fk4.pdf

• Įvadas 

Pernašos teorija ir 

Boltzmano 

• Elementari pernašos teorija 

• Boltzmano 

Maksvelo-Boltzmano 

skirstinys 

Vidutinis laisvo lėkio kelias 

Susidūrimų 

Savidifuzija 

dažnis 

(self-diffusion) 

kinetinė 

Klampos ir šiluminio laidumo koeficientai 

kinetinė 

lygtis 

Pagrindinės prielaidos 

Poriniai dalelių 

Susidūrimų 

Boltzmano 

susidūrimai 

narys ir Boltzmano 

H – teorema 

kinetinė 

lygtis 

lygtis

Pernašos teorija ir 

Boltzmano 

Pusiausvyrinis Boltzmano 

Termodinamikos dėsniai 

kinetinė 

lygties sprendinys 

Pusiausvyrinis sprendinys esant išoriniam laukui 

• Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys 

Tvermės dėsniai 

Vietinė 

• Boltzmano 

Liouvilio 

pusiausvyra ir hidrodinaminės lygtys 

nulinis artinys 

pirmas artinys 

pernašos koeficientai 

klampiųjų dujų (skysčio) hidrodinaminės lygtys 

kinetinės lygties pagrindimas 

lygtis 

lygtis 

BBGKY (Bogoliubov, Born, Green, Kirwood, Yvon) lygčių grandinėlė

Įvadas (I) 

• Šiame skyriuje nagrinėsime mikroskopinę išretintų dujų teoriją, kai sistema yra 

arti termodinaminės pusiausvyros. Mes tarsime, kad išoriniai laukai yra maži ir 

lėtai kinta laike. Tuomet galima teigti, kad bet kurioje mažoje erdvės srityje 

sistema yra termodinaminėje pusiausvyroje (vietinėje pusiausvyroje) ir jos 

būseną galima charakterizuoti termodinaminiais kintamaisiais. Tačiau šių 

termodinaminių kintamųjų vertės yra skirtingos skirtinguose erdvės taškuose. 

• Nepusiausvyrinės sistemos sugrįžimas į termodinaminės pusiausvyros būseną yra 

sąlygotas tarpmolekulinių dūžių ir paprastai vyksta dviem (arba daugiau) etapais. 

Kintamieji, kurie kinta tarpmolekulinio dūžio metu greitai (per keletą dūžių) pasiekia 

pusiausvyrą, o kintamieji kurie nekinta dūžio metu (dūžių invariantai arba tvarieji 

dydžiai) ilgesnį laiką lieka nepusiausvyrinėje būsenoje. Todėl po trumpo pereinamo 

proceso nepusiausvyrinę būseną galima aprašyti kintamaisiais, kurie nekinta 

tarpmolekulinių dūžių metu. Dinaminės lygtys aprašančios tvariųjų dydžių (invariantų) 

tankius vadinamos hidrodinaminėmis lygtimis. 

• Nekintantys dūžių metu dydžiai (tvarieji dydžiai) yra pilnas dalelių skaičius, pilnas 

impulsas ir pilnoji energija. Jeigu šių dydžių tankiai nehomogeniškai pasiskirstę 

erdvėje, tai turi egzistuoti tų dydžių srautai, pernešantys tuos dydžius iš vienos sistemos 

dalies į kitą, nes ilgainiui sistema turi pasiekti termodinaminę pusiausvyrą. Charakteringi 

laikai, per kuriuos sistema pasiekia termodinaminę pusiausvyrą apibūdinami 

vadinamaisiais pernašos koeficientais (transport coefficients).

Tvaraus dydžio 

tankio SRAUTAS 

Įvadas (II) 

• Kai nuokrypiai nuo pusiausvyros maži, tai tiriamų dydžių srautai proporcingi 

atitinkamų dydžių gradientams, kurie tuos srautus sukėlė. Pernašos koeficientais 

vadinami šio proporcingumo ryšio konstantos, t.y. 

= 

Pavyzdys (Fiko 

PERNAŠOS 

KOEFICIENTAS 

dėsnis): 

Tvaraus dydžio 

tankio GRADIENTAS 

• Pernašos teorijos tikslas yra išvesti hidrodinamines lygtis ir apskaičiuoti 

pernašos koeficientus, t.y. išreikšti juos per mikroskopinius dujų parametrus. 

• Intuityviam pernašos reiškinių supratimui, mes pradžioje pateiksime elementarią 

pernašos teoriją. Remiantis paprasta vidutinio laisvo lėkio kelio samprata mes išvesime 

savidifuzijos, klampos ir šiluminio laidumo koeficientų formules. 

• Tikslesnė pernašos reiškinių teorija remiasi Boltzmano kinetine lygtimi. Ši lygtis 

išvedama iš pirmųjų principų, t.y. remiantis mikroskopinėmis dalelių judėjimo lygtimis, 

kurios yra apgręžiamos laike. Tačiau pati Boltzmano lygtis yra neapgręžiama laike. Iš 

jos išplaukia entropijos didėjimo dėsnis (Boltzmano H – teorema), kuris nusako 

sistemos artėjimą prie pusiausvyros. 

• Panaudodami Boltzmano kinetinę lygtį, mes išvesime hidrodinamines lygtis, aprašančias 

tvariųjų dydžių dinamiką, ir pakartotinai aptarsime pernašos koeficientų išvedimą. 

j d 

x 

�n 

� 

�D 

�x

Elementari pernašos teorija (I) 

• Elementari pernašos teorija grindžiama paprasta laisvo lėkio kelio samprata ir 

remiasi tikimybių teorijos argumentais. Jos rezultatai visiškai nepriklauso nuo 

tarpdalelinės sąveikos tipo. Daroma vienintelė prielaida, kad vidutinis atstumas tarp 

dalelių yra žymiai didesnis už charakteringą tarpmolekulinės sąveikos atstumą. 


skirstinys 

• Tarkime, kad tūryje V yra išretintos dujos sudarytos iš N dalelių. Tegul dujos yra 

pusiausvyroje ir dalelių kinetinė energija yra žymiai didesnė už dalelių tarpusavio 

sąveikos energiją. Tuomet iš pusiausvyrinės statistinės fizikos žinome, kad tikimybė 

� N � N � � � � � � 

surasti sistemą fazinės erdvės taške �p , q �� p1, p2, 

�, 

pN 

, q1, 

q2, 

�, 

qN 

� 

nusakoma Gibso tankio funkcija (kanoninis skirstinys) 

� 

� N � N �p, q � 

� 

dp 

N 

� 

dq 

N 

� 

� 

� 

dp 

� 

N 

� 

exp� 

�� 

� 

� 

� 

� 

N 

i�1 

� 

� 

� 

2 

p � i 

� 

� 

2m 

� 

N 

� dq 

exp� 

� �� 

� dp1 

�� 

dpN 

� dq1 

� 

� 

N 

i�1 

2 

p � i 

� 

� 

2m 

� 

� 

�� 

dq 

N 

� � 

1 

kBT

Elementari pernašos teorija (II) 

• Tikimybės tankis 1 , kad 1 –os dalelės impulsas yra surandamas integruo- 

� � 

jant Gibso paskirstymo � funkciją � pagal visų dalelių koordinates dq 

dq 

ir 

1 �� 

N 

pagal impulsus dp 

�� 

dp 

: 

� � � � � � N � N 

�p�� dp 

�� 

dp 

� dq 

�� 

dq 

��p, 

q � 

� � � � 

• Iš 

1 

2 

2 

� � 

� 1 

p � 

čia galima nesunkiai užrašyti tikybės tankį 

� 

� � p1 

�v1 

� 

� m 

� 

� 

� 

F 

N 

N 

1 

� m� 

� 

� � 

� 2� 

� 

N 

�v� F � 

� � � � 1 

v � exp� 

1 

� � mv 

�� 

� 2 

p � 

� 

� � 

� 

� 

1 

3 2 

2 � – 

3 2 

� � � � p1 

� exp� 

�� 

2�m 

� � 2m 

, kad 1 dalelės greitis yra 

� 

v1 � 


skirstinys 

Ši funkcija normuota į vienetą, kai integruojama pagal 1 . Kartais dar reikia žinoti 

� 

tikimybės tankio funkciją , kad dalelės greičio modulis yra 

f 

�v � 

f 1 

1 1 

2 

� 

� � � � � � � � 

2 

3 2 2 

1 

v � 4� 

v F v � m� 

v exp� 

1 

1 

� 

1 

1 

v � 

� � mv 

�� 

� 2 

2 

v 

� 

� 

� 

v 

2 

� 

� 

� 

�

Vidutinis laisvo lėkio kelias 

Elementari pernašos teorija (III) 

• Vidutinis laisvo lėkio kelias yra vidutinis kelias, kurį dalelė nueina tarp dviejų 

gretimų susidūrimų. Mes tariame, kad dujose dūžiai yra atsitiktiniai. Mūsų tikslas 

yra surasti tikimybę, kad dalelė nueis atstumą r be dūžių. 

• Kadangi susidūrimai yra atsitiktiniai, dalelė turi vienodus šansus susidurti bet 

kurioje vietoje. Pažymėkime 

1/� 

P0(r ) 

Tuomet 

– 

dr /� 

– 

P0(r+dr ) = 

d 

dr 

vidutinis susidūrimų 

skaičius, kurį 

tikimybė, kad intervale [0,r ] 

– 

(1-dr /�) 

P 

0 

tikimybė, kad dalelė 

– 


P0(r )(1-dr /�) 

1 

� 

– 

dalelė 


dalelė 

patiria vienetinio ilgio intervale 

nepatirs nė 

susidurs intervale dr 

�r 

� 

�� r � � P �� r P �r� � e 

0 

nesusidurs intervale dr 

vieno susidūrimo. 

nesusidurs intervale [0,r+dr] 

� � 

� � � dr 

r rP �� r � 

0 0 

0 

Vidutinis laisvo lėkio kelias

Susidūrimų 

dažnis 

Elementari pernašos teorija (IV) 

• Tarkime, kad dujos sudarytos iš dviejų rūšių dalelių A ir B. Tegul dalelių A masė 

mA , diametras dA, ir tankis nA, o dalelių B masė mB , diametras dB, ir tankis nB. Dalelės atsitiktinai pasiskirsčiusios erdvėje, o jų greičių pasiskirstymas tenkina 

Maksvelo-Boltzmano skirstinio dėsnį. Mūsų tikslas yra nustatyti vidutinį dalelių A 

ir B susidūrimų dažnį. 

Šį 

� 

V 

d B 

greitį 

mc 

� 

v 

r 

d AB 

d A 

d 

AB 

d 

� d 

2 

A B � – 

v 

r 

AB 

dalelių 

� 

� � dvA� 

� 

dv 

B 

A 

F 

ir B 

Vidutinis reliatyvus dalelių 

lengviau apskaičiuoti perėjus prie masių 

� 

mAv 

A � m 

� 

mA 

� m 

� � 

� v � v 

A 

B 

B 

B 

� 

v 

B 

– 

– 

dalelių 

A 

ir B 

reliatyvus dalelių 

masių 

A 

� 

sąveikos sferos spindulys 

A ir B greitis: 

� 

� 

� 

�vA �F�v B �v A � vB 

centro koordinačių 

centro greitis 

ir B greitis 

sistemos:

Elementari pernašos teorija (V) 

� � 

• Nesunku patikrinti, kad transformacijos � � �� 

v 

� 

A, 

vB 

� vr 

, Vmc 

jakobianas lygus 1. 

Todėl skaičiuojant vidutinį reliatyvų greitų integravimą pagal � galime pakeisti 

A B � 

integravimu pagal : 

v v 

� � 

, 

v 

� � 

, 

� � 

r mc V 

3 

2 

3 

2 

� � M AB � � �� AB � � � � � � 

vr � � � � � � dvr� 

dVmc 

vr 

exp 

� 

� 

� 

AB 

� 2� 

� � 2� 

� 

� 2 

v 

r 

vr 

„Dūžių“ 

AB 

AB 

� 8k 

� BT 

� � 

� 

� 

� 

� ��AB 

� 

d AB 

cilindras 

1 2 

� 

m 

m 

A B 

� – 

AB 

mA 

� mB 

M m � m 

dalelių 

2 

2 � 

�MABVmc � ABvr 

�� A 

ir B 

redukuota masė 

• Tarkime, kad dalelės B nejuda, o dalelės A juda reliatyviu 

greičiu vr 

. Tuomet per vieną sekundę dalelė A 

AB 

vidutiniškai patirs tiek dūžių kiek yra B dalelių pavaizduotame 

cilindre, t.y. vidutinis dalelės A susidūrimo dažnis su B 

dalelėmis yra: 

f 

AB 

AB 

� 

� – 

n 

B 

A 

� d 

2 

AB 

B 

v 

r 

AB 

dalelių 

� 

n 

B 

A 

� d 

ir B pilna masė 

2 

AB 

� 8k 

� BT 

� 

� 

� 

� 

� ��AB 

�

• Pilnas dalelių 

� 

AB 

A ir B susidūrimų 

� 

n 

A 

f 

AB 

� 

n 

A 

n 

B 

� d 

Elementari pernašos teorija (VI) 

skaičius vieneto tūryje per vieną 

2 

AB 

v 

r 

AB 

� 

n 

A 

n 

B 

� d 

2 

AB 

� 8k 

� BT 

� 

� 

� 

� 

� ��AB 

� 

1 2 

sekundę: 

Jeigu dalelės identiškos, tai šią formulę reikia padalinti iš 2, nes joje kiekviena 

dalelė įskaitoma du kartus 

� 

AA 

� 

1 

2 

n 

� d 

2 

A 

2 

AA 

v 

r 

AA 

� 

1 

2 

n 

� d 

2 

A 

2 

AA 

�16k 

� BT 

� 

� 

� 

� 

� � mA 

� 

• Identiškoms dalelėms vidutinis laisvo lėkio kelias � gaunamas, vidutinį dalelės 

greitį padalinus iš vidutinio vienos dalelės susidūrimo dažnio f : 

v 

v 

v 

� � � v � � 

� 

f n � d v 

AA 

A 

2 

AA 

r 

AA 

2n 

1 

� d 

Čia � =1/fAA yra vidutinis laisvo lėkio laikas. Mes panaudojome paprastą sąryšį 

tarp vidutinio ir vidutinio reliatyvaus greičių: 

v vr 

AA 

2 

� � � mA� 

� � � � mAv 

� � � 8kBT 

� 

v � � dvF 

�v�v� dv 

exp v � � 

2 � � 

� 

2 � 

� 

� 

� 

m � 

� 

� � � � � A � 

A 

2 

AA 

1 2 

AA 

1 2 

v 

r 

2 

AA

z=0 

Savidifuzija 

(Self-diffusion) 

Elementari pernašos teorija (VII) 

• Remiantis elementaria pernašos teorija išvesime savidifuzijos koeficiento D 

išraišką. Nagrinėsime dujas sudarytas iš identiškų dalelių, tačiau tarsime, kad 

nedidelė dalelių dalis yra pažymėta kokiu nors žymekliu, kuris nekeičia 

dalelės fizinių savybių, pavyzdžiui, dalis dalelių yra radioaktyvios. Teoriniuose 

samprotavimuose mes tiesiog tarsime, kad pažymėtos dalelės yra kitos 

spalvos (raudonos). 

• Jeigu pradiniu momentu pažymėtų dalelių pasiskirstymas yra netolygus, tai dėl 

difuzijos pažymėtos dalelės turės artėti prie homogeninio pasiskirstymo. 

Charakteringas šio artėjimo laikas apspręstas savidifuzijos koeficientu D. Mūsų 

tikslas nustatyti šio koeficiento išraišką. 

z 

Prielaidos: 

n = 

n P = 

const(z) 

n P (z) 

– 

nP �z � �� n – 

pilna dalelių koncentracija 

nepriklauso nuo z 

– pažymėtų (raudonų) dalelių 

koncentracija priklauso nuo z . 

pažymėtų 

dalelių yra nedaug.

dn 

dS 

x 

z 

� 

� 

v 

�z�dV � n �z�dV fnP P 

� 

d dS cos� 

2 

4� 4� 

r 

� 

� 

P 

�r� � 

� 

� 

� 

v 

n 

r 

– 

dV 

y 

– 

Elementari pernašos teorija (VIII) 

• Surasime pažymėtų dalelių skaičių, kurios per vie- 

2 

ną sekundę susiduria tūrelyje dV � r dr sin �d�d 

ir be dūžių pasiekia plotelį dS ties z=0. 

• Mes tariame, kad susidūrusių tūrelyje dV dalelių 

judėjimo kryptys yra atsitiktinės (vienoda tikimybe 

juda bet kuria kryptimi). 

• Tikimybė, kad susidūrusi dalelė pasieks plotelį dS 

r � 

yra e (tikimybė kad ji nesusidurs atstume r). 

� 

vidutinis pažymėtų dalelių skaičius, kurios per 

vieną sekundę susiduria tūrelyje dV. 

f – vienos dalelės susidūrimų dažnis. 

santykinė susidūrusių dalelių dalis judančių plotelio dS kryptimi. 

d� – erdvinis kampas, išeinantis iš centrinio dV tūrelio taško 

ir gaubiantis plotelį dS. 

