transporto priemonių dinamika - Vilniaus Gedimino technikos ...

Marijonas Bogdevičius
TRANSPORTO PRIEMONIŲ
DINAMIKA
Projekto kodas
VP1-2.2-ŠMM 07-K-01-023
Vilnius „Technika“ 2012
Studijų programų atnaujinimas
pagal ES reikalavimus, gerinant
studijų kokybę ir taikant
inovatyvius studijų metodus

VilniAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS
Marijonas Bogdevičius
TRANSPORTO PRIEMONIŲ
DINAMIKA
Mokomoji knyga
Vilnius „Technika“ 2012

M. Bogdevičius. Transporto priemonių dinamika: mokomoji knyga.
Vilnius: Technika, 2012, 205 p. [4,40 aut. l. 2012 09 26]
Knygoje pateikta transporto priemonių klasifikavimas, pagrindinės sąvokos
ir apibrėžimai bei transporto priemonių istorijos fragmentai, trumpai supažindinama
su Lietuvos ir pasaulio automobilių inžinierių organizacijomis bei studentų
galimybėmis įsijungti į šių organizacijų veiklas.
Pagrindinis dėmesys skiriamas transporto priemonių judėjimo tyrimų metodams,
dinaminių modelių generavimui bei judėjimo lygčių išvedimo metodams,
kurių žinojimas yra būtinas, norint įgyti išsamias žinias apie transporto priemonių
judėjimo dėsningumus. Nemažas dėmesys skiriamas sausumos transporto
kelių charakteristikoms, jų nustatymo metodams, komfortabilumo problemoms.
Išsamiai išdėstomi šiuolaikiniai automobilio rato ir kelio sąveikos tyrimo metodai,
pateikti šios sąveikos tyrimų rezultatai. Supažindinama su geležinkelio aširačio
sąveikos su bėgiu tyrimo metodai, pateikti šios sąveikos tyrimų rezultatai.
Knyga skirta transporto inžinerijos specialistams, bakalaurantams, magistrantams
bei doktorantams. Ji gali būti naudinga ir kitų sričių specialistams.
Leidinį rekomendavo VGTU Transporto inžinerijos fakulteto studijų komitetas
Recenzavo: Doc. dr. Jolanta Janutėnienė, Klaipėdos universitetas
Doc. Dr. Olegas Prentkovskis, Vilniaus Gedimino technikos
universitetas
Leidinys parengtas ir išleistas už Europos struktūrinių fondų lėšas, jomis finansuojant
VGTU Transporto inžinerijos, Biomechanikos ir Aviacinės mechanikos
inžinerijos projektą „Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus,
gerinant studijų kokybę ir taikant inovatyvius studijų metodus“ pagal Lietuvos
2007–2013 m. Žmogiškųjų išteklių veiksmų programos 2 prioriteto „Mokymasis
visą gyvenimą“ VP1-2.2-ŠMM-07-K priemonę „Studijų kokybės gerinimas,
tarptautiškumo didinimas“. Projekto kodas Nr. VP1-2.2-ŠMM 07-K-01-023, finansavimo
ir administravimo sutartis Nr. VP1-2.2-ŠMM-07-K-01-023.
VGTU leidyklos TECHNIKA 1393-S mokomosios
metodinės literatūros knyga
http://leidykla.vgtu.lt
Redaktorė Stasė Simutytė
Maketuotoja Daiva Šepetauskaitė
eISBN 978-609-457-296-8
doi:10.3846/1393-S
© Marijonas Bogdevičius, 2012
© Vilniaus Gedimino technikos universitetas, 2012

Turinys
1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai. Istorijos fragmentai ........................ 5
1.1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai ................................................ 5
1.2. Transporto priemonių klasifikavimas ............................................. 8
1.3. Transporto priemonių istorijos fragmentai ................................... 10
1.4. Lietuvos ir pasaulio automobilių inžinierių organizacijos ........... 16
2. Transporto priemonių judėjimo tyrimo metodai .................................... 18
2.1. Koordinačių sistemos ................................................................... 18
2.2. Funkcijos skleidimas Furjė ir Teiloro eilute ................................. 20
2.3. Kūno pasukimas erdvėje ............................................................... 24
2.4. Matricos tikrinės reikšmės ir vektoriai ......................................... 33
2.5. Harmoninė analizė ........................................................................ 52
2.6. Atsitiktiniai stacionarūs priverstiniai virpesiai ............................. 57
3. Transporto priemonių dinaminių modelių elementai ir judėjimo lygtys 68
3.1. Transporto priemonės dinaminis modelis ..................................... 68
3.2. Kūno ir kūnų sistemos masių inercijos momentai ........................ 70
3.3. Jėgų klasifikacija .......................................................................... 84
3.4. Tamprieji elementai, standumo jėgos ir jėgų momentai ............... 88
3.5. Tampriųjų elementų jungimas ...................................................... 91
3.6. Slopinimo elementai, slopinimo jėgos ir momentai ..................... 92
3.7. Slopinimo elementų jungimas ...................................................... 94
3.8. Kūno judėjimo lygčių užrašymo būdai ......................................... 96
3.8.1. D’Alambero ir Lagranžo lygtys .......................................... 96
3.8.2. Niutono ir Oilerio lygčių sistema ........................................ 99
3.8.3. Hamiltono principas .......................................................... 101
3.8.4. Dviejų kūnų sujungimo tampriuoju ir slopinimo
elementais, standumo ir slopinimo matricos ........................ 103
4. Sausumos transporto kelių charakteristikos. Komfortabilumas ........... 107
4.1. Automobilių kelių nelygumai, jų charakteriskos ........................ 107
4.2. Automobilio kelių nelygumų generavimo būdai ........................ 119
4.3. Geležinkelio nelygumai, jų charakteristikos ir nelygumų
generavimo būdai ........................................................................ 132
4.4. Virpesių poveikis žmogaus organizmui ...................................... 137
Literatūra .................................................................................................. 152
3

5. Automobilio rato sąveika su keliu ........................................................ 155
5.1. Padanga ir jos sandara ................................................................ 155
5.2. Padangos kontakte veikiančios jėgos ir momentai ..................... 159
5.3. Padangos modeliai ...................................................................... 170
5.3.1. Lugre padangos modelis ................................................... 170
5.3.2. Paceikos modelis ............................................................... 175
5.3.3. HSRI modelis .................................................................... 180
5.3.4. Dugofo modelis ................................................................ 183
5.3.5. Elastingos padangos modelis ............................................ 186
5.3.6. Kiti padangos modeliai ..................................................... 192
Penkto skyriaus literatūra ......................................................................... 193
6. Geležinkelio aširačio sąveikos su bėgiu teorijos ................................. 194
6.1. Herco ir Kalkerio teorija ............................................................. 194
6.2. Euristinis netiesinis modelis ...................................................... 200
6.3. Miulerio modelis ....................................................................... 201
6.4. Kitos aširačio sąveikos su bėgiu teorijos .................................... 202
Šešto skyriaus literatūra ........................................................................... 205
4

1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai.
Istorijos fragmentai
1.1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai
Analizė - analizė (kredito ir finansų įstaigos) – tyrimas, kruopštus
aplinkybių bei priežastinių ryšių nustatymas.
Analizė (gr.ανάλυση, iš sen. gr. veiksmaž. άναλύειν „išskaidyti“) –
vieningas sistematinis tyrimas, kurio metu objektas arba subjektas skaidomas
į atskiras dalis, o šios yra tiriamos, tvarkomos, rūšiuojamos.
Dinamika – mechanikos dalis, kurioje nagrinėjamos kūnų judėjimo
greičio kitimo priežastys. Pagrindiniai klasikinės dinamikos
principai buvo suformuluoti tik 1687 m., kai pasirodė garsus Niutono
dėsnių veikalas „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“
(Matematiniai gamtos filosofijos pagrindai) [Vikipedija].
Dinaminė sistema – sistema, sudaryta iš materialiųjų kūnų, kurie
gali keisti savo padėtį ervėje ir laike.
Ratas – įrenginys, skirtas sukamąjį judesį pakeisti į slenkamąjį
judėsį.
Transporto priemonė – techninis įtaisas arba gyvūnas, skirtas
kroviniams (keleiviams, medžiagoms, įrenginiams, įvairioms prekėms
ir kt.) vežti [Vikipedija].
Dinaminis modelis – schema, kurioje nurodomos kūnų inercinės
charakteristikos (masės, masių inercijos momentai), veikiančios išorinės
jėgos, pagrindiniai matmenys, tamprūs ir pasipriešinimo elementai
ir kiti dyždžiai, kurie padeda suprasti dinaminės sistemos judėjimo
priežastis ir padeda išvesti judėjimo lygtis.
Matematinis modelis – matematinių objektų (lygtys, integralai,
matricos, vektoriai ir kt.) rinkinys, kuriuo galima matematiškai aprašyti
tyrimo objektą.
Transporto priemonės stabilumas – transporto priemonės gebėjimas
sugrįžti į pradinę judėjimo trajektoriją, atlikus staigų nukrypimą
nuo judėjimo trajektorijos.
5

Ratų suvedimas – atstumas tarp ratų užpakalinių briaunų, minus
atstumas tarp priekinių briaunų.
Ratų išvirtimas – kampas tarp vertikalės ir automobilio rato sukimosi
plokštumos, kuris laikomas neigiamu, jei ratai viršutine puse
nukreipti į vidų, arba teigiamu, jei – viršutine puse į išorę.
Kasteris – kampas tarp vertikalės ir rato sukimosi išilginėje automobilio
plokštumoje ašies projekcijos.
Transporto priemonės (TP) dinamika nagrinėja TP pagreitėjimą,
stabdymą, svyravimus veikiant išoriniams ir vidiniams veiksniams
(jėgoms ir jėgų momentams), keleivių komfortabilumo sąlygas, TP
atskirų mazgų dinaminius ir hidrodinaminius procesus, važiuoklės
sąveiką su kelio paviršiumi, TP stabilumą. Svarbiausi TP dinamikos
tyrimo atvejai pateikti 1.1 lentelėje.
1.1 lentelė. Transporto priemonės dinamikos atskiri atvejai
TP
dinamikos TP judėjimo ypatumas
tipas
Dinaminis
procesas
1.
Išilginė
dinamika
Važiavimas
ir stabdymas
2.
Šoninė
dinamika
(vingiavimas)
Vairavimas
posūkyje,
nesimetriškas
važiavimas,
nesimetriškas
stabdymas
6

1.1 lentelės pabaiga
3.
Vertikali
dinamika
Kelio paviršiaus
nelygumai,
padangos,
pakabos
dinamika
4.
Vertikalus
svyravimas
Važiavimas
per nelygų
kelio paviršių
5.
Išilginis
svyravimas
Važiavimas,
stabdymas,
pasvirimo
gradientas
6.
Ratų judėjimo
dinamika
Važiavimas,
stabdymas,
sukinėjimas
7

1.2. Transporto priemonių klasifikavimas
Transporto priemonė – techninis įtaisas arba gyvūnas, skirtas
kroviniams (keleiviams, medžiagoms, įrenginiams, įvairoms prekėms
ir kt.) vežti [Vikipedija].
Transporto priemonės skirstomos įvairiai – pagal aplinką, kurioje
keliauja, pagal variklio buvimą ir jo tipą, pagal kitus konstrukcinius
ypatumus.
Sausumos transporto priemonės:
Naudojančios aplinkos energiją
– Burinės rogės, buriniai vežimėliai
Naudojančios gyvūnus
– Nešuliniai gyvuliai
– Jojamieji gyvūnai
– Gyvulių tempiami vežimai ir rogės
– Arklinis tramvajus
Naudojančios žmogaus energiją
Pasispiriamos ir kitos, nenaudojančios pavarų ir pan. mechanizmų
– Paspirtukai
– Riedlentės
– Riedučiai
Naudojančios pavaras ir pan. mechanines priemones
– Dviračiai (dviračiai, triračiai)
– Velomobiliai
– Rankinės drezinos
Naudojančios variklius
Ratinės bėgių
Būna su garo mašinomis, vidaus degimo varikliais, elektros varikliais.
– Lokomotyvai (garvežys, motorvežis, elektrovežis)
– Drezinos
– Tramvajus
8

Ratinės kelių ir bekelės
– Su vidaus degimo varikliais ir pan. varikliais (turbinomis)
– Motoriniai dviračiai ir mopedai
– Motociklai
– Automobiliai
– lengvieji automobiliai
– sunkvežimiai
– autobusai ir mikroautobusai
– vilkikai
– Ratiniai traktoriai
– Su elektros varikliais
– Troleibusai
– Elektromobiliai
Vikšrinės
– Sniegaeigiai
– Vikšriniai traktoriai
– Vikšriniai visureigiai
– Tankai
Kitokios
– Aerorogės
– Liftai ir keltuvai
– Konvejeriai
– Vamzdynai (vandentiekis, naftotiekiai, dujotiekiai ir kt.)
Upių ir jūrų transporto priemonės:
Naudojančios aplinkos energiją
– Plaustai ir sieliai
– Banglentės
– Burlentės, burinės valtys ir buriniai laivai
Naudojančios žmogaus energiją
– Irklinės valtys ir irkliniai laivai
Naudojančios variklius
– Garlaiviai ir kitokie grimzliniai laivai
– Povandeniniai laivai, batiskafai
9

– Laivai su povandeniniais sparnais
– Laivai su oro pagalve
– Ekranoplanai
Oro transporto priemonės:
Naudojančios aplinkos energiją
– Oro balionai
– Parašiutai
– Skraidyklės
– Sklandytuvai
Naudojančios variklius
– Dirižabliai
– Sraigtasparniai
– Autožyrai
– Lėktuvai
– Raketos
Kosminio transporto priemonės
– Kosminiai laivai
– Dirbtiniai palydovai
– Kosminis liftas
1.3. Transporto priemonių istorijos fragmentai
Pagrindiniai klasikinės dinamikos principai buvo suformuluoti tik
1687 m., kai pasirodė garsus Niutono dėsnių veikalas „Philosophiae
Naturalis Principia Mathematica“ (Matematiniai gamtos filosofijos
pagrindai) [Vikipedija].
Lietuvos „Niutonas“, taip galima pavadinti Kazimierą Simonavičių
[žr. Vikipedija].
Kazimieras Simonavičius (kartais Kazimieras Semenavičius,
lenkų kalba Kazimierz Siemienowicz; apie 1600 m. balandžio
18 d. – apie 1651) – artilerijos inžinierius, raketų išradėjas, Lietuvos
Didžiosios Kunigaikštystės bajoras ir karininkas.
1650 m. Amsterdame Kazimieras Simonavičius išleido veikalą
„Didysis artilerijos menas“ (lot. Artis Magnae Artilleriae Pars prima),
10

kuris greitai išgarsėjo visoje Europoje. Tai pirmoji pasaulyje knyga,
pateikusi daugiapakopės raketos ir raketinės artilerijos sukūrimo
teoriją bei brėžinius.
Veikalą sudarė 5 skyriai (iš viso 305 puslapiai teksto ir 206 iliustracijos,
brėžiniai):
– 1 skyrius skirtas patrankų kalibrui, jų konstrukcijai ir pritaikymui
– 2 skyriuje nagrinėjama parako ir kitų artilerijoje naudojamų
medžiagų technologija
– 3 skyrius „Apie raketas“ — įdomiausias ir vertingiausias,
aprašantis svarbiausius atradimus – raketos aukščio ir jos
reak tyvinės tūtos pločio santykį, daugiapakopę raketą, raketų
stabilizavimą sparneliais, raketų bateriją (lygiagrečiojo jungimo
daugiapakopę raketą). Aprašoma daugiau kaip 20 paraku
užtaisomų raketų pavyzdžių, jų gamyba ir savybės. Svarbu
yra tai, kad K.Simonavičius aprašymuose viską grindė matematiniais
skaičiavimais ir fizikos dėsniais
– 4 ir 5 skyriai, kuriuose apibendrinti karo ir pramogai skirtos
pirotechnikos laimėjimai.
K. Simonavičiaus
aprašyta
daugiapakopė
raketa
1.1 pav. Lietuvos banko išleista proginė 50 litų sidabrinė moneta,
skirta paminėti K. Simonavičiaus knygos „Didysis artilerijos menas“
350-ąsias metines, ir daugiapakopė raketa
11

Vienas didžiausių žmonių išradimų yra rato išradimas.
12

1.2 pav. Ratų vystymosi raida [Holzspeichenräder
(Benz-Viktoria-Wagen; 1893)]
13

1828 m. Hancock sukūrė transporto priemonę (naudojo garo energiją),
kurią pavadino „Diligence“ (variklio galia 20 AG) (1.3 pav.).
Paaiškinimas: AG arklio galia (1 AG lygi 745,7 W). Dažnai arklio galioms
nusakyti vartojamas neteisingas terminas arklio jėga.
1.3 pav. Transporto priemonė „Diligence“ (Newsletter to the Members of
EAEC Automotive Engineer‘s Societies, issue 4, May, 2009)
1833 m. Hancock sukūrė pirmą autobusą „Enterprise“ (garo variklis),
kuris pervežė apie 4000 keleivių, vidutinis greitis 20 km/val.
(1.4 pav.).
1.4 pav. Transporto priemonė „Enterprise“ (Newsletter to the Members of
EAEC Automotive Engineer‘s Societies, issue 4, May, 2009)
14

1836 m. Hancock sukūrė patobulintą autobusą (garo variklis),
kurio talpa 22 keleiviai, maksimalus greitis 33 km/val. Autobusas
„Automation“ nuvažiavo 6758 km, pervežė apie 4000 keleivių, vidutinis
greitis 20 km/val. (1.5 pav.).
1.5 pav. Patobulintas autobusas (Newsletter to the Members of EAEC
Automotive Engineer‘s Societies, issue 4, Mat, 2009)
Hancocko nuosavas automobilis parodytas (1.6 pav.).
1.6 pav. Hancocko nuosavas automobilis „Phaeton“ (Newsletter to the
Members of EAEC Automotive Engineer‘s Societies, issue 4, May, 2009)
15

1.7 pav. Traktorius ir triračiai automobiliai
1.4. Lietuvos ir pasaulio automobilių inžinierių organizacijos
Šiandien Lietuvos automobilių tyrėjai susijungė į automobilių inžinierių
sąjungą (LAIS, www.lais.lt). LAIS yra Pasaulinės automobilių
inžinierių sąjungos narė („FISITA“ International Federation of
Automotive Engineering Societies, www.fisita.com).
FISITA remia studentų veiklą. Kasmet vyksta „Formulės-1“ studentų
regioninės ir pasaulinės lenktynės. 1.8 pav. parodyti Japonijos
„Formulė-1“ studentiškų lenktynių fragmentai.
16

1.8 pav. Japonijos „Formulės-1“ studentiškų lenktynių fragmentai
17

2. Transporto priemonių judėjimo
tyrimo metodai
2.1. Koordinačių sistemos
Transporto priemonių dinamikoje, nagrinėjant kūnų sistemos judėjimą,
įvedama bendroji koordinačių sistema OXYZ, kurios atžvilgiu
stebimas kiekvieno kūno masių centro koordinačių ir kūno pasukimo
kampų kitimas. Tarptautinė standartų organizacija (ISO) standartu
ISO 8855 nustato koordinačių ašių padėtį, kaip parodyta 2.1 pav. Ašis
X k nukreipiama į priekį išilgai transporto priemonės, žiūrint iš X k
viršūnės, Y k ašis nukreipta į dešinę pusę ir yra statmena X k ašiai;
Z k ašis nukreipta į viršų ir yra statmena OX k Y k
plokštumai. Teigiami
posūkio kampai apie X k ,Y k
ir Z k standartuose numatyti pagal dešiniojo
sraigto taisyklę. Pasukimo kampas apie X k ašį – virtimo kampas
ϕ ; pasukimo kampas apie Y k – išilginio supimo kampas θ, o pasukimo
kampas apie Z k
– nukrypimo nuo kurso kampas ψ (2.2 pav). Amerikos
Transporto inžinierių organizacija (SAE) standartu SAE J670 nustato
kitokią koordinačių sistemą: ašis X k nukreipiama į priekį išilgai transporto
priemonės; žiūrint iš X k viršūnės, Y k ašis nukreipta į kairiąją
pusę ir yra statmena X k ašiai; Z k ašis nukreipta žemyn ir yra statmena
OX k Y k
plokštumai.
18

2.1 pav. Kūnų koordinačių sistemos
2.2 pav. Kūno pasukimo kampai: OX aYZ
a a – automobilio
koordinačių sistema
Rato geometriniame centre įvedama rato koordinačių sistema
XRYRZ
R , o rato ir kelio paviršiaus kontakto taške P įvedama koordinačių
sistema XPYPZ
P . Kotakto taške P rato greitis yra lygus V P ,
kampas tarp ašies X P ir greičio V P yra lygus α (skersridės kampas).
Rato plokštuma pasvirusi kampu ε R (pasukimo kampas apie X P ašį).
19

Rato ir kelio kontakto taške veikianti jėga suskaidoma į dedamąsias:
F XR , F YR . Apie ašis X P
irY P
veikia sukimo momentai M XP ir M YP
(2.3 pav.).
2.3 pav. Pasvirusio rato koordinačių sistemos ir veikiančios
jėgos ir momentai
čia A
2.2. Funkcijos skleidimas Furjė ir Teiloro eilute
Kiekvieną periodinę funkciją f () t galima išskleisti Furjė eilute:
∞
f t A ∑ A sin 2πkt / T ∑ B cos 2π kt / T , (2.1a)
B
A
()= + ( )+ ( )
k
k
0
0
T
k
k=
1 k=
1
2 2
= ∫ f () t sin ( 2π kt / T)
dt ,
T
T
−
2
T
2
2
= ∫ f () t cos ( 2π kt / T)
dt ,
T
1
T
T
−
2
T
2
∫ f t dt ,
= ()
T
−
2
20
∞
k

T – funkcijos f () t periodas; A 0 – funkcijos vidutinė reikšmė per
T periodą.
Kiekvieną periodinę funkciją f ϕ ( ) galima išskleisti Furjė eilute:
čia
∞
( )= + ( )+ ( )
∞
f ϕ A ∑ A sin kϕ ∑ B cos kϕ
, (2.1b)
0
2π
A0
= 1
∫ f ( ϕ ) dϕ,
2π
0
2π
k
k=
1 k=
1
Ak = 1
∫ f ( ϕ ) sin( kϕ) dϕ
Bk f k d
π
= 1
∫ ( ϕ ) cos( ϕ) ϕ.
0
π 0
Kiekvieną periodinę funkciją f ( x), kai periodas yra L, galima
išskleisti Furjė eilute:
∞
f ( x)= A + ∑ A
0
k
2π
2π L kx ∞
B 2π sin( ) ∑ k cos(
L kx ), (2.1c)
k
k=
1 k=
1
čia
A
0
L
1
∫
2L f x dx ,
= ( )
0
A
k
L
1
L f x 2π
∫ sin( kx)
dx B
L
= ( )
0
k
21
L
1
L f x 2π ∫ cos( kx)
dx .
L
= ( )
Furjė eilutę galima užrašyti kompleksine forma:
f t
()=
∞
∑
k=−∞
⎛
i⎜
2πk t
⎝ T
k
ce
1
čia c = A −iB
2
( )
k k k
,
⎞
⎟
⎠
Kompleksinė amplitudė lygi:
c
k
T
1 2
0
; (2.2)
2πk
= ωk.
T
2 i k t
= f () t e
− π
T
∫
dt
. (2.3)
T
T
−
2

Dažnių ω k rinkinys vadinamas funkcijos f () t spektru. Šiuo
atveju spektras yra diskretinis.
Įstatę c k išraišką į (2.2), gausime:
f t
T
1 ∞ −i
πk t T
2 −i
πk t T
()= ∑
()
T
k=−∞
e ∫ f t e dt .
T
−
2
(2.4)
Diferencijuojamą funkciją f ( q) taško q 0 aplinkoje galima išskleisti
Teiloro eilute:
( )
1 df q
f ( q)= f ( q0
)+
1!
dq
( )
n
1 0
d q
.... +
n!
n
dq
0
n
− + ( )
( )
1 d q
( q− q0
) +
2!
dq
2
0
2 0 2
( q− q ) +
( q q0
) Rn q , (2.5)
čia Rn ( q) – liekamasis narys.
Tegu turime n kintamųjų diferencijuojamą funkciją
f ( q 1 , q 2 ,..., q n ). Diferencijuojamą funkciją f ( q 1 , q 2 ,..., q n ) taško
{ } aplinkoje išskleisime Teiloro eilute:
q 0
( )
1 ∂ f { q0}
f ({}
q )= f ({ q0}
)+
1! q
∂{ }
( )
({}−{ q q })
+
1
⎡ 2
0
0
2
2 0
! ( q q ) f q ⎤
T
{}−{ } ⎢ ⎥ ( q q ) .... Rn
x
⎢
⎣ ∂{ q}
⎦
∂ { }
0
⎥ {}−{ } + + ( ), (2.6)
čia
⎡
⎢
⎢
⎣
( )
2
∂ f { q0}
2
∂{ q}
⎤
⎥ – vadinamoji Hesės matrica.
⎥
⎦
22

a)
b)
c)
d)
23

e)
2.4 pav. Funkcijos f ( x)= 2sin ( 2x)+ 15 , sin( 6x) cos( 2x)
3 skleidimas
Furjė eilute: a – 1 harmonika; b – 2 harmonikos; c – 3 harmonikos;
d – 5 harmonikos; e – 6 harmonikos
2.3. Kūno pasukimas erdvėje
Posūkio matrica [ A] yra kvadratinė, jos elementai yra realieji
skaičiai. Be to, posūkio matrica yra ortogonalioji matrica, ir jos determinantas
lygus vienetui, todėl
T
[ A] = [ A] −1 , det ([ A]
)=1.
Įvesime nejudančią (inercinę) koordinačių sistemą OXYZ , su
nagrinėjamu kūnu sujungtą judančia koordinačių sistema OXYZ 1 1 1 1 .
Nagrinėjant kūno sukimąsi erdvėje labai svarbu, kokia eilės tvarka
vyksta sukimasis apie ašis. Priminsime, kad teigiama sukimosi kryptis
apie atitinkamą ašį yra prieš laikrodžio rodyklės sukimosi kryptį, jeigu
žiūrėsime iš šios ašies galo. Atliksime kūno sukimą apie ašis X 1 ,
π
Y 1 ir Z 1
2 kampu. Pirmiausia pasuksime apie X 1 ašį, o paskui apie
Y 1
ir Z 1 ašis (2,5 pav. a). Dabar pakartosime tą patį kūno sukimą, bet
pirmiausia suksime kūną apie Z 1 ašį, o paskui – apie Y 1 ir X 1 ašis
(2.5 pav. b). Palyginę sukimo rezultatus, matome, kad kūno orientacijos
erdvėje yra skirtingos.
a)
24

)
2.5 pav. Kūno sukimas:
a – X 1 , Y 1 ir Z 1 ašis π/2 kampu; b – Z 1 , Y 1 ir X 1 ašis π/2 kampu
Įvesime pagal X , Y ir Z ašis vienetinius vektorius (ortus): {}, i
{}, j {}, k o išilgai kūno koordinačių – pagal sistemos ašis X 1 , Y 1 ir
{}
Z 1 – vienetinius vektorius: { i 1 }, { j 1 }, { k 1 }. Tada bet kokį vektorių r
galima užrašyti XYZ ir X 1 , Y 1 , Z 1 koordinačių sistemose (2.6 pav.):
{}= r rx{}+ i ry{}+ j rz
{}, k
(2.7)
{}= r rx1{ i1}+ ry1{}+ j rz1{ k1 } , (2.8)
čia
T
x = {} {}
r r i
T
x1 1 1
r r i
;
= { } { }
T
y = {} {}
r r j
T
y1 1 1
; r r j
;
= { } { }
;
T
z = {} {}
r r k
T
z1 1
r r k
;
= {} { }
,
T
T
arba {} r = ⎡ ⎣
rx, ry, rz
⎤ ⎦
; { r1} = ⎡ ⎣
rx1, ry1, rz1⎤ ⎦
.
2.6 pav. Dvi koordinačių sistemos:
OXYZ – nejudanti (inercinė); OXYZ 1 1 1 1 – judanti
25

Užrašysime koordinačių sistemos O1XYZ
1 1 1 ortus { i 1 }, { j 1 }, k 1
per koordinačių sistemos OXYZ ortus i
{ i1}= a11{}+ i a21{}+ j a31{}
k ;
{ j1}= a12{}+ i a22{}+ j a32
{} k ;
{ k }= a i a j a k
1
13{}+ 23{}+ 33{},
( 123 1 23)
{}, {}, j {}: k
čia anm n= , , ; m = , , – krypties kosinusai,
a e e
nm
n
T
= { } { },
m
kai { e1}= {}; i e2
j
{ e }= { k }.
3 1
{ }= {}; { e }= {}; k { e }= { i }; { e }= { j };
Įstatę ortus iš (2.9) į (2.8), gausime
3
1 1
2 1
{ }
(2.9)
( 11 x1 12 y1 13 z1){}+
( 21 x1 22 y1 23 z1){}+
r a r a r a r i
{}= + +
+ a r + a r + a r j
+ ( a31rx1+ a32ry1+
a33rz1
){}= k
= r {}+ i r {}+ j r {}, k
x y z
(2.10)
arba matricine forma
{}= r [ A]{ r 1 }, (2.11)
{} ir { r 1 } – tas pats vektorius, užrašytas OXYZ ir OXYZ 1 1 1 1
[ ] – krypties kosinusų matrica,
čia r
koor dinačių sistemose, atitinkamai; A
arba koordinačių transformacijos matrica:
⎡a11 a12 a13
⎤
A
⎢
[ ]=
⎢
a a a
⎥
21 22 23 ⎥
. (2.12)
⎣⎢
a31 a32 a33
⎦⎥
Koordinačių transformacijos matrica yra posūkio matrica, kadangi
ji yra kvadratinė ir ortogonalioji matrica, ir jai galioja sąlygos:
T
[ A] = [ A] −1 T
, det ([ A]
)=1, [ A] [ A]= [ E].
26

Koordinačių sistemoje OXYZ ortai {}, i {}, j {} k lygūs:
{} i T = [ 100]
, , ; j T
{} = [ 010]
,, ; k T
27
{} = [ 001]
, , . (2.13)
Tada pagal (2.70) išraiškas OXYZ koordinačių sistemoje užrašyti
{ i 1 }, { j 1 }, { k 1 } yra lygūs:
i T
T
{ } = [ a a a ]; j a a a
1 11 21 31
{ 1} = [ 21 22 32 ] ,
{ k } T = [ a a a ]. (2.14)
1 13 23 33
Iš (2.14) išraiškų matome, kad matricos [ A] stulpeliai yra ortų { i 1 },
{ j 1 }, { k 1 }, užrašytų OXYZ koordinačių sistemoje, elementai, t. y.
r
{}:
[ A]= ⎡⎣ { i 1 },{ j1} ,{ k1 } ⎤ ⎦ . (2.15)
Taikant (2.10) išraišką, galima išreikšti vektorių r 1
{ } per vektorių
−1
T
{ r}= [ A] {}= r [ A] {} r . (2.16)
1
Tarkime, turime du vektorius {} r ir {}, b užrašytus OXYZ koordinačių
sistemoje, ir du vektorius { r 1 } ir { b 1 }, užrašytus OXYZ 1 1 1 1
koordinačių sistemoje. Tada vektorių {} r ir {} b vektorinę sandaugą
galima užrašyti tokiu pavidalu:
( )
[ r]{}= b [ A] { r1}{ b1 } . (2.17)
Bet{}= b [ A]{ b 1 }, (2.18)
tada iš (2.17) išraiškos gauname:
([ ][ ]){ }= ([ ][ ]){ }
r
A b1 A r1 b1 . (2.19)
Sulyginę matricas prie vektoriaus { b 1 } (2.19) lygybės kairėje ir
dešinėje pusėse, gauname:
[ r][ A]= [ A][ r1 ]. (2.20)

[ ] , gauname:
Iš dešinės pusės padauginę (2.82) lygybę iš A T
⎡ ~ ⎤
⎢[ A]{ r}
r A r A T
1 ⎥ = [ ]= [ ][
1][ ] . (2.21)
⎣ ⎦
Analogiškai galima gauti ir kitą išraišką:
⎡ ~ ⎤
T
T
⎢[ A] {} r ⎥ = [ r1 ]= [ A] [ r][ A]
. (2.22)
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Tarkime, du kūnai i ir j sukasi apie bendrą ašį, kuri sutampa su
kūnų X 1 i ir X 1 j ašimis (2.7 pav.).
2.7 pav. Dviejų kūnų sukimasis apie bendrą ašį
Pasinaudojus dviejų vektorių skaliarine ir vektorine sandaugomis,
nagrinėjamu atveju galima gauti tokias išraiškas:
T
{ j } { j }= cos( α ), (2.23)
i
T
j
⎡
⎣
j i
⎤ jj
ii
sin α . (2.24)
T
Padauginę iš kairės pusės išraišką (2.86) iš vektoriaus {} i i , gauname:
⎦ { }= {} ( )
T
{} i ⎡ ~
i ji
j
⎣ ⎢ ⎤
⎦
⎥{ j}= ( )
sin α . (2.25)
28

iš
Užrašius kūnų i ir j ortus šių kūnų koordinačių sistemoje XYZ i i i
X jY
j Z j, (2.23) ir (2.25) galima perrašyti tokiu pavidalu:
T T
{ j1i
} [ Ai
] ⎡Aj⎤ ⎣ ⎦ { j1j}= cos( α)
T T
−{ k } [ A ] ⎡ ⎣
A ⎤ ⎦ { j }= sin ( α) . (2.26)
1i
i j 1j
( ) ir cos( α) reikšmes, galime rasti kampą α :
( sc) , kai s> 0,
c > 0
Žinodami sin α
⎧ arctg
⎪
⎪ π 2, kai s> 0,
c = 0
⎪ π − arctg( sc) , kai s> 0,
c < 0
⎪
α = ⎨ π + arctg( sc) , kai s< 0,
c < 0, (2.27)
⎪
⎪ 3
⎪
π, kai s< 0,
c = 0
2
⎪
⎩⎪
2π − arctg( sc) , kai s< 0,
c > 0
T T
=−{ } [ ] ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ { }
T T
= { 1} [ ] ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ { 1 j}
.
čia s k1i
Ai
Aj
j1 j ; c j i Ai
Aj
j
Nagrinėjant kūno sukimąsi, reikia žinoti posūkio (koordinačių
transformacijos) matricą. Posūkio matricą galima apskaičiuoti naudojant
Kardano, Oilerio kampus, Oilerio parametrus [32].
Naudojant Kardano kampus θ , θ , θ
čia s i
( ) posūkio matrica lygi:
29
1 2 3
⎡ cc 2 3 −cs 2 3 s2
⎤
⎡⎣ A( θ)
⎤ ⎦ =
⎢
ssc + c s − s ss + cc −sc
⎥ , (2.28)
⎢ 1 2 3 1 3 1 2 3 1 3 1 2⎥
⎣⎢
ss 1 3−
cs 1 2s3 cs 1 2s3+
s1c3 c1c
2⎦⎥
= ( i )
sin θ ; c i cos θ i , i =1, 23 , .
= ( )
Ryšys tarp kūno kampinio greičio { ω}, užrašyto OXYZ koordinačių
sistemoje, ir Kardano kampų vektoriaus laiko išvestinės {} θ yra lygus:
{ ω}= ⎡⎣ G 1 ( θ)
⎤ ⎦ {} θ
, (2.29)

T
čia { ω} = ⎡ ⎣
ωxωω
y z
⎤ ⎦
; {} θ – Kardano kampų išvestinių pagal laiką
vektorius,
T θ θ θ
{}
θ = ⎡ d
⎣ ⎢ 1 d 2 d 3 ⎤
dt dt dt
⎥ ; (2.30)
⎦
⎡1 0 s2
⎤
⎡⎣ G1
( θ)
⎤ ⎦ =
⎢
0 c1 −c2s
⎥
⎢
1⎥
. (2.31)
⎣⎢
0 s1 c2c1
⎦⎥
Kampinio greičio vektorių ω
T
{ } galima užrašyti taip:
T ϕ ϕ ϕ ϕ
{ ω} = ⎧ d ⎫
⎨ ⎬⎭ = ⎡ d
⎩ ⎣ ⎢ x d x d z ⎤
dt dt dt
⎥ , (2.32)
dt ⎦
čia { ϕ} – posūkio kampų vektorius; ϕx, ϕy, ϕz
– posūkio kampai apie
XYZ , , ašis atitinkamai.
Posūkio kampų vektoriaus { ϕ} variacija (variacija – be galo mažas
pokytis) lygi:
δϕ { }= ⎡⎣ G 1 ( θ)
⎤ ⎦ {} θ . (2.33)
Kampinio greičio vektoriaus { ω}, užrašyto kūno koordinačių sistemoje
OXYZ 1 1 1 1 , ryšys su Kardano kampų vektoriumi {} θ yra:
{ ω}= ⎡⎣ G 2 ( θ)
⎤ ⎦ {} θ , (2.33)
čia
⎡⎣ G
2
⎡ cc
θ ⎤ ⎦ =
⎢
⎢
−cs
⎣⎢
s2
( )
2 3 3
2 3 3
kampinio greičio vektorių ω
T
{ ϕ ϕ ϕ ϕ
ω } T
= ⎧ ⎨ d ⎫ ⎬⎭ = ⎡ d d d
⎢
⎩ dt
⎣ ⎢ dt dt dt
s 0⎤
c 0
⎥
⎥
, (2.34)
0 1⎦⎥
{ } galima užrašyti taip:
x y z
30
⎤
⎥ , (2.35)
⎦⎥
čia ϕ { } – posūkio kampai apie XYZ 11 1 ašis atitinkamai.

