IEVADS MATEM¯ATISKAJ¯A ANAL¯IZ¯E

DAUGAVPILS UNIVERSIT ĀTE
Matemātikas katedra
Vallija Gedroica
IEVADS MATEMĀTISKAJĀ
ANALĪZĒ
2003

ANOT ĀCIJA
Mācību līdzeklī ir ietverti uzdevumi un īss teorijas izklāsts par ˇsādām
tēmām: reāla skaitl¸a modulis, funkcija, robeˇza, funkcijas nepārtrauktība.
Darbā iekl¸auti uzdevumu atrisināˇsanas paraugi, auditorijā risināmie uzdevumi
un mājas darbu uzdevumi. Pielikumā apkopoti uzdevumi individuālajam
darbam.

1. Reālā skaitl¸a modulis
1.1. definīcija. Par reālā skaitl¸a a moduli (absolūto vērtību) sauc
max(a, −a) un apzīmē |a|.
Tādējādi
Modul¸a īpaˇsības.
1. |a + b| ≤ |a| + |b|;
2. | − a| = |a|;
3. |a| − |b| ≤ |a − b|;
|a| =
a, ja a ≥ 0,
−a ja a < 0.
4. |a| < c tad un tikai tad, ja −c < a < c;
5. |a| > c tad un tikai tad, ja a < −c vai a > c;
6. |a · b| = |a| · |b|;
7. | a
b
|a|
| = |b| , ja b = 0.
Risinot vienādojumus un nevienādības, kas satur moduli, ir izdevīgi lietot
intervālu metodi, kuras pamatā ir nepārtrauktu funkciju īpaˇsība: ja
funkcija f intervālā (a; b) ir nepārtraukta un nevienā ˇsī intervāla punktā tās
vērtība nav 0, tad visos intervāla punktos funkcijas vērtības ir vai nu tikai
pozitīvas, vai arī tikai negatīvas. Ja pieņem, ka funkcija f ir nepārtraukta
intervālā I un to intervāla punktu skaits, kuros ˇsīs funkcijas vērtības
vienādas ar nulli, ir galīgs, tad ˇsie punkti sadala intervālu I apakˇsintervālos,
pie tam katra apakˇsintervāla visos punktos funkcijas f vērtības ir vai
nu pozitīvas, vai arī negatīvas. Lai noteiktu funkcijas vērtību zīmi kādā
apakˇsintervālā, pietiek aprēk¸ināt funkcijas vērtību brīvi izraudzītā dotā
apakˇsintervāla punktā.
1.1. piemērs. Konstruēt funkcijas f(x) = |x + 1| grafiku.
ˇSo uzdevumu var atrisināt ar vairākiem paņēmieniem.
3

1. paņēmiens.
Pārveido ˇsīs funkcijas analītisko izskatu, izmantojot modul¸a definīciju.
Punkts x = −1 sadala koordinātu taisni divos intervālos. Katrā no
ˇsiem intervāliem (1.1. zīm.) nosaka funkcijas izskatu.
1.1. zīm.
Intervālā (−∞; −1) ir spēkā x + 1 < 0, tāpēc
un
|x + 1| = −(x + 1)
f(x) = −(x + 1).
Intervālā [−1; +∞) ir spēkā x + 1 ≥ 0, tāpēc
f(x) = x + 1.
Tātad doto funkciju var uzrakstīt ˇsādi:
−x − 1, ja x < −1,
f(x) =
x + 1, ja x ≥ −1.
Konstruē ˇsīs funkcijas grafiku (1.2. zīm).
1.2. zīm.
4

2. paņēmiens.
Konstruē funkcijas f(x) = x+1 grafiku un grafika to dal¸u, kas atrodas
zem Ox ass, attēlo simetriski attiecībā pret Ox asi (1.3. zīm.).
3. paņēmiens.
1.3. zīm.
Funkcijas f(x) = |x + 1| grafiku var iegūt no funkcijas f(x) = |x|
grafika, veicot paralēlo pārnesi par vienu vienību pa kreisi (1.4. zīm.).
1.4. zīm.
5

1.2. piemērs. Konstruēt funkcijas f(x) = |x + 1| + |x − 1| grafiku.
Lietojot intervālu metodi un modul¸a definīciju, pārveido dotās funkcijas
analītisko izskatu.
1.5. zīm.
1. Ja x < −1, tad x + 1 < 0 un x − 1 < 0, tāpēc |x + 1| = −(x + 1)
un |x − 1| = −(x − 1).
Tātad
f(x) = −(x + 1) − (x − 1) = −2x.
2. Ja −1 ≤ x < 1, tad x + 1 ≥ 0 un x − 1 < 0, tāpēc |x + 1| = x + 1
un |x − 1| = −(x − 1).
Tātad
f(x) = x + 1 − (x − 1) = 2.
3. Ja x ≥ 1, tad x + 1 > 0 un x − 1 ≥ 0, tāpēc |x + 1| = x + 1 un
|x − 1| = x − 1.
Tātad
f(x) = x + 1 + x − 1 = 2x.
Ņemot vērā funkcijas analītisko izskatu katrā no minētajiem intervāliem,
var rakstīt:
⎧
⎨ −2x, ja x < −1,
f(x) =
⎩
2,
2x,
ja −1 ≤ x < 1,
ja x ≥ 1.
Konstruē ˇsīs funkcijas grafiku (1.6. zīm.).
6

1.6. zīm.
1.3. piemērs. Atrisināt vienādojumu |x + 1| − |x + 2| + |x − 3| = 5.
Punkti x = −2, x = −1 un x = 3 koordinātu taisni sadala četros
intervālos (1.7. zīm.). Katrā no ˇsiem intervāliem katra no izteiksmēm,
kas atrodas zem modul¸a zīmes, saglabā savu zīmi.
1.7. zīm.
Lietojot modul¸a definīciju, katrā no ˇsiem intervāliem doto vienādojumu
var pārrakstīt ˇsādi:
1.
2.
x < −2,
−(x + 1) + x + 2 − (x − 3) = 5,
x < −2,
x = −1.
x ∈ ∅, jo x = −1 nepieder ˇsim intervālam.
−2 ≤ x < −1,
−(x + 1) − (x + 2) − (x − 3) = 5
−2 ≤ x < −1,
x = − 5
3 ,
x = − 5
3 .
7

3.
4.
−1 ≤ x < 3,
x + 1 − (x + 2) − (x − 3) = 5,
−1 ≤ x < 3,
x = −3.
x ∈ ∅, jo x = −3 nepieder ˇsim intervālam.
x ≥ 3,
x + 1 − (x + 2) + x − 3 = 5,
x ≥ 3,
x = 9.
x = 9.
Atbilde. x ∈ − 5
; 9
3
1.4. piemērs. Atrisināt nevienādību |3x − 5| − |2x + 3| > 0.
Punkti x = −3 2
(1.8. zīm.).
un x = 5
3
.
sadala koordinātu taisni trīs intervālos
1.8. zīm.
Pārraksta doto nevienādību katrā no ˇsiem intervāliem.
1.
2.
x < − 3
2 ,
−(3x − 5) + (2x + 3) > 0,
x < − 3
2 ,
x < 8.
x < − 3
, tātad x ∈
2
3 −
2
≤ x < 5
3 ,
−∞, − 3
.
2
−(3x − 5) − (2x + 3) > 0,
3 −
5
2 ≤ x < 3 ,
x < 2
5 ,
− 3 2
≤ x <
2 5 .
x ∈ − 3
2
; .
2 5
8

3.
x ≥ 5
3 ,
3x − 5 − (2x + 3) > 0,
x ≥ 5
3 ,
x > 8.
x > 8, tātad x ∈ (8; +∞).
Lai uzrakstītu atbildi, apvieno iegūtos rezultātus uz koordinātu taisnes
(1.9. zīm.).
1.9. zīm.
Atbilde. x ∈ −∞; 2
5 ∪ (8; +∞).
1.5. piemērs. Atrisināt nevienādību |1 − 2x| < 3.
Doto nevienādību var atrisināt, izmantojot modul¸a 4. īpaˇsību.
Atbilde. x ∈ (−1; 2).
−3 < 1 − 2x < 3,
−4 < −2x < 2,
−1 < x < 2.
1.6. piemērs. Atrisināt nevienādību |3x − 8| ≥ 4.
Doto nevienādību var atrisināt, izmantojot modul¸a 5. īpaˇsību.
3x − 8 ≥ 4 vai 3x − 8 ≤ −4,
3x ≥ 12 3x ≤ 4,
x ≥ 4 x ≤ 4
x ∈ [4; +∞) x ∈
Atbilde. x ∈ −∞; 4
3 ∪ [4; +∞).
3 ,
−∞; 4
.
3
1.7. piemērs. Atrisināt vienādojumu | sin x| − sin x = 2.
1. Ja sin x ≥ 0, tad | sin x| = sin x, tāpēc
sin x ≥ 0,
sin x − sin x = 2,
x ∈ ∅.
9

2. Ja sin x < 0, tad | sin x| = − sin x, tāpēc
sin x < 0,
− sin x − sin x = 2,
sin x < 0,
sin x = −1,
sin x = −1.
x = − π
2
+ 2πn, n ∈ Z.
Atbilde. x ∈ − π
2 + 2πn, n ∈ Z .
Auditorijā risināmie uzdevumi
1. Konstruēt grafikus funkcijām
(a) f(x) = x − |3x + 1| − 2,
(b) f(x) = 5|x| − |1 − x|,
(c) f(x) = | cos x| + 1.
2. Atrisināt vienādojumus
(a) |2x − 3| = 2x − 3,
(b) | cos x| = cos x,
(c) |x| = x + 3,
(d) |x − 3| + |x + 1| = 4,
(e) 2|3 − 2x| − x − 2 = x.
3. Atrisināt nevienādības
(a) |2x − 4| ≥ 6,
(b) |1 + x| ≤ 2,
(c) |x − 1| − |x + 4| > 0,
(d) |x + 3| − |x + 1| < 2,
(e)
x x
x+1 > x+1 ,
(f)
x+2
> 3,
x−1
(g) 2 √ x 2 ≥ (x − 1) 2 + 2,
(h)
2−3|x|
< 1.
1+|x|
10

Mājas darba uzdevumi
1. Konstruēt grafikus funkcijām
(a) f(x) = |2x − 1| + 3|x|,
(b) f(x) = |4 − x| − 2|1 − x| + 3,
(c) f(x) = | sin x| − 2.
2. Atrisināt vienādojumus
(a) x − |3x − 1| = 3,
(b) |2x − 5| − |3x + 6| = 6,
(c) | sin x| = sin x,
(d) 4 sin 2 x − | cos x| = 1.
3. Atrisināt nevienādības
(a) |3x − 4| ≤ 5,
(b) |x 2 + 3x − 4| > x 2 + 3x − 4,
(c) |3x − 5| − |2x + 3| > 0,
(d) 2x 2 − 7 √ x 2 ≤ 4,
(e)
x2−5x+4 x2−4
< 1.
2. Funkcijas jēdziens. Vienādas funkcijas.
Funkcijas, kas uzdota ar formulu, definīcijas
apgabala noteikˇsana
Par atbilstību sauc sakārtotu pāru (x; y) patval¸īgu kopu S.
Pirmo elementu x kopu sauc par atbilstības definīcijas apgabalu
D(S), bet otro elementu y kopu - par atbilstības vērtību apgabalu E(S).
Atbilstību S sauc par viennozīmīgu, ja katram x ∈ D(S) eksistē
vienīgs y ∈ E(S), ka (x; y) ∈ S.
11

2.1. definīcija. Par funkciju sauc katru viennozīmīgu atbilstību.
Ja f ir funkcija un x ∈ D(f), tad y = f(x) sauc par funkcijas f vērtību
punktā x (skat. 1 ).
Divas funkcijas f un g uzskata par vienādām, ja
1. tām ir vienādi definīcijas apgabali,
2. katram x ∈ D(f) = D(g) izpildās f(x) = g(x).
Par funkcijas f grafiku sauc kopu
2.1. piemērs. f(x) = x 2 + 2x − 1.
Γf = (x; y) x ∈ D(f), y = f(x) .
Atrast f(0), f(a + 1), f(a) + 1, f
1 1
x , f(x) , ff(x) .
Ievietojot argumenta x vietā 0, iegūst
Analogi
f(0) = 0 2 + 2 · 0 − 1 = −1.
f(a + 1) = (a + 1) 2 + 2(a + 1) − 1 = a 2 + 4a + 2,
f(a) + 1 = a 2 + 2a − 1 + 1 = a 2 + 2a,
2 1 1
f =
x x
1
f(x) =
1
x2 + 2x − 1 .
+ 2 · 1
x
1 2
− 1 = + − 1,
x2 x
Lai atrastu f f(x) , argumenta x vietā ievieto x 2 + 2x − 1.
f f(x) = (x 2 +2x−1) 2 +2(x 2 +2x−1)−1 = x 4 +4x 3 +2x 2 −4x+1.
2.2. piemērs.
⎧
⎨
f(x) =
⎩
x 2 + 1, ja x < −2,
sin x, ja −2 < x < 2,
lg x, ja x ≥ 2.
Atrast f(−5), f(−2), f(0), f(2), f(10).
Funkcija ir definēta ar 3 formulām visiem x ∈ R \ {−2}.
1 Tā bieˇzi apzīmē arī paˇsu funkciju f.
12

Tā kā −5 ∈ (−∞; −2), tad f(−5) = (−5) 2 + 1 = 26.
Skaitlis −2 ∈ D(f), t.i., funkcija ˇsajā punktā nav definēta, un funkcijas
vērtība punktā −2 neeksistē.
Skaitlis 0 ∈ (−2; 2), tāpēc f(0) = sin 0 = 0.
Skaitlis 10 ∈ [2, +∞), tāpēc f(10) = lg 10 = 1.
2.3. piemērs. Noskaidrot, vai dotās funkcijas ir vienādas.
1. f(x) = x2−1 x+1 , ϕ(x) = x − 1,
2. f(x) = x + 1, ϕ(x) = (x + 1) 2 ,
3. f(x) = lg(1 − x 2 ), ϕ(x) = lg(1 + x) + lg(1 − x).
1. D(f) = R \ {−1}, D(ϕ) = R.
Tā kā D(f) = D(ϕ), tad dotās funkcijas nav vienādas.
2. D(f) = D(ϕ) = R,
f(x) = ϕ(x) visiem x ∈ (−∞; −1), piemēram, f(−2) = −1,
ϕ(−2) = 1. Tātad dotās funkcijas nav vienādas.
3. Nosaka funkciju definīcijas apgabalus.
D(f) : 1 − x 2 > 0,
D(ϕ) :
Tātad D(f) = D(ϕ) = (−1; 1).
Visiem x ∈ (−1; 1) ir spēkā
x 2 < 1,
− 1 < x < 1.
1 + x > 0,
1 − x > 0,
x > −1,
x < 1,
− 1 < x < 1.
f(x) = lg(1−x 2 ) = lg (1−x)(1+x) = lg(1−x)+lg(1+x) = ϕ(x).
Tātad dotās funkcijas ir vienādas.
13

Auditorijā risināmie uzdevumi
1. f(x) = x
3 + sin 2x. Atrast f(3x), f
1 1
x , f(x)
4 + x, ja −1 ≤ x ≤ 0,
2 x ja 0 < x < +∞.
Atrast f(−2), f(−1), f(0), f(1).
2. f(x) =
3. f(x) = x 2 + 1
x 2 − 2x − 2
x . Parādīt, ka f 1
x
4. ϕ(t) = 3√ 1 − t 3 . Parādīt, ka ϕ ϕ(t) = t.
, f(x + 1), f(x) + 1.
= f(x).
5. Noteikt, kuras no dotajām funkcijām ir vienādas.
(a) f(x) = √ x √ x − 1, ϕ(x) = x(x − 1),
(b) f(x) = x, ϕ(x) = |x|,
(c) f(x) = lg x 2 , ϕ(x) = 2 lg x,
(d) f(x) = lg(x 2 − 4x), ϕ(x) = lg x + lg(x − 4),
x − 1
(e) f(x) =
x3 ,
− 1
1
ϕ(x) =
x2 + x + 1 ,
(f) f(x) = 1, ϕ(x) = sin 2 x + cos 2 x.
Mājas darba uzdevumi
1. ϕ(x) = lg x 2 . Aprēk¸ināt ϕ(−10), ϕ(−0, 001), ϕ(100).
2. F (y) = sin π
y
+ cos πy. Aprēk¸ināt F (1), F (2), F (3), F (6).
⎧
⎨ x, ja x < −2,
3. u(x) = 1,
⎩
5 − x
ja |x| ≤ 2,
2 ja x > 2.
Atrast u(−3), u(−2), u(0), u(2), u(3).
4. f(x) = x 2 − 2x + 3. Atrisināt vienādojumus.
(a) f(x) = f(−1),
(b) f(x) = f(0),
(c) f(x + 1) = f(1).
14

