You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
• Įvadas<br />
Pernašos teorija ir<br />
Boltzmano<br />
• Elementari pernašos teorija<br />
• Boltzmano<br />
Maksvelo-Boltzmano<br />
skirstinys<br />
Vidutinis laisvo lėkio kelias<br />
Susidūrimų<br />
Savidifuzija<br />
dažnis<br />
(self-diffusion)<br />
kinetinė<br />
Klampos ir šiluminio laidumo koeficientai<br />
kinetinė<br />
lygtis<br />
Pagrindinės prielaidos<br />
Poriniai dalelių<br />
Susidūrimų<br />
Boltzmano<br />
susidūrimai<br />
narys ir Boltzmano<br />
H – teorema<br />
kinetinė<br />
lygtis<br />
lygtis
Pernašos teorija ir<br />
Boltzmano<br />
Pusiausvyrinis Boltzmano<br />
Termodinamikos dėsniai<br />
kinetinė<br />
lygties sprendinys<br />
Pusiausvyrinis sprendinys esant išoriniam laukui<br />
• Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys<br />
Tvermės dėsniai<br />
Vietinė<br />
• Boltzmano<br />
Liouvilio<br />
pusiausvyra ir hidrodinaminės lygtys<br />
nulinis artinys<br />
pirmas artinys<br />
pernašos koeficientai<br />
klampiųjų dujų (skysčio) hidrodinaminės lygtys<br />
kinetinės lygties pagrindimas<br />
lygtis<br />
lygtis<br />
BBGKY (Bogoliubov, Born, Green, Kirwood, Yvon) lygčių grandinėlė
Įvadas (I)<br />
• Šiame skyriuje nagrinėsime mikroskopinę išretintų dujų teoriją, kai sistema yra<br />
arti termodinaminės pusiausvyros. Mes tarsime, kad išoriniai laukai yra maži ir<br />
lėtai kinta laike. Tuomet galima teigti, kad bet kurioje mažoje erdvės srityje<br />
sistema yra termodinaminėje pusiausvyroje (vietinėje pusiausvyroje) ir jos<br />
būseną galima charakterizuoti termodinaminiais kintamaisiais. Tačiau šių<br />
termodinaminių kintamųjų vertės yra skirtingos skirtinguose erdvės taškuose.<br />
• Nepusiausvyrinės sistemos sugrįžimas į termodinaminės pusiausvyros būseną yra<br />
sąlygotas tarpmolekulinių dūžių ir paprastai vyksta dviem (arba daugiau) etapais.<br />
Kintamieji, kurie kinta tarpmolekulinio dūžio metu greitai (per keletą dūžių) pasiekia<br />
pusiausvyrą, o kintamieji kurie nekinta dūžio metu (dūžių invariantai arba tvarieji<br />
dydžiai) ilgesnį laiką lieka nepusiausvyrinėje būsenoje. Todėl po trumpo pereinamo<br />
proceso nepusiausvyrinę būseną galima aprašyti kintamaisiais, kurie nekinta<br />
tarpmolekulinių dūžių metu. Dinaminės lygtys aprašančios tvariųjų dydžių (invariantų)<br />
tankius vadinamos hidrodinaminėmis lygtimis.<br />
• Nekintantys dūžių metu dydžiai (tvarieji dydžiai) yra pilnas dalelių skaičius, pilnas<br />
impulsas ir pilnoji energija. Jeigu šių dydžių tankiai nehomogeniškai pasiskirstę<br />
erdvėje, tai turi egzistuoti tų dydžių srautai, pernešantys tuos dydžius iš vienos sistemos<br />
dalies į kitą, nes ilgainiui sistema turi pasiekti termodinaminę pusiausvyrą. Charakteringi<br />
laikai, per kuriuos sistema pasiekia termodinaminę pusiausvyrą apibūdinami<br />
vadinamaisiais pernašos koeficientais (transport coefficients).
Tvaraus dydžio<br />
tankio SRAUTAS<br />
Įvadas (II)<br />
• Kai nuokrypiai nuo pusiausvyros maži, tai tiriamų dydžių srautai proporcingi<br />
atitinkamų dydžių gradientams, kurie tuos srautus sukėlė. Pernašos koeficientais<br />
vadinami šio proporcingumo ryšio konstantos, t.y.<br />
=<br />
Pavyzdys (Fiko<br />
PERNAŠOS<br />
KOEFICIENTAS<br />
dėsnis):<br />
Tvaraus dydžio<br />
tankio GRADIENTAS<br />
• Pernašos teorijos tikslas yra išvesti hidrodinamines lygtis ir apskaičiuoti<br />
pernašos koeficientus, t.y. išreikšti juos per mikroskopinius dujų parametrus.<br />
• Intuityviam pernašos reiškinių supratimui, mes pradžioje pateiksime elementarią<br />
pernašos teoriją. Remiantis paprasta vidutinio laisvo lėkio kelio samprata mes išvesime<br />
savidifuzijos, klampos ir šiluminio laidumo koeficientų formules.<br />
• Tikslesnė pernašos reiškinių teorija remiasi Boltzmano kinetine lygtimi. Ši lygtis<br />
išvedama iš pirmųjų principų, t.y. remiantis mikroskopinėmis dalelių judėjimo lygtimis,<br />
kurios yra apgręžiamos laike. Tačiau pati Boltzmano lygtis yra neapgręžiama laike. Iš<br />
jos išplaukia entropijos didėjimo dėsnis (Boltzmano H – teorema), kuris nusako<br />
sistemos artėjimą prie pusiausvyros.<br />
• Panaudodami Boltzmano kinetinę lygtį, mes išvesime hidrodinamines lygtis, aprašančias<br />
tvariųjų dydžių dinamiką, ir pakartotinai aptarsime pernašos koeficientų išvedimą.<br />
j d<br />
x<br />
�n<br />
�<br />
�D<br />
�x
Elementari pernašos teorija (I)<br />
• Elementari pernašos teorija grindžiama paprasta laisvo lėkio kelio samprata ir<br />
remiasi tikimybių teorijos argumentais. Jos rezultatai visiškai nepriklauso nuo<br />
tarpdalelinės sąveikos tipo. Daroma vienintelė prielaida, kad vidutinis atstumas tarp<br />
dalelių yra žymiai didesnis už charakteringą tarpmolekulinės sąveikos atstumą.<br />
Maksvelo-Boltzmano<br />
skirstinys<br />
• Tarkime, kad tūryje V yra išretintos dujos sudarytos iš N dalelių. Tegul dujos yra<br />
pusiausvyroje ir dalelių kinetinė energija yra žymiai didesnė už dalelių tarpusavio<br />
sąveikos energiją. Tuomet iš pusiausvyrinės statistinės fizikos žinome, kad tikimybė<br />
� N � N � � � � � �<br />
surasti sistemą fazinės erdvės taške �p , q �� �p1, p2,<br />
�,<br />
pN<br />
, q1,<br />
q2,<br />
�,<br />
qN<br />
�<br />
nusakoma Gibso tankio funkcija (kanoninis skirstinys)<br />
�<br />
� N � N �p, q �<br />
�<br />
dp<br />
N<br />
�<br />
dq<br />
N<br />
�<br />
�<br />
�<br />
dp<br />
�<br />
N<br />
�<br />
exp�<br />
��<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
N<br />
i�1<br />
�<br />
�<br />
�<br />
2<br />
p � i<br />
�<br />
�<br />
2m<br />
�<br />
N<br />
� dq<br />
exp�<br />
� ��<br />
� dp1<br />
���<br />
dpN<br />
� dq1<br />
�<br />
�<br />
N<br />
i�1<br />
2<br />
p � i<br />
�<br />
�<br />
2m<br />
�<br />
�<br />
���<br />
dq<br />
N<br />
� �<br />
1<br />
kBT
Elementari pernašos teorija (II)<br />
• Tikimybės tankis 1 , kad 1 –os dalelės impulsas yra surandamas integruo-<br />
� �<br />
jant Gibso paskirstymo � funkciją � pagal visų dalelių koordinates dq<br />
dq<br />
ir<br />
1 ���<br />
N<br />
pagal impulsus dp<br />
���<br />
dp<br />
:<br />
� � � � � � N � N<br />
�p��� dp<br />
���<br />
dp<br />
� dq<br />
��<br />
dq<br />
��p,<br />
q �<br />
� � � �<br />
• Iš<br />
1<br />
2<br />
2<br />
� �<br />
� 1<br />
p �<br />
čia galima nesunkiai užrašyti tikybės tankį<br />
�<br />
� � p1<br />
�v1<br />
�<br />
� m<br />
�<br />
�<br />
�<br />
F<br />
N<br />
N<br />
1<br />
� m�<br />
�<br />
� �<br />
� 2�<br />
�<br />
N<br />
�v� F �<br />
� � � � 1<br />
v � exp�<br />
1<br />
� � mv<br />
��<br />
� 2<br />
p �<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
1<br />
3 2<br />
2 � –<br />
3 2<br />
� � � � p1<br />
� exp�<br />
��<br />
2�m<br />
� � 2m<br />
, kad 1 dalelės greitis yra<br />
�<br />
v1 �<br />
Maksvelo-Boltzmano<br />
skirstinys<br />
Ši funkcija normuota į vienetą, kai integruojama pagal 1 . Kartais dar reikia žinoti<br />
�<br />
tikimybės tankio funkciją , kad dalelės greičio modulis yra<br />
f<br />
�v �<br />
f 1<br />
1 1<br />
2<br />
�<br />
� � � � � � � �<br />
2<br />
3 2 2<br />
1<br />
v � 4�<br />
v F v � m�<br />
v exp�<br />
1<br />
1<br />
�<br />
1<br />
1<br />
v �<br />
� � mv<br />
��<br />
� 2<br />
2<br />
v<br />
�<br />
�<br />
�<br />
v<br />
2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�
Vidutinis laisvo lėkio kelias<br />
Elementari pernašos teorija (III)<br />
• Vidutinis laisvo lėkio kelias yra vidutinis kelias, kurį dalelė nueina tarp dviejų<br />
gretimų susidūrimų. Mes tariame, kad dujose dūžiai yra atsitiktiniai. Mūsų tikslas<br />
yra surasti tikimybę, kad dalelė nueis atstumą r be dūžių.<br />
• Kadangi susidūrimai yra atsitiktiniai, dalelė turi vienodus šansus susidurti bet<br />
kurioje vietoje. Pažymėkime<br />
1/�<br />
P0(r )<br />
Tuomet<br />
–<br />
dr /�<br />
–<br />
P0(r+dr ) =<br />
d<br />
dr<br />
vidutinis susidūrimų<br />
skaičius, kurį<br />
tikimybė, kad intervale [0,r ]<br />
–<br />
(1-dr /�)<br />
P<br />
0<br />
tikimybė, kad dalelė<br />
–<br />
tikimybė, kad dalelė<br />
P0(r )(1-dr /�)<br />
1<br />
�<br />
–<br />
dalelė<br />
tikimybė, kad dalelė<br />
dalelė<br />
patiria vienetinio ilgio intervale<br />
nepatirs nė<br />
susidurs intervale dr<br />
�r<br />
�<br />
�� r � � P �� r P �r� � e<br />
0<br />
nesusidurs intervale dr<br />
vieno susidūrimo.<br />
nesusidurs intervale [0,r+dr]<br />
� �<br />
� � � dr<br />
r rP �� r �<br />
0 0<br />
0<br />
Vidutinis laisvo lėkio kelias
Susidūrimų<br />
dažnis<br />
Elementari pernašos teorija (IV)<br />
• Tarkime, kad dujos sudarytos iš dviejų rūšių dalelių A ir B. Tegul dalelių A masė<br />
mA , diametras dA, ir tankis nA, o dalelių B masė mB , diametras dB, ir tankis nB. Dalelės atsitiktinai pasiskirsčiusios erdvėje, o jų greičių pasiskirstymas tenkina<br />
Maksvelo-Boltzmano skirstinio dėsnį. Mūsų tikslas yra nustatyti vidutinį dalelių A<br />
ir B susidūrimų dažnį.<br />
Šį<br />
�<br />
V<br />
d B<br />
greitį<br />
mc<br />
�<br />
v<br />
r<br />
d AB<br />
d A<br />
d<br />
AB<br />
d<br />
� d<br />
2<br />
A B � –<br />
v<br />
r<br />
AB<br />
dalelių<br />
�<br />
� � dvA�<br />
�<br />
dv<br />
B<br />
A<br />
F<br />
ir B<br />
Vidutinis reliatyvus dalelių<br />
lengviau apskaičiuoti perėjus prie masių<br />
�<br />
mAv<br />
A � m<br />
�<br />
mA<br />
� m<br />
� �<br />
� v � v<br />
A<br />
B<br />
B<br />
B<br />
�<br />
v<br />
B<br />
–<br />
–<br />
dalelių<br />
A<br />
ir B<br />
reliatyvus dalelių<br />
masių<br />
A<br />
�<br />
sąveikos sferos spindulys<br />
A ir B greitis:<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�vA �F�v B �v A � vB<br />
centro koordinačių<br />
centro greitis<br />
ir B greitis<br />
sistemos:
Elementari pernašos teorija (V)<br />
� �<br />
• Nesunku patikrinti, kad transformacijos � � �� �<br />
v<br />
�<br />
A,<br />
vB<br />
� vr<br />
, Vmc<br />
jakobianas lygus 1.<br />
Todėl skaičiuojant vidutinį reliatyvų greitų integravimą pagal � galime pakeisti<br />
A B �<br />
integravimu pagal :<br />
v v<br />
� �<br />
,<br />
v<br />
� �<br />
,<br />
� �<br />
r mc V<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
� � M AB � � �� AB � � � � � �<br />
vr � � � � � � dvr�<br />
dVmc<br />
vr<br />
exp<br />
�<br />
�<br />
�<br />
AB<br />
� 2�<br />
� � 2�<br />
�<br />
� 2<br />
v<br />
r<br />
vr<br />
„Dūžių“<br />
AB<br />
AB<br />
� 8k<br />
� BT<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� ��AB<br />
�<br />
d AB<br />
cilindras<br />
1 2<br />
�<br />
m<br />
m<br />
A B<br />
� –<br />
AB<br />
mA<br />
� mB<br />
M m � m<br />
dalelių<br />
2<br />
2 �<br />
�MABVmc � ABvr<br />
��� A<br />
ir B<br />
redukuota masė<br />
• Tarkime, kad dalelės B nejuda, o dalelės A juda reliatyviu<br />
greičiu vr<br />
. Tuomet per vieną sekundę dalelė A<br />
AB<br />
vidutiniškai patirs tiek dūžių kiek yra B dalelių pavaizduotame<br />
cilindre, t.y. vidutinis dalelės A susidūrimo dažnis su B<br />
dalelėmis yra:<br />
f<br />
AB<br />
AB<br />
�<br />
� –<br />
n<br />
B<br />
A<br />
� d<br />
2<br />
AB<br />
B<br />
v<br />
r<br />
AB<br />
dalelių<br />
�<br />
n<br />
B<br />
A<br />
� d<br />
ir B pilna masė<br />
2<br />
AB<br />
� 8k<br />
� BT<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� ��AB<br />
�
• Pilnas dalelių<br />
�<br />
AB<br />
A ir B susidūrimų<br />
�<br />
n<br />
A<br />
f<br />
AB<br />
�<br />
n<br />
A<br />
n<br />
B<br />
� d<br />
Elementari pernašos teorija (VI)<br />
skaičius vieneto tūryje per vieną<br />
2<br />
AB<br />
v<br />
r<br />
AB<br />
�<br />
n<br />
A<br />
n<br />
B<br />
� d<br />
2<br />
AB<br />
� 8k<br />
� BT<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� ��AB<br />
�<br />
1 2<br />
sekundę:<br />
Jeigu dalelės identiškos, tai šią formulę reikia padalinti iš 2, nes joje kiekviena<br />
dalelė įskaitoma du kartus<br />
�<br />
AA<br />
�<br />
1<br />
2<br />
n<br />
� d<br />
2<br />
A<br />
2<br />
AA<br />
v<br />
r<br />
AA<br />
�<br />
1<br />
2<br />
n<br />
� d<br />
2<br />
A<br />
2<br />
AA<br />
�16k<br />
� BT<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� � mA<br />
�<br />
• Identiškoms dalelėms vidutinis laisvo lėkio kelias � gaunamas, vidutinį dalelės<br />
greitį padalinus iš vidutinio vienos dalelės susidūrimo dažnio f :<br />
v<br />
v<br />
v<br />
� � � v � �<br />
�<br />
f n � d v<br />
AA<br />
A<br />
2<br />
AA<br />
r<br />
AA<br />
2n<br />
1<br />
� d<br />
Čia � =1/fAA yra vidutinis laisvo lėkio laikas. Mes panaudojome paprastą sąryšį<br />
tarp vidutinio ir vidutinio reliatyvaus greičių:<br />
v vr<br />
AA<br />
2<br />
� � � mA�<br />
� � � � mAv<br />
� � � 8kBT<br />
�<br />
v � � dvF<br />
�v�v� dv<br />
exp v � �<br />
2 � �<br />
�<br />
2 �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
m �<br />
�<br />
� � � � � A �<br />
A<br />
2<br />
AA<br />
1 2<br />
AA<br />
1 2<br />
v<br />
r<br />
2<br />
AA
z=0<br />
Savidifuzija<br />
(Self-diffusion)<br />
Elementari pernašos teorija (VII)<br />
• Remiantis elementaria pernašos teorija išvesime savidifuzijos koeficiento D<br />
išraišką. Nagrinėsime dujas sudarytas iš identiškų dalelių, tačiau tarsime, kad<br />
nedidelė dalelių dalis yra pažymėta kokiu nors žymekliu, kuris nekeičia<br />
dalelės fizinių savybių, pavyzdžiui, dalis dalelių yra radioaktyvios. Teoriniuose<br />
samprotavimuose mes tiesiog tarsime, kad pažymėtos dalelės yra kitos<br />
spalvos (raudonos).<br />
• Jeigu pradiniu momentu pažymėtų dalelių pasiskirstymas yra netolygus, tai dėl<br />
difuzijos pažymėtos dalelės turės artėti prie homogeninio pasiskirstymo.<br />
Charakteringas šio artėjimo laikas apspręstas savidifuzijos koeficientu D. Mūsų<br />
tikslas nustatyti šio koeficiento išraišką.<br />
z<br />
Prielaidos:<br />
n =<br />
n P =<br />
const(z)<br />
n P (z)<br />
–<br />
nP �z � �� n –<br />
pilna dalelių koncentracija<br />
nepriklauso nuo z<br />
– pažymėtų (raudonų) dalelių<br />
koncentracija priklauso nuo z .<br />
pažymėtų<br />
dalelių yra nedaug.
