Analizinė geometrija 3D - techmat.vgtu.lt

1 Parašyti bendrąją lygti plokštumos, kuriai priklauso plokštumų 2 x − y −12z
− 3 = 0 ,
3 x + y − 7z
− 2 = 0 susikirtimo tiesė ir kuri statmena plokštumai x + 2 y + 5z
− 9 = 0 .
2
Ar taškai A(2; -1;-2), B(1; 2;1), C(2; 3;0) ir D(5; 0;-6) priklauso vienai plokštumai?
3 r r r r r r r r r r r r
Duoti vektoriai a = 2 i − j + 3k
, b = i − 3 j + 2k
ir c = 3i
+ 2 j − 4k
. Rasti vektorių x r tenkinantį
sąlygas x r ⋅ a
r = −5
, r
x ⋅ b
r
= − 11 ir x r ⋅ c
r = 20 .
4 Apskaičiuoti lygiagretainio, nubraižyto ant vektorių a = 6i
+ 3 j − 2k
ir b = 3 i − 2 j + 6k
plotą.
5 Parašyti lygtis tiesių, gaunamų susikertant plokštumai 5 x + 2y
− 3z
−10
= 0 su koordinatinėmis
plokštumomis.
6
Ar vektoriai
a = i + j + mk
, b = i + j + ( m + 1)k
ir c = i − j + mk
yra komplanarūs?
7 Parašyti bendrąją lygtį plokštumos, kuriai priklauso plokštumų x + 2 y + 3z
− 5 = 0,
3 x − 2y
− z + 1 = 0 susikirtimo tiesė ir kuri atkerta lygias atkarpas ašyse Ox ir Oz.
8 Taškas, kurio pradinė padėtis P(5; -1; 2) juda lygiagrečiai Oy ašiai. Rasti jo trajektorijos susikirtimo
su plokštuma x − 2 y − 3z
+ 7 = 0 koordinates.
9 Parašyti lygtį plokštumos, kuri nutolusi nuo koordinačių pradžios 6 vienetais ir kuri koordinatinėse
ašyse atkerta atkarpas santikiu a : b : c = 1: 3: 2 .
10 Duoti vektoriai a r ( 3;
−1;5
) ir ( 1;2;
−3)
statmeną Oz ašiai.
b r . Rasti vektorių x r tenkinantį sąlygas x r ⋅ a
r = 9 , r
x ⋅ b
r
= − 4 ir
11 Parašyti bendrąją lygti plokštumos, statmenos plokštumai 2x − y + 5z
− 3−
0 ir kuriai priklauso
dvejų plokštumų x − 2 y − 3z
+ 2 = 0, 2 x − 4y
+ 5z
+ 4 = 0 susikirtimo tiesė.
12 Plokštumoje 3 x − 7y
+ 3z
+ 9 = 0 rasti tokį tašką A, kad tiesė OA su koordinatinėmis ašimis
sudarytų vienodus kampus.
13 Rasti vektorių x r žinant, kad jis yra statmenas į vektorius a r ( 2;3;
−1)
ir ( 1;
−2;3)
r
x ⋅
r r r
( 2i
− j + k ) = −6
.
14 Parašyti bendrąją lygti plokštumos, kuriai priklauso taškas A(1; 1; 1) ir plokštumų
4 x − y + 3z
−1
= 0 ir x + 5 y − z + 2 = 0 susikirtimo tiesė.
b r
ir tenkina sąlygą:
15
16
Parašyti bendrąją lygtį plokštumos, kuriai priklauso taškas A(-8; 1; 7) ir kuri lygiagreti plokštumai
yOz.
Tetraedro tūris lygus 5, trys jo viršūnės yra taškuose A(2; 1;-1), B(3; 0;1), C(2; -1;3). Rasti ketvirtos
viršūnės koordinates, jei žinoma, kad jį yra ant OY ašies.

17 Vektorius x r r r r r r r r
statmenas į vektorius a = 3 i + 2 j + 2k
ir b = 18i
− 22 j − 5k
, su ašimi OY sudaro
buką kampą. Rasti jo koordinates, žinant, kad x r = 14 .
18
19
Parašyti bendrąją lygtį plokštumos, kuriai priklauso taškas A(4; -4; 3) ir kuri lygiagreti plokštumai
4 x − 7y
− 7z
− 25 = 0 .
Parašyti bendrąją lygti plokštumos, kuriai priklauso taškai A(0; 2; 0) ir B(2; 0; 0) ir kuri sudaro
kampą su plokštuma yOx.
o
60
20
Rasti turį gretasienio sudaryto vektoriais
a = 3 i + 4 j , b = −3 j + k ir c = 2 j + 5k
.
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Parašyti bendrąją lygti plokštumos, kuriai priklauso taškai A(-1; 4; -1) ir B(-13; 2; -10) ir kuri Ox ir
Oz ašyse atkerta vienodo ilgio atkarpas.
Koks atstumas tarp plokštumų 2 x −11y
+ 10z
−10
= 0 ir 2 x −11y
+ 10z
−100
= 0 .
Apskaičiuoti lygiagretainio, nubraižyto ant vektorių a ( 1; 2)
ir ( 3; 4)
b plotą.
Ašyje Oy rasti tašką vienodai nutolusi nuo taško A(1; 0; -2) ir nuo plokštumos 3 x + 6y
− 2z
− 9 = 0.
Koks kampas tarp plokštumų x − y + 2 z+
8 = 0 ir yOz ?
Ašyje Oz rasti tašką , vienodai nutolusį nuo plokštumų x + 4 y − 3z
− 2 = 0, 5 x + z + 8 = 0 .
Raskite vektorių x , žinodami, kad jis yra statmenas vektoriams a ( 2;
− 3;1)
ir ( 1; - 2; 3)
sąlyga x ( 1 ; 2; − 7) = 10 .
Rasti vektorių x r kolinearų vektoriui ( 2;1;
−1)
a r ir tenkinantį sąlygą x r ⋅ a
r = 3 .
b ir tenkina
Apskaičiuti tūrį piramidės,kurį sudaro koordinatinės plokštumos ir plokštuma 2 x − 3y
+ z − 6 = 0 .
Apskaičiuoti kampo tarp vektorių a ( 2;
− 2;1)
ir ( 2; 3; 6)
b sinusą.
Rasti plokštumų 5 x + 8y
− z − 7 = 0 , x + 2 y + 3z
−1
= 0 ir 2 x − 3y
+ 2z
− 9 = 0 bendrą tašką.

