Lietuviškas vertimas

Ergodinė skaičių teorijaJörn Steudingvert. Raivydas ŠimėnasE-mail address, Jörn Steuding: steuding@mathematik.uni-wuerzburg.deE-mail address, Raivydas Šimėnas: raivydas.simenas@mif.stud.vu.lt

Čia yra Feliksas ir jo atvaizdo iteracijos naudojant ergodinį katinoatvaizdį (iš kairės į dešinę ir iš viršaus į apačią). Kadangi (diskreti) ergodinėteorija yra nepavojinga gyvūnams, po baigtinio iteracijų kiekioFeliksas grįžta. Mes paaiškinsime šį reiškinį…

1. KAS YRA ERGODINĖ SKAIČIŲ TEORIJA? 31. Kas yra ergodinė skaičių teorija?Ergodinės teorijos objektas: dinaminių sistemų elgsena ilgu laikotarpiu.Šiuos tyrimus pradėjo Poincaré prieš daugiau kaip šimtmetį.Jis studijavo statistinę fiziką. Tačiau laikui bėgant, ergodinė teorijabuvo pradėta naudoti įvairiose matematikos šakose. Čia mes savo dėmesįskirsime aritmetiniams jos taikymams. Iš pradžių pristatysimeWeyl’o teoremas apie tolygius pasiskirstymus ir taikymus diofantinėjeanalizėje. Tai galime laikyti kitu ergodinės teorijos išeities tašku. Tadames pristatome bazines sąvokas, metodus ir idėjas,—daugiausia išmato ir integralo teorijos,—kad pasiruoštumėm svarbiausioms temoms:įžymiajai Birkhoff’o ergodinei teoremai, Hlawka’os teoremai apie Riemann’odzeta funcijos netrivialių nulių ordinačių tolygų pasiskirstymąir Khintchine’o teoremai apie realiųjų skaičių skleidinių trupmenomisstruktūras.Mes pristatysime šias temas išsamiai ir pilnai. Šiuo tikslu mes prisiminsimeLebesgue’o mato ir integralo pagrindus, taip pat ir klasikiniusrezultatus iš skleidimo trupmenomis teorijos. Pastariesiemes skirsimeypatingą dėmesį. Kita vertus, mes tik paviršutiniškai paliesime dzetafunkcijos teoriją. Šie užrašai yra šiek tiek išsamesni nei medžiaga, pristatytapaskaitų Nagoya’os Universitete metu; yra pateikiamos nuorodosį panašius rezultatus ir sudėtingesnes temas, kurie čia negalėjo būtidetaliai pateikti. Tiems skaitytojams, kurie norėtų išmokti daugiau,mes rekomenduojame atitinkamai puikias Dajani’o ir Kraaikamp’o [36]bei Choe [30] monografijas. Vokiška šių užrašų versija buvo iš pradžiųpateikta kurso Würzburg’o Universitete metu 2007/08 m. Ją galimarasti internete adresuhttp://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/steuding/ergod.htm. Aš labaidėkingas Christian’ui Beck’ui ir Łukasz’ui Pańkowski’ui už atidų vokiškųužrašų perskaitymą. Aš mielu noru priimu komentarus ir pataisymus:siųskite juos adresu steuding@mathematik.uni-wuerzburg.de.Taip pat aš norėčiau padėkoti Julia’ai Koch už jos nuostabaus katinoFelikso fotografiją (žiūrėti pradinį puslapį) ir jos pasitikėjimą, kad katinoatvaizdis nepradangins jos katino. Aš taip pat dėkingas Martin’uiSchröter’ui už įspūdingus Felikso atvaizdus naudojant katino atvaizdį.Taip pat norėčiau padėkoti Thomas’ui Christ’ui už techninę pagalbą irsavo žmonai Rasai už jos pagalbą dėl daugelio kitų paveikslėlių. Galiausiainorėčiau išreikšti padėką svetingai Nagoya’os Universiteto audiensijaiir ypač prof. Kohji Matsumoto už suteiktą galimybę dėstytišį kursą ir daugelį vertingų komentarų.

SKYRIUS 1Motyvacija: biliardo kamuoliukai ir BenfordasĮsivaizduokit kvadratą su veidrodžiais ant kraštinių ir šviesos spindulį,paliekantį kvadrato vidurį. Spindulys atsimuša nuo veidrodžiųir mes galime klausti, ar jo trajektorija bus periodinė ar neperiodinė.Kokie pradiniai duomenys apsprendžia periodiškumą ar neperiodiškumą?Ar gali taip atsitikti, kad trajektorija bus visur tiršta kvadrate?Šie klausimai biliardo kamuoliukų kontekste pirmiausia buvo iškeltiKönig’o ir Szücs’o [79] 1913 metais.Paprastumo dėlei vietoj kvadrato nagrinėkime diską. Tada šviesosspindulys visada atsimuša tuo pačiu kampu nuo disko ribos—reiškinys,vadinamas rotacijos simetrija, dėl kurio apskriti biliardo kamuoliukaiyra paprastesni už kvadratinius. Dar daugiau, tarkime, kad disko ribayra vienetinis apskritimas kompleksinėje plokštumoje C. Taip vadinamaapskritimo grupė yra visų kompleksinių skaičių su vienetiniumoduliu multiplikatyvi grupė ir gali būti parametrizuota eksponentinefunkcija:T := {exp(2πix) : x ∈ [0, 1)} su i = √ −1.Pastebėkime, kad atvaizdis exp : R → T, x ↦→ exp(2πix) yra surjektyvus,bet ne injektyvus, grupės homomorfizmas. Pagal izomorfizmoteoremą iš algebros, turimeT ∼ = R/Z.Taigi apskritimo grupė T yra izomorfinis ir homeomorfinis vienetiniointervalo [0, 1), ar atitinkamai realios tiesės R moduliu Z, vaizdas kaipadityvi grupė. Toliau dažnai bus patogiau nagrinėti koaibes r + Z, aratitinkamai taškais ant vienetinio apskritimo (ar aukštesnės dimensijostoro), negu realius skaičius r. Biliardo kamuoliukai yra pirmasispavyzdys. Tarkime, πα yra kampas tarp šviesos spindulio ir apskritimoT. Kadangi šis kampas pasilieka toks pat po kiekvieno atspindžio,geometriškai galima parodyti, kad sekantis spindulio ir apskritimo susikirtimotaškas yra gaunamas iš prieš tai esančio sukant apskritimąkampu 2πα. Taigi pažymėję n-tąjį spindulio ir apskritimo susikirtimotašką ζ n = exp(2πix n ), mes galime rastix n − x n−1 ≡ α mod 1 ir atitinkamai x n = x 0 + nα, kur n ∈ N.(Čia pažymėjimas ‘ mod 1’ reiškia, kad mums svarbios tik sekos x ntrupmeninės dalys.) Jei α yra racionalus, tai šviesos spindulio takasyra periodinis. Tiksliau, jei α = p su p, q ∈ N, šviesos spindulys yraq5

6 1. MOTYVACIJA: BILIARDO KAMUOLIUKAI IR BENFORDASq-periodinis (tai reiškia x n+q ≡ x n mod 1). Bet kas tuo atveju, jeiα iracionalus? Šiuo atveju šviesos spindulys anksčiau ar vėliau aplankysbet kurį apskritimo lanką. Mes šį atvejį nagrinėsime naudodamiklasikinius Diofantinės aproksimacijos teorijos metodus (Išvada 1.5).1 pav.. Periodinis šviesos spindulys; čia mes turime α =1/5, tai atitinka 36 ◦ kampą tarp spindulio ir apskritimo.Kitas įdomus reiškinys yra Benford’o dėsnis, kuris nusako statistiniųskaitinių duomenų pasiskirstymo netolygumus. 1881 Newcomb’as pastebėjo,kad dažniau negu kiti buvo naudojami knygų, susidedančių išlogaritminių lentelių, puslapiai, prasidedantys skaitmenimi 1. 1938 šispastebėjimas buvo iš naujo atrastas ir išplatintas fiziko Benford’o [16],kuris pateikė papildomų duomenų iš Amerikos miestų statistikos. Skaičiųaibė vadinama pasiskirsčiusi pagal Benford’ą, jei pirmas skaitmuolygus k ∈ {1, 2, . . . , 9} log 10 (1 + 1/k) procentų. Taigi šiek tiek daugiaunegu trisdešimt procentų iš skaičių, pasiskirsčiusių pagal Benford’o dėsnį,pirmas skaitmuo yra 1, ir tik apie šešis procentus prasideda skaitmenimi7. Akivaizdu, kad šis pasiskirstymo reiškinys, žinomas kaipBenford’o dėsnis, negali būti teisingas apskritai. Čia mes pateikiamepavyzdį deterministinės sekos, kuri tenkina Benford’o dėsnį, taip patžinomą kaip Gelfand’o problema. 1Nagrinėdami dvejeto laipsnius, mes pastebime, kad tarp pirmųjųšios sekos narių,1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4098, 8092, . . . ,yra daugiau skaičių, prasidedančių skaitmenimi 1, negu skaitmenimi 3.Jei turime dvejeto laipsnį, kurio dešimtainė išraiška susideda iš m + 1skaitmenų,10 m k ≤ 2 n < 10 m (k + 1), kur k ∈ {0, 1, . . . , 9},tai paėmę logaritmus, gaunamem + log 10 k ≤ n log 10 2 < m + log 10 (k + 1).Jei turime realųjį skaičių x, mes galime jį padalyti į sveikąją ir trupmeninędalį x = ⌊x⌋ + {x}, kur ⌊x⌋ yra didžiausias sveikasis skaičius,1 Tačiau Gelfand’as, būdamas puikus matematikas, tikrai neturėjo problemossu šia užduotimi.

1. KLASIKINĖ DIOFANTINĖ APROKSIMACIJA 7neviršijantis x ir {x} ∈ [0, 1) yra trupmeninė dalis (kurią mes kartaisžymime x mod 1). Iš to seka, kadlog 10 k ≤ {n log 10 2} < log 10 (k + 1).Dėl iškilumo intervalas [log 10 k, log 10 (k + 1)) yra didesnis mažiems k,taigi euristiškai didesnė galimybė yra rasti tokį n, kuriam n log 10 2 turitrupmeninę dalį šiame intervale. Vėliau mes parodysime (vėl pagalIšvadą 1.5), kad skaičių seka log 10 x n = n log 10 2 yra tolygiai pasiskirsčiusimoduliu 1, taigi, kai n → ∞, skaičių su pirmu skaitmenimi išk ∈ {1, 2, 3, . . . , 9} proporcija lygi intervalo [log 10 k, log 10 (k + 1)) ilgiui,t.y.log 10 (k + 1) − log 10 k = log 10 (1 + 1/k),ir būtent log 10 2 ≈ 30.1 procentų dvejeto laipsnių turi dešimtainį skleidinįsu pirmu skaitmenimi 1, kai tuo tarpu pirmas skaitmuo lygus 7tik apytiksliai 5.8 procentų. Iš kitos pusės, skaičiaus 10 laipsniai visadaprasideda skaitmenimi 1 dešimtainėje sistemoje. Tai parodo, kadskaičiaus log 10 2 aritmetinė prigimtis yra svarbi santykiams, su kuriaispirmi skaitmenys pasirodo.Laikoma, kad Benford’o dėsnis galioja gana didelei sekų, aptinkamųfizikoje ar biržose, daliai. 2 Tolimesnis sekų, kurioms galioja Benford’odėsnis, pavyzdys yra Fibonacci’o skaičiai0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . . ,tačiau dėsnis negalioja pirminių skaičių sekai, kaip įrodė Jolissaint [64]ir Diaconis [40]. Paskutiniai tyrimai rodo, kad tam tikri stochastiniaiprocesai, pvz., geometrinis Brown’o judėjimas ar Colatz’o 3X + 1 iteracijostenkina Benford’o dėsnį, kaip parodė Kontorovich ir Miller [80].1. Klasikinė diofantinė aproksimacijaDiofantinė analizė nagrinėja atitinkamai sveikus algebrinių lygčiųsprendinius ir realių skaičių racionalias aproksimacijas; jos pavadinimaskilęs iš Diofanto, trečiojo amžiaus graikų matematiko, parašiusioįtakingą traktatą apie šitokio tipo klausimus. Kadangi Q yra tiršta aibėjeR, mes galime aproksimuoti bet kokį realų skaičių racionaliaisiaisskaičiais kokiu norima tikslumu. Klasikinė Dirichlet aproksimavimoteorema, įrodyta 1842, duoda skaitinę versiją:Teorema 1.1. Bet kokiam ξ ∈ R\Q egzistuoja be galo daug racionaliųskaičių p/q, tenkinančių(1.1) |ξ − p/q| < 1/q 2 .Iracionalius skaičius charakterizuoja ši savybė: jei ξ yra racionalus,nelygybė (1.1) turi tik baigtinį skaičių sprendinių p/q.2 Benford’o dėsnis yra gana populiarus. Jį galime sutikti JAV televizijos serialeNUMB3RS (serijoje “The Running Man”). Taip pat ir išradinga korporacijos Enronbuhalterija buvo susekta JAV mokesčių inspekcijai naudojant Benford’o dėsnį.

8 1. MOTYVACIJA: BILIARDO KAMUOLIUKAI IR BENFORDASRacionalios realaus skaičiaus aproksimacijos kokybė yra matuojamavardikliu. Grubiai sakant, Dirichlet teorema parodo, kad iracionaliejiskaičiai turi daugiau ir geresnių racionalių aproksimacijų negu racionalieji!Įrodymas. Mes taikysime karvelių lizdų principą: jei n+1 objektųyra paskirstyta į n dėžučių, atsiras bent viena dėžutė su mažiausiaidviem objektais. Jei duota Q ∈ N, Q + 1 taškų 0, {ξ}, {2ξ}, . . . , {Qξ}guli Q nesikertančių intervalų[ j − 1Q, j ), j = 1, . . . , Q.QTaigi atsiras bent vienas intervalas, kuriame yra du taškai {kξ}, {lξ}.Tarus, kad {kξ} ≥ {lξ}, seka(1.2){kξ} − {lξ} = kξ − [kξ] − lξ + [lξ]= {(k − l)ξ} + [(k − l)ξ] + [lξ] − [kξ].Kadangi {kξ}−{lξ} ∈ [0, 1/Q), susumavę sveikąsias dalis lygtyje (1.2),gausime nulį. Taigi su q := |k − l|, mes gauname{qξ} = {kξ} − {lξ} < 1 Q .Su p := [qξ], mes gauname(1.3)∣ ξ = p |qξ − p|q ∣ =q= {qξ}q< 1qQ ,o iš to iš karto seka (1.1).Dabar tarkime, kad ξ yra iracionalus. Tarkime, kad egzistuoja tikbaigtinis skaičius sprendinių lygčiai (1.1) p 1 /q 1 , . . . , p n /q n . Kadangiξ /∈ Q, mes galime rasti skaičių Q tokį, kad∣ ∣ ξ − p ∣j ∣∣∣> 1 , j = 1, . . . , n,q j Qo tai prieštarauja (1.3).Galiausiai tarkime, kad ξ yra racionalus, t.y. ξ = a/b su tam tikrua ∈ Z ir b ∈ N. Jei ξ = a/b ≠ p/q, tai iš∣ ξ − p q ∣=|aq − bp|bq≥ 1 bq ,ir iš (1.1) seka q < b. Taigi egzistuoja tik baigtinis skaičius p/q, tenkinančių(1.1).□Klasikinė Kronecker’io aproksimacijos teorema, įrodyta 1884, apibendrinaDirichlet teoremą 1.1 nehomogeniniu atveju:

1. KLASIKINĖ DIOFANTINĖ APROKSIMACIJA 9Teorema 1.2. Tarkime, ξ ∈ R\Q ir η ∈ R. Tada bet kokiamN ∈ N egzistuoja Q ∈ N, Q > N, ir P ∈ Z tokie, kad|Qξ − P − η| < 3 Q .Klasikinio Hardy ir Wright’o veikalo [53] 23.6 skyrelyje autoriaisuformuluoja Kronecker’io teoremos daugiadimensinį analogą (žr. 1.2pratimą) ir pakomentuoja šį rezultatą kaip “vieną iš matematinių teoremų,kurios tegia (…), kad tai, kas neįmanomo, kartais atsitiks, kad irkaip mažai tai būtų tikėtina.” 3Įrodymas. Pagal Teoremą 1.1, egzistuoja tarpusavyje pirminiaisveikieji skaičiai q > 2N ir p tokie, kad|qξ − p| < 1 q .Tarkime, kad m yra sveikasis skaičius, tenkinantis|qη − m| ≤ 1 2 .Pagal Bézout teoremą iš elementariosios skaičių teorijos mes galimerasti tiesinę kombinaciją m = px − qy su sveikaisiais skaičiais x, y, kur|x| ≤ 1 q; būtent, tai paprastai seka iš Euklido algoritmo skaičiams p ir2q (žr. [114]). Taigiq(xξ − y − η) = x(qξ − p) − (qη − m),ir|q(xξ − y − η)| < 1 2 q · 1q + 1 2 = 1,atitinkamai. Fiksavus Q = q + x ir P = p + y, mes gaunameIš to seka, kadN < 1 2 q ≤ Q ≤ 3 2 q.|Qξ − P − η| ≤ |xξ − y − η| + |qξ − p| < 1 q + 1 q = 2 q ≤ 3 Q .O tai ir yra, ką teigia teorema.Kronecker’oi aproksimavimo teorema duoda sprendinį mūsų pradineibiliardo kamuoliukų problemai. Čia mes nagrinėsime kvadratinįbiliardą. Mes galime tarti, kad kvadratas yra [0, 1/2) 2 ⊂ R 2 . Jei γ žymikampą tarp vieno krašto ir pradinės spindulio krypties, tai spinduliokelias apsprendžiamas lygtimiy = ξx + β,kur ξ = tan γ ir β yra realus skaičius, atitinkantis spindulio pradžią.Jei mes atspindėsime kraštines, o ne spindulį, mūsų tiesė bus apibrėžta3 Ne matematikoje tai žinoma kaip ‘Murphy’io dėsnis’.□

10 1. MOTYVACIJA: BILIARDO KAMUOLIUKAI IR BENFORDASvisoje plokštumoje ir mes stebėsime, kad kelias bus periodinis tada irtik tada, kai minėta tiesė moduliu Z 2 redukuosis į baigtinį kiekį atkarpų;kitu atveju spindulio takas yra tirštas kvadrate. Iš tiesų, jis yraperiodinis tada ir tik tada, jei tiesė kerta tuos pačius taškus ant atspindėtųkraštų moduliu Z, tai yra kai nuolydis ξ yra racionalus. Dabartarkime, kad ξ yra iracionalus. Tada bet kokiam taškui (x 1 , y 1 ) ∈ R 2ir bet kokiam ϵ > 0, pagal Kronecker’io aproksimacijos teoremą 1.2,pritaikytą η = −y 1 +β +ξx 1 , egzistuos sveikieji skaičiai P, Q tokie, kad|y 1 + P − (ξ(x 1 + Q) + β)| = |y 1 − β − ξx 1 + P − Qξ| < ϵ.Taigi taškas (x 1 , y 1 ) ir taškas (x 1 , ξ(x 1 + Q) + β) ant tiesės skiriasi moduliuZ 2 dydžiu, mažesniu už ϵ. Mes darome išvadą: šviesos spindulysnusako uždarą ar atitinkamai periodinį taką jei tiesė turi racionalų tangentą,t.y. ξ = tan γ ∈ Q. Kitu atveju šviesos spindulys aplankys bet2 pav.. Dviejų skirtingų šviesos spindulių trajektorijos,viena su iracionaliu, kita su racionaliu tangentu.kokio taško kvadrate bet kokią aplinką. 43 pav.. Biliardo kamuoliuko takas.2. Tolygus pasiskirstymas vienetiniu moduliuPagal Kronecker’io aproksimacijos teoremą, skaičių nξ trupmeninėsdalys yra tirštos vienetiniame intervale kai n prabėga N, jei ξ yrairacionalus. Dabar mes norime nagrinėti tirštumą skaitiniu būdu. Sakoma,kad realiųjų skaičių seka (x n ) yra tolygiai pasiskirsčiusi moduliu1 (ar atitinkamai ekvipasiskirsčiusi), jei visiems α, β, tenkinančiais4 Žr. jdm.mathematik.uni-karlsruhe.de/…/vortrag.pdf.

2. TOLYGUS PASISKIRSTYMAS VIENETINIU MODULIU 110 ≤ α < β ≤ 1, x n trupmeninės dalies proporcija intervale [α, β) atitinkajo ilgį šia prasme:limN→∞1N #{1 ≤ n ≤ N : {x n} ∈ [α, β)} = β − α.Savaime suprantama, pakanka nagrinėti tik pavidalo [0, β) intervalussu laisvai pasirinktu β ∈ (0, 1). Pagal tikimybių teoriją, tai reiškia,kad tolygiai pasiskirsčiusio atsitiktinio dydžio visos galimos pozicijosyra vienodai tikėtinos.Pirmi svarbūs rezultatai šia kryptimi buvo gauti Hermann’o Weyl’o 5apie 1913–16 (žr. [130]). Pirmas jų yra:Teorema 1.3. Realiųjų skaičių seka (x n ) yra tolygiai pasiskirsčiusimoduliu 1 tada ir tik tada, kai bet kokiai funkcijai f : [0, 1] → C,integruojamai pagal Riemann’ą, galioja1(1.4) limN→∞ NN∑f({x n }) =n=1∫ 10f(x)dx.Įrodymas. Tarkime, duota α, β ∈ [0, 1). Pažymime χ [α,β) intervalo[α, β) indikatoriaus funkciją, t.y.,{1 jei α ≤ x < β,χ [α,β) (x) =0 kitu atveju.Savaime suprantama,∫ 10χ [α,β) (x)dx = β − α.Taigi seka (x n ) yra tolygiai pasiskirsčiusi moduliu 1 tada ir tik tada,jei kiekvienai porai α, β ∈ [0, 1),1N∑∫ 1lim χ [α,β) ({x n }) = χ [α,β) (x)dx.N→∞ Nn=1Darant prielaidą, kad asimptotinė formulė (1.4) galioja bet kokiai funkcijaif, integruojamai pagal Riemann’ą, galima daryti išvadą, kad (x n )iš tiesų yra tolygiai pasiskirsčiusi moduliu 1.Norint įrodyti atvirkštinį teiginį, tarkime, kad (x n ) yra tolygiai pasiskirstęmoduliu 1. Tada (1.4) galioja funkcijai f = χ α,β ir todėl betkokiai šitokių indikatorių tiesinei kombinacijai. Būtent, mes galime išvesti(1.4) bet kokiai laiptinei funkcijai. Yra gerai žinoma iš pradinioanalizės kurso, kad bet kokiai realiai funkcijai f, integruojamai pagalRiemann’ą, ir bet kokiam ϵ > 0, mes galime rasti laiptines funkcijast − , t + tokias, kadt − (x) ≤ f(x) ≤ t + (x) visiems x ∈ [0, 1],5 nepainioti su Andre Weyl’u0

12 1. MOTYVACIJA: BILIARDO KAMUOLIUKAI IR BENFORDASir ∫ 1(t + (x) − t − (x))dx < ϵ.Taigiir1N∫ 10N∑f({x n }) −n=10f(x)dx ≥∫ 10∫ 10t − (x)dx >f(x)dx ≤ 1 N∫ 10t + (x)dx − ϵ,N∑t + ({x n }) −n=1∫ 10t + (x)dx + ϵ,o tai yra mažiau negu 2ϵ visiems pakankamai dideliems N.analogiją, mes gauname1N∑∫ 1f({x n }) − f(x)dx > −2ϵ.Nn=10PagalIš to seka, kad (1.4) galioja visoms realiosioms funkcijoms f, integruojamomspagal Riemann’ą. Kompleksinių funkcijų, integruojamų pagalRiemann’ą, atvejį galima įrodyti nagrinėjant f realiąją ir menamąjądalis atskirai.□Atvirkštinė teorema Weyl’o teoremai buvo atrasta de Bruijn’o [24]:jei duota funkcija f : [0, 1) → C su savybe, kad kiekvienai tolygiaipasiskirsčiusiai sekai (x n ) ribaN∑limN→∞1Nn=1f({x n })egzistuoja, tai f yra integruojama pagal Riemann’ą.Įdomu, kad čia Riemann’o integralas yra svarbesnis už Lebesgue’o.Iš tiesų, Teorema 1.3 bendru atveju negalioja funkcijoms f, integruojamomspagal Lebesgue’ą, nes f gali įgyti reikšmę 0 kiekviename taške{x n }, bet turėti nenulinį integralą. Šis subtilus skirtumas siejasisu svarbiu tolygiai pasiskirsčiusių sekų taikymu, būtent su taip vadinamaisMonte-Carlo metodais ir jų panaudojimu skaitiniam integravimui.6 Jei mes atsitiktinai paskirstome N taškų kvadrate [−1, 1] 2Euklido plokštumoje ir suskaičiuojame skaičių M taškų, kurie yra vienetinioapskritimo su centru koordinačių pradžioje viduje, tai santykisM/N yra gera vienetinio apskritimo ploto π aproksimacija; didinantN, tikimasi, kad ši aproksimacija tik gerės. Atsižvelgiant į šią mintį,tolygiai pasiskirsčiusios sekos gali būti naudojamos skaitiškai vertinanttam tikrus integralus, kuriems įvertinti nėre elementaraus metodo, pvz.vertinant Gauss’o integralą ∫ exp(−x 2 )dx. Daugiau šia tema galimarasti Hlawka [58]. Tolimesni taikymai yra svarbūs pseudo-atsitiktiniųskaičių teorijoje (žr. [33]).6 Pavadinimas Monte-Carlo siejasi su lošimais; Monte-Carlo’e ir jo apylinkėsenėra universiteto.

2. TOLYGUS PASISKIRSTYMAS VIENETINIU MODULIU 13Jau Weyl’as pastebėjo, kad pasirodančios ribos yra tolygios, o tainuo to laiko buvo nagrinėjama kaip neatitikimas. Ši tema turi nuostabiustaikymus, pavyzdžiui, biliarde, kur mes galime klausti kaip greitaineperiodinis šviesos spindulys aplankys duotą sritį. Pirmi efektyvausbiliardo rezultatai priklauso Weyl’ui [129], įdomūs ir netikėti rezultataiapie kvadratinį biliardą neseniai buvo atrasti Beck’o [15]. Taippat svarbios yra efektyvios nehomogeninės Kronecker’io aproksimacijosteoremos 1.2 versijos, pvz. [106]. Dėl bendros tolygaus pasiskirstymoir neatitikimo teorijos, mes nurodome Harman’o [54] ir Kuipers’o irNiederreiter’io [82] monografijas.Mūsų sekantis tikslas yra kitoks tolygaus pasiskirstymo moduliuvienas charakterizavimas, už ką taip pat turėtume būti dėkingi Weyl’ui.Prisiminkime vienetinio intervalo parametrizavimą eksponentinefunkcija iš pat pradžios. Trumpumo dėlei, mes rašome e(ξ) = exp(2πiξ)su ξ ∈ R, o tai pakeičia periodą 2πi periodu 1: e(ξ) = e(ξ + Z).Teorema 1.4. Realiųjų skaičių (x n ) seka yra tolygiai pasiskirsčiusimoduliu 1 tada ir tik tada, kai bet kokiam sveikajam skaičiui m ≠ 0,1N∑(1.5) lim e(mx n ) = 0.N→∞ Nn=1Įrodymas. Tarkime, seka (x n ) yra tolygiai pasiskirsčiusi moduliu1, tada Teorema 1.3, pritaikyta su f(x) = e(mx), duoda1N∑∫ 1lim e(mx n ) = e(mx)dx.N→∞ Nn=1Bet kokiam sveikajam skaičiui m ≠ 0 dešinė lygties pusė lygi nuliui, otai duoda (1.5).Atvirkštiniam teiginiui tarkime, kad (1.5) galioja visiems sveikiesiemsskačiams m ≠ 0. Panaudojus trigonometrinį polinomąP (x) =+M∑m=−Miš tiesiškumo seka1N∑lim P ({x n }) =N→∞ N(1.6)n=10a m e(mx) su a m ∈ C,+M∑m=−M∫ 1= a 0 =a m · limN→∞0P (x)dx.1NN∑e(mx n )Prisiminkime Weierstrass’o aproksimacijos teoremą, kuri teigia, kadbet kokiai 1-periodinei funkcijai ir bet kokiam ϵ > 0, egzistuoja trigonometrinispolinomas P toks, kad(1.7) |f(x) − P (x)| < ϵ, kai 0 ≤ x < 1n=1

14 1. MOTYVACIJA: BILIARDO KAMUOLIUKAI IR BENFORDAS(tai gali būti įrodyta naudojant, pavyzdžiui, Fourier analizę; žr. [61]. 7 )Naudojant šį aproksimuojantį polinomą, mes darome išvadą1N∑∫ 1f({x n }) − f(x)dx∣Nn=10 ∣∣ 1N∑∣∣∣∣ ≤(f({x n }) − P ({x n }))∣N∣ + 1N∑∫ 1P ({x n }) − P (x)dxNn=1n=10 ∣∫ 1+∣ (P (x) − f(x))dx∣ .0Pirmas ir trečias nariai dešinėje yra mažesni už ϵ deka (1.7); pagal (1.6),antras narys yra mažas. Taigi formulė (1.4) galioja visoms tolydžioms,1-periodinėms funkcijoms f. Pažymėję χ [α,β) indikatorinę intervalo[α, β) funkciją (kaip praeitos teoremos įrodyme), bet kokiam ϵ > 0egzisuotja tolydžios, 1-periodinės funkcijos f − , f + , tenkinančiosirf − (x) ≤ χ [α,β) (x) ≤ f + (x) su visais 0 ≤ x < 1,∫ 1Iš to galime daryti išvadą:limN→∞1N0(f + (x) − f − (x))dx < ϵ.N∑χ [α,β) ({x n }) =n=1∫ 10χ [alpha,β) (x)dx.Taigi seka (x n ) yra tolygiai pasiskirsčiusi moduliu 1.Kombinatorinius Weyl’o teoremų įrodymus galima rasti [63].Paskutinįjį kriterijų iliustruosime pavyzdžiu. Nagrinėkime skaičiųx n = log n trupmenines dalis. Iš paprastų skaičiavimų turime:N∑e(log n) =n=1N∑n 2πi =n=1N∑ ( n) 2πiN2πiNn=1∼ N 1+2πi ∫ 10u 2πi du = N 1+2πi1 + 2πi ,o tai nėra o(N). Taigi seka (log n) n nėra tolygiai pasiskirsčiusi moduliu1. Iš tikrųjų, tai yra priežastis, kodėl mes buvome nustebę dėl Benford’odėsnio. Jei (x n ) yra tolygiai pasiskirsčiusi moduliu 1, tai (log x n )yra pasiskirsčiusi pagal Benford’ą. Kaip matome, pasiskirstymas pagalBenford’ą yra ne kas kita, kaip tikimybinis mantisos pasiskirstymasatsižvelgiant į bazę.7 Tiesą sakant, [61] autoriai priskiria šį rezultatą Fejér’ui.□

2. TOLYGUS PASISKIRSTYMAS VIENETINIU MODULIU 15Dėka Bohl’o [21], mes turime svarbų Teoremos 1.4 taikymą, kurispagerina mūsų pastebėjimą apie trupmeninių nξ tirštumą vienetiniameintervale, kai n prabėga N. 8Išvada 1.5. Tarkime, duotas realus skaičius ξ. Tada seka (nξ) n yratolygiai pasiskirsčiusi moduliu 1 tada ir tik tada, kai ξ yra iracionalus.Įrodymas. Jei ξ yra iracionalus, tai e(kξ) ≠ 1 bet kokiam k ∈ Zir baigtinės geometrinės progresijos formulė duodaN∑n=1e(mnξ) = e(mξ) 1 − e(mNξ)1 − e(mξ)visiems sveikiesiems skaičiams m ≠ 0. Kadangi šis dydis yra aprėžtasnepriklausomai nuo N, iš to sekalimN→∞1NN∑exp(2πimnξ) = 0.n=1Kitu atveju ξ = a/b tam tikriems sveikiesiems skaičiams a, b su b ≠ 0.Pastaruoju atveju riba skiriasi nuo nulio visoms sveikosioms b sandaugoms,į kurias įeina m, ir teiginio įrodymas seka iš Teoremos 1.4. □120y00100200x4 pav.. Sekos (n √ 2) tolygus pasiskirstymas moduliu 1:kairėje yra histograma, iliustruojanti {n √ 2} pasiskirstymą,kai n = 1, . . . , 500 intervaluose [(j − 1)/10, j/10)su 1 ≤ j ≤ 10, viduryje pasiskirstymas kaip taškai(n, {n √ 2}) vienetiniame kvadrate, ir pasiskirstymas kaiptaškai ant apskritimo grupės dešinėje.Mes grįžtame į pradinę Gelfand’o problemą. Pirma, mes pastebime,jog log 10 2 yra iracionalus. Tarus, kad taip nėra, egzistuotų teigiamisveikieji skaičiai a ir b tokie, kad 10 a = 2 b , kas yra neįmanoma pagalsveikųjų skaičių vienintelį skaidymą pirminiais dauginamaisiais. Taigi8 Būtent tuo pačiu metu taip pat Sierpinski’s ir Weyl’as gavo panašius rezultatus;įdomią istoriją galima rasti [59]

16 1. MOTYVACIJA: BILIARDO KAMUOLIUKAI IR BENFORDASpritaikius Išvadą 1.5, teigiamų sveikųjų skaičių n, kuriems galioja nelygybėslog 10 k ≤ {n log 10 2} < log 10 (k + 1), proporcija yra lygi intervaloilgiui, t.y. log 10 (1 + 1/k), kaip ir numato Benford’o dėsnis. 9Išvada 1.5 gali būti apibendrinta daugeliu būdų. Vinogradov’as [125]įrodė trinarę Goldbach’o hipotezę, kad bet koks pakankamai didelisnelyginis skaičius gali būti išreikštas trijų pirminių skaičių suma; joįrodyme svarbus įrankis yra eksponentinių sumų pavidalo∑e(ξp n )p n≤Nįverčiai, kur p n žymi n-tąjį pirminį skaičių (didėjimo tvarka). Iracionaliamξ seka (ξp n ) yra tolygiai pasiskirsčiusi moduliu 1. Tam, kad gautumegeresnį įsipūdį apie šio rezultato svarbą, skaitytojas gali pabandytiišspręsti netrivialią problemą apie tai, kaip seka (ξp n ) yra pasiskirsčiusimoduliu 1, jei ξ yra racionalus; įdomu tai, kad vėl pasirodys Dirichletpavardė. Kita vertus, binarinė Goldbach’o hipotezė, kad kiekvienaslyginis svekasis skaičius, didesnis už dvejetą, yra išreiškiamas dviejųpirminių suma, tebėra atvira.PratimaiTiesą sakant, Dirichlet aproksimavimo teoremos formulavimas buvožinomas Lagrange’ui ir jo amžininkams. Tačiau Dirichlet elegantiškaspriėjimas prie problemos leido jam įrodyti sekančius įdomius apibendrinimus:Pratimas 1.1. Įrodykite sekančią aproksimavimo teoremą: tarkime,ξ ij ∈ R su 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n ir 1 < Q ∈ Z, tada egzistuojaskaičiai p 1 , . . . , p m , q 1 , . . . , q n , tenkinantys1 ≤ max{|q j | : 1 ≤ j ≤ n}Q m/nir|ξ i1 q 1 + . . . + ξ in q n − p i | ≤ 1 su 1 ≤ i ≤ m.QKodėl tai yra Teoremos 1.1 apibendrinimas?Pratimas 1.2. Įrodykite sekančią nehomogeninę aproksimavimoteoremą: tarkime, 1, ξ 1 , . . . , ξ m yra tiesiškai nepriklausomi virš racionaliųjųskaičių, η 1 , . . . , η m yra bet kokie, ir N bei ϵ yra teigiami. Tadaegzistuoja tokie sveikieji skaičiai Q > N ir P 1 , . . . , P m , kad|Qξ k − P k − η k | < ϵ su 1 ≤ k ≤ m.Parodykite, kad vektorių seka (nξ 1 , . . . , nξ m ) yra tiršta vienetiniamekube [0, 1) m .9 Yra kita Gel’fond’o problema apie pirminių skaičių skaitmenis, kuri neseniaibuvo išspręsta Mauduit’o ir Rivat’o [94], kurie parodė, jog pirminių skaičių, parašytųbazėje q ≥ 2 skaitmenų suma yra tolygiai pasiskirsčiusi aritmetinėse progresijose,kas nėra tolygus pasiskirstymas moduliu vienetas, ir matematikas A. O. Gel’fond’asnėra matematikas I. M. Gelfand’as.

2. TOLYGUS PASISKIRSTYMAS VIENETINIU MODULIU 17Tai yra daugiadimensinė Kronecker’io aproksimavimo teoremos versijaGalėtų būti įdomu nagrinėti astronominį taikymą planetų sistemomspagal Hardy ir Wright’ą [53], par. 23.6, ir perskaityti tris ganaskirtingus įrodymus tame pat šaltinyje.Mes grįžtame prie smagių dalykų, t.y. prie pradinės biliardo problemos.Pratimas 1.3. Paaiškinkite kvadratinio biliardo neperiodiškumodetales. Taip pat išspręskite apskritiminio biliardo problemą: kokią sąlygąturi tenkinti kampas α, kad trajektorija būtų periodinė ar neperiodinė?Ką galima pasakyti apie kitas iškilas figūras? Kokius rezultatusgalima pasiekti naudojant ergodinę teoriją?Patarimams ar papildomai informacijai mes nurodome vadovėlius [53,114], taip pat Tabachnikov’o knygą [117], klasikinius Birkhoff’o straipsnius[20] ir netikėtus Veech’o [124] rezultatus apie matematinį biliardąne tik ant diskų ar apskritimų.Kartais sunku nuspręsti, ar duota seka yra tolygiai pasiskirsčiusimoduliu vienetas. Iš tiesų, nėra žinoma, ar laipsnių (3/2) n ir skaičiųexp(n) sekos yra tolygiai pasiskirsčiusios moduliu vienetas. Čia pateiktoslengvesnės patikrinti sekos:Pratimas 1.4. Raskite skaičių (x n ) seką, kuri susideda iš visų racionaliųjųskaičių vienetiniame intervale ir yra tolygiai pasiskirsčiusi.Taip pat parodykite, kad skaičių seka(√ ) n5 + 1y n :=su n ∈ N2nėra tolygiai pasiskirsčiusi moduliu vienetas.Prisiminkite, kad Fibonacci’o skaičiai, apibrėžti rekursija F n+1 =F n + F n−1 su pradinėmis reikšmėmis F 0 = 0, F 1 = 1, gali taip pat būtisuskaičiuoti naudojant tiesioginę Binet formulę(1.8) F n = 1 √5((√5 + 12) n−(1 − √ 52) n )Koksma [76] parodė, kad beveik visos sekos (α n ) su α > 1 yra tolygiaipasiskirsčiusios, tačiau nė viena konkreti α reikšmė, su kuria tai galiotų,nėra žinoma. Kita vertus, jei α yra Salem’o skaičius, t.y. jei visialgebriniai α sujungtiniai (išskyrus α) turi absoliutinę reikšmę mažiaunegu vienetas, tai seka (α n ) nėra tolygiai pasiskirsčiusi; aukso pjūvis( √ 5 + 1)/2 yra šitokio Salem’o skaičiaus pavyzdys. Žr. Pisot ir Salem’o[100] darbą, kad susidarytumėte pirmą įspūdį.Čia yra kitas Išvados 1.5 apibendrinimas, priskiriamas Weyl’ui:.

18 1. MOTYVACIJA: BILIARDO KAMUOLIUKAI IR BENFORDASPratimas 1.5. Kaip yra pasiskirsčiusios moduliu vienetas polinomųreikšmės? TarkimeP = a d X d + . . . + a 1 X 1 + a 0yra polinomas su realiais koeficientais, kur bent vienas koeficientas a jsu j ≠ 0 yra iracionalus. Įrodykite, kad P (n) reikšmės, kai n prabėgaN, yra tolygiai pasiskirsčiusios moduliu vienetas. Nurodymas: pirma,galima parodyti sekantį van der Corput’o rezultatą: realiųjų skaičių x nseka yra tolygiai pasiskirsčiusi moduliu vienetas jei bet kokiam teigiamamsveikajam skaičiui m, realiųjų skaičių x m+n − x n seka yra tolygiaipasiskirsčiusi moduliu vienetas. Tai galėtų būti panaudota kartu su pastebėjimu,jog P (X +m)−P (X) yra laipsnio d−1 polinomas. Daugiaupagalbos galima rasti [32], paragrafe XI.1.Tolygus pasiskirstymas nėra izoliuotas reiškinys:Pratimas 1.6. Įrodykite, kad bet kokiai griežtai didėjančiai sveikųjųskaičių sekai a n , skaičių xa n seka yra tolygiai pasiskirsčiusi moduliuvienetas beveik visiems x ∈ (0, 1).Mes užbaigiame Monte Carlo metodais:Pratimas 1.7. Parašykite kompiuterinę programą, generuojančiąatsitiktinius taškus vienetiniame kvadrate [0, 1) 2 . Suskaičiuokite šiuostaškus tam tikrame poaibyje gauti skaitinei π = 3.14156 . . . aproksimacijai.Kiek taškų reikia tikslumui 10 −3 ? Ar galima tą patį padarytiskaičiui e = exp(1) = 2.71828 . . .?* * *Turi būti pažymėta, kad ne vien tik fizikiniai pastebėjimai apie dangauskūnų judėjimą motyvavo ergodinę teoriją; keista, bet ir skaičiųteorija turėjo įtakos statistinei fizikai. Savo 1914 m. straipsnyje [129],pavadintame Sur une application de la théorie des nombres à la mécaniquesstatistique et la théorie des pertubations, Weyl’as pritaikė savotolygaus pasiskirstymo teoriją statistinei mechanikai.Mūsų tikslas yra ergodinė Birkhoff’o teorema iš 1931 metų, kurireikšmingai apibendrina Weyl’o tolygaus pasiskirstymo rezultatus.Svarbi jos sudėtinė dalis yra Lebesgue’o matas ir integralas, kuriokonstrukciją ir pagrindines savybes mes prisimename sekančiame skyriuje.

SKYRIUS 2Preliudas: Lebesgue’o matas ir integralasEgzistuoja aibės, kurioms neįmanoma priskirti geometrinio ilgio,ploto ar tūrio. 1905 m. Vitali’s parodė, kad neįmanoma išspręsti taipvadinamos mato problemos bet kokiai aibei R d . Vienmačiu atveju pavyzdysyra gaunamas iš ekvivalentumo sąryšio, apibrėžtox ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Q.Naudodami parinkimo aksiomą, mes galime apibrėžti aibę A ⊂ [0, 1],susidedančią iš lygiai vieno atstovo iš ekvivalentumo klasės. Dabar darykimeprielaidą, kad egzistuoja prasmingas matas µ su visomis geromissavybėmis, kurių mes pageidaujame, t.y. monotoninis, nesikeičiantis popostūmio ir skaičiai adityvus. Tada1 = µ([0, 1]) ≤ ∑µ(A + x) ≤ µ([−1, 2]) = 3,x∈[−1,1]∩Qkur A + x yra apibrėžtas kaip {a + x : a ∈ A}. Taigi akivaizdu, kadmes negalime priskirti jokios prasmingos reikšmės dydžiui µ(A). 1Analizėje griežtas mato ir mačios aibės sąvokas įvedė Emile Borel’is,o Henri Lebesgue’as sukonstravo naują integravimo teoriją antšio pagrindo—skirtingą ir galingesnę, negu Riemann’o integravimo teorija,kuri remiasi funkcijomis, o ne aibėmis. Klasikinis darbas apie matoir integravimo teoriją yra Kolmogorov ir Fomin [78].1. Mato teorijaTarkime, kad X yra netuščia aibė, ir pažymėkime B(X) jos poaibiųaibę. Netuščia aibių sistema F ⊂ B(X) yra vadinama algebra, jeiX ∈ F ir jei iš A, B ∈ F seka, kad A ∪ B ir X\B priklauso F. Tokiaalgebra F yra vadinama σ-algebra, jei F yra uždara skaičių sąjungųatžvilgiu, t.y. jei šios aksiomos yra patenkintos:• ∅, X ∈ F;• X\A ∈ F bet kokiai A ∈ F;• ∪ j A j ∈ F bet kokiai skaičiai aibių sekai A j ∈ F.1 Tai yra šiek tiek susiję su priešingu intuicijai Banach’o-Tarski’o paradoksu,kuris teigia, jog skritulys aibėje R 3 gali būti padalintas į penkias dalis taip, kad josgalėtų būti surinktos į du tokio paties dydžio kamuolius, sutrumpintai • = • + •(žr. [127]).19

20 2. PRELIUDAS: LEBESGUE’O MATAS IR INTEGRALASKadangi∩A j = A\ ∪ (A\A j ) su A := ∪ A j ,jjjtai iš paskutinės aksiomos seka, kad ∩ j A j ∈ F. Taigi σ-algebra yrauždara skaičių sąjungų ir sankirtų atžvilgiu. Jei X ≠ ∅, tai sistemos{X, ∅} ir X poaibių aibė B(X) pačios yra σ-algebros, tačiau kadangijos atitinkamai yra labai mažos ar didelės, jos nevaidina didesniovaidmens.Nėra sunku pamatyti, kad bet kokia skaiti σ-algebrų sankirta pativėl yra σ-algebra. Taigi bet kokiai sistemai ∅ ̸= E ⊂ B(X), sankirta∩A σ (E) =FE⊂F, F yra σ-algebrayra mažiausia σ-algebra, kuriai priklauso E; dėl šios priežasties sakoma,kad A σ (E) yra E generuota. Gana svarbi σ-algebra yra netuščios metrinėserdvės X Borel’io σ-algebra B, apibrėžta kaip mažiausia σ-algebra,generuota atvirų X poaibių.Neneigiama funkcija µ, apibrėžta virš σ-algebros F su kažkokiaerdve X ≠ ∅, yra vadinama matu, jei patenkintos šios aksiomos:• µ(∅) = 0;• bet kokiai paporiui nejungių aibių sekai A j ∈ F, galioja( ) ∪µ A j = ∑ µ(A j ).jjAtsižvelgiant į paskutinę savybę, sakoma, kad µ yra σ-adityvi (atitinkamaiskaičiai adityvi). Pastebėkite, kad mes leidžiame µ įgyti reikšmę+∞ (žinoma, turime omenyje standartinę aritmetiką su begalybe).Tada trejetas (X, F, µ), susidedantis iš aibės X ≠ ∅, su ja asocijuotosσ-algebros F, ir mato µ, yra vadinamas mato erdve, ir F elementaivadinami mačiais. Jei µ(X) < ∞, tai mato erdvė vadinama baigtine.Šioje teorijoje labai svarbi sąvoka yra nulinio mato aibė, t.y. bet kokiaaibė A ∈ F su nuliniu matu: µ(A) = 0.Pirmosios savybės yra:• Monotoniškumas: µ(A) ≤ µ(B) visoms mačioms aibėms A ⊂B;• Įdėjimo principas: bet kokiai įdėtų mačių aibių sekai A 1 ⊃A 2 ⊃ . . .,( ) ∩lim µ(A n) = µ A n .n→∞nMes duosime keletą pavyzdžių. Pirmiausia turime skaičiuojantį matą{#A jei #A < +∞,A ↦→ |A| =+∞ kitu atveju,

1. MATO TEORIJA 21kur #A skaičiuoja baigtinės aibės A elementus. Šis matas turi daugtaikymų kombinatorikoje ir skaičių teorijoje. Fizikoje pagrindinį vaidmenįvaidina Dirac’o matas, apibrėžiamas šitaip:{1 jei x ∈ A,A ↦→ δ x (A) =0 kitu atveju.Galiausiai yra Lebesgue’o matas, kurį mes pažymėsime λ. Pradžiaimes apibrėšime Lebesgue’o matą kuboidams Qd∏(2.1) λ(Q) = (β j − α j ), kur Q = (α 1 , β 1 ) × . . . × (α d , β d )j=1su tam tikrais realiaisias skaičiais α j ≤ β j . Žinoma, čia mes taip patgalime nagrinėti pusiau-atvirus ar uždarus kuboidus. Tada Lebesgue’omato apibrėžimas gali būti pratęstas pirma pasitelkiant adityvumąbaigtinėms (nejungioms) kuboidų sąjungoms, taip vadinamoms figūroms,ir antra sutapatinant su išoriniu matu λ ∗ bet kokioms mačiomsaibėms A (priklausančioms F) naudojant skaičias figūrų A n sekų ribųA sąjungas (moduliu nulinio mato aibės), kurA n → A kai n → ∞ ⇐⇒ limn→∞λ ∗ (A n △A) = 0.Prisiminkime, kadA△B := (A\B) ∪ (B\A)yra A ir B simetrinis skirtumas A△B ir išorinis matas yra apibrėžiamastaip:∞∑λ ∗ (A) = inf λ(A n ),kur infimumas imamas pagal visus skaičius aibės A denginius atviromisfigūromis A n . Turime pastebėti, kad λ ∗ (A△B) yra mažas jei Air B skiriasi tik per mažo mato aibę. Tam, kad supaprastintumėmaritmetiką su aibėmis, mes taip pat rašysime A = B jei λ(A△B) = 0.Pateikta Lebesgue’o mato konstrukcija buvo sugalvota Carathéodory’ioir gali būti nesunkiai apibendrinta. 2 Svarbi Lebesgue’o matosavybė yra invariantiškumas postūmio atžvilgiu, t.y., λ(A) = λ(A + x)visoms mačioms aibėms A ir visiems taškams x; dar daugiau, šis matasyra vienintelis tarp visų normuotų matų, tenkinančių šias savybes. Lebesgue’onulinio mato aibių pavyzdžiai yra Q ir Q d ar, bendriau, visosskaičios aibės; sudėtingesnis pavyzdys yra nemati Cantor’o aibė.Mes baigiame savo trumpą mato teorijos aprašymą tikimybinės erdvėssąvoka. Sakoma, kad matas P yra tikimybinis matas, jei P reikšmėspriklauso [0, 1] ir P(X) = 1. Bet kokiam bagtiniam matui µ mes2 Tiesą sakant, idėja praplėsti figūrų, nesudarančių σ-algebros, aibę imant figūrųribas moduliu nulinio mato aibės mums primena Cantor’o realiųjų skaičiųkonstrukciją.n=1

22 2. PRELIUDAS: LEBESGUE’O MATAS IR INTEGRALASgalime visada apibrėžti tikimybinį matą: P(A) = µA/µ(X). Svarbitikimybinio mato savybė yraP(X\A) = 1 − P(A) bet kokioms A ∈ F.Trejetas (X, F, P), susidedantis iš aibės X ≠ ∅, σ-algebros F ir tikimybiniomato P, yra vadinamas tikimybine erdve. σ-algebra yra vadinamaįvykių erdve ir jos elementai E yra įvykiai, pasirodantys su tikimybeP(E). Stebėtina, kad tikimybių teorijos aksiomatiniai pagrindai buvoduoti ne anksčiau kaip 1933 m. Kolmogorov’o [77].Naudojant tikimybių teoriją, dažnai galima susidaryti įdomų vaizdąapie skaičių teorijos klausimus, būtent, aritmetinių funkcijų pasiskirstymosavybių kontekste (tai yra viso labo tik kitokia kompleksiniųskaičių sekų išraiška. Jei (X n ) yra nepriklausomų virš [0, 1) tolygiai pasiskirsčiusiųatsitiktinių dydžių seka, tada remiantis iteruotų logaritmųdėsniu galima daryti išvadą, kad bet kokiam m ≠ 0, galiojalim supN→∞| ∑ n≤N e(mX n)|√ 2N log log N= 1 beveik visada,o tai reiškia, kad ši lygybė galioja su tikimybe P(E) = 1, kur E žymišį įvykį. Iš to seka, kad visų sekų aibė {x n } intervale [0, 1), kurioms šilim sup savybė negalioja, yra nulinio mato. (Dėl šio iteruotų logaritmųdėsnio žr. [17, 73]). Tai gali būti palyginta su Weyl’o teorema 1.4.2. Lebesgue’o IntegralasDabar mes pristatome trumpą įvadą į Lebesgue’o integravimo teoriją.Tik čia pasirodo funkcijos. Mes rašome f ≤ g dviems realiosiomsfunkcijoms, jei nelygybė f(x) ≤ g(x) galioja beveik visiems x, su kuriaisf ir g yra apibrėžtos (o tai visada bus aišku iš konteksto). Jeiduota mato erdvė (X, F, µ), funkcija f : X → R yra vadinama mačia(atitinkamai µ mačia, jei aibė {x ∈ X : f(x) < α} yra mati bet kokiamα ∈ R (t.y., jei ji priklauso F. Būtent, bet kokia tolydi funkcija yramati Lebesgue’o mato atžvilgiu, ar, bendriau, bet kokio mato Borel’ioσ-algebrų atžvilgiu.Funkcija vadinama paprasta, jei jos vaizdas yra baigtinis. Tam, kadapibrėžtume integralą neneigiamoms paprastoms funkcijoms η, mes užrašomeη kaip baigtinę tiesinę indikatorinių funkcijų kombinacijąm∑η = c j χ Bj su B j := {x : η(x) = c j }j=1ir paporiui skirtingais c j , kurie sudaro η(X) vaizdą; būtent, mes tariama,jog aibės B j yra nejungios. Čia indikatorinė funkcija χ B su B ⊂ Xyra apibrėžta šitaip:{1 jei x ∈ B,χ B (x) =0 kitu atveju.

2. LEBESGUE’O INTEGRALAS 23Intervalui B tai sutampa su indikatorinės funkcijos abibrėžimu iš praeitosdalies. Savaime suprantama, ši funkcija yra mati tada ir tik tada,jei B yra mati. Panašus teiginys galioja ir parastoms funkcijoms η.Integralas χ B su B ∈ F, paimtas virš mačios aibės A, yra apibrėžtas∫χ B dµ = µ(A ∩ B),o atitinkamai mačioms funkcijoms η∫m∑∫ηdµ = c j χ Bj dµ =Aj=1AAm∑c j µ(A ∩ B j ).Naudodami paprastas funkcijas, mes galime aproksimuoti bet kokiąneneigiamą, realią mačią funkciją f bet kokiu tikslumu ir tokiu būduapibrėžti Lebesgue’o integralą:∫∫(2.2)fdµ = sup ηdµ,Akur supremumas yra imamas pagal visas mačias paprastas funkcijas η,tenkinančias 0 ≤ η ≤ f. Naudodami Young’o išskaidymą, t.y.(2.3) f = f + − f − su f + := max{f, 0}, f − := − min{f, 0},mes apibrėžiame integralą bet kokiai mačiai, realiai funkcijai f šitokiubūdu:∫ ∫ ∫fdµ = f + dµ − f − dµAA(tiesiog mes pritaikome neneigiamų funkcijų integralus abiems dėmenimsf + ir f − atskirai). Sakome, jog funkcija f yra integruojama(atitinkamai µ-integruojama), jei abu integralai dešinėje pusėje yrabaigtiniai. Šis Lebesgue’o integralo apibrėžimas atspindi visas svarbiassavybes, prie kurių mes esame pripratę, t.y. monotoniškumą, invariantiškumąpostūmio atžvilgiu ir tiesiškumą (o tai mums leidžia apibrėžtiintegralą ir kompleksinėms mačioms funkcijoms). Dar daugiau,jis nepriklauso nuo išraiškos paprastosiomis funkcijomis kaip tiesinėmsindikatorinių funkcijų kombinacijomis (dėl 2.2).Koks yra skirtumas nuo Riemann’o integralo? Jį nušviečia ši Lebesgue’ocitata:Septyniolikto amžiaus geometrai nagrinėjo f(x) integralą—žodis‘integralas’ dar nebuvo išrastas, bet tai nesvarbu—kaipbegalinio skaičiaus nedalomų dydžių sumą,kiekvienas iš kurių buvo f(x) ordinatė, teigiama ar neigiama.Labai gerai! Mes paprasčiausiai sugrupavome nedalomusdydžius palyginamo didumo. (…) Galima sakyti,kad pagal Riemann’o procedūrą buvo bandoma sudėtinedalomus dydžius imant juos ta tvarka, kuria jie pasitaikėvarijuojant x, kaip išsiblaškęs pirklys, kuris skaičiuojamonetas ir banknotus ta tvarka, kuria jie jam pateko,Aj=1A

24 2. PRELIUDAS: LEBESGUE’O MATAS IR INTEGRALASkai tuo tarpu mes veikiame kaip metodiškas pirklys, kurissako: aš turiu m(E 1 ) vieno cento monetų, kurios yravertos 1 · m(E 1 ); aš turiu m(E 2 ) penkių centų monetų,kurios yra vertos 5·m(E 2 ); aš turiu m(E 3 ) dešimties centųmonetų, kurios yra vertos 10 · m(E 3 ), ir t.t. Iš viso ašturiuS = 1 · m(E 1 ) + 5 · m(E 2 ) + 10 · m(E 3 ) + . . .Šios abi procedūros tikrai duos pirkliui tą patį rezultatą,nes nepriklausomai nuo to, kiek pinigų jis turi, yra tikbaigtinis monetų ir banknotų skaičius. Bet mums, kurieturi sudėti begalinį nedalomų dydžių kiekį, skirtumastarp abiejų metodų yra didžiulis.Skaičiuodami Lebesgue’o integralą, mes galime nekreipti dėmesio įnulinio mato aibes. Pavyzdžiui, Dirichlet funkcija δ = χ Q , apibrėžtaδ(x) = 1, jei x ∈ Q, ir δ(x) = 0, jei x ∈ R\Q, nėra integruojama pagalRiemann’ą, tačiau ji yra integruojama pagal Lebesgue’ą:∫δdλ = λ([0, 1] ∩ Q) = 0[0,1](nes Q yra skaiti ir todėl nulinio mato aibė). Tai atspindi, ko mes turėtumetikėtis iš beveik visur įgyjančios reikšmę nulis funkcijos integralo.Jei savybė E galioja visiems x ∈ A\B, kur A ir B yra mu-mačios, ir jeiB yra nulinio mato aibė, t.y. jei µ(B) = 0, tada E galioja beveik visiemsx ∈ A ir E yra teisinga virš A beveik visur. Jei µ yra tikimybinis matas,mes galime rašyti µ(A) = 1 ir įvykis E gali būti identifikuojamas su A.Dėl to Lebesgue’o matas yra galingas įrankis!Kita svarbi minėtos konstrukcijos savybė yra mato σ-adityvumas,dėl kurio tokios savybės kaip matumas ir integruojamumas gali būtiperkeltas nuo funkcijų sekų į jų ribas! Tai veda į žymias Lebesgue’o irjo amžininkų teoremas. Čia yra Lebesgue’o dominuoto konvergavimoteorema:Teorema 2.1. Tarkime, jog (g n ) yra mačių funkcijų seka matoerdvėje (X, µ). Tarkime, riba lim n→∞ g n (x) egzistuoja beveik visiemsx ∈ X ir ji yra mati, ir kad egzistuoja integruojama funkcija g ≥ 0tokia, kad |g n (x)| ≤ g(x) beveik visiems x ir bet kokiems n. Tada∫ ∫limn→∞Xg n dµ =Xlim g ndµ.n→∞Taigi mes galime sukeisti ribą ir integralą galiojant gana silpnomssąlygoms. Čia reikalingas tik g n sekos konvergavimas pataškiui, o nestipresnis tolygus konvergavimas kaip Riemann’o integralo atveju.Monotoniško konvergavimo teorema sustiprina teoremą apie dominuotąkonvergavimą:

2. LEBESGUE’O INTEGRALAS 25Teorema 2.2. Jei (g n ) yra beveik visur didėjanti realių, neneigiamų,mačių virsš X funkcijų seka ir jei g n beveik visur pataškiuikonverguoja į g, tai∫ ∫lim g n dµ = gdµ.n→∞XXMes užbaigiame įvesdami vektorinės erdvės struktūrą. Su 1 ≤ p

SKYRIUS 3Mato invariantiškumas ir ergodiškumasMes nagrinėsime atvaizdžius T : X → X, apibrėžtus virš tam tikrųaibių X. Mūsų tikslas yra suprasti T iteracijų dinamiką. Šiam tiksluimes galime daryti prielaidą, kad transformacija T nekeičia X struktūros:jei X yra topologinė erdvė, mes galime laikyti T tolydžia; jeiX turi diferencijuojamą struktūrą, mes norime, kad T būtų difeomorfizmas.Toliau mes dažnai dirbsime su tikimybinėmis erdvėmis, taigigalime laikyti T mačia.1. Matą išsaugančios transformacijosTarkime, duota mati erdvė (X, F, µ). Sakoma, kad transformacijaT : X → X yra mati (ar, tiksliau, µ-mati), jei T −1 A := {x : T (x) ∈A} ∈ F visoms A ∈ F. Sakoma, kad bet koks toks atvaizdis yraapverčiamas, jei T A := {T (x) : x ∈ A} ∈ F visoms A ∈ F ir T X = X.Sakoma, kad matus atvaizdis T yra išsaugantis matą µ atžvilgiu, jeiµ(T −1 A) = µ(A) su visomis A ∈ F;tai reiškia, kad aibės matas visada lygus jos pirmavaizdžio matui. Jei,be to, T yra apverčiamas, pastaroji savybė yra ekvivalenti savybeiµ(T A) = µ(A). Jei T yra išsauganti matą, tada (X, F, µ, T ) yra vadinamadinamine sistema. Mato teorijos atžvilgiu, taip pat galimasakyti, kad ‘µ yra T -invariantinis’ vietoj ‘T yra µ matą išsaugantis’.Jei duotas atvaizdis T kaip aukščiau ir x ∈ X, apibrėžkimeT 0 (x) = x, T 1 (x) = T (x) ir T n+1 (x) = T (T n (x)) su n ∈ N;tačiau mes naudosime trumpinį T n (x) vietoj T n (x). x orbita ar trajektorijaT atžvilgiu yra apibrėžiama aibe {T n x : n ∈ N 0 }. Iš orbitos mesgalime gauti daug informacijos apie tašką x ir atvaizdį T . Apverčiamųmatų atveju, yra prasminga nagrinėti praeitį, t.y.. . . , T −2 x, T −1 x, T 0 x = x, T x, T 2 x, . . . .Mes galime interpretuoti šią konfigūraciją kaip dinaminę sistemą sudiskrečiu laiku. Sistemų su tolydžiu laiku, studijuojama funkcija φ :X × R → X, (x, t) ↦→ φ(x, t) =: φ t (x) su φ 0 (x) = x visiems x ∈ X irφ s ◦ φ t = φ s+t , tačiau mes toliau nagrinėsime diskretaus laiko atvejį.Mes jau žinome dvi įdomias transformacijas. Tam, kad išreištumešiuos pavyzdžius savo nauja kalba, imkime mato erdvę X = [0, 1) suBorel’io σ-algebra B ir Lebesgue’o matu λ.27

28 3. MATO INVARIANTIŠKUMAS IR ERGODIŠKUMASPavyzdys 1): Apskritimo biliardo transformacija yra vadinamaapskritimo posūkiu (atitinkamai postūmiu) ir fiksuotam θ ∈ (0, 1) yraapibrėžtaR θ : T → T, x ↦→ x + θ.(Savaime suprantama, mes taip pat galėjome apibrėžti R θ (x) = {x +θ} = x + θ mod 1 virš [0, 1).) Sekos n ↦→ nξ projekcija ant apskritimogrupės T yra apskritimo posūkis: su x n mes turime R n ξ = x n. Savaimesuprantama, R θ yra mati Lebesgue’o mato atžvilgiu. Iš tiesų, duotam[0, 1) subintervalui (α, β), mes turimeR −1θ(α, β) = (α − θ, β − θ) arba = (1 + α − θ, 1 + β − theta,atsižvelgiant į θ ≤ α ar β ≤ θ, irR −1θ(α, β) = (0, β − θ) ∪ (1 + α − θ, 1),jei α < θ ≤ β. Tai taip pat parodo, kad R θ yra matą išsauganti λatžvilgiu, nes abiem atvejaisλ(R −1 (α, β)) = β − α = λ((α, β)).θSavo samprotavimuose mums leidžiama sutelkti dėmesį tik ties intervalais,nes Borel’io σ-algebra yra generuota X = [0, 1) atvirų poaibių. Šissupaprastinimas remiasi monotoninės klasės C visų baigtinių nejungiųalgebros A elementų sąjungų idėja. Jei papildomai F yra C generuotaσ-algebra ir (X, F, µ) yra mato erdvė, tai bet kokiai A ∈ F ir betkokiam ϵ > 0 egzistuoja aibė B ∈ C tokia, kad µ(A△B) < ϵ, o iš toseka, jog B aproksimuoja duotą aibę A kokiu norma tikslumu. Šiosaproksimacijos savybės, tokios kaip matumas ir invariantiškumas matoatžvilgiu, gali būti perkeltos nuo C į F µ atžvilgiu. Tai yra žinomakaip Hahn’o-Kolmogorov’o teorema; skaitytojas gali žiūrėti [36] ir [128]Pavyzdys 2): Gelfand’o problemos transformacijos yra{2x jei 0 ≤ x < 1T : [0, 1) → [0, 1), x ↦→ 2x mod 1 =, 22x − 1 jei 1 ≤ x < 12(kai kur tai taip pat vadinama dvigubinančiu atvaizdžiu). Duotam [0, 1)subintervalui (α, β), mes turime( αT −1 (α, β) =2 , β ) ( α + 1∪ , β + 1 ),2 2 2o tai savaime suprantama yra B elementas; taigi T yra mati pagalLebesgue’ą. Dešinėje pusėje sąjunga yra nejungi (nes α + 1 ≥ b) ir taippatλ(T −1 (α, β)) = β − α = λ((α, β)).Taigi T yra matą išsauganti Lebesgue’o mato atžvilgiu. Pastabus skaitytojasgalėtų būti nustebintas dėl mato išsaugojamumo apibrėžimo,kur reikalaujama kad abu T −1 A ir A turėrų tą patį matą (o ne T A ir

1. MATĄ IŠSAUGANČIOS TRANSFORMACIJOS 29A). Dvigubinantis atvaizdis yra pavyzdys, kodėl tai yra gera sąvoka,nes jis, kaip jau įrodyta, yra matą išsaugantis, bet neapverčiamas(3.1) λ(T −1 (α, β)) ≠ β − α.Nors šis pavyzdys yra paprastas, šio mato iteracijos duoda skaičių išvienetinio intervalo [0, 1) binarinius skleidinius. Su duotu x ∈ [0, 1),leiskime{0, jei 0 ≤ x < 1b 1 = b 1 (x) =, 21, jei 1 ≤ x < 1.2Tada T x = 2x − b 1 (x). Sumes randameatitinkamai pagal indukcijąb n = b n (x) = b 1 (T n−1 x) su n ∈ N,x = 1 2 (b 1 + T x) ir T x = 1 2 (b 2 + T 2 x),x = b 12 + b 22 + · · · + b n2 2 + T n xsu n ∈ N.n 2n Kadangi 0 ≤ T n x < 1, eilutės uodega konverguos į nulį, kai n → ∞.Tagi mes gauname binarinį skleidinį∞∑ b nx =2 . nn=1Pavyzdys 3): Tai pačiai mato erdvei, kaip ir praeitame pavyzdyje,leiskime G = 1(√ 5 + 1) būti aukso pjūviui ir apibrėžkime T2 G : X → Xšitokiu būdu:{Gx, jei 0 ≤ x < 1T G x = Gx mod 1 =, GGx − 1, jei 1 ≤ x < 1.GIš tiesų, T G nėra matą išsaugantis Lebesgue’o mato atžvilgiu, tačiau jisyra matą išsaugantis su matu µ, apibrėžtu šitaip:∫{1+2Gµ(A) = g(x)dx su g(x) =, jei 0 ≤ x < 1 ,2+G GGA, jei 1 ≤ x < 1.1+G GT n Gx iteracijos duoda taip vadinamą x ∈ [0, 1) G-skleidinį, t.y.∞∑ c nx =G nn=1su c n ∈ {0, 1} ir c n c n+1 = 0 visiems n ∈ N.Pavyzdys 4): Dabar mes nagrinėsime dimensijos 2 Gelfand’o atvaizdžioapibendrinimą, taip pat žinomą kaip ‘kepėjo transformacija’.

30 3. MATO INVARIANTIŠKUMAS IR ERGODIŠKUMASTarkime, X = [0, 1) 2 yra su sandaugos σ-algebra B × B ir sandaugosLebesgue’o matu λ × λ. Tada šis atvaizdis yra apibrėžiamas šitaip:{b : [0, 1) 2 → [0, 1) 2 (2x, y/2), jei 0 ≤ x < 1/2,, (x, y) ↦→ b(x, y) =(2x − 1, (y + 1)/2) kitu atveju.11TzŠie grafikai buvo sukurti naudojant Maple iš Choe [30]; b grafiko aprokz01/21012011 pav.. ‘Kepėjo transformacija’; jos vardas yra kilęs išproceso, kurio metu kepėjas maišo vandenį ir miltus tešlai.simacijai imami taškai (x j , b(x j )) iš pakankamai didelės aibės tolygiaipasiskirsčiusių x j . 1Kepėjo transformacija b yra mati, apverčiama ir išsauganti matąλ × λ mato atžvilgiu.111yyy00 1x00 1x00 1x2 pav.. Kepėjo transformacijos pradinės iteracijos b, b 2 , b 3 .Pavyzdys 5): Taip vadinama logistinė transformacijal : [0, 1] → [0, 1] x ↦→ 4x(1 − x)yra mati ir išsauganti matą šitokio mato atžvilgiu:µ(A) = 1 ∫dx√ .π x(1 − x)AŠis tankis vaidina svarbų vaidmenį Sato-Tate hipotezėje apie elipsiniųkreivių, redukuotų moduliu pirminiai skaičiai, grupės eiles, kuri neseniaibuvo įrodyta Taylor’o [119]. Iš tiesų, tai yra sujungtinių klasių1 Savo dvasia tai prilygsta prancūzų impresionistui Georges Seurat ir joamžininkams.

1. MATĄ IŠSAUGANČIOS TRANSFORMACIJOS 31tolygus pasiskirstymas virš specialiosios unitarinės grupės SU 2 (C Haar’omato atžvilgiu. Panašiai žymus Deligne’o Weil’o hipotezės įrodymas[37] parodo tolygų Frobenius’o sujungtinių klasių pasiskirstymą.15yy00x100x13 pav.. Logistinė transformacija: kairėje y = 4x(1 − x)grafikas, dešinėje jo tankis.Pavyzdys 6): Identifikuodami apskritimo grupę T su vienetiniuintervalu [0, 1) moduliu vienetas, mes gauname grupei T 2 = T × Tvienetinį kvadratą [0, 1) 2 , kur priešingos kraštinės yra identifikuotos,taigi T 2 yra dimensijos du toras (arba, kepėjo terminais, riestainis).Atvaizdis( ( ( )x 2 1 xA : T 2 → T 2 , ↦→mod 1y)1 1)yyra apverčiamas (nes atitinkama matrica turi nenulinį determinantą)ir, kaip parodo trumpas skaičiavimas, yra išsauganti matą dimensijosdu Lebesgue’o mato atžvilgiu. Šis atvaizdis A dar yra vadinamas “Arnold’okatės atvazdžiu” pagerbiant V. I. Arnold’ą. 2 Atvaizdis A yrataip vadinamo toro automorfizmo pavyzdys.4 pav.. Kaip katės atvaizdis atvaizduoja …Mes baigiame paskutiniu pavyzdžiu. Garsioji 3X + 1 problema(taip pat žinoma kaip Collatz’o ar Sirakūzų problema) yra pagrįsta šiaiteracija virsš teigiamų sveikųjų skaičių:{x/2, jei x yra lyginis,x ↦→ T x =3x + 1, jei x yra nelyginis.2 Šio pavadinimo kilmės klausimu žr. jo monografiją [6].

32 3. MATO INVARIANTIŠKUMAS IR ERGODIŠKUMASPavyzdžiui:. . . ↦→ 12 ↦→ 6 ↦→ 3 ↦→ 10 ↦→ 5 ↦→ 16 ↦→ 8 ↦→ 4 ↦→ 2 ↦→ 1 ↦→ . . .taigi x = 12 orbita galiausiai yra periodinė. Yra hipotezė, kad ši itera-5 pav.. Katino Felix’o iteracijos pagal “Arnold’o katėsatvaizdį”: A 0 , A 1 , A 2 iš kairės į dešinę.cija yra periodinė su periodu 4 ↦→ 2 ↦→ 1 nepriklausomai nuo pradinėsreikšmės x. Silpnesnė hipotezė teigia, kad nėra diverguojančių šios iteracijostrajektorijų. Atvaizdis T iš tiesų nėra injektyvus. Šis pavyzdysrodo, kad kartais prasminga tirti iteracijos praeitį: koks yra 1 pirmvaizdispagal šią iteraciją?Iš tiesų, yra įdomus ergodinis priėjimas prie šios problemos. Matthews’asir Watts’as [93] parodė, kad T yra matą išsauganti virš aibės2-adinių skaičių Z 2 su atitinkamu Haar’o matu ir, naudodami Birkhoff’oergodinę teoremą, kad iteracijos T n x yra tolygiai pasiskirsčiusiosmoduliu 2 k su visais k ∈ N ir beveik visais x ∈ Z 2 . Deja, šis rezultatasyra už šio kurso ribų, tačiau skaitytojas gali rasti daugiau informacijosLagarias’o apžvalgoje [84] ir Wirsching’o knygoje [132]. Ganėtinai netikėta,kad taip lengvai formuluojama problema kaip 3X + 1 problemaatrodo tokia sunki išspręsti. 3Daugiau matą išsaugančių transformacijų pavyzdžių galima rasti[30]; Bernoulli’o postūmių atvejui mes nurodome [36].Toliau mes duosime kriterijų mato išsaugojamumui pagal analogijąsu Weyl’o Teorema 1.3 apie tolgygų pasiskirstymą moduliu vienetas:Teorema 3.1. Transformacija T : X → X yra matą išsaugantiµ atžvilgiu tada ir tik tada, jei su visomis integruojamomis pagal µfunkcijomis f : X → C turime∫ ∫(3.2)fdµ = f ◦ T dµ.XFormulėje, duodančioje ekvivalentą mato išsaugojamumui, galimetraktuoti T kaip dinaminės sistemos vystymąsi laike, f—kaip fizikinioeksperimento rezultatą, o integralą—kaip f rezultatų vidurkį; tada3 1960-aisiais Kakutani susidomėjo šia problema; jis pasakys: “Maždaug mėnesįvisi Yale’o (Universitete) dirbo su ja, ir jokių rezultatų. Panašiai atsitiko, kai ašją paminėjau Chicago’s Universitete. Buvo juokaujama, kad ši problema buvo dalissąmokslo sulėtinti matematikos vystymąsi JAV.” (žr. [84])X

1. MATĄ IŠSAUGANČIOS TRANSFORMACIJOS 33mato µ invariantiškumas yra viso labo rezultatų dabar ir vienu laikovienetu vėliau vidurkių lygybė.Metrinių erdvių atveju pakanka įrodyti sąlygą tik tolydžioms funkcijomsf. Implikacija į vieną pusę tada seks iš vėliau pateikto įrodymo,atvirkštinis teiginys—iš Hahn’o-Banach’o ir Riesz’o [109] reprezentacijosteoremų.Įrodymas. Tarkime, (3.2) galioja. Tarkime, A yra mati aibė irpažymėkime χ A jos (mačią) indikatorinę funkciją. Tada∫ ∫∫µ(A) = χ A dµ = χ A ◦ T dµ = χ T −1 Adµ = µ(T −1 A).XXTaigi T yra matą išsauganti.Dabar tarkime, kad T yra išsauganti matą. Tada (3.2) galioja tametarpe ir indikatorinėms funkcijoms, ir iš to seka, jog taip pat irpaprastoms funkcijoms. Dabar tarkime, kad f ≥ 0 ir (f n ) yra konverguojantimačių paprastų funkcijų seka su riba f. Tada lim n→∞ f n ◦T =f ◦ T . Pritaikę Lebesgue’o teoremą 2.1 apie dominuotą konvergavimą,su g n = f n ◦ T ir g n = f n taip pat, mes gauname∫∫f ◦ T dµ = limn→∞X∫f n ◦ T dµ = limn→∞∫f n dµ =fdµ,kur mes pasinaudojome (3.2) priešpaskutiniame žingsnyje paprastomsfunkcijoms. Pagal išskaidymą (2.3), teiginys seka bet kokioms realiomsfunkcijoms f; kompleksines f galima nagrinėti atskyrus realiąsias irmenamąsias dalis (tuo pačiu būdu, kaip Teoremos 1.4 įrodyme). □TadaPavyzdys 7): Tarkime, T : R → R yra apibrėžta T 0 = 0 irT x = 1 (x − 1 )su x ≠ 0.2 xT −1 (α, β) = (α− √ α 2 + 1, β − √ β 2 + 1)∪(α+ √ α 2 + 1, β + √ β 2 + 1),taigi T yra mati. Bet kokiai integruojamai ( ) pagal Lebesgue’ą funkcijaif, dėl pakeitimo τ = T x, dτ = 1 2 1 +1x mes randame, jog2∫ +∞−∞∫dx +∞f(T x)1 + x = dτf(τ)2 1 + τ . 2Taigi iš Teoremos 3.1 seka, jog T yra matą išsauganti tikimybinio matoP atžvilgiu, apibrėžto taip:(3.3) P((α, β)) = 1 π−∞∫ βαdτ1 + τ 2 .Kitu būdu, mes galime naudoti sumos teoremąarctan(x + √ x 2 + 1 + arctan(x − √ x 2 + 1) = arctan(x).

34 3. MATO INVARIANTIŠKUMAS IR ERGODIŠKUMASIš tikrųjų, transformacija T kilo iš Newton’o iteracijos, pritaikytosfunkcijai f(x) = x 2 + 1. Čia Newton’o iteracija yra išreikšta šitaip:x n+1 = x n − f(x n)f ′ (x n ) ↔ T x = x − x2 + 1= 1 (x − 1 ).2x 2 xJei egzistuotų f realus nulis, tai skaičių x n seka konverguotų, tačiau kadangirealiam x f(x) ≠ 0, tai iteracija diverguoja. Taip pat ji yra įdomiatsitiktinė transformacija (kurią mes vėl sutiksime šeštame skyriuje).Už šį pavyzdį turime būti dėkingi Lind’ui (žr. [30]).2. Ergodiškumas ir sumaišymasDabar nagrinėkime tikimybinę erdvę (X, F, µ). Sakoma, kad išsaugantimatą transformacija T : X → X yra ergodinė µ atžvilgiu,jei bet kuriai mačiai aibei A su T −1 A = A, galioja arba µ(A) = 0,arba µ(A) = 1. Šiuo atveju ketvertą (X, F, µ, T ) vadiname ergodinedinamine sistema. Taigi ergodiškumas reiškia, kad kiekviena mati Tinvariantinė aibė yra arba nulinio, arba pilno mato. 4Teorema 3.2. Tarkime, kad T yra matą išsauganti transformacija.Sekantys teiginiai yra ekvivalentūs:(1) T yra ergodinė;(2) µ(B) = 0 arba = 1 visoms B ∈ F su µ(T −1 B∆B) = 0;(3) µ( ∪ n T −n A) = 1 visoms A ∈ F su µ(A) > 0;(4) visoms A, B ∈ F su µ(A) > 0 ir µ(B) > 0, egzistuos kažkoksn ∈ N toks, kad µ(T −n A ∩ B) > 0.Jei T yra apgręžiama, mes galime pakeisti T −n su T n šiose ergodiškumosąlygose. Mes norime pateikti keletą pastabų. Sąlyga (iii)teigia, kad kai tik A turi teigiamą matą, tai bet koks x ∈ X galiausiai“aplankys” A naudojant T (netgi be galo dažnai), kai tuo tarpu sąlyga(iv) parodo, kad bet koks B elementas beveik visada “aplankys” Anaudojant T , jei tik B turi teigiamą matą.Įrodymas. (i) ⇒ (ii): Mes tariame, kad B yra mati su µ(T −1 B∆B) =0 ir kad T yra ergodinė. Mes pažymime viršutinę ribą∞∩ ∞∪C := T −n B.Su m ∈ N 0 mes turimeB∆m=0 n=m∞∪T −n B ⊂n=,∞∪n=mB∆T −n B.4 Tikimybių teorijoje taip vadinamų 0–1 pasiskirstymų žinoma daug (pradedantKolmogorov’o, Borel’io darbais).

Dabar2. ERGODIŠKUMAS IR SUMAIŠYMAS 35B∆T −n B ⊂n−1∪k=0T −k B∆T −(k+1) Bir kadangi pagal prielaidą aibė dešinėje pusėje turi nulinį matą, seka,kad µ(B∆T −n B) = 0 su visais n ∈ N. Dabar tarkime, kad∞∪C m = T −n B,taigi C m yra įdėti vienas į kitąn=mC 0 ⊃ C 1 ⊃ C 2 ⊃ . . . .Dar daugiau, µ(C m ) = µ(B) bet kokiam m ∈ N. Iš to seka, kadµ(C∆B) = 0 ir µ(C) = µ(B), atitinkamai. Taip pat mes turime∞∩ ∞∪∞∩ ∞∪T −1 C = T −(n+1) B = T −n B = C.m=0 n=mm=0 n=m+1Pagal prielaidą, µ(C) = 0 arba µ(C) = 1. Atsižvelgiant į mūsų buvusiuspastebėjimus, galime daryti išvadą, kad arba µ(B) = 0, arbaµ(B) = 1.(ii) ⇒ (iii): Dabar tarkime, kad mums duota aibė A tokia, kadµ(A) > 0 ir leiskime B = ∪ ∞n=1 T −n A. Tada∞∪T −1 B = T −n A ⊂ B.n=2Kadangi T išsaugo matą, seka, kad µ(T −1 B) = µ(B), taigiµ(B∆T −1 B) = µ(B) − µ(T −1 B) = 0.Iš to seka, kad µ(B) = 0 arba µ(B) = 1. Kadangi T −1 A ⊂ B irµ(A) > 0, pagal monotoniškumą seka, kad µ(B) = 1.(iii) ⇒ (iv): Tarkime, kad tiek A, tiek B yra teigiamo mato aibės.Pagal sąlygą (iii),( ∞)∪µ T −n A = 1,taigin=1( ∞)∪0 < µ(B) = µ B ∩ T −n A ≤n=1∞∑µ(B ∩ T −n A).Mes būtent turime, kad egzistuoja kažkoks n su µ(B ∩ T −n A) > 0.(iv) ⇒ (i): Tarkime, kad A yra aibė su T −1 A = A. Tadan=10 = µ(A ∩ X\A) = µ(T −n A ∩ X\A)bet kokiam n ≥ 1. Taigi iš sąlygos (iv) seka, kad µ(A) = 0 arbaµ(X\A) = 0, taigi atitinkamai µ(A) = 1 − µ(X\A) = 1□

36 3. MATO INVARIANTIŠKUMAS IR ERGODIŠKUMASDabar mes įrodysime ergodiškumo kriterijų, tinkamą praktinėmsreikmėms:Teorema 3.3. Tarkime, kad T yra matą išsauganti transformacija.Šie teiginiai yra ekvivalentūs:(1) T yra ergodinė;(5) jei f yra mati funkcija, tokia, kad f(T x) = f(x) (beveik)visiems x, tai f yra konstanta (beveik) visur.(6) jei f ∈ L 2 (X, F, µ) su f(T x) = f(x) (beveik) visiems x, tai fyra konstanta (beveik) visur.Sąlygose (v) ir (vi) mes galime tarti, kad f(T x) = f(x) visiems arbeveik visiems x ∈ X; dėl to, kad galime nepaisyti nulinio mato aibiųLebesgue’o integravimui, šie teiginiai yra ekvivalentūs.Įrodymas. (i) ⇒ (ii): Tarkime, kad T yra ergodinis ir f : X → Cyra mati ir tenkina f(T x) = f(x) beveik visiems x. Kadangi tai lemiatą patį tiek realiajai, tiek menamajai f daliai individualiai, tai galimetarti, jog f reikšmės yra realios. Su k ∈ Z ir n ∈ N, tarkimeTadaA k n = {x ∈ X : f(x) ∈ [k/n, (k + 1)/n)}.T −1 A k n∆A k n ⊂ {x ∈ X : f ◦ T (x) ≠ f(x)}.Kadangi aibės dešinėje pusėje matas yra nulinis, iš Teoremos 3.2, (ii),galime daryti išvadą, kad µ(A k n) ∈ {0, 1}. Bet kokiam n, aibė X yranejungių aibių A k n sąjunga, t.y., X = ∪ k∈Z Ak n. Taigi egzistuoja vienintelisteigiamas sveikasis skaičius k(n) (priklausantis nuo n) toks, kadµ(A k(n)n) = 1. Dabar tarkimeY =∞∩n=1A k(n)n .Tada µ(Y ) = 1 ir f yra konstanta virš Y . Kadangi yY turi pilną matą,f yra konstanta beveik visur.Implikacija (v) ⇒ (vi) yra triviali, taigi belieka įrodyti (vi) ⇒ (i):tarkime, kad T −1 A = A su mačia tegiamo mato aibe A, tada mumsreikia parodyti, kad µ(A) = 1. Su A indikatoriaus funkcija mes pastebimeχ A ◦ T = χ T −1 A = χ A . Pagal prielaidą, χ A yra konstanta beveikvisur, taigi χ A (x) = 1 beveik visiems x. Iš to seka, kad µ(A) = 1.Teorema įrodyta.□Taikymams mes studijuojame du matą išsaugančių transformacijųpavyzdžius iš praeito skyrelio ergodiškumo atžvilgiu. Abu atvaizdžiaiyra apibrėžti naudojant periodiškumą. Dėl to naudojama kriterijų (vi)iš aukščiau kartu su Fourier analize. Prisiminkime, kad bet kokia L 2 -funkcija gali būti išreikšta savo Fourier eilute (kas yra įrodyta, pvz.,[109]).

2. ERGODIŠKUMAS IR SUMAIŠYMAS 37Pavyzdys 1): posūkis apskritimu R θ : [0, 1) → [0, 1), x ↦→ x + θmod 1 aprašo trupmeninių dalių pasiskirstymą realių skaičių sekos x n =xθ + β su β = R θ 0. Iš Išvados 1.5 seka, jog seka (nθ) yra tolygiaipasiskirsčiusi moduliu vienetas tada ir tik tada, jei θ yra iracionalus.Analogiškai tas pats teiginys teisingas pastumtoms sekoms (nθ + β)nepriklausomai nuo β. Sekanti teorema parodo, kad tai iš tiesų yraergodiškas reiškinys:Teorema 3.4. Posūkis apskritimu R θ yra ergodiškas Lebesgue’omato atžvilgiu tada ir tik tada, kai θ yra iracionalus.Įrodymas. Tarkime, θ = p/q yra racionalus. Tada x ↦→ e(qx) =exp(2πiqx) apibrėžia nepastovią, R θ invariantinę funkciją:e(qR θ x) = exp(2πiq(x + p/q)) = exp(2πiqx) exp(2πip) = e(qx).Atsižvelgiant į Teoremą 3.3, sąlygą (v), gauname, jog R θ nėra ergodinė.Tarkime, kad θ yra iracionalus. Tarkime,(3.4) f(x) = ∑ n∈Zc n e(nx)pažymi R θ invariantinės funkcijos f ∈ L 2 Fourier eilutę. Tadaf(x) = f(R θ x) = f(x + θ) = ∑ n∈Zc n e(nθ)e(nx),ir, remiantis Fourier skleidinio vienatimi, c(n) = c n e(nθ), atitinkamaic n (1 − e(nθ)) = 0 su n ∈ Z.Iš n ≠ 0 dėl θ iracionalumo seka, kad e(nθ) ≠ 1, taigi c n = 0. Išto seka, kad f(x) = c 0 yra konstanta ir iš Teoremos 3.3, sąlygos (vi),darome išvadą, jog R θ yra ergodinė.□(Dėl įrodymo nenaudojant Fourier teorijos, mes nurodome į [45].)Pavyzdys 2): Nagrinėkime padvigubinantį atvaizdį T : [0, 1) →[0, 1), x ↦→ 2x mod 1. Kaip ir prieš tai ėjusiame įrodyme, mes pradedameT -invariantine funkcija f ∈ L 2 su Fourier skleidiniu 3.4. Tadaf(x) = f(T x) = ∑ n∈Zc n e(2nx).Sulyginę koeficientus, mes gauname c n = c 2n . Pagal Parseval’io tapatybę(žr. [109])∥f∥ 2 2 =∫ 10|f(x)| 2 dx = ∑ n∈Z|c n | 2 < +∞.Taigi visi c n su n ≠ 0 virsta nuliumi, ir pagal Teoremą 3.3, (v), seka Tergodiškumas. Šis samprotavimas gali būti pratęstas ir toro automorfizmams:

38 3. MATO INVARIANTIŠKUMAS IR ERGODIŠKUMASTeorema 3.5. Tarkime, A ∈ Z d×d yra matrica irT ϕ : T d → T d , ϕ(x) = Ax mod 1su x ∈ T d . Tada T ϕ yra ergodinė tada ir tik tada, jei tarp A tikriniųreikšmių nėra vieneto šaknies.Būtent, atvaizdis x ↦→ x mod 1 nėra ergodinis (kas, be abejo, yratrivialu). Bendro teiginio įrodymas nėra daug sudėtingesnis, nei atskirasatvejis, nagrinėtas aukščiau. Dėl detalių, mes nurodome į [32, 30].Artimas ergodiškumo “giminaitis” yra sumaišymo sąvoka. Sakoma,kad transformacija T yra stipriai sumaišanti jei visiems A, B ∈ F,lim µ(A ∩ T −n B) = µ(A)µ(B).n→∞Iš kitos pusės, T yra silpnai sumaišanti, jei1 ∑lim |µ(A ∪ T −n B) − µ(A)µB| = 0.n→∞ N0≤nNAkivaizdu, kad galioja šitokie įdėjimai:stipriai sumaišanti ⇒ silpnai sumaišanti ⇒ ergodinė.Stipriai sumaišančio proceso pavyzdys yra Kepėjo transformacija b. Iškitos pusės, posūkiai apskritimu R θ su iracionaliu θ yra ergodiniai betne stipriai sumaišantys. Silpnai bet ne stipriai sumašančių tranformacijųpavyzdžiai buvo pateikti Kakutiani’o [67]Dėl kitokių sumaišymo sąvokų, Halmos’as [51] rado šitokį intuityvųkokteilio pavyzdį: duotas puodas su 90 proc. džino ir 10 proc. vermuto.Pakankamai ilgai juos maišant, abu skysčiai susimaišys į vieną gėrimą,kurio bet kokia Borel’io aibė turės tą pačią džino ir vermuto proporciją.PratimaiTobulumui reikia praktikos. Kadangi matematika nėra sportas žiūrovams,visada geriausia nagrinėti naują teoriją pavyzdžiais.Pratimas 3.1. Patikrinkite visus aukščiau pateiktus teiginius apiei) T G ir G-praplėtimą, ir ii) Kepėjo transformaciją.Dabar mes pateikiame atvirkštinius uždavinius: kaip aptikti ergodiškumąir ar matas, asocijuotas su ergodine transformacija, yra vienintelis?Tai yra du sudėtingi klausimai, kaip galima įsitikinti iš sekančiouždavinioPratimas 3.2. Apibrėžkime tranformaciją T taip, kad galiotų T 0 =0 ir T x = {1/x} su x ∈ (0, 1). Pabandykite atrasti matą µ virš [0, 1)tokį, kad T būtų matą išsauganti µ atžvilgiu. Taip pat įrodykite, kadLebesgue’o matas yra vienintelis, kurio atžvilgiu posūkis apskritimu R θbūtų ergodinis. Patarimas antrai užduočiai: naudokite apskritimo grupėscharakterius x ↦→ e(mx), m ∈ Z.

2. ERGODIŠKUMAS IR SUMAIŠYMAS 39Kai duota transformacija T ir σ-algebra, galil būti daug ergodiniųmatų T atžvilgiu. Jei tėra vienintelis ergodinis matas, tai T vadinamasvieninteliu ergodiniu.Sekantys pratimai duos patirties dirbant su naujomis idėjomis irtechnikomis:Pratimas 3.3. Tarkime, (X, F, µ) yra mato erdvė ir T : X → Xyra matus atvaizdis. Parodykite, kad visos T -invariantinės aibės sudaroσ-algebrą.Pratimas 3.4. Tarkime, m > 1 yra teigiamas sveikas skaičiusir pažymėkime X = Z/mZ liekanų klasių mod m žiedą. Taip pattarkime F = B(X) ir pažymėkime µ tolygų pasiskirstymą virš X.Galiausiai, kiekvienam b ∈ {1, 2, . . . , m} suteikimeT b : X → X, x ↦→ x + b mod m.Įrodykite, kad i) T b yra matą išsauganti ir ii) (X, F, µ, T b ) yra ergodinėtada ir tik tada, kai b ir m yra santykinai pirminiai.Pratimas 3.5. Įrodykite visus teiginius apie sumaišymą ir ergodiškumąbei jų hierarchiją.* * *Mūsų sekantis tikslas yra ergodinės teoremos. Birkhoff’as [20] rašė:Tai, ką ergodinė teorema reiškia, grubiai tariant, yratai, kad diskrečiai matą išsaugančiai transformacijaiar matą išsaugančiam baigtinio tūrio srautui, tikimybėsir svoriniai vidurkiai konverguoja į ribas, kai mespradedame tam tikra būsena P (nepriklausančia galimaiišimtinei nulinio mato aibei), ir, dar daugiau,ribinė reikšmė yra ta pati abiems kryptimis.Pagal Billinsley [17], yra lengvas tikimybinis ergodinės teoremos įrodymas:jei T yra sumaišantis ir A yra mati aibė, tada 1/N ∑ 0≤n

40 3. MATO INVARIANTIŠKUMAS IR ERGODIŠKUMASo tai artėja į nulį kai N → ∞ pagal aritmetinių vidurkių teoremąkonverguojančioms sekoms. Taigi iš Chebyshev’o nelygybės seka, kad1/N ∑ 0≤n

SKYRIUS 4Klasikinės ergodinės teoremosStatistinėje mechanikoje studijuojamas didelis skaičius dalelių, kuriųvieta ir momentai apsprendžiami Hamilton’o lygtimi duotam Hamiltonianui.Šių dalelių trajektorijos gali būti laikomos srautu fazinėjeerdvėje. Nagrinėti srautą vietoj atskirų dalelių buvo Boltzmann’o idėja.Savo 1871 m. ergodiškumo hipotezėje jis teigia, kad laiko, kurį betkuri duota orbita praleidžia tam tikroje aibėje, vidurkis yra lygus šiosaibės matui. Iš šio teiginio galima daryti išvadą apie ekvivalentiškumąvidurkio pagal sistemos trajektoriją (graikiškai odos) ir vidurkio visųgalimų vienodos energijos (graikiškai ergon) būsenų vidurkio. 1879 m.Maxwell’as teigė, kad bet kokia sistema bet kokioje būsenoje, anksčiauar vėliau, pateks į bet kurią galimą būseną atsižvelgiant į fizikines sąlygas.1890 m. Poincaré atrado, kad reikalauti, jog trajektorija aplakytųbet kurį tašką fazinėje erdvėje fizikinių sąlygų atžvilgiu yra per dauggriežta, taigi apribojanti ergodinė hipotezė yra neteisinga. 1 Iš tikrųjų,Poincaré suformulavo silpną ergodinę hipotezę, kuri teigia, jog trajektorijakaip norima arti priartėja prie bet kokio fazinės erdvės taško(tačiau trajektorija nebūtinai aplanko šį tašką). Ergodinės teoremos,pateikiamos žemiau, patvirtina šią silpną ergodinę hipotezę, taigi josgali būti laikomos statistinės mechanikos matematiniu pagrindimu. 21. Von Neumann’o vidurkinė ergodinė teoremaPirmoji ergodinė teorema buvo rasta John’o von Neumann’o [96](nors jo rezultatas buvo publikuotas vieneri metai po Birkhoff’o teoremos,kuri bus aptarta kitame skyriuje).Teorema 4.1. Tarkime, kad (X, F, µ) yra tikimybinė erdvė ir T :X → X yra matą išsauganti. Tada funkcijoms f, g ∈ L 2 (X, F, µ), riba1 ∑∫f(T n x)g(x)dµ(x)N0≤n

42 4. KLASIKINĖS ERGODINĖS TEOREMOSegzistuoja, kai N → ∞; jei T yra ergodinė, tada1 ∑∫∫(4.1) limf(T n x)g(x)dµ(x) =N→∞ N0≤n

2. BIRKHOFF’O PATAŠKINĖ ERGODINĖ TEOREMA 43Deja, bendru atveju tokio f išskaidymo nėra. Tačiau su visais pakankamaimažais ϵ > 0 mes galime rasti funkcijas f 1 ∈ I ir f 2 ∈ Jtokias, kad∫∥f − (f 1 + f 2 )∥ 2 2dµ < ϵ;Xiš to seka, kad f 1 + f 2 aproksimuoja funkciją f kvadrato vidurkio prasme.Panašiai, kaip f = f 1 + f 2 atveju, seka1 ∑∫∫ ∫limf(T n x)g(x)dµ(x) = fdµ gdµ.N→∞ NX X0≤n

44 4. KLASIKINĖS ERGODINĖS TEOREMOSBirkhoff’o originalus straipsnis [19] nagrinėja tik indikatorinių funkcijųatvejį. Aleksandr’as Khintchine’as [71] praplėtė Birkhoff’o rezultatąintegruojamoms funkcijoms f virš baigtinės mato erdvės. Dėlšios priežasties kai kur literatūroje šis rezultatas dar taip pat vadinamasBirkhoff’o-Khintchine’o teorema. Kitas pavadinimas, kurį galimarasti, yra pataškinė ergodinė teorema. Ji parodo, kad vidurkis pagallaiką (4.3) funkcijos f pagal orbitą {T n x} lygus beveik visiems x funkcijosf erdvės vidurkiui (paimtą virš visos erdvės X). Iš čia galimagauti pakankamai tikslius spėjimus, nors ir nelabai daug žinoma apief ar T : sąlygos, kad f ∈ L ir T yra matą išsauganti, yra pakankamaisilpnos. Šia prasme Birkhoff’o ergodinė teorema įgalina numatyti būsimąf reikšmę pagal trajektoriją praktiškai nieko nežinant! Pavyzdžiui,jei M ⊂ X yra išmatuojama ir f = χ M , visų T n x aplankytų vietų vidurkisaibėje M beveik visoms pradinėms x reikšmėms lygus M matui,jei T yra ergodinė. Ergodiškumas užtikrina tolygų pasiskirstymą!Mes įrodinėjame remdamiesi Kamae ir Keane’u [68]:Įrodymas. Mes įrodysime teiginį neneigiamoms realioms funkcijoms;bendras atvejis seks standartiniu būdu naudojant f = f + − f −su neneigiamomis f + , f − (žr. (2.2)) bet kokioms realioms ar kompleksinėmsfunkcijoms nagrinėjant realiąją ir menamąją dalį atskirai. Taigitarkime, kad f ≥ 0. Mes apibrėžiamef N (x) =∑f(T n x)ir taip patf(x) = lim supN→∞f N (x)N0≤n

2. BIRKHOFF’O PATAŠKINĖ ERGODINĖ TEOREMA 45Tarkime, ϵ ∈ (0, 1) ir L > 0 yra duoti. Pagal f apibrėžimą, betkokiam x ∈ X egzistuoja teigiamas sveikasis skaičius m toks, kadf m (x)m≥ (1 − ϵ) min{f(x), L};tiesą sakant, ši nelygybė galioja nepriklausomai nuo L (panašu, kadsu kitu m). Bet kokiam duotam δ > 0, mes toliau randame tegiamąsveikąjį skaičių M tokį, kad aibėX + := {x ∈ X : ∃1 ≤ m ≤ M su f m (x) ≥ m(1 − ϵ) min{f(x), L}}turi matą didesnį ar lygų 1 − δ. Toliau apibrėžiame{f(x) jei x ∈ X + ,˜f(x) =L kitu atveju.Iš to seka, kad f ≤ ˜f; kad tuo įsitikintume, tarkime x ∈ X\X + , todėlf m (x) < m(1 − ϵ) min{f(x), L},o iš to seka f ≤ L. Su x ∈ X ir n ∈ N 0 , tarkimea n := a n (x) := ˜f(T n x) ir b n := b n (x) := (1 − ϵ) min{f(x), L}.Mes teigiame, kad bet kokiam n ∈ N 0 egzistuoja teigiamas sveikasisskaičius 1 ≤ m ≤ M, tenkinantis(4.7) a n + . . . + a n+m−1 ≥ b n + . . . + b n+m−1 .Kad tai įrodytume, pirma tarkime, kad T n x ∈ X + . Tada egzistuoja1 ≤ m ≤ M toks, kadf m (T n x) ≥ m(1 − ϵ) min{f(T n x), L}= m(1 − ϵ) min{f(x), L} = b n + . . . + b n+m−1 ,čia mes panaudojome f T -invariantiškumą. Taigia n + . . . + a n+m−1 = f(T n x) + . . . + f(T n+m−1 x)f(T n x) + . . . + f(T n+m−1 x) = f m (T n x)b n + . . . + b n+m−1 .Jei T n x /∈ X + , mes galime paimti m = 1, nesa n = ˜f(T n x) = L ≥ (1 − ϵ) min{f(x), L} = b n .Todėl mūsų teiginys apie (4.7) įrodytas.Atsižvelgiant į (4.7), bet kokiam teigiamam sveikajam skaičiui N >M egzistuoja rekursiškai apibrėžiami sveikieji skaičiai m 0 < m 1 < . . .

46 4. KLASIKINĖS ERGODINĖS TEOREMOSm k < N, tenkinantys 1 ≤ m 0 ≤ M, m j+1 −m j ≤ M su j = 0, 1, . . . , k−1 ir taip pat N − m k ≤ M ira 0 + . . . + a m0 −1 ≥ b 0 + . . . + b m0 −1,a m0 + . . . + a m1 −1 ≥ b m0 + . . . + b m1 −1,· · ·a mk−1 + . . . + a mk −1 ≥ b mk−1 + . . . b mk −1.Sudėję šias nelygybes, gauname(4.8)a 0 + . . . + a N−1 ≥ a 0 + . . . + a mk −1≥ b 0 + . . . + b mk −1 ≥ b 0 + . . . + b N−M−1 .Pastebėkime, kad skaičiai b n visi nepriklauso nuo n. Pakeitę paskutiniąsiasnelygybes, gauname∑˜f(T n x) ≥ (N − M)(1 − ϵ) min{f(x), L}.0≤NSuintegravę, gauname∑∫∫˜f(T n (x)dµ(x) ≥ (N − M)(1 − ϵ)0≤n

2. BIRKHOFF’O PATAŠKINĖ ERGODINĖ TEOREMA 47Pritaikę monotoninio konvergavimo Teoremą 2.2 su g L = min{f, L} irL → ∞, mes galime sukeisti ribą ir integravimą:∫∫ () ∫lim min{f, L}dµ = lim min{f, L} dµ = fdµ.L→∞L→∞TaigiX∫XX∫fdµ ≥Xfdµ.Tai yra pirma nelygybė (4.6).Tam, kad įrodytume antrą nelygybę (4.6), mes pradedame panašiai,kaip aukščiau: bet kokiam ϵ > 0 ir bet kokiam x ∈ X, egzistuojateigiamas sveikasis skaičius m, tenkinantisf m (x)≤ f(x) + ϵ.mBet kokiam δ > 0 mes galime rasti teigiamą sveikąjį skaičių M tokį,kadX − := {x ∈ X : ∃1 ≤ m ≤ M su f m (x) ≤ m(f(x) + ϵ)}turėtų matą mažiausiai 1 − δ. Dabar apibrėžkime{f(x) jei x ∈ X − ,ˆf(x) =0 kitu atveju.Tada ˆf ≤ f ir tarus b n = ˆf(T n x) ir a n = f(x) + ϵ (šį kartą nepriklausomainuo n), mes darome analogišką išvadą (4.7) ir (4.8), kad∑ˆf(T n x) ≤ N(fdµ + ϵN.0≤n 0,kuriam ˜µ < δ, kai tik µ(A) ≤ ˜δ. Taigi iš µ(X\X − ) < δ seka, kad∫ ∫ ∫fdµ = ˆfdµ + fdµ ≤N ∫(f + ϵ)dµ +XXX\X −N − M˜δ.XPirmiausia tarus N → ∞, tada δ → 0 (ir taip pat ˜δ → 0) ir galiausiaiϵ → 0, gauname ∫∫f(x)dµ ≤ f(x)dµ(x).Taigi, (4.6) įrodyta.XAXXX

48 4. KLASIKINĖS ERGODINĖS TEOREMOSBelieka įrodyti (4.5) atveju, kai T yra ergodinė. Pagal Teoremą3.3, (v), funkcija f ∗ yra konstanta beveik visur, taigi f ∗ (x) = c beveikvisiems x ∈ X. Iš to seka∫ ∫c = f ∗ dµ = fdµ.Teorema įrodyta.XPriešingai, nei von Neumann’as su savo funkciniu metodu, Birkhoff’aspasirinko erdvės su matu sąvoką savo ergodinei teoremai, o taileido jam gauti praktiškesnį rezultatą. Svarbūs abiejų ergodinių teoremųapibendrinimai buvo gauti Hopf’o, Yosida’os ir Kakutani’o, o taippat ir Wiener’ioir Wintneri’o [131], Hurewicz’iaus [60] ir, dar bendriau,Chacon’o ir Ornstein’o [28] (ar atitinkamai [39]).Konvergavimo greitis Birkhoff’o Teoremoje 4.2 gali būti pakankamailėtas (kaip pavaizduota vėliau). Galima įrodyti, kad konvergavimogreičio bendru atveju negalima suskaičiuoti (žr. [81]). Neseniai Kohlenbach’asir Leuştean’as [75] gavo skaitinę Teoremos 4.2 versiją tolygiaiiškiloms Banach’o erdvėms naudodami modelių teorijos techniką (būtentGödel’io funkcinę interpretaciją); taip pat žr. Avigad ir kt. [8]šiame konteksteX□0.60.60.60.40.40.40.20.20.200n100000n100000n10001 pav.. Iš kairės į dešinę: padvigubinimas T x = 2x mod1, logistinė transformacija lx = 4x(1−x), ir T x = {1/x},tai vaidins pagrindinį vaidmenį kitame skyriuje.Kaip pirmą Birkhoff’o ergodinės teoremos taikymą, mes išvesimeergodiškumo charakterizavimą naudojant mato teoriją:Teorema 4.3. Tarkime, (X, F, µ) yra tikimybinė erdvė ir T : X →X yra matą išsauganti µ atžvilgiu. Tada T yra ergodinė tada ir tik tada,kad visoms A, B ∈ F galioja1(4.9) limN→∞ N∑0≤n

2. BIRKHOFF’O PATAŠKINĖ ERGODINĖ TEOREMA 49Įrodymas. Tarkime, kad T yra ergodinė. Pritaikę Birkhoff’o ergodinęteoremą 4.2 indikatorinei funkcijai f = χ A , gauname1 ∑∫(4.10) lim χ A (T n x) = χ A dµ = µ(A)N→∞ Nbeveik visiems x. Taigi1 ∑limN→∞ N0≤n

50 4. KLASIKINĖS ERGODINĖS TEOREMOSKadangi duotas vidurkinės ergodinės teoremos įrodymas galbūt yrapernelyg bendras, gera pradžia būtų užpildyti spragas:Pratimas 4.1. Pabaikite von Neumann’o Ergodinės Teoremos 4.1įrodymą (galbūt su [103] pagalba) ir išveskite (4.2). Taip pat parodykite,kad funkcijoms f ∈ L p su 1 ≤ p < ∞ (4.2) konvergavimas gali būtipakeistas tokiu pačiu teiginiu p-normos atžvilgiu su riba f ∗ ∈ L p .Von Neumann’o ir Birkhoff’o ergodinės teoremos yra glaudžiai susijusios:Pratimas 4.2. Išveskite von Neumann’o ergodinę teoremą 4.1 susvorio funkcija g ≡ 1 iš Birkhoff’o teoremos 4.2 šiuo būdu: duotaifunkcijai h ∈ L ∞ , apibrėžkite1H = limN→∞ N∑0≤n

2. BIRKHOFF’O PATAŠKINĖ ERGODINĖ TEOREMA 51X, tada ∫ ∫|f(T n x)|dndx =∫ ∫∫ ∫=|f(T n x)|dxdn∫|f(x)|dxdn =|f(x)|dx < ∞,pagal Fubini’o teoremą. Taigi f(T n x) yra integruojama dviejų kintamųjųfunkcija ir todėl beveik visiems x integruojama n funkcija. Altenatyvus,bet ne visai rimtas samprotavimas gali būti rastas [51], psl.24. Kurios dalys yra matematiškai korektiškos ir kurios ne?Kaip sakyta, ergodinės teoremos apibendrina tolygaus pasiskirstymosąvoką. Pavyzdžiui, mes galime išvesti daug pirmo skyriaus rezultatųper ergodinę teoriją:Pratimas 4.5. Pritaikykite Birkhoff’o ergodinę teoremą 4.2 apskritimorotacijai ir pateikite alternatyvų Išvados 1.5 įrodymą.* * *Birkhoff’as [20] jau pateikė savo ergodinės teoremos taikymą trijųkūnų žemė-saulė-mėnulis problemai. 3 Nuo tada buvo rasta daugakivaizdžių ir neakivaizdžių ergodinės teorijos taikymų. Sekančiameskyriuje mes pateiksime du klasikinius pavyzdžius.3 ir iškiliems biliardams taip pat!

SKYRIUS 5Dangiški ir paprasti taikymaiMes jau minėjome, kad ergodinės teorijos pradžia siekia Poincaréir jo dangaus kūnų tyrimus. Šiame skyriuje mes įrodysime jo garsiąjąrekurencijos teoremą, kuri, be abejo, gali būti įrodyta ir be ergodiškumosąvokos (ji atsirado tik po trisdešimties metų), tačiau mes taip patpamatysime, kad ergodiškumas įgalina tolesnes įžvalgas. Dar daugiau,mes pateiksime kitą Birkhoff’o ergodinės teoremos taikymą, kuris šaliaWeyl’o darbų apie tolygų pasiskirstymą moduliu vienetas gali būti taippat interpretuojamas kaip pagrindinis, būtent Borel’io teorema apienormaliuosius skaičius. Čia mes aptarsime klausimus, tokius kaip dažnaiskaitmuo 7 pasitaiko π dešimtainiame skleidinyje. Skaitytojas galibandyti spėti…1. Poincaré rekurencijos teoremaAr mūsų saulės sistema stabili? Dviejų kūnų erdvėje dinamika veikiantgravitacijai yra aprašyta Kepler’io dėsnių. Savo 270 puslapiųdarbe [101] Henri Poincaré išsprendė dalį trijų kūnų problemos, tai yramatematinis trijų kūnų, veikiamų gravitacijos, orbitų aprašymas. ŠisPoincaré metodas padėjo pagrindus chaotinio judėjimo ir invariantiniųintegralų tyrimui. Savo didžiajame darbe [102], susidedančiame iš trijųtomų, Poincaré paruošia pagrindus matematinei ergodinei teorijai.Šiame darbe pateikta jo garsioji rekurencijos teorema.Priš formuluodami ir įrodydami šį nuostabų rezultatą, pirma mesturime praplėsti savo žodyną. Tegu T yra matą išsauganti transformacijavirš tikimybinės erdvės (X, F, µ) ir tegu A yra mati aibė. Sakoma,kad taškas x ∈ A yra A-rekurentus, jei egzistuoja teigiamas sveikasisskaičius n, su kuriuo T n x ∈ A. Rekurencijos sąvoka vaidina esminįvaidmenį topologinėje dinamikoje. Čia yra Poincaré rekurencijos teorema:Teorema 5.1. Tarkime, kad T : X → X yra matą išsaugantitransformacija virš tikimybinės erdvės (X, F, µ) ir tegu A yra mati suµ(A) > 0. Tada beveik visiems x ∈ A trajektorija {T n x} sugrįš į A begalo dažnai, būtent, x yra beveik tikrai A-rekurentinis.Beveik tikram rekurentiškumui ekvivalentus yra begalinės eilutės∑ ∞n=0 χ A(T n x) divergavimas beveik visiems x. Šis formulavimas mumsprimena apie beveik tikrą tapatybę (4.10) iš Teoremos 4.3 įrodymo. Iš53

54 5. DANGIŠKI IR PAPRASTI TAIKYMAItikrųjų, iš Birkhoff’o ergodinės teoremos iš karto seka:1 ∑∫lim χ A (T n x) = χ A dµ = µ(A).N→∞ N0≤n 0,tada( ) ∪∞∑1 = µ(X) ≥ µ T −n B = µ(B) = +∞,n∈N 0 n=0prieštara. Iš čia seka A-rekurentiškumas beveik visiems x ∈ A. Būtent,beveik visi x sugrįš į A be galo dažnai. Kad tai pamatytume,apibrėžkimeTadaC = {x ∈ A : T n x ∈ A baigtiniam kiekiui n ∈ N}.C = {x ∈ A : T n x ∈ B kai kuriems n ∈ N 0 }X∞∪T −n B.Kadangi µ(B) = 0 ir T yra matą išsauganti, seka, kad µ(C) = 0.Poincaré rekurencijos teoremos formulavimas ir įrodymas gali būtiintepretuojamas kaip karvelių lizdų principas mato teorijoje (žr. Skyrių1). Kita samprotavimų dalis primena Vitali’o mato problemos neigiamąsprendimą.n=0□

1. POINCARÉ REKURENCIJOS TEOREMA 55Rekurentiškumo savybė yra glaudžiai susijusi su bagtinio mato prielaida.Pavyzdžiui, transformacija T : R → R, T x = x + 1 yra matąišsauganti virš R Lebesgue’o mato atžvilgiu, tačiau bet kokiai aprėžtaiaibei A ⊂ R ir X ∈ A, aibė {n ∈ N : T n x ∈ A} yra tuščia ar baigtinė,o tai parodo, jog T neturi nieko bendra su rekurentumu.Mes pateikiame rekurencijos teoremos fizikinę interpretaciją: jeiduota dėžė erdvėje R 3 su tuščia dešine puse ir kaire puse, pilna dujų, abijos perskirtos siena, kai siena pašalinama, mes galime tikėtis, jog dujųmolekulės pasiskirstys visoje dėžėje, ir turėsime tolygų pasiskirstymą.• • • • • | ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ • ◦ • • ◦ ◦ • ◦ • •• • • • • | ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ • ◦ ◦ • ◦ • ◦ • ◦ ◦• • • • • | ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ • • ◦ ◦ ◦ • ◦ • ◦• • • • • | ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ −→ • ◦ • • ◦ • ◦ • • ◦• • • • • | ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ • • • ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ •• • • • • | ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ • ◦ • • ◦ •• • • • • | ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ • ◦ • • • • ◦ ◦ • •Priešingai mūsų intuicijai, pagal Poincaré rekurencijos teoremą, sistemagrįš po (ilgo) baigtinio laiko į savo pradinę padėtį, bent jau apytiksliai:vakuumas dešinėje (◦), dujų molekulės kairėje (•). Iš pirmožvilgsnio atrodo, kad tai prieštarauja antrai pagrindinei termodinamikosteoremai ir Boltzmann’o teoremai, kuri teigia, jog uždaros sistemosentropija negali mažėti. 1 Tačiau rekurencijos teoremos teigimaspirmiausia yra statistinės prigimties ir tariamas nesuderinamumas išsprendžiamasimant omenin tikėtiną grįžimo laiką, kas visais praktiniaisatvejais yra daugiau negu visatos amžius. Dėl tokių antrosiostermodinamikos teoremos pažeidimo tikimybių mes nurodome į Evansir Searls [48].Atsižvelgiant į Poincaré rekurencijos teormą 5.1, mes galime klausti,kaip greitai orbita {T n x} aplankys mačią aibę A. Sekantiems tyrinėjimamsmes naudosime Kakutani’o [66] idėją, būtent, tirsime transformacijąT tik tuo laiku, kai T n x aplanko A. Kai x ∈ A ∈ F, mesapibrėžiame x sugrįžimo laiką į A:n A (x) = min{n ∈ N : T n x ∈ A}.Kadangi n A yra minimumas, jis yra matus. Pagal Poincaré rekurencijosteoremą, seka, kad n A yra baigtinis beveik visiems x. Toliau mespašaliname iš A nulinio mato aibę, susidedančią iš tokių x, su kuriaisn A (x) = +∞ ir gautą rezultatą vėl pažymime A. Dabar mes įvedamematą, indukuotą µ virš σ-algebros, generuotos F ∩ A:µ A (B) = µ(B)µ(A)su B ⊂ A,1 Tarp kitko, antroji pagrindinė termodinamikos teorema neleidžia perpetuummobile egzistavimo ir, dėl laiko neapgręžiamumo, kelionių laike.

56 5. DANGIŠKI IR PAPRASTI TAIKYMAIo tai mums primena sąlyginės tikimybės sąvoką. Iš čia atsiranda kitatikimybinė erdvė (A, F ∩ A, µ A ). Dar daugiau, mes apibrėžiameindukuotą transformacijąT A : A → A, x ↦→ T n A(x) x.Dabar mes galime įrodyti sekantį techninį rezultatą:Teorema 5.2. Tarkime, kad A yra mati ir priimkime anksčiauminėtus apibrėžimus ir sąlygas. Tada transformacija T A yra išsaugantimatą atžvilgiu µ A . Taip pat, jei T yra ergodinė, tai taip pat yra T A .Įrodymas. Su n ∈ N, apibrėžkimeA n = {x ∈ A : n(x) = n},B n = {x ∈ X\A : T x, . . . , T n−1 x /∈ A, T n x ∈ A}.Tada A n ∩ B m = ∅. Dar daugiau,(5.1) T −1 A = A 1 ∪ B 1 ir T −1 B n = A n+1 ∪ B n+1 su n ∈ N.Dabar tarkime, kad C ∈ FA. Kadangi T yra matą išsauganti µ atžvilgiu,seka, kad µ(C) = µ(T −1 C).Tam, kad mes įrodytumėm pirmą teiginį, mes parodysime, kad jisgalioja µ A . Mes turime∞T −1AC = ∪A n ∩ T −1AC = ∪ ∞A n ∩ T −n C,n=1n=1kur aibės A n ∩ T −n C yra paporiui nejungios. Taigi(5.2) µ(T −1A∞ C) = ∑µ(A n ∩ T −n C).n=1Kadangi matai yra išsaugomi, pakartotiniai (5.1) taikymai veda įµ(T −1 C) = µ(A 1 ∩ T −1 C) + µ(B 1 ∩ T −1 C)= µ(A 1 ∩ T −1 C) + µ(T −1 (B 1 ∩ T −1 C))µ(A 1 ∩ T −1 C) + µ(A 2 ∩ T −2 C) + µ(B 2 ∩ T −2 C). . .∞∑= µ(A n ∩ T −n C)µ(B N ∩ T −N C).n=1Ši konstrukcija vadinama Kakutani’o dangoraižiu, nes ‘kopiama’ nuoA 1 ir B 1 į A n ir B n ir taip toliau. Panašiu būdu( ∞)∪∞∑1 ≥ µ B n ∩ T −n C = µ(B n ∩ T −n C),n=1n=1

1. POINCARÉ REKURENCIJOS TEOREMA 57taigi µ(B n ∩ T −n C) artėja į nulį, kai n → ∞. Atsižvelgiant į (5.2), iščia išplaukia∞∑µ(C) = µ(T −1 C) = µ(A n ∩ T −n C) = µ(T −1AC),atitinkamaiµ A (C) = µ(C)µ(A)n=1=µ(T−1A C)µ(A)= µ A (T −1AC).Iš čia seka, kad T A yra matą išsaugantis atžvilgiu µ A .Belieka parodyti, kad T A paveldi ergodiškumo savybę. Šiam tiksluitarkime, kad T yra ergodinė. Tada teigiamo mato µ A (B) > 0T -invariantinei aibei B ⊂ A, mes turime parodyti µ A (B) = 1. PanaudodamiT -invariantiškumą, mes turime B = T −1AB = T −2AB = . . . irtaip toliau. Taigi( ∞)∪B = T −n B ∩ A.n=0Jei T yra ergodinė, mes iš 0 < µ A (B) = µ(B)/µ(A) išvedame, kad0 < µ(B) = 1. Taigi( ∞)∪µ T −n B = 1,n=0o iš čia seka, kad atitinkamai X = ∪ ∞n=1 T −n B ir B = A. Taigi gauname,kad µ A (B) = 1. Įrodymas baigtas.□Sekantis teiginys priklauso Kac’ui [65], vadinamas Kac’o lema. Jiyra kiekybinė Poincaré rekurencijos teoremos versija (analogiška Kronecker’ioir Bohl’o rezultatų apie (nξ) pasiskirstymą Weyl’o kiekybiniamaprašymui):Teorema 5.3. Tarkime, T : X → X yra mati ergodinė transformacijatikimybinėje erdvėje (X, F, µ), ir tarkime, kad A yra mati aibėsu µ(A) > 0. Tada n A ∈ L 1 ir pirmam n A (x) sugrįžimui taškui x ∈ A,galioja∫n A (x)dµ A (x) = 1Aµ(A)∫Air atitinkamai n A (x)dµ(x) = 1irlimn→∞1N∑0≤n

58 5. DANGIŠKI IR PAPRASTI TAIKYMAIDydis t := ∑ 0≤n

1. POINCARÉ REKURENCIJOS TEOREMA 59

60 5. DANGIŠKI IR PAPRASTI TAIKYMAIMes grįžtame prie katino Felix’o ir prie jo sugrįžimo fenomeno pobaigtinio skaičiaus Arnold’o katino atvaizdžio iteracijų (žr. iteracijųA n paveikslėlius su n = 0, pačiu Felix’u, tada n = 1, 2, 3, 4, 6, 50 irgaliausiai n = 405 (vėl Felix’as). 2 Iš tikrųjų, galima parodyti, kadjei (X, F, µ, T ) yra ergodinė sistema su diskrečia erdve X ir tolygiupasiskirstymu µ, tada rekurencija galioja visiems taškams (žr. Pratimą5.3).Galiausiai, mes pateikiame Teoremos 5.1 mato teorijos variantą:Teorema 5.4. Tarkime, T : X → X yra matą išsauganti transformacijavirš tikimybinės erdvės (X, F, µ) ir A yra mati aibė su µ(A) > 0.Tada µ(A ∩ T −n A) > 0 begalio daugeliui n.Įrodymas. Kadangi T yra matą išsauganti, visos aibės A, T −1 A,T −2 A, . . . turi tą patį matą. Jei visos šios aibės būtų nejungios, baigtiniskiekis šių aibių duotų baigtinę sąjungą su matu didesniu neiµ(X) = 1, prieštara. Taigi egzistuoja teigiami sveikieji skaičiai m < ntokie, kad µ(T −n A ∩ T −m A > 0. Pažymėję k = n − m, gaunameµ(A ∩ T −k A) > 0 (kadangi T yra matą išsaugantis). Pakartoję šį argumentąsu A, T −k A, T −2k A, . . . , gauname µ(A ∩ T −n A) > 0 su be galodaug n.□2. Normalieji skaičiaiTarkime, b yra teigiamas sveikasis skaičius, griežtai didesnis už vienetą.Bet kokiam realiajam skaičiui x egzistuoja reprezentacija su bazeb, taip pat vadinama b-adine reprezentacija, t.y.,∞∑(5.3) x = a n b −n su a 0 ∈ Z, a n ∈ {0, 1, . . . , b − 1}.n=0Čia a 0 = ⌊x⌋ yra sveikoji x dalis, o a n vadinami b-adiniais {x} ∈ [0, 1)skaitmenimis. Ši reprezentacija nėra vienintelė, tačiau apie šį trūkumąmes neturėtume mąstyti per daug, nes jis galioja tik nulinio matoaibei; mes iliustruojame šį paprastą ir gerai žinomą faktą dešimtainioskleidinio pavyzdžiu:0.9 = 0.9999999999 . . . = 1.0 = 1,kur, kaip įprasta, išraiška 9 reiškia begalinę skaitmenų 9 seką. Iš tiesų,jei x turi periodinę b-adinę reprezentaciją, tada x yra racionalus irtodėl priklauso aibei su nuliniu Lebesgue’o matu; jei reprezentacijanėra periodinė, tai ji yra vienintelė ir x yra iracionalus.Realusis skaičius x yra vadinamas normaliuoju bazėje b jei kiekvienamk ∈ N bet koks skaičių rinkinys α 1 . . . α k su α j ∈ {0, 1, . . . , b − 1}pasirodo su tuo pačiu dažniu b-adinėje x = a 0 .a 1 a 2 . . . reprezentacijoje.2 Straipsnyje [50] galima rasti panašių paveikslėlių su Henri Poincaré vietoj Felix’o,o tai yra pripažinta [34]

2. NORMALIEJI SKAIČIAI 61Su k = 1, tai reiškia, kad bet koks skaitmuo pasirodys su tuo pačiudažniu:1limN→∞ N #{n ≤ N : a n = α} 1 bvisiems α ∈ {0, 1, . . . , b − 1}; su k = 2 iš normalumo sekalimN→∞1N #{n ≤ N : a n = α, a n+1 = alpha ′ } = 1 b 2visoms poroms α, α ′ ∈ {0, 1, . . . , b − 1}. Bendru atveju struktūraα 1 . . . α k su α j ∈ {0, 1, . . . , b − 1} pasirodo su asimptotiniu dažniub −k . Savaime suprantama, pakanka nagrinėti tik trupmeninės dalies{x} ∈ [0, 1) b-adinę reprezentaciją. Toliau mes įrodome Borel’io teoremą:Teorema 5.5. Beveik visi realūs skaičiai x yra realūs su bet kokiabaze b.Ši teorema paaiškina, kodėl skaičiai su tokiu reguliarumu savo b-adinėje reprezentacijoje yra vadinami normaliaisiais. Turėtų būti pastebėta,kad skaičius gali būti normalusis bazėje b, bet ne normalusiskitos bazės b ′ atžvilgiu. Už šį pastebėjimą turėtume būti dėkingi Cassels’ui[27] ir Schmidt’ui [110], kurie gavo kriterijų nustatyti, kokiomissąlygomis normalusis skaičius bazėje b yra normalusis bazėje b ′ .Įrodymas. Atsižvelgiant į buvusį pastebėjimą, pakanka įrodytiteiginį skaičiams x ∈ [0, 1). Atvaizdis T b : [0, 1) → [0, 1), apibrėžtasT b x = bx mod 1, yra matus Lebesgue’o mato λ atžvilgiu. Dardaugiau, jis yra ergodinis (tai gali būti įrodyta bendru atveju sekantmūsų įrodymą specialiu atveju b = 2, o tai buvo Pavyzdys 2 Paragrafe4). Jei dabar x bazėje b yra duotas (5.3), tada mes turime[ 1Tb n x ∈b , a + 1 )=: I(α)bsu duotu α ∈ {0, 1, . . . , b − 1} tada ir tik tada, kai a n+1 = α. PagalBirkhoff’o ergodinę teoremą 4.2, seka1 ∑∫lim χ I(α) (Tb n x) = χ I(α) dλ = λ(I(α)) = 1N→∞ N[0,1) b0≤n

62 5. DANGIŠKI IR PAPRASTI TAIKYMAIBorel’io originalus teiginys [23] rėmėsi Borel’io-Cantelli’o lema iš tikimybiųteorijos (ir klaidingai; žr. [32]). Elementarus (ir teisingas) įrodymas,kuris seka Borel’io samprotavimais, buvo duotas Niven’o [97].Skirtingas, bet nepublikuotas, būdas yra Alan’o Turing’o [121]; neseniaiBecher’is, Figueira ir Piccchi’s [14] pabaigė jo darbą.Naudodamiesi tikimybiniu būdu, mes galime pateikti daugiau informacijos.Centrinė ribinė teorema teigia, kad: Jei duota nepriklausomųvienodai pasiskirsčiusių L 2 -kintamųjų seka X 1 , X 2 ,…su vidurkiu µ irdispersija σ, tarkime S N := X 1 + X 2 + . . . + X N ; tada( )lim P SN − µNN→∞ σ √ N ≤ y = √ 1 ∫ yexp 2π −∞(− t2 2)dt.Tai sustiprina stiprųjį didžiųjų skaičių dėsnį, kuris teigia, kad 1/NS N →µ, kai N → ∞ su silpnesnėmis sąlygomis dydžiams X j . Dabar nagrinėkimerealiuosius skaičius x iš vienetinio intervalo su duotu binariniuskleidiniu:∞∑ b j (x)x = su b2 j j ∈ {0, 1}.j=1Tai yra Pavyzdys 2 iš Skyriaus 3. Pagal Borel’io ar atitinkamai Birkhoff’oteoremą:1N∑∫lim b 1 (T n x) = b 1 dλ = 1N→∞ N2n=1beveik visiems x. Pastebėkime, kad b j = b 1 ◦ T j−1 . Tai naudodami,mes galime suskaičiuoti vidurkį ir dispersiją∫ ∫ 1∫ 1b j dλ = b 1 (T j−1 x) dx = b 1 (x) dx = 1 2[0,1)ir ∫ 1(b j (x) − 1/2) 2 dx =00∫ 10[0,1)0(b 1 (x) − 1/2) 2 dx = 1 4 .Dar daugiau, P(b j (x) = 0) = P(b j (x) = 1) = 1/2. Taigi mes galimepritaikyti centrinę ribinę teoremą ir gauti( ∑N)lim P n=1 b 1 ◦ T n−1 (x) − 1/2NN→∞ 1/2 √ ≤ y = 1 ∫ y( )√ exp − t2 dt.N2π 2Taigi už Borel’io normaliųjų skaičių teoremos slypi Gauss’o normalusispasiskirstymas.Normalusis pasiskirstymas yra dažna daugelio natūralių pasiskirstymųsavybė. Kitas pavyzdys: Sinai [113] nagrinėjo geodezinį srautąφ t unitaraus tangentinio rinkinio T 1 V paviršiaus V su pastoviu neigiamukreivumu; jei A yra T 1 V sritis su dalimis diferencijuojamu kontūru,tada vidutinis aplankymo φ t laikas šioje srityje turi Gauss’o pasiskirstymą.−∞

2. NORMALIEJI SKAIČIAI 63Nors Borel’io teorema 5.5 parodo, kad beveik visi realieji skaičiaiyra normalieji bet kokioje bazėje, yra sunku įrodyti duoto realiojo skaičiausnormalumą. Pavyzdžiui, nežinoma, ar įžymusis skaičiusπ =3.1315926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 . . .yra normalusis kokios nors bazės atžvilgiu. 3 Ši problema primenamums, kaip sunku nuspręsti, ar duotas skaičius yra algebrinis ar transcendentinis.Iš tiesų, šiam klausimui yra žinomos kai kurios technikosir, būtent, Lindemann’as 1882 parodė, kad π yra transcendentinis (o išto seka senovinės problemos apie apskritimo pakeitimą kvadratu naudojantliniuotę ir skriestuvą 4 ). Kanada ir Takahashi’s [69] suskaičiavodaugiau negu 50 milijardų dešimtainio skleidinio skaitmenų ir šių duomenųnuokrypis nuo normalumo yra mažiau negu 0.002% bet kokiamskaitmeniui. Situacija nėra geresnė su kitomis įžymiomis konstantomis,tokiomis kaip e = exp(1) ar √ 2. Bailey ir Crandall’as [11] iškėlėhipotezę, jog kiekvienas algebrinis iracionalusis skaičius yra normalusis.Savaime suprantama, racionalieji skaičiai nėra normalieji (nes jųb-adinė išraiška yra periodinė). Sudėtingesnis ne normaliojo skaičiauspavyzdys yra iš Cantor’o aibės C, kuri yra apibrėžta vienas po kitoeinančio vidurinio trečdalio pašalinimo iš vienetinio intervalo [0, 1].Tiksliau∞∪ ∪2 nC = [0, 1]\ (x nj + 3 −n−1 , x nj + 2 · 3 −n−1 )n=0 j=1su tam tikrais racionaliaisiais x nj . Cantor’o aibė C yra pavyzdys neskaičiostobulos aibės su tuščiu vidumi (žr. [47]); prisiminkime, kad aibėvadinama tobula, jei jos kiekvienas elementas yra ribinis taškas. C elementaiyra būtent tokie skaičiai x ∈ [0, 1], kurie turi trinarį skleidinįbe skaitmens 1 (kadangi viduriniai trečdaliai buvo pašalinti), t.y.∞∑x ∈ C ⇔ x = 3 −n su a n ∈ {0, 2}.n=1Skaičiai x nj iš aukščiau duoda visas galimas dalines tokių elementųx sumas. Taigi, Cantor’o aibei nepriklauso joks normalusis skaičiusbazėje 3; būtent, iš Borel’io teoremos seka, kad Cantor’o aibė C turinulinį Lebesgue’o matą. 53 Ši problema paminėta D. Aronofsky’io avangardistiniame filme Pi.4 Turėtų būti pažymėta, jog Ferdinand’as Lindemann’as apsigynė savo habilitacijąWürzburg’o Universitete 1877; tačiau esminį persilaužimą su π jis pasiekėMiunchene.5 žr. http://mathworld.wolfram.com/CantorSet.html su nuostabiomis kompiuterinėmisanimacijoms šia tema.

64 5. DANGIŠKI IR PAPRASTI TAIKYMAIYra žinoma tik nedaugelis metodų konstruoti normaliesiems skaičiams.Pirmas normaliojo skaičiaus pavyzdys buvo duotas Sierpinski’o[112]. Chapernowne’as [29] pateikė paprastą ir įtikinamą normaliojoskaičiaus pavyzdį:0.123456789101112131415161718192021 . . .Dar daugiau, Copeland’as ir Erdös’as [31] įrodė, kad0.23571113171923293137414347 . . .yra normalusis bazėje 10. Iš šių pavyzdžių akivaizdu, kaip šie skaičiaiyra konstruojami. Nėra labai sunku suskaičiuoti kiekvieną skaitmenį. 6Normalieji skaičiai tikrai nėra sukurti atsitiktinių skaičių generavimui.1 pav.. Pirmieji 1600 binariniai π skaitmenys (kairėje) irjo racionalus aproksimavimas 22/7 (dešinėje), surikiuotispirale. Koks racionalus skaičius su mažiausiu vardikliuaproksimuoja π taip, kad pirmi 1600 binariniai skaitmenyssutampa?Mes grįžtame prie skaičiaus π. Tikimasi, kad nėra užslėptos struktūrosjo dešimtainiame skleidinyje. Taip pat tikimasi, kad π yra normalusisbet kurioje bazėje b. Tačiau buvo didelis netikėtumas, kai Bailey,Borwein’as ir Plouffe’as [10] atrado taip vadinamą BBP-formulę (pavadintąpagal jų inicialus), kuri leidžia apskaičiuoti bet kokį π skaitmenįšešioliktainėje sistemoje (bazė b = 16) nežinant nei vieno prieš tai einančioskaitmens:∞∑(1 4(5.4) π =16 n 8n + 1 − 28n + 4 − 18n + 5 − 1 ).8n + 6n=06 Gerai, Copeland’o ir Erdös’o skaičiaus radimas nėra labai paprastas, tačiaudėka neseno pirminių skaičių testo, duoto Agrawal’o, Kayal’os ir Saxena’os [3],skaičiavimai gali būti atlikti polinominiu augimu.

2. NORMALIEJI SKAIČIAI 65Mes bendrais bruožais parodysime, kaip išvesti šią formulę. Pradedamenuo∫√1/ 2∞∑∞∑0π =x k−1 ∫√1/ 21 − x dx = 8Taigi (5.4) yra ekvivalenti∫ 1/√20Panaudoję0m=0x k−1+8m dx = 2 − k 2m=0116 m ·18m + k .4 √ 2 − 8x 3 − 4 √ 2x 4 − 8x 5 ∫ 1y − 1dx = 161 − x 8 0 y 4 − 2y 3 + 4y − 4 dy.arctan x =∫ x0du1 + u 2ir išskaidymą dalinėmis trupmenomis (atitinkamai kompiuterinius algebrospaketus), iš to seka BBP-formulė (5.4). Bet kaip nuskaitytibet kokį π skaitmenį? Mes tai paaiškiname paprastesniu pavyzdžiu,būtent,∞∑ 1log 2 =k2 , kk=1kuri seka iš logaritmo skleidinio laipsnine eilute ir Abel’io ribiniės teoremos.Taigi (d + 1) skaitmuo log 2 binarinio skleidinio lygus{{ d∑} {{2 d 2 d−k ∞}}mod k ∑ 2 d−klog 2} =+.kkk=1k=d+1Skaitikliai 2 d−k mod k pirmojoje sumoje gali būti suskaičiuoti moduliuk metodu, vadinamu greitu kėlimu laipsniu. 7 Antroji suma konverguojagreitai, taigi reikia suskaičiuoti tik nedaugelį narių. Panašiubūdu, tik su daugiau techninių pastangų, galima suskaičiuoti šešioliktainioπ skleidinio bet kokį skaitmenį naudojant BBP-formulę (5.4).Tačiau iš to neseka, kad šešioliktainis skleidinys turi tam tikrą struktūrą—priešingaiChampernowne’o skaičiui—bent jau nežinomos normalumopasekmės. Neseniai Bailey ir Crandall’as [11] padarė prielaidą,kaip susieti (5.4) tipo formulę (tokias, kaip π ir log 2 atveju) su realiųjųskaičių seka, kuri turėtų būti tolygiai pasiskirsčiusi moduliu vienetastada ir tik tada, jei skaičius yra normalusis. Mes nesileidžiame į detales,bet paminime, kad iš šios neįrodytos hipotezės sektų, kad π būtųnormalusis bazėje 16, jei seka (x n ), aprašyta(5.5) x 0 = 0, x n = 16x n−1 +120n 2 − 89n + 16512n 4 − 1024n 3 + 712n 2 − 206n + 21 ,7 Pavyzdžiui, 2 17 = ((((2 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) · 2, taigi 17 = 2 4 + 2 0 .

66 5. DANGIŠKI IR PAPRASTI TAIKYMAIbūtų tolygiai pasiskirsčiusi moduliu vienetas. log 2 atveju, normalumassektų iš tolygaus pasiskirstymo šių skaičių:(x 0 = 0, x n+1 = 2 x n + 1 )mod 1.nDeja, abiems sekoms nėra žinoma, ar jos tolygiai pasiskirsčiusios moduliuvienetas.Įdomumo dėlei: jei π yra normalusis, sakykime, bazėje b = 26 ir jeimes priskiriame kiekvienam iš 26 skaitmenų lotyniško alfabeto raidę,A ↦→ 1, B ↦→ 2, . . ., tada 26-ainis π skleidinys turėtų normalumoįrodymą, jei tik šis teiginys yra įrodomas. 8PratimaiRiedantis akmuo neapsamanoja. Mes pradedame rekurencija:Pratimas 5.1. Įrodykite šią metrinę Poincaré rekurencijos teoremosversiją: tarkime, galioja Teoremos 5.1 sąlygos ir tarkime, kad Xyra metrinė erdvė su metrika d, kuri atitinka µ. Tada beveik visiems xlim infn→∞ d(x, T n x) = 0.Dar daugiau, parodykite, kad su tam tikru n ≤ 1 + ⌊1/µ(A)⌋ galiojanelygybė µ(A ∩ T −n A > 0.Dabar mes nagrinėjame atsitiktinį klaidžiojimą ant vienetinio apskritimo:Pratimas 5.2. Įsivaizduokime, kad atsitiktinis klaidžiotojas pradedataške P ant vienetinio apskritimo T ir meta monetą: jei ji atsiverčiaskaičiumi, klaidžiotojas juda prieš laikrodžio rodyklę atstumąα, o jei herbas—prieš laikrodžio rodyklę atstumą β, kur α ir βyra teigiami realieji skaičiai. Monetų metimų seka gali būti traktuojamakaip skaičiaus iš vienetinio intervalo dvejetainis skleidinys:x = (x 1 , x 2 , . . .) = ∑ j≥1 x j2 −j su x j ∈ {0, 1} priklausomai nuo skaičiausar herbo. Ar gali atsitiktinis klaidžiotojas aplankyti bet kokiąatvirą aplinką duoto taško ant T ir, jei taip, kaip ilgai užtruktų grįžti įpradinio taško P aplinką? Patarimas: žr. [30], par. 7.5.Mūsų sekantis uždavinys yra paaiškinti Felix’o rekurenciją:Pratimas 5.3. Įrodykite, kad jei (X, F, µ, T ) yra ergodinė sitemasu diskrečia erdve X ir tolygiu pasiskirstymu µ, tada galioja rekurencija.Paaiškinkite, kodėl katinas Felix’as visiškai sugrįžta po n = 405iteracijų. Ar jūs taip pat galite paaiškinti, kad pirmas Felix’o grįžimasyra po 135 iteracijų. Patarimas: Felix’o paveikslėlis susideda iš8 Deja, jis turėtų ir klaidingus įrodymus. Puslapyje www.angio.net/pi/bigpi.cgiyra kompiuterinė programa, kuri randa—jei tik įmanoma—pirmą pasirodymą betkokios datos π dešimtainiame skleidinyje; pavyzdžiui, mano gimtadienis yra pozicijoje151897.

2. NORMALIEJI SKAIČIAI 67810 × 810 taškų; pastebėkite, kad 810 yra 405 kartotinis, o 410 yra 135kartotinis. Gali būti naudinga paskaityti [43].Cantor’o aibė ir jos giminaičiai turi labai įdomią topologinę struktūrą.Pratimas 5.4. Įrodykite visus teiginius apie Cantor’o aibę C, būtent,parodykite, kad jos Lebesgue matas yra 0, ji neturi nė vieno atvirointervalo, ji yra kompaktinė ir tobula ir todėl neskaiti. Dar daugiau, paieškokitematematinės literatūros C apibendrinimams (pvz. Sierpinski’onėrinys).Mes baigiame akivaizdesne užduotimi apie BBP-formulę:Pratimas 5.5. Pateikite pilną (5.4) įrodymą. Dar daugiau, įgyvendinkitealgoritmą suskaičiuoti šešioliktainiui π skleidiniui naudojantBBP-formulę. Palyginkite savo rezultatus su x n reikšmėmis pagal (5.5)ir paskaičiuokite kai kurias skaitmenų statistikas.* * *Kitame skyriuje mes susipažinsime su Riemann’o dzeta funkcija,kuri yra vienas pagrindinių analizinės skaičių teorijos objektų. Žinoma,kad ji vaidina pagrindinį vaidmenį pirminių skaičių pasiskirstymoteorijoje (o tai mes trumpai apsvarstysime), tačiau ji taip pat pasirodotęstinų trupmenų skleidinių ir jų ergodinių savybių kontekste vėlesniameskyriuje. Pagrindinis įrankis studijuoti šią dzeta funkciją yrakompleksinė analizė ir kai kurios mūsų pristatymo vietos bus tik fragmentinės.

SKYRIUS 6Interliudas: Riemann’o dzeta funkcijaDzeta funkcija yra ypatingas analizinės skaičių teorijos objektas.Su Rs > 1, dzeta funkcija apibrėžiama∞∑ 1(6.1) ζ(s) =n = ∏ s n=1 p(1 − 1 p s ) −1;čia sandauga imama pagal visus pirminius skaičius p. Tapatybė tarpeilutės ir sandaugos yra analizinė vienintelio išskaidymo pirminiais daugikliaisversija ir ji darosi akivaizdi išskleidžiant kiekvieną sandaugosdauginamąjį geometrine progresija. Šis eilučių tipas vadinamas Dirichleteilutėmis, o sandauga pagal pirminius vadinama Euler’io sandauga.Iš to matome, kad dzetą funkciją tyrinėjo jau Euler’is. Mespateikiame jo pirmą pastebėjimą pakartodami jo vieno sakinio įrodymąapie pirminių begalinį kiekį: jei būtų baigtinis skaičius pirminių,sandauga konverguotų su s = 1, o tai prieštarautų harmoninės eilutėsdivergavimui. Šis analizinis samprotavimas pasirodė stipresnis neguelementarieji samprotavimai apie pirminių skaičių pasiskirstymą. Pavyzdžiui,Euler’is parodė, kad suma pagal pirminių skaičų atvirkštiniusdiverguoja, o tą jis žymėjo taip:12 + 1 3 + 1 5 + 1 + . . . = log log ∞;7šiuolaikiniais žymėjimais mes tai rašytume ∑ p≤x1/p ∼ log log x, kaix → ∞. Iš to seka, kad pirminiai sudaro retą aibę aibėje N. Deja,iš to neseka asimptotinė formulė pirminių skaičių kiekiui π(x),p ≤ x. Jaunasis Gauss’as, būdamas septyniolikos, iškėlė hipotezę, kadπ(x) ∼ x/ log x, kai x → ∞. Riemann’as buvo pirmasis, nagrinėjęsζ(s) kaip kompleksinio kintamojo funkciją, iš kurios sekė Gauss’o hipotezėsįrodymas. Mes trumpai apžvelgsime sąryšį tarp pirminių skaičiųir dzeta funkcijos.Kadangi mūsų pristatymas bus gana fragmentiškas, mes rekomenduojamepastudijuoti literatūrą. Dėl daugiau informacijos ir nuorodų įoriginilius darbus apie dzeta funkciją ir jos įtaką pirminių skaičių pasiskirstymuimes nurodome klasikinę Titchmarsh’o monografiją [120] iristorinį Narkiewicz’iaus darbą [95].69

70 6. INTERLIUDAS: RIEMANN’O DZETA FUNKCIJA1. Pirminiai ir nuliaiNesunku parodyti (pvz., su Riemann’o integraliniu testu) kad abu,tiek eilutė, tiek sandauga (6.1) konverguoja absoliučiai visiems kompleksiniamsskaičiams s su Rs > 1. Ypatingą susidomėjimą kelia dzetafunkcijos reikšmės su teigiamais sveikaisiais skaičiais, Euler’is įrodėTeorema 6.1. Su k ∈ Nk+1 (2π)2kζ(2k) = (−1)2(2k)! B 2k.Čia B m žymi m-tą Bernoulli’o skaičių, apibrėžtą tapatybe∞xexp(x) − 1 = ∑m=0B mx mm! = 1 − 1 2 x + 1 6 x2 − 130 x4 + . . . .Bernoulli’o skaičiai buvo nepriklausomai surasti šveicarų matematikoJakob’o Bernoulli’o ir japonų matematiko Seki Kōwa’os, abu atradimaibuvo publikuoti po mirties atitinkamai 1713 ir 1712 m. Būtent, mesišvedame garsiąją Euler’io formulę(6.2) ζ(2) = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + . . . = π26 .Mes pateiksime tik jo įrodymo idėją (detalės paliekamos skaitytojuiPratime 6.1). Prisiminkime begalinę sandaugąsin z∞∏ (= 1 − z ) ∞∏)=(1 − z2zπnπ 2 n 2n=−∞, n≠0ir išraišką laipsnine eilutesin zzk=0n=1∞= 1 − z23! + z45! ∓ . . . = ∑(−1) k z 2k(2k + 1)! .Sulyginę koeficientus ties z 2 , mes išvedame (6.2). Euler’io įrodymas buvoplačiai aptariamas jo amžininkų. Jo laikais nebuvo žinoma, ar sin zneturi kompleksinių nulių; dar daugiau, begalinės sinuso funkcijos sandaugoskonvergavimas negali būti įrodytas be kompleksinės analizės,kuri nebuvo išvystyta (nors klausimai apie konvergavimą tais laikaisdažnai buvo laikomi nevertais dėmesio). Tačiau šiandien Euler’io įrodymasyra be trūkumų ir galbūt yra lengviausias iš visų.Galima nesunkiai pamatyti, kad Bernoulli’o skaičiai yra racionalūs,taigi ζ(2k) reikšmės yra racionalūs π 2k kartotiniai ir pagal π transcendentalumą,jie netgi yra transcendentiniai. Tačiau nėra daug žinomaapie artimetinę prigimtį reikšmių ties nelyginiais teigiamais sveikaisiaisskaičiais. Apéry [4] parodė, kad ζ(3) yra iracionalus, tačiau nežinoma,ar ζ(3) yra transcendentinis ir ar ζ(5) yra iracionalus.

1. PIRMINIAI IR NULIAI 71Toliau mums reikia analizinio dzeta funkcijos pratęsimo į kairę pusplokštumęnuo absoliutaus konvergavimo; problema yra su singuliarumutaške s = 1, iš kurio harmoninės eilutės pavidalu sekė begaliniopirminių skaičiaus egzistavimas Euler’io įrodyme. Tarkime Rs > 1,tada∞∑n=11n − 2 ∑ ∞ sm=11(2m) = ∑ ∞ sn=1(−1) n−1n s .Perrašę kairę pusę naudodami dzeta funkciją, gauname išraišką(6.3) ζ(s) = (1 − 2 −1 ) −1 ∞∑n=1(−1) n−1n s .Mes pastebime, kad eilutė dešinėje konverguoja pusplokštumėje Rs >0. Daugiklis (1−2 1−s ) −1 turi paprastuosius polius taškuose s = 1+ 2π k log 2bet kokiems k ∈ Z, tačiau su k ≠ 0 alternuojanti eilutė įgyja nulinęreikšmę. Taigi (6.3) suteikia ζ(s) analizinį pratęsimą į pusplokštumęRs > 0 išskyrus paprastąjį polių taške s = 1.Vėlesniems tikslams mes išvesime kitą formulę dzeta funkcijos reikšmeiζ(2), kuri susijusi su reprezentacija (6.3). Prisiminkime Gamafunkciją, kompleksiniams s su teigiama realiąja dalimi apibrėžtą integralu(6.4) Γ(s) =Pakeitę y = nu, mes gaunamen −s Γ(s) =ir atitinkamai su Rs > 1,∞∑ (−1) n−1Γ(s) =n sn=1∫ ∞0∫ ∞0∫ ∞0y s−1 exp(−y) dy.u s−1 exp(−nu) du,( ∞)∑u s−1 (−1) n−1 exp(−nu) du;čia mes galime sukeisti sumavimą ir integravimą dėl absoliutaus konvergavimo.Pakeitę u = − log x, mes gauname∞∑∞∑(−1) n−1 exp(−nu) = (−1) n−1 x n =x1 + x ,taigiBūtent,(6.5)n=1(1 − 2 1−s )ζ(s)Γ(s) =0n=1n=1∫ 10(− log x) s−1 dx1 + x .π 212 = 1 ∫ 12 ζ(2) = (− log x) dx1 + x ,ko mums prisireiks kitame skyriuje.

72 6. INTERLIUDAS: RIEMANN’O DZETA FUNKCIJAČia mes pateikiame kitą ζ(s) pratęsimą už absoliutaus konvergavimosrities ją apibrėžiančios Dirichlet eilutės, kurį mums davė Riemann’as[107] ir nuo kurio prasideda jo ir kitų dzeta funkcijos kaipkompleksinio kintamojo funkcijos nagrinėjimai. Atlikę pakeitimą u =πn 2 x lygtyje (6.4), mes gauname( ∫ s(6.6) Γ π2)− s 1 ∞2n = x s s 2 −1 exp(−πn 2 x) dx.Susumavę visiems n ∈ N, gauname(π − s s) ∑ ∞12 Γ2 n = ∑ ∞ sn=10n=1∫ ∞0x s 2 −1 exp(−πn 2 x) dx.Kairėje pusėje mes randame Dirichlet eilutę, apibrėžiančią ζ(s); atsižvelgiantį jos konvergavimą, ši formulė teisinga tik Rs > 1. Dešinėjepusėje mes dėl absoliutaus konvergavimo galime sukeisti sumavimą irintegravimą vietomis. Taigi mes gauname(π − s s) ∫ ∞ ∑ ∞2 Γ ζ(s) = x s 2 −1 exp(−πn 2 x) dx.20n=1Mes suskaidome integralą ties x = 1 ir gauname((6.7) π − s s) {∫ 1 ∫ ∞}2 Γ ζ(s) = + x s 2 −1 ω(x) dx,2kur eilutė ω yra apibrėžta kaip ‘pusinė’ Jacobi’o teta funkcija:∞∑ω(x) := exp(−πn 2 x) = 1 (θ(x) − 1)2n=10(kadangi exp(−π(−n) 2 x) bet kokiam n ∈ N). Pagal funkcinę tetafunkcijos lygtį( 1ω =x)1 ( ( ) 1θ − 1 =2 x)√ xω(x) + 1 2 (√ x − 1),o tai gali būti išvesta iš Poisson’o sumavimo formulės, pagal pakeitimąx ↦→ 1 mes randame, kad pirmasis (6.7) integralas lygusx∫ ∞( ∫x − s 1 ∞2 −1 ω dx = xx)− s+112 ω(x) dx +s − 1 − 1 s .1Įstatę tai į (6.7), gauname((6.8) π − s s)2 Γ ζ(s) =211∫1∞s(s − 1) +1(x − s+12 + x s 2 −1 )ω(x) dx.Kadangi ω(x) ≪ exp(−πx), paskutinis integralas konverguoja su visomiss reikšmėmis ir todėl (6.8) galioja pagal analizinį pratęsimą visojekompleksinėje plokštumoje. Dešinė pusė pasilieka nepakitusi pagal

1. PIRMINIAI IR NULIAI 73s ↦→ 1 − s. Iš to seka Riemann’o funkcinė lygtis:((6.9) π − s s)( )2 Γ ζ(s) = π − 1−s 1 − s2 Γ ζ(1 − s),22ir tai galioja visiems kompleksiniams s.Pagal Euler’io sandaugą (6.1), galima lengvai parodyti, jog ζ(s) neturinulių pusplokštumėje Rs > 1. Iš funkcinės lygties ir Gama funkcijoselementarių savybių seka, kad ζ(s) virsta nuliumi su Rs < 0 būtenttaip vadinamuose trivialiuose taškuose s = −2n su n ∈ N. Sakoma,kad visi kiti ζ(s) nuliai yra netrivialūs, ir mes juos žymėsime ρ = β+iγ.Savaime suprantama, jie turi gulėti taip vadinamoje kritinėje juosto-0.10.05-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2-0.05-0.1-0.151 pav.. ζ(s) intervale s ∈ [−14.5, 0.5].je 0 ≤ Rs ≤ 1 ir lengva pamatyti, kad jie nėra realieji. Funkcinėlygtis (6.9) ir tapatybė ζ(s) = ζ(s) parodo kai kurias ζ(s) simetrijas.Būtent, netrivialūs ζ(s) nuliai yra išsidėstę simetriškai realiosios ašiesir vertikalios tiesės Rs = 1/2 atžvilgiu. Riemann’o genialus įnašas įskaičių teoriją buvo tas, jog jis parodė, kaip šių netrivialių nulių pasiskirstymassiejasi su pirminių skaičių pasiskirstymu. Riemann’as iškėlėhipotezę apie netrivialių nulių ρ = β + iγ skaičiaus N(T ) asimptotikąsu 0 < γ ≤ T (skaičiuojant su kartotinumais). Ši hipotezė 1895 m.buvo įrodyta von Mangoldt’o, kuris rado(6.10) N(T ) = T 2π log T + O(log T ).2πeRiemann’as dirbo su funkcija t ↦→ ζ( 1 + it) ir parašė, kad labai tikėtina,jog visos šaknys t yra realios. t.y visi netrivialieji nuliai guli ant2taip vadinamos kritinės tiesės Rs = 1/2. Tai yra garsi, dar neįrodytaRiemann’o hipotezė, kurią mes parrašome:Riemann’o hipotezė. ζ(s) ≠ 0 su Rs > 1/2.

74 6. INTERLIUDAS: RIEMANN’O DZETA FUNKCIJASavo hipotezei palaikyti, Riemann’as surado kai kuriuos nulius; pirmąsu teigiama menamąja dalimi ρ = 1/2 + i14.134 . . .. Dar daugiau,jis iškėlė hipotezę, jog egzistuoja konstantos A ir B, su kuriomis12 s(s − 1)π− s 2 Γ( s2)ζ(s) = exp(A + Bs) ∏ ρ(1 − s ρ)exp( sρ),kur sandauga dešinėje pusėje imama pagal visus netrivialius nulius1.510.5-1 1 2 3-0.5-1-1.52 pav.. ζ( 1 + it) reikšmės, kas t kinta nuo 0 iki 40.2(trivialūs nuliai susiprastina su Gama daugiklių poliais). Tai buvo parodytaHadamard’o 1893 m. (jo teorijos apie sveikųjų funkcijų reprezentacijossandauga dėka). Galiausiai, Riemann’as iškėlė hipotezę apietaip vadinamą išreikštinę formulę, kuri teigia, jog∞∑ π(x 1 n )(6.11) π(x) + =li −∑(li(x ρ ) + li(x 1−ρ ))nn=2+ρ=β+iγ,γ>0∫ ∞xduu(u 2 − 1) log u − log 2bet kokiam x ≥ 2, kuris nėra pirminio laipsnis (kitaip narys 1 turi 2kbūti pridėtas prie kairės pusės, kur x = p k ). Integralinis logaritmas yraapibrėžiamas taip:li(x β+iγ ) =∫ (β+iγ) log x(−∞+iγ) log xexp(z)z + δiγ dz,kur δ = +1 jei γ > 0 ir δ = −1 kitu atveju. Išreikštinė formulė buvoįrodyta von Mangoldt’o 1895, kuris rėmėsi abejomis ζ(s) išraiškomissandauga: Euler’io sandauga (6.1) ir Hadamard’o sandauga.

1. PIRMINIAI IR NULIAI 75Pasirėmę šiomis idėjomis, Hadamard’as ir de la Vallée-Poussin’asrado (nepriklausomai) pirmąjį Gauss’o hipotezės įrodymą 1896 m., garsiąjąpirminių skaičių teoremą. Dėl techninių priežasčių apsimoka dirbtisu ζ(s) logaritmine išvestine, kuri su Rs > 1 yra apibrėžtaζ ′∞ζ (s) = − ∑n=1Λ(n)n s ,kur von Mangoldt’o Λ funkcija yra apibrėžta{log p jei n = p k su k ∈ N,(6.12) Λ(n) =0 kitu atveju.Daug informacijos apie skaičiuojančiąją pirminius funkciją π(x) gaunameiš informacijos apieψ(x) := ∑ n≤xΛ(n) = ∑ p≤xlog p + O(x 1 2 log x).Iš dalinio sumavimo gauname π(x) ∼ ψ(x) . Pirmiausia mes išreikšimelog xψ(x) per dzeta funkciją. Jei c yra teigima konstanta, tada12πi∫ c+i∞c−i∞x ss ds = {1 jei x > 1,0 jei 0 < x < 1.Iš čia atsiranda taip vadinama Perron’o formulė: su x /∈ Z ir c > 1,turime(6.13) ψ(x) = − 12πi∫ c+i∞c−i∞ζ ′ζ (s)xs s ds.Perkėlę integravimo trajektoriją į kairę, gauname, kad pastaroji išraiškalygi atitinkamai reziduumų sumai, tai yra pointegrinio reiškinio reziduumuiζ(s) poliuje s = 1, ζ(s) nuliuose ir papildomame pointegrinėsfunkcijos poliuje s = 0. Pagrindinis narys yra{Res s=1 − ζ′ζ (s)xs s}= lims→1(s − 1)kur kiekvieno netrivialaus nulio ρ įnašas yra{ }Res s=ρ − ζ′ζ (s)xs = − xρs ρ .( 1s − 1 + O(1) ) xss = x,Pagal tą patį samprotavimą, trivialių nulių įnašas yra∞∑(x −2n2n = −1 2 log 1 − 1 ).x 2n=1Įtraukę reziduumą ties s = 0, gauname tikslią išreikštinę formulęψ(x) = x − ∑ x ρρ − 1 (2 log 1 − 1 )− log(2π),x 2 ρ

76 6. INTERLIUDAS: RIEMANN’O DZETA FUNKCIJAo tai yra ekvivalentu Riemann’o formulei (6.11). Ši formulė galiojavisiems x /∈ Z. Pastebėkime, kad dešinioji šios formulės dalis nėraabsoliučiai konverguojanti. Jei ζ(s) turėtų tik baigtinį netrivialių nuliųskaičių, dešinė pusė būtų tolydi funkcija nuo x, o tai prieštarautų tam,kad ψ(x) turi šuolius ties pirminiais x laipsniais. Toliau yra patogususkaidyti integralą formulėje (6.13) ties t = ±T , iš ko seka nupjautasvariantas(6.14) ψ(x) = x − ∑ x ρ ( x)ρ + O T (log(xT ))2 ,|γ|≤Tir tai galioja visoms x reikšmėms. Toliau mums reikės informacijos apienetrivialių nulių pasiskirstymą. Jau faktas, kad ζ(s) nevirsta nuliumiant tiesės Rs = 1 duoda asimptotinius sąryšius ψ(x) ∼ x ir atitinkamaiπ(x) ∼ li(x), o tai yra Gauss’o hipotezė ir pakanka daugeliui taikymų.Tačiau tikslesnės asimptotikos su liekamuoju nariu gali būti gaunamosiš regiono be nulių kritinėje juostoje. Didžiausias regionas be nuliųfunkcijos ζ(s) buvo gautas Vinogradov’o ir Korobov’o (nepriklausomai)1958 m., kurie įrodėcζ(s) ≠ 0, kur Rs ≥ 1 −,(log(|t| + 3)) 1 3 (log log(|t| + 3)) 2 3kur c yra teigiama absoliuti konstanta. Kartu su Riemann’o-von Mangoldt’oformule (6.10), galima gauti netrivialių nulių (6.14) sumos įvertį.Subalansavę T ir x, gauname pirminių skaičių teoremą su geriausiuliekamuoju nariu:Teorema 6.2. Egzistuoja absoliuti teigiama konstanta C tokia, kadpakankamai dideliems x galioja( ())π(x) = li(x) + Ox exp−C (log x) 3 5(log log x) 1 5Pagal išreišktinę formulę (6.14), Riemann’o hipotezės įtaka pirminiųskaičių pasiskirstymui darosi matoma. 1900 m. von Koch’as parodė,kad fiksuotam θ ∈ [ 1 2 , 1)(6.15) π(x) − li(x) ≪ x θ+ϵ ⇔ ζ(s) ≠ 0 su Rs > θ;ekvivalenčiai galime pakeisti kairę pusę ψ(x) − x. Čia ir toliau ϵ žymimažą teigiamą konstantą, nebūtinai tą pačią. Žinomų ζ(s) nuliųant kritinės tiesės atžvilgiu, paklaida θ < 1 yra neįmanoma. Taigi2Riemann’o hipotezė teigia, kad pirminiai skaičiai yra taip tolygiai pasiskirstę,kaip įmanoma!Buvo atlikta daug skaičiavimų kontrpavyzdžiui Riemann’o hipotezeirasti. Van de Lune, te Riele ir Winter’is rado pirmus 1 500 000 001nulius, visus be išimties gulinčius ant kritinės tiesės; dar daugiau, visijie yra paprastieji! Pagal tokius kaip šis pastebėjimus, keliama hipotezė,kad visi ar beveik visi dzeta funkcijos nuliai yra paprastieji. Tai.

1. PIRMINIAI IR NULIAI 77yra taip vadinama esminė paprastumo hipotezė. Jau klasikinės tankumoteoremos (pvz. Bohr’o ir Landau) parodo, kad dauguma nulių gulikaip norima arti kritinės tiesės. Iš kitos pusės, Hardy’s parodė, kad begalo daug nulių guli ant kritinės tiesės. Patikslinęs Selberg’o techniką,Levinson’as nustatė, kad daugiau negu viena trečioji netrivialių nuliųguli ant kritinės tiesės, ir kaip Heath-Brown’as ir Selberg’as (nepublikuota)atrado, jie visi yra paprastieji. Dabartinis rekordas priklausoConrey’ui, kuris parodė, kad daugiau negu dvi penktosios nulių yrapaprastieji ir guli ant kritinės tiesės.Mes pateikiame Denjoy’aus heuristinį tikimybinį argumentą, pagalkurį Riemann’o hipotezė yra teisinga. Šiam tikslui mes įvedameMöbius’o µ funkciją, kuri yra apibrėžta taip: µ(1) = 1, µ(n) = 0 jei nturi kvadratinį daliklį ≠ 1 ir µ(n) = (−1) r , jei n yra r skirtingų pirminiųsandauga. Lengva įsitikinti, kad µ(n) yra multiplikatyvi ir pasirodokaip Dirichlet eilutės, atvirkštinės dzeta funkcijai, koeficientai:ζ(s) −1 = ∏ p(1 − 1 )=p s∞∑n=1µ(n)n s ,o tai teisinga su Rs > 1. Riemann’o hipotezė ekvivalenti įverčiuiM(x) := ∑ n≤xµ(n) ≪ x 1 2 +ϵ .Tai siejasi su (6.15). Dabar Denjoy’us [38] argumentavo taip: tarikime,{X n } yra atsitiktinių dydžių seka su pasiskirstymuP(X n = +1) = P(X n = −1) = 1 2 .Apibrėžkime S 0 = 0 ir S n = ∑ nj=1 X j, tada {S n } yra simetrinis atsitiktinisklaidžiojimas aibėje Z 2 su pradiniu tašku 0. Paprastas Chebyshev’onelygybės taikymas duoda bet kokiam teigiamam c:P{|S n | ≥ cn 1 12 } ≤2c , 2o tai parodo, kad didelės S n reikšmės yra reti įvykiai. Pagal Moivre’o-Laplace’o teoremą, galima patikslinti. Iš to seka{lim P |S n | < cn 1 2n→∞}= 1 √2π∫ c−cexp(− x22)dx.Kadangi dešinė pusė artėja į 1, kai c → ∞, mes gauname{}lim P |S n | ≪ n 1 2 +ϵ = 1n→∞visiems ϵ > 0. Mes pastebime, kad tai gali būti traktuojama kaipMöbius’o µ funkcijos reikšmių pasiskirstymo modelis. Iteruoto logaritmodėsnis duotų netgi stipresnį įvertį{}lim P |S n | ≪ (n log log n) 1 2 = 1,n→∞

78 6. INTERLIUDAS: RIEMANN’O DZETA FUNKCIJAo iš to galima spėti, kad viršutinis M(x) rėžis yra x(log log x) 1 2 . Šisįvertis yra gana artimas taip vadinamai silpnajai Mertens’o hipotezei,kuri teigia∫ X( ) 2 M(x)dx ≪ log X.x1Pastebėkime, kad iš to seka Riemann’o hipotezė ir esminio paprastumohipotezė. Iš kitos pusės, Odlyzko ir te Riele paneigė originaliąMertens’o hipotezęparodydami, kad(6.16) lim infx→∞M(x)x 1 2|M(x)| < x 1 2 ,< −1.009 ir lim supx→∞M(x)x 1 2> 1.06;3 pav.. Atsitiktinis klaidžiojimas, generuotas µ funkcijosreikšmių su n ≤ 10 000.2. Tolygaus pasiskirstymo ir ergodinės teorijos taikymaiMūsų pirmas taikymas yra apie dzeta funkcijos netrivialių nulių ordinačiųaritmetinę prigimtį. Rademacher’is [104] įrodė stebėtiną rezultatą,kad tos ordinatės yra tolygiai pasiskirsčiusios moduliu vienetas,jei Riemann’o hipotezė yra teisinga; vėliau Elliott’as [46] pastebėjo,kad pastaroji sąlyga gali būti atmesta ir (nepriklausomai) Hlawka [57]pasiekė šį besąlyginį rezultatą:Teorema 6.3. Dzeta funkcijos netrivialių nulių ordinatės yra tolygiaipasiskirsčiusios moduliu vienetas.

2. TOLYGAUS PASISKIRSTYMO IR ERGODINĖS TEORIJOS TAIKYMAI 79Įrodymas. Mums reikės kai kurių gilių dzeta funkcijos teorijos rezultatų.Mes pradedame Landau [85] teorema, kuri sako, kad su x > 1,∑x ρ = −Λ(x) T + O(log T ),2π0

80 6. INTERLIUDAS: RIEMANN’O DZETA FUNKCIJAPagal seną hipotezę, netrivialių nulių ordinatės yra nepriklausomosvirš racionaliųjų skaičių. 1 Ingham’as [62] pastebėjo įdomų faktą apieMöbius’o µ funkcijos reikšmių pasiskirstymą parodydamas, kad jei netrivialiųnulių ordinatės iš tiesų yra nepriklausomos virš racionaliųjų,tada lim sup x→∞ M(x)x − 1 2 = +∞ ir lim inf x→∞ M(x)x − 1 2 = −∞, ir taiturėtų būti palyginta su (6.16).Mūsų antras tikslas yra nesenas ergodinės teorijos taikymas (žr. [116]).Šiam tikslui mums reikia ergodinės realiųjų tiesės transformacijos. Adler’isir Weiss’as [2] nuseka transformaciją x ↦→ x − 1 į Boole’o [22]xstraipsnį iš antros devyniolikto amžiaus pusės, kuris pastebėjo įstabiątapatybę ∫ f(x) dx = ∫ f(x − 1 ) dx, galiojančią visoms tolydžiomsR R xfunkcijoms f; mes cituojame iš jų įvado:Dabar, kai gerai žinoma, kad yra fundamentalūs skirtumaitarp matą išsaugančių transformacijų bagtinių matoerdvių ir begalinių mato erdvių. Būtent, pastaroji teorijakenčia dėl nedaugelio gerų pavyzdžių, ir taigi kilo natūralusklausimas—ką gali ergodinė teorija pasakyti apieBoole’o transformaciją…Adler’is ir Weiss’as įrodo, kad Boole’o transformacija iš tiesų yra ergodinė,kaip brangus skaitytojas tikriausiai jau įtarė. Dėl tam tikrųpriežasčių mes nagrinėsime kitokią, tačiau susijusią, transformaciją,kuri turi tą pransašumą, jog su ja yra asocijuota baigtinė mato erdvė.Prisiminkime transformacijas, apibrėžtas T 0 = 0 ir T x = 1(X − 1)2 xsu x ≠ 0 virš R (tai yra Pavyzdys 7 iš Skyriaus 3). Mūsų tikslasyra nagrinėti dzeta funkcijos reikšmes ant vertikalių tiesių šios transformacijosatžvilgiu. Pirmiausia mes pastebime, kad T yra ergodinė.Kadangi tik T -invariantinės aibės A susijusio tikimybinio mato P atžvilgiu,duoto (3.3), yra A = {0} ir A = R, su kuriomis P(A) = 0 ar= 1, transformacija T yra ergodinė. Dabar mes apibrėžiameR ∋ x ↦→ f(x) := ζ(s + ix),taigi f yra integruojama P atžvilgiu visiems s su Rs > − 1 . Tai iš2karto seka iš šio įverčio⎧⎪⎨ 0, jei σ > 1,(6.19) ζ(σ + it) ≪ t µ(σ)+ϵ 1−σsu µ(σ) ≤ , jei 0 ≤ σ ≤ 1,⎪⎩122− σ, jei σ < 0,kai t → ∞. Taigi pritaikius Birkhoff’o teoremą, gauname, kad suRs > − 1 galioja21 ∑lim ζ(s + iT n x) = 1 ∫dτζ(s + iτ)N→∞ Nπ1 + τ 20≤n

2. TOLYGAUS PASISKIRSTYMO IR ERGODINĖS TEORIJOS TAIKYMAI 81beveik visiems x ∈ R. Šių ergodinių ribų įvertinimui mes naudosime kitąšių integralų interpretaciją. Neseniai Lifshits’as ir Weber’is [88] publikavostraipsnį pavadinimu “Lindelöf’o hipotezės pavyzdžiai su Cauchyatsitiktiniu klaidžiojimu”, kuris labai gerai paaiškina jų įdomausstraipsnio turinį. Jei (X m ) yra begalinė seka nepriklausomų, pasiskirsčiusiųpagal Cauchy dėsnį atsitiktinių dydžių, Cauchy atsitiktinis klaidžiojimasyra apibrėžtas C n = ∑ m≤n X m. Lifshits’as ir Weber’is bekita ko įrodė (naudodami skirtingus žymėjimus), kad beveik tikrai1(6.20) limN→∞ N∑1≤n≤N( ) 1ζ2 + iC n = 1 + o(N − 1 2 (log N) b )bet kokiam b > 2. Turėtų būti pažymėta, kad vidurkiai EX m ir EC nneegzistuoja ir, iš tikrųjų, C n reikšmės yra pavyzdžiai atsitiktinai pasiskirsčiusiųneprognozuojamo dydžio realiųjų skaičių. Taigi beveik tikrokonvergavimo Lifshits’o ir Weber’io teorema parodo, kad ζ(s) vidurkissu Cauchy atsitiktiniu klaidžiojimu s = 1 + iC 2 n lygus vienam, o iš toseka, kad dauguma dzeta funkcijos reikšmių ant kritinės tiesės yra mažos.Dar neįrodyta Lindelöf’o hipotezė teigia, kad bet kokiam ϵ > 0,galioja( ) 1(6.21) ζ2 + it ≪ t ϵ ,kai t → ∞. Iš Riemann’o hipotezės seka Lindelöf’o hipotezė (žr. [120])ir todėl kai kuriuose taikymuose Lindelöf’o hipotezė yra vertingas pakaitalas.Šiuo metu geriausias įvertis priklauso Huxley’ui, kuris gavoeksponentę 32 + ϵ vietoj mažojo ϵ viršuje. Mūsų Cesàro vidurkis∑2051N 0≤n

82 6. INTERLIUDAS: RIEMANN’O DZETA FUNKCIJATeorema 6.4. Tarkime, duotas s su Rs > − 1. Tada21 ∑lim ζ(s + iT n x) = 1 ∫dτζ(s + iτ)N→∞ Nπ1 + τ 2beveik visiems x ∈ RApibrėžkimeJei Rs < 1, tada0≤n 1.= ζ(2 + it) −11 + t 2 .Dar daugiau, tai įgalina pateikti ekvivalenčią Riemann’o hipotezėsformuluotę mūsų ergodinės transformacijos terminais. Plačiai tikima,kad jei Riemann’o hipotezė yra teisinga, tai turėtų būti susiję suEuler’io sandauga (6.1), nors ši išraiška galioja tik su Rs > 1. Šis įsitikinimasremiasi Riemann’o hipotezės kontrpavyzdžiais, kurie turi Dirichleteilutės išraišką ir tenkina Riemann’o tipo funkcinę lygtį (žr. [120]).Daugelyje Riemann’o hipotezės performulavimų galima rasti multiplikatyviąsavybę. Mūsų tikslams, mes pakeisime dzeta funkciją jos logaritmu,kuri Euler’io sandaugos dėka taip pat yra išreiškiama Dirichleteilute konvergavimo pusplokštumėje. Mes pažymime netrivialius ζ(s)nulius ρ. Balazard’as, Saias ir Yor’is [12] įrodė(6.22)12π∫Rs= 1 2log |ζ(s)||s| 2 |ds| = ∑ Rρ> 1 2logρ∣1 − ρ∣ ,ir išvedė akivaizdžią išvadą, kad Riemann’o hipotezė teisinga tradair tik tada, kai integralas virsta nuliumi. Pakeitus t = τ , integralas2lygtyje (6.22) gali būti perrašytas kaip12π∫ ∞−∞( )∣ log1 ∣∣∣∣ ζ 2 + itdt∣ 1+ it∣ ∣ 2 = 1 π2∫R( log1∣ ζ 2 + 1 )∣ ∣∣∣2 iτdτ1 + τ 2 ,o tai Balazard’as, Saias ir Yor’is taip pat interpretuoja kaip log |ζ(s)|Brown’o judesio ant kritinės tiesės su Cauchy pasiskirstymu vidurkį.Mes galime interpretuoti šį integralą kaip Cesàro vidurkio ribą pritaikiusBirkhoff’o teoremą; ergodinės teoremos pritaikomamumas akivaizduspagal (6.22). Iš to seka

2. TOLYGAUS PASISKIRSTYMO IR ERGODINĖS TEORIJOS TAIKYMAI 83Teorema 6.5. Beveik visiems x ∈ R,1 ∑( lim log1N→∞ N ∣ ζ 2 + 1 )∣ ∣∣∣2 iT n x = ∑ logρ∣1 − ρ∣ ;0≤n 1 2būtent, Riemann’o hipotezė yra teisinga tada ir tik tada, jei abi pusėsvirsta nuliumi, kairė pusė beveik visiems x.Mes patikrinome Teoremos 6.5 skaitiškai įvairioms x reikšmėms.Pavyzdžiui, su pradine reikšme x = 42, mes radome∑( 10 −6 1∣ ζ 2 + 1 ∣∣∣42)∣2 iT n = −0.0000445327 . . . .0≤n 0, egzistuoja realusis skaičius τ > 0 toks, kad(∣ ζ s + 3 ) 4 + iτ − g(s)∣ < ϵ;max|s|≤rdar daugiau, aibė visų τ ∈ [0, T ] su šia savybe turi teigiamą apatinį tankįLebesgue’o mato atžvilgiu. Tuo tarpu daug universalių dzeta funkcijųpavyzdžių yra žinoma; pavyzdžiui, Dirichlet L-funkcijos, kurios yraapibrėžtos šitaip:L(s, χ) =∞∑n=1χ(n)n s= ∏ p(1 − χ(p)p s ) −1,kur χ yra Dirichlet charakteris (tai yra grupės homomorfizmas viršlikinių klasių Z/qZ grupės), arba dzeta funckijos, asocijuotos su skaičiųkūnais (žr. apžvalgą [115]). Šalia Voronin’o originalaus įrodymo,yra tikimybinis priėjimas prie universalumo dėka Bagchi’o, Reich’o,Laurinčiko ir toliau išvystyto daugelio kitų. Šiame Voronin’o metode,ergodinė teorema yra naudojama vietoj Weyl’o tolygaus pasiskirstymoteoremos. Yra iškelta hipotezė, kad universalumas yra ergodinis reiškinys(žr. [92]). Daugiau šia nuostabia tema galima rasti [86, 92, 115];taip pat galima užmesti akį į [13] dėl šiek tiek kitokio dėstymo.Įdomu pastebėti, kad Birkhoff’as įrodė universalumo teoremą gerokaiprieš Voronin’ą. [18] darbe jis parodė, kad egzistuoja sveikojifunkcija f(z) su savybe, kad bet kuriai sveikajai funkcijai g(z), egzistuojakompleksinių skaičių seka a n tokia, kadf(z + a n ) → n→∞ g(z) tolygiai virš kompaktinių C poaibių.Nors šis rezultatas labai panašus į Voronin’o teoremą, Birkhoff’o universaliojifunkcija f nėra žinoma ir Riemann’o dzeta funkcija bei josgiminaitės iki šiol yra vienintelės žinomos universaliosios funkcijos.

84 6. INTERLIUDAS: RIEMANN’O DZETA FUNKCIJA4 pav.. ζ ( 1+ it) reikšmės, kai −155 ≤ t ≤ 155, nuspalvintaraudonai ir ζ ( 1+ iT n x ) su x = 42 ir 0 ≤ n < 10022juodai; t atsivaizduoja pagal T n 42 reikšmes.PratimaiPirmas dzeta apibrėžiančios sekos pasirodymas, atrodo, yra 14 amžiausmokslininko Oresme’o darbuose. Atvirkštinių kvadratams skaičiųsumos įvertinimas buvo viena iš didžiųjų 18 amžiaus atvirų problemų.Ko Bernoulli’ai nepadarėk, Euler’iui pasisekė.Pratimas 6.1. Pateikite griežtą Teoremos 6.1 įrodymą. Geras patarimasgalėtų būti ši formulė:∞∑k=1(−1) k (2π)2k(2k)! B 2kz 2k = πz cot(πz) − 1 = z ddzDar daugiau, įvertinkite ζ(2) šiuo būdu: patikrinkite34∞∑n=11n = ∑ ∞ 2=m=0∫ 1 ∫ 101(2m + 1) = ∑ ∞ 20m=0∫ 1 ∫ 1∞∑(xy) 2m dx dy =m=000∫ 1 ∫ 10sin(πz)log .πzx 2m y 2m dx dy0dx dy1 − x 2 y 2 .

2. TOLYGAUS PASISKIRSTYMO IR ERGODINĖS TEORIJOS TAIKYMAI 85Panaudokite transformacijasx = sin u sin vir y =cos v cos utam, kad apskaičiuotumėte dvilypį integralą ir išveskite∞∑ 1ζ(2) =n = π22 6 .n=1Šį elementarų metodą pateikė Calabi’s.Stebėtina, kad jau Euler’is turėjo dalinius rezultatus funkcinei ζ(s)lygčiai, būtent, formules ζ(s) reikšmėms su sveikaisiais ir pusiau sveikaisiaiss, susiejančias s ir 1 − s, nors jis nagrinėjo ζ(s) kaip realiojokintamojo s funkciją, ir taigi polius taške s = 1 yra rimta kliūtisζ(s) pratęsimui ant realiosios ašies. Štai jo samprotavimų schema: sum ∈ N 0 ,(6.23) 1 m − 2 m + 3 m ∓ . . . = (1 − 2 m+1 )ζ(−m),ir(x m − 2 m x 2 + 3 m x 3 ∓ . . . = x d ) xdx 1 + x .Naudodami pastarąją formulę su x = exp(2πiw), mes gauname(1 − 2 m+1 )ζ(−m) = (2πi) −m ( ddw) mexp 2πiw)1 + exp(2πiw) | w=0.Tai veda į formulę, susiejančią dzeta funkcijos reikšmes ties s = 2kir 1 − s = 1 − 2k. Euler’io įrodymui reikia modifikuotos konvergavimosąvokos—tai yra akivaizdu (6.23) atžvilgiu; sumavimo argumentųnaudojimas gali taip pat padaryti šį būdą nepriekaištingu.Pratimas 6.2. Paskaitykite [52, 120] ir pateikite griežtą sekančioEuler’io teiginio įrodymą: ζ(0) = − 1 ir su n ≥ 22ζ(1 − n) = − B nn .Pratimas 6.3. Pateikite pilnus Teoremų 6.4 ir 6.5 įrodymus. Pritaikykitešias idėjas kitoms dzeta ar L funkcijoms ir informuokite autoriųapie savo rezultatus…* * *Sekančiuose dvejuose skyriuose mes išmoksime apie tęstines trupmenasir jų stebėtinas diofantinio aproksimavimo savybes, taip pat irapie jų ergodinę elgseną.

SKYRIUS 7Trumpas grandininių trupmenų kursasGrandininės trupmenos yra galingas ginklas Diofantinių aproksimavimųteorijoje. Jos buvo naudojamos ilgą laiką ir įvairiose kultūrose,tačiau sisteminė grandininių trupmenų teorija buvo išvystyta tik 17-ame amžiuje astronomo ir matematiko Christiaan’o Huygens’o, kai jiskonstravo mechaninį planetariumą.1. Dar kartą apie Euklido algoritmąPrisiminkime Euklido algoritmą: jei duoti du teigiami sveikieji skaičiaia ir b, apibrėžkime r −1 := a, r 0 := b ir pritaikykime vienas po kitoeinančius dalijimus:r n−1 = a n r n + r n+1 su 0 ≤ r n+1 < r nsu n = 0, 1, 2 . . .. Liekanų seka r n yra griežtai mažėjanti teigiamųsveikųjų skaičių seka, taigi algoritmas turi pabaigą ir pasirodo, pagalelementarias dalybos savybes, kad mažiausia nenulinė liekana r m yralygi didžiausiam bendram a ir b dalikliui, kurį mes pažymime r m =gcd(a, b). Mes galime perrašyti Euklido algoritmą taip:(7.1)r n−1r n=⌊rn−1r nsu n ≤ m. Čia mes turime a n =ab = r ( ) −1−1 r0= a 0 + = a 0 +r 0 r 1⌋+ r n+1r nsu 0 ≤ r n+1 < r n⌊rn−1r n⌋, o iš to seka1( ) −1= . . . .ra 1 + 1r 2Pirma lygybė duoda sveikąją a 0 dalį trupmenos a ; nekreipiant dėmesiobį liekamuosius narius r 1 , . . . ,, tolesnės lygybės duoda vis geresnes irgeresnes racionalias aproksimacijas.Pavyzdys: tropiniai metai, kurie pagal apibrėžimą yra laikas nuovieno pavasario lygiadienio iki kito, susideda iš365 dienos, 5 valandos, 48 minutės ir 45.8 sekundės ≈ 365+ 4191730 dienos.87

88 7. TRUMPAS GRANDININIŲ TRUPMENŲ KURSASDeja, tai nėra sveikasis skaičius, tai kaip gi apibrėžti gerą kalendorių?Naudodami Euklido algoritmą, mes randame1730 = 4 · 419 + 54,419 = 7 · 54 + 41,54 = 1 · 41 + 13,. . .Atsižvelgdami į (7.1), gauname1730419 = 4 + 54419 ,ir atitinkamai365 + 419 ( ) −1 17301730 = 365 + ≈ 365 + 1 4194 .Tai yra ne kas kita, o Julijaus kalendorius: 1 kas ketveris metus yrakeliamieji metai su papildoma diena. Su pilnu Euklido algoritmu, mesgauname365 + 4191730 = 365 + 114 +17 +113 + 16 + 1 2Nekreipdami dėmesio į paskutinę trupmeną 1 , mes gauname racionalią2aproksimaciją365 + 194801≈ 365 +4191730 ,o tai atitinka Grigaliaus kalendorių: 2 kas 800 metų, 6 (= 200 - 194) keliamiejimetai yra praleidžiami. Japonijoje mėnulio-saulės kalendorius,pasiskolintas iš kinų, buvo naudojamas iki 1873 m., kai buvo įvestasGrigaliaus kalendorius. Mėnulio-saulės kalendoriaus atveju, tropiniaimetai yra aproksimuojami mėnulio mėnesiais, kas yra laikas nuo vienojauno mėnulio iki kito; dėl mėnulio kalendoriaus bendrai ir kinųkalendoriaus atskirai, mes nurodome į [7].1 pavadintas pagal Julijų Cezarį, kuris įvedė šį kalendorių 45 m. pr. Kr. sumoksline graikų astronomo Sosigeno iš Aleksandrijos pagalba2 pavadintą pagal popiežių Grigalių XIII, kuris įvedė šį kalendorių 1582 m., kaisaulės metai jau buvo dešimt dienų į priekį nuo Julijaus kalendoriaus; šios reformosmokslininkai buvo Aloysius Lilius ir Pietro Pitati.

Išraiška1. DAR KARTĄ APIE EUKLIDO ALGORITMĄ 89a 0 =a 1 +1a 2 + . . . +11a m−1 + 1a mvadinama (reguliaria) grandinine trupmena ir pasirodantys skaičiai a nvadinami jos daliniais dalmenimis. Norėdami taupyti vietą ir rašalą,mes naudosime santrumpą[a 0 , a 1 , a 2 , . . . , a m ].Mes traktuosime [a 0 , . . . , a m ] kaip nepriklausomų kintamųjų a 0 , . . . , a mfunkciją. Savaime suprantama,[a 0 ] = a 0 , [a 0 , a 1 ] = a 1a 0 + 1a 1ir[a 0 , a 1 , a 2 ] = a 2a 1 a 0 + a 2 + a 0.a 2 a 1 + 1Pagal indukciją, galima parodyti(7.2) [a 0 , a 1 , . . . , a n ] =[a 0 , a 1 , . . . , a n−1 + 1 ]a nir1[a 0 , a 1 , . . . , a n ] = a 0 +[a 1 , . . . , a n ] = [a 0, [a 1 , . . . , a n ]].Teigiamam skaičiui n ≤ m, išraiška [a 0 , a 1 , . . . , a n ] yra vadinama n-tąjakonvergente į [a 0 , a 1 , . . . , a m ], Dar daugiau, mes apibrėžiame rekurenčiassekas šitaip:(7.3)p −1 = 1, p 0 = a 0 , and p n = a n p n−1 + p n−2 ,q −1 = 0, q 0 = 1, and q n = a n q n−1 + q n−2 .Grandininių trupmenų skaičiavimas nėra labai sunkus dėka sekančiosteoremos:Teorema 7.1. Su 0 ≤ n ≤ m,p nq n= [a 0 , a 1 , . . . , a n ].Įrodymas. pagal indukciją.n = 1 seka iš karto iš⎫⎬⎭Atvejis n = 0 yra trivialus; atvejis[a 0 , a 1 ] = a 0a 1 + 1= p 1.a 1 q 1Dabar tarkime, kad šios teoremos formulė galioja visiems n. Atsižvelgdamiį (7.2), mes randame[[a 0 , a 1 , . . . , a n , a n+1 ] = a 0 , a 1 , . . . , a n + 1 ]a n+1

90 7. TRUMPAS GRANDININIŲ TRUPMENŲ KURSASNaudodami p n ir q n rekursijos formules, paskutinė išraiška lygi(a n + 1a n+1)p n−1 + p n−2( )= (a n+1a n + 1)p n−1 + a n+1 p n−2a n + 1a n+1q n−1 + q (a n+1 a n + 1)q n−1 + a n+1 q n−2n−2= a n+1p n + p n−1a n+1 q n + q n−1= p n+1q n+1,o tai užbaigia indukciją.Skaitiklių ir vardiklių sekos savo ruožtu turi įdomių aritmetiniųsavybių:irTeorema 7.2. Su 1 ≤ n ≤ m, galiojaĮrodymas. Iš (7.3) seka, kadp n q n−1 − p n−1 q n = (−1) n−1 ,p n q n−2 − p n−2 q n = (−1) n a n .p n q n−1 − p n−1 q n = (a n p n−1 + p n−2 )q n−1 − p n−1 (a n q n−1 + q n−2 )= −(p n−1 q n−2 − p n−2 q n−1 ).Pakartoję tai su n − 1, n − 2,…, 2, 1, mes išvedame pirmą tvirtinimą.Panašiu būdup n q n−2 − p n−2 q n = (a n p n−1 + p n−2 )q n−2 − p n−2 (a n q n−1 + q n−2 )o tai įrodo antrą teiginį.= a n (p n−1 q n−2 − p n−2 q n−1 ,Toliau mes priskiriame daliniams dalmenims a n skaitines reikšmes irpaskui pačiai grandininei trupmenai [a 0 , a 1 , . . .]. Tęsinyje mes tariame,kad a 0 ∈ Z ir a n ∈ N su 1 ≤ n < m ir taip pat a m ≥ 1. Atsižvelgiantį Teoremą 7.1, seka, jog p n ir q n yra sveikieji skaičiai su n < m; dardaugiau, pirmas Teoremos 7.2 teiginys sako, kad jie yra tarpusavyjepirminiai.Dabar leiskime, kad α yra racionalus. Tada egzistuoja tarpusavyjepirminiai sveikieji skaičiai a ir b > 0 tokie, kad α = a. Naudodamibsavo Euklido algoritmo variantą (7.1), pritaikytą r −1 = a ir r 0 = b,gauname, jog α gali būti išreikštas kaip baigtinė grandininė trupmena:Ši išraiška nėra vienintelė, nesab = [a 0, a 1 , a 2 , . . . , a m ] su a n =⌊rn−1r n⌋.[a 0 , a 1 , a 2 , . . . , a m ] = [a 0 , a 1 , a 2 , . . . , a m − 1, 1].Yra akivaizdi išeitis iš šio nevienatinumo. Mes užbaigiame: kiekvienasracionalus skaičius turi vienintelę išraišką grandinine trupmena, jei mestariame, kad dalinis dalmuo yra griežtai didesnis už vienetą.□

2. BEGALINĖS GRANDININĖS TRUPMENOS 912. Begalinės grandininės trupmenosMes galime perrašyti algoritmą (7.1) grandininės trumpmenos duotamracionaliajam skaičiui α skaičiavimui šitokiu būdu:(7.4) a 0 := α, α n = ⌊α n ⌋ + 1α n+1su n = 0, 1, . . . .Fiksavę a n = ⌊α n ⌋, mes gauname α = [a 0 , a 1 , . . . , a n , α n+1 ]. Šis algoritmasvadinamas grandininių trupmenų algoritmu. Jei α yra racionalus,iteracija baigiasi po baigtinio skaičiaus žingsnių, ir jis yra ne kas kita,kaip užslėptas Euklido algoritmas. Kas atsitinka, jei mes pradedameiracionaliu skaičiumi? Pavyzdžiui, su α = π = 3.14159 . . ., mes suskaičiuojamea 0 = ⌊π⌋ = 3 ir α 1 = 1π − 3 = 7.0625 . . . ,1a 1 = ⌊7.06251 . . .⌋ = 7 ir α 2 =7.06251 . . . − 7 = 15.99744 . . . ,1a 2 = ⌊15.99744 . . .⌋ = 15 ir α 3 =15.99744 . . . − 15 ,o tai veda į π = [3, 7, 15, α 3 ].Japonų samurajus ir matematikas Matsunaga Yoshisuke suskaičiavotesingai π 52 skaitmenų tikslumu. Jis taip pat pateikė grandininėstrupmenos skleidinio pradžią metodu (panašiu į metodą aukščiau), vadinamąreiyakujyutsu, išvertus dalyba iš nulio (žr. [56].Dabar leiskime, kad α yra bet koks iracionalus skaičius. Tada iteracijanesibaigia (nes kitaip mes gautume α išraišką baigtine grandininetrupmena, o tai prieštarautų α iracionalumui). Iš to seka, kad grandininėstrupmenos algoritmu, pritaikytu iracionaliam α, mes gaunamebegalinę baigtinių grandininių trupmenų seką:[a 0 , a 1 , . . .] := limm→∞ [a 0, a 1 , . . . , α m ].Šios sekos riba žymima [a 0 , a 1 , a 2 , . . .] ir vadinama begaline grandininetrupmena. Pirma užduotis yra išsiaiškinti, ar šis begalinis procesaskonverguoja ir, jei taip, ar riba siejasi su mūsų pradine reikšme α.Teorema 7.3. Tarkime, α = [a 0 , a 1 , . . . , a n , a n+1 ] yra iracionlus sukonverguojančiais [a 0 , a 1 , . . . , a n ] = p nq n. TadaBūtent,α − p nq n=(−1) nq n (α n+1 q n + q n−1 ) .p nα = lim = [a 0 , a 1 , a 2 , . . .].n→∞ q nĮrodymas. Pirma, mes pastebime, kad visi ankstesni pastebėjimaiapie baigtines grandinines trupmenas gali būti perkelti begalinėmsgrandininėms trupmenoms, būtent (7.3) ir Teorema 7.1. Trumpas

92 7. TRUMPAS GRANDININIŲ TRUPMENŲ KURSASpaskaičiavimas parodoα − p nq n= α n+1p n + p n−1α n+1 q n + q n−1− p nq n=Taigi iš Teoremos 7.2 seka pirmasis teiginys.Kadangi a n+1 ≤ α n+1 , mes toliau turime∣ α − p ∣n ∣∣∣ 1≤q n q n (a n+1 q n + q n−1 ) .p n−1q n − p n q n−1q n (α n+1 q n + q n−1 ) .Iracionalaus α atveju, sekos p n ir q n abi yra griežtai didėjančios sun ≥ 2. Taigi konverguojančių skaičių seka pnq nyra pakaitomis didesnėar atitinkamai mažesnė už α; su lyginiu indeksu n guli kairėje, o sunelyginiu—dešinėje α pusėje:p 0< p 2< . . . < α < . . . < p 3< p 1.q 0 q 2 q 3 q 1Jei α yra iracionalus, grandininių trupmenų algoritmas nesibaigia ir jokonvergenčių vardikliai q n sudaro griežtai monotoninę didėjančią sveikųjųskaičių seką. Iš įrodytos teoremos dalies seka, kad atstumas tarpdviejų vienas po kito einančių konvergenčių artėja į nulį. Taigi skaičiaip nq nkonverguoja į ribą [a 0 , a 1 , . . .] ir ši riba lygi α. □Lengva pastebėti, kad iracionalaus skaičiaus skleidinys grandininetrupmena yra vienintelis. Tai jau leidžia sukonstruoti realiųjų skaičiųR aibę iš racionaliųjų skaičių Q. Dar daugiau, grandininės trupmenosindukuoja realiosios ašies sutvarkymą. Jei duoti du realieji skaičiaiα = [a 0 , . . . , a n , α n+1 ] ir α ′ = [a 0 , . . . , a n , α n+1] ′ su identiškais daliniaisdalmenimis a j su j ≤ n, seka, kad bet koks α ′′ , gulintis tarp α ir α ′turi skleidinį grandinine trupmena, prasidedantį tais pačiais daliniaisdalmenimis, tiksliauα ′′ = [a 0 , . . . , a n , α ′′ n+1].Teorema 7.3 parodo grandininių trupmenų svarbą diofantinių aproksimacijųteorijoje. Čia mes pastebimeIšvada 7.4. Tarkime, α = [a 0 , a 1 , . . .] yra iracionalus su konvergentėmispnq n. Tada(7.5)∣ α − p ∣n ∣∣∣ 1< .q n a n+1 qn2Šis teiginys pagerina Dirichlet aproksimacijos teoremą 1.1: konvergenčiųseka aproksimuoja α vis geriau ir geriau (kadangi vardikliai yragriežtai didėjantys ir kiekvienas dalinis dalmuo yra didesnis arba lygusvienetui). Taigi mes ne tik žinome apie labai geras racionalias aproksimacijasduotam α, bet galime jas išreikštinai suskaičiuoti iš α skleidiniograndinine trupmena.

2. BEGALINĖS GRANDININĖS TRUPMENOS 93Iš tiesų, Hurwitz’o aproksimacijos teorema duoda kitą pagerinimą:bet kokiam α ∈ R\Q egzistuoja be galo daug racionaliųjų p tokių, kadq (7.6)∣ ξ − p q ∣ < √ 1 , 5q2ir konstanta √ 5 negali būti pakeista jokia kita didesne konstanta. Įrodymuinagrinėjama lėčiausiai konverguojanti grandininė trupmena√5 + 1F n+1= [1, 1, 1, 1, 1, . . .] = lim ,2n→∞ F nkur F n yra Fibonacci’o skaičiai, apibrėžti rekursijaF 0 := 0, F 1 := 1 ir F n+1 = F n + F n−1 su n ∈ N.Kitas begalinės grandininės trupmenos pavyzdys yra skaičiui π: 3mes suskaičiuojameπ = [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 21, 31, 14, 2, 1, 2, 2, 2, . . .].Nupjaudami grandininę trupmeną prieš dalinį dalmenį 292, mes gauname355113 = [3, 7, 15, 1] = p 3.q 3Tai veda į puikią aproksimaciją:0 < 355113 − π < 1292 · 113 = 0.0000002682 . . . ,2kurią jau žinojo kinų matematikas Tsu Chung Chi 500 m. po Kr..Dar daugiau, kita konvergentė turi neįtikėtinai didelį vardiklį: q 4 =a 4 q 3 + q 2 = 292 · 113 + 106 = 33102. Konvergenčių seka yra identiškageriausiai π racionaliajai aproksimacijai ir prasideda šitaip:31 < 333106 < 10399333102 < . . . < π < . . . < 355113 < 22 7 .Tai ne stebuklas, kaip Lagrange’as parodė 1770:Teorema 7.5. Tarkime, α yra realus su konvergentėmis p nq n. Tadasu n ≥ 2 ir bet kokiais teigiamais sveikaisiais skaičiais p, q, tenkinančiais0 < q ≤ q n ir p q ≠ pnq n,|q n α − p n | < |qα − p|.Tai yra taip vadinamas geriausių aproksimacijų dėsnis; jis parodo,kad neįmanoma aproksimuoti geriau negu grandininės trupmenosskleidinio konvergentėmis!3 Iki šiol nebuvo rasta jokios struktūros reguliariam grandininės trupmenos skleidiniuiskaičiaus π, priešingai, nei e = exp(1) = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, . . . , 1, 2n, 1, . . .]; čiašio žymėjimo prasmė yra akivaizdi.

94 7. TRUMPAS GRANDININIŲ TRUPMENŲ KURSASĮrodymas. Mes galime tarti, kad p ir q yra tarpusavyje pirminiai.Kadangi|q n α − p n | < |q n−1 α − p n−1 |,tai pakanka įrodyti teiginį su prielaida, kad q n−1 < q ≤ q n ; pilnasteiginys seka pagal indukciją.Pirma, tarkime q = q n , tada p ≠ p n irp∣q − p ∣n ∣∣∣≥ 1 .q n q nPagal Teoremą 7.3,∣ α − p ∣n ∣∣∣≤ 1 < 1 ,q n q n q n+1 2q nkur mes pasinaudojom faktu, jog q n+1 ≥ 3 (nes n ≥ 2). Pagal trikampionelygybę∣∣∣∣α − p ∣ ∣∣∣ q ∣ ≥ pq − p ∣ n ∣∣∣ −q n∣ α − p ∣n ∣∣∣> 1>q n 2q n∣ α − p ∣n ∣∣∣,q no iš čia, padauginus iš q = q n , seka teoremos nelygybė.Dabar tarkime, kad q n−1 < q < q n . Pagal Teroremą 7.2, tiesiniųlygčių sistemap n X + p n−1 Y = p ir q n X + q n−1 Y = qturi vienintelį sprendinįx =pq n−1 − qp n−1= ±(pq n−1 − qp n−1 )p n q n−1 − p n−1 q nirpq n − qp ny == ±(pq n − qp n ).p n q n−1 − p n−1 q nTaigi x ir y yra skirtingi sveikieji nenuliniai skaičiai. Mes pastebime,kad x ir y turi skirtingus ženklus, ir tas pats galioja q n α−p n ir q n−1 α−p n−1 taip pat. Taigi skaičiai x(q n α − p n ) ir y(q n−1 α − p n−1 ) turi tą patįženklą. Kadangiiš to seka, kadir tai pabaigia įrodymą.qα − p = x(q n α − p n ) + y(q n−1 α − p n−1 ),|qα − p| > |q n−1 α − p n−1 | > |q n α − p n |,PratimaiKaip greitai auga begalinės grandininės trupmenos konvergentės?Be abejo, tai priklauso nuo grandininės trupmenos ribos. Bet galimapamėginti nustatyti bendras apatines ribas konvergenčių vardikliui irskaitikliui.□

2. BEGALINĖS GRANDININĖS TRUPMENOS 95Pratimas 7.1. Duoto iracionalaus α = [a 0 , a 1 , . . .] konverentėmsp nq n, įrodykite, kadp n ≥ 2 n 2 −1 ir q n ≥ 2 n−12bet kokiam n ∈ N. Dar daugiau, parodykite, kadp nn∑ (−1) j−1= a 0 +.q n q j q j−1j=1Mūsų kita tema yra bijekcija tarp N ir Q + , kuri skiriasi nuo įprastinės,ir yra daug patogesnė, pagal Calkin’ą ir Wilf’ą [25].14✟✟✟13111 ❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚ 221✉✉✉✉✉✉✉■■■■■■■32 ✉✉✉✉✉✉✉■■■■■■■3231✻✻✻✟✟✟✻✻✻✟✟✟✻✻✻✟✟✟4 3 5 2 5 33 5 2 5 3 4✻✻✻41Pradėdami pradine reikšme 1 , rekursiškai konstruojame medį pagal1taisyklęab ↦→ aa + b , a + b.bCalkin’o-Wilf’o seka tada gaunama skaitant šį medį eilutė po eilutėspradedant nuo viršaus: 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1 4, 3, . . ..1 2 1 3 2 3 1 4 3 5Pratimas 7.2. Parodykite, kad sekantys nariai bet kokiai redukuotaitrupmenai Calkin’o-Wilf’o sekoje yra taip pat redukuoti. Toliauparodykite, kad Calkin’o-Wilf’o seka įgyja bet kokią teigiamą racionaliąreikšmę lygiai vieną kartą. Dar daugiau, suskaičiuokite racionaliųskaičių, pasirodančių pirmose keturiose Calkin’o-Wilf’o medžio eilutėse,išraiškas grandininėmis trupmenomis. Ar aptinkate kokią norsstruktūrą? Kur pasitaikys skaičius 355 ? Pabandykite surasti taisyklę,kaip Calkin’o-Wilf’o sekoje racionalieji gali būti sunumeruoti pagal113jų skleidinius grandininėmis trupmenomis. Galiausiai įrodykite, kadCalkin’o-Wilf’o seka tenkina šitokią rekursinę formulę: su n ∈ Nx 1 = 1 1 , x n+1 =1⌊x n ⌋ + 1 − {x n } .Pratimas 7.3. Įrodykite Hurwitz’o aproksimacijos teoremą; konstanta√ 5 yra glaudžiai susijusi su [1, 1, . . .]. Patarimas: naudokitegeriausio aproksimavimo dėsnį, Teoremą 7.5.Kada tik naudojamas algoritmas, yra svarbu žinoti, ar jis baigiasi,ir jei taip, tai kaip greitai.

96 7. TRUMPAS GRANDININIŲ TRUPMENŲ KURSASPratimas 7.4. Euklido algoritmo sveikiesiems skaičiams b ≤ ažingsnių skaičiui m, parodykite( √ ) −15 + 1m ≤ log(1 + log a).2Patarimas: parodykite, kad Euklido algoritmas yptatingai lėtas vienaspo kito einantiems Fiboacci’o skaičiams F n . Naudokite Binet formulę(1.8) įverčiui išvesti. Dar daugiau, parodykite, kad bet koks teigiamassveikasis skaičius turi binarinę išraiškąl∑a = a k 2 k , kur a k ∈ {0, 1}, a l = 1.k=0Nustatykite dydžio l viršutinį rėžį ir parodykite, kad a gali būti išreikštasapytiksliai log a bitais. Ką iš to galima pasakyti apie Euklido algoritmolog 2trukmės laiką?Euklido algoritmas pasibaigia polinominiu laiku priklausomai nuoduomenų. Euklido algoritmo trukmės laiko įvertį nustatė Lamé 1845m., ilgai prieš kompiuterių amžių. Stebėtina, kad vidutinis laikas nėradaug mažesnis už blogiausio atvejo laiką. Heilbronn’as [55] parodė,kad vidutinis Euklido algoritmo ilgis yra 12 log 2 log a. Žr. [122] dėlπ 2pagerinimų.Paskutinei užduočiai tikriausiai reiks žiūrėti literatūrą:Pratimas 7.5. Įrodykite Lagrange’o teoremą: iracionalaus skaičiausα skleidinys grandinine trupmena yra eventualiai periodinis tadair tik tada, jei α yra kvadratinis iracionalusis. t.y., egzistuoja neredukuojamaskvadratinis daugianaris P ∈ Z[X] su P (α) = 0.* * *Sekančiama skyriuje mes nagrinėsime grandininių trupmenų skleidiniųstatistines savybes. Mes motyvuojame šiuos tyrinėjimus pavyzdžiuiš kosmoso: jei dviejų planetų apsisukimo aplink saulę periodų santykisyra artimas racionaliam skaičiui, kas vadinama rezonansu kosminėjemechanikoje, tada šios planetos paveiks viena kitą. Pavyzdžiui, Jupiterisir Saturnas apytksliai nukeliauja 299 ir 120.5 kampines sekundesper dieną, iš to seka rezonansinė reikšmė 120.5 = 0.403 . . . ≈ 2 ir tai299 5generuoja matomą matomą trukdymą, kuris didėja kelis šimtus metųiki kol planetos grįžta į savo buvusias orbitas (žr. [5]). Kai Poincarémąstė apie mūsų saulės sistemos stabilumą, jis pasiūlė patyrinėti, kiekdaug egzistuoja rezonansinių sąryšių. Metodas yra grandininės trupmenos,nes dideli daliniai dalmenys gali būti stebėtinai gerai aproksimuojamiracionaliais skaičiais. Taigi yra svarbu suprasti, kaip daugrealiųjų skaičių turi skleidinius grandininėmis trupmenomis su dideliaisdaliniais dalmenimis.

SKYRIUS 8Grandininių trupmenų metrinė teorijaSavo laiške Laplace’ui 1812 m. sausį (daug metų prieš ergodinęir netgi mato ir tikimybių teoriją) Gauss’as aprašė ‘įdomią’ problemą,kurią jis nagrinėjo dvylika metų be tenkinančio sprendimo: suduotu 0 ≤ ξ ≤ 1, tarkime, kad m n (ξ) yra tikimybė, jog su α =[0, a 1 , a 2 , . . . , a n , α n+1 ] ∈ [0, 1) galioja nelygybė1α n+1< ξ.Savaime suprantama, m 0 (ξ) = ξ ir m n+1 priklauso nuo m n . Labaipanašu, kad Gauss’as žinojo tapatybę∞∑( ( ) ( ))1 1m n+1 (ξ) = m n − m n .k k + ξk=1Iš tikrųjų, Gauss’as parašė savo laiške, kad rado paprastą įrodymą(8.1) limn→∞m n (ξ) =ir kad riba tenkina funkcinę lygtį∞∑( ( ) 1m(ξ) = mkk+1log(1 + ξ)log 2( )) 1− mk + ξbei m(0) = 0 ir m(1) = 1. Tačiau jis negalėjo aprašyti skirtumom n (ξ) − log(1+ξ) . Gauss’as turėjo tam tikrų kalbos problemų. Jo rezultatąbuvo sunku formuluoti be mato sąvokos. Iš tiesų, jis žinojo, kadlog 2yra išimčių iš jo tikimybinės teorijos, bet terminas ‘beveik visiems ξ’atsirado tik po šimtmečio, kai Kuzmin’as [83] sėkmingai tyrinėjo nuokrypiusnuo ribos. Jo sprendimas buvo ne tik pirmas publikuotas (8.1)įrodymas, bet jis taip pat davė paklaidą nuo ribinio dėsnio. Ši paklaidabuvo pagerinta Lévy [87], kuris parodėm n (ξ) =log(1 + ξ)log 2+ O(q n )tam tikram q ∈ (0, 0.76); įrodymą galima rasti Rockett ir Szüsz [108].Geriausias žinomas rėžis yra Wirsing’o [133]. Naudodami šią Gauss’o-Kuzmin’o-Lévy teoremą įvairiais būdais, Lévy ir Khintchine’as pastebėjoįdomius grandininių trupmenų statistinius rezultatus, pvz., kad97

98 8. GRANDININIŲ TRUPMENŲ METRINĖ TEORIJAbeveik visos grandininės trupmenos [0, a 1 , a 2 , . . .] tenkina( N) 1N∏∞∏() log k1log 2(8.2) lim a n = 1 +,N→∞k 2 + 2kn=1k=1kur sandauga dešinėje konverguoja su riba apytiksliai 2.68. Šį beveikvisišką konvergavimą geometriniam vidurkiui ir daug daugiau mesįrodysime ergodiniu argumentu (nenaudodami Gauss’o-Kuzmin’o-Lévyteoremos). Kai tuo tarpu Khintchine’o ir Lévy sprendimai buvo tikimybiniai,Wolfgang’as Doeblin’as [41] 1940 m. ir Ryll’as-Nardzewski’s1951 m. nepriklausomai parodė, kad ergodinė sistema valdo grandininiųtrupmenų sudėtingą aritmetiką. Gauss’o atvaizdžio ergodiškumasjau anksčiau buvo parodytas Knopp’o [74] 1926 m. ir (nepriklausomai)Martin’o [91] 1934 m., tačiau abu vartojo skirtingą kalbą ir tyrinėjoskirtingomis kryptimis.1. Grandininės trupmenos atvaizdžio ergodiškumasGrandininės trupmenos atvaizdis T : [0, 1) → [0, 1) yra apibrėžtasšitaip:T x = 1 mod 1 su 0 < x < 1xir T 0 = 0; pastebėkime, kad su 0 < x < 1 mes taip pat galėjomeužrašyti T x = 1 − ⌊ {1x x⌋=1x}. Savaime suprantama, T n x = 0 galiojatam tikram n tada ir tik tada, jei x yra racionalus. Iš tikrųjų, iš praeito11yy00x100x11 pav.. Grandininės trupmenos atvaizdis: dešinėje—jografikas, kairėje—jo tankio grafikas.skyriaus žinome(8.3) T [0, a 1 , a 2 , . . .] = [a 1 , a 2 , a 3 , . . .] mod 1 = [0, a 2 , a 3 , . . .].Mūsų ergodiniams metodams mums reikia rasti matą tokį, kuriam Tbūtų matą išsauganti. Bendru atveju tai nėra lengva užduotis (žr.Pratimą 3.2).

1. GRANDININĖS TRUPMENOS ATVAIZDŽIO ERGODIŠKUMAS 99Čia yra sprendimas: mačiai pagal Lebesgue’ą aibei A, Gauss’o matasµ yra apibrėžtas šitaip:µ(A) = 1 ∫dxlog 2 1 + x .Tai apibrėžia tikimybinį matą virš [0, 1). Dabar mes įrodysime, kadgrandininės trupmenos atvaizdis T yra matą išsaugantis Gauss’o matoµ atžvilgiu.Pakanka parodyti, kad µ(T −1 (0, ξ)) = µ((0, ξ)), atitinkamai∫T −1 (0,ξ)Adx1 + x = ∫(0,ξ)bet kokiam ξ ∈ [0, 1). Mes pažymime∞∪T −1 (0, ξ) =n=1dx1 + x( 1n + ξ , 1 n),kur sąjunga dešinėje pusėje yra nejungi, nes 0 ≤ ξ < 1. Iš∫ 1/ndx(11 + x = log + 1 ) (− log 1 + 1 )nn + ξseka, kad∫(8.4)T −1 (0,ξ)1/(n+ξ)∞dx1 + x = ∑=n=1∞∑n=1∫ 1/n1/(n+ξ)(logdx1 + x)(1 + 1 n(− log 1 + 1 ));n + ξnėra sunku pastebėti, kad pasirodanti eilutė konverguoja. Kadangi1 + 1 n1 + 1n+ξ= n + 1nn + ξn + 1 + ξ =mes galime pakeisti eilutę (8.4) reiškiniu∞∑( (log 1 + ξ )− lognn=1Dabar skaitydami atvirkščiai, mes randame∫∞dx1 + x = ∑∫ ξ/nT −1 (0,ξ)n=1ξ/(n+1)1 + ξ n,1 + ξn+1(1 + ξn + 1∫dx ξ1 + x =0)).dx1 + x ,ir iš to seka, kad atvaizdis T yra matą išsaugantis.Toliau mes norėsime parodyti, kad µ yra ergodinis, o tai bus sudėtingiau.Teigiamiems sveikiesiems skaičiams a j , apibrėžkime∆ n := ∆ n (a 1 , . . . , a n ):= {x = [0, a 1 (x), a 2 (x), . . .] ∈ [0, 1) : a 1 (x) = a 1 , . . . , a n (x) = a n }.

100 8. GRANDININIŲ TRUPMENŲ METRINĖ TEORIJAŠios aibės susideda iš tokių x iš vienetinio intervalo, kurių daliniaidalmenys a j (x) lygūs duotoms reikšmėms a j su j = 1, . . . , n; pavyzdžiui( ) ( 1 1∆ 1 (1) =2 , 1 , ∆ 1 (n) =n + 1 , 1 ]su n ≥ 2.nIš tiesų, aibės ∆ n yra pusiau atviri intervalai su galiniais taškaisp nq nir p n + p n−1q n + q n−1,o tai iškart seka iš bijektyvaus atvaizdžio[0, 1] ∋ t ↦→ p n + tp n−1q n + tq n−1= [0, a 1 , . . . , a n + t](priedo prie mūsų pastebėjimų apie grandinines trupmenas iš praeitoskyriaus). Čia, kaip įprasta, n pq nžymi n-tą konvergentę skaičiaus[a 0 , a 1 , . . .]. Dabar pažymėkime D aibę visų intervalų ∆ n (sudarytą išvisų galimų sudaromųjų a 1 , . . . , a n ∈ N su bet kokiu n ∈ N). Tada visųintervalų ∆ n galiniai taškai sutaps su racionalių skaičių vienetiniameintervale [0, 1) aibe. Taigi D yra skaiti pusiau atvirų intervalų šeima,kuri susijusi su grandininėmis trupmenomis ir generuoja Borel’ioσ-algebrą.Naudodami Teoremą 7.2, mes suskaičiuojame aibių ∆ n Lebesgue’omatą šitaip:(8.5) λ(∆ n (a 1 , . . . , a n )) =Su 0 ≤ a < b ≤ 1, mes arba turime(8.6) {x : a ≤ T n x ≤ b} ∩ ∆ n =arba(8.7) {x : a ≤ T n x ≤ b} ∩ ∆ n =1q n (q n + q n−1 ) .[pn + ap n−1, p )n + bp n−1q n + aq n−1 q n + bq n−1(pn + bp n−1, p )n + ap n−1,q n + bq n−1 q n + aq n−1atitinkamai pagal tai, ar n yra lyginis ar nelyginis. Bet kuriuo atveju,mes turime{x : a ≤ T n x ≤ b} = T −n [a, b)ir(8.8) λ(T −n q n (q n + q n−1 )[a, b) ∩ ∆ n ) = λ([a, b))λ(∆ n )(q n + aq n−1 )(q n + bq n−1 ) .Šie techniniai skaičiavimai paliekami skaitytojui kaip Pratimas 8.2.Kadangi vardiklių seka q n yra monotoninė, galioja12 < q nq n + q n−1

1. GRANDININĖS TRUPMENOS ATVAIZDŽIO ERGODIŠKUMAS 101Atsižvelgdami į (8.8), bet kuriam intervalui I ⊂ [0, 1), mes išvedamenelygybes12 λ(I)λ(∆ n) < λ(T −n I ∩ ∆ n ) < 2λ(I)λ(∆ n ).Tos pačios nelygybės galioja ir kai mes pakeičiame I baigtine šitokiotipo nejungių intervalų sąjunga. Ir kadangi tokių nejungių sąjungų aibėgeneruoja Borel’io σ-algebrą, nelygybė (8.9) galioja bet kokiai Borel’ioaibei ir, būtent, bet kokiai mačiai pagal Lebesgue’ą aibei A:1(8.9)2 λ(A)λ(∆ n) ≤ λ(T −n A ∩ ∆ n ) ≤ 2λ(A)λ(∆ n ).Pastebėkime, kad mes pakeitėme griežtas nelygybes paprastomis nelygybėmis,nes ankstesniame argumente žingsnyje nuo intervalų iki mačiųaibių buvo aproksimacijos procesas.Tačiau mes turime įvesti Gauss’o matą µ. Mes turime12 log 2 < 1 1log 2 1 + x ≤ 1 su 0 ≤ x < 1.log 2Palyginus tankius λ ir µ, seka, kad bet kokiai mačiai pagal Lebesgue’ąaibei A, galioja nelygybės:(8.10)11λ(A) < µ(A) ≤2 log 2 log 2 λ(A).Dabar mes panaudosime šias nelygybes atsikratyti Lebesgue’o mato.Iš (8.9) ir (8.10) seka, kad(8.11) µ(T −n A ∩ ∆ n ) > log 24 µ(A)µ(∆ n).Dabar mes galime įrodyti šitokį teiginį:Teorema 8.1. Grandininės trupmenos atvaizdis T yra matą išsaugantiergodinė transformacija tikimybinėje erdvėje ([0, 1), L, µ), kur Lyra mačių pagal Lebesgue’ą aibių šeima intervale [0, 1) ir µ yra Gauss’omatas. Būtent, ([0, 1), L, µ, T ) yra ergodinė sistema.Įrodymas. Mes jau parodėme, kad atvaizdis T yra µ-invariantinis.Taigi belieka parodyti, kad jis yra ergodinis. Tarkime, duota teigiammato Lebesgue’o aibė B. Toliau mes tariame, kad B papildinys turiteigiamą matą. Tada B galima pavaizduoti kaip nejungių aibių sąjungąB = E ∪ F , kur E yra Borel’io aibė su matu µ(E) = µ(B) ir F yranulinio mato (žr. [47]). Dabar tarkime, kad µ(B) < 1. Kadangi Bpapildinys turi teigiamą matą, tai taip pat galioja aibei E C . Bet kokiamϵ > 0 egzistuoja aibė G ϵ , kuri gali būti išreikšta kaip baigtinė nejungiųatvirų intervalų ∆ n ∈ D sąjunga ir turi mažą simetrinį skirtumą suE C :µ(E C ∆G ϵ ) < ϵ

102 8. GRANDININIŲ TRUPMENŲ METRINĖ TEORIJA(tai tam tikra prasme yra aproksimacija). Iš (8.11) seka, kadµ(E ∩ G ϵ ) ≥ γµ(G ϵ ) su γ = log 24 µ(B).Pagal konstrukciją mes gaunameµ(E C ∆G ϵ ) ≥ µ(E ∩ G ϵ ) ≥ γµ(G ϵ ) ≥ γµ(E C ∩ G ϵ ) > γ(µ(E C ) − ϵ),o iš to išplaukiaγ(µ(E C ) − ϵ) < µ(E C ∆G ϵ ) < ϵ.Iš čia gauname nelygybę γ(µ(E C ) < ϵ + ϵγ, o tai yra neįmanoma pakankamaimažiems ϵ > 0. Taigi mes radome prieštarą ir įrodome, kadµ(B) = 1. Taigi T yra ergodinė. Įrodyme mes naudojome Knopp’o [74]lemą (ir jos įrodymą): Tarkime, duota tikimybinė erdvė ([0, 1), F, λ);jei B yra mati pagal Lebesgue’ą aibė ir C yra [0, 1) subintervalų klasė,tokia, kad• bet koks [0, 1) subintervalas gali būti išreikštas kaip skaiti nejungiųC elementų sąjunga ir• bet kokiai A ∈ C, mes turime λ(A ∩ B) ≥ γλ(A) su tam tikrateigiama konstanta γ, nepriklausančia nuo A,tada λ(B) = 1. Šis ergodiškumo kriterijus svarbus praktiniams tikslams.2. Khintchine’o ir Lévy teoremosDabar mes pritaikome savo metodus ergodinei sistemai ([0, 1), L, µ, T )įspūdingiems rezultatams apie išraiškų grandininėmis trupmenomis statistiniamsduomenimis gauti. Mes pradedame beveik visur asimptotikomiskai kuriems dalinių dalmenų vidurkiams (kaip (8.2)). Khintchine’as[72] įrodėTeorema 8.2. Beveik visiems x = [0, a 1 , a 2 , . . .] ∈ [0, 1),(1) teigiamas sveikasis skaičius k pasirodo dalinių dalmenų sekojea n su asimptotiniu dažniu1limN→∞ N #{1 ≤ n ≤ N : a n = k} = 1 ()log 2 log 11 + ;k(k + 2)(2) aritmetinis dalinių dalmenų vidurkis yra begalybė:limN→∞1NN∑a n = +∞;n=1(3) geometriniam vidurkiui galioja:(∏ N) 1N ∞∏a n =limN→∞n=1k=1(1 +) log k1log 2.k(k + 2)

2. KHINTCHINE’O IR LÉVY TEOREMOS 103Pagal (i), mes turime dalinį dalmenį 1 beveik visiems x iš vienetiniointervalo su dažniu ≈ 41.50 . . . procentų, kai tuo tarpu dalinislog 4/3log 2log 9/8log 2dalmuo 2 pasirodo su apytiksliai ≈ 16.99 . . . procentų. Tai yrane kas kita, kaip sudėtingas Benford’o dėsnio ar atitinkamai Gelfand’oproblemos apie grandininių trupmenų išraiškų skaitmenų pasiskirstymąanalogas.Įrodymas. Mes rašome x = [0, a 1 (x), a 2 (x), . . .]. Prisiminkime išpraeito skyrelio, kad grandininės trupmenos atvaizdis ištrina pirmądalinį dalmenį ir pastumia likusius. Taigi a 1 (x) = ⌊x⌋ = ⌊T x⌋ ira 2 (x) = a 1 (T x) pagal (8.3), o iš to seka, kad a n (x) = a 1 (T n−1 x) sun ≥ 2. Naudodami intervalus ∇ k := ( 1, 1k+1 k], mes turime a1 (ξ) = ktada ir tik tada, jei {ξ} ∈ ∇ k , taigi(8.12) a n (x) = k ⇐⇒ a 1 (T n−1 x) = k ⇐⇒ T n x ∈ ∇ k .Konvergenčių vardiklių seka, asocijuota su grandininės trupmenos išraiškaskaičiaus x = [0, a 1 (x), a 2 (x), . . .] yra glaudžiai susijusi su iteracijųT n intervaluose ∇ k vaizdais.403220100n100000n10002 pav.. Lėtas dalinių dalmenų geometrinio vidurkio(kairėje) ir aritmetinio vidurkio (dešinėje) konvergavimaspavyzdyje x = π − 3.Kadangi pagal Teoremą 8.1 grandiniės trupmenos atvaizdis T yraergodinis, Birkhoff’o ergodinės Teoremos 4.2 pritaikymas su indikatorinefunkcija f = χ ∇k duoda1 ∑∫lim χ ∇k (T n x) = χ ∇k dµ = µ(∇ k );N→∞ N1log 21/(k+1)0≤n

104 8. GRANDININIŲ TRUPMENŲ METRINĖ TEORIJAo tai yra reikšmė, pasirodanti (i). Kadangi χ ∇k (T n x) = 1 galioja (8.12)atžvilgiu tiksliai su a n = k, (i) įrodymas yra užbaigtas.Antras teiginys įrodomas panašiu būdu naudojant laiptinę funkcijąf(x) = ⌊ 1⌋ = a x 1(x). Šiuo atveju integralas ∫ 1f dµ diverguoja į +∞.0Dėl (iii), mes nagrinėjame laiptinę funkciją f(x) = log a 1 (x), kuriąatsižvelgdami į (8.12) mes galime perrašyti kaip f(x) = log k su x ∈ ∇ k .Mes pažymime∫ 10f(x) dx =∞∑µ(∇ k ) log k ≤k=1o iš to seka ∫ f dµ konvergavimas, kadangi[0,1]∞∑k=1dµdx = 1 1≪ 1 su x ∈ [0, 1).log 2 1 + xBirkhoff’o ergodinė Teorema 4.2 duoda∑∫log a n =limN→∞1N0≤n

2. KHINTCHINE’O IR LÉVY TEOREMOS 105Mes aptarsime kelias ypatingas grandinines trupmenas šio rezultatoatžvilgiu. Pavyzdžiui, Euler’io skaičius turi šį skleidinį grandinine trupmena:e = exp(1) = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, . . . , 1, 2n, 1, ldots](įrodymą galima rasti [114]). Aritmetiniam vidurkiui galioja a 1 + a 2 +. . . + a N ∼ 1 N, kai tuo tarpu geometriniam vidurkiui galioja9√ ( ) 2N√ 2 2Na1 a 2 · . . . · a N ∼ N 3 N! ∼ 3.3ePastaruoju atveju mes pastebime elgesį, skirtingą nuo normalumo. Skaičiausπ skleidiniui grandinine trupmena nėra žinoma reguliarumo; čiakompiuteriniai eksperimentai rodo reguliarų elgesį Khintchine’o teoremosprasme.Klasikinė Lagrange’o teorema charakterizuoja kvadratinius iracionalumus,t.y., neredukuojamų kvadratinių polinomų su racionaliaisiaiskoeficientais šaknis, nes šitokie realieji skaičiai yra su eventualiai periodiniaisskleidiniais grandinine trupmena (žr. [114]). Pavyzdžiui,√ √√ 5 + 13 + 12 = [1, 2, 2, 2, . . .], = [1, 1, 1, 1, . . .], = [1, 2, 1, 2, . . .].22Būtent, daliniai kvadratinių iracionalumų dalmenys yra aprėžti ir nėralabai sunku parodyti, kad bendru atveju tai neatitinka beveik tikrosKhintchine’o teoremos statistikos. Iš tikrųjų, nėra žinoma ar kubiniaiiracionalieji—tokie kaip 3√ 2—ar algebriniai aukštesnio laipsnio iracionaliejituri ar neturi kiek norima ilgus dalinius dalmenis savo skleidiniuosegrandininėmis trupmenomis.Neseniai Wolf’as [134] patikrino pirmų 2600 netrivialių nulių ordinates(didėjimo tvarka viršutinėje pusplokštumėje), 1000 skaitmenųtikslumu, jų skleidinių grandininėmis trupmenomis atžvilgiu; buvo rasta,kad jų visų geometrinis vidurkis atitinka Khintchine’o konstantą.Tai gali būti interpretuota kaip argumentas jų iracionalumui, gilus atvirasuždavinys dzeta funkcijos teorijoje (žr. Skyrių 6.2). Mes pridedamedaugiau duomenų, rodančių kai kurių dzeta funkcijos reikšmiųiracionalumą:K 100 K 1000ζ(2) 2.21929 . . . 2.64745 . . .ζ(3) 2.40379 . . . 2.68948 . . .ζ(4) 3.10594 . . . 2.83378 . . .ζ(5) 2.75239 . . . 2.59444 . . .Čia K N := N√ a 1 · . . . · a N kur a n yra daliniai dalmenys grandininės trupmenos,atitinkančios atitinkamą dzeta funkcijos reikšmę, pvz., ζ(2) =[1, 4, 1, 1, , 8, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, . . .].

