Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas
Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas
- Page 6 and 7: Pagrindinės neapibrėžtinio integ
- Page 8 and 9: Pagrindinės neapibrėžtinio integ
- Page 10 and 11: Tiesioginio integravimo metodasŠis
- Page 12 and 13: Integravimas dalimisTegul duotos dv
- Page 14 and 15: • ∫ xlnxdx• ∫ x e dx•
- Page 16 and 17: Kintamojo keitimo metodas• Jei po
- Page 18 and 19: Funkcijų su kvadratiniu trinariu i
- Page 20 and 21: Racionaliosios trupmenosRacionalią
- Page 22 and 23: Taisyklingosios racionaliosios trup
- Page 24 and 25: Racionaliųjų funkcijų integravim
- Page 26 and 27: Iracionaliųjų funkcijų integravi
- Page 28 and 29: Trigonometrinių reiškinių integr
- Page 30 and 31: 3. Jei pointegralinė funkcija R si
Pagrindinės neapibrėžtinio integralo savybės1. Neapibrėžtinio integralo išvestinė lygi pointegralinei <strong>funkcija</strong>i, t.y.∫ f x dx = f x .Įrodymas.∫ f x dx = F x + C = F x = f(x)2. Neapibrėžtinio integralo diferencialas lygus pointegraliniam reiškiniui,t.y. d(∫ f x dx) = f x dx.Įrodymas.d(∫ f x dx) = d F x + C = dF x + dC = F x dx = f x dx.3. Bet kurios funkcijos F(x) diferencijalo <strong>neapibrėžtinis</strong> <strong>integralas</strong> lygustai <strong>funkcija</strong>i, sudėtai su konstanta, t.y. ∫ dF x = F x + C.Įrodymas. ∫ dF x = ∫ F x dx = ∫ f x dx = F x + C.
Pagrindinės neapibrėžtinio integralo savybės4. (1 teorema) Pastovų daugiklį galima iškelti prieš integraloženklą, t.y. ∫ af x dx = a ∫ f x dx, kai a = const. (a ≠ 0).Įrodymas.Diferencijuojame abi lygybės puses:∫ af x dx = af xa ∫ f x dx = a ∫ f x dx = af x5. (2 teorema) Dviejų ar didesnio baigtinio skaičiaus funkcijųalgebrinės sumos <strong>integralas</strong> yra lygus šių funkcijų integralųalgebrinei sumai. ∫ f x + f x + … + f x dx == ∫ f x dx + ∫ f x dx + … + ∫ f x dx.6. (išvada iš 1 <strong>ir</strong> 2 teoremos) Integralo tiesiškumo savybė:∫ αf x + βg x dx = α ∫ f x dx + β ∫ g x dx.
Pagrindinės neapibrėžtinio integralo savybės7. (3 teorema) (apie integravimo formulių invariantiškumą).Jei ∫ f x dx = F x + C <strong>ir</strong> u = φ x - turi tolydžią išvestinę,tai f u du = F u + CĮrodymas. Kadangi ∫ f x dx = F x + C, tai F x = f(x)arba dF x = f x dx.Imkime sudėtinę funkciją F u = F φ x .Kadangi p<strong>ir</strong>mosios eilės diferencialui būdinga formosinvariantiškumo savybė, tai dF u = F u du = f u du.Tuomet ∫ f u du = ∫ dF(u) = F u + C.
Pagrindinės formulės
Tiesioginio integravimo metodasŠis metodas pagrįstas integravimo formulių invariantiškumu.Vadinasi pagrindinių integralų formulės visada yra teisingos,nepriklausimai nuo to, ar integravimo kintamasis yranepriklausomas, ar bet kuri deferencijuojama to kintamojo<strong>funkcija</strong>.Pvz.∫ sin x d (sin x) = + CVisada diferencialą dx galima pakeisti d ax + b , kai a ≠ 0.Pvz. dx = d(3x − 5)nesd 3x − 5 = ∙ 3x − 5 dx = ∙ 3dx = dx
Tiesioginio integravimo metodas• ∫ x + x + x dx• ∫ • ∫ dx • ∫ dx
Integravimas dalimisTegul duotos dvi kintamojo x funkcijos u = u(x) <strong>ir</strong> v = v x ,turinčios tolydžias išvestines.Šių dviejų funkcijų sandaugos diferencialasd uv = udv + vduiš čia gaunameudv = d uv − vdusuintegravę abi lygybės puses turime∫ udv = ∫ d uv − ∫ vdu = uv − ∫ vduŠi formulė <strong>ir</strong> vadinama integravimo dalimis formulė
Integravimas dalimis1. Integralai ∫ P x ln (x)dx, ∫ P x arcsin(x)dx,∫ P x arctg (x)dx, ...žymime u = ln (x), u = arcsin (x), u = arctg(x), ...2. Integralai ∫ P x e dx, ∫ P x cos (ax)dx,∫ P x sin (ax)dxžymime u = P x .3. Integralai ∫ e cos (bx)dx, ∫ e sin(bx) dx,∫ sin (lnx)dx, ∫ cos(lnx)dx, ...žymime u = e (arba u = cos (bx)), u = sin (ln x), …čia a, b – realūs skaičiai, P(x) – daugianaris.
