3.1. Skyriu

3.1. Skyriu 3.1. Skyriu

20.01.2013 Views

3. JUDĖJIMAS IR JĖGOS 3.1. Mechaninis judėjimas Judėjimo įvairovė gamtoje Svarbiausia fizikos sąvoka yra judėjimas. Gamtoje stebime įvairių judėjimų. Juda įvairūs kūnai, teka vanduo, vėjas lenkia medžius. Medžiai ir kiti augalai vandenį ir maistą iš šaknų pakelia į šakas ir lapus. Tam pasitarnauja molekulių judėjimas. Nuo molekulių judėjimo priklauso kūnų temperatūra. Šviesos reiškiniai yra elektromagnetinių bangų judėjimas. Judėjimas yra gyvūnų nerviniai signalai. Atomai juda molekulių ir kristalų sudėtyje. Atome juda elektronai, kartais peršoka į kitus energetinius lygmenis, o atomas išspinduliuoja fotonus. Elektronų judėjimas atome nepaprastai tikslus. 1950 m. pradėti naudoti atominiai laikrodžiai, kurių laiko paklaida yra vos 133 1 ms per metus. Remiantis cezio izotopo 55 Cs spektro vienos linijos bangų dažniu naujai tiksliai apibrėžtas laiko vienetas 1 sekundė. Tuo tarpu Žemės judėjimas bėgant amžiams kinta, kinta ir paros ilgis. Nuostabus dangaus kūnų judėjimas. Žmogus jį stebėjo ir tyrė nuo seniausių laikų (3.1 pav.), ypatingą dėmesį skyrė planetų judėjimui. Dabar žinome, kaip 3.1 pav. Šiaurinės nuotrauka planetos juda aplink saulę. Saulė su savo sistema juda Paukščių tako galaktikoje. Juda erdvėse ir kitos galaktikos, tolsta nuo mūsų, o Visata plečiasi. Mechaninio judėjimo sampratos raida Su mechaniniu judėjimu susipažinta VIII klasėje. Mechaninio judėjimo sampratos raida buvo ilga ir sudėtinga, nors atrodo, kad mechaninis judėjimas pats paprasčiausias. Jau Aristotelis, remdamasis stebėjimais ir žmonių patirtimi, mėgino kūnų judėjimą sisteminti, išskyrė tris judėjimo rūšis: natūralųjį, priverstinį ir judėjimą apskritimu. Natūralusis judėjimas savaime vyksta link Žemės (kartu Visatos) centro: sunkūs kūnai krinta, lengvi kyla aukštyn (dūmai, garai). Manyta, kad sunkesni kūnai krinta greičiau. Priverstiniam judėjimui reikalingas išorinis poveikis, jėga. Neveikiant jėgai judėjimas tuoj nutrūksta. Judėjimas apskritimu tinka dangaus kūnams, tai ideali amžinojo judėjimo forma. Ir tik G. Galilėjus (1564 – 1642) ėmė rimtai taisyti Aristotelio mechaniką. Dar jaunas Italijos Pizos universiteto profesorius mokinių ir kolegų akivaizdoje nuo 56 m aukščio pasvirusio bokšto 1590 m. mėtė sunkų ir lengvą rutulius. Rutuliai nukrito kartu. Visgi daugelį kolegų eksperimentas neįtikino, jie nenorėjo sutikti, kad Aristotelis klydo. Bandymais gaunamos išvados buvo laikomos menkesnės vertės, negu filosofinės tiesos. Galilėjus įnešė į Aristotelio mechaniką ir daugiau pataisų. Aristotelis rėmėsi dedukcinėmis išvadomis, jis neeksperimentavo. Galilėjus laikomas eksperimentinės fizikos pradininku. Mokslas apie mechaninį judėjimą Jau VIII klasėje sužinota, kad mechaniniu judėjimu vadinamas kūnų padėties kitimas kitų kūnų atžvilgiu. Mechaninio judėjimo formas ir priežastį nagrinėja mechanika. Mechanikos dalis, nagrinėjanti mechaninio judėjimo formas, vadinama kinematika, o priežastį – dinamika. Kartais išskiriama dar statika – mechanikos dalis apie parimusius kūnus. Mechanika, nagrinėjanti kūnus, judančius mažais greičiais, lyginant su šviesos greičiu, vadinama klasikine mechanika. Tokios mechanikos rėmuose ir tilps klausimai šiame skyriuje. 28

3. JUDĖJIMAS IR JĖGOS

3.1. Mechaninis judėjimas

Judėjimo įvairovė gamtoje

Svarbiausia fizikos sąvoka yra judėjimas. Gamtoje stebime įvairių judėjimų. Juda įvairūs

kūnai, teka vanduo, vėjas lenkia medžius. Medžiai ir kiti augalai vandenį ir maistą iš šaknų

pakelia į šakas ir lapus. Tam pasitarnauja molekulių judėjimas. Nuo molekulių judėjimo

priklauso kūnų temperatūra. Šviesos reiškiniai yra elektromagnetinių bangų judėjimas. Judėjimas

yra gyvūnų nerviniai signalai.

Atomai juda molekulių ir kristalų sudėtyje. Atome

juda elektronai, kartais peršoka į kitus energetinius

lygmenis, o atomas išspinduliuoja fotonus. Elektronų

judėjimas atome nepaprastai tikslus. 1950 m. pradėti

naudoti atominiai laikrodžiai, kurių laiko paklaida yra vos

133

1 ms per metus. Remiantis cezio izotopo 55 Cs spektro

vienos linijos bangų dažniu naujai tiksliai apibrėžtas laiko

vienetas 1 sekundė. Tuo tarpu Žemės judėjimas bėgant

amžiams kinta, kinta ir paros ilgis.

Nuostabus dangaus kūnų judėjimas. Žmogus jį

stebėjo ir tyrė nuo seniausių laikų (3.1 pav.), ypatingą

dėmesį skyrė planetų judėjimui. Dabar žinome, kaip 3.1 pav. Šiaurinės nuotrauka

planetos juda aplink saulę. Saulė su savo sistema juda

Paukščių tako galaktikoje. Juda erdvėse ir kitos galaktikos,

tolsta nuo mūsų, o Visata plečiasi.

Mechaninio judėjimo sampratos raida

Su mechaniniu judėjimu susipažinta VIII klasėje. Mechaninio judėjimo sampratos raida

buvo ilga ir sudėtinga, nors atrodo, kad mechaninis judėjimas pats paprasčiausias. Jau

Aristotelis, remdamasis stebėjimais ir žmonių patirtimi, mėgino kūnų judėjimą sisteminti,

išskyrė tris judėjimo rūšis: natūralųjį, priverstinį ir judėjimą apskritimu. Natūralusis judėjimas

savaime vyksta link Žemės (kartu Visatos) centro: sunkūs kūnai krinta, lengvi kyla aukštyn

(dūmai, garai). Manyta, kad sunkesni kūnai krinta greičiau. Priverstiniam judėjimui reikalingas

išorinis poveikis, jėga. Neveikiant jėgai judėjimas tuoj nutrūksta. Judėjimas apskritimu tinka

dangaus kūnams, tai ideali amžinojo judėjimo forma.

Ir tik G. Galilėjus (1564 – 1642) ėmė rimtai taisyti Aristotelio mechaniką. Dar jaunas

Italijos Pizos universiteto profesorius mokinių ir kolegų akivaizdoje nuo 56 m aukščio pasvirusio

bokšto 1590 m. mėtė sunkų ir lengvą rutulius. Rutuliai nukrito kartu. Visgi daugelį kolegų

eksperimentas neįtikino, jie nenorėjo sutikti, kad Aristotelis klydo.

Bandymais gaunamos išvados buvo laikomos menkesnės vertės, negu filosofinės tiesos.

Galilėjus įnešė į Aristotelio mechaniką ir daugiau pataisų. Aristotelis rėmėsi dedukcinėmis

išvadomis, jis neeksperimentavo. Galilėjus laikomas eksperimentinės fizikos pradininku.

Mokslas apie mechaninį judėjimą

Jau VIII klasėje sužinota, kad mechaniniu judėjimu vadinamas kūnų padėties kitimas

kitų kūnų atžvilgiu. Mechaninio judėjimo formas ir priežastį nagrinėja mechanika. Mechanikos

dalis, nagrinėjanti mechaninio judėjimo formas, vadinama kinematika, o priežastį – dinamika.

Kartais išskiriama dar statika – mechanikos dalis apie parimusius kūnus.

Mechanika, nagrinėjanti kūnus, judančius mažais greičiais, lyginant su šviesos greičiu,

vadinama klasikine mechanika. Tokios mechanikos rėmuose ir tilps klausimai šiame skyriuje.

Antrame knygos skyriuje palietėme kai kuriuos teiginius iš kvantinės mechanikos, kuri nagrinėja

elementariųjų dalelių judėjimą, procesus atome.

Materialusis taškas

Mechaninio judėjimo tyrimą galima supaprastinti, vietoje kūno sąvokos įvedus abstrakčią

materialiojo taško sąvoką. Materialiuoju tašku suprantamas nykstamai mažų matmenų fizikinis

kūnas. Kūną galima laikyti materialiuoju tašku, jei tiriamos aplinkos atžvilgiu kūno matmenys

labai maži ir kūno vieno taško judėjimas nusako viso kūno judėjimą.

Materialiuoju tašku galima laikyti autostrada važiuojantį automobilį, tačiau jis nebus

materialusis taškas, kai reikės įvažiuoti į garažą. Materialusis taškas bus dujų molekulė, bet

nebus atomas nagrinėjant elektrono orbitales. Pagaliau materialiuoju tašku gali būti ir Žemė, kai

mus domina planetų judėjimas.

Atskaitos sistema

Materialiojo taško padėtį erdvėje ir

laike galima vaizduoti atskaitos sistema.

Atskaitos sistemą sudaro atskaitos kūnas,

koordinačių sistema ir laiko matavimo

prietaisas – laikrodis. Koordinačių sistemą

žinote iš matematikos, mokate rasti atskirų

taškų x, y ir z koordinačių vertes. Šiame

vadovėlyje panaudosime x ir y koordinates.

Kartais pasitenkinama tiesine ašimi ir viena

koordinate x.

Koordinačių sistemos pradžia

susiejama su kokiu nors nejudančiu ar

judančiu kūnu, kuris vadinamas atskaitos

kūnu. Atskaitos kūnas suprantamas kaip

materialusis taškas, t. y., nekreipiama

dėmesio į atskaitos kūno matmenis. Pagal

atskaitos kūną tariame, kad atskaitos sistema

yra judanti arba nejudanti.

3.2 pav. Kūnas persikelia iš A į B. Koordinačių

pokyčiai:

∆x = xB – xA, ∆y = yB - yA

Atskaitos sistemai reikalingas laiko matavimas materialiojo taško trajektorijos atskirų

taškų laikui nustatyti. Galima įsivaizduoti, kad laikrodžiai išdėstyti įvairiuose koordinačių

sistemos taškuose ir suderinti, sinchronizuoti elektromagnetiniais signalais (3.2 pav.). Taip

suprantamas atskaitos sistemos laikas klasikinėje mechanikoje. Elektromagnetiniai signalai

sklinda šviesos greičiu, todėl kūnams judant mažais greičiais, tiek judančiam, tiek nejudančiam

stebėtojui laikrodžiai rodys vienodą laiką.

Taigi trumpai tariant,

Atskaitos sistemą kinematikoje sudaro su atskaitos kūnu susietos x, y (kartais ir z)

koordinatės ir laikas t.

Trajektorija

Judantis kūnas kartais palieka pėdsaką (slidininkas sniege, kreida lentoje, meteoras

atmosferoje), bet visada galime įsivaizduoti kūno (materialiojo taško) judėjimo liniją. Linija,

kuria kūnas juda, vadinama trajektorija (lot. traiectorius – permetamasis).

Pagal trajektorijos formą kūnų judėjimas skirstomas į tiesiaeigį ir kreivaeigį.

Atlikime tokį bandymą. Lentoje nubrėžkime atskaitos sistemos ašis XY (sistema

nejudanti). Apatiniu lentos borteliu ridenkime skritulį, prie jo ašies pritaisę rėmelį, kuris

vaizduoja judančios atskaitos sistemos ašis X ′ Y ′ . Ašis X ′ lygiagreti ašiai X. Prie skritulio

krašto taške A pritvirtintas kreidos gabaliukas lentoje (XY atskaitos sistemoje) brėžia kreivę, kuri

vadinama cikloide (3.3 pav.). X ′ Y ′ atskaitos sistemos (rėmelio) atžvilgiu taškas A juda

apskritimu. Vadinasi, materialiojo taško A trajektorija priklauso nuo atskaitos sistemos,

trajektorija yra reliatyvi.

Slenkamasis judėjimas

Ne visais atvejais kūną galime laikyti

materialiuoju tašku. Aiškinantis kūno judėjimą

tenka atsižvelgti į tai, kaip juda atskiri kūno

taškai. Pavyzdžiui, ant vielos pakabintą raktą

perkeliame į kitą vietą (3.4 pav.). Rakto

judėjimui yra būdingi tokie požymiai: a) visi

rakto taškai juda vienodomis trajektorijomis;

b) tiesės atkarpa AB, jungianti du rakto taškus,

visą laiką lieka lygiagreti pati sau. Toks kūno

judėjimas vadinamas slenkamuoju judėjimu.

Jei kūnas sukamas apie vieną jo tašką

kaip ašį, kiti kūno taškai juda apskritimų

trajektorijomis. Tai kūno sukamasis

judėjimas.

Kelias ir poslinkis

Keliu laikome ilgį trajektorijos, kuria

judėjo kūnas. Judėjimui tirti vartosime dar kitą

fizikinį dydį – poslinkį. Poslinkiu vadiname

kryptinę tiesės atkarpą, kuri jungia kūno

(materialiojo taško) pradinę padėtį su jo

galine padėtimi.

Pavyzdys. Tarkime, automobilis iš

vietovės A per vietoves B ir C nuvažiavo į

vietovę D (3.5 pav.). Jo kelias l yra lygus

visos trajektorijos ilgiui. Poslinkis yra tiesės

atkarpa AD, nukreipta iš vietovės A į vietovę

D. Poslinkis yra vektorinis dydis., žymimas

s r .

3.3 pav.

30

3.4 pav. Slenkamasis judėjimas.

3.5 pav.

?

U

Geografijoje vartojamas panašus į poslinkį dydis – atstumas tarp dviejų vietovių,

atitinkantis poslinkio ilgį. Tik atstumui nesuteikiama kryptis, jis nėra vektorius, nekalbama apie

kūno judėjimą.

1. Kokias judėjimo rūšis išskyrė Aristotelis?

2. Kokiu bandymu G. Galilėjus pradėjo taisyti Aristotelio mechaniką?

3. Kaip skirstomas mokslas apie mechaninį judėjimą?

4. Kas sudaro atskaitos sistemą?

5. Kokie slenkamojo judėjimo požymiai?

6. Kuo skiriasi poslinkis nuo kelio?

3.1. Kokia judėjimo įvairovė gamtoje? Pateikite pavyzdžių.

3.2. Kurį kūną galime laikyti materialiuoju tašku:

Gandras parnešė į lizdą varlę, gandriukas varlę prarijo.

Radžio atomo branduolys išspinduliuoja α dalelę.

Iš Visatos erdvių atskriejęs meteoritas nukrito į Sibirą.

3.3 Pažymėkite taškų koordinates ir užrašykite koordinačių pokyčius tarp taškų AB ir BC

(3.6 pav.). Kokie koordinačių pokyčių ženklai?

3.6 pav.

3.2. Poslinkio vektorius

Vektorius ir skaliaras

Vektorinį dydį (vektorių) apibūdina pradžios taškas, vektoriaus kryptis ir vektoriaus

ilgis (modulis). Vektoriaus kryptis pateikiama brėžiniu arba nusakoma kampu α, kurį sudaro

vektorius su pasirinkta tiesės linija (3.5 pav.). Vektoriaus modulį žymėsime įprasta mažąja raide,

poslinkio modulį raide s. Neretai literatūroje modulis žymimas ženklu s r . Kinematikoje

r r r

vektoriniai dydžiai yra poslinkis s,

greitis v, pagreitis a. Kartais literatūroje vektorius žymimas

riebia raide be vektoriaus ženklelio: s, v, a.

Dydžiai, kuriuos nusakant nereikia nurodyti krypties erdvėje, vadinami skaliariniais

dydžiais (skaliarais). Tai gali būti matiniais dydžiai ir paprasti skaičiai: kelias, laikas, masė,

tūris, temperatūra, trinties koeficientas, naudingumo koeficientas ir kt. Skaliarinis dydis yra ir

vektorinio dydžio modulis. Skaliariniai dydžiai gali būti ir teigiami, ir neigiami, pavyzdžiui,

temperatūra.

Veiksmai su poslinkiais

Nagrinėsime veiksmus su poslinkiais, kai kūnas

(materialusis taškas) atlieka poslinkius vieną po kito toje

pačioje atskaitos sistemoje.

r

Sudedant viena tiese nukreiptus poslinkius s1

ir

r

s2 , atstojamasis poslinkis (suma) s r yra tos pačios

krypties, o modulis lygus dedamųjų poslinkių modulių

sumai (3.7 pav., a):

r r r

= s + s , s = s1 + s2.

s 1 2

Kai dedamieji poslinkiai yra priešingų krypčių,

atstojamasis poslinkis nukreiptas didesniojo poslinkio

kryptimi, o modulis lygus modulių skirtumui (3.7 pav.,

b):

r r r

= s + s , s = s1 – s2.

s 1 2

Poslinkiai sudaro kampą. Tarkime, kūnas atliko

r r

poslinkį s1, po to kitą poslinkį s2.