�z�dV �� 

dS cos� 

� �r 

� 

� P 

� �� 

�e 

– vidutinis pažymėtų dalelių skaičius, kurios 

� �� 

2 

� r � 

�� 

4 � per vieną sekundę susiduria tūrelyje dV ir 

pasiekia plotelį dS be papildomų susidūrimų. 

�

Elementari pernašos teorija (IX) 

• Pilnas pažymėtų dalelių skaičius, iš viršaus (z>0) per vieną sekundę pasiekusių 

vienetinį plotą plokštumoje z=0, gaunamas integruojant pagal visą tūrį z>0: 

N� 

� 

� 

� � 2 

v 2 

e 

� r dr � sin �d�� 

d� 

nP 

�z�cos� 4� � 

r 

0 

0 

2� 

�r 

� 

• Analogiškai galima apskaičiuoti dalelių skaičių, pasiekusių plokštumą z=0 iš 

apačios z

Elementari pernašos teorija (X) 

• Jeigu pažymėtų dalelių koncentracijos pokyčiai z kryptimi yra nedideli, tai nP (z) 

galima išskleisti Teiloro eilute ties z=0: 

n 

P 

� �n 

� 

� �z 

� 

� 

� 

2 � � n 

� 

� �z 

P 

P 

�z��n�0��z � � � �� 

P 

Kadangi nP (z) yra lėtai kintanti z funkcija ir 

� integralo išraiškoje yra 

r � 

daugiklis e , tik mažos z vertės ( z � � ) duos indėlį įintegralą. Todėl nP (z) 

skleidime galime apsiriboti keliais pirmais nariais. Čia apsiribojame trim nariais. 

� 

0 

z 

2 

2 

2 

�N� � � 

� � N 

• Nesunku įsitikinti, kad pirmo ir trečio nP (z) nario indėlis į 

lygus nuliui. Indėlį duoda tik antras skleidimo narys: 

v 

e 

d� 

z cos� 

4� � � �z 

� 

r 

� � 

2 

� �n 

� 2 

�N� � � N� 

P 

� �� r dr� 

sin � d�� 

0 0 

0 

0 

� 

� 

� 

0 

� �r 

� 

0 

�N� � � 

� � N 

� 

2 

integralą 

� 

� 

v � �n 

� � 

2 v 

P r � 

� �nP 

� � � sin �cos 

2 � � � e rdr 

� z � � 

0 0 

� d� 

� 

� 

� 

3 � 

�z 

� 

� 

� 

0

Elementari pernašos teorija (XI) 

• Taigi mes gavome, kad pažymėtų dalelių srautas, kertančių vienetinį plotą per 

vieną sekundę teigiama z kryptimi yra 

Čia D yra savidifuzijos 

j 

D 

�z� �nP 

� �D 

�z 

�z� , 

koeficientas (self-diffusion 

D � 

v 

3 

� 

coefficient). 

• Pažymėtoms dalelėms galioja tolydumo lygtis ir todėl n P (z,t) 

� 

�t 

� 

�z 

� n 

�z 

2 

nP jD 

P 

� � � D 2 

, 

tenkina difuzijos lygtį: 

Šios formulės gautos iš labai paprastų prielaidų, tačiau jos gerai kokybiškai 

aprašo išretintų dujų eksperimentinius rezultatus. 

• Toliau mes panagrinėsime dar du pernašos koeficientus – klampos ir šiluminio 

laidumo. Mes parodysime, kad visus pernašos koeficientus galima gauti remiantis 

paprastais bendrais samprotavimais.

Klampos ir šiluminio laidumo koeficientai 

z 

z 

= 

T=T(z) 

y 

Ftr 

Elementari pernašos teorija (XII) 

• Jeigu skirtingi dujų (arba skysčio) sluoksniai juda 

skirtingais greičiais, tai „trintis“ (klampa) tarp 

skirtingų sluoksnių suvienodins dalelių greičius ir 

sistema pasieks termodinaminę pusiausvyrą. Šiuo 

atveju pernešamas vidutinis greitis(impulsas). Jo 

pernešimo intensyvumas charakterizuojamas 

klampos koeficientu � 

j 

m v 

� 

� �� 

v 

y 

�z 

�z� • Jeigu skirtingi dujų (arba skysčio) sluoksniai turi 

skirtingą kinetinę energiją (temperatūrą), tai dėl 

kinetinės energijos pernašos vidutinė kinetinė 

energija išsilygins ir sistema pasieks 

termodinaminę pusiausvyrą. Temperatūros 

pernašos greitis charakterizuojamas šiluminio 

laidumo koeficientu K 

j Q 

dT 

� �K 

dz 

� 

F 

tr

z=z 0 

z 

�z 1 

�z 2 

• Tariame, kad atstumai �z 1 

Vidutinis dalelių 

yra n . 

bus: 

Elementari pernašos teorija (XIII) 

• Visiems pernašos reiškiniams galima taikyti 

vieningą teoriją. Tarkime, kad dydis A=A(z), 

charakterizuojantis tam tikrą molekulių savybę, 

kinta išilgai z ašies. Nubrėžkime dujose plokštumą 

z=z0. Kai dalelė kerta šią plokštumą, ji perneša vertę 

A(z), įgytą paskutinio susidūrimo metu, ir perduoda ją 

kitai daleliai sekančio susidūrimo metu. 

ir �z2 proporcingi vidutiniam laisvo lėkio keliui �: 

�z 

� 

1 � a1�, 

�z2 

a2 

skaičius, kertantis vienetinį 

� 

plokštumos z=z 0 

Todėl dydžio A perneštas kiekis per vieną 

sekundę 

plotą 

dA 

n v �A�z0��z2��A�z0��z1��a1�a2�nv� dz 

Tai reiškia, kad dydžio A srautas teigiama z kryptimi yra: 

j A 

per vieną 

sekundę, 

teigiama z kryptimi 

�z��bn v � 

� 1 2 � a a b � � 

Toliau tarsime, kad proporcingumo konstanta b yra vienoda visiems pernešamiems 

dydžiams. Jos vertę galima nustatyti iš jau išspęsto savidifuzijos uždavinio. 

dA 

dz

• Savidifuzijos 

Šią 

A 

�z� � 

n 

P 

atveju pernešamas dydis yra santykinė 

�z� n 

Kadangi mes jau nustatėme difuzijos konstantą 

konstantos b vertę 

j 

A 

�z� j �z� panaudosime nustatinėjant kitų 

Elementari pernašos teorija (XIV) 

pažymėtų 

kinetinių 

dalelių 

�z� � D 

dA dnP 

� �bn 

v � � �b 

v � 

dz 

dz 

D � 

v � 

3 

tai b 

koeficientų 

koncentracija 

dnP 

� �D 

dz 

� 

1 

3 

reikšmes 

• Klampa nusako trintį, kuri atsiranda, kai skirtingi dujų sluoksniai juda skirtingais 

greičiais. Tarkime, kad judėjimas vyksta y kryptimi, o vidutinis greitis kinta z kryptimi. 

Tuomet pernešamas dydis yra impulso y komponentė: 

� � 

�z��m v �z� A y 

1 

� � nm v 

3 

� 

j 

– 

A 

� 

j 

zy 

� �bn 

klampos 

koeficientas 

v 

�z� d v �z� dA mn v � d vy 

� � � 

dz 3 dz 

� �� 

m v 

� � 

2 

3 2� 

d 

– 

y 

dz 

kai dalelės kietos sferos, 

d – sferos diametras 

• Įdomu pastebėti, kad klampos koeficientas nepriklauso nuo dujų tankio n. Kai Maksvelas 

gavo šį rezultatą, jis labai nustebo ir nusprendė patikrinti jį eksperimentiškai. Stebėdamas 

svyruoklės gesimą įvairaus tankio dujose jis įsitikino, kad ši išvada teisinga.

• Šiluminio laidumo 

cV 

atveju pernešamas dydis yra vidutinė 

1 2 3 

A B 

�z�� m v �z� � k T �z� 2 

2 

1 3 

jA � jQ 

� � n v � kB 

3 2 

• Tikslesnis pernašos koeficientų 

1 

K n v �k 

2 

B 

dT 

dz 

� – 

Elementari pernašos teorija (XV) 

� �K 

dT 

dz 

energija (temperatūra) 

šiluminio laidumo koeficientas 

• Įdomu pastebėti, kad iš šių išraiškų išplaukia, jog šiluminio laidumo ir klampos koeficientų 

santykis visoms dujoms yra vienodas ir nepriklauso nuo temperatūros: 

K 3 k 

� 

� 2 m 

B � cV 

– vienetinės masės idealių 

dujų šiluminė talpa 

K 

� c 

nustatymas remiasi Boltzmano 

V 

Eksperimentiniai rezultatai 

kinetine lygtimi.

Boltzmano 

kinetinė 

lygtis (I) 

• 1872 m. Boltzmanas (Boltzmann) išvedė pagrindinę lygtį pernašos reiškiniams 

išretintose dujose aprašyti. Ši lygtis nustato dalelių tankio f �r, v, 

t� 

evoliuciją 

koordinačių ir greičių erdvėje. Lygties išvedimas remiasi dalelių judėjimo lygtimis, kurios 

yra invariantinės laiko apgręžimo atžvilgiu. Tačiau Boltzmano lygtis nėra invariantinė 

laiko apgręžimui. Ji nusako antrą termodinamikos dėsnį – entropijos augimą. 

� � 

Pagrindinės prielaidos 

• Nagrinėsime dujas esančias tūrio V inde. Tegul molekulės masė yra m, o jų 

skaičius yra N. Mes tariame, kad molekulių � tarpusavio sąveiką galima aprašyti 

sferiškai simetriniu potencialu . 

r 0 

– 

� 

� � 

�r r � 

i 

j 

charakteringas sąveikos atstumas (charakteringas molekulės dydis) 

Tarsime, kad vidutinis atstumas tarp molekulių yra žymiai didesnis už 

molekulės dydį (išretintų dujų prielaida): 

V 3 

3 � N � 

�� r arba ekvivalenčiai 

0 

nr0 ��1 

�n 

� � 

N 

� V � 

Esant šiai sąlygai galima nepaisyti tri-dalialių, ketur-dalelių ir t.t. susidūrimų, 

nes jie yra reti palyginus su dvi-daleliais. Be to mes tarsime, kad laikas, kurį dalelės 

praleidžia tarp dūžių yra žymiai didesnis už dūžio trukmę.

v � 

Tolydumo lygtis 

v � 

d r 

3 

r � 

d 

o pilnas dalelių 

dN 

Boltzmano kinetinė lygtis (II) 

• Nagrinėsime dalelių evoliuciją 6-matėje 

fazinėje erdvėje �r v�. 

Tokia erdvė vadinama 

� erdve. Apibrėšime šioje erdvėje dalelių tankį 

� � , 

f , , 

� � 

�r v t� 

3 • Tuomet mažame išskirtame šios erdvės 

v 

tūrelyje d3r d3v dalelių skaičius yra: 

, � � 

r � 

3 3 

dN � f �r v, 

t�d 

r d v 

� 

3 � � 

Erdvinis tankis taške r yra n �r, t� 

� � d v f �r , v, 

t� 

3 � 

3 3 � � 

skaičius: N � d r n�r 

, t� 

� d r d v f �r, v, 

t� 

� 

• Tūrelio dydį d3r d3v parinksime taip, kad iš vienos pusės jis būtų pakankamai 

didelis, jog jame būtų daug dalelių, o iš kitos pusės pakankamai mažas, kad 

funkcija jo ribose kistų nežymiai. 

� 

• Dalelių 

1. 

2. 

�rvt� f , , 

� 

skaičius išskirtame tūrelyje kinta dėl dviejų 

priežasčių: 

Dalelės tarp susidūrimų juda pagal antrą Niutono dėsnį, t. y.: 

Dalelės patiria susidūrimus. 

F � 

Čia yra išorinė 

jėga. 

� 

� � 

v�� 

i 

� 

F � 

� , r�� 

i � vi 

m

Boltzmano kinetinė lygtis (III) 

• Tankio funkcijai galima užrašyti tolydumo lygtį (tolydumo lygtis bendruoju atveju 

buvo išvesta nagrinėjant Fokerio-Planko lygtį): 

� 

�t 

f 

� 

� 

� 

�r, v, 

t��v��f�r, 

v, 

t��f�r, 

v, 

t� 

r 

� 

� 

� 

F 

m 

v 

� 

� 

� �f 

� 

�� 

� 

� �t 

� 

Čia pirmi du dešiniosios pusės nariai aprašo dalelių pokytį dėl judėjimo tarp 

susidūrimų, o paskutinis – dėl susidūrimų. 

• Užrašyta tolydumo lygtis ir yra Boltzmano kinetinė lygtis, tačiau joje kol kas 

neapibrėžtas paskutinis narys, aprašantis dalelių susidūrimus. Dalelių skaičiaus 

kitimą išskirtame tūrelyje dėl dužių galima suskaidyti į du narius: 

� 

� 

� 

�f 

�t 

� 

� 

� 

susid 

� �� 

Pirmasis narys �- aprašo dalelių mažėjimą įskirtame tūrelyje, dėl to kad tam tikros 

dalelės susidūrusios tūrelio viduje išeina iš išskirto tūrelio. Šį narį vadinsime išėjimo 

nariu. Antrasis narys � + yra atėjimo narys. Jis nusako kiek dalelių ateina į išskirtą 

tūrelį dėl susidūrimų už tūrelio ribų. Tiksliau kalbant, apibrėžimai �- ir � + tokie: 

� 

� � 

� 

susid

� �td 

� 

� �td 

� 

• Šių 

3 

3 

rd 

rd 

3 

3 

v 

v 

Boltzmano kinetinė lygtis (IV) 

t �� 

t 

rd 

v 

–susidūrimų skaičius laiko intervale tarp t ir , kuriuose viena iš 

3 

molekulių iki susidūrimo yra tūrelyje ties tašku 

d 

r � � , 

3 � v� 

3 

d rd 

v �r v� 

� � t �� 

t 

, 

–susidūrimų skaičius laiko intervale tarp t ir , kuriuose viena iš 

3 

molekulių po susidūrimo atsiduria tūrelyje ties tašku 

narių įvertinimui reikia panagrinėti porinių 

Poriniai dalelių 

• Nagrinėsime dviejų 

v1,v 2 

� � 

v1,v � � 2 

� � 

– 

– 

dalelių 

dalelių 

susidūrimai 

vienodų 

• Patogu pereiti prie masių 

� 

V � 

� 

u 

1 

2 

� 

v 

�v�v� 2 

� 

1 

� 

� v 

� 

2 

� – 

1 

dalelių 

greičiai iki susidūrimo 

greičiai po susidūrimo 

–masių 

centro koordinačių: 

centro greitis 

reliatyvus greitis 

dalelių 

susidūrimų 

susidūrimo uždavinį. Tegul: 

teoriją. 

Energijos ir impulso tvermės dėsniai 

� � � � 

v1 � v2 

� v� 

1 � v� 

2 

� 2 � 2 � 2 � 

v � v � v� 

� v� 

1 


naujiems 

kintamiesiems 

2 

1 

2 

2 

V � V � 

� � 

u � u� 

� �

� 

�, � 

– 

u � 

v� 2 

� 

v2 � 

u� 

� 

� 

sklaidos kampai 

Geometrinis tvermės dėsnių 

V � V � 

� � 

v� 1 

� 

v1 � 

aiškinimas 

• Taigi esant fiksuotiems sklaidos kampams, 

greičių elementariems tūriams galioja lygybė: 

Boltzmano kinetinė lygtis (V) 

• Kadangi susidūrimo metu nepasikeičia 

vektoriaus u ilgis, tai susidūrimą galima 

charakterizuoti parametrais . 

� 

� 

V ,u, 

�, � 

� 

� � 

• Tarkime, kad esant pastoviems ir , 

vektoriai V ir šiek tiek pakito ir tapo 

ir . Kitaip sakant, 

nagrinėsime susidūrimą su šiek tiek 

pakeistom pradinėm sąlygom. Tuomet 

pasikeis ir būsenos po susidūrimo: 

ir . Kadangi 

tai . Be to , nes 

kampai ir fiksuoti. Todėl gauname: 

� u � 

� � � � 

V � dV 

u � du 

� � � � 

V � � dV 

� u� � du� 

V � V � 

� � 

dV � dV 

� 

� � 

du � du� 

� � 

� � 

3 3 3 3 

d Vd u � d V �d 

u� 

� 

� v 

� 

V � 

� � 

v1 

� v 

• Transformacijos , 

� � 

2 

jakobianas lygus vienetui: 

u � 

v 

3 3 3 3 3 3 3 3 

d v d v � d Vd u, 

d v�d 

v� 

� d V �d 

u� 

1 

1 

2 

2 

� � 2 

3 3 3 3 

d v1d 

v2 

� d v� 

1d 

v� 

2 

1 

2

• Dalelių 

1 

v1 � 

judėjimai laboratorinėje ir masių 

v2 2 2 

� 

Laboratorinė 

sistema 

1 

v� 1 

� 

v� 2 

� 

Boltzmano kinetinė lygtis (VI) 

centro sistemose atrodo taip: 

• Masių centro sistemoje (kuri greičiu V juda atžvilgiu laboratorinės sistemos) 

pakanka nagrinėti tik vieną dalelę, nes antra juda analogiškai pirmai tik priešinga 

kryptimi. Uždavinys susiveda į ekvivalentų uždavinį apie dalelės sklaidą ant 

nejudančio fiktyvaus jėgos centro, paveiksle pažymėtu raide O. 