Posūkio kampų vektoriaus ϕ
{ } variacija lygi:
δϕ { }= ⎡⎣ G 2 ( θ)
⎤ ⎦ δ{}
θ . (2.36)
Kampinių pagreičių vektoriai OXYZ ir OXYZ 1 1 1 1 koordinačių
sistemose yra lygūs:
⎧dω⎫
⎨ ⎬ ω G θ θ G θ θ
⎩ dt
⎡⎣ ⎤ ⎦ {}+ ⎡
⎣ ( ) ⎤
1 1 ⎦{ }, (2.37)
⎧dω⎫
⎨ ⎬
⎩ dt
⎭ = { }= ( )
ω G θ θ ⎡
⎣
G θ ⎤ θ
2 2 . (2.38)
⎭ = { }= ( )
⎡⎣ ⎤ ⎦ {}+ ( ) ⎦{ }
Ryšys tarp kampinių greičių vektorių { ω} ir { ω} yra lygus:
[ ω]= [ A][ ω][ A]
T ; (2.39)
T
[ ω]= [ A] [ ω][ A]
, (2.40)
čia
⎡ 0
⎢
[ ω ]= ⎢ ωz
⎢
⎣
−ω
y
−ω
0
ω
x
z
ω
−ω
0
y
x
( )
⎤ ⎡ 0
⎥ ⎢
⎥ ; [ ω ]= ⎢ ωz
⎥ ⎢
⎦ −ω
⎣
y
−ω
0
ω
x
z
ω
−ω
0
y
x
⎤
⎥
⎥ .
⎥
⎦
Posūkio matricos ⎡⎣ A θ ⎤ ⎦ išvestinės pagal laiką yra lygios:
( ) ⎦ = [ ] ( ) ⎦ = ( )
⎡Ȧ θ ⎤ ω̃ A θ A θ ω̃
⎣
⎡⎡
⎣ ⎣ ⎤ ⎦
⎤ ⎡⎣ ⎤ ⎦ [ ], (2.41)
( ) ⎦ = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦
⎡⎣ [ ] ⎤ ⎦ + [ ] [ ]= [ ]⎡ ⎤ ⎣ ⎦
+ [ ][ ]
̇̇ 2 2
⎡A θ ⎤ ω̇̃ A ω̃ A A ω̇̃ A ω̃
⎣
. (2.42)
Kūno taško P koordinačių vektorius { R p } OXYZ koordinačių
sistemoje yra lygus:
{ Rp}= { Rc}+ { Rcp}= { Rc}+ ⎡⎣ A( θ)
⎤ ⎦ { r1 cp}
, (2.43)
31

čia R c
{ } – kūno masių centro vektorius OXYZ koordinačių sistemo­
{ cp}= ⎡⎣ ( θ)
⎤ ⎦ { 1 cp}
– vektorius tarp kūno taškų c ir P OXYZ 1 1 1 1
je; R A r
{ } OXYZ koordinačių siste­
koordinačių sistemoje.
Kūno taško P greičių vektorius V p
moje yra lygus:
V R ̇ R ̇ A ̇ r R ̇ ̃ R
{ p}= { p}= { c}+ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ { 1cp}= { c}+ [ ω]{ cp}=
̇
̃
= { Rc}+ [ ω][ A]{ r1
cp}=
= { Ṙ
c}+ [ A][ ω]{ r cp}
1 .
{ V
p } OXYZ koordinačių sis­
Kūno taško P pagreičių vektorius
temoje yra lygus:
{ V̇ ̇̇ ̇̇ ̇̇
p}= { Rc}+ ⎡A⎤ rcp Rc A ̇̃
⎣ ⎦ { }= { }+ [ ]⎡ ⎤
1 ⎣ ω ⎦ { r1cp
}+
2
+[ A][
̃ r cp .
ω] { 1 }
Virtualūs poslinkiai ir posūkiai:
[ ]= [ ][ ]= [ ] ⎡ ⎣
⎤ ⎦
δ A δ ϕ A A δ ϕ ; δ⎡ϕ
A δ
(2.44)
⎣ ⎤ ⎦ = [ ] T
[ A]
{ p}= { c}+ [ ]{ 1cp}= { c}+ [ ]{ cp}=
δ R δ R δ A r δ R δϕ R
= δ{ Rc}+ [ A]⎡ ⎣
ϕ⎤ ⎦ { r cp}
δ{ Rp}= δ[ A]{ r1cp}= [ A] δ ⎡ ϕ=−[ A]⎡ ⎣
r1cp
⎤ ⎦
δϕ { }
;
(2.45)
1 ; (2.46)
⎤
⎣
⎦ .
Kūną sukant kampais ϕx, ϕy, ϕz
apie X, Y, Z ašis, posūkio matricos
turi tokias išraiškas:
⎡
⎣
⎡1 0 0 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥ ;
⎢
⎣0
sin( ϕx) cos( ϕx)
⎥
⎦
( ) ⎤
⎦ = ( ) − ( )
A ϕ x 0 cos ϕ x sin ϕ x
32

⎡ cos( ϕ ) 0 sin( ϕ ) ⎤
⎥
⎦ = ⎥ ;
⎥
⎣
⎦
⎥
y y
⎢
A( ϕ y ) ⎤ ⎢ 0 1 0
⎢
⎢− sin( ϕy) 0 0 cos( ϕy)
⎡
⎣
⎡cos( ϕz) − sin( ϕz)
0⎤
⎢
⎥
⎡⎣ A( ϕ z ) ⎤ ⎦ = ⎢sin( ϕz) cos( ϕz)
0⎥
. (2.47)
⎢
⎥
⎣ 0 0 1⎦
Nagrinėjant kūno judėjimą, kai kūnas pasisuka mažais kampais,
t. y. { ϕ}→ 0 , posūkio matrica yra lygi:
⎡⎣ A( ϕ)
⎤ ⎦ = [ E]+ [ ϕ ] , (2.48)
arba
1
1 2
⎡⎣ A( ϕ)
⎤ ⎦ = [ E]+ [ ϕ]+ [ ϕ][ ϕ]= [ E]+ [ ϕ]+ [ ϕ
] , (2.49)
2
2
arba bendruoju aveju
j
n
⎡⎣ A( ϕ)
⎤ ⎦ = [ E]+ ∑ 1 [ ϕ]
j=
1 j! . (2.50)
2.4. Matricos tikrinės reikšmės ir vektoriai
Tarkime, turime tiesinę diferencialinę lygčių sistemą:
r A r B
{}= [ ]{}+ { }. (2.51)
Homogeninės lygčių sistemos
r A r {}= [ ]{} (2.52)
sprendinį užrašysime tokiu pavidalu:
λt
{}= r e { X}
. (2.53)
33

Įstatę sprendinį (2.116) į (2.115) lygtį, gausime:
[ A]{ X}= λ { X}
, (2.54)
[ ] – kvadratinė matrica; { X} – nežinomasis vektorius; λ – ne­
čia A
žinomasis daugiklis.
Lygčių sistemą (2.54) galima užrašyti tokiu pavidalu:
([ A]− [ E]
λ){ X}=
0 , (2.55)
čia [ E] – vienetinė matrica.
Homogeninė tiesinių lygčių sistema (2.55) turi nenulinį sprendinį
tik tada, kai jos determinantas lygus nuliui:
⎡an − λ an a12n
⎤
⎢
a a − λ a
⎥
n
det ([ A]− λ[ E]
)= ⎢ 21 22 22 ⎥ = 0 (2.56)
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎣ a21 n a2n2 a2n2n−
λ⎦
Gauta lygtis yra 2n-tojo laipsnio algebrinė lygtis, kurios kairioji
pusė yra 2n-tojo laipsnio daugianaris nežinomojo parametro λ atžvilgiu:
2n
i
n
D( λ)= ∑ Cλ = C0 + C1λ+ C2λ 2 +
C
λ
čn . (2.57)
i=
0
Daugianaris D λ
daugianariu, o lygtis
i
( ) vadinamas matricos [ A] charakteringuoju
D( λ)= 0 (2.58)
– matricos [ A] charakteringąja lygtimi. Bendruoju atveju 2n-tojo
laipsnio daugianaris turi n šaknų. Parametras λ vadinamas matricos
[ A] tikrine reikšme. Charakteringojo daugianario šaknys λ i ,
i=1, 2,... 2n, gali būti realiosios, kompleksinės ir kartotinės. Lygties
(2.119) sprendinys { X} vadinamas tikriniu matricos [ A] vektoriumi.
Vektoriai { X} nustatomi konstantos tikslumu. Tikrinės reikšmės λ i ,
o{ X} i
– tikriniai vektoriai, i=1, 2,... 2n.
34
n

[ ] – simetrinė matrica, tai { X} i
– ortogonalieji vektoriai.
{ } ir λ j , { X} j
. Lygčių sis­
Kai A
Nagrinėsime du sprendinius: λ i , X i
temą (2.55) galima užrašyti:
[ A]{ X} = λ X
i i { }
i ,
(2.59)
[ A]{ X} = λ { X}
. (2.60)
j j j
{ } , o
T
Lygtį (2.59) iš kairės pusės padauginsime iš vektoriaus X
T
j
lygtį (2.60) – iš vektoriaus X i
{ } :
X T
{ } A X X X
j
[ ]{ } = λ
i i { }
j
{ } i
, (2.61)
X T
{ } A X X X
i
[ ]{ } = λ
j j { }
i
{ } j
. (2.62)
[ ] yra
Iš lygties (2.61) atimsime lygtį (2.62) ir kadangi matrica A
simetrinė, tai gausime:
T
( λ − λ ){ X} { X} = 0 . (2.63)
i j j
i
{ } ir { X} j
skalia­
Iš (2.63) lygties matyti, kad dviejų vektorių X i
rinė sandauga yra lygi:
T ⎧ kai i j
{ X} { X} = 0,
≠
j i ⎨
,
⎩≠ 0,
kai i=
j
{ } ,{ X} j
– ortogonalieji vektoriai.
{ } ir { X} j
, t. y.
čia X i
Sunormavus vektorius X i
X
i
{ X} { } =
i
{ X} ;
i
X
i
{ X} { } =
j X
j
{ } , (2.64)
{ } ,{ X} – vienetiniai vektoriai,
j
čia X
i
galima gauti tokią išraišką:
T ⎧λ i ,
{ X} [ A]{ X} = ⎨
i
j
⎩ 0,
kai i=
j
. (2.65)
kai i≠
j
35

Iš ortonormuotųjų vektorių
ortogonaliąją matricą:
[ ]= { } { } { }
{ } i=1 2 2n
X
i
, ,..., , galima sudaryti
X ⎡ X , X ,..., X ⎤ . (2.66)
⎣ 1 2 2 n ⎦
Tada (2.65) išraišką galima užrašyti tokiu pavidalu:
⎡λ1
0 0 ⎤
⎢
⎥
[ X] T
[ A][ X ]= ⎢
0 λ2
0
⎥ . (2.67)
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎣ 0 0 λ2n
⎦
Lygčių sistemos (2.52) sprendinį galima užrašyti taip:
2n
λ
r t X e
it
Λt
{ ()}= ∑{ } Ci
= [ X] e { C}
, (2.68)
i=
1
λ t
čia e
Λ t
= diag e
i
( )=
i
⎡ λ t
e
1
0 0 ⎤
⎢
⎥
λ t
⎢ 0 e
2
0 ⎥
⎢
⎥
⎢ . (2.69)
⎥
⎢
λ t
e
2n
⎥
⎣ 0 0 0 ⎦
Įrašykime naują vektorių:
{ r()
t }= [ X] { u()
t }, (2.70)
čia { u()
t } – modalinių koordinačių vektorius.
Tada lygčių sistemą (2.114) galima užrašyti taip:
{}= u [ X] − 1 −1
[ A][ X]{}+ u [ X] { B}
, (2.71)
ir lygčių sistema, įvertinus (2.71) išraišką, susiskaido į 2n nepriklausomų
pirmosios eilės lygčių:
u − λ u = g () t , i=1, 2,... 2n, (2.72)
i i i i
{ }
−1
{ }= [ ] ()
čia gi () t – vektoriaus g X Bt
i-tasis elementas.
36

Panaudojant matricos charakteringąjį daugianarį D( λ), galima
nustatyti dinaminės sistemos stabilumą. Tam tikslui, panaudojant charakteringojo
daugianario koeficientus C i , reikia suformuoti Gurvico
matricą, pavyzdžiui, kai charakteringas daugianaris yra ketvirtos eilės,
tada Gurvico matrica lygi:
⎡C1 C3
0 0 ⎤
⎢
C C C
⎥
[ G]=
⎢ 0 2 4 0
⎥ . (2.73)
⎢ 0 C1 C3
0 ⎥
⎢
⎥
⎣ 0 C0 C2 C4
⎦
Dinaminė sistema yra stabili, kai visi pagrindiniai Gurvico matricos
minorai yra teigiami, t. y.
∆ k > 0, kai k = 1, 2,... 2n
. (2.74)
2
= C ; ∆ 2 = CC 1 2 −CC 0 3 ; ∆ 3 = CC 1 2 C 3 −C 0 C 3 − C4C 1 2 ir t. t.
∆ 1 1
Tegu dinaminės sistemos judėjimo lygčių sistema:
{ }
[ M]{}+ q [ C]{}+ q [ K]{}= q F()
t ,
[ ] [ ] [ ]
(2.75)
čia M , C , K – masių, slopinimo ir standumo matricos, atitinkamai;
{}{}{} q
, q
, q – pagreičių, greičių ir poslinkių vektoriai, atitinkamai;
F () t – išorinių jėgų vektorius. Tegu šioje lygčių sistemoje yra
n nežinomųjų.
Homogeninės lygčių sistemos
[ M]{}+ q [ C]{}+ q [ K]{}=
q 0 (2.76)
sprendinį užrašysime tokiu pavidalu:
{}= q { X} e λ t . (2.77)
Įstatę sprendinį (2.77) į (2.76) lygtį, gausime:
2
( λ [ M]+ λ[ C]+ [ K]
){ X}= {}, 0
(2.78)
37

čia { X} – nežinomasis vektorius, kuris vadinamas dinaminės sistemos
savąja forma; λ – nežinomasis daugiklis.
Panagrinėsime atvejį, kai slopinimo matrica yra lygi nuliui, t. y.
[ C]= 0, tada lygčių sistema (2.78) yra
( λ 2 [ M ]+ [ K ]){ X }= {}. 0
(2.79)
Tegu λ= iωt, ω – savasis kampinis dažnis; i – kompleksinis menamas
skaičius, i = −1 , tada lygčių sistema (2.79) yra lygi:
( − ω 2 [ ]+ [ ]){ }= {} 0
M K X . (2.80)
Homogeninė lygčių sistema (2.80) turi nenulinį sprendinį tik
tada, kai jos determinantas lygus nuliui:
det ( − ω 2 [ M]+ [ K ])=
0 .
Gauta lygtis yra n-tojo laipsnio algebrinė lygtis, kurios kairioji
pusė yra n-tojo laipsnio daugianaris nežinomojo savojo kampinio dažnio
ω 2 atžvilgiu:
n
2 2i
n
D( ω )= ∑ Ciω = C0 + C1ω 2 + C2ω 4 +
Cnω
2 . (2. 81)
i=
0
−1
Daugianaris D( ω) vadinamas matricos [ M] [ K]
charakteringuoju
daugianariu, o lygtis
D( ω)= 0 (2.82)
−1
[ ] [ ]
– matricos M K charakteringąja lygtimi.
Savieji dažniai išdėstomi didėjančia tvarka: ω1 ≤ω2 ≤ω3
≤... ≤ωn .
Dinaminė (mechaninė) sistema esant tam tikram savajam dažniui
ω k virpa (deformuojasi) ir jos deformavimosi formą apibūdina savoji
forma vektorius{ X k }.
Kaip savųjų formų pavyzdys, 2.8 pav. parodytos plonos plokštelės
pirmos keturios savosios formos.
38

a)
b)
c)
39

d)
e)
2.8 pav. Plonos plokštelės pirmosios keturios savosios formos:
a – plokštelės schema; b – pirmoji savoji forma ; c – antroji savoji forma;
d – trečioji savoji forma; e – ketvirtoji savoji forma
Normalizuosime savuosius vektorius Xk
, k 12 , ,..., n
pagal masių matricą [ M ],
1
X Nk
. (2.83)
T
X M X
{ }= { } [ ]{ }
k
k
40
{ } =
Normalizuoti savieji vektoriai turi tokias savybes:
T
T
{ X } [ M]{ X }= [ E]; X K X
Nk
Nk
{ } [ ]{ }= [ ]
Nk
Nk
λ , (2.84)

[ E] – vienetinė matrica;
[ E]=
⎡ 1 0 0 ⎤
⎢
⎥
⎢
0 1 0
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎣ 0 0 1 ⎦
⎡ω
⎤
1 2 0 0
⎢
⎥
⎢ 0 ω2 [ 2 0 ⎥
λ]=
⎢
⎥ – savųjų dažnių kvadratų matrica.
⎢ ⎥
⎢
2
⎣ 0 0 ω ⎥
n ⎦
Įvesime naują vektorių:
{ qt ()}= [ XN
]{ u()
t }, (2.85)
{ ()} – modalinių koordinačių vektorius, [ X N ] – modalinė ma­
čia u t
trica sudaryta iš sistemos normalizuotų savųjų vektorių,
[ XN]= ⎡
⎣{ XN1} ,{ XN2} ,...,{ XNn}
⎤
⎦ .
Įstatę vektorių (2.85) į lygčių sistemą (2.75) ir iš kairės pusės padauginę
iš X
T
N
arba
[ ] , gausime n nepriklausomų lygčių:
T
{}+ u
[ ]{}= u [ XN
] { F()
t }
λ (2.86)
u
+ ω 2 u = g () t k =1... n
(2.87)
k k k k
k
n
g t ∑ X F t . (2.88)
()= ()
j=
1
jk
j
Bendras (2.87) lygties sprendinys yra lygus:
t
1
uk
()= t ∫ gk
( τ) sin ( ωk
( t−
τ)
) dτ. (2.89)
ωk
0
41

Panagrinėsime atvejį, kai slopinimo matrica nelygi nuliui, t. y
T
[ C]≠ 0 . Įstatę (2.875) į (2.76) ir iš kairės pusės padauginę iš [ X N ] ,
gausime n nepriklausomų lygčių:
arba
T
T
{}+ u
[ X ] [ C][ X ]{}+ u
[ λ ]{}= u [ X ] F()
t (2.90)
N
N
N
{ }
u
+ ∑ { X } [ C]{ X } u
+ ω u = g () t k = 1...n (2.91)
k
n
j=
1
Nk
T
Nj
2
k k k k
Kartais slopinimo matrica išreiškiama per standumo ir masių matricas,
t. y.
[ C]= α[ K]+ β [ M ]. (2.92)
n
{ }
T
[ ]{ } k
Tada narys ∑ XNk
C XNj
u
j=
1
lygus:
n
T
∑ { X } [ C]{ X } u
=
(2.91) lygčių sistemoje bus
Nk
Nj k
j=
1
n
T
T
( { Nk} [ ]{ Nj}+ { Nk} [ ]{ Nj}
) k =
j=
1
= ∑ α X K X β X M X u
n
2
2
( k jk jk ) k = ( k + ) k
j=
1
= ∑ αω δ + βδ u αω β u ,
⎧1,
kai j = k
čia δ jk – Kronekerio daugiklis, δ jk = ⎨
.
⎩0,
kai j ≠ k
Įstatę (2.93) į (2.91) lygtis, gausime:
( ) + =
2 2
k k k k k k
(2.93)
u
+ αω + β u
ω u g (). t
(2.94)
Standartinės k-osios (2.94) lygties pavidalas yra:
2
k k k k k k k
u
+ 2ξωu
+ ω u = g (), t
(2.95)
čia ξ k – slopinimo koeficientas, kuris lygus:
1 1
ξk
= αωk
+
2 2ω β . (2.96)
k
42

Lygties (2.95) sprendinys yra:
1
t
−ξkωk
t
uk
t gk
e
( −τ)
2
()= ∫ ( τ) sin ( ωk
1−ξk
( t−τ)
) dτ
.
2
ωk
1−
ξk
0
(2.97)
Įvesime naują vektorių:
q
{}= r
⎫
⎨ ⎬⎭ .
⎩ q
(2.98)
Lygčių sistemą (2.76) užrašysime kaip pirmos eilės diferencialinių
lygčių sistemą, kurioje bendras lygčių skaičius bus lygus 2n :
⎡[ E] [ 0]
⎤ q
⎢ ⎥ ⎧ ⎫ ⎡
⎨
⎣[ ] [ E]
⎬⎭ − ⎢
0 ⎦ ⎩ q
⎣⎢
arba
[ 0] [ E]
⎤ ⎧q⎫
⎧
⎪ {} 0 ⎫
⎪
⎥
−1 −1
⎨ ⎬ = ⎨ −1
⎬
M K M C ⎦⎥
⎩q
⎭ ⎩⎪ [ M] { F()
t } ⎭⎪
(2.99)
−[ ] [ ] −[ ] [ ]
{ }
[ B]{}− r [ A]{}= r f () t , (2.100)
⎡
čia [ A]=
⎢
⎣⎢
0 [ E]
⎤
−
−
⎥
M K M C ⎦⎥
−[ ] [ ] −[ ] [ ]
⎡ E
[ [ ] [ 0 ] ⎤
B]= ⎢ ⎥
⎣[ 0] [ E]
⎦ ;
1 1 ;
{}
⎧
⎪ 0 ⎫
⎪
{ f () t }= ⎨ −1
⎬
⎩⎪ [ M] { F()
t } ⎭⎪
.
(2.101)
Norėdami surasti sistemos (1.100) tikrines reikšmes ir vektorius,
vektorių f t
{ ()} prilyginsime nuliui, t. y.
43

[ B]{}− r [ A]{}= r {} 0 . (2.102)
Tegu lygčių sistemos sprendinys turi tokį pavidalą:
{}= r {} r e λ t , (2.103)
čia λ – tikrinė reikšmė; {} r – dešinysis tikrinis vektorius.
Įstatę sprendinį (2.103) į lygčių sistemą (2.102), gausime:
([ A]− λ[ B]
){}= r {} 0 . (2.104)
Išsprendę tikrinių reikšmių uždavinį (2.104), gauname 2n tikrinių
reikšmių ir tikrinių vektorių, t. y. λ j , { r j }, j =1, 2,..., 2n. Be to, bendruoju
atveju tikrinės reikšmės ir vektoriai yra kompleksiniai skaičiai,
λ = α + iω
; r Re r Im r , (2.105)
j j j
čia Re , Im
realiąją ir kintamąją dalis.
{ j}= { j}+ { j}
( ) ( ) – funkcijos, išskiriančios kompleksinio skaičiaus
Įvesime naują vektorių
2n
r ∑ ri
ui
⎡
⎣ r1 r2 ... r2
N ⎤ R u , (2.106)
{}= { } = { } { } { } ⎦ = [ ]{}
i=
1
čia [ R] – dešiniųjų tikrinių vektorių matrica;
[ ]= { } { } { }
R ⎡
⎣ r1 r2 ... r2
N ⎤
⎦ ;
u {}– modalinių koordinačių vektorius.
Įstatę vektorių (2.106) į lygčių sistemą (2.100), gausime
{ }
[ B][ R]{}− u [ A][ R]{}= u f () t . (2.107)
Kairieji tikriniai vektoriai nustatomi išsprendus tikrinių reikšmių
uždavinį:
( )= {}
l T
T
{} [ A]− ν[ B]
0 (2.108)
44

arba
T T
([ A] − ν[ B]
){ l}= {} 0 . (2.109)
čia {} l – kairysis tikrinis vektorius; ν – tikrinė reikšmė.
Tikrinės reikšmės apskaičiuotos išsprendus (2.104) ir (2.109) tikrinių
reikšmių uždavinius, gausime:
λ
j
= ν ,
j
tada galioja tokia sąlyga:
det
([ ]− [ ])= ([ ]− [ ])
A λ B det A λ B T
. (2.110)
Sudarome kairiųjų tikrinių vektorių modelinę matricą:
[ ]= { } { } ⋅ { }
L ⎡
⎣ l1 , l2 , ..., l2
N ⎤
⎦ . (2.111)
Sudarysime tokią lygčių sistemą:
([ A]− λ j[ B]
){ rj}= {} 0 ⎫
⎪
T T ⎬ . (2.112)
([ A] − λk
[ B]
){ lk
}= {} 0 ⎪
⎭
Pirmąją lygtį padauginę iš { l k }, o antrąją lygtį iš { r j }, gausime
T
{ lk
} ([ A]− λ j[ B]
){ rj}=
0 ⎫
⎪
T
⎬
T T
{ rj} ([ A] − λk
[ B]
){ lk
}= 0 ⎪
. (2.113)
⎭
Pirmąją lygtį atimsime iš antros, tada gausime:
T
( χk − λ j){ r j} [ B ]{ l }= 0 k . (2.114)
Kai galioja tokia lygybė
T T
T
{ rj} [ B] { lk}= { lk} [ B]{ rj}, (2.115)
ortogonalumo sąlyga:
T T
T ⎧0,
{ rj} [ B] { lk}= { lk} [ B]{ rj}=
⎨
⎩1,
kai j ≠ k
kai j = k
(2.116)
45

T
[ L] [ B][ R]= [ E] (2.117)
arba
T T
([ R] [ B]
)[ L]= [ E]
bet tada
( ) −1 ,
T T
[ ]= [ ] [ ]
ir L R B
T
{ k} ([ ]− j[ ]){ j}=
l A λ B r 0
(2.118)
(2.119)
T
{ l } [ A]{ r }=λ , (2.120)
k
j
T
k j
nes { lk
} j[ B]{ rj}= ⎧ 0,
≠
λ ⎨
⎩ 1,
k = j
.
Todėl galioja tokia priklausomybė
j
T
[ L] [ A][ R]= [ λ ], (2.121)
[ λ]≡ diag ( λ j ) – diagonalinė matrica.
Tada lygčių sistema (2.107) yra:
[ B][ R]{}− u [ A][ R]{}= u { f }.
Ir gautą lygčių sistemą padauginę iš kairės transponuotą kairiųjų
tikrinių vektorių modalinę, gausime:
[ L] T [ B][ R]{}− u
[ L] T [ A][ R]{}= u [ L] T
{ f}
(2.122a)
arba
T
{}− u [ λ ]{}= u [ L] { f}
. (2.122b)
Gavome nepriklausomų lygčių sistemą:
u − λ u = h ,
j j j j
46

h = ∑ L f
j
2n
k=
1
kj
k
j
Lygties (2.123) sprendinys yra:
=1,..., 2N
. (2.123)
t
−λjt
−λj( t−τ)
uj()= t uj( 0) e + ∫ hj
( τ)
e dτ. (2.124)
0
Kai matrica [ B]= [ E] – vienetinė matrica, tada
L T
T
[ ] [ B][ R]= [ L] [ R]= [ E]
T
ir [ L] = [ R] −1 ,
ortogonalumo sąlyga bus lygi:
(2.125)
[ R] −1
[ A][ R]= [ λ ]. (2.126)
Vektorių {}= r [ R]{} q įstatę į (2.107), gausime:
{}− u [ ]{}= u [ R] − 1
λ { f}
. (2.127)
Lygčių sistemą (2.76) galima užrašyti kaip pirmos eilės diferencialinių
lygčių sistemą, kurios matricos yra simetrinės matricos:
[ ] [ ]
⎥ ⎧ ⎫ [ ] [ ]
⎨ ⎬⎭ −
⎩ [ ] −[ ]
⎡ 0 K ⎤ q ⎡ K 0 ⎤
⎢
⎢ ⎥ ⎧ q
⎫ ⎧ 0 ⎫
⎨
⎣[ ] [ ]
⎬⎭ = ⎨ ⎬ , (2.128)
K C ⎦ q
⎣ 0 M ⎦ ⎩ q
⎩F()
t ⎭
arba
[ A]{}− r [ B]{}= r { f }, (2.129)
čia
[ K
A ]= ⎡ [ 0 ] [ ] ⎤ ⎡ K
⎢ ⎥; [ [ ] [ 0 ]
B]= ⎢
⎣[ K] [ C]
M
⎦ ⎣ 0
r t
()=
⎧qt
() ⎫
⎨ ⎬ ; f t
⎩qt
() ⎭
()=
[ ] −[ ]
⎤ ⎧ 0 ⎫
⎥ = ⎨ ⎬ ,
⎦ ⎩F()
t ⎭
⎧ 0 ⎫
⎨ ⎬ . (2.130)
⎩F()
t ⎭
Matricos [ A] ir [ B] – simetrinės matricos.
47

Modalinė matrica [ R] lygi:
X X X n
[ R]= ⎡
⎣{ r} { r } { r N } ⎤
⎦ = ⎡ { 1} ,{ 2} ,...,{ 2 }
1 , 2 ,..., 2 ⎢
⎣⎢
1{ X1}
, 2 X2
u ,...,λ n
λ λ { }{ } { X }
2 2 2
⎤
⎥ .
n ⎦⎥
(2.131)
Tikrinė reikšmė, kai ji yra kompleksinė, yra lygi:
λk = αk + iωk
. (2.132)
Funkciją e λ
galima užrašyti taip: e α
e e ω
= t α
e
ω
=
( + ) t .
Tegu dešiniųjų ir kairiųjų tikrinių vektorių sudėtis yra lygi:
{ }
⎧
⎪
X j
{ rj}=
⎨
j X
⎩
⎪λ
{ j}
{ }
⎫ ⎧
⎪ ⎪
Yj
⎬ ; { l j}=
⎨
⎭
⎪
j Y
⎩
⎪λ
{ j}
Tada ortogonalumo sąlyga yra lygi:
T
⎧⎪
0,
{ lk
} [ B]{ rj}=
⎨
⎩⎪ 1,
arba
kai j ≠ k
kai
= k
⎫
⎪
⎬ . (2.133)
⎭
⎪
(2.134a)
T
[ L] [ B][ R]= [ E]. (2.134b)
⎡ E
1) būdas: [ [ ] [ 0 ] ⎤
B]= ⎢ ⎥ – vienetinė matrica,
⎣[ 0] [ E]
⎦
T
T ⎧0,
kai j ≠ k
{ Yk
} { X j}+ λλ k j{ Yk} { X j}=
⎨
⎩1,
kai j = k
Y T
T
[ ] [ X]+ [ λ ][ Y] [ X]= [ E]
(2.135)
2
[ λ]= diag ( λ j)= diag ( λ1 2 , λ2 2 ,... λ2 2
n)
.
48

⎡ K
2) būdas: [ [ ] [ 0 ] ⎤
B]= ⎢ ⎥ – simetrinė matrica.
⎣ [ 0] −[ M ] ⎦
T
T
⎧⎪
0,
kai j ≠ k
{ Yk
} [ K]{ X j}− λλ k j{ Yk} [ M]{ X j}==
⎨
⎩⎪ 1,
kai j = k
(2.136a)
arba matricine forma:
−[ λ][ Y] T
T
[ M][ X]+ [ Y] [ K][ X]= [ E]
.
(2.136b)
Įstatę (2.136) išraišką į (2.129) lygčių sistemą ir iš kairės padauginę
L T
[ ] , gausime:
T T T
[ L] [ A][ R]{}− u [ L] [ B][ R]{}= u [ L] { f}
49
(2.137)
arba γ j u j − u j = h j , (2.138)
čia h = ∑ L f
j
2n
k=
1
kj
k
.
Pavyzdys. Duota trijų lygčių sistema:
{ }
[ M]{}+ q [ C]{}+ q [ K]{}= q F()
t ,
⎡05 , 0 0 ⎤ ⎡01 , 0 0 ⎤
M =
⎢
⎥
⎢
0 1 0 ;
⎥
C =
⎢
⎢
0 0,
2 0
⎥
;
⎥
⎣⎢
0 0 05 , ⎦⎥
⎣⎢
0 0 01 , ⎦⎥
⎡ 20 , −10 , 0 ⎤
K =
⎢
⎢
−10 , 40 , −1
⎥
;
⎥ q
⎣⎢
0 −1, 0 2,
0⎦⎥
Suformuojame A ir B matricas:
{}=
⎧q1
⎫
⎪ ⎪
⎨q2
⎬ .
⎪
⎩q
⎪
3 ⎭
[
K
A ]= ⎡ [ 0 ] [ ] ⎤ ⎡ K
⎢ ⎥; [ [ ] [ 0 ] ⎤
B]= ⎢ ⎥ .
⎣[ K] [ C]
⎦ ⎣ [ 0] −[ M ] ⎦

Pradinę lygčių sistemą užrašome kaip pirmojo laipsnio lygčių sistemą:
čia
[ A]{}− r [ B]{}= r
{ f }
r t
()=
⎧qt
() ⎫
⎨ ⎬ ; f t
⎩qt
() ⎭
()=
⎧ 0 ⎫
⎨ ⎬
⎩F()
t
,
⎭
⎡ 0 0 0 20 , −10 , 0 ⎤
⎢
0 0 0 −10 , 40 , −10
,
⎥
⎢
⎥
⎢ 0 0 0 0 −10 , 20 , ⎥
A = ⎢
⎥ ;
⎢ 20 , −10 , 0 0,
10 0 0 ⎥
⎢−10 , 4,0 −1, 0 0 02 , 0 ⎥
⎢
⎥
⎣ 0 −1, 0 2, 0 0 0 0,
10⎦
⎡ 20 , −10 , 0 0 0 0 ⎤
⎢
−10 , 40 , −10 , 0 0 0
⎥
⎢
⎥
⎢ 0 −1, 0 2,
0 0 0 0 ⎥
B = ⎢
⎥ .
⎢ 0 0 0 −05 , 0 0 ⎥
⎢ 0 0 0 0 −1,
0 0 ⎥
⎢
⎥
⎣ 0 0 0 0 0 −05
, ⎦
Sprendžiame tikrinių reikšmių uždavinį (2.165):
([ A]− λ[ B]
){}= r {} 0 .
Dešiniųjų tikrinių reikšmių vektorius ir dešiniųjų tikrinių vektorių
matrica yra lygūs:
50

[ λ]=
⎡−
01 , + i ⋅ 2,
447⎤
⎢
−01 , −i
⋅2,
447
⎥
⎢
⎥
⎢ − 01 , + i ⋅1,
997 ⎥
⎢
⎥ ;
⎢ −01 , −i
⋅1,
997 ⎥
⎢ − 01 , + i ⋅ 1,
411⎥
⎢
⎥
⎣ −01 , −i
⋅1,
411⎦
⎡−0, 00891−i⋅0, 218 − 0, 00891+ i⋅0, 218 −0, 0158 −i ⋅0, 316 −0,
0158 + i⋅0, 316 −0, 0236 −i⋅0, 332 − 0, 0236 + i ⋅0,
332⎤
⎢
⎢
0, 00891+ i ⋅0, 218 000 , 891−i⋅ 0, 218 0+ i⋅0 0−i⋅0 −0, 0236 −i⋅0, 332 − 0, 0236 + i ⋅0,
332
⎥
⎥
⎢−0, 00891−i⋅0, 218 − 0, 00891+ i⋅ 0, 218 0, 0158 + i⋅0, 316 0, 0158 −i⋅0, 316 −0,0236 −i⋅0, 332 − 0, 0236 + i⋅0,
332⎥
[ R]=
⎢
⎥
⎢ 0, 535 + i⋅ 0 0, 535 + i⋅ 0 0, 632 + i⋅0 0, 632 + i⋅ 0 0, 471+ i⋅0 0,
471−i
⋅0
⎥
⎢ − 0, 535 + i⋅0 −0, 535 −i⋅0 − 0+ i⋅0 −0−i⋅0 0, 471+ i⋅0 0,
471−i⋅0
⎥
⎢
⎥
⎣ 0, 535 −i⋅ 0 0, 535 + i⋅0 − 0, 632 + i⋅0 −0, 632 −i⋅0 0,
471+ i⋅ 0 0,
471+ i⋅0
⎦
Sprendžiame kairiųjų tikrinių reikšmių uždavinį:
T T
T
{} l [ A] − λ [ B]
0 .
( L ) = {}
Kairiųjų tikrinių reikšmių vektorius ir kairiųjų tikrinių vektorių
matrica yra lygūs:
⎡−
010 , + i ⋅ 2,
45⎤
⎢
−010 , −i
⋅ 2,
45
⎥
⎢
⎥
⎢−
010 , + i ⋅ 2,
00⎥
{ λ L }= ⎢
⎥ ;
⎢−010 , −i
⋅ 2,
00⎥
⎢ −010
, + i ⋅141
, ⎥
⎢
⎥
⎣ −010 , −i
⋅1,
41⎦
⎡−0, 00891−i⋅0, 218 − 0, 00891+ i⋅0, 218 −0, 0158 −i ⋅0, 316 −0,
0158 + i⋅0, 316 −0, 0236 −i⋅0, 332 − 0, 0236 + i ⋅0,
332⎤
⎢
⎢
0, 00891+ i ⋅0, 218 000 , 891−i⋅ 0, 218 0+ i⋅0 0−i⋅0 −0, 0236 −i⋅0, 332 − 0, 0236 + i ⋅0,
332
⎥
⎥
⎢−0, 00891−i⋅0, 218 − 0, 00891+ i⋅ 0, 218 0, 0158 + i⋅0, 316 0, 0158 −i⋅0, 316 −0,0236 −i⋅0, 332 − 0, 0236 + i⋅0,
332⎥
⎢
⎢ 0, 535 + i⋅ 0 0, 535 + i⋅ 0 0, 632 + i⋅0 0, 632 + i⋅ 0 0, 471+ i⋅0 0,
471−i
⋅0
⎥
⎥
⎢ − 0, 535 + i⋅0 −0, 535 −i⋅0 − 0+ i⋅0 −0−i⋅0 0, 471+ i⋅0 0,
471−i⋅0
⎥
⎢
⎥
0, 535 −i⋅ 0 0, 535 + i⋅0 − 0, 632 + i⋅0 −0, 632 −i⋅0 0,
471+ ⋅ 0 0 471+ ⋅0
[ R
⎢
i
, i ⎥
]=
⎢−0, 00891−i⋅0, 218 − 0, 00891+ i⋅0, 218 −0, 0158 −i
⋅ 0, 316 − 0, 0158 + i⋅0, 316 −0, 0236 −i⋅0, 332 − 0, 0236 + i ⋅0,
332⎥
⎢
⎥
⎢ 0,
00891+ i⋅0, 218 0, 00891−i⋅ 0, 218 0+ i⋅0 0−i⋅0 −0, 0236 −i
⋅0, 332 − 0, 0236 + i ⋅0,
332⎥
⎢
−0, 00891−i⋅0, 218 − 0, 00891+ i⋅ 0, 218 0, 0158 + i ⋅0, 316 001 , 58 −i⋅0, 316 −0, 0236 −i⋅0, 332 − 0, 0236 + i ⋅0,
332
⎥
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎢
0, 535 + i⋅ 0 0, 535 + i⋅0 0, 632 + i⋅ 0 0, 632 + i⋅ 0 0, 471+ i⋅0 0,
471−i⋅0
− 0, 535 + i⋅0 −0,
535 −i⋅0
− 0+ i⋅0 −0−i⋅ 0 0, 471+ i⋅0 0,
471−i⋅0
0, 535 −i⋅ 0 0, 535 + i⋅0 − 0, 632 + i ⋅0 −0, 632 −i⋅ 0 0, 471+ i⋅ 0 0,
471+ i ⋅0
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎥
51

{ } ir
Matome, kad dešiniųjų pusių tikrinių reikšmių vektorius λ
kairiųjų tikrinių reikšmių vektorius { λ L } yra tarpusavyje lygūs:
{ λ}= { λ }
L .
Dešiniųjų pusių tikrinių reikšmių matrica yra lygi:
⎡−
01 , + i ⋅245 , 0 0 0 0 0 ⎤
⎢
0 −0, 1−i
⋅ 2,
45 0 0 0 0
⎥
⎢
⎥
⎢ 0 0 − 01 , + i ⋅ 200 , 0 0 0 ⎥
[ λ]=
⎢
⎥
⎢ 0 0 0 −0,
1−i
⋅2,
00 0 0 ⎥
⎢ 0 0 0 0 −01 , −i
⋅141 , 0 ⎥
⎢
⎥
⎣ 0 0 0 0 0 −01 , −i
⋅1,
41⎦
Patikrinsime sąlygas, kad trijų matricų sandauga yra lygi vienetinei
matricai ir tikrinių reikšmių matricoms, t. y.
[ ] [ ][ ]= [ ]
T
T
[ L] [ B][ R]= [ E], L A R
⎡10 , −i⋅ 0 0+ i⋅0 −0−i⋅ 0 0+ i⋅ 0 0+ i⋅0 −0−i⋅0⎤
⎢
− 0+ i⋅
0 10 , + i⋅0
− 0+ i⋅ 0 0+ i⋅0 0−i⋅ 0 0+ i⋅0
⎥
⎢
⎥
T ⎢ 0+ i⋅0 −0−i⋅0 1−i⋅0 0−i⋅0 0−i⋅0 0−i⋅0
⎥
[ L] [ B][ R]=
⎢
⎥
⎢ 0−i ⋅0
−0−i⋅ 0 0+ i⋅0 1−i⋅0 0−i⋅0 0−i
⋅0
⎥
⎢ 0+ i⋅0 −0−i⋅ 0 0+ i⋅0 −0−i⋅0 1−i⋅0 − 0 + i⋅ 0⎥
⎢
⎥
⎣ 0−i⋅0 − 0+ i⋅0 0−i⋅ 0 0+ i⋅0 − 0+ i⋅ 0 1+ i⋅0
⎦
⎡− 01 , + i⋅245 , 0−i⋅ 0 0+ i⋅0 − 0+ i⋅0 −0−i⋅0 − 0+ i⋅0
⎤
⎢
0−i ⋅0 −0,
10 −i⋅245 , −0−i⋅0 −0−i⋅0 −0−i⋅0 − 0+ i ⋅0
⎥
⎢
⎥
T ⎢ 0−i⋅ 0 0+ i⋅0 − 010 , + i ⋅ 2, 00 0 + i⋅0 −0−i⋅0 − 0+ i ⋅0
⎥
[ L] [ A][ B]=
⎢
⎥
⎢ 0−i⋅ 0 0+ i⋅0 0−i⋅0 −010 , −i⋅2,
00 −0−i⋅0 − 0+ i⋅0
⎥
⎢ 0 + i ⋅ 0 0+ i⋅ 0 0+ i⋅ 0 0+ i⋅0 − 0, 1+ i⋅1,
41 0−i⋅0
⎥
⎢
⎥
⎣ 0−i⋅ 0 0+ i⋅ 0 0+ i⋅0 0−i⋅ 0 0 + i ⋅0 −01 , −i
⋅1,
41⎦
λ ,
.
Kaip matyti iš gautų rezultatų, šios sąlygos yra įvykdytos.
2.5. Harmoninė analizė
Tegu sistemos judėjimo lygčių sistema yra:
{ }
[ M]{}+ q [ C]{}+ q [ K]{}= q F()
t . (2.139)
52

