Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
46<br />
<strong>2.</strong> KŪNO SLINKIMAS IR SUKIMASIS<br />
<strong>2.</strong>1. Kūno slenkamasis judėjimas<br />
Slinkimas - tai toks kieto <strong>kūno</strong> judėjimas, kai tiesė, jungianti bet kuriuos du jo<br />
taškus, juda lygiagrečiai su savimi.<br />
Slenkančio <strong>kūno</strong> taškų trajektorijos gali būti <strong>ir</strong> kreivos linijos (nebūtinai tiesės).<br />
Kūno slenkamojo judėjimo savybes nusako teorema: 1) visų slenkančio <strong>kūno</strong> taškų<br />
trajektorijos yra vienodos, 2) visų taškų greičiai <strong>ir</strong> pagreičiai esamu laiko momentu yra<br />
vienodo dydžio <strong>ir</strong> krypties.<br />
Nagrinėjant slenkamąjį <strong>kūno</strong> judėjimą, galima aps<strong>ir</strong>iboti vieno kurio nors to <strong>kūno</strong><br />
taško judėjimo tyrimu. Kūno padėtis apibrėžiama nusakant vieno jo taško padėtį, pvz., to<br />
taško Dekarto koordinates.<br />
Reikia įsidėmėti, kad <strong>kūno</strong> greitis <strong>ir</strong> pagreitis turi prasmę, tik jam slenkant. Visais<br />
kitais atvejais, kaip vėliau matysime, visi jo taškai juda sk<strong>ir</strong>tingai, <strong>ir</strong> tik kūnui slenkant, jie<br />
juda vienodai.<br />
<strong>2.</strong><strong>2.</strong> Kūno sukimosi dėsnis<br />
Standaus <strong>kūno</strong> <strong>sukimasis</strong> - tai toks <strong>kūno</strong> judėjimas, kai jame yra bent du taškai,<br />
kurių greičiai lygūs nuliui. Tiesė, einanti per nejudančius <strong>kūno</strong> taškus, vadinama <strong>kūno</strong><br />
sukimosi ašimi. Visi kiti <strong>kūno</strong> taškai brėžia apskritimus, kurių plokštumos statmenos šiai<br />
ašiai.<br />
P<br />
ϕ<br />
Q<br />
B<br />
C<br />
z<br />
ϕ<br />
E<br />
A<br />
ε<br />
ω<br />
ω<br />
ε<br />
a τ<br />
vadinama <strong>kūno</strong> sukimosi apie ašį dėsniu.<br />
<strong>2.</strong>1 paveiksle OA yra <strong>kūno</strong><br />
sukimosi ašis, A - atraminis guolis, O -<br />
pakulnis, P - nejudama plokštuma, Q -<br />
plokštuma, besisukanti drauge su kūnu.<br />
Kūno taškas B yra plokštumoje P, o jo<br />
taškas C - plokštumoje Q. Taškai B, C, E<br />
yra plokštumoje, statmenoje sukimosi<br />
ašiai. Erdvinis kampas j tarp plokštumų P<br />
<strong>ir</strong> Q lygus plokščiam kampui tarp<br />
spindulių BE <strong>ir</strong> CE. Kampas j laikomas<br />
teigiamu, jei, žiūrint iš ašies Oz galo į<br />
pradžią, kūnas sukasi priešinga laikrodžio<br />
rodyklės judėjimui kryptimi. Kampas j<br />
matuojamas radianais. Kūnui sukantis<br />
apie ašį OA, kampas j kinta. Šis kampas,<br />
išreikštas laiko funkcija, apibrėžia <strong>kūno</strong><br />
padėtį erdvėje bet kuriuo laiko momentu.<br />
Tolydinė <strong>ir</strong> vienareikšmė laiko momento<br />
t funkcija<br />
<strong>2.</strong>1 pav. j<br />
= j(t) (<strong>2.</strong>1)
47<br />
Standaus <strong>kūno</strong> sukimosi pagrindinės kinematinės charakteristikos yra jo kampinis<br />
greitis w <strong>ir</strong> kampinis pagreitis e.<br />
Kampinis greitis - dydis, apibūdinantis kampo kitimą laikui bėgant. Kampinis greitis<br />
yra posūkio kampo išvestinė laiko atžvilgiu:<br />
dϕ<br />
ω = = ϕ&<br />
. (<strong>2.</strong>2)<br />
dt<br />
Kampinis pagreitis - dydis, apibūdinantis kampinio greičio kitimą laikui bėgant.<br />
Kampinis pagreitis yra p<strong>ir</strong>moji kampinio greičio arba antroji posūkio kampo išvestinė laiko<br />
atžvilgiu:<br />
dω<br />
ε = = ω&<br />
= ϕ&<br />
& . <strong>2.</strong>3)<br />
dt<br />
Kai žinoma kampinio greičio priklausomybė nuo posūkio kampo, kampinis pagreitis<br />
apskaičiuojamas pagal formulę<br />
dω<br />
dω<br />
dϕ<br />
dω<br />
ε = = ⋅ = ω . (<strong>2.</strong>4)<br />
dt dϕ<br />
dt dϕ<br />
Iš (<strong>2.</strong>2) <strong>ir</strong> (<strong>2.</strong>3) formulių matyti, kad kampinio greičio dimensija yra rad/s, o kampinio<br />
pagreičio dimensija - rad/s 2 . Jei kampinio greičio <strong>ir</strong> pagreičio ženklai vienodi, <strong>sukimasis</strong> yra<br />
greitėjantis, jei ženklai priešingi, - lėtėjantis.<br />
Kampinį greitį galima laikyti vektoriumi, atidėtu sukimosi ašyje taip, kad, žiūrint iš jo<br />
galo į pradžią, kūnas suktųsi prieš laikrodžio rodyklę (žr. <strong>2.</strong>1 pav.).<br />
Vektoriaus ω modulis lygus <strong>kūno</strong> kampinio greičio dydžiui. Kūno kampinį pagreitį,<br />
analogiškai kampiniam greičiui, galima laikyti vektoriumi, atidėtu sukimosi ašyse. Kampinio<br />
pagreičio ε kryptis sutampa su ω kryptimi, kai kūnas sukasi greitėdamas (<strong>2.</strong>1 pav.) <strong>ir</strong> yra<br />
priešinga ω krypčiai, jei kūnas sukasi lėtėdamas.<br />
Pavyzdžiai<br />
1. G<strong>ir</strong>okompaso rotoriaus kampinis pagreitis didėja nuo nulio proporcingai laikui. Praėjus 5<br />
min, rotorius sukosi 18000 sūk./min. Koks rotoriaus apsisukimų skaičius per tą laiką?<br />
SPRENDIMAS. Rotoriaus <strong>sukimasis</strong> nėra tolygiai kintamas, nes kampinis pagreitis keičiasi.<br />
Kadangi kampinis pagreitis didėja proporcingai laikui, tai galime parašyti e=kt, čia k - mums<br />
dω<br />
dar nežinomas pastovus dydis. Kampinis pagreitis ε = , todėl<br />
dt<br />
d ω<br />
= kt .<br />
dt<br />
Iš čia<br />
Integruodami gauname:<br />
<strong>2.</strong>3. Kampinis greitis <strong>ir</strong> pagreitis<br />
d ω = kt dt .<br />
ω<br />
∫ ω = k∫<br />
ω0<br />
d tdt ;<br />
t<br />
0
48<br />
čia k iškėlėm prieš integralo ženklą kaip pastovų dydį. Suintegravę randame:<br />
2<br />
t<br />
ω = k + ω0<br />
.<br />
2<br />
(a)<br />
Vietoj kampinio greičio rašom posūkio kampo išvestinę<br />
2<br />
dϕ<br />
t<br />
= k ,<br />
dt 2<br />
o pradinis kampinis greitis nagrinėjamame pavyzdyje lygus nuliui. Padauginę lygybę iš dt,<br />
integruodami gauname:<br />
Laikydami, kad j0 = 0, randame:<br />
ϕ<br />
∫ ϕ = ∫<br />
ϕ0<br />
Žinome, kad, kai t = 5 min = 300 s, tai:<br />
Todėl iš (a) lygybės, kur ω0<br />
= 0, gauname:<br />
k 2<br />
d t dt .<br />
2<br />
t<br />
0<br />
k 3<br />
