X - techmat.vgtu.lt
X - techmat.vgtu.lt
X - techmat.vgtu.lt
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Matematika 3<br />
doc. dr. Vadimas Starikovičius<br />
vs@<strong>vgtu</strong>.<strong>lt</strong><br />
www.<strong>techmat</strong>.<strong>vgtu</strong>.<strong>lt</strong>/~vs<br />
VGTU Matematinio modeliavimo katedra<br />
VGTU Lygiagrečiųjų skaičiavimų laboratorija
Modulio kodas - FMMMB03701<br />
Modulio apimtis - 4 kr. (6 ECTS kr.)<br />
Mokymo metodai:<br />
• Paskaitos – 48 val. per semestrą<br />
• Pratybos – 32 val. per semestrą<br />
Vertinimas = Egzaminas (50%) + Kolokviumas (30%)<br />
+ Pratybos (20%)
LITERATŪRA<br />
Pagrindinė:<br />
J. Aksomaitis. Tikimybių teorija ir statistika : vadovėlis aukštųjų mokyklų<br />
studentams. - Kaunas : Technologija, 2000.<br />
V. Čekanavičius, G. Murauskas. Statistika ir jos taikymai.- Vilnius, TEV, 2003, t.t.1-2.<br />
J. Raulynaitis. Tikimybių teorija. – Vilnius, Technika, 2000<br />
J. Raulynaitis ir kt. Matematinė statistika. – Vilnius, Technika, 1997<br />
J. Raulynaitis ir kt. Matematinės statistikos uždavinynas. – Vilnius, Technika, 1997<br />
Papildoma:<br />
A. Apynis, E. Stankus. Matematika. - Vilnius, TEV, 2001 (10-11 skyriai)<br />
J. Kruopis. Matematinė statistika. – Vilnius, 1993<br />
Б. В. Гнеденко. Курс теории вероятностей, М.: Наука, 1965.<br />
Н.Ш. Кремер. Теория вероятностей и математическая статистика. – Москва,<br />
Юнити-Дана, 2002<br />
3
Tikimybių teorija - mokslas apie atsitiktinius įvykius ir dydžius, jų<br />
matematinė analizė.<br />
Tai yra tokia matematikos sritis, su kurios pagalba atrandami ir<br />
nagrinėjami atsitiktinių reiškinių dėsningumai.<br />
Atsirado 17 a. iš kombinatorikos, sprendžiant azartinių lošimų<br />
uždavinius. Pradininkai – B. Paskalis (Pascal), P.Ferma (Fermat), K.<br />
Hiugensas (Huygens), J.Bernulis (Bernoulli).<br />
Tikimybių teorijos ir matematinės statistikos metodai naudojami fizikoje,<br />
biologijoje, ekonomikoje, bankininkystėje, medicinoje, lingvistikoje ir t.t.<br />
4
Tikimybinis matematinis modelis<br />
Norint analizuoti atsitiktinį reiškinį (arba eksperimentą) tikimybiniais metodais<br />
turi būti sudarytas jo tikimybinis matematinis modelis, t.y. turi būti formaliai<br />
apibrėžtos:<br />
1) elementariųjų įvykių erdvė Ω;<br />
2) jos poaibių σ algebrą F, kurios elementai yra atsitiktiniai įvykiai;<br />
3) funkcija P, nusakanti kiekvieno atsitiktinio įvykio A tikimybę P(A).<br />
Trejetas (Ω, F, P) vadinamas tikimybine erdve.<br />
5
Elementariųjų įvykių erdvė Ω<br />
Atsitiktinis įvykis - tai bandymo/eksperimento/atsitiktinio proceso rezu<strong>lt</strong>atas.<br />
Įvykiai, negalintys pasirodyti kartu, vadinami nesutaikomaisiais.<br />
Nesutaikomieji įvykiai. neskaidomi į atskirus įvykius, vadinami<br />
elementariaisiais.<br />
Įvykiai, susidedantys iš elementariųjų, vadinami sudėtiniais.<br />
Sakysime, kad elementariųjų įvykių erdvė Ω yra sudaryta, jeigu yra žinomi visi<br />
jos elementai (elementarieji įvykiai) arba nurodytas jų gavimo algoritmas.<br />
Pavyzdžiai:<br />
1) Metamas lošimo kauliukas. Šio atsitiktinio eksperimento elementariųjų<br />
įvykių erdvė -<br />
Ω<br />
=<br />
{ ω 1,<br />
ω 2,<br />
ω 3,<br />
ω 4,<br />
ω 5,<br />
ω 6}<br />
2) Tiriamas lempos ilgaamžiškumas. Lempos veikimo trukmės elementariųjų<br />
įvykių erdvė -<br />
Ω<br />
=<br />
{ ω = t : t ∈ [0, ∞<br />
Ω gali būti baigtinė, begalinė skaičioji ir neskaičioji, vienmatė, daugiamatė, t.t.<br />
)}.<br />
6
Atsitiktinių įvykių aibė F, kai Ω yra baigtinė.<br />
Kai Ω yra baigtinė, apibrežiame F kaip visų erdvės Ω poaibių aibę.<br />
Aibės F elementus (žymėsime didžisiomis raidėmis, pvz. A) vadinsime<br />
atsitiktiniais įvykiais, t.y.<br />
A ∈<br />
F<br />
Įvykis A=Ω, t.y kuris būtinai įvyksta, vadinamas būtinuoju įvykiu.<br />
Įvykis A=Ø, t.y kuris negali įvykti, vadinamas negalimuoju įvykiu.<br />
Pavyzdys. Metamas lošimo kauliukas. Užrašykime keletą atsitiktinių įvykių.<br />
1) Atvirto lyginis akučių skaičius. A = { ω<br />
2,<br />
ω<br />
4,<br />
ω<br />
6}<br />
2) Atvirto ne daugiau kaip 3 akutės. B = { ω<br />
1,<br />
ω<br />
2,<br />
ω<br />
3}<br />
3) Atvirtusių akučių skaičius dalijasi iš 7. C=Ø.<br />
4) Atvirto sveikasis akučių skaičius. D=Ω.<br />
⊂<br />
Ω<br />
.<br />
7
Veiksmai su įvykiais<br />
Sakykime, duota fiksuota elementariųjų įvykių erdvė Ω ir jos poaibių sistema F..<br />
Jei pasirodžius įvykiui A pasirodo įvykis B, tai sakoma, kad įvykis A yra įvykio<br />
B atskiras atvejis ir rašoma A ⊂ B. Tai reiškia, kad kiekvienas elementarusis<br />
įvykis, įeinantis į A ( ω ∈ A) , įeina į B ( ω ∈ B)<br />
(elementariųjų įvykių aibė A yra<br />
elementariųjų įvykių aibės B poaibis).<br />
Ω<br />
A<br />
B<br />
⊂ ⊂ ⊂<br />
Bet kuriam A teisingos formulės: Ø A Ω ir A A.<br />
Jei A B ir B C, tai A C.<br />
⊂<br />
⊂ ⊂ ⊂<br />
⊂<br />
Jei A B ir B A, tai sakoma, kad šie įvykiai lygūs ir rašoma A=B.<br />
Bet kuriam A teisingos formulės: A = A. Be to, jei A = B, tai B = A. Jei A = B ir<br />
B = C , tai A = C.<br />
8
Veiksmai su įvykiais<br />
Dviejų įvykių A ir B sąjunga A B = { ω : ω ∈ A arba ω ∈ B} (arba suma A+B)<br />
vadinamas toks įvykis, kai pasirodo bent vienas iš dvejų įvykių.<br />
A B=B A, (A B) C=A (B C). Jei A ⊂ B, tai A B=B. Ø A=A, Ω A= Ω,<br />
A A=A.<br />
Ω<br />
A<br />
B<br />
Dviejų įvykių A ir B sankirta A B = { ω : ω ∈ A ir ω ∈<br />
vadinamas toks įvykis, kai pasirodo ir A, ir B.<br />
A B=B A, (A B) C=A (B C).<br />
Jei A ⊂ B, tai A B=A. Ø A= Ø, Ω A= A, A A=A.<br />
Sumos ir sandaugos veiksmai susieti lygybėmis<br />
(A+B)C=AC+BC<br />
(AB)+C=(A+C)(B+C)<br />
Ap. Įvykiai A ir B yra nesutaikomi, jei A B= Ø.<br />
Ω<br />
A<br />
B}<br />
B<br />
(arba sandauga AB)<br />
9
Veiksmai su įvykiais<br />
Dviejų įvykių A ir B skirtumų A \ B = { ω : ω ∈ A, bet ω<br />
vadinamas toks įvykis, kai A pasirodo, o B nepasirodo.<br />
∉<br />
B}<br />
(arba A-B)<br />
A<br />
B<br />
Ω<br />
Ap. Įvykis Ω-A vadinamas priešingu įvykiui A ir žymimas A .<br />
A<br />
A<br />
A ir A suma yra būtinasis įvykis: A + A = Ω . Teisingos lygybės:<br />
A \ B = A B, A B = A B, A B = A B.<br />
10
Atsitiktinių įvykių σ algebrą F.<br />
Kai Ω yra begalinė, apibrežiame F kaip tokių erdvės Ω poaibių aibę, kad<br />
patenkintos 3 aksiomos:<br />
1)<br />
Ω<br />
2) Kai , tai ;<br />
3) Jei<br />
∈ F ;<br />
A ∈<br />
A ∈<br />
Tokia poaibių aibė vadinama σ algebra. Atsitiktiniais įvykiais vadinami σ<br />
algebros F elementai, t.y.<br />
σ algebra F yra uždara veiksmų su atsitiktiniais įvykiais atžvilgiu, t.y.<br />
atliekdami veksmus su atsitiktiniais įvykiais (F elementais), gauname<br />
atsitiktinius įvykius (F elementus):<br />
1) Suma (sąjunga): akivaizdu (3 aksioma).<br />
2) Sandauga (sankirta):<br />
3) Skirtumas:<br />
F A ∈ F<br />
F, kai k = 1, ∞ , tai<br />
∞ k<br />
k = 1<br />
kai A ∈<br />
A ∈<br />
F.<br />
A<br />
k<br />
.<br />
kai A ∈ F ir B ∈ F, tai A B ∈ F, nes A B =<br />
F ir B ∈ F, tai A \ B ∈ F, nes A \ B = A B ∈ F.<br />