106 8. GRANDININIŲ TRUPMENŲ METRINĖ TEORIJABirkhoff’o ergodinės teoremos pagalba galime rasti daugiau asimptotiniųšitokio tipo rezultatų. Toliau mes nagrinėjame konvergenčiųvardiklių q n seką. Būtent, įdomus yra jų augimas q n → ∞ ir jis vedaprie įdomių įžvalgų diofantinės aproksimacijos atžvilgiu. Sekantiteorema buvo pateikta Lévy [87]:Teorema 8.3. Pažymėkime p nq nbeveik visiems x ∈ [0, 1)= pn(x)q n (x)1(8.13) limn→∞ n log q n(x) =irn-tąją x konvergentę. Tadaπ212 log 2∣1 ∣∣∣(8.14) limn→∞ n log x − p ∣n ∣∣∣−1= π2q n 6 log 2 .Įdomu, kad šios asimptotikos turi įvairias fizines interpretacijas,pvz., Kolmogorov’o kosmologijų entropija; žr. Csordás ir Szépfalusy[35].Įrodymas. Kadangip m (x)q m (x) = 1a 1 + [0, a 2 , a 3 , . . . , a m ] = 1a 1 + p m−1(T x)q m−1 (T x)q m−1 (T x)=p m−1 (T x) + a 1 q m−1 (T x) ,iš to seka, kad p m (x) = q m−1 (T x) su m ∈ N. Taigi1q n (x) = 1 p n (x)q n (x) q n−1 (T x) · . . . · p1(T n−1 x)q 0 (T n (x))= p n(x) p n−1 (T x)q n (x) q n−1 (T x) · . . . · p1(T n−1 x)q 1 (T n−1 x) ,kadangi q 0 (T n x) = q 0 = 1 nepriklausomai nuo x ir n. Imdami logaritmus,gauname− log q n (x) = ∑log p n−1(T j x)q n−j (T j x) .Kadangi skaičiai pn(x)q n(x)(8.15) − 1 n log q n(x) = 1 nsu liekamuoju nariuR n (x) = ∑0≤j

2. KHINTCHINE’O IR LÉVY TEOREMOS 107Pirma mes įvertinsime paklaidą R n (x). Fiksavę k = n − j, mesmatome, kad ξ := T j x priklauso intervalui ∆ k su kraštiniais taškais p kq kir p k+p k−1q k +q k−1. Dabar pagal Teoremą 7.3 ir vidurinės reikšmės teoremą išanalizės, gauname lyginiams k0 < log ξ − log p kq k==∫ ξdup k /q ku(ξ − p kq k) 1η ≤ 1q k< 1 q k (q k + q k−1 ) p k q ksu tam tikru η ∈ ( p kq k, ξ). Panašiai1< log ξ − log p kq k q knelyginiams k. Pažymėję F k k-tąjį Fibonacci’o skaičių, iš jų rekursinioapibrėžimo gauname q k (x) ≥ F k su lygybe tada ir tik tada, jei x =1(√ 5 + 1) yra aukso pjūvis. Taigi2|R n (x)| ≤n∑k=11F k,ką mes galime aprėžti naudodami Binet formulę (1.8). Pažymėjus G :=√5+1, begalinis geometrinės progresijos skleidinys duoda2∞∑ 1∞∑|R n (x)| < < G −k < +∞.F kk=1Būtent,1limn→∞ n R n(x) = 0visiems x. Taigi liekamąjį narį R n (x) (8.15) formulėje galima atmesti.Jei ši riba egzistuoja1n∑(8.16) − lim log(T n−j x),n→∞ nj=11tada lim n→∞ log q n n(x) taip pat egzistuoja ir abi ribos turi tą pačiąreikšmę. Išraiška (8.16) gali būti suskaičiuota Birkhoff’o ergodinės teoremospagalba beveik visiems x šitaip:1(8.17) limn→∞ nn∑j=1k=1log(T j x) = 1log 2∫ 10log xdx = −π21 + x 12 ,kur pasirodantis integralas buvo įvertintas (6.5) Euler’io formulės (6.2)pagalba. Tai įrodo (8.13). Tam, kad įrodytumėm antrą teiginį, mespritaikome Teoremą 7.3, kad gautume12q n q n+1

108 8. GRANDININIŲ TRUPMENŲ METRINĖ TEORIJADabar mes galime išvesti (8.14).Be Lévy teoremos, yra daug įdomių rezultatų. Philipp’as ir Stackelberg’as[99] pagerino jo rezultatą parodydamilim supn→∞beveik visiems x ∈ [0, 1), kurσ 2 1= limn→∞ n∫ 10| log q n (x) − nπ212 log 2 |√2σ2 n log log n = 1) 2 (log q n (x) − nπ2 dx12 log 2 (log 2)(1 + x)yra teigiama konstanta. Tolimesnis Philipp’o [98] rezultatas parodoGauss’o normalųjį pasiskirstymą:(lim µ x ∈ [0, 1] : log q )n(x) −nπ212 log 2n→∞ σ √ < z = 1 ∫ z√ exp(− 1 )n2π 2 u2 du,kur µ yra bet koks absoliučiai tolydus tikimybinis matas Lebesgue’omato atžvilgiu.Faivre [49] nagrinėjo kvadratinius iracionalius skaičius x. Šiuo atvejuseka 1 n log q n(x) konverguoja (dėka eventualiai periodinio skleidiniograndinine trupmena) ir jos riba β(x) yra vadinama Lévy konstanta.Įdomus klausimas, kokias reikšmes β(x) įgyja. Arnold’as pasiūlėtyrinėti dalinių dalmenų vidutinius dažnius grandininėse trupmenosekvadratinės lygties X 2 + X + q = 0 sprendinių, kai p ir q auga (pvz.,guli viduje disko su spinduliu R, kai R → ∞); stebėtina yra tai, kadsu šitokiu vidurkinimu atrodo, kad grandininės trupmenos elgiasi lygjos būtų atsitiktinių dydžių grandininės trupmenos (žr. [5, 123]). Kesseböhmer’isir Stratmann’as [70] gavo klasikinių Lévy ir Khintchine’orezultatų daugiafraktalinius apibendrinimus.Savo metriniuose tyrinėjimuose mes nepanaudojome Gauss’o ribinėsteoremos (8.1), kuri gali būti perrašyta šitaip:limn→∞ λ(T −n [0, ξ]) = µ([0, ξ]).Khintchine’o ir Lévy teoremų įrodymai naudojant šį būdą gali būti rastiRockett’o ir Szüsz’o [108] monografijoje, kur taip pat yra Gauss’o-Kuzmin’o-Lévy teoremos įrodymas su išreikštu liekamuoju nariu. Daugiaugilių rezultatų apie metrinę teoriją šio ar kito tipo grandinių trupmenų(pvz., Doeblin’o-Lenstra’os hipotezės Bosma’os,Jager’io ir Wiedijk’oįrodymą) galima rasti [36]. Analogai grandininėms trupmenomsiki artimiausio sveikojo skaičiaus buvo duoti Rieger’io [105]. Schweiger’io[111] knygoje nagrinėjami aukštesnės dimensijos grandininių trupmenųanalogai.Grandininių trupmenų teorija parodo, kad bet kokiam duotam realiajamskaičiui x egzistuoja seka (q m ) griežtai didėjančių teigiamų sveikųjųskaičių su q m ∥q m x∥ < 1, kur, kaip ir aukščiau, ∥·∥ žymi mažiausią−∞□

2. KHINTCHINE’O IR LÉVY TEOREMOS 109atstumą iki kito sveikojo skaičiaus. Littlewood’as iškėlė hipotezę, kadinf n∥nx∥∥ny∥ = 0 su visais x, y ∈ R.n∈NNėra sunku parodyti, kad tai galioja racionaliesiems ir kvadratiniamsiracionaliesiems skaičiams. Bet kokiam duotam x Adamczewski’s irBugeaud [1] sukonstravo kontinuumo galios realių skaičių y aibę su aprežtaisdaliniais dalmenimis, su kuriais pora (x, y) tenkina stiprią Littlewood’ohipotezės formą. Neseniai Einsiedler’is, Katok’as ir Lindenstrauss’as[44] įrodė, kad Littlewood’o hipotezė teisinga beveik visiemsrealiesiems skaičiams: Hausdorff’o dimensija išimtinių porų (x, y) ∈ R 2aibės turi nulinį matą. Elon’as Lindenstrauss’as neseniais gavo Fields’omedalį Tarptautiniame Matematikų Kongrese 2010 Hyderabad’e už savodarbą apie dinaminių sistemų ir diofantinės analizės sąveiką! Be savodarbo apie Littlewood’o hipotezę, jis išsprendė taip vadinamą kvantinęergodiškumo hipotezę. 1Mes nepaminėjome daugelio ergodinės teorijos taikymų Diofantinėmslygtims. Pavyzdžiui, su bekvadračiu skaičiumi d > 1 mums įdomiaibė taškų su sveikosiomis koordinatėmis antros dimensijos sferojespindulio √ d:I d := {x = (x, y, z) ∈ Z 3 : x 2 + y 2 + z 2 = d}.Gilus Gauss’o rezultatas parodo, kad I d yra netuščia tada ir tik tada,kai d nėra formos 4 a (8b−1) teigiamiems sveikiesiems skaičiams a, b. 20amžiaus šeštajame dešimtmetyje Linnik’as [89] parodė, kad kai d → ∞tarp bekvadračių sveikųjų skaičių su d ≡ ±1 mod 5, aibė{x/ √ d : x ∈ I d } ⊂ § 2tampa tolygiai pasiskirsčiusi virš vienetinės sferos S 2 Lebesgue’o matoatžvilgiu. Linnik’as naudojo ergodinę teoriją. Apribojimas d ≡ ±1mod 5 buvo pašalintas Duke’o [42].PratimaiBe darbo nebus rezultatų! Štai kitas raundas patirti grandininiųtrupmenų ir ergodinės teorijos pasaulį.Pratimas 8.1. Parodykite, kad grandininės trupmenos atvaizdis Tneišsaugo mato Lebesgue’o mato atžvilgiu.Pratimas 8.2. Įrodykite teginius (8.5)-(8.8).Pratimas 8.3. Įrodykite Knopp’o lemą bendriausiu atveju. Dardaugiau, užpildykite visus tarpus, kaip, pavyzdžiui, Binet formulė (1.8)ir (8.14) išvedimas iš (8.13). Patarimas: [36] gali pagelbėti.1 Ir daugiau Fields’o medalių buvo skirta matematikams, dirbantiems su ergodineteorija, tačiau tai yra kito skyriaus tema.

110 8. GRANDININIŲ TRUPMENŲ METRINĖ TEORIJAPratimas 8.4. Kai kuriems kvadratiniams ar kubiniams iracionalumamssuskaičiuokite pirmus dalinius dalmenis jų išraiškos grandininetrupmena ir pabandykite palyginti jų geometrinio ir aritmetinio vidurkiųasimptotinę elgseną.Pratimas 8.5. Įrodykite, kad realiųjų skaičių aibė, turinti skleidinįgrandinine trupmena su aprėžtais daliniais dalmenimis, turi nulinįLebesgue’o matą. Dar daugiau, parodykite, kad duotai funkcijai f suf(n) > 1 su n ∈ N tokia, kad ∑ ∞n=11f(n)diverguoja, tada aibė{x = [a 0 , a 1 , . . .] ∈ [0, 1) : a n < f(n) su n ∈ N}turi nulinį matą. Jei jums pasisekė, pabandykite įrodyti su tokia pačiahipoteze apie f, kad{x = [a 0 , a 1 , . . .] ∈ [0, 1) : a n (x) > f(k) su be galo daug k ∈ N}turi nulinį matą. Patarimas: pastarasis įrodymas nadoja Borel’io-Cantelli’o lemą iš tikimybių teorijos; tolesniems patarimams žiūrėkite[108].Iš to seka, kad dauguma skaičių turi skleidinį grandinine trupmenasu daliniais dalmenimis, kurie, nors ir neaprėžti, nėra per daug dideli!Štai kitas Khintchine’o [72] rezultatas:Pratimas 8.6. Parodykite, kad beveik visiems x = [0, a 1 , a 2 , . . .],NlimN→∞1a 1+ . . . + 1 = 1.74540 . . . .a NDar daugiau, tarkime, kad f yra funkcija su f(k) = O(k 1−δ ) kuriamnors teigiamam δ. Įrodykite, kad beveik visiems x = [a 0 , a 1 , . . .],( )1N∑∞∑ log 1 + 1k(k+2)lim f(a n ) = f(k).N→∞ Nlog 2n=1k=1* * *Savaitės tikrai neužtenka išmokti visų nuostabių ergodinės teorijostaikymų aritmetikoje. Mes nekalbėjome apie Oppenheim’o hipotezėsMargulis’o įrodymą apie neapibrėžtų kvadratinių formų su trimis nežinomaisiaisreikšmes, mes taip pat nepaminėjome nesenų rezultatų apiekvantinį ergodiškumą. Kitame ir paskutiniame skyriuje, mes žvelgiameį kitą, visiškai skirtingą, ergodinės skaičių teorijos kryptį, kurioje nėraintegralų, net apstu kompaktiškų aibių…

Literatūra[1] B. Adamczewski, Y Bugeaud, On the Littlewood conjecture insimultaneous Diophantine approximation, J. London Math. Soc.73 (2006), 355–366[2] R.L. Adler, B. Weiss, The ergodic infinite measure preservingtransformation of Boole, Israel J. Math. 16 (1973), 263–278[3] M. Agrawal, N. Kayal, N. Saxena, PRIMES is in P, Ann. of Math.160 (2004), 781–793[4] R. Apéry, Irrationalité de ζ(2) et ζ(3), Astérisque 61 (1979), 11–13[5] V.I. Arnold, Stochastic and Deterministic Chararcteristics of Orbitsin Chaotically Looking Dynamic Systems, Trans. MoscowMath. Soc. 70 (2009), 31–69[6] V. I. Arnold, A. Avez, Ergodic Problems of classical mechanics,Benjamin, NY 1968[7] H. Aslaksen, When is Chinese New Year?,www.math.nus.edu.sg/aslaksen/[8] J. Avigad, P. Gerhardy, H. Towsner, Local stability of ergodicaverages, Trans. A.M.S. 362 (2010), 261–288[9] L. Baéz-Duarte, Sobre el promedio espacial del ciclo de Poincaré,Bull. Venezuela Acad. Sciences 24 (1964), 64–66; angliškas vertimashttp://front.math.ucdavis.edu/0505.5625[10] D.H. Bailey, P.B. Borwein, S. Plouffe, On the rapid computationof various polylogarithmic constants, Math. Comp. 66 (1997),903–913[11] D.H. Bailey, R.E. Crandall, On the random character of fundamentalconstant expansions, Exper. Math. 10 (2001), 175–190[12] M. Balazard, E. Saias, M. Yor, Notes sur la fonction de Riemann,2. Advances Math. 143 (1999), 284–287[13] F. Bayart, É. Matheron, Dynamics of linear operators, CambridgeUniversity Press 2009[14] V. Becher, S. Figueira & R. Picchi, Turing’s unpublished algorithmfor normal numbers, Theor. Computer Science 377 (2007), 126–138[15] J. Beck, Super-uniformity of the typical billiard path, in: An irregularmind: Szemerédi is 70, I. Bárány, J. Solymosi (eds.), Springer2010, 39–130.[16] F. Benford, The law of anomalous numbers, Proc. Amer. Philos.Soc. 78 (1938), 551–572111

112 Literatūra[17] P. Billingsley, Ergodic theory and Information, John Wiley & Sons,New York 1965[18] G.D. Birkhoff, Démonstration d’un théorème élémentaire sur lesfonctions entières, C. R. Acad. Sci. Paris 189 (1929), 473–475[19] G.D. Birkhoff, Proof of the ergodic theorem, Proc. Nat. Acad. Sci.USA 17 (1931), 656–660[20] G. D. Birkhoff, What is the ergodic theorem?, Amer. Math.Monthly 49 (1942), 222–226[21] P. Bohl, Über ein in der Theorie der säkularen Störungen vorkommendesProblem, J. f. Math 135 (1909), 189–283[22] G. Boole, On the comparison of transcendents with certain applicationsto the theory of definite integrals, Philos. Trans. Roy. Soc.London 147 (1857), 745–803[23] É. Borel, Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques,Rend. Circ. Matematico di Palermo 27 (1909), 247–271[24] N. G. de Bruijn, K. A. Post, A remark on uniformly distributedsequences and Riemann integrability, Indagationes math. 30(1968), 149–150[25] N. Calkin, H.S. Wilf, Recounting the rationals, Am. Math. Mon.107 (2000), 360–363[26] C. Carathéodory, Über den Wiederkehrsatz von Poincaré, SitzungsberichtePreuss Akad. Wiss. (1919), 580–584[27] J.W.S. Cassels, On a problem of Steinhaus about normal numbers,Colloq. Math. 7 (1959), 95–101[28] R.V. Chacon, D.S. Ornstein, A general ergodic theorem, III. JournalMath. 4 (1960), 153–160[29] D.G. Champernowne, The construction of decimals normal in thescale of ten, J. London Math. Soc. 8 (1933), 254–260[30] G. H. Choe, Computational Ergodic Theory, Springer 2005[31] A.H. Copeland, P. Erdös, Note on normal numbers, Bull. Amer.Math. Soc. 52 (1946), 857–860[32] W. A. Coppel, Number Theory. An Introduction to Mathematics,Part B, Springer 2006[33] R. Crandall, C. Pomenrance, Prime numbers. A computationalperspective, Springer, 2001[34] J.P. Crutchfield, J.D. Farmer, N.H. Packard, R.S. Shaw, Chaos,Scientific American 255 (1986), 46–57[35] A. Csordás, P. Szépfalusy, Singularties ir Rényi information asphase transitions in chaotic states, Phys. Rev. A 39 (1989),4767–4777[36] K. Dajani, C. Kraaikamp, Ergodic theory of numbers, MathematicalAssociation of America, Washington DC 2002[37] P. Deligne, Le conjecture de Weil. II. Publ. Math., Inst. HautesÉtud. Sci. 52 (1980), 137–252

Literatūra 113[38] A. Denjoy, L’Hypothèse de Riemann sur la distribution des zérosde ζ(s), reliée à la théorie des probabilités, Comptes Rendus Acad.Sci. Paris 192 (1931), 656–658[39] M. Denker, Einführung in die Analysis dynamischer Systeme, Springer2005[40] P. Diaconis, The distributions of leading digits and uniform distributionmod 1, Ann. Probab 5 (1977), 72–81[41] W. Doeblin, Remarques sur la théorie métrique des fractions continues,Composition math. 7 (1940), 353–371[42] W. Duke, Hyperbolic distribution problems and half-integralweight Maass forms, Invent. Math. 92 (1988), 73–90[43] F.J. Dyson, H. Falk, Period of a discrete Cat mapping, Amer.Math. Monthly 99 (1992), 603–614[44] M. Einsiedler, A. Katok, E. Lindenstrauss, Invariant measures andthe set of exceptions to Littlewood’s conjecture, Ann. of Math. 164(2005), 513–560[45] M. Einsiedler, T. Ward, Ergodic Theory: with a view towardsNumber Theory, Springer 2010[46] P.D.T.A. Elliott, The Riemann zeta function and coin tossing, J.reine angew. Math. 254 (1972), 100–109[47] J. Elstrodt, Mass- und Integrationstheorie, Springer 2007, 8. Auflage[48] D. Evans, D. Searls, The fluctuation theorem, Advances in Physics51 (2002), 1529–1585[49] C. Faivre, Distribution of Lévy constants for quadratic numbers,Acta Arith. 61 (1992), 13–34[50] É. Ghys, Variantions on Poincaré’s recurrence theorem, in: TheScientific Legacy of Poincaré, É. Charpentier et el. (eds.), AMS,Providence 2010[51] P. R. Halmos, Lectures on Ergodic Theory, Math. Soc. of Japan,Tokyo 1956[52] G.H. Hardy, Divergent Series, Clarendon Press, Oxford 1949[53] G. H. Hardy, E. M. Wright, An introduction to the theory of numbers,Clarendon Press, Oxford, 1979, 5th ed.[54] G. Harman, Metric Number Theory, Clarendon Press, Oxford 1998[55] H. Heilbronn, On the average length of a class of finite continuedfractions, in Number Theory and Analysis (Papers in Honor ofEdmund Landau), Plenum, New York 1969, 87–96[56] F. Hidetoshi, T. Rothman, Sacred Mathematics, Japanese TempleGeometry, Princeton University Press 2008[57] E. Hlawka, Über die Gleichverteilung gewisser Folgen, welche mitden Nullstellen der Zetafunktion zusammenhängen, Österr. Akad.Wiss., Math.-Naturw. Kl. Abt. II 184 (1975), 459–471[58] E. Hlawka, Theorie der Gleichverteilung, BIB, Mannheim, 1979

114 Literatūra[59] E. Hlawka, C. Binder, Über die Entwicklung der Theorie der Gleichverteilungin den Jahren 1909 bis 1916, Arch. Histor. ExactSciences 36 (1986), 197–249[60] W. Hurewicz, Harmonic theorem without invariant measure, Ann.Math. 45 (1944), 192–206[61] A. Hurwitz, R. Courant, Funktionentheorie, Springer, 4. Auflage1964[62] A.E. Ingham, On two conjectures in the theory of numbers, Am.J. Math. 64 (1942), 313–319[63] K. Jacobs, Selecta Mathematica IV, Springer 1972[64] P. Jolissaint, Loi de Benford, relations de récurrence et suites équidistribuées,Elem. Math. 60 (2005), 10–18[65] M. Kac, On the notion of recurrence in discrete stochastic processes,Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 1002–1010[66] S. Kakutani, Induced measure preserving transformations, Proc.Imp. Acad. Tokyo 19 (1943), 635–641[67] S. Kakutani, Examples of ergodic measure preserving transformationswhich are weakly mixing but not strongly mixing, in “Recentadvances in topological dynamic”, Proceedings Conference YaleUniversity in honour of G.A. Hedlund, Lecture Notes Math. 318,Springer 1973, 143–149[68] T. Kamae & M. Keane, A simple proof of the ration ergodic theorem,Osaka J. Math. 34 (1997), 653–657[69] Y. Kanada, D. Takahashi, Calculation of π to 51.5 billion decimaldigits on distributed memory parallel processors, Trans. Inform.Process. Soc. Japan 39 (1998), 2074–2083[70] M. Kesseböhmer, B.O. Stratmann, A multifractal analysis forStern-Brocot intervals, continued fractions and Diophantinegrowth rates, J. reine angew. Math. 605 (2007), 133–163[71] A.Yu. Khintchine, Zu Birkhoffs Lösung des Ergodenproblems,Math. Ann. 107 (1933), 485–488[72] A.Yu. Khintchine, Metrische Kettenbruchprobleme, CompositioMath. 1 (1935), 361–382[73] A. Klenke, Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer 2006[74] K. Knopp, Mengentheoretische Behandlung einiger Probleme derdiophantischen Approximationen und der transfiniten Wahrscheinlichkeiten,Math. Ann. 95 (1926), 409–426[75] U. Kohlenbach, L. Leuştean, A quantitative mean ergodic theoremfor uniform convex Banach spaces, Ergodic Theory Dyn. Syst. 29(2009), 1907–1915; erratum ibid. 29 (2009), 1995[76] J. F. Koksma, Ein mengentheoretischer Satz über die Gleichverteilungmodulo 1, Compositio Math. 2 (1935), 250–258[77] A. N. Kolmogorov, Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung,Springer 1933

Literatūra 115[78] A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Measure, Lebesgue Integrals, andHilbert Space, Academic Press, New York and London 1961[79] D. König, A. Szücs, Mouvement d’un point abandonné à l’intérieurd’un cube, Palermo Rend. 36 (1913), 79–90 (vengrų kalba)[80] A. V. Kontorovich, S. J. Miller, Benford’s law, values of L-functions and the 3x+1 Problem, Acta Arith. 120 (2005), 269–297[81] U. Krengel, Ergodic theorems, de Gruyter 1985 (su A. Brunel’iopapildymu)[82] L. Kuipers, H. Niederreiter, Uniform distribution of sequences,John Wiley & Sons, New York 1974[83] R.O. Kuzmin, Sur un problem de Gauss, Atti Congr. Itern. Bologne6 (1928), 83–89[84] J. C. Lagarias, The ‘3X + 1’ Problem and its generalizations,Amer. Math. Mon. 92 (1985), 3–23[85] E. Landau, Über die Nullstellen der Zetafunktion, Math. Ann. 71(1912), 548–564[86] A. Laurinčikas, Limit theorems for the Riemann zeta-function,Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1996[87] P. Lévy, Sur les lois de probabilité dont dépendent les quotientscomplets et incomplets d’une fraction continue, Bull. Soc. Math.France 57 (1929), 178–194[88] M. Lifshits, M. Weber, Sampling the Lindelöf hypothesis with theCauchy random walk, Proc. London Math. Soc. 98 (2009), 241–270[89] Yu.V. Linnik, Ergodic properties of algebraic fields, Springer 1968[90] J.E. Littlewood, On the zeros of the Riemann zeta-function, Proc.Cambridge Phil. Soc. 22 (1924), 295–318[91] M.H. Martin, Metrically transitive point transformations, Bull.Amer. Math. Soc. 40 (1934), 606–612[92] K. Matsumoto, Probabilistic value-distribution theory of zetafunctions,Sugaku 53 (2001), 279–296 (japoniškai); angl. vertimasSugaku Expositions 17 (2004), 51–71[93] K. R. Matthews, A. M. Watts, A generalization of Hasse’s generalizationof the Syracuse algorithm, Acta Arith. 43 (1984), 167–175[94] C. Mauduit, J. Rivat, Sur un probleme de Gelfond: la somme deschiffres des nombres premiers, Ann. of Math. 171 (2010), 1591-1646[95] W. Narkiewicz, The development of prime number theory, Springer2000[96] J. von Neumann, Proof of the quasi-ergodic hypothesis, Nat. Proc.Acad. Sci. USA 18 (1932), 70–82[97] I. Niven, Irrational numbers, Carus Mathematical Monographs,John Wiley & Sons 1963[98] W. Philipp, Mixing sequences of random variables and probabilisticnumber theory, Memoirs Amer. Math. Soc. 114, 1971[99] W. Philipp, O.P. Stackelberg, Zwei Gesetze für Kettenbtüche,Math. Ann. 181 (1969), 152–156

116 Literatūra[100] Ch. Pisot, R. Salem, Distribution modulo 1 of the powers of realnumbers larger than 1, Comp. Math. 16 (1964), 164–168[101] H. Poincaré, Sur le problème des trois corps et les équations dela dynamique, Acta Math. 13 (1890), 1–270[102] H. Poincaré, Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Paris,Gauthier-Villars et Fils, 1892-1899[103] M. Pollicott, M. Yuri, Dynamical Systems and Ergodic Theory,London Mathematical Society 40, Cambridge University Press,1998 2[104] H.A. Rademacher, Fourier Analysis in Number Theory, Symposiumon Harmonic Analysis and Related Integral Transforms (CornellUniv., Ithaca, N.Y., 1956) in: Collected Papers of Hans Rademacher,Vol. II, pp. 434–458, Massachusetts Inst. Tech., Cambridge,Mass., 1974[105] G.J. Rieger, Mischung und Ergodizität bei Kettenbrüchen nachnächsten Ganzen, J. reine angew. Math. 310 (1979), 171–181[106] G.J. Rieger, Effective simultaneous approximation of complexnumbers by conjugate algebraic integers, Acta Arith. 63 (1993),325–334[107] B. Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unterhalb einergegebenen Grösse, Monatsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (1859),671–680[108] A.M. Rockett, P. Szüsz, Continued fractions, World Scientific1992[109] W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw Hill 1974, 2nded.[110] W. Schmidt, On normal numbers, Pacific J. Math. 10 (1960),661–672[111] F. Schweiger, Multidimensional continued fractions, Oxford 2000[112] W. Sierpinski, Démonstration élémentaire d’un théoreme de M.Borel sur les nombres absulement normaux et détermination effectived’un tel nombre, Bull. Soc. Math. France 45 (1917), 125–144[113] Ya. Sinai, The central limit theorem for geodesic flows on manifoldsof constant negative curvature, Dokl. Akad. Nauk 133 (1960),1303–1306; vert. Soviet Math. Dokl. 1 (1960), 983–987[114] J. Steuding, Diophantine Analysis, Chapman & Hall/CRC Press,Boca Raton 2005[115] J. Steuding, Value distribution of L-functions, Lecture Notes inMathematics 1877, Springer 2007[116] J. Steuding, Sampling the Lindelöf hypothesis by an ergodictransformation, preprint 2010[117] S. Tabachnikov, Geometry and billiards, Amer. Math. Soc., Providence20052 pataisytą versiją galima rasti internete adresuwww.warwick.ac.uk/~masdbl/book.html

Literatūra 117[118] T.C. Tao, Norm convergence of multiple ergodic averages for commutingtransformations, Ergod. Th. & Dynam. Sys. 28 (2008),657–688[119] R. Taylor, Automorphy for some l-adic lifts of automorphic modl representations. II, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 108(2008), 183-239[120] E.C. Titchmarsh, The theory of the Riemann zeta-function,Oxford University Press 1986, 2nd ed,. revised by D.R. Heath-Brown[121] A.M. Turing, A note on normal numbers, Collected Works. ofA.M. Turing, J.L. Britton (Ed.), North Holland, Amsterdam 1992,117–119[122] A. Ustinov, On the statistical properties of finite continued fractions,Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov.322 (2005), 186–211, 255 (rusiškai); angliškas vertimas J. Math.Sci. 137 (2006), 4722–4738[123] A. Ustinov, On the Gauss-Kuzmin statistics for finite continuedfractions, Fundam. Prikl. Mat. 11 (2005), 195–208 (rusiškai);angliškas vertimas J. Math. Sci. 146 (2007), nr. 2, 5771–5781[124] W. A. Veech, Teichmüller curves in moduli space, Eisenstein seriesand an application to triangular billiards, Invent. Math. 97(1989), 553–583; erratum: Invent. Math 103 (1991), 447[125] I. M. Vinogradov, Representation of an odd number as a sum ofthree primes, Doklady Akad. Nauk SSSR 15 (1937), 291–294 (inRussian)[126] S.M. Voronin, Theorem on the ‘universality’ of the Riemann zetafunction,Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Matem., 39 (1975), 475–486(rusiškai); Math. USSR Izv. 9 (1975), 443–445[127] S. Wagon, The Banach-Tarski paradox, Cambridge UniversityPress 1985[128] P. Walters, Ergodic Theory—Introductory lectures, Lecture Notesin Mathematics 458, Springer 1975[129] H. Weyl, Sur une application de la théorie des nombres à la mécaniquesstatistique et la théorie des pertubations, L’Enseign. math16 (1914), 455–467[130] H. Weyl, Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins, Math.Ann 77 (1916), 313–352[131] N. Wiener, A. Wintner, Harmonic analysis and ergodic theory,Amer. J. Math. 63 (1941), 415–426[132] G. Wirsching, The dynamical system generated by the 3X + 1function, Lecture Notes in Mathematics 1681, Springer 1998[133] E. Wirsing, On the theorem of Gauss-Kusmin-Lévy and aFrobenius-type theorem for function spaces, Acta Arith. 24(1973/74), 507–528

118 Literatūra[134] M. Wolf, Two arguments that the nontrivial zeros of theRiemann zeta-function are irrational, preprintą galima rastiarXiv:1002.4171v1