Atstojamąjį poslinkį

randame, poslinkio s1 r pradžios tašką sujungę su poslinkio

r

s2

galo tašku (3.8 pav.). Tai atstojamojo poslinkio radimo

trikampio taisyklė. Taip pat rašome:

r r r

= s + s .

s 1 2

Modulį s apskaičiuoti dabar žymiai sunkiau.

Reikia žinoti ne tik modulius s1 ir s2, bet ir kampą tarp jų,

tenka spręsti geometrijos uždavinį. Patogesnis grafinis

būdas: pasirinktu masteliu brėžiami moduliai s1 ir s2, o

paskui tuo pačiu masteliu apskaičiuojamas modulis s.

Kai kūno keli poslinkiai įvairiu kampu vyksta

vienas po kito, atstojamąjį poslinkį randame

daugiakampio taisykle (3.9 pav.):

r r r r r

= s + s + s + s .

s 1 2 3 4

r r

s ir s2

32

3.7 pav.

3.8 pav.

3.9 pav.

Kūno dviejų kampu atliktų poslinkių 1

atstojamąjį poslinkį s r galime dar rasti lygiagretainio

taisykle (3.10 pav.). Poslinkio s2 r vektorių paslenkame

r

taip, kad jo pradžios taškas sutaptų su poslinkio s1

galo

tašku. Gauname lygiagretainį, kurio įstrižainė yra

atstojamasis vektorius s r .

Poslinkius atimti vieną iš kito galime dviem

3.10 pav.

būdais. Pavyzdžiui, keleivis atliko du poslinkius. Atstojamasis poslinkis yra s r ir žinomas

r r r

antrasis dedamasis poslinkis s2

. Reikia rasti pirmąjį dedamąjį poslinkį s1

, t. y., iš sumos s

atimti s2. r

1) Nubrėžiame iš vieno taško poslinkius s r ir s2 r . Prie poslinkio s r pridedame priešingos

r r

krypties poslinkį - s2

. Sudarome lygiagretainį. Jo įstrižainė yra poslinkis s1

(3.11 pav.). Taigi,

r r r r r

= s + - s = s - s

( ) .

s1 2 2

Atimties veiksmą pakeitėme sudėtimi.

3.11 pav.

33

3.12 pav.

2) Iš 3.12 pav. matome, kad vektorius AB s1

r

= (lygiagretainio priešingos kraštinės), bet

r r r

AB jungia atėminio s2

galą su sumos s galu. Vadinasi, norint rasti poslinkių skirtumo s1

vektorių, reikia iš atėminio s2 r galo brėžti vektorių iki turinio s r galo.

Poslinkio skaidymas. Poslinkį

skaidydami į du dedamuosius poslinkius

(sandus) tiriame kūno judėjimą tuo pačiu metu

dviem skirtingomis kryptimis. Pavyzdžiui, tam

tikru kampu kylančio lėktuvo poslinkis yra s r .

r

Gulsčia kryptimi jo poslinkis yra s1, o vertikalia

r

s2

(3.13 pav.).

Poslinkį s r išskaidyti į du sandus galime

tada, kai žinome:

a) abiejų sandų kryptis, arba

b) vieno sando kryptį ir modulį.

3.13 pav.

Taikome lygiagretainio taisyklę, brėžiame lygiagretainį. Jo kraštinės vaizduoja sandų

poslinkius, į kuriuos skaidomas duotasis poslinkis.

Poslinkį dauginti galime iš skaliaro (skaičiaus) ir matinio skaliaro.

Poslinkio sandauga iš teigiamo skaičiaus yra tos pačios krypties poslinkis, tik jo ilgis

gaunamas padauginus iš daugiklio skaičiaus.

Daugyba iš neigiamo skaičiaus keičia poslinkio kryptį. Norint pakeisti duotojo poslinkio

r

s kryptį, nekeičiant jo ilgio, reikia padauginti iš –1 (3.14 pav.).

Vektoriaus daugyba iš matinio skaliaro duoda naują fizikinį vektorių. Imkime pavyzdžių:

r 1 r

s ⋅ = v,

t

r r

v ⋅ t = s,

r r

a ⋅ m = F.

3.14 pav.

Šiame skirsnyje nagrinėjome poslinkio savybes, veiksmus su vektoriais, poslinkio

skaidymą. Tos pačios taisyklės tinka ir kitiems vektoriniams dydžiams – greičiui v r ir pagreičiui

a. r Tik dedamieji greičiai ir pagreičiai egzistuoja kartu, o ne vienas po kito.

?

1. Kas apibūdina vektorių, kaip jis žymimas?

2. Kokius žinote skaliarinius dydžius?

3. Kaip sudedami poslinkiai viena tiese?

4. Kokia yra atstojamojo poslinkio radimo trikampio taisyklė ir lygiagretainio taisyklė?

U

5. Kokiais būdais galime poslinkius vieną iš kito atimti?

6. Kada ir kaip galima poslinkį išskaidyti į du sandus?

7. Kaip dauginamas poslinkis iš skaičiaus?

8. Kas gaunama, fizikinį vektorių padauginus iš matinio skaliaro?

3.4. Jonas savo automobiliu tiesiu keliu važiavo 21 km, o grįždamas pavėžėjo draugą

25 km. Koks Jono poslinkis atsisveikinant su draugu?

3.5. Keleivis šiaurės kryptimi nuėjo 1,5 km, pasukęs į rytus dar 2 km. Koks jo poslinkis?

Pavaizduokite brėžiniu.

3.6. Automobilis iš Nemakščių iki Kryžkalnio važiavo 8 km, o paskui plentu į Kelmę

24 km. Keliai Kryžkalnyje statmeni. Raskite automobilio poslinkį grafiniu būdu.

r r

3.7. Duoti du poslinkiai (3.15 pav.). Dviem būdais nubrėžkite jų sumos s1

+ s2

ir

r r

s - s poslinkius.

skirtumo 2 1

3.8. 20 o kampu kylantis lėktuvas pakilo į 600 m aukštį. Koks jo tikrasis poslinkis ir

poslinkis žemės paviršiumi?

3.9. Duotas poslinkis s r (3.16 pav.). Nubrėžkite poslinkius, padauginę iš: a) 1,5; b) 3/4;

c) –1,25; d) –0,25.

3.15 pav.

34

3.16 pav.

3.3. Poslinkis skirtingose atskaitos sistemose

Poslinkio reliatyvumas

Aiškinomės poslinkius vienoje atskaitos sistemoje. Panagrinėkime poslinkius skirtingose

atskaitos sistemose. Atlikime tokį bandymą.

Bandymas. Prie klasės lentos

viršutinio borto pakabinkime siūlą, prie

kurio pririštas kreidos rutuliukas O.

Pridėkime prie lentos demonstracinį

kampainį ir stumkite į dešinę, kreidą šiek

tiek spausdami prie lentos. Kreidos

rutuliukas lentoje (nejudančioje atskaitos

sistemoje) brėžia poslinkio vektorių s r .

Kampainio (judančios sistemos) atžvilgiu

rutuliuko poslinkis yra s1 r . Kampainio

(judančios atskaitos sistemos) poslinkis

lentos atžvilgiu s2. r Nubrėžiame lentoje

poslinkius s1 r ir s2 r (3.17 pav.).

Įsitikiname, kad poslinkis s r yra poslinkių

s1 r ir s2 r 3.17 pav.

atstojamasis poslinkis:

r r r

s = s + s .

1

Vadinasi, rutuliuko poslinkis s r nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu yra lygus sumai jo

poslinkio judančioje atskaitos sistemoje s1 r ir judančios atskaitos sistemos poslinkio nejudančios

sistemos atžvilgiu s2. r

Iš bandymo matome, kad kreidos rutuliuko poslinkiai s r r

ir s1

skirtingose atskaitos

sistemose yra skirtingi. Taigi, poslinkis yra reliatyvus dydis.

Poslinkių sudėtis

Poslinkius skirtingose atskaitos sistemose reikia mokėti sudėti įvairiais praktiškais

atvejais. Pavyzdžiui, žmogus plaukia per upę (3.18 pav.).

3.18 pav.

Pavyzdys. Nejudančią atskaitos sistemą XY susiejame su krantu. Srovės greičiu upe

plaukia rąstas. Su juo (upės vandeniu) susiejame judančią atskaitos sistemą X ′ Y ′ . Žmogaus

poslinkis upe s1 r , rąsto poslinkis kranto atžvilgiu per tą laiką s2 r . Tada žmogaus poslinkis

nejudančios atskaitos sistemos (kranto) atžvilgiu yra s r :

r r r

= s + s .

(3.1)

s 1 2

Ši poslinkių skirtingose atskaitos sistemose sudėties taisyklė tinka žmogui plaukiant bet

kuria kryptimi.

Kai žmogaus plaukimo greitis ir upės tėkmės greitis pastovus, padaliję iš žmogaus

plaukimo laiko t gauname atitinkamus greičius:

r

s r s1 r s2 r

= v , = v1

, = v2

.

t

Palyginę su poslinkių sudėties taisykle, gauname greičių sudėties taisyklę:

r r r

= v + v ;

(3.2)

v 1 2

čia v1 r yra žmogaus plaukimo greitis upės tėkmės (judančios atskaitos sistemos) atžvilgiu. v2 r –

rąsto (upės tėkmės) greitis kranto atžvilgiu, t. y., judančios atskaitos sistemos X ′ Y′

greitis

nejudančios atskaitos sistemos XY atžvilgiu.

Palyginę su poslinkių sudėtimi galime teigti, kad greitis yra reliatyvus dydis, priklauso

nuo atskaitos sistemos.

Uždavinys. Plaukiko poslinkis upės vandens paviršiumi yra s1 = 50 m. Plausto poslinkis

upe per tą patį laiką s2 = 20 m.

Nubrėžkite poslinkių vektorius ir apskaičiuokite plaukiko poslinkį s kranto atžvilgiu, kai

plaukikas plaukia statmenai: a) vandens srovei; b) krantui.

Sprendimas. Abu atvejus vaizduoja 3.19 pav. Taikome Pitagoro teoremą.

a) s 2 2 2

= s1

+ s2

,

2

1 +

2

s = s s ,

2 +

s = (50 m) (20 m) ,

s = 54 m.

b) s 2 2 2

= s1

− s 2 ,

?

U

2

1 −

2

s = s s ,

s = (50 m) (20 m) ,

s = 46 m.

2 −

2

36

3.19 pav.

1. Kodėl poslinkis yra reliatyvus dydis?

2. Kokia poslinkių skirtingose atskaitos sistemose sudėties taisyklė?

3. Keleivis pereina traukinio vagoną. Kada jo poslinkis reliatyvus?

4. Ar greitis reliatyvus dydis?

3.10. 3.17 pav. bandymu kampainio poslinkis 40 cm. Koks kreidos poslinkis s?

3.11. Lėktuvas skrido iš miesto A šiaurės kryptimi į miestą B, esantį už 200 km. Pūtė

stiprus vakarų vėjas ir lėktuvą nunešė 20 km į rytus. Keleiviams atrodė, kad

lėktuvas skrido tiesiai į miestą B.

Kuria kryptimi žemės atžvilgiu buvo orientuotas lėktuvo skrydis? Koks lėktuvo

poslinkis oro atžvilgiu?

3.12. Valtis upe plaukia 2 m/s greičiu. Upės tėkmės greitis 1,5 m/s. Koks valties greitis

kranto atžvilgiu, kai valtis plaukia:

a) prieš srovę; b) pasroviui; c) skersai upės?

Projekcijų išreiškimas koordinatėmis

Kūno poslinkis s r vaizduojamas XY

koordinačių sistemoje (3.20 pav.). Poslinkio

projekcijas X ir Y ašyse išreikškime poslinkio

pradinio ir galinio taško koordinatėmis:

3.4. Poslinkio projekcijos

sx = x1 – x0 > 0,

sy = y1 – y0 < 0.

Matome, kad poslinkio projekcija yra

lygi poslinkio galinių taškų koordinačių

pokyčiui.

Poslinkio projekcijos koordinačių

ašyse yra skaliariniai dydžiai, kurių ženklas

priklauso nuo poslinkio s r krypties.

Poslinkio galinio taško koordinatę

galime taip išreikšti:

3.20 pav.

x1 = x0 + sx, (3.3)

y1 = y0 + sy. (3.4)

Projekcijų išreiškimas moduliu

Poslinkio projekcijas galima dar išreikšti poslinkio moduliu, panaudojus trigonometrines

funkcijas. Kampas α tarp X ašies krypties ir poslinkio vektoriaus žymimas prieš laikrodžio

rodyklės kryptį. 3.20 pav. kampas pažymėtas pagal laikrodžio rodyklės kryptį, todėl jis

neigiamas. Duotuoju atveju poslinkio projekcijos yra:

s ⋅ − = ⋅

sx = cos( α) s cos α,

sy = s ⋅ sin( −α)

= −s

⋅ sinα .

Kartais literatūroje poslinkio projekcijos laikomos vektoriais, kurie gaunami poslinkio

vektorių išskaidžius koordinačių ašių kryptimis.

Veiksmai su projekcijomis

Atvaizduokime XY koordinačių sistemoje poslinkių sudėtį (3.21 pav.):

r r r

= s + s .

s 1 2

Išreikškime projekcijas koordinatėmis ir patikrinkime sudėties taisyklę projekcijoms:

a) s1x = x2 – x1, s2x = x3 – x2, s3x = x3 – x1.

sx = s1x + s2x = x2 – x1 + x3 – x2 = x3 – x1.

b) s1y = y2 – y1, s2y = y3 – y2, s3y = y3 – y1.

sy = s1y + s2y = y2 – y1 + y3 – y2 = y3 – y1.

3.21 pav. 3.22 pav.

Tad aišku, kad sx = s1x + s2x ir sy = s1y + s2y. poslinkio projekcijų sudėties taisyklė tokia

pat kaip poslinkio vektorių. Polinkio projekcijos gali būti teigiamos ir neigiamos. Tai priklauso

nuo koordinačių pokyčio ženklo. Šiuo atveju neigiama tik viena projekcija s1y.

Žinoma, ta pati projekcijų sudėties taisyklė tinka ir poslinkiams viena tiese.

Taip pat sudedami greičių toje pat atskaitos sistemoje vektoriai ir jų projekcijos.

Uždavinys. Iš pradžių kūnas pasislinko iš taško A (-1, 2) į tašką B (2, 7), paskui į tašką

C (5, 4). Koordinatės duotos metrais. Nubrėžti dedamųjų poslinkių ir atstojamojo poslinkio

vektorius. Patikrinti projekcijų sudėties taisyklę.

Sprendimas. XY koordinačių sistemoje brėžiame poslinkių vektorius (3.22 pav.) ir

skaičiuojame projekcijas:

s1x = 2 m – (-1 m) = 3 m; s2x = 5 m – 2 m = 3 m.

?

U

Tikriname projekcijų sudėties taisyklę:

s1y = 7 m – 2 m = 5 m; s2y = 4 m – 7 m = -3 m.

sx = s1x + s2x = 3 m + 3 m = 6 m; sx = 5 m – (-1 m) = 6 m.

sy = s1y + s2y = 5 m + (-3 m) = 2 m; sy = 4 m – 2 m = 2 m.

1. Kaip brėžiama poslinkio projekcija koordinačių ašyse?

2. Kas yra poslinkio projekcija: vektorius ar skaliaras?

3. Kada poslinkio projekcija neigiama?

4. Kaip išreiškiama poslinkio galinė koordinatė?

5. Kaip poslinkio projekcija išreiškiama poslinkio moduliu?

6. Kokia poslinkio projekcijų sudėties taisyklė?

3.13. XY koordinačių sistemoje pateikti keleivio poslinkiai. Keleivis iš vietovės A (-1, 4)

r r

dviem poslinkiais s1

ir s2

pateko į vietovę B (6, 5). Koordinatės matuojamos km.

r

Poslinkio s1

projekcijos yra s1x = 4 km, s1y = 2 km. a) Rasti atstojamojo poslinkio

r

s projekcijas. b) Apskaičiuoti poslinkio s2 r projekcijas. c) Apskaičiuoti poslinkio s r

modulį. d) Nubrėžti poslinkių vektorius.

3.14. Kūnui pasislinkus iš pradinio taško A (-2, 1), jo poslinkio vektoriaus projekcija

sx = 4 m, sy = -3 m. Nubrėžkite poslinkio vektorių ir apskaičiuokite jo modulį.

3.15. 3.13 pav. lėktuvas kyla v = 120 m/s greičiu 30 o kampu. Koks jo projekcijos žemės

paviršiuje greitis v1 ir vertikalaus kilimo greitis v2?

3.5. Tiesiaeigis tolyginis judėjimas

Tolyginio judėjimo išraiškos

Tolyginiu judėjimu VIII klasėje vadinome tokį kūno judėjimą, kai kūnas per lygius laiko

tarpus nueina vienodą kelią. Kelias buvo žymimas raide s. dabar kelią žymėsime raide l , o raide

s – poslinkį.

Vartodami poslinkio sąvoką, tolyginio judėjimo greitį galime išreikšti vektorine ir

skaliarine forma:

r

r s

s

v = , v = .

(3.5)

t

Tolyginio tiesiaeigio judėjimo greičiu laikome poslinkio ir jo laiko tarpo santykį.

Ieškodami santykio poslinkį s dalijame iš laiko t, per kurį įvyko poslinkis, randame poslinkį per

laiko vienetą.

Greičio vienetas yra metras sekundei:

1 m m

[ v ] = = 1 .

