīme. Netriviāls ir jautājums, kad dal¸u argumentu (teiksim,
x1, x2, . . . , xm) var izteikt ar pārējiem mainīgajiem xm+1, . . . , xn kādā
punkta M0 apkārtnē. No matemātiskas analīzes kursa ir zināms [7,
ir nepārtraukti un
208. lpp.], ka tas ir iespējams, ja visi gi un ∂gi
∂xj
punkta M0 apkārtnē.
∂g1 ∂g1
· · ·
∂x1 ∂xm
. . . . . . . . . . . . . = 0
· · ·
∂gm
∂x1
1.2.4. Lagranˇza reizinātāju metode, kad ierobeˇzojumi ir vienādību
veidā
Mainīgo izslēgˇsanas metode ne vienmēr ir ērta, jo daˇzkārt argumentu
izslēgˇsana prasa vienādojumu un vienādojumu sistēmu analītisku risinājumu,
kas, vispārīgi runājot, ir iespējams tikai retos gadījumos.
Nosaukumā minētā metode dodiespēju sākotnējo nosacītā minimuma
problēmu reducēt uz brīvā ekstrēma problēmu.
∂gm
∂xm
1.3. piemērs. [Divi argumenti, viens ierobeˇzojums]
Minimizēt funkciju f(x; y) = x 2 + y 2 , ja y = x + 1.
Funkcijas f grafiks ir eliptiskais paraboloīds, un x un y vērtības atrodas
uz taisnes y = x + 1 divdimensiju telpā R 2 . No ˇgeometriskā
viedokl¸a ir skaidrs, ka minimuma punktam ir jāeksistē.
Saskaņā ar Lagranˇza metodi ir jāieved vienu (pēc ierobeˇzojumu skaita!)
parametru λ un jāsastāda tā saucamā Lagranˇza funkcija
L(x; y; λ) = f(x; y) + λ(y − x − 1).
Tālāk jāmeklē Lagranˇza funkcijas stacionārie punkti ar ieceri, ka
tie dos sākotnējās problēmas atrisinājumu. Lagranˇza funkcijas stacionārie
punkti apmierina vienādojumu sistēmu
⎧
⎨
⎩
Lx = 2x − λ = 0,
Ly = 2y + λ = 0,
Lλ = y − x − 1 = 0,
kuras atrisinājums ir x = −0, 5, y = 0, 5, λ = −1.