97 4. KŪNO PLOKŠČIASIS JUDĖJIMAS 4.1. Kūno plokščiojo ...

97
4. KŪNO PLOKŠČIASIS JUDĖJIMAS
4.1. Kūno plokščiojo judėjimo dėsnis
Plokščiuoju vadinamas toks kūno judėjimas, kai judančio kūno bet kurio taško
atstumas nuo tam tikros nejudamos plokštumos visą laiką yra pastovus. Plokščiojo
judėjimo pavyzdžiai: rato riedėjimas tiesiu keliu, švaistiklio judėjimas skriejiko - slankiklio
mechanizme. Plokščios figūros judėjimą jos plokštumoje galima išskaidyti į slinkimą kartu su
laisvai pasirinktu figūros tašku, vadinamu poliumi, ir sukimąsi apie šį polių. Plokščiasis kūno
judėjimas apibrėžiamas trimis lygtimis, vadinamomis kūno plokščiojo judėjimo dėsniu:
x0 = x0(t), y0 = y0(t), j = j(t). (4.1)
(4.1) lygtyse x0, y0 - poliaus koordinatės. Pirmosios dvi lygtys apibrėžia slenkamąjį kūno
judėjimą, trečioji - sukimąsi apie polių.
Pagrindinės plokščiojo judėjimo kinematinės charakteristikos yra slenkamojo judėjimo
greitis ir pagreitis (jie lygūs laisvai pasirinkto poliaus greičiui ir pagreičiui) bei sukamojo
judėjimo kampinis greitis ir kampinis pagreitis. Jų reikšmes bet kuriuo momentu galima rasti
iš (4.1) lygčių, ieškant jų pirmos ir antros išvestinių laiko atžvilgiu.
4.2. Plokščiai judančio kūno taškų greičiai
Plokščiai judančio kūno taškų greičius galima apskaičiuoti trimis būdais:
1) poliaus metodu;
2) taikant greičių projekcijų teoremą;
3) naudojantis greičių centru (tai pagrindinis metodas plokščiai judančio kūno taškų
greičiams apskaičiuoti).
4.2.1. Poliaus metodas
Plokščiasis kūno judėjimas gali būti išskaidytas į slinkimą ir sukimąsi apie tam tikrą
ašį, todėl kūno taško judėjimą galima laikyti sudėtiniu.Taško judėjimą, kūnui slenkant,
laikykime keliamuoju, o jo judėjimą, kūnui sukantis, - reliatyviuoju. Slenkamajame judėjime
v A
visų kūno taškų greičiai yra vienodi,
todėl kūno bet kurio taško keliamasis
greitis lygus poliaus greičiui, o
v AB
reliatyvusis - sukimosi apie polių
greičiui. Apskaičiuokime figūros taško A
greitį (4.1 pav.), poliumi imdami tašką B.
v B
v B
Panaudodami 3.2 skyriaus (3.1) formulę,
gauname:
A B
4.1 pav.
v = v + v , (4.2)
A
B
AB
čia v B - poliaus greitis, v AB - greitis,
kuriuo taškas A sukasi apie polių B.
(4.2) formulė sieja dviejų
plokščios figūros taškų greičius. Pagal ją
galima apskaičiuoti vieno figūros taško
greitį, kai žinomas kito jos taško
(laikomo poliumi) greitis ir figūros

98
sukimosi kampinis greitis. Todėl poliumi pasirenkamas taškas, kurio greitis žinomas arba
randamas iš sąlygos.
Pavyzdžiai
1. Perdavimo mechanizmo taško A greitis 0,36 m/s. Spinduliai r1 = 0,09 m ir r2 = 0,06 m.
Apskaičiuokite taškų B, C, D greičius poliaus metodu. Apatinė mechanizmo dalis MN nejuda
(4.2 pav., a).
SPRENDIMAS. Kūno E judėjimą
laikykime sudėtiniu, susidedančiu iš
slinkimo ir sukimosi. Sakykime, kad
A
D A v
r1
r2
M C
N
B
4.2 pav., a
Sukimosi greičių moduliai
E
vBA = w × r2 ,
vCA = w × r1 ,
vDA = w × r1 ,
kūnas E slenka greičiu vA ir sukasi apie
tašką A kampiniu greičiu w. Tašką A
vadiname poliumi. Taškai B, C, D slenka
poliaus greičiu ir sukasi apie jį (4.2 pav.,
b). Tų taškų plokščiojo judėjimo greičius
galime apskaičiuoti, susumuodami
poliaus greitį su sukimosi greičiu:
v C = v + v A CA ,
v = v + v ,
o jų kryptys statmenos spinduliams, jungiantiems tuos taškus su poliumi. Kampinio greičio
dydį w apskaičiuojame, pasinaudodami tuo, kad ratas neslysta nejudančiu paviršiumi MN.
Vadinasi, tuo momentu vC = 0. Kita vertus, kaip ir taškams D ir B ,
čia
v A
v DA ω
v v
A
A
A v
v DA
v A
v BA
+ A =
.
B
A
BA
v D
v CA
v CA
Slinkimas + sukimasis = plokðèiasis judëjimas
4.2 pav., b
v = v + v ;
C
A
CA
vCA = w × CA = w × r1.
v A
v A
v A
v BA
v B
v

Kadangi greičiai v A ir v CA yra vienoje tiesėje (4.2 pav., b), o vC = 0, tai
iš čia
Taigi
Kadangi v A statmenas v DA , tai
vCA = vA ;
v
ω =
r
A
1
=
99
0,
36
0,
09
=
4 rad/s
vDA = w × r1 = vA = 0,36 m/s ,
vBA = w × r2 = 4 × 0,06 = 0,24 m/s .
v
D
=
v
2
A
+ v
2
DA
=
0,
36
.
2 =
0,
51 m/s .
Vektoriai v A ir v BA yra vienoje tiesėje ir nukreipti ta pačia kryptimi. Todėl
vB = vA + vBA = 0,36 + 0,24 = 0,6 m/s .
2. Parodytame mechanizme (4.3 pav., a) skriejikas AB sukasi pastoviu 2000 sūkių per minutę
kampiniu greičiu.
Duota: AB = 0,03 m, BD = 0,08 m. Koks slankiklio D greitis ir švaistiklio BD
kampinis greitis brėžinyje pavaizduotoje mechanizmo padėtyje?
A
40 0
ωAB
B
D
SPRENDIMAS. Skriejikas AB
sukasi kampiniu greičiu
πn
ω =
30
π ⋅ 2000
= = 209 rad/s.
30
Apskaičiuojame skriejiko taško
B greitį:
vB = wAB × AB = 209 × 0,03 =
= 6,27 m/s .
4.3 pav., a
Tai ir švaistiklio taško B,
sutampančio su skriejiko tašku
B, greitis (4.3 pav., b).
Iš trikampio ABD, remdamiesi sinusų teorema, apskaičiuojame kampą b:
todėl
BD
sin 40
AB
=
sin
o β
,
o
0,
03 sin 40 0,
03 ⋅ 0,
6428
sin β =
=
= 0,
242 ,
0,
08 0,
08

o b = 13 o 54'.
A
40 0
ωAB
B
90 0
50 0
v B
ωBD
β
β
100
90 0
D
vDB
v B
v D
50 0
v B
v D
76 0 06 '
53 0 54 '
4.3 pav., b 4.3 pav., c
Tašką B laikome poliumi. Žinome, kad
D
B
DB
v DB
v = v + v ; (a)
čia v DB - taško D sukimosi apie polių greitis, statmenas tiesei BD.
Žinodami slankiklio taško D, o kartu ir švaistiklio BD taško D greičio veikimo tiesę,
(a) vektorinę lygybę pavaizduojame grafiškai (4.3 pav., c). Greičiams apskaičiuoti
naudojamės sinusų teorema:
Iš čia apskaičiuojame:
Kadangi
tai
vD
vDB
=
o
sin 53 54′
sin 50
o
v B ⋅ sin 53 54′
=
=
sin 76 06′
v D
o
v DB =
o
o
o
v ⋅ sin 50
B
=
sin 76 06′
vDB = wBD × BD ,
ω
BD
=
v DB
BD
4,
95
= =
0,
08
vB
=
o
sin 76 06′
6,
27
6,
27
⋅
0,
808
0,
9707
⋅
0,
766
0,
9707
61,
9
rad/s .
=
.
=
5,
22 m/s ,
4,
95 m/s .
3. Strypas AB, kurio ilgis 5 m , taške C remiasi į nejudamą briauną ir juda brėžinio
plokštumoje taip, kad apatinis jo galas slenka horizontaliai greičiu vA = 4 m/s .
Apskaičiuokite strypo AB kampinį greitį w, taip pat taškų B ir C greičius tuo laiko momentu,
kai kampas j = 30 o , aukštis OC = 2 m .

B
C
101
SPRENDIMAS. Taško A greitis v A
nukreiptas horizontaliai, o taško C
(slankiklio) greitis v C nukreiptas išilgai
strypo AB. Tašką A pasirinkdami
poliumi, galime užrašyti:
v = v + v ; (a)
ϕ
čia v CA - greitis, kuriuo taškas C sukasi
O
A
apie polių A. Jis yra statmenas sukimosi
spinduliui (atkarpai) AC.
4.4 pav., a
Remdamiesi vektorine lygybe
(a), brėžiame greičių trikampį (4.4 pav., b). Tam taške C brėžiame greičio v A vektorių ir iš jo
galo nuleidžiame statmenį ac į tiesę AB; tada vC = Cc ir vCA = ac . Iš šio vektorinio
trikampio apskaičiuojame:
B
B
v B
A
v A
γ v BA
C
v C
v A
a
v CA
v
v
C
CA
= v
A
= v
O A
BA
c
4.4 pav., b
ϕ
cos ϕ =
A
sin ϕ =
v A
C
4cos
30
4sin
30
o
o
A
CA
= 4 ⋅ 0,
866 =
x
= 4 ⋅
1
2
=
Kadangi
2 m/s .
3,
46 m/s ,
vCA = w × AC ,
tai strypo kampinis greitis
vCA ω = =
AC
2
= =
4
v = v + v ; (b)
2
OC / sin
0,
5 rad/s.
=
ϕ
Apskaičiuojame taško B greitį,
poliumi imdami tašką A:
čia v BA - greitis, kuriuo taškas B sukasi apie polių A. Jis yra statmenas sukimosi spinduliui
AB ir lygus
vBA = w × AB = 0,5 × 5= 2,5 m/s .
Analogiškai taškui C brėžiame taško B greičių vektorinį trikampį, kuriame žinome
dviejų greičių v A ir v BA modulius ir kryptis (4.4 pav., b). Kadangi vektoriniame greičių
trikampyje kampas prieš greitį v B lygus 90 o - j = 90 o - 30 o = 60 o , tai

v
B
=
v
2
A
+ v
2
BA
− 2v
A
⋅ v
BA
cos 60
o
102
=
4
2
+
2,
5
2
− 2 ⋅ 4 ⋅
2,
5
⋅
0,
5
=
3,
5 m/s .
4. Skriejikas O1A = 0,2 m sukasi 120 sūk./min ir švaistikliu AB = 1,0 m suka skriejiką O2B
= 0,6 m apie nejudamą ašį O2. Apskaičiuokite švaistiklio AB ir skriejiko O2B kampinius
greičius tuo laiko momentu, kai skriejikas O1A yra vertikalioje padėtyje, o švaistiklis AB
sudaro 60 o kampą su vertikale ir 30 o kampą su skriejiku O2B (4.5 pav., a).
O1
A O2
60 0
4.5 pav., a
30 0
B
SPRENDIMAS. Mechanizmas
susideda iš trijų kūnų:
1) skriejiko O1A, besisukančio apie
ašį O1 kampiniu greičiu
πn
3,
14 ⋅120
ω 0 = = = 12,
56 rad/s;
30 30
2) skriejiko O2B, besisukančio apie
ašį O2;
3) plokščiai judančio švaistiklio AB.
Apskaičiuojame taško A
greitį. Jis yra statmenas sukimosi spinduliui O1A ir nukreiptas skriejiko O1A sukimosi
kryptimi (4.5 pav., b). Jo dydis
v = ω A 0
⋅OA
=
12,
56
⋅
0,
2
=
2,
51 m/s .
Kadangi taškas B priklauso skriejikui O2B , besisukančiam apie nejudantį tašką O2 , tai jo
greitis v B yra statmenas sukimosi spinduliui O2B (4.5 pav., b). Laikydami tašką A poliumi,
gauname:
vB A BA
= v + v ,
(a)
čia v BA - greitis, kuriuo taškas B sukasi apie polių A . Jis yra statmenas sukimosi spinduliui
AB ir jo modulis
vBA = w1 × AB .
Remdamiesi vektorine lygybe (a), brėžiame greičių trikampį. Tam taške B brėžiame
vektorių v A = Ba ir tiesę, statmeną O2B. Iš vektoriaus v A galo a brėžiame tiesę, statmeną
AB, iki susikirtimo su prieš tai taške b nubrėžta tiese (4.5 pav., b).

v A
ωo
O1
A
60 0
ω1
v BA
4.5 pav., b
b
ω
ω
O2
1
2
ω2
v A
=
a
v B
30 0
v BA
AB
30 0
30 0
30 0
v B
= =
O B
2
103
2,
51
= =
1,
0
4,
34
0,
6
B
2,
51 rad/s
=
7,
23 rad/s
4.2.2. Greičių projekcijų teorema
Gauname, kad vB = Bb ,
vBA = ab ir
ŠaBb = ŠBba = 30 o .
Iš čia išplaukia, kad
vBA = vA = 2,51 m/s ,
vB =2vA cos30 o =2×2,51 × 0,866 =
= 4,34 m/s .
Dabar, kai žinome greičius vB ir
vBA, galime apskaičiuoti ieškomus
kampinius greičius:
Kai kurie uždaviniai paprasčiau išsprendžiami taikant teoremą: dviejų figūros taškų
greičių projekcijos tiesėje, jungiančioje tuos taškus, yra lygios. 4.6 paveiksle matome, kad
v A C
greičių vektorių v A ir v B projekcijos į
taškus A ir B jungiančią tiesę AB (x ašį)
lygios atkarpai AC2. Taigi suprojektavę
(4.2) lygybės iš 4.2.1 skyriaus abi puses į
v AB
tiesę AB ir atsižvelgę į tai, kad vektorius
v BA statmenas AB ir jo projekcija ašyje
v B
α
C1
v B
Ax lygi nuliui, gauname:
vAx = vBx arba vAcosa = vBcosb. (4.3)
A
β
C2 B
β
x
Šią teoremą patogu taikyti, kai žinomos
dviejų figūros taškų greičių kryptys ir
vieno iš jų greičio dydis, bet nereikia
apskaičiuoti to kūno kampinio greičio.
4.6 pav., Pavyzdžiai
1. Vienalytis strypas AB juda, visą laiką remdamasis galais A ir B į tarpusavyje statmenas
sienas. Apskaičiuokite strypo galo A greitį ir strypo kampinį greitį tuo momentu, kai strypas
su vertikalia siena sudaro 60 o kampą, o strypo galas B juda greičiu vB = 2 m/s . Strypo ilgis
AB = 1 m .
,
.