A B ∈<br />
F.<br />
11
Aksiominis tikimybės apibrėžimas. Tikimybės savybės.<br />
Tikimybinės erdvės (tikimybinio matematinio modelio) (Ω, F, P) funkcija P,<br />
nusakanti kiekvieno atsitiktinio įvykio A tikimybę P(A) (angliškai -<br />
Probability) gali būti apibrėžta įvairiais būdais. Žinomi klasikinis, statistinis,<br />
geometrinis būdai.<br />
1933 metais A.Kolmogorovas suformulavo abstrakčias matematines aksiomas,<br />
kurias turi tenkinti funkcija P (kaip ji bebūtų apibrėžta konkretaus<br />
eksperimento modelyje), kad būtų gautas neprieštaringas modelis.<br />
Aksiominis tikimybės apibrėžimas. Įvykio A tikimybę vadiname skaitinę<br />
funkciją P=P(A), apibrėžtą σ algebroje F ir tenkinančią aksiomas:<br />
1) P(A) ≥ 0;<br />
2) P(Ω)=1;<br />
3a) Jei F baigtinė: P (A B) = P(A) + P(B), kai A B = 0.<br />
∞<br />
3b) Jei F begalinė: P(<br />
A<br />
k<br />
) = ∑ ∞ P(A<br />
k<br />
), kai Ak<br />
A<br />
m<br />
= 0 su visais k ≠ m.<br />
k = 1 k = 1<br />
Įrodykite, kad taip apibrėžta funkcija P turi šias savybes:<br />
1) P(Ø)=0;<br />
2) Jei A ⊂ B, tai P(B\A) = P(B)-P(A) ir P(A) ≤ P(B);<br />
3) 0 ≤ P(A) ≤ 1;<br />
4) P(A)<br />
= 1 − P(A).<br />
12
Aksiominis tikimybės apibrėžimas yra bendras, neprieštringas, bet abstraktus.<br />
Jis nenurodo algoritmo, kaip apskaičiuoti tikimybę konkrečiu atveju.<br />
Pasirodo, kad Kolmogorovo aksiomų sistema yra nepilna, t.y. tikimybę galima<br />
apibrėžti nevienareikšmiškai, t.y. keliais būdais.<br />
Pavyzdys. Dalambero klaida.<br />
Taisyklingoji moneta metama du kartus. Sudarykite šio eksperimento<br />
matematinį modelį ir apskaičiuokite įvykio A - {nors vieną kartą atvirto<br />
herbas} tikimybę.<br />
13
Jei<br />
Klasikinis tikimybės apibrėžimas<br />
elementariųjų įvykių erdvė yra baigtinė<br />
{ ω<br />
1,<br />
ω<br />
2,<br />
,<br />
ω<br />
n},<br />
elementarieji įvykiai yra vienodai tikėtini,<br />
tai įvykio A = { ω<br />
j<br />
, ω<br />
j<br />
, ,<br />
ω<br />
j<br />
}, 1 ≤ j1<br />
, j2,<br />
,<br />
jk<br />
≤ n<br />
1 2<br />
k<br />
tikimybė apibrėžiama kaip<br />
k<br />
P (A) = ,<br />
n<br />
čia n - atitinkamo bandymo vienodai galimų elementariųjų įvykiu bendras<br />
skaičius, k – vienodai galimų elementariųjų įvykių, sudarančių įvykį A.<br />
skaičius. Dar sakoma, kad k yra elementariųjų įvykių, palankių įvykiui A,<br />
skaičius. Jei įvykis A yra elementarusis, lai k = 1.<br />
Klasikinis tikimybės apibrėžimas siejamas su P. Laplaso (Laplace) ir<br />
J. Bernulio (Bernoulli) vardais.<br />
Įsitikinkite, kad klasikinė tikimybė tenkina aksiominės tikimybės aksiomas.<br />
Ω<br />
=<br />
Klasikinės tikimybės metodas gali būti taikomas atsitiktiniems reiškiniams,<br />
kuriems būdingas nurodytas simetriškumas.<br />
14
Klasikinių tikimybių skaičiavimas. Kombinatorika.<br />
Kombinacijų daugybos taisyklė<br />
Jei pirmiesiems elementams a parinkti yra m būdų, o antriesiems elementams<br />
b parinkti yra n būdų, tai poroms (a, b) parinkti yra mn būdų. Jei pirmiesiems<br />
elementams o parinkti yra m būdų, antriesiems elementams b parinkti - n būdų,<br />
o tretiesiems elementams c parinkti - k būdų, tai trejetams (a, b, c) parinkti yra<br />
mnk būdų.<br />
Yra trys pagrindinės junginių rūšys: gretiniai, kėliniai ir deriniai. Be to,<br />
kiekvienas iš jų gali būti be pasikartojimų ir su pasikartojimais.<br />
Gretintai be pasikartojimu. Iš k skirtingų elementų, kurių iš viso yra n,<br />
sudaromi junginiai. Jie laikomi skirtingais, jei skiriasi bent vienu elementu arba<br />
yra sudaryti iš tų pačių elementų, bet skiriasi elementų išdėstymo tvarka. Tokie<br />
junginiai vadinami gretiniais be pasikartojimų. Jų bendras skaičius žymimas A n<br />
(angliškai - arrangement) ir apskaičiuojamas pagal formulę<br />
A k n<br />
= n(<br />
n −<br />
1)...( n −<br />
Pavyzdžiai:<br />
( n − k)!<br />
1) Yra 17 komandų. Keliais būdais gali būti paskirstyti aukso, sidabro ir<br />
bronzos medaliai?<br />
Atsakymas. 17 x 16 x 15 = 4080.<br />
2) Grupėje yra 25 studentai. Keliais būdais galima išrinkti grupės seniūną ir<br />
jo pavaduotoją?<br />
Atsakymas. 25 x 24 = 600.<br />
k +<br />
1) =<br />
n!<br />
15
Klasikinių tikimybių skaičiavimas. Kombinatorika.<br />
Gretimai su pasikartojimais. Iš n skirtingų elementų sudaromi k-elemenčiai junginiai.<br />
Junginį gali sudaryti ir vienodi elementai. Du junginiai laikomi skirtingais, jei skiriasi juos<br />
sudarantys elementai arba elementų išdėstymo tvarka. Tokie junginiai vadinami gretiniais<br />
su pasikartojimais. Jų bendras skaičius apskaičiuojamas pagal formulę<br />
A =<br />
k<br />
n<br />
n<br />
Kėliniai be pasikartojimų, n-elemenčiai junginiai, sudaryti iš n skirtingų elementų,<br />
besiskiriantys tik elementų išdėstymo tvarka, vadinami kėliniais be pasikartojimų. Jų<br />
bendras skaičius žymimas ir apskaičiuojamas taip: P n<br />
= n! (angliškai - permutation).<br />
Kėliniai su pasikartojimais. Jei iš visų n elementų yra k skirtingų tipų: n 1<br />
- pirmojo tipo<br />
elementų, t. y. elementų a, n 2<br />
- antrojo tipo elementų, t. y. elementų b, n 3<br />
- trečiojo tipo<br />
elementų, t. y. elementų c, ir t.t., n k<br />
, - k-tojo tipo elementų, t. y. elementų x; čia<br />
n=n 1<br />
+n 2<br />
+n 3<br />
+...+n k .<br />
Kėlinių su pasikartojimais formulė:<br />
n!<br />
P ( n1,<br />
n2,...,<br />
nk<br />
) =<br />
n ! n !... n !<br />
Deriniai (be pasikartojimų). Tai visi galimi k-elemenčiai junginiai, sudaryti iš n elementų<br />
pok, besiskiriantys bent vienu elementu (jų išdėstymo tvarka nesvarbi). Derinių<br />
(combination) bendras skaičius apskaičiuojamas pagal formulę<br />
k<br />
k n!<br />
An<br />
Cn =<br />
=<br />
k!(<br />
n − k)!<br />
k!<br />
k<br />
1<br />
2<br />
k<br />
16
Statistinis tikimybės apibrėžimas<br />
Tarkime, kad turime sąlygų kompleksą K, kurį galime realizuoti daug kartų.<br />
Kiekvieną kartą, jį realizavus, atsitiktinis įvykis A gali įvykti arba neįvykti.<br />
Pažymėkime m n<br />
(A) įvykio A pasirodymų skaičių, atlikus n eksperimentų.<br />
Santykis m n<br />
(A) / n = ν n<br />
(A) yra vadinamas įvykio A statistiniu dažniu.<br />
Imkime paprasčiausią eksperimentą: monetos mėtymą. Tegu įvykis A – herbo<br />
atvirtimas. Metus ją n kartų (pvz., 10) nesunkų apskaičiuoti herbo atvirtimų (t.y.<br />
įvykio A) statistinį dažnį.<br />
Kas<br />
G. Buffon<br />
W. Feller<br />
K.Pearson<br />
Kada<br />
XXI a.<br />
XXI a.<br />
XVIII a.<br />
XX a.<br />
XX a.<br />
XXI a.<br />
n<br />
10<br />
10<br />
4040<br />
10000<br />
24000<br />
100000<br />
m n<br />
(A)<br />
2048<br />
4979<br />
12012<br />
ν n<br />
(A)<br />
0,5069<br />
0,4979<br />
0,5005<br />
?<br />
Matome, kad statistinis dažnis, kai bandymų skaičius serijose yra didelis,<br />
svyruoja nedideliame intervale. Sakome, kad toks statistinis dažnis yra stabilus.<br />
Statistinis tikimybės apibrėžimas. Įvykio A tikimybe vadiname skaičiu P(A),<br />
apie kurį telkiasi įvykio santykiniai dažniai, kai eksperimentų skaičius n serijose<br />