5. Noteikt, kuras no dotajām funkcijām ir vienādas.
(a) f(x) = x, ϕ(x) = √ x 2 ;
(b) f(x) = lg(2x − x 2 ), ϕ(x) = lg(2 − x) + lg x;
(c) f(x) = lg 10 1−x , ϕ(x) = 1 − x;
, ϕ(x) = x 2 ;
1 − x
(e) f(x) = lg , ϕ(x) = lg(1 − x) − lg(1 + x).
1 + x
(d) f(x) = 3 log 3 x 2
Definīcijas apgabala noteikˇsana analītiski definētām
funkcijām
Visbieˇzāk funkciju uzdod analītiski, t.i., ar formulu. Tādā gadījumā funkcijas
definīcijas apgabalu īpaˇsi nenorāda. Ar definīcijas apgabalu saprot
tās argumenta vērtības, ar kurām formulai ir jēga. Piemēram,
1. f(x) = 1
x n, n ∈ N, tad x = 0 jeb x ∈ R \ {0};
2. f(x) = m√ x, m ir pāra skaitlis, tad x ≥ 0 jeb x ∈ [0; +∞);
3. f(x) = log a x, tad x > 0 jeb x ∈ (0; +∞);
4. f(x) = tg x, tad x = π
2 + πk jeb x ∈ R \ π
2 + πk, k ∈ Z ;
5. f(x) = ctg x, tad x = πk jeb x ∈ R \ {πk, k ∈ Z};
6. f(x) = arcsin x, tad |x| ≤ 1 jeb x ∈ [−1; 1];
7. f(x) = arccos x, tad |x| ≤ 1 jeb x ∈ [−1; 1].
2.4. piemērs. Noteikt funkcijas
5x − 1
f(x) = lg
2
definīcijas apgabalu.
+ arcsin 3x − 2
5
Dotās funkcijas definīcijas apgabals ir abu saskaitāmo definīcijas ap-
15

gabalu kopējā dal¸a.
⎧
⎪⎨ lg
⎪⎩
5x−1
2 ≥ 0,
5x−1
2 > 0,
3x−2
5 ≤ 1,
5x−1
2 ≥ 1,
|3x − 2| ≤ 5,
5x − 1 ≥ 2,
−5 < 3x − 2 ≤ 5,
.
Atbilde. x ∈ 3 7
5 ; 3
2.5. piemērs. Noteikt funkcijas
definīcijas apgabalu.
ˇSoreiz
Atbilde. x ∈
k∈Z
sin 2x > 0,
f(x) =
1
√ sin 2x
5x ≥ 3,
−3 ≤ 3x ≤ 7,
x ≥ 3
5 ,
−1 ≤ x ≤ 7
3 .
2πk < 2x < π + 2πk (k ∈ Z),
πk < x < π
+ πk
2
(k ∈ Z).
πk; π
2 + πk .
2.6. piemērs. Noteikt funkcijas
definīcijas apgabalu.
f(x) = arcctg
6 − 7x
5x 2 + 3 +
ˇSoreiz jāatrisina nevienādību sistēma:
⎧
⎨
⎩
5x 2 + 3 = 0,
log 0,3(2x − 1) ≥ 0,
2x − 1 > 0,
x ≤ 1,
x > 1
2 .
Atbilde. x ∈ 1
2 ; 1 .
16
log 0,3(2x − 1)
2x − 1 ≤ 1,
2x > 1,

Auditorijā risināmie uzdevumi
Noteikt funkciju definīcijas apgabalus.
1. f(x) = x 3 − 3x + 2;
2. f(x) = x−3
x+1 ;
3. f(x) = 1
x 2 −1 ;
4. f(x) = x
x 2 +1 ;
5. f(x) = √ 6x − 8 − x 2 ;
6. f(x) = lg 5+3x
2−5x ;
7. f(x) = arccos 2x
1+x ;
8. f(x) = √ −x + 1
√ 2+x ;
9. f(x) = arcsin lg x
10
10. f(x) = 5x+7 7
lg(7−x) − (x+3) 2;
11. f(x) = x−1
log 2(7x+4)
12. f(x) = 3
lg 3x−7
5
13. f(x) = arcsin x2 −1
5
14. f(x) = 3x
arcsin 5
x
− sin x;
− arccos x
3 ;
x
+ 3 5−x;
− x
x 3 −2x 2;
+ lg(x 2 − 36);
15. f(x) = arctg 2x−7
7x−x 2 + 5 arccos 5
3x−1 .
Mājas darba uzdevumi
Noteikt funkciju definīcijas apgabalus.
1. f(x) = 2x 2 + x − 3;
2. f(x) = √ x
sin πx ;
3. f(x) = arcsin(1 − x) + lg(lg x);
4. f(x) = √ 2x+9
lg(5−x) +
5. f(x) =
7
2x−3 ;
lg 5x−8
3x
3 − arcctg 6−x ;
17

6. f(x) = arccos 7
x − 3 lg(81 − x2 );
sin x
7. f(x) = log0,5(7 − 2x) − 3
5x−15.
3. Reālā mainīgā reālu funkciju klasifikācija
3.1. Pāra un nepāra funkcijas
Apskata funkcijas, kuru definīcijas apgabali ir simetriski attiecībā pret
koordinātu sākuma punktu, t.i., funkcijas, kurām reizē ar x definīcijas
apgabalam pieder arī −x.
3.1. definīcija. Funkciju f sauc par pāra funkciju, ja f(−x) = f(x)
visiem x ∈ D(f).
3.2. definīcija. Funkciju f sauc par nepāra funkciju, ja f(−x) = −f(x)
visiem x ∈ D(f).
No ˇsīm definīcijām seko, ka pāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā
pret ordinātu asi, bet nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret
koordinātu sākuma punktu.
3.1. piemērs. Noteikt, vai dotās funkcijas ir pāra vai nepāra funkcijas.
1. f(x) = x 3 cos 5x,
2. ϕ(t) = 2t +2 −t
3t 2
3. f(x) = lg(2 − x).
+ t42−t2, 1. D(f) = R, tātad simetrisks attiecībā pret koordinātu sākuma
punktu.
Atrod
f(−x) = (−x) 3 cos(−5x) = −x 3 cos 5x = −f(x).
Atbilde. Dotā funkcija ir nepāra funkcija.
2. D(ϕ) = R \ {0} - simetriska attiecībā pret koordinātu sākuma
punktu kopa.
ϕ(−t) = 2−t + 2 t
3t 2
+ t4 2 −t2
Atbilde. Dotā funkcija ir pāra funkcija.
18
= ϕ(t).

3. D(f) = (−∞; 2) - nav simetrisks attiecībā pret koordinātu sākuma
punktu, tāpēc dotā funkcija nevar būt ne pāra, ne nepāra funkcija.
Auditorijā risināmie uzdevumi
Noteikt, vai dotās funkcijas ir pāra vai nepāra funkcijas.
1. f(x) = 4 − 2x 4 + 6x 6 .
2. f(x) = x−2
x 2 +4 .
3. f(x) = 1+2x
1−2 x.
4. f(x) = sin 2 x − cos 2 x;
5. f(x) = |x|
x .
6. f(x) = lg x + √ x 2 + 1 .
7. Funkcija y = f(x) ir definēta slēgtā intervālā [−a; a]. 3.1. zīmējumā
attēlots ˇsīs funkcijas grafiks intervālā [0; a]. Turpināt funkcijas grafiku
intervālā [−a; 0), ja zināms, ka
(a) f - pāra funkcija,
(b) f - nepāra funkcija.
3.1. zīm.
8. Pierādīt, ka divu pāra funkciju reizinājums ir pāra funkcija.
19

Mājas darba uzdevumi
1. Noteikt, vai dotās funkcijas ir pāra vai nepāra funkcijas.
(a) f(x) = |x| + 3x2; (b) f(x) = x 3 sin 2 x +
cos x
x ;
(c) f(x) = sin 2x + x 2√ x;
(d) ϕ(x) = lg 3−x
3+x ;
(e) f(t) = 2e t + t tg t.
2. Pierādīt, ka divu pāra funkciju summa ir pāra funkcija.
3.2. Periodiskas funkcijas
Apskata funkcijas, kuru definīcijas apgabali apmierina ˇsādu nosacījumu:
visiem x ∈ D(f) arī (x + nT ) ∈ D(f) (n ∈ Z, T = 0).
3.3. definīcija. Funkciju f sauc par periodisku funkciju ar periodu
T = 0, ja katram x ∈ D(f) ir pareiza vienādība
f(x + T ) = f(x).
Par funkcijas periodiem der arī skaitl¸i nT , kur n ∈ Z. Vismazāko no
ˇsiem skaitl¸iem sauc par mazāko pozitīvo periodu 2 .
3.2. piemērs. Pierādīt, ka f(x) = sin 2x + tg x ir periodiska funkcija un
atrast tās periodu.
D(f) = R.
Tā kā sinusa periods ir 2π un tangensa periods ir π, tad
f(x) = sin 2x + tg x = sin(2x + 2π) + tg(x + π) =
= sin 2(x + π) + tg(x + π) = f(x + π),
tātad dotā funkcija ir periodiska, un tās periods T = π.
3.3. piemērs. Pierādīt, ka funkcija f(x) = sin x 2 nav periodiska.
Pieņem, ka eksistē tāds skaitlis T > 0, ka visiem x ∈ R ir spēkā
vienādība
sin x 2 = sin(x + T ) 2 . (∗)
2 Parasti to sauc par periodu.
20

Izvēloties x = 0, iegūst: 0 = sin T 2 . Izsakot T un ievietojot ˇso T
vērtību vienādībā (*), nonāk pie pretrunas. Tās nozīmē, ka funkcija
f(x) = sin x 2 nav periodiska 3 .
Auditorijā risināmie uzdevumi
Noteikt, vai funkcijas ir periodiskas, periodiskām funkcijām noteikt to
periodus.
1. f(x) = 4; 2. f(x) = sin x + tg x
2 ;
3. f(x) = 3 cos λx, λ − const; 4. f(x) = sin πx;
5. f(x) =
tg x
2 .
Mājas darba uzdevumi
1. f(x) = ctg x
;
2
πx
3. f(x) = 1 + sin ;
3
2. f(x) = tg(x − 3);
4. sin 2x + 2 sin 3x;
5. f(x) = 0, 1 cos x + cos 3x; 6. f(x) = sin(wx + ϕ0), kur w, ϕ0 − const .
4. Apvērstā (inversā) funkcija
4.1. definīcija. Funkciju f, kas iegūst katru savu vērtību tikai vienā
definīcijas apgabala punktā, sauc par apvērˇsamu funkciju.
Piemēram, intervālā I stingri monotona funkcija ir apvērˇsama ˇsajā intervālā.
4.2. definīcija. Funkciju g, kas apvērˇsamās funkcijas f vērtību apgabala
katrā punktā x iegūst tādu vērtību y, ka f(y) = x, sauc par funkcijas
f apvērsto (inverso) funkciju.
Tātad apvērsto funkciju g var definēt tikai apvērˇsamai funkcijai f, pie
tam D(g) = E(f) un E(g) = D(f).
Apvērˇsamai funkcijai f eksistē vienīgā apvērstā funkcija g, un tās grafiks
ir simetrisks funkcijas f grafikam attiecībā pret taisni y = x.
Lai funkcijai y = f(x), x ∈ D(f), atrastu apvērsto funkciju,
3 Skat.[12, 36. lpp.].
21

1. pārliecinās par to, ka funkcija y = f(x) ir apvērˇsama tās definīcijas
apgabalā 4 ,
2. atrisina vienādojumu y = f(x) attiecībā pret x : x = g(y),
3. argumentu apzīmē ar x un funkcijas vērtību - ar y : y = g(x).
4.1. piemērs. Atrast funkcijas f(x) = 5 x+1
x apvērsto funkciju un noteikt
tās definīcijas apgabalu.
Dotā funkcija ir apvērˇsama, tās definīcijas apgabals
D(f) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞).
Lai atrastu funkcijas apvērsto funkciju, jāatrisina vienādojums
y = 5 x+1
x attiecībā pret x.
x + 1
x = log5 y,
1
x =
log5 y − 1 .
Argumentu apzīmējot ar x, iegūst
Atrod D(g):
Tātad x ∈ (0; 5) ∪ (5; +∞).
g(x) =
1
log 5 x − 1 .
log5 x − 1 = 0,
x > 0,
x = 5,
x > 0.
4.2. piemērs. Atrast funkcijas f(x) = x 2 apvērsto funkciju, noteikt tās
definīcijas apgabalu un konstruēt dotās un apvērstās funkcijas grafiku.
D(f) = R. Dotā funkcija nav apvērˇsama definīcijas apgabalā, tāpēc
jāizvēlas funkcijas saˇsaurinājums, piemēram, uz intervālu [0; +∞).
ˇSajā intervālā funkcija ir augoˇsa, tātad tā ir apvērˇsama.
No vienādojuma y = x 2 atrodam, ka x = √ y (pirms saknes jāņem
“+ ′′ zīme, jo x > 0) ir dotās funkcijas apvērstā funkcija.
Visbeidzot, g(x) = √ x, D(g) = [0; +∞).
22

4.1. zīm.
Auditorijā risināmie uzdevumi
Atrast dotajām funkcijām apvērstās funkcijas un noteikt to definīcijas
apgabalus. 1. un 4. piemērā konstruēt dotās un apvērstās funkcijas grafiku.
1. f(x) = 3 x − 5;
2. f(x) = 2 x
x−2;
3. f(x) = log 5 x−2
3 ;
4. f(x) = √ x + 8;
5. f(x) = 5−x
5+x ;
6. f(x) = 8+x3
8−x 3;
7. f(x) = arccos 4
3x−1 ;
8. f(x) = sin(5x − 1), ja x ∈ − π
10
1 + 5
.
9. f(x) = cos 2 x − sin 2 x, ja x ∈ 0; π
2
; π
10
1 + 5 ;
4 Ja f nav apvērˇsama D(f), tad izveido funkcijas saˇsaurinājumu uz kopu, kurā f ir apvērˇsama.
23

Mājas darba uzdevumi
1. f(x) = 3√ x − 1; 2. f(x) = (x + 2) 2 ;
3. f(x) = arcctg 3x; 4. f(x) = 1 + ln(x + 5);
3
5. f(x) = log2 x ; 6. f(x) = x2 7. f(x) = sin 2x.
− 1;
5. Konverˇgentas skaitl¸u virknes
5.1. definīcija. Skaitli a sauc par virknes (an) robeˇzu, ja jebkuram
ε > 0 eksistē tāds naturāls skaitlis N (atkarīgs no ε), ka visiem n > N
izpildās nevienādība
|an − a| < ε.
Raksta lim
n→+∞ an = a un saka, ka virkne (an) konverˇgē uz skaitli a.
Atrisinot nevienādību |an − a| < ε attiecībā uz an, iegūst:
a − ε < an < a + ε.
Tas nozīmē, ka visiem n > N an pieder punkta a ε - apkārtnei, t.i.,
an ∈ (a − ε; a + ε). Ārpus ˇsīs apkārtnes atrodas tikai galīgs skaits virknes
locekl¸u.
Virknes locekl¸us var attēlot kā koordinātu taisnes punktus (5.1. zīm.),
var arī konstruēt virknes (kā funkcijas atseviˇsk¸a gadījuma) grafiku koordinātu
plaknē. ˇ Soreiz koordinātu plaknē iegūst izolētus punktus (5.2. zīm.).
Piemēram, an = 1
n 2 lim
n→∞ an = 0. Skaitlim ε = 0, 1 N = 3, jo, sākot ar
a4 = 1
16
, visi virknes locekl¸i atradīsies intervālā (-0,1;0,1) (5.1. zīm.).
5.1. zīm.
24

