Geometrija(TiesÄs
Geometrija(TiesÄs Geometrija(TiesÄs
irx − x(1.40)2m = y − y 2,ntai, kampas α tarp plok²tumos tiesiu, kai tieses duotos kanoninemis lygtimisgali b©uti surastas naudojantis formule:(1.41) cos α =m 1 m 2 + n 1 n√ √ 2.m21 + n 2 1 m22 + n 2 21.12.1 Tiesiu lygiagretumasErdves tiesiu, apibreºtu (1.36) ir (1.37) lygtimis, lygiagretumo s¡lyga:(1.42)m 1m 2= n 1n 2= p 1p 2.Plok²tumos tiesiu, apibreºtu (1.39) ir (1.40) lygtimis, lygiagretumo s¡-lyga:(1.43)m 1m 2= n 1n 2.1.12.2 Tiesiu statmenumasErdves tiesiu, apibreºtu (1.36) ir (1.37) lygtimis, statmenumo s¡lyga:(1.44) m 1 m 2 + n 1 n 2 + p 1 p 2 = 0.Plok²tumos tiesiu, apibreºtu (1.39) ir (1.40) lygtimis, statmenumo s¡-lyga:(1.45) m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0.1.13 Kampas tarp tieses ir plok²tumosPirma suraskime kamp¡ θ (θ ∈ [0, π)), tarp tieseix − x 0m = y − y 0= z − z 0n plygiagretaus vektoriaus −→ s = (m, n, p) ir plok²tumaiAx + By + Cz + D = 0statmeno vaktoriaus −→ n = (A, B, C). To kampo kosinusascos θ =Am + Bn + Cp√A2 + B 2 + C 2 √ m 2 + n 2 + p 2 .Tarkime, α yra kampas tarp tieses ir plok²tumos. Ai²ku, kad α ∈ [0, π/2].Beto⎧⎨πα = 2 − θ, jei [0, θ ∈ π ],2⎩θ − π 2 , jei ( π)θ ∈ 2 , π .8
[Jeigu θ ∈ 0, π ] ( π)( π), tai sin α = cos22 − α = cos θ. Jeigu θ ∈2 , π , tai( π)sin α = cos2 − α = cos(π − θ) = − cos θ. Taigi kampo tarp tieses irplok²tumos sinusas(1.46) sin θ =|Am + Bn + Cp|√A2 + B 2 + C 2 √ m 2 + n 2 + p 2 .1.13.1 Tieses ir plok²tumos lygiagretumasI² (1.46) formules gauname Tieses ir plok²tumos lygiagretumo s¡lyg¡:(1.47) Am + Bn + Cp = 0.1.13.2 Tieses ir plok²tumos statmenumasTiese statmena plok²tumai, kai vektoriai −→ n ir −→ s lygiagret©us, t.y. ju koordinatesproporcingos. Tieses ir plok²tumos statmenumo s¡lyg¡:(1.48)Am = B n = C p .1.14 Ta²ko atstumas nuo plok²tumos ir nuo tieses plok²tumojeTa²ko M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) atstumas nuo plok²tumos Ax + By + Cz + D = 0 yralygus(1.49) d = |Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D|√A2 + B 2 + C 2 .Ta²ko M 0 (x 0 , y 0 ) atstum¡ nuo plok²tumos tieses Ax + By + C = 0galima surasti naudojantis formule:(1.50) d = |Ax 0 + By 0 + C|√A2 + B 2 .2 ANTROSIOS EIL ES KREIV ES2.1 ElipseApibreºimas. Elipse vadinama geometrine vieta plok²tumos ta²ku, tokiu, kadatstumu nuo kiekvieno i² ju iki dvieju pastoviu plok²tumos ta²ku suma yra pastovi.Du pastov©us ta²kai, minimi elipses apibreºime, vadinami elipses ºidiniais.I²vesime elipses koordinatin¦ lygti, kai elipses ºidiniai guli x a²yje ir yra vienodainutol¦ nuo koordina£iu centro O(0, 0) per atstum¡ c. šidinius paºymekimeF 1 (−c, 0) ir F 2 (c, 0). Atstumas tarp ºidiniu bus lygus 2c. Elipses ta²kus ºymekime9
- Page 5 and 6: 1.6 Plok²tumos tieses, einan£ios
- Page 7: Tai yra tieses erdveje parametrine
- Page 11 and 12: 2.1.1 Elipses parametrine lygtisIve
- Page 13 and 14: Atkarpu ilgius uºra²¦ per koordi
- Page 15: Apibreºimas. Pavir²ius, gaunamas
irx − x(1.40)2m = y − y 2,ntai, kampas α tarp plok²tumos tiesiu, kai tieses duotos kanoninemis lygtimisgali b©uti surastas naudojantis formule:(1.41) cos α =m 1 m 2 + n 1 n√ √ 2.m21 + n 2 1 m22 + n 2 21.12.1 Tiesiu lygiagretumasErdves tiesiu, apibreºtu (1.36) ir (1.37) lygtimis, lygiagretumo s¡lyga:(1.42)m 1m 2= n 1n 2= p 1p 2.Plok²tumos tiesiu, apibreºtu (1.39) ir (1.40) lygtimis, lygiagretumo s¡-lyga:(1.43)m 1m 2= n 1n 2.1.12.2 Tiesiu statmenumasErdves tiesiu, apibreºtu (1.36) ir (1.37) lygtimis, statmenumo s¡lyga:(1.44) m 1 m 2 + n 1 n 2 + p 1 p 2 = 0.Plok²tumos tiesiu, apibreºtu (1.39) ir (1.40) lygtimis, statmenumo s¡-lyga:(1.45) m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0.1.13 Kampas tarp tieses ir plok²tumosPirma suraskime kamp¡ θ (θ ∈ [0, π)), tarp tieseix − x 0m = y − y 0= z − z 0n plygiagretaus vektoriaus −→ s = (m, n, p) ir plok²tumaiAx + By + Cz + D = 0statmeno vaktoriaus −→ n = (A, B, C). To kampo kosinusascos θ =Am + Bn + Cp√A2 + B 2 + C 2 √ m 2 + n 2 + p 2 .Tarkime, α yra kampas tarp tieses ir plok²tumos. Ai²ku, kad α ∈ [0, π/2].Beto⎧⎨πα = 2 − θ, jei [0, θ ∈ π ],2⎩θ − π 2 , jei ( π)θ ∈ 2 , π .8
Change language