2. kūno slinkimas ir sukimasis

46
2. KŪNO SLINKIMAS IR SUKIMASIS
2.1. Kūno slenkamasis judėjimas
Slinkimas - tai toks kieto kūno judėjimas, kai tiesė, jungianti bet kuriuos du jo
taškus, juda lygiagrečiai su savimi.
Slenkančio kūno taškų trajektorijos gali būti ir kreivos linijos (nebūtinai tiesės).
Kūno slenkamojo judėjimo savybes nusako teorema: 1) visų slenkančio kūno taškų
trajektorijos yra vienodos, 2) visų taškų greičiai ir pagreičiai esamu laiko momentu yra
vienodo dydžio ir krypties.
Nagrinėjant slenkamąjį kūno judėjimą, galima apsiriboti vieno kurio nors to kūno
taško judėjimo tyrimu. Kūno padėtis apibrėžiama nusakant vieno jo taško padėtį, pvz., to
taško Dekarto koordinates.
Reikia įsidėmėti, kad kūno greitis ir pagreitis turi prasmę, tik jam slenkant. Visais
kitais atvejais, kaip vėliau matysime, visi jo taškai juda skirtingai, ir tik kūnui slenkant, jie
juda vienodai.
2.2. Kūno sukimosi dėsnis
Standaus kūno sukimasis - tai toks kūno judėjimas, kai jame yra bent du taškai,
kurių greičiai lygūs nuliui. Tiesė, einanti per nejudančius kūno taškus, vadinama kūno
sukimosi ašimi. Visi kiti kūno taškai brėžia apskritimus, kurių plokštumos statmenos šiai
ašiai.
P
ϕ
Q
B
C
z
ϕ
E
A
ε
ω
ω
ε
a τ
vadinama kūno sukimosi apie ašį dėsniu.
2.1 paveiksle OA yra kūno
sukimosi ašis, A - atraminis guolis, O -
pakulnis, P - nejudama plokštuma, Q -
plokštuma, besisukanti drauge su kūnu.
Kūno taškas B yra plokštumoje P, o jo
taškas C - plokštumoje Q. Taškai B, C, E
yra plokštumoje, statmenoje sukimosi
ašiai. Erdvinis kampas j tarp plokštumų P
ir Q lygus plokščiam kampui tarp
spindulių BE ir CE. Kampas j laikomas
teigiamu, jei, žiūrint iš ašies Oz galo į
pradžią, kūnas sukasi priešinga laikrodžio
rodyklės judėjimui kryptimi. Kampas j
matuojamas radianais. Kūnui sukantis
apie ašį OA, kampas j kinta. Šis kampas,
išreikštas laiko funkcija, apibrėžia kūno
padėtį erdvėje bet kuriuo laiko momentu.
Tolydinė ir vienareikšmė laiko momento
t funkcija
2.1 pav. j
= j(t) (2.1)

47
Standaus kūno sukimosi pagrindinės kinematinės charakteristikos yra jo kampinis
greitis w ir kampinis pagreitis e.
Kampinis greitis - dydis, apibūdinantis kampo kitimą laikui bėgant. Kampinis greitis
yra posūkio kampo išvestinė laiko atžvilgiu:
dϕ
ω = = ϕ&
. (2.2)
dt
Kampinis pagreitis - dydis, apibūdinantis kampinio greičio kitimą laikui bėgant.
Kampinis pagreitis yra pirmoji kampinio greičio arba antroji posūkio kampo išvestinė laiko
atžvilgiu:
dω
ε = = ω&
= ϕ&
& . 2.3)
dt
Kai žinoma kampinio greičio priklausomybė nuo posūkio kampo, kampinis pagreitis
apskaičiuojamas pagal formulę
dω
dω
dϕ
dω
ε = = ⋅ = ω . (2.4)
dt dϕ
dt dϕ
Iš (2.2) ir (2.3) formulių matyti, kad kampinio greičio dimensija yra rad/s, o kampinio
pagreičio dimensija - rad/s 2 . Jei kampinio greičio ir pagreičio ženklai vienodi, sukimasis yra
greitėjantis, jei ženklai priešingi, - lėtėjantis.
Kampinį greitį galima laikyti vektoriumi, atidėtu sukimosi ašyje taip, kad, žiūrint iš jo
galo į pradžią, kūnas suktųsi prieš laikrodžio rodyklę (žr. 2.1 pav.).
Vektoriaus ω modulis lygus kūno kampinio greičio dydžiui. Kūno kampinį pagreitį,
analogiškai kampiniam greičiui, galima laikyti vektoriumi, atidėtu sukimosi ašyse. Kampinio
pagreičio ε kryptis sutampa su ω kryptimi, kai kūnas sukasi greitėdamas (2.1 pav.) ir yra
priešinga ω krypčiai, jei kūnas sukasi lėtėdamas.
Pavyzdžiai
1. Girokompaso rotoriaus kampinis pagreitis didėja nuo nulio proporcingai laikui. Praėjus 5
min, rotorius sukosi 18000 sūk./min. Koks rotoriaus apsisukimų skaičius per tą laiką?
SPRENDIMAS. Rotoriaus sukimasis nėra tolygiai kintamas, nes kampinis pagreitis keičiasi.
Kadangi kampinis pagreitis didėja proporcingai laikui, tai galime parašyti e=kt, čia k - mums
dω
dar nežinomas pastovus dydis. Kampinis pagreitis ε = , todėl
dt
d ω
= kt .
dt
Iš čia
Integruodami gauname:
2.3. Kampinis greitis ir pagreitis
d ω = kt dt .
ω
∫ ω = k∫
ω0
d tdt ;
t
0