5.1. piemērs. Lietojot virknes robeˇzas definīciju, pierādīt, ka
2n + 3
lim
n→∞ 4n − 1
Skaitlim ε = 0, 1 atrast atbilstoˇso N.
= 1
2 .
Pārveido starpību
an − 1
2
=
2n + 3 1
−
4n − 1 2
=
4n + 6 − 4n + 1
2(4n − 1) =
Atrisina nevienādību
attiecībā pret n:
Ja izvēlas N = 7+2ε
8ε
Tādējādi lim
n→∞ an = 1
2 .
7
2(4n − 1)
< ε
7
2(4n − 1) .
7 + 2ε
n > .
8ε
, tad visiem n > N izpildās nevienādība
an − 1
2
< ε.
Piemēram, ja ε = 0, 1, tad
7 + 2 · 0, 1
N =
=
8 · 0, 1
7, 2
= 9.
0, 8
Tas nozīmē, ka visi virknes locekl¸i, sākot ar 10., atrodas punkta 1
2ε -
.
apkārtnē, t.i., intervālā 2 3
5 ; 5
Dotās virknes robeˇzas ˇgeometriskā interpretācija ir sniegta 5.2. zīm.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
an 1,67 1 0,81 0,73 0,68 0,65 0,63 0,61 0,60 0,59
n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
an 0,58 0,57 0,57 0,56 0,56 0,56 0,55 0,55 0,55 0,54
5.2. piemērs. Lietojot virknes robeˇzas definīciju, pierādīt, ka
√
n − 2 − 1
lim √ = 1.
n→∞ n − 2 − 2
25

5.2. zīm.
Pārveido starpību
√
|an − 1| =
n − 2 − 1
√
− 1
n − 2 − 2
=
√
√
n − 2 − 1 − n − 2 + 2
√
n − 2 − 2
=
1
=
√ n − 2 − 2 =
1
√ ,
n − 2 − 2
n > 6.
Atrisina nevienādību
Ja izvēlas
N = max
1
√ n − 2 − 2 < ε,
√ 1
n − 2 − 2 >
ε ,
√ 1
n − 2 >
+ 2,
ε
2 1
n − 2 > + 2 ,
ε
2 n > + 2 + 2.
1
ε
1
ε
2
+ 2 + 2 ; 6 ,
tad visiem n > N izpildās nevienādība |an − 1| < ε. Tādējādi
lim
n→∞ an = 1.
26

5.3. piemērs. Lietojot virknes robeˇzas definīciju, pierādīt, ka
Pārveido starpību
Atrisina nevienādību
Ja izvēlas N =
lim
n→∞
an − (−1) =
5n = −1.
1 − 5n
5 n + 1 − 5 n
1 − 5 n
1
5n < ε,
− 1
5 n − 1 > 1
ε ,
5 n > 1
+ 1,
n > log 5
ε
1
ε
+ 1 .
= 1
5 n − 1 .
1 log5 ε + 1,
tad visiem n > N izpildās nevienādība
|an + 1| < ε, tādējādi lim
n→∞ an = −1.
Auditorijā risināmie uzdevumi
Lietojot virknes robeˇzas definīciju, pierādīt dotās vienādības. Skaitlim
ε = 0, 1 atrast atbilstoˇso N.
n 1
3n − 4
1. lim = ; 2. lim = 3;
n→∞ 3n + 1 3 n→∞ n + 1
3n
3. lim
n→∞
2 − 1
4n2 √
3
n + 1 − 2
= ; 4. lim √ = 1;
+ 1 4 n→∞ n + 1 + 2
5. lim
n→∞
3 n − 2
3 n
= 1.
27

Mājas darba uzdevumi
Lietojot virknes robeˇzas definīciju, pierādīt dotās vienādības. Skaitlim
ε = 0, 1 atrast atbilstoˇso N.
1.
3n − 7 3
lim = ;
n→∞ 2n + 13 2
2.
√
n + 1
lim √ = 1;
n→∞ n − 1
3.
9 − n
lim
n→∞
3
= −1;
1 + 2n3 2
4.
2
lim
n→∞
n
= −1;
1 − 2n 5. lim
n→∞
3n2 = −3.
2 − n2 6.1. Funkcijas galīga robeˇza
6. Funkcijas robeˇza
6.1. definīcija. Skaitli A sauc par funkcijas f robeˇzu punktā a
(a ∈ R), ja jebkuram ε > 0 eksistē tāds δ > 0 (atkarīgs no ε), ka
visiem x, kuriem 0 < |x − a| < δ, izpildās nevienādība
f(x) − A < ε.
No ˇgeometriskā viedokl¸a tas nozīmē: lai cik ˇsaura arī nebūtu horizontālā
josla starp taisnēm y = A−ε un y = A+ε, funkcijas grafiks, izņemot varbūt
punktu a; f(a) , visiem x ∈ (a − δ; a + δ) atrodas ˇsajā joslā (6.1. zīm.).
Raksta: lim
x→a f(x) = A.
28

6.1. zīm.
6.1. piemērs. Lietojot funkcijas robeˇzas definīciju, pierādīt, ka
lim(5x
− 4) = 1.
x→1
Skaitlim ε = 0, 5 atrast atbilstoˇso δ. Sniegt ˇgeometrisko interpretāciju.
Pārveido starpību
|f(x) − A| = |5x − 4 − 1| = 5|x − 1|.
Atrisina nevienādību 5|x − 1| < ε attiecībā pret |x − 1|:
Tādējādi var ņemt δ = ε
5 .
|x − 1| < ε
5 .
Tātad jebkuram ε > 0 eksistē tam atbilstoˇsais δ = ε
5 > 0, ka visiem
, izpildās nevienādība
x, kuriem 0 < |x − 1| < δ, t.i., 0 < |x − 1| < ε
5
|f(x) − A| = |5x − 4 − 1| = 5|x − 1| < 5 ε
5
Saskaņā ar funkcijas robeˇzas definīciju lim
x→a f(x) = A
Ja ε = 0, 5, tad δ = 0,5
5
lim(5x
− 4) = 1.
x→1
= 0, 1.
29
= ε.

6.2. zīm.
6.2. piemērs. Lietojot funkcijas robeˇzas definīciju, pierādīt, ka
lim
x→3 (x2 − 2) = 7.
Skaitlim ε = 0, 001 atrast atbilstoˇso δ.
Pārveido starpību
f(x) − A = |x 2 − 2 − 7| = |x 2 − 9| = |x − 3| · |x + 3| =
Atrisina nevienādību
attiecībā pret |x − 3|.
= |x − 3| · (x − 3) + 6 ≤ |x − 3| · |x − 3| + 6 =
= |x − 3| 2 + 6|x − 3|.
|x − 3| 2 + 6|x − 3| < ε
Ja |x − 3| apzīmē ar k, tad iegūst nevienādību
Atbilstoˇsā kvadrātvienādojuma
k 2 + 6k − ε < 0.
k 2 + 6k − ε = 0
saknes ir k1 = −3 − √ 9 + ε un k2 = −3 + √ 9 + ε.
Nevienādības
k 2 + 6x − ε < 0
30

atrisinājums ir
Tādējādi
Tā kā
tad
−3 − √ 9 + ε < k < −3 + √ 9 + ε.
−3 − √ 9 + ε < |x − 3| < −3 + √ 9 + ε.
Tātad var ņemt δ = −3 + √ 9 + ε.
−3 − √ 9 + ε < 0,
0 < |x − 3| < −3 + √ 9 + ε.
Kādu arī neizvēlētos ε > 0, eksistē tam atbilstoˇsais δ = −3 + √ 9 + ε,
ka visiem x, kuriem
izpildās nevienādība
0 < |x − 3| < −3 + √ 9 + ε,
|f(x) − A| = |x 2 − 2 − 7| < ε.
Saskaņā ar funkcijas robeˇzas definīciju
Auditorijā risināmie uzdevumi
lim
x→3 (x2 − 2) = 7.
Lietojot funkcijas robeˇzas definīciju, pierādīt dotās vienādības. Skaitlim
ε = 0, 1 atrast atbilstoˇso δ.
1.
(a) lim(2x
− 1) = 3;
x→2
(b) lim
x→4
5 − x
4
= 4;
(c) lim
x→1 (5 − 3x 2 ) = 2; (d) lim
x→4 (x 2 − 4x + 5) = 5.
2. Lietojot funkcijas robeˇzas definīciju, pārbaudīt, vai ir pareiza vienādība
lim(3x
+ 2) = −1.
x→1
Mājas darba uzdevumi
Lietojot funkcijas robeˇzas definīciju, pierādīt dotās vienādības. Skaitlim
ε = 0, 5 atrast atbilstoˇso δ.
1. lim (3x + 5) = 2;
x→−1
2.
x
lim + 4 = 5;
x→3 3
3. lim
x→1 (2x 2 − 3) = −1; 4. lim
x→5 (x 2 − 5x + 6) = 6.
31

6.2. Funkcijas bezgalīga robeˇza
Apskata gadījumu, kad lim
x→a f(x) ir bezgalība. Atkarībā no tā, vai a ir
skaitlis vai viens no simboliem “bezgalība” (plus bezgalība, mīnus bezgalība,
bezgalība bez zīmes), ir iespējami 12 gadījumi.
Piemēram, lim
x→a f(x) = +∞, a ∈ R.
ˇSoreiz simbolu +∞ sauc par funkcijas f(x) robeˇzu punktā a, ja jebkuram
skaitlim M > 0 eksistē tāds δ > 0, ka visiem x, kuriem
0 < |x − a| < δ, izpildās nevienādība f(x) > M.
G¸ eometriski tas nozīmē: lai cik liels arī nebūtu skaitlis M > 0, eksistē
tāds intervāls (a − δ; a + δ), ka visiem x no ˇsī intervāla funkcijas grafiks
atrodas virs taisnes y = M (6.3. zīm.).
6.3. zīm.
Piemēram, lim f(x) = ∞.
x→−∞
ˇSoreiz simbolu ∞ sauc par funkcijas f(x) robeˇzu punktā −∞, ja
jebkuram skaitlim M > 0 eksistē tāds skaitlis N > 0, ka visiem x, kuriem
x < −N, izpildās nevienādība
f(x) > M.
G¸ eometriski tas nozīmē: lai cik liels arī nebūtu M > 0, eksistē tāds intervāls
(−∞; −N), ka visiem x, kas pieder ˇsim intervālam, funkcijas grafiks
atrodas zem taisnes y = −M vai virs taisnes y = M.
6.3. piemērs. Lietojot funkcijas robeˇzas definīciju, pierādīt, ka
1
lim
x→−2 2 + x
32
= ∞.

Skaitlim M = 5 atrast atbilstoˇso δ.
Izvēlas patval¸īgu skaitli M > 0, apskata nevienādību
1
2
+ x
> M
un atrisina to attiecībā pret |x + 2|:
Tādējādi δ = 1
M .
|x + 2| < 1
M .
Kādu arī neizvēlētos M > 0, eksistē δ = 1
M
0 < |x + 2| < δ, izpildās nevienādība
Tādējādi
Ja M = 5, tad δ = 1
5 .
f(x) =
1
|x + 2|
> 1
δ
lim f(x) = ∞.
x→−2
> 0, ka visiem x, kuriem
= M.
G¸ eometriski tas nozīmē, ka visiem x, kas pieder intervālam
−2 − 1
1
; −2 + = (−2, 2; −1, 8),
5 5
funkcijas grafiks atrodas zem taisnes y = −5 vai virs taisnes y = 5
(6.4. zīm.).
33

6.4. zīm.
6.4. piemērs. Lietojot funkcijas robeˇzas definīciju, pierādīt, ka
lim
x→∞ (x2 − 1) = +∞.
Izvēlas patval¸īgu skaitli M > 0, apskata nevienādību
un atrisina to attiecībā pret |x|:
tādējādi
x 2 − 1 > M
x 2 > M + 1,
|x| > √ M + 1,
N = √ M + 1.
Kādu arī neizvēlētos M > 0, eksistē tāds N = √ M + 1 > 0, ka visiem
x, kuriem |x| > √ M + 1, izpildās nevienādība:
f(x) = x 2 √M 2 − 1 > + 1 − 1 = M.
Tādējādi
(6.5. zīm.).
lim f(x) = +∞.
x→∞
34

6.5. zīm.
Auditorijā risināmie uzdevumi
Lietojot funkcijas robeˇzas definīciju, pierādīt:
1. lim
x→−1
3. lim
x→2
5. lim
x→1
2
x + 1
1
= ∞; 2. lim
x→ 1
2
= +∞; 4. lim
(x − 2) 2 x→1
1
x 2 − 1
= ∞; 6. lim
x→1
5
= ∞;
2x − 1
2
= −∞;
(x − 1) 3
1
= +∞;
3 (x − 1) 2
7. lim
x→−∞ (x2 + 1) = +∞; 8. lim
x→∞ (x 3 − 1) = ∞;
9. lim 2
x→0 1
x2 = +∞.
Mājas darba uzdevumi
Lietojot funkcijas robeˇzas definīciju, pierādīt:
1.
3
lim
x→2 2 − x
3. lim
x→4
1
5.
2
lim
x→−2 x2 − 4
= ∞; 2. lim
x→− 1
3
= +∞; 4. lim
(4 − x) 2 x→2
= ∞; 6. lim
x→−1
7. lim
x→+∞ (1 − x2 ) = −∞; 8. lim
9. lim 1 − e
x→0
1
x2
= −∞.
35
2
= ∞;
1 + 3x
5
= ∞;
(2 − x) 5
1
= +∞;
3 (1 + x) 2
x→∞ (1 − x 4 ) = −∞;

7. Robeˇzu izskaitl¸oˇsana
Robeˇzu izskaitl¸oˇsanai izmanto ˇsādas galīgu robeˇzu īpaˇsības.
1. Ja eksistē galīga robeˇza lim
x→a f(x) = A (A ∈ R), tad f ir ierobeˇzota
funkcija punkta x = a apkārtnē.
2. Ja funkcija f ir konstanta punkta x = a apkārtnē, t.i., visiem x ∈ U(a)
f(x) = k − const, tad lim
x→a f(x) = k.
3. Ja funkcijai f eksistē galīga robeˇza lim f(x) = A, tad eksistē arī robeˇza
x→a
ˇsīs funkcijas modulim |f|, pie tam limf(x)
= |A|.
x→a
4. Ja lim f(x) = A (a ∈ R), tad lim f(x) − A = 0.
x→a x→a
5. Ja eksistē galīgas robeˇzas lim f(x) = A1 un lim g(x) = A2, tad eksistē
x→a x→a
galīga robeˇza ˇso funkciju summai, pie tam
lim f(x) + g(x) = A1 + A2.
x→a
6. Ja eksistē galīga robeˇza lim f(x) = A, tad eksistē galīga robeˇza ˇsīs
x→a
funkcijas reizinājumam ar konstanti k, pie tam lim kf(x) = kA.
x→a
7. Ja funkcija f definēta un ierobeˇzota punkta x = a kādā apkārtnē un
funkcijai g eksistē robeˇza lim g(x) = 0, tad eksistē robeˇza ˇso funkciju
x→a
reizinājumam, pie tam
lim f(x) · g(x) = 0.
x→a
8. Ja eksistē galīgas robeˇzas lim f(x) = A1 un lim g(x) = A2, tad eksistē
x→a x→a
galīga robeˇza ˇso funkciju reizinājumam, pie tam
lim f(x) · g(x) = A1 · A2.
x→a
9. Ja eksistē galīgas robeˇzas lim f(x) = A1 un lim g(x) = A2, pie tam
x→a x→a
A2 = 0, tad eksistē galīga robeˇza funkcijai f
g , pie tam
f(x)
lim
x→a g(x)
36
A1
= .
A2

10. Ja eksistē robeˇzas lim
x→a ϕ(x) = b, lim
u→b f(u) = B un salikta funkcija
f ϕ(x) ir definēta punkta x = a pārdurtā apkārtnē, pie tam ˇsajā
apkārtnē ϕ(x) = b, tad punktā x = a eksistē robeˇza saliktai funkcijai
f ϕ(x) , un ˇsī robeˇza ir B, t.i.,
lim
x→a fϕ(x) = B.
Tā kā virkne ir funkcijas īpaˇss gadījums, tad visas ˇsīs īpaˇsības ir spēkā
arī virknēm.
Var būt gadījumi, kad robeˇzu izskaitl¸oˇsana, izmantojot iepriekˇs uzskaitītās
īpaˇsības, nav iespējama.
1. Ja
tad robeˇzas
lim f(x) = lim ϕ(x) = 0,
x→a x→a
f(x)
lim
x→a ϕ(x)
gadījumā 9. īpaˇsību pielietot nedrīkst un runā par “ 0
0 ” veida nenoteiktību.
2. Ja
tad robeˇzas
lim f(x) = lim ϕ(x) = ∞,
x→a x→a
f(x)
lim
x→a ϕ(x)
gadījumā sastopas ar “ ∞
∞ ” veida nenoteiktību.
3. Skaitl¸ojot robeˇzu lim f(x) − ϕ(x) , kur lim
x→a
x→a f(x) un lim
x→a ϕ(x) ir bez-
galības ar vienādām zīmēm, sastopas ar “∞ − ∞” veida nenoteiktību.
ϕ(x) 4. Eksistē nenoteiktības, kas ir sastītas ar lim f(x) atraˇsanu
x→a
(1 ∞ , 0 0 , ∞ 0 ).
Nenoteiktības var novērst,
1. veicot algebriskus vai trigonometriskus pārveidojumus (funkciju sadalot
reizinātājos vai saskaitāmajos, vienādojot dal¸u saucējus, atņemot
vai pieskaitot kādu izteiksmi, dalot un reizinot ar kādu funkciju, iznesot
kopīgo reizinātāju pirms iekavām, utt.),
37

