2013 metų egzamino klausimai

28. Ar gali diskrečiosios tikimybinės erdvės i ‘vykis A turėti daugiau baigčiu ‘negu i ‘vykisB, tačiau būti mažiau tikėtinas negu B? Pateikite paprasta ‘pavyzdi ‘.29. Paaiškinkite, kodėl klasikinis tikimybės apibrėžimas yra atskiras diskrečia ‘ja ‘tikimybine ‘erdve ‘sudarant naudojamo tikimybės apibrėžimo atvejis.30. Išnagrinėkite tokias prielaidas: ,,tarkime bandymo baigčiu ‘aibe ‘sudaro 15 vienodai2galimu ‘baigčiu ‘, o atsitiktinio i ‘vykio tikimybė lygi13”. Ar taip gali būti? Kodėl?31. Bandymo baigčiu ‘aibe ‘sudaro 7 baigtys; 6 iš ju ‘pasirodo vienodai dažnai, o septintoji– dvigubai rečiau už kitas. Raskite šiu ‘baigčiu ‘tikimybes.32. Bandymo baigčiu ‘aibe ‘sudaro 8 baigtys; 7 iš ju ‘pasirodo vienodai dažnai, o aštuntoji- dvigubai dažniau už kitas. Raskite šiu ‘baigčiu ‘tikimybes.33. Bandymas – kelionė i ‘paskaita ‘. I ‘vykis A reiškia, kad pavėluosite, B – kad pavėluosdėstytojas. Kokiais dar i ‘vykiais reikia papildyti šia ‘i ‘vykiu ‘pora ‘, kad i ‘vykiu ‘sistemasudarytu ‘σ-algebra ‘?34. Bandymo baigčiu ‘aibė – vienetinis skaičiu ‘tiesės intervalas [0; 1]. Intervalas [0; 1/2]priklauso nagrinėjamai atsitiktiniu ‘i ‘vykiu ‘σ-algebrai. Kokie dar intervalo poaibiai būtinaipriklauso šiai σ-algebrai?35. Tarkime, A ir B priklauso i ‘vykiu ‘σ-algebrai A. Paaiškinkite, kodėl A\B irgi priklausoA.36. Paaiškinkite, kodėl aibė iš vieno skaičiaus {3} yra tiesės Borelio aibė.37. Paaiškinkite, kodėl vienetinis intervalas, iš kurio pašalintas skaičius 0, 5 yra Borelioaibė.38. Netuščios aibės X poaibiu ‘sistema ‘B vadinsime σ-algebra, jeigu patenkintos tokiossa ‘lygos: 1) X ∈ B; 2) jei A ∈ B, tai ir A ∈ B; 3) jei A i ∈ B, i = 1, 2, . . . , n tai ⋃ ni=1 A i ∈ B.Ar toks apibrėžimas teisingas? Kodėl teisingas (neteisingas)?39. Netuščios aibės Z poaibiu ‘sistema ‘D vadinsime σ-algebra, jeigu patenkintos tokiossa ‘lygos: 1) ∅ ∈ D; 2) jei A i ∈ D, i = 1, 2, . . . , ∞ tai ⋃ ∞i=1 A i ∈ D.Ar toks teiginys teisingas (neteisingas)? Kodėl?40. Ar toks teiginys gali būti teisingas: ,,A ir B yra nesutaikomi i ‘vykiai, P (A) =2/3, P (B) = 1/2”? Kodėl?41. I ‘vykiai A, B, C yra poromis nesutaikomi, P (A) = 1/3, P (B) = 1/4, P (C) = 1/4.Suraskite tikimybe ‘P ((A ∩ B) ∪ C). Paaiškinkite samprotavimus brėžiniu.42. I ‘vykiai A, B, C yra poromis nesutaikomi, P (A) = 1/3, P (B) = 1/4, P (C) = 1/5.Suraskite tikimybe ‘P ((A ∪ B) ∩ C). Paaiškinkite samprotavimus brėžiniu.43. I ‘vykiai A, B, C yra poromis nesutaikomi, P (A) = 1/3, P (B) = 1/4. Kokia didžiausiagalima tikimybės P (C) reikšmė. Atsakyma ‘paaiškinkite.44. Ištaisykite tokio teiginio klaidas: ,,funkcija ‘P : A → [0, 1] vadiname tikimybiniumatu, jei P (Ω) = 1; ir P ( ⋃ ∞i=1 A i) = ∑ ∞i=1 P (A i) su visais A i iš i ‘vykiu ‘σ-algebros. ”3

45. Ištaisykite tokio teiginio klaidas: ,,funkcija ‘P : A → [0, 1] vadiname tikimybiniumatu, jei P (Ω) = 1; ir P ( ⋃ ni=1A i) = ∑ ni=1 P (A i) su visais nesutaikomais i ‘vykiais A i iši ‘vykiu ‘σ-algebros. ”46. Pasirėme ‘tikimybiu ‘savybėmis i ‘rodykite teigini ‘: ,,jeigu A, B yra du atsitiktiniai i ‘vykiaiir A ⊂ B, tai P (A) ≤ P (B)”.47. Tegu A, B yra du atsitiktiniai i ‘vykiai. Užbaikite rašyti formule ‘P (A\B) = P (A) − ...ir paaiškinkite ja ‘brėžiniu.48. Tegu A, B yra du atsitiktiniai i ‘vykiai. Užrašykite tikimybės P (A ∪ B) formule ‘irpaaiškinkite ja ‘brėžiniu.49. Tegu A, B yra du atsitiktiniai i ‘vykiai. Pasirėme ‘tikimybiu ‘savybėmis i ‘rodykitenelygybe ‘P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B).50. Kada teisinga, kada neteisinga lygybė P (A ∪ B) = P (A\B) + P (B\A)? Paaiškinkitebrėžiniu.51. Kokiems atsitiktiniams i ‘vykiams teisinga lygybė P (A ∩ B) = P (B)?52. Kokiems atsitiktiniams i ‘vykiams teisinga lygybė P (A ∪ B) = P (A)?53. Optimalaus pasirinkimo uždavinyje objektu ‘skaičius n = 5. Kas