1 s s

Greičio vektoriaus v r ir poslinkio vektoriaus s r kryptys sutampa, todėl galime užrašyti ir

projekcijomis:

s

x

y

v x = , v y .

t

=

Poslinkį ir jo projekcijas išreiškiame taip:

r

s vt,

r = sx = vxt, sy = vyt. (3.6)

Koordinačių formulėse (3.3) ir (3.4) įrašome poslinkio projekcijų išraiškas (3.6) ir

nerašome galinės koordinatės indekso. Gauname tolyginio judėjimo koordinačių formules:

x = x0 + vxt, (3.7)

y = y0 + vyt. (3.8)

Nagrinėjome poslinkio projekcijas, užrašėme formules dviem koordinatėm x ir y. Visa

tai, kas nagrinėta, tinka ir vienos ašies X sistemai ir jos koordinatei x.

Praktiniame gyvenime ir gamtoje tolyginio tiesiaeigio judėjimo beveik neįmanoma

sutikti. Jį galime gauti bandymais, sudarę tam tikras sąlygas (pavyzdžiui, metalinis rutuliukas

grimzta vandenyje). Tolyginis judėjimas yra idealizuota sąvoka, abstrakcija. Ji padeda suprasti

mechaninį judėjimą.

Vidutinis greitis

Praktikoje kūno judėjimą neretai laikome beveik tolyginiu. Pavyzdžiui, automobilio ar

traukinio judėjimas dideliais atstumais. Jų judėjimas kinta, tenka sustoti ir vėl pradėti judėti.

Visgi galvojame apie jų judėjimo greitį kaip pastovų dydį, taip suprasti jų judėjimo vidutinį

greitį.

Analizuokime automobilio judėjimą pagal 3.5 pav. Tarkime, kad automobilio kelias

l 1 = AB, judėjimo laikas t1; kelias l 2 = BC ir laikas yra t2; kelias 3 CD = l ir laikas t3. Kaip

rasti vidutinį automobilio greitį, jei jis tarp atskirų vietovių važiavo kiek kitokiu greičiu ir atskiri

keliai nevienodi? Reikia visą kelią dalyti iš viso laiko:

v

vid

l l

= =

t t

1

+ l

+ t

2

+ t

39

+ l

Negalima sudėti atskirų judėjimo intervalų greičius ir, padalijus iš intervalų skaičiaus,

taip skaičiuoti vidutinį greitį.

Iš 3.5 pav. matome, kad vidutinis greitis, apskaičiuotas remiantis poslinkio moduliu s,

šiuo atveju neturi prasmės. Jis būtų kelis kartus mažesnis. Pagal poslinkį s r vidutinis greitis

tikslus tuo atveju, kai dedamieji poslinkiai tiese yra vienos krypties.

Grafinis vaizdavimas

Kelio ir poslinkio lygtys yra šių dydžių priklausomybės nuo laiko t funkcijos. Šias

funkcijas galime atvaizduoti grafiškai. Braižyti grafikus paprastai apskaičiuojamos l ir s vertės

atskiroms t vertėms tam tikrais pasirinktais intervalais, bet tai ilgas darbas. Jei l ir s tiesinė

priklausomybė nuo t, galime daryti paprasčiau: apskaičiuoti nagrinėjamo intervalo tik pradinę ir

galinę dydžių vertes.

Uždavinys. Keleivis iš ryto v1 = 8 km/h greičiu tiesiu keliu ėjo t1 = 2 h. Atlikęs reikalus

per t2 = 1 h, grįždamas per t3 = 1,5 h nuėjo 10 km ir sustojo pailsėti. Atvaizduoti keleivio kelią ir

poslinkį grafiškai. Iš grafiko nustatyti, koks keleivio kelias ir poslinkis poilsio metu.

Apskaičiuoti keleivio greitį atskiriems grafiko intervalams.

Laiko t ašį sugraduojame h, o l ir s ašį km. Apskaičiavę atskirų intervalų kelią ir

poslinkį, gauname kelio ir poslinkio ribinius taškus A (2; 16), B (3; 16), o kelio galinį tašką C

(4,5; 26) ir poslinkio D (4,5; 6). Panaudoję dar pradinį tašką O, brėžiame tieses, nes tolyginis

judėjimas (3.23 pav.).

Iš grafiko nustatome, kad keleivio kelias l = 26 km, poslinkis s = 6 km.

Grafikai parodo, koks greitis atskirais judėjimo intervalais.

3

.

(3.9)

BD:

v

1

v 2

∆

=

∆t

l

=

0

1h

1

s

=

t

= 0.

1

16 km − 0 km

= = 8 ;

2 h h

Intervale BC greitis pagal kelią yra

v 3

26 km −16

km km

=

≈ 6,7 .

1,5 h

h

Poslinkio atžvilgiu greitis intervale

6 km −16

km km

v′ 3 =

≈ −6,7

.

1,5 h

h

Poslinkio greitis neigiamas, nes

keleivis judėjo atgal.

Greitis. Keleivio judėjimo greitį

galime vaizduoti grafiku (3.24 pav.).

Tolyginio judėjimo greitis yra pastovus,

todėl greičio grafikas yra tiesė, lygiagreti

t ašiai.

Remiantis greičio grafiku

apskaičiuojamas kelias ir poslinkis. Juos

vaizduoja greičio grafiko, t ir v ašių bei

ordinačių ribojamas plotas, todėl:

40

3.23 pav.

3.24 pav.

km

l 1 = s1 = v1t1 = 8 ⋅ 2 h = 16 km;

h

l 2 = s2 = v2t2 = 0;

km

l 3 = v3t3 = 6,7 ⋅ 1,5 h = 10 km;

h

km

s3 = v′

3t

3 = −6,7

⋅1,5

h = −10

km.

h

Bendras nueitas kelias

l = l1

+ l 2 + l 3 = 16 km + 0 + 10 km = 26 km.

Visas poslinkis

s = s1 + s2 + s3 = 16 km + 0 – 10 km = 6 km.

Uždavinys. Iš miesto tiesiu plentu 80 km/h greičiu išvažiavo lengvoji mašina. Po

t0 = 15 min iš vietovės, esančios už 80 km, į miestą 60 km/h greičiu išvažiavo sunkvežimis.

Miesto koordinatė x = 0.

a) Parašyti mašinų koordinatės lygtis.

b) Nubrėžti mašinų judėjimo grafikus.

c) Nustatyti, po kiek laiko mašinos prasilenkė.

Sprendimas.

a) Rašome koordinatės x lygtis (3.7). Įrašome pradinės koordinatės x0 ir greičio

projekcijos vx vertes:

x1 = 0 + 80t,

x2 = 80 – 60(t – t0).

Rašydami lygtis matavimo vienetų nerašome.

b) Judėjimas tolyginis. Pradinės koordinatės žinomos. Apskaičiuojame dar vieną

koordinatę, tarkime, kai t = 0,5 h:

x1 ′ = 40 km,

Per pradinį ir šį tašką brėžiame

judėjimo grafikus (3.25 pav.).

c) Grafikai susikerta taške A. Iš

grafiko matome, kad mašinos prasilenkia

po t A ≈ 0,7 h išvažiavus I mašinai.

x′ 2 = 65 km.

Iš lygčių galime apskaičiuoti

tiksliai. Prasilenkimo metu x1 = x2.

Gauname

?

U

0 + 80t = 80 – 60(t – t0),

80 + t 0

t = = 0,68 (h).

140

1. Kokios tolyginio judėjimo esminės savybės?

2. Kodėl tolyginis judėjimas laikomas idealizuota sąvoka?

3. Kaip apskaičiuojamas vidutinis greitis?

4. Kada turi prasmę vidutinis greitis, apskaičiuotas poslinkiui?

5. Kaip apskaičiuoti kelią ir poslinkį, remiantis greičio grafiku?

41

3.25 pav.

3.16. Dviejų motociklų judėjimo autostrada lygtys yra:

x1 = 80t ir x2 = 90 – 100t.

a) Atvaizduoti motociklininkų judėjimo grafikus.

b) Po kiek laiko motociklininkai prasilenkė?

3.17. Virš vietovės 300 km/h greičiu praskrido lėktuvas. Po t0 = 0,5 h ta pačia kryptimi

praskrido 400 km/h greičiu antras lėktuvas.

a) Parašyti abiejų lėktuvų koordinatės lygtis.

b) Nubrėžti lėktuvų judėjimo grafikus.

c) Po kelių valandų antrasis lėktuvas pavijo pirmąjį?

3.18. Duoti krovininio traukinio I ir greitojo traukinio II judėjimo grafikai (3.26 pav.).

a) Koks traukinių vidutinis greitis?

b) Kiek laiko traukiniai stovėjo stotyse?

c) Koks traukinių greitis tarp dviejų stočių?

3.26 pav.

3.19. Dviratininkui reikėjo nuvažiuoti 24 km. Jis 16 km važiavo 12 km/h greičiu, o

pradūręs padangą stūmė dviratį 6 km/h greičiu. Koks vidutinis dviratininko greitis?

Pastaba. Sprendžiant uždavinius kartais tenka keisti greičio vienetus. Skaičiavimams

reikia laiko. Verta prisiminti, kad 36 km/h = 10 m/s.

3.20. Automobilis ketvirtąją dalį viso kelio mieste važiavo 15 m/s greičiu. Vidutinis

greitis visu keliu 72 km/h. Kokiu greičiu važiavo užmiestyje?

3.6. Tiesiaeigis tolygiai kintamasis judėjimas

Momentinis greitis

Kūno judėjimas paprastai nėra tolyginis, greitis vienaip ar kitaip palaipsniui pakinta.

Kūno greitis negali staiga įgyti kitą vertę. Tiriant judėjimą dažnai reikia žinoti kūno greitį

kuriame nors trajektorijos taške, t. y., žinoti momentinį greitį.

Atliekame tokį bandymą. Nuožulniu

loveliu leidžiame riedėti rutuliuką (3.27

pav.). Sekundometro kontaktus įtvirtiname

taškuose A1 ir B1, paskui A2 ir B2, A3 ir B3.

Kartodami bandymą rutuliuką paleidžiame

iš taško O, poslinkio pokyčius imame vis

mažesnius: ∆s1 = B1x – A1x, ∆s2 = B2x – A2x,

∆s3 = B3x – A3x. Sekundometras išmatuoja

laiko pokyčius ∆t1, ∆t2, ∆t3.

3.27 pav.

Apskaičiuojame vidutinį greitį:

∆s1

∆s 2 ∆s3

v′

vid = , v vid ′′ = , v′

vid ′′ = .

∆t

1

Vis mažesniam poslinkio ir laiko pokyčiui ties tašku C gauname vidutinį greitį, artėjantį

prie momentinio greičio taške C.

Tiktų bandymas su elektroniniu stroboskopu, kuris periodiškai blyksteli. Greta lovelio

padedama demonstracinė liniuotė. Patalpa užtemdoma. Kartojant bandymą didinamas blyksnių

dažnis ν. Rutuliuko poslinkio pokytis ∆s tarp dviejų blyksnių ties tašku C vis mažesnis. Jį

1

apytiksliai nustatome liniuotės skalėje. Laiko tarpas tarp blyksnių ∆t = taip pat mažėja.

Apskaičiuojame rutuliuko vidutinį greitį ties tašku C kaip poslinkio pokyčio ir laiko pokyčio

santykį. Dažnio ν vienetas yra 1 Hz = 1 s -1 .

Šį bandymą galima fotografuoti atidaryta kamera ir tirti išryškintą fotografinę juostelę.

Momentinis greitis kuriame nors trajektorijos taške lygus kūno mažo poslinkio ∆s r per

mažą laiko tarpą ∆t santykiui:

r

r ∆s

v = ,

∆t

∆s

v = .

∆t

(3.10)

Momentinis greitis yra vektorinis dydis. Kūno kintamojo judėjimo greitį kuriame nors

trajektorijos taške suprantame kaip momentinį greitį, t. y., greitį tam tikru laiko momentu.

Autotransporto priemonėse momentinis greitis matuojamas indukciniu spidometru (angl.

speed – greitis, gr. metron – matas). Prisiminkime iš IX klasės sūkurines sroves ir bandymą su

sukamu pasagiškuoju magnetu. Ant smailagalio paremtame metaliniame inde indukuojamos

sūkurinės srovės, dėl magnetinių jėgų indas pradeda suktis. Panašiai sudarytas indukcinis

spidometras, tik vietoje indo yra aliumininis diskelis su rodykle.

Tolygiai kintamasis judėjimas

42

2

3

Kai kūno greitis per lygius laiko tarpus

pakinta vienoda verte ∆v, toks judėjimas

vadinamas tolygiai kintamuoju. Tolygiai

kintamasis judėjimas taip pat yra idealizuota

sąvoka. Gamtoje ir technikoje galime rasti

judėjimų, artimų tolygiai kintamajam judėjimui:

kūnų kritimas, stabdomo automobilio judėjimas,

ir kt.

Tolygiai kintamąjį judėjimą vėlgi galime

tirti rutuliukui judant loveliu. Šį judėjimą tyrė G.

Galilėjus (3.28 pav.). Tokio bandymo lovelis

kartais vadinamas Galilėjaus loveliu.

Atliekant bandymą su loveliu ir

stroboskopu, rutuliuko padėtis per vienodus

laiko tarpus ∆t vaizduoja 3.29 pav.

Žinodami laiko tarpą tarp blyksnių ∆t,

užrašome visą rutuliuko judėjimo laiką, poslinkį

ir poslinkio pokyčius per gretimus laiko tarpus:

t1, t2, t3, t4, t5, ...

s1, s2, s3, s4, s5, ...

∆s1, ∆s2, ∆s3, ∆s4, ∆s5, ...

43

3.28 pav. G. Galilėjus panaudojo lovelį.

3.29 pav.

Poslinkio pokyčiai yra ∆s1 = s1 – 0, ∆s2 = s2 – s1, ∆s3 = s3 – s2, ir t. t.

Iš šių duomenų gauname įdomių judėjimo požymių.

a) ∆s1 : ∆s2 : ∆s3 : ∆s4 : ∆s5: ... = 1 : 3 : 5 : 7 : 9 : ...

Poslinkių pokyčiai per gretimus lygius laiko tarpus santykiauja kaip nelyginiais skaičiai.

b) ∆s2 – ∆s1 = ∆s3 – ∆s2 = ∆s4 – ∆s3 = .... = const.

Gretimų poslinkio pokyčių per lygius laiko tarpus skirtumas yra pastovus dydis.

2 2 2 2 2

c) s1 : s2 : s3 : s4 : s5 : ... = t1

: t 2 : t 3 : t 4 : t 5 : ...

Poslinkiai santykiauja kaip laikų kvadratai.

Jeigu ištyrus judėjimą gaunamas bent vienas šis požymis, tai toks judėjimas yra tolygiai

kintamasis.

Pagreitis

Tolygiai kintamojo judėjimo greitis pastoviai kinta – didėja

arba mažėja. Greičio kitimo spartą nusako fizikinis dydis pagreitis

– kūno greičio pokyčio ir jo laiko pokyčio santykis:

r r r

r ∆v

r v − v0

v x − v0x

a = , a = , a x = .

(3.11)

∆t

Pagreičio vienetas yra metras sekundei kvadratu:

m

s

m

[ a]

= 1 : 1s

= 1 .

Pagreitis yra vektorinis dydis, nukreiptas greičio pokyčio

linkme (3.30 pav.).

s

2

3.30 pav.

P

Technikoje pagreitis matuojamas akselerometrais (lot. accelero – geitinu, gr. metron –

matas). Vienas iš jų yra inercinis akselerometras. Jame tam tikros masės detalės padėtis, vykstant

kintamajam judėjimui, dėl inercijos kinta ir pakeičia įrenginio elektrinį signalą. Inerciniai

akselerometrai įtaisomi erdvėlaiviuose, po vieną koordinačių ašių kryptimis. Jie perduoda

elektrinius signalus kompiuteriui, kuris skaičiuoja erdvėlaivio judėjimo parametrus (pagreitį,

greitį, koordinates).

Praktikoje įtaisas, kuriuo keičiamas judėjimo greitis, vadinamas akseleratoriumi.

Pavyzdžiui, tai vienas pedalas automašinoje, kuriuo keičiamas kuro padavimas.

Pagreitis įvairiose atskaitos sistemose

Prisiminkime 3.18 pav. (žmogus plaukia per upę) ir greičių sudėties taisyklę (3.2).

Greičių sudėties taisyklė, parašyta projekcijomis, yra

vx = v1x + v2x.

Dar užrašome greičių sudėties taisyklę pradiniam greičiui:

v0x = v01x + v02x.

Jeigu judanti atskaitos sistema juda tiesiai ir tolygiai nejudančios atskaitos sistemos

atžvilgiu, tai v2x = v02x.

Užrašome žmogaus plaukimo pagreičio projekciją kranto (nejudančios atskaitos

sistemos) atžvilgiu ir vandens (judančios atskaitos sistemos) atžvilgiu:

Analizuojame pagreitį a1x:

a

x

1x

vx

− v0x

v1x

− v01x

= , a1x

= .

t

=

( v − v ) − ( v − v )

x

2x

t

Gauname ax = a1x. Vadinasi, kūno (materialiojo taško) pagreitis nepriklauso nuo

atskaitos sistemos, kai sistemos viena kitos atžvilgiu juda tiesiai ir tolygiai.

Greitis

Tolygiai kintamojo judėjimo greičio formulę gauname iš pagreičio išraiškos (3.11):

Projekcijomis:

44

0x

02x

v

=

x

− v

r r r

= v + at.

(3.12)

v 0

vx = v0x + axt.

Projekcijas galime pakeisti moduliais, tik reikia atsižvelgti į ax ženklą:

a) greitis didėja, vx > v0x, ax > 0, ax = a;

b) greitis mažėja, vx < v0x, ax < 0, ax = -a.