ϕ = t . (b)<br />
6<br />
πn<br />
π ⋅18000<br />
rad<br />
ω = = = 600π<br />
.<br />
30 30<br />
s<br />
2ω<br />
2 ⋅ 600π<br />
4π<br />
rad<br />
k = = = .<br />
2<br />
2<br />
2<br />
t 300 300 s<br />
Įrašę apskaičiuotą konstantos reikšmę į (b) lygybę, randame posūkio kampą:<br />
Sūkių skaičius<br />
<strong>2.</strong> Švytuoklės judėjimas išreikštas lygtimi<br />
3<br />
4π 300<br />
4<br />
ϕ = ⋅ = 6 ⋅10<br />
π rad .<br />
300 6<br />
4<br />
ϕ 6 ⋅10<br />
π<br />
N = = = 30000 sûk.<br />
.<br />
2π<br />
2π<br />
π 3πt<br />
ϕ = cos ,<br />
6 4<br />
čia j - nuokrypio kampas radianais, t - laikas sekundėmis. Apskaičiuokite didžiausią<br />
švytuoklės kampinį greitį <strong>ir</strong> jos kampinį pagreitį.<br />
SPRENDIMAS. Kampinis greitis lygus kampo išvestinei pagal laiką, todėl:
49<br />
2<br />
dϕ<br />
π 3πt<br />
ω = = − sin . (a)<br />
dt 8 4<br />
Kampinis pagreitis lygus kampinio greičio išvestinei pagal laiką:<br />
Kampinis greitis didžiausias, kai:<br />
2<br />
3<br />
dω<br />
3π<br />
3πt<br />
ε = = − cos . (b)<br />
dt 32 4<br />
3πt<br />
3π t π π<br />
sin = −1,<br />
t.y. kai = − , 3 ,...<br />
4<br />
4 2 2<br />
π<br />
Tada ω = = 1,<br />
232 rad/s. Kampinį pagreitį apskaičiuojame iš (b) lygybės. Įrašę<br />
8<br />
3πt π π<br />
= − , 3 ,... gauname, kad tuo momentu e = 0.<br />
4 2 2<br />
3πt<br />
Iš (b) lygybės matome, kad kampinis pagreitis didžiausias, kai cos = −1<br />
, t.y. kai<br />
4<br />
2<br />
3πt<br />
3π<br />
rad<br />
= ± π,<br />
± 3π,...<br />
Tada ε = = 0,<br />
924 . Iš (a) lygybės matome, kad tais laiko<br />
2<br />
4<br />
32 s<br />
momentais w = 0, nes sin(±p) = 0, sin(±3p) = 0,<br />
Taigi, kai švytuoklės kampinis greitis didžiausias, jos kampinis pagreitis lygus nuliui,<br />
o kai kampinis pagreitis didžiausias, jos kampinis greitis w = 0.<br />
<strong>2.</strong>4. Tolygus <strong>ir</strong> tolygiai kintamas <strong>sukimasis</strong><br />
Tolygiu vadinamas <strong>kūno</strong> <strong>sukimasis</strong> pastoviu kampiniu greičiu:<br />
d ϕ<br />
ω = = const .<br />
(<strong>2.</strong>5)<br />
dt<br />
Suintegravę šią lygtį, gauname tolygaus <strong>kūno</strong> sukimosi dėsnį<br />
t ω + ϕ = ϕ . (<strong>2.</strong>6)<br />
0<br />
Kai kūnas sukasi tolygiai, vietoj kampinio greičio w dažnai vartojamas <strong>kūno</strong> sukimosi<br />
dažnis - sūkių skaisčius per minutę n. Kampinį greitį <strong>ir</strong> sukimosi dažnį sieja formulė:<br />
πn<br />
ω = . (<strong>2.</strong>7)<br />
30<br />
Tolygiai kintamu vadinamas <strong>kūno</strong> <strong>sukimasis</strong> pastoviu kampiniu pagreičiu:<br />
Du kartus suintegravę šią lygtį, gausime:<br />
d ω<br />
ε = = const .<br />
(<strong>2.</strong>8)<br />
dt
Pavyzdžiai<br />
50<br />
2<br />
εt<br />
ϕ = ϕ0<br />
+ ω0<br />
( t)<br />
+ . (<strong>2.</strong>9)<br />
2<br />
1. Apskaičiuokite sekundinės <strong>ir</strong> minutinės laikrodžio rodyklių bei Žemės sukimosi kampinį<br />
greitį.<br />
SPRENDIMAS. Tolygiai besisukančio <strong>kūno</strong> posūkio kampas j = wt + j0; čia w - kampinis<br />
greitis, matuojamas radianais per sekundę, j0 - pradinis kampas, j - posūkio kampas, praėjus<br />
laikui t. Iš tos formulės gauname:<br />
ϕ − ϕ0<br />
ω = .<br />
t<br />
Žinome, kad sekundinė laikrodžio rodyklė per 1 minutę apsisuka vieną kartą, t.y., kai<br />
t = 60 s, tai j - j0 = 2p rad, todėl sekundinės rodyklės<br />
2 π<br />
ω = =<br />
60<br />
0,<br />
1047<br />
rad / s.<br />
Minutinė rodyklė apsisuka per 1 valandą, todėl jos kampinis greitis<br />
2π<br />
ω = =<br />
3600<br />
0,<br />
001745 rad / s.<br />
Žemė apsisuka apie savo ašį per vieną parą, t.y. per 24 valandas, todėl Žemės<br />
kampinis greitis yra labai mažas:<br />
2π<br />
ω = = 0,<br />
0000727 rad / s.<br />
24 ⋅ 3600<br />
<strong>2.</strong> Vato išcentrinio reguliatoriaus švytuoklė švytuoja 120 sūk./min. Pradiniu momentu<br />
π<br />
posūkio kampas j0= rad. Apskaičiuokite visą švytuoklės posūkio kampą <strong>ir</strong> posūkio kampą<br />
6<br />
per laiką t = 0,5 s.<br />
SPRENDIMAS. Tolygaus sukimosi dėsnis t ω + ϕ = ϕ ,<br />
π ⋅120<br />
Todėl ω = = 4π<br />
rad. Visas posūkio kampas:<br />
30<br />
Posūkio kampas per laiko tarpą t = 0,5 s<br />
π 13π<br />
ϕ = + 4π<br />
⋅ 0,<br />
5 =<br />
6<br />
6<br />
0<br />
πn<br />
ω = rad/s, n = 120 sūk./min.<br />
30<br />
rad .<br />
13 π<br />
Dj=j - j0= π<br />
− = 2π<br />
rad .<br />
6 6
51<br />
3. Velenas pradėjo suktis iš rimties būsenos, tolygiai greitėdamas. Per 5 s apsisuko 12,5 sūkių.<br />
Apskaičiuokite veleno kampinį greitį po 5 s.<br />
SPRENDIMAS. Tolygiai kintamo sukimosi atveju:<br />
ω = ω + εt,<br />
(a)<br />
0<br />
2<br />
εt<br />
ϕ = ϕ0<br />
+ ω0t<br />
+ .<br />
(b)<br />
2<br />
Iš sąlygos žinome, kad j0 = 0, w0 = 0, N = 12,5 sūk. Tada j=2pN=25p rad. Šias<br />
reikšmes įrašę į (b) lygybę, apskaičiuojame kampinį pagreitį e:<br />
2<br />
εt<br />
25π<br />
=<br />
2<br />
,<br />
50π<br />
ε = = 2π<br />
25<br />
rad / s<br />
Gautą e reikšmę įrašę į (a) lygybę, randame kampinį greitį w:<br />
ω = 2πt, ω = 10π<br />
rad / s.<br />
4. Skriemulys pradėjo suktis kampiniu greičiu ω 0 = 2π<br />
rad / s tolygiai lėtėdamas <strong>ir</strong> po 10<br />
sūkių sustojo. Apskaičiuokite skriemulio kampinį pagreitį.<br />
SPRENDIMAS. Tolygiai kintamo sukimosi atveju:<br />
2<br />
εt<br />
ϕ = ϕ0<br />
+ ω0t<br />
+<br />
2<br />
, (a)<br />
ω = ω + εt.<br />
(b)<br />
Skriemuliui sustojus, ω = 0. Tada iš (b) lygybės gauname:<br />
Iš čia randame t:<br />
0<br />
0= ω + εt<br />
,<br />
0<br />
ω0<br />
2π<br />
t = − , t = − s,<br />
ε ε<br />
ϕ = 2 π N ( N = 10 sûk.),<br />
ϕ = 20π rad .<br />
Šias išraiškas įrašę į (a) lygybę, randame ε :<br />
2π<br />
⋅ 2π<br />
ε(<br />
−2π)<br />
20π<br />
= − +<br />
2 ε 2ε<br />
π π<br />
= − +<br />
ε ε<br />
,<br />
2<br />
10 ,<br />
π 2<br />
ε = − rad / s<br />
10<br />
= −0,<br />
1π<br />
rad / s<br />
(minuso ženklas rodo, kad <strong>sukimasis</strong> yra lėtėjantis).<br />
2<br />
2<br />
2<br />
.