Žadinimo vektorių { F()
t } suskaidysime:
{ F()
t }= { F } cos( t)+ { F } sin( t)
arba kompleksinė forma:
c
Ω Ω (2.140)
s
i t
i t
{ F()
t }= { Fcp} e Ω + { Fsp} e
− Ω , (2.141)
1
čia { Fcp}= ({ Fc}− i{ Fs}
);
2
1
{ Fsp}= ({ Fc}+ i{ Fs}
), (2.142)
2
nes
1
iΩt
1
−iΩt
{ F()
t }= ({ Fc}− i{ Fs}
) e + ({ Fc}+ i{ Fs}
) e =
2
2
1
({ 2 F c}− i { F s}
)( cos( Ω t )+ i sin( Ω t ))+
1
({ 2 F c}+ i { F s}
)( cos( Ω t )− i sin( Ω t ))=
⎛ 1
1
⎜ { Fc} ( t)+ { Fs} ( t)
⎝ 2
cos Ω
⎞
⎟
2
sin Ω
⎠
+
⎛ 1
1
i⎜
{ Fc} ( t)− { Fs} ( t)
⎝ 2
sin Ω
⎞
⎟
2
cos Ω
⎠
+
⎛ 1
1
⎜ { Fc} ( t)+ { Fs} ( t)
⎝ 2
cos Ω
⎞
⎟
2
sin Ω
⎠
+
⎛ 1
1
⎞
i⎜
− { Fc} sin( Ωt)+ { Fs} cos( Ωt)
⎟ Fc t Fs
t
⎝
⎠
= { } cos ( Ω )+ { } sin ( Ω ) .
2
2
1) Atvejis:
Sistemos (1) sprendinių ieškosime tokiu pavidalu:
{}= q { q } cos( Ωt)+ { q } sin( Ω t)
. (2.143)
c
s
Įstatę (2.202) ir (2.205) išraiškas į (2.201), gausime lygčių sistemą:
⎡
⎢
⎣⎢
2
− Ω [ M]+ [ K] + Ω[ C]
− Ω[ C] 2
− Ω [ M]+ [ K ]
⎤ ⎧qc
⎫
⎥ ⎨ ⎬
⎦⎥
⎩qs
⎭
⎧⎪
= { F } c
⎨
{ F }
⎩⎪
s
⎫⎪
⎬
⎭⎪
(2.144)
53

[ ]{ }= { }. (2.145)
arba H q F
cs
cs
Virpesių amplitudes nustatome:
{}= q { q } cos( Ωt)+ { q } sin( Ωt)= { A} cos( Ωt
− ϕ ) (2.146)
c
s
⎛ q
2 2 sj
⎞
Aj = qcj + qsj
; ϕ j = arctg ⎜
⎝
q ⎟
. (2.147)
cj ⎠
2) Atvejis: kompleksinė forma
Žadinimo jėgų vektorių užrašome (2.141) pavidalu. Sistemos
(2.139) sprendinį užrašysime tokiu pavidalu:
{}= q { q } e Ω + { q } e
−iΩ t
. (2.148)
cp
i
t
sm
Įstatę (2.141) ir (2.148) išraiškas į (2.139) lygčių sistemą, gausime:
2
( − Ω [ M]+ iΩ[ C]+ [ K]
){ qcp}= { Fcp}
2
( − Ω [ M]− iΩ[ C]+ [ K]
){ qsm}= { Fsm}
Sistemos (2.149) sprendimai yra lygūs:
{ qcp}= ⎡ ⎣
Hp⎤ ⎦
⎡ ⎣
Fcp
⎤ ⎦
, q H F
( ) −
(
2
Ω Ω ) −
2
= − [ ]+ [ ]+ [ ]
čia: ⎡
⎣
Hp
⎤
⎦
Ω M iΩ
C K
[ H ]= − [ M]− i [ C]+ [ K ]
m
sm m sm
Sistemos (2.149) sprendinys tada bus lygus:
. (2.149)
{ }= [ ][ ], (2.150)
iΩt
−iΩt
iΩt
{}= { cp} + { sm} = e { cp}
1
;
1
. (2.151)
( )
q q e q e 2 R q e . (2.152)
Pavyzdys. Nustatyti TP kūnų poslinkių, greičių ir pagreičių svyravimo
amplitudes priklausomai nuo dažnio. TP dinaminis modelis
pateiktas 2.9 pav.
54

2.9 pav. TP dinaminis modelis
TP kinetinė, potencinė energijos ir disipatyvinė funkcija yra lygios:
( )
Ek = 1
m1x1 2 + m2x2 2 + m3x3 2 + I3x4 2 + m4x 5 2 ;
2
Ep = 1 ⎛
k ( x − q () t ) 2
2
⎜ 1 1 1 + k2( x2 −q2
( t−
τ)
) + k x −a x − x
2 ⎝
2
2
4( 3 2 4 2 ) + 5 3 − 3 4 − 5
( ) ⎞ ⎠ ⎟ ;
k x + ax −x k x a x x
(
55
2
( ) +
3 3 1 4 2 1
1
2
Φ= c x − z () t c x z ( t τ)
c x ax x
2
( ) + ( − − ) + ( − − ) +
2
2 1 1 1 2 2 2
2
2
4( 3 2 4 2 ) + 5 3 − 3 4 − 5
( ) ) ,
c x + ax −x c x a x x
čia q1 (), t q t
( )
2 −
3 3 1 4 1
τ – kinematiniai žadinimai į pirmąją ir antrąją mases.
Tegu kinematinis žadinimas į pirmąją ir antrąją ašį yra lygūs:
q1()= t hc1cos( ωt) + hs1
sin( ω t)
;
q2( t−
τ)= hc1cos( ω( t−τ) ) + hs1
sin( ω( t−τ)
),
a1+
a
čia τ=
2 ; v – TP judėjimo greitis.
v

Pradiniai duomenys:
m1 = 75 kg
2
; m2 = 75 kg ; m3 = 1000 kg ; I3
= 75 kgm ;
m4 = 80 kg . k1 = k2
= 3, 265⋅10
N / m;
c
5
k = k = 3, 165⋅10
N / m; k = 10, 010 ⋅ N / m ;
3 4
4
c = c = 10 , ⋅10
Ns / m ; c = c = 3010 , ⋅ Ns / m ;
1 2
3
3
5
5
3 4
= 01010 , ⋅ Ns/ m; a1 = 150 , m; a2 = 1, 750 m a3 = 090 , m;
hc1 = 0, 010 m; hs1 = 0, 010 m.
Gauti rezultatai parodyti 2.10 pav.
3
3
a)
b)
56

c)
2.10 pav. TP kūnų virpesių amplitudės: a – poslinkiai; b – greičiai;
c – pagreičiai; x1 – juoda spalva; x2 – mėlyna spalva; x3 – raudona spalva;
x4 – žalia spalva; x5 – geltona spalva
2.6. Atsitiktiniai stacionarūs priverstiniai virpesiai
Tegu sistemos judėjimo lygčių sistema lygi:
[ M]{}+ q [ C]{}+ q [ K]{}= q [ B]{ F}
, (2.153)
[ ] [ ] [ ]
{}{}{} q , q
, q – poslinkių, greičių ir pagreičių vektoriai.
Vektorius { F()
t } atsitiktinės charakteristikos žinomas, būtent,
čia M , C , K – masių, slopinimo ir standumo matricos;
spektrinis tankis S F ( ω).
Funkcijos f () t koreliacinė funkcija lygi:
* *
R ( t, t )= M ⎡F () t , F ( t ) ⎤ M e d e
⎣
⎦ = ⎛ ∞
ω ⎞ ⎛ ∞
⎜ ∫ Φ ω⎟×
⎜ ∫ Φ
⎝ −∞ ⎠ ⎝ −∞
i t −iωt 1
Fk 1 k k 1 k k dω1
∞
∞
⎞
⎟ =
⎠
i
e
( ωt−ω11
t )
∫ ∫ R⎡ *
Φk,
Φ ⎤
k dωdω
, (2.154)
⎣ ⎦ 1
−∞ −∞
čia Fk () t – centruota F() t funkcija,
57

Fk ()= t Fk ()− t Fvid
(). t
(2.155)
Centruotą funkciją Fk () t galima užrašyti panaudojant Furjė integralą:
∞
i t
ω
Fk
t ∫ Φk
ω e dω
(2.156)
()= ( )
−∞
arba vektorine forma:
∞
{ }= { ( )}
i t
F ∫ Φ ω e ω dt . (2.157)
−∞
Pointegrinė funkcija (2.155) priklausys nuo laiko momentų skirtumo,
jeigu funkcija
R⎡Φ
⎣
( ) ( )
⎦ = ( ) ( − )
*
ω Φ ω ⎤
1 S ω1 δ ω1 ω . (2.158)
k k k
Tokiu atveju integruodami (2.158) pagal ω , gausime
iωτ
RF
t, t 1 ∫ SF
ω e dω, (2.159)
k
∞
( )= ( )
−∞
k
( ) – spektrinis tankis.
čia τ= t−
t 1 ; S Fk
ω
Analogiškai galima gauti tarpusavio koreliacinę funkciją:
arba
∞
iωτ
( )= ( )
k l
k l
−∞
RFF
t, t 1 ∫ e SFF
ω dω. (2.160)
Lygčių sistemos (2.153) sprendinio ieškosime tokio pavidalo:
∞
∫ 0
−∞
i
q q e ω t
dω . (2.161)
{}= { }
Įstatę (2.156) ir (2.159) į (2.153) lygtį, gausime
2
( − ω [ ]+ ω[ ]+ [ ]){ 0}= [ ]{ }
M i C K q B Φ (2.162)
( ) [ ]{ }= ( )
2
−1
( ) [ ].
2
−1
{ }= − [ ]+ [ ]+ [ ]
q0
ω M iω C K B Φ W iω
Φ , (2.163)
⎡⎣ ( ) ⎤ ⎦ = − + [ ]+ [ ]
čia W iω ω M iω
C K B
Skaliarine forma sprendinys (2.161) lygus
58
⎡⎣ ⎤ ⎦ { }

q ∑W iω Φ ω . (2.164)
ko
n
= ( ) ( )
i=
1
ki
Tada sprendinys (2.164) lygus:
∞
n
i
iωτ
qk
∫ ∑Wki
iω Φ i ω e dω
. (2.165)
= ( ) ( )
−∞ i=
1
Sprendinio (2.1465) tarpusavio koreliacinė funkcija lygi:
( )= () ( )
Rqq t,
t M ⎡ *
qk t qk
t ⎤
k l 1 ⎣
1 ⎦ =
∞ ∞
M ⎡
* i ωt ω11
t
qk0( ω) ql0( ω1)
⎤ e
( − )
∫ ∫
dωdω
⎣
⎦
1 =
−∞ −∞
∞ ∞
⎛ n n
*
Wkj ( iω) Wlρ( iω) M ⎡
*
∫ ∫ ⎜ ∑ ∑
Φ j( iω) Φρ( iω
⎣
) ⎤
1 ⎦ ⋅
−∞ −∞⎝
j=
1ρ=
1
i
⋅
( ωt e − ω11
t )
dωdω1 ) .
Pasinaudoję (2.166) išraiška, gausime
i t t
Rq q = M ⎡⎣ qk ( ) ql
( ) ⎤ e
( ω −ω11)
∫ ∫ 0 ω 0 ω1 ⎦ dωdω1
=
∞
∫
−∞
k
l
n
∞
∞
−∞ −∞
n
(2.166)
∑ ∑ W iωW iω S ω e dω. (2.167)
j=
1ρ=
1
kj
( ) ( ) ( )
*
lρ
FjFρ
Kad sprendinys būtų stacionarus, t. y. kad kiekvienas vektoriaus
{ qt ()}elementas būtų stacionari atsitiktinė funkcija, turi būti patenkinta
sąlyga:
( ) ( )
M ⎡ *
qk0 ω ql0 ω ⎤
1 Sqk
ω1 δ ω1
ω
⎣
⎦ = ( ) − , (2.168)
čia S qk ( ω 1 )– sprendinio vektoriaus k elemento spektrinis tankis.
Įstatę (2.168) į (2.167), gausime:
∞
−∞
qk
iωτ
( ) =
∫ S ω e dω
∞
n
n
−∞ j=
1ρ=
1
,
FjFρ
iωτ
( )
* iωτ
∫ ∑ ∑ Wkj
( iω) Wkρ
( iω) S ( ω)
e dω
(2.169)
59

arba
∞ ⎡
n n
*
⎤
iωτ
∫ ⎢Sq ( ω)− ∑ ∑ Wkj( iω) Wk iω SFF
ω e
k
ρ ( ) ( )
j ρ ⎥ = 0 . (2.170)
⎣
j=
1ρ=
1
⎦
−∞
Iš čia plaukia:
n n
*
qk
kj kρ
FF j ρ
j=
1ρ=
1
S ω ∑ ∑ W iω W iω S ω
. (2.171)
( )= ( ) ( ) ( )
Analogiškai tarpusavio spektrinis tankis lygus
n n
*
qq k l
kj kρ
FjFρ
j=
1ρ=
1
S ω ∑ ∑ W iω W iω S ω
. (2.172)
Kai S
gausime
( )= ( ) ( ) ( )
FF j
ω ⎧⎪
SF
kai j = ρ
j
( )=
ρ
⎨
⎩⎪ 0, kai j ≠ ρ,
, ;
n
n
*
2
qk kj kj Fj KJ Fj
j= 1
j=
1
( )= ( )= ( )
S ω ∑W W S ω ∑ W S ω , (2.173)
S
n
*
( ω)= ∑ W W S ( ω)
. (2.174)
qq k l
kj lj FF k l
j=
1
Komponentės q k dispersija lygi
∞
∞
1
1 n n
*
Dq = Sq ( ) d = WkjWk SF F d
k
∫ ω ω
k
∫ ∑ ∑ ρ ω, (2.175)
j ρ
2π
−∞
2π
−∞ j=
1ρ=
1
arba
S kai j
SFF
ω ⎧⎪
F = ρ
j
( )=
j ρ
⎨
⎩⎪ 0, kai j ≠ ρ,
tada
1
∞ ⎛ n 2 ⎞
Dq = Wkj SF
( ) d
k
∫ ⎜ ∑ ω
j
⎟ ω . (2.176)
2π
−∞⎝
j=
1
⎠
, ;
60

Greičių ir pagreičių dispersijos yra lygios:
n
Dq = 1
∞ ⎛ 2 2
Wkj S ( )
⎞
F d
k
∫ ⎜ ∑ ω ω
j
⎟ ω; (2.178)
2π
−∞⎝
j=
1
⎠
n
Dq = 1
∞ ⎛ 2 4
Wkj S ( )
⎞
F d
k
∫ ⎜ ∑ ω ω
j
⎟ ω. (2.179)
2π
−∞⎝
j=
1
⎠
Tegu sistemos judėjimo lygčių sistema lygi:
[ M]{}+ q [ C]{}+ q [ K]{}= q [ B] { F()
t }+ [ D] F
() t
61
{ }
. (2.180)
Sužadinimus, veikiančius sistemą, F 1 , F 2 ,..., F n
galima išreikšti
įvertinus jų vėlinimą pirmojo sužadinimo atžvilgiu:
F t h t
1 1
()= (); F ()= t h ()= t h t−t
F ()= t h ()= t h ( t−t
),....
3 3 1 3
()= ()= ( − )
F t h t h t t
n n 1 n .
2 2 1 2
( ); (2.181)
Tegu žinome spektrinį tankį S h1 ( ω). Sužadinimus galima užrašyti
panaudojus Furjė integralą:
arba
∞
i t t
Fk
= h ( t − tk
)= h ( ) e
( − k )
1 ∫ 0 ω ω
d ω , k = 123 , , ,... n . (2.182)
−∞
∞
( )
F
h
i t t
k = ( t − tk
)= i h ( ) e
( − k )
1 ∫ 0 ωω ω
d ω . (2.183)
−∞
Tegu sistemos (27) sprendinį ieškosime tokio pavidalo
∞
{ ()}= ( )
iωt
qt ∫ q0 ω e d ω . (2.184)
−∞
Įstatę (2.243), (2.244) ir (2.245) į (2.241), gausime
( − ω 2 [ M]+ iω[ C]+ [ K]
){ q0}= [ B][ H]{ h0}+ iω[ D][ H]{ h 0}
(2.185)

( ) [ ]+ [ ]
2
−1
{ 0}= − [ ]+ [ ]+ [ ] ( )[ ]{ 0}
q ω M iω C K B iω D H h , (2.186)
{ }
T
= ⎡ ⎣
čia h0 h0, h0,... h0 00 , ,..., 0 ⎤
⎦
,
;
−iωt −i t −i t
[ H]= diag( 1e 2 ω
e
3 ω
, , ,... e n
,,,..., 11 1)=
⎡1
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎢
e
−iωt2
e
−iωt3
0
0 1
e
−iωt n
1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥ .
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
1⎦⎥
(2.187)
čia
Sprendinį (2.184) galima perrašyti:
{ }= ⎡⎣ ( ) ⎤ ⎦ { }
q W iω h , (2.188)
0 0
−1
( ) [ ]+ [ ]
2
⎡⎣ ( ) ⎤ ⎦ = − [ ]+ [ ]+ [ ]
W iω ω M iω C K B iω
D H
arba skaliarine forma
62
( )[ ]
, (2.189)
q ∑ W iω h ω A iω h ω , (2.190)
k0
k
n
= ( ) ( )= ( ) ( )
j=
1
n
j=
1
kj
kj
čia A ∑ W iω
.
= ( )
0 k 0
Sprendinio spektrinis tankis lygus
k
( )= ( ) ( )
2
S ω A iω S ω , k = 12 , ,..., h .
∞
h
( )
1
Dq ( ω)= Ak ( iω) Sh
( ω)
dω
k
∫
;
2π
−∞
2

∞
1
2
Dq
( ω)= Ak ( iω) ω Sh
( ω)
dω
k
∫
;
2π
−∞
∞
1
4
Dq
( ω)= Ak ( iω) ω Sh
( ω)
dω
k
∫
.
2π
−∞
2
2
Jeigu sprendinys pasiskirsto pagal normalinį dėsnį, tai galime
surasti tikimybę to, kad kintamasis q k viršys žinomą ribą q krib ,
( qk
≥ qkrib
),
2
x
1
∞ −
P( qk
≥ qkrib
)= e 2
∫ dt = Φ( ∞)− Φ ( X1)
,
2π
X1
q
čia X krib
1 = qk
qk
; m
σ yk = 0 ; X = = .
yk
σ y Dy
Pavyzdys. Priverstiniai stochastiniai virpesiai.
Nagrinėjamas ketvičio TP modelis. TP judėjimo greitis
km m
v = 72 = 20 .
val.
s
Kelio nelygumų spektrinis tankis lygus:
4 2 3 5
v v v
Sz = 183, 21 ω − 545, 2 ω + 413,
2 .
6 4 2 2 3
ω + 9, 004 ω v − 38, 15 ω v + 27,
17 v 6
k
k
2.11 pav. TP ketvirčio dinaminis modelis
63

Kūnų sistemos judėjimo lygčių sistema:
( ) + ( + ) − − = ()+ ();
⎧mq 11+ c1+
c2 q1 k1 k2 q1 cq 22 kq 2 2 kz 1 t c1z
t
⎨
⎩ m2q2 + c2q2 − c2q 1 + k2q2 − k2q1 = 0.
⎡m
⎢
⎣ 0
1
Tegu q
0 ⎤ q1
c c c
m
⎥ ⎧ ⎫ ⎡ + −
⎨ ⎬⎭ + ⎢
2 ⎦ ⎩ q2
⎣⎢
−c2 c2
⎡k + k −k
⎢
⎣ −k2 k2
1 2 2
1 2 2
64
⎤ ⎧q
1 ⎫
⎥ ⎨
⎦⎥
⎩q ⎬ +
2 ⎭
⎤ q1
kz
⎥ ⎧ ⎫ ⎧
⎨ ⎬⎭ = ⎨
⎦ ⎩ q2
⎩
+ cz
⎫
⎬
⎭
1 1 1 1
0
[ M]{}+ q [ C]{}+ q [ K]{}= q { U}
.
{}= { Y} e st ; {}= q s{ Y} e st 2
;{}= { }
z
1
= ; z 1 = szest .
ze st
⎧k
( s [ M]+ sC [ ]+ [ K]
){ Y}=
⎨
⎩
q s Y e st ;
+ sc ⎫
⎬ z ;
0 ⎭
2 1 1
(
2
[ ]+ [ ]+ [ ]){ ( )}= ( )
s M sC K Y s ⎡⎣ B s ⎤ ⎦ {}; u
⎡k1+
sc1⎤
[ B]=
⎢ ⎥ ; {}= u {}. z
⎣ 0 ⎦
2
−1
Y( s)
s M sC K ⎡⎣ B s ⎤ ⎦ {}= u ⎡⎣ W( s)
⎤ ⎦ {} u .
( ) ( )
{ }= [ ]+ [ ]+ [ ]
s
=ω; i
−1
( ) ( )
2
⎡⎣ ( ) ⎤ ⎦ = [ ]+ [ ]+ [ ]
W s s M sC K ⎡⎣ B s ⎤ ⎦ .
−1
( ) ( )
2
⎡⎣ ( ) ⎤ ⎦ = ⎡⎣ ( ) ⎤ ⎦ = − [ ]+ [ ]+ [ ]
W s W iω ω M iwC K ⎡⎣ B iω
⎤ ⎦ .
S ω ∑ ∑W iω W iω S ω
yk
nu nu
( )= ( )⋅ ( ) ( )
j=
1l=
1
kj
*
kl ujul
;

Kai k=1,
( )= ( )⋅ ( ) ( )=
*
y1 11 11 u1u1
S ω W iω W iω S ω
W ( iω) S uu 11( ω)=
11
2
2
2
( Re ( W11
( iω)
)+ Im( W11 ( iω)
)) Suu
11( ω);
( )= ( )⋅ ( ) ( )=
*
y2 21 21 u1u1
S ω W iω W iω S ω
W ( iω) S uu 11( ω)=
21
2
2
2
( Re ( W21
( iω)
)+ Im( W21 ( iω)
)) Suu
11( ω),
čia priimta, kad spektrinis tankis S u u
tankiai S uu 1 2 ω
( ) ir S uu
∞
2 2 ( ω) ir tarpusavio spektriniai
( ) yra lygūs nuliui.
1 2 ω
1
Dy1( ω)= ∫ Sy1( ω)
dω; σ y 1 = D y 1 ;
2π
−∞
∞
1 2
Dy1
( ω)= ∫ ω Sy1
( ω)
dω
; σ y
1 = D y
1 ;
2π
−∞
∞
1 4
D1
y ( ω)= ∫ ω Sy1
( ω)
dω
; σ
2π
y 1 = D y 1
;
−∞
∞
1
Dy2( ω)= ∫ Sy1( ω)
dω; σ
2π
y 2 = D y 2 ;
−∞
∞
1
2
Dy2( ω)= ∫ Sy2( ωω ) dω
; σ y
2 = D y
2 ;
2π
−∞
∞
1
4
D1 y ( ω)= ∫ Sy1( ωω ) dω
; σ y 2 = D y 2 .
2π
−∞
65

Tikrinės reikšmės, λ= α+iω
Dažnis,
α
ω
Hz
–204099 64,4226 10,2532
–204099 –64,4226 10,2532
–2,59007 7,3234 1,16555
–2,59007 –7,3234 1,16555
Dviejų masių vidutinių kvadratinių nuokrypių priklausomybė
nuo judėjimo greičio parodyta 2.12 pav.
a)
b)
66

c)
2.12 pav. Dviejų masių vidutinių kvadratinių nuokrypių priklausomybė
nuo judėjimo greičio: a – poslinkis; b – greitis;
c – pagreitis; mėlyna spalva – piromoji masė; raudona spalva – antroji masė
67

3. Transporto priemonių dinaminių
modelių elementai ir judėjimo lygtys
3.1. Transporto priemonės dinaminis modelis
Gamtoje visi esantys kūnai yra deformuojami (kūnas – vientisa
sistema arba sistema su paskirstytais parametrais), tačiau tokių kūnų
judėjimo analizė yra sudėtinga, todėl inžineriniuose skaičiavimuose
transporto priemonė nagrinėjama kaip nedeformuojamų kūnų, kurie
sujungti tam tikrais elementais, sistema.
Šiuo atveju turime dinaminę sistemą su sutelktais parametrais.
Tokiose sistemose nedidelės masės kūnai neįvertinami, deformuojami
kūnai pakeičiami tampriai deformuojamais ir neinerciniais ryšiais.
Kiti kūnai, kuriems paliekamos inercinės savybės, laikomi materialiais
taškais (koncentruotos masės) arba absoliučiai standžiais kūnais.
Tokių kūnų padėties kitimas erdvėje ir laike apibrėžiamas nepriklausomomis
koordinatėmis. Šių koordinačių skaičius vadinamas
laisvės laipsnių skaičiumi (LLS). Trimatėje erdvėje laisvojo kūno
padėtis ir orientacija apibrėžiama trimis koordinatėmis ir trimis sukimo
apie ašis kampais, t. y. kūnas turi šešis laisvės laipsnius (trys
koordinatės ir trys kampai). Plokštumoje kūno padėtis ir orientacija
apibrėžiama dviem koordinatėmis ir posūkio kampu apie ašį, statmeną
nagrinėjamai plokštumai, t. y. plokštumoje kūnas turi tris laisvės laipsnius
(dvi koordinatės ir kampas). Didinant laisvės laipsnių skaičių, TP
dinaminių procesų tikslumas didėja.
Su laisvės laipsnio sąvoka artimai susijusi kita sąvoka – apibendrintosios
koordinatės sąvoka. Apibendrintosios koordinatės dar vadinamos
apibendrintomis Lagranžo koordinatėmis.
Koordinatės – nepriklausomi parametrai, nusakantys materialiųjų
taškų padėtį erdvėje. Kai ryšiai holonominiai (geometriniai), apibendrintųjų
koordinačių skaičius lygus mechaninės sistemos laisvės
laipsnių skaičiui. Apibendrintoji koordinatė turi tiesioginį atitikmenį
– nagrinėjamąjį poslinkį arba pasisukimo kampą. Kiekvieną apibendrintąją
koordinatę atitinka apibendrintoji jėga.
68

Sutelktųjų parametrų sistemos dinaminis modelis susideda iš keturių
pagrindinių elementų: absoliučiai standžių kūnų, tampriųjų elementų,
virpesių slopinimo elementų ir TP sistemos judesių reguliavimo
elementų. Sukomponavus šiuos elementus ir sudaromas sutelktųjų
parametrų sistemos dinaminis modelis.
Dinaminiame modelyje pažymimos apibendrintosios koordinatės,
virpesių žadinimo jėgos ir jėgų momentai, virpesius sukeliantys
poslinkiai (pavyzdžiui, kelio nelygumai, sukeliantys juo važiuojančio
automobilio virpesius), pagrindinių elementų parametrai (masės, masių
inercijos momentai, standumai, pasipriešinimo koeficientai) ir kiti,
virpesių nagrinėjimui reikalingi, duomenys (3.1 pav.).
a)
b)
69

c)
3.1 pav. TP dinaminiai modeliai: a – geležinkelio vagonas;
b – automobilis; c – dviaukštis autobusas
3.2. Kūno ir kūnų sistemos masių inercijos momentai
Absoliučiai standžių (nesideformuojančių) kūnų gamtoje nėra.
Tačiau tiriant TP atskiras sistemas, jų dalis, statinį ar kitokį elementą,
galima išskirti tas jų dalis, kurių deformacijų leistina nepaisyti (pavyzdžiui,
stovai, rėmai ir t. t.). Deformuojamąjį virpamosios sistemos
elementą dinaminiame modelyje dažnai leistina aproksimuoti vienu
ar keliais absoliučiai standžiais kūnais, su kitomis dalimis sujungtais
tampriaisiais ir slopinimo ryšiais.
Jeigu TP kūnas juda slenkamuoju judesiu (nesisuka, bet slenka),
tai jis dinaminiame modelyje apibūdinamas vienu parametru – jo
mase m.
Jeigu TP dinaminiame modelyje kūnas sukasi, judantis sukamuoju
judesiu kūnas dinaminiame modelyje išreiškiamas ašiniais ir išcentriniais
masių inercijos momentais (masių inercijos tenzorius), judantis
sukamuoju ir slenkamuoju judesiu – mase ir minėtais inercijos momentais.
Visų inercijos momentų SI matavimo vienetas yra kg ⋅ m
2 .
70

Kūnas gali judėti tam tikra kryptimi (slenkamasis judesys), suktis
apie tam tikrą ašį (sukamasis judesys) ir atlikti du judesius kartu.
Materialusis kūnas turi inercines charakteruistikas: masė ir masių
inercijos momentai.
SI vienetų sistemoje kūno masė matuojama kg, o masių inercijos
momentas matuojamas kg/m 2 .
Nagrinėjant kūno slenkamąjį judėjimą reikia žinoti kūnų mases
(pagal antrąjį Niutono dėsnį: m d q n
= Fi
t
2
∑ (), o nagrinėjant kūno
dt i=
1
sukimąsi apie tam tikrą ašį reikia žinoti masių inercijos momentą (pagal
antrąjį Niutono dėsnį): Iz
Mi
t
2
d ϕ n
z
2 = ∑ () .
dt i=
1
Kūno, kurio medžiagos tankis yra ρ( xyz , , ), kūno masė lygi:
m
= ( )
2
∫ ρ x, yzdV , , (3.1)
V
kai medžiagos tankis yra pastovus, kūno masė lygi:
m=ρ V , (3.2)
čia V – kūno tūris, ρ – kūno medžiagos tankis, kg m 3 .
Slenkamojo judesio kūno kinetinė energija lygi:
1 T
E kinetinė = {} v [ M]{}
v , (3.3)
2
T
čia {} v = ⎡ ⎣
vx, vy, vz
⎤ ⎦ – kūno greičio vektorius, M
matrica,
( )
[ ] – kūno masių
⎡∫ρ
xyz , , dV 0 0 ⎤ ⎡m
0 0⎤
⎢
⎥
[ M ]=
⎢
0 ∫ρ( xyz , , ) dV 0
⎥
=
⎢
0 m 0
⎥ .
⎢ ⎥
⎣
⎢ 0 0 ∫ρ( xyz , , ) dV ⎦
⎥
⎣⎢
0 0 m⎦⎥
(3.4)
71

Kiekvienas materialus kūnas turi šešis masių inercijos momentus:
Ixx, Iyy , Izz , Ixy , Ixz , Iyz
.
Pirmieji trys masių inercijos momentai yra ašiniai masių inercijos
momentai Ixx, Iyy , Izz
, o likusieji trys – išcentriniai masių inercijos
momentai Ixy , Ixz , I yz . Visi šeši kūno masių inercijos momentai
sudaro kūno masių inercijos tenzorių
⎡I I I
⎢
[ I ]= ⎢I I I
⎢
⎣⎢
I I I
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
⎤
⎥ T
⎥ = ∫ ρ[ r] [ r ] dV , (3.5)
⎥ V
⎦⎥
čia
[ r ] – antisimetrinė matrica;
⎡ 0 −rz
ry
⎤
⎢
⎥
[ r ]= ⎢ rz
0 −rx⎥
;
⎢
⎣
−ry
r ⎥
x 0
⎦
{} r T = ⎡ ⎣
r r r ⎤ ⎦ ;
x y z
(3.6)
{} r – kūno taško vektorius, užrašytas OXYZ koordinačių sistemoje;
Ixx = ∫ ρ ry 2 + rz
2 dV ; Iyy = ∫ ρ rx 2 + rz
2 dV ;
V
( )
( )
Izz = ∫ ρ rx 2 + ry
2 dV ;
I
xy
V
V
( )
=−∫ ρ r rdV ; I =−∫ ρ r rdV ; I =−∫ ρ r rdV ; (3.7)
V
x y
xz
V
x z
yz
V
y z
I
xy
= I ; I = I ; I = I . (3.8)
yx
xz
zx
yz
zy
72

3.2 pav. Kūno koordinačių sistema OXYZ
Kūno masių inercijos tenzorius yra simetrinė matrica.
Centrinių ašių atžvilgiu kūno masių išcentrinai inercijos momentai
lygūs nuliui, būtent:
I xy = 0 , I xz = 0 , I yz = 0 . (3.9)
Tada kūno masių inercijos tenzorius yra:
⎡Ixx
0 0 ⎤
⎢
⎥
[ I ]= ⎢ 0 I yy 0 ⎥ . (3.10)
⎢
⎣ 0 0 I
⎥
zz ⎦
Besisukančio kūno kinetinė energija lygi:
1 T
E
kinetinė = { } [ I]{ }
2 ω ω , (3.11)
T
{ } = ⎡ ⎣ x y z
⎤ ⎦
čia ω ω , ω , ω – kūno kampinio greičio vektorius.
73

3.1 lentelė. Pagrindinių kūnų masių inercijos momentai
Rutulys
Ixx = Iyy = Izz
= 2 2
ma
5
Ixy = Ixz = I yz = 0
Plonas diskas
Ixx
= Izz
= 1 ma
4
2 ; Iyy = 1 2
ma
2
{ R}= { Rc}+{ r}
Ixy = Ixz = I yz = 0
Cilindras
1
Ixx
= Izz
= m( 3a 2 + h
2 );
12
2 ;
Iyy = 1 ma
2
Ixy = Ixz = I yz = 0
Plona plokštelė
Ixx = 1 ma
2 ;
12
Iyy = 1 2
m a + 2
( b );
12
Izz = 1 mb
2 ;
12
Ixy = Ixz = I yz = 0
74

3.1 lentelės pabaiga
Plonas strypas
Ixx
= Izz
= 1 mL
2 ; I yy = 0 ;
12
Ixy = Ixz = I yz = 0
Kūgis
3
Ixx
= Izz
= m( 4a 2 + h
2 ) ;
80
Iyy = 3 ma
2 ;
10
Ixy = Ixz = I yz = 0
Pirmas pavyzdys: rasti stačiakampio gretasienio (3.3 pav.) masių
inercijos momentus ir užrašyti masių inercijos tenzorių.
3.3 pav. Stačiakampis gretasienis
( )
c b a
= +
0 0 0
( ) = +
2 2 2 2
1 2 2
Ixx = ∫ρ
yi + zi dV ∫ ∫ ∫ρ
yi zi
dxdydz i i i m b c
3 ( );
75

Iyy = 1 2
m a + 2
( c );
3
c b a
Ixy =− ∫ρxiydV i =− ∫ ∫ ∫ρxiydxdydz
i i i i =
c b
1 2
−∫
∫ ρa yidyidz
2
0 0
i
0 0 0
Ixz =−1 mac ; Iyz mbc
4
=−1 4
c
=− ∫ 1 ;
2 2 1
ρabdzi
=− mab
4
4
0
;
⎡1
2 2 1
1 ⎤
⎢ mb ( + c ) − mab − mac
3
4
4 ⎥
⎢
⎥
[ I ]= ⎢ 1 1 2 2 1
− mab m( a + c ) − mbc ⎥
⎢ 4 3
4 ⎥
.
⎢
⎥
⎢ 1
1 1 2 2
− mac − mbc ma ( + b ) ⎥
⎣⎢
4
4 3 ⎦⎥
Bendroje koordinačių sistemoje OXYZ kūno masių centras nusakomas
vektoriumi { R c } (3.4 pav.). Taško P padėtis i-tojo kūno koordinačių
sistemoje CXYZ i i i i nustatoma vektoriumi {}. r Be to, bendrosios
koordinačių sistemos OXYZ ir i-tojo kūno koordinačių sistemos
ašys yra lygiagrečios.
CXYZ i i i i
3.4 pav. Kūnas bendroje koordinačių sistemoje OXYZ
76

Kūno masių centras bendroje koordinačių sistemoje OXYZ nustomas
vektoriumi { R c }:
1
{ Rc
}= ∫ ρ { RdV }
. (3.12)
m
V
Taško P padėtis bendroje koordinačių sistemoje OXYZ nustoma
vektoriumi R { }:
{ R}= { Rc
}+ {}. r
(3.13)
Kūno masių inercijos tenzorius bendroje koordinačių sistemoje
OXYZ lygus:
nes
⎡I I I
⎢
[ I ]= ⎢I I I
⎢
⎣⎢
I I I
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
⎤
⎥
T
⎥ = ∫ ρ⎡R
⎣
⎤ ⎦
⎡R
T
⎣
⎤ ⎦
dV = ∫ ρ⎡ ⎣
R ⎤ ⎦
⎡ ⎣
R c c
⎤ ⎦
dV +
⎥ V
V
⎦⎥
T
ρ r r dV ρ R
T
∫ ∫ c r dV ∫ ρ r Rc
dV ; (3.14)
V
V
T
[ ] [ ] + ⎡ ⎣
⎤ ⎦ [ ] + [ ] [ ]
T
∫ρ⎡R R dV R R ρdV m R R
⎣ c
⎤
⎦
⎡ ⎣ c
⎤
⎦
= ⎡ ⎣ c
⎤ ⎦
⎡ ⎣ c
⎤ ⎦ ∫ = ⎡ ⎣ c
⎤ ⎦
⎡ ⎣ c
⎤ ⎦ ;
V
T
[ ] [ ] = [ ]
T
V
∫ ρ r
r
dV Icc
; (3.15)
V
T
∫ρ⎡R r dV R
⎣ c
⎤
⎦ [ ] = ⎡ ⎣ c
⎤ ⎦ ∫ρ[ r] dV = 0 ; (3.16)
V
T
T
∫ρ[ r] ⎡R ⎣ c
⎤ ⎦
dV = ∫ρ[ r] dV ⎡ ⎣
R c
⎤ ⎦
= 0 ,
V
∫ ρ rdV
V
{} =
V
T
V
V
0 , kadagi kūno koordinačių sistema įvesta masių
kūno centre.
Tada gauname, kad kūno masių inercijos tenzorius bendroje koordinačių
sistemoje OXYZ lygus:
T
77

T
[ I]= [ Icc
]+ m⎡R ⎣ c
⎤ ⎦
⎡ ⎣
R c
⎤ ⎦
, (3.17)
arba išplėstine forma kūno masių inercijos momentai lygūs:
( )
2 2
xx xcxc yc zc
I = I + m R + R
( )
2 2
zz zczc xc yc
I = I + m R + R
( )
2 2
yy ycyc xc zc
; I = I + m R + R
; (3.18)
Ixy = Ixcyc − mRxcRyc
; I = I − mR R ;
Iyz = Iyczc − mRycRzc
.
xz xczc xc zc
Kūno masių inercijos tenzorius masių centro atžvilgiu lygus:
T
[ Icc
]= [ I]− m⎡R ⎣ c
⎤ ⎦
⎡ ⎣
R c
⎤ ⎦ . (3.19)
;
Antras pavyzdys: rasti stačiakampio gretasienio masių inercijos
momentus ir užrašyti masių inercijos tenzorių kūno masių centro
atžvilgiu (3.5 pav).
3.5 pav. Stačiakampis gretasienis
78

Masių centro vektorius lygus:
⎧xc
⎫ ⎧x
c b a i ⎫
⎧a⎫
⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪
{ Rc
}= ⎨yc
⎬ = ∫ ∫ ∫ ρ⎨yi
⎬dxidyidzi
= ⎨b⎬
.
⎪ m
⎩z
⎪ 0 0 0 ⎪
c ⎭ ⎩z
⎪ 2 ⎪
i ⎭
⎩c⎪
⎭
Stačiakampio gretasienio masių inercijos momentai kūno masių
centro atžvilgiu lygūs:
m ⎛ 2
⎛ b⎞
c
Ixcxc = Ixx − m( yc + zc
)= ( b + c )− m ⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ ⎛ 2
⎝ ⎜
⎞ ⎞
2 2 2 2
⎜ ⎟
3
⎝
2 2 ⎠ ⎟ =
⎠
m b
2 c
2
( + )
12
;
m ⎛ 2
⎛ a⎞
c
Iycyc = Iyy − m( xc + zc
)= ( a + c )− m ⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ ⎛ 2
⎝ ⎜
⎞ ⎞
2 2 2 2
⎜ ⎟
3
⎝
2 2 ⎠ ⎟ =
⎠
m a
2 c
2
( + )
12
;
m ⎛ 2
⎛ a⎞
b
Izczc = Izz − m( xc + yc
)= ( a + b )− m ⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ ⎛ 2
⎝ ⎜
⎞ ⎞
2 2 2 2
⎜ ⎟
3
⎝
2 2 ⎠ ⎟ =
⎠
m a
2 b
2
( + )
12
;
m m
Ixcyc = Ixy + mxcyc
=− ab + ab = 0 ;
4 4
m m
Ixczc = Ixz + mxczc
=− ac + ac = 0 ;
4 4
m m
Iyczc = Iyz + myczc
=− bc + bc = 0 .
4 4
Stačiakampio gretasienio masių inercijos tenzorius masių centro
atžvilgiu lygus:
( )
⎡ m b
2 c
2
⎤
⎢ + 0 0
12
⎥
⎢
⎥
m
[ Icc
]= ⎢
( a
2
+ c
2
0
⎢
) 0 ⎥
⎥
.
12
⎢
⎥
⎢
m
( a
2
0 0
+ b
2)
⎥
⎣⎢
12 ⎥ ⎦
79

Panagrinėsime bedrąjį atvejį, kai i-tojo kūno koordinačių sistemos
CXYZ i i i i ašys nėra lygiargrečios bendrosios koordinačių sistemos
OXYZ ašims.
Taško P padėtis bendroje koordinačių sistemoje OXYZ nustoma
vektorium R { } (žiūrėti 3.4 pav.):
{ R}= { Rc}+ { Rcp}= { Rc}+ [ A]{}, r
(3.20)
čia[ A] – koordinačių transformacijos matrica (posūkio matrica).
Kūno masių inercijos tenzorius bendroje koordinačių sistemoje
OXYZ lygus:
⎡Ixx Ixy Ixz
⎤
⎢
⎥
T
[ I ]= ⎢Iyx Iyy I yz ⎥ = ∫ ρ⎡R
⎣
⎤ ⎦
⎡R
⎣
⎤ ⎦
dV =
⎢
⎥ V
⎣⎢
Izx Izy Izz
⎦⎥
T
ρ
T T
R A r A R T
∫ ⎡
⎣ c
⎤
⎦
+ [ ][ ] [ ] c
⎤
⎦
+ [ A][ r
][ A]
dV
V
( ) ⎡ ⎣
T
∫ ρ⎡
⎣
R R c
⎤
⎦
⎡ ⎣ c
⎤
⎦
dV +
V
T T
T
[ ][ ] [ ] [ ][ ][ ] +
∫ ρ A r A A r
A dV
V
T
( ) =
ρ
T
T T
∫ ⎡R A r A dV ρ A r A R
⎣ c
⎤
∫
c dV
V
⎦ [ ][ ][ ] + [ ][ ] [ ] ⎡ ⎣
⎤ ⎦
=
T
ρ
T
∫ ⎡
⎣
Rc
⎤
⎦
⎡ ⎣
Rc
⎤
⎦
dV A ∫ρ
r r
dV A
V
T
V
V
+ [ ] [ ] [ ] [ ] +
T T T
⎡R A r dV A A r dV A R
⎣ c
⎤
⎦ [ ] ∫ρ[ ] [ ] + [ ] ∫ρ [ ] [ ] ⎡ ⎣ c
⎤ ⎦ . (3.21)
V
Kadangi kūno koordinačių sistema CXYZ i i i i
centre, tai integralai :
∫ ρ r dV 0 , ∫ ρ r dV 0
V
[ ] =
yra lygūs nuliui.
V
T
[ ] =
V
T
įvesta kūno masių
80

Tada kūno masių inercijos tenzorius bendroje koordinačių sistemoje
OXYZ lygus:
T
T
T
[ I]= m⎡R ⎣ c
⎤ ⎦
⎡R ⎣ c
⎤ ⎦
+ [ A] ∫ ρ[ r] [ r] dV[ A] = m⎡ ⎣
R c
⎤ ⎦
⎡ ⎣
R
c
⎤
⎦ +
T
m⎡R
R
⎣ c
⎤
⎦
⎡ ⎣ c⎤
⎦
A Icc
A
T
[ ]= [ ] [ ]
V
čia: Icc
∫ ρ r r dV .
V
T
+ [ ][ ][ ] , (3.22)
Iš (3.22) išraiškos galima surasti masių inercijos tenzorių I cc
masių centro ašių atžvilgiu, t. y.
T
[ ]
T
T
[ I ]= [ A] [ I][ A]− m[ A] ⎡R ⎣
⎤ ⎦
⎡ ⎣
R ⎤ ⎦ [ A]
. (3.23)
cc
Kiekviena transporto priemonė (TP) sudaryta iš tam tikro skaičiaus
materialiųjų kūnų. Nagrinėjant TP judėjimą reikia žinoti kūnų mases,
masių inercijos tenzorius, masių centrus bendroje kordinačių sistemoje.
Suradus TP masių centro vektorių, galima nustatyti TP masių
inercijos tenzorių masių centro atžvilgiu.
c
T
c
3.7 pav. Transporto priemonė kaip tam tikrų kūnų sistema
Tegu žinome bendroje koordinačių sistemoje OXYZ kiekvieno
kūno masių centro vektorius { R ci }.
81

3.7 pav. Kūnų sistema
Materialiųjų kūnų sistemos masių centro koordinatės yra nustatomos
taip:
n
∑ mi
R
i=
1
{ Rc
}=
n
∑ m
arba
x
n
i=
1
∑ mx
i ci
i
c = = 1
n
∑ mi
i=
1
{ }
i
ci
; y
n
∑ my
i ci
i
c = = 1
n
∑ mi
i=
1
; z
82
n
∑ mz
i ci
i
c = = 1
n
∑ mi
i=
1
(3.24)
. (3.25)
Kūnų sistemos masių inercijos tenzorius bendroje koordinačių
sistemoje OXYZ lygus:
n
[ Icc
]= ∑[ Icci
]+ m⎡R ⎣ ci
⎤ ⎦
⎡ ⎣
R ci
⎤ ⎦ . (3.26)
i=
1
T

a)
b)
3.8 pav. Transporto priemonė kaip tam tikrų kūnų sistema:
a – TP masių išdėstymo schema; b – TP masių išdėstymas erdvėje
83

3.3. Jėgų klasifikacija
Išorinės jėgos, veikiančios TP, taip pat ir vidinės jėgos, atsirandančios
jos ryšiuose, labai skiriasi savo prigimtimi. Jėgos klasifikuojamos
taip pat skirtingai – pagal darbo proceso pobūdį, pagal kilmę ir t. t.
Nagrinėsime labiausiai paplitusių jėgų klasifikavimą, t. y. jėgų klasifikavimas
pagal jėgų fizinę prasmę dinaminiuose procesuose.
Veikiančios jėgos skirstomos:
– Pozicinės jėgos;
– Slopinimo jėgos;
– Žadinimo jėgos;
– Mišriosios jėgos.
Pozicinės jėgos – jėgos, kurias apibrėžia sistemos momentinė
konfigūracija, t. y. nukrypimai nuo pradinės, dažniausiai pusiausvyros,
padėties. Tuo atveju, kai pozicinės jėgos kryptis yra priešinga sistemos
nukrypimui nuo pradinės padėties, tokia jėga vadinama atstatomąja
jėga. Tokio tipo jėga yra standumo jėga, sukelta vidinių ar išorinių
ryšių tamprių deformacijų. Kai galioja Huko dėsnis, standumo jėga
yra lygi: Fp =− kq ; čia k – standumo koeficientas. Atstatomųjų jėgų
atsiradimas nebūtinai sietinas su tamprumo savybe, jos gali būti kitos
kilmės, pavyzdžiui, Archimedo jėga, svorio jėga, elektromagneto
traukos (atostūmio) jėga.
Dėl netiesinio ryšio su apibendrintąja koordinate q atstatomąją
jėgą ne visada galima išreikšti pavidalu Fp =− kq . Tada patogu
naudotis standumo charakteristikomis, kurios parodytos 3.9 pav.
Skiriamos standžiosios ir minkštosios netiesinės standumo charakteristikos.
Standžiosiomis laikomos charakteristikos su tolydžiai didėjančiu
nuolydžiu (3.9 pav. b), o minkštosiomis – su mažėjančiu nuolydžiu
(3.9 pav. c). Kai kurios charakteristikos turi lūžius ir trūkius
(3.9 pav. d, e).
Sudėtingesniais atvejais pozicinės jėgos analitiškai aprašomos
kaip kelių apibendrintų koordinačių funkcijos. Tiesinėse TP kelių laisvės
laipsnių sistemose pozicinės jėgos gali būti išreiškiamos lygčių
sistema:
84

{ Fp}=−[ K]{}, q
(3.27)
čia { Fp} ,{}
q – apibendrintų jėgų ir apibendrintų koordinačių vektoriai;
⎧ Fp,
1 ⎫ ⎧q1
⎫
⎪ ⎪
⎪F
p,
2 ⎪ q
{ Fp}=
⎨ ⎬ ;
⎪ 2 ⎪
{}= q ⎨ ⎬ ,
⎪ ... ⎪ ⎪ ... ⎪
⎪
⎩
F ⎪ q
pn , ⎭ ⎩
⎪ n ⎭
⎪
[ K ] – standumo matrica:
⎡k11 k12 ... k1n
⎤
⎢
k k k n
[ K ]= ⎢ 21 22 ...
⎥
2 ⎥ .
⎢ ... ... ... ... ⎥
⎢
⎥
⎣kn1 kn2
... knn
⎦
{ } – potencinės (konservatyviosios jėgos), tai standumo
Kai F p
T
matrica simetrinė, t. y. [ K] = [ K].
a) b) c)
d) e)
3.9 pav. Standumo charakteristikos: a – tiesinė; b – netiesinė standi;
c – netiesinė minkšta; d, e – laiptuotos
85

Slopinimo jėgos. Judant TP tam tikriems elementams, be atstatymo
jėgų, visada veikia pasipriešinimo jėgos { F pas }, kurios dažniausiai
priklauso nuo atitinkamų sistemos kūnų taškų greičių. Jos atlieka
neigiamą darbą, pasireiškiantį mechaninės energijos išsklaidymu. Prie
tokių jėgų priklauso trinties jėgos (kūnų sujungimuose), aplinkos pasipriešinimo
jėgos, vidinės trinties jėgos sistemos elementų medžiagoje
ir jėgos, atsirandančios deformuojant specialius slopintuvus (dempferiai,
amortizatoriai).
Slopinimo jėgų krytis bet kuriuo sistemos elementų judėjimo momentu
yra priešinga judėjimo greičiui.
Vieno laisvės laipsnio sistemai slopinimo jėgos charakteristika
aprašoma funkcija Fpas
( q
). Pasipriešinimo jėgos priklausomybė nuo
greičio gali būti ir netiesinė (3.10 pav.). Sausosios trinties charakteristikos
yra trūkaus pavidalo. Kaip parodyta 3.10 pav. c, trinties charakteristika,
atitinkanti Amontovo ir Kulono dėsnį, priklauso ne nuo greičio
didumo, o tik nuo jo krypties, 3.10 pav. d, e parodytos patikslintos
sausos trinties charakteristikos.
a) b) c)
d) e)
3.10 pav. Slopinimo jėgų charakteristikos:
a – tiesinė; b – netiesinė; c – Amontovo ir Kulono trinties jėgos
charakteristika; d, e – patikslintos sausos trinties charakteristikos
86

Trinties jėga, N
Slopinimo jėgų tiesinės charakteristikos matematinė išraiška yra lygi:
Fsl = cq , (3.27)
netiesinės charakteristikos galima išraiška gali būti tokia:
Fsl = c q + c q , (3.28)
1 3 3
patikslintos sausos trinties charakteristikos gali būti:
Fsl = F sign ( 0 q )+ c1q, (3.29)
Fsl = F sign ( q )− c q + c q , (3.30)
dq
čia c1, c3
– koeficientai; F 0 – rimties trinties jėga; q ≡ – greitis.
dt
Sausos trinties jėgos priklausomybę, atitinkančią paprasčiausią
Amontovo ir Kulono dėsnį, galima užrašyti keliais būdais:
0 1 3 3
1 būdas
q
Ftr = Ftr, 0 = Ftr,
0 sign( q ), (3.31)
q
čia F tr,0 – trinties jėgos reikšmė;
⎧ 1,
kai q
> 0
⎪
sign( q
)= ⎨ 0,
kai q
= 0 .
⎪
− kai q
<
⎩⎪
1,
0
2 būdas
⎡⎛
2 ⎞ ⎛ πq
⎞⎤
⎛ 1 ⎞
Ftr
= Ftr, 0 ⎢⎜
⎟arctan
⎜ ⎟⎥
, kai ⎜ε≤
⎟
⎣⎝
π ⎠ ⎝ ε ⎠⎦
⎝ 4 q max , (3.32)
⎠
čia ε – mažas parametras, ε

Kelių laisvės laipsnių TP sistemose tiesinio slopinimo jėgos, kaip
ir pozicinės jėgos, gali būti pateiktos matricine forma:
{ Fpas}=−[ C]{}
q , (3.33)
{ } {}
[ ] –
čia Fpas
, q – slopinimo jėgų vektorius ir greičių vektorius; C
slopinimo matrica,
⎡c11 c12 ... c1
n ⎤
⎢
c c c n
[ C]=
⎢ 21 22 ...
⎥
2 ⎥ . (3.34)
⎢ ... ... ... ... ⎥
⎢
⎥
⎣cn1 cn2
... cnn
⎦
Žadinimo jėgos. Atstatymo ir slopinimo jėgų charakteristikos priklauso
tik nuo TP mechaninės sistemos savybių, o pačios jėgos yra
vienokios poslinkių ir greičių funkcijos, tuo tarpu žadinimo jėgos yra
išreikštinės laiko funkcijos, nepriklausomos nuo sistemos savybių.
Kaip žadinimo jėgų pavyzdžius galima nurodyti neatsvertų rotorių
išcentrines jėgas (inercinis žadinimas); jėgas, sukuriamas periodiškai
kintančio slėgio vidaus degimo variklių cilindruose; periodines elektromagnetines
jėgas ir kt.
Žadinimo jėgų kitimų dėsniai gali būti labai įvairūs. Labiausiai
paplitę yra tokie:
– Harmoninė jėga;
– Periodinė jėga;
– Periodiniai mažos trukmės impulsai;
– Neperiodinės jėgos;
– Atsitiktinės jėgos (procesai).
3.4. Tamprieji elementai, standumo jėgos ir jėgų momentai
TP dinaminį modelį sudaro tamprieji elementai, kurie deformuojasi,
ir kadangi jų masė yra gana maža, jų masė prilyginta nuliui (bemasiai
elementai). Juos deformuojant atsiranda atstatomosios jėgos ir
momentai. Tamprūs elementai stengiasi grąžinti kūną į pradinę padėtį,
kurioje tos jėgos ir jėgų momentai jau neveiktų (statinė pusiausvyra).
Paprasčiausias tokio elemento pavyzdys yra spyruoklė.
88

Cilindrinę spyruoklę dažniausiai galima aproksimuoti tempiamu
(gniuždomu) tampriuoju elementu (3.12 pav.).
3.12 pav. Tamprusis elementas
Atstatomosios jėgos ir atstatomųjų jėgų momentai, kylantys deformuojamuose
tampriuosiuose elementuose, vadinami tamprumo jėgomis
ir tamprumo jėgų momentais.
Tampriųjų elementų tampriaisiais poslinkiais (tiesiniais ir kampiniais)
vadinami tampriųjų elementų deformaciniai poslinkiai, sukeliantys
tamprumo jėgas arba momentus.
Tamprumo jėgų ir momentų veikimo kryptys yra priešingos tampriųjų
poslinkių kryptims; jėgų ir momentų moduliai (dydžiai) yra
tampriųjų elementų poslinkių funkcijos:
F = F ( q), M = M ( q),
t
t
t
t
čia F t , M t – tamprumo jėgos ir tamprumo jėgų momentas; q – tampriojo
elemento tiesinis ar kampinis poslinkis.
Priešingo ženklo tamprumo jėgos tamprumo jėgos projekcijos
į tampriojo tiesinio poslinkio kryptį priklausomybė nuo to poslinkio
vadinama jėgine tamprumo charakteristika. Paprasčiausia yra tiesinė
jėginė charakteristika:
arba
Ft = kq ; Mt = kϕ; (3.35)
Ft = k ( q − q ) 2 1 ; M t = k(
ϕ −ϕ
) 2 1 . (3.35)
89

Tamprusis elementas, kurio jėginė tamprumo charakteristika tiesinė,
vadinamas tiesiniu; visi kiti – netiesiniais.
Koeficientas k vadinamas tempiamo (gniuždomo) arba sukamo
elemento standumo koeficientu.
Netiesines jėgines charakteristikas galima linearizuoti tam tikro
taško aplinkoje. Tarkime, kad tamprųjį poslinkį q galima išreikšti taip:
q= q0 + q1, (3.36)
čia q 0 – pastovioji poslinkio dedamoji; q 1 – kintamoji poslinkio dedamoji,
kurios didžiausia reikšmė yra daug kartų mažesnė už pastovųjį
dydį q 0 , t. y. q1

( )
dFt
q
Tada k =
dq
= 3aq
2 0 ;
= 0
q q
( )− ( )= ( )− ≅
F q F q F q aq
dFt
( q)
dq
q = ( 3 aq ) q = kq .
t t 0 t 0 3 1 0 2 1 1
q=
q0
3.5. Tampriųjų elementų jungimas
Sudarant TP dinaminius modelius dažnai tenka jungti keletą tampriųjų
elementų į vieną ir rasti tokio redukuoto elemento standumo
koeficientą.
Lygiagrečiai sujungtus tampriuosius elementus (3.13 pav.), kurių
standumo koeficientai k 1 , k 2 ,..., k n
, galima pakeisti vienu ekvivalentiniu
(redukuotuoju) tampriuoju elementu, kurio standumo koeficientas k.
3.13 pav. Lygiagrečiai sujungtų tampriųjų elementų redukavimas
vienu tampriuoju elementu
n
k = ∑ k = k1+ k2 + k3 + ... + k . (3.38)
i=
1
i
n
Tampraus elemento jėginė tamprumo charakteristika (jėga) yra
lygi:
F = k( q2 −q1 ). (3.39)
Nuosekliai tarp savęs sujungtų tampriųjų elementų ekvivalentinio
(redukuotojo) tampriojo elemento standumo koeficientas k nustatomas
(3.14 pav.):
91

3.14 pav. Nuosekliai sujungtų tampriųjų elementų
redukavimas vienu tampriuoju elementu
1 n 1 1 1 1 1
= ∑ = + + + ... +
(3.40a)
k k k k k k
i=
1 i 1 2 3
arba
kk 1 2k3...
kn
k =
kk... kn + k k ... kn + ... + kk ... kn−
2 3 1 3 1 2 1
n
. (3.40b)
Redukuoto tampriojo elemento jėginė tamprumo charakteristika
(jėga) yra lygi:
F = k( q2 −q1 ) . (3.41)
Tampriojo elemento potencinė energija lygi:
1
2
Π= k( q2 − q 1)
. (3.42)
2
3.6. Slopinimo elementai, slopinimo jėgos ir momentai
TP dinaminį modelį sudaro be masės slopinimo elementai, kurie
deformuojasi. Juos deformuojant, atsiranda atstatomosios jėgos ir momentai,
kurie priklauso nuo deformavimosi greičio. Paprasčiausias tokio
elemento pavyzdys yra hidraulinis cilindras ir stūmoklis (3.15 pav.)
3.15 pav. Slopinimo elementas
92

Atstatomosios jėgos ir atstatomųjų jėgų momentai, kylantys slopinimo
elementuose, vadinami slopinimo jėgomis ir slopinimo jėgų
momentais.
Slopinimo jėgų ir momentų veikimo kryptys yra priešingos greičių
kryptims; jėgų modulis (ir momentų dydis) yra slopinimo elementų
greičių funkcijos:
F F q , M M q ,
s
= ( )
s
s
= ( )
s
čia F s , M s
– slopinimo jėgos ir slopinim jėgų momentas; q – slopinimo
elemento tiesinis ar kampinis greitis.
Priešingo ženklo slopinimo jėgos projekcijos į slopinimo tiesinio
greičio kryptį priklausomybė nuo to greičio vadinama jėgine slopinimo
charakteristika. Paprasčiausia yra tiesinė jėginė charakteristika:
Fs = cq ; Ms = c ϕ ; (3.44a)
arba Fs = c ( q
− q
) 2 1 ; Ms = c ( ϕ
− ϕ
) 2 1 . (3.44b)
Slopinimo elementas, kurio jėginė slopinimo charakteristika tiesinė,
vadinamas tiesiniu; visi kiti – netiesiniais.
Koeficientas c vadinamas tempiamo (gniuždomo) arba sukamo
elemento pasipriešinimo koeficientu.
Netiesines jėgines charakteristikas galima linearizuoti tam tikro
taško aplinkoje. Tarkime, kad tamprųjį poslinkį q galima išreikšti taip:
q = q0 + q
1 (3.45)
čia q 0 – pastovioji greičio dedamoji; q 1 – kintamoji greičio dedamoji,
kurios didžiausia reikšmė yra daug kartų mažesnė už pastovųjį dydį
q 0 , t. y. q1

3
d F
+
3
dq
s
q=
q0
q
3
1
(3.46)
Kadangi q 1 yra mažas dydis, tai dydžiai q 2 1 , q 3 1 , … yra daug
mažesnis už jį ir, apytiksliai interpretuojant funkciją Fs( q)− Fs( q0 ) ,
jų galima nepaisyti. Tada (3.46) lygybėje palikus narį su q 1 , gaunama
linearizuota poslinkio q 0 aplinkoje jėginė tamprumo charakteristika:
F q
F q
s
( )− ( )≅
s
( )
dFs
( q
)
dq
q
0 1 1
q=
q0
= cq
, (3.47)
dFs
q
čia c =
– pasipriešinimo koeficientas.
dq
q=
q 0
Pavyzdys. Linearizuoti funkciją Fs ( q)=
aq
3 taško q 0 aplinkoje.
( )
dFs
q
Tada c =
dq
= 3aq
2 0
;
0
q=
q
( )− ( )= ( )− ≅
F q F q F q aq
dFs
( q )
dq
q 3 aq q
= cq 1 .
= ( )
s s 0 s 0 3 1 0 2 1
q=
q0
3.7. Slopinimo elementų jungimas
Sudarant TP dinaminius modelius dažnai tenka jungti keletą slopinimo
elementų į vieną ir rasti tokio redukuoto elemento pasipriešinimo
koeficientą.
Tiriamus lygiagrečiai sujungtus slopinimo elementus (3.16 pav.),
kurių pasipriešinimo koeficientai c 1 , c 2 ,..., c n , galima pakeisti vienu
ekvivalentiniu (redukuotuoju) slopinimo elementu, kurio pasipriešinimo
koeficientas c.
94

3.16 pav. Lygiagrečiai sujungtų slopinimo elementų redukavimas
vienu slopinimo elementu
n
c= ∑ c = c1+ c2 + c3 + ... + c . (3.48)
i=
1
i
n
Slopinimo elemento jėginė charakteristika (pasipriešinimo jėga)
yra lygi:
Fs = c ( q 2 − q 1 ).
(3.49)
Nuosekliai tarp savęs sujungtų slopinimo elementų ekvivalentinio
(redukuotojo) slopinimo elemento pasipriešinimo koeficientas c
nustatomas (3.17 pav.):
arba
3.17 pav. Nuosekliai sujungtų slopinimo elementų redukavimas
vienu slopinimo elementu
1 n 1 1 1 1 1
= ∑ = + + + ... + , (3.50a)
c c c c c c
i=
1 i 1 2 3
n
95

cc 1 2c3...
cn
c =
cc... cn + c c ... cn + ... + cc ... cn−
2 3 1 3 1 2 1
. (3.50b)
Redukuoto slopinimo elemento jėginė charakteristika (pasipriešnimo
jėga) yra lygi:
Fs = c ( q 2 − q 1 ).
(3.51)
Slopinimo elemento disipatyvinė funkcija lygi:
1
2
Φ= c( q2 − q 1)
. (3.52)
2
3.8. Kūno judėjimo lygčių užrašymo būdai
3.8.1. D’Alambero ir Lagranžo lygtys
Bet kokios materialių taškų sistemos su idealiaisiais ryšiais bendroji
suma aktyviųjų ir inercinių jėgų atliekamo darbo bet kuria galima
kryptimi ir bet kuriuo laiko momentu lygi nuliui (D’Alambero
principas). D’Alambero principo matematinę išraišką, kai materialiųjų
taškų skaičius lygus N , galima užrašyti tokiu pavidalu:
N
T
∑ ({ Fak, i}+ { Fini
, }) δ{ ri
}= 0 , (3.53)
i=
1
{ } { } – i-tąjį tašką veikiančios aktyvioji ir inercinė jė­
čia Fak, i , Fini
,
gos; δ{ r i } – galimas poslinkių vektorius, t. y. be galo mažų poslinkių
vektorius ( δ{ r i } – poslinkių vektoriaus variacija).
Tarkime, kūno koordinačių sistema yra O1, X1, Y1, Z1. Tada bet
kokio kūno taško P poslinkių vektoriaus variacija lygi:
{ }= { }+ { }×{ }= { }+ { }×{ }=
δ r δ r δϕ r δ r δ ϕ
r
i 10i 1i 1pi 10i 1i 1pi
= δ{ r }− ⎡ ⎣
r ⎤ ⎦
δ{ ϕ }
, (3.54)
10i 1pi 1i
{ } – pasukimo vektoriaus variacija; δ{ r 10i
} – kūno koordina­
čia δϕ 1i
čių pradžios (taškas O 1 ) poslinkių variacija; r 1p
vektorius.
96
{ } – taško P padėties

Įstatę (3.54) išraišką į (3.53) lygtį, gausime:
N
∑
i=
1
T
N
T
({ Fak, i}+ { Fini
, }) ( δ{ r10i}− ⎡ ⎣
r 1pi⎤ ⎦
δ{ ϕ1i}
)= ∑ ({ Fak, i}+ { Fini
, }) δ{ r10i}−
N
T
− ∑ ({ ak i}+ { ini}
) [ 10 ] δϕ { 1 }=
i=
1
čia M , M
i=
1
N
T
, ,
i i ({ aki , }+ { Fin,
i}
) δ{ r10i}+
i=
1
T
+ ∑ { Mak, i}+ { Mini
, } δϕ { 10i}
,
F F r ∑ F
( )
,
(3.55)
{ ak, i} { ini , } – aktyviųjų inercinių jėgų pagrindiniai momentai:
{ Mak, i}= ⎡ ⎣
r 1 pi⎤ ⎦ { Faki
, };
{ Min, i}= ⎡ ⎣
r 1 pi⎤ ⎦ { Fini
, }. (3.56)
Tarkime, mechanizmas yra sudarytas iš N g grandžių, ir jo kinematinės
poros yra idealios. Tokiu atveju D’Alambero principo matematinę
išraišką galima užrašyti šiuo būdu:
N
g
T
g
∑( { Fak, i}+ { Fini
, }) δ{ r10i}+ ∑ { Mak, i}+ { Mini
, }
i= 1 i=
1
δϕ { 1 i}= 0 .
N
( )
T
δ{ ϕ }= .
1i
0
(3.57)
Tarkime, mechanizmas turi n laisvės laipsnių; apibendrintųjų
koor dinačių vektorius yra
{} q T = [ q , q ,..., q ], (3.58)
1 2
n
tada i-tojo kūno koordinačių pradžios poslinkių ir pasukimo kampų
variacijos lygios:
∂{ }
n r10i
δ{ r10i}=
∑ δq
j
j=
1 ∂q
,
j
n ∂{ ϕi}
δϕ { i}=
∑ δ q j . (3.59)
∂q
j=
1
j
97

Įstatę (3.59) išraiškas į (3.57) ir įvertinę, kad variacijos δq j ≠ 0 ,
gauname mechanizmo judėjimo lygčių sistemą:
Ng
T
N
∑( { Fak, i}+ { Fini
, })
, ,
i= 1 j i=
1
∂{ }
T
∂{ r i}
g
⎞
10
+ ∑( { Mak i}+ { Mini}
)
∂q
∂
⎠
j =1, 2,..., n. (3.60)
ϕ 10 i
⎟
q j ⎟ = 0 ,
Išskyrus iš veikiančių aktyviųjų jėgų apibendrintąsias jėgas Q j ,
kurių atliekamas darbas galimų poslinkių δq j kryptimi lygus Qjδ qj
,
D’Alambero ir Lagranžo lygtis bus tokia:
Ng
T
Ng
∑( { Fpi
, }+ { Fin, i}
) δ{ r10i}+ ∑ { M pi , }+ { Min,
i}
i= 1 i=
1
( )
T
δ{ ϕ }+ ∑ Q δq
= 0 ,
1i
n
j=
1
j
j
(3.61)
{ } { } – pasipriešinimo jėgų ir momentų pagrindiniai vek­
čia Ppi
, , M pi ,
toriai.
Įvertinę, kad poslinkių, pasukimo kampų vektorių bei apibendrintųjų
koordinačių variacijos nelygios nuliui, gauname:
Ng
∑ ({ Fpi}+ { Fin i}
)
i=
1
∂{ r10i}
∂q
( )
T
N
, , , ,
j i=
1
g
+ ∑ { M pi}+ { Min i}
T
∂{ }
ϕ 1 i
∂q
j
+ Q = 0,
j =1, 2,..., n. (3.62)
Lygtis (3.62) gali būti taikoma nustatant apibendrintąsias jėgas Q j .
Lagranžo antrojo laipsnio lygtis apibendrintai koordinatei q k yra
lygi:
j
d
dt
⎛ ∂E
⎜
⎝
∂q
k
k
⎞ E
⎟ − ∂ ⎠
∂q
k
k
+ ∂ Φ
∂q
k
E
+ ∂ ∂q
p
k
= Q , (3.63)
k
čia E k , E p – TP kinetinė, potencinė energijos, atitinkamai; – TP disipatyvinė
funkcija; Q k – apibendrinta jėga, veikianti TP kūną apibendrintos
koordinatės q k kryptimi.
98

3.8.2. Niutono ir Oilerio lygčių sistema
Nagrinėsime kūno judėjimą bendroje koordinačių sistemoje
OXYZ . Tam tikrame kūno taške įvesime koordinačių sistemą
OXYZ 1 1 1 1, kuri judės kartu su kūnu. Bet kokio kūno taško P poslinkių
vektorius OXYZ koordinačių sistemoje lygus:
{ Rp}= { R01}+ { R1p}= { R01}+ [ A]{ r1 p}
, (3.64)
{ } – taško O 1 koordinačių vektorius; R p
{ } – vektorius tarp
čia R 01
1
taškų O 1 ir P; { r 1p
} – vektorius tarp taškų O 1
ir P OXYZ 1 1 1 1 koordinačių
sistemoje; [ A] – koordinačių transformacijos matrica (posūkio
matrica) tarp OXYZ ir OXYZ 1 1 1 1
koordinačių sistemų.
Vektoriaus { R p } variacija yra lygi:
{ p}= { 01}+ [ ]{ 1p}= { 01}+ [ ] [ 1]{ 1p}=
δ R δ R δ A r δ R A δϕ r
R 01 A r 1p
1 , (3.65)
= δ{ }− [ ]⎡ ⎤ ⎣ ⎦
δ{ ϕ }
arba matricine forma:
R
δ{ Rp}= ⎡[ E] −[ A]⎡r
p⎤⎤
{ }
⎣ ⎦
δ S δ x
⎣
, ⎧⎪
01 ⎫⎪
⎦ ⎨ ⎬
⎩⎪ { ϕ } ⎭⎪ = [ ] {}
1
, (3.66)
1
čia
[ S]= ⎡[ E] , −[ A]⎡ ⎣
r p
⎤⎤
⎧⎪
R
⎣
1 ⎦ ⎦ ; { } ⎫
01 ⎪
{}= x ⎨ ⎬ ; (3.67)
⎩⎪ { ϕ 1 } ⎭⎪
{ ϕ 1 } – kūno pasukimo apie OXYZ 1 1 1 1 ašis vektorius.
Taško P greičių ir pagreičių vektoriai lygūs:
{ R ̇ R ̇
p}= { 01}+ [ A ][ ω ̃
1]{ r 1p}
; (3.68)
R ̇̇ R ̇̇ A 2
{ p}= { }+ [ ][ ̃ ] { r p}+ [ A ]⎡ ̇̃ ⎤
01 ω1
1 ⎣
ω 1 ⎦ { r 1p}
, (3.69)
99

arba sutrumpinta forma:
⎧ Ṙ̇
{ Ṙ̇
p}= ⎡[ E] −[ A]⎡r̃
p⎤⎤
⎪{ } ⎫
01 ⎪
, ⎣ ⎦
a S
⎣
1 ⎦ ⎨ ⎬ + { 1}= [ ]{ ̇ẋ1}+ { a1}, (3.70)
⎩⎪ { ω̇
1}
⎭⎪
čia
T T
x R T
{ 1} =
⎡{ 01} { ⎤
2
, ω 1}
; { a 1 }= [ A][ 1 ] { r1
p }
⎣⎢
⎦⎥
ω ; (3.71)
[ ] – kampinio greičio vektoriaus { ω 1 } antisimetrinė matrica.
ω 1
Pagal D’Alambero principą (3.53),
T
{ } { }−{ }
∫ δ R R p p F dm 0 , (3.72)
m
( ) =
{ } – kūną veikianti išorinė jėga, proporcinga kūno masei (tūrinė
čia F
jėga).
Įstatę (3.66) ir (3.69) išraiškas į (3.72) ir įvertinę, kad variacijų vektorius
nelygus nuliui, t. y. δ{}≠ x 0 , gauname:
⎡ E −[ A]⎡ ⎣
r̃
p
⎤ ⎤
1
⎢
⎦ ⎥
T
T
∫ ⎢
T
d
T ⎥
m{ ̇̇1 x }+ ∫[ S] { a 1 } dm − ∫ [ S] { F} dm = 0
m − ([ A]⎡ ⎣
r p
⎤ ⎦ ) ⎡ ⎣
r p
⎤ ⎡ ⎦ ⎣
r p
⎤
⎣⎢
̃1 ̃1 ̃
m
m
1 ⎦ ⎦⎥
(3.73)
Iš lygčių sistemos (3.73) gauname kūno slenkamojo ir sukamojo
judesio judėjimo lygčių sistemas:
čia
[ M11]{ Ṙ̇ 01}− [ M12 ]{ ω̇1}= { F}+ [ A] ω ̃1 2 { S1}
;
[ M ]{ Ṙ̇ }+ [ M ]{ ω̇ }=−[ ω̃][ I ]{ ω }−{ f }, (3.74)
21 01 22 1 1 1 1
[ M11]= ∫ [ E]
dm ; M12
A ∫ r ip dm ;
m
M M T
21 12
[ ]= [ ] ⎡ ⎣
⎤ ⎦
[ ]= [ ] ; [ M ]= ⎡r ⎤ ⎣ ⎦
dm = [ I ]
T T
{ }= ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ [ ] { }
m
∫ ;
22 ip 1
{ }= { }
f1
∫ r ip A F dm ; S1 ∫ r1p
dm ;
100
m

[ I 1 ] – kūno masių inercijos tenzorius kūno taško O 1 atžvilgiu:
⎡ y1 2 + z1 2 −x1 y1 −x1 z1
⎢
[ I1]=
∫ ⎢ − y1 x1 x1 2 + z1 2 −y1 z1
m ⎢
⎢ −z1px1p
− z y x + y
⎣
⎡I I I
⎢
= ⎢I I I
⎢
⎣⎢
I I I
p p p p p p
xx 11 x11 y xz 11
yx 11 y11 y yz 11
z11 x z11 y z11
z
p p p p p p
1p 1p 1 2 p 1 2
p
⎤
⎥
⎥dm
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥ . (3.75)
⎥
⎦⎥
Jeigu kūno koordinačių sistema OXYZ 1 1 1 1 įvesta kūno masių centre,
tada (3.74) lygčių sistema supaprastėja:
[ M11]{ R
01}= { F}
; (3.76)
[ M ]{ ω̇
}=−[ ω̃
][ I ]{ ω }−{ f }.
22 1 1 1 1 1
Lygčių sistema (3.74) arba (3.76) vadinama Niutono ir Oilerio lygčių
sistema.
3.8.3. Hamiltono principas
Mechaninės sistemos judėjimo lygtis galima užrašyti taikant
Hamiltono principą, kurį patogu naudoti, jeigu žinoma mechaninės
sistemos energija (kinetinė ir potencinė) ir nekonservatyviųjų jėgų
darbas. Hamiltono principo matematinė išraiška yra:
t2
t2
∫ δLdt+ ∫ δAdt
= 0 , (3.77)
t1
t1
čia δL – Lagranžo funkcijos variacija:
δL= δT
−δΠ ; (3.78)
δT, δΠ – sistemos kinetinės ir potencinės energijų variacijos;
δA – nekonservatyviųjų jėgų darbo variacija:
101

δA F δ q
F k
k
T
= { } {}; (3.79)
{ } – nekonservatyviųjų jėgų vektorius; δ q
{}– apibendrintųjų
koordinačių vektorius.
Nekonservatyviosios jėgos – tai jėgos, kurių darbas priklauso ne
tik nuo sistemos pradinės ir galutinės būsenos. Prie nekonservatyviųjų
jėgų priklauso trinties jėgos ir išorinės jėgos, kurios kinta laike.
Kai kūną veikia klampiosios trinties jėgos, patogu naudotis
Relėjaus disipatyvine funkcija:
1 T
D= {} q [ C]{}
q
2 , (3.80)
čia C
[ ] – slopinimo matrica.
Tada klampiųjų trinties jėgų vektorius lygus:
D
{ Fc
}=− ∂ . (3.81)
∂{ q
}
Tarkime, nagrinėjamos sistemos kinetinė ir potencinė energijos
yra lygios:
1 T
1
T = {} q [ M]{}
q , Π= {} [ ]{}
2 2 q T
K q , (3.82)
čia [ M] , [ K]
– sistemos masių ir standumo matricos; {} q , {} q –
apibendrintųjų koordinačių ir greičių vektoriai.
Lagranžo funkcijos variacija lygi:
t2
t2
⎛
T ⎛ ∂L
⎞ T L
δLdt+ δ{}
q
δ q
⎜
t ⎝ ∂{ q}
⎟ + {}
⎛ ∂ ⎞⎞
t2 T ⎛ ∂L
⎞
∫ ∫
⎜
dt =
⎜
⎠ ⎝ ∂{ q
} ⎟⎟
∫ δ {} q
⎜
+
1 ⎝
⎠⎠
⎝ ∂{ } ⎟
t
t q
dt
1
1
⎠
⎛ ∂ ⎞ t
T L
2
t d ⎛ ∂L
⎞
+ δ{}
q
2
T
⎜
−
⎝ ∂{ } ⎟ t ∫ δ{}
q
⎜
dt
q
⎠
dt ⎝ ∂{ q}
⎟
, (3.83)
1
t
1
⎠
čia
∂L
∂{ } = ∂ T
q q
d
dt
⎛
⎜
⎝
∂L
q
K q ;
∂{ } − [ ]{}
⎞
d
dt
∂{ } ⎟ = [ ]{}
⎠
( M q ) = [ M]{}
q .
102

Tarkime, nekonservatyviųjų jėgų darbas yra lygus:
( )
T
= {} { }− [ ]{}
δA δ q F C q . (3.84)
Įstatę gautas išraiškas į Hamiltono principo matematinę išraišką
(3.77), gauname:
{}
δ q
T
t2
⎛ ∂T
⎞
∫ − [ K]{}− q [ M]{}+ q { F}− [ C]{}
q
dt q
⎜
t ⎝ ∂{ q} ⎟
3
⎠
+ {}
T
∂T
q
∂{ }
t2
t1
= 0.
(3.85)
Įvertinę tai, kad apibendrintųjų poslinkių variacija nelygi nuliui ir
(3.85) lygties konstanta lygi nuliui, gauname judėjimo lygčių sistemą:
T
[ M]{}+ q [ C]{}+ q [ K]{}= q { F}+ ∂ . (3.86)
q
∂{ }
3.8.4. Dviejų kūnų sujungimo tampriuoju ir
slopinimo elementais, standumo ir slopinimo matricos
Nagrinėsime dviejų kūnų judėjimą bendroje OXYZ koordinačių
sistemoje. Pirmojo (i-tojo) kūno masių centro padėtis apibrėžiama
vektoriumi { R ci }, o antrojo (j-ojo) kūno padėtis apibūdinama vektoriumi
{ R cj }.
Tamprusis elementas prijuntas prie i-tojo ir j-ojo kūnų taškuose Pi
ir Pj, atitinkamai. Taško Pi padėtis i-tojo kūno koordinačių sistemoje
CXYZ i i i i apibrėžiama vektoriumi { r pi}, o taško Pj padėtis j-ojo kūno
koordinačių sistemoje CjX jYZ
j j apibrėžiama vektoriumi { r pj }.
3.18 pav. Dviejų kūnų sujungimas tampriuoju ir slopinimo elementais
103