yra didelis.<br />
Taigi herbo atvirtimo tikimybe galime laikyti P(A) = ½.<br />
17
Statistinis tikimybės apibrėžimas<br />
Kitas pavyzdys. Naujagimių registravimo duomenys rodo, kad kasmet<br />
berniukų gimsta maždaug 51%. Vadinasi, berniuko gimimo tikimybę galime<br />
laikyti lygia 0,51.<br />
Gamybos brokas, techninių sistemų sutrikimai, susirgimai, mirtingumas,<br />
meteorologiniai reiškiniai ir t.t. - tai masinių atsitiktinių reiškinių pavyzdžiai, su<br />
jiems būdingu statistinių dažnių stabilumu.<br />
Tokiems reiškiniams apibūdinti taikomas statistinis tikimybių skaičiavimo<br />
metodas.<br />
Pastaba. Statistinis įvykio A dažnis tenkina tikimybės aksiomas. Įsitikinkite.<br />
18
Geometrinis tikimybės apibrėžimas<br />
Tarkime, elementariųjų įvykių erdvė Ω yra Euklido erdvės R n (n=1,2,3)<br />
baigtinio mato (ilgio, ploto, tūrio) sritis, o elementarusis įvykis ω bet kuris Ω<br />
taškas.<br />
Šiuo atveju negalime taikyti klasikinio tikimybės apibrėžimo, nes gautume,<br />
kad P(ω)=0, nes taškų skaičius yra begalinis.<br />
Negalime laikyti atsitiktiniu įvykiu bet kokį srities Ω poaibį. Atsitiktiniu<br />
įvykiu laikysime bet kokį išmatuojama (turintį ilgį, plotą, tūrį) erdvės Ω<br />
poaibį.<br />
Vienodo tikėtinumo (galimumo) principą siejame ne su atskirais<br />
elementariais įvykiais, o su sritimis: galimybės atsitiktinai pasirinkti tašką<br />
iš sričių, turinčių vienodą matą, yra vienodos.<br />
Jei šis principas galioja, tai įvykio A tikimybę apibrėžiame taip:<br />
| A |<br />
P(A) = ,<br />
| Ω |<br />
čia |A| - srities A matas, t.y. geometriniu būdu apibrėžta tikimybė yra ilgių,<br />
plotų arba tūrių santykis.<br />
Toks apibrėžimas tenkina aksiominio apibrėžimo sąlygas. Įsitikinkite.<br />
19
Tikimybių sudėties teorema<br />
1 teorema. Jei A ir B yra nesutaikomieji įvykiai, tai P(A+B)=P(A)+P(B).<br />
Pastaba. Šis teigimys Kolmogorovo aksiominiame tikimybės apibrėžime<br />
laikomas aksioma.<br />
Išvada. Jei A, B, C yra nesutaikomieji įvykiai, tai<br />
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).<br />
2 teorema. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).<br />
Išvada. P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC).<br />
Kai sumuojamas didelis skaičius sutaikomųjų įvykių tenka atlikti daug<br />
skaičiavimų. Kartais rezu<strong>lt</strong>atą galima gauti greičiau panaudojant formule<br />
P(<br />
n<br />
<br />
k = 1<br />
A<br />
k<br />
) = 1−<br />
P(<br />
n<br />
<br />
k = 1<br />
A<br />
k<br />
).<br />
20
Sąlyginės tikimybės. Tikimybių daugybos teoremos.<br />
Įvykio A sąlyginė tikimybė P(A|B) tai tokia įvykio A tikimybė, kuri<br />
apskaičiuojama žinant, kad įvykis B yra pasirodęs. Jos aksiominis apibrežimas:<br />
P(A|B)=P(AB) / P(B), (P(B) > 0).<br />
Analogiškai P(B|A)=P(AB) / P(A), (P(A) > 0).<br />
Akivaizdu, kad P(A|Ω)=P(A) ir P(A|A)=1.<br />
Tikimybių daugybos teorema. P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A).<br />
1 Išvada. P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). (Įrodykite)<br />
Jei įvykio B pasirodymas nekeičia įvykio A tikimybės, t.y. P(A|B)=P(A), tai<br />
natūralu įvykį A laikyti nepriklausomu nuo įvykio B.<br />
Iš daugybos teoremos: P(AB)=P(B)P(A|B)=P(B)P(A) => P(B|A)=P(B), t.y. B<br />
nepriklauso nuo A, t.y. nepriklausomumas yra simetriškas.<br />
2 Išvada. Jei A ir B yra nepriklausomieji įvykiai, tai P(AB)=P(A)P(B).<br />
Pastaba. Galima apibrėžti, kad A ir B yra nepriklausomi, jei P(AB)=P(A)P(B) ir<br />
šitos sąlygos gauti, kad P(A|B)=P(A) ir P(B|A)=P(B).<br />
3 Išvada. Jei A, B ir C yra nepriklausomieji įvykiai, tai P(ABC)=P(A)P(B)P(C).<br />
Jei įvykiai A ir B yra nepriklausomieji, tai nepriklausomieji yra ir šie įvykiai:<br />
A ir B; A ir B; A ir B.<br />
21
Sąlyginių tikimybių savybės<br />
Sąlyginė tikimybė tenkina visas tris tikimybių aksiomas:<br />
Jei P(D) > 0, tai P(Ω|D)=1.<br />
Jeigu<br />
A ir B - nesutaikomi, tai P(<br />
A B | D)<br />
= P(<br />
A | D)<br />
+<br />
P(<br />
B |<br />
D).<br />
P( A | B)<br />
= 1−<br />
P(<br />
A | B).<br />
22
Pilnosios tikimybės formulė. Bejeso formulė.<br />
Tegul įvykiai H 1<br />
, H 2<br />
, .. H n<br />
sudaro pilnąją įvykių grupę, t.y.<br />
H1 ∪ H<br />
2<br />
∪ ... ∪ H<br />
n<br />
= Ω<br />
H i<br />
∩ H j<br />
= Ø, i≠j.<br />
,<br />
Tuomet galioja pilnosios tikimybės formulė:<br />
n<br />
P ( A)<br />
= ∑ P(<br />
A | Hk<br />
) P(<br />
Hk<br />
) = P(<br />
A | H1)<br />
P(<br />
H1)<br />
+ P(<br />
A | H2)<br />
P(<br />
H2)<br />
+ ... +<br />
k = 1<br />
Įrodykite. Įvykiai H j<br />
kartais vadinami hipotezėmis.<br />
P(<br />
A |<br />
H<br />
n<br />
) P(<br />
H<br />
n<br />
).<br />
Pilnajai įvykių grupei galioja ir Bejeso formulė:<br />
P(<br />
H<br />
j<br />
|<br />
A)<br />
=<br />
P(<br />
H<br />
j<br />
) P(<br />
A | H<br />
P(<br />
A)<br />
j<br />
)<br />
=<br />
P(<br />
A | H<br />
) P(<br />
H<br />
) +<br />
P(<br />
H<br />
j<br />
P(<br />
A | H<br />
) P(<br />
A | H<br />
) P(<br />
H<br />
) +<br />
)<br />
... +<br />
P(<br />
A | H<br />
) P(<br />
H<br />
1 1<br />
2 2<br />
n n<br />
j<br />
.<br />
)<br />
Jos pagalba galima įvertinti hipotezės tikimybę, žinant, kad įvyko įvykis A.<br />
23
Bernulio bandymų schema ir jos apibendrinimas<br />
Tarkime, kad koks nors bandymas atliekamas n kartų ir kiekvienu bandymu<br />
gali įvykti arba neįvykti įvykis A. Tegu įvykis A įvyksta su tikimybe p = P(A)<br />
ir neįvyksta su tikimybe q=1 - p. Be to, kiekvienam bandymui ankstesnių<br />
bandymų rezu<strong>lt</strong>atai įtakos neturi. Tokie bandymai vadinami nepriklausomais<br />
kartotiniais bandymais, o visa bandymų serija vadinama Bernulio eksperimentais<br />
arba schema.<br />
Tikimybė, kad įvykis A įvyks k kartų iš n yra lygi<br />
p<br />
n<br />
( k)<br />
=<br />
C<br />
k<br />
n<br />
Įvykis, kurio tikimybė p n<br />
(k) yra didžiausia, vadinamas tikėtiniausiuoju įvykiu.<br />
Jei max p n<br />
(k) = p n<br />
(k 0<br />
), tai k 0<br />
vadinama tikėtiniausiąja reikšme. Ji tenkina<br />
nelygybės: np – q ≤ k 0<br />
≤ np + p ir apytikslį įvertį: k 0<br />
≈ np.<br />
Bernulio schemoje vienas bandymas galėjo tik pavykti arba nepavykti.<br />
Tokią schemą galima apibendrinti ir esant k skirtingų baigčių. Tarkime, kad<br />
vieną kartą darant bandymą baigčių tikimybės yra p 1<br />
, p 2<br />
, ..., p k<br />
(p 1<br />
+ p 2<br />
+ ...+ p k<br />
= 1). Tuomet tikimybė, kad po n bandymų bus m 1<br />
pirmųjų baigčių, m 2<br />
antrųjų<br />
baigčių, m k<br />
– k-ųjų baigčių (m 1<br />
+ m 2<br />
+ ...+ m k<br />
= n) yra lygi<br />
p<br />
k<br />
q<br />
n−<br />
k<br />
n!<br />
m1<br />
m2<br />
P ( m1,<br />
m2,...,<br />
mk<br />
) =<br />
p1<br />
p2<br />
m ! m !... m !<br />
1<br />
2<br />
k<br />
.<br />
... p<br />
m k<br />
k<br />
.<br />
24
Lokalioji ir integralinė Muavro ir Laplaso formulės<br />
Kai bandymu skaičius n didelis, tikslią Bernulio formulė taikyti sudėtinga.<br />