52<br />
5. Variklis iš rimties būvio pradeda suktis, tolygiai greitėdamas, <strong>ir</strong> per p<strong>ir</strong>mas 2 minutes<br />
apsisuko 7200 sūkių. Apskaičiuokite variklio kampinį pagreitį.<br />
SPRENDIMAS. Tolygiai kintamo sukimosi dėsnis:<br />
2<br />
εt<br />
ϕ = + ω0t<br />
+ ϕ0<br />
, (a)<br />
2<br />
čia e - kampinis pagreitis, w0 - pradinis kampinis greitis, j0 - pradinis posūkio kampas, kurį<br />
šiame uždavinyje galime laikyti lygų nuliui. Kadangi variklis pradžioje nesisuko, tai <strong>ir</strong> w0 =0.<br />
Žinome, kad po t = 2 min =120 s variklis buvo apsisukęs 7200 sūkių. Vieną kartą<br />
apsisukdamas, kūnas pasisuka 2p radianų kampu, todėl visas kampas j = 2p×7200. Įrašome<br />
šias reikšmes į(a) formulę:<br />
Iš čia:<br />
ε ⋅120<br />
2π<br />
⋅ 7200 =<br />
2<br />
rad<br />
ε = 2π<br />
.<br />
2<br />
s<br />
6. Turbina sukasi 120 sūkių per minutę. Jos <strong>sukimasis</strong> pradėjo tolygiai lėtėti taip, kad per 30 s<br />
kampinis greitis sumažėjo 4 kartus. Kiek kartų turbina apsisuko per p<strong>ir</strong>mą, antrą <strong>ir</strong> trečią<br />
dešimtį sekundžių, tolygiai kintamai sukdamasi?<br />
SPRENDIMAS. Turbinos pradinis kampinis greitis<br />
πn<br />
0 π ⋅120<br />
ω 0 = = = 4π<br />
30 30<br />
2<br />
.<br />
rad / s;<br />
čia n0 - pradinis sukimosi greitis, sūk./min. Po 30 s kampinis greitis sumažėjo keturis kartus,<br />
todėl<br />
Turbinos kampinis pagreitis<br />
ε =<br />
ω −<br />
ω<br />
ω =<br />
4<br />
t<br />
ω<br />
0<br />
0<br />
=<br />
= π<br />
rad / s.<br />
π − 4π<br />
π<br />
= −<br />
30 10<br />
rad / s<br />
Tarę, kad pradinis posūkio kampas j0 = 0, galime apskaičiuoti, kokiu kampu j1 turbina<br />
pasisuko per p<strong>ir</strong>mas 10 s:<br />
ϕ<br />
1<br />
2<br />
1<br />
εt<br />
=<br />
2<br />
+ ω<br />
0<br />
t<br />
1<br />
π 10<br />
= − ⋅<br />
10 2<br />
2<br />
2<br />
.<br />
+ 4π<br />
⋅10<br />
= 35π<br />
rad .<br />
Kadangi vienas visas sūkis turi 2p rad, tai turbinos sūkių skaičius per p<strong>ir</strong>mas 10 s<br />
N<br />
1<br />
ϕ1<br />
35π<br />
=<br />
= =<br />
2π<br />
2π<br />
17,<br />
5 sûk.
53<br />
Apskaičiuojame, kiek kartų apsisuko turbina per p<strong>ir</strong>mas 20 s. Posūkio kampas<br />
todėl sūkių skaičius<br />
ϕ<br />
N<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
εt<br />
=<br />
2<br />
Per visas 30 s turbina pasisuko kampu<br />
<strong>ir</strong> apsisuko iš viso<br />
ϕ<br />
N<br />
3<br />
3<br />
+ ω<br />
0<br />
t<br />
2<br />
ϕ2<br />
60π<br />
= = =<br />
2π<br />
2π<br />
ε t<br />
=<br />
2<br />
2<br />
3<br />
+ ω t<br />
ϕ3<br />
75π<br />
= = =<br />
2π<br />
2π<br />
0<br />
3<br />
π 20<br />
= − ⋅<br />
10 2<br />
30 sûk.<br />
2<br />
π 30<br />
= − ⋅<br />
10 2<br />
37,<br />
5 sûk.<br />
2<br />
+ 4π<br />
⋅ 20 = 60π<br />
rad ,<br />
+ 4π<br />
⋅ 30 = 75π<br />
rad<br />
Dabar lengvai apskaičiuojame, kad per p<strong>ir</strong>mas dešimt sekundžių turbina apsisuko<br />
N1=17,5 karto, per antrą dešimtį sekundžių N2 - N1=12,5 karto, o per trečią dešimtį sekundžių<br />
N3 - N2=7,5 karto. Matome, kad sūkių skaičius vis mažėja, nes turbina sukasi tolygiai<br />
lėtėdama.<br />
7. Variklio išjungimo metu lėktuvo propeleris sukosi kampiniu greičiu n =1200 sūk./min. Po<br />
80 sūkių jis sustojo. Per kiek laiko nuo stabdymo pradžios propeleris sustojo, jei <strong>sukimasis</strong><br />
tolygiai lėtėjantis.<br />
SPRENDIMAS. Kūnui sukantis tolygiai kintamai:<br />
2<br />
εt<br />
ϕ = ϕ0<br />
+ ω0t<br />
+ ,<br />
2<br />
(a)<br />
ω = ω + εt.<br />
(b)<br />
Variklio išjungimo metu propelerio kampinis greitis<br />
0<br />
πn<br />
1200π<br />
ω 0 = = = 40π<br />
rad / s .<br />
30 30<br />
Propeleriui sustojus, jo kampinis greitis ω = 0. Iš (b) lygybės išs<strong>ir</strong>eiškiame e:<br />
0 = 40π<br />
+ εt,<br />
40π<br />
ε = − .<br />
t<br />
Apskaičiuojame posūkio kampą po 80 sūkių (kol sustos):<br />
ϕ = 2πN = 2π80<br />
= 160π<br />
rad .<br />
j <strong>ir</strong> e reikšmes įrašę į (a) lygybę, apskaičiuojame laiką t:<br />
40π<br />
t<br />
160π<br />
= 40πt<br />
− ⋅<br />
t 2<br />
2<br />
,
54<br />
160=20t,<br />
160<br />
t = = 8 s .<br />
20<br />
<strong>2.</strong>5. Besisukančio <strong>kūno</strong> taškų greičiai <strong>ir</strong> pagreičiai<br />
Kaip pažymėta <strong>2.</strong>2, <strong>2.</strong>3 skyriuose, <strong>kūno</strong> sukimąsi apibūdina posūkio kampas, kampinis<br />
greitis <strong>ir</strong> kampinis pagreitis. Laisvai pas<strong>ir</strong>inkto <strong>kūno</strong> taško B judėjimą apibrėžia jo trajektorija,<br />
greitis <strong>ir</strong> pagreitis.<br />
Laisvai pas<strong>ir</strong>inkto taško B trajektorija yra apskritimas, kurio plokštuma statmena <strong>kūno</strong><br />
sukimosi ašiai OA (<strong>2.</strong>2 pav.). Šio apskritimo centras C yra sukimosi ašyje, o spindulys R =<br />
CB.<br />
Greičio vektorius yra trajektorijos liestinėje. Besisukančio <strong>kūno</strong> bet kurio taško greičio<br />
didumas lygus kampinio greičio <strong>ir</strong> to taško sukimosi spindulio R sandaugai:<br />
v = wR. (<strong>2.</strong>10)<br />
Taško B tangentinio pagreičio (t.y. pagreičio projekcijos trajektorijos liestinėje) dydis<br />
lygus: <strong>2.</strong>8<br />
A<br />
at = eR. (<strong>2.</strong>11)<br />
ω<br />
C<br />
ε<br />
ω<br />
ε<br />
<strong>2.</strong>2 pav.<br />
C<br />
ε<br />
a n<br />
O<br />
ω<br />
<strong>2.</strong>3 pav.<br />
an v<br />
B<br />
B<br />
α<br />
a<br />
aτ<br />
v<br />
a τ<br />
Kampinio greičio <strong>ir</strong> kampinio pagreičio<br />
kryptys yra vienodos (<strong>2.</strong>2 pav.), todėl taško B<br />
greičio <strong>ir</strong> tangentinio pagreičio kryptys taip pat<br />
vienodos (kūnas sukasi greitėdamas).<br />
Normalinio pagreičio (t.y. pagreičio<br />
projekcijos normalėje) dydis:<br />
an = Rw 2<br />
(<strong>2.</strong>12)<br />
Normalinis pagreitis yra nukreiptas į taško<br />
B trajektorijos kreivumo centrą C.<br />
Besisukančio <strong>kūno</strong> taško pagreičio dydis<br />
2<br />
2<br />
n<br />
2<br />
a = a τ + a = R ε + ω .<br />
(<strong>2.</strong>13)<br />
4
A<br />
v A<br />
C<br />
Pavyzdžiai<br />
ω<br />
<strong>2.</strong>4 pav.<br />
B<br />
v B<br />
A<br />
a Aτ<br />
55<br />
Taško B pagreičio kryptį apibrėžia kampas<br />
a (<strong>2.</strong>3 pav.):<br />
a n ω<br />
tg α = = . (<strong>2.</strong>14)<br />
a ε<br />
τ<br />
2<br />
Kadangi visi <strong>kūno</strong> taškai juda tuo pačiu<br />
kampiniu greičiu <strong>ir</strong> jų kampinis pagreitis taip pat<br />
yra vienodas, tai iš (<strong>2.</strong>10) <strong>ir</strong> (<strong>2.</strong>13) formulių<br />
darome išvadą, kad bet kurio <strong>kūno</strong> taško greičio <strong>ir</strong><br />
pagreičio dydžiai tiesiai proporcingi taškų<br />
atstumui iki sukimosi ašies.<br />
<strong>2.</strong>4 <strong>ir</strong> <strong>2.</strong>5 paveiksluose parodyta, kaip<br />
greičiai <strong>ir</strong> pagreičiai yra pasisk<strong>ir</strong>stę statmenoje<br />
<strong>kūno</strong> sukimosi ašiai atkarpoje AB. Taškas C yra<br />
<strong>kūno</strong> sukimosi ašyje.<br />
α<br />
a A<br />
C<br />
ω<br />
ε<br />
<strong>2.</strong>5 pav.<br />
1. Smagračio taškas A, esantis ratlankyje, juda 80 m/s greičiu. Taškas B, esantis tame pačiame<br />
spindulyje, juda 10 m/s greičiu. Atstumas tarp taškų AB = 0,35 m. Apskaičiuokite smagračio<br />
kampinį greitį <strong>ir</strong> jo skersmenį (<strong>2.</strong>6 pav.).<br />
SPRENDIMAS. Kadangi taškai A <strong>ir</strong> B yra besisukančio apie nejudamą ašį kieto <strong>kūno</strong> taškai,<br />
tai jų greičiai<br />
a B<br />
α<br />
a Bτ<br />
vA = wR , (a)<br />
vB = w(R - AB) = w(R - 0,35). (b)<br />
B
R<br />
B<br />
ω<br />
A<br />
<strong>2.</strong>6 pav.<br />
vB<br />
vA<br />
R<br />
v A<br />
=<br />
ω<br />
=<br />
56<br />
Iš (a) lygties:<br />
v A<br />
R = .<br />
ω<br />
Įrašę į (b) lygybę, gauname:<br />
⎛ v A ⎞<br />
vB = ω⎜<br />
− 0,<br />
35⎟<br />
= vA<br />
− 0,<br />
35ω.<br />
⎝ ω ⎠<br />
Kadangi vB <strong>ir</strong> vA žinomi dydžiai, tai<br />
ω =<br />
− v<br />
0,<br />
35<br />
vA B<br />
=<br />
0,<br />
80<br />
−<br />
0,<br />
35<br />
0,<br />
1<br />
=<br />
rad<br />
2<br />
s<br />
Žinodami w, apskaičiuojame smagračio<br />
skersmenį d:<br />
0,<br />
80<br />
2<br />
d = 2R = 0,80 m.<br />
=<br />
0,<br />
40 m,<br />
<strong>2.</strong> Apskaičiuokite taško M, esančio ant Žemės pav<strong>ir</strong>šiaus platumoje j, greitį <strong>ir</strong> pagreitį. Žemės<br />
spindulys R = 6370 km = 6,37×10 6 m. Įvertinkite tik Žemės sukimąsi apie savo ašį.<br />
SPRENDIMAS. Žemė per parą apsisuka apie savo ašį vieną kartą. Žemės kampinis greitis<br />
2 −5<br />
π<br />
ω = rad/s = 7,<br />
27 ⋅10<br />
24 ⋅ 60 ⋅ 60<br />
rad/s .<br />
Tarkime, kad taškas (laisvai pas<strong>ir</strong>inktas Žemės pav<strong>ir</strong>šiuje) yra j platumoje. Taško<br />
atstumą r nuo Žemės sukimosi ašies rasime<br />
z<br />
iš stačiojo trikampio ONM (<strong>2.</strong>7 pav.):<br />
a<br />
ω<br />
v<br />
R<br />
O<br />
C ϕ<br />
M<br />
r N<br />
r = MN = Rcosj.<br />
Taško M greitis pastovus. Jo modulis<br />
v = w×r = wRcosj.<br />
Kadangi taškas juda apskritimu tolygiai, tai<br />
at = 0. Tada<br />
<strong>2.</strong>7 pav.<br />
a<br />
n<br />
=<br />
ω<br />
2<br />
2<br />
â = a n<br />
<strong>ir</strong> yra nukreiptas į trajektorijos kreivumo<br />
centrą taške N. Normalinis pagreitis<br />
⋅ r = ω R cos ϕ = a.<br />
.
1) Taškas M yra ekvatoriuje (j = 0). Tuomet<br />
57<br />
Atsk<strong>ir</strong>i atvejai:<br />
cosj = cos 0 o = 1,<br />
v =<br />
a =<br />
7,<br />
27<br />
( 7,<br />
27<br />
⋅10<br />
−5<br />
⋅10<br />
2) Taškas M yra Šiaurės ašigalyje (j = 90 o ). Tuomet<br />
−5<br />
6<br />
⋅ 6,<br />
37 ⋅10<br />
⋅1<br />
= 464 m/s,<br />
)<br />
2<br />
6<br />
⋅ 6,<br />
37 ⋅10<br />
⋅1<br />
= 0,<br />
0337 m/s<br />
cosj = cos 90 o = 0, v = 0, a = 0.<br />
3) Taškas M yra Kauno platumoje (j = 55 o ). Tuomet<br />
cosj = cos 55 o = 0,574,<br />
v =<br />
a =<br />
7,<br />
27<br />
( 7,<br />
27<br />
⋅10<br />
−5<br />
⋅10<br />
−5<br />
6<br />
⋅ 6,<br />
37 ⋅10<br />
⋅ 0,<br />
574 = 266 m/s,<br />
)<br />
2<br />
6<br />
⋅ 6,<br />
37 ⋅10<br />
0,<br />
574<br />
=<br />
0,<br />
01936<br />
2<br />
.<br />
m/s<br />
2<br />
.
58<br />
Skaičiavimo rezultatai rodo, kad Žemės pav<strong>ir</strong>šiuje esančių kūnų pagreitis,<br />
ats<strong>ir</strong>andantis dėl Žemės sukimosi, yra gerokai mažesnis už laisvo kritimo pagreitį- 9,81 m/s 2 .<br />
3. Variklio rotorius buvo surinktas netiksliai. Jo svorio centras nuo sukimosi ašies nutolęs<br />
0,001 m. Apskaičiuokite rotoriaus svorio centro normalinio pagreičio dydį, jeigu rotorius<br />
sukasi 3000 sūk./min greičiu.<br />
SPRENDIMAS. Taško, nutolusio atstumu r nuo sukimosi ašies, normalinis pagreitis<br />
an = w 2 ×r;<br />
čia w - rotoriaus kampinis greitis, rad/s; r - rotoriaus svorio centro atstumas nuo sukimosi<br />
ašies, m. Kampinį greitį išreiškiame radianais per sekundę:<br />
Tada<br />
πn<br />
ω =<br />
30<br />
a<br />
n<br />
= ω<br />
π ⋅ 3000<br />
= = 100π<br />
30<br />
2<br />
⋅ r = 100<br />
2<br />
⋅ π<br />
2<br />
rad / s.<br />
⋅ 0,<br />
001 =<br />
98,<br />
6 m / s<br />
4. Smagratis, kurio spindulys R = 2 m, pradeda judėti iš rimties būsenos, tolygiai<br />
greitėdamas. Po 10 sekundžių taško, esančio ratlankyje, greitis lygus 50 m/s. Apskaičiuokite<br />
to taško greitį, normalinį bei tangentinį pagreičius laiko momentu t = 25 s.<br />
SPRENDIMAS. Besisukančio taško greitis<br />
v = R×w. (a)<br />
Kadangi smagračio judėjimas tolygiai greitėjantis, tai e = const <strong>ir</strong> kampinis greitis kinta<br />
pagal dėsnį<br />
w = wo + et.<br />
Pradėjus judėti iš rimties būsenos, wo = 0, todėl w = et. Iš (a) formulės apskaičiuojame<br />
smagračio kampinį greitį po dešimties sekundžių (t = 10 s):<br />
Tada<br />
ω<br />
1<br />
=<br />
ω<br />
ε =<br />
t<br />
Laiko momentu t2 = 25 s gauname:<br />
v1 R<br />
1<br />
1<br />
=<br />
=<br />
50<br />
2<br />
25<br />
10<br />
=<br />
= 25<br />
2,<br />
5<br />
rad / s.<br />
rad / s<br />
ω = ε = 2,<br />
5 ⋅ 25 = 62,<br />
5 rad / s ,<br />
2<br />
t 2<br />
v2 = ω2<br />
R<br />
= 62,<br />
5 ⋅ 2 = 125 m / s.<br />
Kai t2 = 25 s, taško normalinis bei tangentinis pagreičiai:<br />
2<br />
.<br />
2<br />
.
