IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A

12 I nodal¸a. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJU EKSTRĒMI
apskatīsim kvadrātisku matricu
A =
fx1x1 fx1x2
fx2x1 fx2x2
No matemātiskas analīzes kursa ir zināms, ka jauktie atvasinājumi ir
vienādi savā starpā, ja tie ir nepārtraukti [7, 5. nodal¸a, §4], tāpēc
.
det A = fx1x1 fx2x2 − f 2 x1x2 .
No kvadrātisko formu teorijas ir zināms [7, 198. lpp.]:
• ja det A > 0 un fx1x1
• ja det A > 0 un fx1x1
> 0, tad kvadrātiskā forma ir pozitīva;
< 0, tad kvadrātiskā forma ir negatīva;
• ja det A < 0, tad kvadrātiskā forma pieņem gan pozitīvas, gan negatīvas
vērtības.
Formulēsim divu argumentu funkcijas ekstrēma punktu meklēˇsanas shēmu:
1. atrast stacionārus punktus, risinot sistēmu (1.1);
2. katrā stacionārā punktā noteikt determinanta det A zīmi;
3. ja stacionārā punktā z ir spēkā det A > 0 un fx1x1 > 0, tad d2 f(z) > 0
un z ir (stingrā) minimuma punkts;
4. ja stacionārajā punktā z ir spēkā det A > 0 un fx1x1 < 0, tad
d2f(z) < 0 un z ir (stingrā) maksimuma punkts;
5. ja stacionārajā punktā z ir spēkā det A < 0, tad d 2 f(z) pieņem gan
pozitīvas, gan negatīvas vērtības kādā punkta z apkārtnē un z nav
ekstrēma punkts;
6. ja stacionārajā punktā z ir spēkā det A = 0, tad ir nepiecieˇsama tālāka
analīze.
1.7. piezīme. 6. gadījumā, kad det A = 0, stacionārā punkta z rakstura
analīze var būt saistīta ar augstākas kārtas diferenciāl¸u rēk¸ināˇsanu,
protams, ja funkcijai eksistē attiecīgās kārtas atvasinājumi. Tieˇsām,
f(x) − f(z) = df(z) + 1
2 d2 f(z) + 1
3! d3 f(z) + 1
4! d4 f(z) + · · ·
un starpības zīme vienādības kreisajā pusē ir atkarīga no pirmā no
nulles atˇsk¸irīgā diferenciāl¸a vienādības labajā pusē.