dn<br />
dS<br />
x<br />
z<br />
�<br />
�<br />
v<br />
�z�dV � n �z�dV fnP P<br />
�<br />
d dS cos�<br />
2<br />
4� 4�<br />
r<br />
�<br />
�<br />
P<br />
�r� �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
v<br />
n<br />
r<br />
–<br />
dV<br />
y<br />
–<br />
Elementari pernašos teorija (VIII)<br />
• Surasime pažymėtų dalelių skaičių, kurios per vie-<br />
2<br />
ną sekundę susiduria tūrelyje dV � r dr sin �d�d<br />
ir be dūžių pasiekia plotelį dS ties z=0.<br />
• Mes tariame, kad susidūrusių tūrelyje dV dalelių<br />
judėjimo kryptys yra atsitiktinės (vienoda tikimybe<br />
juda bet kuria kryptimi).<br />
• Tikimybė, kad susidūrusi dalelė pasieks plotelį dS<br />
r �<br />
yra e (tikimybė kad ji nesusidurs atstume r).<br />
�<br />
vidutinis pažymėtų dalelių skaičius, kurios per<br />
vieną sekundę susiduria tūrelyje dV.<br />
f – vienos dalelės susidūrimų dažnis.<br />
santykinė susidūrusių dalelių dalis judančių plotelio dS kryptimi.<br />
d� – erdvinis kampas, išeinantis iš centrinio dV tūrelio taško<br />
ir gaubiantis plotelį dS.<br />
�z�dV ��<br />
dS cos�<br />
� �r<br />
�<br />
� P<br />
� ��<br />
�e<br />
– vidutinis pažymėtų dalelių skaičius, kurios<br />
� ��<br />
2<br />
� r �<br />
��<br />
4 � per vieną sekundę susiduria tūrelyje dV ir<br />
pasiekia plotelį dS be papildomų susidūrimų.<br />
�
Elementari pernašos teorija (IX)<br />
• Pilnas pažymėtų dalelių skaičius, iš viršaus (z>0) per vieną sekundę pasiekusių<br />
vienetinį plotą plokštumoje z=0, gaunamas integruojant pagal visą tūrį z>0:<br />
N�<br />
�<br />
�<br />
� � 2<br />
v 2<br />
e<br />
� r dr � sin �d��<br />
d�<br />
nP<br />
�z�cos� 4� �<br />
r<br />
0<br />
0<br />
2�<br />
�r<br />
�<br />
• Analogiškai galima apskaičiuoti dalelių skaičių, pasiekusių plokštumą z=0 iš<br />
apačios z
Elementari pernašos teorija (X)<br />
• Jeigu pažymėtų dalelių koncentracijos pokyčiai z kryptimi yra nedideli, tai nP (z)<br />
galima išskleisti Teiloro eilute ties z=0:<br />
n<br />
P<br />
� �n<br />
�<br />
� �z<br />
�<br />
�<br />
�<br />
2 � � n<br />
�<br />
� �z<br />
P<br />
P<br />
�z��n�0��z � � � ��<br />
P<br />
Kadangi nP (z) yra lėtai kintanti z funkcija ir<br />
� integralo išraiškoje yra<br />
r �<br />
daugiklis e , tik mažos z vertės ( z � � ) duos indėlį įintegralą. Todėl nP (z)<br />
skleidime galime apsiriboti keliais pirmais nariais. Čia apsiribojame trim nariais.<br />
�<br />
0<br />
z<br />
2<br />
2<br />
2<br />
�N� � �<br />
� � N<br />
• Nesunku įsitikinti, kad pirmo ir trečio nP (z) nario indėlis į<br />
lygus nuliui. Indėlį duoda tik antras skleidimo narys:<br />
v<br />
e<br />
d�<br />
z cos�<br />
4� � � �z<br />
�<br />
r<br />
� �<br />
2<br />
� �n<br />
� 2<br />
�N� � � N�<br />
P<br />
� ��� � � r dr�<br />
sin � d��<br />
0 0<br />
0<br />
0<br />
�<br />
�<br />
�<br />
0<br />
� �r<br />
�<br />
0<br />
�N� � �<br />
� � N<br />
�<br />
2<br />
integralą<br />
�<br />
�<br />
v � �n<br />
� �<br />
2 v<br />
P r �<br />
� �nP<br />
� � � sin �cos<br />
2 � � � e rdr<br />
� z � �<br />
0 0<br />
� d�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
3 �<br />
�z<br />
�<br />
�<br />
�<br />
0
Elementari pernašos teorija (XI)<br />
• Taigi mes gavome, kad pažymėtų dalelių srautas, kertančių vienetinį plotą per<br />
vieną sekundę teigiama z kryptimi yra<br />
Čia D yra savidifuzijos<br />
j<br />
D<br />
�z� �nP<br />
� �D<br />
�z<br />
�z� ,<br />
koeficientas (self-diffusion<br />
D �<br />
v<br />
3<br />
�<br />
coefficient).<br />
• Pažymėtoms dalelėms galioja tolydumo lygtis ir todėl n P (z,t)<br />
�<br />
�t<br />
�<br />
�z<br />
� n<br />
�z<br />
2<br />
nP jD<br />
P<br />
� � � D 2<br />
,<br />
tenkina difuzijos lygtį:<br />
Šios formulės gautos iš labai paprastų prielaidų, tačiau jos gerai kokybiškai<br />
aprašo išretintų dujų eksperimentinius rezultatus.<br />
• Toliau mes panagrinėsime dar du pernašos koeficientus – klampos ir šiluminio<br />
laidumo. Mes parodysime, kad visus pernašos koeficientus galima gauti remiantis<br />
paprastais bendrais samprotavimais.
Klampos ir šiluminio laidumo koeficientai<br />
z<br />
z<br />
=<br />
T=T(z)<br />
y<br />
Ftr<br />
Elementari pernašos teorija (XII)<br />
• Jeigu skirtingi dujų (arba skysčio) sluoksniai juda<br />
skirtingais greičiais, tai „trintis“ (klampa) tarp<br />
skirtingų sluoksnių suvienodins dalelių greičius ir<br />
sistema pasieks termodinaminę pusiausvyrą. Šiuo<br />
atveju pernešamas vidutinis greitis(impulsas). Jo<br />
pernešimo intensyvumas charakterizuojamas<br />
klampos koeficientu �<br />
j<br />
m v<br />
�<br />
� ��<br />
v<br />
y<br />
�z<br />
�z� • Jeigu skirtingi dujų (arba skysčio) sluoksniai turi<br />
skirtingą kinetinę energiją (temperatūrą), tai dėl<br />
kinetinės energijos pernašos vidutinė kinetinė<br />
energija išsilygins ir sistema pasieks<br />
termodinaminę pusiausvyrą. Temperatūros<br />
pernašos greitis charakterizuojamas šiluminio<br />
laidumo koeficientu K<br />
j Q<br />
dT<br />
� �K<br />
dz<br />
�<br />
F<br />
tr
z=z 0<br />
z<br />
�z 1<br />
�z 2<br />
• Tariame, kad atstumai �z 1<br />
Vidutinis dalelių<br />
yra n .<br />
bus:<br />
Elementari pernašos teorija (XIII)<br />
• Visiems pernašos reiškiniams galima taikyti<br />
vieningą teoriją. Tarkime, kad dydis A=A(z),<br />
charakterizuojantis tam tikrą molekulių savybę,<br />
kinta išilgai z ašies. Nubrėžkime dujose plokštumą<br />
z=z0. Kai dalelė kerta šią plokštumą, ji perneša vertę<br />
A(z), įgytą paskutinio susidūrimo metu, ir perduoda ją<br />
kitai daleliai sekančio susidūrimo metu.<br />
ir �z2 proporcingi vidutiniam laisvo lėkio keliui �:<br />
�z<br />
�<br />
1 � a1�,<br />
�z2<br />
a2<br />
skaičius, kertantis vienetinį<br />
�<br />
plokštumos z=z 0<br />
Todėl dydžio A perneštas kiekis per vieną<br />
sekundę<br />
plotą<br />
dA<br />
n v �A�z0��z2��A�z0��z1�����a1�a2�nv� dz<br />
Tai reiškia, kad dydžio A srautas teigiama z kryptimi yra:<br />
j A<br />
per vieną<br />
sekundę,<br />
teigiama z kryptimi<br />
�z���bn v �<br />
� 1 2 � a a b � �<br />
Toliau tarsime, kad proporcingumo konstanta b yra vienoda visiems pernešamiems<br />
dydžiams. Jos vertę galima nustatyti iš jau išspęsto savidifuzijos uždavinio.<br />
dA<br />
dz
• Savidifuzijos<br />
Šią<br />
A<br />
�z� �<br />
n<br />
P<br />
atveju pernešamas dydis yra santykinė<br />
�z� n<br />
Kadangi mes jau nustatėme difuzijos konstantą<br />
konstantos b vertę<br />
j<br />
A<br />
�z� j �z� panaudosime nustatinėjant kitų<br />
Elementari pernašos teorija (XIV)<br />
pažymėtų<br />
kinetinių<br />
dalelių<br />
�z� � D<br />
dA dnP<br />
� �bn<br />
v � � �b<br />
v �<br />
dz<br />
dz<br />
D �<br />
v �<br />
3<br />
tai b<br />
koeficientų<br />
koncentracija<br />
dnP<br />
� �D<br />
dz<br />
�<br />
1<br />
3<br />
reikšmes<br />
• Klampa nusako trintį, kuri atsiranda, kai skirtingi dujų sluoksniai juda skirtingais<br />
greičiais. Tarkime, kad judėjimas vyksta y kryptimi, o vidutinis greitis kinta z kryptimi.<br />
Tuomet pernešamas dydis yra impulso y komponentė:<br />
� �<br />
�z��m v �z� A y<br />
1<br />
� � nm v<br />
3<br />
�<br />
j<br />
–<br />
A<br />
�<br />
j<br />
zy<br />
� �bn<br />
klampos<br />
koeficientas<br />
v<br />
�z� d v �z� dA mn v � d vy<br />
� � �<br />
dz 3 dz<br />
� ��<br />
m v<br />
� �<br />
2<br />
3 2�<br />
d<br />
–<br />
y<br />
dz<br />
kai dalelės kietos sferos,<br />
d – sferos diametras<br />
• Įdomu pastebėti, kad klampos koeficientas nepriklauso nuo dujų tankio n. Kai Maksvelas<br />
gavo šį rezultatą, jis labai nustebo ir nusprendė patikrinti jį eksperimentiškai. Stebėdamas<br />
svyruoklės gesimą įvairaus tankio dujose jis įsitikino, kad ši išvada teisinga.
• Šiluminio laidumo<br />
cV<br />
atveju pernešamas dydis yra vidutinė<br />
1 2 3<br />
A B<br />
�z�� m v �z� � k T �z� 2<br />
2<br />
1 3<br />
jA � jQ<br />
� � n v � kB<br />
3 2<br />
• Tikslesnis pernašos koeficientų<br />
1<br />
K n v �k<br />
2<br />
B<br />
dT<br />
dz<br />
� –<br />
Elementari pernašos teorija (XV)<br />
� �K<br />
dT<br />
dz<br />
energija (temperatūra)<br />
šiluminio laidumo koeficientas<br />
• Įdomu pastebėti, kad iš šių išraiškų išplaukia, jog šiluminio laidumo ir klampos koeficientų<br />
santykis visoms dujoms yra vienodas ir nepriklauso nuo temperatūros:<br />
K 3 k<br />
�<br />
� 2 m<br />
B � cV<br />
– vienetinės masės idealių<br />
dujų šiluminė talpa<br />
K<br />
� c<br />
nustatymas remiasi Boltzmano<br />
V<br />
Eksperimentiniai rezultatai<br />
kinetine lygtimi.
Boltzmano<br />
kinetinė<br />
lygtis (I)<br />
• 1872 m. Boltzmanas (Boltzmann) išvedė pagrindinę lygtį pernašos reiškiniams<br />
išretintose dujose aprašyti. Ši lygtis nustato dalelių tankio f �r, v,<br />
t�<br />
evoliuciją<br />
koordinačių ir greičių erdvėje. Lygties išvedimas remiasi dalelių judėjimo lygtimis, kurios<br />
yra invariantinės laiko apgręžimo atžvilgiu. Tačiau Boltzmano lygtis nėra invariantinė<br />
laiko apgręžimui. Ji nusako antrą termodinamikos dėsnį – entropijos augimą.<br />
� �<br />
Pagrindinės prielaidos<br />
• Nagrinėsime dujas esančias tūrio V inde. Tegul molekulės masė yra m, o jų<br />
skaičius yra N. Mes tariame, kad molekulių � tarpusavio sąveiką galima aprašyti<br />
sferiškai simetriniu potencialu .<br />
r 0<br />
–<br />
�<br />
� �<br />
�r r �<br />
i<br />
j<br />
charakteringas sąveikos atstumas (charakteringas molekulės dydis)<br />
Tarsime, kad vidutinis atstumas tarp molekulių yra žymiai didesnis už<br />
molekulės dydį (išretintų dujų prielaida):<br />
V 3<br />
3 � N �<br />
�� r arba ekvivalenčiai<br />
0<br />
nr0 ��1<br />
�n<br />
� �<br />
N<br />
� V �<br />
Esant šiai sąlygai galima nepaisyti tri-dalialių, ketur-dalelių ir t.t. susidūrimų,<br />
nes jie yra reti palyginus su dvi-daleliais. Be to mes tarsime, kad laikas, kurį dalelės<br />
praleidžia tarp dūžių yra žymiai didesnis už dūžio trukmę.
v �<br />
Tolydumo lygtis<br />
v �<br />
d r<br />
3<br />
r �<br />
d<br />
o pilnas dalelių<br />
dN<br />
Boltzmano kinetinė lygtis (II)<br />
• Nagrinėsime dalelių evoliuciją 6-matėje<br />
fazinėje erdvėje �r v�.<br />
Tokia erdvė vadinama<br />
� erdve. Apibrėšime šioje erdvėje dalelių tankį<br />
� � ,<br />
f , ,<br />
� �<br />
�r v t�<br />
3 • Tuomet mažame išskirtame šios erdvės<br />
v<br />
tūrelyje d3r d3v dalelių skaičius yra:<br />
, � �<br />
r �<br />
3 3<br />
dN � f �r v,<br />
t�d<br />
r d v<br />
�<br />
3 � �<br />
Erdvinis tankis taške r yra n �r, t�<br />
� � d v f �r , v,<br />
t�<br />
3 �<br />
3 3 � �<br />
skaičius: N � d r n�r<br />
, t�<br />
� d r d v f �r, v,<br />
t�<br />
�<br />
• Tūrelio dydį d3r d3v parinksime taip, kad iš vienos pusės jis būtų pakankamai<br />
didelis, jog jame būtų daug dalelių, o iš kitos pusės pakankamai mažas, kad<br />
funkcija jo ribose kistų nežymiai.<br />
�<br />
• Dalelių<br />
1.<br />
2.<br />
�rvt� f , ,<br />
�<br />
skaičius išskirtame tūrelyje kinta dėl dviejų<br />
priežasčių:<br />
Dalelės tarp susidūrimų juda pagal antrą Niutono dėsnį, t. y.:<br />
Dalelės patiria susidūrimus.<br />
F �<br />
Čia yra išorinė<br />
jėga.<br />
�<br />
� �<br />
v��<br />
i<br />
�<br />
F �<br />
� , r��<br />
i � vi<br />
m
Boltzmano kinetinė lygtis (III)<br />
• Tankio funkcijai galima užrašyti tolydumo lygtį (tolydumo lygtis bendruoju atveju<br />
buvo išvesta nagrinėjant Fokerio-Planko lygtį):<br />
�<br />
�t<br />
f<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�r, v,<br />
t���v��f�r,<br />
v,<br />
t����f�r,<br />
v,<br />
t�<br />
r<br />
�<br />
�<br />
�<br />
F<br />
m<br />
v<br />
�<br />
�<br />
� �f<br />
�<br />
��<br />
�<br />
� �t<br />
�<br />
Čia pirmi du dešiniosios pusės nariai aprašo dalelių pokytį dėl judėjimo tarp<br />
susidūrimų, o paskutinis – dėl susidūrimų.<br />
• Užrašyta tolydumo lygtis ir yra Boltzmano kinetinė lygtis, tačiau joje kol kas<br />
neapibrėžtas paskutinis narys, aprašantis dalelių susidūrimus. Dalelių skaičiaus<br />
kitimą išskirtame tūrelyje dėl dužių galima suskaidyti į du narius:<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�f<br />
�t<br />
�<br />
�<br />
�<br />
susid<br />
� ��<br />
Pirmasis narys �- aprašo dalelių mažėjimą įskirtame tūrelyje, dėl to kad tam tikros<br />
dalelės susidūrusios tūrelio viduje išeina iš išskirto tūrelio. Šį narį vadinsime išėjimo<br />
nariu. Antrasis narys � + yra atėjimo narys. Jis nusako kiek dalelių ateina į išskirtą<br />
tūrelį dėl susidūrimų už tūrelio ribų. Tiksliau kalbant, apibrėžimai �- ir � + tokie:<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
susid
� �td<br />
�<br />
� �td<br />
�<br />
• Šių<br />
3<br />
3<br />
rd<br />
rd<br />
3<br />
3<br />
v<br />
v<br />
Boltzmano kinetinė lygtis (IV)<br />
t ��<br />
t<br />
rd<br />
v<br />
–susidūrimų skaičius laiko intervale tarp t ir , kuriuose viena iš<br />
3<br />
molekulių iki susidūrimo yra tūrelyje ties tašku<br />
d<br />
r � � ,<br />
3 � v�<br />
3<br />
d rd<br />
v �r v�<br />
� � t ��<br />
t<br />
,<br />
–susidūrimų skaičius laiko intervale tarp t ir , kuriuose viena iš<br />
3<br />
molekulių po susidūrimo atsiduria tūrelyje ties tašku<br />
narių įvertinimui reikia panagrinėti porinių<br />
Poriniai dalelių<br />
• Nagrinėsime dviejų<br />
v1,v 2<br />
� �<br />
v1,v � � 2<br />
� �<br />
–<br />
–<br />
dalelių<br />
dalelių<br />
susidūrimai<br />
vienodų<br />
• Patogu pereiti prie masių<br />
�<br />
V �<br />
�<br />
u<br />
1<br />
2<br />
�<br />
v<br />
�v�v� 2<br />
�<br />
1<br />
�<br />
� v<br />
�<br />
2<br />
� –<br />
1<br />
dalelių<br />
greičiai iki susidūrimo<br />
greičiai po susidūrimo<br />
–masių<br />
centro koordinačių:<br />
centro greitis<br />
reliatyvus greitis<br />
dalelių<br />
susidūrimų<br />
susidūrimo uždavinį. Tegul:<br />
teoriją.<br />
Energijos ir impulso tvermės dėsniai<br />
� � � �<br />
v1 � v2<br />
� v�<br />
1 � v�<br />
2<br />
� 2 � 2 � 2 �<br />
v � v � v�<br />
� v�<br />
1<br />
Tvermės dėsniai<br />
naujiems<br />
kintamiesiems<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
V � V �<br />
� �<br />
u � u�<br />
� �
�<br />
�, �<br />
–<br />
u �<br />
v� 2<br />
�<br />
v2 �<br />
u�<br />
�<br />
�<br />
sklaidos kampai<br />
Geometrinis tvermės dėsnių<br />
V � V �<br />
� �<br />
v� 1<br />
�<br />
v1 �<br />
aiškinimas<br />
• Taigi esant fiksuotiems sklaidos kampams,<br />
greičių elementariems tūriams galioja lygybė:<br />
Boltzmano kinetinė lygtis (V)<br />
• Kadangi susidūrimo metu nepasikeičia<br />
vektoriaus u ilgis, tai susidūrimą galima<br />
charakterizuoti parametrais .<br />
�<br />
�<br />
V ,u,<br />
�, �<br />
�<br />
� �<br />
• Tarkime, kad esant pastoviems ir ,<br />
vektoriai V ir šiek tiek pakito ir tapo<br />
ir . Kitaip sakant,<br />
nagrinėsime susidūrimą su šiek tiek<br />
pakeistom pradinėm sąlygom. Tuomet<br />
pasikeis ir būsenos po susidūrimo:<br />
ir . Kadangi<br />
tai . Be to , nes<br />
kampai ir fiksuoti. Todėl gauname:<br />
� u �<br />
� � � �<br />
V � dV<br />
u � du<br />
� � � �<br />
V � � dV<br />
� u� � du�<br />
V � V �<br />
� �<br />
dV � dV<br />
�<br />
� �<br />
du � du�<br />
� �<br />
� �<br />
3 3 3 3<br />
d Vd u � d V �d<br />
u�<br />
�<br />
� v<br />
�<br />
V �<br />
� �<br />
v1<br />
� v<br />
• Transformacijos ,<br />
� �<br />
2<br />
jakobianas lygus vienetui:<br />
u �<br />
v<br />
3 3 3 3 3 3 3 3<br />
d v d v � d Vd u,<br />
d v�d<br />
v�<br />
� d V �d<br />
u�<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
� � 2<br />
3 3 3 3<br />
d v1d<br />
v2<br />
� d v�<br />
1d<br />
v�<br />
2<br />
1<br />
2
• Dalelių<br />
1<br />
v1 �<br />
judėjimai laboratorinėje ir masių<br />
v2 2 2<br />
�<br />
Laboratorinė<br />
sistema<br />
1<br />
v� 1<br />
�<br />
v� 2<br />
�<br />
Boltzmano kinetinė lygtis (VI)<br />
centro sistemose atrodo taip:<br />
