VI. RIBŲ TEORIJA

VI. RIBŲ TEORIJA1. SKAIČIŲ SEKA. SKAIČIŲ SEKOS RIBATegul kintamasis dydis x keičiasi savo galimų reikšmių intervale ir iš eilės įgyja šiasreikšmes – skaičius:x x , x ,..., x ,...1, 2 3 nŠie skaičiai yra išdėstyti jų eilės numerio didėjimo tvarka. Nei viena iš šių reikšmių nėrapaskutinė, kurią iš jų paimtume, po jos seka kitos, aukštesnių numerių reikšmės. Tokia kintamojodydžio x reikšmių aibė yra vadinama skaičių seka.Skaičių sekos bendrąjį narį pavadinkime xn, tada seką galėsime žymėti { x n}, t.y.{ } x x , x ,..., x ,...x = (1)n1, 2 3 nSkaičių seka yra žinoma, kai galime nustatyti jos bendrąjį narį. Tegul turime seką:⎧1⎫ 1 1 1⎨ ⎬ 1, , ,..., ,...⎩n ⎭= 2 3 n(2)Matome, kad šios sekos nariai vis mažėja. Pradedant nuo 101 nario, visi tolesni nariai yra1mažesni 1 1 , pradedant nuo 1001, mažesni už , pradedant nuo n + 1 , mažesni už ir t.t.,1001000ntačiau nei vienas iš jų nėra lygus nuliui. Taigi, kokį mažą skaičių ε paimsime, visada galima1pasirinkti tokį didelį skaičių n ≥ N , kad < ε . Šią duotosios sekos savybę galime apibūdinti, jeinsakysime, kad ji turi ribą, lygią nuliui, kai n neaprėžtai didėja, t.y.1lim =∞n→ n10 , arba → 0, kai n → ∞ . (3)nTai, kas pasakyta šios konkrečios sekos atveju, gali būti pritaikyta bet kuriai sekai.Apibrėžimas. Skaičių c vadinsime sekos { xn} = x1 , x2, x3,...,xn,... riba, jeigu kiekvienam,laisvai pasirinktam, kiek norima mažam teigiamam skaičiui ε galima surasti tokį teigiamą skaičiųN, priklausantį tik nuo ε , kad iš sąlygos n > N išplaukia nelygybė x n− c < ε .Nelygybę − c < εx nbendrasis narys xnskiriasi nuoskaičiaus c kiek norima mažai (per laisvai pasirinktą teigiamą skaičių ε ), esant pakankamaidideliam sekos nario eilė numeriui n , tai skaičius c yra šios sekos ribax ngalima paaiškinti taip: jei sekos { }⎧ 3n⎫ 3 6 9 3nPavyzdys: Raskite sekos ⎨ ⎬ = , , ,..., ,... ribą.⎩n+ 1⎭2 3 4 n + 13n3n3n− 3n− 3 3 3> lim = 3 , nes − 3 == − = < ε .n→∞n + 1 n + 1 n + 1 n + 1 n + 1© A.Laurutis, D.Šiaučiūnas Ribų teorija 78

Aptarti funkcijos ribos apibrėžimai f ( x) = clim apima atvejus, kai a reiškia bet kurį tikrąjįn→askaičių, + ∞ arba−∞ . Lygiai taip pat ir c gali įgyti bet kurią iš šių trijų reikšmių (tikrąjį skaičių,+ ∞ arba−∞ ). Kai c yra baigtinis skaičius, sakome, kad funkcija turi baigtinę ribą, kai c reiškia+ ∞ arba − ∞ , tai funkcijos riba yra neaprėžto didumo.Funkcijos artėjimo į ribą pobūdis gali būti įvairus. Funkcija gali artėti į ribą, visą laikąbūdama už ją mažesnė arba didesnė, arba pakaitomis tai tapdama didesne, tai vėl mažesne.x → ∞3. NYKSTANČIOS IR NEAPRĖŽTAI DIDĖJANČIOS FUNKCIJOS. JŲ SAVYBĖSI apibrėžimas. Funkcija α( x)), jei lim α ( x) = 0 .x→a,( arba x→∞)α = vadinama nykstančia funkcija, kai x → a , (arba, kaiyα ( x)Iš nykstančios funkcijos ribos apibrėžimo seka, kad kiekvienampakankamai mažam teigiamam dydžiui ε atsiras toks δ > 0 , kadvisiems x, tenkinantiems nelygybę x − a < δ , bus patenkintanelygybė α ( x ) < ε (92 pav.).εδδ92 pav.xPavyzdys: Funkcija ( x) = ( x −1) 22x →1, nes lim( x −1) = 0 .x→1α yra nykstanti funkcija, kaiIšnagrinėkime svarbią praktikai teoremą.Teorema. Jei funkcija y = f ( x)gali būti išreiškiama pastovaus skaičiaus b ir nykstančiosfunkcijos α ( x)suma y = b + α ( x), tai funkcijos y = f ( x)riba yra lygi b, kai x → a ( arba x → ∞ ),t.y. lim y = b .x→a( x→∞)> Kadangi y = b + α ( x), galime apskaičiuoti y− b = α( x).Iš nykstančios funkcijos apibrėžimo seka, kad, bet kokiam laisvai pasirinktam ε , visos α ( x)reikšmės, pradedant nuo tam tikros tenkina sąlyga α ( x ) < ε , taigi visiems y, pradedant nuo tamtikro, bus patenkinta sąlyga y − b < ε , o tai reiškia, kad lim y = b . Panašiai galime įrodyti irantrąją teoremos dalį, kai x → ∞ .