Kai n didėlis, o p nėra mažą (0,1 < p < 0,9 ir npq > 20), taikoma apytikslė<br />
lokalioji Muavro ir Laplaso formulė<br />
p<br />
n<br />
1<br />
k − np 1 −<br />
2<br />
( k)<br />
≈ ϕ ( x);<br />
čia x = ; ϕ ( x)<br />
= e<br />
npq<br />
npq 2π<br />
Funkcija φ(x) vadinama Gauso funkcija arba standartinio normaliojo<br />
skirstinio tankio funkcija (jos savybes nagrinėsime vėliau).<br />
Tikimybė, kad n bandymuose įvykio pasirodymo skaičius k bus intervale [k 1<br />
;<br />
k 2<br />
] žymima p n<br />
(k 1<br />
,k 2<br />
) ir apskaičiuojama pagal integralinę Muavro ir Laplaso<br />
formulę:<br />
p<br />
k1<br />
− np k − np<br />
k1,<br />
k2)<br />
≈ Φ ( x2)<br />
− Φ ( x1<br />
); čia x1<br />
= , x2<br />
= ; Φ ( x)<br />
= ∫ ϕ ( t)dt.<br />
npq npq<br />
2<br />
n<br />
(<br />
Funkcijos Φ(x) (Laplaso funkcija - standartinio normaliojo skirstinio<br />
pasiskirstymo funkcija) savybės nagrinėsime vėliau.<br />
2<br />
x<br />
x<br />
− ∞<br />
.<br />
25
Puasono formulė. Retųjų įvykių dėsnis.<br />
Kai bandymu skaičius n didelis, tikslią Bernulio formulė taikyti sudėtinga.<br />
Kai n didėlis (n ≥ 100), o įvykio A tikimybė p yra mažą (p ≤ 0,1), taikoma<br />
apytikslė Puasono formulė:<br />
k − λ<br />
λ e<br />
p ( k)<br />
≈ , kur λ np.<br />
n<br />
=<br />
Ši formulė grindžiama Puasono teorema:<br />
Jei Bernulio eksperimentų schemoje P(A)=p n<br />
ir np n<br />
=λ, tai su kiekvienu k<br />
p<br />
n<br />
k!<br />
− λ<br />
k k n−<br />
k λ e<br />
( k)<br />
= Cn<br />
pnqn<br />
→ , kai n → ∞<br />
k!<br />
k<br />
.<br />
Įrodykime.<br />
26
Puasono srautų formulė<br />
Ap. Įvykių srautu vadinama seka įvykių, galinčių atsitikti bet kurio laiko<br />
momentų.<br />
Pavyzdžiui, greitosios pagalbos, taksi ar policijos iškvietimai telefonu,<br />
prietaiso gedimai ir t.t.<br />
Laikysime, kad bet kurio įvykių skaičiaus patekimo į laiko intervalą<br />
tikimybė priklauso tik nuo intervalo ilgio (nepriklauso nuo intervalo<br />
atskaitos taško).<br />
Srauto intensyvumu λ vadinamas vidutinis įvykių per laiko vienetą<br />
skaičius.<br />
Tikimybė, kad per laiko tarpą t atsitiks k įvykių, apskaičiuojama pagal<br />
Puasono srautų formulę:<br />
p<br />
t<br />
( k)<br />
≈<br />
k<br />
( λ t)<br />
e<br />
k!<br />
− λ t<br />
.<br />
27
Atsitiktiniai dydžiai<br />
Iki šiol nagrinėdami eksperimentų/baidymų/stebėjimų atsitiktines baigtis<br />
apibrėždavome atsitiktinius įvykius kaip F elementus, sudarytus iš Ω<br />
elementariųjų įvykių.<br />
Matematinei atsitiktinio eksperimento analizei būtų patogu, kad visos<br />
galimos eksperimento baigtys turėtų skaitinę išraišką, todėl tikimybių teorijoje<br />
įvedama atsitiktinio dydžio sąvoka.<br />
Atsitiktinis dydis (a.d.) nusako taisyklę, pagal kurią kiekvienam atsitiktiniam<br />
įvykiui priskiriama skaitinė reikšmė, t.y.<br />
Atsitiktinis dydis – tai funkcija X: Ω → R<br />
Aksiominis apibrėžimas. Funkcija X: Ω → R vadinama atsitiktiniu dydžiu,<br />
jei visiems x: {ω: X(ω) < x} = A priklauso F.<br />
Atsitiktinius dydžius žymėsime didžiosiomis lotyniškomis raidėmis X, Y, Z ir<br />
t.t., o jų įgyjamas reikšmes – mažosiomis raidėmis x (x=X(ω)), y, z ir t.t.<br />
28
Pavydžiai: eksperimentai ir atsitiktiniai dydžiai<br />
Eksperimentas<br />
Įvykis<br />
A.d. X<br />
Galimos X reikšmės<br />
Metama moneta<br />
S , H<br />
Herbų skaičius<br />
0, 1<br />
Metamas kauliukas<br />
1,2,3,4,5,6<br />
Akučių skaičius<br />
1,2,3,4,5,6<br />
100 gaminių kontrolė<br />
Visi geri, 1<br />
blogas ir t.t.<br />
Blogų gaminių<br />
skaičius<br />
0,1,2,...,100<br />
Matuojamas pieštukas<br />
Ilgis < 20 cm,<br />
> 15 cm ir pan.<br />
Ilgis, cm.<br />
[14, 20]<br />
Sveriamas naujagimis<br />
Svoris > 3 kg,<br />
< 5 kg ir pan.<br />
Svoris, kg.<br />
[2, 5]<br />
Jei atsitiktinio dydžio įgyjamų reikšmių aibė yra baigtinė arba skaičiuoji, tai jį<br />
vadiname diskrečiuoju.<br />
Jei a.d. reikšmės visiškai užpildo kurį nors intervalą, tai tokį a.d. vadiname<br />
tolydžiuoju.<br />
29
Atsitiktinio dydžio tikimybinis skirstinys<br />
Norint nusakyti atsitiktinį dydį, nepakanka žinoti jo įgyjamų reikšmių aibę.<br />
Reikia apibūdinti, su kokia tikimybe tas atsitiktinis dydis gali įgyti vieną ar<br />
kitą reikšmę. Sakoma, kad turi būti užduotas a. dydžio skirstinys (arba a.d.<br />
tikimybių pasiskirstymo dėsnis).<br />
Ap. A. dydžio. skirstinys – tai a.d. įgyjamos reikšmės ir jų įgijimo tikimybės.<br />
Diskretųjį a. dydį (jo skirstinį) visiškai nusako įgyjamų reikšmių ir tikimybių,<br />
su kuriomis jos įgyjamos, pasiskirstymo lentelė:<br />
X<br />
x 1<br />
x 2<br />
x 3<br />
...<br />
x n<br />
...<br />
P<br />
p 1<br />
p 2<br />
p 3<br />
čia p 1<br />
+ p 2<br />
+ ... = 1 , p 1<br />
≥ 0, p 2<br />
≥ 0, ...<br />
P( X = x ) = p , i =<br />
i<br />
i<br />
1,2, ...<br />
...<br />
p n<br />
...<br />
Tačiau akivaizdu, kad tolydiesiems a. dydžiams šis būdas netinka. Todėl<br />
tikimybių teorijoje apibrėžiama atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcijos<br />
sąvoka, kurios pagalba galima nusakyti atsitiktinio dydžio skirstinį ir<br />
diskretiesiems, ir tolydiesiems atsitiktiniems dydžiams.<br />
30
Pasiskirstymo funkcija. Pasiskirstymo funkcijos savybės.<br />
Ap. Atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkciją F(x) vadinama tikimybė,<br />
kad a.d. X įgys reikšmę, mažesnę už x:<br />
F(x)= P(X < x)=P(ω: X(ω)
Diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija<br />
Jei diskrečiojo a.d. X tikimybių skirstinys užduotas pasiskirstymo lentele<br />
X<br />
x 1<br />
x 2<br />
...<br />
x i<br />
...<br />
x n<br />
P<br />
p 1<br />
p 2<br />
...<br />
p i<br />
...<br />
p n<br />
tai jo pasiskirstymo funkcija<br />
F(<br />
x)<br />
=<br />
P(<br />
X<br />
Tai yra laiptuota funkcija,<br />
turinti trūkius iš dešinės, taškuose<br />
x<br />
i<br />
: F(<br />
x + 0) − F(<br />
x ) = p , i =<br />
i<br />
i<br />
i<br />
<<br />
x)<br />
=<br />
⎧<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎩<br />
1,2,<br />
Iš pasiskirstymo funkcijos išraiškos galime nustatyti a. dydžio įgyjamas reikšmes ir<br />
tikimybes. Vadinasi, diskrečiojo a. dydžio apibūdinimas lentele ir pasiskirstymo<br />
funkcija yra ekvivalentūs.<br />
32<br />
p<br />
1<br />
i<br />
∑<br />
k = 1<br />
n−<br />
1<br />
∑<br />
k = 1<br />
0,<br />
p1,<br />
+ p<br />
...<br />
.<br />
...<br />
1,<br />
p<br />
p<br />
k<br />
k<br />
2<br />
,<br />
,<br />
,<br />
kai<br />
kai x<br />
kai x<br />
kai<br />
kai<br />
x<br />
x<br />
i<br />
kai<br />
1<br />
2<br />
<<br />
n−<br />
1<br />
x ≤ x1;<br />
< x ≤ x<br />
< x ≤ x<br />
...<br />
.<br />
x ≤<br />
...<br />
x<br />
<<br />
><br />
x ≤<br />
x<br />
x<br />
n<br />
i + 1<br />
.<br />
2<br />
3<br />
x<br />
;<br />
;<br />
n<br />
;<br />
;<br />
=<br />
⎧<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩<br />
0,<br />
x<br />
∑<br />
k<br />
<<br />
x<br />
kai<br />
p<br />
k<br />
,<br />
x ≤<br />
x<br />
><br />
x<br />
1<br />
x<br />
;<br />
1<br />
.