Greičio formulės, parašytos moduliais:

a) v = v0 + at,

b) v = v0 – at.

Šiomis formulėmis patogu naudotis, kai žinome judėjimo pobūdį – greitis didėja ar

mažėja. Gilesnei judėjimo analizei labiau tinka formulė (3.12). Jeigu kūnas pradeda judėti iš

rimties būsenos, formulėse nelieka nario su pradiniu greičiu.

Vidutinis greitis. Formulė (3.12) panaši į pirmojo laipsnio funkciją y = kx + b, žinomą iš

algebros. Vadinasi, greičio formulė taip pat yra pirmojo laipsnio tiesinė funkcija vx = f(t). Ją

galima vaizduoti, kaip rodo 3.31 pav.

t

0x

.

(3.13)

Greičio grafiko dalies tarp taškų 1 ir 2 vidutinis greitis yra

v

xvid

v

=

1x

+ v

2

Rašant judėjimo pradiniam ir galiniam greičiui

v

xvid

2x

.

v0x

+ v x

= .

(3.14)

2

Reikia įsidėmėti, kad ši vidutinio greičio formulė tinka tik tolygiai kintamajam judėjimui.

Bet kokiam judėjimui tenka naudotis (3.9) formule.

Pagreičio grafinis vaizdas aiškėja iš 3.31 pav.:

a

x

∆v

=

∆t

x

v

=

t

2x

2

− v

− t

1x

1

45

=

tg α.

Čia tg α yra mūsų tiesinės funkcijos (3.12)

krypties koeficientas, atitinkantis algebroje krypties

koeficientą k. Taigi, statesnis greičio grafikas vaizduoja

didesnį teigiamą pagreitį. Kai α < 0 (į priešingą pusę

nuo t ašies), tg α < 0 ir ax < 0, pagreičio projekcija

neigiama.

3.31 pav.

Poslinkis

3.24 pav. matėme, kad kūno tolyginio judėjimo kelią ir poslinkį galime vaizduoti plotu.

3.32 pav. vėl pateiktas (3.12) formulės grafikas, kai ax > 0. Čia OA = v0x, BC = v0x + axt 2 .

Užbrūkšniuotas plotas yra trapecija. Jos plotas

OA + BC

S = ⋅ OB.

2

Įrašę atitinkamas išraiškas, gauname:

2

v0x

+ v0x

+ a xt

sx = ⋅ t,

s

x

2

a xt

= v0x

t + .

2

3.32 pav.

(3.15)

Tai yra tolygiai kintamojo judėjimo poslinkio projekcijos formulė. Užrašę moduliais

tolygiai greitėjančiam ir lėtėjančiam judėjimui, turime:

at

ax > 0, s = v0t + ,

2

at

ax < 0, s = v0t – .

2

Prisiminę (3.3) parašome koordinatės lygtį:

at

x = x0 + v0xt + .

2

(3.16)

(3.17)

Iš (3.12) ir (3.13) formulių eliminavę t, turime

Šią formulę galime užrašyti moduliais:

s

x

2

v x − v0x

= .

(3.18)

2a

x

2

2 2

v − v0

ax > 0, s = ;

2a

v

2a

2 2

v0

−

ax < 0, .

s =

Formulėmis (3.18) ir (3.19) verta pasinaudoti tada, kai nėra duotas laikas arba nereikia jo

skaičiuoti.

Visos formulės atitinkamai sutrumpėja, kai judėjimas prasideda iš rimties būsenos –

nelieka nario su pradiniu greičiu.

Atkreipkime dėmesį į 3.32 pav. Stačiakampio OADB plotas vaizduoja poslinkį tolyginio

judėjimo dalies dėl pradinio greičio v0x. Trikampio ADC plotas pateikia poslinkio padidėjimą dėl

pagreičio ax. Taigi, formulės (3.15) dalys turi savo vaizdinę išraišką.

Uždavinys. Berniukai žaidė mediniu skrituliu (ripka). Paleidus skritulį v0 = 6 m/s greičiu

į kalnelį, atgal riedėdamas skritulys po 2 s nuvirto. Skritulio judėjimo nuokalne pagreičio

modulis a = 2 m/s 2 .

a) Nubrėžti skritulio greičio grafiką.

b) Atvaizduoti jo poslinkį ir kelią.

c) Remiantis greičio grafiku apskaičiuoti poslinkį ir kelią.

Sprendimas.

a) Greičio grafiko pradinis taškas yra A (0, 6). Skritulio pagreitis visą laiką yra

neigiamas, nukreiptas į pakalnę, prieš vx ašį (3.33 pav.). Skrituliui aukščiausiame taške sustojus,

iš (3.12) formulės turime:

m

6

v0x

0 = v0x + axt; t = − ; t = −

s

= 3 s.

a

m

x − 2

2

s

Tad antras grafiko taškas skrituliui stabtelėjus yra B (3, 0).

Skritulys nuvirto, įgijęs greitį

vx = axt;

m m

vx = -2 ⋅ 2 s = - 4 .

2

s

Trečias taškas (skrituliui nuvirtus) yra

C (5, -4).

b) Poslinkį vaizduoja vienodai

brūkšniuotų trikampių plotai.

Skrituliui riedant atgal, kelias yra

teigiamas dydis. Pažymime tašką D (5, 4). Per

taškus B ir D brėžiame skritulio riedėjimo

pakalnėn teigiamo greičio grafiką. Grįžtamojo

judėjimo kelią vaizduoja plotas BDE.

c) Iš grafiko plotų apskaičiuojame

poslinkį:

46

3.33 pav.

(3.19)

s x

Skritulio nueitas kelias yra

m

6 + 0 0 − 4

=

s

⋅3

s +

s

⋅ 2 s = 9 m − 4 m = 5 m.

2

l = 9 m + 4 m = 13 m.

Poslinkio grafikas

Poslinkį grafiškai vaizdavome plotu, pasinaudodami greičio grafiku. Šiuo būdu gavome

ir poslinkio formulę (3.15), kuri yra antrojo laipsnio laiko t funkcija. Koordinatės lygtis (3.17)

jau visas kvadratinis trinaris. Šių formulių grafikus galime braižyti kaip funkcijų sx = f(t) arba

x = f(t) grafikus.

Uždavinys. Pasinaudojant poslinkio projekcijos (3.15) ir koordinatės (3.17) formulėmis,

laiką didinant kas 1 s, kai pagreitis ax = 2 m/s 2 , apskaičiuoti vertes ir braižyti grafikus:

a) projekcijos s1x, kai v0x = 0;

b) projekcijos s2x, kai v0x = 2 m/s;

c) koordinatės x, kai x0 = 10 m ir v0x = 2 m/s.

Sprendimas. Užrašome lygtis:

Apskaičiuojame ir surašome į lentelę:

t, s 0 1 2 3 4 5 6

a) m 0 1 4 9 16 25 36

b) m 0 3 8 15 24 35 48

c) m 10 13 18 25 34 45 58

Nubraižome grafikus (3.34 pav.).

Koordinatės x grafikas x0 = 10 m

pakeltas virš poslinkio s2x grafiko. Kai x0

< 0, būtų nuleistas žemyn.

a) s1x = t 2 ; b) s2x = 2t + t 2 ; c) x = 10 + 2t + t 2 .

47

3.34 pav.

Uždavinys. Nubraižyti uždavinio su skrituliu poslinkio sx ir kelio l grafikus žinant, kad

v0x = 6 m/s. Grafiko taškų vertes apskaičiuoti kas 0,5 s.

Sprendimas. Poslinkio lygtis yra sx = 6t – t 2 . Sudarome lentelę:

t, s 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

sx, m 0 2,8 5 6,8 8 8,8 9 8,8 8 6,8 5

l , m 0 2,8 5 6,8 8 8,8 9 9,2 10 11,2 13

Iki skritulio aukščiausio pakilimo taško ( t = 3 s) poslinkis sutampa su keliu. Skrituliui

grįžtant poslinkis dydžiu at 2 /2 mažėja, o kelias – didėja (3.35 pav.).

?

U

3.35 pav.

1. Kokiais bandymais randamas vidutinis greitis ties pasirinktu trajektorijos tašku?

2. Kokiu prietaisu matuojamas momentinis greitis?

3. Iš kokių požymių galima spręsti, kad kūno judėjimas yra tolygiai kintamasis?

4. Koks tolygiai kintamojo judėjimo pagreitis?

5. Koks pagreitis įvairiose atskaitos sistemose?

6. Kaip apskaičiuoti tolygiai kintamojo judėjimo vidutinį greitį?

7. Kaip grafiškai galima vaizduoti pagreitį?

8. Kuo remiantis išvedama poslinkio formulė?

9. Kokiais būdais galima vaizduoti tolygiai kintamojo judėjimo poslinkį ir kelią?

3.21. Užgeso automobilio variklis, akumuliatorius išsikrovęs. Išjudintas iš rimties

būsenos, automobilis nuo kalno išjungta pavara per 4 s nuvažiavo 15 m, o per 10

s, kai įjungė pavarą, buvo nuvažiavęs 65 m. Nustatyti, ar automobilio judėjimas

tolygiai greitėjantis?

3.22. Startuojantis bėgikas per 2,5 s pasiekė 10 m/s greitį. Koks vidutinis jo pagreitis?

3.23. Automobilininkas važiavo 54 km/h greičiu. Padidinęs greitį 2 m/s 2 pagreičiu,

pasiekė 90 km/h greitį. Per kiek laiko pasiektas šis greitis?

3.24. Lėktuvnešio katapultas 108 km/h greičiu paleido lėktuvą, pastūmęs jį 18 m. Kokiu

pagreičiu katapultas stūmė lėktuvą?

3.25. Motociklas stabdomas 1,5 m/s 2 pagreičiu. Užrašyti stabdymo poslinkio formulę.

Koks stabdymo poslinkis, jei motociklo greitis: a) 60 km/h; b) 90 km/h?

3.26. Mieste autobusas važiavo 36 km/h greičiu. 40 m prieš autobusą į gatvę išėjo

žmogus. Vairuotojas stabdė autobusą 1,4 m/s 2 pagreičiu.

a) Koks autobuso stabdymo poslinkis?

b) Per kiek laiko sustojo autobusas?

3.27. Koks buvo 3.26 uždavinio per pirmas 5 s autobuso: a) poslinkis; b) vidutinis

greitis?

3.28. Automobilis A sustojo prieš šviesoforą. Pasirodžius šviesoforo žaliai šviesai,

automobilis ėmė važiuoti, o tuo momentu pravažiavo B automobilis (3.36 pav.).

Pasinaudojant grafikais nustatyti:

a) Po kiek laiko automobilis A pasiekė automobilio B greitį?

b) Po kiek laiko automobiliai važiavo greta?

c) Koks atstumas tarp automobilių po 1,5 min?

3.36 pav. 3.37 pav.

3.29. Duoti motociklų grafikai (3.37 pav.).

a) Parašyti greičio ir poslinkio lygtis.

b) Nubrėžti pagreičio (t, a) ir poslinkio (t, s) sistemose grafikus.

3.7. Krintančių ir mestų kūnų judėjimas

Laisvasis kūnų kritimas

Kūnų kritimas yra nuo seno žmonių stebimas mechaninis reiškinys. Jau Aristotelis

mėgino aiškinti, kad sunkesni kūnai krinta greičiau. Kūnų kritimui turi įtakos oro

pasipriešinimas, todėl ir buvo padarytos tokios išvados. Ir tik XVI a. gale G. Galilėjus šį reiškinį

ištyrė eksperimentuodamas.

Įvairių kūnų kritimas stebimas bandymu su stikliniu Niutono vamzdžiu, kuriame

praretintas oras. Įvairios masės ir formų kūnai vamzdyje krinta vienodu greičiu. Kūnų kritimas,

kai neveikia oro pasipriešinimas, vadinamas laisvuoju kūnų kritimu. Kūną veikia tik Žemės

traukos jėga.

Laisvasis kūnų kritimas yra tolygiai greitėjantis judėjimas. Jo nuostabi savybė yra ta,

kad kritimo pagreitis nepriklauso nuo kūno masės. Laisvojo kritimo pagreitis Žemės paviršiuje

yra g = 9,8 m/s 2 , vadinamas gravitaciniu pagreičiu. Jis šiek tiek skirtingas įvairiose Žemės

paviršiaus vietose dėl to, kad Žemės spindulys nėra vienodas ir kad Žemė sukasi. Mažiausias ties

pusiauju, g = 9,780 m/s 2 , didžiausias ties poliais, g = 9,832 m/s 2 . Lietuvoje g = 9,814 m/s 2 .

Laisvojo kritimo formules gauname iš (3.13) ir (3.16) formulių. Pakeičiame dydžius:

s = h, a = g, v0 = 0. Įsivaizduojame, kad stačioji ašis nukreipta žemyn, nes tokia pagreičio g r

kryptis. Gauname:

v = gt, (3.20)

gt

h = .

2

49

(3.21)

Metimas vertikaliai aukštyn

Vertikaliai aukštyn greičiu 0 vr mestą kūną veikia Žemės trauka, kūnas juda pagreičiu g r ,

nukreiptu žemyn, taigi, tolygiai lėtėdamas, kartu krisdamas žemyn. Aukštyn nukreiptą ašį

žymėsime Y. Iš (3.12) ir (3.15) užrašome judėjimo formules projekcijomis:

vy = v0y + gyt, (3.22)

P

yt

sy = v0yt + .

2

g 2

50

(3.23)

Formules užrašome moduliais, poslinkio projekciją sy pakeisdami h, nes šiuo atveju

aukštis h atitinka poslinkio prasmę. Gauname:

vy = v0 – gt, (3.24)

gt

h = v0t - ,

2

v0

− v y

h = .

2g

(3.25)

(3.26)

Galima būtų ir greičio projekcijos žymėjimą vy pakeisti moduliu v, tačiau vy įgyja

neigiamas vertes kūnui krintant žemyn, o moduliui v priskirti ir ženklą netiktų.

Uždavinys. Metalinis rutuliukas mestas vertikaliai aukštyn 40 m/s greičiu. Kas 1 s

apskaičiuoti greičio vy ir aukščio h vertes ir nubrėžti jų grafikus. Į oro pasipriešinimą nekreipti

dėmesio.

Sprendimas. Pagreitį g imame apytiksliai 10 m/s 2 . Užrašome lygtis:

Sudarome lentelę:

vy = 40 – 10t, h = 40t – 5t 2 .

t, s 0 1 2 3 4 5 6 7 8

vy, m/s 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40

h, m 0 35 60 75 80 75 60 35 0

Brėžiame grafikus (3.38 pav.). Grafikų palyginimui dar nubrėžiame gy grafiką.

Iš lentelės ir grafikų darome išvadas:

a) Kūno metimo ir nukritimo momentais greičių moduliai vienodi.

b) Kiekvieną aukščio h tašką aukštyn ir žemyn praskriejančio kūno greičių moduliai

vienodi.

Iš greičio grafiko matome, kad kylančio kūno teigiamą poslinkį vaizduoja trikampio OAF

plotas, o krintančio kūno neigiamą poslinkį - plotas FGE. Bendras poslinkis lygus 0.

Pagal (3.25) formulę kūno judėjimą dar galime analizuoti taip.

Formulės narys v0t išreiškia mesto kūno tolyginį judėjimą iš inercijos, o nueitą kelią l 1

stačiakampio OABC plotas. Antrasis formulės narys gt 2 /2 reiškia kūno nueitą kelią l 2 laisvai

krintant, o jį vaizduoja trikampio AED plotas. Rezultate h = l 1 – l 2 = 0.

Pagreičio grafiko gy brūkšniuotas plotas vaizduoja greičio formulės antrąjį narį.

P

3.38 pav.

Uždavinys. Iš 10 m aukščio esančio balkono 20 m/s greičiu vertikaliai aukštyn išmestas

sviedinys. Po kurio laiko ir kokiu greičiu sviedinys nukrito ant žemės?

Spendimas. Užrašome greičio projekcijos lygtį (3.24) ir koordinatės lygtį (3.17) aukščiui

h, remdamiesi sąlygos duomenimis:

vy = 20 – 10t,

h = 10 + 20t – 5t 2 .

Sviediniui nukritus ant žemės, h = 0, todėl

0 = 10 + 20t1 - 5 t ,

2

1

5 2

t 1 – 20t1 – 10 = 0.

Išsprendžiame lygtį ir gauname t1 = 4,45 s.

Sviedinys nukrito greičiu

vy = 20 - 4,

45

10 ⋅ = -24,5 (m/s).

51

3.39 pav.

Pastaba. Reikia žinoti, kad greičio ir koordinatės lygtys aprašo vertikaliai mesto kūno

judėjimą visais jo etapais – kylant aukštyn ir krintant žemyn.

Žinoma, galima uždavinį spręsti dalimis (3.39 pav.). Pirma apskaičiuoti laiką t1, per kurį

kūnas pakils iki aukščiausio taško B (0 = 20 – 10t1) ir pakilimo aukštį h1 = AB (h1 = 20t1 - 5 2

t 1 ).

Visas aukštis h = OB = h0 + h1. Tada surasti laiką t2, kurį kūnas kris iš aukščio h (h = 5 2

t 2 ).

Visas ieškomas laikas t = t1 + t2. Apskaičiuojamas ir greitis, kuriuo kūnas nukris iš aukščio h

(v = gt2). Taip sprendžiant daugiau darbo, bet detaliau susipažįstame su kūno judėjimo etapais.

?

U

10. Koks kūno kritimas yra laisvasis?

11. Kokios rūšies judėjimas yra kūno laisvasis kritimas ir vertikaliai aukštyn mesto kūno

judėjimas?

