transporto priemonių dinamika - Vilniaus Gedimino technikos ...
transporto priemonių dinamika - Vilniaus Gedimino technikos ...
transporto priemonių dinamika - Vilniaus Gedimino technikos ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Marijonas Bogdevičius<br />
TRANSPORTO PRIEMONIŲ<br />
DINAMIKA<br />
Projekto kodas<br />
VP1-2.2-ŠMM 07-K-01-023<br />
Vilnius „Technika“ 2012<br />
Studijų programų atnaujinimas<br />
pagal ES reikalavimus, gerinant<br />
studijų kokybę ir taikant<br />
inovatyvius studijų metodus
VilniAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS<br />
Marijonas Bogdevičius<br />
TRANSPORTO PRIEMONIŲ<br />
DINAMIKA<br />
Mokomoji knyga<br />
Vilnius „Technika“ 2012
M. Bogdevičius. Transporto priemonių <strong>dinamika</strong>: mokomoji knyga.<br />
Vilnius: Technika, 2012, 205 p. [4,40 aut. l. 2012 09 26]<br />
Knygoje pateikta <strong>transporto</strong> priemonių klasifikavimas, pagrindinės sąvokos<br />
ir apibrėžimai bei <strong>transporto</strong> priemonių istorijos fragmentai, trumpai supažindinama<br />
su Lietuvos ir pasaulio automobilių inžinierių organizacijomis bei studentų<br />
galimybėmis įsijungti į šių organizacijų veiklas.<br />
Pagrindinis dėmesys skiriamas <strong>transporto</strong> priemonių judėjimo tyrimų metodams,<br />
dinaminių modelių generavimui bei judėjimo lygčių išvedimo metodams,<br />
kurių žinojimas yra būtinas, norint įgyti išsamias žinias apie <strong>transporto</strong> priemonių<br />
judėjimo dėsningumus. Nemažas dėmesys skiriamas sausumos <strong>transporto</strong><br />
kelių charakteristikoms, jų nustatymo metodams, komfortabilumo problemoms.<br />
Išsamiai išdėstomi šiuolaikiniai automobilio rato ir kelio sąveikos tyrimo metodai,<br />
pateikti šios sąveikos tyrimų rezultatai. Supažindinama su geležinkelio aširačio<br />
sąveikos su bėgiu tyrimo metodai, pateikti šios sąveikos tyrimų rezultatai.<br />
Knyga skirta <strong>transporto</strong> inžinerijos specialistams, bakalaurantams, magistrantams<br />
bei doktorantams. Ji gali būti naudinga ir kitų sričių specialistams.<br />
Leidinį rekomendavo VGTU Transporto inžinerijos fakulteto studijų komitetas<br />
Recenzavo: Doc. dr. Jolanta Janutėnienė, Klaipėdos universitetas<br />
Doc. Dr. Olegas Prentkovskis, <strong>Vilniaus</strong> <strong>Gedimino</strong> <strong>technikos</strong><br />
universitetas<br />
Leidinys parengtas ir išleistas už Europos struktūrinių fondų lėšas, jomis finansuojant<br />
VGTU Transporto inžinerijos, Biomechanikos ir Aviacinės mechanikos<br />
inžinerijos projektą „Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus,<br />
gerinant studijų kokybę ir taikant inovatyvius studijų metodus“ pagal Lietuvos<br />
2007–2013 m. Žmogiškųjų išteklių veiksmų programos 2 prioriteto „Mokymasis<br />
visą gyvenimą“ VP1-2.2-ŠMM-07-K priemonę „Studijų kokybės gerinimas,<br />
tarptautiškumo didinimas“. Projekto kodas Nr. VP1-2.2-ŠMM 07-K-01-023, finansavimo<br />
ir administravimo sutartis Nr. VP1-2.2-ŠMM-07-K-01-023.<br />
VGTU leidyklos TECHNIKA 1393-S mokomosios<br />
metodinės literatūros knyga<br />
http://leidykla.vgtu.lt<br />
Redaktorė Stasė Simutytė<br />
Maketuotoja Daiva Šepetauskaitė<br />
eISBN 978-609-457-296-8<br />
doi:10.3846/1393-S<br />
© Marijonas Bogdevičius, 2012<br />
© <strong>Vilniaus</strong> <strong>Gedimino</strong> <strong>technikos</strong> universitetas, 2012
Turinys<br />
1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai. Istorijos fragmentai ........................ 5<br />
1.1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai ................................................ 5<br />
1.2. Transporto priemonių klasifikavimas ............................................. 8<br />
1.3. Transporto priemonių istorijos fragmentai ................................... 10<br />
1.4. Lietuvos ir pasaulio automobilių inžinierių organizacijos ........... 16<br />
2. Transporto priemonių judėjimo tyrimo metodai .................................... 18<br />
2.1. Koordinačių sistemos ................................................................... 18<br />
2.2. Funkcijos skleidimas Furjė ir Teiloro eilute ................................. 20<br />
2.3. Kūno pasukimas erdvėje ............................................................... 24<br />
2.4. Matricos tikrinės reikšmės ir vektoriai ......................................... 33<br />
2.5. Harmoninė analizė ........................................................................ 52<br />
2.6. Atsitiktiniai stacionarūs priverstiniai virpesiai ............................. 57<br />
3. Transporto priemonių dinaminių modelių elementai ir judėjimo lygtys 68<br />
3.1. Transporto priemonės dinaminis modelis ..................................... 68<br />
3.2. Kūno ir kūnų sistemos masių inercijos momentai ........................ 70<br />
3.3. Jėgų klasifikacija .......................................................................... 84<br />
3.4. Tamprieji elementai, standumo jėgos ir jėgų momentai ............... 88<br />
3.5. Tampriųjų elementų jungimas ...................................................... 91<br />
3.6. Slopinimo elementai, slopinimo jėgos ir momentai ..................... 92<br />
3.7. Slopinimo elementų jungimas ...................................................... 94<br />
3.8. Kūno judėjimo lygčių užrašymo būdai ......................................... 96<br />
3.8.1. D’Alambero ir Lagranžo lygtys .......................................... 96<br />
3.8.2. Niutono ir Oilerio lygčių sistema ........................................ 99<br />
3.8.3. Hamiltono principas .......................................................... 101<br />
3.8.4. Dviejų kūnų sujungimo tampriuoju ir slopinimo<br />
elementais, standumo ir slopinimo matricos ........................ 103<br />
4. Sausumos <strong>transporto</strong> kelių charakteristikos. Komfortabilumas ........... 107<br />
4.1. Automobilių kelių nelygumai, jų charakteriskos ........................ 107<br />
4.2. Automobilio kelių nelygumų generavimo būdai ........................ 119<br />
4.3. Geležinkelio nelygumai, jų charakteristikos ir nelygumų<br />
generavimo būdai ........................................................................ 132<br />
4.4. Virpesių poveikis žmogaus organizmui ...................................... 137<br />
Literatūra .................................................................................................. 152<br />
3
5. Automobilio rato sąveika su keliu ........................................................ 155<br />
5.1. Padanga ir jos sandara ................................................................ 155<br />
5.2. Padangos kontakte veikiančios jėgos ir momentai ..................... 159<br />
5.3. Padangos modeliai ...................................................................... 170<br />
5.3.1. Lugre padangos modelis ................................................... 170<br />
5.3.2. Paceikos modelis ............................................................... 175<br />
5.3.3. HSRI modelis .................................................................... 180<br />
5.3.4. Dugofo modelis ................................................................ 183<br />
5.3.5. Elastingos padangos modelis ............................................ 186<br />
5.3.6. Kiti padangos modeliai ..................................................... 192<br />
Penkto skyriaus literatūra ......................................................................... 193<br />
6. Geležinkelio aširačio sąveikos su bėgiu teorijos ................................. 194<br />
6.1. Herco ir Kalkerio teorija ............................................................. 194<br />
6.2. Euristinis netiesinis modelis ...................................................... 200<br />
6.3. Miulerio modelis ....................................................................... 201<br />
6.4. Kitos aširačio sąveikos su bėgiu teorijos .................................... 202<br />
Šešto skyriaus literatūra ........................................................................... 205<br />
4
1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai.<br />
Istorijos fragmentai<br />
1.1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai<br />
Analizė - analizė (kredito ir finansų įstaigos) – tyrimas, kruopštus<br />
aplinkybių bei priežastinių ryšių nustatymas.<br />
Analizė (gr.ανάλυση, iš sen. gr. veiksmaž. άναλύειν „išskaidyti“) –<br />
vieningas sistematinis tyrimas, kurio metu objektas arba subjektas skaidomas<br />
į atskiras dalis, o šios yra tiriamos, tvarkomos, rūšiuojamos.<br />
Dinamika – mechanikos dalis, kurioje nagrinėjamos kūnų judėjimo<br />
greičio kitimo priežastys. Pagrindiniai klasikinės dinamikos<br />
principai buvo suformuluoti tik 1687 m., kai pasirodė garsus Niutono<br />
dėsnių veikalas „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“<br />
(Matematiniai gamtos filosofijos pagrindai) [Vikipedija].<br />
Dinaminė sistema – sistema, sudaryta iš materialiųjų kūnų, kurie<br />
gali keisti savo padėtį ervėje ir laike.<br />
Ratas – įrenginys, skirtas sukamąjį judesį pakeisti į slenkamąjį<br />
judėsį.<br />
Transporto priemonė – techninis įtaisas arba gyvūnas, skirtas<br />
kroviniams (keleiviams, medžiagoms, įrenginiams, įvairioms prekėms<br />
ir kt.) vežti [Vikipedija].<br />
Dinaminis modelis – schema, kurioje nurodomos kūnų inercinės<br />
charakteristikos (masės, masių inercijos momentai), veikiančios išorinės<br />
jėgos, pagrindiniai matmenys, tamprūs ir pasipriešinimo elementai<br />
ir kiti dyždžiai, kurie padeda suprasti dinaminės sistemos judėjimo<br />
priežastis ir padeda išvesti judėjimo lygtis.<br />
Matematinis modelis – matematinių objektų (lygtys, integralai,<br />
matricos, vektoriai ir kt.) rinkinys, kuriuo galima matematiškai aprašyti<br />
tyrimo objektą.<br />
Transporto priemonės stabilumas – <strong>transporto</strong> priemonės gebėjimas<br />
sugrįžti į pradinę judėjimo trajektoriją, atlikus staigų nukrypimą<br />
nuo judėjimo trajektorijos.<br />
5
Ratų suvedimas – atstumas tarp ratų užpakalinių briaunų, minus<br />
atstumas tarp priekinių briaunų.<br />
Ratų išvirtimas – kampas tarp vertikalės ir automobilio rato sukimosi<br />
plokštumos, kuris laikomas neigiamu, jei ratai viršutine puse<br />
nukreipti į vidų, arba teigiamu, jei – viršutine puse į išorę.<br />
Kasteris – kampas tarp vertikalės ir rato sukimosi išilginėje automobilio<br />
plokštumoje ašies projekcijos.<br />
Transporto priemonės (TP) <strong>dinamika</strong> nagrinėja TP pagreitėjimą,<br />
stabdymą, svyravimus veikiant išoriniams ir vidiniams veiksniams<br />
(jėgoms ir jėgų momentams), keleivių komfortabilumo sąlygas, TP<br />
atskirų mazgų dinaminius ir hidrodinaminius procesus, važiuoklės<br />
sąveiką su kelio paviršiumi, TP stabilumą. Svarbiausi TP dinamikos<br />
tyrimo atvejai pateikti 1.1 lentelėje.<br />
1.1 lentelė. Transporto priemonės dinamikos atskiri atvejai<br />
TP<br />
dinamikos TP judėjimo ypatumas<br />
tipas<br />
Dinaminis<br />
procesas<br />
1.<br />
Išilginė<br />
<strong>dinamika</strong><br />
Važiavimas<br />
ir stabdymas<br />
2.<br />
Šoninė<br />
<strong>dinamika</strong><br />
(vingiavimas)<br />
Vairavimas<br />
posūkyje,<br />
nesimetriškas<br />
važiavimas,<br />
nesimetriškas<br />
stabdymas<br />
6
1.1 lentelės pabaiga<br />
3.<br />
Vertikali<br />
<strong>dinamika</strong><br />