Diskrečiojo a. dydžio pasiskirstymo funkcija. Pavyzdžiai.<br />
Sudarykime a.d. X pasiskirstymo lentelę, pasiskirstymo funkciją. Nubrėžkime<br />
jos grafiką.<br />
1) Simetriška moneta metama du kartus. Atsitiktinis dydis X – herbo atvirtimų<br />
skaičius.<br />
2) A.d. X įgyja vieną reikšmę C su tikimybę, lygia 1. Toks tikimybių skirstinys<br />
vadinamas išsigimusiuoju.<br />
3) A.d. X – atsitiktinio įvykio A indikatorius. Kartais vadinamas Bernulio<br />
atsitiktiniu dydžiu (skirstiniu).<br />
4) A.d. X – Bernulio eksperimentų, atliktų iki pirmojo įvykio pasirodymo,<br />
skaičius. Geometrinis skirstinys.<br />
33
Tolydusis atsitiktinis dydis ir jo pasiskirstymo funkcija<br />
Panagrinėkime taip vadinama tolygųjį a. dydį:<br />
Atkarpoje [a,b] atsitiktinai pasirenkamas taškas – X. Galimybės pasirinkti bet<br />
kurį tašką yra vienodos, t.y. tikimybė yra tolygiai pasiskirsčiusi tarp visų taškų.<br />
Tam, kad nusakyti šio a. dydžio tikimybinį skirstinį sudarykime jo pasiskirstymo<br />
funkciją F(x)= P(X < x).<br />
Kaip matome (kaip ir diskrečiųjų a.d. atveju), pasiskirstymo funkcija išsamiai<br />
apibūdina a. dydį. Iš funkcijos išraiškos matosi, kokias reikšmes įgyja a. dydis<br />
ir kaip tikimybės pasiskirsčiusios pagal tas reikšmes.<br />
Iki šiol neformaliai tolydžiuoju a. dydžiu vadindavome a. dydį, kurio reikšmės<br />
visiškai užpildo kurį nors intervalą. Pastebėkime, kad gauta pasiskirstymo<br />
funkcija neturi trūkių iš dešinės ir yra tolydi visur. Ši savybė yra labai svarbi,<br />
todėl tikimybių teorijoje formaliai yra apibrėžiama, kad<br />
Ap. Atsitiktinis dydis vadinamas tolydžiuoju, jei jo pasiskirstymo funkcija F(x)<br />
yra tolydi.<br />
Tolydžiųjų atsitiktinių dydžių savybės (įrodykime):<br />
1. Jei X – tolydusis a.d., tai tikimybė, kad jis įgis konkrečią reikšmę, lygi<br />
nuliui.<br />
2. Jei X – tolydusis a.d., tai tikimybės, kad X įgis reikšmę intervaluose [a; b),<br />
34<br />
[a; b], (a; b), (a; b], yra lygios.
Tankio funkcija ir jos savybės<br />
Dar susiaurinkime nagrinėjamų tolydžiųjų a.d. klasę. Tegu tolydžiojo a.d.<br />
pasiskirstymo funkcija yra diferencijuojama, t.y. egzistuoja funkcijos F(x) išvestinė.<br />
Ap. Funkcija f(x)=F'(x) vadinama tolydžiojo a. dydžio X tikimybių tankio funkcija.<br />
Žinant tankio funkciją, pasiskirstymo funkciją galima rasti pagal formulę:<br />
Tankio funkcijos savybės (įrodykime):<br />
1) Tankio funkcija įgyja tik neneigiamas reikšmes: f(x) ≥ 0, visiems x.<br />
2) Jei X – tolydusis a.d., tai tikimybė, kad X įgis reikšmę intervale (a; b) lygi:<br />
∞<br />
∫<br />
− ∞<br />
F(<br />
x)<br />
= ∫<br />
P( a < X < b)<br />
= F(<br />
b)<br />
− F(<br />
a)<br />
= ∫<br />
3) f ( x)<br />
dx = 1 (t.y. plotas tarp Ox ašies ir tankio funkcijos grafiko lygus 1).<br />
x<br />
− ∞<br />
f ( t)<br />
dt.<br />
Teisingas ir atvirkščias teiginys: jei f(x) yra neneigiamoji ir normuotoji funkcija (t.y.<br />
tenkina 3) sąlygą), tai egzistuoja tolydusis atsitiktinis dydis, kurio tankis yra f(x), o<br />
pasiskirstymo funkcija F(x) (*).<br />
Tokie a. dydžiai dar vadinami absoliučiai tolydžiais.<br />
(*)<br />
b<br />
a<br />
f ( x)<br />
dx.<br />
35
Atsitiktiniai vektoriai (daugiamačiai atsitiktiniai dydžiai)<br />
Iki šiol nagrinėjome vienmačius atsitiktinius dydžius, kai kiekvienam<br />
atsitiktiniam įvykiui priskiriama viena skaitinė reikšmė: X: Ω → R, x=X(ω).<br />
Praktikoje dažnai tenka nagrinėti reiškinius, kurių atsitiktinė baigtis<br />
apibūdinama keliais skaičiais – atsitiktiniu vektoriumi. Pavyzdžiui,<br />
1) Gamykla gamina produkciją, kuri gali turėti elektrinių, mechaninių arba<br />
abiejų rūšių defektų. Per tam tikrą laikotarpį pagamintų gaminių, turinčių<br />
kiekvienos rūšies defektų, skaičius apibūdina trimatis atsitiktinis dydis -<br />
vektorius (X,Y,Z).<br />
2) Naujagimio ūgi ir svorį apibūdina dvimatis a. dydis – vektorius (X,Y).<br />
Ap. n-mačiu atsitiktiniu dydžiu (arba a. vektoriumi) vadiname vektorių (X 1<br />
,<br />
X 2<br />
, ..., X n<br />
), kurio koordinatės yra vienmačiai atsitiktiniai dydžiai.<br />
Kaip ir vienmačiu atveju atsitiktiniai vektoriai yra skirstomi į diskrečiuosius ir<br />
tolydžiuosius.<br />
36
Atsitiktinių vektorių pasiskirstymo funkcija<br />
Atsitiktinį vektorių nusako ne tik įgyjamos reikšmes, bet ir jų įgijimo tikimybės.<br />
Atsitiktinio vektoriaus koordinačių X j tikimybinių skirstinių (pvz., pasiskirstymo<br />
funkcijų) nepakanka, nes jie nenurodo ryšio tarp koordinačių.<br />
Dvimačiam diskrečiam a. vektoriui galėsime naudoti pasiskirstymo lentelę.<br />
Bendru atveju atsitiktinio vektoriaus tikimybinis skirstinys užduodamas n-<br />
matės vektoriaus (X 1<br />
, X 2<br />
, ..., X n<br />
) pasiskirstymo funkcijos pagalba:<br />
n<br />
( 1 2 n<br />
j j 1 1 n xn<br />
j = 1<br />
F x , x , ,<br />
x ) = P(<br />
{<br />
ω : X ( ω ) < x }) = P(<br />
X < x , ,<br />
X <<br />
Toliau paprastumo dėlei nagrinėsime dvimačius atsitiktinius vektorius. Gautus<br />
teiginius nesunkiai galima pritaikyti didesnės dimensijos atsitiktiniams<br />
vektoriams.<br />
).<br />
37
Dvimačių atsitiktinių vektorių pasiskirstymo funkcija<br />
Dvimatį atsitiktinį vektorių žymėsime (X,Y). Geometriniu požiūriu jis reiškia<br />
atsitiktinį plokštumos tašką, kurio koordinatės X ir Y. Dvimatė pasiskirstymo<br />
funkcija<br />
F ( x,<br />
y)<br />
= P({<br />
ω : X ( ω ) < x}<br />
{<br />
ω : Y ( ω ) < y})<br />
= P(<br />
X < x,<br />
Y < y)<br />
apibrėžta visiems (x,y) iš R 2 . Geometriniu požiūriu ji nurodo tikimybę<br />
atsitiktiniam taškui (X,Y) patekti į atitinkama plokštumos sritį.<br />
Dvimatės pasiskirstymo funkcijos savybės:<br />
1) 0 ≤ F(<br />
x,<br />
y)<br />
≤ 1.<br />
2) F(x,y) yra nemažėjanti funkcija abiejų argumentu atžvilgiu:<br />
F ( x1,<br />
y)<br />
≤ F(<br />
x2,<br />
y),<br />
kai x1<br />
< x2,<br />
F(<br />
x,<br />
y1)<br />
≤ F(<br />