48
čia k iškėlėm prieš integralo ženklą kaip pastovų dydį. Suintegravę randame:
2
t
ω = k + ω0
.
2
(a)
Vietoj kampinio greičio rašom posūkio kampo išvestinę
2
dϕ
t
= k ,
dt 2
o pradinis kampinis greitis nagrinėjamame pavyzdyje lygus nuliui. Padauginę lygybę iš dt,
integruodami gauname:
Laikydami, kad j0 = 0, randame:
ϕ
∫ ϕ = ∫
ϕ0
Žinome, kad, kai t = 5 min = 300 s, tai:
Todėl iš (a) lygybės, kur ω0
= 0, gauname:
k 2
d t dt .
2
t
0
k 3
ϕ = t . (b)
6
πn
π ⋅18000
rad
ω = = = 600π
.
30 30
s
2ω
2 ⋅ 600π
4π
rad
k = = = .
2
2
2
t 300 300 s
Įrašę apskaičiuotą konstantos reikšmę į (b) lygybę, randame posūkio kampą:
Sūkių skaičius
2. Švytuoklės judėjimas išreikštas lygtimi
3
4π 300
4
ϕ = ⋅ = 6 ⋅10
π rad .
300 6
4
ϕ 6 ⋅10
π
N = = = 30000 sûk.
.
2π
2π
π 3πt
ϕ = cos ,
6 4
čia j - nuokrypio kampas radianais, t - laikas sekundėmis. Apskaičiuokite didžiausią
švytuoklės kampinį greitį ir jos kampinį pagreitį.
SPRENDIMAS. Kampinis greitis lygus kampo išvestinei pagal laiką, todėl:

49
2
dϕ
π 3πt
ω = = − sin . (a)
dt 8 4
Kampinis pagreitis lygus kampinio greičio išvestinei pagal laiką:
Kampinis greitis didžiausias, kai:
2
3
dω
3π
3πt
ε = = − cos . (b)
dt 32 4
3πt
3π t π π
sin = −1,
t.y. kai = − , 3 ,...
4
4 2 2
π
Tada ω = = 1,
232 rad/s. Kampinį pagreitį apskaičiuojame iš (b) lygybės. Įrašę
8
3πt π π
= − , 3 ,... gauname, kad tuo momentu e = 0.
4 2 2
3πt
Iš (b) lygybės matome, kad kampinis pagreitis didžiausias, kai cos = −1
, t.y. kai
4
2
3πt
3π
rad
= ± π,
± 3π,...
Tada ε = = 0,
924 . Iš (a) lygybės matome, kad tais laiko
2
4
32 s
momentais w = 0, nes sin(±p) = 0, sin(±3p) = 0,
Taigi, kai švytuoklės kampinis greitis didžiausias, jos kampinis pagreitis lygus nuliui,
o kai kampinis pagreitis didžiausias, jos kampinis greitis w = 0.
2.4. Tolygus ir tolygiai kintamas sukimasis
Tolygiu vadinamas kūno sukimasis pastoviu kampiniu greičiu:
d ϕ
ω = = const .
(2.5)
dt
Suintegravę šią lygtį, gauname tolygaus kūno sukimosi dėsnį
t ω + ϕ = ϕ . (2.6)
0
Kai kūnas sukasi tolygiai, vietoj kampinio greičio w dažnai vartojamas kūno sukimosi
dažnis - sūkių skaisčius per minutę n. Kampinį greitį ir sukimosi dažnį sieja formulė:
πn
ω = . (2.7)
30
Tolygiai kintamu vadinamas kūno sukimasis pastoviu kampiniu pagreičiu:
Du kartus suintegravę šią lygtį, gausime:
d ω
ε = = const .
(2.8)
dt

Pavyzdžiai
50
2
εt
ϕ = ϕ0
+ ω0
( t)
+ . (2.9)
2
1. Apskaičiuokite sekundinės ir minutinės laikrodžio rodyklių bei Žemės sukimosi kampinį
greitį.
SPRENDIMAS. Tolygiai besisukančio kūno posūkio kampas j = wt + j0; čia w - kampinis
greitis, matuojamas radianais per sekundę, j0 - pradinis kampas, j - posūkio kampas, praėjus
laikui t. Iš tos formulės gauname:
ϕ − ϕ0
ω = .
t
Žinome, kad sekundinė laikrodžio rodyklė per 1 minutę apsisuka vieną kartą, t.y., kai
t = 60 s, tai j - j0 = 2p rad, todėl sekundinės rodyklės
2 π
ω = =
60
0,
1047
rad / s.
Minutinė rodyklė apsisuka per 1 valandą, todėl jos kampinis greitis
2π
ω = =
3600
0,
001745 rad / s.
Žemė apsisuka apie savo ašį per vieną parą, t.y. per 24 valandas, todėl Žemės
kampinis greitis yra labai mažas:
2π
ω = = 0,
0000727 rad / s.
24 ⋅ 3600
2. Vato išcentrinio reguliatoriaus švytuoklė švytuoja 120 sūk./min. Pradiniu momentu
π
posūkio kampas j0= rad. Apskaičiuokite visą švytuoklės posūkio kampą ir posūkio kampą
6
per laiką t = 0,5 s.
SPRENDIMAS. Tolygaus sukimosi dėsnis t ω + ϕ = ϕ ,
π ⋅120
Todėl ω = = 4π
rad. Visas posūkio kampas:
30
Posūkio kampas per laiko tarpą t = 0,5 s
π 13π
ϕ = + 4π
⋅ 0,
5 =
6
6
0
πn
ω = rad/s, n = 120 sūk./min.
30
rad .
13 π
Dj=j - j0= π
− = 2π
rad .
6 6

51
3. Velenas pradėjo suktis iš rimties būsenos, tolygiai greitėdamas. Per 5 s apsisuko 12,5 sūkių.
Apskaičiuokite veleno kampinį greitį po 5 s.
SPRENDIMAS. Tolygiai kintamo sukimosi atveju:
ω = ω + εt,
(a)
0
2
εt
ϕ = ϕ0
+ ω0t
+ .
(b)
2
Iš sąlygos žinome, kad j0 = 0, w0 = 0, N = 12,5 sūk. Tada j=2pN=25p rad. Šias
reikšmes įrašę į (b) lygybę, apskaičiuojame kampinį pagreitį e:
2
εt
25π
=
2
,
50π
ε = = 2π
25
rad / s
Gautą e reikšmę įrašę į (a) lygybę, randame kampinį greitį w:
ω = 2πt, ω = 10π
rad / s.
4. Skriemulys pradėjo suktis kampiniu greičiu ω 0 = 2π
rad / s tolygiai lėtėdamas ir po 10
sūkių sustojo. Apskaičiuokite skriemulio kampinį pagreitį.
SPRENDIMAS. Tolygiai kintamo sukimosi atveju:
2
εt
ϕ = ϕ0
+ ω0t
+
2
, (a)
ω = ω + εt.
(b)
Skriemuliui sustojus, ω = 0. Tada iš (b) lygybės gauname:
Iš čia randame t:
0
0= ω + εt
,
0
ω0
2π
t = − , t = − s,
ε ε
ϕ = 2 π N ( N = 10 sûk.),
ϕ = 20π rad .
Šias išraiškas įrašę į (a) lygybę, randame ε :
2π
⋅ 2π
ε(
−2π)
20π
= − +
2 ε 2ε
π π
= − +
ε ε
,
2
10 ,
π 2
ε = − rad / s
10
= −0,
1π
rad / s
(minuso ženklas rodo, kad sukimasis yra lėtėjantis).
2
2
2
.

