Acrobat 4.0 pirmuzd.pdf faile - Matematikos ir Informatikos fakultetas

LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA1 tema. SKAIČIAVIMO SISTEMOS(2001-2003)Teorinę medžiagą parengė bei pirmąją užduotį sudarė Vilniaus universiteto docentas GediminasStepanauskas1. Skaičiai ir jų rašymo būdas yra viena iš pagrindinių matematikos idėjų. Skaičiaus sąvoka žmonijos istorijojeatsirado gana vėlai. Praktiškas metodas skaičiuoti lyginant galėjo atsirasti, kai žmonės pradėjo gyventi sėsliai,įkūrė pirmąsias gyvenvietes, pradėjo auginti kultūras ir naminius gyvulius. Jau pirmykščiai žmonės pradėjosuprasti, kad trys vištos ir trys šunys turi kažką bendra. Pamažu pradėta galvoti apie skaičius, nesusietus sudaiktais. Buvo sugalvoti skaičių vardai ir sukurti simboliai jiems žymėti.Skaičiavimo sistema (skaičiuotė) – tai keletas pagrindinių simbolių skaičiams žymėti ir kelios taisyklės,kuriomis naudojantis galima sudaryti simbolius kitiems skaičiams žymėti. Pagrindiniai skaičiavimo sistemossimboliai vadinami skaitmenimis.Patogi skaičiavimo sistema yra vienas iš didžiausių žmonijos laimėjimų. Praėjo šimtmečiai, kol skaičiavimosistema tapo tokia, kokią mes šiandien turime.Skaičiavimo sistemų buvo daug. Keletą istorinių skaičiavimo sistemų paminėsime. Amžiams bėgant išsivystėtrijų pagrindinių tipų skaičiavimo sistemos: paprastojo grupavimo, multiplikatyviojo grupavimo ir pozicinėssistemos. Jas trumpai aptarsime. Be skaičiavimo sistemos tipo turi būti nustatytas pagrindinės grupės (grupuojantir užrašant skaičius) didumas, kuris vadinamas skaičiavimo sistemos pagrindu. Jei pagrindas lygus n , taiskaičiavimo sistema vadinama n -taine. Mūsų naudojama skaičiavimo sistema yra dešimtainė.2. Paprastojo (dar sakoma adityviojo) grupavimo sistemoje sistemos pagrindo laipsniams (retais atvejais ir kaikuriems kitiems skaičiams) žymėti naudojami specialūs simboliai. Visi kiti skaičiai gaunami sudedant visussimbolių grupe pažymėtus skaičius.Prieš 5000 metų egiptiečiai jau naudojosi dešimtaine paprastojo grupavimo sistema. Simboliai skaičiamsžymėti buvo jų hieroglifų sistemos dalis. Jie naudojo septynis hieroglifus (1 pav.) ir galėjo užrašyti skaičius iki9 999 999. Pavyzdžiui, skaičius 120234 egiptiečių hieroglifais buvo užrašomas taip:.SkaičiusEgiptiečiųhieroglifasObjektas, kurį vaizduojasimbolis1 Vertikalus brūkšnys10 Arka100 Spiralė1 000 Lotoso žiedas10 000 Pasvirusi nendrė100 000 Žuvis1 000 000 Apstulbęs žmogus1 pav.Savo skaičiavimams egiptiečiai naudodavo ir vienetines trupmenas n1 . Kitokios (nevienetinės) trupmenosbuvo rašomos skirtingų vienetinių trupmenų (pakartoti tą pačią vienetinę trupmeną nebuvo galima) suma.3 1 1 13Pavyzdžiui, rašydavo + + . Toks užrašas nebuvo vienintelis. Tas pačias galima užrašyti kaip74 7 2871 1 1+ + arba dar kaip nors kitaip.3 14 423. Graikų skaičiavimo sistema buvo sukurta ir naudojama nuo 600 m. pr. Kr. iki 100 m. po Kr. Skaičiamsužrašyti graikai naudojo 27 raides: 24 rašto abėcėlės ir tris nebevartojamas raides (2 pav.). Šiomis raidėmis skaičiųgraikai užrašydavo kaip žodį. Buvo naudojama dešimtainė sistema. Pavyzdžiui, φνε atitinka skaičių500 + 50 + 5 = 555 . Graikų sistema turėjo multiplikatyviosios skaičiavimo sistemos bruožų. Simbolis ' reiškėdaugybą iš 1 000, o simbolis M – daugybą iš 10 000. Pavyzdžiui,γ M δ'πη = 3⋅10 000 + 4⋅1000+ 80 + 8 = 34 088 .Graikų skaičiavimo sistema nebuvo patogi skaičiavimams atlikti. Išsiplėtus Romos imperijai apie 100 m. po Kr., jąvisiškai išstūmė efektyvesnė romėnų sistema.