2. atseviˇsk¸as funkcijas aizstājot ar ekvivalentām bezgalīgi mazām funkcijām,
3. izmantojot tā saucamās “ievērojamās robeˇzas”:
sin x (a) lim
x→0 x
= 1,
(b) lim(1
+ x)
x→0 1
x = e,
1 x
lim 1 +
x→∞ x = e,
log
(c) lim a(1+x)
x→0 x
ln(1+x)
lim
x→0 x
(d) lim
x→0
a x −1
x
= 1
ln a ,
= 1,
= ln a (a > 0),
e lim
x→0
x−1 x = 1,
(1+x)
(e) lim
x→0
α−1 x = α.
Nenoteiktību “0 · ∞” viegli var pārveidot par vienu no nenoteiktībām
“ 0
0 ” vai “∞
∞ ”. Piemēram, ja lim f(x) = 0 un lim ϕ(x) = ∞, tad reizinājumu
x→a x→a
f · ϕ pārveido ˇsādi:
f · ϕ = f
1
ϕ
Tādā veidā nenoteiktība “0 · ∞” tiek pārveidota par nenoteiktību “ 0
0 ”.
Nenoteiktību “∞ − ∞” var pārveidot par nenoteiktību “ 0
0 ” ˇsādi:
f − ϕ =
.
1 1
ϕ − f
1
f·ϕ
Lietojot logaritmēˇsanu, nenoteiktības “1 ∞ ”, “0 0 ”, “∞ 0 ” var pārveidot
par nenoteiktību “0·∞”. Par ˇsāda veida nenoteiktību tās var arī pārveidot,
uzrakstot funkciju f ϕ ˇsādi:
7.1. piemērs. Atrast
Tā kā
lim
x→2
f ϕ = e ϕ ln f .
x3 − 4x2 + x + 6
x2 .
− 4
lim
x→2 (x3 − 4x 2 + x + 6) = 0
38
.

un
lim
x→2 (x2 − 4) = 0,
tad ˇsajā piemērā sastopas ar nenoteiktību “ 0
0 ”. Lai to novērstu, sadala
skaitītāju un saucēju reizinātājos, saīsina dal¸u ar (x − 2) (kas ˇsoreiz
tiecas uz 0), un nenoteiktība tiek novērsta:
x
lim
x→2
3 − 4x2 + x + 6
x2 − 4
7.2. piemērs. Atrast
(x − 2)(x
= lim
x→2
2 − 2x − 3)
lim
x→0
(x − 2)(x + 2)
= lim
x→2
√ √
1 + 5x − 1 + 3x
.
x
=
x 2 − 2x − 3
x + 2
= − 3
4 .
ˇSis piemērs satur nenoteiktību “ 0
0 ”. Lai to novērstu, “pārnes” iracionalitāti
no dal¸as skaitītāja uz saucēju, reizinot skaitītāju un saucēju
ar skaitītājam saistīto izteiksmi, t.i., ar √ 1 + 5x + √ 1 + 3x :
lim
x→0
√ √
1 + 5x − 1 + 3x
=
√ x √ √ √
1 + 5x − 1 + 3x 1 + 5x + 1 + 3x
= lim
x→0
= lim
x→0
1 + 5x − 1 − 3x
x √ 1 + 5x + √ 1 + 3x
x √ 1 + 5x + √ =
1 + 3x
2x
= lim
x→0 x √ 1 + 5x + √ =
1 + 3x
= 2 · 1
= 1.
2
7.3. piemērs. Atrast
3√
10 − x − 2
lim
.
x→2 x − 2
ˇSis piemērs satur nenoteiktību “ 0
0 ”. Lai to novērstu, skaitītāju papildina
līdz divu skaitl¸u kubu starpībai, reizinot dal¸as skaitītāju un saucēju
3 ar (10 − x) 2 3
+ 2 √
10 − x + 4 (skat. 5 ; tādā veidā iracionalitāte no
5 Tiek izmantota formula (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3 .
39

skaitītāja tiek “pārnesta” uz saucēju):
lim
x→2
3√ 10 − x − 2
x − 2
= lim
x→2
= lim
x→2
(x − 2)
= lim
x→2
7.4. piemērs. Atrast
(x − 2)
√ 3
10 − x √ 3 2 3
10 − x + 2 √
10 − x + 4
√ 3 2 3
(x − 2) 10 − x + 2 √ =
10 − x + 4
10 − x − 8
3 √ 10 − x 2 + 2 3 √ 10 − x + 4
−(x − 2)
=
3 √ 10 − x 2 + 2 3 √ 10 − x + 4
2x
lim
x→∞
3 + 3x + 5
3x3 − x2 + 3 .
= − 1
12 .
ˇSis piemērs satur nenoteiktību “ ∞
∞ ”. Lai to novērstu, skaitītāja un
saucēja polinomus jādala ar x augstāko pakāpi (ˇsoreiz ar x3 ):
2x
lim
x→∞
3 + 3x + 5
3x3 − x2 + 3
2 +
= lim
x→∞
3
x2 + 5
x3 3 − 1
x
√
7.5. piemērs. Atrast lim x − x2 − 3 .
x→+∞
+ 3
x 3
= 2 + 0 + 0
3 − 0 + 0
= 2
3 .
ˇSis piemērs satur nenoteiktību “∞ − ∞”. Lai to novērstu, doto funkciju
reizina un dala ar tās saistīto izteiksmi, t.i., ar x + √ x 2 − 3 :
lim x −
x→+∞
x2
√ √
x − x2 − 3 x + x2 − 3
− 3 = lim
x→+∞
7.6. piemērs. Atrast lim
x→0
= lim
x→+∞
1−cos x
x2 .
x 2 − x 2 + 3
x + √ x 2 − 3
x + √ x 2 − 3
= lim
x→+∞
3
x + √ x 2 − 3
=
= 0.
ˇSis piemērs satur nenoteiktību “ 0
0 ”. Lai to novērstu, iepriekˇs izsakot
2 x
1 − cos x = 2 sin , izmanto pirmo ievērojamo robeˇzu, t.i.,
2
sin x
lim
x→0 x
40
= 1 .

1 − cos x
lim
x→0 x2 2 x 2 sin 2
= lim
x→0 x2 = 2 lim
x→0
2 x sin
x
2
= 1
2
2
2 · 4 =
lim
x→0
sin x 2 2
x =
2
1
2 · 12 = 1
2 .
1
7.7. piemērs. Atrast lim 1 −
x→∞ x2 x. ˇSis piemērs satur nenoteiktību “1∞ ”. Lai to novērstu, izmanto otro
ievērojamo robeˇzu, t.i.,
lim 1 +
x→∞
1
x x
= e.
lim 1 −
x→∞
1
x2
x
= lim 1 +
x→∞
1
−x2 x
2 −x −x2 (skat. 6 ).
7.8. piemērs. Atrast lim
x→∞
2x+3 x+1.
2x+1
1 − lim
= e x→∞ x 0
= e = 1
ˇSis piemērs satur nenoteiktību “1 ∞ ”. lai to novērstu, izmanto otro
ievērojamo robeˇzu. Uzdevumu var atrisināt ar diviem paņēmieniem.
1. paņēmiens.
x+1 2x + 3
lim
x→∞ 2x + 1
= lim
x→∞
3 1 + 2x
= lim
x→∞ 1 + 1
x
· 1 =
2x
2. paņēmiens.
x+1
2x + 3
lim
= lim 1 +
x→∞ 2x + 1 x→∞
2
= lim
x→∞
x 2x + 3 2x + 3
· lim
2x + 1 x→∞
1 + 2
2x + 1
6 Tiek izmantota eksponentfunkcijas nepārtrauktība.
41
2x + 1 =
1 2x
3 3
lim +
x→∞ 2x
1 1 lim +
x→∞ 2x
x · 1 =
2x + 1
2x+1
2
= e lim
x→∞
2
2x+1 ·x
3
2
2x 1
2
=
2x lim
2x+1 x→∞ = e
= e 3
2
e 1
2
= e.
1
1+ 1
2x = e 1 = e.

7.9. piemērs. Atrast lim(1
− 3x)
x→0 1
x.
ˇSis piemērs satur nenoteiktību “1 ∞ ”. Lai to novērstu, izmanto otro
ievērojamo robeˇzu, ˇsoreiz
1
lim(1
+ x) x = e.
x→0
1
lim(1
− 3x) x = lim (1 − 3x)
x→0 x→0
1
1 −3x· x
−3x
7.10. piemērs. Atrast lim
x→1 (1 − x) tg πx
2 .
= lim t ctg
t→0
πt
t
= (0 · ∞) = lim
2
t→0 tg πt
2
=
= lim
x→0
1 −3
−
(1 − 3x) 3x = e −3 .
ˇSis piemērs satur nenoteiktību “0 · ∞”.
πx
lim(1
− x) tg
x→1 2 =
Apzīmē
1 − x = t, tad x = 1 − t,
tg
πx π
2 = tg 2 (1 − t) =
= tg π π
2 − 2t = ctg πt
2 .
=
Ja x → 1, tad t → 0.
0
= = lim
0 t→0
(skat. 7 )
ln(1+2x)
7.11. piemērs. Atrast lim
x→0 sin 3x .
tπ 2
π tg 2t π
2
ˇSis piemērs satur nenoteiktību “ 0
0 ”. Lai to novērstu, lieto robeˇzu
= 1 un pirmo ievērojamo robeˇzu:
ln(1+x)
lim
x→0 x
ln(1 + 2x)
lim
x→0 sin 3x
πt
7 2
Tiek izmantota robeˇza lim
t→0 tg πt
2
= lim
x→0
= 1.
ln(1+2x)
2x
sin 3x
3x
2x
3x = 2
3 lim
x→0
42
ln(1+2x)
2x
sin 3x
3x
= 2 1
·
3 1
= 2
3 .
= 2
π

Auditorijā risināmie uzdevumi
Atrast robeˇzas
1.
x
lim
x→−1
2 + 5x − 3
log2(x2 3.
;
+ 1)
lim
x→+∞
2.
x
lim + 2 cos x ;
x→0 lg |x| (lg x − 2−x ); 4. lim
x→− π
cos x + sin x
;
4 cos 2x
5.
x
lim
x→2
2 − 5x + 6
x2 ;
− 3x + 2
6.
3 − x
lim
x→3 x3 − 27 ;
7.
x
lim
x→3
2 − 9
x2 ;
− 3x
8.
3x
lim
x→−1
2 + 2x − 1
−x2 + x + 2 ;
9.
1 12
lim −
x→−2 2 + x 8 + x3
; 10. lim
x→ π
6
2 sin 2 x + sin x − 1
2 sin 2 x − 3 sin x + 1 ;
3 −
11. lim
x→0
√ x + 9
x + 5
; 12. lim √ ;
x
x→−5 x + 30 + x
√
4x + 1 − 3
3√
x − 6 + 2
13. lim √ ; 14. lim
;
x→2 x + 2 − 2 x→−2 2 + x
3√ √
x − 1
1 + x − 1
15. lim √ ; 16. lim
x→1 x − 1 x→0 3√ ;
1 + x − 1
17. lim
x→∞
33. lim
x→ π
2
2x 3 + 1
3x 4 + 2x 2 − 1
π
2
; 18. lim
n→∞
0, 1n5 − n3 + 1
2n3 + 3n2 19.
(2x − 3)(3x + 5)(4x − 6)
lim
x→∞ 3x3 21.
;
+ x − 1
n!
lim
;
n→∞ (n + 1)! − n!
20.
22.
x
lim
x→∞ 3√ ;
x3
+ 10
lim x −
x→∞
x3
x2 23.
√ √
lim x − 3 − x ;
x→+∞
24.
;
+ 1
√
lim x − 2x − 3 ;
x→+∞
25.
27.
sin 15x
lim ;
x→0 5x
tg
lim
x→0
26.
sin(x + 2)
lim ;
x→0 x + 2
x
2 ;
x
28.
cos x
lim
x→0 x ;
29.
31.
tg 3x
lim ;
x→0 sin 5x
x
lim ;
x→0 1 − cos x
30.
32.
lim(4x
ctg x);
x→0
lim (x − 3) sin
x→∞
2
;
3x
ctg x
− x;
34.
4x
lim
x→0 arcsin 12x ;
43
;

35.
arctg(x + 2)
lim
x→−2 4 − x2 ; 36.
tg πx
lim
x→−2 x + 2 ;
37.
π
lim ctg 2x ctg − x
x→0
2
; 38.
lim 1 −
x→∞
1
x ;
x
39.
lim 1 −
x→∞
1
41.
x+1 ;
x
lim 1 +
x→∞
40.
x x
lim ;
x→∞ x + 1
2
43.
x ;
x
2 n − 9
lim
n→∞ 2 + n
42.
x x + 7
lim ;
x→∞ x + 1
2
2 n −3
; 44.
3x x
3 − 4 3x − 4
lim
;
x→∞ 3x + 2 3x + 2
45.
3 5x + 2
lim
x→+∞ 5x3 √ x
; 46.
2 x + 5x − 3
lim
x→∞ x2 x
3
;
− 2
47. lim(1
+ x)
x→0 2
x; 48. lim(1
− 3x)
x→0 1
49.
1
x 7x + 3
lim
;
x→0 9x + 3
50.
x;
9
4x 1 − 4x
lim
;
x→0 1 + 2x
51. lim(1
+ x + x
x→0 2 ) 1
sin x; 52. lim(cos
x)
x→0 1
x;
53. lim(cos
x→0 2 x) 1
2x; 54. lim(7
− 6x)
x→1 x
55.
lim 5n
n→∞
3x−3;
ln(n − 9) − ln(n + 4)
; 56.
5
lim
x→0
ln(3 − 7x) − ln 3
;
3x
ln x − 1
57. lim ;
x→e x − e
58.
e
lim
x→0
−x − 1
;
4x
59. lim
x→0
8 x − 6 x
x
Mājas darba uzdevumi
5. lim
x→− 1
2
.
Atrast robeˇzas
1.
x
lim
x→1
4 − 1
x3 ;
+ 5x − 2
2.
1
lim 2 + √ −
x→−∞ 1 − x 2
x3 3.
sin
limπ
x→ 4
;
π
6 − 2x
cos 2x + π
;
6
4.
x
lim
x→0
3 − x2 + 2x
x2 2x
;
+ x
2 − 7x − 4
−2x2 ;
+ 5x + 3
6.
3
lim
x→1 x3
1
− ;
− 1 x − 1
44

7.
x + 1
lim
x→−1 x + √ ;
x + 2
8.
2 −
lim
x→−2
√ 9.
3√
1 − x2 − 1
lim
x→0 x
6 + x
√ ;
7 − x − 3 2 ;
− 3x
10.
√
x − 8
lim
x→64 4 − 3√ x ;
11.
x
lim
x→∞
2 − 5x + 1
;
3x + 7
12.
2x
lim
x→∞
2 − x + 3
x3 − 8x + 5 ;
13.
lim x2 + 1 − x2 − 1 ;
x→+∞
14.
1 − cos x
lim
x→0 2 x ;
3 sin 2
15.
1 − cos 3x
lim
x→0 tg2 ;
6x
16.
sin(1 − x)
lim
x→1 x2 − 1 ;
17.
1 − cos
lim
x→0
3 19.
x
;
x − sin 2x
1 −
lim
x→0
18.
sin 7x − sin 2x
lim
;
x→0 sin x
√ cos x
;
1 − cos x
20.
tg x
lim
x→0 arcsin 3x ;
21.
23.
n+3
4 3n − 1
lim
;
n→∞ 8 + 3n
2 x + 2
lim
x→∞ 2x
22.
x 2x − 3
lim
;
x→∞ x − 1
2 2 x
;
+ 1
24.
2 x + 2x + 1
lim
x→∞ x2
;
+ 3
25.
lim 1 +
n→∞
x
n ;
n
26.
1−
1 + x
lim
x→+∞ 2 + x
√ x+1 x
1−x
;
27. lim
x→1
x − 1
x 2 − 1
1 + 4x
; 28. lim
x→0 1 − 11x
4
3x
;
29. lim(1
+ sin x)
x→0 1
x; 30.
2 x − 2x + 3
lim
x→0 x2 − 3x + 2
31.
ln(7x + 2) − ln 2
lim
;
x→0 5x
32.
e
lim
x→0
2x − e5x ;
x
33.
1 − 4
lim
x→0
x
;
1 − ex ln x
34. lim
x→e
3 − 3
x − e ;
35. lim
x→0
ln(1 + x)
5 x − 1 .
sin x
x
8. Bezgalīgi mazas funkcijas un to salīdzināˇsana
8.1. definīcija. Funkciju α sauc par bezgalīgi mazu funkciju punktā
a, ja lim
x→a α(x) = 0.
45
;