Pradiniai kūnų pasukimo kampų vektoriai yra: { ϕ i0 }, { ϕ j0 }, atitinkamai.
Priimame, kad kūnų posūkio kampai yra maži, t. y. vektorų
{ ϕ i }, ϕ j
{ } elementai yra maži kampai. Taškų Pi ir Pj koordinačių
vektoriai yra lygūs:
{ }= { }+ ( )
Rpi Rci0 ⎡
⎣Ai ϕi0
⎤
⎦{ rpi}+ { qci}+ ⎡
⎣Ai( ϕi)
⎤
⎦{ rpi}=
{ }+ { }+ [ ]+ [ ]
( ){ }= { }− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ { ϕ }=
R q E ϕ
r R r
ci0 ci i pi pi0
pi i
{ }
⎧ qci
{ Rpi0}+ ⎡[ E] − ⎡rpi
⎤⎤
⎪ ⎫⎪
, ⎣
⎦
Rpi0
Bi q
⎣ ⎦ ⎨ ⎬
i
⎩⎪ { i}
⎭⎪ = { }+ [ ]{ } (3.87)
ϕ
T
T T T
⎡R A r dV A A r dV A R
⎣ c
⎤
⎦ [ ] ∫ρ[ ] [ ] + [ ] ∫ρ[ ] [ ] ⎡ ⎣ c
⎤ ⎦
V
V
{ Rcj0}+ { qcj}+ ([ E]+ ⎡ ⎣
ϕ
j⎤ ⎦ ){ rpj}= { Rpj0}+ { qcj}− ⎡ ⎣
r
pj⎤ ⎦ { ϕj}=
{ }
{ }
⎧ q
{ Rpj
}+ ⎡[ E] − ⎡ ⎣
rpj
⎤⎤
⎪
,
⎣ ⎦ ⎦ ⎨
⎩
⎪ ϕ
cj
0 0
j
{ }= { }+ ( )
⎫
⎪
⎬ = { Rpj
}+ ⎡Bj
⎤ ⎣ ⎦ { q j}, (3.88)
⎭
⎪
⎦{ }+ { }
čia: Rpi0 Rci0 ⎡
⎣Ai ϕ i0
⎤ rpi rpi
; (3.89)
{ }= { }+ ( ) ⎦{ }+ { }
Rpj0 Rcj0 ⎡ Aj ϕ ⎤
j0
rpj r
⎣
pj ; (3.90)
[ Bi]= ⎡[ E] , − ⎡ ⎣
r pi
⎤⎤
⎣ ⎦ ⎦
; ⎡Bj⎤
⎣ ⎦ = ⎡ [ E ] , − ⎡ ⎣
r pj
⎤⎤
⎣ ⎦⎦
; (3.91)
⎧r
⎪
{ rpi}=
⎨r
⎪
⎩⎪
r
xpi
ypi
zpi
⎫
⎪
⎬ ; ⎡
⎣
r
⎪
⎭⎪
pi
⎡ 0
⎤
⎦ =
⎢
⎢ r
⎢
⎣⎢
−r
zpi
ypi
−r
r
zpi
0
xpi
r
ypi
−r
xpi
0
⎤
⎥
⎥ ; (3.92)
⎥
⎦⎥
⎧r
⎪
{ rpj}=
⎨r
⎪
⎩⎪
r
xpj
ypj
zpj
⎫
⎪
⎬ ; ⎡
⎣
r
⎪
⎭⎪
pj
⎡ 0
⎤
⎦ =
⎢
⎢ r
⎢
⎣⎢
−r
zpj
ypj
104
−r
r
zpj
0
xpj
r
ypj
−r
xpj
0
⎤
⎥
⎥ . (3.93)
⎥
⎦⎥

⎧⎪
qci
{ { } ⎫
⎧
⎪
qcj
qi}= ⎨ ⎬ ; q j
⎩⎪ { ϕi}
{ { } ⎫
⎪ ⎪
}= ⎨ ⎬ . (3.94)
⎭⎪
⎩
⎪{ ϕ j}
⎭
⎪
Vektorius tarp taškų Pi ir Pj yra lygus:
{ Rpji}= { Rpj0}+ ⎡Bj⎤ ⎣ ⎦ { qj}−{ Rpi0
}− [ Bi]{ qi}=
{ Rpji0}+ ⎡Bj⎤ ⎣ ⎦ { qj}− [ Bi]{ qi}, (3.95)
{ Rpji0}= { Rpj0}−{ Rpi0} . (3.96)
Atstumo tarp taškų Pi ir Pj pailgėjimas yra lygus:
∆L
ij
{ }
1
T
T ⎧ qi
=
⎡
−{ Rpji
} [ Bi] { Rpji
} ⎡Bj
⎤⎤
L
⎣ ⎦ ⎨
⎪
0 0
ij0
⎣⎢
⎦⎥ q
⎩⎪ j
, ⎬
{ }
⎪ = ⎡ ⎣
D ⎤ ⎦ { q }
⎭⎪
⎫
ij ij ,
(3.97)
T
T
čia: ⎡Dij
⎤
⎣ ⎦ = 1 ⎡
Rpji
Bi
Rpji
Bj
L
− { } [ ] { } ⎡ ⎤⎤
0 , 0 ⎣ ⎦ ; (3.98)
ij0
⎣⎢
⎦⎥
T
Lij0 = { Rpji0} { Rpji0} ; q ⎧
⎪ qi
{ { } ⎫
⎪
ij}= ⎨ ⎬ . (3.99)
{ q
⎩⎪ j}
⎭⎪
Tampriojo elemento potencinė energija yra lygi:
1 2 1 T T
1 T
Epij = kij∆Lij = { qij
} ⎡Dij
⎤ kij ⎡ ⎣ ⎦
Dij ⎤ ⎣ ⎦ { qij}= { qij}
⎡Kij⎤
qij
2 2
2 ⎣ ⎦{ },
čia ⎡
⎣
K ij
⎤
⎦
⎡
⎣
K
ij
– tampriojo elemento standumo matrica.
ij
2
ij
(3.100)
Epij
T
⎤
⎦ =
∂
Dij
kij
Dij
∂{ q }∂{ q } = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
. (3.101)
Atstumo tarp taškų Pi ir Pj pailgėjimo greitis yra lygus:
105

d∆L
dt
ij
= ∆L ij =⎡Dij ⎤ ⎣ ⎦ { q ij}
. (3.102)
Slopinimo elemento disipatyvinė funkcija yra lygi:
Φ
čia: ⎡
⎣
C ij
⎤
⎦
⎡
⎣
C
1
T T
= c ∆L 2 1
1
= { q } ⎡Dij
⎤ ⎣ ⎦
cij ⎡ ⎣
Dij ⎤ ⎦ { qij}= { q
ij}
2 2
2
ij ij ij ij
ij
– slopinimo matrica.
ij
2 Φ
ij
106
T
ij
⎤
⎦{ ij}
⎡C ⎣
q ,
(3.103)
ij
T
⎤
⎦ =
∂
Dij
cij
Dij
∂{ q }∂{ q } = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (3.104)
Nagrinėjant kūnų judėjimą plokštumoje, matrica [ B i ]ir vektorius
{ q i } yra lygūs:
Judėjimas plokštumoje XY:
rypi
[ Bi
]= ⎡ ⎧q
⎡ 1 0
E rpi
⎣ ⎢ ⎤
⎥ − ⎡ ⎤⎤
⎢ ⎢ ⎥⎥
⎡ [ ]
⎦ ⎣⎢
−r
⎣⎢
xpi ⎦⎥
⎦⎥ ⎣ − ⎡ ⎤⎤
0 1 , , ⎣
⎦⎦ ; q ⎪
{ i}=
⎨q
⎪
⎩ ϕ
Judėjimas ploštumoje XZ:
rzpi
[ Bi
]= ⎡ E rpi
⎣ ⎢ ⎤
⎥ − ⎡−
⎧q
⎡ 1 0 ⎤⎤
⎢ ⎢ ⎥⎥
⎡ [ ]
⎦ ⎣⎢
r
⎣⎢
xpi ⎦⎥
⎦⎥ ⎣ − ⎡ ⎤⎤
0 1 , , ⎣
⎦⎦ ; q ⎪
{ i}=
⎨q
⎪
⎩
ϕ
Judėjimas ploštumoje YZ:
rzpi
[ Bi
]= ⎡ ⎧q
⎡ 1 0
E rpi
⎣ ⎢ ⎤
⎥ − ⎡ ⎤⎤
⎢ ⎢ ⎥⎥
⎡ [ ]
⎦ ⎣⎢
−r
⎣⎢
ypi ⎦⎥
⎦⎥ ⎣ − ⎡ ⎤⎤
0 1 , , ⎣
⎦⎦ ; q ⎪
{ i}=
⎨q
⎪
⎩
ϕ
xci
yci
zi
xci
zci
yi
yci
zci
xi
⎫
⎪
⎬ . (3.105)
⎪
⎭
⎫
⎪
⎬ . (3.106)
⎪
⎭
⎫
⎪
⎬ . (3.107)
⎪
⎭

4. Sausumos transporto kelių
charakteristikos. Komfortabilumas
4.1. Automobilių kelių nelygumai, jų charakteriskos
Automobilių kelių danga susideda iš kelių asfaltbetonio sluoksnių
(viršutinis, apatinis ir pagrindo sluoksniai), pagrindo sluoksnio ir
žemės sankasos.
Asfaltbetonis – mišinys, gaminamas iš mineralinių medžiagų
ir bitumo. Kiekvienas mišinio komponentas turi skirtingas fizines
mechanines savybes, kurios kinta nuo temperatūros, laiko ir slėgio.
Eksploatacijos metu kelio danga veikiama transporto priemonių apkrovomo
bei klimatinių faktorių.
Pagal šiuos poveikius galima skirti tris dangų defektų bei irimo
rūšis:
1) šlities įtempimų atsiradimas veikiant apkrovai;
2) tempimo įtempimų atsiradimas esant temperatūrų skirtumams;
3) dangos irimas veikiant transporto priemonių apkrovoms kartu
su kintamomis klimatinėmis sąlygomis.
Šlities įtempimai atsiranda esant aukštai aplinkos temperatūrai.
Kelio dangos paviršius įšila ir gali atsirasti pavojingi šlities įtempimai,
dėl kurių atsiranda šlities deformacijos. Dėl šlities deformacijų dangos
paviršiuje gali atsirasti plyšiai ir bangos. Kelio dangoje išilginės ir
skersinės bangos atsiranda esant dideliam transporto priemonių judėjimui
nedideliais greičiais.
Tempimo įtempimai atsiranda esant žemai aplinkos temperatūrai.
Dėl šios priežasties dangoje gali atsirasti mikroplyšių, kurie eksploatacijos
metu gali išvirsti į plyšius. Mikroplyšių, esant žemai aplinkos
temperatūrai, atsiranda naudojant transporto priemonių ratus su dygliais.
Žemoje temperatūroje asfaltbetonio danga daug trapesnė (mažėja
bitumo klampis) negu normalioje temperatūroje (20 °C).
Transporto priemonės padangoje esančio dyglio kontaktinis slėgis
į dangos paviršių siekia daugiau kaip 30,0 MPa. Tokio didumo
normaliniai ir tangentiniai slėgiai į dangos paviršių sudaro galimybių
107

kelio dangoje atsirasti nematomiems mikroplyšiams. Patekus vandeniui
į tokius mikroplyšius ir po to jam užšalus, dėl didelio ledo tūrinio
plėtimosi koeficiento β≈152,1·10 -6 1/°C vyksta mikroplyšių didėjimo
procesas.
Asfaltbetonio dangos irimas pasireiškia tiek jos paviršiuje, tiek
jos viduje. Veikiant kintamoms apkrovoms, dangos paviršiuje esančios
smulkios dalelės atitrūksta nuo masyvo. Taip laipsniškai mažėja
dangos storis. Veikiant drėgmei, šalčiui, kintamoms apkrovoms, dangos
viduje vyksta mineralinių medžiagų irimas. Vykstant tokiam procesui
dyla ir yra kelio danga.
Pagal kelio dangos liekamąsias deformacijas galima suskirstyti
jos defektus:
– šlitis pagal visą dangos storį esant lygiam dangos paviršiui
(atsiranda dėl dangos medžiagos nuovargio, keičiasi medžiagos
struktūra);
– viršutinio dangos sluoksnio šlitis esant lygiam dangos paviršiui
(iš apatinių dangos sluoksnių išspausto bitumo susikaupimas
viršutiniame sluoksnyje);
– tam tikro dėsningumo skersinės bangos (bangos ilgis ne didesnis
kaip 0,70 m; defektas atsiranda stabdymo ruožuose dėl
nepakankamo stiprumo šličiai, didelių tangentinių apkrovų ir
paviršiaus įšilimo);
– vienetiniai nelygumai (dėl jų atsiranda paviršiaus bangos);
– vėžės paviršiuje (atsiranda veikiant didelėms transporto apkrovoms).
Panagrinėsime kelio dangoje bangų ir vėžių susidarymo procesą.
Riedant transporto priemonės (TP) ratui kelio dangos paviršiumi,
rato padangos kontakto su paviršiumi vietoje atsiranda normalinis p n
ir tangentinis p t slėgiai (4.1 pav.). Šių slėgių pasiskirstymas kontakto
plote priklauso nuo oro slėgio padangoje, nuo rato funkcijos (varantysis
ar varomasis ratas), ar ratas stabdomas.
108

a) b)
c) d)
e) f)
4.1 pav. Transporto priemonės rato padangos deformacijos schemos
ir slėgiai, veikiantys kontakto metu:
a – normalinis slėgis, kai padangoje mažas slėgis; b – normalinis slėgis
į kelio dangą, kai padangoje nominalus slėgis; c – varančiojo rato padangos
normalinis slėgis; d – varančiojo rato tangentinis slėgis; e – varomojo rato
kontakto plotas; f – varančiojo rato kontakto plotas.
Veikiant normaliniam ir tangentiniam slėgiui, kelio danga deformuojasi.
Periodiškai apkraunant kelio dangą tokiais slėgiais, joje atsiranda
liekamieji tangentiniai ir normaliniai įtempimai. Dėl šių įtempimų
kelio dangoje atsiranda liekamosios tangentinės ir normalinės
deformacijos. Veikiant tangentiniams įtempimams kelio dangos medžiaga
pasislenka transporto priemonės judėjimo kryptimi ir susidaro
skersinės bangos (4.2 a pav.).
Rato su kelio danga kontakto plote veikia normalinis slėgis, dėl
kurio dangoje susidaro tangentiniai įtempimai, kurie išstumia kelio
dangos medžiagą statmena judėjimo kryptimi (4.2 b pav.).
109

Ratas užvažiuoja ant susidariusios kelio dangos paviršiuje bangos,
ją deformuoja ir ji išnyksta. Kiekvienai TP pravažiavus kelio
dangos paviršiuje, statmenai judėjimo kryptimi, atsiranda liekamosios
deformacijos. TP pravažiuojant tuo pačiu kelio dangos paviršiumi,
mažėja dangos sluoksnis ir susidaro liekamosios deformacijos vėžių
pavidalu (4.2 b pav.). Vadinasi, nuo TP rato normalinio slėgio į kelio
dangos paviršių gali susidaryti vėžės.
Veikiant dideliam normaliniam slėgiui ir stabdant ratą, rato ir kelio
dangos paviršiaus kontakto plote atsiranda dideli tangentiniai slėgiai.
Dėl jų veikimo gali atsirasti šlitis tarp dangos sluoksnių (4.2 c pav.).
a) b) c)
4.2 pav. Kelio dangos šlitis veikiant TP rato normaliniams p n
ir tangentiniams p τ slėgiams: a – rato stabdymas; b – provėžų susidarymas;
c – dangos sluoksnių šlitis
Vasaros laikotarpio maksimalios ir minimalios kelio dangos temperatūros
parodytos 4.3 pav.
4.3 pav. Minimalios ir maksimalios asfaltbetonio dangos temperatūros
110

Automobilių kelio paviršius, kad ir labai gero kelio, nėra idealiai
lygus. Laikui bėgant kelias dėvisi, kelio nelygumai didėja. Kelio paviršiaus
nusidėvėjimas ir irimas priklauso nuo kelio paviršiaus būklės
ir kokybės, temperatūros pokyčių, kelio sankasos kokybės ir transporto
srautų poveikio kelio paviršiui. Visi šie faktoriai veikia nevienodai,
skirtingais laiko momentais, todėl automobilių kelių paviršiaus
nelygumai turi stochastinį (atsitiktinį) pobūdį. Kelio paviršiaus nelygumus,
stochastinius dydžius galima aprašyti tokiais parametrais: vidutiniu
kvadratiniu dydžiu; tikimybės tankio funkcija; autokoreliacine
funkcija; spektriniu tankiu.
Automobilių kelių klasifikacija pagal kategorijas ir reikšmes pateikta
4.1 lentelėje.
4.1 lentelė. Automobilių kelių klasifikacija pagal kategorijas ir reikšmes
(http://e-stud.vgtu.lt/files/dest/2642/skersiniai%20profiliai.pdf)
Kelio paviršiaus nelygumus galima aprašyti funkcija (4.4 pav.):
z
= z( xy , ),
111

t. y. funkcija dviejų nepriklausomų kintamųjų: x – ilgis, y – plotis.
Bendruoju atveju funkcija z(x,y) – nestacionari, t. y. kelio nelygumai
keičiasi kelio eksploatacijos metu. Nagrinėjant kelio paviršių pagal
kelio tipą (asfaltuotas kelias, betoninis kelias, grindinys, žvirkelis ir
kt.), galima neįvertinti kelio nelygumų kitimo laike (kelio nelygumai
kinta lėtai). Tuomet kelio nelygumų funkciją z(x,y) galima apytiksliai
nagrinėti kaip stacionarią, stochastinę, pagal normalinį skirstinį
pasiskirčiusią, ergodinę su nuline vidutine reikšme funkciją. Tokią
funkciją visiškai apibrėžia dvimatė koreliacinė funkcija:
R
ξη , lim 1 ∫ ∫ z x, yzx ( ξ, y η)
dxdy .
4xy
x→∞
y→∞
x
( )= ( ) + +
y
−x
− y
4.4 pav. Automobilių kelio nelygumų funkcija z(x, y)
Išmatuoti kelio nelygumus dviejų koordinačių (x, y) kryptimis
yra sunku ir paskaičiuoti dviejų kintamųjų koreliacinę funkciją yra
imlus procesas. Todėl šią problemą galima suspaprastinti. Kadangi
mus domina kelio charakteristikos išilgine ir skersine kryptimis, kurios
sukelia TP ratų, kėbulo ir keleivių svyravimus, todėl galima nustatyti
tik tas kelio stochastines charakteristikas, kurios sukelia TP
virpesius. Darant tokias prielaidas, kelio nelygumus galima nagrinėti
112

dviem stochastinėmis funkcijomis: z(x) – nelygumų aukštis kelio išilgine
kryptimi ir kelio skerspjūvio pasvirimo kampas ψ( x). TP judėjimas
keliu bus charakterizuojamas tokiais dydžiais:
1
1
z(x) = ( zk
( x)+ zd
( x)
); ψ(x) = ( zk ( x)+ zd ( x)
), (4.1)
2
b
čia zk
( x) , zd
( x)
– kelio profilis po kairiuoju ir dešiniuoju TP ratais,
atitinkamai; b – atstumas tarp TP ratų.
Statistiškai aprašyti kelio nelygumus reikia žinoti dvi koreliacines
funkcijas:
R
z
1
()= l lim ∫
L z ( x ) z ( x + ldl ) ;
L→∞
L
0
1
Rψ ()= l lim ∫ ψ( x) ψ( x+
ldl )
L
L→∞
arba du spektrinius tankius:
∞
L
0
(4.2)
2
Sz( Ω)= ∫ Rz( x)
cos( Ωx) dx ;
π 0
2
∞
Sψ( Ω)= ∫ Rψ( x)
cos( Ωx) dx , (4.3)
π 0
Ω= – 2π kelio nelygumų dažnis (ciklas / m), Ω= 2π , L h – kelio bangos
L h
L h
harmoninė dedamoji, L – kelio ilgis.
Šios charakteristikos ( R z ( τ), R ψ ( τ) arba S z ( Ω), S ψ ( Ω)) visiškai
apibrėžia kelio statistines charakteristikas.
Dažnai naudojama normuota ir tarpusavio normuota koreliacinės
funkcijos:
Rz
( τ)
Rz
( τ)
rz
( τ)=
Rz
( ) = Rψ
( τ)
Rψ
( τ)
; rψ
( τ)=
0 Dz
Rψ
( ) = , (4.4)
0 Dψ
Rzψ
( τ)
Rzψ
( τ)
rzψ
( τ)=
R ( ) R ( ) = .
0 0 DD z ψ
z
ψ
Koreliacinės funkcijos (4.2) ir spektriniai tankiai (4.3) yra kelio
profilio charakteristikos, kurios sukelia TP virpesius. Aprašant kelio
113

nelygumų poveikį TP judėjimui įvairiu greičiu, būtina kelio profilio
stochastines charakteristikas, kurios priklauso nuo išilginės koordinatės,
pereiti prie laiko funkcijų. Koreliacinei funkcijai x ir l pakeičiami
tokiais dydžiais:
x
= vt , l = vτ, (4.5)
čia v – TP judėjimo greitis; t – laikas; τ – laiko argumentas.
Tada korelicinės funkcijos (4.2) bus lygios:
1
L
Rz
( τ)= lim ∫ z( vt) z( vt + τ)
dτ
;
L
čia λ= 1 l
L→∞
0
R ( ψ τ)= 1
lim ∫ vt vt d
L
ψ( ) ψ( + τ)
τ . (4.6)
L→∞
L
0
Ryšis erdvinių koordinačių ir laiko yra:
v
v
f = =λ v ; ω= 2π = 2πf
= Ω v,
l
l
– kelio nelygumų dažnis, 1/m.
Tegu duota kelio profilio spektrinis tankis:
S
z
( λ)=
Aλ
− N
,
tada šį spektrinį tankį užrašysime kaip laiko funkciją:
S ( f )= cf
z
N
−1 ; S
z
( ω)=
Dω
−N
čia C = Av N −1 ; D Av N −1 N −1
2π .
= ( )
Automobilių kelių nelygumus (kelio paviršiaus kokybę) galima
įvertinti pagal nelygumų spektrinį tankį:
2
2 ⎛ L −2πiΩx
⎞
Sz
( Ω)= lim ⎜ ∫ z( x)
e dx⎟
, (4.7)
x→∞
L ⎝ 0
⎠
,
114

čia S z ( Ω) – kelio profilio spektrinis tankis, ( m 3 / ciklas ) ; Ω= – 2π kelio
nelygumų dažnis, ( ciklas / m ); L – kelio ilgis, m; z
L
( x) – kelio nelygumų
aukštis, m.
h
Automobilių kelių nelygumus galima įvertinti pagal kelio profilio
spektrinį tankį S z ( Ω) (ISO standartas1982). 4.2 lentelėje pateikta automobilių
kelių kokybė įvertinant nelygumų spektrinį tankį.
4.2 lentelė. Automobilių kelių nelygumų spektrinis tankis pagal ISO
Automobilių kelių nelygumų spektrinis tankis S z ( Ω)× 10 −6
Kelio būklė Intervalas Geometrinis vidurkis
A (labai geras)

Grindinys
Gruntinis
kelias
Periodiškai
greiderio
lyginamas
kelias
Skreperio
lygintas
kelias
Blogos
kokybės
gruntinis
kelias
Nepagerintas
kaimo
kelias
900
3200
2,5–3,28
1,35–
2,29
r () l
3
= e
−
045 , l
500 6,34 −008 , l −015
, l
r () l = 06 , e + 04 , e cos( 0, 125l)
350
200
350
200
5,6
7,4
4
016 , l
r5
() l = e
−
−012l
0 02 l
r6
() l 065 , e , −
= + 0, 35e , cos( 018 , l)
4,15
011 , l
5,2 r7
() l = e
−
200 8,7 −017l
0 05 l
r () l 065 , e , −
= + 0, 35e , cos( 015 , l)
80–
120
8
4.3 lentelės pabaiga
15–25 r9 () l = e −α cos( βl)
α= 0, 014 ÷ 011 , ; β= 0, 025 ÷ 014 ,
l
Kitas parametras, kuris įvertina kelio nekygumus, yra IRI indeksas
(International Roughness Index) (ASTM). IRI indeksas matuojamas
ilgio vienetais: mm/m, m/km. Jis gerai koreliuoja su TP keleivių pagreičiais
(komforto kriterijus) ir rato padangos apkrovimu (TP valdymas).
Įvairių šalių automobilių keliai turi skirtingus paramaterus, tačiau, panaudojant
IRI indeksus, įvairių šalių tyrėjai gali tarpusavyje lyginti automobilių
kelių kokybę. IRI – universalus, labai paplitęs parametras,
charakterizuojantis kelio būklę ir TP judėjimo charakteristikas.
Norint išmatuoti IRI indeksą, nagrinėjamas ketvirtis TP dinaminis
modelis (dar vadinamas „auksiniu automobiliu“ „golden car“
(4.5 pav.), kurio parametrai parodyti 4.3 lentelėje. „Auksinio automobilio“
dinaminį modelį sudaro: m 1 – automobilio rato ir ašies masė, kg;
m 2 – ketvirčio automobilio kėbulo masė, kg; k 1 – padangos standumo
koeficientas, N/m; k 2 – pakabos standumo koeficientas, N/m; – pakabos
slopinimo koeficientas. Matuojamu keliu TP važiuoja 80 km/val.
greičiu ir matuojami masės m 1 ir masės m 2 pagreičiai, kelio paviršiaus
116

išilginė koordinatė, važiavimo greitis. Skaičiuojant IRI indeksą padangos
ir kelio kontakto ilgis yra lygus Lk=0,250 m .
Matematiškai IRI indeksas skaičiuojamas taip:
Lv /
1
IRI = ∫ q2 −q1dt
, (4.8)
L 0
čia IRI indeksas, matuojams m/km; q1, q2
– pirmos ir antros masės
greičiai; v – judėjimo greitis, v=80 km/val.; L – matuojamo kelio ilgis,
km.
4.5 pav. Ketvirčio automobilio („auksinio automobilio“) dinaminis modelis
4.4 lentelė. Ketvirčio automobilio („auksinio automobilio“) parametrai
Parametrai Reikšmė Vienetas
k2 / m2 = b
63,3
2
1/ s
k1 / m2 = b1
653,0 2
1/ s
c2 / m2 = b3
6,0 1/ s
m1 / m2
=µ 0,15 –
c 1
0 kg / s
„Auksinio automobilio“ judėjimo lygčių sistema yra:
2
117

⎡m
⎢
⎣ 0
1
0 ⎤ q1
c c c
m
⎥ ⎧ ⎫ ⎡ + −
⎨ ⎬⎭ +
2 ⎦ ⎩ q
⎢
2 ⎣ −c2 c2
1 2 2
⎤ q1
⎥ ⎧ ⎫
⎨ ⎬⎭ +
⎦ ⎩ q
2
⎡k + k −k
⎢
⎣ −k2 k2
1 2 2
⎤ q1
kz 1
⎥ ⎧ ⎫
⎨ ⎬⎭ = ⎧ ⎫
⎨ ⎬⎭
⎦ ⎩ q2
⎩ 0
(4.9a)
arba
b1 b2 b2
⎧q1
⎫ ⎡ 0 0⎤
q
1
⎨ ⎬ +
q
⎢
⎩ 2 ⎭ − b3 b
⎥ ⎧ ⎡ + ⎤ ⎧b1
⎫
⎫
⎨ ⎬⎭ +
⎢ −
µ µ
⎥ ⎧q1
⎫ ⎪ z ⎪
⎣ 3⎦
⎩ q
⎢
⎥ ⎨ ⎬ = ⎨ µ ⎬ . (4.9b)
2
⎣⎢
−b2 b2
⎦⎥
⎩q2
⎭ ⎪ ⎪
⎩ 0 ⎭
( ) yra filtruojamas. Kai
Matuojamas kelio nelygumų aukštis z x
išmatuotas kelio nelygumų aukštis yra diskretinis, t. y. aukštis zi( xi)
matuotas tam tikruose kelio taškuose x i , tai sulygintas kelio profilio
aukštis yra lygus:
1 i+ NK −1
zx ( i) = ∑ zx ( j)
, (4.10)
NK
j=
i
čia NK – taškų skaičius, kuriuose skaičiuojama nelygumų aukščio
vidutinė reikšmė.
Apytikslės IRI indekso reikšmės priklausomai nuo kelio tipo pateiktos
4.5 lentelėje.
4.5 lentelė. IRI indekso reikšmė
IRI indekso ribos,
Kelio tipas
mm/m
Važiavimo greičio ribos,
km/val
Oro uosto kelio danga 0–2 >100
Nauja kelio danga 1–3 90–110
Sena kelio danga 2–6 80–100
Neasfaltuotas kelias 3–10 60–90
Prastos kokybė asfaltuotas
kelias
4–11 55–90
Nelygus neasfaltuotas kelias 8–20 30–70
118

4.2. Automobilio kelių nelygumų generavimo būdai
Nagrinėjant stochastines dinamines sistemas, kurios bendru atveju
yra netiesinės, veikiant stochastiniams sužadinimams reikia mokėti
generuoti stochastinius signalus (poveikius į dinaminę sistemą), kai
yra žinomos statistinės charakteristikos. Tam tikslui galima panaudoti
algoritmus, kurie remiasi nepriklausomų skaičių sekos ξ[ n] tiesine
transformacija, kai sekos skaičiai dažniausiai pasiskirsto pagal normalinį
arba tolydinį skirstinį (diskretinis baltas triukšmas), į seką f [ n]
koreliuojantį pagal dėsnį:
R n M f k f k n = R ( nh), n = 012 ,, ,..., (4.11)
ff
{ }
[ ]= [ ] [ = ]
119
ff
čia h – nepriklausomo kintamojo t diskretizacijos žingsnis.
Toliau norint gauti reikiamą f [ n] dėsnį naudojama neinercinė
netiesinė transformacija. Labiausiai paplitusioms koreliacinėms funkcijoms
sudaryti efektyvūs diskretinio modeliavimo algoritmai, kurie
turi tokį pavidalą:
f [ n]= a0ξ[ n]+ a1ξ[ n−1]+ ... + alξ[ n−
l]−
bf[ n−1]−b f [ n−2]−... −b f [ n−
m]=
(4.12)
1 2
l
m
k= 0
k
k=
1
k
∑ a ξ[ n−k]− ∑b f n−k
[ ]
m
Nagrinėjant transporto priemonių (TP) dinamiką reikia vertinti
sudėtingą rato ir paviršiaus sąveiką (4.6 pav.): padanga arba vikšrinė
važiuoklė sulygina pradinį stochastinį kelio paviršių, kuris, veikiamas
jėgų, veikiančių kontakte, deformuojasi. Mažai deformuojantiems
gruntams galima vertinti tik padangos ar vikšrinės važiuoklės lyginamąsias
savybes.
Padangos lyginamųjų savybių efektas pasireiškia tuo, kad aukšto
dažnio paviršiaus dedamosios (harmonikos) nevertinamos.
Kelio paviršiaus mikroprofilio aukštis po padanga lygus:
x
1 max
z( x)= ∫ z( ξ)
dξ, (4.13)
L
k xmin
.

čia L k – kontakto ilgis; xmin = x − 2 ; xmax = x + 2 .
L k
L k
L
4.6 pav. Padangos sąveika su kelio paviršiumi
x
Kai TP juda v greičiu, įvertinę, kad t = , išraišką (11) galime
v
užrašyti:
t
1 max
z()= t ∫ z()
t dt, (4.14)
Lk tmin
Lk
čia tmin = t − 2 v
; t t Lk
max = + 2 v
.
Padangos lyginamosios savybės gali nuslopinti aukšto dažnio kelio
profilio virpesius iki tam tikro ribinio dažnio:
ω
rib
2π 2π 2πv
= = = . (4.15)
T L v L
k
k
Iš (4.15) išraiškos matome, kad ribinis dažnis tiesiog proporcingas
judėjimo greičiui ir atvirkščiai proporcingas kontakto ilgiui. Kai
L k → 0 (kontaktas – taškas), ribinis dažnis ω→∞ , t. y. padanga praleidžia
visus stochastinio proceso qt () dažnius. Didėjant kontakto ilgiui
L k , ribinis dažnis mažėja, t. y. stochastinio proceso S q ( ω) vis
didesnė aukšto dažnio dalis yra slopinama.
120

Kelio paviršiaus mikroprofilio aukštis po padanga diskretiniu
atveju yra lygus:
1 n+
k
z( n)= ∑ z()
l , n= k + 1, k + 2,..., N −k
, (4.16)
nl
l= n−k
čia k = 1 nl ; nl – taškų skaičius kontakte ( Lk nl h
2
= * , h – diskretizacijos
žingsnis).
Padanaga nėra tokia elastinga, kad užpildytų kiekvieną kelio
profilio įdubimą. Todel kelio nelygumų aukštis apskaičiuotas pagal
(4.1.12) formulę yra apytikslis. Žinodami kelio nelygumų statistines
charakteristikas (autokoreliacinė funkcija, spektrinis tankis) galime
sužinoti, kaip šios charakteristikos pasikeis įvertinus padangos savybę
lyginti kelio nelygumus.
Išdiferncijuosime (4.1.12) išraišką pagal išilginę koordinatę:
d
dl z l z l 1 ⎡ ⎛ Lk
⎞ Lk
p()= ′
p()= z l+
z l
L
⎜ ⎟
k ⎝ ⎠
− ⎛
⎢
⎜
⎝
−
⎣ 2 2
⎞⎤
⎟⎥
. (4.17)
⎠⎦
Autokoreliacinė funkcija šios verikalių nelygumų išvestinės yra lygi:
R
zp ′
⎡ ⎛ Lk ⎞ Lk Lk
( l)= z⎜l+
⎟ z l z l
L→∞
LL ⎝ ⎠
− ⎛
⎜
⎝
− ⎞⎤
∆ lim 1 L
⎡ ⎛ ⎞ Lk
⎢
⎟⎥ + + ∆l
z l ∆ dl
2
⎣ 2 2
⎜
⎠⎦
⎝ 2
⎟
⎠
− ⎛
⎜
⎝
− + ⎞⎤
∫
⎢
⎟⎥
,
0
⎣
2 ⎠⎦
k
(4.18)
čia L – kelio ilgis.
Suintegravę kiekvieną narį atskirai, gauname:
R
zp ′
⎧L
⎛ Lk
⎞ ⎛ Lk
⎞
( ∆l)= lim 1 ⎨∫
z⎜l+
⎟ z⎜l+ + ∆l⎟dl
−
L→∞
2
LL ⎩a
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
k
L
⎛ L ⎞
z⎜l−
⎝ ⎠
⎟ ⎛
⎜
⎝
+ L
+ ⎞
⎠
⎟ − L
k
⎛
⎜
⎝
+ ⎞
⎠
⎟ ⎛
∫ z l
k
Lk
l dl ∫z l z l
⎝
− Lk
+ ⎞
∆
∆l
2 2 2
⎜
2
⎟ dl +
⎠
0 0
L
⎛ Lk
⎞
+ ⎜ −
⎝ ⎠
⎟ ⎛
⎜
⎝
− L
+ ⎞
∫ z l z l
k
∆ l⎟dl. (4.19)
2 2 ⎠
0
121

Nagrinėjant stacionarę stochastinę funkciją, perkeliant koordinačių
pradžią, pati autokoreliacinė funkcija nesikeičia. Todėl išraiškos
(4.19) pirmas ir ketvirtas integralai yra kelio profilio autokoreliacinės
funkcijos:
1
L
k
k
k
lim
lim
L L z ⎛
l L ⎞ L z l l dl
→∞ L→∞ L z l L
⎜ +
⎝ ⎠
⎟ ⎛
⎜
⎝
+ + ⎞
⎠
⎟ + 1
L
⎛
∫
2 2
⎜
⎝
− ⎞
∆
0
2 ⎠
⎟ ⎛
⎜
⎝
− Lk
+ ⎞
∫ z l ∆l⎟ dl =
0
2 ⎠
1
L
2 lim ∫ ()( + ) = 2 ( )
L→∞
L z l z l ∆ l dl R ∆ .
z
(4.20)
0
Išraiškoje (4.19) antrą ir trečią narius galima supaprastinti:
lim
L→∞
1
L
k
k
L z ⎛
l L ⎞ ⎛ L
∫ ⎜ − z ⎜ l
0 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2
⎟ + + ⎞
∆l⎟ dl =
⎠
1
L
k
lim
L L z ⎛
l L ⎞ ⎡⎛
L
= ∫ ⎜ −
→∞ ⎝ 2
⎟z⎢
l−
⎠ ⎜
⎣⎢
⎝
lim
L→∞
k
0 2
1
L
k
L z ⎛
l L
∫ ⎜ +
0 ⎝
⎞
⎟ + ( + )
⎤
Lk ∆l ⎥ dl = Rq( ∆l+
Lk
)
⎠ ⎦⎥
(4.21)
⎞ Lk
z l l dl Rz
l Lk
⎠
⎟ ⎛
⎜
⎝
− + ⎞
∆ ⎟ = ( ∆ − ). (4.22)
2 2 ⎠
Įstatę visus rezultatus (4.20), (4.21), (4.22) į (4.19), gausime padangos
sulygintų kelio vertikalių nelygumų išvestinės autokoreliacinę
funkciją:
2Rz( ∆l)− Rz( ∆l+
Lk)−Rz( ∆l−Lk
)
Rz
( ∆l)=
. (4.23)
p′ 2
Lk
Norėdami nustatyti padangos sulygintų kelio vertikalių nelygumų
išvestinės spektrinį tankį, pasinaudosime pagrindine priklausomybe
tarp spektrinio tankio ir autokoreliacinės funkcijos:
Sz ′ λ, Lk 2∫
Rz
′ ∆l cos λ∆l d ∆ l , (4.24)
p
∞
( )= ( ) ( ) ( )
0
p
čia λ – bangos dažnis.
Kai kelio profilio nelygumai registruojami kaip laiko funkcija
z(), t spektrinis tankis priklauso nuo bangos kampinių dažnių ω .
122

Ryšis tarp bagos dažnio ir dažnio f, yra f =λ v a , v a – TP judėjimo
greitis.
Įstatę (4.24) išraišką į (4.19), gauname:
S
∞
∫
0
'
zp
2 ⎧∞
∞
λ, Lk
∫2Rz l cos λ l d l ∫ Rz( l Lk
) cos( λ l)
d
2 ⎨ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆l
−
L ⎩ 0 0
( )= ( ) ( ) − +
k
( ) ( ) }
Rz
∆l−
Lk
cos λ ∆ ld∆l
.
(4.25)
Paskutinis narys (4.25) išraiškoje yra nesulyginto kelio nelygumų
spektrinis tankis, t. y.
∞
∫ 2Rz( ∆l) cos( λ∆l) d( ∆l)= Sz( λ )
. (4.26)
0
Įvedus pagalbinį pakeitimą
∆l 1 = ∆l+
L k
antras narys (4.26) išraiškoje yra lygus:
∞
( ) ( ) = ( ) ( − ) =
J2
= ∫ Rz ∆l+
Lk cos λ∆l d∆l ∫ Rz ∆l cos λ(
∆l Lk
d∆l
∞
0
0 0
∫ Rz( ∆l1) cos ( λ( ∆l1−
Lk) cos( λLk
) d∆l1
+
∞
∫ Rz( ∆l1) cos ( λ∆l1)cos(
λLk) d∆l1
+
0
∞
∫ z( 1) ( 1) ( k)
1
0
∞
1 1 1
R ∆l sin λ∆l sin λ L d∆l
. (4.27)
Įvertinus (4.24) išraišką, galutinė (4.27) išraiškos forma:
L k
1
J2
Sz λ cos( λLk) ∫ Rz
∆l cos λ∆l cos( λ∆l ) d∆l
2
∞
= ( ) − ( ) ( ) −
0
1 1 1 1
∫ Rz ∆l1 sin λ∆l1)sin( λLk d∆l1
∫ Rz ∆l1 sin λ∆l1
sin λ Lk)d∆l
1 .
0
( ) ( ) + ( ) ( ) (
∞
0
123

Išraiškoje (4.26) trečiasis narys, pakeitus L k a į −L k , yra lygus:
−L
1
k
J3
Sz λ cos( λLk) ∫ Rz
∆l cos λ∆l cos( λLk
) d∆l
2
−Lk
∫
= ( ) − ( ) ( ) +
0
( ) ( ) − ( ) ( ) ( )
Rz
∆l sin λ∆l)sin( λLk d∆l ∫ Rz ∆l sin λ∆l sin λLk
d∆l .
0 0
Sudėję J 2 ir J 3 integralus, gausime:
J J S λ cos( λL
) . (4.28)
+ = ( )
2 3
z
k
Įstatę (4.27) ir (4.28) išraiškas į (4.26), gausime:
S
'
zp
∞
2
λ, Lk
L S z λ ( 1 cos( λ L k)
). (4.29)
2
( )= ( ) −
k
Žinoma, kad stacionarinė stochastinė funkcija su normaliniu
skirstiniu, o tokia funkcija yra kelio mikroprofilio nelygumai,
funkcijos ir jos išvestinės spektriniai tankia skiriasi tik daugikliu, kuris
lygus dažnio kvadratui λ 2 , t. y.
S
zp
2
λ, Lk
Sz
λ 1 cos( λLk)
L λ
( )= ( )( − )
Kai L k → 0 , tada
lim S λ,
L S λ .
L→∞
zp
k z
2 2
.
k
( )= ( )
, (4.30)
Iš (4.30) išraiškos plaukia, kad padangos sulyginto kelio profilio
nelygumų spektrinis tankis nepriklauso nuo TP važiavimo greičio.
Spektrinį tankį galima išreikšti per apskritiminį dažnį f, ( 1/ s )
arba kampinį dažnį ω ,
tada
f
=λ v a ir ω= 2πλv a , (4.31)
124