Graikiškieji skaitmenys1 α 10 ι 100 ρ2 β 20 κ 200 σ3 γ 30 λ 300 τ4 δ 40 µ 400 υ5 ε 50 ν 500 ∅6 ς 60 ξ 600 χ7 ζ 70 ο 700 ψ8 η 80 π 800 ω9 θ 90 9002 pav.4. Romėnų skaičiavimo sistema buvo kuriama nuo 500 m. pr. Kr. iki 100 m. po Kr. ir vartojama dar iršiandien. Tiesa, daugiausia tik dekoratyviniais tikslais, puslapiams, knygų skyriams numeruoti ir pan. Pagrindiniairomėniškieji skaitmenys pateikti 3 pav. Romėnų sistema paremta grupavimo principu.SkaičiusRomėniškasis skaitmuo1 I5 V10 X50 L100 C500 D1000 M3 pav.Negalima sakyti, kad ji yra grynai dešimtainė. Greta pagrindinio sistemos pagrindo dešimt, naudojamas ir šalutinispenki. Dėl to skaičiams romėnų skaičiavimo sistemoje užrašyti reikia mažiau simbolių negu egiptiečių sistemoje.Romėnų skaičiai rašomi pagrindinius skaitmenis dėstant iš kairės į dešinę mažėjimo tvarka. Tačiau yra keliosišimtys. Taupydami vietą, romėnai savo skaičiavimo sistemoje įvedė atimties principą, keletą skaičių užrašydamipriešinga tvarka (4 pav.). Daugiareikšmiškumo išvengiama atimties principą taikant tik nurodytais 4 pav. atvejais.SkaičiusRomėniškasis skaitmuo4 IV9 IX40 XL90 XC400 CD900 CM4 pav.Pavyzdžiui, negalima rašyti IVX, nes neaišku, ar IVX = (10 − 5) −1= 4 , ar IVX = 10 − (5 −1)= 6 . Dideliemsskaičiams romėnų sistemoje naudojamas horizontalus brūkšnys, užrašomas virš skaičiaus ir reiškiantis daugybą iš1000 . Štai keletas romėnų skaičiavimo sistemos skaičiųMMDCCXXXVI I = MM DCC XXX VII = 2737 ,MMCMXCIII = MM CM XC III = 2993 ,XXXI = 31000 ,VIII = 8 000 000 ,MIXDCXCIX = MIX DC XC IX = 1009⋅1000+ 699 == 1 009 699.5. Adityviojoje skaičiavimo sistemoje simbolio vieta skaičiuje visiškai nesvarbi. Juk simbolių rinkiniai iregiptiečių skaičiavimo sistemoje reiškia tą patį skaičių 121. Naudojant multiplikatyviąją skaičiavimosistemą, simbolių skaičiaus užraše vieta taip pat nėra svarbi, bet pagrindinio simbolio jau nebegalima atskirti nuojo daugiklio. Galima keisti vietomis tik simbolių poras. Graikų skaičiavimo sistemojeσμβ = μβσ = 242 ,bet

Su skaičiavimo sistemų kūrimo ir tobulinimo keliu, sistemų istoriniais pavyzdžiais moksleiviai gali plačiaususipažinti autoriaus straipsnyje „Skaičiavimo sistemos“, išspausdintame Alfa plius omega matematikos irinformatikos žurnale, 2000 m., Nr. 2, 30–38 psl.PIRMOJI UŽDUOTIS3 4 4 7 471. Trupmenas , , , , užrašykite vienetinių (egiptiečių) trupmenų suma. Pateikite bent po du4 5 11 17 60skirtingus užrašymo būdus.2. Vietoje raidžių R, G, E ir I įrašykite