A
60 0
4.7 pav., a
B
v AB
104
A
v A
ω
4.7 pav., b
SPRENDIMAS. Taškų A ir B greičių kryptis žinome, todėl, taikydami greičių projekcijų
teoremą, t.y. projektuodami šiuos greičius į tiesę, einančią per taškus A ir B, gauname (4.7
pav., b):
vA cos60 o = vB cos30 o .
Iš čia randame:
v
A
o
sin 60
= ⋅ v o
cos 60
B
=
tg60
o
⋅ 2 =
3,
46 m/s .
Strypo kampiniam greičiui rasti taikome poliaus metodą. Tašką B laikome poliumi,
todėl galime parašyti, kad
v = v + v ; (a)
čia v AB - taško A sukimosi apie tašką B greitis, statmenas AB.
Projektuodami (a) vektorinę lygybę į y ašį, randame
Iš čia:
Strypo kampinis greitis
A
B
AB
0 = vB - vAB × cos60 o .
v B
=
cos 60
v AB
o
ω =
v AB
AB
=
=
4
1
2
0,
5
=
4 rad/s
4 m/s .
2. Apskaičiuokite svirtinio siurblio pavaros mechanizmo stūmoklio E greitį padėtyje,
pavaizduotoje 4.2 pav., a. Skriejikas OA = 0,2 m tolygiai sukasi kampiniu greičiu wOA =
2 rad/s , O1B = O1D.
=
.
B
v B
30 0
y

D
E
O1
O
B
60 0
105
A
4.8 pav., a 4.8 pav., b
SPRENDIMAS. Visų mechanizmo taškų A, B, D, E greičių kryptys žinomos
(4.8 pav., b): greitis v A yra statmenas OA, v B - statmenas O1B, v D - statmenas O1D, o v E -
vertikalus, nes stūmoklis E slankioja vertikaliai. Skriejikas OA yra varantysis, todėl visų kitų
taškų greičių kryptys priklauso nuo taško A greičio krypties. Taško A greitis
D
v D
E
v E
vA = w0 × OA = 2 × 0,2 = 0,4 m/s .
Remdamiesi greičių projekcijų teorema, teigiančia, kad dviejų kūno taškų greičių vektorių
projekcijos į tiesę, jungiančią tuos taškus, yra lygios, užrašome:
vA = vB cos30 o .
Iš šios lygybės apskaičiuojame greitį vB :
v A
=
cos 30
v B
o
0,
4
= =
0,
866
0,
46 m/s .
Taškai B ir D sukasi apie nejudamą tašką O1 (4.8 pav., a), O1B = O1D , todėl
vD = vB = 0,46 m/s .
Suprojektavę greičių v D ir v E vektorius į tiesę DE, gauname, kad
vD = vE, vE = 0,46 m/s .
3. Skriejikas OA sukasi apie ašį O kampiniu greičiu wOA = 5 rad/s , priversdamas judėti
švaistiklį AB, o šis - strypą BC. Apskaičiuokite slankiklių B ir D greičius, jeigu
OA = 0,4 m , AB = 0,6 m , BC = 0,5 m .
O1
60 0
30 0
O
v B
B
30 0
60 0
v A
ωOA
A

O
wOA
120 0
A
B
60 0
106
120 0
v B
O
C A
ωOA
4.9 pav., a 4.9 pav., b
SPRENDIMAS. Apskaičiuojame taško A greitį. Jis yra statmenas sukimosi spinduliui OA ir
nukreiptas skriejiko OA sukimosi kryptimi (4.9 pav., b). Jo dydis:
30 0
30 0
vA = wOA × OA = 5 × 0,4 = 2 m/s .
Slankiklio B greičio kryptis žinoma, t.y. taško B greitis nukreiptas kreipiamosiomis
(horizontaliai) į kairę (4.9 pav., b). Žinome švaistiklio dviejų taškų A ir B greičių kryptis,
todėl taikome greičių projekcijų teoremą (dviejų kūno taškų greičių vektorių projekcijos į
tiesę, jungiančią tuos taškus, yra lygios viena kitai):
vA cos30 o = vB cos60 o .
Iš šios lygybės apskaičiuojame greitį vB:
v A cos 30
cos 60
o
v B =
o
2
=
⋅ 0,
866
0,
5
=
v A
30 0
60 0
3,
46 m/s .
Slankiklio C greičio kryptis taip pat yra žinoma (4.9 pav., b). Žinome strypo BC
dviejų taškų greičių kryptis, todėl, taikydami greičių projekcijų teoremą, galime užrašyti:
vB cos30 o = vC cos60 o ,
v cos 30
B
=
cos 60
vC o
o
=
3,
46
0,
866
0,
5
4.2.3. Greičių centras
6 m/s .
Panagrinėkime plokščios figūros judėjimą. Imkime dvi plokštumas: judančią
plokštumą, kurioje yra figūra, ir su šia plokštuma sutampančią nejudančią plokštumą.
Plokščios figūros judėjimas tolygus figūros plokštumos slydimui šia nejudančia plokštuma.
Kiekvienu laiko momentu judančioje plokštumoje yra taškas, kurio greitis lygus nuliui.
Šis taškas vadinamas greičių centru.
Tarkime, kad taškas C yra plokščios figūros greičių centras, o A - bet kuris figūros
taškas. Tada, remdamiesi (4.2) formule (žr. 4.2.1), galime parašyti, kad taško A greitis
⋅
=
B
60 0
C
v C

Tačiau taško C greitis vC = 0 , todėl
107
vA = vC
+ vAC
.
vA AC
= v .
(4.4)
Vadinasi, bet kurio figūros taško greitis lygus greičiui, kuriuo jis sukasi apie greičių
centrą.
C
B
A
C
90 0
90 0
A
90 0
90 0
B
v B
v A
4.10 pav., a 4.10 pav., c
v A
v B
A '
B '
4.10 pav., b
A
90 0
B
A
v A
90 0
C
v A
4.10 pav., d
Greičių centras yra tiesėje, statmenoje figūros taško greičiui. Tuo remdamiesi, galime
rasti figūros greičių centrą tada, kai žinome dviejų figūros taškų, pavyzdžiui, A ir B (4.10
pav., a), greičių kryptis. Greičių centras yra taške C, kuriame kertasi greičiams v A ir v B
statmenos tiesės. Jeigu šie statmenys sutampa (4.10 pav., b), greičių centro C vietą
apskaičiuojame pagal formulę
arba
vA
CA = AB
(4.5)
v − v
CB
B
B
A
A
B
= AB . (4.6)
v
v
− v
v B

108
Kai dviejų figūros taškų greičiai v A ir v B tam tikru laiko momentu yra lygiagretūs, bet į juos
nuleisti statmenys nesutampa (4.10 pav., c), greičių centras C yra be galo toli. Tokiu laiko
v A v A
momentu figūros kampinis greitis lygus nuliui ( ω = = = 0 ) ir vA = vB.
AC ∞
Jei figūra (ratas) rieda kitos nejudamos figūros paviršiumi, tai jų lietimosi taško C
greitis vC = 0. Šis taškas tuo momentu yra greičių centras (4.10 pav., d). Jeigu kūnas
riedėdamas slysta, tai taško C greitis būtų lygus kūno slydimo greičiui.
Sprendžiant uždavinius:
1) randamas figūros greičių centras (žr. 4.10 pav., a, b, c, d);
2) apskaičiuojamas figūros kampinis greitis w, žinomą taško greitį (pvz., vA) padalijant iš to
taško atstumo iki greičių centro C (4.4):
v A
ω = .
AC
Žinoma taško greičio kryptis nusako figūros sukimosi kryptį bei kitų taškų greičių
kryptis;
3) bet kurio taško greičio dydis randamas, figūros kampinį greitį dauginant iš to taško
atstumo iki greičių centro:
vB = w × BC ;
4) reikia atsiminti, kad greičių centro sąvoka taikoma tik standžiam kūnui. Kiekvienai
figūros padėčiai greičių centras randamas iš naujo. Mechanizme, sudarytame iš kelių
figūrų, kiekviena plokščiai judanti figūra kiekvienu momentu turės savo greičių centrą ir
savo kampinį greitį.
Pavyzdžiai
1. Horizontaliu bėgiu AB pastoviu greičiu vC = 18 m/s neslysdamas rieda garvežio ratas.
Apskaičiuokite rato kampinį greitį ir taško E greitį, jeigu r = 0,9 m .
E
A
r
90 0
C c v
4.11 pav., a
B
E
A
v E
C
P
ω
4.11 pav., b
SPRENDIMAS. Ratas rieda neslysdamas, todėl jo lietimosi taško P greitis lygus bėgio
greičiui. Kadangi bėgis nejuda, tai rato lietimosi su bėgiu taško greitis lygus nuliui. Toks
taškas, kaip žinome, vadinamas greičių centru (4.11 pav., b). Rato kampinį greitį
apskaičiuojame, padaliję bet kurio rato taško greitį iš atstumo nuo to taško iki greičių centro,
t.y.
v c
B

109
vC vC
ω = = =
PC r
18
0,
9
=
20 rad/s
Visi kūno taškai bet kuriuo momentu sukasi apie greičių centrą P, todėl
v E
= ω⋅
EP = 20 ⋅ r
2 =
.
25,
4 m/s .
Vektorius v E statmenas tiesei EP (4.11 pav., b) ir nukreiptas rato sukimosi kampinio greičio
w kryptimi.
2. Skriejiko - slankiklio mechanizmo skriejikas OA sukasi tolygiai. Apskaičiuokite švaistiklio
⎛ AB ⎞
AB kampinį greitį wAB ir jam priklausančio taško M greitį ⎜ AM = ⎟ , kai skriejikas
⎝ 2 ⎠
OA su horizontale sudaro kampą a) j = 0 o , b) j = 90 o , c) j = 30 o . OA = 0,4 m, nOA = 180
sūk./min, AB = 2 m .
a) j = 0 o
ωOA
O
v A
A
v M
M
4.12 pav., a
v A
ωAB
B
C
Taško A judėjimo trajektorija -
apskritimas, kurio spindulys R
= OA. Greičio vektorius v A
nukreiptas apskritimo liestine
taške A (statmenas spinduliui)
kampinio greičio wOA kryptimi
(4.12 pav., a).
Greičio vA dydį apskaičiuojame
iš formulės
vA = wOA × R;
čia R = OA,
π ⋅180
⋅ 0,
4
= = 2,
4π
m/s = 7,54 m/s .
30
πn
ω OA = .
30
Slankiklio AB kampiniam greičiui wAB apskaičiuoti taikome greičių centro metodą
v A
AB
AC
= ω ;
čia AC - atstumas iki greičių centro.
Greičių centras nustatomas, brėžiant statmenis dviejų nagrinėjamai grandžiai
priklausančių taškų greičiams. 4.12 paveiksle, a, matome, kad taškas B gali judėti tik
horizontaliai. Todėl jo greičio vektorius nukreiptas horizontale. Per taškus A ir B nubrėžus
statmenis greičiams v A ir v B , jų susikirtimo taškas B ir bus švaistiklio AB greičių centras
C. Taigi šiuo atveju vB = 0. Tada švaistiklio AB kampinis greitis
v A v A 7,
54
ω AB = = = = 3,
77 rad/s ,
AC AB 2