yra tokio bandymobaigtis ir kiek ju ‘yra iš viso?54. Optimalaus pasirinkimo uždavinyje objektu ‘skaičius n = 5. Rinkimosi strategijosparametras m = 2. Kokia tikimybė likti be nieko, t. y. nieko nepasirinkti?55. Metami du lošimo kauliukai. Atsitiktinio dydžio X reikšmė gaunama iš akučiu ‘skaičiausant atvirtusios pirmojo kauliuko sienelės atėmus akučiu ‘skaičiu ‘ant atvirtusios antrojokauliuko sienelės. Kiek baigčiu ‘sudaro i ‘vyki ‘X −1 (0) = {X = 0}?56. Kada teisinga lygybė I A∪B = I A + I B ?57. Išreikškite i ‘vykio A\B indikatoriu ‘panaudodami indikatoriu ‘I A ir tai, ko dar reikia.58. Paprastasis atsitiktinis dydis X i ‘gyja reikšmes −1, 2 ir 3. Reikšme ‘−1 jis i ‘gyja sutikimybe 0, 2, o reikšme ‘2 – su tikimybe 0, 1. Koks šio atsitiktinio dydžio vidurkis?59. Paprastasis atsitiktinis dydis X i ‘gyja reikšmes −1, 2 ir x. Reikšme ‘−1 jis i ‘gyja sutikimybe 0, 2, o reikšme ‘2 – su tikimybe 0, 1. Kokia turi būti x reikšmė, kad atsitiktiniodydžio vidurkis būtu ‘lygus 1?60. Paprastasis atsitiktinis dydis i ‘gyja tris didesnes už 1 reikšmes. I ‘rodykite, kad dydžiovidurkis irgi yra didesnis už 1?61. Paprastasis atsitiktinis dydis su vienodomis tikimybėmis i ‘gyja dvi reikšmes, viena išreikšmiu ‘yra 3. Kokia kita atsitiktinio dydžio reikšmė, jeigu jo vidurkis lygus 5?62. Paprastasis atsitiktinis dydis su i ‘gyja dvi reikšmes, viena iš reikšmiu ‘yra 3, ji i ‘gyjamadvigubai dažniau nei kita reikšmė. Kokia kita atsitiktinio dydžio reikšmė, jeigu jo vidurkislygus 5?63. Paprastasis atsitiktinis dydis X i ‘gyja dvi skirtingas reikšmes, atsitiktinis dydis Y4

irgi dvi. Kiek daugiausiai reikšmiu ‘gali i ‘gyti atsitiktinis dydis X + Y ? Kiek mažiausiai?Paaiškinkite pavyzdžiais.64. Užrašykite formule ‘sa ‘jungos tikimybei P (A ∪ B ∪ C) reikšti.65. Tegu A i , i = 1, 2, . . . , 6 yra bet kokie atsitiktiniai i ‘vykiai, A - visu ‘ šiu ‘i ‘vykiu ‘sa ‘junga.Tada P (A) = S 1 − S 2 + S 3 − S 4 + S 5 − S 6 . Kokie dėmenys sudaro suma ‘S 3 ir kiek tu ‘dėmenu ‘yra?66. Užrašykite formule ‘sa ‘jungos tikimybei P (X ∪ Y ∪ Z ∪ U) reikšti.67. Užrašykite formule ‘sa ‘jungos tikimybei P (X ∪Y ∪Z ∪U) reikšti. Suprastinkite formule ‘pasinaudodami tuo, kad i ‘vykis X negali i ‘vykti kartu su kitais i ‘vykiais.68. Jeigu EX 1 = 1, EX 2 = −1, EX 3 = 2, tai E[2X 1 + 3X 2 − 4X 3 ] = ?69. Tegu P (A) = P (A|B) (P (A), P (B) > 0). I ‘rodykite, kad P (B) = P (B|A).70. I ‘rodykite, kad būtinasis i ‘vykis ir bet kuris kitas atsitiktinis i ‘vykis yra nepriklausomi.71. Tegu A, B du atsitiktiniai i ‘vykiai, P (B) > 0. Kam lygi sa ‘lyginė tikimybė P (A∪B|B?)Atsakyma ‘paaiškinkite.72. Tegu A, B du atsitiktiniai i ‘vykiai, P (B) > 0. I ‘rodykite, kad P (A ∩ B|B) = P (A|B).73. Tegu P (A) = P (A|B) . Ar teisinga lygybė P (A) = P (A|B)? Atsakyma ‘paaiškinkite.74. Du kartus metamas lošimo kauliukas, A = {antrajame metime atvirto ”6”}, B ={atvirtusiu ‘akučiu ‘suma > 9} . Raskite P (A|B) .75. Du kartus metamas lošimo kauliukas, A = {antrajame metime atvirto ”6”}, B ={atvirtusiu ‘akučiu ‘suma > 9} . Raskite P (B|A) .76. Tegu A ir B yra nesutaikomi i ‘vykiai, P (A), P (B) > 0 . Kam lygi tikimybė P (A|B)?Atsakyma ‘paaiškinkite.77. A ir B yra du atsitiktiniai i ‘vykiai, A ⊂ B. Kam lygi tikimybė P (A|B) ? Atsakyma ‘paaiškinkite.78. A ir B yra du atsitiktiniai i ‘vykiai, A ⊂ B. Kam lygi tikimybė P (B|A)? Atsakyma ‘paaiškinkite.79. I ‘rodykite, kad atsitiktiniams i ‘vykiams A, C (P (C) > 0) teisinga lygybė P (A|C) +P (A|C) = 1.80. I ‘rodykite, kad P (A|B) = 1 − P (A|B.)81. Tegu A, B, C – atsitiktiniai i ‘vykiai, A ⊂ B, P (C) > 0 . I ‘rodykite, kad P (A|C) ≤P (B|C) .82. Tegu P (A), P (A) > 0. Kam lygios tikimybės P (A|A), P (A|A), P (A|A)?83. Kokias lygybes reiktu ‘patikrinti, norint i ‘rodyti, kad i ‘vykiai A, B, C sudaro nepriklausomu ‘i ‘vykiu ‘sistema ‘?84. I ‘vykiai A ir B yra nepriklausomi, P (B) > 0, P (A) = 0, 25. Kam lygi tikimybė P (A|B)?Atsakyma ‘paaiškinkite.5

85. I ‘vykiai A ir B yra nepriklausomi, P (B) = 0,3, P (A) = 0,25. Kam lygi tikimybėP (A|B)? Atsakyma ‘paaiškinkite.86. Tikimybė, kad krepšininkas pataikys pirma ‘ji ‘metima ‘lygi 0,5. Jeigu krepšininkaspataikė pirma ‘ji ‘metima ‘, tai tikimybė, kad pataikys ir antra ‘ji ‘padidėja 1,1 karto. Jeigudu metimai iš eilės buvo taiklūs, tai tikimybė, kad pataikys ir trečia ‘ji ‘padidėja 1,2 kartolyginant su taiklaus pirmojo metimo tikimybe. Kokia tikimybė, kad krepšininkas pataikystris kartus iš eilės?87. Urnoje yra du balti ir trys juodi rutuliai. Atsitiktinai ištraukus rutuli ‘atgal i ‘urna ‘i ‘dedami du tos pačios spalvos rutuliai. Kokia tikimybė, kad taip traukiant du rutuliuspirmasis bus baltas, o antrasis juodas?88. Tikimybiu ‘sandaugos formulė: P (A ∩ B ∩ C) = P (B)P (A|B)P (C|A ∩ B). Užrašykitetikimybe ‘P (A ∩ B ∩ C) sa ‘lyginiu ‘tikimybiu ‘sandauga dar vienu būdu. Kiek yra būdu ‘užrašyti tokia ‘formule ‘?89. Urnoje yra dvieju ‘spalvu ‘rutuliai: 2 balti ir 3 juodi arba 2 juodi ir trys balti. Pirmasatvejis du kartus tikėtinesnis negu antras. Užrašykite pilnosios tikimybės formule ‘i ‘vykiotikimybei apskaičiuoti.A = {atsitiktinai ištrauktas rutulys bus baltas}90. Užrašykite i ‘vykio pilnosios tikimybės formule ‘i ‘vykio A tikimybei, kai galimos tryshipotezės H 1 , H 2 , H 3 . Kaip galima suprastinti užrašyta ‘ja ‘formule ‘ žinant, kad i ‘vykiai A irH 1 yra nepriklausomi?91. Užrašykite pilnosios tikimybės formule ‘i ‘vykiui A, kai yra dvi hipotezės: i ‘vykis B irjam priešingas i ‘vykis, čia P (B) > 0, P (B) > 0.92. Užrašykite i ‘vykio pilnosios tikimybės formule ‘i ‘vykio A tikimybei, kai galimos dvihipotezės H 1 ir H 2 . I ‘rodykite, kad P (A) < P (A|H 1 ) + P (A|H 2 .)93. Užrašykite i ‘vykio pilnosios tikimybės formule ‘i ‘vykio A tikimybei, kai galimos dvihipotezės H 1 ir H 2 . Tegu P (A|H 1 ) > P (A|H 2 ). I ‘rodykite, kad P (A) > P (A|H 2 ).94. Duoti i ‘vykiai B, C, tokie, kad P (B), P (C) > 0 ir visiems i ‘vykiams A teisinga lygybėP (A) = P (A|B)P (B) + P (A|C)P (C)?I ‘rašykite i ‘lygybe ‘A = Ω, A = B ir pasisinaudoje ‘jomis nustatykite i ‘vykiu ‘B, C savybes.95. Atlikus bandyma ‘gali i ‘vykti du nesutaikomi i ‘vykiai (hipotezės) H 1 ir H 2 , P (H 1 ) = 0,3.Žinoma, kad P (A|H 1 ) = 0,4, P (A|H 2 ) = 0,25. Jeigu sužinotume, kad atlikus bandyma ‘i ‘vyko i ‘vykis A, bet nežinotume, kuris iš i ‘vykiu ‘H 1 , H 2 i ‘vyko, kaip galėtume nuspre ‘sti,kuris iš ju ‘yra labiau tikėtinas?96. Tegu A ir B yra du su tuo pačiu bandymu susije ‘i ‘vykiai, P (B) = 0,4, P (A|B) =0,6, P (A|B) = 0,5. Jeigu sužinotume, kad i ‘vykis A i ‘vyko, bet nežinotume, ar i ‘vyko B arB, kaip galėtume nuspre ‘sti, kuris iš šiu ‘i ‘vykiu ‘yra labiau tikėtinas?6

97. Atliekama n, (n ≥ 5) Bernulio schemos bandymu ‘, S n yra gautu ‘sėkmiu ‘skaičius. Kaipužrašoma baigtis Bernulio schemoje? Kiek palankiu ‘baigčiu ‘turi i ‘vykis {S n = 5}?98. Atliekama n, (n ≥ 5) Bernulio schemos bandymu ‘. Kiek palankiu ‘baigčiu ‘turi i ‘vykis{patirtos 4 nesėkmės }?99. Atliekama n = 5 Bernulio schemos bandymu ‘, sėkmės tikimybė viename bandymep = 0,2. Kokia tikimybė, kad atlike ‘bandymus patirsime m = 2 nesėkmes?100. Atliekama n = 5 Bernulio schemos bandymu ‘, sėkmės tikimybė viename bandymep = 0,2, S n yra sėkmiu ‘skaičius. Užrašykite reiškini ‘tikimybei P (2 ≤ S n ≤ 4) apskaičiuoti.101. Atliekama n = 7 Bernulio schemos bandymu ‘, sėkmės tikimybė viename bandymep = 0,2, S n yra sėkmiu ‘skaičius. Užrašykite reiškini ‘tikimybei P (5 ≤ S n arba S n ≤ 2)apskaičiuoti.102. Atliekama n = 5 Bernulio schemos bandymu ‘, sėkmės tikimybė viename bandymep = 0,3. Kokia tikimybė, kad atlike ‘bandymus patirsime nemažiau kaip 4 sėkmes?103. Atliekama n = 5 Bernulio