Lenkimas

3.5. Lenkimas3.5.1. Bendros sąvokosLenkimu vadiname tokią apkrovą, d÷l kurios išlinksta kūnai ar elementai. Tempiantgniuždantir sukant strypus jų ašių atžvilgiu, tiesios ašys išlieka tiesiomis ir po deformacijos. Tuotarpu lenkimo apkrova tokias ašis sulenkia arba kreivų strypų – pakeičia kreivumo spindulį. Įlinkissusijęs su skerspjūvyje atsirandančiais lenkimo momentais. Jei lenkimo momentas yra vienintel÷įrąža, veikianti skerspjūvyje, o ašinių ir skersinių j÷gų n÷ra, tai toks lenkimas vadinamas grynuojulenkimu. Tačiau strypo skerspjūviuose su lenkimo momentu dažnai veikia ir skersin÷s j÷gos. Tokiuatveju lenkimas vadinamas skersiniu lenkimu.Lenkiami strypai dažniausiai vadinami sijomis. Lenkimas vadinamas plokščiu, jei lenkiamossijos ašis po deformacijos išlieka plokščia linija. Plokštuma, kurioje yra išlenkta sijos ašis,vadinama lenkimo plokštuma.Nors sijos lenkimas ir n÷ra sud÷tingas, vis tiek jos skerspjūviuose veikia dažniausiai po dviįrąžas – lenkimo momentas ir skersin÷ j÷ga (išskyrus retai pasitaikančius grynojo lenkimo ruožus).Taigi ir sijos įtempimų būvis, ir jos stiprumas priklauso nuo šių dviejų irąžų bendro poveikio. Abiįrąžos (ir ypač lenkimo momentas) n÷ra pastovios, kinta išilgai sijos. Būna svarbu nustatyti,kuriuose skerspjūviuose įrąžų poveikis pavojingiausias. Pavojingo skerspjūvio vieta nustatoma išskersinių j÷gų ir lenkimo momentų diagramų.Lenkimo momento ir skersinių j÷gų ženklai nustatomi pagal 3.45 paveikslą.iš dešin÷siš kair÷s3.45 pav.Lenkimo momentas laikomas teigiamu, jei sija įlinksta (įlinkis nukreiptas į apačią), irneigiamu, kai sija išlinksta. Tiesios sijos skersin÷ j÷ga visada lygi visų veikiančių vienoje pjūviopus÷je išorinių j÷gų projekcijų į skerspjūvio plokštumą sumai. Tai žinodami, suformuluojame skersin÷sj÷gos ženklų taisyklę. Jeigu prid÷tų kair÷je pjūvio pus÷je išorinių j÷gų atstojamosios veikimo kryptisį viršų, tai veikianti pjūvyje skersin÷ j÷ga laikoma teigiama, o jei į apačią – neigiama. Jeigu atstojamojidešin÷je veikia į apačią – pliuso ženklas, o jeigu į viršų – minuso ženklas.Siją (3.46 pav.) veikia statiškai pusiausvyra j÷gų sistema. Dviem skersiniais pjūviaisišskiriame elementarią sijos dalelę. Atmestas dalis pakeičiame vidin÷mis j÷gomis. Be vidinių j÷gų,be galo mažame sijos elemento ilgyje dx veikia pastovus išskirstytas krūvis qx. Pusiausvyroslygtys šiam elementui užrašomos taip:∑ Y = 0;Q − ( Q + dQ)+ qx ⋅ dx = 0 ,2qx ⋅(dx)∑ M = 0; M − ( M + dM ) + Q ⋅dx+ = 0 .2

8.3 pav.Atmetus nykstamai mažus antros eil÷s dydžius, galima užrašyti tokias diferencialines lygtis(D. I. Žuravskio diferencialin÷s lygtys):dMQ = , (3.60)dxdQq x= , (3.61)dx2d Mq x= . (3.62)2dxRemdamiesi šiomis priklausomyb÷mis, sudarome įrąžų diagramas (3.47 pav.). Būtentlenkimo atveju šios diagramos teikia daug vaizdžios informacijos.Dažnai yra svarbios ekstremin÷s įrąžų reikšm÷s. Jas galima nustatyti pagal sudarytas įrąžųdiagramas. Kai diagrama sudaryta iš tiesių atkarpų, ekstremumų vieta būna akivaizdi. Kaiekstremumas yra netiesiniame diagramos ruože (po išskirstytu krūviu), jo tiksliai vietai nustatytinaudojama matematikos taisykl÷: funkcijos ekstremumas yra ties ta argumento reikšme, su kuriapirmoji funkcijos išvestin÷ prilygsta nuliui. Taigi, ekstremin÷ lenkimo momento M reikšm÷ yra ten,dMkur = 0 . Tod÷l ekstreminis lenkimo momentas (max mindxM , M ) yra visų pirma tuose sijosskerspjūviuose, kuriuose skersin÷ j÷ga lygi nuliui (t.y. ties kuriais skersinių j÷gų diagrama kertaašį). Be to, ekstreminių lenkimo momento reikšmių gali būti šalia tų skerspjūvių, prie kurių yraprid÷ti apkrovos j÷gų momentai.3.47 pav.