110
o jo kryptį nusako žinoma greičio v A kryptis (žr. 4.12 pav., a).
Taško M greičio vektorius statmenas spinduliui MC kampinio greičio wAB kryptimi ir jo
dydis apskaičiuojamas iš formulės
čia MC = MB = 1 m .
b) j = 90 o
v A
ωOA
O
A
slinkimas).
c) j = 30 o
ωOA
v A
A
30 0
v M
M
4.12 pav., b
v M
O 30
K
M
0
AL
AC = ,
o
cos 30
4.12 pav., c
AL = KB, iš stačiojo trikampio AKB:
vM = wAB ×MC = 3,77×1 = 3,77 m/s ;
v B
ωAB
v B
Iš stačiojo trikampio AKO: AK = OA sin30 o .
C
L
B
B
2 2
AK
KB = AB − ,
AL = 4 − 0,
04 = 1,
98 m ;
Taško A greičio vektorius
v A statmenas spinduliui
OA, o jo dydis vA = 7,54 m/s
(kaip ir pirmu atveju). Kaip
matome iš 4.12 pav., b, v A ir
v B lygiagretūs ir nestatmeni
taškus A ir B jungiančiai tiesei
AB. Taigi, jie lygūs, o kartu ir
taško M greitis lygus ir
lygiagretus greičiams v A ir v B :
vA = vB = vM = 7,54 m/s ,
wAB = 0 (švaistiklio momentinis
Taško A greičio vektorius
statmenas OA, o dydis vA =
7,54 m/s .
Švaistiklio AB kampinis
greitis
v A
ω AB = , (a)
AC
čia AC - taško A atstumas iki
greičių centro. Jis nustatomas,
brėžiant statmenis greičiams
ir v B (4.12 pav., c).
v A
AC apskaičiuojame iš
stačiojo trikampio ALC:

111
1,
98 ⋅ 2
AC = = 2,
29 m .
3
Į (a) lygybę įrašę AC reikšmę, apskaičiuojame švaistiklio AB kampinį greitį:
ω
AB
=
7,
54
2,
29
=
3,
29 rad/s
Jo kryptis nustatoma pagal žinomo taško greičio (šiuo atveju v A ) kryptį greičių centro
C atžvilgiu (4.12 pav., c).
Taško M greičio vektorius statmenas šio taško atstumui iki greičių centro C ir jo
atžvilgiu nukreiptas taip, kaip taškų A ir B greičių vektoriai (šiuo atveju pagal laikrodžio
rodyklę).
Taško M greičio dydį apskaičiuojame iš formulės
.
vM = wAB × MC . (b)
MC yra trikampio ACB pusiaukraštinė. Kaip žinome iš geometrijos,
1 2 2 2
MC = 2AC
+ 2CB
− AB .
2
CB apskaičiuojame iš stačiojo trikampio OBC: CB = OC OB ,
2 −
OB = OK + KB = OA cos30 0 + AL = 2,33 m ,
OC = OA + AC = 2,69 m ,
CB =
MC
2,
69
1
2
2
−
2,
33
2
=
1,
35
m ;
2
2 2
2 ⋅ 2,
29 + 2 ⋅1,
35 − 2 =
MC reikšmę įrašę į (b) lygybę, apskaičiuojame taško M greičio dydį:
=
vM = 3,29 × 3,18 = 10,46 m/s .
2
3,
18
m .

112
3. Strypas OA = 2r švytuodamas sukasi apie tašką O kampiniu greičiu w0 = 2 rad/s . Raskite
rato, kurio spindulys r = 0,1 m, ir strypo AB kampinius greičius 4.13 pav., a, parodytoje
padėtyje. Ratas rieda pagrindu neslysdamas.
r
B
4.13 pav., a
ω0
A
O
2r
SPRENDIMAS. Strypas sukasi apie nejudamą tašką O, todėl
v B
vA = w0 × OA = 2 × 0,2 = 0,4 m/s .
r
ω
B
P
v A A
ω0
4.13 pav., b
Kadangi ratas rieda nejudančiu paviršiumi neslysdamas, tai taškas, kuriuo ratas liečiasi su tuo
paviršiumi, yra greičių centras P (4.13 pav., b). Iš to išplaukia, kad rato ašis ir taškas B, sukasi
tuo momentu apie tašką P ir greitis v B statmenas BP. Matome, kad v A lygiagretus su v B .
Tiesės, nubrėžtos per taškus A ir B statmenai tų taškų greičiams v A ir v B , yra lygiagrečios ir
kertasi tik begalybėje. Vadinasi, strypo AB greičių centras PAB yra be galo nutolęs
plokštumoje taškas.
Tada
vB = vA = 0,4 m/s , o wAB = 0.
Rato kampinis greitis
v B
0,
4
ω = = = 4 rad/s ,
BP 0,
1
o jo kryptį nusako žinoma greičio v B kryptis (4.13 pav., b).
4. Skriejikas OC sukasi apie ašį O kampiniu greičiu w = 5 rad/s ir priverčia suktis
krumpliaratį, kurio spindulys r2 = 0,08 m , pritvirtintą judančiu šarnyru C. Judantis
krumpliaratis neslysdamas rieda nejudančio krumpliaračio vidine dalimi. Jo spindulys r1 =
0,24 m. Apskaičiuokite mažojo krumpliaračio taškų A, B, D, E greičius, jeigu žinoma, kad BE
statmena AD. Raskite mažojo krumpliaračio kampinį greitį.
SPRENDIMAS. Mažojo krumpliaračio taško C, sutampančio su besisukančio skriejiko OC
tašku, greitį apskaičiuojame iš formulės
O

D
v D
r1
v B
O
ω
D
r2
4.14 pav., a
v C
E
B
C
v E
B
E
C
A
A
ω1
113
vC=w×OC=w(r1-r2)=5(0,24-0,08)=0,8 m/s.
Mažojo krumpliaračio greičių centras yra
taške A (4.14 pav., b), vadinasi,
vA = 0 ,
o mažasis krumpliaratis tuo momentu sukasi
apie tašką A.
Tada
vC = w1 × AC ,
čia w1 - mažojo krumpliaračio kampinis
greitis. Todėl
v C
0,
8
ω 1 = = = 10 rad/s .
AC 0,
08
Kampinio greičio w1 kryptį nusako žinoma
greičio v C kryptis (4.14 pav., b).
Žinodami krumpliaračio greičių centrą
ir kampinį greitį, galime lengvai apskaičiuoti
krumpliaračio bet kurio taško greičio modulį:
vB = w1 × AB = 10 × 0,113 = 1,13 m/s ,
vD = w1×AD = w1×2r2 = 10×0,16=1,6 m/s ,
vE = w1 × AE = 10×0,113 = 1,13 m/s;
2 2
čia AB = AE = r + r = 0,
113 m .
4.14 pav., b
Šių taškų greičiai statmeni tiesėms,
jungiančioms tuos taškus su greičių centru A kampinio greičio w1 kryptimi (4.14 pav., b).
Todėl, nors
bet
vB = vE ,
vB ≠ vE
.
5. Vato mechanizmo skriejikas O1A, sukdamasis apie ašį O1, per švaistiklį AB suka skriejiką
OB, laisvai įtvirtintą ant ašies O. Ant tos pačios ašies O įtvirtintas ratas I. Švaistiklis AB
standžiai sutvirtintas su ratu II. Apskaičiuokite skriejiko OB ir rato I kampinius greičius tuo
laiko momentu, kai a = 60 o , b = 90 o , jeigu r1 = r2 = 0,52 m, O1A = 0,75 m, AB = 1,5 m ir
skriejiko O1A kampinis greitis wOA = 6 rad/s .
2
2

α
ωOA
O1
114
SPRENDIMAS. Apskaičiuojame taško A greitį.
Taškas A sukasi apie nejudamą ašį O1 kampiniu
greičiu wOA = 6 rad/s , todėl jo greitis
vA = wOA × OA = 6 × 0,75 = 4,5 m/s .
II
B
β
I
O
Greitis v A yra statmenas sukimosi spinduliui
O1A kampinio greičio wOA kryptimi (4.15 pav., b).
Taškas B sukasi apie nejudamą ašį O, todėl jo
greičio vektorius yra statmenas sukimosi spinduliui
OB (4.15 pav., b). Kadangi skriejikas O1A Vato
mechanizme yra varantysis, tai v B kryptis priklauso
4.15 pav., a
nuo v A krypties. Sąlygoje pasakyta, kad švaistiklis
AB standžiai sutvirtintas su ratu II, tai jų greičių
centras yra statmenų, nubrėžtų į greičius v A ir v B , susikirtimo taške D (4.15 pav., b).
Pasinaudodami šiuo greičių centru, galime apskaičiuoti taško B greitį vB ir skriejiko OB
kampinį greitį wOB :
v A
II
B
A
v B
A
α
ωOA
β
C
v C
I
O1
ωOB
O
ω1
4.15 pav., b
AD
v
BD
vA = wAB×AD , (a)
vB = wAB×BD. (b)
Iš (a) ir (b) lygčių išsireiškę wAB ir
palyginę, gauname proporciją:
D ω AB =
AB = ω
v A
AD
vB BD
v A B
= . (c)
Kaip matome, kūno taškų greičiai proporcingi tų taškų atstumams iki greičių centro. Šia
lygybe patogu naudotis tuo atveju, kai nereikia apskaičiuoti kūno kampinio greičio.
Iš (c) lygybės apskaičiuojame vB:
čia
v
B
v ⋅ BD
A
= =
AD
4,
5 ⋅ 2,
6
3
AB 1,
5
AD = = =
o
sin 30 0,
5
BD =
AD
2
− AB
2
=
=
3 m
3
2
3,
9 m/s
,
2
− 1,
5
;
=
,
,
2,
6 m .

Kadangi taškas B yra skriejiko OB taškas, tai
ω
OB
=
v B
OB
115
3,
9 3,
9
= = =
2 ⋅ 0,
52 1,
04
3,
75 rad/s
Kampinio greičio wOB kryptį nusako žinoma greičio v B kryptis (4.15 pav., b).
Ant rato II paviršiaus pažymėję tašką C, jo greičiui apskaičiuoti panaudojame tą patį
greičių centrą D (nes švaistiklis standžiai sutvirtintas su ratu II). Apskaičiuojame šio taško
greitį:
čia
AD
v
,
CD
v A C
=
v
C
v ⋅ CD A
= =
AD
4,
5 ⋅ 2,
08
= 3,
12
3
m/s ;
CD = BD - r2 = 2,6 - 0,52 = 2,08 m .
Vektorius v C statmenas spinduliui CD ir nukreiptas ta pačia kryptimi kaip ir vektorius v B .
Taškas C yra ratų I ir II susilietimo taškas, taigi jis priklauso ir ratui I, besisukančiam apie ašį
O, todėl galime užrašyti, kad
Iš čia:
vC = w1 × r1 .
ω
1
=
v
r
C
1
=
3,
12
0,
52
=
6 rad/s
6. Rūdos rūšiavimo mechanizme skriejikas O1A tolygiai sukasi apie ašį O1 kampiniu greičiu
60 sūk./min . Švaistiklis AB perduoda judesį strypui O2B, besisukančiam O2 ašies atžvilgiu
(4.16 pav., a). O1A = O2B = AB = 0,2 m , O1O2 = 0,08 m . Apskaičiuokite taško B greitį
dviejose mechanizmo padėtyse:
1) taškas A yra centrų O1O2 tiesės tęsinyje kairėje (4.16 pav., b ),
2) taškas B yra pratęstoje į dešinę centrų linijoje O1O2 (4.16 pav., c ).
SPRENDIMAS. Apskaičiuojame skriejiko O1A kampinį greitį:
ω
1
πn
π ⋅ 60
= = = 2π
rad/s .
30 30
Greitį vA apskaičiuojame kaip besisukančio skriejiko O1A taško greitį:
vA = w1 × O1A = 2p × 0,2 = 0,4p m/s .
.
.

A
v A
A
B
greičių centro, tai
Iš čia
B
O1 O2
4.16 pav., a
v B O1 O2
ω
116
Kadangi taškas A sukasi apie nejudantį
tašką O1, tai v A ⊥O
1A
. Lygiai taip pat
taškas B sukasi apie nejudantį tašką
O2, todėl vB⊥ O 2B
. Taigi žinome
švaistiklio AB dviejų taškų A ir B
greičių veikimo tieses ir galime rasti to
strypo greičių centrą. Per taškus A ir B
nuleidžiame statmenis į greičius v A ir
v B . Tie statmenys kertasi taške O2,
kuris ir yra švaistiklio AB greičių
centras (4.16 pav., b). Kadangi taškų
greičiai proporcingi atstumams iki
4.16 pav., b 4.16 pav., c
v
v
B
A
O B 2
= =
O A
2
0,
2
0,
28
.
ω
O1
v A
A
O2
0,
2 0,
2
= v = 0,
4π
= 0,
898 m/s .
0,
28 0,
28
v B
A
Antruoju atveju švaistiklio AB greičių centras yra taške O1 (4.16 pav., c), todėl
Iš čia gauname:
v
v
B
A
O 1B
0,
28
= = .
O A 0,
2
1
0,
28
= v = 1,
4 ⋅ 0,
4π
= 1,
76 m/s .
0,
2
v B
A
v B
B

117
7. Krumpliaratis, kurio spindulys r1 = 0,15 m, sukasi apie nejudantį šarnyrą O kampiniu
greičiu w1 = 3 rad/s . Ta pačia kryptimi kampiniu greičiu w0 = 2 rad/s sukasi strypas OA =
0,2 m . Apskaičiuokite krumpliaračio, kurio ašis A sutvirtinta su strypo OA galu, kampinį
greitį (4.17 pav., a).
SPRENDIMAS. Apskaičiuojame strypo taško
A greitį (4.17 pav., b):
r1
O
ω0
ω1
r2
A
vA = w0 × OA = 2 × 0,2 = 0,4 m/s .
Taško B (4.17 pav., b), kuriame liečiasi abu
krumpliaračiai (bet ne strypo taško), greitis
vB = w1 × r1 = 3 × 0,15 = 0,45 m/s .
Turime dviejų mažojo krumpliaračio taškų A ir
B greičius. Taškai A ir B yra tiesėje,
4.17 pav., a
statmenoje greičių vektoriams v A ir v B .
Todėl greičių centrą P galime rasti tiesių BA ir
B'A' susikirtime (4.17 pav., b).
Mažojo krumpliaračio kampinis greitis
r1
v B
O
ωO
C
B
B '
ω1
v B
r2
A '
v A
A
4.17 pav., b
Palyginę (a) ir (b) lygybes, matome, kad
nes
ω
2
=
v
B
− v
r
2
A
ω2
=
0,
45
P
−
0,
05
0,
4
v A
ω 2 = , (a)
AP
bet iš trikampių AA'P ir CB'A'
panašumo išplaukia, kad AA':AP =
CB':CA', arba
AA
′ CB′
=
AP CA
′
,
arba
v A vB
− vA
=
AP r
. (b)
2
= 1 rad/s ,
r2 = OA - r1 = 0,2 - 0,15 = 0,05 m .
8. Skriejiko - slankiklio mechanizmo švaistiklio AB vidurinis taškas C šarnyriškai sujungtas
su strypu CD, o šis - su strypu DE, kuris svyruoja apie ašį E. Apskaičiuokite strypo DE
kampinį greitį, kai mechanizmas yra 4.18 pav., a , pavaizduotoje padėtyje, taškai B ir E yra
vienoje vertikalėje, skriejiko OA kampinis greitis wOA = 8 rad/s ,
OA = 0,25 m, DE = 1 m, ŠCDE = 90 o , ŠBED = 30 o .