schemos bandymu ‘, sėkmės tikimybė viename bandymep = 0,3. Kokia tikimybė, kad atlike ‘bandymus patirsime bent dvi nesėkmes?104. Atliekama n = 15 Bernulio schemos bandymu ‘, sėkmės tikimybė viename bandymep = 0,3. Koks labiausiai tikėtinas sėkmiu ‘skaičius? Atsakyma ‘paaiškinkite.105. Atliekama n = 20 Bernulio schemos bandymu ‘, nesėkmės tikimybė viename bandyme0,4. Koks labiausiai tikėtinas nesėkmiu ‘skaičius?106. Atliekami penki polinominės schemos bandymai, kiekviename bandyme galimos trysbaigtys, baigčiu ‘tikimybės p 1 = 0,2, p 2 = 0,3, p 3 = 0,5, bandymu ‘serijoje gauti sėkmiu ‘skaičiai S 1 , S 2 , S 3 . Apskaičiuokite tikimybe ‘P (S 1 = 2, S 2 = 1).107. Atliekami penki polinominės schemos bandymai, kiekviename bandyme galimos trysbaigtys, baigčiu ‘tikimybės p 1 = 0,2, p 2 = 0,3 bandymu ‘serijoje gauti sėkmiu ‘skaičiaiS 1 , S 2 , S 3 . Užrašykite reiškini ‘tikimybei P (S 1 = 2, S 3 = 2) apskaičiuoti.108. Atliekami penki polinominės schemos bandymai, kiekviename bandyme galimos trysbaigtys, baigčiu ‘tikimybės p 1 = 0,2, p 2 = 0,3 bandymu ‘serijoje gauti sėkmiu ‘skaičiaiS 1 , S 2 , S 3 . Užrašykite reiškini ‘tikimybei P (S 1 = 2, S 2 ≤ 2) apskaičiuoti.109. Atsitiktinis dydis ξ i ‘gyja sveikas neneigiamas reikšmes, P (ξ = 0) = 0,2, P (ξ = 1) =0,1. Kam lygi tikimybė P (ξ ≥ 1, 5) ?110. Atsitiktinis dydis ξ i ‘gyja sveikas neneigiamas reikšmes, P (ξ = 0) = 0,2, P (ξ = 1) =0,1. Kokia didžiausia galima tikimybės P (ξ ≥ 3) reikšmė?111. Atsitiktinis dydis ξ i ‘gyja sveikas neneigiamas reikšmes, P (ξ = 1) = 0,1, P (ξ = 2) =0,2. Kokia didžiausia galima tikimybės P (ξ = 0) reikšmė?112. Atsitiktinis dydis ξ i ‘gyja sveikas neneigiamas reikšmes, P (ξ = 0) = 0,1, P (ξ ≥ 2) =0,2. Kam lygi tikimybė P (ξ = 1) ?113. Atsitiktinis dydis ξ i ‘gyja sveikas neneigiamas reikšmes, P (ξ = 0) = 0,2, P (ξ = 1) =0,1. Kam lygi atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcijos reikšmė F ξ (0,5) ?7

114. Atsitiktinis dydis ξ i ‘gyja sveikas neneigiamas reikšmes, P (ξ = 0) = 0,2, P (ξ = 1) =0,1. Kam lygi atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcijos reikšmė F ξ (1,5)?115. Atsitiktinis dydis ξ i ‘gyja dvi reikšmes: 0 ir 1, P (ξ = 0) = 0,2. Kiek trūkio tašku ‘turišio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcijos grafikas ir kokiame taške trūkis didžiausias?116. Atsitiktinis dydis ξ pasiskirste ‘s pagal binomini ‘dėsni ‘: ξ ∼ B(5; 0,2). Kiek trūkiotašku ‘turi šio dydžio pasiskirstymo funkcijos grafikas ir kuriame taške trūkis didžiausias?Atsakyma ‘paaiškinkite.117. Atsitiktinis dydis ξ pasiskirste ‘s pagal binomini ‘dėsni ‘: ξ ∼ B(5, 0,3). Apskaičiuokitepasiskirstymo funkcijos reikšme ‘F ξ (1,5).118. Bernulio schemos bandymai su sėkmės tikimybe p = 0,3 atliekami iki pirmos sėkmės.Kokia tikimybė, kad patirsime tris nesėkmes?119. Bernulio schemos bandymai su sėkmės tikimybe p = 0,3 atliekami iki pirmosnesėkmės. Kokia tikimybė, kad gausime lygiai tris sėkmes?120. Bernulio schemos bandymai su sėkmės tikimybe p = 0,2 atliekami tol, kol gaunamosdvi sėkmės. Kokia tikimybė, kad bus atlikti 6 bandymai?121. Bernulio schemos bandymu ‘skaičius n = 500, sėkmės tikimybė p = 0,01, S n – sėkmiu ‘skaičius. Užrašykite reiškini ‘apytikslei tikimybės P (S n = 4) reikšmei rasti naudojantisPuasono teorema.122. Bernulio schemos bandymu ‘skaičius n = 5000, sėkmės tikimybė p = 0,001, S n –sėkmiu ‘skaičius. Užrašykite reiškini ‘apytikslei tikimybės P (S n > 6) reikšmei rasti naudojantisPuasono teorema.123. Atsitiktinis dydis ξ pasiskirste ‘s pagal Puasono dėsni ‘: ξ ∼ P(4). Kaip apskaičiuotipasiskirstymo funkcijos reikšme ‘F ξ (1,5) ?124. Tegu n yra Bernulio schemos bandymu ‘skaičius t - sėkmės tikimybė, X n – sėkmiu ‘skaičius. Ištaisykite klaidas tokiame teiginyje: ,,Naudojantis Muavro-Laplaso teoremagalime rasti apytiksles tikimybiu ‘P ( X n − n√t(1 + t)< x)reikšmes.”125. Tegu n yra Bernulio schemos bandymu ‘skaičius s - sėkmės tikimybė, Y n – sėkmiu ‘skaičius. Ištaisykite klaidas tokiame teiginyje: ,,Naudojantis Muavro-Laplaso teoremagalime rasti apytiksles tikimybiu ‘P (Y n − s√s(s − 1)< x)reikšmes.”126. Tegu n yra Bernulio schemos bandymu ‘skaičius z - sėkmės tikimybė, Z n – sėkmiu ‘skaičius. Ištaisykite klaidas tokiame teiginyje: ,,Naudojantis Muavro-Laplaso teorema8

