Geometrija(Tiesės

M(x, y). Tarkime, kad atstumu nuo elipses ta²ko iki ºidiniu suma (ji pastovi)lygi 2a. Ai²ku ²i suma turi b©uti nemaºesne uº atstum¡ tarp ºidiniu, t.y. 2c ≤ 2a.I² elipses apibreºimo turimeF 1 M + F 2 M = 2a.Atkarpu ilgius uºra²¦ per koordinates gausime√(x + c)2 + y 2 + √ (x − c) 2 + y 2 = 2a.Pakel¦ abi lygties puses kvadratu turesimex 2 + 2cx + c 2 + y 2 + 2 √ (x + c) 2 + y 2√ (x − c) 2 + y 2 + x 2 − 2cx + c 2 + y 2 = 4a 2 .Arba suprastinusx 2 + c 2 + y 2 − 2a 2 = − √ (x + c) 2 + y 2√ (x − c) 2 + y 2 .Dar kart¡ pakeliame kvadratu:x 4 + c 4 + y 4 + 4a 4 + 2x 2 c 2 + 2x 2 y 2 − 4x 2 a 2 + 2c 2 y 2 − 4c 2 a 2 − 4y 2 a 2Suprastiname:= (x 2 + 2cx + c 2 + y 2 )(x 2 − 2cx + c 2 + y 2 )= x 4 − 2cx 3 + x 2 c 2 + x 2 y 2 + 2cx 3 − 4c 2 x 2 + 2c 3 x + 2cxy 2+ c 2 x 2 − 2c 3 x + c 4 + c 2 y 2 + x 2 y 2 − 2cxy 2 + c 2 y 2 + y 4 .(a 2 − c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 − c 2 ).Kai a > c galime abi lygties puses dalinti i² a 2 (a 2 − c 2 ). Ived¦ paºymejim¡b 2 = a 2 − c 2 galutinai gausime elipses kanonin¦ lygti:(2.1)x 2a 2 + y2b 2 = 1.Kai a = c, turime ne elips¦, o tik atkarp¡: −c ≤ x ≤ c, y = 0.Ta²kas O(0, 0) yra elipses (2.1) centras. Past©um¦ elips¦ taip, kad jos centrasatsidurtu ta²ke C(x 0 , y 0 ), gausime toki¡ elipses kanonin¦ lygti:(2.2)(x − x 0 ) 2a 2 + (y − y 0) 2b 2 = 1.Taigi ta²kas C(x 0 , y 0 ) vadinamas elipses centru. Ta²kai V x1 (x 0 +a, y 0 ), V x2 (x 0 −a, y 0 ), V y1 (x 0 , y 0 + b), V y2 (x 0 , y 0 − b) elipses vir²©unemis. Atkarpa V x1 V x2didºi¡ja a²imi, o atkarpa V y1 V y2 maº¡ja a²imi. a ir b yra didºiojo ir maºojopusa²iu ilgiai. Ta²kai F 1 (x 0 − c, y 0 ) ir F 2 (x 0 + c, y 0 ) vadinami elipses ºidiniais.Kai a = b elipse virsta apskritimu. Jeigu b > a elipse yra i²t¦stay a²ies kryptimi ir ºidiniai bus i²sidest¦ vertikaliai. Tieses x = x 0 ir y = y 0vadinamos elipses simetrijos a²imis. Skai£ius ε = c vadinamas elipses ekscentricitetu.Elipses ekscentricitetas visuomet yra maºesnis uº 1 ir parodoakiek elipse skiriasi nuo apskritimo. Kai ε = 0 elipses ºidiniai sutampa, patielipse tampa apskritimu.10