3.5.2. Įtempiai sijoje lenkimo atvejuSkersin÷ j÷ga normalinių įtempių pasiskirstymui įtakos beveik neturi. Tod÷l nustatysime,kaip normaliniai įtempiai pasiskirsto skerspjūvyje grynojo lenkimo atveju (kai Q = 0 , M = const ), ogautąją formulę dažniausiai gal÷sime naudoti ir kitiems paprastojo lenkimo atvejams.Grynajam lenkimui būdinga:1) išgaubtoje pus÷je sluoksniai yra tempiami, o įgaubtoje – gniuždomi. Tuo lengva įsitikintipadarius įpjovas paviršiuje. Išgaubtoje dalyje įpjovos prasiskirs, o įgaubtoje – susieis.2) sijos šonuose nubraižius stačiakampį tinklelį (3.48 pav.), lenkiant siją bus matyti, kad strypuilinkstant vienoje strypo pus÷je (viršuje) atstumai tarp skersinių linijų did÷ja, kitoje – maž÷ja. Taigi,strypo sluoksniai vienoje pus÷je ilg÷ja, kitoje trump÷ja. Be abejo, viduryje turi būti ir tokssluoksnis, kuris nei ilg÷ja, nei trump÷ja (tik išlinksta). Strypo sluoksnis, kurio ilgis lenkimo metunekinta, vadinamas neutraliuoju sluoksniu. Šio sluoksnio sankirtos su skerspjūvio plokštuma linijavadinama skerspjūvio neutraliąja linija.3.48 pav.3) pagal Puasono efektą gniuždomoje dalyje skersiniai pjūviai susiaur÷ja, o tempiamoje –praplat÷ja.4) išilgin÷s linijos išlinksta, o skersin÷s lieka tiesios ir statmenos išilgin÷ms. Galima sp÷ti, kadplokštieji skerspjūviai (kurių kontūrą žymi šios skersin÷s linijos) po deformavimo lieka plokšti irstatmeni išlinkusiai išilginei ašiai, t.y. kad galioja plokščiųjų pjūvių hipotez÷.5) lenkiamos sijos sluoksniai vienas kito nespaudžia, tarp jų (skersai sijos) normaliniai įtempiaineveikia. Ši prielaida visiškai priimtina, kai galioja poslinkių mažumo prielaida, t. y. kai sijaišlenkiama labai mažai. Taigi tariame, kad normaliniai įtempiai veikia tik išilgai sluoksnio (takryptimi sluoksnį tempia arba gniuždo). Kadangi skersin÷s j÷gos n÷ra, tai n÷ra ir tangentiniųįtempių, tod÷l skerspjūvio plokštuma yra svarbiausioji plokštuma, o joje veikiantys normaliniaiįtempiai – svarbiausieji įtempiai.Panagrin÷kime 3.49 paveiksle pavaizduotą siją prieš ir po grynojo lenkimo. Santykinis ABsluoksnio, nutolusio y atstumu nuo neutralaus sluoksnio, pailg÷jimasε =A'B'−AB( ρ + y)− ρ ⋅αy==AB ρ ⋅αρ(3.63)Ši lygyb÷ yra analitin÷ plokščių pjūvių hipotez÷s išraiška. Darant prielaidą, kad lenkiamossijos sluoksniai vienas kito nespaudžia, normaliniai įtempiai AB sluoksnyje užrašomi pagal Hukod÷snį:

yσ = ε ⋅ E = ⋅ E . (3.64)ρSantykis E / ρ yra pastovus, tod÷l galima daryti išvadą, kad sluoksnių įtempiai irdeformacijos kinta pagal linijinį d÷snį (3.49 pav.).3.49 pav.Normalinių įtempių nustatymui reikia žinoti neutraliojo sluoksnio pad÷tį, t. y. ρ . Sudaromepusiausvyros sąlygas kai simetriškame skerspjūvyje A veikia lenkimo momentas ir šiameskerspjūvyje pasiskirsčiusios vidin÷s j÷gos σ dA (3.50 pav.):∑ X = 0 , ∑ Y = 0 , ∑ = 0Z , ∑ M = 0 , ∑ M = 0 , ∑ M = 0 .xyzPirmoji sąlyga turi tokią išraišką:∫Aσ dA = 0 ,arba įvertinant (3.64):3.50 pav.