1 

u � 

b 

� u� 

� 

b 

O 

1 

b 

u� 

� 

u � 

b 

� 

2 

Masių centro sistema 

• Parametras b yra atstumas nuo dalelės iki tiesės einančios per jėgos centrą 

lygiagrečiai dalelės pradiniam greičiui. Šis parametras vadinamas taikymo atstumu. 

2

Boltzmano kinetinė lygtis (VII) 

• Dalelių susidūrimų dinamika charakterizuojama diferencialiniu sklaidos 

skerspjūviu � ��. Šis dydis apibrėžiamas klasikinėje sklaidos teorijoje. Čia 

priminsime jo sąvoką. 

• Vienareikšmiam susidūrimo proceso aprašymui nepakanka užduoti dalelių 

greičius ir v , kadangi jie nenusako taikymo atstumo. Greičių ir definavimas 

2 

apibrėžia tam tikrą susidūrimų klasę su ta pačia masių centro sistema ir skirtingais 

taikymo atstumais. Šią susidūrimų klasę patogu aprašyti, išsivaizduojant, kad į 

jėgos centrą yra nukreiptas homogeninis dalelių pluoštas, turintis pradinį greitį . 

� 

v1 � 

v1 � 

v2 � 

I 

– 

b 

u � 

d� 

O 

��d� � 

I� � Ibdbd 

molekulių srautas, nukreiptas į jėgos centrą 

sekundę kertantis vienetinį plotą) 

I� ��d� � 

(molekulių 

d� 

� 

u� 

� 

u� 

� 

u � 

skaičius, per vieną 

– molekulių skaičius, per vieną sekunde išsklaidytų įerdvinį kampą 

kryptimi , . 

� � 

O 

d�

Boltzmano kinetinė lygtis (VIII) 

• Diferencialinis sklaidos skerspjūvis turi ploto dimensiją. Tai eksperimentiškai 

matuojamas dydis. Geometrinė jo prasmė tokia: 

Molekulių skaičius, per vieną sekundę 

išsklaidytų įerdvinį kampą d� 

� 

��d� • Aiškinant sklaidos eksperimentus dažnai naudojamas integralinis (pilnas) sklaidos 

skerspjūvis: 

� int 

� 

� 

� 

�� d� 

� 

� 

�� 

� 

�v , v v�, 

v� 

� � � �� 1 2 1 2 

Molekulių skaičius pluošte, per vieną 

sekundę kertančių plotą 

�� • Konkreti diferencialinio sklaidos skerspjūvio išraiška priklauso nuo sąveikos 

potencialo. Kai potencialas žinomas, � 

�� galima apskaičiuoti tiek klasikinės tiek ir 

kvantinės mechanikos rėmuose. Iš tikrųjų šio dydžio nustatymui reikia taikyti kvantinę 

mechaniką, nes susidūrimo metu molekulės priartėja mažais atstumais taip, kad jų 

banginės funkcijos persikloja. 

• Toliau mums nebus reikalinga tiksli išraiška. Mums bus reikalingos tik žinios 

apie šio dydžio simetriją. Klasikinėje ir kvantinėje mechanikoje simetrijos savybės 

paprastai yra vienodos. Kalbant apie simetriją, patogu įvesti tokį žymėjimą: 

�

Boltzmano kinetinė lygtis (IX) 

• Išvardinsime pagrindines diferencialinio sklaidos skerspjūvio simetrijos savybes: 

a) 

Invariantiškumas laiko apgręžimo atžvilgiu (apgręžus laiką kiekviena 

molekulė pakartoja savo kelią priešinga kryptimi) : 

� 

� 

�v , v v�, 

v� 

�� v�, 

�v� 

v , v � 

1 

� 

2 

� 

1 

� 

2 

b) Invariantiškumas erdvinio posūkio ir atspindžio atžvilgiu (žvaigždutės ties 

vektoriais žymi erdviškai pasuktus arba atspindėtus vektorius) : 

� 

� 

� � � � 

* * * * 

v , v v�, 

v� 

� � v , v v� 

, v� 

1 

� 

2 

� 

1 

� 

2 

• Remiantis šiomis simetrijos savybėmis nesunku įrodyti, kad atvirkštinio susidūrimo 

(atvirkštinis susidūrimas skiriasi nuo duoto tiesioginio susidūrimo tuo, kad pradinė ir 

galinė būsenos sukeistos vietomis) diferencialinis sklaidos skerspjūvis sutampa su 

tiesioginio susidūrimo diferencialiniu sklaidos skerspjūviu: 

� 

� 

� 

�v , v v�, 

v� 

�� v�, v� 

v , v � 

1 

� 

2 

� 

1 

� 

2 

• Po šio trumpo ekskurso į dviejų dalelių susidūrimų teoriją mes esame pasiruošę 

išreikštu pavidalu užrašyti Boltzmano kinetinę lygtį. 

1 

� 

1 

� 

� 

2 

1 

� 

2 

� 

1 

� 

2 

� 

1 

� 

� 

1 

� 

2 

2 

� 

2

Susidūrimo narys ir Boltzmano 

��f �t�susid 

kinetinė 

Boltzmano kinetinė lygtis (X) 

lygtis 

• Prisiminkime, kad susidūrimo narys tolydumo lygtyje susideda iš 

dviejų narių –atėjimo ir išėjimo . Išvesime šių narių išraiškas. 

�� 

• Išėjimo narys. Mums reikia apskaičiuoti dalelių mažėjimą, sąlygotą dalelių 

3 3 

susidūrimais išskirtame � erdvės tūrelyje d rd v1 

ties tašku �r,v 1� 

. Pasirinkime 

šiame tūrelyje vieną molekulę su koordinatėmis . Tame pačiame tūrelyje 

bus molekulės su laisvais greičiais , kurias galima aiškinti kaip dalelių srautą, 

nukreiptą įpasirinktą molekulę. Šio srauto tankis yra: 

� 

�r,v1� � 

v2 � 

• Susidūrimų 

• Todėl išėjimo narys yra: 

� 

�I 

� 

�v, v ��v�, v� 

� 

1 

� 

2 

3 � � � 

� r 

I 

� 

1 

� 

2 

� 

� 

2, 

� 

� 

� � � � 3 

f r, 

v t d v2 

v1 

�v2 

skaičius erdvės elemente per laiką 

� � � � 3 

� 

3 

f r, 

v � 

1, 

t d v1 

d v d�� 

�� 

� 

� � � � 3 � 

� 3 

� 

3 � � 

� � 

3 � � 

�td r f r, 

v1, 

t d v1 

d v2 

d�f 

�r, v2, 

t�d 

v2 

v1 

�v2 

�� 

td 2 

� � 

� � � � 

� � f , � � 

� 

1 2 

1 2 2, 

3 �r v , t� 

d v d�� 

�� v �v 

f �r, v t� 

d 

3 

rd 

3 

v 

1 

� t 

:

Boltzmano kinetinė lygtis (XI) 

• Atėjimo narys. Šio nario apskaičiavimui reikia nagrinėti susidūrimus 

su fiksuotu greičiu v . Tegul į molekulę, turinčią greitį 

1 

nukreiptas molekulių srautas su greičiu . Srauto tankis yra: 

� 

� � � � 

�v1 , v� 

2 ��v1, v2 

� 

� 

� , 

1 v� 

• Susidūrimų 

�td 

3 

r 

� � 

� 

�v�, v� 

� �v , v � 

� 

v � 

v� 

2 

� � 3 � � 

�I 

� � f �r, v2, 

� t�d 

v� 

2 v� 

2 � v� 

1 

� � � 

� 1 � ,v � 1 � ,v v � 

�� 

• Kadangi greičiai ir atitinka atvirkštinius vienas atžvilgiu kito 

2 

2 

susidūrimus, tai . Be to iš tvermės dėsnių anksčiau gavome, kad 

� 

• Todėl atėjimo narys yra: 

1 

2 

� 

1 

� 

� � � � 

v � � 

� � 

3 3 3 3 

1 � v2 

� v1 

� v2 

, d v1d 

v2 

� d v1d 

v2 

� �� 

� 

� 2 

skaičius erdvės elemente per laiką 

3 � � � � � � 

d v d�� 

�, 

�� v �v 

f �r v�, 

t� 

f �r, v t� 

1 

2 

, 1 2 

� 

3 3 

d rd v� 

� t 

1 

� �� 3 

� � 

�� 3� 

d v � � � � � �� 

� 

2 d � I � f r, 

v1 

d v �� 

3 

�td 

r 

3 

d r 

3 

d v� 

f 

� � 3 � � 

r, 

v�, 

t d v� 

v� 

� v� 

� � � f 

� � 3 

r, 

v� 

d v� 

� 1 

� � � 

2 

2 

� � 

� � � � � � 

2 

2 

2 

1 

1 

1 

:

Boltzmano kinetinė lygtis (XII) 

• Apjungdami atėjimo ir išėjimo narius galutinai gauname tokią susidūrimo nario 

išraišką: 

Čia: 

�� – 

� 

� 

� 

�f 

�t 

� 

� 

� 

susid 

� 

� 

� 

� � 

� 

erdvinis kampas tarp vektorių 

� 

d 

v 

� 

d�� 

��v�v�f�f��ff� 3 

� � 

2 

1 2 1 2 1 2 

� 

� 

� 

�v � � � �� 

� –susidūrimo 1 , v2 

� v1, 

v2 

diferencialinis sklaidos skerspjūvis, 

apskaičiuotas masių centro sistemoje. 

� 

• Galutinai Boltzmano 

� � 

� 

� 

� �t 

� 

� v 

� � 

f � f , 

1 

�r, v1 

t� 

� � 

�r v t� 

f � f , 

2 

� 

F 

m 

, 2 

kinetinė 

� 

� 

� 

� 

� � 

v � v 

2 

1 

ir 

� 

� 

� � 

v� 2 � v� 

1 

� � 

f � 1 � f r, 

v� 

1, 

t 

� � 

f � � f r v�, 

t 

2 

� � 

� � 

, 2 

lygtis išreikštu pavidalu užrašoma taip: 

��v�v�f�f��f� 3 

1�� r � �� 

v f 1 1 � d� 

d v2� 

1 2 2 1 2 f1 

� 

� 

� 

�

Boltzmano 

H – 

teorema 

Boltzmano kinetinė lygtis (XIII) 

• Boltzmanas įrodė teoremą, kuri teigia, kad nepriklausomai nuo pradinių sąlygų 

kinetinės lygties sprendinys artėja prie pusiausvyrinio sprendinio, t. y. jo lygtis 

aprašo negrįžtamą sistemos relaksaciją įpusiausvyros būseną. 

• Tarsime, kad išorinių jėgų nėra, t.y. . Tuomet galima padaryti prielaidą, 

� � � 

kad tankio funkcija nepriklauso nuo erdvinių kintamųjų: f r, 

v, 

t � f v, 

Šiuo atveju Boltzmano kinetinėje lygtyje lieka tik susidūrimų narys: 

� 

�f 

�t 

�v t� 

1 , 

� 

�v � 

3 

�dv2� • Norint, kad funkcija būtų 

F 

d�� 

• Pažymėkime pusiausvyrinį pasiskirstymą 

Boltzmano lygties sprendinys: 

� 

0 

� 

��v�v�f�f��ff� 0 

3 

d v2 

d� 

� � 

� v2 

�v1 

� 

f0 

v� 

2 

� 

f0 

v� 

1 � f0 

� 

v2 

� 

f0 

v 

f 

� 

šios lygties sprendinys, 

0 

f 

0 

� 

�v� � f �v�� f �v �f�v��0 2 

0 

� 

1 

0 

� 

2 

f 

0 

2 

� 

�v� 0 

� 

1 

� 

1 

2 

1 

. Tai yra stacionarus 

� � � � � � � � � � �� 

2 

1 

pakanka 

� � � t� 

1 

(�) 

� � � � (�� 

� 

� 

� 

�v, t� 

�f 

�t 

� 

) 

pareikalauti 

(��) 

� 

� 0� 

�

Boltzmano kinetinė lygtis (XIV) 

• Toliau įrodysime, kad ši sąlyga yra ne tik pakankama, bet ir būtina. Tokiu būdu 

� 

pusiausvyrinis sprendinys f0 

�v � nepriklauso nuo � �� , t.y. nuo to, kokiu 

dėsniu aprašoma sąveika tarp dalelių. 

• Mūsų tikslas yra įrodyti, kad nestacionarios kinetinės lygties sprendinys artėja 

� 

prie sprendinio f �v�, tenkinančio sąlygą (��) 

. Tuo tikslu apibrėšime 

0 

funkcionalą 

Boltzmanas 

• Boltzmano 

• Įrodysime šį 

H 

pažymėjo jį 

3 �t � d v f �v, t�ln 

f �v, t��0 

� � 

raide H. Iš 

H-teorema formuluojama taip: 

f , 

� 

�v t� 

Jeigu funkcija tenkina kinetinę 

dH 

dt 

� 

� 

čia ir kilo H-teoremos pavadinimas. 

dH 

dt 

�t� 0 

� 

� 

lygtį 

teiginį. Dėl to išdiferencijuojame apibrėžtą 

� f , 

�t 

� 

�v t� 

(�), 

tai 

�t� 3 �f 

�v, t� 

� 

d v �1�ln f �v, t�� 

� � 

ir įrašome vietoje dešinę kinetinės lygties (�) pusę: 

�t 

funkcionalą 

pagal laiką 

(��)

dH 

dt 

�� t 

3 3 

� � d v1� 

d v2� 

d�� 

� 

Boltzmano kinetinė lygtis (XV) 

��v�v�f�f��ff��1�ln f � 

• Šis integralas nepasikeis, jeigu sukeisime vietomis ir , nes diferencialinis 

1 2 

sklaidos skerspjūvis yra invariantinis šiam pakeitimui: 

dH 

dt 

�� t 

� 

�� 3 3 

� � d v1� 

d v2� 

d�� 

• Sudėsime dvi paskutines išraiškas ir rezultatą 

dH 

dt 

1 

� 

� 

2 

2 

1 

v � 

��v�v�f�f��ff��1�ln f � 

• Šis integralas nepasikeičia sukeičiant 2 ir 2 , nes kiekvieną 

tiesioginį susidūrimą atitinka atvirkštinis su tuo pačiu skerspjūviu 

dH 

dt 

�t� �t� 1 

2 

1 

2 

3 3 

� � d v1� 

d v2� 

3 3 

� � d v� 

1� 

d v� 

2� 

��, � � � 

d�� 

� 

Kadangi 

1 2 1 

tai paskutinį integralą galimą užrašyti taip: 

� 

2 

� 

� 

v � 

1 

� � 

1 ,v 

2 

1 

2 

v � 

1 

� � � 

1 

2 

� � v � 

1 ,v 

��v��v��ff�f�f��2�ln�f�f�� 2 

� 

1 

padalinsime iš 

� � � � 3 3 3 3 

v � v � v� 

� v� 

d v d v � d v�d 

v� 

, 

2 

1 

2 , 1 2 1 2 

2 

1 

1 

dviejų: 

� � 

d�� 

(��) 

��v�v�f�f��ff��2�ln�ff�� 2 

1 

2 

1 

2 

1 

1 

2 

1 

2 

2

dH 

dt 

�t� • Sudedame šį 

dH 

dt 

�t � 

1 

2 

3 3 

� � d v1� 

d v2� 

1 

4 

integralą 

3 3 

� � d v1� 

d v2� 

d�� 

� 

Boltzmano kinetinė lygtis (XVI) 

��v�v�ff�f�f��2�ln�f�f�� su (��) 

ir padaliname iš 

d�� 

1 3 3 

� � d v1� 

d v2� 

d�� 

4 

� 

2 

� 

1 

2 

1 

2 

1 

dviejų: 

��v�v�f�f��ff ��ln�ff��ln�f�f�� 2 

� 

� 

1 

2 

1 

� 

� 

� 

� � � � 

1 2 1 2 

� v � v f �f 

��1� 

�ln� 

• Čia funkcija po integralu yra neteigiama, nes bet kuriems 

galioja nelygybė: 

Iš 

jos išplaukia H –teoremos teiginys, būtent 

dH 

dt 

�t� 0 

� 

2 

� 

�s� � �1 � s�ln 

s � 0 

1 

1 

2 

2 

1 

f f � 

f � �� 

2 f1 

� 

� � 

0 

s 

� 

1 

� 

� 

� 

2 

2 

1 

f f � 

f � � 1 f2 

� 

f f 

f �f 

� 

1 

1 2 � 

1 

0 

� 

Funkcijos grafikas 

2 

1 

�s� 2 

s

Boltzmano kinetinė lygtis (XVII) 

• Iš išraiškos (��) 

matyti, kad dH dt � 0 tik tuomet, kai �f �t 

� 0 . Vadinasi 

nepriklausomai nuo pradinių sąlygų sistema evoliucionuoja taip, kad �f �t 

� 0 . 