12. Kokie esminiai vertikaliai aukštyn mesto kūno judėjimo požymiai?

13. Iš kokių dalių susideda vertikaliai aukštyn mesto kūno judėjimas?

14. Kokias formules ir kaip galime panaudoti sprendžiant šiuos uždavinius?

15. Kaip įrodyti, kad vertikaliai aukštyn mesto kūno pradinio greičio ir jo kritimo galinio

greičio moduliai vienodi?

3.30. Kūnas krinta iš 122,5 m aukščio. Nustatyti, kokį atstumą kūnas nuėjo penktąją

kritimo sekundę.

3.31. Du kūnai krinta iš skirtingo aukščio ir kartu pasiekia žemę. Pirmas kūnas krito 4 s,

antras 2 s. Kokiame aukštyje buvo pirmas kūnas, kai antrasis pradėjo kristi?

3.32. Kūnas metamas vertikaliai aukštyn 78,4 m/s greičiu. Per kiek laiko kūnas pakils į

137,2 m aukštį ir kokį turės greitį šiame aukštyje?

3.33. Vertikaliai aukštyn mestas kūnas nukrito po 8 s. Į kokį aukštį jis buvo pakilęs ir

koks jo pradinis greitis?

Horizontalus metimas

Yra sutinkami kūno laisvojo kritimo atvejai, kai

kūnas prieš krisdamas įgyja greitį horizontalia kryptimi:

nuo stalo nurieda rutuliukas, šaunama į taikinį, lėktuvas

išmeta bombą, ir kt. Bandymu galime palyginti tokio kūno

judėjimą su kūno laisvuoju kritimu.

Bandymo esmė tokia. Tampri spyruoklė A spaudžia

prie atramos B rutuliuką 1,o antrasis rutuliukas 2 yra ant

atramos C. Atlenkta svyruoklė D trinkteli į spyruoklę A

(3.40 pav.). Pirmas rutuliukas išlaisvintas krinta žemyn, o

antras juda įgijęs greitį v0 horizontalia kryptimi ir kartu

krinta. Įdomu, kad abu rutuliukai ant stalo nukrinta kartu.

Rutuliukų judėjimą atvaizduokime XY atskaitos

sistemoje, ašį Y nukreipę žemyn. Tarkime, kad antrojo

rutuliuko pradinis greitis yra v0 = 10 m/s (3.41 pav.).

Pirmojo rutuliuko koordinatės lygtis yra y = 5t 2 ,

antrojo rutuliuko judėjimo iš inercijos lygtis x = 10t.

Sudarome lentelę:

t, s 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

y, m 0 1,2 5 12 20 31 45

x, m 0 5 10 15 20 25 30

Nubrėžiame rutuliukų judėjimo trajektorijas.

Pasirinktam antrojo rutuliuko judėjimo momentui ( t = 1 s,

vx = v0 = 10 m/s, vy = 5 m/s), brėžiame dedamuosius greičio

vektorius ir lygiagretainio taisykle randame greičio tame

taške vektorių v. r Jis yra trajektorijos liestinė tame taške.

Greičio modulį v galime apskaičiuoti pagal Pitagoro

teoremą. Taip galime rasti rutuliuko momentinį greitį bet

52

3.40 pav.

3.41 pav.

P

kuriame trajektorijos taške.

Palyginę pirmojo ir antrojo rutuliuko judėjimą matome, kad antrasis rutuliukas atlieka

du judėjimus: jis laisvai krinta ir kartu juda iš inercijos horizontalia kryptimi. Abu jo judėjimai

nepriklauso vienas nuo kito. Šis dėsnis, kai kūnas dėl skirtingų priežasčių (čia dėl Žemės traukos

ir inercijos) kartu atlieka skirtingus judėjimus, vadinamas judėjimų nepriklausomumo principu.

Juo remiantis galima spręsti įvairius kūno sudėtingo judėjimo uždavinius (apskaičiuoti

trajektoriją, greitį, poslinkį).

Prisiminę algebrą, galime parašyti horizontaliai

mesto kūno judėjimo funkciją y = f(x). Antrojo

53

gt 2

rutuliuko koordinačių lygtys yra x = v0t ir y = .

2

gx g

Eliminavę t gauname y = . Pažymėję a = ,

2

2v 0

gauname y = ax 2 . Tai yra lygtis parabolės, kurios

viršūnė koordinačių sistemos pradžioje. Įrašę mūsų

bandymo duomenis, gauname y = 0,05x 2 . 3.42 pav.

antrojo rutuliuko trajektorija yra šios funkcijos grafikas,

kai x vertės tik teigiamos.

3.42 pav.

Nuožulnus metimas

Dar sudėtingesnis kūno laisvojo kritimo atvejis, kai kūnas mestas nuožulniai, t. y., kampu

α su horizontalia kryptimi. Pasinaudoję judėjimų nepriklausomumo principu, nuožulniai mesto

kūno judėjimą galime tirti panašiai, kaip horizontaliai mesto kūno judėjimą (3.41 pav.). Metimo

kryptimi kūnas iš inercijos juda pastoviu metimo greičiu 0 vr . Pasirinktu masteliu tiesę padalijus

gt

v0 vertėmis, iš kiekvieno taško h =

2

formule apskaičiuojamas kas 1 s kūno kritimo aukštis. Jis

atidedamas žemyn nuo kiekvieno tiesės padalos taško. Gaunami kūno trajektorijos taškai.

Trajektorijos – kreivės padėtis kinta, parinkus kitokį kūno metimo kampą.

Kūno metimo nuožulniu kampu

pavyzdžiai gali būti vandens čiurkšlė iš

ugniasienių ar sodininkų žarnos, šaudymas iš

patrankos, disko arba ieties metimas, ir kt.

Nuožulniu kampu mesto rutuliuko judėjimą

gerai vaizduoja stroboskopinė nuotrauka

(3.42 pav.).

Nuožulniai mesto kūno judėjimą

nagrinėsime bendresniu būdu. Kūno

trajektoriją vaizduoja 3.43 pav. Pradinį greitį

v r skaidome į du dedamuosius greičius X ir

0

Y ašių kryptimi. Gauname:

Mesto kūno poslinkio projekcija X ašyje yra

3.43 pav.

v0x = v0cosα, (3.27)

v0y = v0sinα. (3.28)

s = x = v0xt = v0cosαt. (3.29)

Poslinkio projekcija į Y ašį yra

gt

h = y = v0yt - .

2

(3.30)

2

Iš (3.29) išreiškę t ir įrašę į (3.30), gauname:

g 2

h = tgαs - s . (3.31)

2 2

2v0cos

α

Koeficientai prie s ir s 2 duotam metimui yra pastovūs dydžiai, todėl juos galime pakeisti

raidėmis ir rašyti

h = bs – as 2 ,

as 2 – bs + h = 0. (3.32)

Tai pilna parabolės lygtis, kurios kintamųjų s ir h funkcinę priklausomybę vaizduoja

3.43 pav. grafikas – mesto kūno trajektorija.

Aukščiausiame parabolės A taške vy = 0, todėl iš (3.24) ir (3.28) randame aukščiausio

pakilimo laiką:

v0sinα tA = .

g

Laisvojo kritimo laikas lygus kilimo laikui, todėl visas kūno lėkimo laikas

2v0sinα t = 2tA = .

g

Iš (3.30) ir (3.33), atlikę veiksmus, gauname didžiausio pakilimo aukštį

2

v0sin

α

hA = .

2g

54

(3.33)

(3.34)

(3.35)

Horizontalaus lėkimo greitį (3.27) padauginę iš lėkimo laiko t (3.34), gauname

didžiausią lėkimo poslinkį OB:

v 2

0sin2α

s = .

g

(3.36)

Iš (3.35) galime spręsti, kad didžiausias pakilimo aukštis priklauso ne tik nuo pradinio

greičio v0, bet ir nuo metimo kampo α. Vertė sinα didžiausia, kai α = 90 o . Vadinasi, greičiu v0

mestas kūnas pasieks didžiausią aukštį, kai jis mestas vertikaliai aukštyn.

Formulė (3.36) rodo, kad mesto kūno didžiausią horizontalų poslinkį lemia vėlgi ne tik

pradinis greitis v0, bet ir metimo kampas. Kai α = 45 o , sin2α = 1. Taigi, toliausiai nulėks kūnas,

mestas 45 o kampu. Nuožulniai mesto kūno metimo nuotolio problema svarbi sportininkams ir

artileristams.

Panagrinėkime bandymą su mokykliniu balistiniu pistoletu (3.44 pav.). Rutuliukas A,

spyruoklės C paveiktas, išmetamas nukreipiamojo virbo B kryptimi. Pistoletu šaunama įvairiais

kampais. Matome, kad rutuliuko lėkimo poslinkis horizontalia kryptimi vienodas, išmetus

rutuliuką 30 o ir 60 o kampu; taip pat vienodas, metus 15 o ir 75 o kampu. Didžiausias – kai mesta

45 0 kampu. Tai nesunku apskaičiuoti pagal (3.36) formulę.

P

Tokie rutuliuko

mėtymo rezultatai turėtų

būti, jei nebūtų oro

pasipriešinimo. Iš

tikrųjų rezultatai gali

būti šiek tiek kitokie,

didžiausias rutuliuko

poslinkis metus

mažesniu negu 45 o

kampu. Tai patiria

sportininkai mėtydami,

pavyzdžiui, diską.

55

3.44 pav.

Žmonės visada domėjosi, kaip juda mestas kūnas. Graikai ir romėnai naudojo svaidykles

– katapultas akmenims, padegamosioms statinėms svaidyti į priešo tvirtoves. Aristotelis aiškino,

kad sviestas akmuo juda tiese, o paskui pasisuka apskritimo lanku ir krinta žemyn. Jis tikino, kad

mestas kūnas juda todėl, kad už jo susidariusią tuštumą užpildo besiveržiantis oras ir stumia

kūną. Inercijos nežinojo. Tuo tarpu oras tik trugdo.

XIV a. Europoje atsirado šaunamieji ginklai, buvo šaudoma akmeniniais arba

metaliniais sviediniais. Sviedinių trajektorijas tyrinėjo italų matematikas Nikolo Tartalija

(1499 – 1552). Jis jau spėjo, kad sviedinys toliausiai lekia, iššautas 45 o kampu su horizontu.

Tokią ginkluotę jis pavadino artilerija.

Lietuvoje artilerija naudota XIV a.

pabaigoje. Kęstučio kariuomenė bombardomis

apšaudė kryžiuočių Jurbarko pilį. XVI a.

pradžioje Vilniuje netoli šv. Jurgio bažnyčios

jau buvo didelė patrankų liejykla. Ji veikė iki

XVIII a. vidurio. Kita liejykla buvo prie

Valkininkų. Patrankomis buvo apginkluota

Lietuvos kariuomenė ir pilys.

Žymus artilerijos specialistas buvo

Vilniaus universiteto auklėtinis raseinietis

Kazimieras Semenavičius (1600 – 1651). Jis

1650 m. išleido veikalą „Didysis artilerijos

menas‘, kurį tada išvertė į pagrindines

Europos kalbas (3.45 pav.). Jis 150 metų buvo

pagrindinis artilerijos mokslo šaltinis. K.

Semenavičius šiame veikale iškėlė ir raketinės

artilerijos idėją.

Nuokrypis nuo mesto kūno idealiosios

trajektorijos žymus tada, kai kūno judėjimo

greitis didelis, nes didelis oro pasipriešinimas.

Tokia sutrumpėjusi sviedinio trajektorija, jam

greičiau nukrintant, vadinama balistine

kreive.

Artileristai taikiniui pasiekti naudoja

žemą arba aukštą trajektoriją (3.44 pav.).

Žemesnioji trajektorija vadinama dengiamąja.

Kai užstoja pastatai ar kalvos, šaunama

aukštesne trajektorija, vadinama permetamąja

trajektorija.

3.45 pav. K. Semenavičiaus knygos

„Didysis artilerijos menas. Pirmoji dalis“

titulinis puslapis.

Uždavinys. kamuolys mestas

nuo h0 = 5,3 m aukščio platformos

v0 = 15 m/s greičiu α = 40 o kampu su

horizontu. Kokiu didžiausiu greičiu

kamuolys pasieks žemę?

Sprendimas. Kūno judėjimui

nuo platformos taikome nuožulniai

mesto kūno judėjimo teoriją, tik šiuo

atveju kūnas žemę pasiekia iš didesnio

aukščio (3.46 pav.).

Kūno didžiausio pakilimo virš

platformos aukštis yra

?

U

Kūnas ant žemės nukrito iš aukščio

h

A

2

v0sin

α 15 ⋅sin

40

= =

=

2g 2 ⋅ 9,8

H = h0 + hA = 5,3 + 4,7 = 10 (m).

2

56

2

o

4,7 (m) .

2

= ir vy = gt gauname vertikalų kritimo greitį:

Iš formulių H

gt

2

v y = 2gH =

⎛ m ⎞

2 ⋅ 9,8 ⋅10

= 14 ⎜ ⎟. ⎝ s ⎠

Žemės paviršiaus tašką B kamuolys pasiekia horizontaliu greičiu

⎛ m ⎞

v0x = v0cosα = 15 ⋅ cos 40°

= 11,5

⎜ ⎟. ⎝ s ⎠

Pasinaudoję Pitagoro teorema, apskaičiuojame ieškomą greitį v:

v 2 2 2

= v0x

v y , +

v =

v

2

0x

+ v

2

y

=

2 2

( 11,5)

+ 14 = 18 .

3.46 pav.

⎛ m ⎞

⎜ ⎟

⎝ s ⎠

1. Ar turi įtakos vienas kitam mesto kūno vertikalus ir horizontalus judėjimas?

2. Kokia kreivė yra horizontaliai ir nuožulniai mesto kūno trajektorija?

3. Nuo ko priklauso ieties lėkimo poslinkis – nuotolis?

4. Kaip 45 o kampu mestas kūnas juda vertikalia ir horizontalia kryptimi?

5. Kokios sviedinio koordinatės, greitis ir pagreitis trajektorijos taškuose, vienodai

nutolusiuose nuo aukščiausio taško?

6. Į kokias dalis sviedinio trajektorijos aukščiausias taškas dalija lėkimo nuotolį?

7. Koks sviedinio lėkimo aukštis ir nuotolis būtų Mėnulyje?

8. Antrą kartą kūnas mestas 2 kartus didesniu greičiu. Kaip pakito: a) lėkimo nuotolis;

b) lėkimo laikas?

9. Kokia mestų kūnų judėjimo mokslo istorinė raida?

3.34. Kulka iššauta horizontalia kryptimi 480 m/s greičiu. Taikinio skersmuo 60 cm,

atstumas 120 m. Kur reikia taikyti, kad kulka patektų į taikinio centrą?

3.35. Turistas nuo 25 m aukščio skardžio horizontalia kryptimi metė akmenį, kuris

nukrito už 36 m.

a) Kokiu greičiu mestas akmuo?

) Koks akmens pagreitis trajektorijos viduryje?

3.36. Nubrėžkite 3.35 užduoties akmens lėkimo trajektoriją ir joje pažymėkite taškus po

0,5 s, 1 s, 2 s.

3.37. Sportininkas metė ietį 45 o kampu 24 m/s greičiu. Apskaičiuoti : a) lėkimo nuotolį;

b) lėkimo laiką.

3.38. Šaulys šauna horizontalia kryptimi, kai šautuvo aukštis virš žemės 3 m. Šūvio metu

į šoną išmesta gilzė. Nustatyti, per kiek laiko nukris ant žemės: a) kulka; b) gilzė.

3.39. Mesto kūno judėjimui tirti padaryti tokį modelį. Ant 120 cm ilgio medinės lazdelės

kas 10 cm siūlais pakabinti rutuliukus, kurių ilgiai apskaičiuoti pagal formulę

h =

2

gt 2

= 5t (3.47 pav.). Paveiksle nurodytas kas antro siūlo ilgis cm.

2

3.47 pav.

Ranka laikant už lazdelės galo ir sudarant įvairaus nuožulnumo kampus α,

rutuliukais pavaizduoti mesto kūno trajektorijos taškus. Pakreipti aukštyn lazdelę

kampu α tiek, kad penktasis rutuliukas būtų ant ašies X (punktyrinė padėtis).

Tarkime, kad kūno pradinis greitis yra 40 m/s (modelyje 1 cm – 4 m/s). Šį greitį

vaizduoja viena lazdelės padala. Reikia nustatyti:

a) kokiu kampu mestas kūnas;

b) kokiu atstumu x kūnas nukrito ant žemės;

c) kokiu kampu reikia mesti, kad kūnas nukristų už 8 m.

3.8. Judėjimas apskritimu

Kreivaeigio judėjimo greitis

Tiesiaeigis judėjimas yra ideali sąvoka.

Judantį kūną gali veikti vienokia ar kitokia jėga.

Pririškime prie siūlo rutuliuką. Laikydami už siūlo

galo, paridenkime rutuliuką stalu. Jis juda tiese,

kol siūlas išsitempia. Siūlui išsitempus, tamprumo

jėga veikia rutuliuką ir jie pradeda judėti kreiva

trajektorija.

57

3.48 pav.

Paridenkime stalu metalinį rutuliuką, greta padėję magnetą. Jis iškreips rutuliuko

trajektoriją (3.48 pav.). Judančius kūnus veikia įvairios kliūtys, sunkio jėga. Dangaus kūnai juda

veikiami gravitacijos jėgos. Gamtoje stebime įvairius kreivaeigius judėjimus.

Pažymėkime kūno kreivaeigio judėjimo

trajektorijos taškus A, B, C, D ir nubrėžkime

poslinkio tarp jų vektorius (3.49 pav., a). Jie yra

kreivės stygos. Mažinkime atstumą tarp taškų. Kai

taškai labai arti vienas prie kito, poslinkio tarp

taškų kryptis sutampa su kreivės liestine tuose

taškuose. Kai poslinkiai labai maži, galime rašyti

momentinio greičio formulę (3.10):

3.49 pav.

r

r ∆s

v = .