galime rasti apytiksles tikimybiu ‘P ( Z n + zn√z(z + 1)< x)reikšmes.”127. Tegu X yra geometrinis dydis X ∼ G(0, 3). Kaip apskaičiuoti pasiskirstymo funkcijosreikšme ‘F X (2, 3)?128. Atsitiktinis dydis ξ pasiskirste ‘s pagal Puasono dėsni ‘: ξ ∼ P(4) . Kaip apskaičiuotipasiskirstymo funkcijos reikšme ‘F ξ (1,5) ?129. Atsitiktinis dydis ξ pasiskirste ‘s pagal Puasono dėsni ‘: ξ ∼ P(3) . Kaip apskaičiuotitikimybės P (ξ ≠ 5) reikšme ‘?130. Atsitiktinis dydis ξ pasiskirste ‘s pagal Puasono dėsni ‘: ξ ∼ P(3) . Kaip apskaičiuotitikimybe ‘P (ξ > 4) ?131. Tarkime ξ yra tolygiai intervale [1; 2] pasiskirste ‘s atsitiktinis dydis. Kam lygiostankio ir pasiskirstymo funkcijos reikšmės p ξ (1,3), F ξ (1,5) ?132. Tarkime ξ yra tolygiai intervale [3; 5] pasiskirste ‘s atsitiktinis dydis. Kam lygiostankio ir tikimybės reikšmės p ξ (3,5), P (ξ > 4,5)?133. Tarkime ξ yra tolygiai intervale [−2; 5] pasiskirste ‘s atsitiktinis dydis. Kam lygitikimybė P (|ξ| > 1)?134. Tarkime ξ yra tolygiai intervale [−1; 5] pasiskirste ‘s atsitiktinis dydis. Raskite šiodydžio α = 0,25 eilės kvantili ‘.135. Tarkime ξ yra tolygiai intervale [−1; 5] pasiskirste ‘s atsitiktinis dydis. Raskite šiodydžio α = 0,25 eilės kritine ‘reikšme ‘.136. Tarkime ξ yra eksponentinis atsitiktinis dydis, ξ ∼ E(2). Raskite šio dydžio α = 0,25eilės kvantili ‘.137. Tarkime ξ yra eksponentinis atsitiktinis dydis, ξ ∼ E(1). Raskite F ξ (3).138. Tarkime ξ yra eksponentinis atsitiktinis dydis, ξ ∼ E(2). Raskite šio dydžio α = 0,25eilės kritine ‘reikšme ‘.139. Žinome, kad diskretūs atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi, dydis Y i ‘ gyjatik dvi reikšmes: 0, 1 be toRaskite tikimybe ‘P (Y = 0).P (X = 0, Y = 0) = 0,125, P (X = 0, Y = 1) = 0,25.140. Žinome, kad diskretūs atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi, dydis X i ‘ gyjatik dvi reikšmes 0 ir 1, be toP (X = 1, Y = 0) = 0,25, P (X = 0, Y = 0) = 0,125.9

Kam lygus atsitiktinio dydžio X? vidurkis?141. Atsitiktinis dydis X tolygiai pasiskirste ‘s intervale [0;2]; atsitiktiniai dydžiai X ir Ynepriklausomi, P (X < 0,5, Y > 2) = 0,25. Kam lygios tikimybės P (Y > 2), P (Y ≤ 2)?142. Atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi ir tolygiai pasiskirste ‘intervaluose[0; 1] ir [0; 2]; Kam lygi atsitiktinio vektoriaus Z = 〈X, Y 〉 pasiskirstymo funkcijos reikšmėF Z (0,5, 1)?143. Atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi ir tolygiai pasiskirste ‘intervaluose [0;1]ir [0;2]; Kam lygi atsitiktinio vektoriaus Z = 〈X, Y 〉 tankio funkcijos reikšmė p Z (0,5, 1) ?144. Tegu X 1 , X 2 yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, X 1 ∼ P(1), X 2 ∼ P(1); Y 1 =X 2 1 , Y 2 = X 2 2 . Kam lygi tikimybė P (Y 1 = 4, Y 2 = 9)?145. Tegu X 1 , X 2 yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, X 1 ∼ P(2), X 2 ∼ P(3); Y 1 =X 2 1 , Y 2 = X 2 2 . Kaip apskaičiuoti tikimybe ‘P (Y 1 = 1, Y 2 > 3) ?146. Tegu X 1 , X 2 yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, X 1 ∼ P(1), X 2 ∼ B(6;4); Y 1 =X 2 1 , Y 2 = X 2 2 . Kam lygi tikimybė P (Y 1 < 4, Y 2 = 9)?147. Tegu X 1 , X 2 yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, X 1 ∼ B(4, ,2), X 2 ∼ B(5, 0,3);Y 1 = X 2 1 , Y 2 = X 2 2 . Kam lygi tikimybė P (Y 1 = 1, Y 2 = 4)?148. Atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 yra nepriklausomi, E[X 1 ] = a, E[X 2 ] = b, X 3 ∼ G(0, 3).Kam lygus vidurkis E[2X 1 X 2 + X 3 ]?149. Atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , X 3 yra nepriklausomi, X 1 ∼ B(10; 0, 7), E[X 2 ] = v, E[X 3 ] =w. Kam lygus vidurkis E[X 1 X 2 + 3X 1 X 3 ]?150. Atsitiktinis dydis X i ‘gyja tik dvi reikšmes: 0 ir 1, P (X = 1) = p. Raskite vidurki ‘E[10 X ].151. Atsitiktinis dydis X i ‘gyja tik dvi reikšmes: 1 ir 2, P (X = 1) = p. Raskite vidurki ‘E[X −1 ] .152. Atsitiktinis dydis X i ‘gyja tris reikšmes: −1, 0 ir 1, reikšmės −1, 1 i ‘gyjamos su vienodomistikimybėmis, reikšmės 0 i ‘gijimo tikimybė yra skaičiumi 0, 1 didesnė negu reikšmiu ‘−1, 1. Raskite vidurki ‘E[sin 2 (X)].153. Atsitiktinis dydis X i ‘gyja tris reikšmes: −1, 0 ir 1, reikšmės −1, 1 i ‘gyjamos suvienodomis tikimybėmis, reikšmės 0 i ‘gijimo tikimybė yra dvigubai didesnė negu reikšmiu ‘−1, 1 tikimybiu ‘suma. Raskite vidurki ‘E[X 2 .]154. Atsitiktinis dydis X igyja tris reikšmes: −1, 0 ir 1; reikšmė 0 i ‘gyjama dvigubaidažniau už reikšme ‘−1, o reikšmė 1 dvigubai dažniau už reikšme ‘0. Y ∼ P(4), atsitiktiniaidydžiai X, Y yra nepriklausomi. Kam lygus vidurkis E[X 2 Y ] ?155. Atsitiktinis dydis X su vienodomis tikimybėmis i ‘gyja tris reikšmes: −1, 0 ir 1;reikšmė 0 i ‘gyjama dvigubai rečiau už reikšme ‘−1, o 1 – dvigubai dažniau už reikšme ‘−1.Y ∼ B(5, 0,1), atsitiktiniai dydžiai X, Y yra nepriklausomi. Kam lygus vidurkis E[|X|Y ]?156. Tegu X 1 , X 2 yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, X 1 ∼ P(2), E[X 1 X 2 ] = 6. Kamlygus vidurkis E[X 2 ]?10

157. Absoliučiai tolydaus atsitiktinio dydžio X, turinčio tanki ‘p(x) vidurkis skaičiuojamasnaudojantis formuleE[X] =∫ ∞−∞xp(x)dx.Pakeiskite šia ‘formule ‘taip, kad ji tiktu ‘atsitiktinio dydžio Y = X 3 vidurkiui skaičiuoti.158. Absoliučiai tolydaus atsitiktinio dydžio X, turinčio tanki ‘p(u) vidurkis skaičiuojamasnaudojantis formuleE[X] =∫ ∞−∞up(u)du.Pakeiskite šia ‘formule ‘taip, kad ji tiktu ‘atsitiktinio dydžio Y = 3√ cos(X) vidurkiui skaičiuoti.159. Atsitiktinio dydžio X, pasiskirsčiusio pagal normalu ‘ji ‘dėsni ‘, vidurkis lygus 1, odispersija 2. Užrašykite tokio dydžio tankio funkcija ‘.160. Atsitiktinio dydžio X, pasiskirsčiusio pagal normalu ‘ji ‘dėsni ‘, vidurkis lygus 1, odispersija 2. Kokiame taške X tankio funkcija i ‘gyja didžiausia ‘reikšme ‘? Palyginkitetankio funkcijos reikšmes taškuose 0 ir 2.161. Atlikus 10 Bernulio schemos bandymu ‘vidutiniškai gaunamos 7 nesėkmės. Kokiasėkmės tikimybė viename bandyme?162. Nepriklausomi Bernulio schemos bandymai atliekami tol, kol gaunamos trys sėkmės.Koks patirtu ‘nesėkmiu ‘skaičiaus vidurkis, jeigu sėkmės tikimybė viename bandyme p =0,3?163. Atlikus 12 Bernulio schemos bandymu ‘vidutiniškai gaunamos 8 sėkmės. Kokianesėkmės tikimybė viename bandyme?164. Atsitiktinio dydžio X, pasiskirsčiusio pagal Puasono dėsni ‘vidurkis lygus 2. Kokiatikimybė, kad šis dydis i ‘gys reikšme ‘X = 3?165. Atsitiktinio dydžio X, pasiskirsčiusio pagal Puasono dėsni ‘vidurkis lygus 3. Kaipapskaičiuoti tikimybe ‘P (X > 4)?166. Atsitiktiniai dydžiai X ir Y pasiskirste ‘atitinkamai pagal Puasono ir normalu ‘ji ‘dėsnius: X ∼ P(3), Y ∼ N (2, 1) . Kam lygus vidurkis E[X + 3Y ] ?167. Nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X ir Y pasiskirste ‘atitinkamai pagal Puasono irnormalu ‘ji ‘dėsnius: X ∼ P(3), Y ∼ N (2, 1) . Kam lygi dispersija D[X + 3Y ]?168. Nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X ir Y pasiskirste ‘tolygiai atitinkamai intervaluose[0; 1] ir [0; 2]. Kam lygi dispersija D[X + 2Y ?]169. Nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X ir Y pasiskirste ‘pagal normalu ‘ji ‘dėsni ‘N (0, 1).Kam lygi atsitiktinio dydžio Z = X − Y dispersija?170. Atsitiktinis dydis X pasiskirste ‘s pagal binomini ‘dėsni ‘B(10; 0,3) , atsitiktinis dydis– pagal Puasono dėsni ‘P(3) . Atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi. Kam lygiatsitiktinio dydžio Z = X + 2Y dispersija?11