2. Nykstančios funkcijos α = α( x)ir apibrėžtos funkcijos z( x)nykstanti funkcija, t.y. jei lim α ( x) = 0 , o lim z( x) = c , tai lim ( α ⋅ z) = 0 .x→ax→ax→az = , kai x → a , sandauga yra2.1. Jei lim α = 0x→air lim β = 0 , tai lim α ⋅ β = 0x→ax→a2.2. Jei lim α = 0x→airc = const , tai lim α ⋅ c = 0x→a3. Nykstančios funkcijos α = α( x)ir apibrėžtos, nelygios nuliui, funkcijos z = z( x)lim α( x)( )= 0 , kai z ( a) ≠ 0 .x→az xx → a santykis yra nykstanti funkcijay = vadinama neaprėžtai didėjančia funkcija, kai x → a , jeikiekvienam teigiamam pakankamai dideliam skaičiui M galima surasti tokį δ > 0 , kad visomsx reikšmėms, nelygioms a, ir patenkinančioms sąlygą x − a < δ , yra patenkinama sąlygaII apibrėžimas. Funkcija f ( x)f ( x) > M ., kaiŠiuo atveju galime užrašyti f ( x) = ∞( x) → ∞f , kai x → a .lim arbax→aypav.)11Pavyzdys. y = . Apskaičiuojame lim = ∞ . (932xx→0x2y93 pav.Ox− 1OxNeaprėžtai didėjančioms funkcijoms gali būti nusakomalim f x lim f x .riba iš kairės ir iš dešinės. ( ) ir ( )x→−1+0 x 1x→a+0x→a−01Pavyzdys. y = (94 pav.). Apskaičiuojamex + 111lim = +∞ ir lim = −∞ .+x→−1−0x + 194 pav.neturi ribos, kaix → ∞ .Klaidinga manyti, kad kiekviena funkcija turi ribą, kaix → a ir x → ∞ . Pavyzdžiu gali būti funkcija y = sin x , kuriSavybė. Jei funkcija y = f ( x)yra neaprėžtai didėjanti funkcija, kuriai lim f ( x) = ∞yra nykstanti funkcija, nes1lim = 0x→af( x). Ir atvirkščiai, jei lim α ( x) = 0x→a, taix→a1lim = ∞ .x→aα( x), tai1f ( x)© A.Laurutis, D.Šiaučiūnas Ribų teorija 81

4. RIBŲ DĖSNIAIŠiame skyriuje, kaip ir ankstesniame mes nagrinėsime funkcijas, kurios priklauso nuo vienoargumento x, kai x → a arba x → ∞ . Įrodysime vienam iš šių atvejų, kadangi kitam atvejuiįrodymas analogiškas. Kartais prie ribos ženklo iš viso nežymėsime nei x → a , nei x → ∞ , o taireikš arba ribą, kai x → a arba ribą, kai x → ∞ .I teorema. Baigtinio skaičiaus funkcijų algebrinės sumos riba yra lygi šių funkcijų ribųlim u1 + u2+ K + u = lim u1+ lim u2+ K + lim u .algebrinei sumai, t.y. (k)k> Įrodykime dviejų funkcijų sumos atvejį. Tegul lim u1( x) = a1ir lim2( x) a2kad ( x) = a + ( x)ir ( x) = a + ( x), čia α ( x)ir ( x)u1 1α1u2 2α2u1u = . Žinome,α nykstančios funkcijos. Todėl( x) u ( x) = ( a + a ) + ( α ( x) + α ( x) = b + α( x))1+21 2 1 2,2čiaa a = b1+ 2– pastovus dydis, α + α 2= α( x)lim1– nykstanti funkcija, todėl( u1u2) = lim( b + ( x)) = b = a1+ a2= lim u1+ lim u2+ α .lim( u1u2) = limu1+ limu2+ < (1)3⎛ ⎞x + 2 x 22Pavyzdys: lim = lim⎜1⎟= lim1 + lim = 1 + 0 = 13 ⎜+5 ⎟.x→∞→∞→∞ →∞5xxx x22⎝ x ⎠xII teorema. Baigtinio skaičiaus funkcijų sandaugos riba lygi šių funkcijų ribų sandaugai, t.y.lim u 1⋅ u 2⋅K⋅u = lim u1 ⋅limu2⋅K ⋅limu .čia2kk> Įrodykime dviejų funkcijų sandaugos atvejį. Tegul u1( x) = a1ir2( x) a21 alimlim u = . Tada( x) = a + ( x), ( x) = a + ( x)( x) u ( x) = a a + a α ( x) + a α ( x) + α ( x) ( x)u1 1α1u2 2α2a – pastovus dydis, ( x ), a α ( x ) ir α ( x ) α ( x )a 1 2 2 1 1 2u1 2 1 2 1 2 2 1 1α2⋅ ,α – nykstančios funkcijos. Todėllim u1u2a1a2= lim u1⋅ lim= u ,lim u1u2= lim u1⋅limu2.< (2)Išvada.Pastovų daugiklį galima iškelti prieš ribos ženklą.> Jeigu lim u1= a1, c = const , t.y. c = climlim21= lim ⋅lim= ⋅lim.lim , todėl ( cu ) c u1c u1( cu1 ) c⋅limu133Pavyzdys. lim 7 x = 7lim x = 7 ⋅ 8 = 14 2 .x→2x→2= .< (3)© A.Laurutis, D.Šiaučiūnas Ribų teorija 82

III teorema. Dviejų funkcijų santykio riba yra lygi šių funkcijų ribų santykiui, jei vardikliou lim uriba nėra lygi nuliui, t.y. lim = , kai lim v ≠ 0 .v lim v> Tegul lim = a,lim v = b ≠ 0α x = ir β ( x ) = β – nykstančios funkcijos. Tada( ) αu . Galime užrašyti, kad u = a + α ( x) v = b + β ( x), , čiauv=a + α=b + βab⎛ a + α a ⎞+ ⎜ − ⎟ =⎝ b + β b ⎠abab + αb− ab − αβ+=babαb− aβ+ ,( b + β ) b( b + β )ačia santykis yra pastovus dydis, o b b( b + β )αb− aβ– nykstanti funkcija. Taigiu a lim ulim = = arbav b lim vu lim ulim = .< (4)v lim v1 pavyzdys.5x+ 3 limx→1lim =x→14 x − 5 lim 4x→1( 5x+ 3)( x − 5)5lim x + lim 3x→1x→15 + 3== = −84 lim x − lim 5 4 − 5x→1x→1, nes lim( 4 x 5) 1 0x→1−= −≠.Kai vardiklio riba yra lygi nuliui šios teoremos taikyti negalime. Pradžioje tenka ką norspertvarkyti.2 pavyzdys.limx→2x2− 3x+ 2= limx − 2 x→2( x −1)( x − 2)x − 2= limx→2( x −1) = 1.x3 pavyzdys. Apskaičiuokite lim→ 1 x − .x 1Negalime taikyti III teoremos, nes taške x = 1 funkcijos vardiklis yra lygus nuliui, todėlx − 1x −1lim( x −1)0nagrinėjame atvirkščiąją funkciją , kuriaix→1lim = = = 0 . Pasirodo, kad ši yraxx→1x lim x 1nykstanti funkcija. Todėl duotoji funkcija yra neaprėžai didėjanti funkcija irx→1xlimx 1 x −→ 1= ∞ .IV teorema. (Dviejų policininkų teorema). Jei tarp atitinkamų funkcijųu = u( x) , z = z( x) ir v = v( x)galioja nelygybės u ≤ z ≤ v , be to funkcija u ( x)ir v ( x), kai x → a(arba x → ∞ ) artėja į tą pačią ribą–skaičių b, tai z ( x)artėja į tą pačią ribą, kai x → a (arbax → ∞ ).Šią teoremą vadina dviejų policininkų teorema, nes funkcijos u = u( x) ir v = v( x)yrapanašios į du policininkus, kurie funkciją z = z( x)(kalinį) veda į tą pačią ribą (nuovadą).> Nagrinėkime, kai x → a . Iš nelygybės u ≤ z ≤ v seka u − b ≤ z − b ≤ v − b . Pagal teoremossąlygą lim u = b ir lim v = b, todėl, bet kokiam ε > 0 egzistuoja kokia nors sritis su centru taškex→ax→ax = a, kurioje išpildoma nelygybė u − b < ε , o taip pat egzistuoja kita sritis su centru tamepačiame taške x = a, kurioje išpildoma nelygybė v − b < ε . Mažesnėje iš šių sričių bus išpildomosdvi nelygybės−ε < u − b < ε ir −ε< v − b < ε ,© A.Laurutis, D.Šiaučiūnas Ribų teorija 83

o todėl bus išpildoma ir nelygybė− ε < z − b < ε , t.y. lim z = b . v( x), tai lim u > lim v .> Pagal teoremos sąlygą − v > 0lim u − lim v ≥ 0 , t.y.u , todėl lim( − v) ≥ 0lim u ≥ lim v . m ,5. FUNKCIJOSsin xxRIBA, KAI x → 0sin xFunkcija neapibrėžta, taške x = 0 , nes šiosxfunkcijos ir skaitiklis, ir vardiklis taške x = 0 yra lygūsnuliui. Apskaičiuokime šios funkcijos ribą, kai x → 0 .MπCPažymime ∠ MOB = x , čia x > 0 , nes 0 < x < (9521pav.) Tada ir ∪ AM = x > 0 . Akivaizdu, kad trikampioxMOA plotas yra mažesnis už skritulio sektoriausMOA plotą, kuris pats yra mažesnis už trikampio COAxplotą. Apskaičiuokime šiuos plotus:1. Trikampio MOA plotas yraOB A1 1 195 pav.S∆ MOA= OA ⋅ MB = ⋅1⋅sin x = sin x . (1)2 2 22. Skritulio sektoriaus MOA plotą apskaičiuosime,2kaip dalį skritulio ( S = πR ) ploto.x 2 x 1 2 1Ssekt. MOA= S = πR= R x = x . (2)2π2π2 23. Trikampio COA plotas yra1 1 1S∆ COA= OA ⋅ AC = ⋅1⋅tg x = tg x . (3)2 2 2Dabar jau galime užrašyti1 1 1sin x < x < tg x .2 2 2© A.Laurutis, D.Šiaučiūnas Ribų teorija 84

1Paskutiniąją nelygybę padalinkime iš sin x ir gauname2x 11 11 < < arba 1 < < , o tadasin x cos x sin x cos xxsin x1 > > cos x . (4)xNelygybę (4) apskaičiavome, pareikalavę, kad x > 0 . Tačiau pastebėkime, kad šisreikalavimas nėra būtinas, nessin( − x)sin x=( − x) xir cos ( − x) = cos x ,todėl darome išvadą, kad (4) yra teisinga ir kaix < 0 .Kadangi lim cos x = 1 ir lim1 = 1, tai,1yx→0x→0pagal anksčiau įrodytą dviejų policininkųteoremą, irsin xlim = 1→ 0. (5)x xGalime sudaryti funkcijossin xy = grafiką (96 pav.)xPavyzdžiai:tg x sin x 1 sin x 1 11. lim = lim ⋅ = lim ⋅ lim = 1⋅= 1 .x→0x x→0x cos x x→0x x→0cos x 1sin kx sin kx sin( kx)2. lim = lim k = k lim = k ⋅1= k .x→0x x→0kx kx→0kx( )− 2π96 pav.− πOπ2πx6. SKAIČIUS e. NATŪRINIAI LOGARITMAIn⎛ 1Nagrinėkime reiškinįn ⎟ ⎞⎜1 + , kuriame n –natūrinis skaičius.⎝ ⎠n⎛ 1Teorema. Kintamasis dydisn ⎟ ⎞⎛⎜1 + , turi ribą kai n → ∞ , ir ši riba 1 ⎞2 ⎜1+ ⎟ < 3 .⎝ ⎠⎝ n ⎠> Pagal Niutono binomo formulę galime užrašytin

n⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎞⎜11 1 11 ⎟⎜⎛ + ⎟ = + + ⎜ − ⎟ + ⎜ − 1 − ⎟ + ... +⎝ n ⎠ 1⋅2⎝ n ⎠ 1⋅2⋅ 3 ⎝ n ⎠⎝n ⎠⎛ 1 ⎞ 1 ⎞ 2 ⎞ ⎛ −1⎞+ ⎜ ⎟⎜⎛ 1 ⎟⎜⎛ n− 1 − ⎟...⎜1− ⎟.⎝ 1⋅2⋅ 3⋅...⋅ n ⎠⎝n ⎠⎝n ⎠ ⎝ n ⎠(1)⎛ 1Iš lygybės (1) seka, kad, didėjant n , reiškinion ⎟ ⎞⎜1 + reikšmė didėja, nes visi sumos nariai⎝ ⎠yra teigiami, o skaičių n padidinant vienetu, t.y., pereinant nuo n prie n + 1, prisideda vienasnaujas dėmuo.n⎛ 1Įsitikinkime, kad reiškinion ⎟ ⎞⎜1 + reikšmė yra aprėžta ir iš viršaus, ir iš apačios. Kadangi⎝ ⎠1 ⎞⎜⎛ 1 − ⎟ < 1⎝ n ⎠, ⎛ 1 2 ⎞⎜1 ⎟ ⎜1⎟

Iš paties reiškinion⎛ 1 ⎞⎜1 + ⎟ = 2, kai n = 1 , todėl galime tvirtinti, kad⎝ n ⎠n⎛ 1n ⎟ ⎞⎜1 + matome, kad pati mažiausia jo reikšmė yra⎝ ⎠n⎛ 1 ⎞⎜1 + ⎟ ≥ 2 . (6)⎝ n ⎠⎛Dabar jau gauname 2 11 ⎞ ≤ ⎜ + ⎟ < 3 .⎝ n ⎠n⎛ 1Taigi, reiškinysn ⎟ ⎞⎜1 + yra didėjantis ir apibrėžtas, todėl būtinai turi ribą. Šią ribą vadiname⎝ ⎠skaičiumi e.nn1 ⎞e = lim ⎜1+ ⎟n→∞⎛ (7)⎝ n ⎠Skaičius e yra iracionalusis skaičius, o apskaičiuota jo apytiksli reikšmė yrae ≈ 2,7 1828 1828 4590 45...nGalima įsitikinti, kadn n ⎟ ⎞⎜⎛ 1lim 1 + yra ta pati ir lygi skaičiui e, ne tik kai n ∈ N , bet ir tada→∞⎝⎠kai jis neapibrėžtai didėdamas įgyja visas tikrųjų skaičių reikšmes.Teorema. Funkcijosx⎛ 1 ⎞⎞y = ⎜1 + ⎟ riba, kai x → ∞ yra skaičius e, t.y. ⎜⎛ 1lim 1 + ⎟ = e .⎝ x ⎠x→∞⎝x ⎠> Nagrinėkime atvejį, kai x → +∞,o n ≤ x < n + 1 . Tadavienetą ir pakeliame skirtingais n ≤ x < n + 1 laipsniais, tadanx⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎜1+ ⎟ < ⎜1+ ⎟ < ⎜1+ ⎟⎝ n + 1 ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ n ⎠Apskaičiuojame nelygybės (8) kraštines ribasn+1n1⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞lim ⎜1+ ⎟ = lim ⎜1+ ⎟ ⋅ lim ⎜1+ ⎟ = e,n , n n , n, n( x→ → ∞ ∞) ⎝ ⎠ ( x→→ ∞ ∞) ⎝ ⎠ ( nx→→ ∞∞)⎝ ⎠14243 4 14243 4Todėl⎛ 1 ⎞lim ⎜1+ ⎟,⎝ n ⎠n( x→ ∞ ∞) ( x ∞) ( x→ ∞ ∞)en+1n+1⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞= lim ⎜1+ ⎟ ⋅ lim ⎜1+ ⎟n → , n 1 n ,⎝ + ⎠→ ⎝ n + 1→ ∞⎠14424443 14424 3n → 4e1x11 1 1< ≤ . Pridedame pon + 1 x n. (8)−1= e.⎞⎜⎛ 1lim 1 + ⎟ = e . (9)x→+∞⎝x ⎠xTegul dabarx → −∞ ir apskaičiuojame© A.Laurutis, D.Šiaučiūnas Ribų teorija 87