Taigi, materialiojo taško greitis atskiruose

kreivos trajektorijos taškuose yra momentinis

greitis, jo kryptis sutampa su liestine tuose

taškuose (3.49 pav., b).

Kiekvienos kreivos trajektorijos atskirus

lankus galima nagrinėti kaip kūno judėjimą

apskritimais (3.50 pav.) su skirtingais spinduliais.

Nagrinėsime judėjimą apskritimu, kai kūno

momentinio greičio modulis nekinta.

Linijinis ir kampinis greitis

Taip pat ir kūnui judant apskritimu, jo

momentinis greitis sutampa su liestine bet kuriame

apskritimo taške. Tai patvirtina įvairūs reiškiniai.

Metikui įsukus kūjį apskritimu, paleistas kūjis juda

apskritimo liestinės kryptimi (3.51 pav.). Liestinės

kryptimi lekia kibirkštys nuo tekėlo, purvai nuo

automobilio buksuojančių ratų, ir t.t.

Tarkim, kad kūnas (materialusis taškas) juda

pastovaus modulio greičiu iš taško A į B ilgio l

r

lanku, atlikdamas poslinkį s.

Apskritimo spindulys

r pasisuka posūkio kampu ϕ (3.52 pav.). Posūkio

kampas paprastai matuojamas radianais (rad).

Radianas yra toks kampas tarp dviejų spindulių, kai

lanko ilgis l lygus spinduliui r. Apskritimo ilgis l

= 2π r, vadinasi, 360 o = 2π rad. Išreiškus laipsniais,

∆t

1 rad = 57,3 o . Kampą ϕ matuojant radianais,

58

3.50 pav.

3.51 pav.

l

ϕ = , l = ϕ r.

(3.37)

r

Kūnui judant apskritimu lanko ilgis l atitinka kelio sąvoką. Remiantis keliu

apskaičiuotas apskritimu judančio kūno greitis vadinamas linijiniu greičiu:

l

v = .

(3.38)

t

Kai kūnas juda apskritimu pastoviu greičiu, tai posūkio kampo ir atitinkamo laiko

santykis išreiškia spindulio sukimosi kampinį greitį ω (graik. omega):

ω .

t

ϕ

= (3.39)

Kampinis greitis matuojamas radianais sekundei:

rad

s

[ ω ] = 1 .

Nesunku rasti tarp šių greičių ryšį:

Panaudojus (3.39),

ϕ r

v = = .

t t

l

v = ωr. (3.40)

3.52 pav. 3.53 pav.

Periodas ir dažnis

Laikas, per kurį apsisuka kūnas apskritimu, vadinamas periodu ir žymimas T. Jei

sukimosi laikas t ir kūnas apsisuko N kartų, tai

t

T = .

(3.41)

N

Periodas T matuojamas sekundėmis.

Kūno apsisukimų apskritimu skaičius per 1 s vadinamas dažniu. Jeigu per laiką t kūnas

apsisuko N kartų, tai sukimosi dažnis

N

n = .

(3.42)

t

Dažnis matuojamas apsisukimais sekundei. Bet apsisukimų (sūkių) skaičius N nematinis

dydis. Dažnio vienetas yra

suk −1

[ n]

= 1 = 1s

= 1Hz.

s

Periodinių procesų dažnio vienetas 1 Hz (hercas) pavadintas vokiečių fiziko Heinricho

Herco vardu.

Iš (3.41) ir (3.42) gauname, kad

1

T = arba n = .

(3.43)

n

T

Vadinasi, kūno sukimosi periodas ir dažnis yra atvirkščiai proporcingi dydžiai.

Per vieną apsisukimą spindulys pasisuka kampu 2π radianų, todėl kampinis greitis

2π

ω = arba ω = 2π n.

(3.44)

T

Taip apskaičiuotas kampinis greitis kartais vadinamas kampiniu dažniu.

Pasirėmę (3.40) ir (3.44), linijinį greitį galime išreikšti taip:

2π r

v = ,

v = 2π nr.

(3.45)

T

Įcentrinis pagreitis

Kūnui judant apskritimu nors ir pastoviu linijiniu greičiu v, jo momentinis greitis kinta ta

prasme, kad kinta kryptis. Greičiui kintant turi būti pagreitis. Pažiūrėkime, koks yra pagreitis,

kūnui judant apskritimu pastoviu linijiniu greičiu (pastovus momentinio greičio modulis).

r

Taške A kūno momentinis greitis yra v1, taške B jis yra v2 r (3.53 pav.). Pagreitis

r r r

nusakomas formulėmis (3.11). Visų pirma reikia rasti greičio pokytį ∆v = v2

− v1.

Veiksmai su

greičių vektoriais atliekami taip pat, kaip ir su poslinkio vektoriais. Greičių atimtį galime pakeisti

sudėtimi, prie turinio greičio v 2

r r

pridėję priešingos krypties atėminio greitį – v1. Gauname

greičių pokytį ∆v. r Tokia kryptis ir pagreičio

r

r ∆v

a = .

∆t

Pagreitis nukreiptas į apskritimo vidų. Taškui B artėjant prie A, pagreitis vis labiau

nukreiptas į apskritimo centrą O. Taigi, tolygiai apskritimu judančio kūno pagreitis nukreiptas į

apskritimo centrą. Jis vadinamas įcentriniu pagreičiu. Įcentrinis pagreitis yra momentinis, nes

kinta jo kryptis.

Greitis v2 r yra statmenas spinduliui OB, o greitis – v1 r yra statmenas OA. Šiuo atveju

kampai ϕ yra lygūs. Trikampiai OAB ir CDB panašūs (jie lygiašoniai), atitinkamos jų kraštinės

proporcingos:

OA AB

= .

BC BD

Iš 3.53 pav. matome, kad OA = r, BC = v (modulis pastovus).

Laiko pokyčiui ∆t mažėjant, stygos AB ilgis artėja prie lanko AB ilgio, o lanku kūno

nueitas kelias AB = v ∆t . Greičio pokyčio modulis BD = ∆v = a ∆t . Įrašę išraiškas į proporciją,

gauname:

Panaudoję formulę (3.40), turime

2

v

a = .

(3.46)

r

2

a = ω r.

(3.47)

Keistoka, kad pagal vieną formulę įcentrinis pagreitis atvirkščiai proporcingas apskritimo

spinduliui, pagal kitą – tiesiai proporcingas.

Pirmąjį atvejį turėsime tada, kai linijinis greitis nesikeičia, t. y. v = const, o spinduliai

skirtingi. Pavyzdžiui, du skriemuliai sukasi sujungti pavarų diržu (3.54 pav., a). Taškų A ir B

linijiniai greičiai vienodi (jei diržas nešliaužia), o spinduliai skirtingi. Rašome (3.46) formulę

skriemuliams:

2

v v

a 1 = ir a .

r r

1

2

2 = Iš jų gauname

2

a1

r2

= . Skriemulių taškų A ir B įcentriniai

a 2 r1

pagreičiai atvirkščiai proporcingi spinduliams.

Antras atvejis bus tuomet, kai pastovus

kampinis greitis (ω = const). Pavyzdžiui, rato stipino

atskirų taškų A ir B judėjimas (3.54 pav., b). Parašę

2

(3.47) formules B ir A taškams a 1 = ω r1

ir

2

a1

r1

a 2 = ω r2

, iš jų gauname = . Taškų įcentriniai

a 2 r2

pagreičiai tiesiai proporcingi jų spinduliams.

61

3.54 pav.

Uždavinys. 3.54 pav., a rodomas pavaros diržas juda v = 1 m/s greičiu. Skriemulių

spinduliai r1 = 10 cm, r2 = 20 cm. Apskaičiuoti:

a) mažojo skriemulio kampinį greitį ω1;

b) didžiojo skriemulio taško A įcentrinį pagreitį a2;

c) didžiojo skriemulio sukimosi dažnį n2.

Sprendimas.

a) Iš formulės v = ωr, pirmajam skrituliui turime

ω

1

=

v

r

1

m

1

suk 2π rad rad

=

s

= 10 = 10 = 20π .

0,1m

s s s

Įsidėmėkite, jog taikydami formulę v = ωr, kampinį greitį apskaičiuojame sūk/s, o tai

analogiška dažniui.

b) Randame taško A įcentrinį pagreitį:

?

a

2

v

=

r

2

⎛ m ⎞

⎜1

⎟

s

=

⎝ ⎠

0,2 m

m

= 5 .

2

s

c) Dažniui n2 apskaičiuoti taikome formulę ω2 = 2π n 2.

Pirma apskaičiuojame ω2:

ω

2

=

v

r

2

m

1

=

s

=

0,2 m

suk

5

s

Dabar galime rasti n2:

rad

10π

ω2

n

s

2 = = =

2π 2π rad

5 s

2π rad rad

= 5 = 10π .

s s

−1

=

5 Hz.

1. Koks kūno greitis atskiruose kreivos trajektorijos taškuose?

2. Kokiais vienetais matuojamas kampinis greitis ir dažnis?

3. Kodėl 3.53 pav. kampai ϕ yra lygūs?

4. Ar apskritimu judančio kūno pagreitis būtų nukreiptas į apskritimo centrą, jei kistų

greičio modulis?

5. Kaip taikyti dvi įcentrinio pagreičio formules?

P

U

3.40. 1 m spindulio ratas atlieka 40 sūk/min. Apskaičiuoti rato paviršiaus taško linijinį

greitį.

3.41. Ratas sukasi kampiniu greičiu 8 rad/s. Kiek apsisukimų jis padaro per 20 min?

3.42. Dviratininkas važiuoja 53 m spindulio treku 54 km/h greičiu. Koks jo kampinis

greitis ir koks judėjimo periodas?

3.43. Vilkelis, sukdamasis 40 Hz dažniu, laisvai krinta iš 2 m aukščio. Kiek kartų jis

suspės apsisukti, kol nukris ant žemės?

3.44. Ekvadoro sostinė Kitas yra prie pusiaujo. Koks Kito linijinis greitis ir įcentrinis

pagreitis, sukantis Žemei? Žemės spindulys apie 6400 km.

3.45. Atstumas tarp dviejų besisukančių ant vienos ašies diskų d = 1 m. Diskai sukasi

16 Hz dažniu. Šovus per diskus išilgai ašies, antrojo disko posūkio tarp skylių

pokytis ϕ

∆ = 29 o . Koks kulkos greitis tarp diskų?

3.9. Jėgos gamtoje

Jėgos sąvoka

Iki šiol nagrinėjome kūnų judėjimo formas, remdamiesi

kinematikos sąvokomis – trajektorija, keliu, poslinkiu, greičiu,

pagreičiu. Nelietėme klausimo, kodėl kūnas juda, kodėl kinta kūno

trajektorija, kas sukelia pagreitį. Toliau kalbėsime apie kūnų

judėjimo ir jo kitimo priežastis – nagrinėsime dinamikos sąvokas.

Pati svarbiausia, pirminė dinamikos sąvoka yra jėga.

Buityje jėga turi įvairią prasmę. paprastai jėga suprantama

kaip valios pastangos ką nors nuveikti. Įvairių jėgos sąvokos

prasmių randame žodyne: tai gyvųjų būtybių fizinė ir psichinė

galia; įtempimas, energija, verčianti kūną judėti, keisti kryptį; tai,

kas skatina veikti, veiksmo pagrindas, veiksnys, ir t. t. Su tokia

jėgos samprata fizikoje negalėtume susikalbėti. Jėgos sąvoką

turime taip nusakyti, apibrėžti, kad jos nemaišytume su kitomis

mechanikos sąvokomis.

Mechanikos mokslo raidoje jėgos sąvoka buvo suformuota

palaipsniui per ilgus šimtmečius. Aristotelis išskyrė tris judėjimo

rūšis, kurių viena buvo priverstinis judėjimas. Jam reikalingas

išorinis poveikis, jėga, priežastis. Jis priežastimi vadino tai, nuo ko

priklauso materijos kitimas ir rimtis. Tai gana bendra jėgos kaip

kitimo priežasties samprata.

I. Niutonas jėgą aiškino kaip judėjimo kiekio mv pokyčio

priežastį. Kiti kai kurie mokslininkai kūno masės ir greičio

sandaugą mv vadino „negyvąja jėga“, o dydį mv 2 – „gyvąja jėga“.

Dargi XIX a. mokslininkų raštai labai painūs, nelengva suprasti,

apie kokią jėgą kalbama, kokia jos prasmė vykstant fizikiniams

reiškiniams. Įdomu tai, kad H. Hercas buvo sukūręs mechaniką be

jėgos sąvokos. Tačiau ji buvo labai paini ir neprigijo.

62

3.56 pav.

Kas gali suteikti kūnui pagreitį, iškreipti kūno trajektoriją? Žmonės stumdami išjudina

automobilį ir keičia jo greitį (3.55 pav.). Magnetas pakeičia geležinio rutuliuko trajektoriją (3.48

pav.). Žemės trauka keičia mesto kūno greitį ir trajektoriją (3.44 pav.). Trajektorijos kitimas

susijęs su pagreičiu: kintant greičio krypčiai atsiranda įcentrinis pagreitis. Panašios priežastys

gali pakeisti skardos lapo formą (3.56 pav.). Į kūno formos kitimą galima žiūrėti kaip į jo dalies

judėjimą.

Taigi, jėga yra kūno judėjimo pagreičio ir jo formos kitimo priežastis.

Kas yra ta priežastis? Ogi kiti kūnai, kurie nagrinėjamą kūną veikia tiesiog jį liesdami

arba per atstumą, pasireiškiant magnetiniam, traukos ar kitokiam laukui.

3.55 pav.

Jėga yra vektorius

Jėgai, kaip kūno pagreičio ir deformacijos priežasčiai, suteikiame abstrakčią prasmę.

Vaizduojame, kad jėga veikia kūno tam tikrą tašką, veikia kryptimi, kuria suteikia pagreitį arba

deformuoja kūną. Skirtingas būna jėgos poveikio didumas. Todėl jėga laikoma vektoriniu

dydžiu, vektoriumi, žymima F. r

Jėgos vektorius, kaip kinematinių

dydžių vektoriai, turi skaitinę vertę –

modulį ir veikimo kryptį. Kinematiniai

vektoriai (poslinkis, greitis, pagreitis)

laikomi laisvi, grafiškai paprastai

vaizduojami šalia kūno. Jėgos vektorius

yra surištas su kūnu, pažymime kūno

tašką, kurį veikia jėga. Taigi jėgos

vektorių apibūdina kryptis, modulis ir

3.57 pav.

veikimo taškas.

Jėgos vaizdavimą rodo 3.57 pav.. Žmogaus rankų jėgos veikimo taškas žymimas toje

vietoje, kur rankos liečia automobilį. Magneto jėga geležinį rutuliuką veikia per atstumą, o jėgos

veikimo taškas žymimas rutuliuke (3.58 pav.). Kūną veikiančios sunkio jėgos (Žemės traukos)

veikimo tašką vaizduojame kūno masės centre.

Jėgos modulio matavimui praktikoje

pasinaudojama vienu jėgos poveikio rezultatu

– kūno deformacija. VIII klasėje

susipažinome, kaip jėga matuojama

spyruoklinėmis svarstyklėmis, kaip

graduojamas dinamometras. Jėga gali būti

matuojama ir pagal kūnui suteiktą pagreitį.

3.58 pav.

Fundamentinės jėgos

Aplinkoje, gamtoje veikia įvairios jėgos. Iš VIII klasės kurso žinome sunkio, svorio,

tamprumo ir kitas jėgas. Jėgos pasireiškia vykstant ne tik mechaniniams reiškiniams, bet

elektriniams, magnetiniams ir kitokiems reiškiniams. Daugelis jėgų turi aiškų fizikinį pagrindą,

tačiau kartais jėgos vardas suteikiamas ir įvairių rūšių jėgoms pagal jų pasireiškimo bendrą

pobūdį, pavyzdžiui, reakcijos jėga, įcentrinė jėga ir kt.

Iš visų jėgų, pasireiškiančių Žemėje ir Visatoje, išskiriamos kelios pagrindinės jėgos,

kurios yra įvairių buityje, gamtoje, technikoje stebimų jėgų pagrindas, kuriomis paaiškinamas

daugelio sudėtingų, kartais neįprastų jėgų veikimas. Tokios pagrindinės jėgos, turinčios būdingą

prigimtį, vadinamos fundamentinėmis jėgomis. Šiuolaikinė fizika išskiria 4 fundamentines

jėgas: gravitacinę, elektromagnetinę, silpną branduolinę ir stiprią branduolinę. Jos sąlygoja visus

mus supančios gamtos ir Visatos reiškinius. Dažnai vadinamos sąveikomis, nes išreiškia vienų

kūnų kitiems veikimo, sąveikos ryšį.

Gravitacinė jėga arba visuotinės traukos jėga pasireiškia tarp visų Žemės ir Visatos

kūnų. Jau žinome gamtoje pasireiškiančią gravitacinę jėgą – sunkio jėgą, kuria Žemės trauka

veikia kūnus. Nuo kiekvieno kūno į begalybę tęsiasi gravitacinis laukas, kuriame pasireiškia

gravitacinė jėga, veikianti visus kitus kūnus.

Gravitacinė jėga yra silpniausia fundamentinė jėga. Tarp mūsų aplinkos kūnų ji labai

silpna. Žemės paviršiuje gerai pastebima tik Žemės traukos jėga. Gravitacinė jėga priklauso nuo

kūno masės, todėl tarp kosminių kūnų ji labai didelė. Saulės traukos jėga verčia Žemę ir kitas

planetas skrieti aplink Saulę. Mėnulio traukos jėga sukelia jūros potvynius ir atoslūgius.

Būdinga gravitacinių jėgų savybė ta, kad jų veikiami įvairios masės kūnai įgyja vienodą

pagreitį. Tai pastebėjo jau Galilėjus, mesdamas įvairios masės rutulius nuo pasvirusio bokšto.

Kintant dangaus kūnų padėčiai, pavyzdžiui, skriejant dvinarėms žvaigždėms, gali pakisti

gravitacinis laukas. Gravitacinio lauko pokyčiai sklinda didžiausiu žinomu greičiu – šviesos

greičiu. Pagal A. Einšteino bendrąją reliatyvumo teoriją egzistuoja gravitacinio lauko kvantas –

gravitonas, tačiau eksperimentiškai dar nepavyko jo rasti.

Elektromagnetinė jėga. Iki XIX a. elektrinės jėgos ir magnetinės jėgos buvo laikomos

atskiromis jėgų rūšimis. Erstedo bandymas 1820 m. padarė pradžią tiriant tų jėgų sąryšį.

Iš pradžių fizikai laikėsi eterio teorijos manydami, kad visa aplinka užpildyta savotiška

tamprumo savybes turinčia būtimi – eteriu, per kurį perduodama elektrinė ir magnetinė sąveika.

1834 m. M. Faradėjus įvedė lauko sąvoką. Dabar žinome, kad elektromagnetinę jėgą perduoda

elektrinis ir magnetinis laukas. Tačiau ilgokai išsilaikė eterio sąvoka. Ir dabar žinomas posakis

„Išėjo į eterį“.

Gamtoje pirmiausiai susiduriame su laisvaisiais elektriniais krūviais. Jų veikimą kitiems

įelektrintiems kūnams perduoda elektrinis laukas, kuris tęsiasi į begalybę. Jo pokyčiai sklinda

šviesos greičiu. Laisvieji elektriniai krūviai ilgai neišsilaiko. Buityje, technikoje panaudojami

judantieji krūviai – elektros srovė.

Elektromagnetinė jėga lemia mikropasaulio reiškinius. Teigiami ir neigiami krūviai tarp

medžiagos dalelių, atome yra surišti, jų poveikis aplinkoje nepastebimas. Elektrono judėjimas

sukuria magnetinį lauką. Elektromagnetinė jėga veikia atomo branduolyje, tarp branduolio ir

elektronų, sąlygoja molekulių susidarymą, esant stabiliai dalelių elektrinio ir magnetinio lauko

būsenai. Elektromagnetinė jėga sąlygoja medžiagos cheminę struktūrą, agregatinę būseną, net

mechanines savybes. Dėl elektromagnetinės jėgos vyksta šviesos sąveika su medžiaga

(fotoefektas).

Svarbi elektromagnetinės jėgos pasireiškimo gamtoje forma yra elektromagnetinės

bangos, jos veikia laisvuosius krūvius. Žinome, kad šviesa yra elektromagnetinės bangos, jos

mažiausia porcija – kvantas vadinamas fotonu. Šviesa pasireiškia slėgiu į medžiagą. Kometoms

skriejant pro Saulę, dėl šviesos slėgio susidaro dujų ir smulkių dalelių uodegos, nukreiptos nuo

Saulės.

Elektromagnetinė jėga daug kartų stipresnė už gravitacinę jėgą. Elektrono ir atomo

branduolio krūvių sąveikos jėga žymiai didesnė už gravitacinę jėgą tarp elektrono ir branduolio.

A. Einšteinas siekė teoriškai sujungti gravitacinę jėgą ir elektromagnetinę jėgą, tačiau

nepasisekė. Nepavyko ir kitiems fizikams.

Stipri branduolinė jėga arba sąveika pasireiškia tarp atomo branduolio nuklonų

(protonų ir neutronų) labai mažu 10 -15 m = 0,001 pm eilės atstumu. Tarp branduolio protonų ir

neutronų gravitacinė traukos jėga labai silpna, o elektrinė stūmos jėga tarp protonų labai didelė,

ji turėtų suardyti branduolį. Teko pripažinti, kad tarp nukleonų veikia stipri branduolinė traukos

jėga, didesnė už elektrinę stūmos jėgą tarp protonų. Kvantų teorija stipriąją jėgą aiškina tarp

nukleonų vykstančiais mainais π mezonų (pijonų), kurių masė apie 270 kartų didesnė už

elektrono masę. Įsivaizduojama, kad nukleonus jungia judančių pijonų debesėlis.

Stipri branduolinė jėga pasireiškia tik tarp artimų branduolio nukleonų, nes jos veikimo

spindulys labai mažas. Daug nukleonų turinčių branduolių atskirų nukleonų stiprioji jėga

nesiekia visų branduolio nukleonų, tik artimuosius. Tuo tarpu protonų elektrinė stūmos jėga

apima visus branduolio protonus. Todėl periodinės elementų lentelės paskutiniųjų elementų

branduoliai nėra stabilūs, patys skyla arba yra lengvai skaldomi. Užtat stiprų junginį sudaro helio

branduoliai (α dalelės), kurie sudaryti iš 2 protonų ir 2 elektronų. Stipri branduolinė jėga lemia

neutronų stabilumą branduolyje. Branduolinių reakcijų metu iš branduolio išlėkę neutronai

greitai suskyla.

Silpna branduolinė jėga arba sąveika turi įtakos branduolių ir elementariųjų dalelių

virsmams. Jie nebūtų įmanomi, jei veiktų tik stiprioji jėga ir elektromagnetinė jėga. Silpnoji jėga

veikia tarp elementariųjų dalelių, kurių masė lygi nuliui arba beveik lygi nuliui. Tai elektronas e - ,

pozitronas e + , elektroniniai neutrinai νe ir ν e , ir kt. Tai leptonai.

Silpnosios jėgos veikimo spindulys apie 1000 kartų mažesnis už stipriosios jėgos

spindulį. Silpnoji jėga yra silpnesnė už stipriąją jėgą ir elektromagnetinę jėgą, bet gerokai

stipresnė už gravitacinę jėgą.

Panašiai teoriškai aiškinama ir silpnoji jėga: ji tarp elementariųjų dalelių pasireiškia

mainais tarpinių bozonų (mezonų ir kitų elementariųjų dalelių).

Silpna branduolinė jėga sąlygoja nestabilių dalelių virsmus. Pavyzdžiui, iš branduolio

išsilaisvinęs neutronas per 12 min skyla į protoną, elektroną ir antineutriną ( e ν e p n + + →

−

),

nes silpnosios jėgos nepakanka laisvam neutronui išlikti stabiliam. Įdomu, kad neutriną, kurio

rimties masė lygi nuliui, įvairių dalelių sandaroje veikia tik silpnoji jėga.

Fizikai mėgino įvairias fundamentines jėgas sujungti. Amerikietis Styvenas Veinbergas ir

pakistanietis Abdus Salamas pirmieji teigė, kad elektromagnetinė jėga ir silpnoji jėga savo

prigimtimi panašios. Dabar įrodyta, kad elektromagnetinė jėga ir silpna branduolinė jėga yra

skirtingi pasireiškimai vienos jėgos, pavadintos elektrosilpnąja jėga. Mėginama ieškoti ir kitų

fundamentinių jėgų sąryšio.

Teigiama, kad Visatos atsiradimo – Didžiojo Sprogimo pradžioje visos fundamentinės

jėgos sudarė vieną, veikė viena visuotinė fundamentinė jėga. Mokslininkai siekia surasti visų

fundamentinių jėgų bendrą teorinį pagrindą. Eksperimentiškai sujungti visas fundamentines

jėgas neįmanoma, nes negalima sudaryti sąlygų, kurios buvo Didžiojo Sprogimo pradžioje.

Fundamentinių jėgų pagrindinius požymius matome lentelėje:

Jėga Sant. stipris Veik. spindulys Jėgą perduoda

Stiprioji 1 10 -15 m Pijonai

Elektromagnetinė 10 -2 ∞ Fotonas

Silpnoji 10 -5 10 -18 m Tarp. bozonai

Gravitacinė 10 -39 ∞ Gravitonas

Jėgų klasifikacija

Pagal realų pasireiškimą jėgos vadinamos vardu to fizikinio reiškinio, kuriam vykstant

jos atsiranda: elektrostatinė, magnetinė, elektromagnetinė, tarpmolekulinė, tamprumo, trinties ir

kitos jėgos.

Elektrostatinė jėga pasireiškia tarp laisvų parimusių teigiamų ir neigiamų elektros

krūvių. Iš elektros krūvių į aplinką plinta elektrinis laukas, kuris veikia kitus krūvius. Patrinto

gintaro elektrines savybes pastebėjo jau filosofas Talis VI a. pr. Kr. Anglų mokslininkas V.

Gilbertas XVI a. ištyrė, kad elektros savybių turi daugelis kūnų. 1875 m. prancūzas Š. Kulonas

nustatė elektros krūvių sąveikos dėsnį.

Magnetinė jėga pastebima prie magneto polių ir prie judančių elektros krūvių – elektros

srovės, nes prie jų pasireiškia magnetinis laukas. Jis magnetine jėga veikia magnetinių savybių

turinčius parimusius kūnus ir judančius krūvius.

Seniau buvo mėginta magnetinių polių savybes vadinti magnetingumo kiekiu. Š. Kulonas

buvo pasiūlęs magnetingumo kiekių sąveikos dėsnį, panašų į elektros krūvių sąveikos dėsnį.

Žinome, kad negalima gauti magneto su vienu poliumi: perpjovus pusiau magnetą, abi pusės turi

po du polius. 1931 m. P. Dirakas pasiūlė monopolį – vieno magnetinio poliaus elementariąją

dalelę. Kol kas eksperimentiškai rasti monopolį nepavyko.

Elektromagnetinė jėga plačiąja prasme yra fundamentinė jėga. Siauresne prasme ją

suprantame kaip kartu pasireiškiančią elektrinę ir magnetinę jėgą, vykstant fizikiniams

reiškiniams. Tai elektromagnetinės indukcijos reiškiniai, elektromagnetinės bangos, pagaliau

šviesa.

Tarpmolekulinė jėga žinoma kaip

molekulių trauka ir stūma.

Tarpmolekulinė jėga yra elektromagnetinės

kilmės: tarp molekulių pasireiškia elektros krūvių

traukos ir stūmos jėgos, elektronai judėdami sukuria

magnetinį lauką. Tarpmolekulinė jėgą tiksliai

paaiškina kvantinė mechanika.

Tamprumo jėga pasireiškia deformuojant

kietuosius kūnus. Kūnus tempiant atstumas tarp

molekulių didėja, stūmos jėga F2 mažėja greičiau,

negu traukos jėga F1 (3.59 pav.). Pradeda vyrauti

traukos jėga (Ft neigiamoji dalis). Panašus reiškinys

kietuosius kūnus gniuždant: stūmos jėga F2 didėja

sparčiau negu traukos jėga F1. Vyrauja stūmos jėga

(Ft teigiamoji dalis).

66

3.59 pav.

Įtempiant ar gniuždant kietuosius kūnus dėl tarpmolekulinių jėgų atsiranda tamprumo

jėga Ft, kuri tam tikrose ribose proporcinga kūno matmenų pokyčiui – deformacijai. Iš esmės

tamprumo jėga yra elektromagnetinės kilmės.

Pavaizduokime tamprumo jėgą tempiant ir

gniuždant spyruoklę (3.60 pav.). Koordinatės vertė

x = 0 sutampa su nedeformuotos spyruoklės galu.

Spyruoklę tempiant jos ilgio pokytis

= x − 0 = x > 0, yra teigiamas. Tamprumo

∆x 2 2

jėga Ft r nukreipta prieš X ašį, o projekcija Ftx yra

neigiama.

Gniuždant spyruoklę ilgio pokytis

∆x = x1

− 0 = x1

< 0, neigiamas, o projekcija Ftx

teigiama.

3.60 pav.

Tamprumo jėgos projekciją bet kuriam atvejui galime išreikšti praktine Huko dėsnio

formule:

F tx

= −kx.

(3.48)

Formulėje x reiškia kūno deformacijos ilgio pokytį ∆x.

Taigi, tamprumo jėga atsiranda deformuojamame kūne, nukreipta deformacijai priešinga

kryptimi ir proporcinga kūno ilgio pokyčiui.

Koeficientas k vadinamas kūno standumu. Jo vienetas yra

1 N N

k = = 1 , sakome, niutonas metrui.

1m

Standumas k priklauso nuo medžiagos, iš kurios padaryta spyruoklė, ir nuo spyruoklės

matmenų – vijų skaičiaus, storio, didumo. Tad standumas k apibūdina tik konkrečią spyruoklę.

Trinties jėga, kuri pasireiškia tarp dviejų besitrinančių kūnų paviršių, priklauso

pirmiausia nuo paviršių struktūros. Traukiant vieną kūną kito paviršiumi, ardomi paviršių

nelygumai, įveikiant tarpmolekulines jėgas. Jei paviršiai labai lygūs, nušlifuoti, žymiai

pasireiškia paviršių molekulių traukos jėga, trinties jėga vėl padidėja. Trinties jėga priklauso ir

nuo kūnų medžiagos rūšies. Trinties jėga taip pat yra elektromagnetinės kilmės.

Atlikime bandymą. Dinamometru jėga F r traukime lenta tašelį su svarsčiu (3.61 pav.).

r r r

Tašelio ir svarsčio svoris normaline jėga N = F = mg

slegia lentą. Deformuotas lentos

paviršius veikia tašelį aukštyn tamprumo

jėga R, r vadinama lentos reakcijos jėga. Tašelio

sąlyčio su lenta paviršių veikia trinties jėga Ftr ,

r

kuri priešingos krypties jėgai F r . Jų moduliai lygūs.

Trinties jėgos veikimo tašką pažymime tašelyje, nors

ji veikia visą apatinį paviršių. Toks žymėjimas

vaizdesnis.

Traukime dinamometrą iš lėto.

Dinamometras rodo vis didesnę traukimo

jėgą F r , kuri paskui staiga sumažėja, o

tašelis pradeda slysti. Tolygiai traukiant

dinamometrą ji nekinta. Vadinasi,

didžiausia rimties trinties jėga Ftrmax yra

šiek tiek didesnė už slydimo trinties jėgą

Ftr (3.62 pav.). Ji nepriklauso nuo

paviršiaus ploto.

67

3.61 pav.

3.62 pav.

Keisdami tašelio apkrovą įsitikiname, kad trinties jėga Ftr yra proporcinga normaliajai

jėgai N (šiuo atveju kūno svoriui). Šią priklausomybę išreiškiame formule

Ftr = µN

(3.49)

Proporcingumo koeficientas µ vadinamas trinties koeficientu. Jis priklauso nuo

besitrinančių kūnų medžiagos ir paviršiaus struktūros.

Didžiausios rimties trinties Ftrmax ir slydimo trinties Ftr derinimas yra labai svarbus

transportui, žmogaus vaikščiojimui. Svarbu slidininkams, pasirenkant tinkamą slidžių tepalą, kad

rimties trinties jėga būtų didesnė, o slydimo – mažesnė.

Riedėjimo trintis plačiai taikoma buityje ir technikoje.

Atlikime paprastą bandymą – traukime

dinamometru vežimėlį, o paskui apvertę ratukais

aukštyn. Riedėjimo trinties jėga žymiai mažesnė.

Riedėjimo trintis susidaro taip (3.63 pav.).

Ratas deformuoja paviršių, pasireiškia tamprumo

jėga, ratas rieda tartum į kalną. Deformuojasi ir

3.63 pav.

rato paviršius.

Vežimėlio ašyje pasireiškia slydimo trintis. Automašinų ratų ašyse įtaisomi rutuliniai

guoliai. Jų paviršius irgi deformuojasi panašiai, kaip 3.63 pav.

Kelio paviršius labiau deformuojamas tada, kai rato spindulys mažesnis. Riedėjimo

trinties jėga išreiškiama formule

N

= µ .

(3.50)

r

Ftrr r

Trintis yra naudinga tuo, kad ji sąlygoja vienų kūnų judėjimą kitų paviršiumi. Tačiau

svarbi buities ir technikos problema yra trinties mažinimas. Slydimo trintį siekiama pakeisti

riedėjimo trintimi. Vartojami kieti ir skysti tepalai. Grafito kristalinė struktūra (2.10 pav.) ir

skystų tepalų stambios molekulės sumažina besitrinančių paviršių ardymą.

Uždavinys. Jėga Ft dviem nuosekliai sujungtais dinamometrais traukiamas apkrautas

tašelis (3.64 pav.). Dinamometrų standumai yra k1 = 50 N/m ir k2 = 100 N/m. Rasti bendrą

dinamometrų standumą k.

?

U

3.64 pav.

Sprendimas. Bendras dinamometrų ilgio pokytis

Tamprumo jėgų projekcijos lygios:

Rašome Huko dėsnio formules:

x = x1 + x2. (1)

Ftx = Ftx1 = Ftx2. (2)

Ftx = -kx, Ftx1 = -k1x1, Ftx2 = -k2x2.

Išreiškiame ilgio pokyčius, rašome į (1) lygybę. Panaudoję (2) gauname

Apskaičiuojame:

1

k

1 1

k1k

2

= + , k = .

k k

k + k

1

2

50 ⋅100

⎛ N ⎞

k = ≈ 33⎜

⎟. 50 + 100 ⎝ m ⎠

1. Kokia jėgos sąvokos raida, jos prasmė?

2. Kokias žinote fundamentines jėgas?

3. Kokia būdinga gravitacinių jėgų savybė?

4. Kokia elektromagnetinės jėgos prasmė?

5. Kaip pasireiškia stipri ir silpna branduolinė jėga?

6. Ar galima sujungti fundamentines jėgas?

7. Kaip jėgos klasifikuojamos?

8. Kaip aiškinama tarpmolekulinė jėga?

9. Kokia tamprumo ir trinties jėgų kilmė?

10. Kokias žinote trinties jėgas?

3.46. Duoti dviejų spyruoklių grafikai (3.65 pav.). Koks būtų bendras spyruoklių

standumas, sujungus jas nuosekliai?