Kelio paviršiaus<br />
nelygumai,<br />
padangos,<br />
pakabos<br />
<strong>dinamika</strong><br />
4.<br />
Vertikalus<br />
svyravimas<br />
Važiavimas<br />
per nelygų<br />
kelio paviršių<br />
5.<br />
Išilginis<br />
svyravimas<br />
Važiavimas,<br />
stabdymas,<br />
pasvirimo<br />
gradientas<br />
6.<br />
Ratų judėjimo<br />
<strong>dinamika</strong><br />
Važiavimas,<br />
stabdymas,<br />
sukinėjimas<br />
7
1.2. Transporto priemonių klasifikavimas<br />
Transporto priemonė – techninis įtaisas arba gyvūnas, skirtas<br />
kroviniams (keleiviams, medžiagoms, įrenginiams, įvairoms prekėms<br />
ir kt.) vežti [Vikipedija].<br />
Transporto priemonės skirstomos įvairiai – pagal aplinką, kurioje<br />
keliauja, pagal variklio buvimą ir jo tipą, pagal kitus konstrukcinius<br />
ypatumus.<br />
Sausumos <strong>transporto</strong> priemonės:<br />
Naudojančios aplinkos energiją<br />
– Burinės rogės, buriniai vežimėliai<br />
Naudojančios gyvūnus<br />
– Nešuliniai gyvuliai<br />
– Jojamieji gyvūnai<br />
– Gyvulių tempiami vežimai ir rogės<br />
– Arklinis tramvajus<br />
Naudojančios žmogaus energiją<br />
Pasispiriamos ir kitos, nenaudojančios pavarų ir pan. mechanizmų<br />
– Paspirtukai<br />
– Riedlentės<br />
– Riedučiai<br />
Naudojančios pavaras ir pan. mechanines priemones<br />
– Dviračiai (dviračiai, triračiai)<br />
– Velomobiliai<br />
– Rankinės drezinos<br />
Naudojančios variklius<br />
Ratinės bėgių<br />
Būna su garo mašinomis, vidaus degimo varikliais, elektros varikliais.<br />
– Lokomotyvai (garvežys, motorvežis, elektrovežis)<br />
– Drezinos<br />
– Tramvajus<br />
8
Ratinės kelių ir bekelės<br />
– Su vidaus degimo varikliais ir pan. varikliais (turbinomis)<br />
– Motoriniai dviračiai ir mopedai<br />
– Motociklai<br />
– Automobiliai<br />
– lengvieji automobiliai<br />
– sunkvežimiai<br />
– autobusai ir mikroautobusai<br />
– vilkikai<br />
– Ratiniai traktoriai<br />
– Su elektros varikliais<br />
– Troleibusai<br />
– Elektromobiliai<br />
Vikšrinės<br />
– Sniegaeigiai<br />
– Vikšriniai traktoriai<br />
– Vikšriniai visureigiai<br />
– Tankai<br />
Kitokios<br />
– Aerorogės<br />
– Liftai ir keltuvai<br />
– Konvejeriai<br />
– Vamzdynai (vandentiekis, naftotiekiai, dujotiekiai ir kt.)<br />
Upių ir jūrų <strong>transporto</strong> priemonės:<br />
Naudojančios aplinkos energiją<br />
– Plaustai ir sieliai<br />
– Banglentės<br />
– Burlentės, burinės valtys ir buriniai laivai<br />
Naudojančios žmogaus energiją<br />
– Irklinės valtys ir irkliniai laivai<br />
Naudojančios variklius<br />
– Garlaiviai ir kitokie grimzliniai laivai<br />
– Povandeniniai laivai, batiskafai<br />
9
– Laivai su povandeniniais sparnais<br />
– Laivai su oro pagalve<br />
– Ekranoplanai<br />
Oro <strong>transporto</strong> priemonės:<br />
Naudojančios aplinkos energiją<br />
– Oro balionai<br />
– Parašiutai<br />
– Skraidyklės<br />
– Sklandytuvai<br />
Naudojančios variklius<br />
– Dirižabliai<br />
– Sraigtasparniai<br />
– Autožyrai<br />
– Lėktuvai<br />
– Raketos<br />
Kosminio <strong>transporto</strong> priemonės<br />
– Kosminiai laivai<br />
– Dirbtiniai palydovai<br />
– Kosminis liftas<br />
1.3. Transporto priemonių istorijos fragmentai<br />
Pagrindiniai klasikinės dinamikos principai buvo suformuluoti tik<br />
1687 m., kai pasirodė garsus Niutono dėsnių veikalas „Philosophiae<br />
Naturalis Principia Mathematica“ (Matematiniai gamtos filosofijos<br />
pagrindai) [Vikipedija].<br />
Lietuvos „Niutonas“, taip galima pavadinti Kazimierą Simonavičių<br />
[žr. Vikipedija].<br />
Kazimieras Simonavičius (kartais Kazimieras Semenavičius,<br />
lenkų kalba Kazimierz Siemienowicz; apie 1600 m. balandžio<br />
18 d. – apie 1651) – artilerijos inžinierius, raketų išradėjas, Lietuvos<br />
Didžiosios Kunigaikštystės bajoras ir karininkas.<br />
1650 m. Amsterdame Kazimieras Simonavičius išleido veikalą<br />
„Didysis artilerijos menas“ (lot. Artis Magnae Artilleriae Pars prima),<br />
10
kuris greitai išgarsėjo visoje Europoje. Tai pirmoji pasaulyje knyga,<br />
pateikusi daugiapakopės raketos ir raketinės artilerijos sukūrimo<br />
teoriją bei brėžinius.<br />
Veikalą sudarė 5 skyriai (iš viso 305 puslapiai teksto ir 206 iliustracijos,<br />
brėžiniai):<br />
– 1 skyrius skirtas patrankų kalibrui, jų konstrukcijai ir pritaikymui<br />
– 2 skyriuje nagrinėjama parako ir kitų artilerijoje naudojamų<br />
medžiagų technologija<br />
– 3 skyrius „Apie raketas“ — įdomiausias ir vertingiausias,<br />
aprašantis svarbiausius atradimus – raketos aukščio ir jos<br />
reak tyvinės tūtos pločio santykį, daugiapakopę raketą, raketų<br />
stabilizavimą sparneliais, raketų bateriją (lygiagrečiojo jungimo<br />
daugiapakopę raketą). Aprašoma daugiau kaip 20 paraku<br />
užtaisomų raketų pavyzdžių, jų gamyba ir savybės. Svarbu<br />
yra tai, kad K.Simonavičius aprašymuose viską grindė matematiniais<br />
skaičiavimais ir fizikos dėsniais<br />
– 4 ir 5 skyriai, kuriuose apibendrinti karo ir pramogai skirtos<br />
piro<strong>technikos</strong> laimėjimai.<br />
K. Simonavičiaus<br />
aprašyta<br />
daugiapakopė<br />
raketa<br />
1.1 pav. Lietuvos banko išleista proginė 50 litų sidabrinė moneta,<br />
skirta paminėti K. Simonavičiaus knygos „Didysis artilerijos menas“<br />
350-ąsias metines, ir daugiapakopė raketa<br />
11
Vienas didžiausių žmonių išradimų yra rato išradimas.<br />
12
1.2 pav. Ratų vystymosi raida [Holzspeichenräder<br />
(Benz-Viktoria-Wagen; 1893)]<br />
13
1828 m. Hancock sukūrė <strong>transporto</strong> priemonę (naudojo garo energiją),<br />
kurią pavadino „Diligence“ (variklio galia 20 AG) (1.3 pav.).<br />
Paaiškinimas: AG arklio galia (1 AG lygi 745,7 W). Dažnai arklio galioms<br />
nusakyti vartojamas neteisingas terminas arklio jėga.<br />
1.3 pav. Transporto priemonė „Diligence“ (Newsletter to the Members of<br />
EAEC Automotive Engineer‘s Societies, issue 4, May, 2009)<br />
1833 m. Hancock sukūrė pirmą autobusą „Enterprise“ (garo variklis),<br />
kuris pervežė apie 4000 keleivių, vidutinis greitis 20 km/val.<br />
(1.4 pav.).<br />
1.4 pav. Transporto priemonė „Enterprise“ (Newsletter to the Members of<br />
EAEC Automotive Engineer‘s Societies, issue 4, May, 2009)<br />
14
1836 m. Hancock sukūrė patobulintą autobusą (garo variklis),<br />
kurio talpa 22 keleiviai, maksimalus greitis 33 km/val. Autobusas<br />
„Automation“ nuvažiavo 6758 km, pervežė apie 4000 keleivių, vidutinis<br />
greitis 20 km/val. (1.5 pav.).<br />
1.5 pav. Patobulintas autobusas (Newsletter to the Members of EAEC<br />
Automotive Engineer‘s Societies, issue 4, Mat, 2009)<br />
Hancocko nuosavas automobilis parodytas (1.6 pav.).<br />
1.6 pav. Hancocko nuosavas automobilis „Phaeton“ (Newsletter to the<br />
Members of EAEC Automotive Engineer‘s Societies, issue 4, May, 2009)<br />
15
1.7 pav. Traktorius ir triračiai automobiliai<br />
1.4. Lietuvos ir pasaulio automobilių inžinierių organizacijos<br />
Šiandien Lietuvos automobilių tyrėjai susijungė į automobilių inžinierių<br />
sąjungą (LAIS, www.lais.lt). LAIS yra Pasaulinės automobilių<br />
inžinierių sąjungos narė („FISITA“ International Federation of<br />
Automotive Engineering Societies, www.fisita.com).<br />
FISITA remia studentų veiklą. Kasmet vyksta „Formulės-1“ studentų<br />
regioninės ir pasaulinės lenktynės. 1.8 pav. parodyti Japonijos<br />
„Formulė-1“ studentiškų lenktynių fragmentai.<br />
16
1.8 pav. Japonijos „Formulės-1“ studentiškų lenktynių fragmentai<br />
17
2. Transporto priemonių judėjimo<br />
tyrimo metodai<br />
2.1. Koordinačių sistemos<br />
Transporto priemonių dinamikoje, nagrinėjant kūnų sistemos judėjimą,<br />
įvedama bendroji koordinačių sistema OXYZ, kurios atžvilgiu<br />
stebimas kiekvieno kūno masių centro koordinačių ir kūno pasukimo<br />
kampų kitimas. Tarptautinė standartų organizacija (ISO) standartu<br />
ISO 8855 nustato koordinačių ašių padėtį, kaip parodyta 2.1 pav. Ašis<br />
X k nukreipiama į priekį išilgai <strong>transporto</strong> priemonės, žiūrint iš X k<br />
viršūnės, Y k ašis nukreipta į dešinę pusę ir yra statmena X k ašiai;<br />
Z k ašis nukreipta į viršų ir yra statmena OX k Y k<br />
plokštumai. Teigiami<br />
posūkio kampai apie X k ,Y k<br />
ir Z k standartuose numatyti pagal dešiniojo<br />
sraigto taisyklę. Pasukimo kampas apie X k ašį – virtimo kampas<br />
ϕ ; pasukimo kampas apie Y k – išilginio supimo kampas θ, o pasukimo<br />
kampas apie Z k<br />
– nukrypimo nuo kurso kampas ψ (2.2 pav). Amerikos<br />
Transporto inžinierių organizacija (SAE) standartu SAE J670 nustato<br />
kitokią koordinačių sistemą: ašis X k nukreipiama į priekį išilgai <strong>transporto</strong><br />
priemonės; žiūrint iš X k viršūnės, Y k ašis nukreipta į kairiąją<br />
pusę ir yra statmena X k ašiai; Z k ašis nukreipta žemyn ir yra statmena<br />
OX k Y k<br />
plokštumai.<br />
18
2.1 pav. Kūnų koordinačių sistemos<br />
2.2 pav. Kūno pasukimo kampai: OX aYZ<br />
a a – automobilio<br />
koordinačių sistema<br />
Rato geometriniame centre įvedama rato koordinačių sistema<br />
XRYRZ<br />
R , o rato ir kelio paviršiaus kontakto taške P įvedama koordinačių<br />
sistema XPYPZ<br />
P . Kotakto taške P rato greitis yra lygus V P ,<br />
kampas tarp ašies X P ir greičio V P yra lygus α (skersridės kampas).<br />
Rato plokštuma pasvirusi kampu ε R (pasukimo kampas apie X P ašį).<br />
19
Rato ir kelio kontakto taške veikianti jėga suskaidoma į dedamąsias:<br />
F XR , F YR . Apie ašis X P<br />
irY P<br />
veikia sukimo momentai M XP ir M YP<br />
(2.3 pav.).<br />
2.3 pav. Pasvirusio rato koordinačių sistemos ir veikiančios<br />
jėgos ir momentai<br />
čia A<br />
2.2. Funkcijos skleidimas Furjė ir Teiloro eilute<br />
Kiekvieną periodinę funkciją f () t galima išskleisti Furjė eilute:<br />
∞<br />
f t A ∑ A sin 2πkt / T ∑ B cos 2π kt / T , (2.1a)<br />
B<br />
A<br />
()= + ( )+ ( )<br />
k<br />
k<br />
0<br />
0<br />
T<br />
k<br />
k=<br />
1 k=<br />
1<br />
2 2<br />
= ∫ f () t sin ( 2π kt / T)<br />
dt ,<br />
T<br />
T<br />
−<br />
2<br />
T<br />
2<br />
2<br />
= ∫ f () t cos ( 2π kt / T)<br />
dt ,<br />
T<br />
1<br />
T<br />
T<br />
−<br />
2<br />
T<br />
2<br />
∫ f t dt ,<br />
= ()<br />
T<br />
−<br />
2<br />
20<br />
∞<br />
k
T – funkcijos f () t periodas; A 0 – funkcijos vidutinė reikšmė per<br />
T periodą.<br />
Kiekvieną periodinę funkciją f ϕ ( ) galima išskleisti Furjė eilute:<br />
čia<br />
∞<br />
( )= + ( )+ ( )<br />
∞<br />
f ϕ A ∑ A sin kϕ ∑ B cos kϕ<br />
, (2.1b)<br />
0<br />
2π<br />
A0<br />
= 1<br />
∫ f ( ϕ ) dϕ,<br />
2π<br />
0<br />
2π<br />
k<br />
k=<br />
1 k=<br />
1<br />
Ak = 1<br />
∫ f ( ϕ ) sin( kϕ) dϕ<br />
Bk f k d<br />
π<br />
= 1<br />
∫ ( ϕ ) cos( ϕ) ϕ.<br />
0<br />
π 0<br />
Kiekvieną periodinę funkciją f ( x), kai periodas yra L, galima<br />
išskleisti Furjė eilute:<br />
∞<br />
f ( x)= A + ∑ A<br />
0<br />
k<br />
2π<br />
2π L kx ∞<br />
B 2π sin( ) ∑ k cos(<br />
L kx ), (2.1c)<br />
k<br />
k=<br />
1 k=<br />
1<br />
čia<br />
A<br />
0<br />
L<br />
1<br />
∫<br />
2L f x dx ,<br />
= ( )<br />
0<br />
A<br />
k<br />
L<br />
1<br />
L f x 2π<br />
∫ sin( kx)<br />
dx B<br />
L<br />
= ( )<br />
0<br />
k<br />
21<br />
L<br />
1<br />
L f x 2π ∫ cos( kx)<br />
dx .<br />
L<br />
= ( )<br />
Furjė eilutę galima užrašyti kompleksine forma:<br />
f t<br />
()=<br />
∞<br />
∑<br />
k=−∞<br />
⎛<br />
i⎜<br />
2πk t<br />
⎝ T<br />
k<br />
ce<br />
1<br />
čia c = A −iB<br />
2<br />
( )<br />
k k k<br />
,<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Kompleksinė amplitudė lygi:<br />
c<br />
k<br />
T<br />
1 2<br />
0<br />
; (2.2)<br />
2πk<br />
= ωk.<br />
T<br />
2 i k t<br />
= f () t e<br />
− π<br />
T<br />
∫<br />
dt<br />
. (2.3)<br />
T<br />
T<br />
−<br />
2
Dažnių ω k rinkinys vadinamas funkcijos f () t spektru. Šiuo<br />
atveju spektras yra diskretinis.<br />
Įstatę c k išraišką į (2.2), gausime:<br />
f t<br />
T<br />
1 ∞ −i<br />
πk t T<br />
2 −i<br />
πk t T<br />
()= ∑<br />
()<br />
T<br />
k=−∞<br />
e ∫ f t e dt .<br />
T<br />
−<br />
2<br />
(2.4)<br />
Diferencijuojamą funkciją f ( q) taško q 0 aplinkoje galima išskleisti<br />
Teiloro eilute:<br />
( )<br />
1 df q<br />
f ( q)= f ( q0<br />
)+<br />
1!<br />
dq<br />
( )<br />
n<br />
1 0<br />
d q<br />
.... +<br />
n!<br />
n<br />
dq<br />
0<br />
n<br />
− + ( )<br />
( )<br />
1 d q<br />
( q− q0<br />
) +<br />
2!<br />
dq<br />
2<br />
0<br />
2 0 2<br />
( q− q ) +<br />
( q q0<br />
) Rn q , (2.5)<br />
čia Rn ( q) – liekamasis narys.<br />
Tegu turime n kintamųjų diferencijuojamą funkciją<br />
f ( q 1 , q 2 ,..., q n ). Diferencijuojamą funkciją f ( q 1 , q 2 ,..., q n ) taško<br />
{ } aplinkoje išskleisime Teiloro eilute:<br />
q 0<br />
( )<br />
1 ∂ f { q0}<br />
f ({}<br />
q )= f ({ q0}<br />
)+<br />
1! q<br />
∂{ }<br />
( )<br />
({}−{ q q })<br />
+<br />
1<br />
⎡ 2<br />
0<br />
0<br />
2<br />
2 0<br />
! ( q q ) f q ⎤<br />
T<br />
{}−{ } ⎢ ⎥ ( q q ) .... Rn<br />
x<br />
⎢<br />
⎣ ∂{ q}<br />
⎦<br />
∂ { }<br />
0<br />
⎥ {}−{ } + + ( ), (2.6)<br />
čia<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
( )<br />
2<br />
∂ f { q0}<br />
2<br />
∂{ q}<br />
⎤<br />
⎥ – vadinamoji Hesės matrica.<br />
⎥<br />
⎦<br />
22
a)<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
23
e)<br />
2.4 pav. Funkcijos f ( x)= 2sin ( 2x)+ 15 , sin( 6x) cos( 2x)<br />
3 skleidimas<br />
Furjė eilute: a – 1 harmonika; b – 2 harmonikos; c – 3 harmonikos;<br />
d – 5 harmonikos; e – 6 harmonikos<br />
2.3. Kūno pasukimas erdvėje<br />
Posūkio matrica [ A] yra kvadratinė, jos elementai yra realieji<br />
skaičiai. Be to, posūkio matrica yra ortogonalioji matrica, ir jos determinantas<br />
lygus vienetui, todėl<br />
T<br />
[ A] = [ A] −1 , det ([ A]<br />
)=1.<br />
Įvesime nejudančią (inercinę) koordinačių sistemą OXYZ , su<br />
nagrinėjamu kūnu sujungtą judančia koordinačių sistema OXYZ 1 1 1 1 .<br />
Nagrinėjant kūno sukimąsi erdvėje labai svarbu, kokia eilės tvarka<br />
vyksta sukimasis apie ašis. Priminsime, kad teigiama sukimosi kryptis<br />
apie atitinkamą ašį yra prieš laikrodžio rodyklės sukimosi kryptį, jeigu<br />
žiūrėsime iš šios ašies galo. Atliksime kūno sukimą apie ašis X 1 ,<br />
π<br />
Y 1 ir Z 1<br />
2 kampu. Pirmiausia pasuksime apie X 1 ašį, o paskui apie<br />
Y 1<br />
ir Z 1 ašis (2,5 pav. a). Dabar pakartosime tą patį kūno sukimą, bet<br />
pirmiausia suksime kūną apie Z 1 ašį, o paskui – apie Y 1 ir X 1 ašis<br />
(2.5 pav. b). Palyginę sukimo rezultatus, matome, kad kūno orientacijos<br />
erdvėje yra skirtingos.<br />
a)<br />
24
)<br />
2.5 pav. Kūno sukimas:<br />
a – X 1 , Y 1 ir Z 1 ašis π/2 kampu; b – Z 1 , Y 1 ir X 1 ašis π/2 kampu<br />
Įvesime pagal X , Y ir Z ašis vienetinius vektorius (ortus): {}, i<br />
{}, j {}, k o išilgai kūno koordinačių – pagal sistemos ašis X 1 , Y 1 ir<br />
{}<br />
Z 1 – vienetinius vektorius: { i 1 }, { j 1 }, { k 1 }. Tada bet kokį vektorių r<br />
galima užrašyti XYZ ir X 1 , Y 1 , Z 1 koordinačių sistemose (2.6 pav.):<br />
{}= r rx{}+ i ry{}+ j rz<br />
{}, k<br />
(2.7)<br />
{}= r rx1{ i1}+ ry1{}+ j rz1{ k1 } , (2.8)<br />
čia<br />
T<br />
x = {} {}<br />
r r i<br />
T<br />
x1 1 1<br />
r r i<br />
;<br />
= { } { }<br />
T<br />
y = {} {}<br />
r r j<br />
T<br />
y1 1 1<br />
; r r j<br />
;<br />
= { } { }<br />
;<br />
T<br />
z = {} {}<br />
r r k<br />
T<br />
z1 1<br />
r r k<br />
;<br />
= {} { }<br />
,<br />
T<br />
T<br />
arba {} r = ⎡ ⎣<br />
rx, ry, rz<br />
⎤ ⎦<br />
; { r1} = ⎡ ⎣<br />
rx1, ry1, rz1⎤ ⎦<br />
.<br />
2.6 pav. Dvi koordinačių sistemos:<br />
OXYZ – nejudanti (inercinė); OXYZ 1 1 1 1 – judanti<br />
25
Užrašysime koordinačių sistemos O1XYZ<br />
1 1 1 ortus { i 1 }, { j 1 }, k 1<br />
per koordinačių sistemos OXYZ ortus i<br />
{ i1}= a11{}+ i a21{}+ j a31{}<br />
k ;<br />
{ j1}= a12{}+ i a22{}+ j a32<br />
{} k ;<br />
{ k }= a i a j a k<br />
1<br />
13{}+ 23{}+ 33{},<br />
( 123 1 23)<br />
{}, {}, j {}: k<br />
čia anm n= , , ; m = , , – krypties kosinusai,<br />
a e e<br />
nm<br />
n<br />
T<br />
= { } { },<br />
m<br />
kai { e1}= {}; i e2<br />
j<br />
{ e }= { k }.<br />
3 1<br />
{ }= {}; { e }= {}; k { e }= { i }; { e }= { j };<br />
Įstatę ortus iš (2.9) į (2.8), gausime<br />
3<br />
1 1<br />
2 1<br />
{ }<br />
(2.9)<br />
( 11 x1 12 y1 13 z1){}+<br />
( 21 x1 22 y1 23 z1){}+<br />
r a r a r a r i<br />
{}= + +<br />
+ a r + a r + a r j<br />
+ ( a31rx1+ a32ry1+<br />
a33rz1<br />
){}= k<br />
= r {}+ i r {}+ j r {}, k<br />
x y z<br />
(2.10)<br />
arba matricine forma<br />
{}= r [ A]{ r 1 }, (2.11)<br />
{} ir { r 1 } – tas pats vektorius, užrašytas OXYZ ir OXYZ 1 1 1 1<br />
[ ] – krypties kosinusų matrica,<br />
čia r<br />
koor dinačių sistemose, atitinkamai; A<br />
arba koordinačių transformacijos matrica:<br />
⎡a11 a12 a13<br />
⎤<br />
A<br />
⎢<br />
[ ]=<br />
⎢<br />
a a a<br />
⎥<br />
21 22 23 ⎥<br />
. (2.12)<br />
⎣⎢<br />
a31 a32 a33<br />
⎦⎥<br />
Koordinačių transformacijos matrica yra posūkio matrica, kadangi<br />
ji yra kvadratinė ir ortogonalioji matrica, ir jai galioja sąlygos:<br />
T<br />
[ A] = [ A] −1 T<br />
, det ([ A]<br />
)=1, [ A] [ A]= [ E].<br />
26
Koordinačių sistemoje OXYZ ortai {}, i {}, j {} k lygūs:<br />
{} i T = [ 100]<br />
, , ; j T<br />
{} = [ 010]<br />
,, ; k T<br />
27<br />
{} = [ 001]<br />
, , . (2.13)<br />
Tada pagal (2.70) išraiškas OXYZ koordinačių sistemoje užrašyti<br />
{ i 1 }, { j 1 }, { k 1 } yra lygūs:<br />
i T<br />
T<br />
{ } = [ a a a ]; j a a a<br />
1 11 21 31<br />
{ 1} = [ 21 22 32 ] ,<br />
{ k } T = [ a a a ]. (2.14)<br />
1 13 23 33<br />
Iš (2.14) išraiškų matome, kad matricos [ A] stulpeliai yra ortų { i 1 },<br />
{ j 1 }, { k 1 }, užrašytų OXYZ koordinačių sistemoje, elementai, t. y.<br />
r<br />
{}:<br />
[ A]= ⎡⎣ { i 1 },{ j1} ,{ k1 } ⎤ ⎦ . (2.15)<br />
Taikant (2.10) išraišką, galima išreikšti vektorių r 1<br />
{ } per vektorių<br />
−1<br />
T<br />
{ r}= [ A] {}= r [ A] {} r . (2.16)<br />
1<br />
Tarkime, turime du vektorius {} r ir {}, b užrašytus OXYZ koordinačių<br />
sistemoje, ir du vektorius { r 1 } ir { b 1 }, užrašytus OXYZ 1 1 1 1<br />
koordinačių sistemoje. Tada vektorių {} r ir {} b vektorinę sandaugą<br />
galima užrašyti tokiu pavidalu:<br />
( )<br />
[ r]{}= b [ A] { r1}{ b1 } . (2.17)<br />
Bet{}= b [ A]{ b 1 }, (2.18)<br />
tada iš (2.17) išraiškos gauname:<br />
([ ][ ]){ }= ([ ][ ]){ }<br />
r<br />
A b1 A r1 b1 . (2.19)<br />
Sulyginę matricas prie vektoriaus { b 1 } (2.19) lygybės kairėje ir<br />
dešinėje pusėse, gauname:<br />
[ r][ A]= [ A][ r1 ]. (2.20)
[ ] , gauname:<br />
Iš dešinės pusės padauginę (2.82) lygybę iš A T<br />
⎡ ~ ⎤<br />
⎢[ A]{ r}<br />
r A r A T<br />
1 ⎥ = [ ]= [ ][ <br />
1][ ] . (2.21)<br />
⎣ ⎦<br />
Analogiškai galima gauti ir kitą išraišką:<br />
⎡ ~ ⎤<br />
T<br />
T<br />
⎢[ A] {} r ⎥ = [ r1 ]= [ A] [ r][ A]<br />
. (2.22)<br />
⎢ ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
Tarkime, du kūnai i ir j sukasi apie bendrą ašį, kuri sutampa su<br />
kūnų X 1 i ir X 1 j ašimis (2.7 pav.).<br />
2.7 pav. Dviejų kūnų sukimasis apie bendrą ašį<br />
Pasinaudojus dviejų vektorių skaliarine ir vektorine sandaugomis,<br />
nagrinėjamu atveju galima gauti tokias išraiškas:<br />
T<br />
{ j } { j }= cos( α ), (2.23)<br />
i<br />
T<br />
j<br />
⎡<br />
⎣<br />
j i<br />
⎤ jj<br />
ii<br />
sin α . (2.24)<br />
T<br />
Padauginę iš kairės pusės išraišką (2.86) iš vektoriaus {} i i , gauname:<br />
⎦ { }= {} ( )<br />
T<br />
{} i ⎡ ~<br />
i ji<br />
j<br />
⎣ ⎢ ⎤<br />
⎦<br />
⎥{ j}= ( )<br />
sin α . (2.25)<br />
28
iš<br />
Užrašius kūnų i ir j ortus šių kūnų koordinačių sistemoje XYZ i i i<br />
X jY<br />
j Z j, (2.23) ir (2.25) galima perrašyti tokiu pavidalu:<br />
T T<br />
{ j1i<br />
} [ Ai<br />
] ⎡Aj⎤ ⎣ ⎦ { j1j}= cos( α)<br />
T T<br />
−{ k } [ A ] ⎡ ⎣<br />
A ⎤ ⎦ { j }= sin ( α) . (2.26)<br />
1i<br />
i j 1j<br />
( ) ir cos( α) reikšmes, galime rasti kampą α :<br />
( sc) , kai s> 0,<br />
c > 0<br />
Žinodami sin α<br />
⎧ arctg<br />
⎪<br />
⎪ π 2, kai s> 0,<br />
c = 0<br />
⎪ π − arctg( sc) , kai s> 0,<br />
c < 0<br />
⎪<br />
α = ⎨ π + arctg( sc) , kai s< 0,<br />
c < 0, (2.27)<br />
⎪<br />
⎪ 3<br />
⎪<br />
π, kai s< 0,<br />
c = 0<br />
2<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
2π − arctg( sc) , kai s< 0,<br />
c > 0<br />
T T<br />
=−{ } [ ] ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ { }<br />
T T<br />
= { 1} [ ] ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ { 1 j}<br />
.<br />
čia s k1i<br />
Ai<br />
Aj<br />
j1 j ; c j i Ai<br />
Aj<br />
j<br />
Nagrinėjant kūno sukimąsi, reikia žinoti posūkio (koordinačių<br />
transformacijos) matricą. Posūkio matricą galima apskaičiuoti naudojant<br />
Kardano, Oilerio kampus, Oilerio parametrus [32].<br />
Naudojant Kardano kampus θ , θ , θ<br />
čia s i<br />
( ) posūkio matrica lygi:<br />
29<br />
1 2 3<br />
⎡ cc 2 3 −cs 2 3 s2<br />
⎤<br />
⎡⎣ A( θ)<br />
⎤ ⎦ =<br />
⎢<br />
ssc + c s − s ss + cc −sc<br />
⎥ , (2.28)<br />
⎢ 1 2 3 1 3 1 2 3 1 3 1 2⎥<br />
⎣⎢<br />
ss 1 3−<br />
cs 1 2s3 cs 1 2s3+<br />
s1c3 c1c<br />
2⎦⎥<br />
= ( i )<br />
sin θ ; c i cos θ i , i =1, 23 , .<br />
= ( )<br />
Ryšys tarp kūno kampinio greičio { ω}, užrašyto OXYZ koordinačių<br />
sistemoje, ir Kardano kampų vektoriaus laiko išvestinės {} θ yra lygus:<br />
{ ω}= ⎡⎣ G 1 ( θ)<br />
⎤ ⎦ {} θ<br />
, (2.29)
T<br />
čia { ω} = ⎡ ⎣<br />
ωxωω<br />
y z<br />
⎤ ⎦<br />
; {} θ – Kardano kampų išvestinių pagal laiką<br />
vektorius,<br />
T θ θ θ<br />
{}<br />
θ = ⎡ d<br />
⎣ ⎢ 1 d 2 d 3 ⎤<br />
dt dt dt<br />
⎥ ; (2.30)<br />
⎦<br />
⎡1 0 s2<br />
⎤<br />
⎡⎣ G1<br />
( θ)<br />
⎤ ⎦ =<br />
⎢<br />
0 c1 −c2s<br />
⎥<br />
⎢<br />
1⎥<br />
. (2.31)<br />
⎣⎢<br />
0 s1 c2c1<br />
⎦⎥<br />
Kampinio greičio vektorių ω<br />
T<br />
{ } galima užrašyti taip:<br />
T ϕ ϕ ϕ ϕ<br />
{ ω} = ⎧ d ⎫<br />
⎨ ⎬⎭ = ⎡ d<br />
⎩ ⎣ ⎢ x d x d z ⎤<br />
dt dt dt<br />
⎥ , (2.32)<br />
dt ⎦<br />
čia { ϕ} – posūkio kampų vektorius; ϕx, ϕy, ϕz<br />
– posūkio kampai apie<br />
XYZ , , ašis atitinkamai.<br />
Posūkio kampų vektoriaus { ϕ} variacija (variacija – be galo mažas<br />
pokytis) lygi:<br />
δϕ { }= ⎡⎣ G 1 ( θ)<br />
⎤ ⎦ {} θ . (2.33)<br />
Kampinio greičio vektoriaus { ω}, užrašyto kūno koordinačių sistemoje<br />
OXYZ 1 1 1 1 , ryšys su Kardano kampų vektoriumi {} θ yra:<br />
{ ω}= ⎡⎣ G 2 ( θ)<br />
⎤ ⎦ {} θ , (2.33)<br />
čia<br />
⎡⎣ G<br />
2<br />
⎡ cc<br />
θ ⎤ ⎦ =<br />
⎢<br />
⎢<br />
−cs<br />
⎣⎢<br />
s2<br />
( )<br />
2 3 3<br />
2 3 3<br />
kampinio greičio vektorių ω<br />
T<br />
{ ϕ ϕ ϕ ϕ<br />
ω } T<br />
= ⎧ ⎨ d ⎫ ⎬⎭ = ⎡ d d d<br />
⎢<br />
⎩ dt<br />
⎣ ⎢ dt dt dt<br />
s 0⎤<br />
c 0<br />
⎥<br />
⎥<br />
, (2.34)<br />
0 1⎦⎥<br />
{ } galima užrašyti taip:<br />
x y z<br />
30<br />
⎤<br />
⎥ , (2.35)<br />
⎦⎥<br />
čia ϕ { } – posūkio kampai apie XYZ 11 1 ašis atitinkamai.
Posūkio kampų vektoriaus ϕ<br />
{ } variacija lygi:<br />
δϕ { }= ⎡⎣ G 2 ( θ)<br />
⎤ ⎦ δ{}<br />
θ . (2.36)<br />
Kampinių pagreičių vektoriai OXYZ ir OXYZ 1 1 1 1 koordinačių<br />
sistemose yra lygūs:<br />
⎧dω⎫<br />
⎨ ⎬ ω G θ θ G θ θ<br />
⎩ dt<br />
⎡⎣ ⎤ ⎦ {}+ ⎡ <br />
⎣ ( ) ⎤ <br />
1 1 ⎦{ }, (2.37)<br />
⎧dω⎫<br />
⎨ ⎬<br />
⎩ dt<br />
⎭ = { }= ( )<br />
ω G θ θ ⎡<br />
⎣<br />
G θ ⎤ θ<br />
2 2 . (2.38)<br />
⎭ = { }= ( )<br />
⎡⎣ ⎤ ⎦ {}+ ( ) ⎦{ }<br />
Ryšys tarp kampinių greičių vektorių { ω} ir { ω} yra lygus:<br />
[ ω]= [ A][ ω][ A]<br />
T ; (2.39)<br />
T<br />
[ ω]= [ A] [ ω][ A]<br />
, (2.40)<br />
čia<br />
⎡ 0<br />
⎢<br />
[ ω ]= ⎢ ωz<br />
⎢<br />
⎣<br />
−ω<br />
y<br />
−ω<br />
0<br />
ω<br />
x<br />
z<br />
ω<br />
−ω<br />
0<br />
y<br />
x<br />
( )<br />
⎤ ⎡ 0<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ; [ ω ]= ⎢ ωz<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ −ω<br />
⎣<br />
y<br />
−ω<br />
0<br />
ω<br />
x<br />
z<br />
ω<br />
−ω<br />
0<br />
y<br />
x<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥ .<br />
⎥<br />
⎦<br />
Posūkio matricos ⎡⎣ A θ ⎤ ⎦ išvestinės pagal laiką yra lygios:<br />
( ) ⎦ = [ ] ( ) ⎦ = ( )<br />
⎡Ȧ θ ⎤ ω̃ A θ A θ ω̃<br />
⎣<br />
⎡⎡<br />
⎣ ⎣ ⎤ ⎦<br />
⎤ ⎡⎣ ⎤ ⎦ [ ], (2.41)<br />
( ) ⎦ = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦<br />
⎡⎣ [ ] ⎤ ⎦ + [ ] [ ]= [ ]⎡ ⎤ ⎣ ⎦<br />
+ [ ][ ]<br />
̇̇ 2 2<br />
⎡A θ ⎤ ω̇̃ A ω̃ A A ω̇̃ A ω̃<br />
⎣<br />
. (2.42)<br />
Kūno taško P koordinačių vektorius { R p } OXYZ koordinačių<br />
sistemoje yra lygus:<br />
{ Rp}= { Rc}+ { Rcp}= { Rc}+ ⎡⎣ A( θ)<br />
⎤ ⎦ { r1 cp}<br />
, (2.43)<br />
31
čia R c<br />
{ } – kūno masių centro vektorius OXYZ koordinačių sistemo<br />
{ cp}= ⎡⎣ ( θ)<br />
⎤ ⎦ { 1 cp}<br />
– vektorius tarp kūno taškų c ir P OXYZ 1 1 1 1<br />
je; R A r<br />
{ } OXYZ koordinačių siste<br />
koordinačių sistemoje.<br />
Kūno taško P greičių vektorius V p<br />
moje yra lygus:<br />
V R ̇ R ̇ A ̇ r R ̇ ̃ R<br />
{ p}= { p}= { c}+ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ { 1cp}= { c}+ [ ω]{ cp}=<br />
̇<br />
̃<br />
= { Rc}+ [ ω][ A]{ r1<br />
cp}=<br />
= { Ṙ<br />
c}+ [ A][ ω]{ r cp}<br />
1 .<br />
{ V<br />
p } OXYZ koordinačių sis<br />
Kūno taško P pagreičių vektorius<br />
temoje yra lygus:<br />
{ V̇ ̇̇ ̇̇ ̇̇<br />
p}= { Rc}+ ⎡A⎤ rcp Rc A ̇̃<br />
⎣ ⎦ { }= { }+ [ ]⎡ ⎤<br />
1 ⎣ ω ⎦ { r1cp<br />
}+<br />
2<br />
+[ A][<br />
̃ r cp .<br />
ω] { 1 }<br />
Virtualūs poslinkiai ir posūkiai:<br />
[ ]= [ ][ ]= [ ] ⎡ ⎣<br />
⎤ ⎦<br />
δ A δ ϕ A A δ ϕ ; δ⎡ϕ<br />
A δ<br />
(2.44)<br />
⎣ ⎤ ⎦ = [ ] T<br />
[ A]<br />
{ p}= { c}+ [ ]{ 1cp}= { c}+ [ ]{ cp}=<br />
δ R δ R δ A r δ R δϕ R<br />
= δ{ Rc}+ [ A]⎡ ⎣<br />
ϕ⎤ ⎦ { r cp}<br />
δ{ Rp}= δ[ A]{ r1cp}= [ A] δ ⎡ ϕ=−[ A]⎡ ⎣<br />
r1cp<br />
⎤ ⎦<br />
δϕ { }<br />
;<br />
(2.45)<br />
<br />
1 ; (2.46)<br />
⎤<br />
⎣<br />
⎦ .<br />
Kūną sukant kampais ϕx, ϕy, ϕz<br />
apie X, Y, Z ašis, posūkio matricos<br />
turi tokias išraiškas:<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎡1 0 0 ⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥ ;<br />
⎢<br />
⎣0<br />
sin( ϕx) cos( ϕx)<br />
⎥<br />
⎦<br />
( ) ⎤<br />
⎦ = ( ) − ( )<br />
A ϕ x 0 cos ϕ x sin ϕ x<br />
32
⎡ cos( ϕ ) 0 sin( ϕ ) ⎤<br />
⎥<br />
⎦ = ⎥ ;<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎦<br />
⎥<br />
y y<br />
⎢<br />
A( ϕ y ) ⎤ ⎢ 0 1 0<br />
⎢<br />
⎢− sin( ϕy) 0 0 cos( ϕy)<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎡cos( ϕz) − sin( ϕz)<br />
0⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎡⎣ A( ϕ z ) ⎤ ⎦ = ⎢sin( ϕz) cos( ϕz)<br />
0⎥<br />
. (2.47)<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣ 0 0 1⎦<br />
Nagrinėjant kūno judėjimą, kai kūnas pasisuka mažais kampais,<br />
t. y. { ϕ}→ 0 , posūkio matrica yra lygi:<br />
⎡⎣ A( ϕ)<br />
⎤ ⎦ = [ E]+ [ ϕ ] , (2.48)<br />
arba<br />
1<br />
1 2<br />
⎡⎣ A( ϕ)<br />
⎤ ⎦ = [ E]+ [ ϕ]+ [ ϕ][ ϕ]= [ E]+ [ ϕ]+ [ ϕ<br />
] , (2.49)<br />
2<br />
2<br />
arba bendruoju aveju<br />
j<br />
n<br />
⎡⎣ A( ϕ)<br />
⎤ ⎦ = [ E]+ ∑ 1 [ ϕ]<br />
j=<br />
1 j! . (2.50)<br />
2.4. Matricos tikrinės reikšmės ir vektoriai<br />
Tarkime, turime tiesinę diferencialinę lygčių sistemą:<br />
r A r B<br />
{}= [ ]{}+ { }. (2.51)<br />
Homogeninės lygčių sistemos<br />
r A r {}= [ ]{} (2.52)<br />
sprendinį užrašysime tokiu pavidalu:<br />
λt<br />
{}= r e { X}<br />
. (2.53)<br />
33
Įstatę sprendinį (2.116) į (2.115) lygtį, gausime:<br />
[ A]{ X}= λ { X}<br />
, (2.54)<br />
[ ] – kvadratinė matrica; { X} – nežinomasis vektorius; λ – ne<br />
čia A<br />
žinomasis daugiklis.<br />
Lygčių sistemą (2.54) galima užrašyti tokiu pavidalu:<br />
([ A]− [ E]<br />
λ){ X}=<br />
0 , (2.55)<br />
čia [ E] – vienetinė matrica.<br />
Homogeninė tiesinių lygčių sistema (2.55) turi nenulinį sprendinį<br />
tik tada, kai jos determinantas lygus nuliui:<br />
⎡an − λ an a12n<br />
⎤<br />
⎢<br />
a a − λ a<br />
⎥<br />
n<br />
det ([ A]− λ[ E]<br />
)= ⎢ 21 22 22 ⎥ = 0 (2.56)<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣ a21 n a2n2 a2n2n−<br />
λ⎦<br />
Gauta lygtis yra 2n-tojo laipsnio algebrinė lygtis, kurios kairioji<br />
pusė yra 2n-tojo laipsnio daugianaris nežinomojo parametro λ atžvilgiu:<br />
2n<br />
i<br />
n<br />
D( λ)= ∑ Cλ = C0 + C1λ+ C2λ 2 +<br />
C<br />
λ<br />
čn . (2.57)<br />
i=<br />
0<br />
Daugianaris D λ<br />
daugianariu, o lygtis<br />
i<br />
( ) vadinamas matricos [ A] charakteringuoju<br />
D( λ)= 0 (2.58)<br />
– matricos [ A] charakteringąja lygtimi. Bendruoju atveju 2n-tojo<br />
laipsnio daugianaris turi n šaknų. Parametras λ vadinamas matricos<br />
[ A] tikrine reikšme. Charakteringojo daugianario šaknys λ i ,<br />
i=1, 2,... 2n, gali būti realiosios, kompleksinės ir kartotinės. Lygties<br />
(2.119) sprendinys { X} vadinamas tikriniu matricos [ A] vektoriumi.<br />
Vektoriai { X} nustatomi konstantos tikslumu. Tikrinės reikšmės λ i ,<br />
o{ X} i<br />
– tikriniai vektoriai, i=1, 2,... 2n.<br />
34<br />
n
[ ] – simetrinė matrica, tai { X} i<br />
– ortogonalieji vektoriai.<br />
{ } ir λ j , { X} j<br />
. Lygčių sis<br />
Kai A<br />
Nagrinėsime du sprendinius: λ i , X i<br />
temą (2.55) galima užrašyti:<br />
[ A]{ X} = λ X<br />
i i { }<br />
i ,<br />
(2.59)<br />
[ A]{ X} = λ { X}<br />
. (2.60)<br />
j j j<br />
{ } , o<br />
T<br />
Lygtį (2.59) iš kairės pusės padauginsime iš vektoriaus X<br />
T<br />
j<br />
lygtį (2.60) – iš vektoriaus X i<br />
{ } :<br />
X T<br />
{ } A X X X<br />
j<br />
[ ]{ } = λ<br />
i i { }<br />
j<br />
{ } i<br />
, (2.61)<br />
X T<br />
{ } A X X X<br />
i<br />
[ ]{ } = λ<br />
j j { }<br />
i<br />
{ } j<br />
. (2.62)<br />
[ ] yra<br />
Iš lygties (2.61) atimsime lygtį (2.62) ir kadangi matrica A<br />
simetrinė, tai gausime:<br />
T<br />
( λ − λ ){ X} { X} = 0 . (2.63)<br />
i j j<br />
i<br />
{ } ir { X} j<br />
skalia<br />
Iš (2.63) lygties matyti, kad dviejų vektorių X i<br />
rinė sandauga yra lygi:<br />
T ⎧ kai i j<br />
{ X} { X} = 0,<br />
≠<br />
j i ⎨<br />
,<br />
⎩≠ 0,<br />
kai i=<br />
j<br />
{ } ,{ X} j<br />
– ortogonalieji vektoriai.<br />
{ } ir { X} j<br />
, t. y.<br />
čia X i<br />
Sunormavus vektorius X i<br />
X<br />
i<br />
{ X} { } =<br />
i<br />
{ X} ;<br />
i<br />
X<br />
i<br />
{ X} { } =<br />
j X<br />
j<br />
{ } , (2.64)<br />
{ } ,{ X} – vienetiniai vektoriai,<br />
j<br />
čia X<br />
i<br />
galima gauti tokią išraišką:<br />
T ⎧λ i ,<br />
{ X} [ A]{ X} = ⎨<br />
i<br />
j<br />
⎩ 0,<br />
kai i=<br />
j<br />
. (2.65)<br />
kai i≠<br />
j<br />
35
Iš ortonormuotųjų vektorių<br />
ortogonaliąją matricą:<br />
[ ]= { } { } { }<br />
{ } i=1 2 2n<br />
X<br />
i<br />
, ,..., , galima sudaryti<br />
X ⎡ X , X ,..., X ⎤ . (2.66)<br />
⎣ 1 2 2 n ⎦<br />
Tada (2.65) išraišką galima užrašyti tokiu pavidalu:<br />
⎡λ1<br />
0 0 ⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
[ X] T<br />
[ A][ X ]= ⎢<br />
0 λ2<br />
0<br />
⎥ . (2.67)<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣ 0 0 λ2n<br />
⎦<br />
Lygčių sistemos (2.52) sprendinį galima užrašyti taip:<br />
2n<br />
λ<br />
r t X e<br />
it<br />
Λt<br />
{ ()}= ∑{ } Ci<br />
= [ X] e { C}<br />
, (2.68)<br />
i=<br />
1<br />
λ t<br />
čia e<br />
Λ t<br />
= diag e<br />
i<br />
( )=<br />
i<br />
⎡ λ t<br />
e<br />
1<br />
0 0 ⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
λ t<br />
⎢ 0 e<br />
2<br />
0 ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ . (2.69)<br />
⎥<br />
⎢<br />
λ t<br />
e<br />
2n<br />
⎥<br />
⎣ 0 0 0 ⎦<br />
Įrašykime naują vektorių:<br />
{ r()<br />
t }= [ X] { u()<br />
t }, (2.70)<br />
čia { u()<br />
t } – modalinių koordinačių vektorius.<br />
Tada lygčių sistemą (2.114) galima užrašyti taip:<br />
{}= u [ X] − 1 −1<br />
[ A][ X]{}+ u [ X] { B}<br />
, (2.71)<br />
ir lygčių sistema, įvertinus (2.71) išraišką, susiskaido į 2n nepriklausomų<br />
pirmosios eilės lygčių:<br />
u − λ u = g () t , i=1, 2,... 2n, (2.72)<br />
i i i i<br />
{ }<br />
−1<br />
{ }= [ ] ()<br />
čia gi () t – vektoriaus g X Bt<br />
i-tasis elementas.<br />
36
Panaudojant matricos charakteringąjį daugianarį D( λ), galima<br />
nustatyti dinaminės sistemos stabilumą. Tam tikslui, panaudojant charakteringojo<br />
daugianario koeficientus C i , reikia suformuoti Gurvico<br />
matricą, pavyzdžiui, kai charakteringas daugianaris yra ketvirtos eilės,<br />
tada Gurvico matrica lygi:<br />
⎡C1 C3<br />
0 0 ⎤<br />
⎢<br />
C C C<br />
⎥<br />
[ G]=<br />
⎢ 0 2 4 0<br />
⎥ . (2.73)<br />
⎢ 0 C1 C3<br />
0 ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣ 0 C0 C2 C4<br />
⎦<br />
Dinaminė sistema yra stabili, kai visi pagrindiniai Gurvico matricos<br />
minorai yra teigiami, t. y.<br />
∆ k > 0, kai k = 1, 2,... 2n<br />
. (2.74)<br />
2<br />
= C ; ∆ 2 = CC 1 2 −CC 0 3 ; ∆ 3 = CC 1 2 C 3 −C 0 C 3 − C4C 1 2 ir t. t.<br />
∆ 1 1<br />
Tegu dinaminės sistemos judėjimo lygčių sistema:<br />
{ }<br />
[ M]{}+ q [ C]{}+ q [ K]{}= q F()<br />
t ,<br />
[ ] [ ] [ ]<br />
(2.75)<br />
čia M , C , K – masių, slopinimo ir standumo matricos, atitinkamai;<br />
{}{}{} q<br />
, q<br />
, q – pagreičių, greičių ir poslinkių vektoriai, atitinkamai;<br />
F () t – išorinių jėgų vektorius. Tegu šioje lygčių sistemoje yra<br />
n nežinomųjų.<br />
Homogeninės lygčių sistemos<br />
[ M]{}+ q [ C]{}+ q [ K]{}=<br />
q 0 (2.76)<br />
sprendinį užrašysime tokiu pavidalu:<br />
{}= q { X} e λ t . (2.77)<br />
Įstatę sprendinį (2.77) į (2.76) lygtį, gausime:<br />
2<br />
( λ [ M]+ λ[ C]+ [ K]<br />
){ X}= {}, 0<br />
(2.78)<br />
37
čia { X} – nežinomasis vektorius, kuris vadinamas dinaminės sistemos<br />
savąja forma; λ – nežinomasis daugiklis.<br />
Panagrinėsime atvejį, kai slopinimo matrica yra lygi nuliui, t. y.<br />
[ C]= 0, tada lygčių sistema (2.78) yra<br />
( λ 2 [ M ]+ [ K ]){ X }= {}. 0<br />
(2.79)<br />
Tegu λ= iωt, ω – savasis kampinis dažnis; i – kompleksinis menamas<br />
skaičius, i = −1 , tada lygčių sistema (2.79) yra lygi:<br />
( − ω 2 [ ]+ [ ]){ }= {} 0<br />
M K X . (2.80)<br />
Homogeninė lygčių sistema (2.80) turi nenulinį sprendinį tik<br />
tada, kai jos determinantas lygus nuliui:<br />
det ( − ω 2 [ M]+ [ K ])=<br />
0 .<br />
Gauta lygtis yra n-tojo laipsnio algebrinė lygtis, kurios kairioji<br />
pusė yra n-tojo laipsnio daugianaris nežinomojo savojo kampinio dažnio<br />
ω 2 atžvilgiu:<br />
n<br />
2 2i<br />
n<br />
D( ω )= ∑ Ciω = C0 + C1ω 2 + C2ω 4 +<br />
Cnω<br />
2 . (2. 81)<br />
i=<br />
0<br />
−1<br />
Daugianaris D( ω) vadinamas matricos [ M] [ K]<br />
charakteringuoju<br />
daugianariu, o lygtis<br />
D( ω)= 0 (2.82)<br />
−1<br />
[ ] [ ]<br />
– matricos M K charakteringąja lygtimi.<br />
Savieji dažniai išdėstomi didėjančia tvarka: ω1 ≤ω2 ≤ω3<br />
≤... ≤ωn .<br />
Dinaminė (mechaninė) sistema esant tam tikram savajam dažniui<br />
ω k virpa (deformuojasi) ir jos deformavimosi formą apibūdina savoji<br />
forma vektorius{ X k }.<br />
Kaip savųjų formų pavyzdys, 2.8 pav. parodytos plonos plokštelės<br />
pirmos keturios savosios formos.<br />
38
a)<br />
b)<br />
c)<br />
39
d)<br />
e)<br />
2.8 pav. Plonos plokštelės pirmosios keturios savosios formos:<br />
a – plokštelės schema; b – pirmoji savoji forma ; c – antroji savoji forma;<br />
d – trečioji savoji forma; e – ketvirtoji savoji forma<br />
Normalizuosime savuosius vektorius Xk<br />
, k 12 , ,..., n<br />
pagal masių matricą [ M ],<br />
1<br />
X Nk<br />
. (2.83)<br />
T<br />
X M X<br />
{ }= { } [ ]{ }<br />
k<br />
k<br />
40<br />
{ } =<br />
Normalizuoti savieji vektoriai turi tokias savybes:<br />
T<br />
T<br />
{ X } [ M]{ X }= [ E]; X K X<br />
Nk<br />
Nk<br />
{ } [ ]{ }= [ ]<br />
Nk<br />
Nk<br />
λ , (2.84)
[ E] – vienetinė matrica;<br />
[ E]=<br />
⎡ 1 0 0 ⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
0 1 0<br />
⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣ 0 0 1 ⎦<br />
⎡ω<br />
⎤<br />
1 2 0 0<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ 0 ω2 [ 2 0 ⎥<br />
λ]=<br />
⎢<br />
⎥ – savųjų dažnių kvadratų matrica.<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
2<br />
⎣ 0 0 ω ⎥<br />
n ⎦<br />
Įvesime naują vektorių:<br />
{ qt ()}= [ XN<br />
]{ u()<br />
t }, (2.85)<br />
{ ()} – modalinių koordinačių vektorius, [ X N ] – modalinė ma<br />
čia u t<br />
trica sudaryta iš sistemos normalizuotų savųjų vektorių,<br />
[ XN]= ⎡<br />
⎣{ XN1} ,{ XN2} ,...,{ XNn}<br />
⎤<br />
⎦ .<br />
Įstatę vektorių (2.85) į lygčių sistemą (2.75) ir iš kairės pusės padauginę<br />
iš X<br />
T<br />
N<br />
arba<br />
[ ] , gausime n nepriklausomų lygčių:<br />
T<br />
{}+ u<br />
[ ]{}= u [ XN<br />
] { F()<br />
t }<br />
λ (2.86)<br />
u<br />
+ ω 2 u = g () t k =1... n<br />
(2.87)<br />
k k k k<br />
k<br />
n<br />
g t ∑ X F t . (2.88)<br />
()= ()<br />
j=<br />
1<br />
jk<br />
j<br />
Bendras (2.87) lygties sprendinys yra lygus:<br />
t<br />
1<br />
uk<br />
()= t ∫ gk<br />
( τ) sin ( ωk<br />
( t−<br />
τ)<br />
) dτ. (2.89)<br />
ωk<br />
0<br />
41
Panagrinėsime atvejį, kai slopinimo matrica nelygi nuliui, t. y<br />
T<br />
[ C]≠ 0 . Įstatę (2.875) į (2.76) ir iš kairės pusės padauginę iš [ X N ] ,<br />
gausime n nepriklausomų lygčių:<br />
arba<br />
T<br />
T<br />
{}+ u<br />
[ X ] [ C][ X ]{}+ u<br />
[ λ ]{}= u [ X ] F()<br />
t (2.90)<br />
N<br />
N<br />
N<br />
{ }<br />
u<br />
+ ∑ { X } [ C]{ X } u<br />
+ ω u = g () t k = 1...n (2.91)<br />
k<br />
n<br />
j=<br />
1<br />
Nk<br />
T<br />
Nj<br />
2<br />
k k k k<br />
Kartais slopinimo matrica išreiškiama per standumo ir masių matricas,<br />
t. y.<br />
[ C]= α[ K]+ β [ M ]. (2.92)<br />
n<br />
{ }<br />
T<br />
[ ]{ } k<br />
Tada narys ∑ XNk<br />
C XNj<br />
u<br />
j=<br />
1<br />
lygus:<br />
n<br />
T<br />
∑ { X } [ C]{ X } u<br />
=<br />
(2.91) lygčių sistemoje bus<br />
Nk<br />
Nj k<br />
j=<br />
1<br />
n<br />
T<br />
T<br />
( { Nk} [ ]{ Nj}+ { Nk} [ ]{ Nj}<br />
) k =<br />
j=<br />
1<br />
= ∑ α X K X β X M X u<br />
n<br />
2<br />
2<br />
( k jk jk ) k = ( k + ) k<br />
j=<br />
1<br />
= ∑ αω δ + βδ u αω β u ,<br />
⎧1,<br />
kai j = k<br />
čia δ jk – Kronekerio daugiklis, δ jk = ⎨<br />
.<br />
⎩0,<br />
kai j ≠ k<br />
Įstatę (2.93) į (2.91) lygtis, gausime:<br />
( ) + =<br />
2 2<br />
k k k k k k<br />
(2.93)<br />
u<br />
+ αω + β u<br />
ω u g (). t<br />
(2.94)<br />
Standartinės k-osios (2.94) lygties pavidalas yra:<br />
2<br />
k k k k k k k<br />
u<br />
+ 2ξωu<br />
+ ω u = g (), t<br />
(2.95)<br />
čia ξ k – slopinimo koeficientas, kuris lygus:<br />
1 1<br />
ξk<br />
= αωk<br />
+<br />
2 2ω β . (2.96)<br />
k<br />
42
Lygties (2.95) sprendinys yra:<br />
1<br />
t<br />
−ξkωk<br />
t<br />
uk<br />
t gk<br />
e<br />
( −τ)<br />
2<br />
()= ∫ ( τ) sin ( ωk<br />
1−ξk<br />
( t−τ)<br />
) dτ<br />
.<br />
2<br />
ωk<br />
1−<br />
ξk<br />
0<br />
(2.97)<br />
Įvesime naują vektorių:<br />
q<br />
{}= r<br />
⎫<br />
⎨ ⎬⎭ .<br />
⎩ q<br />
(2.98)<br />
Lygčių sistemą (2.76) užrašysime kaip pirmos eilės diferencialinių<br />
lygčių sistemą, kurioje bendras lygčių skaičius bus lygus 2n :<br />
⎡[ E] [ 0]<br />
⎤ q<br />
⎢ ⎥ ⎧ ⎫ ⎡<br />
⎨<br />
⎣[ ] [ E]<br />
⎬⎭ − ⎢<br />
0 ⎦ ⎩ q<br />
⎣⎢<br />
arba<br />
[ 0] [ E]<br />
⎤ ⎧q⎫<br />
⎧<br />
⎪ {} 0 ⎫<br />
⎪<br />
⎥<br />
−1 −1<br />
⎨ ⎬ = ⎨ −1<br />
⎬<br />
M K M C ⎦⎥<br />
⎩q<br />
⎭ ⎩⎪ [ M] { F()<br />
t } ⎭⎪<br />
(2.99)<br />
−[ ] [ ] −[ ] [ ]<br />
{ }<br />
[ B]{}− r [ A]{}= r f () t , (2.100)<br />
⎡<br />
čia [ A]=<br />
⎢<br />
⎣⎢<br />
0 [ E]<br />
⎤<br />
−<br />
−<br />
⎥<br />
M K M C ⎦⎥<br />
−[ ] [ ] −[ ] [ ]<br />
⎡ E<br />
[ [ ] [ 0 ] ⎤<br />
B]= ⎢ ⎥<br />
⎣[ 0] [ E]<br />
⎦ ;<br />
1 1 ;<br />
{}<br />
⎧<br />
⎪ 0 ⎫<br />
⎪<br />
{ f () t }= ⎨ −1<br />
⎬<br />
⎩⎪ [ M] { F()<br />
t } ⎭⎪<br />
.<br />
(2.101)<br />
Norėdami surasti sistemos (1.100) tikrines reikšmes ir vektorius,<br />
vektorių f t<br />
{ ()} prilyginsime nuliui, t. y.<br />
43
[ B]{}− r [ A]{}= r {} 0 . (2.102)<br />
Tegu lygčių sistemos sprendinys turi tokį pavidalą:<br />
{}= r {} r e λ t , (2.103)<br />
čia λ – tikrinė reikšmė; {} r – dešinysis tikrinis vektorius.<br />
Įstatę sprendinį (2.103) į lygčių sistemą (2.102), gausime:<br />
([ A]− λ[ B]<br />
){}= r {} 0 . (2.104)<br />
Išsprendę tikrinių reikšmių uždavinį (2.104), gauname 2n tikrinių<br />
reikšmių ir tikrinių vektorių, t. y. λ j , { r j }, j =1, 2,..., 2n. Be to, bendruoju<br />
atveju tikrinės reikšmės ir vektoriai yra kompleksiniai skaičiai,<br />
λ = α + iω<br />
; r Re r Im r , (2.105)<br />
j j j<br />
čia Re , Im<br />
realiąją ir kintamąją dalis.<br />
{ j}= { j}+ { j}<br />
( ) ( ) – funkcijos, išskiriančios kompleksinio skaičiaus<br />
Įvesime naują vektorių<br />
2n<br />
r ∑ ri<br />
ui<br />
⎡<br />
⎣ r1 r2 ... r2<br />
N ⎤ R u , (2.106)<br />
{}= { } = { } { } { } ⎦ = [ ]{}<br />
i=<br />
1<br />
čia [ R] – dešiniųjų tikrinių vektorių matrica;<br />
[ ]= { } { } { }<br />
R ⎡<br />
⎣ r1 r2 ... r2<br />
N ⎤<br />
⎦ ;<br />
u {}– modalinių koordinačių vektorius.<br />
Įstatę vektorių (2.106) į lygčių sistemą (2.100), gausime<br />
{ }<br />
[ B][ R]{}− u [ A][ R]{}= u f () t . (2.107)<br />
Kairieji tikriniai vektoriai nustatomi išsprendus tikrinių reikšmių<br />
uždavinį:<br />
( )= {}<br />
l T<br />
T<br />
{} [ A]− ν[ B]<br />
0 (2.108)<br />
44
arba<br />
T T<br />
([ A] − ν[ B]<br />
){ l}= {} 0 . (2.109)<br />
čia {} l – kairysis tikrinis vektorius; ν – tikrinė reikšmė.<br />
Tikrinės reikšmės apskaičiuotos išsprendus (2.104) ir (2.109) tikrinių<br />
reikšmių uždavinius, gausime:<br />
λ<br />
j<br />
= ν ,<br />
j<br />
tada galioja tokia sąlyga:<br />
det<br />
([ ]− [ ])= ([ ]− [ ])<br />
A λ B det A λ B T<br />
. (2.110)<br />
Sudarome kairiųjų tikrinių vektorių modelinę matricą:<br />
[ ]= { } { } ⋅ { }<br />
L ⎡<br />
⎣ l1 , l2 , ..., l2<br />
N ⎤<br />
⎦ . (2.111)<br />
Sudarysime tokią lygčių sistemą:<br />
([ A]− λ j[ B]<br />
){ rj}= {} 0 ⎫<br />
⎪<br />
T T ⎬ . (2.112)<br />
([ A] − λk<br />
[ B]<br />
){ lk<br />
}= {} 0 ⎪<br />
⎭<br />
Pirmąją lygtį padauginę iš { l k }, o antrąją lygtį iš { r j }, gausime<br />
T<br />
{ lk<br />
} ([ A]− λ j[ B]<br />
){ rj}=<br />
0 ⎫<br />
⎪<br />
T<br />
⎬<br />
T T<br />
{ rj} ([ A] − λk<br />
[ B]<br />
){ lk<br />
}= 0 ⎪<br />
. (2.113)<br />
⎭<br />
Pirmąją lygtį atimsime iš antros, tada gausime:<br />
T<br />
( χk − λ j){ r j} [ B ]{ l }= 0 k . (2.114)<br />
Kai galioja tokia lygybė<br />
T T<br />
T<br />
{ rj} [ B] { lk}= { lk} [ B]{ rj}, (2.115)<br />
ortogonalumo sąlyga:<br />
T T<br />
T ⎧0,<br />
{ rj} [ B] { lk}= { lk} [ B]{ rj}=<br />
⎨<br />
⎩1,<br />
kai j ≠ k<br />
kai j = k<br />
(2.116)<br />
45
T<br />
[ L] [ B][ R]= [ E] (2.117)<br />
arba<br />
T T<br />
([ R] [ B]<br />
)[ L]= [ E]<br />
bet tada<br />
( ) −1 ,<br />
T T<br />
[ ]= [ ] [ ]<br />
ir L R B<br />
T<br />
{ k} ([ ]− j[ ]){ j}=<br />
l A λ B r 0<br />
(2.118)<br />
(2.119)<br />
T<br />
{ l } [ A]{ r }=λ , (2.120)<br />
k<br />
j<br />
T<br />
k j<br />
nes { lk<br />
} j[ B]{ rj}= ⎧ 0,<br />
≠<br />
λ ⎨<br />
⎩ 1,<br />
k = j<br />
.<br />
Todėl galioja tokia priklausomybė<br />
j<br />
T<br />
[ L] [ A][ R]= [ λ ], (2.121)<br />
[ λ]≡ diag ( λ j ) – diagonalinė matrica.<br />
Tada lygčių sistema (2.107) yra:<br />
[ B][ R]{}− u [ A][ R]{}= u { f }.<br />
Ir gautą lygčių sistemą padauginę iš kairės transponuotą kairiųjų<br />
tikrinių vektorių modalinę, gausime:<br />
[ L] T [ B][ R]{}− u<br />
[ L] T [ A][ R]{}= u [ L] T<br />
{ f}<br />
(2.122a)<br />
arba<br />
T<br />
{}− u [ λ ]{}= u [ L] { f}<br />
. (2.122b)<br />
Gavome nepriklausomų lygčių sistemą:<br />
u − λ u = h ,<br />
j j j j<br />
46
h = ∑ L f<br />
j<br />
2n<br />
k=<br />
1<br />
kj<br />
k<br />
j<br />
Lygties (2.123) sprendinys yra:<br />
=1,..., 2N<br />
. (2.123)<br />
t<br />
−λjt<br />
−λj( t−τ)<br />
uj()= t uj( 0) e + ∫ hj<br />
( τ)<br />
e dτ. (2.124)<br />
0<br />
Kai matrica [ B]= [ E] – vienetinė matrica, tada<br />
L T<br />
T<br />
[ ] [ B][ R]= [ L] [ R]= [ E]<br />
T<br />
ir [ L] = [ R] −1 ,<br />
ortogonalumo sąlyga bus lygi:<br />
(2.125)<br />
[ R] −1<br />
[ A][ R]= [ λ ]. (2.126)<br />
Vektorių {}= r [ R]{} q įstatę į (2.107), gausime:<br />
{}− u [ ]{}= u [ R] − 1<br />
λ { f}<br />
. (2.127)<br />
Lygčių sistemą (2.76) galima užrašyti kaip pirmos eilės diferencialinių<br />
lygčių sistemą, kurios matricos yra simetrinės matricos:<br />
[ ] [ ]<br />
⎥ ⎧ ⎫ [ ] [ ]<br />
⎨ ⎬⎭ −<br />
⎩ [ ] −[ ]<br />
⎡ 0 K ⎤ q ⎡ K 0 ⎤<br />
⎢<br />
⎢ ⎥ ⎧ q<br />
⎫ ⎧ 0 ⎫<br />
⎨<br />
⎣[ ] [ ]<br />
⎬⎭ = ⎨ ⎬ , (2.128)<br />
K C ⎦ q<br />
⎣ 0 M ⎦ ⎩ q<br />
⎩F()<br />
t ⎭<br />
arba<br />
[ A]{}− r [ B]{}= r { f }, (2.129)<br />
čia<br />
[ K<br />