• Masių centro sistemoje (kuri greičiu V juda atžvilgiu laboratorinės sistemos)<br />
pakanka nagrinėti tik vieną dalelę, nes antra juda analogiškai pirmai tik priešinga<br />
kryptimi. Uždavinys susiveda į ekvivalentų uždavinį apie dalelės sklaidą ant<br />
nejudančio fiktyvaus jėgos centro, paveiksle pažymėtu raide O.<br />
1<br />
u �<br />
b<br />
� u�<br />
�<br />
b<br />
O<br />
1<br />
b<br />
u�<br />
�<br />
u �<br />
b<br />
�<br />
2<br />
Masių centro sistema<br />
• Parametras b yra atstumas nuo dalelės iki tiesės einančios per jėgos centrą<br />
lygiagrečiai dalelės pradiniam greičiui. Šis parametras vadinamas taikymo atstumu.<br />
2
Boltzmano kinetinė lygtis (VII)<br />
• Dalelių susidūrimų dinamika charakterizuojama diferencialiniu sklaidos<br />
skerspjūviu � ���. Šis dydis apibrėžiamas klasikinėje sklaidos teorijoje. Čia<br />
priminsime jo sąvoką.<br />
• Vienareikšmiam susidūrimo proceso aprašymui nepakanka užduoti dalelių<br />
greičius ir v , kadangi jie nenusako taikymo atstumo. Greičių ir definavimas<br />
2<br />
apibrėžia tam tikrą susidūrimų klasę su ta pačia masių centro sistema ir skirtingais<br />
taikymo atstumais. Šią susidūrimų klasę patogu aprašyti, išsivaizduojant, kad į<br />
jėgos centrą yra nukreiptas homogeninis dalelių pluoštas, turintis pradinį greitį .<br />
�<br />
v1 �<br />
v1 �<br />
v2 �<br />
I<br />
–<br />
b<br />
u �<br />
d�<br />
O<br />
���d� �<br />
I� � Ibdbd<br />
molekulių srautas, nukreiptas į jėgos centrą<br />
sekundę kertantis vienetinį plotą)<br />
I� ���d� �<br />
(molekulių<br />
d�<br />
�<br />
u�<br />
�<br />
u�<br />
�<br />
u �<br />
skaičius, per vieną<br />
– molekulių skaičius, per vieną sekunde išsklaidytų įerdvinį kampą<br />
kryptimi , .<br />
� �<br />
O<br />
d�
Boltzmano kinetinė lygtis (VIII)<br />
• Diferencialinis sklaidos skerspjūvis turi ploto dimensiją. Tai eksperimentiškai<br />
matuojamas dydis. Geometrinė jo prasmė tokia:<br />
Molekulių skaičius, per vieną sekundę<br />
išsklaidytų įerdvinį kampą d�<br />
�<br />
���d� • Aiškinant sklaidos eksperimentus dažnai naudojamas integralinis (pilnas) sklaidos<br />
skerspjūvis:<br />
� int<br />
�<br />
�<br />
�<br />
��� � � d�<br />
�<br />
�<br />
��� �<br />
�<br />
�v , v v�,<br />
v�<br />
� � � ��� � 1 2 1 2<br />
Molekulių skaičius pluošte, per vieną<br />
sekundę kertančių plotą<br />
��� • Konkreti diferencialinio sklaidos skerspjūvio išraiška priklauso nuo sąveikos<br />
potencialo. Kai potencialas žinomas, �<br />
��� galima apskaičiuoti tiek klasikinės tiek ir<br />
kvantinės mechanikos rėmuose. Iš tikrųjų šio dydžio nustatymui reikia taikyti kvantinę<br />
mechaniką, nes susidūrimo metu molekulės priartėja mažais atstumais taip, kad jų<br />
banginės funkcijos persikloja.<br />
• Toliau mums nebus reikalinga tiksli išraiška. Mums bus reikalingos tik žinios<br />
apie šio dydžio simetriją. Klasikinėje ir kvantinėje mechanikoje simetrijos savybės<br />
paprastai yra vienodos. Kalbant apie simetriją, patogu įvesti tokį žymėjimą:<br />
�
Boltzmano kinetinė lygtis (IX)<br />
• Išvardinsime pagrindines diferencialinio sklaidos skerspjūvio simetrijos savybes:<br />
a)<br />
Invariantiškumas laiko apgręžimo atžvilgiu (apgręžus laiką kiekviena<br />
molekulė pakartoja savo kelią priešinga kryptimi) :<br />
�<br />
�<br />
�v , v v�,<br />
v�<br />
�� � �� v�,<br />
�v�<br />
v , v �<br />
1<br />
�<br />
2<br />
�<br />
1<br />
�<br />
2<br />
b) Invariantiškumas erdvinio posūkio ir atspindžio atžvilgiu (žvaigždutės ties<br />
vektoriais žymi erdviškai pasuktus arba atspindėtus vektorius) :<br />
�<br />
�<br />
� � � �<br />
* * * *<br />
v , v v�,<br />
v�<br />
� � v , v v�<br />
, v�<br />
1<br />
�<br />
2<br />
�<br />
1<br />
�<br />
2<br />
• Remiantis šiomis simetrijos savybėmis nesunku įrodyti, kad atvirkštinio susidūrimo<br />
(atvirkštinis susidūrimas skiriasi nuo duoto tiesioginio susidūrimo tuo, kad pradinė ir<br />
galinė būsenos sukeistos vietomis) diferencialinis sklaidos skerspjūvis sutampa su<br />
tiesioginio susidūrimo diferencialiniu sklaidos skerspjūviu:<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�v , v v�,<br />
v�<br />
�� � �v�, v�<br />
v , v �<br />
1<br />
�<br />
2<br />
�<br />
1<br />
�<br />
2<br />
• Po šio trumpo ekskurso į dviejų dalelių susidūrimų teoriją mes esame pasiruošę<br />
išreikštu pavidalu užrašyti Boltzmano kinetinę lygtį.<br />
1<br />
�<br />
1<br />
�<br />
�<br />
2<br />
1<br />
�<br />
2<br />
�<br />
1<br />
�<br />
2<br />
�<br />
1<br />
�<br />
�<br />
1<br />
�<br />
2<br />
2<br />
�<br />
2
Susidūrimo narys ir Boltzmano<br />
��f �t�susid<br />
kinetinė<br />
Boltzmano kinetinė lygtis (X)<br />
lygtis<br />
• Prisiminkime, kad susidūrimo narys tolydumo lygtyje susideda iš<br />
dviejų narių –atėjimo ir išėjimo . Išvesime šių narių išraiškas.<br />
�� � �<br />
• Išėjimo narys. Mums reikia apskaičiuoti dalelių mažėjimą, sąlygotą dalelių<br />
3 3<br />
susidūrimais išskirtame � erdvės tūrelyje d rd v1<br />
ties tašku �r,v 1�<br />
. Pasirinkime<br />
šiame tūrelyje vieną molekulę su koordinatėmis . Tame pačiame tūrelyje<br />
bus molekulės su laisvais greičiais , kurias galima aiškinti kaip dalelių srautą,<br />
nukreiptą įpasirinktą molekulę. Šio srauto tankis yra:<br />
�<br />
�r,v1� �<br />
v2 �<br />
• Susidūrimų<br />
• Todėl išėjimo narys yra:<br />
�<br />
�I<br />
�<br />
�v, v ���v�, v�<br />
�<br />
1<br />
�<br />
2<br />
3 � � �<br />
� r<br />
I<br />
�<br />
1<br />
�<br />
2<br />
�<br />
�<br />
2,<br />
�<br />
�<br />
� � � � 3<br />
f r,<br />
v t d v2<br />
v1<br />
�v2<br />
skaičius erdvės elemente per laiką<br />
� � � � 3<br />
�<br />
3<br />
f r,<br />
v �<br />
1,<br />
t d v1<br />
d v d��<br />
����<br />
�<br />
� � � � 3 �<br />
� 3<br />
�<br />
3 � �<br />
� �<br />
3 � �<br />
�td r f r,<br />
v1,<br />
t d v1<br />
d v2<br />
d�f<br />
�r, v2,<br />
t�d<br />
v2<br />
v1<br />
�v2<br />
����<br />
td 2<br />
� �<br />
� � � �<br />
� � f , � �<br />
�<br />
1 2<br />
1 2 2,<br />
3 �r v , t�<br />
d v d��<br />
��� v �v<br />
f �r, v t�<br />
d<br />
3<br />
rd<br />
3<br />
v<br />
1<br />
� t<br />
:
Boltzmano kinetinė lygtis (XI)<br />
• Atėjimo narys. Šio nario apskaičiavimui reikia nagrinėti susidūrimus<br />
su fiksuotu greičiu v . Tegul į molekulę, turinčią greitį<br />
1<br />
nukreiptas molekulių srautas su greičiu . Srauto tankis yra:<br />
�<br />
� � � �<br />
�v1 , v�<br />
2 ���v1, v2<br />
�<br />
�<br />
� ,<br />
1 v�<br />
• Susidūrimų<br />
�td<br />
3<br />
r<br />
� �<br />
�<br />
�v�, v�<br />
� �v , v �<br />
�<br />
v �<br />
v�<br />
2<br />
� � 3 � �<br />
�I<br />
� � f �r, v2,<br />
� t�d<br />
v�<br />
2 v�<br />
2 � v�<br />
1<br />
� � �<br />
� 1 � ,v � 1 � ,v v �<br />
��� � � ����<br />
• Kadangi greičiai ir atitinka atvirkštinius vienas atžvilgiu kito<br />
2<br />
2<br />
susidūrimus, tai . Be to iš tvermės dėsnių anksčiau gavome, kad<br />
�<br />
• Todėl atėjimo narys yra:<br />
1<br />
2<br />
�<br />
1<br />
�<br />
� � � �<br />
v � �<br />
� �<br />
3 3 3 3<br />
1 � v2<br />
� v1<br />
� v2<br />
, d v1d<br />
v2<br />
� d v1d<br />
v2<br />
� ��<br />
�<br />
� 2<br />
skaičius erdvės elemente per laiką<br />
3 � � � � � �<br />
d v d��<br />
�,<br />
��� v �v<br />
f �r v�,<br />
t�<br />
f �r, v t�<br />
1<br />
2<br />
, 1 2<br />
�<br />
3 3<br />
d rd v�<br />
� t<br />
1<br />
� �� 3<br />
� �<br />
�� 3�<br />
d v � � � � � ��<br />
�<br />
2 d � I � f r,<br />
v1<br />
d v ��<br />
3<br />
�td<br />
r<br />
3<br />
d r<br />
3<br />
d v�<br />
f<br />
� � 3 � �<br />
r,<br />
v�,<br />
t d v�<br />
v�<br />
� v�<br />
� � � f<br />
� � 3<br />
r,<br />
v�<br />
d v�<br />
� 1<br />
� � �<br />
2<br />
2<br />
� �<br />
� � � � � �<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
:
Boltzmano kinetinė lygtis (XII)<br />
• Apjungdami atėjimo ir išėjimo narius galutinai gauname tokią susidūrimo nario<br />
išraišką:<br />
Čia:<br />
��� –<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�f<br />
�t<br />
�<br />
�<br />
�<br />
susid<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
erdvinis kampas tarp vektorių<br />
�<br />
d<br />
v<br />
�<br />
d��<br />
���v�v�f�f��ff� 3<br />
� �<br />
2<br />
1 2 1 2 1 2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�v � � � ��<br />
� –susidūrimo 1 , v2<br />
� v1,<br />
v2<br />
diferencialinis sklaidos skerspjūvis,<br />
apskaičiuotas masių centro sistemoje.<br />
�<br />
• Galutinai Boltzmano<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
� �t<br />
�<br />
� v<br />
� �<br />
f � f ,<br />
1<br />
�r, v1<br />
t�<br />
� �<br />
�r v t�<br />
f � f ,<br />
2<br />
�<br />
F<br />
m<br />
, 2<br />
kinetinė<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
v � v<br />
2<br />
1<br />
ir<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
v� 2 � v�<br />
1<br />
� �<br />
f � 1 � f r,<br />
v�<br />
1,<br />
t<br />
� �<br />
f � � f r v�,<br />
t<br />
2<br />
� �<br />
� �<br />
, 2<br />
lygtis išreikštu pavidalu užrašoma taip:<br />
���v�v�f�f��f� 3<br />
1�� r � ��<br />
v f 1 1 � d�<br />
d v2�<br />
1 2 2 1 2 f1<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�
Boltzmano<br />
H –<br />
teorema<br />
Boltzmano kinetinė lygtis (XIII)<br />
• Boltzmanas įrodė teoremą, kuri teigia, kad nepriklausomai nuo pradinių sąlygų<br />
kinetinės lygties sprendinys artėja prie pusiausvyrinio sprendinio, t. y. jo lygtis<br />
aprašo negrįžtamą sistemos relaksaciją įpusiausvyros būseną.<br />
• Tarsime, kad išorinių jėgų nėra, t.y. . Tuomet galima padaryti prielaidą,<br />
� � �<br />
kad tankio funkcija nepriklauso nuo erdvinių kintamųjų: f r,<br />
v,<br />
t � f v,<br />
Šiuo atveju Boltzmano kinetinėje lygtyje lieka tik susidūrimų narys:<br />
�<br />
�f<br />
�t<br />
�v t�<br />
1 ,<br />
�<br />
�v �<br />
3<br />
�dv2� • Norint, kad funkcija būtų<br />
F<br />
d��<br />
• Pažymėkime pusiausvyrinį pasiskirstymą<br />
Boltzmano lygties sprendinys:<br />
�<br />
0<br />
�<br />
���v�v�f�f��ff� 0<br />
3<br />
d v2<br />
d�<br />
� �<br />
� v2<br />
�v1<br />
�<br />
f0<br />
v�<br />
2<br />
�<br />
f0<br />
v�<br />
1 � f0<br />
�<br />
v2<br />
�<br />
f0<br />
v<br />
f<br />
�<br />
šios lygties sprendinys,<br />
0<br />
f<br />
0<br />
�<br />
�v� � f �v�� � f �v �f�v��0 2<br />
0<br />
�<br />
1<br />
0<br />
�<br />
2<br />
f<br />
0<br />
2<br />
�<br />
�v� 0<br />
�<br />
1<br />
�<br />
1<br />
2<br />
1<br />
. Tai yra stacionarus<br />
� � � � � � � � � � ��<br />
2<br />
1<br />
pakanka<br />
� � � t�<br />
1<br />
(�)<br />
� � � � (��<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�v, t�<br />
�f<br />
�t<br />
�<br />
)<br />
pareikalauti<br />
(���)<br />
�<br />
� 0�<br />
�
Boltzmano kinetinė lygtis (XIV)<br />
• Toliau įrodysime, kad ši sąlyga yra ne tik pakankama, bet ir būtina. Tokiu būdu<br />
�<br />
pusiausvyrinis sprendinys f0<br />
�v � nepriklauso nuo � ��� , t.y. nuo to, kokiu<br />
dėsniu aprašoma sąveika tarp dalelių.<br />
• Mūsų tikslas yra įrodyti, kad nestacionarios kinetinės lygties sprendinys artėja<br />
�<br />
prie sprendinio f �v�, tenkinančio sąlygą (���)<br />
. Tuo tikslu apibrėšime<br />
0<br />
funkcionalą<br />
Boltzmanas<br />
• Boltzmano<br />
• Įrodysime šį<br />
H<br />
pažymėjo jį<br />
3 �t � d v f �v, t�ln<br />
f �v, t��0<br />
� �<br />
raide H. Iš<br />
H-teorema formuluojama taip:<br />
f ,<br />
�<br />
�v t�<br />
Jeigu funkcija tenkina kinetinę<br />
dH<br />
dt<br />
�<br />
�<br />
čia ir kilo H-teoremos pavadinimas.<br />
dH<br />
dt<br />
�t� 0<br />
�<br />
�<br />
lygtį<br />
teiginį. Dėl to išdiferencijuojame apibrėžtą<br />
� f ,<br />
�t<br />
�<br />
�v t�<br />
(�),<br />
tai<br />
�t� 3 �f<br />
�v, t�<br />
�<br />
d v �1�ln f �v, t��<br />
� �<br />
ir įrašome vietoje dešinę kinetinės lygties (�) pusę:<br />
�t<br />
funkcionalą<br />
pagal laiką<br />
(����)
dH<br />
dt<br />
�� t<br />
3 3<br />
� � d v1�<br />
d v2�<br />
d��<br />
�<br />
Boltzmano kinetinė lygtis (XV)<br />
���v�v�f�f��ff��1�ln f �<br />
• Šis integralas nepasikeis, jeigu sukeisime vietomis ir , nes diferencialinis<br />
1 2<br />
sklaidos skerspjūvis yra invariantinis šiam pakeitimui:<br />
dH<br />
dt<br />
�� t<br />
�<br />
��� 3 3<br />
� � d v1�<br />
d v2�<br />
d��<br />
• Sudėsime dvi paskutines išraiškas ir rezultatą<br />
dH<br />
dt<br />
1<br />
�<br />
�<br />
2<br />
2<br />
1<br />
v �<br />
���v�v�f�f��ff��1�ln f �<br />
• Šis integralas nepasikeičia sukeičiant 2 ir 2 , nes kiekvieną<br />
tiesioginį susidūrimą atitinka atvirkštinis su tuo pačiu skerspjūviu<br />
dH<br />
dt<br />
�t� �t� 1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
3 3<br />
� � d v1�<br />
d v2�<br />
3 3<br />
� � d v�<br />
1�<br />
d v�<br />
2�<br />
�������, � � �<br />
d��<br />
�<br />
Kadangi<br />
1 2 1<br />
tai paskutinį integralą galimą užrašyti taip:<br />
�<br />
2<br />
�<br />
�<br />
v �<br />
1<br />
� �<br />
1 ,v<br />
2<br />
1<br />
2<br />
v �<br />
1<br />
� � �<br />
1<br />
2<br />
� � v �<br />
1 ,v<br />
���v��v��ff�f�f���2�ln�f�f��� 2<br />
�<br />
1<br />
padalinsime iš<br />
� � � � 3 3 3 3<br />
v � v � v�<br />
� v�<br />
d v d v � d v�d<br />
v�<br />
,<br />
2<br />
1<br />
2 , 1 2 1 2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
dviejų:<br />
� �<br />
d��<br />
(�����)<br />
���v�v�f�f��ff��2�ln�ff�� 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2
dH<br />
dt<br />
�t� • Sudedame šį<br />
dH<br />
dt<br />
�t �<br />
1<br />
2<br />
3 3<br />
� � d v1�<br />
d v2�<br />
1<br />
4<br />
integralą<br />
3 3<br />
� � d v1�<br />
d v2�<br />
d��<br />
�<br />
Boltzmano kinetinė lygtis (XVI)<br />
���v�v�ff�f�f���2�ln�f�f��� su (�����)<br />
ir padaliname iš<br />
d��<br />
1 3 3<br />
� � d v1�<br />
d v2�<br />
d��<br />
4<br />
�<br />
2<br />
�<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
dviejų:<br />
���v�v�f�f��ff ��ln�ff��ln�f�f��� 2<br />
�<br />
�<br />
1<br />
2<br />
1<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� � � �<br />
1 2 1 2<br />
� v � v f �f<br />
��1�<br />
�ln�<br />
• Čia funkcija po integralu yra neteigiama, nes bet kuriems<br />
galioja nelygybė:<br />
Iš<br />
jos išplaukia H –teoremos teiginys, būtent<br />
dH<br />
dt<br />
�t� 0<br />
�<br />
2<br />
�<br />
�s� � �1 � s�ln<br />
s � 0<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
f f �<br />
f � ��<br />
2 f1<br />
�<br />
� �<br />
0<br />
s<br />
�<br />
1<br />
�<br />
�<br />
�<br />
2<br />
2<br />
1<br />
f f �<br />
f � � 1 f2<br />
�<br />
f f<br />
f �f<br />
�<br />
1<br />
1 2 �<br />
1<br />
0<br />
�<br />
Funkcijos grafikas<br />
2<br />
1<br />
�s� 2<br />
s
Boltzmano kinetinė lygtis (XVII)<br />
• Iš išraiškos (����)<br />
matyti, kad dH dt � 0 tik tuomet, kai �f �t<br />
� 0 . Vadinasi<br />
nepriklausomai nuo pradinių sąlygų sistema evoliucionuoja taip, kad �f �t<br />
� 0 .<br />
Pusiausvyrinis sprendinys dH dt � 0 (o reiškia ir �f �t<br />
� 0)<br />
pasiekiamas tik<br />
tuomet, kai . Tai tiksliai atitinka sąlygą (���):<br />
s �1<br />
f<br />
0<br />
�<br />
�v� � f �v�� � f �v � f �v � � 0<br />
2<br />
0<br />
�<br />
1<br />
0<br />
�<br />
2<br />
0<br />
�<br />
1<br />
(���)<br />
• Vadinasi nepriklausomai nuo pradinių sąlygų sistema artėja prie pusiausvyrinio<br />
� �<br />
sprendinio f �v, t��f�v�<br />
, nusakomo lygtimi (���).<br />
Pastebėsime, kad ši lygtis<br />
0<br />
atitinka detaliosios pusiausvyros principą.<br />
• Šis rezultatas atrodo keistas, nes Boltzmano lygties išvedimas lyg tai remiasi<br />
grynai dinamikos dėsniais, kurie yra invariantiniai laiko apgręžimo atžvilgiu.<br />
Boltzmano lygtyje šis invariantiškumas prarastas. Ji aprašo negrįžtamą sistemos<br />
evoliuciją įpusiausvyrinę būseną.<br />
Kurioje vietoje padaryta „klaida“?