jas atitinkančius skaičius ir pabaikite užpildyti lentelę.Indų-arabųskaičiavimosistemojeRomėnųskaičiavimosistemojeRGraikųskaičiavimosistemojeEgiptiečiųskaičiavimosistemojeGEIR= MMMMDCCCLXXIII,G= α ''γM γ ' ρνδ ,E=I= 482.3. Keturženklio skaičiaus skaitmenų suma yra 10. Sukeitę pirmąjį ir paskutinįjį skaitmenis vietomis, gausimenaują 2997 vienetais didesnį skaičių. Jei sukeisime du vidurinius pradinio skaičiaus skaitmenis, tai gautasskaičius bus 90 vienetų didesnis. Šio paskutiniojo padidinto skaičiaus ir pradinio skaičiaus suma yra lygi 2558.Suraskite pradinį skaičių.4. Dešimtainės sistemos skaičių 99 užrašykite dvejetainės , penketainės, aštuntainės ir dvyliktainės sistemosskaičiais.5. Skaičius 100101 2 , 34101 5 , 7301 8 , 34E01 12 užrašykite dešimtainės sistemos skaičiais.6. Išspręskite lygtis:a) 23 12 = 43x,b) 378= x5,c) x 12 = 1000102.7. Sudarykite aštuntainės sistemos sudėties ir daugybos lenteles.8. a) Naudodamiesi 7-ame uždavinyje sudarytomis lentelėmis sudėkite:365 8 245 8+ 4071 8 + 345 8466 8b) Naudodamiesi 7-ame uždavinyje sudarytomis lentelėmis sudauginkite:212 8 6073 8× 43 8× 56 89. Yra žinoma dalumo taisyklė: dešimtainės sistemos skaičius dalijasi iš 9 tada ir tik tada, kai jo skaitmenų sumadalijasi iš 9. Įrodykite šios taisyklės analogą trejetainėje sistemoje: trejetainės sistemos skaičius dalijasi iš 2tada ir tik tada, kai šio skaičiaus trejetainių skaitmenų suma dalijasi iš 2. Užrašykite šios taisyklėsapibendrinimą n -tainei sistemai.

10. Trijose kortelėse A, B, C surašyti skaičiai nuo 1 iki 7:6 4 6 2 5 17 5 7 3 7 3A B CKai kurie iš skaičių kartojasi po kelis kartus. Sugalvoję bet kokį skaičių nuo 1 iki 7, o po to sudėję tų kortelių,kuriose mūsų sugalvotas skaičius užrašytas, viršutinio dešiniojo kampo skaičius, gausime sugalvotąjį skaičių.Pavyzdžiui, 6 yra užrašytas kortelėse A ir B. Viršutiniai dešinieji šių kortelių skaičiai yra 4 ir 2. Juos sudėję irgauname 6.Surašykite skaičius nuo 1 iki 15 ant keturių kortelių (skaičiai gali kartotis) taip, kad paėmę bet kokį skaičiųnuo 1 iki 15 ir sudėję tų kortelių, ant kurių paimtas skaičius užrašytas, viršutinių dešiniųjų kampų skaičiusgautute parinktą skaičių.Pirmosios užduoties sprendimus prašome išsiųsti iki 2001 m. lapkričio 30 d. mokyklos adresu: Lietuvosjaunųjų matematikų mokykla, Matematikos metodikos katedra, VU matematikos ir informatikosfakultetas, Naugarduko g. 24, LT–2600 Vilnius LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLOSTARYBA