10 paskaita DiferencialinÄs lygtys MATLAB (pdf)

10 paskaita 

Diferencialinių lygčių (DL) 

sprendimas 

MATLAB 

Pagrindinės sąvokos 

• Apibr. Paprastąja diferencialine lygtimi (PDL) vadinama 

lygybė, į kurią įeina nepriklausomas kintamasis x, 

ieškoma (nežinoma) funkcija y(x) ir jos išvestinės: 

F(x, y, y', . . . , y (n) ) = 0. 

• Laikoma, kad F(x, y, p 1 , . . . , p n ) yra tolydi visų savo 

argumentų atžvilgiu ir būtinai priklauso nuo argumento 

p n . 

• Apibr. DL yra užrašyta kanoniniu pavidalu, jei lygtis 

išspręsta aukščiausiosios eilės išvestinės atžvilgiu: 

y (n) = f(x, y, y', . . . , y (n-1) ). 

• Pavyzdys. DL y'''+y''−xe x −1 = 0 kanoninis pavidalas yra 

y''' = −y'' + xe x + 1. 

Diferencialinės lygtys (DL) 

‣ Paprastosios diferencialinės lygtys (PDL, angl. 

ODE) – vieno kintamojo funkcija: 

du c 2 

g u 

dt m 

‣ DL dalinėmis išvestinėmis (angl. PDE) – kelių 

kintamųjų funkcija: 

2 

u u u 

u c , čia u ( t , x ) 

2 

t x x 

2 2 2 

u u u 

0 čia uxyz ( , , ) 

2 2 2 

x y z 

Diferencialinės lygties eilė 

Apibr. Diferencialinės lygties eile vadinama didžiausios išvestinės eilė 

diferencialinėje lygtyje. 

‣ 1-os eilės (parašiutininko kritimas) 

‣ 2-os eilės (svarelio- spyruoklės sistema su trintimi) 

ir t.t. 

d x dx 

m c kx 

dt dt 

du c 

g u 

dt m 

2 

0 

2 

‣ n-osios eilės F(x, y, y',. . . , y (n) ) = 0. 

2 

DL pavyzdžiai 

Aukštesnės eilės PDL 

‣ Visada galima suvesti aukštesnės eilės PDL į pirmos eilės PDL sistemą 

‣ Pavyzdys: 

‣ Tegul 

3 

d x 

2 

d x dx 

3 

dt 

2 

dt dt 

 

a b c f t 

dx 

‣ Svarbu išmokti spręsti pirmos eilės PDL y 

dt 

2 

dx d x 

dy 

y , z 

z 

2 

dt dt 

dt 

dz 

1 

f() 

t bzcy 

dt a 

 

1

Tiesinės ir netiesinės PDL 

Tiesinės PDL: nežinomosios funkcijos ir 

jų išvestinės į reiškinį įeina tiesiškai 

2 

d g 

0 

2 

dt l 

Pavyzdys: švytuoklė 

Netiesinė PDL 

2 

d g 

sin 

0 

2 

dt l 

Netiesinės PDL: kitais atvejais 

2 

d g 

sin 

0 

2 

dt l 

2 

u 

u 

u u 

 

2 

x 

x 

netiesiškumai 

netiesiškumas 

PDL linearizavimas 

Paprastosios diferencialinės lygtys 

• Kartais netiesinė PDL linearizuojama 

u 

(=> gautą tiesinę PDL galima lengviau 

išspręsti) 

• Pavyzdys: mažas kampas 

1 sin 

 

du/dt 

t 

du 

dt 

f (, tu) 

2 2 

d g d g 

sin 

0 

2 2 

0 

dt l dt l 

netiesinė PDL 

tiesinė PDL 

t 

Pradinės sąlygos 

Analizinis ir skaitinis DL sprendimas 

Analizinis sprendimas 

Skaitinis sprendimas 

u 

PDL sprendinys 

priklauso nuo 

pradinių sąlygų 

y(0)=b 

y 

y 

t 0 , y 0 

t 1 , y 1 

t 2 , y 2 

t 3 , y 3 

t t t 

t 

t 

t 

Ta pati PDL, bet 

skirtingos 

pradinės sąlygos 

Surandama sprendinių šeima. 