limx → ∞⎛⎜ 1⎝+limx → −∞⎛⎜⎝=1+lim1xx → ∞⎛⎜⎝x − x + 1 ⎞⎟x − 1 ⎠y⎞⎟⎠xxxx−==1limx → ∞⎞⎟⎠x⎛⎜⎝=1−1x⎛⎜lim ⎜ 1 +x → ∞⎜⎝⎛ 1 ⎞lim ⎜ 1 + ⎟x → +∞1 4⎝44 2x4− 144 ⎠ 3e⎞⎟⎠− x=lim⎞x ⎟− 1 ⎟14243 x − 1 ⎟⎠x − 1x → ∞⎛⎜⎝pav.), todėlx − 1xx⎞⎟⎠=⎛ 1 ⎞⋅ lim ⎜ 1 + ⎟x → +∞1 4⎝42 4x −413⎠Radome, kad ir1− x=1=e .⎞⎜⎛ 1lim 1 + ⎟ = e (97x→−∞⎝x ⎠xex⎞⎜⎛ 1lim 1 + ⎟ = e . (10)x→±∞⎝x ⎠skaičiaus x natūriniu logaritmu ir žymimas(98 pav.).1O1ye− 11O97 pav.y = ln xy = lg x10Žinome y = logax , čia logaritmopagrindas yra skaičius a. Kai a = 10,turime dešimtainius arba Brigo logaritmus(Brigas 1556–1630). Kai a = e gaunamex natūrinius arba Neperio (1550–1617)logaritmus.Taigi, kai e y = x , tai y vadinamasy = ln x . Palyginkime natūrinį ir dešimtainį logaritmusxTegul turime y = lg x arba 10 y = x .Logaritmuojame natūriniu logaritmu, tadaRandame ryšio tarp logaritmų lygtis1ln x = yln10 , y = ln x , betln10y = lg x , todėl1lg x = ln x1, čia ≈ 0, 434294 ,ln 10 ln1097 pav.ln x = ln 10 lg x , čia ln10≈ 2, 302595 .Tegul funkcija f ( x)f ( )y = .0x 07. FUNKCIJOS TOLYDUMAS. TRŪKIO TAŠKAIy = yra apibrėžta tam tikrame taške x0ir jo aplinkoje. Tegul šiame taške© A.Laurutis, D.Šiaučiūnas Ribų teorija 88

Jeigu argumentui x suteiksime teigiamąarba neigiamą pokytį ∆ x (98 pav. šis pokytisyra teigiamas), tada gausime naują taškąx = x 0+ ∆x.Nauja funkcijos reikšmė, apskaičiuotanaujame taške, yra y0 + ∆ y = f ( x0+ ∆x). Tada∆ y = f x + ∆x− f .funkcijos pokytis yra ( ) ( )0x 0y0+ ∆ yy0yy = f( x)98 pav.x0x0+ ∆ xxy = vadinama tolydžia taške x0, jei ji apibrėžta taške x0ir tamtikroje šio taško aplinkoje, be to lim ∆y= 0 .I apibrėžimas. Funkcija f ( x)∆x→0Kadangi funkcijos tolydumo sąlyga yra lim ∆ = 00tai galime užrašyti, kady∆x→ ,( f ( x + ∆x) − f ( x )) = lim f ( x + ∆x) − lim f ( x ) = 0lim ∆ y = lim0000. (1)∆x→0∆x→0∆x→0Iš reiškinio (1) galime kitaip užrašyti tolydumo sąlygą∆x→0arbaKadangix0= lim x , taix→x0lim∆x→0flim( x + ∆x) = f ( x )x→x00f( x) = f ( x )( x) = f ⎛ lim x⎟ ⎞⎠00. (2)lim f ⎜ . (3)x→x0⎝ x→x0Iš (3) išraiškos darome išvadą, kad tolydžios funkcijos ribą, kai x → x0, apskaičiuosime, kai įfunkcijos išraišką vietoje argumento x įrašysime x0.I teorema. Jei funkcijos f 1( x)ir ( x)taip pat tolydi taške x0.> Kadangi ( x)f 1ir ( x)f 2yra tolydžios taške0x , tai jų suma ( x) f ( x)f2f 2yra tolydžios taške x0, tai pagal (2) galime užrašyti, kadlimx→xPasiremkime žinomu ribų dėsniu, todėllimx→xPažymimeftodėl galime užrašyti, kad00f( x) = f ( x ) ir lim f ( x) = f ( x )110x→x( f ( x) + f ( x )) = lim f ( x) + lim f ( x) = f ( x ) + f ( x )110x→x010x→x1( x) + f 2( x) = ψ ( x)ir f ( x ) f ( x ) = ψ ( )0221 0 2 0x02+ ,100.20.1+ yra© A.Laurutis, D.Šiaučiūnas Ribų teorija 89