A ]= ⎡ [ 0 ] [ ] ⎤ ⎡ K<br />
⎢ ⎥; [ [ ] [ 0 ]<br />
B]= ⎢<br />
⎣[ K] [ C]<br />
M<br />
⎦ ⎣ 0<br />
r t<br />
()=<br />
⎧qt<br />
() ⎫<br />
⎨ ⎬ ; f t<br />
⎩qt<br />
() ⎭<br />
()=<br />
[ ] −[ ]<br />
⎤ ⎧ 0 ⎫<br />
⎥ = ⎨ ⎬ ,<br />
⎦ ⎩F()<br />
t ⎭<br />
⎧ 0 ⎫<br />
⎨ ⎬ . (2.130)<br />
⎩F()<br />
t ⎭<br />
Matricos [ A] ir [ B] – simetrinės matricos.<br />
47
Modalinė matrica [ R] lygi:<br />
X X X n<br />
[ R]= ⎡<br />
⎣{ r} { r } { r N } ⎤<br />
⎦ = ⎡ { 1} ,{ 2} ,...,{ 2 }<br />
1 , 2 ,..., 2 ⎢<br />
⎣⎢<br />
1{ X1}<br />
, 2 X2<br />
u ,...,λ n<br />
λ λ { }{ } { X }<br />
2 2 2<br />
⎤<br />
⎥ .<br />
n ⎦⎥<br />
(2.131)<br />
Tikrinė reikšmė, kai ji yra kompleksinė, yra lygi:<br />
λk = αk + iωk<br />
. (2.132)<br />
Funkciją e λ<br />
galima užrašyti taip: e α<br />
e e ω<br />
= t α<br />
e<br />
ω<br />
=<br />
( + ) t .<br />
Tegu dešiniųjų ir kairiųjų tikrinių vektorių sudėtis yra lygi:<br />
{ }<br />
⎧<br />
⎪<br />
X j<br />
{ rj}=<br />
⎨<br />
j X<br />
⎩<br />
⎪λ<br />
{ j}<br />
{ }<br />
⎫ ⎧<br />
⎪ ⎪<br />
Yj<br />
⎬ ; { l j}=<br />
⎨<br />
⎭<br />
⎪<br />
j Y<br />
⎩<br />
⎪λ<br />
{ j}<br />
Tada ortogonalumo sąlyga yra lygi:<br />
T<br />
⎧⎪<br />
0,<br />
{ lk<br />
} [ B]{ rj}=<br />
⎨<br />
⎩⎪ 1,<br />
arba<br />
kai j ≠ k<br />
kai<br />
= k<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬ . (2.133)<br />
⎭<br />
⎪<br />
(2.134a)<br />
T<br />
[ L] [ B][ R]= [ E]. (2.134b)<br />
⎡ E<br />
1) būdas: [ [ ] [ 0 ] ⎤<br />
B]= ⎢ ⎥ – vienetinė matrica,<br />
⎣[ 0] [ E]<br />
⎦<br />
T<br />
T ⎧0,<br />
kai j ≠ k<br />
{ Yk<br />
} { X j}+ λλ k j{ Yk} { X j}=<br />
⎨<br />
⎩1,<br />
kai j = k<br />
Y T<br />
T<br />
[ ] [ X]+ [ λ ][ Y] [ X]= [ E]<br />
(2.135)<br />
2<br />
[ λ]= diag ( λ j)= diag ( λ1 2 , λ2 2 ,... λ2 2<br />
n)<br />
.<br />
48
⎡ K<br />
2) būdas: [ [ ] [ 0 ] ⎤<br />
B]= ⎢ ⎥ – simetrinė matrica.<br />
⎣ [ 0] −[ M ] ⎦<br />
T<br />
T<br />
⎧⎪<br />
0,<br />
kai j ≠ k<br />
{ Yk<br />
} [ K]{ X j}− λλ k j{ Yk} [ M]{ X j}==<br />
⎨<br />
⎩⎪ 1,<br />
kai j = k<br />
(2.136a)<br />
arba matricine forma:<br />
−[ λ][ Y] T<br />
T<br />
[ M][ X]+ [ Y] [ K][ X]= [ E]<br />
.<br />
(2.136b)<br />
Įstatę (2.136) išraišką į (2.129) lygčių sistemą ir iš kairės padauginę<br />
L T<br />
[ ] , gausime:<br />
T T T<br />
[ L] [ A][ R]{}− u [ L] [ B][ R]{}= u [ L] { f}<br />
49<br />
(2.137)<br />
arba γ j u j − u j = h j , (2.138)<br />
čia h = ∑ L f<br />
j<br />
2n<br />
k=<br />
1<br />
kj<br />
k<br />
.<br />
Pavyzdys. Duota trijų lygčių sistema:<br />
{ }<br />
[ M]{}+ q [ C]{}+ q [ K]{}= q F()<br />
t ,<br />
⎡05 , 0 0 ⎤ ⎡01 , 0 0 ⎤<br />
M =<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
0 1 0 ;<br />
⎥<br />
C =<br />
⎢<br />
⎢<br />
0 0,<br />
2 0<br />
⎥<br />
;<br />
⎥<br />
⎣⎢<br />
0 0 05 , ⎦⎥<br />
⎣⎢<br />
0 0 01 , ⎦⎥<br />
⎡ 20 , −10 , 0 ⎤<br />
K =<br />
⎢<br />
⎢<br />
−10 , 40 , −1<br />
⎥<br />
;<br />
⎥ q<br />
⎣⎢<br />
0 −1, 0 2,<br />
0⎦⎥<br />
Suformuojame A ir B matricas:<br />
{}=<br />
⎧q1<br />
⎫<br />
⎪ ⎪<br />
⎨q2<br />
⎬ .<br />
⎪<br />
⎩q<br />
⎪<br />
3 ⎭<br />
[<br />
K<br />
A ]= ⎡ [ 0 ] [ ] ⎤ ⎡ K<br />
⎢ ⎥; [ [ ] [ 0 ] ⎤<br />
B]= ⎢ ⎥ .<br />
⎣[ K] [ C]<br />
⎦ ⎣ [ 0] −[ M ] ⎦
Pradinę lygčių sistemą užrašome kaip pirmojo laipsnio lygčių sistemą:<br />
čia<br />
[ A]{}− r [ B]{}= r<br />
{ f }<br />
r t<br />
()=<br />
⎧qt<br />
() ⎫<br />
⎨ ⎬ ; f t<br />
⎩qt<br />
() ⎭<br />
()=<br />
⎧ 0 ⎫<br />
⎨ ⎬<br />
⎩F()<br />
t<br />
,<br />
⎭<br />
⎡ 0 0 0 20 , −10 , 0 ⎤<br />
⎢<br />
0 0 0 −10 , 40 , −10<br />
,<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ 0 0 0 0 −10 , 20 , ⎥<br />
A = ⎢<br />
⎥ ;<br />
⎢ 20 , −10 , 0 0,<br />
10 0 0 ⎥<br />
⎢−10 , 4,0 −1, 0 0 02 , 0 ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣ 0 −1, 0 2, 0 0 0 0,<br />
10⎦<br />
⎡ 20 , −10 , 0 0 0 0 ⎤<br />
⎢<br />
−10 , 40 , −10 , 0 0 0<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ 0 −1, 0 2,<br />
0 0 0 0 ⎥<br />
B = ⎢<br />
⎥ .<br />
⎢ 0 0 0 −05 , 0 0 ⎥<br />
⎢ 0 0 0 0 −1,<br />
0 0 ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣ 0 0 0 0 0 −05<br />
, ⎦<br />
Sprendžiame tikrinių reikšmių uždavinį (2.165):<br />
([ A]− λ[ B]<br />
){}= r {} 0 .<br />
Dešiniųjų tikrinių reikšmių vektorius ir dešiniųjų tikrinių vektorių<br />
matrica yra lygūs:<br />
50
[ λ]=<br />
⎡−<br />
01 , + i ⋅ 2,<br />
447⎤<br />
⎢<br />
−01 , −i<br />
⋅2,<br />
447<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ − 01 , + i ⋅1,<br />
997 ⎥<br />
⎢<br />
⎥ ;<br />
⎢ −01 , −i<br />
⋅1,<br />
997 ⎥<br />
⎢ − 01 , + i ⋅ 1,<br />
411⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣ −01 , −i<br />
⋅1,<br />
411⎦<br />
⎡−0, 00891−i⋅0, 218 − 0, 00891+ i⋅0, 218 −0, 0158 −i ⋅0, 316 −0,<br />
0158 + i⋅0, 316 −0, 0236 −i⋅0, 332 − 0, 0236 + i ⋅0,<br />
332⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
0, 00891+ i ⋅0, 218 000 , 891−i⋅ 0, 218 0+ i⋅0 0−i⋅0 −0, 0236 −i⋅0, 332 − 0, 0236 + i ⋅0,<br />
332<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎢−0, 00891−i⋅0, 218 − 0, 00891+ i⋅ 0, 218 0, 0158 + i⋅0, 316 0, 0158 −i⋅0, 316 −0,0236 −i⋅0, 332 − 0, 0236 + i⋅0,<br />
332⎥<br />
[ R]=<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ 0, 535 + i⋅ 0 0, 535 + i⋅ 0 0, 632 + i⋅0 0, 632 + i⋅ 0 0, 471+ i⋅0 0,<br />
471−i<br />
⋅0<br />
⎥<br />
⎢ − 0, 535 + i⋅0 −0, 535 −i⋅0 − 0+ i⋅0 −0−i⋅0 0, 471+ i⋅0 0,<br />
471−i⋅0<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣ 0, 535 −i⋅ 0 0, 535 + i⋅0 − 0, 632 + i⋅0 −0, 632 −i⋅0 0,<br />
471+ i⋅ 0 0,<br />
471+ i⋅0<br />
⎦<br />
Sprendžiame kairiųjų tikrinių reikšmių uždavinį:<br />
T T<br />
T<br />
{} l [ A] − λ [ B]<br />
0 .<br />
( L ) = {}<br />
Kairiųjų tikrinių reikšmių vektorius ir kairiųjų tikrinių vektorių<br />
matrica yra lygūs:<br />
⎡−<br />
010 , + i ⋅ 2,<br />
45⎤<br />
⎢<br />
−010 , −i<br />
⋅ 2,<br />
45<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢−<br />
010 , + i ⋅ 2,<br />
00⎥<br />
{ λ L }= ⎢<br />
⎥ ;<br />
⎢−010 , −i<br />
⋅ 2,<br />
00⎥<br />
⎢ −010<br />
, + i ⋅141<br />
, ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣ −010 , −i<br />
⋅1,<br />
41⎦<br />
⎡−0, 00891−i⋅0, 218 − 0, 00891+ i⋅0, 218 −0, 0158 −i ⋅0, 316 −0,<br />
0158 + i⋅0, 316 −0, 0236 −i⋅0, 332 − 0, 0236 + i ⋅0,<br />
332⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
0, 00891+ i ⋅0, 218 000 , 891−i⋅ 0, 218 0+ i⋅0 0−i⋅0 −0, 0236 −i⋅0, 332 − 0, 0236 + i ⋅0,<br />
332<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎢−0, 00891−i⋅0, 218 − 0, 00891+ i⋅ 0, 218 0, 0158 + i⋅0, 316 0, 0158 −i⋅0, 316 −0,0236 −i⋅0, 332 − 0, 0236 + i⋅0,<br />
332⎥<br />
⎢<br />
⎢ 0, 535 + i⋅ 0 0, 535 + i⋅ 0 0, 632 + i⋅0 0, 632 + i⋅ 0 0, 471+ i⋅0 0,<br />
471−i<br />
⋅0<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎢ − 0, 535 + i⋅0 −0, 535 −i⋅0 − 0+ i⋅0 −0−i⋅0 0, 471+ i⋅0 0,<br />
471−i⋅0<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
0, 535 −i⋅ 0 0, 535 + i⋅0 − 0, 632 + i⋅0 −0, 632 −i⋅0 0,<br />
471+ ⋅ 0 0 471+ ⋅0<br />
[ R<br />
⎢<br />
i<br />
, i ⎥<br />
]=<br />
⎢−0, 00891−i⋅0, 218 − 0, 00891+ i⋅0, 218 −0, 0158 −i<br />
⋅ 0, 316 − 0, 0158 + i⋅0, 316 −0, 0236 −i⋅0, 332 − 0, 0236 + i ⋅0,<br />
332⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ 0,<br />
00891+ i⋅0, 218 0, 00891−i⋅ 0, 218 0+ i⋅0 0−i⋅0 −0, 0236 −i<br />
⋅0, 332 − 0, 0236 + i ⋅0,<br />
332⎥<br />
⎢<br />
−0, 00891−i⋅0, 218 − 0, 00891+ i⋅ 0, 218 0, 0158 + i ⋅0, 316 001 , 58 −i⋅0, 316 −0, 0236 −i⋅0, 332 − 0, 0236 + i ⋅0,<br />
332<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣⎢<br />
0, 535 + i⋅ 0 0, 535 + i⋅0 0, 632 + i⋅ 0 0, 632 + i⋅ 0 0, 471+ i⋅0 0,<br />
471−i⋅0<br />
− 0, 535 + i⋅0 −0,<br />
535 −i⋅0<br />
− 0+ i⋅0 −0−i⋅ 0 0, 471+ i⋅0 0,<br />
471−i⋅0<br />
0, 535 −i⋅ 0 0, 535 + i⋅0 − 0, 632 + i ⋅0 −0, 632 −i⋅ 0 0, 471+ i⋅ 0 0,<br />
471+ i ⋅0<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦⎥<br />
51
{ } ir<br />
Matome, kad dešiniųjų pusių tikrinių reikšmių vektorius λ<br />
kairiųjų tikrinių reikšmių vektorius { λ L } yra tarpusavyje lygūs:<br />
{ λ}= { λ }<br />
L .<br />
Dešiniųjų pusių tikrinių reikšmių matrica yra lygi:<br />
⎡−<br />
01 , + i ⋅245 , 0 0 0 0 0 ⎤<br />
⎢<br />
0 −0, 1−i<br />
⋅ 2,<br />
45 0 0 0 0<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ 0 0 − 01 , + i ⋅ 200 , 0 0 0 ⎥<br />
[ λ]=<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ 0 0 0 −0,<br />
1−i<br />
⋅2,<br />
00 0 0 ⎥<br />
⎢ 0 0 0 0 −01 , −i<br />
⋅141 , 0 ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣ 0 0 0 0 0 −01 , −i<br />
⋅1,<br />
41⎦<br />
Patikrinsime sąlygas, kad trijų matricų sandauga yra lygi vienetinei<br />
matricai ir tikrinių reikšmių matricoms, t. y.<br />
[ ] [ ][ ]= [ ]<br />
T<br />
T<br />
[ L] [ B][ R]= [ E], L A R<br />
⎡10 , −i⋅ 0 0+ i⋅0 −0−i⋅ 0 0+ i⋅ 0 0+ i⋅0 −0−i⋅0⎤<br />
⎢<br />
− 0+ i⋅<br />
0 10 , + i⋅0<br />
− 0+ i⋅ 0 0+ i⋅0 0−i⋅ 0 0+ i⋅0<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
T ⎢ 0+ i⋅0 −0−i⋅0 1−i⋅0 0−i⋅0 0−i⋅0 0−i⋅0<br />
⎥<br />
[ L] [ B][ R]=<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ 0−i ⋅0<br />
−0−i⋅ 0 0+ i⋅0 1−i⋅0 0−i⋅0 0−i<br />
⋅0<br />
⎥<br />
⎢ 0+ i⋅0 −0−i⋅ 0 0+ i⋅0 −0−i⋅0 1−i⋅0 − 0 + i⋅ 0⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣ 0−i⋅0 − 0+ i⋅0 0−i⋅ 0 0+ i⋅0 − 0+ i⋅ 0 1+ i⋅0<br />
⎦<br />
⎡− 01 , + i⋅245 , 0−i⋅ 0 0+ i⋅0 − 0+ i⋅0 −0−i⋅0 − 0+ i⋅0<br />
⎤<br />
⎢<br />
0−i ⋅0 −0,<br />
10 −i⋅245 , −0−i⋅0 −0−i⋅0 −0−i⋅0 − 0+ i ⋅0<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
T ⎢ 0−i⋅ 0 0+ i⋅0 − 010 , + i ⋅ 2, 00 0 + i⋅0 −0−i⋅0 − 0+ i ⋅0<br />
⎥<br />
[ L] [ A][ B]=<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ 0−i⋅ 0 0+ i⋅0 0−i⋅0 −010 , −i⋅2,<br />
00 −0−i⋅0 − 0+ i⋅0<br />
⎥<br />
⎢ 0 + i ⋅ 0 0+ i⋅ 0 0+ i⋅ 0 0+ i⋅0 − 0, 1+ i⋅1,<br />
41 0−i⋅0<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣ 0−i⋅ 0 0+ i⋅ 0 0+ i⋅0 0−i⋅ 0 0 + i ⋅0 −01 , −i<br />
⋅1,<br />
41⎦<br />
λ ,<br />
.<br />
Kaip matyti iš gautų rezultatų, šios sąlygos yra įvykdytos.<br />
2.5. Harmoninė analizė<br />
Tegu sistemos judėjimo lygčių sistema yra:<br />
{ }<br />
[ M]{}+ q [ C]{}+ q [ K]{}= q F()<br />
t . (2.139)<br />
52
Žadinimo vektorių { F()<br />
t } suskaidysime:<br />
{ F()<br />
t }= { F } cos( t)+ { F } sin( t)<br />
arba kompleksinė forma:<br />
c<br />
Ω Ω (2.140)<br />
s<br />
i t<br />
i t<br />
{ F()<br />
t }= { Fcp} e Ω + { Fsp} e<br />
− Ω , (2.141)<br />
1<br />
čia { Fcp}= ({ Fc}− i{ Fs}<br />
);<br />
2<br />
1<br />
{ Fsp}= ({ Fc}+ i{ Fs}<br />
), (2.142)<br />
2<br />
nes<br />
1<br />
iΩt<br />
1<br />
−iΩt<br />
{ F()<br />
t }= ({ Fc}− i{ Fs}<br />
) e + ({ Fc}+ i{ Fs}<br />
) e =<br />
2<br />
2<br />
1<br />
({ 2 F c}− i { F s}<br />
)( cos( Ω t )+ i sin( Ω t ))+<br />
1<br />
({ 2 F c}+ i { F s}<br />
)( cos( Ω t )− i sin( Ω t ))=<br />
⎛ 1<br />
1<br />
⎜ { Fc} ( t)+ { Fs} ( t)<br />
⎝ 2<br />
cos Ω<br />
⎞<br />
⎟<br />
2<br />
sin Ω<br />
⎠<br />
+<br />
⎛ 1<br />
1<br />