Pasirenkamas atitinkantis 

pradines sąlygas sprendinys 

Užrašoma analizine 

sprendinio y(t) formulė 

Pradedame nuo pradinių sąlygų 

Diskretizavimas pagal laiką, 

pasirenkamas mažas žingsnis t 

Randamas apytikslis sprendinys 

kiekvienu laiko momentu 

Surandamas diskretusis 

sprendinys: (t 0 ,y 0 ), (t 1 ,y 1 ), … 

2

Tolygusis diskretusis tinklas 

 

Koši uždavinys 

PDL + pradinės sąlygos 

du 

f( t, u) ; 

dt 

t 0, (0 t T) 

u(0) 

u 

t : t n, n0,... , N, 

t T 

 

0 

n n N 

T 

 

N 

- žingsnis 

t 0 =0 t t 

1 τ t N-1 N =T 

 

ut () 

- tikslusis 

sprendinys 

U 

n 

U( t ) 

n 

Koši uždavinys 

ut () tikslusis sprendinys; 

PDL sprendinio diskretusis artinys. 

• Baigtinių skirtumų uždavinys (paprasčiausias 

atvejis) 

n 1 n 

U 

U 

n 

f( t , U ) ; 

0 

U u(0) 

u0 

• Išreikštinis Eulerio metodas 

U U f( t , U ), 

U 

n 1 n n 

n 

0 

 

u 

0 

n 

tn1 

 

tn 

Skaitinio sprendimo formulės 

du 

: f ( tu , ) 

dt 

Kairiųjų stačiakampių formulė 

U U f( t , U ) 

n 1 n n 

n 

Dešiniųjų stačiakampių formulė 

U U 

f( t , U ) 

n1 n n1 

n1 

Trapecijų formulė 

tn1 

ut ( 

n1) ut ( 

n) f( tudt , ) 

n1 n 

n n1 

U U f( tn, U ) f( tn1, U ) 

2 

tn 

Išreikštinis 

Eulerio metodas 

Neišreikštinis 


 

Simetrinis 



• Aproksimuoja išvestinę baigtiniu 

skirtumu 

du ui 

1 

ui 

f ( ti, ui) ui 

1 

ui 

f( ti, ui) 

dt t t 

• Lokali paklaida (Teiloro formulė) 

• arba 

i1 

i 

( ) 

u u u u u R 

u 

2 

 

n! ( n1)! 

" ( n) ( n1) 

' i 2 i n 

n1 

i 1 i i Rn 

; 

n 

 

( n1) 

f( ti, ui) 2 f ( ti, ui) 

n n1 

ui 

1 

ui f( ti, ui) 

O( ) 

2 n! 

PDL skaitiniai sprendimo metodai 


‣ Eulerio metodai 

‣ Prediktoriaus-korektoriaus metodai 

(Heun's methods) 

‣ Rungės ir Kutos metodai 

‣ .... 

u 

prognozuojama 

tikroji reikšmė 

paklaida 

τ 

3


Vienažingsniai metodai 

u 0 

du 

f ( tu , ); ut ( ) u 

dt 

 

Aproksimavimas tiesę 

0 0 

t 0 τ t 1 τ t 2 τ t 3 

Bendras 

vienažingsnių 

metodų užrašymo 

būdas: 

n 1 n 

U U 

Metodai skiriasi 

tarpusavyje 

išvestinės 

aproksimavimu 

Rungės ir Kuto metodai 

Rungės ir Kuto metodo matrica 

‣ Rungės ir Kutos metodai - išreikštiniai vienažingsniai metodai 

‣ Idėja: 

n 1 n 

U U 

k k 

k 

1 1 2 2 n n 

Išvestinės 

aproksimacija 

a 

b 

2 21 

a b b 

 