x,<br />
y2),<br />
kai y1<br />
< y2.<br />
3) F( x,<br />
− ∞ ) = F(<br />
− ∞ , y)<br />
= F(<br />
− ∞ , − ∞ ) = 0.<br />
4) F( x,<br />
+ ∞ ) = F1 ( x),<br />
F(<br />
+ ∞ , y)<br />
= F2<br />
( y),<br />
F(<br />
+ ∞ , + ∞ ) = 1,<br />
čia F 1 (x) yra komponentės X, F 2 (y) komponentės Y pasiskirstymo funkcijos. Jos<br />
dar vadinamos marginaliosiomis.<br />
5) F(x,y) tolydi iš kairės su visais (x,y): F ( x − 0, y − 0) = F(<br />
x,<br />
y).<br />
6) Tikimybė a.d. (X,Y) patekti į stačiakampį<br />
P ( x1 ≤ X < x2,<br />
y1<br />
≤ Y < y2)<br />
= F(<br />
x2,<br />
y2)<br />
− F(<br />
x1,<br />
y2)<br />
− F(<br />
x2,<br />
y1)<br />
+ F(<br />
x1,<br />
y1).<br />
38
Diskretieji dvimačiai atsitiktiniai vektoriai (X,Y)<br />
Tarkime, a.d. (X,Y) įgyja reikšmes (x i ,y j ), i=1,.., m, j=1,.., n su tikimybėmis<br />
ij = P( X = xi<br />
, Y y j ). Įgyjamų reikšmių ir atitinkamų tikimybių visuma vadinama<br />
a.v. tikimybiniu skirstiniu. Šį tikimybinį skirstinį galime užrašyti lentele:<br />
p =<br />
X<br />
Y<br />
y 1<br />
x 1<br />
p 11<br />
p 12<br />
... p 1j<br />
... p 1n<br />
p 1<br />
x 2<br />
...<br />
...<br />
p 21<br />
... ... ... ... ... ... ... ...<br />
x i<br />
...<br />
...<br />
p i1<br />
... ... ... ... ... ... ... ...<br />
x m<br />
...<br />
...<br />
p m1<br />
y 2<br />
p 22<br />
p i2<br />
p m2<br />
...<br />
y j<br />
p ij<br />
p mj<br />
...<br />
y n<br />
p in<br />
p mn<br />
P<br />
p i<br />
p m<br />
P<br />
q 1<br />
q 2<br />
...<br />
q j<br />
...<br />
q m<br />
1<br />
Iš pilnosios tikimybės formulės gauname vienmačius marginaliuosius skirstinius:<br />
n<br />
∑<br />
p = P(<br />
X = x ) = p , q = P(<br />
Y = y ) = p . p q = p = 1.<br />
i<br />
i<br />
j = 1<br />
ij<br />
j<br />
j<br />
m<br />
∑<br />
i = 1<br />
ij<br />
m<br />
∑<br />
i = 1<br />
i<br />
n<br />
= ∑ j ∑ ∑<br />
j = 1<br />
m<br />
n<br />
i= i j = 1<br />
ij<br />
39
Diskrečiųjų dvimačių a. vektorių pasiskirstymo funkcija<br />
Diskrečiojo atsitiktinio vektoriaus (X,Y) pasiskirstymo funkciją galime išreikšti<br />
tikimybėmis p ij :<br />
2<br />
F(<br />
x,<br />
y)<br />
= P(<br />
X < x,<br />
Y < y)<br />
= ∑ ∑ pij<br />
, ( x,<br />
y)<br />
∈ R ,<br />
x < x y < y<br />
Pavyzdžiai.<br />
1) Metamos dvi simetriškos monetos (vieną kartą). Sudarykite dvimatį<br />
atsitiktinį vektorių. Raskite jo tikimybinį skirstinį ir pasiskirstymo funkcija.<br />
i<br />
j<br />
40
Tolydieji dvimačiai atsitiktiniai vektoriai<br />
Tolydžiuoju atsitiktiniu vektoriumi vadinsime vektorių (X,Y), kurio dvimatė<br />
pasiskirstymo funkcija F(x,y) yra tolydi.<br />
Toliau mes laikysime, kad F(x,y) yra du kartus diferencijuojama, t.y.<br />
egzistuoja funkcija:<br />
2<br />
∂ F(<br />
x,<br />
y)<br />
f ( x,<br />
y)<br />
= Fxy<br />
′′ ( x)<br />
= .<br />
∂ x∂<br />
y<br />
Funkcija f(x,y) vadinama dvimačio tolydžiojo a. vektoriaus (X,Y) tankio<br />
funkcija.<br />
Žinant tankio funkciją, pasiskirstymo funkciją galima rasti pagal formulę:<br />
Tankio funkcijos savybės:<br />
1) Tankio funkcija įgyja neneigiamas reikšmes: f(x,y) ≥ 0 su visais (x, y) iš R 2 .<br />
2)<br />
+ ∞<br />
∫<br />
− ∞<br />
+ ∞<br />
∫<br />
f ( x,<br />
y)<br />
dxdy =<br />
F( x,<br />
y)<br />
= ∫ ∫<br />
1.<br />
− ∞<br />
x2<br />
y<br />
1 2 1 2 ∫ ∫<br />
x y<br />
3) P(<br />
x ≤ X < x , y ≤ Y < y ) = f ( x,<br />
y)<br />
dxdy.<br />
−<br />
x<br />
1<br />
∞<br />
− ∞<br />
2<br />
1<br />
y<br />
f ( u,<br />
v)<br />
dudv.<br />
41
Tankio funkcijos savybės:<br />
Tolydieji dvimačiai atsitiktiniai vektoriai<br />
4) 3)-ią teiginį galime apibendrinti imdami bet kokį erdvės R 2 (plokštumos)<br />
poaibį D (nebūtinai stačiakampį):<br />
P((<br />
X , Y ) ∈<br />
D)<br />
=<br />
∫ ∫<br />
( D)<br />
f ( x,<br />
y)<br />
dxdy.<br />
5) Žinant dvimačio tolydaus a.v. (X,Y) skirstinį, t.y. dvimatį tankį f(x,y),<br />
komponenčių X ir Y marginaliuosius skirstinius (pasiskirstymo funkcijas ir<br />
tankius) randame taip:<br />
x ⎛ + ∞<br />
⎞<br />
+ ∞<br />
X : F 1 ( x)<br />
= F(<br />
x,<br />
+ ∞ ) = ⎜<br />
∫ ∫ f ( u,<br />
y)<br />
dy ⎟ du,<br />
f1(<br />
x)<br />
= F1<br />
′(<br />
x)<br />
= ∫ f ( x,<br />
y)<br />
dy.<br />
⎜<br />
⎟<br />
− ∞ ⎝ − ∞<br />
⎠<br />
− ∞<br />
Y<br />
y + ∞<br />
+ ∞<br />
: F 2 2 ∫<br />
⎛<br />
⎞<br />
( y)<br />
= F(<br />
+ ∞ , y)<br />
= ⎜<br />
∫ ∫ f ( x,<br />
v)<br />
dx ⎟ dv,<br />
f2(<br />
y)<br />
= F ′ ( y)<br />
= f ( x,<br />
y)<br />
dx.<br />
⎜<br />
⎟<br />
− ∞ ⎝ − ∞<br />
⎠<br />
− ∞<br />
Pavyzdžiai.<br />
1) Tolygusis a.v. (X,Y) aprėžtoje srityje<br />
D ⊂<br />
2<br />
R .<br />
42
Sąlyginiai atsitiktinio vektoriaus koordinačių skirstiniai<br />
Kaip apibrėžti atsitiktinio vektoriaus koordinačių tarpusavio ryšį? Prisiminkime<br />
sąlyginės tikimybės P(A|B) apibrėžimą.<br />
Nagrinėkime diskretųjį a.v. (X,Y), kurio tikimybių skirstinys<br />
p<br />
ij<br />
= P( X = x , Y = y ), i = 1,2, , j = 1,2, .<br />
Ap. Diskrečiojo a.d. X sąlyginiu skirstiniu, kai Y=y j , vadiname sąlygines<br />
tikimybes<br />
P(<br />
X = x , Y = y ) p<br />
Sąlyginį skirstinį galime apibrėžti, kai<br />
i<br />
Analogiškai apibrėžiame a.d. Y sąlyginį skirstinį, kai X=x i ,<br />
Atitinkamas sąlygines pasiskirstymo funkcijas gauname taip:<br />
j<br />
P( X = xi<br />
| Y = y j ) =<br />
= , i = 1,2,<br />
P(<br />
Y = y j ) q j<br />
m<br />
P(<br />
Y = y j ) = q j = ∑ pij<br />
≠<br />
i<br />
j<br />
ij<br />
i = 1<br />
P(<br />
X = xi<br />
, Y = y j ) pij<br />
P( Y = y j | X = xi<br />
) =<br />
= , j = 1,2, ,<br />
kai pi<br />
≠<br />
P(<br />
X = x ) p<br />
F1 ( x | Y = y j ) = P(<br />
X < x | Y = y j ) = ∑<br />
F<br />
x < x<br />
i<br />
2(<br />
y | X = xi<br />
) = P(<br />
Y < y | X = xi<br />
) = ∑<br />
y < y<br />
j<br />
i<br />
P(<br />
X<br />
=<br />
P(<br />
Y =<br />
i<br />
i<br />
x | Y =<br />
y<br />
j<br />
| X<br />