171. Atsitiktinis dydis X pasiskirste ‘s pagal binomini ‘dėsni ‘B(10, 0,3) . Naudodamiesi tuo,kad D[X] reikšme ‘ žinote, raskite E[X 2 ].172. Atsitiktinis dydis X pasiskirste ‘s pagal Puasono dėsni ‘P(5) . Naudodamiesi tuo, kadD[X] reikšme ‘ žinote, raskite E[X 2 ].173. Eksponentinio dydžio X vidurkis lygus 2. Užrašykite reiškini ‘tikimybei P (X > 3)apskaičiuoti.174. Atsitiktinio dydžio X vidurkis lygus 1, o dispersija 0. Kam lygi šio dydžio pasiskirstymofunkcijos reikšmė F X (1,5)?175. Atsitiktinio dydžio X vidurkis lygus 2, o dispersija 0. Kam lygi šio dydžio pasiskirstymofunkcijos reikšmė F X (1)?176. Atsitiktinis dydis X pasiskirste ‘s pagal normalu ‘ji ‘dėsni ‘N (0, 1) , o dydis Y – pagaldėsni ‘N (0, 2). Raskite dispersiju ‘skirtuma ‘D[2X] − D[ 1 2 Y ] .177. Užrašykite Čebyšovo nelygybe atsitiktiniam dydžiui X ∼ N (1; 2).‘178. Užrašykite Čebyšovo nelygybe atsitiktiniam dydžiui X ∼ B(10; 0, 2) .‘179. Užrašykite Čebyšovo nelygybe atsitiktiniam dydžiui X ∼ P(3).‘180. Užrašykite Čebyšovo nelygybe intervale [0; 2] tolygiai pasiskirsčiusiam atsitiktiniam‘dydžiui.181. Atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , . . . yra nepriklausomi, vienodai pasiskirste ‘ir turi vidurkiusE[X 1 ] = E[X 2 ] = ... = a. Kam lygi ribalim P (∣ ∣ X 1 + X 2 + . . . + X nn→∞ n− a ∣ ∣ > 0,1)?182. Atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , . . . yra nepriklausomi, vienodai pasiskirste ‘ir turi vidurkiusE[X 1 ] = E[X 2 ] = ... = a. Kam lygi ribalim P (∣ ∣ X 1 + X 2 + . . . + X nn→∞ n− a ∣ ∣ < 0,1)?183. Ištaisykite klaidas (ir tik klaidas!) tokiame teiginyje: jei X 1 , X 2 , . . . ir vienodaipasiskirste ‘atsitiktiniai dydžiai, turintys vidurki ‘a, tai( ∣ P ∣∣X 1 + X 2 + . . . + X n)− an∣ > 0,3 → 0, n → ∞.184. Ištaisykite klaidas (ir tik klaidas!) tokiame teiginyje: jei X 1 , X 2 , . . . ir vienodaipasiskirste ‘atsitiktiniai dydžiai, turintys vidurki ‘a, tai( ∣ P ∣∣X 1 + X 2 + . . . + X n)− an∣ < 0,5 → 0, n → ∞.12

185. Atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi ir pasiskirste ‘pagal normaliuosiusdėsnius N (1, 4), N (1, 9). Pagal koki ‘dėsni ‘pasiskirste ‘s atsitiktinis dydis Z = X + Y ?186. Atsitiktiniai dydžiai X 1 ir X 2 yra nepriklausomi ir pasiskirste ‘pagal normaliuosiusdėsnius N (0, 4), N (1, 1). Pagal koki ‘dėsni ‘pasiskirste ‘s atsitiktinis dydis Y = X 1 + X 2 ?187. Atsitiktiniai dydžiai X 1 ir X 2 yra nepriklausomi ir pasiskirste ‘pagal normaliuosiusdėsnius N (0, 4), N (1, 1). Pagal koki ‘dėsni ‘pasiskirste ‘s atsitiktinis dydis Y = X 1 + 2X 2 ?188. Atsitiktiniai dydžiai X 1 ir X 2 yra nepriklausomi ir pasiskirste ‘pagal Puasono dėsniusP(4), P(1) . Pagal koki ‘dėsni ‘pasiskirste ‘s atsitiktinis dydis Y = X 1 + X 2 ?189. Atsitiktiniai dydžiai X 1 ir X 2 yra nepriklausomi ir pasiskirste ‘pagal dėsnius P(4), P(1).Užrašykite atsitiktinio dydžio Y = X 1 + X 2 charakteringa ‘ja ‘funkcija ‘.190. Atsitiktiniai dydžiai X 1 ir X 2 yra nepriklausomi ir pasiskirste ‘pagal dėsnius P(4), N (0, 1).Užrašykite atsitiktinio dydžio Y = X 1 + X 2 charakteringa ‘ja ‘funkcija ‘.191. Atsitiktinis dydis X pasiskirste ‘s pagal dėsni ‘P(4). Kam lygi jo charakteringosiosfunkcijos reikšmė φ X (1)?192. Atsitiktinis dydis X pasiskirste ‘s pagal dėsni ‘N (0, 4). Kam lygi jo charakteringosiosfunkcijos reikšmė φ X (1) ?193. Atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , . . . yra nepriklausomi ir vienodai pasiskirste ‘. Visi jiei ‘gyja tik dvi reikšmes:P (X i = 0) = p, P (X i = 1) = q, 0 < p < 1.Suformuluokite šiems dydžiams centrine ‘ribine ‘teorema ‘(formuluotėje i ‘rašykite apskaičiuotasvidurkio ir dispersijos reikšmes).194. Atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , . . . yra