3 31 32 

a b b b 

m m1 m2 m, m1 

 

1 2 m1 

m 

m-pakopis išreikštinis Rungės ir Kutos 

metodas 

• Vienažingsnis metodas 

Funkcijos f(t,u) 

reikšmės 

skaičiuojamos 

m skirtinguose 

intervalo 

[t n ,t n+1 ] 

taškuose 

k f( t , U ) 

k f t a U b k 

k f( t a , U ( b k b k )) 

n 

1 n 

n 

2 

( 

n 

n1 2, n1 21 1) 

n 

3 

 

n 

n1 3 

n1 31 1 

 

32 2 

 

 

 

m1 

 

n 

km f tn n1am, 

U n1 

bmjk 

 

 

j 

 

 

j1 

 

 

m 

n1 

n 

U U n1 

jkj 

j1 

Išreikštinė 

formulė 

Daugiapakopiai Rungės ir Kutos metodai 

• RK metodo aproksimacijos tikslumo eilės 

priklausomybė nuo etapų skaičiaus 

Etapų skaičius m 1 2 3 4 5 6 7 8 

Tikslumo eilė p 1 2 3 4 4 5 6 6 

Apibr. Metodo tikslumo eilė yra p-toji, jei 

Arba 

n 

p 

max U u( t ) O( ). 

n1, , 

N 

Z U u t C t U O 

n 

n n p p 1 

( 

n) ( 

n, ) ( ). 

4

Uždaviniai, sprendžiami ODE solvers 

1 eilės PDL sistemos : 

• Išreikštinės PDL y′ =f(t,y) 

• Tiesiškai neišreikštinės PDL pavidalo 

M(t,y)⋅ y′ = f(t,y) , 

čia M(t,y) yra matrica; 

• Pilnai neišreikštinės PDL sistemos 

f(t,y,y′) = 0 (tik ode15i). 

DL sprendimas MATLAB aplinkoje 

ode45 sprendžia pirmos eilės diferencialinių lygčių 

sistemas. 

Naudojamas Rungės ir Kutos metodas. 

4-pakopiai Rungės ir Kuto metodai 

k 2 

 

1 

6 

( k1 2k2 

2k3 

k4 

) 

n 

k1 f( tn, U ) 

 

1 n 1 

k2 f( tn , U k1) 

 

2 2 

 

1 n 1 

k3 f( tn , U k2) 

 

2 2 

 

n 

k4 f( tn , U k3) 

n1 

n 1 

U U ( k1 2k2 2k3 k4) 

 

6 

Rungės ir 

Kuto 4-osios 

eilės formulės 

k 1 

 

k 4 

k 3 

t n t n + τ/2 t n + τ 

MATLAB – uždavinio formulavimas 

Sprendžiant su MATLAB uždavinys turi būti 

suformuluotas kaip DL sistema: 

dy1 

f1( 

t, 

y1, 

y2 

, , 

yn 

), 

dt 

dy2 

f 

2 

( t, 

y1, 

y2 

, , 

yn 

), 

dt 

 

dyn 

f 

n 

( t, 

y1, 

y2, 

, 

yn 

), 

dt 

y ( t ) b , 

1 

y ( t ) b , 

2 

0 

0 

y ( t ) b , 

•Funkcijos f 1 , f 2 , …, f n yra įvesties parametrai, aprašomi 

funkcija, pvz. fvector. Atitinkantis failas yra fvector.m 

•Vektoriaus y pradinės reikšmės (laiko momentu t 0 ) b 1 ,b 2 , 

…, b n saugomi kaip vektorius (vienmatis array), pvz. y0 

n 

0 

 

1 

2 

n 

• Surinkus komandiniame langę: 

[t,y]=ode45(‘fvector’,Tspan,y0) 

surandame sprendinį 

• Čia Tspan=[T0 Tf] yra vektorius 

• T0 – pradinis laiko momentas t 0, 

• Tf – laiko intervalo pabaiga. 