68

1

3.65 pav.

3.47. Lygiagrečiai sujungtomis spyruoklėmis traukiama dėžė (3.66 pav.). Spyruoklių

standumas k1 = 50 N/m, k2 = 100 N/m. Koks bendras spyruoklių standumas?

3.66 pav.

3.48. 3 kg masės medinė kaladėlė statmenai spaudžiama prie vertikalios betoninės

sienos. Trinties koeficientas 0,6. Kokia jėga reikia spausti kaladėlę, kad ji

neslystų?

3.49. 2 kg masės dėžutė tolygiai traukiama 50 N/m standumo spyruokle gulsčia lenta.

Trinties koeficientas 0,3. Koks spyruoklės ilgio pokytis?

3.50. Kuo turėtų skirtis automobilio stabdžiai Mėnulyje nuo stabdžių, vartojamų Žemėje?

3.10. Jėgų ir momentų pusiausvyra

Kelių jėgų atstojamoji

Kaip reikia rasti atstojamąją jėgą kelių jėgų, veikiančių kūną viena tiese, susipažinome

VIII klasėje. Dabar nagrinėsime atstojamąją jėgų, veikiančių kūną kampu.

Imkimės bandymo. Geležine skarda padengtoje

lentoje magnetiniu laikikliu pritvirtinta spyruoklė A.

Dviem dinamometrais (su magnetiniais laikikliais)

ištempiame spyruoklę taip, kad I dinamometras

išsitempia per 3 padalas, o II – 4 padalomis. Kampas

tarp dinamometrų status (3.67 pav. a).

Pažymėję lentoje žiedo O padėtį, nuimame

dinamometrus ir vienu jų ištempiame spyruoklę tiek pat.

Išsitempia 5 padalomis. Pagal dinamometrų rodmenis

pasirinktu masteliu nubrėžiame stačiakampį. Jo

įstrižainės ilgis lygus 5 vienetams. Taigi, įstrižainė

vaizduoja jėgų F1 r ir F2 r atstojamąją jėgą F r (3.67 pav.,

b). Kraštinių ir įstrižainės duomenys tenkina Pitagoro

teoremą.

69

3.67 pav.

Bandymas patvirtina, kad atstojamoji jėga F r veikia kūną taip pat, kaip dedamosios

jėgos F1 r ir F2 r kartu. Jėgų sudėčiai tinka lygiagretainio taisyklė. Rašome

r r r

+ F = F.

F1 2

Galime parinkti kitokį kampą tarp dinamometrų. Nubrėžę dinamometrų kryptimis

lygiagretainį įsitikiname, kad jo įstrižainė vaizduoja atstojamąją jėgą.

Lygiagretainio taisykle galime sudėti ir kelias jėgas (3.68 pav.). Pirma sudedame dvi

jėgas F1 r ir 2

F r , randame atstojamąją jėgą F′ .

r r

Tada ją sudedame su F3. Turime

r r

+ F

r

+ F

r

= F.

F1 2 3

Jėga yra vektorius, susietas su kūnu, jėgos veikimo taškas lemia kūno padėties kitimą.

Todėl jėga nėra laisvas vektorius, jėgas netinka sudėti trikampio taisykle.

3.68 pav. 3.69 pav. 3.70 pav.

Gali pasitaikyti, kad jėgos veikia skirtingus kūno taškus (3.69 pav.). Ieškant atstojamosios

jėgos, jėgų F1 r ir F2 r veikimo taškai perkeliami jėgų veikimo tiesėmis iki susikirtimo taško O. Į jį

paslenkami vektoriai F1 r ir F2 r , tada sudedami. Atstojamoji jėga veiks kūną taip, kaip dedamosios

jėgos.

Atvirkščias veiksmas yra jėgos skaidymas į komponentines jėgas. Galimi keli jėgos

skaidymo atvejai.

1. Duota skaidomoji jėga ir komponentinių jėgų kryptys.

2. Duota skaidomoji jėga ir viena komponentinė jėga.

3. Duota tik skaidomoji jėga.

Pirmojo atvejo pavyzdys gali būti jėgos skaidymas kronšteine (3.70 pav.). Kūno svoris

r r

r

P = mg

skaidomas atotampos AB kryptimi ir atramos BC kryptimi. Svoris P yra lygiagretainio

įstrižainė.

Antruoju atveju gaunamas vienas sprendinys – antroji komponentinė jėga, kuri sudaro

antrąją lygiagretainio kraštinę. Trečiuoju atveju uždavinys neapibrėžtas – galima gauti įvairių

komponentinių jėgų.

Sunkio (masės) centras

Ypatingas jėgų sudėties atvejis, kai kūną veikia

lygiagrečios jėgos (3.71 pav.). Kai dvi lygiagrečios jėgos

veikia kūną viena kryptimi, jų atstojamoji lygi dedamųjų

jėgų sumai:

r r r

F1 + F2

= F.

Painesnis reikalas rasti atstojamosios jėgos F r

veikimo tašką O, iš kurio atstojamoji jėga F r kūną veiktų

taip, kaip jėgos F1 r ir F2 r kartu. Uždavinys panašus į sverto

70

3.71 pav.

uždavinį: reikia rasti tašką O, kad svertas būtų pusiausviras:

OA

OB

F2

= .

(3.51)

F

Kūną veikiančių lygiagrečių jėgų atstojamosios pavyzdys

yra kūno atskirų dalių sunkio jėgų atstojamoji – sunkio jėga Fs r

(3.72 pav.). Sunkio jėgos s Fr veikimo taškas O yra kūno sunkio

centras.

Jau VIII klasėje mokėtės, kad sunkio jėga išreiškiama

formule F = mg. Galime teigti, kad kūno sunkio centras kartu yra

jo masės centras.

Pakabinkime kūną gumine virvute (3.73 pav.). Pasvyravęs

kūnas nurims. Jį veikia vertikalia tiese dvi priešingų krypčių jėgos:

sunkio jėga Fs r r

ir virvutės tamprumo jėga Ft . Jų moduliai lygūs,

todėl atstojamoji jėga lygi nuliui:

+ F = 0.

r r

Fs t

Norint rasti plokštelės sunkio (masės) centrą, reikia ją

pakabinti siūlu keliose vietose, siūlo kryptimi nubrėžti plokštelėje

vertikalias linijas. Jų susikirtimo taškas ir bus sunkio centras. Jei

kūnas neplokščias (pvz., bulvė), reikia siūlo kryptimis perdurti

bulvę adatomis. Jų susikirtimo taškas bus sunkio (masės) centras.

Jėgų pusiausvyra

Bandymas. Lentoje magnetiniais laikikliais (ar

kitokiu būdu) pakabinkime du skridinius. Per juos

ištieskime siūlą, prie jo galų pakabinę 300 g ir 400 g masės

pasvarus. Žiedu O ant siūlo kabiname 0,5 kg svarstį (3.74

pav.). Pasvarai pasvyravę nurimsta, susidaro jėgų

pusiausvyra. Ant skridinių pasverti pasvarai veikia žiedą

jėgomis F1 r ir F2 r , o ant žiedo pakabintas svarstis – svoriu

P. r

Pasirinktu masteliu ties siūlais nubrėžiame jėgų

1

71

3.72 pav.

3.73 pav.

3.74 pav.

vektorius. Lygiagretainio taisykle randame jėgų F1 r ir F2 r atstojamąją F. r Ji vienoje vertikalioje

tiesėje su kūno svorio P r vektoriumi, o moduliai lygūs (F = P). Gauname žiedą veikiančių jėgų

pusiausvyrą:

r r r

F1 + F2

+ P = 0.

(3.52)

Kūną veikiančių jėgų pusiausvyros sąlyga: visų kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi

nuliui.

r

Panagrinėkime 3.73 pav. kūną veikiančias jėgas. Tamprumo jėga Ft , veikdama priešinga

r

kryptimi, kompensuoja sunkio jėgą Fs . Sakome, kad tamprumo jėga Ft r r

atsveria sunkio jėgą Fs ,

todėl vadinama atsvarine jėga. Kartais tokia kūną veikianti jėga vadinama atoveikio jėga. tačiau

atoveikio jėga turi kitokią prasmę, ji susijusi su dviejų kūnų sąveika.

P

Kronšteino pavyzdį nagrinėkime kitaip: sudėkime

kronšteiną veikiančias tamprumo jėgas (3.75 pav.).

Įtemptos atotampos AB tamprumo jėga Ft1 r tašką B veikia

A kryptimi. Gniuždomos atramos tamprumo jėga Ft2 r

tašką B veikia CB kryptimi. Atstojamoji F r yra sunkio

jėgos Fs r atsvarinė jėga.

Mechanikoje galime rasti jėgų pusiausvyros

įvairių pavyzdžių: kūnas ant nuožulniosios plokštumos,

ant horizontalaus lyno pakabintas krovinys, upėje pririšta

valtis, ir kt.

72

3.75 pav.

Jėgų pusiausvyros atveju kūnas yra reliatyvios rimties būsenoje arba juda tiesiai ir

tolygiai. Jei atstojamoji nelygi nuliui, kūnas įgyja pagreitį. Imkime šliaužiančio kūno pavyzdį

(3.76 pav.). Jėgų moduliai skirtingi: F > Ftr (dėl paprastumo jėgas brėžiame iš kūno centro).

Dalį veikiančios jėgos F r kompensuoja, atsveria trinties jėga Ftr r , o kita jos dalis, kurios modulis

F – Ftr, suteikia kūnui pagreitį. Vadinasi, jėgos F r poveikis kūnui yra įvairus.

3.76 pav.

Momentų pusiausvyra

Iki šiol nagrinėjome kūną veikiančių jėgų pusiausvyrą, kai kūnas yra reliatyvios rimties

būsenoje (arba juda tiesiai ir tolygiai). Kūną veikiančią jėgą kompensuoja lygaus modulio

priešingos krypties atsvarinė jėga (gali būti kelių jėgų atstojamoji). Dabar paliesime kūną

veikiančių jėgų pusiausvyrą, kai kūnas gali suktis apie nejudamą ašį. Tokia pusiausvyra

vadinama momentų pusiausvyra. Ji nagrinėta VIII klasėje. Prisiminkime.

Bandymas. Ant ašies O stove įtvirtintas

skritulys. Dviejose vietose pakabinti pasvarai, o

prie vieno taško – dinamometras. Pajudintas

skritulys pasvyruoja ir nurimsta (3.77 pav.).

Jėgos poveikis galinčiam suktis kūnui

priklauso ne tik nuo jėgos krypties, modulio ir

veikimo taško, bet dar nuo vieno dydžio – jėgos

peties. Jėgos patys – trumpiausias atstumas nuo

kūno sukimosi ašies iki jėgos veikimo tiesės.

Jėgos petys randamas iš sukimosi ašies O

nuleidus statmenį į jėgos veikimo tiesę.

3.77 pav.

Jėgos momentas yra jėgos modulio ir peties sandauga:

M = F l . (3.53)

Jo vienetas [M] = 1 N ⋅ 1m

= 1 Nm, niutonmetras.

Jėgų momentai F1l 1 ir F3l 3 suka skritulį prieš laikrodžio rodyklės kryptį, jėgos

F l – pagal rodyklės kryptį. Susidaro pusiausvyra.

Momentų pusiausvyros sąlyga

momentas 2 2

F1l 1 + F3l 3 = 2 2

F l . (3.54)

Galime ją užrašyti taip:

F1l 1 + F3l 3 – 2 2

F l = 0. (3.55)

Bet koks kūnas yra parimęs, kai galioja jėgų pusiausvyros sąlyga (3.52) ir momentų

pusiausvyros sąlyga (3.55). Jas galime užrašyti sutrumpintai:

r

= M 0.

∑ Fi = 0,

∑ Fi i ∑ i =

l

Ypatingas jėgų ir momentų pusiausvyros atvejis

yra jėgų dvejetas ir momentų dvejetas. Kūno taškus O1 ir

O2 veikia vienodo modulio priešingų krypčių lygiagrečios

jėgos (3.78 pav.). Tokios jėgos vadinamos jėgų dvejetu.

Jų veikiamas kūnas gali tik pasisukti. Jėgų dvejeto

atstojamoji lygi 0. Jėgų dvejeto negalima pakeisti jokia

viena jėga.

3.78 pav.

Atstumas tarp dvejeto jėgų veikimo tiesių l vadinamas jėgų dvejeto petimi. Šio peties ir

vienos jėgos modulio sandauga yra momentų dvejetas M = F l . Momentų dvejeto pavyzdys

gali būti automobilio vairas, sukamas abiem vairuotojo rankom.

Uždavinys. Kopėčios, kurių ilgis l = 4 m,

atremtos prie sienos. Kampas tarp kopėčių ir

grindų α = 60 o . Didžiausia rimties trinties jėga tarp

kopėčių ir grindų Ftrmax = 200 N. Kokiu atstumu s

kopėčiomis gali palipti m = 60 kg masės žmogus,

kol kopėčios ima slysti?

Sprendimas. Žmogus palipęs kopėčiomis s

atstumu nuo grindų (3.79 pav.). Pirma

nagrinėsime kopėčias veikiančių jėgų momentų

pusiausvyrą apie apatinį kopėčių galą O.

Viršutinį kopėčių galą veikia sienos

tamprumo jėga Ft r (dažnai sakoma, reakcijos jėga)

prieš laikrodžio rodyklės kryptį, o žmogaus svoris

P r – pagal rodyklės kryptį.

3.79 pav.

Tamprumo jėgą skaidome į komponentines jėgas (a): statmena kopėčioms ir išilgai

kopėčių. Jėgos momentui svarbu statmenoji komponentė. Jos modulis yra

′

Ft t =

F sin

α.

Panašiai skaidome žmogaus svorio jėgą P r . Statmenoji kopėčioms komponentė

P ′ = Pcos α.

Rašome momentų pusiausvyros sąlygą (3.55)

sin

F t

α ⋅ l − Pcos α ⋅ s = 0.

(1)

Apatinį kopėčių galą dar veikia deformuotų grindų tamprumo jėga T r (irgi reakcijos

jėga). Kai kopėčios parimusios, visų jas veikiančių jėgų atstojamoji lygi 0:

r r r r

+ F + T + F = 0.

P t trmax

Projekcijos į koordinačių ašis yra (moduliais):

Ftrmax – Ft = 0, (2)

T – P = 0.

?

U

Iš (1) ir (2) gauname:

sin

F trmax

α ⋅ l − mgcos α ⋅s

= 0,

Ftrmaxsin

α ⋅ l 200 ⋅sin60°

⋅ 4

s =

=

mgcos α 60 ⋅9,8

⋅ cos60°

74

2,36 (m).

1. Kokia atstojamosios jėgos prasmė? Kaip ši jėga randama?

2. Kokiom sąlygom esant jėgą galima išskaidyti?

3. Kaip randama lygiagrečių jėgų atstojamoji?

4. Kokia sunkio centro prasmė?

5. Ant stalo yra rutulys, jis nejuda. Kokių čia jėgų pusiausvyra?

6. Kokia jėgų pusiausvyros sąlyga?

7. Ką vadiname atsvarine jėga?

8. Kokia momentų pusiausvyros sąlyga?

9. Kas yra jėgų dvejetas ir momentų dvejetas?

3.51. Vyras išvedė pasivaikščioti du šunis. Vienas šuo tempia 16 N jėga, antras – jam

stačiu kampu 12 N jėga. Kokia jėga abu šunys virvutėmis tempia vyro ranką?

Pavaizduoti jėgas grafiškai.

3.52. Kokiu kampu turi veikti dvi vienodų modulių jėgos kūną, kad atstojamosios jėgos

modulis būtų toks pat?

3.53. Dvi jėgos 24 N ir 30 N veikia kūną. Rasti jų atstojamųjų jėgų modulius, jei kampas

tarp jėgų yra: a) 0 o ; b) 60 o ; c) 90 o ; d) 135 o ; e) 180 o .

3.54. Berniukas traukia rogutes virvute, kuri su žemės paviršiumi sudaro 30 o kampą.

Kokia jėgos horizontalioji ir vertikalioji komponentė?

3.55. 4 kg masės rutulys, pakabintas ant 4 m ilgio virvutės, veikamas horizontalia

kryptimi 30 N jėga. Apskaičiuoti:

a) įtemptos virvės tamprumo jėgą;

b) kampą tarp įtemptos virvutės ir vertikalios tiesės.

3.56. 30 kg masės berniukas guli 3 m ilgio hamake. Hamako vidurys nutįsęs žemyn 90

cm. Kokia hamako virvučių įtempimo jėga?

3.57. Berniukas ir vyras neša 80 kg masės krovinį 3,6 m ilgio kartimi. Kokiame atstume

nuo vyro turi būti krovinys, kad vyrui tektų 500 N svoris? Į karties svorį nekreipti

dėmesio.

3.58. Vienodo storio 4,5 m ilgio lenta paremta 1,65 m atstumu nuo galo, ant kurio

uždėtas 7 kg masės krovinys. Lenta pusiausvira. Kokia lentos masė?

...........................................................................................................................................139

3.1. Skyriu

3.1. Skyriu ... View more 3.1. Skyriu

Delete template?

Save as template ?

3.1. Skyriu 3.1. Skyriu