Boltzmano kinetinė lygtis (XVIII)<br />
• Negrįžtamumas atsirado dėl visai atrodo „nekaltos“ prielaidos, kurią padarėme<br />
apskaičiuodami susidūrimo narį Boltzmano lygtyje. Mes tarėme, kad mažame tūrio<br />
elemente d r dviejų molekulių greičiai yra nekoreliuoti. Tą prielaidą mes<br />
padarėme, kai skaičiavome molekulių porų skaičių, turinčių greičius ir greičio<br />
tūrio elementuose ir , nes išreiškėme jį sandaugos pavidalu:<br />
3<br />
v1 �<br />
v2 �<br />
d<br />
3<br />
v1<br />
d<br />
3<br />
v2<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
, v<br />
� � � � 3 3<br />
f r v , t d rd v f �r, v , t�<br />
1<br />
� � 3 3<br />
d rd<br />
• Pastaroji prielaida mokslinėje literatūroje vadinama molekulinio chaoso hipoteze.<br />
Jos originalus (Boltzmano) pavadinimas vokiečių kalba yra: Stoßzahlansatz.<br />
• Kaip reikėtų teisingai apskaičiuoti susidūrimų � narį � �?<br />
�Teisingam<br />
šio nario<br />
apskaičiavimui reikia panaudoti dvidalelę f �r, v1;<br />
r,<br />
v2,<br />
t�<br />
tankio funkciją, kuri<br />
bendruoju atveju nelygi viendalelių funkcijų sandaugai:<br />
� � � � � � � �<br />
f ,<br />
�rv; r,<br />
v , t��f�r,<br />
v , t�<br />
f �r, v t�<br />
, 1 2<br />
1<br />
2<br />
• Tuomet mes negautume uždaros sistemos, nes į Boltzmano lygtį įeitų dvi<br />
nežinomos funkcijos – viendalelė f �r, v,<br />
t�<br />
ir dvidalelė<br />
.<br />
Tuomet tektų rašyti lygtį dvidaleliai funkcijai, į kurią įeitų tridalelė ir t.t. Tokiu būdu<br />
gautume sistemą N lygčių, kurios būtų grįžtamos, nes jos būtų ekvivalenčios dalelių<br />
dinaminėms lygtims (Niutono dėsniams). Tad negrįžtamumas atsiranda dėl lygčių<br />
grandinėlis nutraukimo panaudojus molekulinio chaoso hipotezę.<br />
� �<br />
� � � �<br />
f �r, v1;<br />
r,<br />
v2,<br />
t�<br />
1<br />
2<br />
2
Pusiausvyrinis Boltzmano<br />
Boltzmano kinetinė lygtis (XIX)<br />
lygties sprendinys<br />
• Surasime pusiausvyrinį Boltzmano lygties sprendinį, kuris tenkina lygtį<br />
Dėl to išlogaritmuosime ją ir užrašysime tokiu pavidalu:<br />
� � � �<br />
ln v<br />
f0�v<br />
2�<br />
� ln f0�v<br />
1��ln<br />
f0�v�<br />
2��ln<br />
f0�<br />
� 1�<br />
� � v� �<br />
� �<br />
(���).<br />
• Kadangi ir yra bet kurio įmanomo susidūrimo, atitinkamai pradiniai<br />
1 2<br />
ir galiniai molekulių greičiai, tai šią lygtį galima aiškinti kaip tvermės dėsnį. Jeigu<br />
�<br />
k �v�yra dydis, charakterizuojantis molekulę ir turi tvermės savybę, t.y.<br />
nekinta susidūrimo metu, tai aukščiau užrašytos lygties sprendinys yra tų dydžių<br />
tiesinė kombinacija<br />
,v 1 2 ,v<br />
� �<br />
�k v1 � �k<br />
v2<br />
�<br />
�<br />
v �<br />
� �<br />
� �<br />
ln �<br />
�v � � c � �v ��c�v��� f0 1 1 2 2<br />
�<br />
� � � �<br />
• Kadangi susidūrimo metu �nekintantys<br />
(tvarieji) dydžiai yra energija, impulsas ir<br />
� 2<br />
dalelių skaičius, tai ln f0<br />
�v � yra v , trijų greičio vektoriaus v komponenčių ir<br />
laisvos konstantos tiesinė kombinacija:<br />
�<br />
ln<br />
� � �<br />
f ln<br />
0<br />
2<br />
�v���A�v�v � � C<br />
0<br />
f<br />
0<br />
� � �<br />
�<br />
� � � �2 � A v v0<br />
v � Ce<br />
Taigi gavome, kad sistemos pusiausvyrinė būsena yra Gauso skirstinys (fizikai �jį<br />
vadina Maksvelo-Boltzmano skirstiniu). Čia jis turi 5 laisvas konstantas: A,<br />
C,<br />
v0
Boltzmano kinetinė lygtis (XX)<br />
�<br />
v �<br />
• Aptarsime šių konstantų fizikinę prasmę. Pirmiausia konstanta yra vidutinis<br />
0<br />
greitis. Jis nusako visos dujų sistemos, kaip visumos, judėjimą � pastoviu greičiu. Čia<br />
nagrinėsime atvejį, kai vidutinis greitis lygus nuliui, .<br />
• Konstanta C nustatoma iš<br />
n � C�<br />
d<br />
3<br />
v e<br />
�<br />
� Av<br />
• Konstanta A surandama iš<br />
�<br />
2<br />
normavimo sąlygos:<br />
� � �<br />
� C�<br />
�<br />
� A �<br />
3 2<br />
sąlygos, kad vidutinė<br />
� 2<br />
mv<br />
� 2<br />
3<br />
� Av<br />
2�mC<br />
� d v e � dvv<br />
n � 2 n �<br />
1 2<br />
f<br />
0<br />
�v� 4<br />
e<br />
� Av<br />
�<br />
�<br />
v � 0<br />
0<br />
3 2<br />
�<br />
v<br />
� A �<br />
C � n�<br />
�<br />
� � �<br />
,<br />
N<br />
n �<br />
V<br />
3<br />
� �<br />
2<br />
kinetinė<br />
3<br />
4<br />
m<br />
A<br />
3 2<br />
� � m � � 2<br />
�mv<br />
2k<br />
BT<br />
�<br />
�<br />
e<br />
k B<br />
T<br />
energija :<br />
Galutinai pusiausvyrinis Boltzmano lygties sprendinys (Maksvelo-Boltzmano<br />
skirstinys) yra:<br />
� n�<br />
� 2�kT<br />
A<br />
�<br />
3<br />
4<br />
m<br />
�<br />
�<br />
m<br />
2k<br />
T<br />
B<br />
(negrįžtamumo<br />
animacija)
Termodinamikos dėsniai<br />
Boltzmano kinetinė lygtis (XXI)<br />
• Pasinaudojus gautu pusiausvyriniu skirstiniu nesunku išvesti išretintų dujų<br />
termodinamikos dėsnius. Pirmiausia gausime idealių dujų būsenos dėsnį. Dėl to reikia<br />
apskaičiuoti slėgį. Pasirinksime vienetinio ploto paviršių ir apskaičiuosime jėgą, kuria<br />
molekulės veikia tą paviršių.<br />
vz<br />
vx Vienetinio<br />
ploto diskas<br />
vx<br />
v �<br />
• Tuomet dujų<br />
P<br />
�<br />
�<br />
d<br />
3<br />
v<br />
slėgis:<br />
�<br />
�<br />
2<br />
2<br />
2 � Av<br />
� Av<br />
x<br />
y<br />
�2mvx �vxf0�v��2mC� dvxv<br />
xe<br />
� dv ye<br />
�<br />
x<br />
• Atsispindėjusi nuo disko molekulė<br />
perduoda jam impulsą 2mvx<br />
.<br />
Atsispindėjusių nuo disko molekulių<br />
skaičius per vieną sekundę proporcingas<br />
pavaizduoto cilindro tūriui:<br />
�<br />
v x<br />
�<br />
f<br />
0<br />
�<br />
3 �v�d v<br />
vx<br />
�0<br />
0<br />
��<br />
��<br />
�<br />
�<br />
2<br />
2<br />
� Av<br />
1 2<br />
� Av<br />
2 mv<br />
2<br />
3 2<br />
3 � �<br />
�<br />
2<br />
3<br />
� Av<br />
2<br />
� mC� d vvxe<br />
� mC�<br />
d vv<br />
e � C�<br />
d v e � n � � nk BT<br />
3<br />
3 2 3<br />
N<br />
P � nkBT<br />
� kBT<br />
V<br />
–<br />
idealių<br />
dv<br />
z<br />
e<br />
� Av<br />
2<br />
z<br />
dujų būsenos dėsnis
• Pirmasis termodinamikos dėsnis<br />
teigia, kad suteikta dujoms šiluma<br />
atlieka mechaninį darbą ir pereina į<br />
vidinę energiją:<br />
Vidinė<br />
dQ � dU �<br />
šiluminė<br />
PdV<br />
energija:<br />
3<br />
U � N � � NkBT<br />
2<br />
Iš čia galime apskaičiuoti dujų šiluminę<br />
talpą esant pastoviam tūriui:<br />
C<br />
V<br />
� dQ�<br />
� � �<br />
� dT �<br />
V<br />
�<br />
dU<br />
dT<br />
�<br />
3<br />
2<br />
Nk<br />
• Antrasis termodinamikos dėsnis taps<br />
ekvivalentus Boltzmano H-teoremai, jeigu<br />
H funkciją sutapatinsime su entropijos<br />
tankiu padalintu iš kB :<br />
H � �<br />
B<br />
S<br />
Vk<br />
B<br />
Boltzmano kinetinė lygtis (XXII)<br />
Tuomet H-teorema teigia, kad esant fiksuotam<br />
tūriui V (dujos izoliuotos) entropija<br />
nemažėja – antras termodinamikos dėsnis.<br />
Įrodysime sąryšį tarp S ir H<br />
apskaičiavę pusiausvyrinę H vertę<br />
H<br />
0<br />
�<br />
3<br />
� d vf0<br />
ln f0<br />
�<br />
� � � m �<br />
� n�ln�n�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
��<br />
��<br />
� 2�k<br />
BT<br />
�<br />
Kadangi entropijos apibrėžimas yra<br />
dS=dQ/T mums reikia įrodyti, kad<br />
pusiausvyroje galioja sąryšis<br />
Kadangi<br />
tai turi galioti lygybė<br />
3 2<br />
dQ � TdS � �kBTVdH0<br />
3<br />
dQ � dU � NkBdT<br />
2<br />
dH0<br />
3 n<br />
� �<br />
dT 2 T<br />
Tiesiogiai diferencijuojant funkciją<br />
įsitikinti, kad ši lygybė yra teisinga.<br />
H 0<br />
� 3�<br />
�<br />
� � �<br />
� 2<br />
� ��<br />
galima
Panagrinėkime pusiausvyrinį<br />
lygties sprendinį<br />
Boltzmano<br />
Boltzmano kinetinė lygtis (XXIII)<br />
Pusiausvyrinis sprendinys esant išoriniam laukui<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
F<br />
v�� r � ��<br />
v f � � �<br />
m �<br />
� �t<br />
�susid<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
F � ��r<br />
�<br />
��<br />
�r �<br />
� �f<br />
kai dujas veikia išorinis konservatyvus<br />
laukas, apibrėžiamas potencialu � � �<br />
Nesunku patikrinti, kad kinetinės lygties<br />
sprendinys yra<br />
�<br />
� �r� �2<br />
mv<br />
f<br />
�<br />
�<br />
�r, v��f�v�<br />
0<br />
�<br />
e<br />
�<br />
�<br />
, �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
kBT<br />
2kBT<br />
f0�v��Ce<br />
Nesunku tiesiogiai patikrinti, kad<br />
įrašius šią išraišką įkinetinę lygtį,<br />
kairioji jos pusė virsta nuliu.<br />
,<br />
r �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
Dešinioji pusė irgi virsta nuliu, nes<br />
nepriklauso nuo greičio :<br />
�<br />
2�<br />
f �<br />
k T<br />
� �<br />
�<br />
�t<br />
�<br />
susid<br />
� e<br />
�r �<br />
B<br />
3<br />
�dv2� v �<br />
d��<br />
� � � �<br />
� v<br />
�r �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
���v�v� � f �v� � f �v��� f �v � f � ��<br />
� 0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
1<br />
��<br />
�r � kBT<br />
Eksponentinį daugiklį e galima<br />
įtraukti į tankio n apibrėžimą ir galutinai<br />
pusiausvyrinį Boltzmano lygties su išoriniu<br />
lauku sprendinį galima užrašyti taip:<br />
f<br />
3 2<br />
� � � � � �<br />
� 2<br />
mv<br />
2k<br />
BT<br />
�r, v ��n�r��� e<br />
n<br />
� �<br />
0<br />
m<br />
�<br />
� 2�k<br />
BT<br />
�<br />
2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� �r � kBT<br />
3<br />
�r��ne �<br />
d vf �r v�<br />
�<br />
0<br />
1<br />
2<br />
� �<br />
,<br />
�<br />
1
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (I)<br />
• Mes jau pateikėm elementarią pernašos reiškinių teoriją. Tikslesnė pernašos<br />
reiškinių teorija grindžiama Boltzmano kinetine lygtimi. Tiriant nepusiausvyrinius<br />
reiškinius mums reikia žinoti laikiškąją tankio funkcijos evoliuciją. Dėl to būtina<br />
išspręsti nestacionarią Boltzmano kinetinę lygtį.<br />
• Bendruoju atveju nestacionarią kinetinę lygtį išspręsti nepavyksta. Tačiau<br />
kinetinės lygties sprendiniai turi tenkinti tam tikrus sąryšius, kurie išplaukia iš<br />
energijos, impulso ir masės tvermės dėsnių. Bendruoju atveju tie sąryšiai nesudaro<br />
uždaros lygčių sistemos. Tačiau jeigu galioja vietinės pusiausvyros principas, tai ta<br />
lygčių sistema užsidaro ir virsta hidrodinaminėmis lygtimis. Vietinės pusiausvyros<br />
principas teigia, kad kiekviename erdvės taške dalelių greičiai pasiskirsto<br />
pagal Maksvelo-Boltzmano skirstinį, kurio parametrai (vidutinis greitis,<br />
temperatūra ir koncentracija) yra skirtingi skirtinguose erdvės taškuose.<br />
• Hidrodinaminės lygtys išvedamos iš kinetinės lygties gana sudėtingu Čapmano ir<br />
Enskogo (Chapman and Enskog) metodu. Mes pateiksime supaprastintą to metodo<br />
versiją, kurioje susidūrimo nariui taikoma relaksacijos laiko aproksimacija.<br />
Panaudodami šia aproksimaciją, mes ne tik išvesime hidrodinamines lygtis, bet taip<br />
pat gausime pernašos koeficientų išraiškas.