•Skaičiavimo rezultatus galima vizualizuoti, pvz., 

plot(t,y) braižo visu sprendinio komponenčių y 1 , y 2 , 

…, y n grafikus kaip funkcijų nuo t. 

• Pvz., : plot(t,y(:,1))braižo tik y 1 (t) grafiką. 

5

DLS sprendimas su MATLAB - pavyzdys 

• Pastaba. Paprasčiausiu būdu iškviečiamas ode45 yra 

adaptyvusis algoritmas, t.y pats pasirenka žingsnį pagal 

laiką ir keičia jį priklausomai nuo to, kaip greitai keičiasi 

sprendinys. 

• Sprendinio reikšmes generuojami laiko momentais t 1 , t 2 , 

t 3 , … (čia t k+1 = t k +τ k ), su τ k parinktu ode45. Taigi kiekviena 

sprendinio y 1 , y 2 , …, y n komponentė pati yra vektorius: 

y 1 (t 1 ), y 1 (t 2 ), y 1 (t 3 ), …, po to y 2 (t 1 ), y 2 (t 2 ), y 2 (t 3 ), …ir t.t. 

• Išspręskime x 2x 

5x 

sint 

x( 0) x(0) 

0 

• Suvedame antros eilės DL į pirmos eilės 

DLS: Įvedame naujus kintamuosius: 

x x 

•Iš suderinamumo x 

1 

x 

x2 

x 

1 

2 

x 

•Iš duotosios DL: 

x 

 

2 

x sint 

5x 

2x 

sint 

5x1 

2 

 

x 

2 

Pavyzdys: DLS sprendimas su MATLAB 

• Gauname DL sistema: 

DLS sprendimas su MATLAB - pavyzdys 

• Į m.failą ‘xprime.m’ užrašome DLS dešiniosios pusės 

function xp=xprime(t,x) 

x 

x 

1 

x 

 

2 

2 

5 

1 2 

x 2x 

sin t 

x (0) 0 

1 

x (0) 0 

2 

%This is the function that makes up the system 

%of differential equations that we use in ode45 

%Note: the next line is necessary because,though 

%MATLAB does not need variables to be initialised 

%before they are used, vectors will automatically 

%be set as row vectors. We want xp to be a column 

%vector 

xp=zeros(length(x),1); 

xp(1)=x(2); 

xp(2)=-5*x(1)-2.0*x(2)+sin(t) 

DLS sprendimas su MATLAB pavyzdys 

• Paleisti ode45 galima komandiniame lange 

arba faile-scenarijuje (m-file): 

x0=[0; 0]; 

%pradinės sąlygos 

tspan = [0, 15]; %laiko intervalas 

%Iškviečame ode45 funkciją nurodant duotąsias 

%pradines sąlygas ir laiko intervalą 

[t,x]=ode45('xprime',tspan,x0); 

%Braižomas sprendinio matricos pirmas stulpelis 

%x 1 arba x. 

plot(t,x(:,1)); 

DLS sprendimas su MATLAB pavyzdys 

• DL sprendinys (integralinė kreivė): 

6

MATLAB solvers ODE 

s (stiff) - 

standus 

• ode45 išreikštinis Rungės ir Kuto metodas 

• ode23 išreikštinis Rungės ir Kuto metodas 

(nestandžiosios sistemos, tikslumas ir skaičiavimo 

laikas < nei ode45) 

• ode113 kintamos eilės Adams-Bashforth-Moulton 

solver (kai reikialingas didelis tikslumas) 

• ode15s kintamos eilės daugiažingsnis metodas 

skaitinio diferencijavimo formulių pagrindų 

(naudojamas, kai nepavyksta išspręsti su ode45) 

• ode23s – vienažingsnis metodas Rozenbroko 2 eilės 

metodas. Greitis > nei kitu metodu, tikslumas nei 

ode15s, tikslumas

Koši uždavinio (IVP ODE ) sprendimo etapai 

1. Perrašykite uždavinį kaip pirmos eilės PDL 

sistemą. 

2. Užprogramuokite pirmos eilės PDL sistemą. 

3. Panaudokite vieną iš funkcijų uždavinio 

sprendimui. 

4. Rezultatų analizė. 

8

Pavyzdys: Van der Polio lygtis (nestandi) 

Šis pavyzdys paaiškina sprendimo žingsnius: 

2 

čia parametras 

y'' 

1y y' y 0, 0 . 

1. Perrašykite uždavinį kaip pirmos eilės PDL 

sistemą. 

Perrašykite Van der Polio lygtį, atlikus pakeitimą 

y1 y, y2 

y'. 

Gauta pirmos eilės PDL sistema yra 

y' 

1 

y2 

2 

y' 

1 y y y. 

 

2 1 2 1 

 

2. Užprogramuokite pirmos eilės PDL sistemą. 

function dydt = vdp1(t,y) 

% vdp1 funkcija (mu=1). 

dydt = [y(2); (1-y(1)^2)*y(2)-y(1)]; 

Pastaba: lygčių sistema yra autonominė, t.y. 

jos dešiniojoje pusėje nėra t. 

3. Panaudokite vieną iš funkcijų uždavinio 

sprendimui. 

Sprendžiant van der Polio sistemą, panaudosime 

ode45 laiko intervale [0 20] su pradinėmis 

sąlygomis y(1) = 2 ir y(2) = 0. 

[t,y] = ode45(@vdp1,[0 20],[2; 0]); 

Šis pavyzdys naudoja @ vdp1 (function handle to 

ode45). 

Išvedamas laiko taškų t vektorius stulpelis ir 

sprendinių masyvas y. 

Kiekviena eilutė esanti y atitinka laiką grąžintą 

atitinkamoje t eilutėje. 

Pirmas y stulpelis atitinka y1, antras - y2. 

4. Rezultatų analizė. 

plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'--') 

title(‘van der Pol Equation, \mu = 1'); 

xlabel('time t'); 

ylabel('solution y'); 

legend('y_1','y_2') 

Šis pavyzdys yra 

nestandus uždavinys. 

Pavyzdys: van der Pol Equation, μ = 1000 

(Standus) 

Standžiajam uždaviniui būdinga, kad viena 

sprendinio komponentė gali keistis labai 

trumpuose laiko intervaluose lyginant su 

integravimo intervalu, bet kita sprendinio 

komponentė keičiasi daug didesniuose 

intervaluose. 

Kai μ padidinamas iki 1000, van der Polio 

lygties sprendinys stipriai pakinta ir jam 

būdingi svyravimai daug didesniuose laiko 

masteliuose. 

ode15s sprendžia tokius standžius uždavinius. 

• Vdp1000 užrašyta van der Polio sistema, 

su μ = 1000. 

function dydt = vdp1000(t,y) 

dydt = [y(2); 1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)]; 

9

ode15s funkcija sprendžia uždavinį su pradinėmis sąlygų 

vektoriumi [2; 0], laiko intervale [0; 3000]. Braižoma tik 

viena sprendinio y(t) komponentė mastelio sumetimais. 