a<br />
a<br />
n<br />
τ<br />
2<br />
2<br />
59<br />
= ω ⋅ R = 62,<br />
5<br />
2<br />
⋅ 2 =<br />
= ε ⋅ R = 2,<br />
5⋅<br />
2 = 5 m / s<br />
9 3<br />
7812,<br />
5<br />
2<br />
.<br />
m / s<br />
5. Skriemulys sukasi pagal dėsnį ϕ = t . Apskaičiuokite nuo sukimosi ašies spinduliu R<br />
32<br />
= 0,8m nutolusio taško M greitį <strong>ir</strong> pagreitį tuo momentu, kai taško tangentinis pagreitis lygus<br />
normaliniam.<br />
SPRENDIMAS. Taško M tangentinis <strong>ir</strong> normalinis pagreičiai<br />
a n<br />
ε<br />
ω<br />
a<br />
R<br />
<strong>2.</strong>8<br />
pav<br />
<strong>ir</strong> iš jos apskaičiuojame t1:<br />
4<br />
Kai s<br />
3<br />
t 1 = :<br />
M<br />
v<br />
27<br />
t<br />
16<br />
1<br />
t 3<br />
1 =<br />
a τ<br />
⎛ 27<br />
= ⎜ t<br />
⎝ 32<br />
64<br />
,<br />
27<br />
4<br />
s<br />
3<br />
t 1 = .<br />
2<br />
at=Re, an=Rw 2 .<br />
Re=Rw 2 ,<br />
e=w 2 ,<br />
Palyginkime šiuos pagreičius.<br />
Gauname:<br />
ϕ 27<br />
ω = = t<br />
dt 32<br />
d 2<br />
d ω 27<br />
ε = = t.<br />
dt 16<br />
2<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
,<br />
2<br />
,<br />
Pažymėję laiką,<br />
kai at = an, t1,<br />
gauname lygybę<br />
27 ⎛ 4 ⎞<br />
ω 1 = ⎜ ⎟ = 1,<br />
5 rad / s,<br />
32 ⎝ 3 ⎠<br />
27 ⋅ 4<br />
ε 1 = = 2,<br />
25 rad / s.<br />
16 ⋅ 3<br />
Taško M greitis v = R ⋅ ω1<br />
= 0,<br />
8 ⋅1,<br />
5 = 1,<br />
2 m/s , jis nukreiptas kreivės liestine taške<br />
M smagračio sukimosi kryptimi (<strong>2.</strong>8 pav.). Taško M pagreitis<br />
2<br />
2<br />
n<br />
a = a τ<br />
+ a<br />
= R<br />
ε<br />
2<br />
1<br />
+ ω<br />
4<br />
1<br />
=<br />
0,<br />
8<br />
2,<br />
25<br />
2<br />
4<br />
+ 1,<br />
4<br />
=<br />
2,<br />
54 m/s<br />
2<br />
,
a τ nukreiptas kreivės liestine taške M <strong>ir</strong> sutampa su greičio kryptimi, nes abu teigiami, o<br />
a nukreiptas į kreivumo centrą (<strong>2.</strong>8 pav.).<br />
n<br />
60<br />
6. Reduktoriaus su išorinio kabinimo krumpliaračiais 1 <strong>ir</strong> 2 bei vidinio kabinimo<br />
krumpliaračiais 2 <strong>ir</strong> 3 (<strong>2.</strong>9 pav.,a) krumpliaratis 1 pradeda suktis iš ramybės būsenos. Jo<br />
sukimosi dėsnis yra j = 2t 2 rad. Apskaičiuokite krumpliaračio 3 kampinį greitį w3 <strong>ir</strong> kampinį<br />
pagreitį e3, taško B greitį <strong>ir</strong> pagreitį, kai t = 1 s. Krumpliaračių spinduliai: r1 = 0,2 m, r2 =<br />
0,8 m, r3 = 0,3 m.<br />
SPRENDIMAS. Krumpliaračio 1 kampinis greitis<br />
ω<br />
1<br />
= ϕ′ =<br />
4t<br />
rad/s .<br />
Kai t = 1 s, j = 2 rad, w1 = 4 rad/s. Kadangi w1>0, todėl krumpliaračio 1 kampinio<br />
greičio kryptis sutampa su posūkio kampo kryptimi, t.y. sukasi prieš laikrodžio rodyklę (žr.<br />
<strong>2.</strong>9 pav., b).<br />
1<br />
A<br />
ϕ<br />
2<br />
3<br />
B<br />
ε2<br />
ω2<br />
v A<br />
1<br />
n<br />
a B3<br />
<strong>2.</strong>9 pav., a <strong>2.</strong>9 pav., b<br />
A<br />
n<br />
a B2<br />
a B2<br />
ϕ<br />
2<br />
ω1<br />
B3<br />
v = v = v<br />
B2<br />
3<br />
B2<br />
a τ<br />
B3<br />
a a<br />
Apskaičiuokime taško A greitį, laikydami, kad jis priklauso krumpliaračiui 1<br />
<strong>ir</strong> kad jis priklauso krumpliaračiui 2:<br />
τ<br />
B2<br />
= B3<br />
vA = w1r1, (a)<br />
vA = w2r<strong>2.</strong> (b)<br />
Greičio vektorius nukreiptas kreivės, t.y. apskritimo taške A, liestine krumpliaračio 1<br />
sukimosi kryptimi (<strong>2.</strong>9 pav., b).<br />
Palyginę (a) <strong>ir</strong> (b) lygybes, gausime:<br />
arba<br />
w1r1=w2r2, (c)<br />
B3<br />
B
ω<br />
ω<br />
1<br />
2<br />
r<br />
=<br />
r<br />
2<br />
1<br />
61<br />
. (d)<br />
Kaip matyti iš (d) lygybės, susikabinančių krumpliaračių kampiniai greičiai yra<br />
atv<strong>ir</strong>kščiai proporcingi jų spinduliams. Pasinaudodami (d) lygybe, apskaičiuokime kampinį<br />
greitį:<br />
ω1r1<br />
4t<br />
⋅ 0,<br />
2<br />
ω 2 = = = t rad/s .<br />
r 0,<br />
8<br />
2<br />
Iš taško A greičio krypties matome (<strong>2.</strong>9 pav., b), kad krumpliaratis 2 sukasi laikrodžio<br />
rodyklės kryptimi. Išorinio kabinimosi atveju krumpliaračių sukimosi kryptys priešingos.<br />
Apskaičiuokime krumpliaračio 3 kampinį greitį, sudarydami lygybę, analogišką (d):<br />
ω<br />
ω<br />
2<br />
3<br />
r<br />
=<br />
r<br />
3<br />
2<br />
,<br />
ω<br />
3<br />
ω2r<br />
=<br />
r<br />
3<br />
2<br />
=<br />
t ⋅ 0,<br />
8<br />
0,<br />
3<br />
=<br />
2,<br />
67t<br />
rad/s .<br />
Taškas B priklauso tiek krumpliaračiui 2, tiek krumpliaračiui 3. Jo greitis<br />
vB = vB2<br />
= vB3<br />
= ω2r2<br />
= ω3r3<br />
= t ⋅ 0,<br />
8 = 2,<br />
67t<br />
⋅ 0,<br />
3 =<br />
kai t = 1 s, vB = 0,8 m/s <strong>ir</strong> nukreiptas apskritimo liestine taške B krumpliaračio 2 sukimosi<br />
kryptimi. Iš greičio v B krypties matome (<strong>2.</strong>9 pav., b), kad vidinio kabinimosi krumpliaračiai<br />
sukasi ta pačia kryptimi.<br />
Taško B pagreitis priklausomai nuo to, kuriam krumpliaračiui prisk<strong>ir</strong>sime šį tašką, bus<br />
sk<strong>ir</strong>tingas, nes sk<strong>ir</strong>sis jų normaliniai pagreičiai, kadangi sk<strong>ir</strong>tingi jų kreivumo spinduliai r2 <strong>ir</strong><br />
r3.<br />
Taško B tangentinis pagreitis yra vienodas nepriklausomai nuo to, kuriam<br />
krumpliaračiui jis priklauso, <strong>ir</strong> lygus:<br />
Tada<br />
τ<br />
τ<br />
τ<br />
a B = a B2<br />
= a B3<br />
= ε2r2<br />
= ε3r3<br />
,<br />
ε<br />
a<br />
2<br />
τ<br />
B<br />
= ω′ = 1 rad/s<br />
2<br />
= 1⋅<br />
0,<br />
8 =<br />
2,<br />
67<br />
2<br />
⋅<br />
,<br />
ε<br />
3<br />
0,<br />
3<br />
= ω′<br />
=<br />
3<br />
=<br />
0,<br />
8 m/s<br />
2,<br />
67 rad/s<br />