o tai reiškia, kad ( x)( x) lim( f ( x) + f ( x)) ( x )limψ =1 2=ψ0,x → xx → x0ψ yra tolydi taške x0funkcija.

IV apibrėžimas. Jei funkcija y = f ( x)turi baigtines ribas lim f ( x)ir lim f→ x +( x→)x −x 0pirmoji riba nėra lygi antrajai, tai taškas x = x0yra vadinamas I rūšies tašku.0x 00, betPavyzdys.y =xx⎧ x⎪= 1,kai x > 0,x= ⎨⎪ x= −1,kai x < 0.⎩−xy1xy = , x ≥ 0xOxTaške x = 0 turime I rūšies rūšies trūkio tašką.xy = , x < 0x− 1100 pav.8. TOLYDŽIŲJŲ FUNKCIJŲ SAVYBĖSŠiame skyrelyje nagrinėsime tolydžiąsias uždarame intervale funkcijas. Šių funkcijų savybessuformuluosime teoremomis, kurių įrodymų nepateiksime.a, , tai šioje atkarpoje atsiras bentvienas taškas11, čia x bet kuris kitas,skirtingas nuo x1šios atkarpos taškas ir atsiras bent vienas taškas x = x2toks, kuriame funkcijaf x ≤ f xI teorema. Jei funkcija y = f ( x)yra tolydi atkarpoje [ b]x = x toks, kuriame funkcija tenkins sąlygą f ( x ) ≥ f ( x)reikšmė tenkins sąlygą ( ) ( )y2.ax1M101 pav.x2mbxŠios reikšmės f ( x1 ) = M ir f ( x2 ) = m yravadinamos, atitinkamai, didžiausia ir mažiausiaa, b .funkcijos reikšmėmis uždarame intervale [ ]Ši teorema sako, kad tolydi atkarpoje [ a, b]funkcija šioje atkarpoje įgyja bent vienądidžiausią M ir bent vieną mažiausią m reikšmes.a, ir šios atkarpos galuose įgyjapriešingų ženklų reikšmes, tai tarp taškų a ir b atsiras bent vienas taškas x = c , kuriame funkcijosreikšmė bus lygi nuliui, t.y. f () c = 0 , kai a < c < b.II teorema. Jei funkcija y = f ( x)yra tolydi atkarpoje [ b]Šios teoremos geometrinė prasmė aiški iš brėžinio (102 pav.). Funkcijos f ( x)atkarpos [ a, b]galuose yra priešingų ženklų ( a) < 0 f ( b) > 0y = reikšmėsf , , tai tarp taškų a ir b atsiras bentvienas taškas x = c , kuriame funkcijos grafikas kirs Ox ašį, žinoma, jei pati funkcija yra tolydi.© A.Laurutis, D.Šiaučiūnas Ribų teorija 91