52
5. Variklis iš rimties būvio pradeda suktis, tolygiai greitėdamas, ir per pirmas 2 minutes
apsisuko 7200 sūkių. Apskaičiuokite variklio kampinį pagreitį.
SPRENDIMAS. Tolygiai kintamo sukimosi dėsnis:
2
εt
ϕ = + ω0t
+ ϕ0
, (a)
2
čia e - kampinis pagreitis, w0 - pradinis kampinis greitis, j0 - pradinis posūkio kampas, kurį
šiame uždavinyje galime laikyti lygų nuliui. Kadangi variklis pradžioje nesisuko, tai ir w0 =0.
Žinome, kad po t = 2 min =120 s variklis buvo apsisukęs 7200 sūkių. Vieną kartą
apsisukdamas, kūnas pasisuka 2p radianų kampu, todėl visas kampas j = 2p×7200. Įrašome
šias reikšmes į(a) formulę:
Iš čia:
ε ⋅120
2π
⋅ 7200 =
2
rad
ε = 2π
.
2
s
6. Turbina sukasi 120 sūkių per minutę. Jos sukimasis pradėjo tolygiai lėtėti taip, kad per 30 s
kampinis greitis sumažėjo 4 kartus. Kiek kartų turbina apsisuko per pirmą, antrą ir trečią
dešimtį sekundžių, tolygiai kintamai sukdamasi?
SPRENDIMAS. Turbinos pradinis kampinis greitis
πn
0 π ⋅120
ω 0 = = = 4π
30 30
2
.
rad / s;
čia n0 - pradinis sukimosi greitis, sūk./min. Po 30 s kampinis greitis sumažėjo keturis kartus,
todėl
Turbinos kampinis pagreitis
ε =
ω −
ω
ω =
4
t
ω
0
0
=
= π
rad / s.
π − 4π
π
= −
30 10
rad / s
Tarę, kad pradinis posūkio kampas j0 = 0, galime apskaičiuoti, kokiu kampu j1 turbina
pasisuko per pirmas 10 s:
ϕ
1
2
1
εt
=
2
+ ω
0
t
1
π 10
= − ⋅
10 2
2
2
.
+ 4π
⋅10
= 35π
rad .
Kadangi vienas visas sūkis turi 2p rad, tai turbinos sūkių skaičius per pirmas 10 s
N
1
ϕ1
35π
=
= =
2π
2π
17,
5 sûk.

53
Apskaičiuojame, kiek kartų apsisuko turbina per pirmas 20 s. Posūkio kampas
todėl sūkių skaičius
ϕ
N
2
2
2
2
εt
=
2
Per visas 30 s turbina pasisuko kampu
ir apsisuko iš viso
ϕ
N
3
3
+ ω
0
t
2
ϕ2
60π
= = =
2π
2π
ε t
=
2
2
3
+ ω t
ϕ3
75π
= = =
2π
2π
0
3
π 20
= − ⋅
10 2
30 sûk.
2
π 30
= − ⋅
10 2
37,
5 sûk.
2
+ 4π
⋅ 20 = 60π
rad ,
+ 4π
⋅ 30 = 75π
rad
Dabar lengvai apskaičiuojame, kad per pirmas dešimt sekundžių turbina apsisuko
N1=17,5 karto, per antrą dešimtį sekundžių N2 - N1=12,5 karto, o per trečią dešimtį sekundžių
N3 - N2=7,5 karto. Matome, kad sūkių skaičius vis mažėja, nes turbina sukasi tolygiai
lėtėdama.
7. Variklio išjungimo metu lėktuvo propeleris sukosi kampiniu greičiu n =1200 sūk./min. Po
80 sūkių jis sustojo. Per kiek laiko nuo stabdymo pradžios propeleris sustojo, jei sukimasis
tolygiai lėtėjantis.
SPRENDIMAS. Kūnui sukantis tolygiai kintamai:
2
εt
ϕ = ϕ0
+ ω0t
+ ,
2
(a)
ω = ω + εt.
(b)
Variklio išjungimo metu propelerio kampinis greitis
0
πn
1200π
ω 0 = = = 40π
rad / s .
30 30
Propeleriui sustojus, jo kampinis greitis ω = 0. Iš (b) lygybės išsireiškiame e:
0 = 40π
+ εt,
40π
ε = − .
t
Apskaičiuojame posūkio kampą po 80 sūkių (kol sustos):
ϕ = 2πN = 2π80
= 160π
rad .
j ir e reikšmes įrašę į (a) lygybę, apskaičiuojame laiką t:
40π
t
160π
= 40πt
− ⋅
t 2
2
,

54
160=20t,
160
t = = 8 s .
20
2.5. Besisukančio kūno taškų greičiai ir pagreičiai
Kaip pažymėta 2.2, 2.3 skyriuose, kūno sukimąsi apibūdina posūkio kampas, kampinis
greitis ir kampinis pagreitis. Laisvai pasirinkto kūno taško B judėjimą apibrėžia jo trajektorija,
greitis ir pagreitis.
Laisvai pasirinkto taško B trajektorija yra apskritimas, kurio plokštuma statmena kūno
sukimosi ašiai OA (2.2 pav.). Šio apskritimo centras C yra sukimosi ašyje, o spindulys R =
CB.
Greičio vektorius yra trajektorijos liestinėje. Besisukančio kūno bet kurio taško greičio
didumas lygus kampinio greičio ir to taško sukimosi spindulio R sandaugai:
v = wR. (2.10)
Taško B tangentinio pagreičio (t.y. pagreičio projekcijos trajektorijos liestinėje) dydis
lygus: 2.8
A
at = eR. (2.11)
ω
C
ε
ω
ε
2.2 pav.
C
ε
a n
O
ω
2.3 pav.
an v
B
B
α
a
aτ
v
a τ
Kampinio greičio ir kampinio pagreičio
kryptys yra vienodos (2.2 pav.), todėl taško B
greičio ir tangentinio pagreičio kryptys taip pat
vienodos (kūnas sukasi greitėdamas).
Normalinio pagreičio (t.y. pagreičio
projekcijos normalėje) dydis:
an = Rw 2
(2.12)
Normalinis pagreitis yra nukreiptas į taško
B trajektorijos kreivumo centrą C.
Besisukančio kūno taško pagreičio dydis
2
2
n
2
a = a τ + a = R ε + ω .
(2.13)
4