Eρ∫AydA = 0 .∫AKadangi E / ρ ≠ 0 , tai S ydA = 0 . Šis integralas yra skerspjūvio ploto statinis momentaszneutralios linijos atžvilgiu. Kadangi jis lygus nuliui, reiškias neutralioji linija eina per skerspjūviosvorio centrą ir yra centrine ašimi.Antra, trečia ir ketvirta sąlyga tenkinama analogiškai. Šeštoji sąlyga:∫AEy ⋅σ ⋅dA= 0 arba įvertinus (3.64) ∫ y ⋅ z ⋅ dA = 0 .ρAČia Iyz= ∫ y ⋅ z ⋅ dA = 0 – išcentrinis inercijos momentas. Kadangi jis lygus nuliui, tai y ir z ašys yraAsvarbiausios skerspjūvio inercijos ašys.Penktoji sąlyga:∫ y ⋅σ ⋅ dA = Mzarba įvertinus (3.64) ∫ y2 dA = MzρAAE.ČiaIz=∫Ay2dA– ašinis skerspjūvio inercijos momentas. Tod÷lE =ρMIzz.Tada neutralaus sluoksnio kreivumo spindulys apskaičiuojamas:1=ρMEIzz. (3.65)Įrašę (3.65) į (3.64), gausime formulę sijos skerspjūvio normaliniams įtempimamsskaičiuoti:Mσ = z⋅ y . (3.66)IzDidžiausi normaliniai įtempiai apskaičiuojami iš tokios lygties:MMzzσmax= ⋅ ymax= . (3.67)IzWzČia santykis I z/ ymaxvadinamas skerspjūvio atsparumo lenkimui momentu ir žymimas W.Esant grynajam lenkimui, vienoje neutraliojo sluoksnio pus÷je vyksta tempimas, kitoje –gniuždymas. Reiškias šiuo atveju turime linijinį įtempių būvį:- tempimo zonoje S > , S = S 0 ;102 3=3> 0,S1= S3=- gniuždymo zonoje S 0 .Jei sijos medžiaga prasčiau priešinasi tempimui, nei gniuždymui, tai skerspjūvio svoriocentras turi būti perneštas arčiau tempiamų sluoksnių. Tada didžiausi tempimo įtempiai bus mažesniuž didžiausius gniuždymo įtempius (3.51 pav.).

3.51 pav.Kai lenkiamo strypo (sijos) skerspjūvį veikia ne tik lenkimo momentas, bet ir skersin÷ j÷ga(kai lenkimas n÷ra grynasis), įvairiuose skerspjūvio taškuose veikia ne tik normaliniai, bet irtangentiniai įtempimai. Dar daugiau - tangentinių įtempimų atsiranda ir išilginiuose sijos pjūviuose(veikia šių įtempimų dualumo d÷snis) lygiagrečiuose neutraliajam sluoksniui. Tod÷l, vietoj to, kadnustatytume tangentinius įtempius lygiagrečius Q ir veikiančius skerspjūvio y lygyje, galimanustatyti jiems lygius tangentinius įtempius veikiančius tame pačiame y lygyje, tik išilginiamepjūvyje.Iš lenkiamos sijos (3.52 pav.) išpjauname dx ilgio sijos fragmentą. Tada jame padaromeišilginį pjūvį lygiagrečiai neutraliajam sluoksniui ir nutolusį nuo jo atstumu y (3.53 pav.). Šiišpjauto elemento dalis pavaizduota (3.54 pav.) ir pažym÷ta adm, cen ir amnc raid÷mis.Elemento adm pjūvyje veikia ieškomi tangentiniai įtempiai (lygiagretūs skersinei j÷gai) irMnormaliniai įtempiai σ = z⋅ y .Iz3.52 pav.