III teorema. Jeigu funkcija apibrėžta ir tolydi atkarpoje [ b]skirtingas reikšmes f ( a) = A ir f ( b) = B A ≠ B, , kuriame ( ) µa, ir šios atkarpos galuose įgyja, , tai, koks bebūtų skaičius µ , esantis tarp skaičiųA ir B, būtinai atsiras bent vienas taškas c a < c < b f c = (103 pav.).yM (b, f(b))2acbxPastebėkime, kad II teorema yra šios teoremos atskirasatvejis. Jei A ir B yra priešingo ženklo reikšmės, tai gali būtiµ = 0 .102 pav.M (a, f(a))1yy =f( x)yBµµAac103 pav.bxaMx1mx2b104 pav.xIšvada.Jei funkcija f ( x)y = yra tolydi tam tikrame intervale ir šiame intervale įgyja didžiausią irmažiausią reikšmes, tai šiame intervale ji būtinai bent vieną kartą įgis reikšmę, esančią tarpdidžiausios ir mažiausios funkcijų reikšmių (104 pav.).9. NYKSTANČIŲ FUNKCIJŲ PALYGINIMASTegul keletas nykstančių funkcijų α = α( x) , β = β ( x) , γ = γ ( x) ,...yra vieno ir to patiesargumento x funkcijos. Panagrinėkime jų artėjimo į nulį pobūdį nagrinėjamame taške, dėl tosudarykime šių funkcijų santykį ir apskaičiuokime jo ribą šiame taške.I apibrėžimas. Jeigu santykis αβturi tam tikrą baigtinę ir skirtingą nuo nulio ribą, t.y.βlim = A ≠ 0αα 1ir lim = ≠ 0 β A, tai dydžiai α ir β yra vienodos eilės nykstančios funkcijos.Pavyzdys. Palyginkime dvi nykstančias taške x = 0 funkcijas α = 3 x ir β = sin 2 x .α 3x3 2 x 3Apskaičiuojame santykio ribą lim = lim = lim = , o tai reiškia, kadx→0β x→0sin 2 x 2 x→0sin 2 x 2α ir β yra vienodos eilės nykstančios funkcijos.© A.Laurutis, D.Šiaučiūnas Ribų teorija 92

II apibrėžimas. Jei dviejų nykstančių funkcijų α ir β santykio riba yra lygi nuliui, t.y.αlim = 0 , tai α vadinama aukštesnės eilės nykstančia funkcija, lyginant ją su β arba nykstantiβfunkcija β vadinama žemesnės eilės nykstančia funkcija, lyginant ją su α .Pavyzdys. Palyginkime nykstančias funkcijas α = x n , β = x , kai n > 1, o x → 0 .nα xlim = limx→0β x→0xnx= limx→01−1= 0 , taigi α yra aukštesnės eilės nykstanti funkcija.III apibrėžimas. Nykstanti funkcija β vadinama k − tosios eilės nykstančia funkcija αkβatžvilgiu, jei β ir α yra tos pačios eilės nykstančios funkcijos, t.y., jei lim = A ≠ 0 .kα3Pavyzdys. Palyginkime α = sin x ir β = x , kai x → 0 .Apskaičiuojamelyginant su α .3αlim = limx→0β x→0( sin x)x33⎛ sin x ⎞= ⎜lim⎟x→0⎝ x ⎠3= 1 , todėl β yra trečios eilės nykstanti,IV apibrėžimas. Jei kuriame nors taške dviejų nykstančių funkcijų α ir β santykio riba yraβlygi vienetui, t.y. jei lim = 1, tai šios nykstančios funkcijos yra vadinamos ekvivalenčiomis šiameαtaške.Ekvivalenčias nykstančias funkcijas žymėsime α ≈ β .Galime rasti keletą ekvivalenčių funkcijų.sin x1. sin x ≈ x,kai x → 0, nes lim = 1.x→0x2. tg x ≈ x,kai x → 0.3. arcsin x ≈ x,kai x → 0 .4. arctg x ≈ x, kai x → 0.1 25. 1 − cos x ≈ x , kai x → 0.2Teorema. Dviejų nykstančių funkcijų santykio riba nepasikeis, jei šias funkcijas pakeisimeekvivalenčiomis nykstančiomis funkcijomis.> Tegul nykstančios funkcijos α ( x) ir β ( x)turi ekvivalenčias funkcijas α1( x) ir β1( x), t.y.( ) ( ) , lim α( x)( ) ( )( )( )1,, lim β1xα x ≈ α( ) .1x= β x ≈ β1xTadaα1xβ xα( x)α( x)α1( x)β1( x)α1( x)α( x)β1( x)α1( x)lim = lim ⋅ ⋅ = lim ⋅lim⋅lim= lim .

sin 3x3x3Pavyzdžiai 1. lim = lim = . 2.x→0sin 7 x x→07 x 7arctg 5x5xlim = lim =x→0sin 2 x x→02 x52.( x)( x)αPastaba. Jei lim nagrinėjamame taške neegzistuoja, tai šiame taške funkcijų negalimaβpalyginti, jos vadinamos nepalyginamomis.© A.Laurutis, D.Šiaučiūnas Ribų teorija 94