Tvermės dėsniai<br />
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (II)<br />
• Mes parodysime, kad Boltzmano lygties sprendiniai turi tenkinti tam tikrus sąryšius,<br />
kurie išplaukia iš to, kad molekulių susidūrimo metu tam tikriems dinaminiams<br />
kintamiesiems galioja tvermės dėsniai. Toliau remiantis šiais tvermės dėsniais<br />
užrašysime hidrodinamines lygtis makroskopinėms dujų savybėms aprašyti.<br />
• Tegul yra dydis, charakterizuojantis molekulę su koordinate ir greičiu ,<br />
kuris susidūrimo metu �v1 , v2<br />
� � �v� 1,<br />
v�<br />
2 � , vykstančiu taške , nekinta, t.y.<br />
� � � �<br />
�r v�<br />
� � � ,<br />
r �<br />
v �<br />
r �<br />
� � � � ��<br />
� ��<br />
• Įrodysime, kad sudauginus dydį<br />
greičius gausime nulį:<br />
1<br />
2<br />
�r, v�<br />
• Ši lygybė įrodoma panaudojus susidūrimo skerspjūvio simetrijos savybes,<br />
panašiai, kaip buvo įrodyta H-teoremą. Būtent, mes panaudosime tokius tris kintamųjų<br />
pakeitimus<br />
� �<br />
( a)<br />
v1<br />
� v2;<br />
( b) �v1, v2<br />
� � �v� 1,<br />
v�<br />
2 �;<br />
� � � �<br />
ir keturiais skirtingais būdais užrašysime pastarąjį<br />
�<br />
d<br />
3<br />
�<br />
�<br />
v�<br />
1<br />
2<br />
su susidūrimo nariu ir suintegravus pagal<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�f<br />
�<br />
�r, v,<br />
t�<br />
�t<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
susid<br />
�<br />
integralą:<br />
� 0<br />
��� ( c) v�<br />
� � � �<br />
�v , v � � �v� , �<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
d<br />
d<br />
d<br />
d<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
�<br />
v�<br />
�<br />
v�<br />
�<br />
v�<br />
�<br />
v�<br />
�<br />
� �f<br />
�<br />
� �t<br />
�<br />
�<br />
�<br />
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (III)<br />
3 3<br />
�r, v � � d v d v d��<br />
���v�v� �f�f��ff� �<br />
� �f<br />
�<br />
� �t<br />
�<br />
�<br />
�<br />
susid<br />
�<br />
1<br />
�<br />
2<br />
�<br />
3 3<br />
�r, v�<br />
� d v d v d��<br />
���v�v� �f�f��ff� �<br />
� �f<br />
�<br />
� �t<br />
�<br />
�<br />
�<br />
susid<br />
�<br />
1<br />
�<br />
• Sudėję šias keturias lygybes ir rezultatą padalinę iš 4, gauname lygybę, kurią<br />
siekėme įrodyti:<br />
� � � �f<br />
� 1<br />
� �<br />
v�<br />
� �<br />
� � � 1�<br />
2�<br />
1 v<br />
t � 4<br />
2<br />
�<br />
3 3<br />
�r, v�<br />
� d v d v d��<br />
���v�v���ff�f�f�� �<br />
� �f<br />
�<br />
� �t<br />
�<br />
�<br />
�<br />
susid<br />
�<br />
1<br />
�<br />
2<br />
�<br />
3 3<br />
�r, v�<br />
� d v d v d��<br />
���v�v���ff�f�f�� susid<br />
�<br />
1<br />
�<br />
2<br />
�<br />
3 3<br />
�r, v � � d v d v d��<br />
���v� ������������ 3<br />
� d<br />
2 1 2 1 2<br />
susid<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
�<br />
2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
� f �f<br />
��<br />
f � � 0<br />
� f<br />
2<br />
1<br />
–originalus<br />
–<br />
–<br />
pakeit. (a)<br />
pakeit. (b)<br />
– pakeit. (c)<br />
2<br />
1
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (IV)<br />
• Dabar išvesime tvermės dėsnius. Dėl to padauginame Boltzmano kinetinę lygtį iš<br />
ir integruojame pagal :<br />
r � � � ,<br />
�<br />
� v�<br />
3 � �<br />
d v�<br />
,<br />
�r v�<br />
v �<br />
� � �<br />
�<br />
�<br />
�v�<br />
� �t<br />
�<br />
r<br />
�<br />
F<br />
� �<br />
m<br />
�<br />
v<br />
�<br />
�<br />
�<br />
f<br />
�<br />
� �f<br />
�<br />
� � �<br />
� �t<br />
�<br />
• Kadangi susidūrimo narys virsta nuliu, tai gauname:<br />
• Pastarąją<br />
�<br />
�t<br />
d<br />
3<br />
išraišką<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
� �t<br />
�<br />
F<br />
m<br />
susid<br />
�r, v���v�<br />
� � ��<br />
� f � 0<br />
3<br />
d v�<br />
r v<br />
galima užrašyti taip:<br />
� �<br />
v�<br />
f �r, v����<br />
3 � � �<br />
d v�<br />
vf<br />
�r, v��<br />
3 �<br />
d v f v��<br />
r � �<br />
1 �<br />
3<br />
� � d v��<br />
v �Ff<br />
m<br />
1 �<br />
3 1 3<br />
� � d vf F��<br />
� �<br />
v�<br />
d v�f<br />
m<br />
m<br />
� � �<br />
r<br />
� �<br />
� 0 f �r, v,<br />
t��0<br />
, nes kai<br />
v �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� � ��F<br />
� 0<br />
� �<br />
� 0,<br />
jeigu F nepriklauso nuo<br />
�<br />
v<br />
�<br />
v �
• Toliau laužtiniais skliaustais žymėsime dydžių<br />
A<br />
�<br />
3<br />
d vAf 1<br />
� � �<br />
3<br />
d vAf<br />
3<br />
d vf n<br />
�<br />
nA � n<br />
A<br />
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (V)<br />
čia<br />
vidurkius pagal<br />
� � �<br />
n ,<br />
� � �<br />
3<br />
r,<br />
t � d vf �r, v t�<br />
Pastebėkime, kad , nes n nepriklauso nuo .<br />
• Tuomet tvermės lygtį<br />
�<br />
�t<br />
�<br />
n�<br />
�<br />
�x<br />
j<br />
bendruoju atveju galima užrašyti taip:<br />
nv � � n<br />
j<br />
�<br />
v<br />
j<br />
��<br />
�x<br />
j<br />
• Gautoje tvermės lygtyje yra bet koks tvarus dydis, t.y. dinaminis kintamasis,<br />
kuris nekinta molekulių susidūrimo metu. Toliau visiems tvariems dydžiams išreikštu<br />
pavidalu užrašysime tvermės lygtis.<br />
�<br />
n<br />
m<br />
F<br />
j<br />
��<br />
�v<br />
j<br />
v �<br />
� 0<br />
Čia pasikartojantys indeksai reiškia sumavimą<br />
nv � (sumavimas pagal nutylėjimą), pavyzdžiui: j�<br />
�<br />
�x<br />
� �<br />
�<br />
j<br />
–<br />
v �<br />
j<br />
3<br />
1<br />
:<br />
bendroji tvermės<br />
lygtis<br />
�<br />
x<br />
j<br />
nv<br />
j<br />
�
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (VI)<br />
• Molekulių susidūrimo metu išsilaiko masė, impulsas ir energija. Taigi<br />
bendroje tvermės lygtyje vietoje � nuosekliai įrašysime:<br />
� �<br />
m<br />
� � i<br />
� �<br />
• Pradėsime nuo<br />
mv i<br />
1<br />
2<br />
� �<br />
m v � u<br />
� �1,<br />
2,<br />
3�<br />
�<br />
� � 2<br />
r,<br />
t<br />
�<br />
u<br />
�<br />
masės tvermės<br />
• Apibrėžus masės tankį<br />
užrašyti taip:<br />
�<br />
�r, t�<br />
� v<br />
–<br />
(masė<br />
(impulsas)<br />
(šiluminė<br />
arba dalelių<br />
energija)<br />
skaičius)<br />
lokalinis (vietinis) vidutinis greitis<br />
� �<br />
lygties, t.y. bendroje tvermės lygtyje įrašysime :<br />
� �<br />
mn �<br />
�t<br />
�x<br />
j<br />
� �<br />
� r , t � mn r,<br />
t<br />
� � � �<br />
�<br />
�t<br />
� ��<br />
�<br />
mnv<br />
��u��0 j<br />
� 0<br />
, masės tvermės dėsnį<br />
galima<br />
�<br />
� �<br />
(čia ir toliau )<br />
r �<br />
m
• Impulso tvermės lygtį<br />
• Greičių<br />
i<br />
j<br />
�<br />
�t<br />
sandaugos vidurkį<br />
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (VII)<br />
gausime, įrašę įbendrąją<br />
�v<br />
i<br />
�<br />
�<br />
�x<br />
j<br />
�v<br />
v<br />
galima užrašyti taip:<br />
tvermės lygtį<br />
1<br />
� �Fi<br />
� 0<br />
m<br />
� �<br />
mvi<br />
�vi�ui��vj�uj��viuj�uivj � uiu<br />
j � �vi � ui<br />
��v j � u j � uiu<br />
j<br />
v v �<br />
�<br />
• Įrašę<br />
�<br />
�<br />
�u<br />
�<br />
�<br />
� �t<br />
arba<br />
tai į<br />
�<br />
viršutinę<br />
�u<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�ui<br />
�ui<br />
� u j<br />
���t��<br />
���x�j<br />
��<br />
ij<br />
lygtį, gauname<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
� �<br />
u �<br />
1 1 �<br />
� j ui<br />
� Fi<br />
�<br />
� t x �<br />
� � � j � m � �x<br />
�v � u ��v u �<br />
P �<br />
i<br />
�0<br />
i<br />
�<br />
j<br />
j<br />
i<br />
� � –slėgio tenzorius<br />
j<br />
� ���F � ��v�u��v��<br />
i i u j<br />
i<br />
i i j u j<br />
�x<br />
�<br />
j<br />
m �x<br />
j<br />
1<br />
(dėl masės tvermės dėsnio)<br />
j<br />
P<br />
�<br />
ij<br />
:
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (VIII)<br />
• Energijos tvermės lygtį gausime, įrašę įbendrąją tvermės lygtį � � 2<br />
m � � �<br />
� � v � u r,<br />
t<br />
2<br />
�<br />
�<br />
1 �<br />
2 1 �<br />
2 1 � 2<br />
� v �u<br />
� �v<br />
j v �u<br />
� � v j v �u<br />
2 �t<br />
2 �x<br />
j<br />
2 �x<br />
j<br />
• Apibrėšime tokius dydžius:<br />
T<br />
k B<br />
m<br />
� � m � �<br />
, � v �u<br />
3<br />
�rt� �r, t�<br />
�� –<br />
2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� 0<br />
lokalinė (vietinė) temperatūra (tolygus šiluminės<br />
energijos pagal laisvės laipsnius pasiskirstymas)<br />
� � m � � � � 2<br />
q�r,<br />
t��<br />
� �v�u�v�u 2<br />
– lokalinis (vietinis) šilumos srautas<br />
Tada:<br />
m �<br />
2 �t<br />
� � 2<br />
� v �u<br />
m � � � � � 2 3 �<br />
� � v �u<br />
� ���� 2 �t<br />
2 �t<br />
1 � � 2<br />
m� v j v �u<br />
2<br />
1<br />
� m�<br />
v j �u<br />
j<br />
2<br />
� � 2<br />
v �u<br />
1<br />
� m�u<br />
j<br />
2<br />
� � 2<br />
v �u<br />
3<br />
� q j � ��<br />
u<br />
2<br />
1<br />
� v j<br />
2<br />
�<br />
�x<br />
�<br />
� 2<br />
v �u<br />
1<br />
� � v j<br />
2<br />
�<br />
�x<br />
�<br />
2 �vi�ui� � � v j �vi�ui� �ui<br />
�x<br />
j<br />
� � j<br />
j i<br />
j �vi�ui� � � �v j �u<br />
j ��vi �ui<br />
� � � u j �vi �ui<br />
� Pij<br />
� v �<br />
j
• Tuomet energijos tvermės lygtį<br />
�<br />
�t<br />
P �<br />
3<br />
2<br />
�<br />
�t<br />
�q<br />
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (IX)<br />
galima užrašyti taip:<br />
3 �<br />
2 �x<br />
�u<br />
�x<br />
j � � � � i<br />
�� � � �� u � mP � 0<br />
�x<br />
Kadangi tai paskutinį<br />
ij<br />
�u<br />
�<br />
�x<br />
P<br />
ji<br />
m �<br />
�<br />
�u<br />
�<br />
Galutinai energijos tvermės lygtis įgauna tokį<br />
� �<br />
��<br />
� �ui<br />
� �t<br />
j<br />
� ��<br />
�<br />
� �t<br />
� �� ��� u �����u � ��<br />
� � �u��� �<br />
narį<br />
�u<br />
�<br />
�x<br />
i<br />
j<br />
galima simetrizuoti:<br />
i<br />
i j<br />
mPij � Pij<br />
� � Pij�ij<br />
�x<br />
j 2 � �x<br />
j �x<br />
�<br />
i<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
�x<br />
�<br />
j �<br />
2<br />
3<br />
j<br />
pavidalą:<br />
�q<br />
�x<br />
i<br />
i<br />
� �<br />
ij<br />
� ��<br />
�<br />
� �t<br />
��<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
���� ��j<br />
��<br />
��<br />
� 0 (dėl masės tvermės)<br />
�<br />
2<br />
3<br />
ij<br />
�<br />
�<br />
ij<br />
j<br />
�<br />
�x<br />
P<br />
m<br />
2<br />
ij<br />
�<br />
�<br />
�u<br />
�<br />
� �x<br />
i<br />
j<br />
�<br />
�u<br />
�<br />
�x<br />
i<br />
j<br />
� �<br />
�<br />
�
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (X)<br />
• Reziumuodami gautus rezultatus užrašysime visus tris tvermės dėsnius vienoje vietoje.<br />
Tvermės lygtys:<br />
��<br />
�<br />
����u��0<br />
�t<br />
� � � ��<br />
� �<br />
��<br />
�u��u<br />
� F ��Pˆ<br />
� �t<br />
� m<br />
� � � � 2 � 2<br />
��<br />
�u���<br />
� � �q<br />
� Pˆ<br />
�ˆ<br />
� �t<br />
� 3 3<br />
�<br />
�<br />
u ,<br />
�<br />
r, t<br />
�<br />
�<br />
�r, t�<br />
�rt� �<br />
� �<br />
–masės tankis<br />
–<br />
vidutinis greitis<br />
(masės)<br />
(impulso)<br />
(energijos)<br />
�<br />
q<br />
�<br />
�<br />
Pij<br />
– temperatūra<br />
–slėgio tenzorius<br />
– šilumos srautas<br />
� � Pˆ � �Pij� – tenzorius<br />
�rt� q ,<br />
3<br />
�r , t�<br />
� m d vf �r , v,<br />
t�<br />
ij<br />
�<br />
Žymėjimai:<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
u�r<br />
, t�<br />
�<br />
�<br />
v<br />
�<br />
r,<br />
t<br />
m<br />
�<br />
3<br />
� �<br />
v �u<br />
� �<br />
�<br />
,<br />
m<br />
2<br />
� � � �<br />
v �u<br />
m � �<br />
�<br />
�u<br />
�u<br />
i j<br />
� � � �<br />
ij<br />
2 � �<br />
� �x<br />
j �xi<br />
�<br />
�rt����v�u� �<br />
�v � u ��v u �<br />
P � � �<br />
��P x �<br />
�P � � ˆ<br />
ij<br />
j<br />
i<br />
P� � � ˆ ˆ<br />
–<br />
i<br />
Pij<br />
j<br />
ij<br />
vektorius<br />
2<br />
j<br />
2<br />
– skaliaras
Vietinė<br />
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XI)<br />
pusiausvyra ir hidrodinaminės lygtys<br />
• Užrašytos tvermės lygtys yra tiek pat tikslios kiek tiksli Boltzmano kinetinė lygtis.<br />
Tačiau jos nesudaro uždaros lygčių sistemos. Tai lygtys trim kintamiesiems (dviem<br />
skaliariniams �r, t�,<br />
ir vienam vektoriniam ), kurie nekinta molekulių<br />
susidūrimo metu. Tačiau į šias lygtis įeina slėgio tenzorius ir šilumos srautas .<br />
Šie dydžiai neišsireiškia per , ir , todėl lygčių sistema yra neuždara.<br />
�<br />
� u �r, t�<br />
� �<br />
�r, t�<br />
�<br />
�<br />
P q �r, t�<br />
ij<br />
� �<br />
� � u �<br />
• Nors bendruoju atveju tvermės lygčių sistema nėra uždara, esant tam tikrom<br />
fizikinėm sąlygoms ją pavyksta uždaryti. Tai pavyksta padaryti, jeigu yra žinomas<br />
dalelių pasiskirstymas pagal greičius. Tuomet tvermės lygtys virsta<br />
hidrodinaminėmis lygtimis. Aptarsime šį atvejį detaliau.<br />
• Tarkime, kad Boltzmano<br />
kinetinėje lygtyje<br />
� � �<br />
�<br />
�<br />
� v�<br />
� �t<br />
�<br />
r<br />
�<br />
F<br />
� �<br />
m<br />
�<br />
v<br />
�<br />
�<br />
�<br />
f<br />
�<br />
� �f<br />
�<br />
� � �<br />
� �t<br />
�<br />
kairiosios pusės nariai yra žymiai mažesni už dešinį narį, t.y. susidūrimo narys yra<br />
dominuojantis. Tokia situacija turėtų realizuotis tada, kai išorinė jėga nėra didelė ir<br />
kai funkcija f lėtai kinta laike ir erdvėje. Detalesnis šio artėjimo kriterijus bus<br />
aptartas vėliau. Tuomet nuliniame artinyje kairiosios pusės narius galime tiesiog<br />
prilyginti nuliui. Aptarsime detaliau šio nulinio artinio sprendinius.<br />
susid
Nulinis artinys<br />
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XII)<br />
• Nuliniame artėjime kietinėje lygtyje yra tik susidūrimo narys<br />
f � f ��<br />
f f<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
� 0<br />
� �f<br />
�<br />
�<br />
� �t<br />
f<br />
�0� �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
susid<br />
• Šią lygtį mes jau sprendėme ir nustatėme, kad jos sprendinys yra pusiausvyrinis<br />
Maksvelo-Boltzmano skirstinys<br />
n �<br />
u �<br />
�<br />
� 0<br />
� m �<br />
� 2��<br />
�<br />
3<br />
�0� 2<br />
�r, v,<br />
t��n�<br />
� exp<br />
�<br />
� �v�u� ��<br />
kuriame , ir yra laisvi parametrai. Bendruoju atveju jie gali priklausyti nuo<br />
koordinatės r ir laiko , nes susidūrimo narys nepriklauso nuo šių kintamųjų (jis<br />
priklauso tik nuo greičio). Kadangi kinetinės lygties kairiosios pusės nariai turi būti<br />
maži mes tariame, kad nulinio sprendinio parametrai yra lėtos laiko ir koordinatės<br />
funkcijos:<br />
�<br />
t<br />
n ,<br />
�<br />
� n�r<br />
t�<br />
� � � �r, t�<br />
�<br />
2<br />
�<br />
�<br />
u u ,<br />
� � � �<br />
�r t�<br />
m<br />
2�<br />
�<br />
�<br />
�
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XIII)<br />
• Taigi matome, kad esant aukščiau išvardintoms prielaidoms kiekviename erdvės<br />
taške nusistovi vietinė (lokali) pusiausvyra aprašoma Maksvelo-Boltzmano skirstiniu,<br />
kurio parametrai (koncentracija, temperatūra ir vidutinis greitis) lėtai kinta laike ir<br />
erdvėje. Šie parametrai nekinta molekulių susidūrimo metu ir jiems galioja anksčiau<br />
užrašyti tvermės dėsniai. Priminsiu, kad tvermės dėsniai gauti iš tikslios (nedarant<br />
jokių prielaidų) kinetinės lygties ir yra tiek pat tikslūs kiek tiksli yra kinetinė lygtis.<br />
�<br />
�<br />
• Žinodami lokalinę skirstinio formą mes galime apskaičiuoti slėgio tenzorių<br />
ir šilumos srautą q �r, t�<br />
. Tiksliau sakant mes galime išreikšti juos per pusiausvyrinio<br />
skirstinio parametrus , ir ir tuo pačiu uždaryti tvermės lygčių sistemą.<br />
n �<br />
Nesunku įsitikinti, kad šilumos srautas šiame artinyje lygus nuliui:<br />
u �<br />
• Pažymėkime (tuos pačius C ir A žymėjimus mes jau naudojome anksčiau):<br />
� m �<br />
C�r, t��n�<br />
�<br />
� 2��<br />
�<br />
�<br />
� � � � � 2<br />
v �<br />
��0� � 1 m�<br />
� � �<br />
3 � � � � 2 �<br />
q r,<br />
t � d v�v�u�v�uC�r,<br />
t�exp<br />
� A�r,<br />
t�<br />
u<br />
2 n<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2 � � �<br />
3 � , � exp�<br />
� � �<br />
� m C r t<br />
� � , � �<br />
�<br />
�d UU<br />
U A r t U � 0<br />
2<br />
� �<br />
3<br />
2<br />
�<br />
A �<br />
�r, t�<br />
m<br />
2�<br />
P ij<br />
� � �<br />
U �<br />
v � u<br />
�<br />
�r, t�<br />
(nulis gaunamas<br />
dėl to, kad funkcija<br />
po integralu yra<br />
nelyginė)
• Panašiai apskaičiuojame slėgio tenzorių:<br />
Čia:<br />
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XIV)<br />
� � � � � 2<br />
v �<br />
� � �<br />
, u<br />
n<br />
�<br />
2<br />
� mC�rt� d UUiU<br />
j �<br />
� A�rt�U�<br />
�<br />
�<br />
3<br />
� �<br />
, exp � , � �ijP<br />
� �<br />
�0�� � � �� 3<br />
r t � C r,<br />
t d v�v�u��v�u�<br />
i i j exp � A�r,<br />
t�<br />
Pij j<br />
�<br />
P � mC � 3<br />
�<br />
1 2<br />
1<br />
�<br />
m<br />
2<br />
2<br />
3 �r, t�<br />
d U U exp�<br />
� A�r,<br />
t�U��<br />
mU<br />
� n � ��<br />
�<br />
�<br />
�<br />
yra hidrostatinis slėgis (idealių dujų būsenos lygtis). Pastebėsime, kad pastarąjį<br />
integralą mes jau skaičiavome, kai nagrinėjome pusiausvyrinį Boltzmano lygties<br />
sprendinį.<br />
• Įrašydami šias išraiškas į<br />
��<br />
ˆ �<br />
�<br />
�� �x<br />
j<br />
��<br />
�<br />
�<br />
�<br />
n<br />
3<br />
tvermės lygtis ir pastebėdami, kad<br />
�0� � � �0� �P � � ijP<br />
� � �P,<br />
P � � P��ii<br />
� P �<br />
��<br />
i�1<br />
gauname nulinio artinio hidrodinamines lygtis:<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
3<br />
m<br />
2<br />
3<br />
� �u<br />
�<br />
�<br />
� �x<br />
i�1 i i<br />
i<br />
�u<br />
� i �<br />
� � mP�u<br />
x �<br />
�<br />
� �
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XV)<br />
Nulinio artinio hidrodinaminės lygtys<br />
��<br />
�<br />
����u��0<br />
�t<br />
�<br />
� � � ��<br />
1 F<br />
� �u��u<br />
� �P<br />
�<br />
� �t<br />
� � m<br />
� � � � 2 �<br />
� �u���<br />
� u<br />
� �t<br />
� 3<br />
�����0 (tolydumo lygtis)<br />
(Oilerio lygtis)<br />
(energijos tvermės lygtis)<br />
idealių dujų<br />
būsenos lygtis:<br />
� �<br />
�P<br />
� �� �<br />
� m �<br />
1<br />
• Tai yra uždara lygčių sistema. Šių lygčių kintamieji yra dydžiai suvidurkinti pagal<br />
molekulių greičius v. Šios lygtys neblogai aprašo makroskopinį dujų judėjimą.<br />
Tačiau pagrindinis šių lygčių trukumas yra tas, kad jos neįskaito klampos. Šiame<br />
artinyje lokalus Maksvelo-Boltzmano skirstinys einant laikui nevirsta tikru Maksvelo-<br />
Boltzmano skirstiniu. Vis dėl to šios lygtys neblogai aprašo realius eksperimentus,<br />
nes yra žinoma, kad neveikiami išorinių jėgų hidrodinaminiai srautai gęsta gana lėtai.<br />
• Nors šios lygtys gautos su prielaida, kad dujos yra išretintos, jos taip pat tinka<br />
skysčio judėjimui aprašyti. Taip yra todėl, kad šias lygtis galima išvesti kitaip,<br />
remiantis žymiai bendresniais euristiniais samprotavimais.