A
v A
C
Pavyzdžiai
ω
2.4 pav.
B
v B
A
a Aτ
55
Taško B pagreičio kryptį apibrėžia kampas
a (2.3 pav.):
a n ω
tg α = = . (2.14)
a ε
τ
2
Kadangi visi kūno taškai juda tuo pačiu
kampiniu greičiu ir jų kampinis pagreitis taip pat
yra vienodas, tai iš (2.10) ir (2.13) formulių
darome išvadą, kad bet kurio kūno taško greičio ir
pagreičio dydžiai tiesiai proporcingi taškų
atstumui iki sukimosi ašies.
2.4 ir 2.5 paveiksluose parodyta, kaip
greičiai ir pagreičiai yra pasiskirstę statmenoje
kūno sukimosi ašiai atkarpoje AB. Taškas C yra
kūno sukimosi ašyje.
α
a A
C
ω
ε
2.5 pav.
1. Smagračio taškas A, esantis ratlankyje, juda 80 m/s greičiu. Taškas B, esantis tame pačiame
spindulyje, juda 10 m/s greičiu. Atstumas tarp taškų AB = 0,35 m. Apskaičiuokite smagračio
kampinį greitį ir jo skersmenį (2.6 pav.).
SPRENDIMAS. Kadangi taškai A ir B yra besisukančio apie nejudamą ašį kieto kūno taškai,
tai jų greičiai
a B
α
a Bτ
vA = wR , (a)
vB = w(R - AB) = w(R - 0,35). (b)
B

R
B
ω
A
2.6 pav.
vB
vA
R
v A
=
ω
=
56
Iš (a) lygties:
v A
R = .
ω
Įrašę į (b) lygybę, gauname:
⎛ v A ⎞
vB = ω⎜
− 0,
35⎟
= vA
− 0,
35ω.
⎝ ω ⎠
Kadangi vB ir vA žinomi dydžiai, tai
ω =
− v
0,
35
vA B
=
0,
80
−
0,
35
0,
1
=
rad
2
s
Žinodami w, apskaičiuojame smagračio
skersmenį d:
0,
80
2
d = 2R = 0,80 m.
=
0,
40 m,
2. Apskaičiuokite taško M, esančio ant Žemės paviršiaus platumoje j, greitį ir pagreitį. Žemės
spindulys R = 6370 km = 6,37×10 6 m. Įvertinkite tik Žemės sukimąsi apie savo ašį.
SPRENDIMAS. Žemė per parą apsisuka apie savo ašį vieną kartą. Žemės kampinis greitis
2 −5
π
ω = rad/s = 7,
27 ⋅10
24 ⋅ 60 ⋅ 60
rad/s .
Tarkime, kad taškas (laisvai pasirinktas Žemės paviršiuje) yra j platumoje. Taško
atstumą r nuo Žemės sukimosi ašies rasime
z
iš stačiojo trikampio ONM (2.7 pav.):
a
ω
v
R
O
C ϕ
M
r N
r = MN = Rcosj.
Taško M greitis pastovus. Jo modulis
v = w×r = wRcosj.
Kadangi taškas juda apskritimu tolygiai, tai
at = 0. Tada
2.7 pav.
a
n
=
ω
2
2
â = a n
ir yra nukreiptas į trajektorijos kreivumo
centrą taške N. Normalinis pagreitis
⋅ r = ω R cos ϕ = a.
.

1) Taškas M yra ekvatoriuje (j = 0). Tuomet
57
Atskiri atvejai:
cosj = cos 0 o = 1,
v =
a =
7,
27
( 7,
27
⋅10
−5
⋅10
2) Taškas M yra Šiaurės ašigalyje (j = 90 o ). Tuomet
−5
6
⋅ 6,
37 ⋅10
⋅1
= 464 m/s,
)
2
6
⋅ 6,
37 ⋅10
⋅1
= 0,
0337 m/s
cosj = cos 90 o = 0, v = 0, a = 0.
3) Taškas M yra Kauno platumoje (j = 55 o ). Tuomet
cosj = cos 55 o = 0,574,
v =
a =
7,
27
( 7,
27
⋅10
−5
⋅10
−5
6
⋅ 6,
37 ⋅10
⋅ 0,
574 = 266 m/s,
)
2
6
⋅ 6,
37 ⋅10
0,
574
=
0,
01936
2
.
m/s
2
.

58
Skaičiavimo rezultatai rodo, kad Žemės paviršiuje esančių kūnų pagreitis,
atsirandantis dėl Žemės sukimosi, yra gerokai mažesnis už laisvo kritimo pagreitį- 9,81 m/s 2 .
3. Variklio rotorius buvo surinktas netiksliai. Jo svorio centras nuo sukimosi ašies nutolęs
0,001 m. Apskaičiuokite rotoriaus svorio centro normalinio pagreičio dydį, jeigu rotorius
sukasi 3000 sūk./min greičiu.
SPRENDIMAS. Taško, nutolusio atstumu r nuo sukimosi ašies, normalinis pagreitis
an = w 2 ×r;
čia w - rotoriaus kampinis greitis, rad/s; r - rotoriaus svorio centro atstumas nuo sukimosi
ašies, m. Kampinį greitį išreiškiame radianais per sekundę:
Tada
πn
ω =
30
a
n
= ω
π ⋅ 3000
= = 100π
30
2
⋅ r = 100
2
⋅ π
2
rad / s.
⋅ 0,
001 =
98,
6 m / s
4. Smagratis, kurio spindulys R = 2 m, pradeda judėti iš rimties būsenos, tolygiai
greitėdamas. Po 10 sekundžių taško, esančio ratlankyje, greitis lygus 50 m/s. Apskaičiuokite
to taško greitį, normalinį bei tangentinį pagreičius laiko momentu t = 25 s.
SPRENDIMAS. Besisukančio taško greitis
v = R×w. (a)
Kadangi smagračio judėjimas tolygiai greitėjantis, tai e = const ir kampinis greitis kinta
pagal dėsnį
w = wo + et.
Pradėjus judėti iš rimties būsenos, wo = 0, todėl w = et. Iš (a) formulės apskaičiuojame
smagračio kampinį greitį po dešimties sekundžių (t = 10 s):
Tada
ω
1
=
ω
ε =
t
Laiko momentu t2 = 25 s gauname:
v1 R
1
1
=
=
50
2
25
10
=
= 25
2,
5
rad / s.
rad / s
ω = ε = 2,
5 ⋅ 25 = 62,
5 rad / s ,
2
t 2
v2 = ω2
R
= 62,
5 ⋅ 2 = 125 m / s.
Kai t2 = 25 s, taško normalinis bei tangentinis pagreičiai:
2
.
2
.