Pusiausvyrinis sprendinys dH dt � 0 (o reiškia ir �f �t 

� 0) 

pasiekiamas tik 

tuomet, kai . Tai tiksliai atitinka sąlygą (��): 

s �1 

f 

0 

� 

�v� � f �v�� f �v � f �v � � 0 

2 

0 

� 

1 

0 

� 

2 

0 

� 

1 

(��) 

• Vadinasi nepriklausomai nuo pradinių sąlygų sistema artėja prie pusiausvyrinio 

� � 

sprendinio f �v, t��f�v� 

, nusakomo lygtimi (��). 

Pastebėsime, kad ši lygtis 

0 

atitinka detaliosios pusiausvyros principą. 

• Šis rezultatas atrodo keistas, nes Boltzmano lygties išvedimas lyg tai remiasi 

grynai dinamikos dėsniais, kurie yra invariantiniai laiko apgręžimo atžvilgiu. 

Boltzmano lygtyje šis invariantiškumas prarastas. Ji aprašo negrįžtamą sistemos 

evoliuciją įpusiausvyrinę būseną. 

Kurioje vietoje padaryta „klaida“?

Boltzmano kinetinė lygtis (XVIII) 

• Negrįžtamumas atsirado dėl visai atrodo „nekaltos“ prielaidos, kurią padarėme 

apskaičiuodami susidūrimo narį Boltzmano lygtyje. Mes tarėme, kad mažame tūrio 

elemente d r dviejų molekulių greičiai yra nekoreliuoti. Tą prielaidą mes 

padarėme, kai skaičiavome molekulių porų skaičių, turinčių greičius ir greičio 

tūrio elementuose ir , nes išreiškėme jį sandaugos pavidalu: 

3 

v1 � 

v2 � 

d 

3 

v1 

d 

3 

v2 

� 

� 

� � 

, v 

� � � � 3 3 

f r v , t d rd v f �r, v , t� 

1 

� � 3 3 

d rd 

• Pastaroji prielaida mokslinėje literatūroje vadinama molekulinio chaoso hipoteze. 

Jos originalus (Boltzmano) pavadinimas vokiečių kalba yra: Stoßzahlansatz. 

• Kaip reikėtų teisingai apskaičiuoti susidūrimų � narį � �? 

�Teisingam 

šio nario 

apskaičiavimui reikia panaudoti dvidalelę f �r, v1; 

r, 

v2, 

t� 

tankio funkciją, kuri 

bendruoju atveju nelygi viendalelių funkcijų sandaugai: 

� � � � � � � � 

f , 

�rv; r, 

v , t��f�r, 

v , t� 

f �r, v t� 

, 1 2 

1 

2 

• Tuomet mes negautume uždaros sistemos, nes į Boltzmano lygtį įeitų dvi 

nežinomos funkcijos – viendalelė f �r, v, 

t� 

ir dvidalelė 

. 

Tuomet tektų rašyti lygtį dvidaleliai funkcijai, į kurią įeitų tridalelė ir t.t. Tokiu būdu 

gautume sistemą N lygčių, kurios būtų grįžtamos, nes jos būtų ekvivalenčios dalelių 

dinaminėms lygtims (Niutono dėsniams). Tad negrįžtamumas atsiranda dėl lygčių 

grandinėlis nutraukimo panaudojus molekulinio chaoso hipotezę. 

� � 

� � � � 

f �r, v1; 

r, 

v2, 

t� 

1 

2 

2

Pusiausvyrinis Boltzmano 

Boltzmano kinetinė lygtis (XIX) 

lygties sprendinys 

• Surasime pusiausvyrinį Boltzmano lygties sprendinį, kuris tenkina lygtį 

Dėl to išlogaritmuosime ją ir užrašysime tokiu pavidalu: 

� � � � 

ln v 

f0�v 

2� 

� ln f0�v 

1��ln 

f0�v� 

2��ln 

f0� 

� 1� 

� � v� � 

� � 

(��). 

• Kadangi ir yra bet kurio įmanomo susidūrimo, atitinkamai pradiniai 

1 2 

ir galiniai molekulių greičiai, tai šią lygtį galima aiškinti kaip tvermės dėsnį. Jeigu 

� 

k �v�yra dydis, charakterizuojantis molekulę ir turi tvermės savybę, t.y. 

nekinta susidūrimo metu, tai aukščiau užrašytos lygties sprendinys yra tų dydžių 

tiesinė kombinacija 

,v 1 2 ,v 

� � 

�k v1 � �k 

v2 

� 

� 

v � 

� � 

� � 

ln � 

�v � � c � �v ��c�v�� f0 1 1 2 2 

� 

� � � � 

• Kadangi susidūrimo metu �nekintantys 

(tvarieji) dydžiai yra energija, impulsas ir 

� 2 

dalelių skaičius, tai ln f0 

�v � yra v , trijų greičio vektoriaus v komponenčių ir 

laisvos konstantos tiesinė kombinacija: 

� 

ln 

� � � 

f ln 

0 

2 

�v��A�v�v � � C 

0 

f 

0 

� � � 

� 

� � � �2 � A v v0 

v � Ce 

Taigi gavome, kad sistemos pusiausvyrinė būsena yra Gauso skirstinys (fizikai �jį 

vadina Maksvelo-Boltzmano skirstiniu). Čia jis turi 5 laisvas konstantas: A, 

C, 

v0

Boltzmano kinetinė lygtis (XX) 

� 

v � 

• Aptarsime šių konstantų fizikinę prasmę. Pirmiausia konstanta yra vidutinis 

0 

greitis. Jis nusako visos dujų sistemos, kaip visumos, judėjimą � pastoviu greičiu. Čia 

nagrinėsime atvejį, kai vidutinis greitis lygus nuliui, . 

• Konstanta C nustatoma iš 

n � C� 

d 

3 

v e 

� 

� Av 

• Konstanta A surandama iš 

� 

2 

normavimo sąlygos: 

� � � 

� C� 

� 

� A � 

3 2 

sąlygos, kad vidutinė 

� 2 

mv 

� 2 

3 

� Av 

2�mC 

� d v e � dvv 

n � 2 n � 

1 2 

f 

0 

�v� 4 

e 

� Av 

� 

� 

v � 0 

0 

3 2 

� 

v 

� A � 

C � n� 

� 

� � � 

, 

N 

n � 

V 

3 

� � 

2 

kinetinė 

3 

4 

m 

A 

3 2 

� � m � � 2 

�mv 

2k 

BT 

� 

� 

e 

k B 

T 

energija : 

Galutinai pusiausvyrinis Boltzmano lygties sprendinys (Maksvelo-Boltzmano 

skirstinys) yra: 

� n� 

� 2�kT 

A 

� 

3 

4 

m 

� 

� 

m 

2k 

T 

B 

(negrįžtamumo 

animacija)

Termodinamikos dėsniai 

Boltzmano kinetinė lygtis (XXI) 

• Pasinaudojus gautu pusiausvyriniu skirstiniu nesunku išvesti išretintų dujų 

termodinamikos dėsnius. Pirmiausia gausime idealių dujų būsenos dėsnį. Dėl to reikia 

apskaičiuoti slėgį. Pasirinksime vienetinio ploto paviršių ir apskaičiuosime jėgą, kuria 

molekulės veikia tą paviršių. 

vz 

vx Vienetinio 

ploto diskas 

vx 

v � 

• Tuomet dujų 

P 

� 

� 

d 

3 

v 

slėgis: 

� 

� 

2 

2 

2 � Av 

� Av 

x 

y 

�2mvx �vxf0�v��2mC� dvxv 

xe 

� dv ye 

� 

x 

• Atsispindėjusi nuo disko molekulė 

perduoda jam impulsą 2mvx 

. 

Atsispindėjusių nuo disko molekulių 

skaičius per vieną sekundę proporcingas 

pavaizduoto cilindro tūriui: 

� 

v x 

� 

f 

0 

� 

3 �v�d v 

vx 

�0 

0 

�� 

�� 

� 

� 

2 

2 

� Av 

1 2 

� Av 

2 mv 

2 

3 2 

3 � � 

� 

2 

3 

� Av 

2 

� mC� d vvxe 

� mC� 

d vv 

e � C� 

d v e � n � � nk BT 

3 

3 2 3 

N 

P � nkBT 

� kBT 

V 

– 

idealių 

dv 

z 

e 

� Av 

2 

z 

dujų būsenos dėsnis

• Pirmasis termodinamikos dėsnis 

teigia, kad suteikta dujoms šiluma 

atlieka mechaninį darbą ir pereina į 

vidinę energiją: 

Vidinė 

dQ � dU � 

šiluminė 

PdV 

energija: 

3 

U � N � � NkBT 

2 

Iš čia galime apskaičiuoti dujų šiluminę 

talpą esant pastoviam tūriui: 

C 

V 

� dQ� 

� � � 

� dT � 

V 

� 

dU 

dT 

� 

3 

2 

Nk 

• Antrasis termodinamikos dėsnis taps 

ekvivalentus Boltzmano H-teoremai, jeigu 

H funkciją sutapatinsime su entropijos 

tankiu padalintu iš kB : 

H � � 

B 

S 

Vk 

B 

Boltzmano kinetinė lygtis (XXII) 

Tuomet H-teorema teigia, kad esant fiksuotam 

tūriui V (dujos izoliuotos) entropija 

nemažėja – antras termodinamikos dėsnis. 

Įrodysime sąryšį tarp S ir H 

apskaičiavę pusiausvyrinę H vertę 

H 

0 

� 

3 

� d vf0 

ln f0 

� 

� � � m � 

� n�ln�n� 

� 

� 

� 

�� 

�� 

� 2�k 

BT 

� 

Kadangi entropijos apibrėžimas yra 

dS=dQ/T mums reikia įrodyti, kad 

pusiausvyroje galioja sąryšis 

Kadangi 

tai turi galioti lygybė 

3 2 

dQ � TdS � �kBTVdH0 

3 

dQ � dU � NkBdT 

2 

dH0 

3 n 

� � 

dT 2 T 

Tiesiogiai diferencijuojant funkciją 

įsitikinti, kad ši lygybė yra teisinga. 

H 0 

� 3� 

� 

� � � 

� 2 

� �� 

galima

Panagrinėkime pusiausvyrinį 

lygties sprendinį 

Boltzmano 

Boltzmano kinetinė lygtis (XXIII) 

Pusiausvyrinis sprendinys esant išoriniam laukui 

� � 

� 

� 

� 

� 

F 

v�� r � �� 

v f � � � 

m � 

� �t 

�susid 

� 

� 

� 

� 

F � ��r 

� 

�� 

�r � 

� �f 

kai dujas veikia išorinis konservatyvus 

laukas, apibrėžiamas potencialu � � � 

Nesunku patikrinti, kad kinetinės lygties 

sprendinys yra 

� 

� �r� �2 

mv 

f 

� 

� 

�r, v��f�v� 

0 

� 

e 

� 

� 

, � 

� 

� 

� 

� 

� 

kBT 

2kBT 

f0�v��Ce 

Nesunku tiesiogiai patikrinti, kad 

įrašius šią išraišką įkinetinę lygtį, 

kairioji jos pusė virsta nuliu. 

, 

r � 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

Dešinioji pusė irgi virsta nuliu, nes 

nepriklauso nuo greičio : 

� 

2� 

f � 

k T 

� � 

� 

�t 

� 

susid 

� e 

�r � 

B 

3 

�dv2� v � 

d�� 

� � � � 

� v 

�r � 

� 

� 

� 

��v�v� � f �v� � f �v�� f �v � f � �� 

� 0 

0 

2 

0 

1 

�� 

�r � kBT 

Eksponentinį daugiklį e galima 

įtraukti į tankio n apibrėžimą ir galutinai 

pusiausvyrinį Boltzmano lygties su išoriniu 

lauku sprendinį galima užrašyti taip: 

f 

3 2 

� � � � � � 

� 2 

mv 

2k 

BT 

�r, v ��n�r�� e 

n 

� � 

0 

m 

� 

� 2�k 

BT 

� 

2 

� 

� 

� 

� �r � kBT 

3 

�r��ne � 

d vf �r v� 

� 

0 

1 

2 

� � 

, 

� 

1

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (I) 

• Mes jau pateikėm elementarią pernašos reiškinių teoriją. Tikslesnė pernašos 

reiškinių teorija grindžiama Boltzmano kinetine lygtimi. Tiriant nepusiausvyrinius 

reiškinius mums reikia žinoti laikiškąją tankio funkcijos evoliuciją. Dėl to būtina 

išspręsti nestacionarią Boltzmano kinetinę lygtį. 

• Bendruoju atveju nestacionarią kinetinę lygtį išspręsti nepavyksta. Tačiau 

kinetinės lygties sprendiniai turi tenkinti tam tikrus sąryšius, kurie išplaukia iš 

energijos, impulso ir masės tvermės dėsnių. Bendruoju atveju tie sąryšiai nesudaro 

uždaros lygčių sistemos. Tačiau jeigu galioja vietinės pusiausvyros principas, tai ta 

lygčių sistema užsidaro ir virsta hidrodinaminėmis lygtimis. Vietinės pusiausvyros 

principas teigia, kad kiekviename erdvės taške dalelių greičiai pasiskirsto 

pagal Maksvelo-Boltzmano skirstinį, kurio parametrai (vidutinis greitis, 

temperatūra ir koncentracija) yra skirtingi skirtinguose erdvės taškuose. 

• Hidrodinaminės lygtys išvedamos iš kinetinės lygties gana sudėtingu Čapmano ir 

Enskogo (Chapman and Enskog) metodu. Mes pateiksime supaprastintą to metodo 

versiją, kurioje susidūrimo nariui taikoma relaksacijos laiko aproksimacija. 

Panaudodami šia aproksimaciją, mes ne tik išvesime hidrodinamines lygtis, bet taip 

pat gausime pernašos koeficientų išraiškas.


Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (II) 

• Mes parodysime, kad Boltzmano lygties sprendiniai turi tenkinti tam tikrus sąryšius, 

kurie išplaukia iš to, kad molekulių susidūrimo metu tam tikriems dinaminiams 

kintamiesiems galioja tvermės dėsniai. Toliau remiantis šiais tvermės dėsniais 

užrašysime hidrodinamines lygtis makroskopinėms dujų savybėms aprašyti. 

• Tegul yra dydis, charakterizuojantis molekulę su koordinate ir greičiu , 

kuris susidūrimo metu �v1 , v2 

� � �v� 1, 

v� 

2 � , vykstančiu taške , nekinta, t.y. 

� � � � 

�r v� 

� � � , 

r � 

v � 

r � 

� � � � �� 

� �� 

• Įrodysime, kad sudauginus dydį 

greičius gausime nulį: 

1 

2 

�r, v� 

• Ši lygybė įrodoma panaudojus susidūrimo skerspjūvio simetrijos savybes, 

panašiai, kaip buvo įrodyta H-teoremą. Būtent, mes panaudosime tokius tris kintamųjų 

pakeitimus 

� � 

( a) 

v1 

� v2; 

( b) �v1, v2 

� � �v� 1, 

v� 

2 �; 

� � � � 

ir keturiais skirtingais būdais užrašysime pastarąjį 

� 

d 

3 

� 

� 

v� 

1 

2 

su susidūrimo nariu ir suintegravus pagal 

� 

� 

� 

� 

�f 

� 

�r, v, 

t� 

�t 

� 

� 

� 

� 

susid 

� 

integralą: 

� 0 

�� ( c) v� 

� � � � 

�v , v � � �v� , � 

1 

2 

2 

1

� 

� 

� 

� 

d 

d 

d 

d 

3 

3 

3 

3 

� 

v� 

� 

v� 

� 

v� 

� 

v� 

� 

� �f 

� 

� �t 

� 

� 

� 

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (III) 

3 3 

�r, v � � d v d v d�� 

��v�v� �f�f��ff� � 

� �f 

� 

� �t 

� 

� 

� 

susid 

� 

1 

� 

2 

� 

3 3 

�r, v� 

� d v d v d�� 

��v�v� �f�f��ff� � 

� �f 

� 

� �t 

� 

� 

� 

susid 

� 

1 

� 

• Sudėję šias keturias lygybes ir rezultatą padalinę iš 4, gauname lygybę, kurią 

siekėme įrodyti: 

� � � �f 

� 1 

� � 

v� 

� � 

� � � 1� 

2� 

1 v 

t � 4 

2 

� 

3 3 

�r, v� 

� d v d v d�� 

��v�v��ff�f�f�� 

� �f 

� 

� �t 

� 

� 

� 

susid 

� 

1 

� 

2 

� 

3 3 

�r, v� 

� d v d v d�� 

��v�v��ff�f�f�� susid 

� 

1 

� 

2 

� 

3 3 

�r, v � � d v d v d�� 

��v� �� 3 

� d 

2 1 2 1 2 

susid 

� 

� 

� 

� 

1 

2 

1 

1 

� 

2 

� 

� 

� 

1 

2 

2 

1 

2 

1 

2 

2 

2 

2 

1 

1 

1 

1 

2 

2 

1 

2 

1 

1 

2 

1 

2 

� f �f 

�� 

f � � 0 

� f 

2 

1 

–originalus 

– 

– 

pakeit. (a) 

pakeit. (b) 

– pakeit. (c) 

2 

1

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (IV) 

• Dabar išvesime tvermės dėsnius. Dėl to padauginame Boltzmano kinetinę lygtį iš 

ir integruojame pagal : 

r � � � , 

� 

� v� 

3 � � 

d v� 

, 

�r v� 

v � 

� � � 

� 

� 

�v� 

� �t 

� 

r 

� 

F 

� � 

m 

� 

v 

� 

� 

� 

f 

� 

� �f 

� 

� � � 

� �t 

� 

• Kadangi susidūrimo narys virsta nuliu, tai gauname: 

• Pastarąją 

� 

�t 

d 

3 

išraišką 

� 

� 

� 

� � 

� 

� �t 

� 

F 

m 

susid 

�r, v��v� 

� � �� 

� f � 0 

3 

d v� 

r v 

galima užrašyti taip: 

� � 

v� 

f �r, v�� 

3 � � � 

d v� 

vf 

�r, v�� 

3 � 

d v f v�� 

r � � 

1 � 

3 

� � d v�� 

v �Ff 

m 

1 � 

3 1 3 

� � d vf F�� 

� � 

v� 

d v�f 

m 

m 

� � � 

r 

� � 

� 0 f �r, v, 

t��0 

, nes kai 

v � 

� 

� 

� 

� 

� � ��F 

� 0 

� � 

� 0, 

jeigu F nepriklauso nuo 

� 

v 

� 

v �

• Toliau laužtiniais skliaustais žymėsime dydžių 

A 

� 

3 

d vAf 1 

� � � 

3 

d vAf 

3 

d vf n 

� 

nA � n 

A 

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (V) 

čia 

vidurkius pagal 

� � � 

n , 

� � � 

3 

r, 

t � d vf �r, v t� 

Pastebėkime, kad , nes n nepriklauso nuo . 