3.53 pav.3.54 pav.Elemento pjūvyje cen veikia tokie pat tangentiniai įtempiai (nes dQ = 0 ) ir normaliniaiįtempiaiMz+ dMzσ + dσ= ⋅ y . (3.68)IzPjūvyje amnc veiks tangentiniai įtempiai τ ' = τ . Jie bus nukreipti į mažiausių normaliniųįtempių pusę, o normaliniai įtempiai šiame pjūvyje bus lygūs nuliui arba nykstamai maži.Sudarysime iškirto elemento pusiausvyros lygtį, suprojektuodami visas j÷gas į x ašį,laikydami, kad tangentiniai įtempiai per visą pjūvio plotį nekinta:∑ = −∫ ⋅ dA −τ' ⋅b(y)⋅dx+ ∫ ( σ + dσ) ⋅ dA =X σ 0 .APanaudojus normalinių įtempių išraiškas, gausime:zSzzAdMτ ' ⋅ b ( y) ⋅dx= , (3.69)Ičia∫S = ydA skerspjūvio, esančio virš arba žemiau y lygio, statinis momentas.zAPasinaudojus (3.69) ir (3.60) formul÷mis, ir atlikus pertvarkymus, gauname, kad tangentiniaiįtempiai yra:

Q ⋅ Sτ = . (3.70)I ⋅b( y)Formulę (3.70) pirmasis 1855 m. gavo rusų inžinierius ir mokslininkas D. Žuravskis, tod÷l taformul÷ dažnai vadinama Žuravskio formule, o jo padaryta prielaida apie tangentinių įtempimųvienodumą per visą plotį - Žuravskio hipoteze.3.5.3. Įtempių būvis lenkiantLaisvai pasirinktoje sijos vietoje atstumu y nuo neutraliojo sluoksnio išskiriame nykstamaimažą elementą (3.55 pav.).3.55 pav.Paprastojo lenkimo atveju skerspjūvyje veikia normaliniai ir tangentiniai įtempiai. Tačiauišilgin÷se plokštumose, lygiagrečiose j÷gų plokštumai, n÷ra tangentinių įtempių, taigi šiosplokštumos yra svarbiausiosios. Jeigu jose veiktų normaliniai įtempimai, jie būtų svarbiausieji.Kadangi šios krypties (statmenos j÷gų plokštumai) normalinių įtempių n÷ra, nelygių nuliuisvarbiausiųjų įtempių gali būti ne daugiau kaip du (plokštumose, statmenose j÷gų plokštumai).Taigi įtempių būvis paprastojo lenkimo atveju gali būti tik vienaašis (linijinis) arba dviašis(plokščias).Pakeitę formul÷se (2.21) ir (2.23)σ = σxσ11= σ , σ22= σ y= 0 , o vietoj σ12=τxyįrašę11įατ = τ αsvarbiausieji įtempiai svarbiausiose plokštumose apskaičiuojami:σ ⎛σ⎞ 2S1 ,3= ± ⎜ ⎟ + τ ; S2=2 ⎝ 2 ⎠20 . (3.71)2⋅τtg 2⋅α0= . (3.72)σSvarbiausiuosius įtempius svarbiausiose plokštumose galima nustatyti ir Moro apskritimais.3.56 pav. pavaizduoto elemento Moro apskritimai pateikti 3.57 pav.

3.56 pav.3.57 pav.Perkeliant elementą iš viršutinio sijos sluoksnio į apatinį, gaunami skirtingi įtempių būviai irskirtingi savo dydžiais ir kryptimis svarbiausieji įtempiai (3.58 pav.). Viršutin÷je pad÷tyjeMzτ = 0,S1 = σ = y > 0, S2= S3= 0 . (3.73)IzTai linijinis įtempių būvis (linijinis tempimas), o vertikalios plokštumos – svarbiausiosplokštumos. Svarbiausias įtempis S1veikia lygiagrečiai neutraliajam sluoksniui. Įtempiaipasvirusiose plokštumose veikia kaip tempimo atveju.3.58 pav.

Ties neutraliuoju sluoksniu normaliniai įtempiai skerspjūvyje lygūs nuliui, o tangentiniųįtempių reikšm÷ dažnai yra maksimali. Šis grynosios šlyties atvejis yra ypatingas dviašis įtempiųbūvis, ir svarbiausieji įtempiai prilygsta čia veikiančių tangentinių įtempių reikšmeiS1= τ; S3= −τ; α0= −45°, o svarbiausiosios plokštumos sudaro 45° kampą su skerspjūviųplokštumomis.Apatiniame sluoksnyjeMzτ = 0,S3 = σ = y < 0, S2= S1= 0.IzTai linijinis įtempių būvis (linijinis gniuždymas), o vertikalios plokštumos – svarbiausiosplokštumos. Svarbiausias įtempis S3veikia lygiagrečiai neutraliajam sluoksniui.