S
S
z
z
2va
⎛ f
f, Lk
Sz
f cos(
L f
v L ⎞
⎜1
k )
2 2 ⎟ ; (4.32)
⎝ a ⎠
( )= ( ) −
k
2
8π
va
⎛ ω
ω Lk
Sz
ω
L
v L ⎞
, ⎜1
cos( k ) ⎟ . (4.33)
2 2
ω ⎝ 2π
a ⎠
( )= ( ) −
k
2 2
Padangos ir kelio kontakto ploto ilgį L k
apytiksliai galima nustatyti:
L 2 aH D − aH , (4.34)
k =
( )
čia a – parametras, kinta intervale, a = 01 , ... 011 , ; D – padangos
išorinis skersmuo; H – padangos profilio aukštis.
Diskretinio modeliavimo algoritmai naudojant skirtingas autokoreliacines
funkcijas parodyti 4.6 lentelėje.
1
iωτ
4.6 lentelė. Autokoreliacinės funkcijos Rff
( τ)= ∫ Sff
( ω)
e dω
2π
Eilės
Nr.
Autokoreliacinė funkcija
R τ ( )
∞
−∞
Modeliavimo algoritmas
Rekurentinė išraiška:
[ ]= [ ]+ [ − ]
f n a ξ n bf n
0 1 1
1
De −α τ
2
čia a 0 = σ 1−ρ ; b 1 =ρ; ρ
= e −γ ;
γ = αh ; σ= D .
h – diskretizacijos žingsnis nepriklausomo
kintamojo t
125

2
De − ατ
cos( βτ)
4.6 lentelės tęsinys
Rekurentinė išraiška:
[ ]= [ ]+ [ − ]
f n a ξ n bf n
0 1 1
( )
čia a = σc= σ c ± c −4c
/ 2 ;
0 1 1 0 2
a1 =σ c0
/ c ; b 1 2ρcos γ 0 ;
b 2
2
= ( )
( ) ( 0 )
2
=−ρ ; c 0 = ρρ −1 cos γ ;
ρ = e −γ
4
; c 1 = 1−ρ ; γ = αh ;
λ0 = β h ; σ= D .
h – diskretizacijos žingsnis nepriklausomo
3
De − cos( βτ)+
α
β
kintamojo t
Rekurentinė išraiška:
f [ n]= a0ξ[ n]+ bf 1 [ n −1]
čia a0 c c1 c1 c0 2
a1 c0
c 2ρ
γ
2
b 2 =−ρ ;
(
2
c 0 = ρρ ( −1) cos( γ0
)+
sin ( βτ) ⎞ α 2
( 1+
ρ ) ρsin [ γ
⎠ ⎟ 0 ];
β
ατ
( )
= σ = σ ± −4 / 2 ;
=σ / ; b 1 cos 0 ;
4
c 1 1
= ( )
( ) ( );
= − ρ + 4ρ 2 α sin γ0 cos γ0
β
ρ = e −γ ; γ = αh ; λ0 = β h ;
σ= D .
h – diskretizacijos žingsnis nepriklausomo
kintamojo t
126

4
Rekurentinė išraiška:
f [ n]= a0ξ[ n]+ a1ξ
n−
bf 1 [ n−1]+ b2f [ n−2]
a1 c0
c 2ρ
2
(
b 2 =−ρ ;
2
c 0 = ρρ −1 cos γ0
sin ( βτ) ⎞ ⎠ ⎟ 2
ατ
De − cos( βτ)−
α
β
[ 1]+
( )
čia a = σc= σ c ± c −4c
/ 2 ;
0 1 1 0 2
=σ / ; b 1 cos γ 0 ;
α
β
4
c 1 1
= ( )
( ) ( )−
( 1+
ρ ) ρsin ( γ0
);
4.6 lentelės tęsinys
( ) ( );
= − ρ + 4ρ 2 α sin γ0 cos γ0
β
ρ = e −γ ; γ = αh ; λ0 = β h ;
σ= D .
h – diskretizacijos žingsnis nepriklausomo
kintamojo t
Rekurentinė išraiška:
p
f [ n]= ∑ ckξ[ n−k]
,
k=
0
( )
sin ατ
5 D
ατ
σ 2γ
−2γ
k
čia ck
= e
2 2 1
, γ ≤ ;
4
π
2
γ
= αh ; σ= D .
h – diskretizacijos žingsnis nepriklausomo
kintamojo t
127

6
⎧
⎪
D 1−
ατ , kai τ
⎨
⎪
1
0 kai τ >
⎩
α
( ) ≤
1
α
4.6 lentelės pabaiga
Rekurentinė išraiška:
p
f [ n]= c ∑ ξ [ n−k]
,
čia c0
=
N = ⎡ ⎣ ⎢ 1 ⎤ γ ⎦ ⎥ +
1
0
k=
0
σ
N e
−2γ
2 k
2
;
; γ = αh ; σ= D .
h – diskretizacijos žingsnis nepriklausomo
kintamojo
1 pavyzdys. Nagrinėjamas betonis kelias, kurio nelygumų aukštis
aprašomas autokoreliacine finkcija:
−α τ −α τ
( )= 1 2 + 2 2 ( )
1 2
Rz τ σ e σ e cos βτ ,
−3
−3
kai: σ 1 = 10 ⋅10
m ; σ 2 = 38710 . ⋅ m ; α 1 = 20 ; α2= 15 ; β=60 .
Rato padangos kontakto ilgis L k =0,25 m.
Panaudojant duotą betoninio kelio autokoreliacinę funkcuiją,
sugeneruoto pradinio kelio profilio aukštis z(x) ir sulyginto profilio
aukštis, priklausomai nuo važiavimo greičio, parodyti 4.7 pav., o
aukščio kitimo greitis:
dz dz
dt
= dx dz
dx dt
= dx v ,
parodytas 4.8 pav.
128

a)
b)
c)
4.7 pav. Betoninio kelio ir sulyginto kelio nelygumų aukštis:
a – v=60 km/val.; b – 90 km/val.; c – 200 km/val.
129

a)
b)
c)
4.8 pav. Betoninio kelio ir sulyginto kelio nelygumų aukščio kitimo greitis:
a – v=60 km/val.; b – 90 km/val.; c – 200 km/val.
130

Vienas iš galimų kelio nelygumų spektrinis tankis (kelias yra
grindinys) gali būti ( 4.9 pav.):
S
q i
=
4 2 3 5
183, 21 ω v− 545, 2 ω v + 413,
2 v
, (4.35)
6 4 2 2 3
ω + 9, 004 ω v − 38, 15 ω v + 27,
17 v
6
čia v – judėjimo greitis, m/s; ω−kaminis dažnis, rad/s.
arba
4.9 pav. Spektrinis tankis: kelias – grindinys
Kitas kelio paviršiaus nelygumų aukščio generavimo būdas gali būti:
z t
()=
⎡
N ⎛ 15 ,
dfv
⎞ ⎤
⎢ π
∑ 2 ⎜ ⎟ ⎥ ( Azs
sin 2 kdft +
⎢
k ⎜
25
⎝ ( kdf ) ⎟ ⎥
( π ψ
,
sk )+ Bzc cos( 2πkdft
+ ψck
)
= 1
⎣⎢
⎠ ⎦⎥
(4.36a)
⎡
N ⎛ 15 ,
dfv
⎞ ⎤
x
z( x)=
⎢ π
⎜ ⎟ ⎥ ⎛ ⎛ ⎞
∑ 2 ( Azs
sin 2πkdf
⎢
k ⎜
25 ,
( kdf ) ⎟ ⎥
⎜ ⎟
= 1
v
⎣⎢
⎝ ⎠
⎝ ⎠
+ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞
⎜
⎟ +
⎜ ⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
+ ⎞
ψsk Bzc cos⎜
2 πkd x ψck
⎟ ,
⎝ v ⎠
⎦⎥
(4.36b)
čia A zs , B zs – amplitudės, m; df – dažnio žingsnis, Hz; ψ sk , ψ ck –
pradinės fazės, N – bendras narių skaičius.
Pradinė fazė – tai atsitiktinis dydis, kuris tolygiai pasiskirstęs intervale
ψ∈−π.. π .
[ ]
131

Pats paprasčiausias būdas sugeneruoti kelio paviršiaus profilį gali
būti:
NH 2π z x Azsk
L kx A 2π ( )= ∑ sin( ) + zck cos(
L kx )
(4.37a)
k=
1
arba
NH 2π z t Azsk
L kvt A 2π ()= ∑ sin( ) + zck cos(
L kvt ), (4.38b)
k=
0
čia A zsk , B zsk
– koeficientai prie sinuso ir kosinuso, atitinkamai, m;
v – judėjimo greitis, m/s; L – kelio makroprofilio periodas; – harmonikų
skaičius.
Turėdami kelio profilio funkciją z( x), sulygintą kelio profilio
aukštį su koordinate x i galime apskaičiuoti:
z x
i
1
L
xi+
Lk
/ 2
( )= ( )
∫
k xi−Lk
/ 2
z x dx . (4.39)
4.3. Geležinkelio nelygumai, jų charakteristikos
ir nelygumų generavimo būdai
Bėgiai yra pagrindinis laikantysis viršutinės bėgių kelio konstrukcijos
elementas. Šis viršutinės bėgių kelio konstrukcijos elementas
yra tiesiogiai veikiamas apkrovų, kurias sukelia riedmenų ratai,
todėl bėgiai turi atlaikyti dideles dinamines apkrovas vertikalia, išilgine
ir skersine kryptimi. Siekiant užtikrinti saugų traukinių eismą, bėgiai
turi būti reikiamo stiprumo ir atsparūs dilimui. Bėgiai negali būti
eksploatuojami, jei juose atsiranda defektų, keliančių pavojų saugiam
traukinių eismui [11].
Bėgių defektai klasifikuojami pagal jų rūšį, vietą, pagal bėgio
aukštį ir ilgį, pagrindinę defekto atsiradimo priežastį, o esant defektui
suvirinimo siūlėje – pagal suvirinimo būdą.
Bėgių nuodyla – tai bėgių galvutės nudilimas, atsirandantis dėl
riedmenų ratų ir bėgio galvutės sąveikos [12] (4.10 pav.).
132

Vagonui stabdant arba pagreitėjant, kai aširatis praslysta bėgių
paviršiumi, aširatyje ir bėgio paviršiuje atsiranda iščiuožų (4.11 pav.).
4.10 pav. Bėgių defektai
Nagrinėjant vagono judėjimo dinamiką labai svarbu vertinti bėgių
nelygumus išilgine, skersine kryptimis, lokalinius nelygumus (bėgių
suvirinta vieta, bėgių sandūra ir kt.) ir aširačių paviršiaus nelygumus.
Dažniausiai pasitaikantys bėgių nelygumai ir jų matematinės išraiškos
parodytos 4.7 ir 4.8 lentelėse.
4.11 pav. Aširačio defektas (iščiuoža)
133

4.7 lentelė. Bėgių nelygumai ir jų matematinės išraiškos
1
Tipas Lygtis Forma
Jokių pažeidimų
Nulis
__________________
2
Plokštuma
ant rato
d ⎛ ⎛ x⎞⎞
f ( x)= ⎜ − ⎜ ⎟⎟
2 ⎝
1 2π
cos
⎝ L ⎠⎠
3
4
Sinusinis
d ⎛ 2πx⎞
gofruotumas f ( x)=
sin ⎜ ⎟
2 ⎝ L ⎠
Įlinkęs
⎛ ⎛ 2πx
⎞⎞
sujungimas f ( x)= d ⎜1±
cos⎜
⎟⎟
⎝ ⎝ L ⎠⎠
5
6
7
8
Įdubęs
suvirinimas
Iškilęs suvirinimas
Atsitiktinio
profilio rato
paviršiaus
kontūras
Atsitiktinio
profilio bėgio
paviršius
d ⎛ ⎛ x⎞⎞
f ( x)= ⎜ − ⎜ ⎟⎟
2 ⎝
1 2π
cos
⎝ L ⎠⎠
d ⎛ ⎛ x⎞⎞
f ( x)= ⎜ − ⎜ ⎟⎟
2 ⎝
1 2π
cos
⎝ L ⎠⎠
Turi būti nustatytos rato paviršiaus
x ir y koordinatės
Turi būti nustatytos rato paviršiaus
x ir y koordinatės
Čia f (x) – pažeidimo formos funkcija; x – esamo taško bėgio koordinatė;
d – pažeidimo gylis; L – visas pažeidimo ilgis.
134

4.8 lentelė. Lygtys, naudojamos nudėvėtų ratų plokštumų, bėgių įlinkimui ir
suvirinimo profiliams aprašyti
Modelio
pavadinimas
DARTS
DIFF
Nudėvėtų ratų plokštumas
d ⎛ ⎛ x⎞⎞
z( x)= ⎜ − ⎜ ⎟⎟
2 ⎝
1 2π
cos
⎝ a ⎠⎠
0 < x<
a
d ⎛ ⎛ x⎞⎞
z( x)= ⎜ + ⎜ ⎟⎟
2 ⎝
1 2π
cos
⎝ a ⎠⎠
− a/ 2< x<
a / 2
⎛ ⎛ πx
⎞⎞
z( x)= d ⎜1−cos ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ L ⎠⎠
0< x<
L/
2
⎛ ⎛ πx
⎞⎞
z( x)= d ⎜1+
cos ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ L ⎠⎠
L/
2< x<
L
z x
2 d
L x d L / 2 x 0
2 d
L x d 0 x L / 2
( )= ( )+ − < <
( )=− ( )+ < <
z x
Bėgių įlinkimas ar suvirinti profiliai
NU-
CARS*
SUBTTI
z( x)= d −
z x
x x
⎡
a a
d⎢e + e −2e
⎣
⎢
− −
x
−a3
1 2
a2
−a1
1+ e −2e
a3
−a1
d = 038 , mma ; = 50mm;
a = 5mm
2 1
⎤
⎥
⎦
⎥
d ⎛ x ⎞⎞
x
⎜ ⎜ ⎟⎟ a r ⎝ ⎝ r ⎠⎠
− ⎛ ⎞
cos cos⎜
⎟
1 cos / 2 ⎝ 2r
⎠
( )= − ( )
⎛
− a/ 2< x<
a / 2
r – rato spindulys
Ä L 2 L Ä L 2
⎡ [ − ] 2 −[ − ]
2 2
⎢ −L1
−L1
d⎢e + e −2e
⎢
z( x)= d −
⎣
L2
L2
−L1
− L1
1+
e − 2e
2
L = 1000 mmL ; = 216,
22mm
2 1
z( x)= 00 .
L x < x
m
− 2
L2
−2L1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
2d
⎛
z x
L x x L ⎞ L
( )= ⎜ m
− − ⎟ xm
− < x < x
m
⎝ 2 ⎠ 2
2d
⎛
z x
L x x L ⎞
L
( )= ⎜ −
m
− ⎟ xm
< x< xm
+
⎝ 2 ⎠
2
z( x)= 00 .
L x < x
m
+ 2
TRACK
VICT
d ⎛ ⎛ x⎞⎞
( x)= ⎜ − ⎜ ⎟⎟
2 ⎝
1 2π
cos
⎝ a ⎠⎠
0 < x<
a
d ⎛ ⎛ x⎞⎞
( x)= ⎜ − ⎜ ⎟⎟
2 ⎝
1 2π
cos
⎝ a ⎠⎠
0 < x<
a
135
α L⎛
⎛ πx⎞⎞
z( x)= ⎜1−cos ⎜ ⎟⎟ 2π
⎝ ⎝ L ⎠⎠
0< x<
L/
2
α L⎛
⎛ πx⎞⎞
z( x)= ⎜1−cos ⎜ ⎟⎟ 2π
⎝ ⎝ L ⎠⎠
L/
2< x<
L
α – bėgio įlinkio kampas
d ⎛ ⎛ x⎞⎞
z( x)= ⎜ − ⎜ ⎟⎟
2 ⎝
1 2π
cos
⎝ L ⎠⎠
0 < x<
L
NUCARS nudėvėtų ratų plokštumas yra imamas kaip rato spindulio
variacija. Visi kiti modeliai rato nudėvėjimą aprašo kaip funkciją
nuo kelio nelygumo.

Formulių, pateiktų 4.8 lentelėje, žymėjimai: d – rato nudėvėtos
vietos gylis, sujungimo ar virintos vietos įlinkio gylis; a – nudėvėtos
rato plokštumos ilgis; L – įlinkusio bėgio sudūrimo ar suvirintos įlinkusios
bėgio vietos ilgis.
Kitas būdas tiksliau matematiškai aprašyti aširačių defektus (pažaidas)
yra realųjį aširačių profilį skleisti Furjė eilute. Aširačio spindulys
užrašomas kaip centrinio kampo α funkcija:
R R ( α( ) α= ) = R R – ∆ R ∆R ( α( ) α, )
(4.1.20)
R R R0 R0 R R
čia R R0 – pradinis aširačio spindulys; ∆R R ( α ) – aširačio spindulio
pokytis.
Generuojant aširačio iščiuožas galima nurodyti centrinius kampus
α i ir α i+1 , tarp kurių yra iščiuoža (4.12 pav).
4.12 pav. Aširačio profilis su keliomis iščiuožomis
Aširačio spindulio funkciją R R ( α ) skleidžiame Furjė eilute:
R α A ∑ A sin kα ∑ B cos kα
, (4.40)
R
NH
∞
k
k= 1 k=
1
( )= + ( )+ ( )
0
k
136

čia A0
= 1
2π
∫ f ( α ) dα; Ak f k d
2π
= 1
∫ ( α ) sin( α) α ;
π
0
2π
2π
Bk = 1
∫ f ( α ) cos( kα) dα
; NH – harmonikų skaičius.
π
0
0
4.4. Virpesių poveikis žmogaus organizmui
Virpesių poveikis žmogui visų pirma susijęs su svyravimais, kurie
atsiranda veikiant kintamai jėgai. Tokių svyravimų priežastys gali
būti susijusios ne tik su jėginiu, bet ir kinematiniu žadinimu.
Pagrindiniai virpesių parametrai: svyravimų amplitudė Amm , ,
svyravimų dažnis f, Hz , svyravimų greitis vms , ir svyravimo pagreitis
ams ,
2 .
Pagal svyravimų dažnį virpesiai skirstomi:
– ypač žemo dažnio – iki 11 Hz
– žemo dažnio – nuo 30–250 Hz
– aukšto dažnio – daugiau nei 250 Hz.
Virpesių spektro pobūdis analogiškas triukšmo spektrams.
Įvertinus tai, kad absoliučios parametrų reikšmės kinta labai plačiu
intervalu, vibroakustinių tyrimų praktikoje analogiškai triukšmui naudojamos
parametrų lygio sąvokos.
Pagreičio lygis – tai charakteristika, lyginanti pagreičio vidutinę
kvadratinę reikšmę su pagreičio etalonine reikšme:
avkr
La
= 20lg , (4.41)
a0
čia L a – pagreičio lygis, dB; a vkr – pagreičio vidutinė kvadratinė
reikšmė, m/s 2 −6 2
m/s2; a 0 – pagreičio etaloninė reikšmė, lygi 10 m/s .
Greičio lygis – tai charakteristika, lyginanti greičio vidutinę kvadratinę
reikšmę su greičio etalonine reikšme:
vvkr
Lv
= 20lg , (4.42)
v0
čia L v – greičio lygis, dB; v vkr – greičio vidutinė kvadratinė reikšmė,
−8
m/s; v 0 – greičio etaloninė reikšmė, lygi m/s. v = 510 ⋅ m s .
137
0

Fizikinio dydžio f ()vidutinė t kvadratinė reikšmė laiko intervale
t∈[ t , t ] yra lygi:
1 2
f
vkr
=
t
1
− t
t2
2 1 t1
()
∫ ⎡⎣ f t ⎤ ⎦
2
dt . (4.43)
Pagal atsiradimo šaltinį darbo vietose virpesiai skirstomi į tris kategorijas:
– I – transporto;
– II – transporto-technologinė („a“ tipo, kai žmogus yra veikiamas
vibracijos darbo vietoje prie stacionarių mašinų, „b“ tipo, kai
vibracija veikia žmogų protinio darbo vietose);
– III – technologinė.
Vibracija dar skiriama į:
– viso kūno – kai ji perduodama per stovinčio ar gulinčio žmogaus
atramos paviršius į jo kūną ir veikia organizmą;
– rankas veikianti vibracija – kai vibracija vibruojančių įrenginių
/ priemonių perduodama į rankas.
Pagal veikimo kryptį viso kūno vibracija skirstoma ortogonalinės
koordinačių sistemos ašių kryptimis (4.13 pav.) :
– vertikaliąją nuo kojų galvos link (Z ašis);
– horizontaliąją, einančią nuo nugaros į krūtinę (X ašis);
– horizontaliąją, einančią nuo kūno dešinės pusės į kairę (Y ašis).
138

4.13 pav. Žmogaus kūno vibracijų kryptys
Dažniausiai leidžiami pagreičio ir greičio lygiai Z ašies kryptimi
didesni negu X–Y ašių kryptimis; I – kategorijos virpesiams didesni
negu II kategorijos virpesiams.
Virpesių poveikis priklauso nuo svyravimo proceso galios kontakto
vietoje, poveikio laiko, kontakto vietos, poveikio krypties, kūno
audinių slopinimo savybių, rezonanso veiksnių ir daugelio kitų savybių.
Ypač kenksmingi žmogui virpesiai, kurių dažnis artimas skirtingų
kūno dalių savajam dažniui (4.14 pav.). Daugumos vidaus organų
savasis dažnis – 3–9 Hz (širdies dažnis artimas 5–6 Hz), pečių juostos
– 16–20 Hz. Ypač didelę reikšmę rezonansas turi regos organams.
Regėjimo sutrikimai kyla veikiant 60–90 Hz virpesiams, kurie atitinka
akių obuolių savąjį dažnį.
139

4.14 pav. Žmogaus kūno dalių savieji dažniai
Tarp profesinių susirgimų vibracijų patologija yra antroje vietoje
(po dulkių).
Veikiant vibracijai pirmiausia nukenčia nervų sistema ir analizatoriai:
vestibuliarinis, regos, jutiminis. Ilgalaikis virpesių poveikis
skatina vibroligos vystimąsi, kuri pasireiškia biologinių audinių pažeidimais:
rankų drebėjimas; raumenų atrofija (baltų pirštų sindromas); kraujagyslių
elastingumo sumažėjimas; 4) nervų jautrumo sumažėjimas;
kaulų audinių išsigimimas.
Ligos vystimąsi skatina padidėjusi raumenų įtampa, žema temperatūra
ir psichoemocinis stresas. Vibroliga priklauso prie profesinių
susirgimų, kurių efektyvus gydymas galimas tik ankstyvoje stadijoje.
Žmogaus kūną galima nagrinėti kaip dinaminę sistemą arba tam tikros
sistemos dalį, pvz., sistemos „Žmogus – transporto priemonė“. Tokiai
sistemai virpant vyksta energijos pasidalijimas tarp žmogaus ir transporto
priemonės.
140

Sprendžiant gyvo organizmo dinamikos problemas visų pirma
reikia parinkti dinaminį modelį. Paprastai tokiems tikslams sudaroma
mechaninė sistema, susidedanti iš tam tikro skaičiaus koncentruotų
masių, sujungtų tarpusavyje tampriais ir slopinimo ryšiais (4.15 pav.).
Turi būti daroma prielaida, kad dinaminio modelio parametrai nekinta
tyrimo metu. Kiekvienas tokios sistemos elementas paprastai turi tik
vieną savybę, pavyzdžiui, kūnas turi masę, tačiau jis nedeformuojamas,
idealiai tamprus; ryšiai – sukuria pasipriešinimą, proporcingą
sistemos judesio greičiams, ir t. t. Tokie labai supaprastinti modeliai
gali būti naudojami žemų virpesių dažnių tyrimams.
4.15 pav. Žmogaus, kaip biomechaninės sistemos, dinaminis
modelis, turintis 15 laisvės laipsnių
Visą kūną veikiančius virpesius (vibracijos poveikį) reglamentuoja
HN 51:1994, rankas veikiančią vibraciją – HN 59:1996.
LST EN ISO 5349-1:2004 Mechaniniai virpesiai. Per rankas perduodamos
vibracijos matavimas ir poveikio žmogui įvertinimas.
1 dalis. Bendrieji reikalavimai
LST EN ISO 5349-2:2004 Mechaniniai virpesiai. Per rankas perduodamos
vibracijos matavimas ir poveikio žmogui įvertinimas.
141

2 dalis. Praktiniai matavimo darbo vietoje nurodymai (ISO 5349-
2:2001).
Higienos požiūriu virpesiai charakterizuojami:
– komfortas, kai virpesiai nesukelia neigiamo erzinančio poveikio;
– darbingumo išlaikymas, kai virpesiai nesukelia neigiamo poveikio
arba darbigumo galimybių praradimo;
– virpesių sauga, kai virpesiai nesukelia organizmui kenksmingo
poveikio;
– sužalojimas virpesiais, kai virpesių poveikis nepakenčiamas
arba atsiranda traumų pavojus.
Mašinų ar sudėtingų įrenginių higieninis virpesių normavimas
apribojamas jų arba jų elementų virpesių lygiu. Galiojantys virpesių
intensyvumo lygio normatyvų reikalavimai sudaryti įvertinant žmogaus
subjektyvaus virpesių poveikio pojūčius, taip pat fiziologines,
biochemines, funkcines ir biomechanines organizmo reakcijas.
Virpesių poveikis žmogaus organizmui nusakomas keturiomis
pagrindinėmis charakteristikomis:
– intensyvumu;
– spektrine sudėtimi;
– poveikio trukme;
– poveikio kryptimi.
Intensyvumo rodikliai:
– vidutinės aritmetinės arba amplitudinės pagreičių reikšmės;
– virpesių greitis arba virpesių amplitudės.
Intensyvumą galima vertinti dviem būdais: tikraisiais absoliučiais
dydžiais arba virpesių dydžio logaritminiais vienetais – decibelais.
L
p =
⎛ p ⎞
20lg ⎜ ⎟
, (4.44)
⎝ p0
⎠
čia p – virpesių matuojamo parametro reikšmė; p 0 – pradinė matuojamo
parametro reikšmė.
142

Normuojant virpesių lygį jo spektrinė sudėtis vertinama oktavomis
arba 1/3 oktavos pločio juostomis.
4.9 lentelė. Vidutiniai geometriniai dažniai ir juos atitinkančių juostų ribinės
reikšmės
Vidutiniai geometriniai Dažnių juostų ribinės reikšmės, Hz
dažniai, Hz
1/3 oktavos Oktava
0,8 0,7–0,89 0,7–1,4
1,0 0,89–1,12 0,7–1,4
1,25 1,12–1,40 0,7–1,4
1,6 1,40–1,78 1,4–2,8
2,0 1,78-2,24 1,4–2,8
2,5 2,24–2,8 1,4–2,8
3,15 2,8-3,5 2,8–5,6
4,0 3,5–4,4 2,8–5,6
5,0 4,4–5,6 2,8–5,6
6,3 5,6–7,1 5,6–11,2
8,0 7,1–8,9 5,6–11,2
10,0 8,9–11,2 5,6–11,2
12,5 11,2–14,1 11–22
16,0 14,1–17,8 11–22
20,0 17,8–22,4 11–22
25,0 22,4–28,2 22–44
31,5 28,2–35,5 22–44
40,0 35,5–44,7 22–44
50,0 44,7–56,2 44–88
63,0 56,2–70,8 44–88
80,0 70,8–89,1 44–88
100,0 89,1–112,2 88–177
125,0 112,2–141,8 88–177
160,0 141,8–177,8 88–177
Vipresių poveikiui nustatyti dar galima naudoti energetinį dažninį
įvertinimą. Šis vertinimas pagrįstas mechaninės virpesių energijos
įvertinimu:
143

nv
∑ 2
i=
0
A T v ω Z ω , (4.45)
= ( ) ( )
čia T – virpesių poveikio trukmė, v
harmonikos amplitudės, Z ωi
modulio reikšmė.
i
i
( ωi
) – virpesių greičio i-tosios
( ) – įėjimo mechaninio impedanso
Pagal žmogaus kūno sugertą vidutinį galingumą:
nv
2
= ( ) ( )
N T∑ k ω a ω
i=
0
i
i
i
,
( ) – virpesių pagreičio i-tosios harmonikos amplitudės;
čia a ωi
k i ( ω i ) – koeficientas, įvertinanatis žmogaus savybių dažnines charakteristikas.
Leistini virpesių lygiai normatyvinėje medžiagoje nustatyti vertinant,
kad jų poveikio trukmė – 8 valandos, t. y. visa darbo diena.
Negalima projektuoti ir eksploatuoti įrenginių, kurių virpesių lygis
viršija leistinas normas. Vis dėlto, kai būtina eksploatuoti įrenginius,
kurių virpesių lygis viršija leistinas normas, tuomet reikia trumpinti jų
poveikio trukmę.
4.10 lentelė. Darbo laiko reikalavimai viršijant virpesių lygio normas
Normos viršijimas darbo
vietoje, ne daugiau kaip
dB
kartais
Leidžiama virpesių poveikio trukmė
minutėmis, ne daugiau kaip
dirbant su stacionariais
įrenginiais
laivuose,
katilų skyriuose
0 1 480 1400
3 1,4 120 –
6 2 60 120
9 2,8 30 60
12 4 15 –
Tarptautinės normatyvų leistinos normos reglamentuojamos ISO
standartais.
144

Virpesių poveikis priklauso nuo virpesių spektro sudėties, jų
krypties, poveikio vietos, poveikio trukmės ir nuo žmogaus individualių
savybių (4.16 pav.).
4.16 pav. Virpesių žalingas poveikis žmogaus organizmui
Automobiliu važiavimo komfortas vertinamas pagreičio vidutine
kvadratine reikšme:
a
vkr
=
t
1
− t
t2
∫ a
2 1 t1
2
()
t dt, (4.46)
at ()– svertinis pagreitis (slenkamasis judesys, m/
s
2 ar sukamasis
2
judesys, rad / s ) .
Pagal gautą pagreičio vidutinę kvadratinę reikšmę a vkr ir virpesių
trukmę T = t2 −t1, panaudojant standartą ISO 2631 (1997), nustatoma
leidžiama virpesių trukmė.
145

Matavimo trukmė turi būti tokia, kad būtų užtikrintas priimtas
statistinis tikslumas ir virpesių metu pasireikštų tipiškas poveikis, kuris
turi būti įvertintas. Matavimo trukmė turi būti registruojama.
Kai pagreičio virpesiai vyksta pagal harmoninį dėsnį:
at ()= Asin ( ω t)
, ω= 2πf , (4.47)
čia A – amplitudė, ms 2 ; f – dažnis, Hz.
Tada pagreičio vidutinė kvadratinė reikšmė lygi:
a
vkr
=
t
1
− t
t2
∫ a
2 1 t1
2
() t dt =
A
2
. (4.48)
Vertikalių virpesių poveikis žmogaus organizmui nustatomas parametru
K:
K =10 avkr
f , kai
1< f ≤4
K
= 20 a vkr , kai
4< f ≤8
K =160 avkr
f , kai
8< f ≤ 80, (4.49)
o horizontalių virpesių poveikis žmogaus organizmui nustatomas:
K
= 28 a vkr
, kai
1< f ≤2
K = 56 avkr
f , kai
2< f ≤ 80. (4.50)
Funkcijos (4.49) ir (4.50) gali būti naudojamos nustatant virpesių
poveikį panaudojant eksperimentų išmatuotus pagreičius (4.17 pav.).
146

4.17 pav. Virpesių poveikio įvertinimas: a – vertikalus poveikis;
b – horizontalus poveikis
Iš 4 pav. matoma, kad didžiausias vertikalių virpesių poveikis
žmogaus organizmui yra dažnių intervale f = 4−8Hz. Į šį dažnių intervalą
patenka kai kurių žmogaus organų savieji dažniai, pavyzdžiui,
širdies savasis dažnis yra 5–6 Hz.
Kelių transporto priemonių parametras K turi tenkinti tokią sąlygą
(4.18 pav.): 2< K < 10 (4.51).
4.18 pav. Virpesių poveikio įvertinimas įvertinant poveikio trukmę
147

Panaudojant 4.18 pav., virpesių poveikį galima įvertinti taip:
– sritis C1-C2 – tinkama;
– sritis D1-D2 – netinkama;
– sritis E1-E4 – labai netrinkama.
Vertikaliųjų virpesių poveikio žmogaus organizmui izolinijos pateiktos
4.19 pav.
4.19 pav. Vertikaliųjų virpesių jutimo izolinijos: a – pagreitis;
f – dažnis, Hz; 1 – virpesiai nejuntami; 2 – virpesiai juntami; 3 – virpesiai
juntami aiškiai; ė – nemalonus poveikis; 5 – nepakeliamas poveikis
ISO 2631 standarto pateiktos vertikaliųjų virpesių jutimo izolinijos
pateiktos 4.20 pav.
4.20 pav. Vertikaliųjų virpesių įtaka pagal ISO 2631 standartą:
a –pagreitis; f – dažnis, Hz
148

Tais atvejais, kai pagrindiniame vertinimo metode gali būti nepakankamai
įvertintas vibracijos poveikis (atsitiktiniai smūgiai, laikini
virpesiai) m, nustatoma slenkamoji vidutinė kvadratinė vertė arba virpesių
dozės vertės ketvirtasis laispnis.
Taikant slenkamosios vidutinės kvadratinės vertės įvertinimo
metodą, taikomas trumpas integravimo laikas. Virpesių dydis apibrėžiamas
kaip didžiausia pereinamųjų virpesių vertė (DPVV), kuri yra
didžiausia a t
( ) vertė, kuri yra lygi:
w 0
⎛ t
1
aw
t 0 2
⎞
( 0 )= a () t dt
⎜ ∫
⎝ τ ⎟
t0−τ
⎠
12
arba
⎛ t t t
1
aw
t 0 − 0 ⎞
2
( 0 )= ⎜ a () t e τ
∫ dt ⎟
⎜ τ
⎟
⎝
−∞
⎠
12
149
(4.52a)
, (4.52 b)
čia at () – momentinis svertinis pagreitis; τ – slenkamojo vidurkio
integravimo laikas; t 0 – stebėjimo laikas; t – laikas.
Didžiausia pereinamųjų virpesių vertė (DPVV) išreiškiama taip:
( w )
DPVV max a t0 . (4.53)
Tai reiškia didžiausią aw ( t0
) dydį, išmatuotą matavimo laiku
T = t2 −t1.
= ( )
Matuojant DPVV rekomenduojama takyti τ=1 s.
Virpesių dozės ketvirtuoju laipsniu metodas yra geresnis įvertinant
smailes nei nustatant pagrindiniu įvertinimo metodu, nes vidurkinimo
pagrindu vietoj pagreičio laiko funkcijos antrojo laipsnio taikomas
ketvirtas laipsnis. Kai TP juda nelygiu keliu (duobėtas kelias,
grindinys), virpesių poveikį žmogui įvertinti labiau tinka naudoti virpesių
dozės vertę VDV, kuri yra lygi:
⎛
VDV =
⎜
⎝
t
1
− t
t2
∫ a
2 1 t1
4
⎞
t dt
⎟
⎠
()
14
čia at ()– momentinis svertinis pagreitis.
, (4.54)

VDV parametras įvertina ne tik vidutinę signalo reikšmę, bet ir
poveikio trukmę, jautrus pagreičio staigiems kitimams, tinkamesnis,
kai matuojamas signalas yra statistiškai nestacionarus. VDV parametro
mato vienetas yra ms (–1,75) .
Kai virpesių poveikis susideda iš dviejų ar daugiau skirtingos
apimties laiko trukmių i, virpesių dozės vertė, apibūdinanti bendrą
poveikį, turi būti apskaičiuota taip:
VDV
bendra
= ⎛ VDV
⎝ ⎜ ⎞ 4
⎟ . (4.55)
i ⎠
∑ 1 4 1
Pagal Didžiosios Britanijos standartą BS 6841, kai VDV parametras
pasiekia reikšmę 15 ms –1,75 , važiavimo komfortas yra labai blogas.
TP važiavimo laikas, kai parametras VDV pasiekia reikšmę
15 ms –1,75 , yra lygus:
T
15
4
15
= ⎛ t
⎝ ⎜ ⎞
⎟ , (4.56)
VDVt
⎠
čia T 15 – laikas, s; t – laikas, s.
Laikas T 15 gali būti važiavimo diskomforto kriterijumi.
Kai galima išmatuoti pagreičius X, Y ir Z ašių kryptimis, VDV
parametras nustatomas taip:
( )
4 4 4 14 VDV = VDV + VDV + VDV . (4.57)
bendras x y z
Laiko T 15 reikšmės priklausomai nuo kelio tipo ir važiavimo
greičio parodytos 4.11 lentelėje.
4.11 lentelė. Laiko T 15 reikšmės priklausomai nuo kelio tipo ir važiavimo
greičio
Kelio tipas
Greitis, km/val
20 40 60 80
Grindinys 1940 min. 770 min. 660 min. 375 min.
Priemiesčio kelias 2160 min. 730 min. 540 min. 315 min.
Duobėtas kelias 225 min. – – –
150

Egzistuoja ryšis tarp kelio nelygumus charakterizuojančio parametro
IRI indekso ir TP bazinio vertikalaus pagreičio a b (Ahlin, K.
and Granlund)
2
a b ⎛ v ⎞
= 016 ,
IRI
⎜ ⎟ , (4.58)
⎝ 80 ⎠
čia v – TP važaivimo greitis, km/val.
Kai kurių kelių baziniai pagreičiai parodyti 4.12 lentelėje.
4.12 lentelė. Bazinių pagreičių reikšmės
Kelių
tipas
Bazinis pagreitis, ms 2
20 km/val. 40 km/val. 60 km/val. 80 km/val.
151
IRI
Indeksas,
mm/m
Automagistralė
0,14 0,24 0,30 0,35 2,08
Grindinys 0,5 0,65 0,71 0,80 5,46
Priemiesčio
kelias
0,51 1,0 1,08 1,3 8,65
Duobėtas
kelias
0,78 – – – 9,75
Kitas parametras, kuris gali būti naudojamas įvertinti virpesių poveikį
žmogui, yra ekscesas K a :
4
1 N
Ka = ∑ ( ai −avid
) , (4.59)
4
Nσ
i=
1
čia a vid – vidutinė pagreičių reikšmė; σ – vidutinis kvadratinis pagreitis;
N – matavimo taškų skaičius. Kai ekscesas lygus 3, pagreitis
pasiskirsto pagal normalinį skirstinį.
Vertinant keleivių vežimo komfortabilumą geležinkeliu naudojamas
Šperlingo kriterijus:
a
Sp = c ( f )
3
089 , 10 , (4.60)
f
čia c(f) – dažnio ir virpesių krypties koeficientas; a – pagreičio amplitudė,
cm / s
2 ; f – dažnis, Hz.