Kadangi e2 > 0 <strong>ir</strong> w2 > 0, krumpliaratis 2 sukasi greitėdamas, todėl<br />
sutampa (<strong>2.</strong>9 pav., b).<br />
Taško B2 normalinis pagreitis<br />
2 2<br />
2 2<br />
a = ω r = t ⋅ 0,<br />
8 = 0,<br />
8t<br />
m/s ,<br />
n<br />
B 2 =<br />
2<br />
n<br />
B 2<br />
2<br />
2<br />
n<br />
B2<br />
2<br />
.<br />
2<br />
.<br />
B<br />
0,<br />
8t<br />
τ<br />
B<br />
m<br />
s,<br />
v <strong>ir</strong> a kryptys<br />
kai t = 1 s, a 0,<br />
8 m/s . Normalinis pagreitis a yra statmenas tangentiniam pagreičiui<br />
τ<br />
B2<br />
a <strong>ir</strong> nukreiptas į skriemulio 2 sukimosi ašį (kreivumo centrą).<br />
Taško B3 normalinis pagreitis<br />
a<br />
n<br />
B 3<br />
=<br />
ω<br />
2<br />
3<br />
r<br />
3<br />
=<br />
( 2,<br />
67t)<br />
2<br />
⋅ 0,<br />
3 =<br />
2,<br />
14t<br />
2<br />
m/s<br />
2<br />
,
n<br />
2<br />
kai t = 1 s, a B3<br />
= 2,<br />
14 m/s <strong>ir</strong> yra nukreiptas į skriemulio 3 sukimosi ašį (<strong>2.</strong>9 pav., b).<br />
Taško B pagreitis<br />
Todėl<br />
a<br />
a<br />
a<br />
B<br />
B 2<br />
B 3<br />
=<br />
=<br />
=<br />
( a<br />
τ<br />
B<br />
( a<br />
( a<br />
)<br />
2<br />
τ<br />
B2<br />
τ<br />
B3<br />
)<br />
)<br />
62<br />
+ ( a<br />
2<br />
2<br />
n<br />
B<br />
)<br />
+ ( a<br />
+ ( a<br />
2<br />
.<br />
n<br />
B2<br />
n<br />
B3<br />
)<br />
)<br />
2<br />
2<br />
=<br />
=<br />
0,<br />
8<br />
0,<br />
8<br />
2<br />
2<br />
+<br />
+<br />
0,<br />
8<br />
2<br />
2,<br />
14<br />
2<br />
=<br />
1,<br />
13<br />
=<br />
m/s<br />
2<br />
2,<br />
28 m/s<br />
7. Būgnas, kurio spindulys r = 0,2 m, sujungtas su horizontalia ašimi. Ant būgno užvyniota<br />
v<strong>ir</strong>vė, kurios gale C pritv<strong>ir</strong>tintas krovinys. Su ta pačia būgno ašimi standžiai sujungtas ratas<br />
D, kurio spindulys R = 0,3 m. Krovinys priverčia suktis būgną. Krovinio judėjimo lygtis<br />
D<br />
O<br />
x<br />
Tada<br />
B<br />
v B<br />
τ<br />
a B<br />
a M<br />
C<br />
x<br />
N<br />
v<br />
a<br />
n<br />
a B<br />
0<br />
A<br />
<strong>2.</strong>10 pav., a<br />
τ<br />
a M<br />
<strong>2.</strong>10 pav., b<br />
v M<br />
n<br />
a M<br />
M<br />
ω =<br />
v M<br />
r<br />
25 t<br />
R<br />
Kadangi w = 25t, tai kampinis pagreitis<br />
pagreitis<br />
o normalinis pagreitis<br />
a<br />
a<br />
τ<br />
M<br />
n<br />
M<br />
M<br />
O1<br />
x = 2,5t 2 ;<br />
čia x - krovinio atstumas iki ašies 001,<br />
metrais, t - laikas, sekundėmis.<br />
Apskaičiuokite rato D pav<strong>ir</strong>šiaus taško<br />
M greitį <strong>ir</strong> visą pagreitį laiko momentu<br />
t = 2 s (<strong>2.</strong>10 pav., a).<br />
SPRENDIMAS. Būgno taško B<br />
greitis v B <strong>ir</strong> tangentinis pagreitis τ<br />
a B<br />
lygus v<strong>ir</strong>vės taško N greičiui <strong>ir</strong><br />
pagreičiui (<strong>2.</strong>10 pav., b). Diferencijuodami<br />
krovinio judėjimo lygtį,<br />
randame krovinio greitį<br />
v<br />
B<br />
= v<br />
N<br />
=<br />
dx<br />
dt<br />
=<br />
d(<br />
2,<br />
5t<br />
dt<br />
2<br />
)<br />
=<br />
,<br />
2<br />
.<br />
5t.<br />
Rato kampinis greitis <strong>ir</strong> pagreitis lygūs<br />
būgno kampiniam greičiui <strong>ir</strong> pagreičiui.<br />
Todėl būgno, o kartu <strong>ir</strong> rato<br />
ω =<br />
vB r<br />
=<br />
5t<br />
0,<br />
2<br />
=<br />
25t<br />
Laiko momentu t = 2 s<br />
= 25⋅<br />
2 = 50 rad / s.<br />
= ω⋅<br />
R = 50 ⋅ 0,<br />
3 = 15 m / s.<br />
rad / s.<br />
dω<br />
2<br />
ε = = 25 rad / s . Todėl taško M tangentinis<br />
dt<br />
= εR<br />
= 25 ⋅ 0,<br />
3 = 7,<br />
5 m / s<br />
2<br />
2<br />
=<br />
ω R = 50 ⋅ 0,<br />
3 = 750 m / s<br />
2<br />
,<br />
2<br />
.
Pagreičio modulis<br />
a =<br />
( a<br />
τ<br />
M<br />
)<br />
2<br />
+ ( a<br />
63<br />
n<br />
M<br />
)<br />
2<br />
=<br />
7,<br />
5<br />
2<br />
+ 750<br />
2<br />
=<br />
750 m / s.<br />
8. Mechaninė pavara sudaryta iš skriemulio 1 , pradeda suktis iš ramybės būsenos apie<br />
nejudamą ašį O pagal dėsnį j = 3t 2 rad, <strong>ir</strong> d<strong>ir</strong>žo 5, užmauto ant skriemulių 1 <strong>ir</strong> <strong>2.</strong> Ant to paties<br />
veleno kaip <strong>ir</strong> skriemulys 2, įtv<strong>ir</strong>tintas skriemulys 3, perduodantis judesį skriemuliui 4 .<br />
Apskaičiuokite skriemulio 4 kampinį greitį w4 <strong>ir</strong> kampinį pagreitį e4, d<strong>ir</strong>žo greitį <strong>ir</strong><br />
pagreitį bei taško A2, esančio skriemulio 2 pav<strong>ir</strong>šiuje, greitį <strong>ir</strong> pagreitį. Skriemulių spinduliai<br />
yra: r1 = 0,1 m, r2 = 0,3 m, r3 = 0,5 m, r4 = 0,4 m (<strong>2.</strong>11 pav., a).<br />
4<br />
1<br />
ϕ1(t)<br />
5<br />
A2<br />
3<br />
SPRENDIMAS. Žinodami skriemulio 1<br />
sukimosi dėsnį j1(t), galime apskaičiuoti jo<br />
kampinį greitį:<br />
2<br />
ω = ϕ′ = ( 3t<br />
) ′ = 6t<br />
rad / s .<br />
1<br />
1<br />
Kadangi d<strong>ir</strong>žas 5 užmautas ant skriemulių 1<br />
<strong>ir</strong> 2, tai visų d<strong>ir</strong>žo taškų, skriemulių 1 <strong>ir</strong> 2<br />
pav<strong>ir</strong>šiaus taškų greičių dydžiai vienodi <strong>ir</strong><br />
lygūs:<br />
v A 1 5 A 2<br />
= v = v .<br />
(a)<br />
2<br />
Taškas A1 yra skriemulio 1 pav<strong>ir</strong>šiuje.<br />
Skriemulys sukasi, todėl<br />
<strong>2.</strong>11 pav., a<br />
= ω r ;<br />
(b)<br />
v A1<br />
1 1<br />
taškas A2 yra skriemulio 2 pav<strong>ir</strong>šiuje <strong>ir</strong> jo greitis<br />
v A 2 2 2<br />
Įrašę (b) <strong>ir</strong> (c) lygybes į (a) lygybę, gauname:<br />
ω<br />
r<br />
1 1<br />
= ω r .<br />
(c)<br />
= ω<br />
2<br />
r<br />
2<br />
arba<br />
ω<br />
ω<br />
1<br />
2<br />
r<br />
=<br />
r<br />
2<br />
1<br />
.