=<br />
y<br />
j<br />
x<br />
i<br />
),<br />
).<br />
0.<br />
0.<br />
43
Sąlyginiai atsitiktinio vektoriaus koordinačių tankiai<br />
Nagrinėkime tolydųjį a.v. (X,Y), kurio dvimatė tankio funkcija – f(x,y), o<br />
koordinačių (komponenčių) marginalieji tankiai:<br />
+ ∞<br />
( x)<br />
f ( x,<br />
y)<br />
dy,<br />
f2<br />
Ap. A.d. X sąlyginiu tankiu, kai Y=y, vadiname<br />
f<br />
∫<br />
f1 = ( y)<br />
= f ( x,<br />
y)<br />
dx.<br />
− ∞<br />
f ( x,<br />
y)<br />
( x | y)<br />
= f1(<br />
x | Y = y)<br />
= , x ∈<br />
f ( y)<br />
1 R<br />
2<br />
Akivaizdu, kad sąlyginį tankį galime apibrėžti tik tokioms a.d. Y reikšmėms y,<br />
kad f2(<br />
y)<br />
≠ 0. Sąlyginiam tankiui būdingos visos tankio savybės. Patikrinkite.<br />
Analogiškai apibrėžiamas a.d. Y sąlyginis tankis, kai X=x:<br />
Atitinkamas sąlygines pasiskirstymo funkcijas gauname taip:<br />
F ( x | y)<br />
=<br />
1<br />
F ( x | Y<br />
1<br />
+ ∞<br />
∫<br />
− ∞<br />
f ( x,<br />
y)<br />
f2( y | x)<br />
= f2(<br />
y | X = x)<br />
= , y ∈ R,<br />
kai f1(<br />
x)<br />
≠<br />
f ( x)<br />
F ( y | x)<br />
= F<br />
2<br />
2<br />
1<br />
= y)<br />
=<br />
( y | X = x)<br />
=<br />
x<br />
∫<br />
− ∞<br />
y<br />
∫<br />
− ∞<br />
f<br />
f<br />
1<br />
2<br />
.<br />
( u | y)<br />
du =<br />
( u | x)<br />
du =<br />
x<br />
∫<br />
− ∞<br />
y<br />
∫<br />
− ∞<br />
0.<br />
f ( u,<br />
y)<br />
du<br />
,<br />
f2(<br />
y)<br />
f ( x,<br />
u)<br />
du<br />
.<br />
f ( x)<br />
1<br />
44
Nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai<br />
Intuityviai suprantame, kad du atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi,<br />
jei jokia informacija apie vieną iš šių dydžių nekeičia kito dydžio tikimybių<br />
skirstinio. Tikimybių teorijoje a. dydžių nepriklausomumo sąvoka yra formaliai<br />
apibrėžiama.<br />
Prisiminkime dviejų atsitiktinių įvykių nepriklausomumo apibrėžimus.<br />
Ap. Diskrečiuosius atsitiktinius dydžius X ir Y vadiname nepriklausomais, jei<br />
P( X = x , Y = y ) = P(<br />
X = x ) P(<br />
Y = y ), su visais i = 1,2, , j = 1,2, .<br />
i<br />
j<br />
Nesunku įrodyti, kad šiai sąlygai yra ekvivalenčios kitos dvi sąlygos:<br />
i<br />
j<br />
arba<br />
P( X = x | Y = y ) = P(<br />
X = x ), su visais i = 1,2, , j = 1,2,<br />
i<br />
j<br />
i<br />
P( Y = y | X = x ) = P(<br />
Y = y ), su visais i = 1,2, , j = 1,2,<br />
j<br />
i<br />
j<br />
45
Nepriklausomi tolydieji atsitiktiniai dydžiai<br />
Analogiškai yra apibrėžiama dviejų tolydžiųjų a.d. X ir Y nepriklausomumo<br />
sąvoka panaudojant vienmačius marginaliuosius tankius ir dvimatį tankį f(x,y).<br />
Ap. Tolydžiuosius atsitiktinius dydžius X ir Y vadiname nepriklausomais, jei<br />
2<br />
f ( x,<br />
y)<br />
= f ( x)<br />
f ( y)<br />
su visais ( x,<br />
y)<br />
∈ .<br />
Nesunku įrodyti, kad šiai sąlygai yra ekvivalenčios kitos dvi sąlygos:<br />
arba<br />
1 2<br />
R<br />
f1(<br />
x | y)<br />
= f1(<br />
x)<br />
su visais ( x,<br />
y)<br />
∈ R<br />
f2(<br />
y | x)<br />
= f2(<br />
y)<br />
su visais ( x,<br />
y)<br />
∈ R<br />
Tikimybių teorijoje dažnai naudojamas kitas ekvivalentus dviejų atsitiktinių<br />
dydžių nepriklausomumo apibrėžimas:<br />
Ap. Atsitiktinius dydžius X ir Y vadiname nepriklausomais, jei<br />
2<br />
F(<br />
x,<br />
y)<br />
= F ( x)<br />
F ( y)<br />
su visais ( x,<br />
y)<br />
∈ ,<br />
t.y.<br />
jei<br />
1 2<br />
R<br />
P ( X < x,<br />
Y < y)<br />
= P(<br />
X < x)<br />
P(<br />
Y <<br />
Šis apibrėžimas yra universalus. Jis tinka tiek diskretiesiems, tiek tolydiesiems<br />
atsitiktiniams dydžiams.<br />
y).<br />
2<br />
,<br />
2<br />
.<br />
46
1 Pastaba. Jei nepriklausomumo sąlyga yra nepatenkinta bent vienam taške,<br />
tai atsitiktiniai dydžiai vadinami priklausomaisiais.<br />
2<br />
Pavyzdžiui, jei egzistuoja skaičių pora ( ~ x , ~ y ) ∈ R tokia, kad<br />
F ~ x , ~ y ) ≠ F ( ~ x)<br />
F ( ~ ),<br />
tai atitinkami atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra priklausomi.<br />
Teorema. Jei a.d. X ir Y yra nepriklausomi, tai<br />
Įrodykime.<br />
( 1 2 y<br />
P( x1 ≤ X < x2,<br />
y1<br />
≤ Y < y2)<br />
= ( F1<br />
( x2)<br />
− F1<br />
( x1<br />
))( F2<br />
( y2)<br />
− F2<br />
( y1)).<br />
Matėme, kaip turint dvimačius skirstinius galima gauti vienmačius<br />
marginaliuosius skirstinius. Atvirkščiai, t.y. iš vienmačių marginaliųjų skirstinių<br />
gauti dvimačius galime tik tada, kai a. dydžiai X ir Y yra nepriklausomi<br />
(žiūrėkit apibrėžimus).<br />
Jei a. dydžiai yra priklausomi, tai dvimatį skirstinį galima gauti žinant vieno iš<br />
a. dydžių marginalųjį ir kito sąlyginį skirstinį(-ius) (žiūrėkit sąlyginių skirstinių<br />
apibrėžimus).<br />
47
Visi dviejų a. dydžių X ir Y apibrėžimai ir teiginiai nesunkiai apibendrinami<br />
didesniam atsitiktinių dydžių skaičiui. Pavyzdžiui,<br />
Ap. Atsitiktinius dydžius X 1<br />
,X 2<br />
, ..., X n<br />
vadiname nepriklausomais, jei<br />
F( x1,<br />
x2,<br />
,<br />
xn)<br />
= F1<br />
( x1<br />
) F2<br />
( x2)<br />
Fn<br />
( xn)<br />
su visais ( x1,<br />
x2,<br />
,<br />
x<br />
t.y. jei P ( X < x1,<br />
X 2 < x2,<br />
,<br />
X n < xn)<br />
= P(<br />
X1<br />
< x1<br />
) P(<br />
X 2 < x2)<br />
P(<br />
X n <<br />
1 n<br />
n<br />
) ∈<br />
R<br />
n<br />
x<br />
,<br />
).<br />
48
Vienmačių atsitiktinių dydžių funkcijos<br />
Sprendžiant taikomuosius uždavinius dažnai tenka nagrinėti vieno arba keleto<br />
atsitiktinių dydžių funkcijas. Pradėkime nuo vienmačių a.d. funkcijų.<br />
Tarkime, elementariųjų įvykių erdvėje Ω apibrėžtas a.d. X=X(ω), o f : R → R<br />
yra realioji funkcija. Funkcijų f ir X sudėtinė funkcija (superpozicija):<br />
Y=f(X(ω)) apibrėžia atsitiktinį dydį Y, kuris vadinamas a.d. X funkcija (žym.<br />
Y=f(X).<br />
Kaip žinant a.d. X skirstinį ir funkciją f rasti a.d. Y = f(X) tikimybių skirstinį?<br />