a
a
n
τ
2
2
59
= ω ⋅ R = 62,
5
2
⋅ 2 =
= ε ⋅ R = 2,
5⋅
2 = 5 m / s
9 3
7812,
5
2
.
m / s
5. Skriemulys sukasi pagal dėsnį ϕ = t . Apskaičiuokite nuo sukimosi ašies spinduliu R
32
= 0,8m nutolusio taško M greitį ir pagreitį tuo momentu, kai taško tangentinis pagreitis lygus
normaliniam.
SPRENDIMAS. Taško M tangentinis ir normalinis pagreičiai
a n
ε
ω
a
R
2.8
pav
ir iš jos apskaičiuojame t1:
4
Kai s
3
t 1 = :
M
v
27
t
16
1
t 3
1 =
a τ
⎛ 27
= ⎜ t
⎝ 32
64
,
27
4
s
3
t 1 = .
2
at=Re, an=Rw 2 .
Re=Rw 2 ,
e=w 2 ,
Palyginkime šiuos pagreičius.
Gauname:
ϕ 27
ω = = t
dt 32
d 2
d ω 27
ε = = t.
dt 16
2
1
⎞
⎟
⎠
2
,
2
,
Pažymėję laiką,
kai at = an, t1,
gauname lygybę
27 ⎛ 4 ⎞
ω 1 = ⎜ ⎟ = 1,
5 rad / s,
32 ⎝ 3 ⎠
27 ⋅ 4
ε 1 = = 2,
25 rad / s.
16 ⋅ 3
Taško M greitis v = R ⋅ ω1
= 0,
8 ⋅1,
5 = 1,
2 m/s , jis nukreiptas kreivės liestine taške
M smagračio sukimosi kryptimi (2.8 pav.). Taško M pagreitis
2
2
n
a = a τ
+ a
= R
ε
2
1
+ ω
4
1
=
0,
8
2,
25
2
4
+ 1,
4
=
2,
54 m/s
2
,

a τ nukreiptas kreivės liestine taške M ir sutampa su greičio kryptimi, nes abu teigiami, o
a nukreiptas į kreivumo centrą (2.8 pav.).
n
60
6. Reduktoriaus su išorinio kabinimo krumpliaračiais 1 ir 2 bei vidinio kabinimo
krumpliaračiais 2 ir 3 (2.9 pav.,a) krumpliaratis 1 pradeda suktis iš ramybės būsenos. Jo
sukimosi dėsnis yra j = 2t 2 rad. Apskaičiuokite krumpliaračio 3 kampinį greitį w3 ir kampinį
pagreitį e3, taško B greitį ir pagreitį, kai t = 1 s. Krumpliaračių spinduliai: r1 = 0,2 m, r2 =
0,8 m, r3 = 0,3 m.
SPRENDIMAS. Krumpliaračio 1 kampinis greitis
ω
1
= ϕ′ =
4t
rad/s .
Kai t = 1 s, j = 2 rad, w1 = 4 rad/s. Kadangi w1>0, todėl krumpliaračio 1 kampinio
greičio kryptis sutampa su posūkio kampo kryptimi, t.y. sukasi prieš laikrodžio rodyklę (žr.
2.9 pav., b).
1
A
ϕ
2
3
B
ε2
ω2
v A
1
n
a B3
2.9 pav., a 2.9 pav., b
A
n
a B2
a B2
ϕ
2
ω1
B3
v = v = v
B2
3
B2
a τ
B3
a a
Apskaičiuokime taško A greitį, laikydami, kad jis priklauso krumpliaračiui 1
ir kad jis priklauso krumpliaračiui 2:
τ
B2
= B3
vA = w1r1, (a)
vA = w2r2. (b)
Greičio vektorius nukreiptas kreivės, t.y. apskritimo taške A, liestine krumpliaračio 1
sukimosi kryptimi (2.9 pav., b).
Palyginę (a) ir (b) lygybes, gausime:
arba
w1r1=w2r2, (c)
B3
B

ω
ω
1
2
r
=
r
2
1
61
. (d)
Kaip matyti iš (d) lygybės, susikabinančių krumpliaračių kampiniai greičiai yra
atvirkščiai proporcingi jų spinduliams. Pasinaudodami (d) lygybe, apskaičiuokime kampinį
greitį:
ω1r1
4t
⋅ 0,
2
ω 2 = = = t rad/s .
r 0,
8
2
Iš taško A greičio krypties matome (2.9 pav., b), kad krumpliaratis 2 sukasi laikrodžio
rodyklės kryptimi. Išorinio kabinimosi atveju krumpliaračių sukimosi kryptys priešingos.
Apskaičiuokime krumpliaračio 3 kampinį greitį, sudarydami lygybę, analogišką (d):
ω
ω
2
3
r
=
r
3
2
,
ω
3
ω2r
=
r
3
2
=
t ⋅ 0,
8
0,
3
=
2,
67t
rad/s .
Taškas B priklauso tiek krumpliaračiui 2, tiek krumpliaračiui 3. Jo greitis
vB = vB2
= vB3
= ω2r2
= ω3r3
= t ⋅ 0,
8 = 2,
67t
⋅ 0,
3 =
kai t = 1 s, vB = 0,8 m/s ir nukreiptas apskritimo liestine taške B krumpliaračio 2 sukimosi
kryptimi. Iš greičio v B krypties matome (2.9 pav., b), kad vidinio kabinimosi krumpliaračiai
sukasi ta pačia kryptimi.
Taško B pagreitis priklausomai nuo to, kuriam krumpliaračiui priskirsime šį tašką, bus
skirtingas, nes skirsis jų normaliniai pagreičiai, kadangi skirtingi jų kreivumo spinduliai r2 ir
r3.
Taško B tangentinis pagreitis yra vienodas nepriklausomai nuo to, kuriam
krumpliaračiui jis priklauso, ir lygus:
Tada
τ
τ
τ
a B = a B2
= a B3
= ε2r2
= ε3r3
,
ε
a
2
τ
B
= ω′ = 1 rad/s
2
= 1⋅
0,
8 =
2,
67
2
⋅
,
ε
3
0,
3
= ω′
=
3
=
0,
8 m/s
2,
67 rad/s
Kadangi e2 > 0 ir w2 > 0, krumpliaratis 2 sukasi greitėdamas, todėl
sutampa (2.9 pav., b).
Taško B2 normalinis pagreitis
2 2
2 2
a = ω r = t ⋅ 0,
8 = 0,
8t
m/s ,
n
B 2 =
2
n
B 2
2
2
n
B2
2
.
2
.
B
0,
8t
τ
B
m
s,
v ir a kryptys
kai t = 1 s, a 0,
8 m/s . Normalinis pagreitis a yra statmenas tangentiniam pagreičiui
τ
B2
a ir nukreiptas į skriemulio 2 sukimosi ašį (kreivumo centrą).
Taško B3 normalinis pagreitis
a
n
B 3
=
ω
2
3
r
3
=
( 2,
67t)
2
⋅ 0,
3 =
2,
14t
2
m/s
2
,