�<br />
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XVI)<br />
• Panagrinėsime nulinio artinio hidrodinamines lygtis. Parodysime, kad tiesinime<br />
artinyje iš jų galima gauti bangos lygtį ir nustatyti akustinių bangų sklidimo greitį.<br />
Jeigu dujas neveikia išorinės jėgos, F � 0,<br />
tai stacionarų hidrodinaminių lygčių<br />
sprendinį galima užrašyti taip:<br />
�<br />
�<br />
� � const , u 0<br />
�<br />
0<br />
�r t�<br />
0 �<br />
�<br />
� � const ,<br />
0<br />
�r t�<br />
• Panagrinėsime mažus nuokrypius nuo stacionaraus sprendinio. Dėl to įrašome į<br />
hidrodinamines lygtis<br />
� � �0<br />
���<br />
� � � �<br />
u � u0<br />
��<br />
u ��<br />
u � ��0 ���<br />
� �<br />
nuokrypių �� , � u � u,<br />
��:<br />
� �<br />
�� � �0�u<br />
� 0<br />
�t<br />
� 1 �<br />
�u<br />
� � ��<br />
�0 �t<br />
� � 1<br />
u � ��0��� � �0�����0<br />
�t<br />
m�<br />
2<br />
1 � 1 2<br />
2<br />
� ���<br />
�<br />
2<br />
0�<br />
���<br />
�0�<br />
��<br />
� �t<br />
m�<br />
ir linearizuojame jas atžvilgiu mažų<br />
� 2 �<br />
�� � �0�u<br />
� 0<br />
�t<br />
3<br />
0<br />
�<br />
�t<br />
�<br />
�<br />
���<br />
�<br />
�<br />
0<br />
2 �<br />
3 �<br />
0 �� �<br />
0<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
0<br />
0<br />
� ��0 2 �0<br />
�� � ��<br />
3 �<br />
0
• Galutinai tankio nuokrypiui gauname bangos lygtį<br />
�<br />
�t<br />
2<br />
2<br />
5 �0<br />
2<br />
�� � � ��<br />
3 m<br />
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XVII)<br />
arba<br />
�<br />
�t<br />
2<br />
2<br />
�� � c<br />
Čia c yra akustinės bangos sklidimo greitis (garso greitis) :<br />
Matome, kad garso greitis apytiksliai lygus vidutiniam molekulių<br />
2<br />
�<br />
2<br />
��<br />
5 �<br />
3 m<br />
0 c � �<br />
5<br />
6<br />
v<br />
šiluminiam greičiui.<br />
• Jau minėjau, kad nulinio artinio hidrodinaminės lygtys neaprašo klampos reiškinių.<br />
Klampos reiškiniai atsiranda tik pirmame artinyje. Griežtas hidrodinaminių lygčių<br />
išvedimas pirmame artinyje yra gana sudėtingas. Jis paremtas vadinamuoju<br />
Čapmano-Enskogo (Chapman-Enskog) metodu. Čia panagrinėsime<br />
supaprastintą šio metodo versiją.<br />
• Pagrindines idėjas bei problemas, su kuriomis susiduriama išvedinėjant pirmo<br />
artinio hidrodinamines lygtis pademonstruosime, panaudodami supaprastintą<br />
susidūrimo nario išraiška. Susidūrimo narį aproksimuosime relaksacijos laiku.<br />
Naudodami šią aproksimaciją mes negausime tikslių pernašos koeficientų išraiškų.<br />
Tačiau naudodami relaksacijos laiko aproksimaciją mes gausime teisingas<br />
hidrodinamines lygtis ir kokybiškai teisingas pernašos koeficientų išraiškas.<br />
2
Pirmas artinys<br />
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XVIII)<br />
• Įvertinsime nulinio artinio hidrodinaminių lygčių paklaidą. Tegul yra<br />
tikslus Boltzmano lygties sprendinys. Tikslaus sprendinio nuokrypį nuo nulinio artinio<br />
sprendinio pažymėsime funkcija<br />
� � � � � �<br />
g ,<br />
�0� �r, v,<br />
t��f�r,<br />
v,<br />
t�<br />
� f �r , v t�<br />
Mus domins funkcijų<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�f<br />
�t<br />
�<br />
�<br />
�<br />
susid<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
d<br />
g<br />
d<br />
3<br />
v<br />
3<br />
f , ,<br />
� �<br />
�r v t�<br />
�0� ir f santykio eilė. Pradžioje įvertinsime susidūrimo narį<br />
2<br />
v<br />
2<br />
�<br />
�<br />
d��<br />
d��<br />
�<br />
���v�v�f�f��ff� 2<br />
�<br />
�<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
� �<br />
�0� �0� �0� �0� ���v � v f � g�<br />
� f g � g�<br />
f � � g f<br />
2<br />
Čia mes atmetėme kvadratinius funkcijos g narius nes tariame, kad ši funkcija yra<br />
maža. Susidūrimo nario eilės įvertinimui apskaičiuokime antrą šios išraiškos narį:<br />
�<br />
� � 3<br />
� � �0� g<br />
� � � �<br />
�r , v1,<br />
t�<br />
r,<br />
v , t d v d��<br />
� v � v f � �<br />
� g 1 � 2�<br />
Čia pagal eilę<br />
lygus laisvo lėkio laikui.<br />
2<br />
�<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
1<br />
�<br />
�0� f � f �<br />
2<br />
�<br />
1<br />
f<br />
g<br />
� f<br />
�<br />
2<br />
( 0)<br />
1
• Toliau susidūrimo narį<br />
f f � f<br />
� �<br />
�t<br />
�<br />
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XIX)<br />
supaprastinsime, pakeisime jį<br />
� �f<br />
�<br />
� �<br />
� �t<br />
�<br />
susid<br />
�<br />
�<br />
f<br />
� f<br />
�<br />
�0� išraiška<br />
Matome, kad taip pakeistas susidūrimo narys kokybiškai teisingai aprašo sistemos<br />
artėjimą prie pusiausvyrinio skirstinio. Panaudojus relaksacijos laiko<br />
aproksimaciją, kinetinė lygtis įgauna tokį pavidalą:<br />
� � v<br />
�0� � ( 0)<br />
�t / � ( 0)<br />
f � ( f0<br />
� f ) e � f<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
� v�<br />
� �t<br />
�0� g �� f<br />
Čia pagal eilę<br />
�<br />
F<br />
�<br />
m<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� 0<br />
� �<br />
r � �<br />
v<br />
� � �f�g� Esant prielaidai , kairioje lygties pusėje galime išbraukti funkciją .<br />
�0� Tarkime, kad charakteringas funkcijos f kitimo ilgis yra L (ilgis, kuriame funkcija<br />
pasikeičia dydžiu, pagal eilę lygiu funkcijos reikšmei). Tuomet, vertinant kairės ir<br />
dešinės pusės narių eiles, gauname<br />
�0� f<br />
v � �<br />
L<br />
g<br />
�<br />
–<br />
lygus laisvo lėkio keliui.<br />
relaksacijos laiko aproksimacija<br />
� �<br />
g<br />
�<br />
g �<br />
� ��<br />
� 0<br />
f L<br />
( 0)<br />
f � f kai<br />
t � �<br />
g
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XX)<br />
�0� f � u �<br />
• Iš čia matome, kad nulinis artinys yra geras, jeigu lokalaus tankio , greičio<br />
ir temperatūros � charakteringas kitimo ilgis L yra žymiai didesnis negu laisvo lėkio<br />
�0� kelias . Funkcijos pataisos yra eilės.<br />
�<br />
g v<br />
f � � � L<br />
f � L<br />
• Nuoseklus funkcijos skleidimas mažo parametro laipsniais atliekamas<br />
gana sudėtingu Chapmano –Enskogo metodu. Čia šio metodo esmę pademonstruosime<br />
supaprastintai kinetinei lygčiai, kurioje susidūrimo narys aproksimuojamas<br />
relaksacijos laiku. Tuomet pataisos funkcija paprastai išreiškiama per nulinio artinio<br />
funkciją<br />
F �0� v r f<br />
t m � �<br />
g<br />
�0� f :<br />
�<br />
3 2<br />
� � � � � � � � m � � m � �<br />
� ��<br />
�<br />
�<br />
� ��<br />
� ��<br />
f<br />
� �<br />
m<br />
�<br />
� 2��<br />
� � 2�<br />
g g r<br />
Todėl mum bus reikalingos tokios išvestinės:<br />
�<br />
� u �<br />
�<br />
�0� 2<br />
�r, v,<br />
t���<br />
� exp�<br />
� �v�u� ��<br />
• Skaičiuojant pataisą reikia turėti omenyje, kad funkcija priklauso nuo ir<br />
tik per funkcijas , ir .<br />
�0� �0� �f<br />
f<br />
�<br />
��<br />
�<br />
�0� �f<br />
m<br />
� U<br />
�u<br />
�<br />
i<br />
i<br />
f<br />
�0� �0� �f<br />
��<br />
�f<br />
�v<br />
�0� i<br />
1 � m �<br />
� � U<br />
� � 2�<br />
m<br />
� � Ui<br />
f<br />
�<br />
2<br />
3�<br />
� � f<br />
2�<br />
�0� �0� Čia, kaip ir anksčiau,<br />
U v u ,<br />
� � � �<br />
� �<br />
�r t�<br />
�<br />
t
• Panaudodami šių<br />
� � �<br />
g � ��<br />
� � vi<br />
��t<br />
�xi<br />
Čia:<br />
išvestinių<br />
�<br />
Fi<br />
�<br />
�<br />
m �v<br />
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XXI)<br />
išraiškas, apskaičiuojame g :<br />
i<br />
�<br />
�<br />
�<br />
f<br />
�0� � �� � m � � m<br />
� �<br />
0 1 1 2 3<br />
� � � � � � 1 �<br />
� ��<br />
f � D � � � U � �D<br />
� � U jD<br />
u j � FU�<br />
��<br />
� � 2�<br />
2�<br />
� � �<br />
D<br />
� �<br />
�<br />
� �t<br />
i<br />
x �<br />
i<br />
�<br />
� �<br />
� �<br />
�X��� � v X<br />
• Panaudojus nulinio artinio hidrodinamines lygtis, galima gauti<br />
D<br />
D<br />
D<br />
�<br />
�<br />
��� � ����u<br />
��U�� ����� ���u��U��<br />
�u� j<br />
2<br />
3<br />
� �<br />
1 �P<br />
Fj<br />
� � � �U<br />
� �x<br />
m<br />
j<br />
i<br />
�u<br />
�x<br />
i<br />
j<br />
tokias išraiškas:<br />
� �<br />
�P<br />
� �<br />
� m �<br />
��
• Įrašydami šias formules į<br />
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XXII)<br />
funkcijos g išraišką, gauname<br />
� ��<br />
� ��<br />
� m � ��<br />
�<br />
0 � 1 2 3 2 � �<br />
g � ��<br />
f ���u<br />
�U<br />
� � U � ���<br />
� �u<br />
�U��<br />
�<br />
� � � � 2�<br />
2��<br />
3 �<br />
�<br />
m � � �P<br />
� F �u<br />
� ��<br />
j 1 � �<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
�U<br />
�U<br />
�UiU<br />
j �<br />
� FU�<br />
� � � m �xi<br />
� � ��<br />
Čia tam tikri nariai išsiprastina ir formulė<br />
(�)<br />
� ��<br />
f<br />
�0� �1<br />
��<br />
� m �<br />
� Ui�<br />
U<br />
��<br />
�xi<br />
� 2�<br />
5 � 1<br />
� � � �<br />
2�<br />
�<br />
supaprastėja iki:<br />
�<br />
�UiU<br />
�<br />
Prisiminkime, kad tai yra ieškomos funkcijos pataisa. Pilna funkcija yra:<br />
� � g<br />
0<br />
f � f �<br />
1 �<br />
� � U<br />
3<br />
2<br />
g ij j ij<br />
• Dabar, kai nustatėme funkcijos pataisą, galime apskaičiuoti šiluminio srauto ir<br />
slėgio tenzoriaus Pij<br />
pataisas, įrašyti jas į tvermės lygtis ir gauti pirmo artinio<br />
hidrodinamines lygtis.<br />
2<br />
��<br />
��<br />
��<br />
�<br />
ij<br />
�<br />
m<br />
2<br />
� �u<br />
�<br />
�<br />
� �x<br />
i<br />
j<br />
�ui<br />
�<br />
�x<br />
q �<br />
j<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�
Pernašos koeficientai<br />
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XXIII)<br />
• Pradžioje apskaičiuosime šiluminį srautą. Prisiminkime, kad nuliniame artinyje jis<br />
lygus nuliui. Pirmame artinyje antro funkcijos g (išraška (�)<br />
) nario indėlis taip lygus<br />
nuliui, nes po integralu yra nelyginė funkcija. Pirmo nario indėlis yra:<br />
m<br />
�<br />
3 � � � � 2 � m<br />
q � d v�v�u�v�ug��<br />
2n<br />
2<br />
� � �<br />
�d UUU<br />
� U � � Ui<br />
� 2�<br />
2�<br />
� �x<br />
2<br />
� � 3 2�<br />
m 2 5 � 1 ��<br />
�0� 2<br />
~ � m � � m � 5 � 0 5<br />
K � � � � � �� n<br />
6�<br />
� 2�<br />
2�<br />
2<br />
� ~<br />
3 4 2<br />
Arba:<br />
� �<br />
q � �K��<br />
d UU<br />
U � f<br />
Iš čia matome, kad yra šiluminio laidumo koeficientas. Čia mes jį pažymėjome<br />
su tilda, nes jis apibrėžtas � šiek tiek kitaip, negu elementarioje pernašos teorijoje.<br />
Ten mes rašėme q / m � �K�T.<br />
Kadangi � � kBT , tai ryšys tarpK<br />
ir K yra toks:<br />
. Elementarios teorijos rezultatas buvo toks:<br />
.<br />
~<br />
~<br />
�m/ k �K<br />
K B<br />
• Dabar apskaičiuosime slėgio tenzorių:<br />
K ~<br />
� K �<br />
�4/ � ���nkB / m<br />
� 0<br />
� �� �� � �<br />
v<br />
� i �ui<br />
v j �u<br />
j f � g � ijP<br />
� Pij<br />
Pij � �<br />
3<br />
d v<br />
� �<br />
n<br />
artinį, kurį<br />
P<br />
m<br />
��<br />
�<br />
Čia pirmas narys atitinka nulinį apskaičiavome anksčiau, ,<br />
o antras – pataisą, kurią reikia apskaičiuoti.<br />
i<br />
f
Į<br />
Iš<br />
pataisą<br />
indėlį<br />
duoda tik antras išraiškos<br />
��<br />
� � � �<br />
�n<br />
�<br />
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XXIV)<br />
(�)<br />
narys.<br />
�<br />
�U<br />
�<br />
1 �<br />
� � U<br />
3<br />
3<br />
Pij kl d UUiU<br />
j kUl<br />
kl<br />
šios išraiškos nesunku įsitikinti, kad tai yra simetrinis tenzorius su nuliniu pėdsaku<br />
P�<br />
P� � P�<br />
ij<br />
ji<br />
3<br />
�<br />
i�1<br />
P'<br />
ii<br />
� 0<br />
Kadangi tiesiškai priklauso nuo simetrinio tenzoriaus ,<br />
ij<br />
�<br />
ij<br />
2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
f<br />
tai jį<br />
2 � m ��<br />
P� ij � ��<br />
��ij<br />
� �ij�u<br />
�<br />
m � 3 �<br />
� m u<br />
�<br />
�0� galima užrašyti taip<br />
� �ij<br />
Čia yra proporcingumo konstanta (kol kas nežinoma), o yra tenzoriaus<br />
pėdsakas<br />
3<br />
�<br />
i�1<br />
3 m � �u<br />
�ii � ��<br />
�<br />
2 �1<br />
� �x<br />
�<br />
P�<br />
i i i<br />
i<br />
�u<br />
� i �<br />
� � m�u<br />
x �<br />
�<br />
� �<br />
Belieka nustatyti konstantą . Dėl to pakanka apskaičiuoti bet kurią vieną tenzoriaus<br />
komponentę, pavyzdžiui .<br />
P� ij<br />
12
�<br />
� �<br />
m<br />
�<br />
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XXV)<br />
� 3 �<br />
2 � �0� � �<br />
�kl<br />
d UU1U<br />
2�U<br />
kUl<br />
� � U f � � � �<br />
3 2 2 0<br />
2 12 d UU1U<br />
2 f<br />
P12 kl<br />
Taigi gauname:<br />
�<br />
�<br />
1<br />
3<br />
2<br />
� m<br />
� �<br />
� � �<br />
3 2 2 0<br />
d UU1U<br />
2 f ��<br />
n�<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
�m<br />
�<br />
2 � m ��<br />
� �ijP<br />
��<br />
��ij<br />
� � �u<br />
�<br />
m � 3 �<br />
Pij ij<br />
• Nesunku įsitikinti, kad proporcingumo konstanta yra klampos koeficientas. Dėl<br />
to reikia prisiminti klampos koeficiento apibrėžimą. Jeigu atskiri dujų (skysčio)<br />
sluoksniai juda vienas atžvilgio kito taip, kad<br />
y u A�<br />
By,<br />
u � u � 0,<br />
Ftr<br />
x<br />
Čia Ftr yra trinties jėga į ploto vienetą, kuri veikia skirtingais greičiais judančius<br />
skysčio sluoksnius. Iš kitos pusės<br />
Ftr<br />
�<br />
x<br />
�<br />
� y z<br />
tai klampos koeficientas eksperimentiškai<br />
nustatomas iš sąryšio<br />
F<br />
tr<br />
�u<br />
� ��<br />
�y<br />
impulso x komponentė perduota per vieną<br />
sekundęįploto vienetą y kryptimi.<br />
x
•<br />
Perduoto impulso dydis yra , o molekulių<br />
impulso perdavime yra . Todėl<br />
F<br />
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XXVI)<br />
�v u �<br />
m x �<br />
n v �u<br />
� �<br />
y<br />
y<br />
� �� � �<br />
3 � �� �� �0� v �u<br />
v �u<br />
� m d v v �u<br />
v �u<br />
f � �<br />
x x y y<br />
x x y<br />
Ftr y<br />
x<br />
srautas, dalyvaujantis<br />
� mn<br />
g<br />
�0� Čia indėlis į integralą nuo f lygus nuliui, nes funkcija po integralu yra nelyginė.<br />
Funkcijos pataisą g galima gauti iš apytikslės kinetinės lygties (kinetinėje lygtyje<br />
išbraukiame išorinę jėgą ir laiko išvestinę, nes nagrinėjame stacionarų procesą):<br />
g<br />
� m<br />
� � v<br />
�<br />
�0� �v�u�Bf g y x x<br />
� �<br />
�<br />
� � U<br />
�<br />
�u<br />
�y<br />
m x<br />
yU<br />
x<br />
Čia mes tarėme, kad tankis ir temperatūra yra homogeniniai (nepriklauso nuo ).<br />
Įrašome šią<br />
tr<br />
� �<br />
v�f � �<br />
0 �<br />
g<br />
�<br />
funkcijos išraišką įtrinties jėgos apibrėžimą<br />
2<br />
2<br />
�ux<br />
� m<br />
� � �ux<br />
� � �<br />
3 2 2 0<br />
� m<br />
� �<br />
d UUxU<br />
y f � ��<br />
� � �<br />
3 2 2 0<br />
d UUxU<br />
y f ��n�<br />
�y<br />
�<br />
�y<br />
�<br />
pačią � koeficiento išraišką !!! Vadinasi, � iš tikrųjų yra klampos<br />
� �<br />
8/<br />
3�<br />
�n<br />
Taigi gavome tą<br />
koeficientas. (Elementarioje teorijoje turėjome tokią išraišką: )<br />
f<br />
� � �<br />
�0� r �
• Suformuluosime šio skirsnio pagrindinius rezultatus:<br />
1.<br />
2.<br />
3.<br />
4.<br />
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XXVII)<br />
Mes parodėme, kad pernašos koeficientus galima nustatyti iš Boltzmano<br />
kinetinės lygties. Dėl to kinetinę lygtį reikia išspręsti � � � L tikslumu, t.y.,<br />
�0� be nulinio artinio f reikia žinoti pirmą pataisą g . Pernašos koeficientai<br />
proporcingi funkcijos pataisai ir todėl yra eilės.<br />