Diskrečiųjų a.d. funkcijos. Tegu a.d. X skirstinys užduotas lentele<br />
X<br />
P<br />
x 1<br />
x 2<br />
x 3<br />
p 1<br />
p 2<br />
p 3<br />
...<br />
...<br />
x n<br />
p n<br />
...<br />
...<br />
p = P =<br />
i<br />
( X xi<br />
)<br />
Tada a.d. Y = f(X) skirstinys nusakomas lentele<br />
Y<br />
y 1<br />
y 2<br />
y 3<br />
...<br />
y n<br />
...<br />
P<br />
q 1<br />
q 2<br />
q 3<br />
...<br />
q n<br />
...<br />
čia y i<br />
= f(x i<br />
) (tik skirtingos reikšmės!),<br />
q<br />
i<br />
= P( Y = y ), i =<br />
i<br />
1,2,<br />
49
Vienmačių diskrečiųjų atsitiktinių dydžių funkcijos<br />
1) Jei visos reikšmės y i<br />
= f(x i<br />
) yra skirtingos (taip bus, jei funkcija f yra tolydi<br />
ir monotoninė a.d. X įgyjamų reikšmių srityje), tai<br />
q<br />
i<br />
= P( Y = y ) = P(<br />
f ( X ) = f ( x )) = P(<br />
X = x ) = p , i =<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
1,2,<br />
2) Jei kai kurios reikšmės f(x i<br />
) pasikartoja (taip bus, jei funkcija f nėra tolydi ir<br />
monotoninė a.d. X įgyjamų reikšmių srityje), tai<br />
q<br />
i<br />
= P(<br />
Y = yi<br />
) = P(<br />
f ( X ) = yi<br />
) = ∑ P(<br />
X = x j ) = ∑<br />
{ f ( x<br />
{ f ( x<br />
1,2,<br />
Šiuo atveju sudedame tikimybes p j<br />
, turinčias indeksus j, su kuriais f(x j<br />
)= y i<br />
,<br />
t.y. jeigu a.dydžio Y = f(X) reikšmės pasikartoja, tai skirstinio lentelėjė šias<br />
reikšmes įrašome po vieną kartą ir sudedame atitinkamas p j<br />
tikimybes.<br />
j<br />
) =<br />
y }<br />
i<br />
j<br />
) =<br />
p<br />
,<br />
j<br />
y }<br />
i<br />
i<br />
=<br />
A.d. Y = f(X) pasiskirstymo funkciją galima apskaičiuoti iš skirstinio lentelės<br />
arba tiesiogiai pagal formulę<br />
F<br />
Pavyzdžiai.<br />
Y<br />
( y)<br />
= P(<br />
f ( X ) < y)<br />
= ∑ P(<br />
X = x j ) = ∑<br />
{ f ( x<br />
j<br />
) <<br />
y}<br />
{ f ( x<br />
j<br />
) <<br />
p<br />
,<br />
j<br />
y}<br />
y ∈<br />
R.<br />
50
Vienmačių tolydžiųjų atsitiktinių dydžių funkcijos<br />
Tolydžiųjų a.d. funkcijos. Tegu a.d. X skirstinys užduotas tankio funkcijos<br />
p X (x) pagalba ir Y = f(X). Tada a.d Y pasiskirstymo funkciją gauname taip:<br />
F<br />
( y)<br />
= P(<br />
f ( X ) < y)<br />
= ∫ pX<br />
( x)<br />
dx,<br />
čia sritis D = { x : f ( x)<br />
y}.<br />
Y <<br />
D<br />
Kai funkcija f yra tolydi ir monotoninė, egzistuoja jos atvirkštinė funkcija f -1 .<br />
Tada galima gauti a.d. Y pasiskirstymo ir tankio funkcijų išraiškas.<br />
a) Kai funkcija f yra tolydi ir didėjanti:<br />
F<br />
p<br />
Y<br />
Y<br />
( y)<br />
=<br />
( y)<br />
=<br />
P(<br />
f ( X ) <<br />
F ′ ( y)<br />
=<br />
Y<br />
p<br />
y)<br />
=<br />
X<br />
( f<br />
P(<br />
X<br />
<<br />
f<br />
( y))(<br />
f<br />
− 1<br />
( y))<br />
=<br />
− 1 − 1<br />
′<br />
( y))<br />
.<br />
F<br />
X<br />
( f<br />
− 1<br />
( y)),<br />
b) Kai funkcija f yra tolydi ir mažėjanti.<br />
F<br />
p<br />
Y<br />
Y<br />
( y)<br />
= P(<br />
f ( X ) < y)<br />
= P(<br />
X > f<br />
( y)<br />
=<br />
F ′ ( y)<br />
= − p<br />
Y<br />
X<br />
( f<br />
( y))(<br />
f<br />
− 1<br />
( y))<br />
= 1 −<br />
− 1 − 1<br />
′<br />
( y))<br />
.<br />
P(<br />
X<br />
<<br />
f<br />
− 1<br />
( y))<br />
=<br />
1 −<br />
F<br />
X<br />
( f<br />
− 1<br />
( y)),<br />
Pavyzdžiai.<br />
51
Dvimačių atsitiktinių vektorių funkcijos<br />
Tarkime, kad elementariųjų įvykių erdvėje Ω apibrėžtas atsitiktinis vektorius<br />
(X,Y), o f : R 2 → R yra dvimatė realioji funkcija. Sudėtinė funkcija<br />
(superpozicija): Z(ω)=f(X(ω),Y(ω)) apibrėžia atsitiktinį dydį Z, kuris<br />
vadinamas a.v. (X,Y) funkcija (žym. Z=f(X,Y)).<br />
Kaip žinant a.v. (X,Y) skirstinį ir funkciją f rasti a.d. Z = f(X,Y) skirstinį?<br />
Diskrečiųjų a. vektorių funkcijos. Tarkime, kad yra žinomas a.v. (X,Y)<br />
skirstinys, t.y. tikimybės pij<br />
= P( X = xi<br />
, Y = y j ), i,<br />
j = 1,2,<br />
Tada a.d. Z=f(X,Y) skirstinys:<br />
P(<br />
Z = zk<br />
) = P(<br />
f ( X , Y ) = zk<br />
) = ∑ P(<br />
X = xi<br />
, Y = y j ) = ∑ pij<br />
, k = 1,2,<br />
Atitinkamoje a.d. Z=f(X,Y) skirstinio lentelėje skirtingas z k<br />
=f(x i<br />
,y j<br />
) reikšmes<br />
įrašome po vieną kartą ir sudedame pasikartojančių reikšmių tikimybes p ij<br />
.<br />
Tolydžiųjų a. vektorių funkcijos. Tarkime, kad yra žinomas a. vektoriaus<br />
(X,Y) dvimatis tankis p(x,y). Tada a. dydžio Z=f(X,Y) pasiskirstymo funkcija:<br />
F<br />
{ i,<br />
j:<br />
f ( x<br />
( z)<br />
P(<br />
f ( X , Y ) < z)<br />
= p(<br />
x,<br />
y)<br />
dxdy,<br />
čia sritis D = {( x,<br />
y) : f ( x,<br />
y)<br />
z}.<br />
= ∫ ∫<br />
i<br />
{ i,<br />
j:<br />
f ( x<br />
Z <<br />
D<br />
Diferencijuodami šią pasiskirstymo funkciją, gauname a.d. Z=f(X,Y) tankį.<br />
Pavyzdžiai.<br />
, y<br />
) = z<br />
j<br />
k<br />
}<br />
i<br />
, y<br />
) = z<br />
j<br />
k<br />
}<br />
52
Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos skirstiniai<br />
Nagrinėkime dažnai naudojama sumos funkcija f : R 2 → R, f(x,y)=x+y. Tegu<br />
a.v. (X,Y) koordinatės X ir Y yra nepriklausomos, o jų skirstiniai žinomi.<br />
Patikslinkime sumos Z=f(X,Y)=X+Y skirstinio išraišką.<br />
Teorema. Dviejų nepriklausomų tolydžiųjų atsitiktinių dydžių sumos tankis<br />
lygus dėmenų tankių sąsūkai (p X * p Y )(z):<br />
p<br />
X + Y<br />
( z)<br />
= ( pX<br />
∗ pY<br />
)( z)<br />
= ∫ pX<br />
( x)<br />
pY<br />
( z − x)<br />
dx.<br />
Įrodykime.<br />
Pastaba. Sąsūkos operacija yra komutatyvi: p X * p Y = p Y * p X .<br />
Kai a. dydžiai X ir Y yra diskretieji bei nepriklausomi, gauname tokią formulę<br />
(diskrečiosios sąsūkos):<br />
+ ∞<br />
− ∞<br />
P( X + Y = z ) = ∑ P(<br />
X = x ) P(<br />
Y = z − x ), k =<br />
k<br />
i<br />
i<br />
k<br />
i<br />
1,2,<br />
Pavyzdžiai.<br />
53