[t,y] = ode15s(@vdp1000,[0 3000],[2; 0]); 

plot(t,y(:,1),'-'); 

title('Solution of van der Pol Equation, \mu = 1000'); 

xlabel('time t'); 

ylabel('solution y_1'); 

5 laboratorinio darbo analizė 

function F=MyVanDerPol(x,y) 

% vektorius, aprašantys DL vektorinį lauką 

%(diferencialinių lygčių dešiniosios pusės) 

F=[y(2);-y(1)+1000*(1-y(1)^2)*y(2)]; 

Standi DLS => pasirenkame ode15s: 

[X,Y] = ode15s('MyVanDerPol',[0,len],[y1In,y2In]); 

plot(X, Y(:,1 )); 

Įvedame pradinius duomenis 

Spaudžiame GO ir gauname sprendinio grafiką 

RETURN ir grįžtame į pradinį langą 

10

function MyDynamicFig 

%Funkcija MyDynamicFig sudaro grafinį langą. 

Tik pradinis 

komentaras 

%Aprašo kaip sukuriami visi objektai, kaip matomi 

% pradiniu laiko momentu, taip ir atsirandantieji vėliau. 

%Pradiniu momentu yra nematomas objektas Axies ir mygtukas hBut2. 

%Jie atsiranda skaičiavimo metu. Iki tol grafiniame lange turi būti 

%matomi redaguojamieji laukai duomenų įvedimui, jų paaiškinimai, centrinis 

%užrašas apie uždavinį ir mygtukas hBut1, kuris inicijuoja skaičiavimus. 

% 

%Po funkcijos paleidimo atsiradusiam grafiniame lange įvedamos pradinės 

reikšmės, pvz., 2, 0, 

% ir 3000 (laiko intervalo ilgis) po to spaudžiame mygtuką GO, kuris atitinka 

% callback-funkcija GoCallback. Funkcija MyVanDerPol aprašo diferencialinių 

% lygčių sistemą. Paspaudus RETURN (callback-funkcija ReturnCallback) 

grįžtama į pradinę būseną. 

% 

function GoCallback 

%--------- global variables --------------- 

global hAxes 

global hEd1 hEd2 hEd3 

global hBut1 hBut2 

global hTxt1 hTxt2 hTxt3 hTxt4 

%----get string information from edit fields — 

str1=get( hEd1,'String' ); 



%----------convert strings to numbers -------- 

y1In= str2num(str1); 

y2In = str2num(str2); 

len= str2num(str3); 

%-------------- Numerical solution --------- 

[X,Y] = ode15s('MyVanDerPol',[0,len],[y1In,y2In]); 

%----------------controls reordering ---------------- 

set(hTxt1, 'Visible', 'off' ); 




set(hEd1, 'Visible', 'off' ); 



set(hBut1, 'Visible', 'off' ); 

set( hBut2, 'Visible', 'on' ); 

%------- graph plotting-------- 

plot(X, Y(:,1 )); 

set(hAxes, 'Visible', 'on'); 

function ReturnCallback 

%-------------global variables----- 

--------- 

global hAxes 

global hEd1 hEd2 hEd3 

global hBut1 hBut2 

global hTxt1 hTxt2 hTxt3 

hTxt4 

%---------controls reordering --- 

------- 

set( hTxt1, 'Visible', 'on' ); 

set(hTxt2,'Visible','on' ); 

set(hTxt3,'Visible','on'); 

set( hTxt4, 'Visible', 'on'); 

set( hEd1, 'Visible', 'on' ); 

set( hEd2, 'Visible', 'on'); 

set(hEd3,'Visible', 'on'); 

set( hBut1,'Visible', 'on' ); 

set( hBut2, 'Visible', 'off' ); 

axes( hAxes ); cla; 

set(hAxes,'Visible','off'); 

%------- fazinis portretas plotting-------- 

opt=odeset('OutputSel',[1,2],'OutputFcn','odephas2'); 

[X,Y] = ode45('ManoLotkaVoltera',[0,len],[y1In,y2In],opt); 

Čia tik vienas iš 

galimų variantų 

11

10 paskaita DiferencialinÄs lygtys MATLAB (pdf)

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?

10 paskaita DiferencialinÄs lygtys MATLAB (pdf)