i⎜<br />
{ Fc} ( t)− { Fs} ( t)<br />
⎝ 2<br />
sin Ω<br />
⎞<br />
⎟<br />
2<br />
cos Ω<br />
⎠<br />
+<br />
⎛ 1<br />
1<br />
⎜ { Fc} ( t)+ { Fs} ( t)<br />
⎝ 2<br />
cos Ω<br />
⎞<br />
⎟<br />
2<br />
sin Ω<br />
⎠<br />
+<br />
⎛ 1<br />
1<br />
⎞<br />
i⎜<br />
− { Fc} sin( Ωt)+ { Fs} cos( Ωt)<br />
⎟ Fc t Fs<br />
t<br />
⎝<br />
⎠<br />
= { } cos ( Ω )+ { } sin ( Ω ) .<br />
2<br />
2<br />
1) Atvejis:<br />
Sistemos (1) sprendinių ieškosime tokiu pavidalu:<br />
{}= q { q } cos( Ωt)+ { q } sin( Ω t)<br />
. (2.143)<br />
c<br />
s<br />
Įstatę (2.202) ir (2.205) išraiškas į (2.201), gausime lygčių sistemą:<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣⎢<br />
2<br />
− Ω [ M]+ [ K] + Ω[ C]<br />
− Ω[ C] 2<br />
− Ω [ M]+ [ K ]<br />
⎤ ⎧qc<br />
⎫<br />
⎥ ⎨ ⎬<br />
⎦⎥<br />
⎩qs<br />
⎭<br />
⎧⎪<br />
= { F } c<br />
⎨<br />
{ F }<br />
⎩⎪<br />
s<br />
⎫⎪<br />
⎬<br />
⎭⎪<br />
(2.144)<br />
53
[ ]{ }= { }. (2.145)<br />
arba H q F<br />
cs<br />
cs<br />
Virpesių amplitudes nustatome:<br />
{}= q { q } cos( Ωt)+ { q } sin( Ωt)= { A} cos( Ωt<br />
− ϕ ) (2.146)<br />
c<br />
s<br />
⎛ q<br />
2 2 sj<br />
⎞<br />
Aj = qcj + qsj<br />
; ϕ j = arctg ⎜<br />
⎝<br />
q ⎟<br />
. (2.147)<br />
cj ⎠<br />
2) Atvejis: kompleksinė forma<br />
Žadinimo jėgų vektorių užrašome (2.141) pavidalu. Sistemos<br />
(2.139) sprendinį užrašysime tokiu pavidalu:<br />
{}= q { q } e Ω + { q } e<br />
−iΩ t<br />
. (2.148)<br />
cp<br />
i<br />
t<br />
sm<br />
Įstatę (2.141) ir (2.148) išraiškas į (2.139) lygčių sistemą, gausime:<br />
2<br />
( − Ω [ M]+ iΩ[ C]+ [ K]<br />
){ qcp}= { Fcp}<br />
2<br />
( − Ω [ M]− iΩ[ C]+ [ K]<br />
){ qsm}= { Fsm}<br />
Sistemos (2.149) sprendimai yra lygūs:<br />
{ qcp}= ⎡ ⎣<br />
Hp⎤ ⎦<br />
⎡ ⎣<br />
Fcp<br />
⎤ ⎦<br />
, q H F<br />
( ) −<br />
(<br />
2<br />
Ω Ω ) −<br />
2<br />
= − [ ]+ [ ]+ [ ]<br />
čia: ⎡<br />
⎣<br />
Hp<br />
⎤<br />
⎦<br />
Ω M iΩ<br />
C K<br />
[ H ]= − [ M]− i [ C]+ [ K ]<br />
m<br />
sm m sm<br />
Sistemos (2.149) sprendinys tada bus lygus:<br />
. (2.149)<br />
{ }= [ ][ ], (2.150)<br />
iΩt<br />
−iΩt<br />
iΩt<br />
{}= { cp} + { sm} = e { cp}<br />
1<br />
;<br />
1<br />
. (2.151)<br />
( )<br />
q q e q e 2 R q e . (2.152)<br />
Pavyzdys. Nustatyti TP kūnų poslinkių, greičių ir pagreičių svyravimo<br />
amplitudes priklausomai nuo dažnio. TP dinaminis modelis<br />
pateiktas 2.9 pav.<br />
54
2.9 pav. TP dinaminis modelis<br />
TP kinetinė, potencinė energijos ir disipatyvinė funkcija yra lygios:<br />
( )<br />
Ek = 1<br />
m1x1 2 + m2x2 2 + m3x3 2 + I3x4 2 + m4x 5 2 ;<br />
2<br />
Ep = 1 ⎛<br />
k ( x − q () t ) 2<br />
2<br />
⎜ 1 1 1 + k2( x2 −q2<br />
( t−<br />
τ)<br />
) + k x −a x − x<br />
2 ⎝<br />
2<br />
2<br />
4( 3 2 4 2 ) + 5 3 − 3 4 − 5<br />
( ) ⎞ ⎠ ⎟ ;<br />
k x + ax −x k x a x x<br />
(<br />
55<br />
2<br />
( ) +<br />
3 3 1 4 2 1<br />
1<br />
2<br />
Φ= c x − z () t c x z ( t τ)<br />
c x ax x<br />
2<br />
( ) + ( − − ) + ( − − ) +<br />
2<br />
2 1 1 1 2 2 2<br />
2<br />
2<br />
4( 3 2 4 2 ) + 5 3 − 3 4 − 5<br />
( ) ) ,<br />
c x + ax −x c x a x x<br />
čia q1 (), t q t<br />
( )<br />
2 −<br />
3 3 1 4 1<br />
τ – kinematiniai žadinimai į pirmąją ir antrąją mases.<br />
Tegu kinematinis žadinimas į pirmąją ir antrąją ašį yra lygūs:<br />
q1()= t hc1cos( ωt) + hs1<br />
sin( ω t)<br />
;<br />
q2( t−<br />
τ)= hc1cos( ω( t−τ) ) + hs1<br />
sin( ω( t−τ)<br />
),<br />
a1+<br />
a<br />
čia τ=<br />
2 ; v – TP judėjimo greitis.<br />
v
Pradiniai duomenys:<br />
m1 = 75 kg<br />
2<br />
; m2 = 75 kg ; m3 = 1000 kg ; I3<br />
= 75 kgm ;<br />
m4 = 80 kg . k1 = k2<br />
= 3, 265⋅10<br />
N / m;<br />
c<br />
5<br />
k = k = 3, 165⋅10<br />
N / m; k = 10, 010 ⋅ N / m ;<br />
3 4<br />
4<br />
c = c = 10 , ⋅10<br />
Ns / m ; c = c = 3010 , ⋅ Ns / m ;<br />
1 2<br />
3<br />
3<br />
5<br />
5<br />
3 4<br />
= 01010 , ⋅ Ns/ m; a1 = 150 , m; a2 = 1, 750 m a3 = 090 , m;<br />
hc1 = 0, 010 m; hs1 = 0, 010 m.<br />
Gauti rezultatai parodyti 2.10 pav.<br />
3<br />
3<br />
a)<br />
b)<br />
56
c)<br />
2.10 pav. TP kūnų virpesių amplitudės: a – poslinkiai; b – greičiai;<br />
c – pagreičiai; x1 – juoda spalva; x2 – mėlyna spalva; x3 – raudona spalva;<br />
x4 – žalia spalva; x5 – geltona spalva<br />
2.6. Atsitiktiniai stacionarūs priverstiniai virpesiai<br />
Tegu sistemos judėjimo lygčių sistema lygi:<br />
[ M]{}+ q [ C]{}+ q [ K]{}= q [ B]{ F}<br />
, (2.153)<br />
[ ] [ ] [ ]<br />
{}{}{} q , q<br />
, q – poslinkių, greičių ir pagreičių vektoriai.<br />
Vektorius { F()<br />
t } atsitiktinės charakteristikos žinomas, būtent,<br />
čia M , C , K – masių, slopinimo ir standumo matricos;<br />
spektrinis tankis S F ( ω).<br />
Funkcijos f () t koreliacinė funkcija lygi:<br />
* *<br />
R ( t, t )= M ⎡F () t , F ( t ) ⎤ M e d e<br />
⎣<br />
⎦ = ⎛ ∞<br />
ω ⎞ ⎛ ∞<br />
⎜ ∫ Φ ω⎟×<br />
⎜ ∫ Φ<br />
⎝ −∞ ⎠ ⎝ −∞<br />
i t −iωt 1<br />
Fk 1 k k 1 k k dω1<br />
∞<br />
∞<br />
⎞<br />
⎟ =<br />
⎠<br />
i<br />
e<br />
( ωt−ω11<br />
t )<br />
∫ ∫ R⎡ *<br />
Φk,<br />
Φ ⎤<br />
k dωdω<br />
, (2.154)<br />
⎣ ⎦ 1<br />
−∞ −∞<br />
čia Fk () t – centruota F() t funkcija,<br />
57
Fk ()= t Fk ()− t Fvid<br />
(). t<br />
(2.155)<br />
Centruotą funkciją Fk () t galima užrašyti panaudojant Furjė integralą:<br />
∞<br />
i t<br />
ω<br />
Fk<br />
t ∫ Φk<br />
ω e dω<br />
(2.156)<br />
()= ( )<br />
−∞<br />
arba vektorine forma:<br />
∞<br />
{ }= { ( )}<br />
i t<br />
F ∫ Φ ω e ω dt . (2.157)<br />
−∞<br />
Pointegrinė funkcija (2.155) priklausys nuo laiko momentų skirtumo,<br />
jeigu funkcija<br />
R⎡Φ<br />
⎣<br />
( ) ( )<br />
⎦ = ( ) ( − )<br />
*<br />
ω Φ ω ⎤<br />
1 S ω1 δ ω1 ω . (2.158)<br />
k k k<br />
Tokiu atveju integruodami (2.158) pagal ω , gausime<br />
iωτ<br />
RF<br />
t, t 1 ∫ SF<br />
ω e dω, (2.159)<br />
k<br />
∞<br />
( )= ( )<br />
−∞<br />
k<br />
( ) – spektrinis tankis.<br />
čia τ= t−<br />
t 1 ; S Fk<br />
ω<br />
Analogiškai galima gauti tarpusavio koreliacinę funkciją:<br />
arba<br />
∞<br />
iωτ<br />
( )= ( )<br />
k l<br />
k l<br />
−∞<br />
RFF<br />
t, t 1 ∫ e SFF<br />
ω dω. (2.160)<br />
Lygčių sistemos (2.153) sprendinio ieškosime tokio pavidalo:<br />
∞<br />
∫ 0<br />
−∞<br />
i<br />
q q e ω t<br />
dω . (2.161)<br />
{}= { }<br />
Įstatę (2.156) ir (2.159) į (2.153) lygtį, gausime<br />
2<br />
( − ω [ ]+ ω[ ]+ [ ]){ 0}= [ ]{ }<br />
M i C K q B Φ (2.162)<br />
( ) [ ]{ }= ( )<br />
2<br />
−1<br />
( ) [ ].<br />
2<br />
−1<br />
{ }= − [ ]+ [ ]+ [ ]<br />
q0<br />
ω M iω C K B Φ W iω<br />
Φ , (2.163)<br />
⎡⎣ ( ) ⎤ ⎦ = − + [ ]+ [ ]<br />
čia W iω ω M iω<br />
C K B<br />
Skaliarine forma sprendinys (2.161) lygus<br />
58<br />
⎡⎣ ⎤ ⎦ { }
q ∑W iω Φ ω . (2.164)<br />
ko<br />
n<br />
= ( ) ( )<br />
i=<br />
1<br />
ki<br />
Tada sprendinys (2.164) lygus:<br />
∞<br />
n<br />
i<br />
iωτ<br />
qk<br />
∫ ∑Wki<br />
iω Φ i ω e dω<br />
. (2.165)<br />
= ( ) ( )<br />
−∞ i=<br />
1<br />
Sprendinio (2.1465) tarpusavio koreliacinė funkcija lygi:<br />
( )= () ( )<br />
Rqq t,<br />
t M ⎡ *<br />
qk t qk<br />
t ⎤<br />
k l 1 ⎣<br />
1 ⎦ =<br />
∞ ∞<br />
M ⎡<br />
* i ωt ω11<br />
t<br />
qk0( ω) ql0( ω1)<br />
⎤ e<br />
( − )<br />
∫ ∫<br />
dωdω<br />
⎣<br />
⎦<br />
1 =<br />
−∞ −∞<br />
∞ ∞<br />
⎛ n n<br />
*<br />
Wkj ( iω) Wlρ( iω) M ⎡<br />
*<br />
∫ ∫ ⎜ ∑ ∑<br />
Φ j( iω) Φρ( iω<br />
⎣<br />
) ⎤<br />
1 ⎦ ⋅<br />
−∞ −∞⎝<br />
j=<br />
1ρ=<br />
1<br />
i<br />
⋅<br />
( ωt e − ω11<br />
t )<br />
dωdω1 ) .<br />
Pasinaudoję (2.166) išraiška, gausime<br />
i t t<br />
Rq q = M ⎡⎣ qk ( ) ql<br />
( ) ⎤ e<br />
( ω −ω11)<br />
∫ ∫ 0 ω 0 ω1 ⎦ dωdω1<br />
=<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
k<br />
l<br />
n<br />
∞<br />
∞<br />
−∞ −∞<br />
n<br />
(2.166)<br />
∑ ∑ W iωW iω S ω e dω. (2.167)<br />
j=<br />
1ρ=<br />
1<br />
kj<br />
( ) ( ) ( )<br />
*<br />
lρ<br />
FjFρ<br />
Kad sprendinys būtų stacionarus, t. y. kad kiekvienas vektoriaus<br />
{ qt ()}elementas būtų stacionari atsitiktinė funkcija, turi būti patenkinta<br />
sąlyga:<br />
( ) ( )<br />
M ⎡ *<br />
qk0 ω ql0 ω ⎤<br />
1 Sqk<br />
ω1 δ ω1<br />
ω<br />
⎣<br />
⎦ = ( ) − , (2.168)<br />
čia S qk ( ω 1 )– sprendinio vektoriaus k elemento spektrinis tankis.<br />
Įstatę (2.168) į (2.167), gausime:<br />
∞<br />
−∞<br />
qk<br />
iωτ<br />
( ) =<br />
∫ S ω e dω<br />
∞<br />
n<br />
n<br />
−∞ j=<br />
1ρ=<br />
1<br />
,<br />
FjFρ<br />
iωτ<br />
( )<br />
* iωτ<br />
∫ ∑ ∑ Wkj<br />
( iω) Wkρ<br />
( iω) S ( ω)<br />
e dω<br />
(2.169)<br />
59
arba<br />
∞ ⎡<br />
n n<br />
*<br />
⎤<br />
iωτ<br />
∫ ⎢Sq ( ω)− ∑ ∑ Wkj( iω) Wk iω SFF<br />
ω e<br />
k<br />
ρ ( ) ( )<br />
j ρ ⎥ = 0 . (2.170)<br />
⎣<br />
j=<br />
1ρ=<br />
1<br />
⎦<br />
−∞<br />
Iš čia plaukia:<br />
n n<br />
*<br />
qk<br />
kj kρ<br />
FF j ρ<br />
j=<br />
1ρ=<br />
1<br />
S ω ∑ ∑ W iω W iω S ω<br />
. (2.171)<br />
( )= ( ) ( ) ( )<br />
Analogiškai tarpusavio spektrinis tankis lygus<br />
n n<br />
*<br />
qq k l<br />
kj kρ<br />
FjFρ<br />
j=<br />
1ρ=<br />
1<br />
S ω ∑ ∑ W iω W iω S ω<br />
. (2.172)<br />
Kai S<br />
gausime<br />
( )= ( ) ( ) ( )<br />
FF j<br />
ω ⎧⎪<br />
SF<br />
kai j = ρ<br />
j<br />
( )=<br />
ρ<br />
⎨<br />
⎩⎪ 0, kai j ≠ ρ,<br />
, ;<br />
n<br />
n<br />
*<br />
2<br />
qk kj kj Fj KJ Fj<br />
j= 1<br />
j=<br />
1<br />
( )= ( )= ( )<br />
S ω ∑W W S ω ∑ W S ω , (2.173)<br />
S<br />
n<br />
*<br />
( ω)= ∑ W W S ( ω)<br />
. (2.174)<br />
qq k l<br />
kj lj FF k l<br />
j=<br />
1<br />
Komponentės q k dispersija lygi<br />
∞<br />
∞<br />
1<br />
1 n n<br />
*<br />
Dq = Sq ( ) d = WkjWk SF F d<br />
k<br />
∫ ω ω<br />
k<br />
∫ ∑ ∑ ρ ω, (2.175)<br />
j ρ<br />
2π<br />
−∞<br />
2π<br />
−∞ j=<br />
1ρ=<br />
1<br />
arba<br />
S kai j<br />
SFF<br />
ω ⎧⎪<br />
F = ρ<br />
j<br />
( )=<br />
j ρ<br />
⎨<br />
⎩⎪ 0, kai j ≠ ρ,<br />
tada<br />
1<br />
∞ ⎛ n 2 ⎞<br />
Dq = Wkj SF<br />
( ) d<br />
k<br />
∫ ⎜ ∑ ω<br />
j<br />
⎟ ω . (2.176)<br />
2π<br />
−∞⎝<br />
j=<br />
1<br />
⎠<br />
, ;<br />
60
Greičių ir pagreičių dispersijos yra lygios:<br />
n<br />
Dq = 1<br />
∞ ⎛ 2 2<br />
Wkj S ( )<br />
⎞<br />
F d<br />
k<br />
∫ ⎜ ∑ ω ω<br />
j<br />
⎟ ω; (2.178)<br />
2π<br />
−∞⎝<br />
j=<br />
1<br />
⎠<br />
n<br />
Dq = 1<br />
∞ ⎛ 2 4<br />
Wkj S ( )<br />
⎞<br />
F d<br />
k<br />
∫ ⎜ ∑ ω ω<br />
j<br />
⎟ ω. (2.179)<br />
2π<br />
−∞⎝<br />
j=<br />
1<br />
⎠<br />
Tegu sistemos judėjimo lygčių sistema lygi:<br />
[ M]{}+ q [ C]{}+ q [ K]{}= q [ B] { F()<br />
t }+ [ D] F<br />
() t<br />
61<br />
{ }<br />
. (2.180)<br />
Sužadinimus, veikiančius sistemą, F 1 , F 2 ,..., F n<br />
galima išreikšti<br />
įvertinus jų vėlinimą pirmojo sužadinimo atžvilgiu:<br />
F t h t<br />
1 1<br />
()= (); F ()= t h ()= t h t−t<br />
F ()= t h ()= t h ( t−t<br />
),....<br />
3 3 1 3<br />
()= ()= ( − )<br />