n
2
kai t = 1 s, a B3
= 2,
14 m/s ir yra nukreiptas į skriemulio 3 sukimosi ašį (2.9 pav., b).
Taško B pagreitis
Todėl
a
a
a
B
B 2
B 3
=
=
=
( a
τ
B
( a
( a
)
2
τ
B2
τ
B3
)
)
62
+ ( a
2
2
n
B
)
+ ( a
+ ( a
2
.
n
B2
n
B3
)
)
2
2
=
=
0,
8
0,
8
2
2
+
+
0,
8
2
2,
14
2
=
1,
13
=
m/s
2
2,
28 m/s
7. Būgnas, kurio spindulys r = 0,2 m, sujungtas su horizontalia ašimi. Ant būgno užvyniota
virvė, kurios gale C pritvirtintas krovinys. Su ta pačia būgno ašimi standžiai sujungtas ratas
D, kurio spindulys R = 0,3 m. Krovinys priverčia suktis būgną. Krovinio judėjimo lygtis
D
O
x
Tada
B
v B
τ
a B
a M
C
x
N
v
a
n
a B
0
A
2.10 pav., a
τ
a M
2.10 pav., b
v M
n
a M
M
ω =
v M
r
25 t
R
Kadangi w = 25t, tai kampinis pagreitis
pagreitis
o normalinis pagreitis
a
a
τ
M
n
M
M
O1
x = 2,5t 2 ;
čia x - krovinio atstumas iki ašies 001,
metrais, t - laikas, sekundėmis.
Apskaičiuokite rato D paviršiaus taško
M greitį ir visą pagreitį laiko momentu
t = 2 s (2.10 pav., a).
SPRENDIMAS. Būgno taško B
greitis v B ir tangentinis pagreitis τ
a B
lygus virvės taško N greičiui ir
pagreičiui (2.10 pav., b). Diferencijuodami
krovinio judėjimo lygtį,
randame krovinio greitį
v
B
= v
N
=
dx
dt
=
d(
2,
5t
dt
2
)
=
,
2
.
5t.
Rato kampinis greitis ir pagreitis lygūs
būgno kampiniam greičiui ir pagreičiui.
Todėl būgno, o kartu ir rato
ω =
vB r
=
5t
0,
2
=
25t
Laiko momentu t = 2 s
= 25⋅
2 = 50 rad / s.
= ω⋅
R = 50 ⋅ 0,
3 = 15 m / s.
rad / s.
dω
2
ε = = 25 rad / s . Todėl taško M tangentinis
dt
= εR
= 25 ⋅ 0,
3 = 7,
5 m / s
2
2
=
ω R = 50 ⋅ 0,
3 = 750 m / s
2
,
2
.

Pagreičio modulis
a =
( a
τ
M
)
2
+ ( a
63
n
M
)
2
=
7,
5
2
+ 750
2
=
750 m / s.
8. Mechaninė pavara sudaryta iš skriemulio 1 , pradeda suktis iš ramybės būsenos apie
nejudamą ašį O pagal dėsnį j = 3t 2 rad, ir diržo 5, užmauto ant skriemulių 1 ir 2. Ant to paties
veleno kaip ir skriemulys 2, įtvirtintas skriemulys 3, perduodantis judesį skriemuliui 4 .
Apskaičiuokite skriemulio 4 kampinį greitį w4 ir kampinį pagreitį e4, diržo greitį ir
pagreitį bei taško A2, esančio skriemulio 2 paviršiuje, greitį ir pagreitį. Skriemulių spinduliai
yra: r1 = 0,1 m, r2 = 0,3 m, r3 = 0,5 m, r4 = 0,4 m (2.11 pav., a).
4
1
ϕ1(t)
5
A2
3
SPRENDIMAS. Žinodami skriemulio 1
sukimosi dėsnį j1(t), galime apskaičiuoti jo
kampinį greitį:
2
ω = ϕ′ = ( 3t
) ′ = 6t
rad / s .
1
1
Kadangi diržas 5 užmautas ant skriemulių 1
ir 2, tai visų diržo taškų, skriemulių 1 ir 2
paviršiaus taškų greičių dydžiai vienodi ir
lygūs:
v A 1 5 A 2
= v = v .
(a)
2
Taškas A1 yra skriemulio 1 paviršiuje.
Skriemulys sukasi, todėl
2.11 pav., a
= ω r ;
(b)
v A1
1 1
taškas A2 yra skriemulio 2 paviršiuje ir jo greitis
v A 2 2 2
Įrašę (b) ir (c) lygybes į (a) lygybę, gauname:
ω
r
1 1
= ω r .
(c)
= ω
2
r
2
arba
ω
ω
1
2
r
=
r
2
1
.