4.13 lentelėje pateiktos Šperligo kriterijaus S p reikšmes.
4.13 lentelė. Šperligo kriterijaus S p reikšmės
Eilės
Nr.
Būsenos pobūdis
S p reikšmė
1 Labai gera 2,0
2 Gera 2,0–2,5
3 Pakankama keleiviniams vagonams 2,5–3,0
4 Ribinė keleiviniams vagonams 3,0–3,25
5 Ribinė lokomotyvams 3,5–3,75
6 Ribinė atsižvelgiant į žmogaus fiziologiją 4,5
Literatūra
ASTM Standard Practice for Computing International Roughness Index of Roads
from Longitudinal Profile Measurements, ASTM Standards 04.03, Road and
Paving Materials; Vehicle-Pavement Systems, E1926-98 (2003), 2008.12.
Железнодорожный транспорт: Энциклопедия / Гл. ред. Конарев Н. С.
Москва: Большая Российская энциклопедия, 1994. 559 c.
Bėgių defektų ir pažeidimų klasifikatorius. 2004. Vilnius: SPAB „Lietuvos
geležinkeliai“. 135 p.
Blakely, K. 1993. MSC/NASTRAN Basic Dynamic Anglysis. Vers. 68, The
MacNeal-Schwendler Corp.
Bommer, A. L. G. 2005. Non-linear Car-Model for Smooth-Road Behavior.
Master’s Thesis.
BS 6841 Measurement and Evaluation of Human Exposure to Whole-body
Mechanical Vibration and Repeated Shock. British Standards Institution,
1987.
Causemann, P. 1999. Automotive Shock Absorbers. ZF Sachs technical paper,
Verlag Moderne Industrie.
Cucuz, S. 1993. Schwingempfindung von Pkw-Insazzen. Dissertation
University Braunschweig.
Dossing, O. 1988. Structural Testing. Part 1 and 2: Mechanical Mobility
Measurements, Bruel and Kjear.
Fahy, F.; Walker, J. G. 1998. Fundamentals of Noise and Vibration.
Routledge, New York.
152

Franklin, G. F.; Powell, J. D.; Emami-Naeini, A. 1994. Feedback Control of
Dynamic Systems. Addison-Wesley Publishing Company.
French, P. J. 1997. Intelligent Dumper and Hauler Suspension System
(IDHSS). ACARP Project no. C4013, Australian Coal Research Limite.
Geležinkelio kelio priežiūros taisyklės. 2000. Vilnius: SPAB „Lietuvos geležinkeliai“.
213 p.
Geluk, C. T. T. 2005. Vehicle Vibration Comfort: the Influence of Dry Friction
in the Suspension. Master’s Thesis [interaktyvus]. Prieiga per internetą:
http://www.mate.tue.nl/mate/pdfs/5813.pdf.
Gillespie, T. D. 1992. Fundamentals of Vehicle Dynamics. SAE-International.
Heylen, W.; Lamens, S.; Sas, P. 1997. Modal Analysis Theory and Testing.
KUL Press, Leuven.
ISO 2631 Mechanical Vibration and Shock-Evaluation of Human Exposure
to Whole-body Vibration. International Organization for Standardization,
1997.
ISO 2631 Mechanical Vibration and Shock – Evaluation of Human Exposure
to Wholebody Vibration, ISO 2631-2:2003. International Organisation
for Standardization, 2003.
ISO 8608 Mechanical Vibration, Road Surface Profiles, Reporting of
Measured Data, ISO 8608:1995, International Organisation for
Standardization, 1995.
ISO Reporting Vehicle Road Surface Irregularities. Technical Report, ISO,
ISO/TC108/SC2/WG4 N57, 1982.
King, R.; Crolla, D.; Ash, H. 2002. Identification of Subjective-Objective
Vehicle Handling Links Using Neural Networks for the Foresight Vehicle.
SAE paper, 2002-01-1126.
Kolm, H.; Kudritzki, D.; Wachinger, M. 1997. Optimiering des Fahrkomforts
durch betrachtung der Dampfungseigenschaften der Radaufhangung.
VDI-Berichte 1350. 101–122 p.
Kreuger, H.; Neukum, A. A. 2000. Workload Approach to the Evaluation of
Vehicle Handling Characteristics. SAE paper.
Leurs, W.; Gielen, L.; Brughmans, M.; Dierckx, B. 1997. Calculation of
Rigid Body Properties From FRF Data: Practical Implementation and
Test Case. 15th IMAC Japan.
Lewitzke, C.; Lee, P. 2001. Application of Elastomeric Components for Noise
and Vibration Isolation in the Automotive Industry. Sae-paper, 2001-01-
1447.
153

Milliken, W. F.; Milliken, D. L. 1995. Race Car Vehicle Dynamics. SAE-
International.
Mitschke, M. 1997. Dynamik der Kraftfahrzeuge. Band B: Schwingungen,
Springer Verlag.
P. v. d. Loo. 2003. The Development of the Smart Strut Improved Sliding Pillar
Front Active Suspension System for Mining Trucks. Birrana Engineering
Technical Paper.
Pare, C. 1998. Experimental Evaluation of Semiactive Magneto-Rheologial
Suspensions for Passenger Vehicles. Master’s Thesis.
Pielemeier, W.; Greenberg, J.; Meier, R.; Jeyabalan, V.; Otto, N. 2001. Some
Factors in the Subjective Evaluation of Laboratory Simulated Drive.
SAE paper.
Schmechtig, K.; Lennarsson, B. A. 2000. Simple and Efficient Description
of Car Body Movements for the Use in Virtual Prototyping and Ride
Comfort Evaluation. SAE paper.
Shaver, R. M.; Liu, K. J. 2005. Body/Chassis Dynamic Response Under
Experimental Modal Test. SAE-paper 2005-01-2463.
Singh, R. 2000. Dynamic Design of Automotive Systems: Engine Mounts and
Structural Joints. Sadhana, Vol. 25, Part 3. Printed in India. 319–330 p.
VDI-2057 Einwirkungen Mechanischer Schwingungen auf denMenschen –
Ganzkorperschwingungen, VDI 2057 Blatt 1:2002, Beuth Verlag GmbH,
2002.
Verver, M. 2004. Numerical Tools for Comfort Analysis of Automotive
Seating. Phd-Thesis.
White, R. G.; Walker, J. G. 1982. Noise and Vibration. Ellis Horwood
Limited, Chichester.
Zong, C.; Guo, K.; Guan, H. 2000. Research on Closed-loop Comprehensive
Evaluation Method of Vehicle Handling and Stability. SAE paper.
154

5. Automobilio rato sąveika su keliu
5.1. Padanga ir jos sandara
Padanga yra sudėtingas inžinerinis objektas, sudarytas iš gumos
mišinio ir įvairiausių sintetinių medžiagų, sujungtų tarpusavyje karštos
vulkanizacijos būdu. Gumos mišinių sudėtis, jos ingredientai, dozės
ir gamybos technologijos yra kiekvieno gamintojo itin saugomos
paslaptys.
Karkasas / karkaso gijos
5.1 pav. Radialinės padangos struktūros bendras vaizdas
5.2 pav. Diagonalinės padangos struktūros bendras vaizdas
155

5.3 pav. Radialinės padangos detali struktūra
Padangos struktūrinės sudedamosios dalys yra daugmaž visų gamintojų
panašios ir lengviau atpažįstamos, tačiau viešai ir detaliai apie
jas nėra niekur skelbiama. Padangos sudedamosios dalys yra:
– Gumos sluoksnis (angl. rubber coating) – vienalytis gumos
mišinio sluoksnis, gaubiantis padangos vidinę struktūros dalį ir pasižymintis
būtent tai padangai ir jos paskirčiai būdingomis charakteristikomis,
leidžiančiomis išsiskirti iš kitų padangų;
– Vidinis ratas (angl. innerliner) – padangos vidinę dalį dengiantis
plonas gumos mišinio sluoksnis, pasitaikantis padangose, kuriose
naudojama papildoma dujų kamera ir be jos; užtikrina vidinės
ertmės, užpildytos oru, hermetizavimą
– Karkaso gijų sluoksnis (angl. body ply) – padangos karkasą
dengiantis plonas gumos mišinio sluoksnis ir radialinių gijų sluoksnis,
apimantis briaunos lanką ir borto užpildą; suteikia padangai formą ir
užtikrina jos charakteristikas
– Karkasas (angl. body plies) – karkaso gijos, gaubiančios ir
jungiančios vieną ir kitą, priešais esančius, padangos kraštus; suteikia
padangai formą, užtikrina struktūros stiprumą, reikalingą oro slėgiui,
smūgiams ir apkrovoms atlaikyti, nulemia maksimalų padangos kam­
156

pinį greitį ir valdomumo savybes. Karkasą sudaro vienas (5.1 pav.) ar
keletas plonų sintetinių siūlų ar audinių sluoksnių, pagamintų iš viskozės,
nailono, poliefiro, plieno ir kt medžiagų. Diagonalinės padangos
karkaso gijų orientacija gali būti įstriža, o radialinės padangos – skersa
padangos riedėjimo krypčiai;
– Briaunos lankas (angl. bead bundle) – bronza dengtų, pintų ir
tarpusavyje supintų bei susuktų, lanką sudarančių plieninių vielų masyvas
(lankas gali būti sudarytas ir iš anksčiau minėtų siūlų), įterptas į
gumos mišinio sluoksnį; tvirtai laiko padangą reikiamoje padėtyje ant
ratlankio ir užtikrina jos sandarumą;
– Briaunos sandarinimo paviršius (angl. abrasion gum strip) –
elastingo gumos mišinio sluoksnis tarp briaunos lanko ir ratlankio;
užtikrina padangos sandarumą ir sukibimą su ratlankiu, suteikia papildomą
briaunos lanko standumą;
– Briaunos lanko užpildas (angl. bead filler) – ertmės užpildas
tarp padangos briaunos lanko ir karkaso gijų, dėl savo formos dar vadinamas
viršūne; užpildo geometriniai matmenys ir mechaninės savybės
turi įtakos padangos charakteristikoms;
– Šoninė sienelė (angl. sidewall) – agresyvioms eksploatacijos
sąlygoms ir ultravioletiniams saulės spinduliams atsparus gumos mišinio
sluoksnis; apsaugo karkaso gijas nuo aplinkos išorinių poveikių
ir mechaninių deformacijų. Šoninė sienelė dažnai turi informacinius
užrašus, baltas juostas ar kt. dekoratyvus;
– Šoninės sienelės sutvirtinimai (angl. sidewall reinforcements) –
papildomas, storesnis gumos mišinio sluoksnis, kartais dar vadinamas
plaukmenimis; padanga gali turėti papildomus pastiprinimus šoninių sienelių
apatinėje dalyje ratlankių apsaugai nuo deformacijų, maksimaliai
leistinai ašinei apkrovai padidinti, padėti išlaikyti taisyklingą formą esant
mažesniam už rekomenduojamą arba išvis nesant oro slėgio padangoje;
– Stabilizuojantis gijų (diržų) sluoksnis (angl. stabilizer ply
skim arba belt skim) – gumos mišiniu dengtas gijų sluoksnis, kuriame
gijos išdėstytos persiklojant viena kitos atžvilgiu (karkaso gijoms);
apsaugo padangą nuo deformacijų ir suteikia papildomo tvirtumo;
– Stabilizuojančios gijos (diržai) (angl. stabilizer plies (belts)) –
plieninių gijų arba sintetinių siūlų sluoksnis, persiklojantis vienas kito
157

atžvilgiu į skirtingas puses; sutvirtina karkasą ir suteikia papildomą
padangos atsparumą smūgiams į atraminį, besiliečiantį su pagrindu,
paviršių. Padangos savybes veikia gijų storis, išdėstymo tankis bei
persiklojimo kampas;
– Gumos intarpai (angl. belt wedges) – elastingo gumos mišinio
juostelių intarpai tarp stabilizuojančių gijų (diržų) padangos besiremiančios
plokštumos kraštuose; sumažina trintį ir pažaidų atsiradimo galimybę
tarp stabilizuojančių gijų (diržų) padangai riedant ir/arba deformuojantis;
– „Petukai“ (angl. shoulder inserts) – elastingo gumos mišinio
juostelių intarpai tarp besiremiančios plokštumos padangos kraštuose stabilizuojančių
(diržų) ir karkaso gijų; užtikrina besiremiančios plokštumos
padangos vientisumą radialine kryptimi, išlaiko sluoksnių vientisumą;
– Protektorius (angl. tread) – sintetinių, kompozicinių ir natūralios
gumos mišinių sluoksnis, turintis specialų raštą: griovelius, formuojančius
blokelių formą ir skiriančius vieną protektoriaus blokelį nuo
kito, lameles, įrėžtas į padangos protektoriaus bloką (dažniau pasitaiko
žieminėse padangose); užtikrina sankibumą su atraminiu paviršiumi
padangai riedant, stabdant, greitėjant, keičiant judėjimo trajektoriją.
Protektorius ant padangos uždedamas karštos vulkanizacijos būdu ir
yra suprojektuotas norint užtikrinti nepageidaujamų elementų šalinimą
iš tarpbesiremiančių atraminio ir padangos plokštumų, sumažinti
keliamą triukšmą ir užtikrinti tolygų dėvėjimąsi;
– Papildomas sluoksnis po protektoriumi (angl. undertread) –
pasitaiko ne visose padangose, tačiau papildomas gumos mišinio
sluoksnis po protektoriumi leidžia sumažinti padangos riedėjimo varžą,
kuro sąnaudas ir pagerinti kt. padangos savybes;
– Adhezijos sluoksnis po protektoriumi (angl. subtread) – plonas
rišantysis gumos mišinio sluoksnis sluoksnių sujungimui, priklijavimui
vienam prie kito pagerinti; užtikrina protektoriaus sluoksnio ir papildomo
sluoksnio po protektoriumi arba stabilizuojančių gijų sluoksnių pritvirtinimą
prie padangos karkaso, uždengia stabilizuojančių gijų galus;
– Nailoninės gijos (nailoninė kepurė) (angl. nylon cap ply) –
nailoninių gijų sluoksnis sutvirtina stabilizuojančių gijų sluoksnį arba
besiremiančios plokštumos kraštuose stabilizuojančių gijų dalį; apsaugo
padangą nuo deformacijų ir suteikia formos reikiamą elastingu­
158

mą ir užtikrina jos stabilumą veikiant didelėms išcentrinėms jėgoms
riedant maksimaliu greičiu.
5.2. Padangos kontakte veikiančios jėgos ir momentai
Viena iš pagrindinių rato charakteristikų yra išilginio sankybio
koeficiento µ x priklausomybė nuo išilginio santykinio slydimo s x ,
vadinamoji µ x − s x diagrama (5.4 pav.).
5.4 pav. Charankteringa µ x − s x diagrama
Kad suprastume šios diagramos esmę ir su ja susijusius fizinius
procesus, vykstančius sistemoje „Ratas-kelias“, nagrinėsime judančios
transporto priemonės ratą. Ratas su pneumatine padanga nagrinėjamas
kaip kietas deformuojamas kūnas, kuris sąveikauja su kelio
paviršiumi. Sąveikos sritis yra plotas, kuris vadinamas „kontakto pėdsaku“,
kurio geometrinis centras nukrypęs tam tikru atstumu nuo vertikalios
ašies, pereinančios per rato centrą.
Rato ir kelio kontakte apskritimine kryptimi atsiranda dvi zonos:
padangos protektorius suspaudžiamas (kontakto pradžioje); kita
zona – protektorius ištempiamas (po kontakto). Kontakto plote vyksta
praslydimas arba padangos sluoksnių šlitis, kuriuose tangentiniai
įtempimai didesni už sankibio jėgų įtempimus. Transporto priemonės
rato linijinis greitis v a rato centre nesutampa su apskritiminiu rato
greičiu R d ω R kontakte ( R d –rato dinaminis spindulys, ω R – rato kampinis
greitis). Dėl šių greičių nesutapimo atsiranda praslydimo greitis
(5.5 pav.). Praslydimo greitis v s rato ir kelio kontakte yra lygus:
Pagreitėjimas: v = R ω −v
, (5.2a)
s d R a
159

Stabdymas: vs = va −Rdω R. (5.2b)
a)
b)
5.5 pav. Padangos deformacija: a – stabdymas; b – pagreitėjimas
Rato teorijoje įvedama santykinio išilginio ir skersinio slydimo
koeficientų sąvokos:
s
x
vs
= , (5.3a)
v
a
vy
sy
= . (5.3b)
va
čia v y – rato greitis, statmenas išilginiam rato greičiui.
160

Priklausomai nuo transporto priemonės judėjimo kinematinių parametrų
(greičių) galimi penki santykinio išilginio slydimo koeficiento
atvejai (5.6 pav.).
Laisvai riedantis ratas
Pagreitėjimas
s x = 0 su praslydimu s x

Išilginės jėgos F x ir vertikalios jėgos F z ,veikiančios į ratą, santykis
vadinamas santykine išilgine jėga arba išilginiu sankybio koeficientu:
Fx
µ x = . (5.4)
Fz
Skersinės F y ir vertikalios jėgos F z , veikiančios į ratą, santykis
vadinamas santykine skersine jėga arba skersiniu sankybio koeficientu:
Fy
µ y = . (5.5)
Fz
Iš µ x − s x diagramos matoma, kad didėjant santykiniam išilginiam
slydimo koeficientui s x išilginis sankybio koeficientas µ x didėja beveik
tiesiškai. Šioje srityje, pavyzdžiui, s x ∈[ 0... 01 ,], praslydimas yra nedidelis
ir jis šiek tiek turi įtakos transporto priemonės stabilumui ir
jos valdymui. Kai yra tam tikra s x reikšmė ( s x = 010 , ... 0, 20 ), išilginis
sankybio koeficientas pasiekia maksimalią reikšmę µ x , max . Rato santykinis
išilginis slydimo koeficientas, kuriam esant pasiekiama maksimali
išilginio sankybio koeficiento reikšmė, vadinamas kriziniu s xkr , . Toliau
didėjant santykiniam išilginiam slydimo koeficientui s x ( s x > s xkr , ) išilginis
sankybio koeficientas µ x mažėja. Kai s x =1 – ratas visiškai užblokuotas
(nesisuka, ω R = 0 ), o kai s x =−1, tada ratas visiškai prasisuka
( v a = 0 ). Kai sx
> sx, kr , transporto priemonė praranda stabilumą,
ji yra nevaldoma.
Mokslininkai bandė analitiškai aprašyti µ x − s x kreivę, t. y. gauti
matematines priklausomybes µ x = µ x( sx
), tačiau iki šiol nėra gauta
universaliųjų µ x = µ x( sx
) funkcijų. Diagramos µ x − s x maksimumas
priklauso nuo:
– vertikalios prispaudimo jėgos;
– kelio paviršiaus būklės;
– TP pradinio stabdymo ar pagreitėjimo greičio;
– slėgio padangoje.
Transporto priemonės judėjimo stabilumui įtakos turi jėga, veikianti
rato ir kelio kontakte statmenai rato judėjimo krypčiai (skersinė
jėga). Skersinė jėga atsiranda veikiant:
162

– šoniniam vėjui;
– išcentrinei jėgai, kai TP daro posūkį;
– TP svorio jėgos dedamajai skersine kryptimi.
Skersinė jėga F y deformuoja padangą ir rato skersine kryptimi atsiranda
papildomas slydimas, kuris apibrėžiamas skersiniu sankibio koeficientu
s y (5.6 pav). Skersinės jėgos poveikis ratui parodytas 5.7 pav.
5.7 pav. Skersinės jėgos poveikis ratui:
a – stabdymas ({ v∑}= { va}−{ Rdω R}
);
b – pagreitėjimas{ v∑}= { RdωR}−{ va}
Rato ir kelio kontakte kampas tarp rato sukimosi plokštumos ir rato
judėjimo krypties vadinamas įstrižojo riedėjimo kampu α (arba skersridės
kampas). Įstrižai riedančio rato kontakto užpakalinėje dalyje kelio reakcija
į ratą yra didesnė negu priekinėje kontakto dalyje. Todėl šios reakcijos
generuoja sukimos momentą apie vertikalią ašį z ir sukimos momentas
M z suka riedanti ratą taip, kad rato trajektorija sutaptų su rato sukimosi
plokštuma. Toks momentas vadinamas stabilizuojamuoju rato momentu.
Reali rato ir kelio kontakte veikianti sankybio jėga F µ yra lygi:
F = ∫ dA , (5.6)
µ τxy
A kontaktas
čia τ xy – kontakto plote veikiantys tangentiniai įtempimai; A kontaktas –
kontakto plotas.
Vertikali kelio reakcija, veikianti kontakte, yra lygi:
F = ∫ σ dA , (5.7)
z
A kontaktas
z
čia σ z – kontakto plote veikiantys normaliniai įtempimai.
163

Apytiksliai normalinius įtempimus σ z ir tangentinius įtempimus
τ xy , τ xy galima išreikšti tokiu pavidalu:
σ
τ
z
x
⎛ n
x y
= σzm
− ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ − ⎛ a ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
1
⎜
⎟
⎝
a ⎠
=−τ
xm
⎛ x ⎞
⎜ ⎟
⎝ a ⎠
2n+
1
2 2n
⎞
, (5.8a)
⎟
⎠
2 ⎛ πx
⎞ ⎛ πy
⎞
sin ⎜ ⎟cos , (5.8b)
⎜ ⎟
⎝ a ⎠ ⎝ 2b
⎠
⎛ 2n
⎛ x ⎞ ⎞ ⎛ πy
⎞
τy
=−τym
⎜ ⎟ −1sin ⎜
⎝⎝
a ⎠ ⎟ ⎜ ⎟
, (5.8c)
⎠ ⎝ b ⎠
čia σ zm , τ xm , τ ym – normalinių ir tangentinių įtempimų amplitudės,
atitinkamai; 2a ir 2b – kontakto ilgis ir plotis.
Normalinių σ z ir tangentinių τ x , τ y įtempimų pasiskirstymas
kontakto plote parodyti 5.8 pav.
a)
b)
164

c)
5.8 pav. Normalinių σ z ir tangentinių τ x , τ y įtempimų pasiskirstymas
kontakto plote: a = 0,05 m; b = 0,12 m; σ zm = 0, 204 MPa ,
= 0, 1021 MPa , τ ym = 0,
613 MPa
τ xm
Realiąją sankybio jėgą, veikiančią rato ir kelio kontakte, galima nustatyti
energijos balanso metodu. TP rato mechaninis darbas, atliktas per
laiko vienetą , N R yra lygus pasipriešinimo jėgų galingumui N P :
N
R
= N , (5.9)
P
čia NR
= mRvv
a a ; NP = Nµ + ∆ Nm + Nst
,
dv
m R – rato masė; v
a
a , v a = – TP greitis ir pagreitis, atitinkamai;
N µ – sankybio jėgų galingumas; ∆N m – kitų pasipriešinimo jėgų
dt
(aerodinaminė jėga, trinties jėga; sunkio jėgos dedamoji ir kt.) galingumas;
N st
– stabdymo jėgų galingumas:
N
= F v a ; (5.10)
µ µ
( )
N = M −I
st st R R R
ω ω . (5.11)
Todėl sankybio jėga lygi:
1 1
Fµ = ( NR −Nst − ∆Nm)= mRvava −( Mst − IRωR) ωR − Nm
va
v
⎡⎣
∆ ⎤ ⎦
.
a
(5.12)
165

Kontakte veikiančią jėgą galima suskaidyti į dedamąsias
{ Fµ }= { Fµ x}+ { Fµ
y}, (5.13)
arba
µ Σ µ x µ y . (5.14)
{ }= { }+ { }
TP rato teorijoje naudojamas sankybio jėgų apskritimas, kuris
išreiškia išilginės ir skersinės sankybio jėgų tarpusavio priklausomybes.
Vienas iš pirmųjų mokslininkų, kuris nagrinėjo išilginių ir skersinių
sankybio jėgų tarpusavio priklausomybes, buvo vokiečių mokslininkas
V. Kamas (V. Kamm). Todėl sankybio jėgų apskritimas dar
vadinamas Kamo apskritimu.
5.9 pav. Kamo sankybio jėgų apskritimas
Kamo apskritimas apibrėžia rato sankybio jėgų kraštines sąlygas:
2 2
{ Fµ }= Fµ x + Fµ y ≤ µ max Fz
(5.15)
čia µ max – maksimalus sankybio koeficientas,
2 2
( )= ( )+ ( )
µ max s µ µ x s µ µ y s
. (5.16)
Nelygybę (5.15) galima naudoti tik apytiksliam slydimo ribų
įvertinimui, kadangi µ max reikšmė priklauso nuo slydimo ir gali kisti
plačiose ribose. Kartais naudojamas apytikslus sankybio koeficientas:
⎛ µ
⎜ µ
⎝ x
2 2
⎞
µ x
µ y
max
⎞ µ
⎟ + ⎛ ⎜ µ
⎠ ⎝ y
max
⎟ = 1, (5.17)
⎠
166

čia µ x max , µ y max – sankybio koeficientai esant pilnam slydimui išilgine
ir skersine kryptimis.
Įvedamas ir skersinės jėgos atsargos koeficientas:
Fµ
y
K = . (5.18)
µ y
Fµ
Σ
Kai K µ y → 0 , tai TP judėjimas yra stabilus, o kai K y
µ →1, tai TP
praranda stabilumą.
Rato ir kelio kontakte veikiančios jėgos ir momentai pagal SAE ir
ISO standartus parodyti 5.1 lentelėje
5.1 lentelė. Pagal SAE ir ISO standartus rato ir kelio kontakte veikiančios
jėgos ir momentai
V x > 0
SAE
Pritaikytas
SAE
ISO
Pritaikytas
ISO
Šoninis
kampas
(vaizdas iš
viršaus)
Išvirtimo
kampas
(vaizdas iš
galo)
Šoninis
slydimas
Išilginis
slydimas
tanα = V sy
Vx
κ =− V sx
Vx
tanα =− V sy
Vx
κ =− V sx
Vx
tanα = V sy
Vx
κ =− V sx
Vx
tanα =− V sy
Vx
κ =− V sx
Vx
Posūkio
slydimas
Nėra
apibrėžta
ψ
ϕ =−
V x
Nėra
apibrėžta
ψ
ϕ =−
V x
________ γ = 0 --------- γ > 0
167

5.1 lentelės pabaiga
Išilginės
jėgos
Šoninės jėgos
Statmenos
jėgos
F z < 0 F z > 0 F z > 0 F z > 0
Momentas
apie x ašį
Momentas
apie y ašį
M y >0 M y >0 M y

5.2 lentelės pabaiga
Skaldyto akmens tašeliai
sausi 0,4–0,6 0,02–0,03
šlapi 0,25–0,40 0,025–0,035
Gruntkelis
sausas, kietas 0,5–0,6 0,03–0,05
drėgnas 0,2–0,4 0,04–0,10
ištižęs 0,15–0,30 0,06–0,30
Smėlis
sausas 0,2–0,3 0,10–0,30
drėgnas 0,4–0,5 0,06–0,20
Molis
sausas 0,4–0,5 0,03–0,05
drėgnas, plastiškas 0,2–0,4 0,20–0,35
ištižęs 0,15–0,25 0,30–0,50
natūrali pieva 0,10–0,40 0,05–0,15
sausas arimas 0,40–0,70 0,15–0,30
sausas ledas 0,06–0,15 0,015–0,020
Sniegas:
sausas, purus 0,2–0,4 0,10–0,30
suplaktas 0,1–0,4 0,07–0,10
5.3 lentelė. Sankybio koeficientas, kai kelias padengtas sniegu ir ledu
Kelio danga
Suvažinėtas sniegas
Nesuvažinėtas
sniegas
Sniegas ir ledas,
padengtas tik iškritusiu
sniegu
Detalesnis dangos būklės aprašymas
Transporto priemonių suvažinėtas
sniegas, nesudarantis sutrombuoto
sniego ir ledo sluoksnio
Tik iškritęs ant asfalto sniegas, nesuvažinėtas
transporto priemonių ratais –
pirmasis pervažiavimas
Suvažinėtas sniegas ir ledas, kurį dengia
tik iškritęs nesuvažinėtas iki 10 cm
storio sniego sluoksnis
Sankibumo
koeficientas φ
0,24÷0,37
0,15÷0,42
0,18÷0,45
169

Sniegas ir ledas,
sumaišytas su
smėliu ir purvu
Sniegas ir ledas
Sniegas ir ledas
prieš sankryžas
Gilus sniegas
Sausas asfaltas
žiemos sąlygomis
Apšerkšnijęs asfaltas
Glotnus ledas
Ledas ir padangos
su grandinėmis
„Juodas“ ledas
Suvažinėtas sniegas ir ledas, sumaišytas
su smėliu ir purvu, kurių detalių
skersmuo 3÷6 mm
Ištisas sniego sluoksnis, suvažinėtas
iki ledinio paviršiaus pavidalo
Ištirpintas stovinčių automobilių variklių
bei užšalęs glotnaus paviršiaus
sniegas, nupoliruotas stabdomų automobilių
ratų
Toks gilus ir nepažeistas sniegas, kad
transporto priemonė „sėda ant dugno“,
bet neužstringa
Niekuo nepadengtas sausas asfaltas
žiemos sąlygomis
Balta danga ant asfalto, matoma vairuotojui
ir lengvai atpažįstama kaip
šerkšnas
Storas užšalusio vandens sluoksnis,
nepažeistas dyglių ir grandinėlių
Storas nepažeistas užšalusio vandens
sluoksnis važiuojant ratais su plieninėmis
grandinėmis
Storas ištisinis ledo sluoksnis, atrodantis
kaip šlapia, juoda važiuojamoji
dalis, sunkiai pastebimas vairuotojui
5.3. Padangos modeliai
5.3 lentelės pabaiga
Priklausomai
nuo purvo
kiekio (mažai
– daug)
0,15÷0,45
0,12÷0,39
0,09÷0,22
0,92÷0.95
0,59÷0,72
0,48÷0,58
0,054÷0,19
0,12÷0,18
0,12÷0,26
5.3.1. Lugre padangos modelis
Koncentruotų parametrų Lugre padangos modelis
Įvertinami šie Lugre (LuGre) padangos modelio parametrai: normalinė
jėga F z ; išilginis sankybio koeficientas statikoje µ c ir sankybio koeficientas,
kai prasideda slydimas µ s , padangos išorinio paviršiaus standumo
σ 0 ir slopinimo σ 1 koeficientai, protektoriaus poslinkis z (5.10 pav.).
170

5.10 pav. Lugre padangos modelio schema
Pagal Lugre padangos modelį padangos kontakte veikianti išilginė
sankybio jėga yra lygi:
⎛ dz ⎞
Fx = ⎜σ0z+ σ1 + σ2 vs⎟
Fz
, (5.19)
⎝ dt ⎠
dz vs
= vs
−σ 0 z ,
dt g( vs
)
−
gv ( s)= θµ ( c + ( µ s − µ c)
e
δ ), δ= ⎛ 05 ,
⎝ ⎜ vs
⎞
⎟ ,
vstr
⎠
čia gv ( s ) – Stribeckio funkcija; θ – parametras, įvertinantis padangos
viršutinių sluoksnių įtaką ( θ= 04 , ... 1)
, v str
– Stribeckio greitis; v s
–
slydimo greitis,
vs = ω RRd
−v
, kai vyksta rato pagreitėjimas;
vs = v−ω RRd
, kai vyksta rato stabdymas.
ω R – rato kampinis greitis; R d – dinaminis ratos spindulys; v –
rato linijinis greitis.
Lugre modelio parametrų reišmės parodytos į 5.4 lentelėje.
5.4 lentelė. Lugre padangos modelio parametrų reikšmės
Parametras σ 0 σ 1 σ 2 µ c µ s v str
Reikšmė 40 4,9487 0,0018 0,5 0,9 12,5
Vienetas 1/m s/m s/m – – m/s
171

Vienmatis išskirstytų parametrų Lugre padangos modelis
Išskirstytų parametrų Lugre padangos modelyje įvertinamas padangos
protektoriaus poslinkio z( t,ξ)kitimas laike ir išilgai padangos
ir kelio kontakto (5.11 pav.).
5.11 pav. Išskirstytų parametrų Lugre padangos modelio schema
Kontakte slydimo greitis yra lygus:
vs = v−ω RRd
.
Išilginis santykinis slydimo koeficientas lygus:
n
RRd
kai RRd
v
sx
= − ⎛ n
⎝ ⎜ ω ⎞
⎧⎪
1,
ω ≤
1
v
⎟ , kai = ⎨
.
⎠
⎩⎪ − 1,
kai ωRRd
> v
Išskirstytų parametrų Lugre padangos modelio pagrindinės priklausomybės
yra:
L
Fx
= ∫ dFx( t,ξ
, (5.20)
)
0
( ) +
⎛
dz t,
ξ ⎞
dFx( t, ξ)= ⎜σ0z( t,
ξ)+
σ1 σ2 vs⎟ dFz
( t,
ξ)
,
⎝
dt ⎠
(5.21)
dz ( t,
ξ) v =
s
vs
− σ0 z( t,
ξ)
,
dt
g( v )
(5.22)
( )
gv ( )= µ + µ − µ
s c s c
s
e
v
− ⎛ s
⎝ ⎜
⎞
⎟
v str ⎠
γ , (5.23)
172

čia L – padangos ir kelio paviršiaus kontakto ilgis.
Protektoriaus poslinkio z diferencialas ir greitis yra lygūs:
z t z t
dz = ∂ ( , ξ ) dt + ∂ ( , ξ ) dξ ,
∂t
∂ξ
( ) ∂ =
( )
+ ∂ ( )
dz t, ξ z t, ξ z t,
ξ
dt
∂t
∂ξ
dξ
. (5.24)
dt
Nagrinėdami padangos slydimą, sakykime, kad
dξ
= R d ω R . (5.25)
dt
Tada panaudoję priklausomybes (5.4.1.4), (5.4.1.6), (5.4.1.7),
gausime
∂ z( t, ξ)
+ ∂ z ( t,
ξ )
∂t
∂ξ
Rw
d R s
vs
= v −σ0 z( t,
ξ)
. (5.26)
g v
173
( )
Sakykime, kad kontakto zonoje vertikali jėga yra kintama, jos diferencialas
lygus:
dF ξ f ξ dξ
z
( )= ( ) . (5.27)
z
Tada padangos kontakte veikianti išilginė sankybio jėga yra lygi:
( ) +
L⎛
dz t,
ξ ⎞
dFx( t, ξ)= ⎜σ z( t,
ξ)+
σ σ vs⎟ fz
( ξ)
dξ
. (5.28)
∫ 0 1 2
0 ⎝
dt ⎠
Praktikoje naudojamos šios prispaudimo f z ( ξ) funkcijos:
• Eksponentinė priklausomybė
f ( ξ)=
f e L
0 , kai λ≥0 ; (5.29)
z
z
λξ
−
• Parabolės priklausomybė
F ⎡
2
3 z ⎛ 2ξ
− L ⎞ ⎤
fz
( ξ)= ⎢1
−⎜
⎟ ⎥ ; (5.30)
2L
⎣⎢
⎝ L ⎠ ⎦⎥
• Sinuso priklausomybė:
f
z
πFz
⎛ πξ ⎞
( ξ)=
⎜ ⎟
2L
sin . (5.31)
⎝ L ⎠
s

Kai padangos kontakte veikiantys greičiai Rw d R, vv , s yra pastovūs,
tada gauname, kad lokalinė koordinatės z išvestinė yra lygi
nuliui, t. y. ∂ z ( t,ξ
)
0 ir lygtis, aprašanti z( t,ξ) koordinatės kitimą
=
∂t
pagal išskirstytų parametrų Lugre padangos modelį, yra:
čia C
vs
Rw d R = vs
−σ0 z( t,
ξ)
. (5.32)
∂ξ
g( vs
)
Esant kraštinei sąlygai z( t,ξ= 0)=
0, lygties sprendinys yra lygus:
∂ z( t,
ξ)
C
2 ( 1
1
)
z( ξ)= C −e
2
σ0
vs
=−
g ( v ) Rw
s
d
( )
g v
` ξ s
sign( vs
), (5.33)
σ
Nusistovėjusiam rato judėjimui dz t ,ξ
veikianti išilginė sankybio jėga F dt
x lygi:
L
R
.
( ) ( )
0
174
( ) = 0 , padangos kontakte
Fx()= t ∫ σ0z( t, ξ)+
σ2vs fz
ξ dξ
. (5.34)
0
Pastoviam prispaudimo jėgos pasiskirstymui, kai sumarinė vertikali
jėga lygi F z0 , padangos kontakte veikianti išilginė sankybio jėga
F x yra lygi:
⎡⎛
⎛ L
− ⎞⎞
⎤
C C
Fx
= ⎢⎜
2
1− ⎜1−
e
2 ⎟⎟
g( vs) sign( vs)+
σ v ⎥
⎢
2 s F
⎜ L ⎜ ⎟⎟
⎥⎥ z0
, (5.35)
⎣⎢
⎝ ⎝ ⎠⎠
⎦
g vs Rw d R
čia C2
= ( ) .
σ0
vs
Kai prispaudimo funkcija f z ( ξ)yra pasiskirsčiusi pagal eksponentės
dėsnį (5.29), padangos kontakte veikianti išilginė sankybio
jėga F x yra lygi:
Lfz0
Fx
=
LC ( C + vs)−
vs Fz
LC −
⎡⎣ 1 σ0 2 σ2 λσ2
⎤ ⎦ 0 +
λ λ
( )
1

−λ
Lfz0e
⎡
LC
C LC e
1
0 2( − 1−
)+ 2vs
( −LC1
) ⎤
λ LC − λ ⎣
σ λ λ σ λ ⎦
. (5.36)
( )
1
( )
Kai prispaudimo funkcija f z ξ pasiskirsto pagal sinuso dėsnį
(5.31), padangos kontakte veikianti išilginė sankybio jėga F x yra lygi:
F
x
Fz
=
LC + π
2
1
2 2
( )
⎡ 2 2
2 2 LC
2LC ( C + vs)+ vs
+ C − e ⎤
⎣ 1 σ0 2 σ2
2πσ 1
2 πσ 0 2
⎦ .
( )
(5.37)
Kai prispaudimo funkcija f z ξ pasiskirsto pagal parabolės dėsnį
(5.30) , padangos kontakte veikianti išilginė sankybio jėga F x yra lygi:
F
x
Fz
LC
= ⎡
3 3
3 3
− σ C ( + LC −L C )+ C e ( −LC )+ vsLC
3 3 0 2 12 6 1 1 6σ 1
0 2 2 1 σ ⎤
2 1
LC ⎣
⎦ .
1
(5.38)
Išskirstytų parametrų Lugre modelio parametrų reikšmės parodytos
5.5 lentelėje.
5.5 lentelė. Išskirstytų parametrų Lugre padangos modelio parametrų reikšmės
Parametras σ 0 σ 1 σ 2 µ c µ s v str
Reikšmė 181,54 0 0,0018 0,8 1,55 12,5
Vienetas 1/m s/m s/m – – m/s
5.3.2. Paceikos modelis
Mokslinkas Pacejka H.B. pasiūlė padangos modelį (Pacejka
Magic Formula), kuriame įvertinami sekantys parametrai: normalinė
jėga; išilginis santykinis slydimas; skersridės kampas; išvirtimo kampas.
Pacejkos pateikta bedroji formulė nustatyti kontakte veikiančias
jėgas priklauso nuo keturių parametrų (B, C, D, E) yra lygi:
čia y x
( ( ( )))
( )= − − ( )
( ) – kontakte veikianti jėga arba momentas;
y x Dsin Carctg Bx E Bx arctg Bx , (5.39)
175

Y( X)= y( x)+ S v , x= X + S h , (5.40)
čia: S v
, S h
– atitinkamo parametro postumis vertikale arba horizontalia
kryptimi; B, C, D, E – parametrai, kurie priklauso nuo modelio
pagrindinių parametrų; X – argumentas (išilginis santykinis slydimas
s x arba skersridės kampas α).
Parametrų B, C, D, E išraiškos yra lygios:
C = 0 ; D= bF + b F
B =
b x
( ) −
2
bF
3 z
+ bF
4 z
e
CD
( )
1 z 2 z;
bF 5 z
, (5.41)
2
E = bF
6 z
+ bF
7 z
+ b8; Sh
= b9Fz
+ b ; S = 0.
10 v
Trijų parametrų sandaugą BCD lygi standumo koeficientui išilgine
padangos kryptimi arba skersridės kampo kryptimi, atitinkamai.
Sankybio jėga veikianti išilgai padangos yra lygi:
F = Dsin Carctg( B Φ ) , (5.42)
( )
x x x x x
čia: B x
, C x
, D x
, Φ x parametrai nustatomi pagal tokias išraiškas:
( )
C x
=165 , ; D = b F z
+ b F ;
B
=
x x1 0 x2 z0
( ) −
b F 2
x3 z0
+ bx4Fz0
e
CD
x
x x
2
E x
= b x 6F z 0
+ b x
F z
+ b x
x
Φ x
= −E
x
Bx
čia: σ=100 λ; F
bx5Fz0
176
;
7 0 8 (5.43)
E
1 σ arctg B σ ,
( ) − ( )
z0
x
Fz
= ; F
1000
z
– vertikali jėga, N.
Sankybio jėgos F x priklausomybė nuo išilginio santykinio slydimo
koeficiento s x prie skirtingų vertikalių jėgų F z
parodytos 5.12 pav.