nepriklausomi ir pasiskirste ‘pagal ta ‘pati ‘Puasonodėsni ‘P(4). Suformuluokite šiems dydžiams centrine ‘ribine ‘teorema ‘(formuluotėje i ‘rašykiteapskaičiuotas vidurkio ir dispersijos reikšmes).195. Atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , . . . yra nepriklausomi ir pasiskirste ‘pagal ta ‘pati ‘normalu ‘ji ‘dėsni ‘N (−2, 9). Suformuluokite šiems dydžiams centrine ‘ribine ‘teorema ‘(formuluotėjei ‘rašykite apskaičiuotas vidurkio ir dispersijos reikšmes).196. Atsitiktiniai dydžiai Z 1 , Z 2 , . . . yra nepriklausomi ir tolygiai pasiskirste ‘intervale[−3; 7]. Suformuluokite šiems dydžiams centrine ‘ribine ‘teorema ‘(formuluotėje i ‘rašykiteapskaičiuotas vidurkio ir dispersijos reikšmes).197. Atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , . . . yra nepriklausomi ir pasiskirste ‘pagal ta ‘pati ‘binomini ‘dėsni ‘B(10; 0,5). Suformuluokite šiems dydžiams centrine ‘ribine ‘teorema ‘(formuluotėjei ‘rašykite apskaičiuotas vidurkio ir dispersijos reikšmes).198. Kas yra imties variacinė eilutė? Paaiškinkite pavyzdžiu.199. Kas yra imties vidurkis ir dispersija? Užrašykite formules jiems skaičiuoti.200. Paaiškinkite, kas yra nežinomo parametro pasikliautinis intervalas su pasikliovimolygmeniu Q.13

201. Paaiškinkite, kokie atsitiktiniai dydžiai pasiskirste ‘pagal chi-kvadrat dėsni ‘su n laisvėslaipsniu ‘. Nubrėžkite tokiu ‘dydžiu ‘tankio grafiko eskiza ‘.202. Paaiškinkite, kokie atsitiktiniai dydžiai pasiskirste ‘pagal Studento dėsni ‘su n laisvėslaipsniu ‘. Nubrėžkite tokiu ‘dydžiu ‘tankio grafiko eskiza ‘.203. Kaip konstruojamas normaliojo dydžio vidurkio pasikliautinis intervalas su pasikliovimolygmeniu Q, kai dispersija yra žinoma?204. Kaip konstruojamas normaliojo dydžio vidurkio pasikliautinis intervalas su pasikliovimolygmeniu Q, kai dispersija yra nežinoma?205. Kaip formuluojamas statistiniu ‘hipoteziu ‘tikrinimo uždavinys?206. Pagrindinė hipotezė H 0 : programu ‘sistemu ‘studentai ir bioinformatikai vienodaigerai išmano tikimybiu ‘teorija ‘; alternatyvi hipotezė H 1 : bioinformatikai tikimybiu ‘teorija ‘išmano geriau. Kokiu atveju padarytume pirmos rūšies klaida ‘?207. Pagrindinė hipotezė H 0 : programu ‘sistemu ‘studentai ir bioinformatikai vienodaigerai išmano tikimybiu ‘teorija ‘; alternatyvi hipotezė H 1 : bioinformatikai tikimybiu ‘teorija ‘išmano geriau. Kokiu atveju padarytume antros rūšies klaida ‘?208. Jeigu 100 kartu ‘tikrintume hipoteze ‘H 0 : ,,studentas nepakankamai gerai išmanotikimybiu ‘teorija ‘“ su alternatyva H 1 : ,,studentas tikimybiu ‘teorija ‘išmano gerai“, oreikšmingumo lygmuo būtu ‘α = 0, 2, maždaug kiek neišmanėliu ‘pripažintume gerais tikimybiu ‘teorijos žinovais?209. Kaip sudaromas hipoteziu ‘H 0 : a = a 0 , H 1 : a ≠ a 0 apie normaliojo dydžio vidurki ‘su reikšmingumo lygmeniu α tikrinimo kriterijus, kai dispersija žinoma?210. Kaip sudaromas hipoteziu ‘H 0 : a = a 0 , H 1 : a ≠ a 0 apie normaliojo dydžio vidurki ‘su reikšmingumo lygmeniu α tikrinimo kriterijus, kai dispersija nežinoma?211. Kaip sudaromas hipoteziu ‘H 0 : a = a 0 , H 1 : a > a 0 apie normaliojo dydžio vidurki ‘su reikšmingumo lygmeniu α tikrinimo kriterijus, kai dispersija žinoma?212. Kaip sudaromas hipoteziu ‘H 0 : a = a 0 , H 1 : a > a 0 apie normaliojo dydžio vidurki ‘su reikšmingumo lygmeniu α tikrinimo kriterijus, kai dispersija nežinoma?213. Kaip remiantis CRT sudaromas kriterijus hipotezėms apie proporcijas H 0 : p =p 0 , H 1 : p ≠ p 0 su reikšmingumo lygmeniu α tikrinti?214. Kaip remiantis CRT sudaromas kriterijus hipotezėms apie proporcijas H 0 : p =p 0 , H 1 : p > p 0 su reikšmingumo lygmeniu α tikrinti?215. Kaip remiantis CRT sudaromas kriterijus hipotezėms apie proporcijas H 0 : p =p 0 , H 1 : p < p 0 su reikšmingumo lygmeniu α tikrinti?14