ω
O
A
C
118
SPRENDIMAS. Taškas A
sukasi apie nejudamą tašką O.
Jo greitis
vA = wOA×OA = 8×0,25 = 2 m/s
D
yra statmenas sukimosi
spinduliui OA ir nukreiptas
kampinio greičio wOA kryptimi
(4.18 pav., b).
Slankiklio B greičio
E
kryptis žinoma, t.y. taško B
4.18 pav., a
greitis nukreiptas tiese BA (4.18
pav., b). Randame švaistiklio
AB greičių centrą. Tam nuleidžiame statmenis į greičius v A ir v B . Kaip matome iš 4.18
pav., b, tiesė AB statmena greičiui v A , o tiesė Bb statmena greičiui v B . Jos kertasi taške B.
Vadinasi, taškas B yra švaistiklio AB greičių centras, todėl vB = 0. Rašome proporciją:
O
ωOA
F
v A
A
60 0
D
30 0
v C
v D
C
ωAB
v B
ωDE
30 0
b
B
B
AB
v
v A C
= ,
v
C
CB
1
v ⋅ AB
A
v ⋅ CB A
= =
2
=
AB AB
v A
=
2
= 1 m/s .
4.18 pav., b
E
Taškas D sukasi apie nejudamą
ašį E, todėl greitis v D yra
sukimosi spindulio DE statmuo
(4.18 pav., b).
Turėdami strypo DC dviejų taškų D ir C greičių kryptis, randame šio strypo greičių
centrą. Tam brėžiame statmenis greičiams v D ir
taškas F yra strypo DC greičių centras.
Rašome proporciją:
v C . Šie statmenys kertasi taške F. Vadinasi,
čia
vC D = ,
CF
v
D
v
DF
v ⋅ DF C 1⋅
1
= = = 0,
5 m/s ;
CF 2
DF o
= sin 30 =
CF
1
.
2
Taško D greitį galime rasti ir kitu būdu (žr. 4.2.2 sk. greičių projekcijų teoremą) -
v ir v C į tiesę DC. Gauname, kad vD = vC cos60 o = 0,5 m/s .
Bet taškas D yra ir skriejiko DE taškas, todėl
projektuodami D

ω
DE
=
v D
DE
119
0,
5
= =
1,
0
0,
5 rad/s
9. Prie cilindro šarnyru pritvirtintas strypas AB. Cilindrui riedant į kairę, strypo AB galas B
slysta vertikalia siena. Apskaičiuokite taško B greitį, kai 4.19 pav., a , nurodytas 45 o kampas.
A
45 0
B
4.19 pav., a 4.19 pav., b
Cilindro lietimosi su nejudamu paviršiumi taškas C1 yra jo greičių centras. Cilindrui
priklausančio taško A greičio vektorius statmenas taško A atstumui iki greičių centro C1.
Taškas A priklauso ir strypui AB. Kadangi AC1, kaip ir AB, su horizontale sudaro 45 o kampą,
v yra statmenas ir strypui AB.
A
Taško B greičio vektorius v B gali būti tik vertikalus, nes strypo AB galas B slysta
vertikalia siena.
Nustatome strypo AB greičių centrą, jam esant 4.19 pav., b, nurodytoje padėtyje. Tam
iš taškų A ir B nuleidžiame statmenis į greičių vektorius v A ir v B . Kaip matome iš 4.19
pav., b, statmenys kertasi taške B. Taigi šis taškas ir yra greičių centras C2. Vadinasi, taško B
greitis tuo momentu lygus nuliui (vB = 0).
10. Dviejų pakopų skridinys (spinduliai r = 0,05 m ir R = 0,1 m) pakabintas ant dviejų
virvių (4.20 pav., a). Virvės BD galas D traukiamas į viršų pagal dėsnį sD = 0,01t 3 m .
Apskaičiuokite skridinio taško A greitį laiko momentu t = 1 s, laikydami, kad virvė
nepraslysta.
SPRENDIMAS. Žinome virvės taško D judėjimo lygtį, todėl galime apskaičiuoti šio taško
greitį:
v
D
=
s′
D
=
( 0,
01t
3
) ′ =
0,
03t
.
C1
2
v A
m/s .
A
45 0
B
C2

E
R
r
D
C B
SD(t)
120
E
ω C v
A
A
4.20 pav., a 4.20 pav., b
Kadangi virvės BD visų taškų greičiai vienodi (virvė slenka) (4.20 pav., b), tai
vB = vD = 0,03t 2 m/s .
Skridinys rieda (plokščiasis judėjimas), jo taško E greitis lygus nuliui vE = 0, nes
taškas E liečiasi su nejudančia virve (4.20 pav., b). Vadinasi, taškas E yra skridinio greičių
centras ir jo riedėjimą galima pakeisti sukimusi apie greičių centrą E. Tada taško B greitis
vB = w × EB .
Iš šios formulės galima apskaičiuoti skridinio kampinį greitį:
C
2
2
v 2
D
v D
v B
B
v A
B 0,
03t
0,
03t
ω = = = = 0,
2t
rad/s .
EB R + r 0,
15
Skridinys rieda sukdamasis apie greičių centrą E prieš laikrodžio rodyklę. Tokią sukimosi
kryptį lemia greičio v B kryptis (4.20 pav., b). Žinodami skridinio kampinį greitį w, galime
apskaičiuoti taško A greitį:
v
A
= ω⋅
AE
=
0,
2t
2
R
2
+ R
2
=
0,
2t
2
R
2 =
0,
2t
2
⋅
0,
1
⋅
1,
41
=
SD(t)
0,
028t
2.
m/s .
Greičio v A vektorius yra statmenas sukimosi spinduliui AE ir nukreiptas skridinio sukimosi
kryptimi.
Laiko momentu t = 1 s, vA = 0,028 m/s .
11. Dviejų pakopų būgnas A (spinduliai r = 0,1 m, R = 0,2 m) sukasi apie ašį O pagal dėsnį
jA = t 2 - 3t rad . Ant būgno užvyniota virvė juosia skridinį B (4.21 pav., a).

121
Apskaičiuokite taškų C, D ir E greičius laiko momentu t = 1 s, laikydami, kad virvė
nepraslysta. Taip pat apskaičiuokite skridinio B kampinį greitį wB.
D
B
A
ϕ(t)
O
C
r R
4.21 pav., a
E
v F
A
r R
O
F G
v D
D
ϕA
B
v C
C
x
P
v G
ωB
4.21 pav., b
SPRENDIMAS. Žinodami būgno A sukimosi dėsnį, galime apskaičiuoti jo kampinį greitį:
( t 3t)
2t
3 rad/s .
2
ω = ϕ′ = − ′ = −
A
A
Laiko momentu t = 1 s, wA = 2×1 - 3 =-1 rad/s . Minuso ženklas reiškia, kad būgnas A šiuo
laiko momentu sukasi laikrodžio rodyklės kryptimi (4.21 pav., b). Būgnas A sukasi apie ašį O
kampiniu greičiu wA , todėl galime apskaičiuoti taškų F ir G greičius:
vF = |wA| × R = |2t-3| × 0,2 m/s ,
vG = |wA| × r = |2t-3| × 0,1 m/s .
Greičių formulėse imame kampinio greičio wA modulį, nes jo kryptį jau įvertinome, brėžinyje
pažymėdami wA laikrodžio rodyklės kryptimi (4.21 pav., b).
v yra statmenas R, o v F
G statmenas r. Jie nukreipti kampinio greičio wA kryptimi.
Būgną A ir skridinį B juosia virvės, todėl taškų F ir D bei E ir G greičiai vienodi:
vF = vD = |wA| × R = |2t-3| × 0,2 m/s ,
vE = vG = |wA| × r = |2t-3| × 0,1 m/s .
Laiko momentu t =1 s, vF = 0,2 m/s, vE = 0,1 m/s .
Skridinys B rieda. Kadangi jo taškų D ir E vektoriai lygiagretūs ir statmeni taškus
jungiančiai tiesei DE, greičių centras yra per vektorių v D ir v E viršūnes nubrėžtos tiesės ir
tiesės DE susikirtimo taškas P (4.21 pav., b). Greičių centro vietą nustatysime iš proporcijos:
v
v
DP
EP
D = ,
E
ωA
E
v E

122
R + r 0,
2 + 0,
1
DC = = =
2 2
DP = DC + x = 0,15 + x ,
EP = 0,15 - x ,
0,
2
0,
1
0,
15 + x
= ,
0,
15 − x
0,2(0,15 - x) = 0,1(0,15 + x) ,
0,03 - 0,2x = 0,015 + 0,1x ,
0,015 = 0,3x ,
0,
015
x = =
0,
3
0,
05 m .
0,
15 m
Žinodami skridinio B greičių centro P vietą, galime apskaičiuoti jo kampinį greitį:
vD = wB × DP ,
ω
B
=
v D
DP
=
0,
15
0,
2
+
0,
05
=
0,
2
0,
2
,
= 1 rad/s .
Skridinio B sukimosi kampinio greičio kryptį nusako jau žinomos taškų D ir E greičių
v (4.21 pav., b). Apskaičiuojame taško C greitį:
kryptys v D , E
v C yra sukimosi spindulio CP statmuo.
vC = wB × CP = 1 × 0,05 = 0,05 m/s .
12. Dviejų pakopų ir vienalytis ritiniai A ir B neslysdami rieda tiesinėmis kreipiamosiomis.
Ritiniai tarpusavyje sujungti ant jų užvyniota virve (4.22 pav., a). Ritinio A taškas C juda
pagal dėsnį sC = 0,2t - 0,05t 2 m .
Apskaičiuokite ritinio B taško D greitį laiko momentu t = 1 s, jeigu R=2r=0,1 m,
laikydami, kad virvė ritinių paviršiais neslysta.
SPRENDIMAS. Žinodami taško C judėjimo lygtį sC(t), galime apskaičiuoti jo greitį:
Laiko momentu t = 1 s
v
C
= s′
C
=
( 0,
2t
−
0,
05t
2
) ′ =
0,
2
−
0,
1t
m/s .

SC(t)
R
A
SC(t)
A
R
v G
r
C
r
C
4.22 pav., a
E
G
v C
ωA
B
R
4.22 pav., b
v K K
R
B
v O
ωB
O
N
123
v D
D
D
sC(t) = 0,2×1 - 0,05×1 = 0,15 m ,
vC = 0,2 - 0,1×1 = 0,1 m/s .
Taško C greičio vektorius
v C nukreiptas taško C judėjimo
kryptimi (4.22 pav., b).
Riedančio ritinio A greičių
centras yra taške E,
vE = 0, nes tame taške ritinys
liečiasi su nejudama kreipiamąja
(4.22 pav., b). Žinodami ritinio A
taško C greitį ir ritinio greičių
centrą, galime apskaičiuoti ritinio
A kampinį greitį:
vC = wA × CE .
Iš čia:
ω
A
vC 0,
2 − 0,
1t
= = =
CE R − r
0,
2 − 0,
1t
= = 4 − 2t
rad/s .
0,
05
Iš greičio v C krypties matome,
kad ritinys A sukasi apie greičių
centrą E pagal laikrodžio rodyklę.
Taško G greitis
vG = wA × GE = (4 - 2t)(R - r) = (4 - 2t) × 0,05 = 0,2 - 0,1t m/s.
v G yra statmenas GE ir nukreiptas kampinio greičio wA kryptimi.
Virvės, jungiančios ritinius A ir B, visų taškų greičiai lygūs ir lygiagretūs, todėl
v = v , v =
K G K
0,
2
−
0,
1t
m/s .
Ritinio B greičių centras yra taške N, ten, kur ritinys B liečiasi su nejudamu
paviršiumi, todėl vN = 0. Žinodami ritinio greičių centrą ir jo taško K greitį, galime
apskaičiuoti ritinio B kampinį greitį:
ω
B
=
v K
KN
0,
2 − 0,
1t
0,
2 − 0,
1t
= = = 1 − 0,
5t
rad/s .
2R
0,
2
Iš greičio K
v krypties nustatome, kad ritinys B sukasi apie greičių centrą N prieš
laikrodžio rodyklę.

Taško D greitis lygus:
= ω
v D B
⋅ DN =
Laiko momentu t = 1 s
( 1
−
0,
5t
)
⋅ R
124
2
=
( 1
−
0,
5t
)
⋅
0,
1
vD = 0,141 - 0,0705 = 0,0705 m/s .
v yra statmenas DN ir nukreiptas kampinio greičio wB kryptimi.
D
⋅
1,
41
=
0,
141
−
0,
0705t
m/s .
13. Apskaičiuokite 4.23 pav., a, nurodytoje padėtyje esančio skriejiko - slankiklio
mechanizmo taškų A, B, D ir M greičius. Skriejiko OA kampinis greitis wOA = 1,5 rad/s , OA
= AB = AD = 2AM = 0,4 m , ŠAOD = 30 o .
O
B
ωOA
30 0
A
M
D
60 0
O
B
v B
ωOA
30 0
30 0
vA
A
v M
4.23 pav., a 4.23 pav., b
SPRENDIMAS. Taško A greičio vektorius v statmenas OA ir nukreiptas skriejiko
A
OA kampinio greičio wOA kryptimi (4.23 pav., b). Jo dydį apskaičiuojame iš formulės:
vA = R × w = OA × wOA = 0,4 × 1,5 = 0,6 m/s .
Taškų B, D ir M greičius apskaičiuokime greičių centro metodu.
Iš 4.23 pav., a, matome, kad taškas B gali judėti vertikaliai, o taškas D - horizontaliai,
todėl ir jų greičių vektoriai nukreipti šiomis kryptimis (4.23 pav., b). Brėždami dviejų
švaistiklio BD taškų greičių vektorių statmenis, nustatome greičių centro C padėtį.
Taškų B, D ir M greičių dydžius apskaičiuojame iš formulių:
vB = BC × wBD ,
v D
30 0
ωBD
vD = DC × wBD , (a)
vM = MC × wBD ;
čia wBD - švaistiklio kampinis greitis, o BC, DC ir MC - taškų B, D ir M atstumai iki greičių
centro.
Švaistiklio BD kampinį greitį apskaičiuojame iš formulės:
M
C
D

125
vA = AC × wBD, čia AC = OA (žr. 4.23 pav., b),
ω
BD
=
v A
AC
0,
6
= =
0,
4
BC ir DC apskaičiuojame iš stačiojo trikampio ODC:
1,
5 rad/s
BC = OD = OC cos30 o = 0,69 m ,
DC = OC sin30 o = 0,4 m .
MC yra lygiakraščio trikampio ACD aukštinė, todėl MC = CD sin60 o = 0,35 m .
Į (a) lygybes įrašę gautas reikšmes, apskaičiuojame taškų B, D ir M greičius:
vB = 0,69 × 1,5 = 1,04 m/s ,
vD = 0,4 × 1,5 = 0,60 m/s ,
vM = 0,35 × 1,5 = 0,52 m/s .
Taško M greičio vektorius, būdamas statmenas spinduliui MC, šiuo atveju sutampa su
grandimi BD ir nukreiptas taško C atžvilgiu tokia pat kryptimi kaip ir kitų taškų greičiai.
Kaip matome iš 4.23 pav., b, taškų A, B, D ir M greičių kryptys, t.y. kampai, kuriuos
šių taškų greičių vektoriai sudaro su švaistikliu BD, yra žinomi. Todėl taškų B, D ir M greičių
dydžius šiuo atveju galima apskaičiuoti ir paprasčiau, t.y. taikant greičių projekcijų teoremą
.
v cos 30
cos 60
vA cos30 o = vB cos60 o o
, iš čia v B =
A
o = 1,
04 m/s ;
vA cos30 o = vD cos30 o , iš čia vD = 0,6 m/s ;
vA cos30 o = vM cos0 o , iš čia vM = vA cos30 o = 0,52 m/s .
4.3. Plokščiai judančio kūno taškų pagreičiai
Plokščiai judančio kūno taškų pagreičius galima skaičiuoti dviem būdais: 1) poliaus
metodu (tai pagrindinis metodas plokščiai judančio kūno taškų pagreičiams rasti) ir
2)pagreičių centro metodu.
4.3.1. Poliaus metodas
Plokščiai judančio kūno taško pagreitį galima apskaičiuoti pagal formulę, analogišką
4.2.1 skyriuje pateiktai formulei (4.2):
a = a + a . (4.7)
A
B
AB
Taigi taško A pagreitis a A susideda iš laisvai pasirinkto taško B (poliaus) pagreičio a B
(keliamasis pagreitis) ir taško A sukimosi apie polių B pagreičio a AB (reliatyvusis pagreitis).

126
Kadangi kūno taško A keliamasis judėjimas yra slinkimas, tai jo Koriolio pagreitis lygus
nuliui ( a C = 0 ).
normaliniu
Vektorius
Sprendžiant uždavinius, patogiau vektorių a AB pakeisti jo tangentiniu τ
a ir
n
a komponentais:
AB
τ
AB
a
τ
AB
= ε ⋅ AB,
a
n
AB
= ω
2
⋅ AB .
a nukreiptas statmenai teisei AB kūno sukimosi kryptimi, jei judėjimas
greitėjantis (4.24 pav., a), ir priešinga kryptimi, kai judėjimas lėtėjantis (4.24 pav., b).
n
Vektorius a visada nukreiptas iš taško A į polių B (4.24 pav., a, b).
normalinio
AB
Tuomet vietoje (4.7) lygybės gauname:
τ n
A = a B + a a
AB AB
a +
. (4.8)
Jei polius B juda ne tiesia eiga, tai jo pagreitis taip pat susidės iš tangentinio
ω
n
a pagreičių, tada:
ε
B
AB
a B
τ
a AB
n
a AB
4.24 pav., a
A
a B
τ n τ n
A = a + a + a a
B B AB AB
a +
ω
AB
τ
a ir
AB
. (4.9)
B
a B
ε
n
a AB
A B a
4.24 pav., b
Sprendžiant uždavinius, kūną (arba mechanizmą) reikia atvaizduoti toje padėtyje,
kurioje ieškoma atitinkamo taško pagreičio. Poliumi pasirenkamas taškas, kurio greitis ir
pagreitis žinomi arba nesunkiai apskaičiuojami iš uždavinio sąlygos duomenų. Tolesnė
uždavinių sprendimo eiga ir jos ypatumai išnagrinėti žemiau pateiktuose pavyzdžiuose.
Pavyzdžiai
1. Tramvajaus vagonas važiuoja lėtėdamas tiesia horizontalia kelio atkarpa. Tam tikru laiko
momentu jo greitis v0=1 m/s, o pagreitis a0=2 m/s 2 . Ratai rieda bėgiais neslysdami.
τ
a AB

127
Apskaičiuokite ratą sukančio rotoriaus taškų M1, M2, M3, M4 pagreičius, jeigu rato
spindulys R = 0,5 m , o rotoriaus r =0,25 m (4.25 pav., a).
M3
a 0
M4
45 0 45 0
O
4.25 pav., a
M2
v 0
M1
apskaičiuosime rato kampinį pagreitį:
a 0
a 0
x
y
45 0
y
x
45 0
a
τ
M30
a
M3
n
M40
a
M4
τ
M40
a
n
M30
SPRENDIMAS. Kadangi ratas rieda bėgiu
neslysdamas, tai taško C greitis vC = 0, t.y.
taškas C yra rato greičių centras (4.25 pav., b).
Todėl rato kampinis greitis
v 0
1
ω = = = 2 rad/s .
(a)
OC 0,
5
Kampinio greičio w kryptis nustatoma pagal
greičio v 0 kryptį (4.25 pav., b).
Kadangi (a) lygtyje dydis OC = R yra
pastovus esant bet kuriai rato padėčiai, tai
diferencijuodami šią lygtį laiko atžvilgiu,
⎛ v0
⎞
d⎜
⎟
dω OC 1 dv 0 a 0 2
2
ε = =
⎝ ⎠
= = = = 4 rad/s . (b)
dt dt OC dt OC 0,
5
M3
a 0
M4
C
O
ω
M2
v 0
M1
ε
4.25 pav., b
a 0
y
45 0
x
y
a 0 0
45
Sąlygoje pasakyta, kad vagonas važiuoja lėtėdamas, vadinasi, greičio v 0 ir pagreičio
a 0 kryptys priešingos, taigi ir kampinio pagreičio e kryptis priešinga kampinio greičio w
krypčiai (4.25 pav., b).
Svarbu įsiminti, kad kampinis pagreitis e apskaičiuojamas iš (b) lygties tik tada, kai
atstumas OC (a) formulėje yra pastovus. Taip pat nereikia manyti, kad, jei pagal uždavinio
sąlygą v0 = 1 m/s , tai dydis v0 yra pastovus. Greičio v0 reikšmė uždavinyje nurodyta tik tuo
laiko momentu. Greitis v0, ilgainiui kinta, nes a0 ¹ 0.
dv 0
Nagrinėjamu atveju = a 0 , nes taško judėjimas yra tiesiaeigis. Bendruoju atveju
dv 0
dt
τ
= a
0
.
dt
x
a
a
τ
M20
a
n
M20
n
M10
M2
M1
a
τ
M10

128
Apskaičiuojame taško M1 pagreitį, kaip polių pasirinkdami tašką O (nes žinome taško
O pagreičio modulį ir kryptį):
čia
τ n
M = a0
+ a
1
M 1 0 aM
1 0
a +
a
τ
M1 0
n
a M1
0
= ε ⋅
= ω
2
M
1
O
1
; (c)
= ε ⋅ r = 4 ⋅ 0,
25 = 1 m/s
2
⋅ M O = 2
⋅ 0,
25 = 1 m/s
4.25 pav., b, tašką M1 pavaizdavę atskirai, brėžinyje parodome jo pagreičius: vektorių a 0 (jį
perkeliame iš taško O), vektorių
vektorių
n
M1 0
τ
M1 0
a - apskritimo liestinę taške M1 (^OM1) e kryptimi ir
a - į kreivumo centrą (iš M1 poliaus O link). Per tašką M1 nubrėžę koordinačių
ašis M1x, M1y ir į jas suprojektavę vektorinės lygybės (c) visus narius, t.y. brėžinyje atidėtus
pagreičio komponentus, apskaičiuojame taško M1 pagreitį:
a
a
a
o τ
M X = a 0 cos 45 − a
1
M1
0
o n
M y = a 0 cos 45 + a
1
M1
0
2 2
M = a M x+
a
1
1 M1y
=
2
.
2
= 2 ⋅ 0,
707 − 1 = 0,
414 m/s
= 2 ⋅ 0,
707 + 1 = 2,
41 m/s
0,
414
2
+ 2,
41
Skaičiuodami taško M2 pagreitį, poliumi vėl imame tašką O:
τ 2 n
2
M 2 0
M 0
τ n
M = a 0 + a
2
M 2 0 a M 2 0
a +
2
,
=
2,
45 m/s
; (d)
čia a = 1 m/s , a = 1 m/s , nes M1
ir M2 taškų atstumai iki poliaus O tie patys, t.y.
2
lygūs r.
Šiuos pagreičio komponentus parodome 4.25 pav., b, tašką M2 pavaizduojame atskirai.
Suprojektuojame visus vektorinės lygybės (d) narius (brėžinyje parodytus pagreičio
komponentus) į per tašką M2 nubrėžtas koordinačių ašis M2x, M2y :
Taško M2 pagreitis
a
a
a
o n
M x = a 0 cos 45 + a
2
M 2O
o τ
M y = a 0 cos 45 + a
2
M 2O
2 2
M = a M x + a
2
2 M 2y
Analogiškai apskaičiuojame taškų M3 ir M4 pagreičius:
=
τ n
M = a 0 + a
3
M 3 0 a M 3 0
a +
a
= 2 ⋅ 0,
707 + 1 = 2,
41 m/s
= 2 ⋅ 0,
707 + 1 = 2,
41 m/s
2,
41
τ 2 n
2
M 0 = 1 m/s , a
3
M 0 =
1 m/s
3
2
+ 2,
41
2
=
3,
41 m/s
, (e)
.
2
2
2
.
2
2
.
,
2
,
.
,

a
a
a
a
a
a
a
a
129
o τ
M x = a 0 cos 45 + a
3
M 3O
M 3y
= a
0
cos 45
o
− a
2 2
M = a M x + a
3
3 M 3y
n
M 3O
=
τ n
M = a 0 + a M 0 + a
4
4 M 4 0
τ
M 4 0
= 1 m/s
2
,
a
n
M 4 0
o n
M x = a 0 cos 45 − a
4
M 4O
o τ
M y = a 0 cos 45 − a
4
M 4O
2 2
M = a M x + a
4
4 M 4y
= 2 ⋅ 0,
707 + 1 = 2,
41 m/s
= 2 ⋅ 0,
707 − 1 = 0,
414 m/s
2,
45 m/s
,
= 1 m/s
=
2
,
2
.
= 2 ⋅ 0,
707 − 1 = 0,
414 m/s
= 2 ⋅ 0,
707 − 1 = 0,
414 m/s
0,
414
2
+
0,
414
2
=
2
,
2
2
2
0,
586 m/s
2. Skriejikui OA sukantis apie brėžinio plokštumai statmeną ašį O kampiniu greičiu wOA = 2
rad/s ir kampiniu pagreičiu eOA = 4 rad/s 2 , cilindras I neslysdamas rieda nejudančiu cilindru II.
Apskaičiuokite judančio cilindro taško B pagreitį tuo laiko momentu, kai kampas a = 60 o ,
jeigu r1 = 0,05 m , r2 = 0,15 m .
a
n
A
= ω
2
OA
εOA
II
B
ωOA
O
α
2
r1
2
A
4.26 pav., a
⋅ OA = 2
⋅(
r
I
r2
1
SPRENDIMAS. Apskaičiuojame taško A greitį ir
pagreitį. Taškas A sukasi apie nejudamą ašį O, jo
greitis v A nukreiptas statmenai sukimosi
spinduliui OA kampinio greičio wOA kryptimi
(4.26 pav., b), o jo dydis
vA = wOA OA = wOA×(r2-r1) = 2×0,1 = 0,2 m/s .
Taško A pagreitis
n τ
A = a A + a A
a ,
τ
A
− r ) = 4 ⋅ 0,
1 = 0,
4 m/s
a = ε ⋅ OA = 4 ⋅ ( r − r ) = 4 ⋅ 0,
1 =
2
.
OA
2
1
,
,
,
2
.
0,
4 m/s
Kadangi skriejiko OA kampinio greičio wOA ir kampinio pagreičio eOA kryptys vienodos,
τ
skriejikas sukasi greitėdamas, todėl greičio v A ir tangentinio pagreičio a A kryptys vienodos
n
(4.26 pav., b). Normalinis pagreitis a A nukreiptas iš taško A į sukimosi ašį O.
Cilindras I rieda nejudamu cilindru II neslysdamas, kai cilindro I taškas P, kuriuo jis
liečiasi su cilindru II, nejuda. Taško P greitis tuo momentu lygus nuliui, vp = 0. Šis taškas yra
(f)
2
,

130
cilindro I greičių centras. Pasinaudodami šiuo greičių centru, apskaičiuojame cilindro I
kampinį greitį:
v ω ⋅(
r − r )
A OA 2 1
ω 1 = =
.
AP r1
Kadangi dydis AP = r1 yra pastovus bet kurioje cilindro I padėtyje, tai kampinis pagreitis
τ
dω1
( r2
− r1
) dωOA
( r2
− r1
) a A
ε 1 = =
= ⋅ εOA
= .
dt r1
dt r1
r1
Kampinio greičio w1 kryptis nustatoma pagal greičio v A kryptį (4.26 pav., b). Kadangi
kampinio pagreičio e1 ženklas tas pats, tai cilindras I sukasi greitėdamas. Apskaičiuojame
taško B pagreitį, poliumi pasirinkdami tašką A :
čia
a
a
n
BA
τ
BA
= ω
= ε
Pagreitis
2
1
1
ω
⋅ AB =
( r
⋅ AB =
n
BA
2
OA
2
( r
r
r
n τ n τ
B = a A + a A + a BA + a BA
a ; (a)
2
2
1
− r
− r ) ⋅ ε
1
1
1
OA
)
2
2
⋅ AB =
⋅ AB =
2
( 0,
15
( 0,
15
−
−
0,
05
0,
05
0,
05)
2
0,
05)
a nukreiptas iš taško B poliaus A link, o
2
⋅ 0,
05 =
⋅ 4
⋅ 0,
05 =
0,
8 m/s
0,
4 m/s
2
τ
a BA - apskritimo liestine taške
B kampinio pagreičio e1 kryptimi (4.26 pav., b). Per tašką B nubrėžę ašis Bx, By ir į jas
suprojektavę vektorinės lygybės (a) abi puses, apskaičiuojame pagreitį aB :
Bx
n
BA
n
A
o
τ
A
a = a − a cos 60 − a cos 30 = 0,
8 − 0,
4 ⋅ 0,
5 − 0,
4 ⋅ 0,
866 =
By
τ
BA
n
A
o
τ
A
a = a − a cos 30 + a cos 60 = 0,
4 − 0,
4 ⋅ 0,
866 + 0,
4 ⋅ 0,
5 =
B
2
Bx
2
By
2
a = a + a = 0,
254 + 0,
254 = 0,
254 2 = 0,
358 m/s .
Kadangi aBx = aBy, tai pagreitis a B sudaro 45 o kampą su ašimis.
o
o
2
2
.
2
,
0,
254 m/s
0,
254 m/s
2
2
,
,

τ
a A
v
A
60
εOA
ωOA
0 I
n
a A
II
B
O
y
a
τ
BA
ε1
ω1
A
4.26 pav., b
P
n
a BA
a
x
131
τ
a A
c
n
aA
60 0
O
4.26 pav., c
Pagreitį a B galima apskaičiuoti grafiškai, panaudojant vektorinę lygybę (a) ir
nubrėžiant pagreičių daugiakampį. Iš bet kurio taško O (4.26 pav., c) pasirinktu masteliu
n
A
τ
= a A
n
BA
τ
= a A
atidedame vektorius Oc = a , ca , ae = a , eb . Ieškomas pagreitis a B = Ob
(jis uždaro daugiakampį). Atkarpą Ob padauginę iš mastelio, gauname pagreitį aB=0,358
m/s 2 .
3. Mechanizme, pavaizduotame 4.27 pav., a, skriejikas OA = 0,25 m sukasi brėžinio
plokštumoje pastoviu kampiniu greičiu wOA = 2 rad/s apie nejudamą ašį O ir verčia judėti
strypą AB, o šis - skriejiką BC. Skriejikas BC sukasi toje pačioje plokštumoje apie
nejudamą tašką C. Apskaičiuokite taško B pagreitį aB ir strypo AB kampinį pagreitį eAB
tuo momentu, kai skriejikas OA horizontalus, ŠOAB = 60 o , ŠABC = 30 o , o AB = BC = 0,5
m .
C
τ
a A = ε OA
2b pav.
⋅ OA =
30 0
60
A O
0
ωOA
4.27 pav., a
0 .
B
a B
n
a BA
b
τ
a BA
SPRENDIMAS. Apskaičiuojame skriejiko OA
taško A greitį ir pagreitį, nes jo judėjimas yra
žinomas. Greitis v A yra statmenas sukimosi
spinduliui OA ir nukreiptas skriejiko OA
sukimosi kryptimi (4.27 pav., b), o jo dydis :
vA = wOA × OA = 2 × 0,25 = 0,5 m/s .
Kadangi skriejikas OA sukasi pastoviu
kampiniu greičiu, tai
ε
OA
=
dωOA dt
=
0,
e

132
Vadinasi, taško A pagreitis lygus normaliniam pagreičiui, nukreiptam iš A link
sukimosi centro O (4.37 pav., b). Jo dydis
P ωAB
εA
C
x
y
120 0
A
30 0
τ
aBA
n
aB
30 0
vA
4.27 pav., b
90 0
60 0
ωOA
A
n
A
2
OA
a = a = ω ⋅OA
= 2 ⋅ 0,
25 = 1 m/s
τ
a B
n
a BA
B
a = a A
O
n
A
vB
e
c b1
τ
aB
a B
2
e1
n
a B
2
.
60 0
O
4.27 pav., c
Taško B trajektorija - apskritimas, kurio spindulys BC. Tai taško B greičio v B
vektorius yra statmenas sukimosi spinduliui BC (4.27 pav., b). Žinodami strypo AB dviejų
taškų A ir B greičių v A ir v B vektorių kryptis, brėžiame šiems vektoriams statmenis ir
randame strypo AB greičių centrą P (4.27 pav., b).
Tada
vA 0,
5
ω AB = = = 1 rad/s .
AP 0,
5
Iš trikampio BAP matome (4.27 pav., b), kad AP = AB = 0,5 m . Kampinio greičio wAB
sukimosi kryptis, kuri priklauso nuo greičio v A krypties, parodyta 4.27 pav., b. Šiuo atveju
atstumas AP, mechanizmui judant, nėra pastovus ir, norint apskaičiuoti eAB, negalima
naudotis metodu, kuris buvo taikytas ankstesniuose uždaviniuose. Panagrinėkime kitą
sprendimo būdą.
Taško B pagreitis, imant poliumi tašką A, yra lygus:
a
B
= a
A
+ a
Bet taško B trajektorija yra apskritimas, todėl
ir vektorinė lygybė (a) atrodys taip:
a + a
B = a B
τ
τ
B
a + a
n
B
τ
BA
n
B
,
+ a
n
BA
= a a + a .
A + BA
τ
.
n
BA
a A
60 0
c1
a1
n
a BA
(a)
(b)

133
Visus vektorius pavaizduojame 4.27 pav., b. Vektorius
τ
a yra tiesėje, statmenoje sukimosi
spinduliui BC. Jį brėžiame bet kuria kryptimi, nes tikrosios kol kas nežinome. Vektorius
nukreiptas iš taško B link sukimosi centro C ir jo modulis
Vektorius
n
BA
a
n
B
B
2
= ω BC .
(c)
a nukreiptas iš taško B link poliaus A ir jo modulis
a
n
BA
BC
= ω
2
AB
⋅ AB = 1
Vektorius
kryptimi, nes tikrosios kol kas nežinome) ir jo modulis
2
⋅ 0,
5 =
0,
5 m/s
τ
a BA yra statmenas sukimosi apie polių A spinduliui BA (jį brėžiame bet kuria
τ
a = ε BA AB
⋅ AB .
Aptarkime, kurių dydžių, įeinančių į vektorinę lygtį (b) skaitines reikšmes žinome arba galime
n
2
apskaičiuoti. Mes žinome poliaus A pagreitį aA=1 m/s ir a BA = 0,
5 m/s . Žinodami v A ir
v kryptis, strypo kampinį greitį wAB, galime rasti vB, wBC ir vėliau iš (c) lygties
B
n
apskaičiuoti a B . Taigi vektorinėje lygtyje (b) lieka nežinomos tik dviejų vektorių a ir
skaitinės reikšmės. Projektuodami šią lygtį į koordinačių ašis, nubrėžtas per tašką B,
gauname dvi lygtis, iš kurių apskaičiuojame šiuos nežinomuosius.
Kadangi žinome strypo AB dviejų taškų greičių v A
taikydami greičių projekcijų teoremą:
ir v B kryptis, vB dydį randame,
Skriejiko BC kampinis greitis
Iš (c) lygties apskaičiuojame a :
vA cos30 o = vB cos60 o ,
v A cos 30
=
cos 60
v B
o
v B
o
=
0,
5
⋅
0,
866
0,
5
0,
866
ω BC = = = 1,
73 rad/s .
BC 0,
5
n
B
n
B
a = 1,
73 ⋅ 0,
5 =
2
1,
5 m/s
(b) vektorinės lygybės abi puses projektuojame į ašis Bx ir By :
− B
τ
a
o
n
B
o
2
.
=
2
.
0,
866 m/s .
a cos 60 + a cos 30 = −a
cos 60 + a
τ
B
cos 30
τ
B
Iš (e) lygties apskaičiuojame a
:
o n o
o τ
+ a B cos 60 = −a
A cos 30 + a BA
A
o
n
BA
τ
B
a
(d)
n
B
τ
a BA
, (e)
. (f)

Taško B pagreitis
a
τ
B
a
=
A
cos 60
Iš (f) lygties apskaičiuojame a :
BA = a B
τ τ
o
n
B
a
τ
BA
o
o
B
− a
n
BA
o
cos 60
=
A
+ a
134
n
B
cos 30
o
1⋅
0,
5 −
=
0,
5 +
0,
5
1
, 5
⋅
0,
866
τ 2 n 2
2 2
2
( a ) + ( a ) = 2,
6 + 1,
5 = 3 m/s .
B
a cos 30 + a cos 60 + a cos 30 = 2,
6 ⋅ 0,
866 + 1,
5 ⋅ 0,
5 + 1⋅
0,
866 =
Iš (d) lygties galime apskaičiuoti strypo AB kampinį pagreitį:
ε
AB
o
B
τ
a 2
BA 3,
87
= = = 7,
74 rad/s .
AB 0,
5
=
2,
6 m/s
τ
Pastaba. Apskaičiuotos teigiamos pagreičių a B ir a BA reikšmės rodo, kad brėžinyje jų
kryptys atidėtos teisingai. Neigiama kurio nors šio pagreičio reikšmė rodytų, kad tikroji jo
kryptis priešinga atidėtai brėžinyje.
Vektorinę lygybę (b) pavaizduokime grafiškai (4.27 pav., c). Iš bet kurio taško O
pasirinktu masteliu atidedame vektorių Oa 1 = a A . Paskui iš taško a1 atidedame vektorių
a 1c 1
n
= a
BA
n
( a BA)
kryptį ir joje turi būti ieškomo vektoriaus a B galas.
τ
3,
87
BA ir iš taško c1 brėžiame tiesę c1c , statmeną a1c1 . Ši tiesė nustato
Dabar iš taško O atidedame vektorių
τ
B
n
1e 1 a
B
n
2
m/s
.
2
.
τ
a BA
O = ( a B BC)
ir brėžiame jam statmeną
tiesę e1e , nustatančią a kryptį. Vektoriaus a B galas taip pat turi būti šioje tiesėje, todėl
a galas yra taške b1 , kuriame kertasi tiesės c1c ir e1e . Taigi
vektoriaus B
B = Ob 1,
τ
a BA
1
1
τ
B
a = c b , a = e
1
b
1
.
4. Skriejikas OA , kurio ilgis R = 0,2 m , tolygiai sukasi apie ašį O kampiniu greičiu w0 =
10 rad/s ir priverčia judėti 1 m ilgio švaistiklį. Slankiklis juda vertikaliai (4.28 pav., a).
Apskaičiuokite švaistiklio AB kampinį greitį ir kampinį pagreitį, taip pat slankiklio B pagreitį
tuo momentu, kai skriejikas ir švaistiklis vienas kitam statmeni ir sudaro su horizontale 45 o
kampą.
SPRENDIMAS. Kadangi taškas A sukasi apie nejudantį tašką O kampiniu greičiu w0 , tai
vA = w0 × OA = 10 × 0,2 = 2 m/s .
Švaistiklio taško B greitį apskaičiuojame poliaus metodu, poliumi laikydami tašką A:

B
v B
B
45 0
ωo
4.28 pav., a
v BA
45 0
ωo
v A
O 45 0
4.28 pav., b
Strypo AB kampinis greitis
Skaičiuojame taško B pagreitį :
O 45 0
A
ω
AB
B
A
=
v BA
AB
A
x
135
=
2
1
a = a + a ,
BA
n τ
A = a A + a A
a ,
n τ
BA = a BA + a BA
v = v + v . (a)
B
A
BA
Žinome, kad slankiklio B, sutampančio su
švaistiklio AB tašku B, greičio veikimo
kryptis yra vertikali. Sukimosi greitis v BA
statmenas tiesei AB, o šiuo atveju ir v A .
Visi greičiai pavaizduoti 4.28 pav., b ir c.
Projektuodami (a) vektorinės lygybės abi
puses į x ašį arba tiesiog iš stačiojo
trikampio (4.28 pav., c) gauname:
0 = vBA cos45 o - vA cos45 o .
Iš čia
vBA = vA = 2 m/s .
= 2 rad/s .
v A
90 0
v BA
45 0
45 0
4.28 pav., c
a .
Todėl
a B
n
= a A
τ
+ a A
n
+ a BA
τ
+ a BA . (b)
Apskaičiuojame pagreičių modulius:
v B

nes
a
n
A
2
0
136
= ω ⋅OA
= 10 ⋅ 0,
2 = 20 m/s
τ
a A = ε 0
⋅ OA =
0 ,
w0 = const ir e0 = 0 ,
a
n
BA
= ω
τ
a = ε BA AB
2
AB
2
⋅ AB = 4 ⋅1
=
⋅ AB .
4 m/s
Projektuojame (b) vektorinę lygybę į koordinačių ašis x ir y, kurias brėžiame per tašką B
(4.28 pav., d ir e):
a B
B
τ
a BA
n
a BA
x
n
a A
O 45 0
4.28 pav., d
Iš (d) lygties gauname:
Iš (c) lygties apskaičiuojame
Kadangi
tai
A
o
− a B ⋅ cos 45 = −a
A + a BA ,
a
a
a
B
B
⋅ cos 45
y
τ
BA
o
a BA
=
cos 45
= a
n
n
A
τ
a = ε BA AB
= a
o
− a
=
B
⋅ AB ,
n
BA
.
n
a A
n
n
a BA
4
0,
707
cos 45
=
τ
2
,
5,
66 m/s
y
= 20 − 4 = 16 m/s
2
2
.
,
45 0
4.28 pav., e
2
.
B
a B
τ
a BA
x
(c)
(d)

ω0
ε
AB
137
τ
a 2
BA 16
= = = 16 rad/s .
AB 1
5. 4.29 pav., a, parodytas mechanizmas, kurio visos grandys juda, bet išlieka brėžinio
plokštumoje. Duota: AB = 2AO = 2a , a = 2 m . Strypas OA sukasi pastoviu kampiniu greičiu
w0 = 2 rad/s . Apskaičiuokite strypo AB kampinį greitį, kampinį pagreitį, taip pat taško B
pagreitį.
SPRENDIMAS. Strypai OA ir CB sukasi apie nejudančius taškus O ir C , todėl greičiai v A ir
v B statmeni tiems strypams. Iš 4.29 pav., b , matome, kad jie yra lygiagretūs. Iš 4.2.3
skyriaus žinome, kad jie šiuo atveju yra ir lygūs (vB = vA), o kampinis greitis wAB=0.
A
y
30 0
O C
4.29 pav., a
Kadangi taškas A sukasi apie tašką O kampiniu greičiu w0, tai
analogiškai
Palyginę vA ir vB , gauname:
Iš čia:
B
x
v A
ω0
A
vA = w0 × OA = w0 × a ,
y
vB = w1 × CB = w1 × 2a .
w0 × a = w1 × 2a .
ω
1
ω
=
2
0
=
2
2
90 0
30 0
v B
ω1
90 0
O C
= 1 rad/s .
4.29 pav., b
Kadangi taško A pagreitis žinomas, tai, skaičiuojant taško B pagreitį, patogu tašką A
laikyti poliumi (4.29 pav., c):
arba
a = a + a
(a)
B
A
BA
n τ n τ n τ
a B B A A BA BA
+ a = a + a + a + a .
(b)
Strypas OA sukasi pastoviu kampiniu greičiu, todėl taško A tangentinis pagreitis lygus
nuliui:
B
x
90 0

o normalinis
= ε
τ
a A OA
a
n
A
= ω
2
OA
138
⋅OA
= 0 ⋅a
= 0 ,
⋅OA
= ω
Taško B sukimosi apie polių A normalinis pagreitis
(b) lygybė supaprastėja:
Vektorius
a
n
BA
= ω
2
BA
2
0
⋅a
= 2
⋅ BA = 0 ⋅ BA =
n τ n τ
a B B A BA
2
0 .
⋅ 2 =
8 m/s
+ a = a + a .
(c)
n
a B nukreiptas iš taško B į tašką C, nes normalinis pagreitis visada nukreiptas į
sukimosi centrą. Vektorius τ
a B jam statmenas ir, kol nebaigėme skaičiavimų, nežinome, į
kurią pusę jis nukreiptas. Todėl tariame, kad jis nukreiptas, pavyzdžiui, į kairę. Jeigu tikroji
τ
kryptis priešinga, skaičiavimuose a gausime neigiamą. (c) vektorinėje lygybėje nežinomi
τ
B
B
τ
BA
dviejų vektorių moduliai a ir a . Norėdami rasti pirmąjį iš jų, projektuojame abi (c)
lygybės puses į ašį, statmeną vektoriui a (t.y. į ašį z). Gauname:
Kadangi
z
60 0
A
O
x
n
a A
εBA
90 0
Iš čia išplaukia, kad
4.29 pav., c
a
a
τ
a B
n
B
n
B
τ
BA
cos 60
= ω
90 0
n
a BA
900
− a
ω1
n
B
C
2
1
o
= −a
+ a
τ
B
cos 30
⋅ CB = 1⋅
4 =
τ
a BA
n
A
B
n
a B
n
A
90 0
+ a
n
B
o
τ
BA
o
= a
4 m/s
n
A
2
,
cos 60
tai iš (d) lygybės apskaičiuojame
a
τ
B
=
tg30
o
( a
n
A
o
− a
.
n
B
2
.
8 − 4
) = =
3
Taško B pagreičio modulis
a
B
=
=
n 2 τ ( a ) + ( a )
B
4,
62
m/s
2
.
B
2
=
4
2
+ 2,
31
2,
31 m/s .
2
=
(d)
Norėdami rasti strypo AB kampinį pagreitį,
pirmiausia apskaičiuojame taško B
sukimosi apie polių A tangentinį pagreitį
a
τ
BA
. Todėl projektuojame (c) vektorinės
lygybės abi puses į ašį x, statmeną
(4.29 pav., c). Gauname:
⋅ cos 30
τ a − a 8 − 4
a BA = = =
cos 30 0,
867
o
.
4,
62
m/s
2
.
τ
a B

Strypo AB kampinis pagreitis
ε
BA
=
BA
139
τ
a BA
2
4,
62
= = 1,
153 rad/s
4
6. Planetinio mechanizmo, pavaizduoto 4.30 pav., a, ratas 1 yra nejudantis, o skriejikas OC3
greitėdamas sukasi apie ašį O kampiniu greičiu w0 = 1 rad/s ir kampiniu pagreičiu e0 = 3
rad/s 2 . Apskaičiuokite taško A, esančio rato 3 paviršiuje, greitį ir pagreitį tam tikru laiko
momentu, jeigu R1 = 0,3 m , R2 = R3 = 0,2 m .
O
1
R1
ωo
eo
R2
C2
2
4.30 pav., a
SPRENDIMAS. Skriejikas OC3 sukasi apie ašį O kampiniu greičiu w0 = 1 rad/s . Taško C2
(priklausančio skriejikui OC3)greitis
Greitis
C
2
v = w0 × OC2 = w0(R1+R2) = 1(0,3+0,2) = 0,5 m/s .
C 2
v yra statmenas sukimosi spinduliui OC2 ir nukreiptas w0 sukimosi
kryptimi (4.30 pav., b). Taškas P yra krumpliaračio 2 greičių centras, nes šiame taške
krumpliaratis 2 liečiasi su nejudamu krumpliaračiu 1 , t.y. vp = 0. Žinodami krumpliaračio
2 taško C2 greitį bei krumpliaračio 2 greičių centrą, galime apskaičiuoti krumpliaračio 2
kampinį greitį w2 :
Iš greičio
ω
2
v
=
C
C2
2
P
0,
5
= =
0,
2
2,
5 rad/s
v krypties matome, kad krumpliaratis 2 suksis apie greičių centrą P prieš
C
2
laikrodžio rodyklę (4.30 pav., b). Apskaičiuojame taško B, esančio krumpliaračio 2
paviršiuje, greitį:
vB = w2 × BP = 2,5 × 2R2 = 2,5 × 0,4 = 1 m/s .
.
.
R3
C3
3
A

x
140
Greitis v B yra statmenas sukimosi apie polių P spinduliui BP ir nukreiptas w2 kryptimi (4.30
pav., b).
O
greičiai B
ωo εo
1
ω2
v C2
v B
B
n
C3
v C3
a
P C2 C3
a
a
2 3
τ
C3
n
AC3
4.30 pav., b
y
v A
A
a
τ
AC3
x
ω3 ε3
Taškas C3 yra skriejiko OC3 taškas, todėl jo greitį galime apskaičiuoti pagal formulę:
vC3 = w0 × OC3 = w0(R1+2R2+R3) = 1 × 0,9 = 0,9 m/s .
Greitis v C yra statmenas OC3 ir nukreiptas w0 kryptimi ( 4.30 pav., b).
3
Krumpliaratis 2 su krumpliaračiu 3 liečiasi taške B; krumpliaračio 3 taškų B ir C3
v ir
v . Kadangi statmenys, nubrėžti į šiuos greičius, sutampa, tai greičių centro
C 3
vietos ieškome iš proporcijos (4.30 pav., b):
v
v
B
C 3
1
0,
9
BP3
2R
3 + x
= = ,
C P R + x
3
3
3
0,
4 + x
= , x - 0,9x = 0,4 × 0,9 - 0,2 ,
0,
2 + x
0,1x = 0,16 , x = 1,6 m .
Apskaičiuojame krumpliaračio 3 kampinį greitį w3 ir taško A greitį vA :
vC
3 ω0
⋅ OC 3 1⋅
0,
9
ω 3 = = = = 0,
5 rad/s , (a)
C P C P 1,
8
3
3
3
3
vA = w3 × AP3 = w3 × x = 0,5 × 1,6 = 0,8 m/s .
Taško A pagreitį apskaičiuojame, poliumi laikydami tašką C3:
τ n τ n
A = a C + a
3 C + a
3 AC a
3 AC 3
a +
; (b)
P3

čia
τ
a C 3
a
n
C 3
= ε
0
= ω
2
0
⋅ OC
141
⋅ OC
Skriejikas OC3 sukasi greitėdamas, todėl greičio
3
3
= 3 ⋅ 0,
9 =
= 1
2
⋅ 0,
9 =
2,
7 m/s
2
0,
9 m/s
v C ir tangentinio pagreičio
3
,
2
.
τ
C 3
a kryptys
n
vienodos (4.30 pav., b). Normalinis pagreitis a C nukreiptas iš taško C3 į sukimosi ašį O.
3
Taško A sukimosi apie polių C3 pagreičio komponentai:
a
a
n
AC 3
τ
AC 3
= ω
= ε
2
3
3
⋅ AC
⋅ AC
3
3
=
0,
5
2
⋅ 0,
2 =
0,
05 m/s
. (c)
(a) lygtyje dydis C3P3 yra pastovus bet kurioje rato 3 padėtyje, todėl diferencijuodami
šią lygtį gauname:
ε
3
dω a
3 d ⎛ ω0
⋅ OC 3 ⎞ OC 3 dω0
OC 3 ⋅ ε0
C 3 2,
7
2
= =
1,
5 rad/s ,
dt dt ⎜
C P ⎟ = = = = =
⎝ 3 3 ⎠ C 3P3
dt C 3P3
C 3P3
1,
8
a
τ
AC 3
=
1,
5
⋅
0,
2
=
0,
3 m/s
n
τ
Pagreitis a AC nukreiptas iš taško A link poliaus C3, o a
3
AC - apskritimo liestine taške
3
C3 kampinio pagreičio e3 kryptimi (4.30 pav., b).
Per tašką brėžiame ašis Ax ir Ay ir į jas suprojektuojame vektorinės lygybės (b) abi
puses:
Apskaičiuojame taško A pagreitį:
a
a
a
n n
Ax = a C + a
3 AC 3
τ τ
Ay = a C − a
3 AC 3
A
=
a
2
Ax
+ a
2
Ay
=
=
=
0,
9
2,
7
+
−
2
.
0,
95
0,
05
0,
3
2
+
=
=
τ
2
0,
95 m/s
2,
4 m/s
2,
4
2
=
2
.
,
2
,
2,
58 m/s
2
.

142
4.3.2. Pagreičių centras
Plokščiai judančio kūno taškų pagreičius kartais patogiau skaičiuoti naudojantis
pagreičių centru - tokiu kūno plokštumos tašku, kurio pagreitis nagrinėjamu laiko
momentu lygus nuliui.
Norėdami rasti pagreičių centro vietą, turime žinoti kūno kurio nors taško, pvz., A ,
pagreitį a , kūno kampinį greitį w ir pagreitį e (4.31 pav.). Sakykime, kad taškas C yra kūno
A
pagreičių centras, vadinasi, a = 0 C . Pasinaudodami 4.3.1 skyriaus (4.7) formule, galime
apskaičiuoti bet kurio kūno taško A pagreitį:
a = a + a , 0
A
w
formulę:
ε
β
a A
4.31 pav.
a AC
β
Spręsdami uždavinius:
C
M
ε
tgβ
= .
2
ω
A
A
C
AC
AC
a C = ,
a = a . (4.10)
Vadinasi, bet kurio kūno taško pagreitis
lygus jo sukimosi drauge su kūnu apie to kūno
pagreičių centrą pagreičiui. Kaip žinome iš 2.5
skyriaus 2.13 formulės, besisukančio kūno
taško A pagreitis
a
A
=
τ 2 n 2
2 4
( a ) + ( a ) = AC ε + ω .
A
A
(4.11)
Iš šios lygybės galima rasti AC - taško A
atstumą iki pagreičių centro C. Kampui b tarp
pagreičio a ir sukimosi spindulio AC
A
apskaičiuoti taikome 2.5 skyriaus 2.14
1) pagal uždavinio sąlygoje duotus duomenis apskaičiuojame (jeigu nėra duota) kurio nors
kūno taško A pagreitį a , kūno kampinį greitį w ir kampinį pagreitį e ;
A
2) apskaičiuojame kampo b dydį iš formulės
ε
tgβ
= ;
2
ω
3) iš taško A kampu b į vektorių a (4.31 pav.) brėžiame tiesę AM; tiesė AM nuo A
a turi A
nukrypti kampinio pagreičio e kryptimi, t.y. kūno sukimosi kryptimi, jei sukimasis
greitėjantis, ir prieš sukimosi kryptį, jei sukimasis lėtėjantis;
4) tiesėje AM atidedame atkarpą AC , lygią:
a A
AC = .
2 4
ε + ω
Šitaip rastas taškas C ir bus pagreičių centras;

143
5) bet kurio kito kūno taško B pagreitį apskaičiuojame pagal formulę, analogišką (4.11)
formulei:
a = BC ε + ω ;
čia BC - taško B atstumas iki pagreičių centro C.
Remiantis šia ir (4.11) formule, galima parašyti, kad
B
a A B
=
AC
a
,
BC
2
t.y. kūno taškų pagreičiai proporcingi jų atstumams nuo pagreičių centro. Kūno taškų
pagreičius ypač patogu apskaičiuoti pagreičių centro metodu:
A
A
a A
ε
a A
4.32 pav.
4.33 pav.
C
C
4
1) kai e = 0, tada tgb = 0 ir Šb = 0 o ; šiuo
atveju bet kurio taško, pvz., A, pagreičio
vektorius a nukreiptas tiese AC (4.32
A
a A
pav.), o AC = (žr. 4.11 formulę);
2
ω
2) kai w = 0, o e ¹ 0, tada tgb = ir b =
90 o ; šiuo atveju bet kurio kūno taško
pagreičio vektorius statmenas tiesei,
jungiančiai šį tašką su pagreičio centru
C ( 4.33 pav.) .
Visais kitais atvejais kūno taškų
pagreičius patogiau apskaičiuoti poliaus
metodu.
Pavyzdžiai
1. Ratas neslysdamas rieda bėgiais. Jo centro greitis vC = const . Nustatykite rato pagreičių
centrą ir apskaičiuokite taškų B ir D pagreičius, jei R = 0,5 m , r = 0,3 m , vC = 6 m/s .
SPRENDIMAS. Rato greičių centras yra taške E , kuriame ratas liečiasi su bėgiais (4.34
pav., a). Todėl
Rato kampinis greitis
vC = EC × w = r × w .
ω
=
vC r
=
6
0,
3
=
20 rad/s
.

R
r
C
B
Q
E
D
v c
144
4.34 pav., a 4.34 pav., b
Rato centras juda tiese tolygiai, todėl aC = 0, t.y. rato centras C yra pagreičių centras.
Kadangi ratas sukasi tolygiai, tai e = 0 ir rato taškų pagreičiai lygūs tų taškų normaliniams
pagreičiams, taškams sukantis apie pagreičių centrą C. Pagreičių vektoriai nukreipti į
pagreičių centrą C. Kadangi EC = BC, tai
o taško D
E
B
2
2
a B
C
a E
a D
a = a = ω ⋅ r = 20 ⋅ 0,
3 =
2
a = ω ⋅ R = 20 ⋅ 0,
5 = 200
D
Matome, kad greičių centro E greitis lygus nuliui, bet to taško pagreitis nelygus nuliui.
Pagreičių centro C pagreitis lygus nuliui, bet jo greitis nelygus nuliui.
2. Strypo AB galų A ir B pagreičių moduliai tam tikru momentu lygūs aA=aB=0,2 m/s 2 , o jų
kryptys parodytos 4.35 pav., a . Nustatykite pagreičių centro padėtį ir apskaičiuokite strypo
AB kampinį greitį w bei kampinį pagreitį e , jeigu AB = 0,4 m .
A
a A
120 0
B
a B
2
m/s
aBA
2
.
B
Q
E
D
120
4.35 pav., a 4.35 pav., b
A
α
a A
Q
C
α
B
v c
ω
m/s
τ
a BA
α
2
a B
,
60 0
60 0
ω
a
n
a BA
A

145
SPRENDIMAS. Poliumi laikome tašką A. Tada a B = a A + a BA . Kadangi žinome a B ir a , A
tai galime apskaičiuoti sukimosi apie polių pagreitį a BA = a B − a A (4.35 pav., b). Tiesė,
jungianti pagreičių centrą su bet kuriuo kūno tašku, sudaro kampą
ε
α = arctg
2
ω
su to taško pagreičio vektoriumi. To kampo tangentas
τ
BA
ε a
tgα
= = ,
2
ω a
τ
n
BA
n
todėl a - stataus trikampio, kurio statiniai a BA ir a BA , kampas. 4.35 paveiksle, b, matome,
kad tai yra kampas tarp tiesės AB ir vektoriaus a , t.y. aŠCBA . Kadangi aA = aB ,
BA
gauname, kad a = 60 o . Atidėję šį kampą nuo vektorių a B ir a , brėžiame tieses, kurios
A
kertasi taške Q - pagreičių centre. Kampą a turime atidėti nuo pagreičių a ir A a B kampinio
τ
pagreičio e kryptimi. Kampinio pagreičio kryptį nustatėme pagal vektoriaus a BA (kuris yra
a projekcija į tiesę, statmeną tiesei AB) kryptį, nagrinėjamu atveju - prieš laikrodžio
BA
rodyklę (taško B sukimosi apie tašką A tangentinį pagreitį). Kadangi aBA = aB = 0,2 m/s 2 , tai
todėl
0,
866
2
τ
o
a BA = a BA ⋅ cos 30 = 0,
2 =
n
BA
BA
o
o
0,
173
a = a ⋅ cos 60 = 0,
2 cos 60 =
Žinome, kad sukimosi apie polių A pagreičiai lygūs
τ
a BA
= ε ⋅ AB ,
a
n
BA
= ω
2
⋅ AB ,
τ
a 2
BA 0,
173
ε = = = 0,
434 rad/s ,
AB 0,
4
ω =
a n
BA
AB
=
0,
1
0,
4
0,
5 rad/s
.
m/s
0,
1 m/s
Kampinio pagreičio kryptį žinome (prieš laikrodžio rodyklę). Kampinio greičio
krypties iš duotų duomenų nustatyti negalime.
3. Du statmeni vienas kitam standžiai sujungti strypai AB ir AC šliaužioja pro taškus M ir N,
esančius apskritime. Šie taškai (kilpos, pro kurias prakišti strypai AB ir AC) nejudamai
sujungti su apskritimu. Viršūnė A šarnyriškai sujungta su skriejiku OA, kuris sukasi apie
apskritimo centrą O pastoviu kampiniu greičiu w. Nustatykite kampo ABC pagreičių centrą.
Apskritimo spindulį r laikykite žinomu.
=
2
2
,
.

B
M
O
r
ϕ
4.36 pav., a
A
N
146
v 1
M
v A
C C
P
Q
ω
A
v 2
O N
4.36 pav., b
SPRENDIMAS. Kilpose M ir N esantys strypų taškai gali judėti tik išilgai strypų. Nubrėžę
statmenis į greičių 1 v ir v 2 kryptis, randame kampo greičių centrą P. Kadangi A - skriejiko
taškas, tai
vA = w × OA = w × r .
Taškas A yra ir kampo taškas. Kadangi kampas tuo momentu sukasi apie tašką P, tai
vA = wK × AP ;
čia wK - kampo kampinis greitis.
Iš šios formulės apskaičiuojame
ω
K
=
v A
AP
=
ω⋅
r
2r
ω
= .
2
Taškas P visą laiką (nepriklausomai nuo skriejiko OA ir kampo BAC padėties) yra
apskritime, todėl AP = const . Diferencijuodami lygybę vA = wK × AP pagal laiką, gauname
τ
= ε ⋅ AP ;
a A K
τ
čia a A - taško A tangentinis pagreitis, lygus, kaip žinome, greičio modulio išvestinei pagal
τ
laiką, o ε - kampinis pagreitis. Bet skriejikas sukasi tolygiai, todėl v
K
A = const , a A = 0 ir
ε = 0 . K
Apskaičiuojame kampą a (žr. 2 pavyzdį):
εK
tgα
= = 0 ; 2
ω
n
iš čia a = 0. Žinome, kad a - kampas tarp tiesės QA ir a ; čia Q - pagreičių centras. Kadangi
A
τ
a A = 0, tai a = A
n
a A . Normalinis taško A pagreitis yra tiesėje AO, todėl ir taškas Q yra toje pat
tiesėje (nes a = 0).
Iš pagreičių centro apibrėžimo, laikydami tašką A poliumi, apskaičiuojame atstumą
n
a A a A
AQ =
= .
2 4 2
ε + ω ωK
K
K

Įrašę a ω ⋅ OA = ω ⋅ r ir apskaičiuotą w
147
n 2
2
A = K reikšmę, gauname:
2
ω ⋅ r
AQ = ⋅ 2 2
ω
2
= 4 ⋅ r .
4. Skriejikas OA tolygiai sukasi 300 sūk./min kampiniu greičiu. Apskaičiuokite švaistiklio
AB kampinį greitį, kampinį pagreitį, vidurinio taško M greitį ir pagreitį bei pagreičių centro
padėtį tuo momentu, kai Š AOB = 90 o , jeigu OA = 0,1 m , AB = 0,3 m .
v A
=
O
31,
4
⋅
0,
1
=
Taško A pagreitis
A
3,
14
4.37 pav., a
m/s .
a .
n τ
= a + a
A A A
τ
Kadangi w = const , tai e = 0 ir a = 0 A . Tuomet
v A A
Q
a A
O
v M
M
a M
M
SPRENDIMAS. Greičiai A
lygiagretūs, todėl
wAB = 0, vA = vB = vM .
vA = w × OA ;
čia
π ⋅ n
ω = =
30
todėl
a =
Galime apskaičiuoti
n 2
2
2
= a = ω ⋅OA
= ( 10π)
⋅ 0,
1 98,
6 m/s
A A
.
v B
B
v ir v B
π ⋅ 300
= 10π
= 31,
4 rad/s
30
Pagreitis a nukreiptas į tašką O.
A
Pažymėję švaistiklio AB kampinį
pagreitį eAB , švaistiklio pagreičių
centrą apskaičiuojame iš formulių
a A
ε AB
AQ = , tgα
= .
4 2
2
ω + ε
ωAB
Nagrinėjamu atveju wAB = 0, todėl tga
= ir a = 90 o 4.37 pav., b
. Pagreičių centras yra tiesėje, statmenoje taško A pagreičiui a ir einančioje
A
per šį tašką A. Tuo pat metu pagreičių centras yra tiesėje, nubrėžtoje per tašką B, statmenai
taško B pagreičiui. Kadangi a B nukreiptas išilgai OB, tai pagreičių centras yra taške Q (4.37
pav., b). Taško A pagreitis
B
a B
AB
AB
,

a
A
= a
AQ
Kadangi wAB = 0, tai aA = eAB · AQ ir
ε
AB
148
= AQ ⋅
ω
4
AB
+ ε
2
AB
.
a A a A
98,
6
2
= =
=
= 348 rad/s .
AQ
2 2
2 2
AB − AO 0,
3 − 0,
1