g �<br />
Tiesioginis patikrinimas rodo, kad nustatytos iš kinetinės lygties pernašos koeficientų<br />
išraiškos sutampa su analogiškomis išraiškomis gautomis elementariosios<br />
teorijos rėmuose vieneto eilės proporcingumo konstantų tikslumu.<br />
Čia nustatytos pernašos koeficientų išraiškos nėra tikslios, nes susidūrimo<br />
nariui naudojome grubią relaksacijos laiko aproksimaciją. Nemodifikuodami<br />
susidūrimo nario galėjome gauti tikslesnes pernašos koeficientų išraiškas.<br />
Tačiau tuomet aprašyta čia Čapmano-Enskogo procedūra tampa gerokai<br />
sudėtinga.<br />
Čia be pernašos koeficientų mes dar nustatėme šilumos srauto ir slėgio<br />
tenzoriaus P išraiškas. Šias išraiškas suradome �<br />
ij<br />
tikslumu. Įrašant jas į<br />
tvermės lygtis galima gauti pirmo artinio hidrodinamines lygtis. Tokios lygtys<br />
aprašo klampių dujų dinamiką. Toliau ir pereisim prie šių lygčių išvedimo.<br />
q �
Klampių<br />
dujų<br />
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XXVIII)<br />
(skysčio) hidrodinaminės lygtys<br />
• Taigi mes nustatėme tokias šilumos srauto ir slėgio tenzoriaus išraiškas<br />
� ~<br />
q � �K��<br />
2 � m ��<br />
� �ijP<br />
��<br />
��ij<br />
� � �u<br />
�<br />
m � 3 �<br />
Pij ij<br />
Mums reikia jas įrašyti į tvermės lygtis. Dėl to reikia apskaičiuoti tokius tris dydžius:<br />
�q, �Pˆ<br />
ir . Išvedinėjant jų išraiškas reikia turėti omenyje, kad<br />
ir išvestinės nuo yra pirmos eilės mažumo dydžiai. Nariai su išvestinėmis<br />
nuo yra aukštesnės eilės mažumo ir juos galima atmesti. Tai yra, pirmame<br />
artinyje pernašos koeficientus ir galima laikyti konstantomis. Tuomet:<br />
�<br />
�ˆ ˆP<br />
K u<br />
� ~<br />
�,<br />
,<br />
u �<br />
�,�<br />
,<br />
K ~<br />
�,<br />
� K ~<br />
� ~<br />
�q � �K�<br />
• Apskaičiuosime vektoriaus i komponentę:<br />
�P<br />
�x<br />
ij<br />
j<br />
�<br />
�<br />
�x<br />
j<br />
2 �<br />
� � �<br />
ijP<br />
�<br />
m �<br />
�<br />
�<br />
�x<br />
j<br />
Pˆ �<br />
�<br />
ij<br />
�<br />
m<br />
3<br />
�<br />
�x<br />
2<br />
�<br />
j<br />
��<br />
� �u<br />
�<br />
ij �<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
� �u<br />
j � �ui<br />
2 � �<br />
� P ��<br />
� � �u<br />
�<br />
�x<br />
�<br />
�<br />
i � �x<br />
j �xi<br />
�x<br />
j �x<br />
j 3 �xi<br />
�<br />
�<br />
ij<br />
�<br />
m<br />
2<br />
� �u<br />
�<br />
�<br />
� �x<br />
i<br />
j<br />
�ui<br />
�<br />
�x<br />
j<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
(čia, kaip visuomet,<br />
turime omenyje<br />
sumavimą pagal<br />
pasikartojantį indeksą)
�P<br />
�x<br />
ij<br />
j<br />
�<br />
�<br />
�x<br />
i<br />
�<br />
P ���<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�x<br />
i<br />
3<br />
�<br />
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XXIX)<br />
�u<br />
�x<br />
j<br />
j�1 j<br />
�<br />
3<br />
�<br />
2<br />
� u<br />
2<br />
�x<br />
j�1 j<br />
� � 2 1 � ��<br />
� P ���<br />
��<br />
u � �u<br />
�<br />
�<br />
i<br />
�xi<br />
� 3 �xi<br />
�<br />
Pagaliau apskaičiuosime paskutinę<br />
išraišką:<br />
i<br />
�<br />
2<br />
3<br />
�<br />
�x<br />
Pˆ �ˆ<br />
� Pij�ij<br />
� 2 � m ���<br />
� ��<br />
ijP<br />
��<br />
��ij<br />
� �ij�u<br />
���ij<br />
� m � 3 ��<br />
3<br />
3<br />
2 2 �<br />
� P��ii<br />
��<br />
�ij�ij<br />
� ���ii�u<br />
m 3<br />
� mP�u �<br />
�<br />
i�1<br />
i�1<br />
P�ˆ<br />
ˆ<br />
�q, �Pˆ<br />
�<br />
�<br />
� mP�u<br />
i<br />
��<br />
�u<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�Pˆ<br />
2 �<br />
� �P<br />
���<br />
u � �<br />
3<br />
3<br />
3<br />
�ii<br />
i�1<br />
� �<br />
i m<br />
i�1 �x<br />
j<br />
�<br />
�u<br />
�<br />
��u� �<br />
� m�u<br />
(aukštesnės eilės nariai)<br />
• Įrašydami gautas išraiškas ir į tvermės lygtis, gauname pirmo<br />
artinio hidrodinamines lygtis.<br />
�ˆ ˆP
3<br />
c~<br />
V �<br />
2<br />
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XXX)<br />
Pirmo artinio hidrodinaminės lygtys<br />
��<br />
�<br />
����u��0<br />
�t<br />
�<br />
� � ��<br />
F 1 � � �<br />
� �u��u<br />
� � ��<br />
P � �u<br />
� �t<br />
� m � � 3<br />
~<br />
� � � � 1 � K<br />
� �u���<br />
� � ~ �~<br />
� �t<br />
� c c<br />
� � � 2<br />
V<br />
2<br />
��u���� �<br />
� � � � u<br />
Šiose lygtyse yra tenkanti vienai molekulei idealių<br />
V<br />
� �<br />
�P<br />
� �� �<br />
� m �<br />
1<br />
–<br />
�<br />
�<br />
�<br />
idealių<br />
�<br />
dujų<br />
(tolydumo lygtis)<br />
(Navjė-Stokso lygtis)<br />
(šiluminio laidumo lygtis)<br />
būsenos lygtis<br />
dujų<br />
šiluminė<br />
talpa.<br />
Kartu su dujų būsenos lygtimi jos sudaro uždarą lygčių sistemą dviem skaliariniams<br />
kintamiesiems ir vienam vektoriniam kintamajam u . Žinant pradinius šių<br />
kintamųjų erdvinius pasiskirstymus iš jų galima vienareikšmiškai nustatyti tolimesnę<br />
jų evoliuciją. Pabrėšime, kad skirtingai nuo nulinio artinio hidrodinaminių lygčių,<br />
šios lygtys aprašo klampių dujų hidrodinamiką.<br />
�<br />
�,<br />
�
Tvermės dėsniai ir hidrodinaminės lygtys (XXXI)<br />
• Išvedinėdami šias lygtis darėme prielaidą, kad dujos yra išretintos. Tačiau šios<br />
lygtys tinka ir skysčiui. Taip yra todėl, kad šias lygtis galima gauti ir kitokiu būdu –<br />
remiantis euristiniais samprotavimais. Taip Navjė-Stokso lygtį galima išvesti<br />
užrašant mažam išskirtam skysčio tūreliui antrą Niutono dėsnį.<br />
u � 0<br />
�<br />
• Jeigu trečioje lygtyje įrašysime (nagrinėsime nejudančias dujas), tai<br />
gausime įprastinę šiluminio laidumo lygtį:<br />
�<br />
�~<br />
� ~ 2<br />
cV � K�<br />
�<br />
�t<br />
Nors mes ją išvedėme išretintoms dujoms, eksperimentiškai nustatyta, kad ji taip<br />
pat galioja skysčiams it kietiesiems kūnams.<br />
Taigi pirmo artinio hidrodinaminės lygtys yra universalios –<br />
jų taikymas nesiriboja vien tik išretintomis dujomis!<br />
• Išvedinėdami šias lygtys susidūrimo nariui mes taikėme gana grubią relaksacijos<br />
laiko aproksimaciją. Nežiūrint į tai mes gavome teisingas pirmo artinio<br />
hidrodinamines lygtis, ta prasme, kad tokios pačios lygtys gaunamos nenaudojant<br />
relaksacijos laiko aproksimacijos. Dėl grubios susidūrimo nario aproksimacijos<br />
nukentėjo tik kinetinių (pernašos) koeficientų išraiškos. Šių išraiškų patikslinimui<br />
reikia atlikti Čapmano-Enskogo procedūrą esant tiksliai susidūrimo nario išraiškai.
Boltzmano<br />
kinetinės lygties pagrindimas (I)<br />
• Ankstesniuose skyriuose mes pateikėme euristinį Boltzmano kinetinės lygties<br />
išvedimo būdą. Mes startavome nuo dalelių judėjimo aprašymo 6-matėje vienos<br />
molekulės fazinėje erdvėje, vadinamoje � -erdvėje. Šioje erdvėje užrašėme tolydumo<br />
lygtį. Susidūrimo nariui aprašyti panaudojome molekulinio chaoso hipotezę. Iš esmės<br />
mes atkartojome originalų kinetinės lygties išvedimo būdą, kuriuo tą lygtį pirmą kartą<br />
išvedė Boltzmanas.<br />
• Vėliau Boltzmano kinetinė lygtis buvo išvesta griežčiau. Griežtesnis išvedimo būdas<br />
vadinamas BBGKY metodu, pagal jį pasiūliusių autorių pavardes – Bogoliubov,<br />
Born, Green, Kirwood, Yvon. Šiame metode startuojama nuo tikslios Liouvilio lygties,<br />
kuri aprašo N sąveikaujančių dalelių Gibso ansamblį pilnoje 6N –matėje visų dalelių<br />
fazinėje erdvėje (ši erdvė vadinama � -erdve). Po to apibrėžiama s-matė tikimybės<br />
tankio funkcija fs nusakanti tikimybę surasti s dalelių su apibrėžtomis koordinatėmis ir<br />
greičiais. Tuomet funkcija f1 yra įprastinė viendalelė tankio funkcija, kuriai buvo<br />
užrašyta Boltzmano kinetinė lygtis. Remiantis Liuivilio lygtimi, funkcijoms fs galima<br />
išvesti tikslias dinamines lygtis. Pasirodo, kad funkcijos f1 nustatymui reikia žinoti<br />
funkciją f2 . Funkcijos f2 nustatymui reikia žinoti funkciją f3 ir t.t. iki Ndalelės funkcijos fN . Ši lygčių sistema vadinama BBGKY hierarchija arba BBGKY grandinėle.<br />
Boltzmano kinetinė lygtis gaunama nutraukiant šią lygčių grandinėlę.<br />
• Šiame skyriuje mes pradžioje išvesime Liouvilio lygtį. Iš jos gausime BBGKY lygčių<br />
grandinėlę ir išvesime Boltzmano kinetinę lygtį. Aptarsime jos galiojimo kriterijus.
Liouvilio<br />
lygtis<br />
Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (II)<br />
• Nagrinėsime � N sąveikaujančių � � dalelių sistemą. Dalelių dinamiką charakterizuoja N<br />
N<br />
� � � N<br />
impulsų �p1, �,<br />
pN<br />
� � p ir N koordinačių �q1, �,<br />
qN<br />
��q–viso 6N<br />
skaliarinių kintamųjų. Sistemos būsena vienareikšmiškai nusakoma vektoriumi<br />
� N<br />
6N –matėje fazinėje erdvėje, vadinamoje � erdvėje.<br />
� ,<br />
� N<br />
p q �<br />
• Kintamųjų<br />
• Alternatyviai sistemos dinamiką galima aprašyti Liouvilio lygtimi. Ši lygtis aprašo<br />
vienodų sistemų ansamblio (Gibso ansamblio) dinamiką. Atskiri ansamblio nariai turi<br />
skirtingas pradinės sąlygas, kurios vaizduojamos taškais � fazinėje erdvėje. Tie taškai<br />
evoliucionuoja pagal Hamiltono lygtis. Jeigu ansamblyje yra pakankamai daug<br />
sistemų, tai galima apibrėžti jų<br />
�<br />
H<br />
�<br />
�<br />
dinamiką<br />
H<br />
p�� �<br />
i � � �<br />
�q<br />
H<br />
�<br />
� ,<br />
� N N<br />
p q �<br />
Čia –<br />
�<br />
�<br />
� N N � N N<br />
p , q , t dp<br />
dq<br />
�<br />
galima aprašyti Hamiltono lygtimis:<br />
i<br />
H<br />
q�� �<br />
i �<br />
�p<br />
� �i �1,<br />
2,<br />
�,<br />
N�<br />
tankį<br />
�<br />
�<br />
� N N<br />
p q , t�<br />
, �<br />
ansamblio narių<br />
� N � N<br />
dp<br />
dq<br />
i<br />
sistemos hamiltonianas.<br />
:<br />
�<br />
�<br />
�q<br />
skaičius, kurie momentu yra mažame<br />
� �� N � N<br />
p , q �<br />
tūrelyje ties tašku .<br />
i<br />
� �<br />
t<br />
;<br />
�<br />
�<br />
q �<br />
i �pi<br />
� �<br />
�<br />
p<br />
i
Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (III)<br />
• Ansamblio tankiui galima užrašyti tolydumo lygtį. Tą lygtį mes jau išvedėme<br />
bendruoju atveju bet kurios dimensijos dinaminiai sistemai, kai nagrinėjome<br />
Lanževeno lygtį:<br />
Iš<br />
Čia<br />
Tuomet<br />
z��<br />
�<br />
Hamiltono lygčių<br />
� �<br />
N<br />
�<br />
i�1<br />
� ��<br />
�<br />
� � p��<br />
� �<br />
�z�� ��<br />
��<br />
�<br />
� � q��<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
i i<br />
i<br />
pi �qi<br />
i�1 �pi<br />
�qi<br />
N<br />
p��<br />
�<br />
�<br />
q��<br />
�<br />
�<br />
�<br />
išplaukia, kad paskutinis narys šioje išraiškoje lygus nuliui:<br />
� � � �H<br />
� �H<br />
� p��<br />
i � � q��<br />
� � � � � � � � 0 �i �1,<br />
2,<br />
�,<br />
N�<br />
�p<br />
�q<br />
�p<br />
�q<br />
�q<br />
�p<br />
i<br />
�p �,<br />
p , q �<br />
��<br />
��<br />
1,<br />
N 1<br />
��<br />
� �<br />
�t<br />
i<br />
��<br />
� ��<br />
�t<br />
q�<br />
� ��<br />
, �,<br />
i<br />
N<br />
i<br />
ir<br />
N<br />
N<br />
� i � �<br />
i�1 �pi<br />
i�1 �qi<br />
�<br />
�<br />
i<br />
� �<br />
� �<br />
�<br />
� �<br />
� �p<br />
�p ���<br />
�q�� ��<br />
�<br />
��<br />
i<br />
i<br />
1<br />
�<br />
, �,<br />
�<br />
�p<br />
N<br />
�<br />
, �<br />
�q<br />
1<br />
�<br />
, �,<br />
�<br />
�q<br />
N<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�
• Todėl tolydumo lygtį<br />
��<br />
�<br />
N<br />
� ��<br />
t i�1<br />
� ��<br />
�<br />
� � p��<br />
� �pi<br />
Ši lygtis vadinama Liouvilio<br />
galima užrašyti taip:<br />
i<br />
��<br />
�<br />
� � q��<br />
�<br />
� i<br />
�qi<br />
�<br />
Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (IV)<br />
lygtimi. Liouvilio<br />
d<br />
�<br />
�<br />
� � � i<br />
dt �t<br />
i�1<br />
� �pi<br />
�qi<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
� �<br />
N �� ���<br />
�t<br />
i 1<br />
� N N<br />
, , � N<br />
p q t ��<br />
� ��<br />
� �<br />
� � p��<br />
�<br />
q � � 0<br />
• Liouvilio<br />
��<br />
� H<br />
�t<br />
lygtis kartais dar užrašoma taip:<br />
� , ���0<br />
-<br />
Liouvilio<br />
lygtis<br />
i<br />
�<br />
�<br />
lygtį<br />
� ��<br />
�<br />
� � p��<br />
� �pi<br />
i<br />
��<br />
�<br />
� � q��<br />
�<br />
� i � 0<br />
�qi<br />
�<br />
dar galima užrašyti kitaip:<br />
d<br />
� �H<br />
�<br />
� N<br />
p , q , t�<br />
� 0<br />
N �<br />
dt<br />
Liouvilio<br />
lygtis<br />
� Liouvilio<br />
lygtis<br />
Pastaroji išraiška turi paprastą geometrinį paaiškinimą. Jeigu � erdvėje judėsime<br />
�� N � N<br />
kartu su faziniu tašku p ,<br />
q � , tai pastebėsime, kad jo aplinkoje fazinių taškų tankis<br />
nekinta. Tai reiškia, kad � erdvėje faziniai taškai juda tarsi nespūdus skystis.<br />
��<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
N<br />
�H, �����<br />
� � � � � �<br />
i�1 �pi<br />
�qi<br />
�qi<br />
�qi<br />
�<br />
��<br />
�H<br />
-Puasono<br />
skliaustai
BBGKY lygčių<br />
grandinėlė<br />
Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (V)<br />
• Pabrėšime, kad Liouvilio lygtis yra ekvivalenti Hamiltono lygtims ir yra tiek pat tiksli,<br />
kiek yra tikslios Hamiltono lygtys. Kaip ir Hamiltono lygtys, ji aprašo grįžtamą laike<br />
dalelių dinamiką. Dabar panaudojus Liouvilio lygtį mes gausime BBGKY lygčių<br />
grandinėlę, ir nutraukus ją, išvesime Boltzmano kinetinę lygtį, kuri yra negrįžtama.<br />
• Pradžioje mes konkretizuosime Hamiltonianą:<br />
N � 2 N pi<br />
H ��<br />
��Ui��V<br />
i�1<br />
2m<br />
i�1i�j �<br />
Ui<br />
�U<br />
�ri �<br />
� �<br />
V �V ��<br />
� –molekulių<br />
ij<br />
ji<br />
– išorinio lauko potencialas<br />
�r r �<br />
i<br />
j<br />
sąveikos<br />
potencialas<br />
ij<br />
�<br />
r0<br />
Tipiški sąveikos potencialai<br />
Paveiksliuke pavaizduoti tipiški tarpmolekulinės sąveikos potencialai. Raudona<br />
linija atitinka kietų sferų sąveiką ( r yra sferos diametras). Kartais vartojamas<br />
0<br />
Lenardo-Džonsono potencialas(mėlyna kreivė):<br />
�<br />
�<br />
12 6<br />
� r0<br />
� � r0<br />
� � �<br />
�� r � 4�<br />
��<br />
� ��<br />
� �,<br />
r � ri<br />
� rj<br />
��<br />
�<br />
r<br />
�<br />
�<br />
r<br />
�<br />
�<br />
��<br />
r �
• Toliau naudosime tokius žymėjimus:<br />
�<br />
z<br />
i<br />
�<br />
�<br />
�p , r �<br />
3<br />
� i i �dzi � �d<br />
pid<br />
ri<br />
Tarsime, kad tankio funkcija normuota į<br />
�<br />
1<br />
Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (VI)<br />
3 �� , �, N, t�<br />
� ��z<br />
, �,<br />
zN<br />
, t�<br />
vienetą<br />
dz dzN<br />
� � �<br />
�1, � N�<br />
O ,<br />
�1, , N,<br />
t�<br />
�1<br />
�<br />
1 1<br />
Tuomet bet kurios funkcijos , priklausančios nuo molekulių koordinačių,<br />
ansamblio vidurkis yra:<br />
• Užrašysime šiai sistemai Liouvilio<br />
�<br />
�H<br />
pi<br />
� �<br />
�pi<br />
m<br />
�H<br />
�<br />
� � �Fi<br />
�<br />
�r<br />
i<br />
�<br />
i�<br />
j<br />
�<br />
K<br />
ij<br />
�<br />
�1, �,<br />
N,<br />
t�O<br />
�1, � N�<br />
O � dz �dzN<br />
�<br />
,<br />
1<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
N �� �H<br />
��<br />
�H<br />
�<br />
���<br />
�<br />
� � � � � �<br />
�t<br />
i 1 �pi<br />
�ri<br />
�ri<br />
�qi<br />
lygtį: � 0<br />
�<br />
�<br />
�U�ri<br />
�<br />
Fi � � �<br />
�ri<br />
� �<br />
� ��<br />
ri<br />
�rj<br />
Kij � � �<br />
�r<br />
� �<br />
i<br />
�<br />
–išorinio jėga, veikianti i–tą<br />