4
ε4
ω4
B
v B
2
ω1
v A1
v 5
a 5
a
a A2
n
A2
A1
ω2=ω3
1
ϕ1(t)
a = a
τ
A2
v =
A2
A 2
5
v
5
64
Panaudodami šią lygybę, galime
apskaičiuoti skriemulio 2 kampinį greitį:
ω
2
ω r
=
r
1 1
2
=
6t
⋅ 0,
1
=
0,
3
2t
rad/s .
Kadangi skriemuliai 2 ir 3 įtvirtinti
ant tos pačios ašies, tai
w3 = w2 = 2t rad/s.
Skriemulių 3 ir 4 susilietimo taško
B greitis
v B = ω 3 r 3 = ω 4 r 4 ;
Iš šios lygybės galime apskaičiuoti
skriemulio 4 kampinį greitį:
3
ε2=ε3
ω3r3
2t
⋅ 0,
5
ω 4 = = = 2,
5t
r4
0,
4
rad/s .
Skriemulio 4 kampinis pagreitis
2.11 pav., b ε = ω′
2
= 2,
5 rad/s .
Kadangi e>0, tai skriemulio 4 kampinio greičio w4 ir kampinio pagreičio e4 kryptys
vienodos,vadinasi, skriemulys 4 sukasi greitėdamas.
Diržas 5 slenka, todėl jo visų taškų greičiai vienodi ir lygūs (a):
v 5 = v A1
= ω 1r1
=
Diržo 5 visų taškų pagreičiai vienodi ir lygūs:
6t
dv
a ′ =
dt
4
⋅ 0,
1 =
4
0,
6t
5
2
5 = = ( 0,
6t)
0,
6 m s .
Kadangi a5>0, tai pagreičio kryptis sutampa su greičio v 5 kryptimi, diržas slenka greitėdamas
.
Skriemulys 2 sukasi, todėl taško A2 pagreitis
Tangentinis pagreitis
a
A 2
=
( a
τ
A 2
čia skriemulio 2 kampinis pagreitis e2 lygus
)
2
+ ( a
n
A 2
)
2
.
m/s.
τ
a A 2 = ε 2 ⋅ r2
; (e)
2
= ω′
2
= ( 2t)
′ = 2 rad s
Įrašę e2 reikšmę į (e) formulę, gauname:
ε
2
.
(d)

a
τ
A 2
= 2 ⋅ 0,
3 =
65
0,
6 m
Kadangi skriemulio 2 kampinio greičio w2 ir kampinio pagreičio e2 kryptys vienodos,
τ
tai taško A2 greičio v A 2 ir tangentinio pagreičio a A 2 kryptys taip pat yra vienodos.
Skriemulys 2 sukasi greitėdamas. Taip pat matome, kad diržo 5 taškų pagreitis lygus
skriemulio 2 taško A2 tangentiniam pagreičiui:
a
A 5
= a
τ
Jų kryptys taip pat sutampa.
Taško A2 normalinis pagreitis
n
a = ω
A 2
n
A 2
2
2
=
⋅ r
2
0,
6 m
=
( 2t)
s
2
2
s
.
2
.
⋅ 0,
3 =
Normalinis pagreitis a A 2 nukreiptas į taško A2 trajektorijos kreivumo centrą, t.y.
skriemulio 2 sukimosi ašį.
Įrašę tangentinio ir normalinio pagreičių reikšmes į (d) formulę, apskaičiuojame taško
A2 pagreitį:
a
A 2
=
0,
6
2
+
( 1,
2t)
2
=
1,
2t
0,
36
+
m
s
2
.
1,
44t
9. Rodyklinio indikatoriaus mechanizme krumpliastiebis 1 suka krumpliaratį 2, ant kurio ašies
yra krumpliaratis 3, sukantis krumpliaratį 4, prie kurio pritvirtinta rodyklė. Apskaičiuokite
rodyklės kampinį greitį, jei krumpliastiebio judėjimo lygtis x = a sin kt, krumpliaračių
spinduliai r2, r3, r4.
1
A
2
arba vB = r4w4, todėl galime parašyti:
Iš čia:
2.12 pav.
B
3
4
r3w3 = r4w4.
ω
4
r3ω
=
r
4
3
r3
=
r r
2
4
SPRENDIMAS. Taško A greitis
v A
dx
= = ak cos kt .
dt
2
Antro krumpliaračio kampinis greitis
v A
=
ak cos kt
ω 2 =
.
r r
2
2
.
Antrojo ir trečiojo krumpliaračių
kampiniai greičiai vienodi, nes abu
krumpliaračiai įtvirtinti ant tos pačios
ašies, taigi w2 = w3.
Taško B greitis lygus vB = r3w3
ak cos kt.
Pastaba. Krumpliastiebis juda sinusoide, todėl jo (kartu ir taško A) judėjimo greičio
vektorius keis kryptį. Analogiškai keisis ir krumpliaračių 2, 3 ir 4 sukimosi kryptys.

66
10. Mechaninę pavarą sudaro krumpliastiebis CD, keturi dviejų ar trijų pakopų ratai 1, 2, 3, 4,
sukabinti kaip krumpliaračiai arba sujungti diržu. Prie lyno, užvynioto ant mažojo rato 3,
pririštas kūnas E. Krumpliastiebio judėjimo dėsnis yra s = 4t - t 2 (m). Ratų spinduliai: r1 =
0,02 m, R1 = 0,04 m, r2 = 0,06 m, a2 = 0,08 m, R2 = 0,12 m, r3 = 0,08 m, R3 = 0,16 m,
r4 = 0,06 m, a4 = 0,12 m, R4 = 0,24 m.
Apskaičiuokite ratų 2 kampinį greitį ir kampinį pagreitį, taško B greitį ir pagreitį bei
kūnų E ir G greičius ir pagreičius laiko momentu t = 1 s.
C
D
1
r1
R1
a2
r2
R2
G
2
A
a4
2.13 pav., a
r4
4
B r3
SPRENDIMAS. Žinodami krumpliastiebio CD judėjimo dėsnį s = 4t - t 2 (m) (krumplia-stiebis
slenka), galime apskaičiuoti jo greitį:
R4
2
v = s′
= ( 4t
− t ) ′ = 4 − 2t
m s .
Laiko momentu t = 1 s, s = 4×1 1 = 3 m, v = 4 - 2×1 = 2 m/s, krumpliastiebis CD
kyla aukštyn (2.13 pav., a). Krumpliastiebio visų taškų greičiai vienodi, todėl galime užrašyti,
kad jo kabinimosi su didžiuoju ratu 1 taško K greitis
⎧v
⎨
⎩v
k
k
= v
= ω R
1
1
ω
1
=
v
R 1
=
4 − 2t
0,
04
E
3
= 100 − 50t
Rato 1 judesys ratui 2 perduodamas diržu. Diržas užmautas ant pirmojo mažojo rato ir
antrojo didžiojo rato. Jis slenka, todėl
vN = vM, vN = w1×r1, vM = w2×R2, w1×r1 = w2×R2.
Iš šios lygybės galime apskaičiuoti sukimosi kampinį greitį:
ω
2
ω r
=
R
1 1
2
=
( 100
−
50t)
0,
12
⋅
0,
02
=
( 16,
67
−
8,
33t)
rad
R3
s.
rad
s.