32
33
34
35
36
37
38
Parašyti bendrąją lygti plokštumos, kuriai priklauso ašis Oy ir taškas A(-3; 2; 4).
Duotos trikampio viršūnės A(1; -1; 2), B(5; -6; 2) ir C(1; 3;-1). Apskaičiuoti aukštinės, nuleistos iš
viršūnės B į kraštinę AC ilgį.
Parašyti bendrąją lygti plokštumos, kuriai priklauso taškas A(1; 2; 3) ir kuri statmena plokštumoms
x + 3 y − z + 5 = 0 , 2 y + 5z
−10
= 0 .
Parašyti bendrąją lygtį plokštumos, kuriai priklauso koordinačių pradžia ir taškai A(3; -2; 1), B(1; 4;
0).
Ar taškai A(5; 7;-2), B(3; 1;-1), C(9; 43;-4) ir D(1; 5;0) priklauso vienai plokštumai?
Parašyti bendrąją lygti plokštumos, atkertančios ašyje Oz atkarpą c = −8
ir statmenos vektoriui
n 1;
3; − 2 .
( )
Rasti tiesės, statmenos plokštumai 2 x − y + 2z
+ 9 = 0 ir einančios per koordinačių pradžia
kanonines lygtys.
39
Apskaičiuoti plotą ir įstrižainės lygiagretainio nubraižyto ant vektorių
a = k − j ir b = i + j + k .
40
41
42
43
44
Parašyti bendrąją lygti plokštumos, jei žinoma, kad taškas A(-8; -6; -1) yra statmens, nuleisto iš
koordinačių pradžios, pagrindas.
Plokštuma koordinatinėse ašyse atkerta atkarpas a = 11, b = 55 ir c = 10 . Parašyti tiesės, statmenos
šiai plokštumai krypties kosinusus.
Duoti du taškai A(1; 3; -2), B(7; -4; 4). Parašyti bendrąją lygtį plokštumos, kuriai priklauso taškas B
ir kuri statmena atkarpai [AB].
Parašyti bendrąją lygtį plokštumos, kuriai priklauso taškas A(7; -5; 1) ir kuri atkerta koordinatinėse
ašyse teigiamas vienodo ilgio atkarpas.
Vektorius x r yra kolinearus vektoriui ( 6;
−8;
−7.5)
x r = 50 , rasti jo koordinates.
a r
, sudaro su ašimi Oz smailų kampą. Žinant, kad

45
46
Dvi kubo sienos priklauso plokštumoms 4 x + 3z
−12
= 0 , 4 x + 3z
+ 28 = 0 . Rasti kubo tūrį.
Parašyti bendrąją lygti plokštumos, kuriai priklauso taškas A(0; -6; 5) ir kuri statmena ašiai Oz.
47
Paršyti lygtį plokštumos, lygiagrečios plokštumai 2 x − 2y
− z + 8 = 0 ir nutolusiai nuo jos 8/3
vienetų.
48 r r r r r r r
Kokiai skaičiaus α reikšmei vektoriai a =α i − 3 j + 2k
ir b = i + 2 j −α k yra statmeni?
49
50
51
52
53
54
55
Plokštumai priklauso taškas A(3; 3; 10). Ši plokštuma ašyse Ox ir Oz atkerta atkarpas a = −5, c = 1.
Parašyti jos bendrąją lygtį.
Duotos keturkampio viršūnės: A(–1; –2; 4), B(1; 4; 0), C(–4; 1; 1) ir D(–5; –5; –3). Patikrinti, ar jo
įstrižainės AC ir BD yra tarpusavyje statmenos.
Parašyti bendrąją lygtį plokštumos, kuriai priklauso taškas A(0; 2; 1) ir kuri lygiagreti vektoriams
a = i + j + k ir b = i + j − k .
Per tašką A(-5; 16; 12) nubrėžtos dvi plokštumos, vienai iš jų priklauso ašis Ox, kitai — Oy. Koks
kampas tarp šių plokštumų?
Iš taško A(2; 3; -5) į koordinatines plokštumas nuleisti statmenys. Parašyti plokštumos, kuriai
priklauso statmenų pagrindai,bendrąją lygtį.
Parašyti bendrąją lygtį plokštumos, dalijančios atkarpą tarp taškų A(-6; -8; 1) ir A(-2; 6; 5) pusiau ir
statmenos šiai atkarpai.
Parašyti bendrąją lygtį plokštumos, atkertančios koordinatinėse ašyse Ox ir Oy atkarpas a = −2
ir
= 5
l 2;
− 3; 4 .
b ir lygiagrečios vektoriui ( )