molekulę<br />
– tarpmolekulinės sąveikos jėga<br />
�
Liouvilio<br />
Čia<br />
lygtį<br />
galima užrašyti taip:<br />
� � ˆ �<br />
�<br />
� hN<br />
�<br />
�<br />
��t<br />
�<br />
hˆ<br />
ˆ<br />
N<br />
�<br />
�<br />
p<br />
�1, �, N�<br />
��1,<br />
�,<br />
N,<br />
t�<br />
0<br />
�1, �,<br />
N���Sˆ<br />
i � �<br />
�<br />
�<br />
i�1<br />
�<br />
N<br />
�<br />
i Si � Fi<br />
�<br />
m �ri<br />
�pi<br />
� �<br />
Qˆ � �<br />
ij � Kij<br />
� � K ji �<br />
�p<br />
�p<br />
� �<br />
�<br />
� �<br />
� Kij �<br />
� � �<br />
� �pi<br />
�p<br />
i<br />
Q Qˆ<br />
�<br />
ˆ<br />
ij<br />
ji<br />
j<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
j<br />
1<br />
2<br />
N<br />
i�<br />
j<br />
�<br />
Qˆ<br />
ij<br />
�K � �K<br />
�<br />
ji<br />
Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (VII)<br />
�<br />
ij<br />
Viendalelė tankio funkcija<br />
apibrėžiama taip:<br />
f<br />
1<br />
�<br />
�<br />
N<br />
�<br />
i�1<br />
�r, p,<br />
t����p�p���r�r�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
i<br />
�<br />
�<br />
i<br />
�1, �,<br />
N �<br />
� N dz �dzN � , t<br />
2<br />
Čia daugiklis N atsiranda dėl to, kad visi<br />
nariai sumoje duoda tą pačią � vertę, � nes<br />
yra simetrinė atžvilgiu z , �,<br />
z .<br />
� 1 N<br />
f<br />
Funkcijos 1 apibrėžimas sutampa su<br />
Boltzmano lygties tankio funkcija. Skirtumas<br />
tik toks, kad čia vietoj greičio � kintamo- �<br />
jo mes naudojame impulsą: p � mv<br />
v �<br />
Bendruoju atveju s-dalelė tankio<br />
funkcija apibrėžiama taip:<br />
N!<br />
1 � � 1 � � t<br />
!<br />
� , , s,<br />
t�<br />
fs �dzs� �dzN<br />
�N�s� �1, , N,<br />
�
Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (VIII)<br />
• Kombinatorinis daugiklis funkcijos s apibrėžime yra dėl to, kad mums nerūpi, kuri<br />
dalelė � yra � taške z1 , kuri taške ir t.t. Toliau tarsime, kad funkcija yra simetrinė<br />
z , �,<br />
z atžvilgiu, t.y. sukeitus bet kuriuos ir kintamuosius vietom ji nepasikeičia.<br />
�<br />
z2 �<br />
fs<br />
z �<br />
z �<br />
1<br />
s<br />
• Padauginę Liouvilio lygtį iš<br />
funkcijos dinaminę lygtį: �N�s�! N!<br />
f<br />
� � � s�1<br />
N � s !<br />
s<br />
dz<br />
�dz<br />
h ˆ<br />
N<br />
�<br />
�t<br />
N!<br />
ˆ<br />
� N h � �<br />
f<br />
�<br />
ir suintegravę<br />
�<br />
�t<br />
f<br />
s<br />
� �<br />
z , z<br />
s�1,<br />
�<br />
pagal gauname<br />
N!<br />
dz<br />
� � � s�<br />
N � s !<br />
• Operatoriuje išskiriame narius su koordinatėmis :<br />
N<br />
�1, , N�<br />
hˆ<br />
�<br />
�<br />
s<br />
�<br />
i�1<br />
N<br />
Sˆ<br />
i<br />
�<br />
N<br />
�<br />
i�s�1<br />
Sˆ<br />
i<br />
�<br />
1<br />
2<br />
s<br />
�<br />
i,<br />
j�1<br />
Qˆ<br />
ij<br />
�<br />
1<br />
2<br />
N<br />
�<br />
i,<br />
j�s�1<br />
�i�j� �i�j� Qˆ<br />
�1, �,<br />
s��hˆ<br />
N�s<br />
�s�1, , N����<br />
� hˆ<br />
�<br />
s<br />
i<br />
s<br />
ij<br />
j<br />
�<br />
N<br />
i�1<br />
j�s�1<br />
s<br />
� �<br />
z , �,<br />
z<br />
1<br />
N<br />
��<br />
i�1<br />
j�s�1<br />
Qˆ<br />
ij<br />
Qˆ<br />
ij<br />
s<br />
N<br />
s<br />
j<br />
N<br />
1�dz<br />
s<br />
N<br />
hˆ<br />
N<br />
�<br />
N<br />
i
�<br />
Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (IX)<br />
• Pastebėsime, kad �dz h �s �1,<br />
�,<br />
N���1<br />
, �,<br />
N,<br />
t�<br />
� 0<br />
ˆ<br />
dzs�1 N N�s<br />
hˆ p �<br />
�<br />
Ši lygybė yra dėl to, kad operatorius N ssudarytas<br />
iš išvestinių pagal su<br />
nepriklausomais nuo p koeficientais ir iš išvestinių pagal su nepriklausomais nuo<br />
koeficientais. Todėl integralas išreiškiamas per funkcijos vertes ant fazinės erdvės<br />
ribų. Mes tariame, kad lygi nuliui, kai erdviniai ar impulso kintamieji artėja prie<br />
�<br />
r �<br />
r �<br />
�<br />
�<br />
• Atsižvelgiant į<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�t<br />
� hˆ<br />
s<br />
�<br />
�<br />
�<br />
f<br />
s<br />
� �<br />
ˆ<br />
hN �s<br />
tai, kad nariai su išnyksta, funkcijos lygtį<br />
� �<br />
N!<br />
�N�s� !<br />
� Qˆ<br />
�<br />
�dzs�1 dzN��<br />
s<br />
N<br />
i�1<br />
j�s�1<br />
ij<br />
f<br />
s<br />
�1, �,<br />
N,<br />
t�<br />
s N N!<br />
� �<br />
� �<br />
� ���<br />
�dz<br />
� dz Qˆ<br />
s 1�<br />
N ij�<br />
1,<br />
�,<br />
N,<br />
t<br />
N � s ! i�1<br />
j�s�1<br />
s N!<br />
� � � � � �<br />
� ��N�s�dz<br />
� dz Qˆ<br />
s 1�<br />
N i,<br />
s�1�<br />
1,<br />
�,<br />
N,<br />
t<br />
N � s ! i�1<br />
s<br />
N<br />
� ���<br />
dz � Qˆ<br />
!<br />
s 1 i,<br />
s�1<br />
� � �dzs�2<br />
�dzN� 1,<br />
�,<br />
N,<br />
t<br />
i�1<br />
N � s �1<br />
!<br />
s<br />
� Qˆ<br />
f 1,<br />
�,<br />
s �1,<br />
t<br />
��<br />
� dzs �1<br />
i,<br />
s�1<br />
s�1<br />
i�1<br />
� �<br />
galima užrašyti taip:<br />
� �<br />
(suma pagal j duoda<br />
N-s vienodų narių)
Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (X)<br />
Dabar prisimename, kad operatorius , todėl<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�hˆ<br />
s<br />
�t<br />
�<br />
�<br />
�<br />
f<br />
s<br />
s<br />
� �<br />
� �<br />
� �p<br />
�<br />
�<br />
�p<br />
�1, �,<br />
s,<br />
t���dz<br />
K � � �f<br />
�1, �,<br />
s �1,<br />
t�<br />
��<br />
� �<br />
�<br />
� �<br />
Qˆ ij � Kij<br />
�<br />
� � �<br />
� �pi<br />
�p<br />
�<br />
s�1<br />
i,<br />
s�1<br />
i�1 i s�1<br />
j<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� s�1<br />
�<br />
f 0 p � ��<br />
�<br />
Čia integralas nuo antro nario lygus nuliui, nes funkcija s�<br />
kai s�1<br />
.<br />
Todėl galutinai gauname tokią BBGKY lygčių grandinėlę (hierarchiją):<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�hˆ<br />
s<br />
�t<br />
�<br />
�<br />
�<br />
f<br />
s<br />
s<br />
�<br />
�<br />
�p<br />
�1, �,<br />
s,<br />
t���dz<br />
K f �1, �,<br />
s �1,<br />
t�<br />
��<br />
�<br />
s�1<br />
i,<br />
s�1<br />
i�1 i<br />
s�1<br />
1 �<br />
�s �1,<br />
�,<br />
N�<br />
• Čia kairios pusės nariai aprašo s-dalelių kompleksų dinamiką. Kai s>1, kairioji<br />
pusė įskaito susidūrimus tarp s molekulių. Dešinę šios lygties pusę galima aiškinti<br />
kaip „susidūrimo integralą“, kuris aprašo nagrinėjamų s dalelių susidūrimus su<br />
„išorinėmis dalelėmis“ ir tokiu būdu suriša su f .<br />
fs s�1<br />
• Taigi BBGKY lygtys yra N lygčių grandinėlė, siejanti s-daleles tankio funkcijas su<br />
s+1 -dalelėmis funkcijomis, pradedant nuo viendalelės funkcijos ir baigiant N-dalele<br />
funkcija. Išvedinėdami šią lygčių grandinėlę nedarėme jokių rimtų prielaidų, tad ji yra<br />
tiek pat tiksli, kiek yra tiksli Liouvilio lygtis, arba Hamiltono lygtys.
Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (XI)<br />
Dabar panagrinėsime sąlygas, kada šią lygčių grandinėlę galima nutraukti, t.y. kada<br />
galima apsiriboti keliomis pirmomis, o galbūt tik viena pirma lygtimi. Dėl to užrašysime<br />
išreikštu pavidalu pirmas dvi šios grandinėlės lygtis:<br />
�<br />
� � p1<br />
� � �<br />
�<br />
� � � � F1<br />
�<br />
� �t<br />
m �r1<br />
�p<br />
�<br />
� �<br />
� p1<br />
� p2<br />
�<br />
� � � � �<br />
��t<br />
m �r1<br />
m �r2<br />
Šių lygčių nariai turi dimensiją<br />
skirtingus laiko mastelius:<br />
� � �<br />
�<br />
�K<br />
� �<br />
� �p<br />
�<br />
� p �<br />
�<br />
� � �<br />
� m �r<br />
1<br />
�<br />
c<br />
1<br />
�<br />
s<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
1<br />
� �<br />
�<br />
� f1<br />
1<br />
�<br />
� �<br />
� F1<br />
�<br />
�p<br />
c–<br />
molekulių susidūrimo<br />
laikas<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�p<br />
�zt���dz K f �z, z , t�<br />
�<br />
, 2 1,<br />
2 2 1 2<br />
1<br />
1<br />
�<br />
� F<br />
fs laikas<br />
2<br />
�<br />
�<br />
� 1 � � � � ��<br />
� �<br />
� � K<br />
�<br />
� � �<br />
�<br />
1,<br />
2 � � � f2�z1,<br />
z2,<br />
t��<br />
�p2<br />
2 � �p1<br />
�p2<br />
��<br />
� � � � � � � � �<br />
� ��dz<br />
3�<br />
�K1<br />
, 3 � � K2,<br />
3 � f3<br />
z1,<br />
z2,<br />
z3,<br />
t<br />
p1<br />
p �<br />
�<br />
� � � 2 �<br />
. Visus narius galima surūšiuoti pagal tris<br />
� � 1 �<br />
�<br />
�F<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
� �p<br />
� e �<br />
– laikas, per kurį molekulė nukeliauja<br />
s<br />
charakteringą atstumą, ant kurio esminiai<br />
pakinta tankio funkcija fs � �<br />
� � e–<br />
laikas, per kurį molekulė nukeliauja<br />
charakteringą atstumą, ant kurio esminiai<br />
pakinta išorinis potencialas
Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (XII)<br />
• Dabar aptarsime kada antroje lygtyje galima atmesti paskutinį narį ir gauti uždarą<br />
lygčių sistemą. Po to parodysime, kad pirma lygtis virsta Boltzmano kinetine lygtimi.<br />
• Pastebėsime, kad pirmoji lygtis BBGKY grandinėlėje yra išskirtinė. Tik jos kairėje<br />
pusėje nėra narių, aprašančių tarpmolekulinę sąveiką, nes f1<br />
yra viendalelė funkcija.<br />
Todėl visi kairės pusės nariai yra santykinai maži (lėti). Susidūrimo integralas dešinėje<br />
šios lygties pusėje apsprendžia šios funkcijos charakteringą laiko mastelį.<br />
• Antroje grandinėlės lygtyje (ir aukštesnės eilės lygtyse) kairėje pusėje yra susidūrimo<br />
narys, kurio eilė 1 � c . Susidūrimo narys dešinėje pusėje yra santykinai<br />
3<br />
mažas, nes jis aprašo tridalelę sąveiką. Jis yra 0 1 kartų mažesnis<br />
(čia n yra dalelių tankis, o r0 – charakteringas tarpmolekulinės sąveikos atstumas)<br />
už , nes integralas pagal yra ne nulis tik atstumuose eilės r0. Parametro<br />
įvertinimui įrašome standartinius dydžius ir gauname,<br />
kad .<br />
�� �n<br />
� nr<br />
1 � c<br />
r3 �<br />
�8<br />
19 �3<br />
r0<br />
�10 cm,<br />
n �10<br />
cm<br />
5<br />
10 �<br />
�n<br />
�<br />
• Išbraukę antroje lygtyje dešinę pusę nutraukiame BBGKY grandinėlę:<br />
�<br />
� � p � � �<br />
�<br />
� � � f<br />
� �t<br />
m �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� p � p2<br />
�<br />
� � � � �<br />
��t<br />
m �r1<br />
m �r2<br />
�z, t���dz<br />
K f �z, z t�<br />
�<br />
�<br />
� �f<br />
�<br />
1 1<br />
�<br />
�<br />
r � 1 1<br />
2 1,<br />
2 � 2 1 2,<br />
�<br />
r0 1<br />
�p1<br />
� �t<br />
1 �<br />
K<br />
2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�z, z , t�<br />
0<br />
1 � 1,<br />
2�<br />
� � � ��<br />
2 1 2 �<br />
�p1<br />
�p2<br />
�<br />
�<br />
��<br />
� f<br />
��<br />
�<br />
�<br />
susid<br />
�<br />
n
f 1<br />
Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (XIII)<br />
• Tai yra funkcijų ir f2 dvi sukabintos lygtys. Kad būtų paprasčiau, čia mes<br />
nerašome išorinės jėgos narių. Mes taip pat tariame, kad tarpmolekulinė jėga<br />
veikia (nelygi nuliui) tik atstumu r0. Tą faktą mes pabrėžiame, pažymėdami pirmos<br />
lygties integralą indeksu r0. Tai reiškia, kad tas integralas pagal erdvinius<br />
kintamuosius skaičiuojamas srityje r � r � r .<br />
� �<br />
•<br />
Pagrindinė<br />
gautos lygčių<br />
1<br />
sistemos kokybinė<br />
2<br />
0<br />
savybė yra ta, kad funkcijos f2 � c , o funkcijos f1 tie masteliai yra 1 �n<br />
charakteringi laiko ir erdvės masteliai yra ir r0 kartų didesni. Kitaip tariant, funkcijos f1 kitimas erdvėje ir laike yra žymiai<br />
lėkštesnis, negu funkcijos f 2 .<br />
•<br />
Funkcijoje f 2<br />
tarp dalelių<br />
1<br />
ir 2<br />
koreliacijos atsiranda dėl sąveikos tarp dalelių<br />
yra didelis, tai f 2<br />
�<br />
�<br />
galima išreikšti viendalelių<br />
�z z , t�<br />
�� ���<br />
� f �z, t�f�z,<br />
t�<br />
f 1,<br />
2 �r �r<br />
��r<br />
1 1 2 2<br />
2 1 2 0<br />
� �f1 �<br />
� ��<br />
� �t<br />
�<br />
�<br />
1<br />
ir 2. Jeigu atstumas<br />
funkcijų<br />
Tačiau susidūrimo nario apskaičiavimui mums reikia žinoti f 2<br />
sandauga:<br />
•<br />
ne<br />
susid<br />
srityje, kur dalelės nekoreliuoja, o atvirkščiai, toje srityje kur dalelės susiduria, t. y.<br />
srityje r �r � r .<br />
� �<br />
1<br />
2<br />
0
•<br />
Pasinaudojus tuo faktu, kad funkcijos f2 ir surasti funkciją f2 1<br />
�<br />
� �f1<br />
�<br />
� �t<br />
�<br />
�<br />
�<br />
susid<br />
�<br />
�<br />
d<br />
3<br />
p<br />
� �<br />
d�v<br />
�v<br />
�<br />
2<br />
1<br />
2<br />
Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (XIV)<br />
����f�p�r, t�f�p�,<br />
r,<br />
t��f�p,<br />
r,<br />
t�f�p,<br />
r,<br />
t��<br />
1<br />
�<br />
lygtis yra greita, joje galima išbraukti laiko<br />
r �r � r<br />
�<br />
išvestinę<br />
srityje . Tuomet paaiškėja, kad ši lygtis<br />
2 0<br />
aprašo jau nagrinėtą dviejų sąveikaujančių dalelių sklaidos uždavinį. Kai dalelės yra<br />
toli viena nuo kitos, funkciją f2 galima išreikšti viendalelių funkcijų sandaugos<br />
� � � �<br />
pavidalu f 2�z1,<br />
z2,<br />
t��f1�z1,<br />
t�<br />
f2�z<br />
2,<br />
t�<br />
- iš esmės tai funkcijos f2 kraštinė sąlyga. Čia<br />
šios lygties sprendimo detalių neaptarinėsime, jas galima surasti knygoje: Kerson<br />
Huang, „Statistical mechanics“, p. 69. Įrašius surastą dvidalelės funkcijos f2 išraišką<br />
į pirmą lygtį gaunama tokia susidūrimo nario formulė :<br />
�<br />
�<br />
�<br />
1,<br />
1 2<br />
1 1 1 2<br />
• Tai tiksliai sutampa su susidūrimo nario išraiška, kurią gavome, kai Boltzmano<br />
kinetinę lygtį išvedinėjome euristiniu, Boltzmano pasiūlytu metodu. Pirmoji BBGKY<br />
grandinėlės lygtis tuomet tiksliai sutampa su Boltzmano kinetine lygtimi:<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
� �t<br />
�<br />
p<br />
m<br />
� �<br />
� f<br />
r �<br />
�<br />
� 1 �<br />
� 1 �<br />
1<br />
1�z1,<br />
t�<br />
� �f<br />
� �<br />
� �t<br />
�<br />
�<br />
�<br />
susid<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�
Boltzmano kinetinės lygties pagrindimas (XV)<br />
• Taigi Boltzmano kinetinę lygtį galima išvesti iš tikslios Liouvilio lygties atliekant<br />
tokias operacijas:<br />
1.<br />
Pradžioje iš Liouvilio lygties gaunama sukabintų BBGKY lygčių grandinėlė<br />
daugiadalelėms<br />
funkcijoms f1 , f2 3<br />
nr � �n<br />
��1<br />
, ..., fN. 2. Išretintoms dujoms ( 0<br />
) ją galima nutraukti ties antra lygtimi.<br />
BBGKY grandinėlės nutraukimas ekvivalentus tridalelių susidūrimų nepaisymui.<br />
3. Išretintų dujų atveju dvidalelė funkcija greitai kinta laike ir erdvėje. Todėl<br />
dvidalelės funkcijos lygtį galima apytiksliai išspręsti ir išreikšti ją viendalele<br />
funkcija. Įrašius šią išraišką įviendalelės funkcijos lygtį gaunama uždara kinetinė<br />
lygtis, kuri sutampa su Boltzmano kinetine lygtimi.<br />
• Pastabos:<br />
1. Viendalelė funkcija f1 yra pilnos tankio funkcijos � (kuri apibrėžiama 6N –<br />
matėje � -erdvėje) projekcija į vienos dalelės 6-matę � -erdvę:<br />
2.<br />
� �<br />
f N ,<br />
1<br />
�r p,<br />
t��Ndz<br />
�dz<br />
��1,<br />
�,<br />
N t�<br />
�<br />
, 2<br />
Toks drastiškas dinaminių kintamųjų sumažinimas įmanomas tik išretintoms<br />
3<br />
dujoms ( � � nr 1).<br />
n<br />
0 ��<br />
Istoriškai, kinetinės fizikos tyrinėtojai padėjo nemažai pastangų, norėdami išvesti<br />
Boltzmano lygtį esant dideliems dalelių tankiams, kai �n yra vieneto eilės.<br />
Tačiau 1970 m. E.G.D. Cohen ir J.R. Dorfman įrodė, kad BBGKY grandinėlės<br />
neįmanoma išspręsti skleidžiant sprendinį � n laipsniais (animacija dideliems � n ).