• Tuomet tvermės lygtį 

� 

�t 

� 

n� 

� 

�x 

j 

bendruoju atveju galima užrašyti taip: 

nv � � n 

j 

� 

v 

j 

�� 

�x 

j 

• Gautoje tvermės lygtyje yra bet koks tvarus dydis, t.y. dinaminis kintamasis, 

kuris nekinta molekulių susidūrimo metu. Toliau visiems tvariems dydžiams išreikštu 

pavidalu užrašysime tvermės lygtis. 

� 

n 

m 

F 

j 

�� 

�v 

j 

v � 

� 0 

Čia pasikartojantys indeksai reiškia sumavimą 

nv � (sumavimas pagal nutylėjimą), pavyzdžiui: j� 

� 

�x 

� � 

� 

j 

– 

v � 

j 

3 

1 

: 

bendroji tvermės 

lygtis 

� 

x 

j 

nv 

j 

�

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (VI) 

• Molekulių susidūrimo metu išsilaiko masė, impulsas ir energija. Taigi 

bendroje tvermės lygtyje vietoje � nuosekliai įrašysime: 

� � 

m 

� � i 

� � 

• Pradėsime nuo 

mv i 

1 

2 

� � 

m v � u 

� �1, 

2, 

3� 

� 

� � 2 

r, 

t 

� 

u 

� 

masės tvermės 

• Apibrėžus masės tankį 

užrašyti taip: 

� 

�r, t� 

� v 

– 

(masė 

(impulsas) 

(šiluminė 

arba dalelių 

energija) 

skaičius) 

lokalinis (vietinis) vidutinis greitis 

� � 

lygties, t.y. bendroje tvermės lygtyje įrašysime : 

� � 

mn � 

�t 

�x 

j 

� � 

� r , t � mn r, 

t 

� � � � 

� 

�t 

� �� 

� 

mnv 

��u��0 j 

� 0 

, masės tvermės dėsnį 

galima 

� 

� � 

(čia ir toliau ) 

r � 

m

• Impulso tvermės lygtį 

• Greičių 

i 

j 

� 

�t 

sandaugos vidurkį 

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (VII) 

gausime, įrašę įbendrąją 

�v 

i 

� 

� 

�x 

j 

�v 

v 


tvermės lygtį 

1 

� �Fi 

� 0 

m 

� � 

mvi 

�vi�ui��vj�uj��viuj�uivj � uiu 

j � �vi � ui 

��v j � u j � uiu 

j 

v v � 

� 

• Įrašę 

� 

� 

�u 

� 

� 

� �t 

arba 

tai į 

� 

viršutinę 

�u 

� 

� 

� 

� 

�ui 

�ui 

� u j 

��t�� 

��x�j 

�� 

ij 

lygtį, gauname 

� 

� � 

� 

� � 

u � 

1 1 � 

� j ui 

� Fi 

� 

� t x � 

� � � j � m � �x 

�v � u ��v u � 

P � 

i 

�0 

i 

� 

j 

j 

i 

� � –slėgio tenzorius 

j 

� ��F � ��v�u��v�� 

i i u j 

i 

i i j u j 

�x 

� 

j 

m �x 

j 

1 

(dėl masės tvermės dėsnio) 

j 

P 

� 

ij 

:

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (VIII) 

• Energijos tvermės lygtį gausime, įrašę įbendrąją tvermės lygtį � � 2 

m � � � 

� � v � u r, 

t 

2 

� 

� 

1 � 

2 1 � 

2 1 � 2 

� v �u 

� �v 

j v �u 

� � v j v �u 

2 �t 

2 �x 

j 

2 �x 

j 

• Apibrėšime tokius dydžius: 

T 

k B 

m 

� � m � � 

, � v �u 

3 

�rt� �r, t� 

�� – 

2 

� 

� 

� 

� 

� 0 

lokalinė (vietinė) temperatūra (tolygus šiluminės 

energijos pagal laisvės laipsnius pasiskirstymas) 

� � m � � � � 2 

q�r, 

t�� 

� �v�u�v�u 2 

– lokalinis (vietinis) šilumos srautas 

Tada: 

m � 

2 �t 

� � 2 

� v �u 

m � � � � � 2 3 � 

� � v �u 

� �� 2 �t 

2 �t 

1 � � 2 

m� v j v �u 

2 

1 

� m� 

v j �u 

j 

2 

� � 2 

v �u 

1 

� m�u 

j 

2 

� � 2 

v �u 

3 

� q j � �� 

u 

2 

1 

� v j 

2 

� 

�x 

� 

� 2 

v �u 

1 

� � v j 

2 

� 

�x 

� 

2 �vi�ui� � � v j �vi�ui� �ui 

�x 

j 

� � j 

j i 

j �vi�ui� � � �v j �u 

j ��vi �ui 

� � � u j �vi �ui 

� Pij 

� v � 

j

• Tuomet energijos tvermės lygtį 

� 

�t 

P � 

3 

2 

� 

�t 

�q 

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (IX) 


3 � 

2 �x 

�u 

�x 

j � � � � i 

�� u � mP � 0 

�x 

Kadangi tai paskutinį 

ij 

�u 

� 

�x 

P 

ji 

m � 

� 

�u 

� 

Galutinai energijos tvermės lygtis įgauna tokį 

� � 

�� 

� �ui 

� �t 

j 

� �� 

� 

� �t 

� �� u ��u � �� 

� � �u�� 

narį 

�u 

� 

�x 

i 

j 

galima simetrizuoti: 

i 

i j 

mPij � Pij 

� � Pij�ij 

�x 

j 2 � �x 

j �x 

� 

i 

� 

� 

� 

� 

� 

�� 

� 

� 

�� 

� 

�x 

� 

j � 

2 

3 

j 

pavidalą: 

�q 

�x 

i 

i 

� � 

ij 

� �� 

� 

� �t 

�� 

j 

j 

j 

j 

�� j 

�� 

�� 

� 0 (dėl masės tvermės) 

� 

2 

3 

ij 

� 

� 

ij 

j 

� 

�x 

P 

m 

2 

ij 

� 

� 

�u 

� 

� �x 

i 

j 

� 

�u 

� 

�x 

i 

j 

� � 

� 

�

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (X) 

• Reziumuodami gautus rezultatus užrašysime visus tris tvermės dėsnius vienoje vietoje. 

Tvermės lygtys: 

�� 

� 

��u��0 

�t 

� � � �� 

� � 

�� 

�u��u 

� F ��Pˆ 

� �t 

� m 

� � � � 2 � 2 

�� 

�u�� 

� � �q 

� Pˆ 

�ˆ 

� �t 

� 3 3 

� 

� 

u , 

� 

r, t 

� 

� 

�r, t� 

�rt� � 

� � 

–masės tankis 

– 

vidutinis greitis 

(masės) 

(impulso) 

(energijos) 

� 

q 

� 

� 

Pij 

– temperatūra 

–slėgio tenzorius 

– šilumos srautas 

� � Pˆ � �Pij� – tenzorius 

�rt� q , 

3 

�r , t� 

� m d vf �r , v, 

t� 

ij 

� 

Žymėjimai: 

� 

� 

� � 

u�r 

, t� 

� 

� 

v 

� 

r, 

t 

m 

� 

3 

� � 

v �u 

� � 

� 

, 

m 

2 

� � � � 

v �u 

m � � 

� 

�u 

�u 

i j 

� � � � 

ij 

2 � � 

� �x 

j �xi 

� 

�rt��v�u� � 

�v � u ��v u � 

P � � � 

��P x � 

�P � � ˆ 

ij 

j 

i 

P� � � ˆ ˆ 

– 

i 

Pij 

j 

ij 

vektorius 

2 

j 

2 

– skaliaras

Vietinė 

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XI) 

pusiausvyra ir hidrodinaminės lygtys 

• Užrašytos tvermės lygtys yra tiek pat tikslios kiek tiksli Boltzmano kinetinė lygtis. 

Tačiau jos nesudaro uždaros lygčių sistemos. Tai lygtys trim kintamiesiems (dviem 

skaliariniams �r, t�, 

ir vienam vektoriniam ), kurie nekinta molekulių 

susidūrimo metu. Tačiau į šias lygtis įeina slėgio tenzorius ir šilumos srautas . 

Šie dydžiai neišsireiškia per , ir , todėl lygčių sistema yra neuždara. 

� 

� u �r, t� 

� � 

�r, t� 

� 

� 

P q �r, t� 

ij 

� � 

� � u � 

• Nors bendruoju atveju tvermės lygčių sistema nėra uždara, esant tam tikrom 

fizikinėm sąlygoms ją pavyksta uždaryti. Tai pavyksta padaryti, jeigu yra žinomas 

dalelių pasiskirstymas pagal greičius. Tuomet tvermės lygtys virsta 

hidrodinaminėmis lygtimis. Aptarsime šį atvejį detaliau. 

• Tarkime, kad Boltzmano 

kinetinėje lygtyje 

� � � 

� 

� 

� v� 

� �t 

� 

r 

� 

F 

� � 

m 

� 

v 

� 

� 

� 

f 

� 

� �f 

� 

� � � 

� �t 

� 

kairiosios pusės nariai yra žymiai mažesni už dešinį narį, t.y. susidūrimo narys yra 

dominuojantis. Tokia situacija turėtų realizuotis tada, kai išorinė jėga nėra didelė ir 

kai funkcija f lėtai kinta laike ir erdvėje. Detalesnis šio artėjimo kriterijus bus 

aptartas vėliau. Tuomet nuliniame artinyje kairiosios pusės narius galime tiesiog 

prilyginti nuliui. Aptarsime detaliau šio nulinio artinio sprendinius. 

susid

Nulinis artinys 

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XII) 

• Nuliniame artėjime kietinėje lygtyje yra tik susidūrimo narys 

f � f �� 

f f 

2 

1 

1 

1 

� 0 

� �f 

� 

� 

� �t 

f 

�0� � 

� 

� 

� 

� 

susid 

• Šią lygtį mes jau sprendėme ir nustatėme, kad jos sprendinys yra pusiausvyrinis 

Maksvelo-Boltzmano skirstinys 

n � 

u � 

� 

� 0 

� m � 

� 2�� 

� 

3 

�0� 2 

�r, v, 

t��n� 

� exp 

� 

� �v�u� �� 

kuriame , ir yra laisvi parametrai. Bendruoju atveju jie gali priklausyti nuo 

koordinatės r ir laiko , nes susidūrimo narys nepriklauso nuo šių kintamųjų (jis 

priklauso tik nuo greičio). Kadangi kinetinės lygties kairiosios pusės nariai turi būti 

maži mes tariame, kad nulinio sprendinio parametrai yra lėtos laiko ir koordinatės 

funkcijos: 

� 

t 

n , 

� 

� n�r 

t� 

� � � �r, t� 

� 

2 

� 

� 

u u , 

� � � � 

�r t� 

m 

2� 

� 

� 

�

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XIII) 

• Taigi matome, kad esant aukščiau išvardintoms prielaidoms kiekviename erdvės 

taške nusistovi vietinė (lokali) pusiausvyra aprašoma Maksvelo-Boltzmano skirstiniu, 

kurio parametrai (koncentracija, temperatūra ir vidutinis greitis) lėtai kinta laike ir 

erdvėje. Šie parametrai nekinta molekulių susidūrimo metu ir jiems galioja anksčiau 

užrašyti tvermės dėsniai. Priminsiu, kad tvermės dėsniai gauti iš tikslios (nedarant 

jokių prielaidų) kinetinės lygties ir yra tiek pat tikslūs kiek tiksli yra kinetinė lygtis. 

� 

� 

• Žinodami lokalinę skirstinio formą mes galime apskaičiuoti slėgio tenzorių 

ir šilumos srautą q �r, t� 

. Tiksliau sakant mes galime išreikšti juos per pusiausvyrinio 

skirstinio parametrus , ir ir tuo pačiu uždaryti tvermės lygčių sistemą. 

n � 

Nesunku įsitikinti, kad šilumos srautas šiame artinyje lygus nuliui: 

u � 

• Pažymėkime (tuos pačius C ir A žymėjimus mes jau naudojome anksčiau): 

� m � 

C�r, t��n� 

� 

� 2�� 

� 

� 

� � � � � 2 

v � 

��0� � 1 m� 

� � � 

3 � � � � 2 � 

q r, 

t � d v�v�u�v�uC�r, 

t�exp 

� A�r, 

t� 

u 

2 n 

1 

2 

2 

2 � � � 

3 � , � exp� 

� � � 

� m C r t 

� � , � � 

� 

�d UU 

U A r t U � 0 

2 

� � 

3 

2 

� 

A � 

�r, t� 

m 

2� 

P ij 

� � � 

U � 

v � u 

� 

�r, t� 

(nulis gaunamas 

dėl to, kad funkcija 

po integralu yra 

nelyginė)

• Panašiai apskaičiuojame slėgio tenzorių: 

Čia: 

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XIV) 

� � � � � 2 

v � 

� � � 

, u 

n 

� 

2 

� mC�rt� d UUiU 

j � 

� A�rt�U� 

� 

� 

3 

� � 

, exp � , � �ijP 

� � 

�0�� 3 

r t � C r, 

t d v�v�u��v�u� 

i i j exp � A�r, 

t� 

Pij j 

� 

P � mC � 3 

� 

1 2 

1 

� 

m 

2 

2 

3 �r, t� 

d U U exp� 

� A�r, 

t�U�� 

mU 

� n � �� 

� 

� 

� 

yra hidrostatinis slėgis (idealių dujų būsenos lygtis). Pastebėsime, kad pastarąjį 

integralą mes jau skaičiavome, kai nagrinėjome pusiausvyrinį Boltzmano lygties 

sprendinį. 

• Įrašydami šias išraiškas į 

�� 

ˆ � 

� 

�� x 

j 

�� 

� 

� 

� 

n 

3 

tvermės lygtis ir pastebėdami, kad 

�0� � � �0� �P � � ijP 

� � �P, 

P � � P��ii 

� P � 

�� 

i�1 

gauname nulinio artinio hidrodinamines lygtis: 

ˆ 

ˆ 

3 

m 

2 

3 

� �u 

� 

� 

� �x 

i�1 i i 

i 

�u 

� i � 

� � mP�u 

x � 

� 

� �

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XV) 

Nulinio artinio hidrodinaminės lygtys 

�� 

� 

��u��0 

�t 

� 

� � � �� 

1 F 

� �u��u 

� �P 

� 

� �t 

� � m 

� � � � 2 � 

� �u�� 

� u 

� �t 

� 3 

��0 (tolydumo lygtis) 

(Oilerio lygtis) 

(energijos tvermės lygtis) 

idealių dujų 

būsenos lygtis: 

� � 

�P 

� �� 

� m � 

1 

• Tai yra uždara lygčių sistema. Šių lygčių kintamieji yra dydžiai suvidurkinti pagal 

molekulių greičius v. Šios lygtys neblogai aprašo makroskopinį dujų judėjimą. 

Tačiau pagrindinis šių lygčių trukumas yra tas, kad jos neįskaito klampos. Šiame 

artinyje lokalus Maksvelo-Boltzmano skirstinys einant laikui nevirsta tikru Maksvelo- 

Boltzmano skirstiniu. Vis dėl to šios lygtys neblogai aprašo realius eksperimentus, 

nes yra žinoma, kad neveikiami išorinių jėgų hidrodinaminiai srautai gęsta gana lėtai. 

• Nors šios lygtys gautos su prielaida, kad dujos yra išretintos, jos taip pat tinka 

skysčio judėjimui aprašyti. Taip yra todėl, kad šias lygtis galima išvesti kitaip, 

remiantis žymiai bendresniais euristiniais samprotavimais.

� 

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XVI) 

• Panagrinėsime nulinio artinio hidrodinamines lygtis. Parodysime, kad tiesinime 

artinyje iš jų galima gauti bangos lygtį ir nustatyti akustinių bangų sklidimo greitį. 