Pieņemsim, ka α un β ir bezgalīgi mazas funkcijas punktā a.
Apzīmē
α(x)
c = lim
x→a β(x) .
1. Ja c = 0, tad α sauc par augstākas kārtas bezgalīgi mazu funkciju,
salīdzinot ar β, kad x → a, un raksta: α = o(β) (skat.
8 ).
2. Ja c = 0, un c ∈ R, tad α, β sauc par vienādas kārtas bezgalīgi
mazām funkcijām, kad x → a.
Pie tam, ja c = 1, t.i., ja
α(x)
lim
x→a β(x)
= 1,
tad α un β sauc par ekvivalentām bezgalīgi mazām funkcijām,
kad x → a, un raksta: α ∼ β (x → a).
8.2. definīcija. Funkciju α sauc par k-tās kārtas bezgalīgi mazu
funkciju, salīdzinot ar bezgalīgi mazu funkciju β, kad x → a,
ja α un β k ir vienādas kārtas bezgalīgi mazas funkcijas, kad x → a.
8.1. piemērs. Salīdzināt bezgalīgi mazas funkcijas:
1. α(x) = √ 2 + x − √ 2 un β(x) = x, kad x → 0;
2. α(x) = tg x un β(x) = x, kad x → 0;
3. α(x) = sin 3 x un β(x) = x, kad x → 0.
1. Atrodam doto bezgalīgi mazo funkciju attiecības robeˇzu, kad
x → 0:
√ √ √ √ √ √
2 + x − 2 2 + x − 2 2 + x + 2
lim
= lim
x→0 x
x→0 x √ 2 + x + √ =
2
2 + x − 2
= lim
x→0 x √ 2 + x + √ 1
= lim √ √ =
2 x→0 2 + x + 2 1
2 √ 2 .
Tātad dotās funkcijas ir vienādas kārtas bezgalīgi mazas funkcijas,
kad x → 0.
8 Lasa: α ir omikrons no β.
46

2. Atrod
α(x)
lim
x→0 β(x)
tg x
= lim
x→0 x
= 1.
Dotās funkcijas ir ekvivalentas bezgalīgi mazas funkcijas, kad
x → 0, t.i., tg x ∼ x (x → 0).
3. Atrod
α(x)
lim
x→0 β(x)
sin
= lim
x→0
3 x
x
sin x
= lim
x→0 x sin2
x = 0.
Funkcija α(x) = sin 3 x ir augstākas kārtas bezgalīgi maza funkcija,
salīdzinot ar β(x) = x, kad x → 0.
Tā kā
α(x)
lim
x→0 β3 (x)
sin
= lim
x→0
3 x
x3 = 1,
tad α ir 3. kārtas bezgalīgi maza funkcija, salīdzinot ar β, kad
x → 0.
Izskaitl¸ojot robeˇzas, daˇzkārt ir izdevīgi bezgalīgi mazās funkcijas aizstāt
ar tām ekvivalentām funkcijām. Tāda pieeja vienkārˇso robeˇzu atraˇsanu.
sin 8.2. piemērs. Atrast robeˇzu lim
x→0
2 3x
1−cos 5x .
Piemērā ir dota divu bezgalīgi mazu funkciju sin2 3x un 1−cos 5x, kad
x → 0, attiecība. Lai atrastu ˇso robeˇzu, ˇsīs bezgalīgi mazās funkcijas,
kad x → 0, aizstāj ar tām ekvivalentām bezgalīgi mazām funkcijām:
sin 2 3x ∼ (3x) 2 2 5x
un 1 − cos 5x ∼ 2 (x → 0),
2
jo
Tādējādi
2 5x
1 − cos 5x = 2 sin
2 .
sin
lim
x→0
2 3x
1 − cos 5x
Auditorijā risināmie uzdevumi
= lim
x→0
9x 2
25x 2
2
= 18
25 .
1. Salīdzināt bezgalīgi mazo funkciju δ(x) = x 2 , kad x → 0, ar ˇsādām
bezgalīgi mazām funkcijām:
47

(a) γ(x) = tg 3 3x;
(b) γ(x) = 2 − 2 cos x;
(c) γ(x) = ln 2 (1 + 3x).
2. Pierādīt, ka dotās bezgalīgi mazās funkcijas norādītajos punktos ir
ekvivalentas:
(a) √ 1 + x − 1 ∼ x
2 , kad x → 0;
(b) sin x + tg x ∼ 2x, kad x → 0;
(c) 1−x
1+x ∼ 1 − √ x, kad x → 1.
3. Atrast robeˇzas:
sin 15x
(a) lim
x→0 tg 10x ;
sin (b) lim
x→0
2 x
1−cos x ;
arctg
(c) lim
x→0
2 5x
x sin 2x ;
arcsin (d) lim
x→0
3√ x4 x √ . x
Mājas darba uzdevumi
Atrast robeˇzas
1. lim
x→0
3. lim
x→0
arcsin x
3 ; 2. lim
tg 2x x→0
tg 5x
2x − x2; 4. lim
x→0
x 3 + 2x 2
2 x sin 4
;
ln 2 (1 + 2x)
sin 2 6x .
9. Nepārtrauktas funkcijas
9.1. definīcija. Funkciju f sauc par nepārtrauktu punktā x0 ∈ D(f),
ja lim
∆x→0 ∆f(x0) = 0, kur
∆f(x0) = f(x0 + ∆x) − f(x0)
ir funkcijas f pieaugums punktā x0.
48

9.2. definīcija. Funkciju f sauc par nepārtrauktu kopā E ⊂ D(f),
ja tā ir nepārtraukta ˇsīs kopas katrā punktā.
9.3. definīcija. Funkciju, kas ir nepārtraukta savā definīcijas apgabalā,
sauc par nepārtrauktu funkciju.
9.1. piemērs. Pierādīt, ka funkcija f(x) = 2 − x + x 2 ir nepārtraukta
punktā x0 = 1.
∆f(1) = f(1+∆x)−f(1) = 2−(1+∆x)+(1+∆x) 2 −(2−1+1) =
Atrod
lim ∆f(1) = lim ∆x(1 + ∆x) = 0,
∆x→0 ∆x→0
= ∆x + ∆x 2 = ∆x(1 + ∆x).
saskaņā ar definīciju funkcija f(x) = 2−x+x 2 ir nepārtraukta punktā
x0 = 1.
Ja ir jāpierāda funkcijas nepārtrauktība kādā kopā (vai definīcijas apgabalā),
tad izvēlas patval¸īgu ˇsīs kopas punktu x0 un pierāda funkcijas
nepārtrauktību ˇsajā punktā.
9.2. piemērs. Pierādīt, ka f(x) = 1
x+1
ir nepārtraukta funkcija.
D(f) = R \ {−1}. Izvēlas patval¸īgu x0 ∈ D(f), atrod ∆f(x0):
∆f(x0) = f(x0 + ∆x) − f(x0) =
Tad
lim
∆x→0 ∆f(x0) = lim
∆x→0
1 1
−
x0 + ∆x + 1 x0 + 1 =
−∆x
=
(x0 + 1)(x0 + ∆x + 1) .
−∆x
(x0 + ∆x + 1)(x0 + 1)
= 0.
Tā kā x0 ir patval¸īgs funkcijas definīcijas apgabala punkts, tad funkcija
f ir nepārtraukta funkcija.
9.3. piemērs. Pierādīt, ka f(x) = sin x ir nepārtraukta funkcija.
Pieņem, ka x0 ∈ D(f) = R.
∆f(x0) = sin(x0 + ∆x) − sin x0 = 2 sin ∆x
2 cos
49
x0 + ∆x
2
.

Atrod
jo
lim
∆x→0 ∆f(x0) = 2 lim
∆x→0
lim
∆x→0
sin ∆x
2
∆x
2
ir ierobeˇzota funkcija.
· ∆x
2
sin ∆x
2
∆x
2
· ∆x
2 cos
x0 + ∆x
= 0,
2
= 1 · 0 = 0 un cos x0 + ∆x
2
Tātad f(x) = sin x ir nepārtraukta funkcija.
Auditorijā risināmie uzdevumi
Pierādīt, ka dotās funkcijas ir nepārtrauktas.
1. f(x) = 2 − x 2 ; 2. f(x) = 1
x 2 + 1 ;
3. f(x) = e x ; 4. f(x) = x − 1.
Mājas darba uzdevumi
Pierādīt, ka dotās funkcijas ir nepārtrauktas.
1. f(x) = 1 − x 3 ; 2. f(x) = 1
x + 3 ;
3. f(x) = 3√ 2 + x; 4. f(x) = ln x.
10. Vienpusējās robeˇzas, to izskaitl¸oˇsana.
Funkcijas pārtraukuma punkti un to klasifikācija
10.1. Funkcijas vienpusējās robeˇzas
10.1. definīcija. Punktu A sauc par funkcijas f robeˇzu punktā x =
a (a = +∞) no labās puses, ja punkta A patval¸īgai apkārtnei U(A)
eksistē punkta x = a tāda apkārtne U(a), ka visiem x > a un x ∈ U(a)
izpildās sakarība: f(x) ∈ U(A).
50

Apzīmē:
lim
x→a
x>a
f(x) = lim f(x) = f(a + 0).
x→a+0
Analogi definē arī funkcijas robeˇzu punktā no kreisās puses. Acīmredzami,
ja funkcijai f punktā a eksistē vienādas vienpusējās robeˇzas, tad
ˇsajā punktā tai eksistē robeˇza, kas ir vienāda ar tās vienpusējām robeˇzām.
Ir spēkā arī apgrieztais apgalvojums.
10.2. definīcija. Funkciju f sauc par nepārtrauktu punktā a ∈ D(f)
no kreisās puses (no labās puses), ja
10.1. piemērs.
1. lim
x→2
x>2
lim f(x) = f(a) (lim f(x) = f(a)).
x→a
xa
jo (x − 2) 3 ir pozitīva bezgalīgi maza funkcija, kad x → 2;
lim
x→2
x 0, tad 1
x
ir negatīva bezgalīgi
ir pozitīva bezgalīgi
liela funkcija).
⎧
⎪⎨
−
3. f(x) =
⎪⎩
1
x−1 , ja x < 0,
0, ja x = 0,
x, ja 0 < x < 1,
2, ja 1 ≤ x ≤ 2.
lim
− 1
= 1, lim f(x) = lim x = 0,
x − 1
x→0
x0
lim f(x) = lim x = 1, lim f(x) = lim 2 = 2.
x→1
x1

Auditorijā risināmie uzdevumi
1. Atrast vienpusējās robeˇzas funkcijām
1. lim tg 2x; 2. lim
−0 x→ π tg 2x;
+0
x→ π
4
3. lim
x→2
x1
; 6. lim
x→1
1
+ 2 arccos x
log3 x
.
x>1
log 7 log 4 x;
1
1 + 2 1
x−1
2. Atrast vienpusējās robeˇzas punktos x = 0 un x = π
2 funkcijai
⎧
⎨
f(x) =
⎩
1
x , ja x < 0,
sin x, ja 0 < x < π
2 ,
0, ja x > π
2 .
10.2. Funkcijas pārtraukuma punkti un to klasifikācija
No punktā nepārtrauktas funkcijas definīcijas seko, ka funkcija ir nepārtraukta
punktā x0 ∈ D(f) tad un tikai tad, ja
lim
x→x0
xx0
10.3. definīcija. Punktu x0 ∈ D(f) sauc par funkcijas pārtraukuma
punktu, ja ˇsajā punktā funkcija nav nepārtraukta.
Tātad visi funkcijas definīcijas apgabala punkti iedalās funkcijas pārtraukuma
un nepārtrauktības punktos.
10.4. definīcija. Funkcijas pārtraukuma punktu x0 sauc par tās novēr-
ˇsama rakstura pārtraukuma punktu, ja punktā x0 eksistē galīgas
un vienādas funkcijas vienpusējās robeˇzas, bet tās nav vienādas ar
funkcijas vērtību ˇsinī punktā, t.i.,
lim
x→x0
xx0
52
;

10.5. definīcija. Funkcijas pārtraukuma punktu x0 sauc par tās 1. veida
pārtraukuma punktu, ja punktā x0 eksistē galīgas un daˇzādas funkcijas
vienpusējās robeˇzas, t.i.,
(skat. 9 ).
lim
x→x0
xx0
10.6. definīcija. Funkcijas pārtraukuma punktu, kas nav ne funkcijas
novērˇsama rakstura pārtraukuma punkts, ne funkcijas 1. veida
pārtraukuma punkts, sauc par funkcijas 2. veida pārtraukuma
punktu.
Tātad funkcijas II veida pārtraukuma punkti ir funkcijas tie pārtraukuma
punkti, kuros vismaz viena no ˇsīs funkcijas vienpusējām robeˇzām ir
bezgalīga vai neeksistē.
Uzskatāmības labad var izveidot ˇsādu shēmu:
Funkcijas
nepārtrauktības punkti
Funkcijas novērˇsama
rakstura
pārtraukuma punkti
✞
D(f)
✝
☎
Funkcijas 1. veida
pārtraukuma punkti
✆
10.1. zīm.
10.2. piemērs. Atrast funkcijas
⎧
⎨ 2 − x, ja x ≤ 0,
f(x) =
⎩
9ˇ Soreiz lim f(x) neeksistē.
x→x0
cos x, ja 0 < x < π
2 ,
0, ja x ≥ π
2
53
Funkcijas
pārtraukuma punkti
Funkcijas 2. veida
pārtraukuma punkti

pārtraukuma punktus un noteikt to veidu. Konstruēt funkcijas shematisku
grafiku.
Dotās funkcijas definīcijas apgabals D(f) = R.
Katrā no intervāliem (−∞; 0), 0; π
2
, π
2 ; +∞ funkcija ir nepārtraukta,
jo ir uzdota ar nepārtrauktām funkcijām, atbilstoˇsi y = 2 − x,
y = cos x, y = 0.
Atliek izpētīt funkcijas raksturu punktos x = 0 un x = π
2 .
Atrod vienpusējās robeˇzas funkcijai punktā x = 0.
Tā kā f(x) = 2 − x, kad x < 0, tad
lim f(x) = lim(2
− x) = 2.
x→0
x0
lim f(x) = lim f(x),
x→0
x0
tāpēc x = 0 ir funkcijas I veida pārtraukuma punkts.
Atrod vienpusējās robeˇzas funkcijai punktā x = π
2 :
f
π
2 = 0.
lim
x→ π
2
x< π
2
f(x) = lim
x→ π
2
x< π
2
cos x = 0, lim
x→ π
2
x> π
2
Funkcija ir nepārtraukta punktā x = π
2
lim
x→ π
2
x< π
2
, jo
f(x) = limπ
x→ 2
x> π
f(x) = f
2
f(x) = limπ
x→ 2
x> π
0 = 0.
2
π
= 0.
2
Atzīmēsim, ka punktā x = 0 funkcija ir nepārtraukta no kreisās puses
(10.2. zīm.).
54

10.2. zīm.
10.3. piemērs. Atrast funkcijas
x, ja x ≤ 0,
f(x) =
1
x , ja x > 0,
pārtraukuma punktus un noteikt to veidu. Konstruēt funkcijas shematisku
grafiku.
10.3. piemērā dotās funkcijas definīcijas apgabals D(f) = R. Katrā
no intervāliem (−∞; 0) un (0; +∞) funkcija ir nepārtraukta.
Atrod vienpusējās robeˇzas funkcijai punktā x = 0:
lim f(x) = lim x = 0, lim
x→0
x0
= +∞.
Pie tam, f(0) = 0, tātad punkts x = 0 ir funkcijas f(x) 2. veida
pārtraukuma punkts.
Arī ˇsoreiz punktā x = 0 funkcija ir nepārtraukta no kreisās puses, jo
(skat. 10.3. zīm.).
lim f(x) = f(0) = 0
x→0
x