• ∫ xlnxdx• ∫ x e dx• ∫ e cos (2x)dxIntegravimas dalimis
Kintamojo keitimo metodasTegul duotas <strong>integralas</strong> ∫ f(x)dx, kurio kintamąjį x pakeiskimereiškiniu x = φ(t).Tarkime, kad funkcijos f(x), φ(t) <strong>ir</strong> φ′(t) yra tolydžios, o<strong>funkcija</strong> x = φ t turi atv<strong>ir</strong>kštinę. Tada dx = φ t dt.Įrašę šias išraiškas į pradinį integralą gaunamePvz.∫ = ∫∫ f(x)dx = ∫ f φ t =φ′ t dt{parinkime keitinį t = , tada x = ta <strong>ir</strong> dx = adt}= ∫ = ∫ = arctg t + C = arctg + C
Kintamojo keitimo metodas• Jei pointegralinėje funckcijoje yra dauginamasis a − x tai galima taikyti keitinį x = a sin t arba x = a cos t• Jei pointegralinėje funckcijoje yra dauginamasis a + x tai galima taikyti keitinį x = a tg t arba x = a ctg t• Jei pointegralinėje funckcijoje yra dauginamasis x − a tai galima taikyti keitinį x =arba x =
• ∫ x 4 + 3x dx• ∫ dx• ∫ x x − 1dx• ∫ dxKintamojo keitimo metodas
Funkcijų su kvadratiniu trinariu integravimasI. Integralai ∫ , ∫ , ∫ dx <strong>ir</strong> ∫dx sprendžiami įvedant keitinį x + = t. čia a, b, c, M, N – realieji skaičiaiII.Integralas ∫ Mx + N = , dx = − dtčia M ≠ 0, a, b, c, M, N – realieji skaičiaisprendžiamas įvedus keitinį
Formulės:∫∫∫Funkcijų su kvadratiniu trinariu integravimas= Pvz.• ∫• ∫ln + C ∫ = ln + C = ln u + u − a + C u + a + C
Racionaliosios trupmenosRacionaliąja trupmena vadiname dviejų daugianarių santykį: čia P(x) <strong>ir</strong> Q xa , b ≠ 0= ⋯ ⋯ - daugianariai neturintys bendrų šaknų,Trupmena vadinama taisyklingąja, jei m > n. Priešingu atvejuji netaisyklingoji.Netaisyklingoji trupmena gali būti išreiškiama čia S(x) daugianaris, = S x +()- taisyklingoji racionalioji trupmena
Taisyklingosios racionaliosios trupmenosreiškimas paprasčiausiųjų trupmenų sumaTegul duota taisyklingoji racionalioji trupmena , kuriosdėmenys P x <strong>ir</strong> Q x neturi bendrų šaknų.Vardiklio <strong>funkcija</strong> Q x gali turėti kelias sk<strong>ir</strong>tingas realiąsias arkompleksines šaknis. Be to šaknys gali būti kartoninės.1. Tegul <strong>funkcija</strong> Q x = (x − a)(x − b)(x − c) turi trisrealiąsias šaknis a, b <strong>ir</strong> c, tada = + + 2. Tegul <strong>funkcija</strong> Q x = x − a turi tris realiąsiaskartotines šaknis a tada = ++
Taisyklingosios racionaliosios trupmenosreiškimas paprasčiausiųjų trupmenų suma3. Tegul <strong>funkcija</strong> Q x = (x + p x + q )(x + p x + q )turi sk<strong>ir</strong>tingas kompleksines šaknis a ± ib <strong>ir</strong> c ± id, tada = + 4. Tegul <strong>funkcija</strong> Q x = x + p x + q turi triskompleksines kartotines šaknis a ± ib, tada = + + čia A, B, C, D, E, F, p , q - realieji skaičiai
Racionaliųjų trupmenų integravimas•
Racionaliųjų funkcijų integravimasNagrinėkime integralą ∫ ()dx, čia P x <strong>ir</strong> Q(x) daugianariai()neturintys bendrų šaknų. Šis <strong>integralas</strong> skaičiuojamas keliaisetapais:1. Išsk<strong>ir</strong>iame sveikąją dalį.Jei racionalioji trupmena yra netaisyklinga , tai padaliję skaitikliodaugianarį iš vardiklio daugianario, šią trupmeną išreiškiame tamtikro daugianario S(x) <strong>ir</strong> taisyklingosios racionaliosios trupmenossuma:()= S x + ()() ()Integruodami šią lygybę gauname:∫ ()() dx = ∫ S x dx + ∫ ()() dx.