K
v
C
v
K
N
D
ω1
1
v
N
2
Kampinis pagreitis
M
ε2
v M
v T
G
T
v G
ε
2
A
ω2
67
a
a G
A v B
= ω′
2
=
ω4
n
a B
L
v L
2.13 pav., b
( 16,
67
−
4
v B
B
a
ε4
τ
B
8,
33t)
′ = −8,
33 rad/s
Kadangi e2 0 , todėl kūnas G leidžiasi lėtėdamas.
Ratų 2 ir 4 kabinimosi taško A greitis
Taško B greitis
=
v A = ω2
⋅a
2 = ω4
⋅ R 4 ,
ω
4
ω2a
=
R
4
2
=
vB = ω4
⋅ a 4 =
( 16,
67
( 5,
56
−
−0,
5 m/s
8,
33t)
0,
24
2,
78t)
⋅
2
,
0,
08
0,
12
=
( 5,
56
( 0,
667
Laiko momentu t = 1 s, vB = 0,333 m/s (2.13 pav., b). Taško B pagreitis
a
B
=
( a
τ
B
)
2
+ ( a
n
B
)
−
2
,
⋅
=
−
E
v P
P
v E
a E
2,
78t)
−
0,
334t)
ω3
rad/s.
m/s.

τ
a B = ε 4 ⋅ a 4 ,
ε
a
4
τ
B
4
68
= ω′ = −2,
78 rad/s
= −0,
334 m/s
Kadangi e4 < 0, w4 > 0, tai ratai 4 sukasi lėtėdami,
pav., b).
Taško B normalinis pagreitis
n
2
a
n
B
= ω
2
4
⋅ a
4
=
2
.
( 5,
56
−
2
,
B
τ
B
v ir a kryptys priešingos (2.13
2,
78t)
kai t = 1 s, a B
Tada
= 0,
927 m/s ir nukreiptas į rato 4 sukimosi ašį.
a
B
=
0,
334
Mažasis 4 ir didysis 3 ratai apjuosti diržu, todėl
Taško P greitis
2
+
0,
927
2
=
2
⋅ 0,
12,
0,
986 m/s
vL=vF, vL=w4×r4, vF=w3×R3, w4×r4=w3×R3,
ω
3
ω4r
=
R
3
4
=
vP = ω3
⋅ r3
=
( 5,
56
( 2,
1
−
−
2,
78t)
0,
16
1,
04t)
⋅
⋅
0,
06
0,
08
=
=
2
.
( 2,
1
( 0,
17
Kūnas E pririštas prie virvės, užvyniotos ant mažojo rato 3, todėl
vE=vP=(0,17 - 0,083t) m/s.
Kai t = 1 s, vE = 0,087 m/s. Kūnas E keliamas į viršų (2.13 pav., b).
Kūnas E slenka, todėl jo pagreitis
= v′
( 0,
17
Kadangi aE < 0 , vE > 0 , tai kūnas E kyla lėtėdamas.
a
E
E
=
−
0,
083t)
−
′ = −0,
083 m/s
−
2
1,
04t)
0,
083t)
.
rad/s.
m/s.

69
11. Vagonėlio pakėlimo mechanizmą sudaro ratai 1 , 2 , kurių spinduliai r1 = 0,3 m, r2 =
0,9 m ir kurie tarpusavyje sukabinti kaip krumpliaračiai. Ant veleno 2 standžiai užmautas
būgnas, kurio spindulys r3=0,4 m. Keliamas vagonėlis pritvirtintas prie lyno, užvynioto ant
būgno.
Koks turi būti rato 1 sukimosi dėsnis, kad vagonėlis kiltų tolygiai greitėdamas
pagreičiu aV = 0,5 m/s 2 ? Pradiniu laiko momentu vagonėlio pakėlimo mechanizmas yra
ramybės būsenos (2.14 pav., a).
1
ϕ1
B
greičiai vienodi ir lygūs
A
2
3
2.14 pav., a
SPRENDIMAS. Vagonėlis kyla
tolygiai greitėdamas, todėl
dv V
a τ = a V = . (a)
dt
Suintegravę (a) lygtį, gauname:
vV
∫ dv V = ∫
V
v0
= 0 t=
0
t
a
dt,
vV = aVt = 0,5t. (b)
Lynas slenka, todėl visų jo taškų
vA = vV = 0,5t. (c)
Bet taškas A yra būgno 3 paviršiuje, o būgnas sukasi, tai
vA = w3×r3. (d)
Palyginę (c) ir (d) lygybes, apskaičiuojame būgno kampinį greitį:
0,5t = w3×r3;
ω
3
0,
5t
= =
r
3
0,
5t
0,
4
=
w2 = w3 = 1,25t rad/s,
1,
25t
rad/s;
nes būgnas ir ratas 2 įtvirtinti ant to paties veleno (2.14 pav., b).
ir
Ratų 1 ir 2 sukibimo taško B greičiai
vB2 = vB1,
vB2=w2×r2, vB1=w1×r1,
w2×r2 = w1×r1,
ω2r
ω
1 =
r
1
2
=
1,
25t
⋅
0,
3
0
, 9
=
3,
75t
rad/s.

ω2 = ω3
1
ϕ1
B
ω1
v = v
A
v B
3
A
70
2
2.14 pav., b
Kaip žinome, kampinis greitis yra posūkio kampo išvestinė laiko atžvilgiu:
tada
3
v V
dϕ1 ω 1 = , (e)
dt
3,
75t
dϕ1
= .
dt
Suintegravę (e) lygybę, gauname rato 1 sukimosi dėsnį:
ϕ1
∫ dϕ1
= ∫
ϕ 0= 0 t 0=
0
ϕ
1
=
, 75t
2
t
3,
75tdt
,
2
3 2
= 1,
875t
rad.