10.3. zīm.
10.4. piemērs. Atrast funkcijas
⎧
⎨ 2
f(x) =
⎩
x , ja x < 1,
−3, ja x = 1,
, ja x > 1,
4
3−x
pārtraukuma punktus un noteikt to veidu. Konstruēt funkcijas shematisku
grafiku.
10.4. piemērā dotās funkcijas D(f) = R \ {3}.
ˇSoreiz atrod funkcijas vienpusējās robeˇzas punktos x = 1 un x = 3.
f(1) = −3.
Tātad
lim f(x) = lim 2 x = 2, lim
x→1
x1
lim f(x) = lim f(x) = f(1).
x→1
x1
4
3 − x
= 2;
Punkts x = 1 ir funkcijas novērˇsama rakstura pārtraukuma punkts.
lim
x→3
x3
4
3 − x
= −∞.
Punkts x = 3 nav funkcijas pārtraukuma punkts, jo tas nepieder tās
definīcijas apgabalam. Dotās funkcijas shematisks grafiks ir attēlots
10.4. zīm.
56

10.4. zīm.
Auditorijā risināmie uzdevumi
1. Lietojot funkciju shematiskus grafikus, izpētīt funkcijas raksturu punktā
x0.
10.5. zīm.
57

10.6. zīm.
10.7. zīm.
58

10.8. zīm.
10.9. zīm.
59

10.10. zīm.
10.11. zīm.
60

10.12. zīm.
10.13. zīm.
61

10.14. zīm.
2. Atrast funkciju pārtraukuma punktus un noteikt to veidu; konstruēt
funkciju shematiskus grafikus.
|x|
x
(a) f(x) = x2 − 25
;
x − 5
(b) f(x) =
, ja x = 0,
0, ja x = 0;
3
(c) f(x) =
x2 ;
+ 5x
5x
(d) f(x) =
2x2 + 5x − 3 ;
, ja x = 1,
(e) f(x) = 3 1
x−5; (f) f(x) =
(g) f(x) =
(i) f(x) =
1
x−1 , ja x ≤ 3,
2x − 11
2 , ja x > 3;
x 2 , ja x < 1,
2x − 1, ja x ≥ 1;
2
(k) f(x) = x , ja x ≤ 2,
ln(x − 2), ja x > 2;
⎧
⎨ x, ja |x| < 1,
(m) f(x) = 1, ja |x| > 1,
⎩
−1, ja x = 1;
(0) f(x) =
tg x, ja |x| < π
2 ,
1
x 2, ja |x| ≥ π
2 .
62
x 3 −1
x−1
5, ja x = 1;
1
x
(h) f(x) =
2−5x , ja x = 0,
3, ja x = 0;
⎧
⎪⎨
−
(j) f(x) =
⎪⎩
1
x−1 , ja x < 0,
0, ja x = 0,
x, ja 0 < x < 1,
2, ja 1 ≤ x ≤ 2;
π cos
(l) f(x) = 2x, ja x < 0,
x − 1, ja x ≥ 0;
1 sin
(n) f(x) = x , ja x < 0,
x + 1, ja x ≥ 0;

Mājas darba uzdevumi
Atrast funkciju pārtraukuma punktus un noteikt to veidu. Konstruēt
shematisku funkcijas grafiku.
1. f(x) = x2 −4
x+2 ;
2. f(x) = 1−x
x 2 −5x+6 ;
3. f(x) = e 1
x;
⎧
⎨ 2 − x
4. f(x) =
⎩
2 , ja x ≤ 0,
cos x, ja 0 < x < 3π
2 ,
0, ja x ≥ 3π
2 ;
3 x + 1, ja x ≤ 1,
5. f(x) =
x2 , ja x > 1;
⎧
⎨ −x
6. f(x) =
⎩
2 , ja x < 0,
3, ja x = 0,
1
x2, ja x > 0;
⎧
⎨ −x
7. f(x) =
⎩
3 + 1, ja x < −1,
0, ja −1 < x < 0,
√
x, ja x ≥ 0;
1
x+2 , ja −1 ≤ x < 1,
8. f(x) =
x2 + 1, ja x ≥ 1;
⎧
⎨ x, ja x ≤ 0,
9. f(x) = 1 − x, ja 0 < x ≤ 1,
⎩ 1
1−x , ja x > 1;
⎧
⎨ 5
10. f(x) =
⎩
x , ja −1 ≤ x < 1,
x − 1, ja 1 < x ≤ 4,
1, ja x = 1.
I.1. Konstruēt funkciju grafikus.
1. f(x) = |1 − x| − 3|x + 2| + x;
11. Pielikums
2. f(x) = |x − 3| − 2|x + 1| − x + 1;
63

3. f(x) = 3|x + 1| − |x − 1| + 6;
4. f(x) = 2|x − 1| − |2 + x| + x;
5. f(x) = |2 − 4x| − |4 + 2x| − x;
6. f(x) = |2 − x| + |3 + x| + x;
7. f(x) = |x − 5| + 3|x − 1| − x + 1;
8. f(x) = |x − 2| + |x − 8| − 5 − x;
9. f(x) = |x − 1| + |x − 7| − 6;
10. f(x) = |2x − 1| − |x + 1| + x − 2;
11. f(x) = |x + 2| − |x + 3| + |4 − x;
12. f(x) = |x| + 3x + 1 − |x − 6|;
13. f(x) = x + 2|x + 1| − |5 − x|;
14. f(x) = |x − 4| + |x + 1| − x + 3;
15. f(x) = |x − 7| − |5 − x| + x + 3;
16. f(x) = |2x − 1| + |x + 2| − 4x + 2;
17. f(x) = |1 − 3x| − |2x + 3| − 4;
18. f(x) = |x − 1| + |2 − x| − 3 + x;
19. f(x) = |x + 2| − |8 − x| + 2x − 2;
20. f(x) = x − |1 − 3x| + |2x| − 3;
21. f(x) = |x + 1| + |2 − x| − 5 − x;
22. f(x) = |x + 3| + 2x − |1 − x| + 4;
23. f(x) = 5x − |1 − x| + |3x + 5| − 4;
24. f(x) = 2|x − 1| − |1 − 2x| + 3x + 5;
25. f(x) = x + 2 − 3|5 − x| + |7 + x|.
I.2. Atrisināt vienādojumus.
1. x 2 − 4x + |x − 3| + 3 = 0;
64

2. x 2 − 6x + |x − 4| + 8 = 0;
3. x 2 + 4x + |x + 1| + 3 = 0;
4. (x + 1) 2 − 2|x + 1| + 1 = 0;
5. x 2 + 2x − 3|x + 1| + 3 = 0;
6. x 2 + 6x + |x + 2| + 8 = 0;
7. |2x + 1| − |3 − x| = |x − 4|;
8. |x − 1| + |1 − 2x| = 2|x|;
9. |x| − 2|x + 1| + 3|x + 2| = 0;
10. |x + 1| − |x| + 3|x − 1| = x + 2;
11. |x| − 2|x + 1| + 3|x + 2| = 0;
12. |x| + 2|x + 1| − 3|x − 3| = 0;
13. |x 2 − 9| + |x − 2| = 5;
14. |x 2 − 1| + x + 1 = 0;
15. |x 2 − 4| − |9 − x 2 | = 5;
16. |x 2 − 9| + |x 2 − 4| = 5;
17. x 2 + 4|x − 3| − 7x + 11 = 0;
18. x 2 − 4|x + 1| + 5x + 3 = 0;
19. |2x − 1| = |x + 1| + |x − 2|;
20. |x + 2| − |x + 3| + |x − 4| = 6;
21. |x| + 3|x + 1| = |x − 6|;
22. |x| + 2|x + 1| = |x − 5|;
23. |x − 4| + |x + 1| − |x + 3| = 6;
24. |x − 7| − |x + 3| + |x − 5| = −1;
25. |2x − 1| + |x + 2| − |4x| = 2.
I.3. Atrisināt nevienādības.
65

1. x 2 − 3|x| + 2 > 0;
2. x 2 − |5x − 3| − x < 2;
3. x 2 + 5|x| − 24 > 0;
4. |x 2 − 3x − 15| < 2x 2 − x;
5. |x 2 + x + 10| ≤ 3x 2 + 7x + 2;
6. |2x 2 + x + 11| > x 2 − 5x + 6;
7. 3x 2 − |x − 3| < x − 2;
8. |x − 6| > |x 2 − 5x + 9|;
9. |x| + |x − 1| > 5;
10. |x + 1| + |x − 2| > 5;
11. |2x + 1| + |5x − 2| ≥ 1;
12. |3x − 1| + |2x − 3| − x < 2;
13. |x − 1| + |2 − x| > 3 + x;
14. |4 − x| − |2 − 3x| ≥ 4;
15. |x − 3| + |2x + 1| < 8;
16. |2x − 5| − |3x + 6| > −3;
17. |5 − 3x| − |3x − 1| ≤ 2;
18. |1 − 3x| − |2x + 3| ≥ 0;
19. |x + 3| − |x + 1| < 2;
20. |x + 2| + |x − 2| ≤ 12;
21. |x − 2| ≤ 2x 2 − 9x + 9;
22. |x + 3| + |x − 2| < 13;
23. 2|x + 3| − 3|x − 2| > 6;
24. |x + 3| − |x − 2| > 2x − 3;
25. |x − 2| + 3|x + 3| > 4x + 25.
66

II. Noteikt ar formulu uzdotās funkcijas definīcijas apgabalu.
1. f(x) = √ x + 7 + 1
lg(3+x) ;
2+x
2. f(x) = arccos(2 + x) − 1−x ;
3. f(x) = lg(x 2 − 5x + 4) + 1
√ 25−x 2;
4. f(x) = arccos 1−3x
5. f(x) = 1
5√ 3x−4 +
6. f(x) =
4 + √ 1 − x 2 ;
lg 3x
5−2x ;
lg 3x+1
2x−1 − arcsin(1 − x);
7. f(x) = x+7
5x
lg(3x+2) + arccos 7 ;
8. f(x) = lg 3x−8
5
9. f(x) = 3
1
x
+ 3 7−x;
3x−2 + √ 2x+5
log 2(3−x) ;
10. f(x) = arcsin 3−2x
5 + √ 3 − x;
11. f(x) = log0,5(9 − 2x) − 2
12. f(x) = √ x + 7 + 1
lg(3+x) ;
13. f(x) = √ 16−x 2
log 2(x+1)−1
14. f(x) = √ 5x+1
log 0,3(4−x) −
15. f(x) =
+ 3 x+1
x ;
1
x−2 ;
lg 5x−8
3x
3 + 4 6−x;
cos x
2x−4;
16. f(x) = lg(36 − x 2 ) + 2 arccos 5
x ;
cos x
17. f(x) = 2 12−3x + 3 log0,2(5 − 3x);
18. f(x) = 5x+7 7
lg(7−x) − (x+3) 2;
19. f(x) = arcsin x
5
− 3x−4
log 5(4x−7) ;
20. f(x) = 4
log0,3(1 − 4x) + 2 arctg 3√ 8−3x
24x2−1 ;
67

21. f(x) = lg 5x−18
x
3 − 2 6x−x2 ;
22. f(x) = 2x+3
√ 3x−x 2 − arcsin 2
3x−1 ;
23. f(x) = 15x2 −1
√ 5x 2 +7x − lg(x 2 − 6x);
24. f(x) = √ 3 − x + arcsin 3−2x
5 ;
25. f(x) = arcsin x−3
2
− lg(4 − x).
III. Noteikt, kuras no dotajām funkcijām ir pāra funkcijas, kuras - nepāra
funkcijas.
1. f(x) =
| sin x|−3
tg x3 ;
2. f(x) = 1−4x
4 x +1 ;
3. f(x) = lg 2x + √ 4x 2 + 1 ;
4. f(x) = lg 2+x
2−x + x tg2 x;
5. f(x) = lg 1+x
1−x − 4;
6. f(x) = 1
3 x − 1
3 −x;
7. f(x) = 1
2 (ex + e −x );
8. f(x) = √ 1 + x + x 2 − √ 1 − x + x 2 ;
9. f(x) = e3x−e−3x 2 ;
10. f(x) = 1
2 lg x2 + 2 − x sin 3x;
11. f(x) = e2x +1
e −2x −1 ;
12. f(x) = x ex −1
e x +1 ;
13. f(x) = tg 2 x − cos x + 4;
14. f(x) = x 3√ x − ctg 2x;
15. f(x) = 3 (x + 1) 2 + 3 (x − 1) 2 ;
16. f(x) = x √ x 2 − ctg 2x + 3x;
17. f(x) = tg 3 x − 2x 4 − sin 2x;
68

18. f(x) = x 2 + |x| − 2;
19. f(x) = 6x 5 − 2 sin x;
20. f(x) = 2 tg x + sin 2x;
21. f(x) = 2|x|
x 2 − 3;
22. f(x) = (22x−1)x 2x ;
23. f(x) = (x−2)2 ctg5 x+1
1−cos 3x ;
24. f(x) = 2 sin x
2 − x + x3 ;
25. f(x) =
sin x
x + x5 ctg 2 x.
IV. Noteikt, vai dotās funkcijas ir periodiskas un noteikt periodu.
1. f(x) = sin πx
2
+ 1;
2. f(x) = a sin 4x + b cos 3x (a, b ∈ R);
3. f(x) = sin x
2
4. f(x) = sin 5x
2
5. f(x) = sin 3x
2
+ ctg x;
− cos x;
+ 1 − tg x;
6. f(x) = sin 2x − 2 tg x
2 ;
7. f(x) = cos πx
4
8. f(x) = sin πx
3
− sin πx
6 ;
+ sin πx
4 ;
9. f(x) = 2 sin 3x + 3 sin x;
10. f(x) = sin x + cos 2x;
11. f(x) = sin 2πx + π
π
3 + 2 sin 3π + 4
12. f(x) = 1 + tg 3x − cos 2x;
13. f(x) = 10 sin 3x + tg 5x;
14. f(x) = √ tg 3x − sin 3x;
15. f(x) = 3 sin 5x
8
+ 2 cos 7x
8 ;
69
+ 3 sin πx;

16. f(x) = sin 3πx 3πx
4 − cos 2 ;
17. f(x) = 2 sin x
2
18. f(x) = sin 2x+3
6π ;
19. f(x) = − cos x−1
2 ;
+ 3 tg x
2 ;
20. f(x) = 2 sin(3x + 5);
21. f(x) = 4 sin πx+1
3 ;
22. f(x) = 1 + tg 5x
6 + 1 ;
23. f(x) = sin x
3
+ ctg x
4 ;
24. f(x) = 1 x
cos 2x + tg 2 ;
25. f(x) = sin 2x + 2 sin 3x.
V. Katrai no dotajām funkcijām atrast apvērsto funkciju un noteikt
apvērstās funkcijas definīcijas un vērtību apgabalu.
1. f(x) = arcsin 3
2+x ;
2. f(x) = 3√ x + 1;
3. f(x) = arctg 3x;
4. f(x) = lg(x − 1);
5. f(x) = cos 3 x, x ∈ [0; π];
6. f(x) = 3√ 1 − x 3 ;
7. f(x) = 5 cos x , x ∈ [0; π];
8. f(x) = cos(3x − 2), x ∈ 2 π
3 ; 3
9. f(x) = log 2 x−5
4 ;
10. f(x) = arcsin 3
4x−1 ;
11. f(x) = 1 + lg(x + 2);
12. f(x) = 2x
1+2 x;
13. f(x) = 2 sin 3x, x ∈ − π
6
π ; 5 ;
2 + 3 ;
70