4<br />
ε4<br />
ω4<br />
B<br />
v B<br />
2<br />
ω1<br />
v A1<br />
v 5<br />
a 5<br />
a<br />
a A2<br />
n<br />
A2<br />
A1<br />
ω2=ω3<br />
1<br />
ϕ1(t)<br />
a = a<br />
τ<br />
A2<br />
v =<br />
A2<br />
A 2<br />
5<br />
v<br />
5<br />
64<br />
Panaudodami šią lygybę, galime<br />
apskaičiuoti skriemulio 2 kampinį greitį:<br />
ω<br />
2<br />
ω r<br />
=<br />
r<br />
1 1<br />
2<br />
=<br />
6t<br />
⋅ 0,<br />
1<br />
=<br />
0,<br />
3<br />
2t<br />
rad/s .<br />
Kadangi skriemuliai 2 <strong>ir</strong> 3 įtv<strong>ir</strong>tinti<br />
ant tos pačios ašies, tai<br />
w3 = w2 = 2t rad/s.<br />
Skriemulių 3 <strong>ir</strong> 4 susilietimo taško<br />
B greitis<br />
v B = ω 3 r 3 = ω 4 r 4 ;<br />
Iš šios lygybės galime apskaičiuoti<br />
skriemulio 4 kampinį greitį:<br />
3<br />
ε2=ε3<br />
ω3r3<br />
2t<br />
⋅ 0,<br />
5<br />
ω 4 = = = 2,<br />
5t<br />
r4<br />
0,<br />
4<br />
rad/s .<br />
Skriemulio 4 kampinis pagreitis<br />
<strong>2.</strong>11 pav., b ε = ω′<br />
2<br />
= 2,<br />
5 rad/s .<br />
Kadangi e>0, tai skriemulio 4 kampinio greičio w4 <strong>ir</strong> kampinio pagreičio e4 kryptys<br />
vienodos,vadinasi, skriemulys 4 sukasi greitėdamas.<br />
D<strong>ir</strong>žas 5 slenka, todėl jo visų taškų greičiai vienodi <strong>ir</strong> lygūs (a):<br />
v 5 = v A1<br />
= ω 1r1<br />
=<br />
D<strong>ir</strong>žo 5 visų taškų pagreičiai vienodi <strong>ir</strong> lygūs:<br />
6t<br />
dv<br />
a ′ =<br />
dt<br />
4<br />
⋅ 0,<br />
1 =<br />
4<br />
0,<br />
6t<br />
5<br />
2<br />
5 = = ( 0,<br />
6t)<br />
0,<br />
6 m s .<br />
Kadangi a5>0, tai pagreičio kryptis sutampa su greičio v 5 kryptimi, d<strong>ir</strong>žas slenka greitėdamas<br />
.<br />
Skriemulys 2 sukasi, todėl taško A2 pagreitis<br />
Tangentinis pagreitis<br />
a<br />
A 2<br />
=<br />
( a<br />
τ<br />
A 2<br />
čia skriemulio 2 kampinis pagreitis e2 lygus<br />
)<br />
2<br />
+ ( a<br />
n<br />
A 2<br />
)<br />
2<br />
.<br />
m/s.<br />
τ<br />
a A 2 = ε 2 ⋅ r2<br />
; (e)<br />
2<br />
= ω′<br />
2<br />
= ( 2t)<br />
′ = 2 rad s<br />
Įrašę e2 reikšmę į (e) formulę, gauname:<br />
ε<br />
2<br />
.<br />
(d)
a<br />
τ<br />
A 2<br />
= 2 ⋅ 0,<br />
3 =<br />
65<br />
0,<br />
6 m<br />
Kadangi skriemulio 2 kampinio greičio w2 <strong>ir</strong> kampinio pagreičio e2 kryptys vienodos,<br />
τ<br />
tai taško A2 greičio v A 2 <strong>ir</strong> tangentinio pagreičio a A 2 kryptys taip pat yra vienodos.<br />
Skriemulys 2 sukasi greitėdamas. Taip pat matome, kad d<strong>ir</strong>žo 5 taškų pagreitis lygus<br />
skriemulio 2 taško A2 tangentiniam pagreičiui:<br />
a<br />
A 5<br />
= a<br />
τ<br />
Jų kryptys taip pat sutampa.<br />
Taško A2 normalinis pagreitis<br />
n<br />
a = ω<br />
A 2<br />
n<br />
A 2<br />
2<br />
2<br />
=<br />
⋅ r<br />
2<br />
0,<br />
6 m<br />
=<br />
( 2t)<br />
s<br />
2<br />
2<br />
s<br />
.<br />
2<br />
.<br />
⋅ 0,<br />
3 =<br />
Normalinis pagreitis a A 2 nukreiptas į taško A2 trajektorijos kreivumo centrą, t.y.<br />
skriemulio 2 sukimosi ašį.<br />
Įrašę tangentinio <strong>ir</strong> normalinio pagreičių reikšmes į (d) formulę, apskaičiuojame taško<br />
A2 pagreitį:<br />
a<br />
A 2<br />
=<br />
0,<br />
6<br />
2<br />
+<br />
( 1,<br />
2t)<br />
2<br />
=<br />
1,<br />
2t<br />
0,<br />
36<br />
+<br />
m<br />
s<br />
2<br />
.<br />
1,<br />
44t<br />
9. Rodyklinio indikatoriaus mechanizme krumpliastiebis 1 suka krumpliaratį 2, ant kurio ašies<br />
yra krumpliaratis 3, sukantis krumpliaratį 4, prie kurio pritv<strong>ir</strong>tinta rodyklė. Apskaičiuokite<br />
rodyklės kampinį greitį, jei krumpliastiebio judėjimo lygtis x = a sin kt, krumpliaračių<br />
spinduliai r2, r3, r4.<br />
1<br />
A<br />
2<br />
arba vB = r4w4, todėl galime parašyti:<br />
Iš čia:<br />
<strong>2.</strong>12 pav.<br />
B<br />
3<br />
4<br />
r3w3 = r4w4.<br />
ω<br />
4<br />
r3ω<br />
=<br />
r<br />
4<br />
3<br />
r3<br />
=<br />
r r<br />
2<br />
4<br />
SPRENDIMAS. Taško A greitis<br />
v A<br />
dx<br />
= = ak cos kt .<br />
dt<br />
2<br />
Antro krumpliaračio kampinis greitis<br />
v A<br />
=<br />
ak cos kt<br />
ω 2 =<br />
.<br />
r r<br />
2<br />
2<br />
.<br />
Antrojo <strong>ir</strong> trečiojo krumpliaračių<br />
kampiniai greičiai vienodi, nes abu<br />
krumpliaračiai įtv<strong>ir</strong>tinti ant tos pačios<br />
ašies, taigi w2 = w3.<br />
Taško B greitis lygus vB = r3w3<br />
ak cos kt.<br />
Pastaba. Krumpliastiebis juda sinusoide, todėl jo (kartu <strong>ir</strong> taško A) judėjimo greičio<br />
vektorius keis kryptį. Analogiškai keisis <strong>ir</strong> krumpliaračių 2, 3 <strong>ir</strong> 4 sukimosi kryptys.
66<br />
10. Mechaninę pavarą sudaro krumpliastiebis CD, keturi dviejų ar trijų pakopų ratai 1, 2, 3, 4,<br />
sukabinti kaip krumpliaračiai arba sujungti d<strong>ir</strong>žu. Prie lyno, užvynioto ant mažojo rato 3,<br />
pr<strong>ir</strong>ištas kūnas E. Krumpliastiebio judėjimo dėsnis yra s = 4t - t 2 (m). Ratų spinduliai: r1 =<br />
0,02 m, R1 = 0,04 m, r2 = 0,06 m, a2 = 0,08 m, R2 = 0,12 m, r3 = 0,08 m, R3 = 0,16 m,<br />
r4 = 0,06 m, a4 = 0,12 m, R4 = 0,24 m.<br />
Apskaičiuokite ratų 2 kampinį greitį <strong>ir</strong> kampinį pagreitį, taško B greitį <strong>ir</strong> pagreitį bei<br />
kūnų E <strong>ir</strong> G greičius <strong>ir</strong> pagreičius laiko momentu t = 1 s.<br />
C<br />
D<br />
1<br />
r1<br />
R1<br />
a2<br />
r2<br />
R2<br />
G<br />
2<br />
A<br />
a4<br />
<strong>2.</strong>13 pav., a<br />
r4<br />
4<br />
B r3<br />
SPRENDIMAS. Žinodami krumpliastiebio CD judėjimo dėsnį s = 4t - t 2 (m) (krumplia-stiebis<br />
slenka), galime apskaičiuoti jo greitį:<br />
R4<br />
2<br />
v = s′<br />
= ( 4t<br />
− t ) ′ = 4 − 2t<br />
m s .<br />
Laiko momentu t = 1 s, s = 4×1 1 = 3 m, v = 4 - 2×1 = 2 m/s, krumpliastiebis CD<br />
kyla aukštyn (<strong>2.</strong>13 pav., a). Krumpliastiebio visų taškų greičiai vienodi, todėl galime užrašyti,<br />
kad jo kabinimosi su didžiuoju ratu 1 taško K greitis<br />
⎧v<br />
⎨<br />
⎩v<br />
k<br />
k<br />
= v<br />
= ω R<br />
1<br />
1<br />
ω<br />
1<br />
=<br />
v<br />
R 1<br />
=<br />
4 − 2t<br />
0,<br />
04<br />
E<br />
3<br />
= 100 − 50t<br />
Rato 1 judesys ratui 2 perduodamas d<strong>ir</strong>žu. D<strong>ir</strong>žas užmautas ant p<strong>ir</strong>mojo mažojo rato <strong>ir</strong><br />
antrojo didžiojo rato. Jis slenka, todėl<br />
vN = vM, vN = w1×r1, vM = w2×R2, w1×r1 = w2×R<strong>2.</strong><br />
Iš šios lygybės galime apskaičiuoti sukimosi kampinį greitį:<br />
ω<br />
2<br />
ω r<br />
=<br />
R<br />
1 1<br />
2<br />
=<br />
( 100<br />
−<br />
50t)<br />
0,<br />
12<br />
⋅<br />
0,<br />
02<br />
=<br />
( 16,<br />
67<br />
−<br />
8,<br />
33t)<br />
rad<br />
R3<br />
s.<br />
rad<br />
s.