Jeigu dujas neveikia išorinės jėgos, F � 0, 

tai stacionarų hidrodinaminių lygčių 

sprendinį galima užrašyti taip: 

� 

� 

� � const , u 0 

� 

0 

�r t� 

0 � 

� 

� � const , 

0 

�r t� 

• Panagrinėsime mažus nuokrypius nuo stacionaraus sprendinio. Dėl to įrašome į 

hidrodinamines lygtis 

� � �0 

�� 

� � � � 

u � u0 

�� 

u �� 

u � ��0 �� 

� � 

nuokrypių �� , � u � u, 

��: 

� � 

�� 0�u 

� 0 

�t 

� 1 � 

�u 

� � �� 

�0 �t 

� � 1 

u � ��0�� 0��0 

�t 

m� 

2 

1 � 1 2 

2 

� �� 

� 

2 

0� 

�� 

�0� 

�� 

� �t 

m� 

ir linearizuojame jas atžvilgiu mažų 

� 2 � 

�� 0�u 

� 0 

�t 

3 

0 

� 

�t 

� 

� 

�� 

� 

� 

0 

2 � 

3 � 

0 �� 

0 

� 

� 

� 

� 

0 

0 

� ��0 2 �0 

�� 

3 � 

0

• Galutinai tankio nuokrypiui gauname bangos lygtį 

� 

�t 

2 

2 

5 �0 

2 

�� 

3 m 

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XVII) 

arba 

� 

�t 

2 

2 

�� c 

Čia c yra akustinės bangos sklidimo greitis (garso greitis) : 

Matome, kad garso greitis apytiksliai lygus vidutiniam molekulių 

2 

� 

2 

�� 

5 � 

3 m 

0 c � � 

5 

6 

v 

šiluminiam greičiui. 

• Jau minėjau, kad nulinio artinio hidrodinaminės lygtys neaprašo klampos reiškinių. 

Klampos reiškiniai atsiranda tik pirmame artinyje. Griežtas hidrodinaminių lygčių 

išvedimas pirmame artinyje yra gana sudėtingas. Jis paremtas vadinamuoju 

Čapmano-Enskogo (Chapman-Enskog) metodu. Čia panagrinėsime 

supaprastintą šio metodo versiją. 

• Pagrindines idėjas bei problemas, su kuriomis susiduriama išvedinėjant pirmo 

artinio hidrodinamines lygtis pademonstruosime, panaudodami supaprastintą 

susidūrimo nario išraiška. Susidūrimo narį aproksimuosime relaksacijos laiku. 

Naudodami šią aproksimaciją mes negausime tikslių pernašos koeficientų išraiškų. 

Tačiau naudodami relaksacijos laiko aproksimaciją mes gausime teisingas 

hidrodinamines lygtis ir kokybiškai teisingas pernašos koeficientų išraiškas. 

2

Pirmas artinys 

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XVIII) 

• Įvertinsime nulinio artinio hidrodinaminių lygčių paklaidą. Tegul yra 

tikslus Boltzmano lygties sprendinys. Tikslaus sprendinio nuokrypį nuo nulinio artinio 

sprendinio pažymėsime funkcija 

� � � � � � 

g , 

�0� �r, v, 

t��f�r, 

v, 

t� 

� f �r , v t� 

Mus domins funkcijų 

� 

� 

� 

�f 

�t 

� 

� 

� 

susid 

� 

� 

� 

� 

d 

g 

d 

3 

v 

3 

f , , 

� � 

�r v t� 

�0� ir f santykio eilė. Pradžioje įvertinsime susidūrimo narį 

2 

v 

2 

� 

� 

d�� 

d�� 

� 

��v�v�f�f��ff� 2 

� 

� 

1 

2 

1 

2 

1 

� � 

�0� �0� �0� �0� ��v � v f � g� 

� f g � g� 

f � � g f 

2 

Čia mes atmetėme kvadratinius funkcijos g narius nes tariame, kad ši funkcija yra 

maža. Susidūrimo nario eilės įvertinimui apskaičiuokime antrą šios išraiškos narį: 

� 

� � 3 

� � �0� g 

� � � � 

�r , v1, 

t� 

r, 

v , t d v d�� 

� v � v f � � 

� g 1 � 2� 

Čia pagal eilę 

lygus laisvo lėkio laikui. 

2 

� 

1 

1 

2 

2 

1 

2 

� 

� 

� 

1 

� 

�0� f � f � 

2 

� 

1 

f 

g 

� f 

� 

2 

( 0) 

1

• Toliau susidūrimo narį 

f f � f 

� � 

�t 

� 

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XIX) 

supaprastinsime, pakeisime jį 

� �f 

� 

� � 

� �t 

� 

susid 

� 

� 

f 

� f 

� 

�0� išraiška 

Matome, kad taip pakeistas susidūrimo narys kokybiškai teisingai aprašo sistemos 

artėjimą prie pusiausvyrinio skirstinio. Panaudojus relaksacijos laiko 

aproksimaciją, kinetinė lygtis įgauna tokį pavidalą: 

� � v 

�0� � ( 0) 

�t / � ( 0) 

f � ( f0 

� f ) e � f 

� 

� � 

� 

� 

� v� 

� �t 

�0� g �� f 

Čia pagal eilę 

� 

F 

� 

m 

� 

� 

� 

� 0 

� � 

r � � 

v 

� � �f�g� Esant prielaidai , kairioje lygties pusėje galime išbraukti funkciją . 

�0� Tarkime, kad charakteringas funkcijos f kitimo ilgis yra L (ilgis, kuriame funkcija 

pasikeičia dydžiu, pagal eilę lygiu funkcijos reikšmei). Tuomet, vertinant kairės ir 

dešinės pusės narių eiles, gauname 

�0� f 

v � � 

L 

g 

� 

– 

lygus laisvo lėkio keliui. 

relaksacijos laiko aproksimacija 

� � 

g 

� 

g � 

� �� 

� 0 

f L 

( 0) 

f � f kai 

t � � 

g

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XX) 

�0� f � u � 

• Iš čia matome, kad nulinis artinys yra geras, jeigu lokalaus tankio , greičio 

ir temperatūros � charakteringas kitimo ilgis L yra žymiai didesnis negu laisvo lėkio 

�0� kelias . Funkcijos pataisos yra eilės. 

� 

g v 

f � � � L 

f � L 

• Nuoseklus funkcijos skleidimas mažo parametro laipsniais atliekamas 

gana sudėtingu Chapmano –Enskogo metodu. Čia šio metodo esmę pademonstruosime 

supaprastintai kinetinei lygčiai, kurioje susidūrimo narys aproksimuojamas 

relaksacijos laiku. Tuomet pataisos funkcija paprastai išreiškiama per nulinio artinio 

funkciją 

F �0� v r f 

t m � � 

g 

�0� f : 

� 

3 2 

� � � � � � � � m � � m � � 

� �� 

� 

� 

� �� 

� �� 

f 

� � 

m 

� 

� 2�� 

� � 2� 

g g r 

Todėl mum bus reikalingos tokios išvestinės: 

� 

� u � 

� 

�0� 2 

�r, v, 

t�� 

� exp� 

� �v�u� �� 

• Skaičiuojant pataisą reikia turėti omenyje, kad funkcija priklauso nuo ir 

tik per funkcijas , ir . 

�0� �0� �f 

f 

� 

�� 

� 

�0� �f 

m 

� U 

�u 

� 

i 

i 

f 

�0� �0� �f 

�� 

�f 

�v 

�0� i 

1 � m � 

� � U 

� � 2� 

m 

� � Ui 

f 

� 

2 

3� 

� � f 

2� 

�0� �0� Čia, kaip ir anksčiau, 

U v u , 

� � � � 

� � 

�r t� 

� 

t

• Panaudodami šių 

� � � 

g � �� 

� � vi 

��t 

�xi 

Čia: 

išvestinių 

� 

Fi 

� 

� 

m �v 

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XXI) 

išraiškas, apskaičiuojame g : 

i 

� 

� 

� 

f 

�0� � �� m � � m 

� � 

0 1 1 2 3 

� � � � � � 1 � 

� �� 

f � D � � � U � �D 

� � U jD 

u j � FU� 

�� 

� � 2� 

2� 

� � � 

D 

� � 

� 

� �t 

i 

x � 

i 

� 

� � 

� � 

�X�� v X 

• Panaudojus nulinio artinio hidrodinamines lygtis, galima gauti 

D 

D 

D 

� 

� 

�� u 

��U�� u��U�� 

�u� j 

2 

3 

� � 

1 �P 

Fj 

� � � �U 

� �x 

m 

j 

i 

�u 

�x 

i 

j 

tokias išraiškas: 

� � 

�P 

� � 

� m � 

��

• Įrašydami šias formules į 

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XXII) 

funkcijos g išraišką, gauname 

� �� 

� �� 

� m � �� 

� 

0 � 1 2 3 2 � � 

g � �� 

f ��u 

�U 

� � U � �� 

� �u 

�U�� 

� 

� � � � 2� 

2�� 

3 � 

� 

m � � �P 

� F �u 

� �� 

j 1 � � 

� � 

� 

� 

�U 

�U 

�UiU 

j � 

� FU� 

� � � m �xi 

� � �� 

Čia tam tikri nariai išsiprastina ir formulė 

(�) 

� �� 

f 

�0� �1 

�� 

� m � 

� Ui� 

U 

�� 

�xi 

� 2� 

5 � 1 

� � � � 

2� 

� 

supaprastėja iki: 

� 

�UiU 

� 

Prisiminkime, kad tai yra ieškomos funkcijos pataisa. Pilna funkcija yra: 

� � g 

0 

f � f � 

1 � 

� � U 

3 

2 

g ij j ij 

• Dabar, kai nustatėme funkcijos pataisą, galime apskaičiuoti šiluminio srauto ir 

slėgio tenzoriaus Pij 

pataisas, įrašyti jas į tvermės lygtis ir gauti pirmo artinio 

hidrodinamines lygtis. 

2 

�� 

�� 

�� 

� 

ij 

� 

m 

2 

� �u 

� 

� 

� �x 

i 

j 

�ui 

� 

�x 

q � 

j 

� 

� 

� 

�

Pernašos koeficientai 

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XXIII) 

• Pradžioje apskaičiuosime šiluminį srautą. Prisiminkime, kad nuliniame artinyje jis 

lygus nuliui. Pirmame artinyje antro funkcijos g (išraška (�) 

) nario indėlis taip lygus 

nuliui, nes po integralu yra nelyginė funkcija. Pirmo nario indėlis yra: 

m 

� 

3 � � � � 2 � m 

q � d v�v�u�v�ug�� 

2n 

2 

� � � 

�d UUU 

� U � � Ui 

� 2� 

2� 

� �x 

2 

� � 3 2� 

m 2 5 � 1 �� 

�0� 2 

~ � m � � m � 5 � 0 5 

K � � � � � �� n 

6� 

� 2� 

2� 

2 

� ~ 

3 4 2 

Arba: 

� � 

q � �K�� 

d UU 

U � f 

Iš čia matome, kad yra šiluminio laidumo koeficientas. Čia mes jį pažymėjome 

su tilda, nes jis apibrėžtas � šiek tiek kitaip, negu elementarioje pernašos teorijoje. 

Ten mes rašėme q / m � �K�T. 

Kadangi � � kBT , tai ryšys tarpK 

ir K yra toks: 

. Elementarios teorijos rezultatas buvo toks: 

. 

~ 

~ 

�m/ k �K 

K B 

• Dabar apskaičiuosime slėgio tenzorių: 

K ~ 

� K � 

�4/ � ��nkB / m 

� 0 

� �� 

v 

� i �ui 

v j �u 

j f � g � ijP 

� Pij 

Pij � � 

3 

d v 

� � 

n 

artinį, kurį 

P 

m 

�� 

� 

Čia pirmas narys atitinka nulinį apskaičiavome anksčiau, , 

o antras – pataisą, kurią reikia apskaičiuoti. 

i 

f

Į 

Iš 

pataisą 

indėlį 

duoda tik antras išraiškos 

�� 

� � � � 

�n 

� 

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XXIV) 

(�) 

narys. 

� 

�U 

� 

1 � 

� � U 

3 

3 

Pij kl d UUiU 

j kUl 

kl 

šios išraiškos nesunku įsitikinti, kad tai yra simetrinis tenzorius su nuliniu pėdsaku 

P� 

P� � P� 

ij 

ji 

3 

� 

i�1 

P' 

ii 

� 0 

Kadangi tiesiškai priklauso nuo simetrinio tenzoriaus , 

ij 

� 

ij 

2 

� 

� 

� 

f 

tai jį 

2 � m �� 

P� ij � �� 

��ij 

� �ij�u 

� 

m � 3 � 

� m u 

� 

�0� galima užrašyti taip 

� �ij 

Čia yra proporcingumo konstanta (kol kas nežinoma), o yra tenzoriaus 

pėdsakas 

3 

� 

i�1 

3 m � �u 

�ii � �� 

� 

2 �1 

� �x 

� 

P� 

i i i 

i 

�u 

� i � 

� � m�u 

x � 

� 

� � 

Belieka nustatyti konstantą . Dėl to pakanka apskaičiuoti bet kurią vieną tenzoriaus 

komponentę, pavyzdžiui . 

P� ij 

12

� 

� � 

m 

� 

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XXV) 

� 3 � 

2 � �0� � � 

�kl 

d UU1U 

2�U 

kUl 

� � U f � � � � 

3 2 2 0 

2 12 d UU1U 

2 f 

P12 kl 

Taigi gauname: 

� 

� 

1 

3 

2 

� m 

� � 

� � � 

3 2 2 0 

d UU1U 

2 f �� 

n� 

� 

� 

� � 

�m 

� 

2 � m �� 

� �ijP 

�� 

��ij 

� � �u 

� 

m � 3 � 

Pij ij 

• Nesunku įsitikinti, kad proporcingumo konstanta yra klampos koeficientas. Dėl 

to reikia prisiminti klampos koeficiento apibrėžimą. Jeigu atskiri dujų (skysčio) 

sluoksniai juda vienas atžvilgio kito taip, kad 

y u A� 

By, 

u � u � 0, 

Ftr 

x 

Čia Ftr yra trinties jėga į ploto vienetą, kuri veikia skirtingais greičiais judančius 

skysčio sluoksnius. Iš kitos pusės 

Ftr 

� 

x 

� 

� y z 

tai klampos koeficientas eksperimentiškai 

nustatomas iš sąryšio 

F 

tr 

�u 

� �� 

�y 

impulso x komponentė perduota per vieną 

sekundęįploto vienetą y kryptimi. 

x

• 

Perduoto impulso dydis yra , o molekulių 

impulso perdavime yra . Todėl 

F 

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XXVI) 

�v u � 

m x � 

n v �u 

� � 

y 

y 

� �� 

3 � �� 0� v �u 

v �u 

� m d v v �u 

v �u 

f � � 

x x y y 

x x y 

Ftr y 

x 

srautas, dalyvaujantis 

� mn 

g 

�0� Čia indėlis į integralą nuo f lygus nuliui, nes funkcija po integralu yra nelyginė. 

Funkcijos pataisą g galima gauti iš apytikslės kinetinės lygties (kinetinėje lygtyje 

išbraukiame išorinę jėgą ir laiko išvestinę, nes nagrinėjame stacionarų procesą): 

g 

� m 

� � v 

� 

�0� �v�u�Bf g y x x 

� � 

� 

� � U 

� 

�u 

�y 

m x 

yU 

x 

Čia mes tarėme, kad tankis ir temperatūra yra homogeniniai (nepriklauso nuo ). 

Įrašome šią 

tr 

� � 

v�f � � 

0 � 

g 

� 

funkcijos išraišką įtrinties jėgos apibrėžimą 

2 

2 

�ux 

� m 

� � �ux 

� � � 

3 2 2 0 

� m 

� � 

d UUxU 

y f � �� 

� � � 

3 2 2 0 

d UUxU 

y f ��n� 

�y 

� 

�y 

� 

pačią � koeficiento išraišką !!! Vadinasi, � iš tikrųjų yra klampos 

� � 

8/ 

3� 

�n 

Taigi gavome tą 

koeficientas. (Elementarioje teorijoje turėjome tokią išraišką: ) 

f 

� � � 

�0� r �

• Suformuluosime šio skirsnio pagrindinius rezultatus: 

1. 

2. 

3. 

4. 

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XXVII) 

Mes parodėme, kad pernašos koeficientus galima nustatyti iš Boltzmano 

kinetinės lygties. Dėl to kinetinę lygtį reikia išspręsti � � � L tikslumu, t.y., 

�0� be nulinio artinio f reikia žinoti pirmą pataisą g . Pernašos koeficientai 

proporcingi funkcijos pataisai ir todėl yra eilės. 

g � 

Tiesioginis patikrinimas rodo, kad nustatytos iš kinetinės lygties pernašos koeficientų 

išraiškos sutampa su analogiškomis išraiškomis gautomis elementariosios 

teorijos rėmuose vieneto eilės proporcingumo konstantų tikslumu. 

Čia nustatytos pernašos koeficientų išraiškos nėra tikslios, nes susidūrimo 

nariui naudojome grubią relaksacijos laiko aproksimaciją. Nemodifikuodami 

susidūrimo nario galėjome gauti tikslesnes pernašos koeficientų išraiškas. 

