IEVADS OPTIMIZ¯ACIJ¯A

1.1. Brīvais ekstrēms 11
◮ Funkcijas f pieaugumam punktā z ir spēkā formula (Teilora rinda
diferenciālā formā) [7, 195. lpp.]
f(x) − f(z) = df(z) + 1
2 d2 f(z) + o ρ 2 (x, z) ,
kur treˇsais elements labajā pusē ir augstākas kārtas bezgalīgi mazs lielums
salīdzinot ar ρ 2 (x; z) , ja x → z. Tā kā saskaņā ar pieņēmumu z ir funkcijas
f(x) stacionārs punkts, tad df(z) = 0. Tas nozīmē, ka starpības f(x)−f(z)
zīme x vērtībām no pietiekami mazas punkta z apkārtnes ir atkarīga no
diferenciāl¸a d 2 f(z) zīmes. Tāpēc
f(x) − f(z) ≥ 0,
ja punkts x ir pietiekami tuvs z punktam. No minimuma definīcijas seko,
ka punkts z ir funkcijas f (lokālā) minimuma punkts.◭
1. secinājums. Ja funkcijas f(x) stacionārā punktā z diferenciālis
d 2 f(z) < 0,
tad z ir funkcijas f(x) (lokālā) maksimuma punkts. Lai to pierādītu,
ir pietiekami aplūkot funkciju −f(x), kurai otrās kārtas diferenciālis
ir nenegatīvs, un tad pielietot 1.2. teorēmu.
1.2. teorēmas un 1. secinājuma pielietoˇsanai stacionārā punkta rakstura
pētīˇsanā ir nepiecieˇsama prasme rēk¸ināt otrās kārtas diferenciāli dotajā
punktā.
Divu argumentu funkcijas f(x1; x2) otrās kārtas diferenciāli dotajā punktā
z = (z1; z2) aprēk¸ina ˇsādi:
kur
d 2 f(z) = ∂2f ∂x2 ∆x
1
2 1 + ∂2f ∆x1∆x2 +
∂x1∂x2
∂2f ∆x2∆x1 +
∂x2∂x1
∂2f ∂x2 ∆x
2
2 2,
∆x1 = x1 − z1, ∆x2 = x2 − z2.
Tātad diferenciālis d 2 f(z) ir kvadrātiska forma attiecībā pret mainīgajiem
∆x1 un ∆x2. Parciālie atvasinājumi tiek aprēk¸ināti punktā z.
Apzīmējot parciālos atvasinājumus:
∂ 2 f
∂x 2 1
= fx1x1 ,
∂ 2 f
∂x1x2
= fx1x2 ,
∂ 2 f
∂x2x1
= fx2x1 , ∂2 f
∂x 2 2
= fx2x2 ,