K<br />
v<br />
C<br />
v<br />
K<br />
N<br />
D<br />
ω1<br />
1<br />
v<br />
N<br />
2<br />
Kampinis pagreitis<br />
M<br />
ε2<br />
v M<br />
v T<br />
G<br />
T<br />
v G<br />
ε<br />
2<br />
A<br />
ω2<br />
67<br />
a<br />
a G<br />
A v B<br />
= ω′<br />
2<br />
=<br />
ω4<br />
n<br />
a B<br />
L<br />
v L<br />
<strong>2.</strong>13 pav., b<br />
( 16,<br />
67<br />
−<br />
4<br />
v B<br />
B<br />
a<br />
ε4<br />
τ<br />
B<br />
8,<br />
33t)<br />
′ = −8,<br />
33 rad/s<br />
Kadangi e2 0 , todėl kūnas G leidžiasi lėtėdamas.<br />
Ratų 2 <strong>ir</strong> 4 kabinimosi taško A greitis<br />
Taško B greitis<br />
=<br />
v A = ω2<br />
⋅a<br />
2 = ω4<br />
⋅ R 4 ,<br />
ω<br />
4<br />
ω2a<br />
=<br />
R<br />
4<br />
2<br />
=<br />
vB = ω4<br />
⋅ a 4 =<br />
( 16,<br />
67<br />
( 5,<br />
56<br />
−<br />
−0,<br />
5 m/s<br />
8,<br />
33t)<br />
0,<br />
24<br />
2,<br />
78t)<br />
⋅<br />
2<br />
,<br />
0,<br />
08<br />
0,<br />
12<br />
=<br />
( 5,<br />
56<br />
( 0,<br />
667<br />
Laiko momentu t = 1 s, vB = 0,333 m/s (<strong>2.</strong>13 pav., b). Taško B pagreitis<br />
a<br />
B<br />
=<br />
( a<br />
τ<br />
B<br />
)<br />
2<br />
+ ( a<br />
n<br />
B<br />
)<br />
−<br />
2<br />
,<br />
⋅<br />
=<br />
−<br />
E<br />
v P<br />
P<br />
v E<br />
a E<br />
2,<br />
78t)<br />
−<br />
0,<br />
334t)<br />
ω3<br />
rad/s.<br />
m/s.
τ<br />
a B = ε 4 ⋅ a 4 ,<br />
ε<br />
a<br />
4<br />
τ<br />
B<br />
4<br />
68<br />
= ω′ = −2,<br />
78 rad/s<br />
= −0,<br />
334 m/s<br />
Kadangi e4 < 0, w4 > 0, tai ratai 4 sukasi lėtėdami,<br />
pav., b).<br />
Taško B normalinis pagreitis<br />
n<br />
2<br />
a<br />
n<br />
B<br />
= ω<br />
2<br />
4<br />
⋅ a<br />
4<br />
=<br />
2<br />
.<br />
( 5,<br />
56<br />
−<br />
2<br />
,<br />
B<br />
τ<br />
B<br />
v <strong>ir</strong> a kryptys priešingos (<strong>2.</strong>13<br />
2,<br />
78t)<br />
kai t = 1 s, a B<br />
Tada<br />
= 0,<br />
927 m/s <strong>ir</strong> nukreiptas į rato 4 sukimosi ašį.<br />
a<br />
B<br />
=<br />
0,<br />
334<br />
Mažasis 4 <strong>ir</strong> didysis 3 ratai apjuosti d<strong>ir</strong>žu, todėl<br />
Taško P greitis<br />
2<br />
+<br />
0,<br />
927<br />
2<br />
=<br />
2<br />
⋅ 0,<br />
12,<br />
0,<br />
986 m/s<br />
vL=vF, vL=w4×r4, vF=w3×R3, w4×r4=w3×R3,<br />
ω<br />
3<br />
ω4r<br />
=<br />
R<br />
3<br />
4<br />
=<br />
vP = ω3<br />
⋅ r3<br />
=<br />
( 5,<br />
56<br />
( 2,<br />
1<br />
−<br />
−<br />
2,<br />
78t)<br />
0,<br />
16<br />
1,<br />
04t)<br />
⋅<br />
⋅<br />
0,<br />
06<br />
0,<br />
08<br />
=<br />
=<br />
2<br />
.<br />
( 2,<br />
1<br />
( 0,<br />
17<br />
Kūnas E pr<strong>ir</strong>ištas prie v<strong>ir</strong>vės, užvyniotos ant mažojo rato 3, todėl<br />
vE=vP=(0,17 - 0,083t) m/s.<br />
Kai t = 1 s, vE = 0,087 m/s. Kūnas E keliamas į v<strong>ir</strong>šų (<strong>2.</strong>13 pav., b).<br />
Kūnas E slenka, todėl jo pagreitis<br />
= v′<br />
( 0,<br />
17<br />
Kadangi aE < 0 , vE > 0 , tai kūnas E kyla lėtėdamas.<br />
a<br />
E<br />
E<br />
=<br />
−<br />
0,<br />
083t)<br />
−<br />
′ = −0,<br />
083 m/s<br />
−<br />
2<br />
1,<br />
04t)<br />
0,<br />
083t)<br />
.<br />
rad/s.<br />
m/s.
69<br />
11. Vagonėlio pakėlimo mechanizmą sudaro ratai 1 , 2 , kurių spinduliai r1 = 0,3 m, r2 =<br />
0,9 m <strong>ir</strong> kurie tarpusavyje sukabinti kaip krumpliaračiai. Ant veleno 2 standžiai užmautas<br />
būgnas, kurio spindulys r3=0,4 m. Keliamas vagonėlis pritv<strong>ir</strong>tintas prie lyno, užvynioto ant<br />
būgno.<br />
Koks turi būti rato 1 sukimosi dėsnis, kad vagonėlis kiltų tolygiai greitėdamas<br />
pagreičiu aV = 0,5 m/s 2 ? Pradiniu laiko momentu vagonėlio pakėlimo mechanizmas yra<br />
ramybės būsenos (<strong>2.</strong>14 pav., a).<br />
1<br />
ϕ1<br />
B<br />
greičiai vienodi <strong>ir</strong> lygūs<br />
A<br />
2<br />
3<br />
<strong>2.</strong>14 pav., a<br />
SPRENDIMAS. Vagonėlis kyla<br />
tolygiai greitėdamas, todėl<br />
dv V<br />
a τ = a V = . (a)<br />
dt<br />
Suintegravę (a) lygtį, gauname:<br />
vV<br />
∫ dv V = ∫<br />
V<br />
v0<br />
= 0 t=<br />
0<br />
t<br />
a<br />
dt,<br />
vV = aVt = 0,5t. (b)<br />
Lynas slenka, todėl visų jo taškų<br />
vA = vV = 0,5t. (c)<br />
Bet taškas A yra būgno 3 pav<strong>ir</strong>šiuje, o būgnas sukasi, tai<br />
vA = w3×r3. (d)<br />
Palyginę (c) <strong>ir</strong> (d) lygybes, apskaičiuojame būgno kampinį greitį:<br />
0,5t = w3×r3;<br />
ω<br />
3<br />
0,<br />
5t<br />
= =<br />
r<br />
3<br />
0,<br />
5t<br />
0,<br />
4<br />
=<br />
w2 = w3 = 1,25t rad/s,<br />
1,<br />
25t<br />
rad/s;<br />
nes būgnas <strong>ir</strong> ratas 2 įtv<strong>ir</strong>tinti ant to paties veleno (<strong>2.</strong>14 pav., b).<br />
<strong>ir</strong><br />
Ratų 1 <strong>ir</strong> 2 sukibimo taško B greičiai<br />
vB2 = vB1,<br />
vB2=w2×r2, vB1=w1×r1,<br />
w2×r2 = w1×r1,<br />
ω2r<br />
ω<br />
1 =<br />
r<br />
1<br />
2<br />
=<br />
1,<br />
25t<br />
⋅<br />
0,<br />
3<br />
0<br />
, 9<br />
=<br />
3,<br />
75t<br />
rad/s.
ω2 = ω3<br />
1<br />
ϕ1<br />
B<br />
ω1<br />
v = v<br />
A<br />
v B<br />
3<br />
A<br />
70<br />
2<br />
<strong>2.</strong>14 pav., b<br />
Kaip žinome, kampinis greitis yra posūkio kampo išvestinė laiko atžvilgiu:<br />
tada<br />
3<br />
v V<br />
dϕ1 ω 1 = , (e)<br />
dt<br />
3,<br />
75t<br />
dϕ1<br />
= .<br />
dt<br />
Suintegravę (e) lygybę, gauname rato 1 sukimosi dėsnį:<br />
ϕ1<br />
∫ dϕ1<br />
= ∫<br />
ϕ 0= 0 t 0=<br />
0<br />
ϕ<br />
1<br />
=<br />
, 75t<br />
2<br />
t<br />
3,<br />
75tdt<br />
,<br />
2<br />
3 2<br />
= 1,<br />
875t<br />
rad.