Racionaliųjų funkcijų integravimas2. Taisyklingosios racionaliosios trupmenos ()() vardiklįQ(x) išskaidome dauginamaisiais.3. Taisyklingąją racionaliąją trupmeną išreiškiamepaprasčiausiųjų racionaliųjų trupmenų suma.4. Integruojame paprasčiausias rasionaliąsias trupmenas.
Iracionaliųjų funkcijų integravimasNagrinėkime tas <strong>ir</strong>acionaliąsias <strong>funkcija</strong>s, kurių integralai parinkuskeitinį, pakeičiami racionaliųjų funkcijų integralais, kitaip sakantpointegraliniai reiškiniai racionalinami.I. Nagrinėkime integralą ∫ R(x, x , … , x )dx.Simboliu R žymime kintamųjų x, x , … , x atžvilgiu racionaliąjąfunkciją.Pvz. f x =()( )( )( )tai f x = R x, x , x , x Integralo ∫ R(x, x , … , x )dx pointegralinis reiškinysracionalinamas naudojant keitinįk lygus trupmenų , … , bendrajam vardikliui. x = t; x = t dx = kt dt.
II. Nagrinėkime integralą ∫ R(x,a, b, c, d – realieji skaičiai, ad − bc ≠ 0. , … , )dx čiaŠio integralo pointegralinis reiškinys racionalinamas naudojantkeitinį:Iracionaliųjų funkcijų integravimasax + bcx + d=čia k – trupmenų , … , ax + b= t,cx + d = t , x = dt − ba − ct , dxad − bca − ct kt dtbendrasis vardiklis.
Trigonometrinių reiškinių integravimasNagrinėkime integralą ∫ R sin x , cos x dx, čia R – kintamųjųsin(x) <strong>ir</strong> cos(x) racionalioji <strong>funkcija</strong>.Integruojant trigonometrinius reiškinius, naudojami 4 pagrindiniaikeitiniai:1. Jei pointegralinė <strong>funkcija</strong> R sin x , cos x yra nelyginė sin(x)atžvilgiu (pakeitus funkcijos sin(x) ženklą, pointegralinė <strong>funkcija</strong>pakeičia ženklą), t.y.R − sin x , cos x = −R sin x , cos x ,tai naudojamas keitinys cos(x)=t.x = arccos tdx = −dt1 − t 2sin x = 1 − cos 2 (x) = 1 − t 2
2. Jei pointegralinė <strong>funkcija</strong> R sin x , cos x yra nelyginėcos(x) atžvilgiu (pakeitus funkcijos cos(x) ženklą, pointegralinė<strong>funkcija</strong> pakeičia ženklą), t.y.R sin x , − cos x = −R sin x , cos x ,tai naudojamas keitinys sin(x)=t.x = arcsin tdx =dt1 − t 2sin x = 1 − sin 2 (x) = 1 − t 2
3. Jei pointegralinė <strong>funkcija</strong> R sin x , cos x yra lyginė sin x<strong>ir</strong> cos(x) atžvilgiu t.y.R −sin x , − cos x = R sin x , cos x ,tai naudojamas keitinys tg(x)=t.sin x =cos x =x = arctg tdx =dt1 + t 2tg(x)1 + tg 2 (x) =11 + tg 2 (x) =t1 + t 211 + t 2
4. Jei pointegralinė <strong>funkcija</strong> R sin x , cos x netenkina nėvienos iš minėtų sąlygų, tai <strong>funkcija</strong>R sin x , cos x racionalinama parinkus keitinį tan = t.x = 2arctg tdx =2dt1 + t 2sin x = 2tg(x 2 )1 + tg 2 ( x 2 ) =2t1 + t 2cos x = 1 − tg2 ( x 2 ) 1 − t21 + tg 2 ( x =2) 1 + t 2