5.12 pav. Jėgos F x priklausomybė nuo išilginio santykinio slydimo
koeficiento λ prie skirtingų vertikalių jėgų F z
Sankybio jėga veikianti padangos skersine kryptimi yra lygi:
Fy = Dsin
y ( Carctg
x ( ByΦ y)
)+ S
yv, (5.44)
čia: B y
, C x
, D y
, Φ y
parametrai nustatomi pagal tokias išraiškas:
( )
( )
C y
=130 , ; D = b F z
+ b F ;
B
S
y
yh
y y1 0 y2 z0
( )
b sin b arctg b F
=
CD
y3 y4 y5 z0
y
y
( )
2
; E y
= b y 6F z 0
+ b y
F z
+ b y
7 0 8
= by
9
γ ; S b F
2
yv
=
y10
z
+ b
y11 F
z
γ (5.44)
Φ y
= −E
y
S yh
By
( B( Syh
))
E
1 ( α )+ arctg α+
( ) +
∆By =−by 12
γ By
.
Sankybio jėgos F y
priklausomybės nuo skersridės kampo α prie
skirtingų vertikalių jėgų F z
parodytos 5.13 pav. Sankybio jėgos F y
priklausomybės nuo skersridės kampo α prie skirtingų padangos išvirtimo
kampo γ parodytos 5.14 pav.
177

5.13 pav. Jėgos F y priklausomybė nuo skersridė kampo α
prie skirtingų vertikalių jėgų F z
5.14 pav. Jėgos F y
priklausomybė nuo skersridės kampo α
prie skirtingų vertikalių jėgų F z
Stabilizuojantis sukimo momentas yra lygus:
Mz = Dsin
m ( Carctg
m ( BmΦ m)
)+ Smv, (5.45)
čia: B m , C m , D m , Φ m
parametrai nustatomi pagal tokias išraiškas:
( )
C m
= 240 , ; Dm = bm 1F z 0
+ bm2 Fz0;
bm
Fz
( b F 2
m z
+ bm Fz
) e
− 5 0
3 0 4 0
Bm
=
;
C D
m
m
178

2
E m
= b x 6F z 0
+ b m
F z
+ b ;
7 0 m 8
S
mh
= b γ 9 ; 2
S = b F + b F
m
( )
mv m10
z m11 z
γ;
E
1 ( α )+ arctg α+
B
( ) +
m
Φ m
= −E
m
S mh
∆By =−bm 12
γ B ; ∆E
m
m
m
Em
= − Em
1 − b γ .
13
m
( Bm( Smh
))
Stabilizuojančio momento M z
priklausomybės nuo skersridės
kampo α prie skirtingų vertikalių jėgų F z
parodytos 5.15 pav.
5.15 pav. Jėgospriklausomybė nuo skersridės kampo prie skirtingų
vertikalių jėgų
Koeficientų bij (i = x, y, m; j = 0..13) reikšmės parodytos
5.6 lentelėje.
5.6 lentelė. Koeficientų bij reikšmės
b x0 b x1 b x2 b x3 b x4 b x5 b x6 b x7 b x8 b x9 b x10 b x11 b x12 b x13
1,25 –21,3 1114 49,6 226,0 0,208 –0,006 –0,056 0,486 0,0 0,0 0 0,0 0,0
b y0 b y1 b y2 b y3 b y4 b y5 b y6 b y7 b y8 b y9 b y10 b y11 b y12 b y13
1,30 –22,1 1011 1078 1,820 0,208 0 –0,354 0,707 0,028 0 14,80 0,022 0
b m0 b m1 b m2 b m3 b m4 b m5 b m6 b m7 b m8 b m9 b m10 b m11 b m12 b m13
2,40 –2,72 –2,28 –1,860 –2,73 0,110 –0,070 0,643 –4,04 0,015 –0,066 0,945 0,030 0,070
179

5.3.3. HSRI modelis
Greitkelio saugumo tyrimo instituto ( JAV) (Highway Safety
Research Institute, USA) mokslininkai L. Segel, H. Dugoff, P. Favcher
sukūrė padangos modelį, kuriame įvertinama: normalinė jėga; išilginis
santykinis slydimas; išilginis ir kampinis kontakto standumas; sankybio
koeficientas.
Išilginis santykinis slydimo koeficientas yra lygus:
s
x
n
vx
kai RRd vx
= − ⎛ kai n
⎝ ⎜ ⎞
⎧⎪
1,
ω ≥
1 ⎟ , = ⎨
ωRRd
⎠
⎩⎪ − 1,
kai ω R < v
n
180
R d x
(5.46a)
RRd
kai RRd vx
sx
= − ⎛ kai n
⎝ ⎜ ω ⎞
⎧⎪
1,
ω ≤
1 ⎟ , = ⎨
,(5.46b)
vx
⎠
⎩⎪ − 1,
kai ωRRd > vx
čia v x – išilgai padangos linijinis greitis; ω, R d – padangos kampinis
greitis ir dinaminis spindulys, atitinkamai.
Sankybio koeficientas išilgai padangos yra lygus:
µ = µ
⎛
2 2
⎜ − + ( α
⎞
max
1 Av
s x
sx
tg ) ⎟ , (5.47)
⎝
⎠
čia: µ max
– maksimalus sankybio koeficientas (statinis µ max
= 083 , );
A s – koeficientas, įvertinantis sankybio koeficiento sumažėjimą
( A s
≈ 0, 0115)
Sankybio jėga, veikianti išilgai padangos, yra lygi:
⎧ ⎛ ⎞ 1
C»
⎜ ⎟ Fz
, kai H ≥
⎪ ⎝1−
λ ⎠ 2
Fx
=
, (5.48)
⎨
⎪ ⎛ λ ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1
C»
⎜ ⎟ Fz
⎜ − ⎟ , kai H<
2
⎩⎪
⎝1−
λ ⎠ ⎝ H 4H
⎠ 2
o sankybio jėga, veikianti padangos skersine kryptimi, yra lygi:
⎧ ⎛ 1 ⎞
1
C∝
⎜ ⎟ Fz
tg( α) , kai H <
⎪ ⎝1−
λ ⎠
2 , (5.49)
Fy
= ⎨
⎪ ⎛ λ ⎞ ⎛ 1 1 ⎞
C∝
⎜ ⎟ Fz
tg( α) ⎜ −
⎝1−
λ ⎠ ⎝ H 4H
2 ⎟,kai H ≥
1
⎩⎪
⎠ 2

čia ∝ skersridės kampas; C s , C ∝ – standumo koeficientai išilgine
padangos kryptimi ir skersridės kampo kryptimi, atitinkamai
⎛
C = dF
s
C = dF ⎞
x
y
⎜ ,
; H – modelio parametras,
∝ ⎟
⎝ dSx
d ∝ ⎠
H =
2 2
⎛ C
Ctg
ss
⎞ ⎛ ⎞
x
α
α
. (5.50)
⎜
⎝ ( 1−
s ) F ⎜
⎠ ⎝ ( − ) F ⎟
x
µ
z
1 λ µ
z ⎠
⎟ + ( )
Kai H < 1 2
nedidelis sukibimas, o kai H ≥ 1 2
, tai padangos ir kelio pavirčiaus kontakte egzistuoja
, tai kontakte egzistuoja sukibimas
(adhezija) ir slydimas.
Kai išilginis santykinis slydimo koeficientas λ ir skersridės
kampas ∝ yra pakankamai dideli (vyksta didelis slydimas x ir y ašių
kryptimis), tada kontakte veikiančias sankybio jėgas ( Fx, Fy ) galima
nustatyti taip:
Cssx
Fx
= FR
;
2 2
( C s ) + ( C α α )
s
x
F = Cαα
∝
F
2 2
R
( C s ) + ( C α)
, (5.51)
s
x
α
2
čia FR = Fx0
+ F
02 y
, jėgos Fx0, Fy0
nustatomos iš (5.48) ir (5.49)
išraiškų.
Sankybio jėgos, veikianti išilgai padangos F x priklausomybė nuo
išilginio santykinio slydimo koeficiento λ prie skirtingų skersridės
kampų α parodyta 5.16 pav.
Sankybio jėgos veikianti skersai padangos F y priklausomybė nuo
išilginio santykinio slydimo koeficiento λ prie skirtingų skersridės
kampų α parodyta 5.17 pav.
181

Sankybio jėgos veikianti skersai padangos F y priklausomybė
nuo sankybio jėgos, veikiančios išilgai padangos F x prie skirtingų
skersridės kampų parodyta α 5.18 pav.
5.16 pav. Sankybio jėgos veikianti išilgai padangos F x priklausomybė nuo
išilginio santykinio slydimo koeficiento s x prie skirtingų skersridės kampų
α , kai F = 3000 z
N ; C = 40000 N ; C s α
=15000 N / rad ;
v = 60 x km/val.; /
A = 0, 0115;
µ = 083 ,
s max
5.14 pav. Sankybio jėgos veikianti skersai padangos F y priklausomybė nuo
išilginio santykinio slydimo koeficiento s x prie skirtingų skersridės kampų
α α , kai F = 3000 z
N ; C = 40000N ; C s α
=15000N / rad ;
v = 60 x km/val.; /
A = 0, 0115 ; µ = 083 ,
s max
182

5.15 pav. Sankybio jėgos veikianti skersai padangos F y
priklausomybė nuo
sankybio jėgos veikiančios išilgai padangos F x
prie skirtingų skersridės
kampų α α , kai F = 3000 z
N ; C = 40000 N ; C s α
=15000 N / rad ;
v = 60 x km/val.; /
A = 0, 0115 ; µ = 083 ,
s max
5.3.4. Dugofo modelis
Dugofo modelis (1969) labai panašus į Pacejkos ir Šarpo padangų
modelius. Dugofo modelyje priimta, kad padangos ir kelio sąveikos
kontakto plote slėgis yra pastovus. Tačiau tokia priimta prielaida nesumažina
šio padangos modelio efektyvumo, nes padangos standumai
išilgai padangos ir skersridės kampo kryptimi yra nepriklausomi.
Dugofo padangos medelyje įvertinama: normalinė jėga; išilginis santykinis
slydimas; išilginis ir kampinis kontakto standumas; sankybio
koeficientas.
Išilginis santykinis slydimo koeficientas yra lygus:
s
x
⎧ RdωR − vx
, kai kai vyksta vyksta stabdymas
⎪ vx
= ⎨
⎪ RdωR − vx
, kai vyksta pagreitėjimas
t ⎩
⎪ RdωR
(5.52)
Sankybio jėga,veikianti išilgai padangos, yra lygi:
183

F
x
=
C λ
⎛ sx
⎜
⎝1+
s
x
⎞
f
⎠
⎟ ( σ)
, (5.53)
o sankybio jėga, veikianti padangos skersine kryptimi,yra lygi:
( )
⎛ ∝ ⎞
Fy
= C ⎜
∝ ⎟ f ( σ ), ⎝ 1+
sx
⎠
(5.54)
čia σ – parametras, kuris yra lygus:
µFz( 1−
sx)
σ =
2
2 ( Cs
s x) + C 2
α ( α)
, (5.55)
funkcija f ( σ) yra lygi:
( )
( ) <
⎧ 2−
σ σ,
kai σ 1
f ( σ)=
⎨
, (5.56)
⎩ 1,
kai σ ≥1
C s , C ∝ – standumo koeficientai išilgine padangos kryptimi ir
skersridės kampo kryptimi, atitinkamai; µ – išilginis sankybio koeficientas;
F z
normalinė jėga.
Panaudojant Dugofo padangos modelį, galima nustatyti trinties
jėgų apskritimo paramatrus:
⎛
⎜
⎜
⎝
čia F
x
F
F
x
+ F
2 2
x y
⎛ sx
= C s ⎜
⎝1−
s
2
⎞ ⎛ Fy
⎟
⎟ + ⎜
⎜
⎠ ⎝
Fx
+ F
x
⎞
⎟ ; F
⎠
y
2 2
y
Sankybio koeficientas tada lygus:
2 2
x y
µ a
=
F
+ F
184
2
⎞
⎟ 1
⎟ = , (5.57)
⎠
( )
⎛ ∝ ⎞
= C ⎜
tg ∝ ⎟ . (5.58)
⎝ 1−
sx
⎠
. (5.59)
Fz
Kai parametras yra σ >1, tada išilginio ir skersinio sankybio jėgos
yra mažesnės už jėgą µF z
/2 ir nustomos pagal (5.58) išraiškas.

Kai parametras yra σ

5.17 pav. Sankybio jėgos veikianti skersai padangos F y priklausomybė
nuo skersridės kampo α prie skirtingų vertikalių jėgų F z
,
kai C λ
= 40000 N; C α
=15000 N / rad ; λ = 010 , ; µ = 010 ,
5.3.5. Elastingos padangos modelis
Elastingos padangos modelį sukūrė Fiala (Fiala, 1954). Detalus
elastingos padangos modelio pristatymas pateiktas R. Rajamani knygoje
„Transporto priemonių dinamika ir valdymas“ (Springer, 2006).
Elastingos padangos modelis vienas iš paprasčiausių padangos
modelių, tačiau juo remiantis galima gauti įvairių padangos charakteristikų.
Esant nedideliam skersridės kampui α, kontakte padanga
deformuojasi skersine kryptimi. Kontakte padanga nagrinėjama kaip
tamprus kūnas, kurio standumo koeficientas skersine kryptimi, tenkantis
ilgio vienetui, yra ky ( x), skersinis poslinkis – γ( x) 5 (18 pav.).
Bendras kontakto ilgis yra 2a , o kontakto plotis – 2b. Kontakte skersinis
poslinkis yra lygus:
( )= = ( )
γ x sx tg α x,
čia α – skersridės kampas.
Kontakte veikianti elementari skersinė jėga lygi:
186
(5.63)
dF k γ x dx
(5.64)
y
= ( )
y
ir, suintegravę pagal kontakto ilgį 2a , gausime kontakte veikiančią
skersinę jėgą ir stabilizavimo momentą:

2a
2a
Fy
= ∫ kyγ( x) dx= ∫ kysxdx = 2 kysa
, (5.65)
0
2a
0
2a
2 3
M k x x a dx k sx x a dx k sa F a
z = ∫ yγ( )( − ) = ∫ y ( − ) = y = . (5.66)
y
0
0
3 3
Standumo koeficientas skersridės kampo kryptimi yra lygus:
dFy
Cα
= =2ka
y
2 . (5.67)
dα
2
5.21 pav. Elstingos padangos modelio schema
Esant dideliam skersridės kampui, slėgis kontakte yra pastovus:
p x
µ Fz
2a
2b
( )= ( )( )
. (5.68)
Maksimali skersridės jėga gali pasiekti dydį µF z .
187

Kontakte slydimo nėra, kai įvykdoma sąlyga:
2ak γ ( x)≤ µ F . (5.69)
y
z
Iš (5.69) sąlygos plaukia, kad maksimalus skersinis poslinkis lygus:
µ
γmax = F z
. (5.70)
2ak
y
Nagrinėjamas atvejis, kad skersinis poslinkis yra didesnis už
maksimalų poslinkį γ max (5.22 pav.):
⎧ γ
⎪
γ( x)=
⎨ x
⎪
⎩γ
max
s
max
,
,
0 ≤ x≤
x
s
x ≤ x≤2a
s
, (5.71)
čia x s – kontakto taškas, kuriame prasideda slydimas.
Skersridės jėga lygi:
x
2a
s γ
2a
max
Fy
= ∫ kyγ( x) dx= ∫ ky
xdx+ ∫ γmaxkydx
=
x
1
γ
2
0
max
0
s
xs
k x + k γ ( 2a−x
). (5.72)
Sakykime, kad
γ
tg( α)= s =
x
s
y s y max s
max ,
x s
γ max µ Fz
= = . (5.73)
s 2ak s
y
Tada skersridės (5.72) jėga yra lygi:
F
y
Fz
= Fz
− ( )
2
µ
µ
. (5.74)
2
8aks
y
188

5.22 pav. Skersinis poslinkis ir slydimo zona
Stabilizavimo momentas yra lygus:
x
2a
⎛ 1 ⎞
s γ
2a
max 2
Mz = ∫ kyγ( x) ⎜ x−
xs
⎟ dx= ∫ ky
xdx− ∫ kyγmax
xadx =
⎝ 2 ⎠ x
0
0
5 2 1
2
kyγmaxxs − kyγmax
2a
. (5.75)
6 2
M 1 1 2 µ Fz
µ Fz
z kyaγmaxxs kyγmax
xs
2
6 8kas
48aks
= − = ( ) − ( )
s
y
xs
2 3
3 2 2
y
. (5.76)
Sakykime, kad kontakte slėgis pasiskirsto pagal parabolės dėsnį
⎛ u
p( x)= p − ⎛ 2
⎝ ⎜ ⎞ ⎞
0
1
⎜ ⎟
, u = a− x . (5.77)
⎝
a ⎠ ⎟
⎠
Vertikali jėga, veikianti kontakte, yra lygi:
a
8
Fz
= ∫ 2bpudu ( ) = bp0 a . (5.78)
3
−a
Ir slėgio konstantą galima nustatyti iš (5.78):
p
0
3Fz
= .
8ba
Galutinė slėgio pasiskirstymo kontakte funkcija yra lygi:
189

3F
⎛
z ⎛ a−
x⎞
p( x)= 1−⎜
⎟
8ba
⎜
⎝ ⎝ a ⎠
2
⎞ Fz
x a x
⎟ = 3
( ( 2
⎠ ba
− ))
3 . (5.79)
8
Įveskime skersinio standumo į ploto vienetą koeficientą k ya
N/m 3 :
ky
kya
= . (5.80)
2 b
Tada galioja ryšis:
( ) = ( )
kya γ x µ p x
slydimas
z
,
3Fz
kyaγ( x) = ( x( 2a−x
slydimas
)), (5.81)
3
8ba
θ = 4 2
ba kya
1
; γ( x) = ( x( 2 a−x
slydimas
)).
3µ F
2aθ
Taške x s prasideda slydimas
1
γ( xs)= sxs = ( xs( 2 a−
xs)
);
2aθ
x 2 a 1−θ
s . (5.82)
s =
( )
Slydimo sritis yra xs < x ≤2 a .
Skersridės jėga lygi:
( )
xs
γ x
2a
s
kya
Fy
= 2b∫
kya
x dx + 2b
∫
x
a x 2 a −
2 θ
x dx
8bk
ya
a
6aθ
0
s
⎛ xs
1− ⎛ ⎝ ⎜
⎞
⎜ 2a
⎟
⎝ ⎠
xs
⎞
x
s
µ Fz
1
⎟ = ⎛
−⎛ 2a
⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎞
⎟
⎜
⎝ ⎠ ⎟ ,
⎠
3 3 3
bet x 2a 1 − sθ , tada skersridės jėga lygi:
s =
190
( ) =
F = µ F 1− 1−
sθ
3 . (5.83)
y
( )
z( ( ) )

Kai 0< x ≤2a
tada s ≤ 1 θ ir F
s ,
o kai s = 1 θ , tada F
Kai s ≥ 1 θ , tada
F
y
y
⎩⎪
θ
2
z
ya
.
Stabilizavimo momentas lygus:
1
θ
(5.85)
kai s > 0 ,
a
⎛
M b F a x dx F a x s ⎞ ⎛ xs
z =− y( − ) = z ⎜
a
⎝ a
⎟ − ⎛
⎠ ⎝ ⎜ ⎞⎞
2 ∫
µ ⎜1
a
⎟⎟, (5.86a)
−
2 ⎝ 2 ⎠⎠
Esant sąlygai F
y
≤µ F ;
z
3
kai s > 1 θ , M z = 0;
(5.86b)
kai s ≤ 1 θ ,
( )
2 3 4
Mz
µ Fza θs 3 θs 3 θs θs
. (5.86c)
= − ( ) + ( ) − ( )
191

Pagal Pacejka ir Šarpa (1991), bendroji kontakte veikianti jėga yra lygi:
⎧ ⎛ 1
⎞
µ Fz
− ( ) + ( ) − ( s)
kai
F =
⎜3σθ θσ θσ θ ⎟ σ≤
σ
⎝ 3 3 2 1
27 3 3 4
⎪
,
⎨
⎠
⎪
⎩
µ Fz,
kai σ>
σm
čia σm = 1 θ = 4 ba k
θ 3µ F
2
σ m – slydimo pradžios koeficientas.
Kontakte veikiančios jėgos yra lygios:
F
čia σ
σ
σ
x
x
x
y
z
ya
2
; σ= σ + σ
2 , (5.87)
y
x
= σ F ; Fy
= F
σx
σ , (5.88)
σ
R ω − v
=
R ω
d R x
d
R
– pagreitėjimas;
RdωR − vx
=
– stabdymas; (5.89)
vx
vx
= tg ( α).
R ω
d
R
5.3.6. Kiti padangos modeliai
Mokslininkai M. Nagai, S. Yamatak ir Y. Hirano pasiūlė paprastą
priklausomybę nustatyti padangos sankybio jėgą, veikiančią padangos
skersine kryptimi:
2 ⎛
F K F
F C ⎞
y
=
x z ⎜ ⎟
π µ π
arctg
⎝ 2µ
α α , (5.90)
z ⎠
čia ∝ , – skersridės kampas; K x , – koeficientas, įvertinantis išilginės
jėgos įtaką; C ∝
– standumo koeficientas skersridės kampo kryptimi,
⎛ dFy
⎞
atitinkamai ⎜C ∝
= ⎟ ; µ – išilginis sankybio koeficientas.
⎝ d ∝ ⎠
Sankybio jėgos F y
priklausomybės nuo skersridės kampo α prie
skirtingų vertikalių jėgų F z
parodytos 5.23 pav.
192
y
m

5.23 pav. Jėgos F y
priklausomybė nuo skersridės kampo α prie skirtingų
vertikalių jėgų F z
, kai K x
= 9; C ∝
=10 3 rad / N µ = 01 ,
Penkto skyriaus literatūra
Andrejewski, R. 2010. Dynamika pneumatycznego kola jednego Naukowo-
Techniczne. Warszawa.
Canudus, de Wit C.; Tsiotras, P.; Velenis, E.; Basset, M.; Gissenger, G.
Dynamic Friction Model for Road/Tire Longitudinal Interaction. Vehicle
system dynamics. October 14, 2002.
Dugoff, H.; Fanchrer, P. S.; Segel, L. Tire Performance Characteristics
Affecting Vehicle Response to Steering and Braking Control Inputs.
Highway Safety Research Institute, University of Michigan, Ann Arhor
(1969) Final Report National Bureau of Standarts Contact CST-460.
Nagai, M.; Yamatak, S.; Hirano, Y. 1996. Integrated Control Law of
Active Rear Steering Control. In Proc. 3rd International Symposium on
Advanced Vehicle Control. 451–469 p.
Pacejka, H. B.; Sharp, R. S. 1991. Shear Force Generation by Pneumatics
Tyres in Steady State Conditions: a Review of Modeling Aspects. Vehicle
system dynamics, 20, 121–176 p.
Rajesh Rajamani. 2006. Vehicle Dynamics and Control. Springer.
Reza, N. Jazar. 2008. Vehicle Dynamics: Theory and Applications. Springer.
193

6. Geležinkelio aširačio sąveikos su
bėgiu teorijos
6.1. Herco ir Kalkerio teorija
Tampriųjų kūnų tarpusavio kontakte veikiantys įtempimai nustatomi
panaudojant Herco sukurtą teoriją. H. Hercas (Heinrich Hertz)
(1857–1894) – vokiečių fizikas. Jis patikslino šviesos teoriją ir pirmasis
įrodė elektromagnetinių bangų egzistavimą.
Dviejų tampriųjų kūnų kontakte veikia tangentiniai τzx, τzy
ir normaliniai
σ zz įtempimai. Kai vyksta dviejų kūnų slydimas vienas kito
atžvilgiu, kontakte tam tikruose taškuose atsiranda slydimas, t. y. dviejų
kūnų kontakto taške kūnų greičiai yra skirtingi. Tarp dviejų kūnų trinties
jėga nelygi nuliui, kai yra tarp kūnų kontaktas, kūnų greičiai yra
skirtingi ir prispaudimo jėga nelygi nuliui. Todėl kontakto plote atsiranda
trinties jėgos ir šių jėgų momentas. Nagrinėjant aširačio ir bėgio
paviršiaus sąveiką, panaudojant Herco teoriją, reikia žinoti kreivumo
kūnų spindulius. Aširačio ir bėgio geometrija yra gana sudėtinga, t. y.
kiekvieno kūno paviršiuje kreivumo spindulys yra kintamas 6.1 pav.
6.1 pav. Bėgio ir aširačio geometrija ir sąveika
194

Aširačio ir bėgio kontakto geometrija – elipsė, kurios pusašės yra
a ir b. Priklausomai nuo judėjimo sąlygų, aširačio ir bėgio kontakte atsiranda
sritys, kuriose nėra slydimo ir yra nedidelis slydimas 6.2 pav.
6.2 pav. Aširačio ir bėgio kontakto geometrija ir slydimo ir sukibimo sritys
Aširačio ir bėgio kontakto centre įvedama koordinačių sistema
xk, yk, zk
. Ašis x k nukreipta aširačio judėjimo kryptimi, z k nukreipta
statmenai bėgio paviršiui, o y k – statmena plokštumai, kurią
sudaro x k ir z k ašys. Iš koordianačių
centro
kiekvienos ašies kryptimi
nukreipti
vienetiniai
vektoriai e1, e2, e , be to, galioja priklausomybė
3
e2 = e1 × e .
3
Įvesime kreivumo spindulius: RR1, RB1
ir RR2, RB2. Aširačio spinduliai:
RR1, RR2
ir bėgio spinduliai: RB1, RB2. Spinduliai su indeksu
„1“ guli plokštumoje, kurią sudaro vienetiniai vektoriai e1, e3, spinduliai
su indeksu „2“ guli plokštumoje, kurią sudaro vienetiniai vektoriai
e1, e2
.
Kontakto ploto pusašių reikšmės yra lygios:
195

a=
m
3
2
31 ( − ν ) F
( )
E A+
B
z
; b=
n
3
2
31 ( − ν ) F
( )
E A+
B
z
, (6.1)
čia F z – prispaudimo jėga; AB , – parametrai, kurie yra lygūs:
1 1 1 1
A = + ; B = + ; (6.2)
R R R R
R2 B2
R1 B1
m, n – Herco parametrai, kurie priklauso nuo kampo ϑ :
−
ϑ= arr cos( A B
A+
B
) (6.3)
π
2
π
,
2
0 ≤ϑ
≤ , tai a>
b
π
2
ϑ = tai a=
b
< ϑ≤ π,
tai a<
b
ir nustatomi iš 6.1 lentelės; E – tamprumo modulis; ν – Puasono
koefi cientas.
Kai aširačio ir bėgio medžiagų mechaninės savybės yra skirtingos,
tada tamprumo, šlities moduliai ir Puasono koeficiento atitinkamos
išraiškos yra lygios:
E
G =
2( ( 1+
ν )
; 1 1 ⎛ 1 1
= ⎜ +
G 2 ⎝ GR
G
ν 1 ⎛ νR
ν
= ⎜ +
G 2 ⎝ GR
G
B
B
⎞
⎟ ;
⎠
2
B
⎞
⎟ ; G GG R B
=
⎠ GR
+ G
1−
ν 1 1−
1
=
⎛ νR
⎜ + − ν
E 4 ⎝ GR
GB
B
B
; (6.4)
⎞
⎟ .
⎠
Kontakte veikiančios sankibio jėgos ir momentas yra lygūs:
f
xk
= ∫ τ zxdA
; f yk = ∫ τ zy dA ; Mzk ∫ τzy xk−τ zxyk
dA . (6.5)
A
A
= ( )
Pagal Herco teoriją, kontakte veikiantis slėgis pasiskirsto pagal
dėsnį (6.3 pav.):
A
196

2 2
3Fz xk yk
p( xk,
yk)= − ⎛ ab ⎝ ⎜ ⎞
a
⎟
⎠
− ⎛ ⎝ ⎜
⎞
1
2π
b
⎟
⎠
(6.6)
6.3 pav. Slėgio pasiskirstymas aširačio ir bėgio kontakte: Fz =120 KN
6.1 lentelė Herco kontakto teorijos parametrų reikšmės
q m n g=b/a=n/m q m n
g=b/
a=n/m
0 ∞ 0 0 90 1 1 1
0,5 61,40 0,1018 0,00166 95 0,944 1,061 0,890
1 36,89 0,1314 0,00356 100 0,893 1,128 0,792
1,5 27,48 0,1522 0,00554 105 0,846 1,202 0,704
2 22,26 0,1691 0,00760 110 0,802 1,284 0,625
3 16,50 0,1964 0,0119 115 0,759 1,378 0,551
4 13,31 0,2188 0,0164 120 0,717 1,486 0,483
6 9,79 0,2552 0,0261 125 0,678 1,611 0,421
8 7,86 0,2850 0,0363 130 0,641 1,754 0,365
10 6,604 0,3112 0,0471 135 0,604 1,926 0,314
20 3,813 0,4123 0,108 140 0,567 2,136 0,265
30 2,731 0,493 0,181 145 0,530 2,397 0,221
35 2,397 0,530 0,221 150 0,493 2,731 0,181
40 2,136 0,567 0,265 160 0,4123 3,813 0,108
197

45 1,926 0,604 0,314 170 0,3112 6,604 0,0471
50 1,754 0,641 0,365 172 0,2850 7,86 0,0363
55 1,611 0,678 0,421 174 0,2552 9,79 0,0261
60 1,486 0,717 0,483 176 0,2188 13,31 0,0164
65 1,378 0,759 0,551 178 0,1964 16,50 0,0119
70 1,284 0,802 0,625 178 0,1691 22,26 0,00760
75 1,202 0,846 0,704 178,5 0,1522 27,48 0,00554
80 1,128 0,893 0,792 179,0 0,1314 36,89 0,00365
85 1,061 0,944 0,890 179,5 0,1018 61,40 0,00166
90 1,00 1,00 1 180 0 ∞ 0
Pagal Kalkerio teoriją, kontakte veikiančių jėgų vektorius yra lygus:
{ F }=−[ H]{ V }, (6.7)
k
čia { Fk}= ⎡ ⎣
Fxk Fyk Mzk
⎤ ⎦ ; V s
⎡ f
[ H
⎢
]=
⎢
0
⎣⎢
0
11
s
T
0 0 ⎤
f f
⎥
22 23 ⎥ ;
− f23 f33
⎦⎥
{ } – slydimo greičių vektorius;
f
f
= abGC
= abGC
11 11
22 22
32
23 = ( ) 23
2
f33
= ( ab)
GC33
f ab GC
; (6.8)
C ij – Kalkerio parametrai, Cij
Cij
ab,ν nustatomi iš 6.2 lentelės.
= ( )
6.1 lentelės pabaiga
198

6.2 lentelė. Kalkerio C ij parametrai
C11 C22 C23 C33
g n=0 0,25 0,5 0 0,25 0,5 0 0,25 0,5 0 0,25 0,5
0,0
2
π /( 41 ( −ν))
≠ 2 / 4 π g /( 31 ( −ν))
⋅
[ 1+ ν( Λ/ 2+ ln 4−5)]
2
π /( 16( 1−
ν ) g)
a/b
b/a
0,1 2,51 3,31 4,85 2,51 2,52 2,53 0,33 0,473 0,73 6,42 8,28 11,7
0,2 2,59 3,37 4,81 2,59 2,63 2,66 0,48 0,603 0,81 3,46 4,227 5,66
0,3 2,68 3,44 4,80 2,68 2,75 2,81 0,61 0,715 0,89 2,49 2,96 3,72
0,4 2,78 3,53 4,82 2,78 2,88 2,98 0,72 0,823 0,98 2,02 2,32 2,77
0,5 2,88 3,62 4,83 2,88 3,01 3,14 0,83 0,929 1,07 1,74 1,93 2,22
0,6 2,98 3,72 4,91 2,98 3,14 3,31 0,93 1,03 1,18 1,56 1,68 1,86
0,7 3,09 3,81 4,97 3,09 3,28 3,48 1,03 1,14 1,29 1,43 1,50 1,60
0,8 3,19 3,91 5,05 3,19 3,41 3,65 1,13 1,25 1,40 1,34 1,37 1,42
0,9 3,29 4,01 5,12 3,29 3,54 3,82 1,23 1,36 1,51 1,27 1,27 1,27
1,0 3,40 4,12 5,20 3,40 3,67 3,98 1,33 1,47 1,63 1,21 1,19 1,16
0,9 3,51 4,22 5,30 3,51 3,81 4,16 1,44 1,59 1,77 1,16 1,11 1,06
0,8 3,65 4,36 5,42 3,65 3,99 4,39 1,58 1,75 1,94 1,10 1,04 0,95
0,7 3,82 4,54 5,58 3,82 4,21 4,67 1,76 1,95 2,18 1,05 0,97 0,85
0,6 4,06 4,78 5,80 4,06 4,50 5,04 2,01 2,23 2,50 1,01 0,90 0,75
0,5 4,37 5,10 6,11 4,37 4,90 5,56 2,35 2,62 2,96 0,96 0,82 0,65
0,4 4,84 5,57 6,57 4,84 5,48 6,31 2,88 3,24 3,70 0,91 0,75 0,55
0,3 5,57 6,34 7,34 5,57 6,40 7,51 3,79 4,32 5,01 0,87 0,67 0,45
0,2 6,96 7,78 8,82 6,96 8,14 9,79 5,72 6,63 7,89 0,83 0,60 0,34
0,1 10,7 11,7 12,9 10,7 12,8 16,0 12,2 14,6 18,0 0,80 0,53 0,23
Aširačio ratų (kairiojo ir dešiniojo) kontakte su bėgiais slydimo
greičiai lygūs:
T
T
{ V }= [ A ] { V }+ [ A ][ ω ][ A ] { r }, (6.9a)
sk
31 c 31 c 31
T
T
{ V }= [ A ] { V }+ [ A ][ ω ][ A ] { r }, (6.9b)
sd
31 c 31 c 31
{ } – aširačio masių centro greičių vektorius bendroje koordina­
[ ] – antisimetrinė matrica, sugeneruota iš aširačio
čia V c
čių sistemoje; ω c
masių centro kampinio greičio vektoriaus { ω }=[ ϕ
−Ω ϕ
],
199
ck
cd
c
1 3

⎡ 0
ω̃
⎢
[ c ]= ϕ̇
⎢
⎣⎢
Ω
−ϕ̇
0
ϕ̇
3
3 1
apie X c , Y c ir Z c ašis, atitikamai;
1
−Ω
⎤
−ϕ̇
⎥
⎥ ; ϕ 1 , ⏐ , ϕ 3 – aširačio kampiniai greičiai
0 ⎦⎥
[ A 31 ] – koordinačių transformacijos matrica,
[ ]= ( )
( ) − ( )
⎡cos
ϕ3 sin ϕ3
0⎤
⎡1 0 0 ⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
A31 ⎡
⎣A3 ϕ3 ⎤
⎦ ⎡⎣ A1( ϕ1)
⎤ ⎦ = ⎢sin( ϕ3) cos( ϕ3)
0⎥
⎢0
cos( ϕ1) − sin( ϕ1)
⎥
⎢
⎣ 0 0 1⎥
⎢
⎦ ⎣0
sin( ϕ1) cos( ϕ1)
⎥
⎦
{ r ck }, r d
{ } – aširačio kairiojo ir dešiniojo ratų kontakto vektoriai
užrašyti aširačio koordinačių sistemoje,
[ ]
{ rck
}= 0 −a −RRk
; { r }= 0 a −R
.
cd
200
[ ]
Rd
6.2. Euristinis netiesinis modelis
Euristinis netiesinis aširačio ir bėgio sąveikos modelis buvo sukurtas
mokslininkų Z. Shen, J. Hendrick, J. Elkins (1983). Pirmu priartėjimu
sankybio jėgos skaičiuojamos panaudojant tiesinį Kalkerio
modelį (6.7), t. y.
⎧ F ⎫
xk
⎪ ⎪
{ Fk
}= ⎨ Fyk
⎬ =−[ H]{ Vs}.
⎪ ⎪
⎩M
zk ⎭
Po to skaičiuojama atstojamoji jėga:
FΣ = 2
Fxk
+ 2
Fyk
. (6.10)
Slydimo jėga yra lygi:
⎧ ⎡
F F F
Fz
− ⎛ 2 3
Fs
= Fz ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤
⎢ Σ 1 Σ 1 Σ
⎪µ
⎟ + ⎜ ⎟ ⎥
⎨ ⎢µ 3 µ Fz ⎠ 27 ⎝ µ Fz
⎣
⎠ ⎥, kai FΣ ≤3 µ Fz
,(6.11)
⎪
⎦
⎩⎪
µ Fz
, FΣ
> 3µ
Fz
;

čia µ – trinties koeficientas,
⎡( ) −
−B ε
µ = µ − ⎤
0 1 Ae A , (6.12)
⎣
⎦
čia µ 0 – statinis trinties koeficientas, ε – kontakto taško bendras
santykinis slydimas, ε=0... 0, 2 ; AB , – parametrai,
µ ∞
A = , ( A= 04 , ; B= 060 , ; µ 0 = 0,
55 , kai sausa trintis;
µ 0
A= 04 , ; B= 020 , ; µ = 0,
30 , kai drėgnas paviršius).
0
Pagal euristinį netiesinį modelį sankybio jėgos lygios:
Fs
FxkN
F
F
F
=
s
xk ; FykN
=
F
F yk . (6.13)
Σ
Σ
6.3. Miulerio modelis
Pagal Miulerio modelį sankybio jėgos lygios:
F
=−ξ F ; F =−ξ F , (6.14)
x x xy
y y xy
čia ξ x , ξ y – santykiniai slydimai x ir y ašių kryptimis,
V V
x
y
ξ x = ; ξ y = ; (6.15)
Vcx
Vcx
V cx – aširačio masių centro judėjimo greitis ; V x , V y – greičiai
kontakto taške;
F
xy
1000Kc
=
⎡
m
Kc
+ ⎛ ⎝ ⎜ ξ ⎞ ⎤
⎢1
P
⎟ ⎥
⎣
⎢ µ ⎠ ⎦
⎥
1
m
Kc = P ( 235 − P ( 24 , − 001 , P )) .
−
; P=
10 3 F z ; (6.16)
201

6.4. Kitos aširačio sąveikos su bėgiu teorijos
Kairysis ir dešinysis bėgių paviršiai suskaidyti į tam tikrą skaičių
erdvinių devynių mazgų izoparametrinių baigtinių elementų (6.4 pav.).
6.4 pav. Bėgio R65 paviršius
Aširačio rato profilis aproksimuojamas tam tikrų taškų skaičiumi.
Priklausomai nuo aširačio padėties geležinkelyje ieškoma kiekvieno
rato profilio penetracija ∆ P į bėgio paviršių (6.5 pav.).
202

6.5 pav. Aširačių ir bėgio R65 sąveika
Suradus rato profilio taško P penetraciją ∆ P , normalinė bėgio
profiliui jėga, veikianti aširatį, lygi:
F
N
= k∆ , (6.17)
P n
čia k – bėgio standumas; n – laipsnio rodiklis, n=3/2 (pagal Herco
teoriją). Kairiojo kontakto jėgos dedamosios, užrašytos aširačio koordinačių
sistemoje, yra lygios:
203

F
= F cos( α ) ; F = F sin( α ) , (6.18)
YK N N
ZK N N
čia α N – kampas tarp normalės, pravestos bėgio paviršiui, ir aširačio
rato Y ašies.
Aširačio kairiojo rato ir bėgio kontakto taške P veikiančios trinties
jėgos yra lygios:
čia ε
F
F
TRXK
TRYK
⎧ K
TKsign
K kai
= − ε1
⎪
( ε ) , ε
⎨ ε
≠
⎪
⎩ 0,
kai ε = 0
⎧ ε2K
⎪ TKsign
ε K , kai ε
⎨ ε
⎪
⎩ 0,
kai ε = 0
1 0
2 0
= − ( ) ≠
, (6.19)
, (6.20)
, ε – kontakto taško santykinis slydimas X ir Y ašimis
1K
2K
vXK
vYK
2 2
ε 1 K = ; ε 2 K = ; ε= εiK
+ ε2K
; (6.21)
vC1
vC1
v C1 – aširačio masių centro greitis; vXK
, vYK
– kontakto taške P
aširačio greičiai.
i-ojo aširačio kairiojo rato kontakto su bėgiu taške P greičio vektorius
lygus:
⎧vXK
⎫
⎪ ⎪
{ vP}=
⎨vYK
⎬ = { q Vi }+ ⎡A ⎣ ( ϕ ) Vi
⎤
⎦ { r } KP , (6.22)
⎪
⎩v
⎪
ZK ⎭
{ } – vektorius nuo aširačio masių centro iki kontakto taško P.
čia r KP
Kontakto taške veikianti trinties jėga lygi
T
K
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜ 1 ⎟
= Fε⎜
⎟
4
⎜ ⎛ ε
F
⎜ ( F z ) + ⎞
⎜
⎟ +
⎟
1 1
⎟
⎝ ⎝ µ ⎠ ⎠
14 /
, (6.23)
204

−3 2 −6 3
z z z
čia F = 235F −24010 , ⋅ F + 0, 01⋅10
F ; µ – trinties koeficientas.
Šešto skyriaus literatūra
Polach, O. 2005. Creep Forces in Simulations of Traction Vehicles Running
on Adhesion Limit. Wear, 258. 992–1000 p.
Popp, K.; Schiehlen, W. 1993. Ground Vehicle Dynamics.
205