14. f(x) = 10x −10 −x
10 x +10 −x;
15. f(x) = 10 x+1 ;
16. f(x) = log 2(1 − x 2 ), x > 0;
17. f(x) = lg x
2 ;
18. f(x) = log 5 4
x ;
19. f(x) = 3√ x 3 − 27;
20. f(x) = 2x
1+x ;
21. f(x) = 7 + ln(x + 14);
22. f(x) = sin3 x, x ∈ −π
π
2 , 2 ;
23. f(x) = ln(x 2 − 1), x > 0;
24. f(x) = 3√ x 3 − 125;
25. f(x) = lg(x 3 − 1).
VI. Lietojot virknes robeˇzas definīciju, pierādīt, ka lim
n→∞ an = a. Skaitlim
ε = 0, 01 atrast atbilstoˇso N.
4 + 2n
1. an = , a = −2
1 − 3n 3 ; 2. an
3n − 2 3
= , a =
2n − 1 2 ;
7n − 1
3. an =
n + 1 , a = 7; 4. an = n 1
, a =
2n + 1 2 ;
5. an = 5n − 1
5n , a = 1;
5n + 3 5
6. an = , a =
2n − 1 2 ;
7. an = n2 + 4
5n2 1
, a =
− 2 5 ; 8. an = 3n2 + 1
n2 , a = 3;
+ 4
n − 2
9. an =
n + 2 , a = 1; 10. an
7n + 4 7
= , a =
2n + 1 2 ;
11. an = 3n2 + 1
5 − n2 , a = −3; 12. an
5n − 2 5
= , a =
7n + 3 7 ;
13. an = 5n
n + 1 , a = 5; 14. an
4n + 3 1
= , a =
8n − 1 2 ;
n + 2
15. an =
n + 1 ; a = 1; 16. an
3 − n2
=
1 + 2n2, a = −1
2 ;
71

17. an = 5n2 − 3
3n2 5
, a =
+ 1 3 ; 18. an
1 − 2n2 1
=
2 − 4n2, a =
2 ;
19. an = 4n
2 − 4n, a = −1; 20. an
5 − 3n
= , a = −3
7n + 4 7 ;
4 − 7n
21. an =
5 − n , a = 7; 22. an
5n − 8 5
= , a =
3n + 11 3 ;
23. an = 2n − 1
2n , a = 1;
2n − 3 1
24. an = , a =
4n + 5 2 ;
5n + 6
25. an = , a = 5.
n + 1
VII. Lietojot funkcijas robeˇzas definīciju, pierādīt, ka lim
x→a f(x) = A. Skaitlim
ε = 0, 01 atrast atbilstoˇso δ.
1. f(x) = 3x 2 − 2, a = −2, A = 10;
2. f(x) = 3 − x
,
5
a = −5, A = 4;
3. f(x) = x 2 − x + 2, a = 1, A = 2;
4. f(x) = x 2 + 2x + 3, a = 0, A = 3;
5. f(x) = x 2 + x + 1, a = 3, A = 13;
6. f(x) = 3x − 2, a = −3, A = −11;
7. f(x) = 3x + 2, a = 2, A = 8;
8. f(x) = 5 − 2x, a = 0, A = 5;
9. f(x) = x 2 + x − 5, a = 3, A = 7;
10. f(x) = 3x 2 − 1, a = 2, A = 11;
11. f(x) = 3 − 5x 2 , a = 2, A = −17;
12. f(x) = x 2 + 4, a = 1, A = 5;
13. f(x) = 3x − 2, a = −1, A = −5;
14. f(x) = x 2 − 3x, a = 3, A = 0;
15. f(x) = 2x 2 + 1, a = −1, A = 3;
16. f(x) = x 2 − 7x + 1, a = 7, A = 1;
17. f(x) = x 2 − 6x + 3, a = 6, A = 3;
18. f(x) = 3x − 5, a = 2, A = 1;
19. f(x) = x 2 − 8x + 2, a = −1, A = 11;
20. f(x) = x 2 + 4x + 2, a = −2, A = −12;
21. f(x) = 2x 2 + 1, a = −2, A = 9;
72

22. f(x) = 4x + 7, a = −3, A = −5;
23. f(x) = 8 − 5x, a = 0, A = 8;
24. f(x) = x 2 + 2x − 3, a = −1, A = −4;
25. f(x) = x 2 − 2x − 6, a = −2, A = 2.
VIII.1. Atrast robeˇzas.
1.
x
lim
x→2
2 − 5x + 6
x3 ;
− 8x + 8
2.
x
lim
x→−3
2 + 2x − 3
3x2 + 14x + 15 ;
3.
x
lim
x→1
2 − 2x + 1
x3 ;
− x
4.
x
lim
x→1
3 + x − 2
x3 − x2 − x + 1 ;
5. lim
x→ 1
2
8x3 − 1
6x2 ; 6. lim
− 5x + 1 x→−2
7.
x
lim
x→3
2 − 5x + 6
x2 − 8x + 15
9.
x
lim
x→1
4 − 3x + 2
x5 ;
− 4x + 3
10. lim
x→2
11. lim
x→−1
13. lim
x→ 1
3
x 3 − 2x − 1
x 5 − 2x − 1
x 3 + 3x 2 + 2x
x 2 − x − 6 ;
x
; 8. lim
x→1
3 − 3x + 2
; 12. lim
x→ 3
2
3x2 + 5x − 2
1 − 2x − 3x2; 14. lim
x→−1
x 4 − 4x + 3 ;
x3 − 2x2 − 4x + 8
x4 − 8x2 + 16 ;
2x2 − x − 3
2x2 − 5x + 3 ;
x 2 − 4x − 5
x 2 − 2x − 3 ;
3x
; 16. lim
x→3
2 − 11x + 6
15.
2 − 3x − 2x
lim
x→−2
2
x2 + x − 2 2x2 − 5x − 3 ;
17.
x
lim
x→2
3 − 3x − 2
x3 ;
− 8
18.
4x
lim
x→0
2 − 3x
2x2 − 9x ;
19.
x
lim
x→2
2 − 5x + 6
; 20. lim
x→0
x − 3x2 21. lim
x→ 1
3
23. lim
x→−2
25. lim
x→1
x 3 − 2x 2 − x + 2
VIII.2. Atrast robeˇzas.
1. lim
x→0
5x 3 − 6x 2 + x ;
3x2 + 2x − 1
27x3 2x
; 22. lim
− 1 x→5
2 − 11x + 5
3x2 − 14x − 5 ;
x3 + 5x2 + 8x + 4
x3 + 3x2 − 4
x3 − 3x + 2
x3 − x2 − x + 1 .
x − 3x 2
4 − √ x + 16
; 24. lim
x→−1
; 2. lim
x→1
73
x3 + 4x2 + 5x + 2
x3 ;
− 3x − 2
3x − 2 − √ 4x2 − x − 2
x2 ;
− 3x + 2

3√ 3
x − 2 −
3. lim
x→1
√ 1 − x + x2 x2 x −
; 4. lim
− 1
x→2
√ x + 2
√ ;
4x + 1 − 3
√ √
x + 1 − x2 + x + 1
5. lim
x→0 x2 3√
1 + x2 − 1
; 6. lim
x→0 x2 ;
√ √
x2 + 1 − 1
x − 1 − 2
7. lim √ ; 8. lim
x→0 x2 + 16 − 4 x→5 x2 − 25 ;
3√ 3
1 + x −
9. lim
x→0
√ √
1 − x
1 + 2x − 3
; 10. lim √ ;
x
x→4 x − 2
√
1 − x − 3
11. lim
x→−8 2 + 3√ √ √
x + 13 − 2 x + 1
; 12. lim
x x→3 x2 ;
− 9
4√
x − 2
3√
x − 6 + 2
13. lim √ ; 14. lim
x→16 x − 4 x→−2 x3 ;
+ 8
√ √
9 + 2x − 5
1 − 2x − x2 − 1 − x
15. lim
x→8 3√ ; 16. lim
;
x − 2
x→0 x
3√
8 + 3x − x2 − 2
17. lim
x→0 x + x2 3√ 3
27 + x −
; 18. lim
x→0
√ 27 − x
x + 2 3√ x4 ;
√
2x + 3 − 3
19. lim
x→3 9 − x2 √ √
x − 2 − x
; 20. lim
x→1 1 − x2 ;
x
4 −
21. lim √ ; 22. lim
x→0 x + 4 − 2 x→−9
√ 7 − x
√ ;
10 + x − 1
3√
x − 1
23. lim
x→1 2 − √ √
3x + 7 − 2
; 24. lim
x + 3 x→−1 1 + 3√ ;
x
x −
25. lim
x→4
√ 3x + 4
16 − x2 .
VIII.3. Atrast robeˇzas.
1.
3x
lim
x→∞
3 − 9x2 + 13x + 1
4x3 + 8x2 ;
− 7x + 16
2.
4x
lim
x→∞
3 + 8x + 7
9x3 + 11x + 3 ;
3.
13x
lim
x→∞
2 − 2x + 5
x4 ;
+ 6x + 1
4.
x
lim
x→∞
5 − 12x3 + 7
5.
x
lim
x→∞
2 − 2x + 5
x3 ;
+ 3x + 7
6.
2x
lim
x→∞
2 + 7x − 1
3x2 − 5x + 6 ;
7.
6x
lim
x→∞
2 − 7x − 12
2x2 ;
− 5x − 8
8.
x
lim
x→∞
2 − 4x + 3
;
x + 5
9. lim
x→∞
x4 − 2x3 − 1
100x3 ; 10. lim
+ 2x2 x→∞
74
4x 4 + 8x 3 + 11 ;
3x 3 − 4x 2 + 8
−5x 3 + 2x 2 + x ;

11.
5 + 3x
lim
x→∞
3
7x4 − 2x2 ;
+ 1
12.
2 − x − 4x
lim
x→∞
2
x3 − 7x + 8 ;
13.
3x
lim
x→∞
2 − 2x − 1
;
7x − 9
14. lim
x→∞
15.
3x
lim
x→∞
2 − 2x + 10
5x3 ;
+ 3x − 1
16. lim
x→∞ 3x4 − 7x + 1 ;
17.
3x
lim
x→∞
2 − 1
5x2 ;
+ 2x
18.
6x
lim
x→∞
2 + 5x − 1
3x2 − x + 1 ;
19.
1 − x − x
lim
x→∞
2
x3 ;
+ 3
20.
x
lim
x→∞
4 − 2x2 + 3
3x3 ;
− 5
21.
x
lim
x→∞
2 − 1
2x2 ;
− x − 1
22.
2x
lim
x→∞
2 + x − 1
x2 − 5x + 6 ;
23.
x
lim
x→∞
2 − 9x + 14
x3 ;
+ 3x + 14
24. lim
x→∞
25. lim
x→∞
x 2 − 5x − 36
2x 2 − 10x + 12 .
VIII.4. Atrast robeˇzas.
1. lim
x→+∞
2. lim
x→+∞
3. lim
x→+∞
4. lim
x→+∞
5. lim
x→+∞
6. lim
x→∞
7. lim
x→+∞
8. lim
x→∞
9. lim
x→+∞
10. lim
x→+∞
√ x 2 + 7x + 9 − √ x 2 + 3x + 5 ;
√ x 2 + x + 1 − √ x 2 − x + 1 ;
√ x 4 − 3x + 1 − x 2 ;
2x − 1 − √ 4x 2 − 4x − 3 ;
√ x 2 − 2x − 1 − √ x 2 − 7x + 3 ;
√ x 2 + 1 − √ x 2 + 3 ;
√ x 2 + 1 − x ;
3 √ x 3 + 5x − 3 √ x 3 + 8x ;
√ x + 5 − √ x ;
√ 2x + 1 − √ x + 2 ;
75
x5 − 3x4 + 7x − 1
3x5 + 2x3 − 3 ;
2x3 − 3x2 + 5
10x 2 + 3x + 1
x 3 − x 2 − x ;

√
11. lim 4x − 1 − x ;
x→+∞
12. lim
x→+∞
13. lim
x→−∞
14. lim
x→+∞
15. lim
x→+∞
16. lim
x→+∞
17. lim
x→∞
3
18. lim x 2
x→+∞
19. lim
x→+∞
x − √ x 2 + 7x ;
√ 3 − 2x + x ;
√ x 2 + 10x − x ;
√ 4x 2 + 3x − 2x ;
√ x 2 − 2x + 1 − √ x 2 + 7x + 3 ;
3 (x + 1) 2 − 3 (x − 1) 2
√ x 3 + 1 − √ x 3 − 1 ;
;
√ x 2 − 1 − √ x 2 − x − 1 ;
20. lim
x→−∞ x √ x 2 + 1 + x ;
21. lim
x→∞
22. lim
x→−∞
23. lim
x→+∞
24. lim
x→∞
25. lim
x→+∞
3 √ x 3 + x 2 + 1 − 3 √ x 3 − x 2 + 1 ;
x + √ x 2 − 2x ;
3 √ x 3 + 2x 2 − x ;
√ 2x 2 + 1 + √ x 2 − 1 ;
√ x 2 + 2x − √ x 2 + x .
76

VIII.5. Atrast robeˇzas.
1 − cos
1. lim
x→0
3 x
1 + sin x − cos x
; 2. lim
x sin 2x x→0 1 − sin x − cos x ;
1 1
cos x
3. lim − ; 4. lim
x→0
π
sin x tg x
x→ 3
2 (1 − sin x) 2 ;
sin x − π
6
cos x − sin x
;
cos 2x
5. lim
x→ π
6
√ 3
2
; 6. lim
− cos x x→ π
4
7.
sin x − cos x
lim
; π x→ 4 1 − tg x
8.
1 −
lim
x→0
√ cos x
x2 ;
9.
x − sin 2x
lim ;
x→0 x + sin 3x
10.
tg − sin x
lim
x→0 sin 3x ;
11.
sin 5x − sin 3x
lim
;
x→0 sin x
12.
cos x − cos 3x
lim
x→0 x2 13.
x sin 3x
lim ;
x→0 1 − cos 3x
14.
;
lim
x→ π
sin
3
x − π
3
1 − 2 cos x ;
15.
1 − cos 4x
lim
x→0 sin2 ;
7x
16. lim
x→− π
1 + sin 2x
4 sin x + cos x ;
17.
sin x − tg x
lim
x→0 2 x ;
4 sin 2
18.
cos x
limπ
x→ 2 cos x
19.
1 − tg x
lim
; π x→ 4 sin x − cos x
20.
x ;
2 − sin 2
1 − cos 3x
lim
x→0 tg2 6x ;
21.
tg x − sin x
lim
x→0 x3 ; 22.
tg x
lim
x→0 sin 5x − sin x ;
23.
1 − cos 5x
lim ;
x→0 x tg 2x
24.
cos 2x − 1
lim
x→0 x sin x ;
25. lim
x→0
3x 2 − 5x
sin 2 3x .
VIII.6. Atrast robeˇzas.
1. lim
x→ π
2
3. lim
x→∞
5. lim
x→ π
4
7. lim
x→ π
2
(sin x) tg x ; 2. lim(tg
x) tg 2x ;
x→ π
4
2x−1 x + 1
; 4. lim
x − 2
x→∞
2 x + 1
x2 2 x
;
− 2
(ctg x) ctg 8x ; 6. lim(cos
4x) tg x ;
x→ π
2
(sin x) ctg 4x ; 8. lim
x→∞
77
x+1
3 3x − 4
;
3x + 2

9. lim (cos x)
x→2π ctg x x
2 x + 3
; 10. lim
x→∞ x − 4
−3
;
x
4 x − 7
11. lim
x→∞ x − 4
+5
x−1
3 x + 5
; 12. lim
;
x→∞ x + 2
x+3 x
3 2x − 1
x − 5
13. lim
; 14. lim
x→∞ 2x + 1
x→∞ x − 2
−4
;
x+1
5
x+4
5x − 6
3x − 1
15. lim
; 16. lim
;
x→∞ 5x − 3
x→∞ 3x + 1
2 x
x − 1
17. lim
x→∞
19. lim
x→∞
21. lim
x→0
x 2
1 − 1
1 + x 3
x 3
x 2
1
2 tg 2x ; 18. lim 1 − x ;
x→0
1
2 x ; 20. lim 1 − sin x
x→0
2 ;
1
1
sin x 2 sin ; 22. lim 1 − 2x 2 x ;
x→0
23. lim(1
+ 2x)
x→0 1
2 sin x;
2 x
24. lim
x→0
25. lim
x→∞
.
x 2 − 2
x 2 + 3
VIII.7. Atrast robeˇzas.
1
3 sin x 1 + x + x ;
1.
2
lim
x→0
x − 1
;
ln(1 + 2x)
2.
ln(1 + sin x)
lim
;
x→0 sin 4x
3.
1 − cos 10x
lim
x→0 ex2 ;
− 1
4.
1 − cos x
lim
x→0 (e3x − 1) 2;
5.
ln(1 + 10x)
lim
;
x→0 tg x
6.
ln(1 − 5x)
lim ;
x→0 sin x
7.
2
lim
x→0
x − 1
;
ln(x + 1)
8.
ln(1 + sin 2x)
lim
;
x→0 sin 9x
9.
ln(1 + sin 5x)
lim
;
x→0 1 − cos 10x
10.
1 − cos 8x
lim
x→0 3x − 1 ;
11.
5
lim
x→0
3x − 1
ex ;
− 1
12.
(e
lim
x→0
−8x − 1)x
1 − cos 4x ;
13.
3
lim
x→0
x − 1
2x ;
− 1
14.
ln(1 + 3x)
lim
x→0 sin 5x ;
15.
4
lim
x→0
x − 1
;
sin x
16.
e
lim
x→0
3x − 1
sin x ;
78