Tačiau tuomet aprašyta čia Čapmano-Enskogo procedūra tampa gerokai 

sudėtinga. 

Čia be pernašos koeficientų mes dar nustatėme šilumos srauto ir slėgio 

tenzoriaus P išraiškas. Šias išraiškas suradome � 

ij 

tikslumu. Įrašant jas į 

tvermės lygtis galima gauti pirmo artinio hidrodinamines lygtis. Tokios lygtys 

aprašo klampių dujų dinamiką. Toliau ir pereisim prie šių lygčių išvedimo. 

q �

Klampių 

dujų 

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XXVIII) 

(skysčio) hidrodinaminės lygtys 

• Taigi mes nustatėme tokias šilumos srauto ir slėgio tenzoriaus išraiškas 

� ~ 

q � �K�� 

2 � m �� 

� �ijP 

�� 

��ij 

� � �u 

� 

m � 3 � 

Pij ij 

Mums reikia jas įrašyti į tvermės lygtis. Dėl to reikia apskaičiuoti tokius tris dydžius: 

�q, �Pˆ 

ir . Išvedinėjant jų išraiškas reikia turėti omenyje, kad 

ir išvestinės nuo yra pirmos eilės mažumo dydžiai. Nariai su išvestinėmis 

nuo yra aukštesnės eilės mažumo ir juos galima atmesti. Tai yra, pirmame 

artinyje pernašos koeficientus ir galima laikyti konstantomis. Tuomet: 

� 

�ˆ ˆP 

K u 

� ~ 

�, 

, 

u � 

�,� 

, 

K ~ 

�, 

� K ~ 

� ~ 

�q � �K� 

• Apskaičiuosime vektoriaus i komponentę: 

�P 

�x 

ij 

j 

� 

� 

�x 

j 

2 � 

� � � 

ijP 

� 

m � 

� 

� 

�x 

j 

Pˆ � 

� 

ij 

� 

m 

3 

� 

�x 

2 

� 

j 

�� 

� �u 

� 

ij � 

� 

� � 

� 

� 

� �u 

j � �ui 

2 � � 

� P �� 

� � �u 

� 

�x 

� 

� 

i � �x 

j �xi 

�x 

j �x 

j 3 �xi 

� 

� 

ij 

� 

m 

2 

� �u 

� 

� 

� �x 

i 

j 

�ui 

� 

�x 

j 

� 

� 

� 

� 

(čia, kaip visuomet, 

turime omenyje 

sumavimą pagal 

pasikartojantį indeksą)

�P 

�x 

ij 

j 

� 

� 

�x 

i 

� 

P �� 

� 

� 

� 

�x 

i 

3 

� 

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XXIX) 

�u 

�x 

j 

j�1 j 

� 

3 

� 

2 

� u 

2 

�x 

j�1 j 

� � 2 1 � �� 

� P �� 

�� 

u � �u 

� 

� 

i 

�xi 

� 3 �xi 

� 

Pagaliau apskaičiuosime paskutinę 

išraišką: 

i 

� 

2 

3 

� 

�x 

Pˆ �ˆ 

� Pij�ij 

� 2 � m �� 

� �� 

ijP 

�� 

��ij 

� �ij�u 

��ij 

� m � 3 �� 

3 

3 

2 2 � 

� P��ii 

�� 

�ij�ij 

� ��ii�u 

m 3 

� mP�u � 

� 

i�1 

i�1 

P�ˆ 

ˆ 

�q, �Pˆ 

� 

� 

� mP�u 

i 

�� 

�u 

� 

� 

� 

� 

�Pˆ 

2 � 

� �P 

�� 

u � � 

3 

3 

3 

�ii 

i�1 

� � 

i m 

i�1 �x 

j 

� 

�u 

� 

��u� � 

� m�u 

(aukštesnės eilės nariai) 

• Įrašydami gautas išraiškas ir į tvermės lygtis, gauname pirmo 

artinio hidrodinamines lygtis. 

�ˆ ˆP

3 

c~ 

V � 

2 

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XXX) 

Pirmo artinio hidrodinaminės lygtys 

�� 

� 

��u��0 

�t 

� 

� � �� 

F 1 � � � 

� �u��u 

� � �� 

P � �u 

� �t 

� m � � 3 

~ 

� � � � 1 � K 

� �u�� 

� � ~ �~ 

� �t 

� c c 

� � � 2 

V 

2 

��u�� 

� � � � u 

Šiose lygtyse yra tenkanti vienai molekulei idealių 

V 

� � 

�P 

� �� 

� m � 

1 

– 

� 

� 

� 

idealių 

� 

dujų 

(tolydumo lygtis) 

(Navjė-Stokso lygtis) 

(šiluminio laidumo lygtis) 

būsenos lygtis 

dujų 

šiluminė 

talpa. 

Kartu su dujų būsenos lygtimi jos sudaro uždarą lygčių sistemą dviem skaliariniams 

kintamiesiems ir vienam vektoriniam kintamajam u . Žinant pradinius šių 

kintamųjų erdvinius pasiskirstymus iš jų galima vienareikšmiškai nustatyti tolimesnę 

jų evoliuciją. Pabrėšime, kad skirtingai nuo nulinio artinio hidrodinaminių lygčių, 

šios lygtys aprašo klampių dujų hidrodinamiką. 

� 

�, 

�

Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XXXI) 

• Išvedinėdami šias lygtis darėme prielaidą, kad dujos yra išretintos. Tačiau šios 

lygtys tinka ir skysčiui. Taip yra todėl, kad šias lygtis galima gauti ir kitokiu būdu – 

remiantis euristiniais samprotavimais. Taip Navjė-Stokso lygtį galima išvesti 

užrašant mažam išskirtam skysčio tūreliui antrą Niutono dėsnį. 

u � 0 

� 

• Jeigu trečioje lygtyje įrašysime (nagrinėsime nejudančias dujas), tai 

gausime įprastinę šiluminio laidumo lygtį: 

� 

�~ 

� ~ 2 

cV � K� 

� 

�t 

Nors mes ją išvedėme išretintoms dujoms, eksperimentiškai nustatyta, kad ji taip 

pat galioja skysčiams it kietiesiems kūnams. 

Taigi pirmo artinio hidrodinaminės lygtys yra universalios – 

jų taikymas nesiriboja vien tik išretintomis dujomis! 

• Išvedinėdami šias lygtys susidūrimo nariui mes taikėme gana grubią relaksacijos 

laiko aproksimaciją. Nežiūrint į tai mes gavome teisingas pirmo artinio 

hidrodinamines lygtis, ta prasme, kad tokios pačios lygtys gaunamos nenaudojant 

relaksacijos laiko aproksimacijos. Dėl grubios susidūrimo nario aproksimacijos 

nukentėjo tik kinetinių (pernašos) koeficientų išraiškos. Šių išraiškų patikslinimui 

reikia atlikti Čapmano-Enskogo procedūrą esant tiksliai susidūrimo nario išraiškai.

Boltzmano 

kinetinės lygties pagrindimas (I) 

• Ankstesniuose skyriuose mes pateikėme euristinį Boltzmano kinetinės lygties 

išvedimo būdą. Mes startavome nuo dalelių judėjimo aprašymo 6-matėje vienos 

molekulės fazinėje erdvėje, vadinamoje � -erdvėje. Šioje erdvėje užrašėme tolydumo 

lygtį. Susidūrimo nariui aprašyti panaudojome molekulinio chaoso hipotezę. Iš esmės 

mes atkartojome originalų kinetinės lygties išvedimo būdą, kuriuo tą lygtį pirmą kartą 

išvedė Boltzmanas. 

• Vėliau Boltzmano kinetinė lygtis buvo išvesta griežčiau. Griežtesnis išvedimo būdas 

vadinamas BBGKY metodu, pagal jį pasiūliusių autorių pavardes – Bogoliubov, 

Born, Green, Kirwood, Yvon. Šiame metode startuojama nuo tikslios Liouvilio lygties, 

kuri aprašo N sąveikaujančių dalelių Gibso ansamblį pilnoje 6N –matėje visų dalelių 

fazinėje erdvėje (ši erdvė vadinama � -erdve). Po to apibrėžiama s-matė tikimybės 

tankio funkcija fs nusakanti tikimybę surasti s dalelių su apibrėžtomis koordinatėmis ir 

greičiais. Tuomet funkcija f1 yra įprastinė viendalelė tankio funkcija, kuriai buvo 

užrašyta Boltzmano kinetinė lygtis. Remiantis Liuivilio lygtimi, funkcijoms fs galima 

išvesti tikslias dinamines lygtis. Pasirodo, kad funkcijos f1 nustatymui reikia žinoti 

funkciją f2 . Funkcijos f2 nustatymui reikia žinoti funkciją f3 ir t.t. iki Ndalelės funkcijos fN . Ši lygčių sistema vadinama BBGKY hierarchija arba BBGKY grandinėle. 

Boltzmano kinetinė lygtis gaunama nutraukiant šią lygčių grandinėlę. 

• Šiame skyriuje mes pradžioje išvesime Liouvilio lygtį. Iš jos gausime BBGKY lygčių 

grandinėlę ir išvesime Boltzmano kinetinę lygtį. Aptarsime jos galiojimo kriterijus.

Liouvilio 

lygtis 

Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (II) 

• Nagrinėsime � N sąveikaujančių � � dalelių sistemą. Dalelių dinamiką charakterizuoja N 

N 

� � � N 

impulsų �p1, �, 

pN 

� � p ir N koordinačių �q1, �, 

qN 

��q–viso 6N 

skaliarinių kintamųjų. Sistemos būsena vienareikšmiškai nusakoma vektoriumi 

� N 

6N –matėje fazinėje erdvėje, vadinamoje � erdvėje. 

� , 

� N 

p q � 

• Kintamųjų 

• Alternatyviai sistemos dinamiką galima aprašyti Liouvilio lygtimi. Ši lygtis aprašo 

vienodų sistemų ansamblio (Gibso ansamblio) dinamiką. Atskiri ansamblio nariai turi 

skirtingas pradinės sąlygas, kurios vaizduojamos taškais � fazinėje erdvėje. Tie taškai 

evoliucionuoja pagal Hamiltono lygtis. Jeigu ansamblyje yra pakankamai daug 

sistemų, tai galima apibrėžti jų 

� 

H 

� 

� 

dinamiką 

H 

p�� 

i � � � 

�q 

H 

� 

� , 

� N N 

p q � 

Čia – 

� 

� 

� N N � N N 

p , q , t dp 

dq 

� 

galima aprašyti Hamiltono lygtimis: 

i 

H 

q�� 

i � 

�p 

� �i �1, 

2, 

�, 

N� 

tankį 

� 

� 

� N N 

p q , t� 

, � 

ansamblio narių 

� N � N 

dp 

dq 

i 

sistemos hamiltonianas. 

: 

� 

� 

�q 

skaičius, kurie momentu yra mažame 

� �� N � N 

p , q � 

tūrelyje ties tašku . 

i 

� � 

t 

; 

� 

� 

q � 

i �pi 

� � 

� 

p 

i

Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (III) 

• Ansamblio tankiui galima užrašyti tolydumo lygtį. Tą lygtį mes jau išvedėme 

bendruoju atveju bet kurios dimensijos dinaminiai sistemai, kai nagrinėjome 

Lanževeno lygtį: 

Iš 

Čia 

Tuomet 

z�� 

� 

Hamiltono lygčių 

� � 

N 

� 

i�1 

� �� 

� 

� � p�� 

� � 

�z�� 

�� 

� 

� � q�� 

� 

� � 

� 

� 

� 

� � 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

i i 

i 

pi �qi 

i�1 �pi 

�qi 

N 

p�� 

� 

� 

q�� 

� 

� 

� 

išplaukia, kad paskutinis narys šioje išraiškoje lygus nuliui: 

� � � �H 

� �H 

� p�� 

i � � q�� 

� � � � � � � � 0 �i �1, 

2, 

�, 

N� 

�p 

�q 

�p 

�q 

�q 

�p 

i 

�p �, 

p , q � 

�� 

�� 

1, 

N 1 

�� 

� � 

�t 

i 

�� 

� �� 

�t 

q� 

� �� 

, �, 

i 

N 

i 

ir 

N 

N 

� i � � 

i�1 �pi 

i�1 �qi 

� 

� 

i 

� � 

� � 

� 

� � 

� �p 

�p �� 

�q�� 

� 

�� 

i 

i 

1 

� 

, �, 

� 

�p 

N 

� 

, � 

�q 

1 

� 

, �, 

� 

�q 

N 

� 

� 

� 

�

• Todėl tolydumo lygtį 

�� 

� 

N 

� �� 

t i�1 

� �� 

� 

� � p�� 

� �pi 

Ši lygtis vadinama Liouvilio 


i 

�� 

� 

� � q�� 

� 

� i 

�qi 

� 

Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (IV) 

lygtimi. Liouvilio 

d 

� 

� 

� � � i 

dt �t 

i�1 

� �pi 

�qi 

� 

� � 

� 

� � 

N �� 

�t 

i 1 

� N N 

, , � N 

p q t �� 

� �� 

� � 

� � p�� 

� 

q � � 0 

• Liouvilio 

�� 

� H 

�t 

lygtis kartais dar užrašoma taip: 

� , ��0 

- 

Liouvilio 

lygtis 

i 

� 

� 

lygtį 

� �� 

� 

� � p�� 

� �pi 

i 

�� 

� 

� � q�� 

� 

� i � 0 

�qi 

� 

dar galima užrašyti kitaip: 

d 

� �H 

� 

� N 

p , q , t� 

� 0 

N � 

dt 

Liouvilio 

lygtis 

� Liouvilio 

lygtis 

Pastaroji išraiška turi paprastą geometrinį paaiškinimą. Jeigu � erdvėje judėsime 

�� N � N 

kartu su faziniu tašku p , 

q � , tai pastebėsime, kad jo aplinkoje fazinių taškų tankis 

nekinta. Tai reiškia, kad � erdvėje faziniai taškai juda tarsi nespūdus skystis. 

�� 

� 

� 

� 

� 

N 

�H, �� 

� � � � � � 

i�1 �pi 

�qi 

�qi 

�qi 

� 

�� 

�H 

-Puasono 

skliaustai

BBGKY lygčių 

grandinėlė 

Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (V) 

• Pabrėšime, kad Liouvilio lygtis yra ekvivalenti Hamiltono lygtims ir yra tiek pat tiksli, 

kiek yra tikslios Hamiltono lygtys. Kaip ir Hamiltono lygtys, ji aprašo grįžtamą laike 

dalelių dinamiką. Dabar panaudojus Liouvilio lygtį mes gausime BBGKY lygčių 

grandinėlę, ir nutraukus ją, išvesime Boltzmano kinetinę lygtį, kuri yra negrįžtama. 

• Pradžioje mes konkretizuosime Hamiltonianą: 

N � 2 N pi 

H �� 

��Ui��V 

i�1 

2m 

i�1i�j � 

Ui 

�U 

�ri � 

� � 

V �V �� 

� –molekulių 

ij 

ji 

– išorinio lauko potencialas 

�r r � 

i 

j 

sąveikos 

potencialas 

ij 

� 

r0 

Tipiški sąveikos potencialai 

Paveiksliuke pavaizduoti tipiški tarpmolekulinės sąveikos potencialai. Raudona 

linija atitinka kietų sferų sąveiką ( r yra sferos diametras). Kartais vartojamas 

0 

Lenardo-Džonsono potencialas(mėlyna kreivė): 

� 

� 

12 6 

� r0 

� � r0 

� � � 

�� r � 4� 

�� 

� �� 

� �, 

r � ri 

� rj 

�� 

� 

r 

� 

� 

r 

� 

� 

�� 

r �

• Toliau naudosime tokius žymėjimus: 

� 

z 

i 

� 

� 

�p , r � 

3 

� i i �dzi � �d 

pid 

ri 

Tarsime, kad tankio funkcija normuota į 

� 

1 

Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (VI) 

3 �� , �, N, t� 

� ��z 

, �, 

zN 

, t� 

vienetą 

dz dzN 

� � � 

�1, � N� 

O , 

�1, , N, 

t� 

�1 

� 

1 1 

Tuomet bet kurios funkcijos , priklausančios nuo molekulių koordinačių, 

ansamblio vidurkis yra: 

• Užrašysime šiai sistemai Liouvilio 

� 

�H 

pi 

� � 

�pi 

m 

�H 

� 

� � �Fi 

� 

�r 

i 

� 

i� 

j 

� 

K 

ij 

� 

�1, �, 

N, 

t�O 

�1, � N� 

O � dz �dzN 

� 

, 

1 

� 

� � 

� 

� 

� 

N �� H 

�� 

�H 

� 

�� 

� 

� � � � � � 

�t 

i 1 �pi 

�ri 

�ri 

�qi 

lygtį: � 0 

� 

� 

�U�ri 

� 

Fi � � � 

�ri 

� � 

� �� 

ri 

�rj 

Kij � � � 

�r 

� � 

i 

� 

–išorinio jėga, veikianti i–tą 

molekulę 

– tarpmolekulinės sąveikos jėga 

�

Liouvilio 

Čia 

lygtį 


� � ˆ � 

� 

� hN 

� 

� 

��t 

� 

hˆ 

ˆ 

N 

� 

� 

p 

�1, �, N� 

��1, 

�, 

N, 

t� 

0 

�1, �, 

N��Sˆ 

i � � 

� 

� 

i�1 

� 

N 

� 

i Si � Fi 

� 

m �ri 

�pi 

� � 

Qˆ � � 

ij � Kij 

� � K ji � 

�p 

�p 

� � 

� 

� � 

� Kij � 

� � � 

� �pi 

�p 

i 

Q Qˆ 

� 

ˆ 

ij 

ji 

j 

� 

� 

� 

� 

j 

1 

2 

N 

i� 

j 

� 

Qˆ 

ij 

�K � �K 

� 

ji 

Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (VII) 

� 

ij 

Viendalelė tankio funkcija 

apibrėžiama taip: 

f 

1 

� 

� 

N 

� 

i�1 

�r, p, 

t��p�p��r�r� 

� 

� 

� 

i 

� 

� 

i 

�1, �, 

N � 

� N dz �dzN � , t 

2 

Čia daugiklis N atsiranda dėl to, kad visi 

nariai sumoje duoda tą pačią � vertę, � nes 

yra simetrinė atžvilgiu z , �, 

z . 