17. lim
x→0
19. lim
x→0
21. lim
x→0
23. lim
x→0
25. lim
x→0
sin 2x
;
ln(1 + x)
18.
ln(1 + 2x)
lim
x→0 arcsin x ;
1 − cos 3x
2 ln(1 + 9x2 ;
)
20.
1 − cos 6x
lim
x→0 ln(1 + 3x2 ) ;
5x2 4
− 1
x2
;
− 1
22.
5 sin 3x
lim
x→0 e−3x − 1 ;
x sin 7x
e−3x2 ;
− 1
24.
x ln(1 + 4x)
lim
x→0 2 ln(1 + 2x2 ) ;
xe x
2 − x
ln(1 + 2x 2 ) .
VIII.8. Atrast robeˇzas.
1.
3 x − 3x + 1
lim
+ 1 ;
x→0 x − 4
2.
lim 1 +
x→∞
1
3.
log
lim
3(7 − x
x→2
x+1
x
;
x
2 )
;
2 − x − x2 4.
lim x −
x→5
x2 5.
lim 1 +
x→5
− 5x ;
4
x
5
;
x
6.
log
lim
19(1 + 2x
x→3
2 )
4x ;
− 62
7.
log
lim
5(2 − 3x)
x→−1 x4 ; 8.
x
lim
x→2
2 9.
x
lim
x→3
− x + 1
;
x − 2
2 − 3
x2 ;
+ 4x − 9
10.
3
lim
x→2 x3 11.
x − 6
lim √ ;
x→22 x + 3 − 3
12.
1
− ;
+ 1 x + 1
lim 5 +
x→2
2 3
−
x x2 13.
lim x −
x→4
;
x2
− 4x ; 14.
lim 1 +
x→6
3
x
2
;
x
15.
1 +
lim
x→−2
√ 2x2 + 1
;
x
16.
6x
lim
x→−3
2 + 5x − 1
3x2 − x + 8 ;
17.
9 − x
lim
x→3
2
x3 ;
− 5x + 2
18.
x
lim
x→2
3 − 4x + 5
x2 19.
√
lim 5x − 4 + log2 x
x→1
;
+ 6
; 20.
lim x
1 x→ 5
3 − log 1
5 x
21.
x−1 x − 3
lim
;
x→4 x + 1
22.
;
lim x
x→4
2√ x + 5 − x √ 23.
3√ √
4x + 3 − x x − 2
lim
;
x→6 2x − 3
24.
x ;
log
lim
5(1 + 2x)
x→2 x2 ;
79

25. lim
x→−2
log13(1 + 3x2 )
5−x .
− 1
IX. Salīdzināt dotās bezgalīgi mazās funkcijas.
1. α(x) = 1 − sin x, β(x) = cos x, kad x → π
2 ;
2. α(x) = x
,
x − 1
β(x) = x, kad x → 0;
3. α(x) = tg x + x 2 , β(x) = x, kad x → 0;
4. α(x) = 2 √ sin x, β(x) = x, kad x → 0;
5. α(x) = 1 − cos x, β(x) = sin x, kad x → 0;
6. α(x) = x sin 2 x, β(x) = x sin x, kad x → 0;
7. α(x) = sin 2x − 2 sin x, β(x) = x, kad x → 0;
8. α(x) = 2x4
1 + x , β(x) = x2 , kad x → 0;
9. α(x) = 5x 3 + 2x 2 , β(x) = 3x 2 + 2x 3 , kad x → 0;
10. α(x) = 1 − cos √ x 3 , β(x) = 1 − cos x, kad x → 0;
11. α(x) = 3√ x, β(x) = x, kad x → 0;
12. α(x) = 1 − x, β(x) = √ 1 − x, kad x → 1;
13. α(x) = sin 2x + x 2 , β(x) = x, kad x → 0;
14. α(x) = 2 − 2 cos x, β(x) = x 2 , kad x → 0;
15. α(x) = cos 2x, β(x) = sin 4x, kad x → π
1 − x
16. α(x) =
1 + x , β(x) = 1 − √ x, kad x → 1;
17. α(x) = 1 − x, β(x) = 1 − 3√ x, kad x → 1;
18. α(x) = 3√ x 2 − √ x, β(x) = x, kad x → 0;
19. α(x) = sin 2x − sin x, β(x) = x, kad x → 0;
x(x + 1)
20. α(x) =
1 − √ ,
x
21. α(x) = cos x −
β(x) = x, kad x → 0;
3√ cos x, β(x) = x, kad x → 0;
22. α(x) = 2x
,
1 + x
23. α(x) = x +
β(x) = x, kad x → 0;
√ x, β(x) = x, kad x → 0;
24. α(x) = e √ x − 1, β(x) = x, kad x → 0;
80
4 ;

25. α(x) = √ 1 + x − 1, β(x) = x, kad x → 0.
X. Pierādīt, ka dotās funkcijas ir nepārtrauktas punktā x0.
1. f(x) = 4x 2 + 6, x0 = 7;
2. f(x) = 5x 2 + x + 9, x0 = 1;
3. f(x) = 42x + 3x 2 , x0 = 2;
4. f(x) = x 3 − x 2 − 4x + 4, x0 = 3;
5. f(x) = 2x 2 + 2x − 3, x0 = −1;
6. f(x) = 2x 3 + 3x 2 + 5, x0 = 3;
7. f(x) = x 3 + 4, x0 = 1;
8. f(x) = x 2 − 5x + 4, x0 = 2;
9. f(x) = x 2 − 3x − 4, x0 = 2;
10. f(x) = x 2 − x − 6, x0 = 4;
11. f(x) = x 3 − 3x 2 − x − 2, x0 = −3;
12. f(x) = x 3 + x 2 + 4x − 4, x0 = 1;
13. f(x) = x 3 − 9x 2 , x0 = −2;
14. f(x) = x 3 + 4, x0 = 1;
15. f(x) = 3x 2 + 4x − 4, x0 = 1
2 ;
16. f(x) = 2x 3 + 3x 2 − 7x − 1, x0 = 0;
17. f(x) = x 3 − 5x 2 + 1, x0 = 2;
18. f(x) = 2x 2 − 17x + 35, x0 = 1;
19. f(x) = 2x 2 − 7x − 15, x0 = 1
7 ;
20. f(x) = 5x 3 + 2x 2 + 9, x0 = −4;
21. f(x) = 7x 2 + 3, x0 = 1
3 ;
22. f(x) = 2x 2 − 1 2
x −
3 3 , x0 = 3;
23. f(x) = x 2 − x − 4, x0 = −5;
24. f(x) = x 2 − 8x + 15, x0 = 4;
25. f(x) = 9x 3 + 1, x0 = −3.
81

XI. Atrast funkcijas pārtraukuma punktus un noteikt to veidu. Konstruēt
funkcijas shematisku grafiku.
2 x + 1, ja x ≤ 1,
1. a) f(x) =
x − 1, ja x > 1;
⎧
2
⎨ x , ja x < 0,
b) f(x) = cos x, ja 0 ≤ x <
⎩
π
2 ,
0, ja x ≥ π
2 ;
2 x + 1, ja x < 1,
2. a) f(x) = 1
x−1 , ja x > 1;
⎧
⎨ lg(1 − x), ja x < 1,
b) f(x) = 0, ja 1 ≤ x < 2,
⎩
3x−2 , ja x ≥ 2;
⎧
⎨ x
3. a) f(x) =
⎩
2 + 1, ja x < 1,
3, ja x = 1,
x + 1, ja x > 1;
⎧
⎨ −
b) f(x) =
⎩
8
x , ja x < 0,
x2 , ja 0 ≤ x ≤ 2,
ln(x − 2), ja x > 2;
⎧ 1
⎨ x+1 , ja x < 3,
4. a) f(x) = 0, ja x = 3,
⎩
ln(x − 3), ja x > 3;
3 x −1
b) f(x) = x−1 , ja x = 1,
3, ja x = 1;
⎧
⎨ x
5. a) f(x) =
⎩
2 − 2, ja x < 1,
−1, ja 1 ≤ x < 4,
1
x−6 , ja x ≥ 4;
2 (x + 1) , ja x ≤ 0,
b) f(x) =
ln x, ja x > 0;
⎧
⎨ 3
6. a) f(x) =
⎩
x−2 , ja x < 2,
x, ja 2 ≤ x < 4,
ln(x − 4), ja x > 4;
2 25−x
b) f(x) = x−5 , ja x = 5,
−10, ja x = 5;
82

⎧
⎨ −8
7. a) f(x) =
⎩
1−x , ja x < 1,
0, ja x = 1,
1
x−3 , ja x > 1;
lg x, ja x > 0,
b) f(x) =
1 − x2 , ja x ≤ 0;
tg x, ja |x| < π
2 ,
8. a) f(x) = 1
x2, ja |x| ≥ π
2 ;
√
−x, ja x < 0,
b) f(x) =
ex , ja x ≥ 0;
3 8−x
9. a) f(x) = x−2 , ja x = 2,
0, ja x = 2;
⎧
⎨ −
b) f(x) =
⎩
2
x , ja x < 1,
4, ja 1 ≤ x ≤ 3,
lg(x − 3), ja x > 3;
⎧
⎨ x, ja x ≤ 0,
10. a) f(x) = 1 − x, ja 0 < x ≤ 1,
⎩ 1
1−x , ja x > 1;
9−x −
b) f(x) =
2
x+3 , ja x = −3,
0, ja x = −3;
⎧
⎨ x
11. a) f(x) =
⎩
2 , ja x < −1,
1, ja x = −1,
1
x+1 , ja x > −1;
⎧
1
⎨ 2 , ja x < −1,
b) f(x) = 2
⎩
x , ja |x| ≤ 1,
lg(x − 1), ja x > 1;
2 x −1
12. a) f(x) = x−1 , ja x < 1,
5, ja x = 1;
⎧
⎨ tg x, ja |x| <
b) f(x) =
⎩
π
2 ,
0, ja x ≤ −π 2 ,
1, ja x > π
2 ;
⎧
⎨ x
13. a) f(x) =
⎩
2 + 1, ja x < −2,
x + 1, ja −2 ≤ x < 2,
3x + 2, ja x ≥ 2;
√
2 − x, ja x ≤ 2,
b) f(x) =
ln(x2 − 4), ja x > 2;
83

⎧
⎨ x + 2, ja x < 0,
14. a) f(x) = 0, ja x = 0,
⎩
3 − x2 , ja x > 0;
⎧
⎨ ln(2 − x), ja x < 2,
1
b) f(x) =
⎩ √x−3 , ja 2 ≤ x < 3,
x − 3, ja x ≥ 3;
3 x + 1, ja x ≤ 0,
15. a) f(x) =
ln x, ja x > 0;
2 16−x
b) f(x) = x+4 , ja x = −4,
1, ja x = −4;
⎧
⎨ e
16. a) f(x) =
⎩
x √
, ja x < 0,
1 + x, ja 0 ≤ x < 3,
x2 − 5, ja x > 3;
⎧ 1
⎨ x+1 , ja x < −1,
b) f(x) = −4, ja |x| ≤ 1,
⎩
lg(x − 1), ja x > 1;
3
17. a) f(x) = x , ja x ≤ 3,
ln(x − 3), ja x > 3;
⎧
⎨ x
b) f(x) =
⎩
2 + 2x, ja x < 0,
ex+1 √
, ja 0 < x < 1,
x − 1, ja x ≥ 1;
⎧
⎨ x
18. a) f(x) =
⎩
2 + 3, ja x < 0,
3, ja x = 0,
4 − x, ja x > 0;
⎧ 1
⎨ 2−x , ja x > 2,
x b) f(x) =
⎩
2−1 x+1 , ja 0 < x ≤ 2,
√
−x, ja x ≤ 0;
⎧
⎨ −
19. a) f(x) =
⎩
1
2 − x, ja x ≤ −π
2 ,
tg x, ja −π 2 < x ≤ 0,
x2 + 1,
ja x > 0;
x 3 −8
2−x
, ja x = 2,
b) f(x) =
0, ja x = 2;
π
sin x, ja |x| ≤
20. a) f(x) =
2 ,
2
1
π
2 , ja |x| > 2 ;
84

⎧
4
⎨ x , ja x ≤ −2,
b) f(x) = −x − 4, ja −2 ≤ x ≤ 1,
⎩
ln(x − 1), ja x > 1;
⎧ 1
⎨ 1−x , ja x ≤ 1,
21. a) f(x) = x
⎩
2 − 4, ja 1 < x ≤ 3,
5, ja x > 3;
2 x −36
b) f(x) = x+6 , ja x = −6,
10, ja −2 ≤ x = −6;
⎧
⎨ 3, ja x < −2,
22. a) f(x) = x
⎩
2 − 1, ja −2 ≤ x < 2,
x + 4, ja x ≥ 2;
⎧ √
⎨ 1 − x, ja x ≤ 1,
b) f(x) = 2
⎩
x , ja 1 < x ≤ 3,
lg(x − 3), ja x > 3;
⎧
⎨ 5 − x, ja x < −1,
23. a) f(x) = x
⎩
2 + 3, ja −1 ≤ x < 2,
7, ja x ≥ 2;
⎧ 1
⎨ 5+x , ja x < −1,
b) f(x) = 2, ja x = 1,
⎩
1 − x2 , ja x < 1;
⎧
⎨ x − 1, ja x < −2,
24. a) f(x) = 4 − x
⎩
2 , ja −2 ≤ x < 1,
3, ja x ≥ 1;
⎧
⎨ ln(5 − x), ja x < 5,
b) f(x) = 0, ja 5 ≤ x < 6,
⎩
2x−6 , ja x ≥ 6;
⎧
⎨ −x − 11, ja x < −2,
25. a) f(x) = −x
⎩
2 − 2, ja −2 ≤ x < 2,
x − 11, ja x ≥ 2.
⎧
⎨ tg x, ja |x| <
b) f(x) =
⎩
π
2 ,
x, ja x ≤ − π
2 ,
−x, ja x > π
2 ;
85

LITERATŪRA
[1] Dz. Boˇze, L. Biezā, B. Siliņa, A. Strence. Uzdevumu krājums augstākajā
matemātikā. - R.: Zvaigzne, 1986.
[2] E. Kronbergs, P. Rivˇza, Dz. Boˇze. Augstākā matemātika. I. dal¸a. - R.:
Zvaigzne, 1988.
[3] M. Grebenča, S. Novoselovs. Matemātiskās analīzes kurss. I. dal¸a. -
R.: LVI, 1952.
[4] V. Gedroics. Ievads matemātiskajā analīzē. - Daugavpils, 1989.
http://de.du.lv/matematika/ievmatanavit/index.html
[5] V. Gedroics, V. Gedroica. Elementārās funkcijas. - Daugavpils: DPI,
1992.
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
86

SATURS
1. Reālā skaitl¸a modulis 3
2. Funkcijas jēdziens. Vienādas funkcijas. Funkcijas, kas uzdota
ar formulu, definīcijas apgabala noteikˇsana 11
3. Reālā mainīgā reālu funkciju klasifikācija 18
3.1. Pāra un nepāra funkcijas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2. Periodiskas funkcijas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4. Apvērstā (inversā) funkcija 21
5. Konverˇgentas skaitl¸u virknes 24
6. Funkcijas robeˇza 28
6.1. Funkcijas galīga robeˇza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.2. Funkcijas bezgalīga robeˇza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7. Robeˇzu izskaitl¸oˇsana 36
8. Bezgalīgi mazas funkcijas un to salīdzināˇsana 45
9. Nepārtrauktas funkcijas 48
10.Vienpusējās robeˇzas, to izskaitl¸oˇsana.
Funkcijas pārtraukuma punkti un to klasifikācija 50
10.1. Funkcijas vienpusējās robeˇzas . . . . . . . . . . . . . . . . 50
10.2. Funkcijas pārtraukuma punkti un to klasifikācija . . . . . . 52
11.Pielikums 63
LITERATŪRA 86
87