� 1 N 

f 

Funkcijos 1 apibrėžimas sutampa su 

Boltzmano lygties tankio funkcija. Skirtumas 

tik toks, kad čia vietoj greičio � kintamo- � 

jo mes naudojame impulsą: p � mv 

v � 

Bendruoju atveju s-dalelė tankio 

funkcija apibrėžiama taip: 

N! 

1 � � 1 � � t 

! 

� , , s, 

t� 

fs �dzs� �dzN 

�N�s� �1, , N, 

�

Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (VIII) 

• Kombinatorinis daugiklis funkcijos s apibrėžime yra dėl to, kad mums nerūpi, kuri 

dalelė � yra � taške z1 , kuri taške ir t.t. Toliau tarsime, kad funkcija yra simetrinė 

z , �, 

z atžvilgiu, t.y. sukeitus bet kuriuos ir kintamuosius vietom ji nepasikeičia. 

� 

z2 � 

fs 

z � 

z � 

1 

s 

• Padauginę Liouvilio lygtį iš 

funkcijos dinaminę lygtį: �N�s�! N! 

f 

� � � s�1 

N � s ! 

s 

dz 

�dz 

h ˆ 

N 

� 

�t 

N! 

ˆ 

� N h � � 

f 

� 

ir suintegravę 

� 

�t 

f 

s 

� � 

z , z 

s�1, 

� 

pagal gauname 

N! 

dz 

� � � s� 

N � s ! 

• Operatoriuje išskiriame narius su koordinatėmis : 

N 

�1, , N� 

hˆ 

� 

� 

s 

� 

i�1 

N 

Sˆ 

i 

� 

N 

� 

i�s�1 

Sˆ 

i 

� 

1 

2 

s 

� 

i, 

j�1 

Qˆ 

ij 

� 

1 

2 

N 

� 

i, 

j�s�1 

�i�j� �i�j� Qˆ 

�1, �, 

s��hˆ 

N�s 

�s�1, , N�� 

� hˆ 

� 

s 

i 

s 

ij 

j 

� 

N 

i�1 

j�s�1 

s 

� � 

z , �, 

z 

1 

N 

�� 

i�1 

j�s�1 

Qˆ 

ij 

Qˆ 

ij 

s 

N 

s 

j 

N 

1�dz 

s 

N 

hˆ 

N 

� 

N 

i

� 

Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (IX) 

• Pastebėsime, kad �dz h �s �1, 

�, 

N��1 

, �, 

N, 

t� 

� 0 

ˆ 

dzs�1 N N�s 

hˆ p � 

� 

Ši lygybė yra dėl to, kad operatorius N ssudarytas 

iš išvestinių pagal su 

nepriklausomais nuo p koeficientais ir iš išvestinių pagal su nepriklausomais nuo 

koeficientais. Todėl integralas išreiškiamas per funkcijos vertes ant fazinės erdvės 

ribų. Mes tariame, kad lygi nuliui, kai erdviniai ar impulso kintamieji artėja prie 

� 

r � 

r � 

� 

� 

• Atsižvelgiant į 

� 

� 

� 

� 

�t 

� hˆ 

s 

� 

� 

� 

f 

s 

� � 

ˆ 

hN �s 

tai, kad nariai su išnyksta, funkcijos lygtį 

� � 

N! 

�N�s� ! 

� Qˆ 

� 

�dzs�1 dzN�� 

s 

N 

i�1 

j�s�1 

ij 

f 

s 

�1, �, 

N, 

t� 

s N N! 

� � 

� � 

� �� 

�dz 

� dz Qˆ 

s 1� 

N ij� 

1, 

�, 

N, 

t 

N � s ! i�1 

j�s�1 

s N! 

� � � � � � 

� ��N�s�dz 

� dz Qˆ 

s 1� 

N i, 

s�1� 

1, 

�, 

N, 

t 

N � s ! i�1 

s 

N 

� �� 

dz � Qˆ 

! 

s 1 i, 

s�1 

� � �dzs�2 

�dzN� 1, 

�, 

N, 

t 

i�1 

N � s �1 

! 

s 

� Qˆ 

f 1, 

�, 

s �1, 

t 

�� 

� dzs �1 

i, 

s�1 

s�1 

i�1 

� � 


� � 

(suma pagal j duoda 

N-s vienodų narių)

Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (X) 

Dabar prisimename, kad operatorius , todėl 

� 

� 

� 

� 

�hˆ 

s 

�t 

� 

� 

� 

f 

s 

s 

� � 

� � 

� �p 

� 

� 

�p 

�1, �, 

s, 

t��dz 

K � � �f 

�1, �, 

s �1, 

t� 

�� 

� � 

� 

� � 

Qˆ ij � Kij 

� 

� � � 

� �pi 

�p 

� 

s�1 

i, 

s�1 

i�1 i s�1 

j 

� 

� 

� 

� 

� 

� s�1 

� 

f 0 p � �� 

� 

Čia integralas nuo antro nario lygus nuliui, nes funkcija s� 

kai s�1 

. 

Todėl galutinai gauname tokią BBGKY lygčių grandinėlę (hierarchiją): 

� 

� 

� 

� 

�hˆ 

s 

�t 

� 

� 

� 

f 

s 

s 

� 

� 

�p 

�1, �, 

s, 

t��dz 

K f �1, �, 

s �1, 

t� 

�� 

� 

s�1 

i, 

s�1 

i�1 i 

s�1 

1 � 

�s �1, 

�, 

N� 

• Čia kairios pusės nariai aprašo s-dalelių kompleksų dinamiką. Kai s>1, kairioji 

pusė įskaito susidūrimus tarp s molekulių. Dešinę šios lygties pusę galima aiškinti 

kaip „susidūrimo integralą“, kuris aprašo nagrinėjamų s dalelių susidūrimus su 

„išorinėmis dalelėmis“ ir tokiu būdu suriša su f . 

fs s�1 

• Taigi BBGKY lygtys yra N lygčių grandinėlė, siejanti s-daleles tankio funkcijas su 

s+1 -dalelėmis funkcijomis, pradedant nuo viendalelės funkcijos ir baigiant N-dalele 

funkcija. Išvedinėdami šią lygčių grandinėlę nedarėme jokių rimtų prielaidų, tad ji yra 

tiek pat tiksli, kiek yra tiksli Liouvilio lygtis, arba Hamiltono lygtys.

Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (XI) 

Dabar panagrinėsime sąlygas, kada šią lygčių grandinėlę galima nutraukti, t.y. kada 

galima apsiriboti keliomis pirmomis, o galbūt tik viena pirma lygtimi. Dėl to užrašysime 

išreikštu pavidalu pirmas dvi šios grandinėlės lygtis: 

� 

� � p1 

� � � 

� 

� � � � F1 

� 

� �t 

m �r1 

�p 

� 

� � 

� p1 

� p2 

� 

� � � � � 

��t 

m �r1 

m �r2 

Šių lygčių nariai turi dimensiją 

skirtingus laiko mastelius: 

� � � 

� 

�K 

� � 

� �p 

� 

� p � 

� 

� � � 

� m �r 

1 

� 

c 

1 

� 

s 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

1 

� � 

� 

� f1 

1 

� 

� � 

� F1 

� 

�p 

c– 

molekulių susidūrimo 

laikas 

� 

� 

� 

�p 

�zt��dz K f �z, z , t� 

� 

, 2 1, 

2 2 1 2 

1 

1 

� 

� F 

fs laikas 

2 

� 

� 

� 1 � � � � �� 

� � 

� � K 

� 

� � � 

� 

1, 

2 � � � f2�z1, 

z2, 

t�� 

�p2 

2 � �p1 

�p2 

�� 

� � � � � � � � � 

� ��dz 

3� 

�K1 

, 3 � � K2, 

3 � f3 

z1, 

z2, 

z3, 

t 

p1 

p � 

� 

� � � 2 � 

. Visus narius galima surūšiuoti pagal tris 

� � 1 � 

� 

�F 

� � 

� 

� 

� �p 

� e � 

– laikas, per kurį molekulė nukeliauja 

s 

charakteringą atstumą, ant kurio esminiai 

pakinta tankio funkcija fs � � 

� � e– 

laikas, per kurį molekulė nukeliauja 

charakteringą atstumą, ant kurio esminiai 

pakinta išorinis potencialas

Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (XII) 

• Dabar aptarsime kada antroje lygtyje galima atmesti paskutinį narį ir gauti uždarą 

lygčių sistemą. Po to parodysime, kad pirma lygtis virsta Boltzmano kinetine lygtimi. 

• Pastebėsime, kad pirmoji lygtis BBGKY grandinėlėje yra išskirtinė. Tik jos kairėje 

pusėje nėra narių, aprašančių tarpmolekulinę sąveiką, nes f1 

yra viendalelė funkcija. 

Todėl visi kairės pusės nariai yra santykinai maži (lėti). Susidūrimo integralas dešinėje 

šios lygties pusėje apsprendžia šios funkcijos charakteringą laiko mastelį. 

• Antroje grandinėlės lygtyje (ir aukštesnės eilės lygtyse) kairėje pusėje yra susidūrimo 

narys, kurio eilė 1 � c . Susidūrimo narys dešinėje pusėje yra santykinai 

3 

mažas, nes jis aprašo tridalelę sąveiką. Jis yra 0 1 kartų mažesnis 

(čia n yra dalelių tankis, o r0 – charakteringas tarpmolekulinės sąveikos atstumas) 

už , nes integralas pagal yra ne nulis tik atstumuose eilės r0. Parametro 

įvertinimui įrašome standartinius dydžius ir gauname, 

kad . 

�� n 

� nr 

1 � c 

r3 � 

�8 

19 �3 

r0 

�10 cm, 

n �10 

cm 

5 

10 � 

�n 

� 

• Išbraukę antroje lygtyje dešinę pusę nutraukiame BBGKY grandinėlę: 

� 

� � p � � � 

� 

� � � f 

� �t 

m � 

� 

� 

� 

� p � p2 

� 

� � � � � 

��t 

m �r1 

m �r2 

�z, t��dz 

K f �z, z t� 

� 

� 

� �f 

� 

1 1 

� 

� 

r � 1 1 

2 1, 

2 � 2 1 2, 

� 

r0 1 

�p1 

� �t 

1 � 

K 

2 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

�z, z , t� 

0 

1 � 1, 

2� 

� � � �� 

2 1 2 � 

�p1 

�p2 

� 

� 

�� 

� f 

�� 

� 

� 

susid 

� 

n

f 1 

Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (XIII) 

• Tai yra funkcijų ir f2 dvi sukabintos lygtys. Kad būtų paprasčiau, čia mes 

nerašome išorinės jėgos narių. Mes taip pat tariame, kad tarpmolekulinė jėga 

veikia (nelygi nuliui) tik atstumu r0. Tą faktą mes pabrėžiame, pažymėdami pirmos 

lygties integralą indeksu r0. Tai reiškia, kad tas integralas pagal erdvinius 

kintamuosius skaičiuojamas srityje r � r � r . 

� � 

• 

Pagrindinė 

gautos lygčių 

1 

sistemos kokybinė 

2 

0 

savybė yra ta, kad funkcijos f2 � c , o funkcijos f1 tie masteliai yra 1 �n 

charakteringi laiko ir erdvės masteliai yra ir r0 kartų didesni. Kitaip tariant, funkcijos f1 kitimas erdvėje ir laike yra žymiai 

lėkštesnis, negu funkcijos f 2 . 

• 

Funkcijoje f 2 

tarp dalelių 

1 

ir 2 

koreliacijos atsiranda dėl sąveikos tarp dalelių 

yra didelis, tai f 2 

� 

� 

galima išreikšti viendalelių 

�z z , t� 

�� 

� f �z, t�f�z, 

t� 

f 1, 

2 �r �r 

��r 

1 1 2 2 

2 1 2 0 

� �f1 � 

� �� 

� �t 

� 

� 

1 

ir 2. Jeigu atstumas 

funkcijų 

Tačiau susidūrimo nario apskaičiavimui mums reikia žinoti f 2 

sandauga: 

• 

ne 

susid 

srityje, kur dalelės nekoreliuoja, o atvirkščiai, toje srityje kur dalelės susiduria, t. y. 

srityje r �r � r . 

� � 

1 

2 

0

• 

Pasinaudojus tuo faktu, kad funkcijos f2 ir surasti funkciją f2 1 

� 

� �f1 

� 

� �t 

� 

� 

� 

susid 

� 

� 

d 

3 

p 

� � 

d�v 

�v 

� 

2 

1 

2 

Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (XIV) 

��f�p�r, t�f�p�, 

r, 

t��f�p, 

r, 

t�f�p, 

r, 

t�� 

1 

� 

lygtis yra greita, joje galima išbraukti laiko 

r �r � r 

� 

išvestinę 

srityje . Tuomet paaiškėja, kad ši lygtis 

2 0 

aprašo jau nagrinėtą dviejų sąveikaujančių dalelių sklaidos uždavinį. Kai dalelės yra 

toli viena nuo kitos, funkciją f2 galima išreikšti viendalelių funkcijų sandaugos 

� � � � 

pavidalu f 2�z1, 

z2, 

t��f1�z1, 

t� 

f2�z 

2, 

t� 

- iš esmės tai funkcijos f2 kraštinė sąlyga. Čia 

šios lygties sprendimo detalių neaptarinėsime, jas galima surasti knygoje: Kerson 

Huang, „Statistical mechanics“, p. 69. Įrašius surastą dvidalelės funkcijos f2 išraišką 

į pirmą lygtį gaunama tokia susidūrimo nario formulė : 

� 

� 

� 

1, 

1 2 

1 1 1 2 

• Tai tiksliai sutampa su susidūrimo nario išraiška, kurią gavome, kai Boltzmano 

kinetinę lygtį išvedinėjome euristiniu, Boltzmano pasiūlytu metodu. Pirmoji BBGKY 

grandinėlės lygtis tuomet tiksliai sutampa su Boltzmano kinetine lygtimi: 

� 

� 

� � 

� �t 

� 

p 

m 

� � 

� f 

r � 

� 

� 1 � 

� 1 � 

1 

1�z1, 

t� 

� �f 

� � 

� �t 

� 

� 

� 

susid 

� 

� 

� 

�

Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (XV) 

• Taigi Boltzmano kinetinę lygtį galima išvesti iš tikslios Liouvilio lygties atliekant 

tokias operacijas: 

1. 

Pradžioje iš Liouvilio lygties gaunama sukabintų BBGKY lygčių grandinėlė 

daugiadalelėms 

funkcijoms f1 , f2 3 

nr � �n 

��1 

, ..., fN. 2. Išretintoms dujoms ( 0 

) ją galima nutraukti ties antra lygtimi. 

BBGKY grandinėlės nutraukimas ekvivalentus tridalelių susidūrimų nepaisymui. 

3. Išretintų dujų atveju dvidalelė funkcija greitai kinta laike ir erdvėje. Todėl 

dvidalelės funkcijos lygtį galima apytiksliai išspręsti ir išreikšti ją viendalele 

funkcija. Įrašius šią išraišką įviendalelės funkcijos lygtį gaunama uždara kinetinė 

lygtis, kuri sutampa su Boltzmano kinetine lygtimi. 

• Pastabos: 

1. Viendalelė funkcija f1 yra pilnos tankio funkcijos � (kuri apibrėžiama 6N – 

matėje � -erdvėje) projekcija į vienos dalelės 6-matę � -erdvę: 

2. 

� � 

f N , 

1 

�r p, 

t��Ndz 

�dz 

��1, 

�, 

N t� 

� 

, 2 

Toks drastiškas dinaminių kintamųjų sumažinimas įmanomas tik išretintoms 

3 

dujoms ( � � nr 1). 

n 

0 �� 

Istoriškai, kinetinės fizikos tyrinėtojai padėjo nemažai pastangų, norėdami išvesti 

Boltzmano lygtį esant dideliems dalelių tankiams, kai �n yra vieneto eilės. 

Tačiau 1970 m. E.G.D. Cohen ir J.R. Dorfman įrodė, kad BBGKY grandinėlės 

neįmanoma išspręsti skleidžiant sprendinį � n laipsniais (animacija dideliems � n ).

fk4.pdf

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?