F t h t h t t<br />
n n 1 n .<br />
2 2 1 2<br />
( ); (2.181)<br />
Tegu žinome spektrinį tankį S h1 ( ω). Sužadinimus galima užrašyti<br />
panaudojus Furjė integralą:<br />
arba<br />
∞<br />
i t t<br />
Fk<br />
= h ( t − tk<br />
)= h ( ) e<br />
( − k )<br />
1 ∫ 0 ω ω<br />
d ω , k = 123 , , ,... n . (2.182)<br />
−∞<br />
∞<br />
( )<br />
F<br />
h<br />
i t t<br />
k = ( t − tk<br />
)= i h ( ) e<br />
( − k )<br />
1 ∫ 0 ωω ω<br />
d ω . (2.183)<br />
−∞<br />
Tegu sistemos (27) sprendinį ieškosime tokio pavidalo<br />
∞<br />
{ ()}= ( )<br />
iωt<br />
qt ∫ q0 ω e d ω . (2.184)<br />
−∞<br />
Įstatę (2.243), (2.244) ir (2.245) į (2.241), gausime<br />
( − ω 2 [ M]+ iω[ C]+ [ K]<br />
){ q0}= [ B][ H]{ h0}+ iω[ D][ H]{ h 0}<br />
(2.185)
( ) [ ]+ [ ]<br />
2<br />
−1<br />
{ 0}= − [ ]+ [ ]+ [ ] ( )[ ]{ 0}<br />
q ω M iω C K B iω D H h , (2.186)<br />
{ }<br />
T<br />
= ⎡ ⎣<br />
čia h0 h0, h0,... h0 00 , ,..., 0 ⎤<br />
⎦<br />
,<br />
;<br />
−iωt −i t −i t<br />
[ H]= diag( 1e 2 ω<br />
e<br />
3 ω<br />
, , ,... e n<br />
,,,..., 11 1)=<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣⎢<br />
e<br />
−iωt2<br />
e<br />
−iωt3<br />
0<br />
<br />
0 1<br />
e<br />
−iωt n<br />
1<br />
<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥ .<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
1⎦⎥<br />
(2.187)<br />
čia<br />
Sprendinį (2.184) galima perrašyti:<br />
{ }= ⎡⎣ ( ) ⎤ ⎦ { }<br />
q W iω h , (2.188)<br />
0 0<br />
−1<br />
( ) [ ]+ [ ]<br />
2<br />
⎡⎣ ( ) ⎤ ⎦ = − [ ]+ [ ]+ [ ]<br />
W iω ω M iω C K B iω<br />
D H<br />
arba skaliarine forma<br />
62<br />
( )[ ]<br />
, (2.189)<br />
q ∑ W iω h ω A iω h ω , (2.190)<br />
k0<br />
k<br />
n<br />
= ( ) ( )= ( ) ( )<br />
j=<br />
1<br />
n<br />
j=<br />
1<br />
kj<br />
kj<br />
čia A ∑ W iω<br />
.<br />
= ( )<br />
0 k 0<br />
Sprendinio spektrinis tankis lygus<br />
k<br />
( )= ( ) ( )<br />
2<br />
S ω A iω S ω , k = 12 , ,..., h .<br />
∞<br />
h<br />
( )<br />
1<br />
Dq ( ω)= Ak ( iω) Sh<br />
( ω)<br />
dω<br />
k<br />
∫<br />
;<br />
2π<br />
−∞<br />
2
∞<br />
1<br />
2<br />
Dq<br />
( ω)= Ak ( iω) ω Sh<br />
( ω)<br />
dω<br />
k<br />
∫<br />
;<br />
2π<br />
−∞<br />
∞<br />
1<br />
4<br />
Dq<br />
( ω)= Ak ( iω) ω Sh<br />
( ω)<br />
dω<br />
k<br />
∫<br />
.<br />
2π<br />
−∞<br />
2<br />
2<br />
Jeigu sprendinys pasiskirsto pagal normalinį dėsnį, tai galime<br />
surasti tikimybę to, kad kintamasis q k viršys žinomą ribą q krib ,<br />
( qk<br />
≥ qkrib<br />
),<br />
2<br />
x<br />
1<br />
∞ −<br />
P( qk<br />
≥ qkrib<br />
)= e 2<br />
∫ dt = Φ( ∞)− Φ ( X1)<br />
,<br />
2π<br />
X1<br />
q<br />
čia X krib<br />
1 = qk<br />
qk<br />
; m<br />
σ yk = 0 ; X = = .<br />
yk<br />
σ y Dy<br />
Pavyzdys. Priverstiniai stochastiniai virpesiai.<br />
Nagrinėjamas ketvičio TP modelis. TP judėjimo greitis<br />
km m<br />
v = 72 = 20 .<br />
val.<br />
s<br />
Kelio nelygumų spektrinis tankis lygus:<br />
4 2 3 5<br />
v v v<br />
Sz = 183, 21 ω − 545, 2 ω + 413,<br />
2 .<br />
6 4 2 2 3<br />
ω + 9, 004 ω v − 38, 15 ω v + 27,<br />
17 v 6<br />
k<br />
k<br />
2.11 pav. TP ketvirčio dinaminis modelis<br />
63
Kūnų sistemos judėjimo lygčių sistema:<br />
( ) + ( + ) − − = ()+ ();<br />
⎧mq 11+ c1+<br />
c2 q1 k1 k2 q1 cq 22 kq 2 2 kz 1 t c1z<br />
t<br />
⎨<br />
⎩ m2q2 + c2q2 − c2q 1 + k2q2 − k2q1 = 0.<br />
⎡m<br />
⎢<br />
⎣ 0<br />
1<br />
Tegu q<br />
0 ⎤ q1<br />
c c c<br />
m<br />
⎥ ⎧ ⎫ ⎡ + −<br />
⎨ ⎬⎭ + ⎢<br />
2 ⎦ ⎩ q2<br />
⎣⎢<br />
−c2 c2<br />
⎡k + k −k<br />
⎢<br />
⎣ −k2 k2<br />
1 2 2<br />
1 2 2<br />
64<br />
⎤ ⎧q<br />
1 ⎫<br />
⎥ ⎨<br />
⎦⎥<br />
⎩q ⎬ +<br />
2 ⎭<br />
⎤ q1<br />
kz<br />
⎥ ⎧ ⎫ ⎧<br />
⎨ ⎬⎭ = ⎨<br />
⎦ ⎩ q2<br />
⎩<br />
+ cz<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
1 1 1 1<br />
0<br />
[ M]{}+ q [ C]{}+ q [ K]{}= q { U}<br />
.<br />
{}= { Y} e st ; {}= q s{ Y} e st 2<br />
;{}= { }<br />
z<br />
1<br />
= ; z 1 = szest .<br />
ze st<br />
⎧k<br />
( s [ M]+ sC [ ]+ [ K]<br />
){ Y}=<br />
⎨<br />
⎩<br />
q s Y e st ;<br />
+ sc ⎫<br />
⎬ z ;<br />
0 ⎭<br />
2 1 1<br />
(<br />
2<br />
[ ]+ [ ]+ [ ]){ ( )}= ( )<br />
s M sC K Y s ⎡⎣ B s ⎤ ⎦ {}; u<br />
⎡k1+<br />
sc1⎤<br />
[ B]=<br />
⎢ ⎥ ; {}= u {}. z<br />
⎣ 0 ⎦<br />
2<br />
−1<br />
Y( s)<br />
s M sC K ⎡⎣ B s ⎤ ⎦ {}= u ⎡⎣ W( s)<br />
⎤ ⎦ {} u .<br />
( ) ( )<br />
{ }= [ ]+ [ ]+ [ ]<br />
s<br />
=ω; i<br />
−1<br />
( ) ( )<br />
2<br />
⎡⎣ ( ) ⎤ ⎦ = [ ]+ [ ]+ [ ]<br />
W s s M sC K ⎡⎣ B s ⎤ ⎦ .<br />
−1<br />
( ) ( )<br />
2<br />
⎡⎣ ( ) ⎤ ⎦ = ⎡⎣ ( ) ⎤ ⎦ = − [ ]+ [ ]+ [ ]<br />
W s W iω ω M iwC K ⎡⎣ B iω<br />
⎤ ⎦ .<br />
S ω ∑ ∑W iω W iω S ω<br />
yk<br />
nu nu<br />
( )= ( )⋅ ( ) ( )<br />
j=<br />
1l=<br />
1<br />
kj<br />
*<br />
kl ujul<br />
;
Kai k=1,<br />
( )= ( )⋅ ( ) ( )=<br />
*<br />
y1 11 11 u1u1<br />
S ω W iω W iω S ω<br />
W ( iω) S uu 11( ω)=<br />
11<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( Re ( W11<br />
( iω)<br />
)+ Im( W11 ( iω)<br />
)) Suu<br />
11( ω);<br />
( )= ( )⋅ ( ) ( )=<br />
*<br />
y2 21 21 u1u1<br />
S ω W iω W iω S ω<br />
W ( iω) S uu 11( ω)=<br />
21<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( Re ( W21<br />
( iω)<br />
)+ Im( W21 ( iω)<br />
)) Suu<br />
11( ω),<br />
čia priimta, kad spektrinis tankis S u u<br />
tankiai S uu 1 2 ω<br />
( ) ir S uu<br />
∞<br />
2 2 ( ω) ir tarpusavio spektriniai<br />
( ) yra lygūs nuliui.<br />
1 2 ω<br />
1<br />
Dy1( ω)= ∫ Sy1( ω)<br />
dω; σ y 1 = D y 1 ;<br />
2π<br />
−∞<br />
∞<br />
1 2<br />
Dy1<br />
( ω)= ∫ ω Sy1<br />
( ω)<br />
dω<br />
; σ y<br />
1 = D y<br />
1 ;<br />
2π<br />
−∞<br />
∞<br />
1 4<br />
D1<br />
y ( ω)= ∫ ω Sy1<br />
( ω)<br />
dω<br />
; σ <br />
2π<br />
y 1 = D y 1<br />
;<br />
−∞<br />
∞<br />
1<br />
Dy2( ω)= ∫ Sy1( ω)<br />
dω; σ<br />
2π<br />
y 2 = D y 2 ;<br />
−∞<br />
∞<br />
1<br />
2<br />
Dy2( ω)= ∫ Sy2( ωω ) dω<br />
; σ y<br />
2 = D y<br />
2 ;<br />
2π<br />
−∞<br />
∞<br />
1<br />
4<br />
D1 y ( ω)= ∫ Sy1( ωω ) dω<br />
; σ y 2 = D y 2 .<br />
2π<br />
−∞<br />
65
Tikrinės reikšmės, λ= α+iω<br />
Dažnis,<br />
α<br />
ω<br />
Hz<br />
–204099 64,4226 10,2532<br />
–204099 –64,4226 10,2532<br />
–2,59007 7,3234 1,16555<br />
–2,59007 –7,3234 1,16555<br />
Dviejų masių vidutinių kvadratinių nuokrypių priklausomybė<br />
nuo judėjimo greičio parodyta 2.12 pav.<br />
a)<br />
b)<br />
66
c)<br />
2.12 pav. Dviejų masių vidutinių kvadratinių nuokrypių priklausomybė<br />
nuo judėjimo greičio: a – poslinkis; b – greitis;<br />
c – pagreitis; mėlyna spalva – piromoji masė; raudona spalva – antroji masė<br />
67
3. Transporto priemonių dinaminių<br />
modelių elementai ir judėjimo lygtys<br />
3.1. Transporto priemonės dinaminis modelis<br />
Gamtoje visi esantys kūnai yra deformuojami (kūnas – vientisa<br />
sistema arba sistema su paskirstytais parametrais), tačiau tokių kūnų<br />
judėjimo analizė yra sudėtinga, todėl inžineriniuose skaičiavimuose<br />
<strong>transporto</strong> priemonė nagrinėjama kaip nedeformuojamų kūnų, kurie<br />
sujungti tam tikrais elementais, sistema.<br />
Šiuo atveju turime dinaminę sistemą su sutelktais parametrais.<br />
Tokiose sistemose nedidelės masės kūnai neįvertinami, deformuojami<br />
kūnai pakeičiami tampriai deformuojamais ir neinerciniais ryšiais.<br />
Kiti kūnai, kuriems paliekamos inercinės savybės, laikomi materialiais<br />
taškais (koncentruotos masės) arba absoliučiai standžiais kūnais.<br />
Tokių kūnų padėties kitimas erdvėje ir laike apibrėžiamas nepriklausomomis<br />
koordinatėmis. Šių koordinačių skaičius vadinamas<br />
laisvės laipsnių skaičiumi (LLS). Trimatėje erdvėje laisvojo kūno<br />
padėtis ir orientacija apibrėžiama trimis koordinatėmis ir trimis sukimo<br />
apie ašis kampais, t. y. kūnas turi šešis laisvės laipsnius (trys<br />
koordinatės ir trys kampai). Plokštumoje kūno padėtis ir orientacija<br />
apibrėžiama dviem koordinatėmis ir posūkio kampu apie ašį, statmeną<br />
nagrinėjamai plokštumai, t. y. plokštumoje kūnas turi tris laisvės laipsnius<br />
(dvi koordinatės ir kampas). Didinant laisvės laipsnių skaičių, TP<br />
dinaminių procesų tikslumas didėja.<br />
Su laisvės laipsnio sąvoka artimai susijusi kita sąvoka – apibendrintosios<br />
koordinatės sąvoka. Apibendrintosios koordinatės dar vadinamos<br />
apibendrintomis Lagranžo koordinatėmis.<br />
Koordinatės – nepriklausomi parametrai, nusakantys materialiųjų<br />
taškų padėtį erdvėje. Kai ryšiai holonominiai (geometriniai), apibendrintųjų<br />
koordinačių skaičius lygus mechaninės sistemos laisvės<br />
laipsnių skaičiui. Apibendrintoji koordinatė turi tiesioginį atitikmenį<br />
– nagrinėjamąjį poslinkį arba pasisukimo kampą. Kiekvieną apibendrintąją<br />
koordinatę atitinka apibendrintoji jėga.<br />
68
Sutelktųjų parametrų sistemos dinaminis modelis susideda iš keturių<br />
pagrindinių elementų: absoliučiai standžių kūnų, tampriųjų elementų,<br />
virpesių slopinimo elementų ir TP sistemos judesių reguliavimo<br />
elementų. Sukomponavus šiuos elementus ir sudaromas sutelktųjų<br />
parametrų sistemos dinaminis modelis.<br />
Dinaminiame modelyje pažymimos apibendrintosios koordinatės,<br />
virpesių žadinimo jėgos ir jėgų momentai, virpesius sukeliantys<br />
poslinkiai (pavyzdžiui, kelio nelygumai, sukeliantys juo važiuojančio<br />
automobilio virpesius), pagrindinių elementų parametrai (masės, masių<br />
inercijos momentai, standumai, pasipriešinimo koeficientai) ir kiti,<br />
virpesių nagrinėjimui reikalingi, duomenys (3.1 pav.).<br />
a)<br />
b)<br />
69
c)<br />
3.1 pav. TP dinaminiai modeliai: a – geležinkelio vagonas;<br />
b – automobilis; c – dviaukštis autobusas<br />
3.2. Kūno ir kūnų sistemos masių inercijos momentai<br />
Absoliučiai standžių (nesideformuojančių) kūnų gamtoje nėra.<br />
Tačiau tiriant TP atskiras sistemas, jų dalis, statinį ar kitokį elementą,<br />
galima išskirti tas jų dalis, kurių deformacijų leistina nepaisyti (pavyzdžiui,<br />
stovai, rėmai ir t. t.). Deformuojamąjį virpamosios sistemos<br />
elementą dinaminiame modelyje dažnai leistina aproksimuoti vienu<br />
ar keliais absoliučiai standžiais kūnais, su kitomis dalimis sujungtais<br />
tampriaisiais ir slopinimo ryšiais.<br />
Jeigu TP kūnas juda slenkamuoju judesiu (nesisuka, bet slenka),<br />
tai jis dinaminiame modelyje apibūdinamas vienu parametru – jo<br />
mase m.<br />
Jeigu TP dinaminiame modelyje kūnas sukasi, judantis sukamuoju<br />
judesiu kūnas dinaminiame modelyje išreiškiamas ašiniais ir išcentriniais<br />
masių inercijos momentais (masių inercijos tenzorius), judantis<br />
sukamuoju ir slenkamuoju judesiu – mase ir minėtais inercijos momentais.<br />
Visų inercijos momentų SI matavimo vienetas yra kg ⋅ m<br />
2 .<br />
70
Kūnas gali judėti tam tikra kryptimi (slenkamasis judesys), suktis<br />
apie tam tikrą ašį (sukamasis judesys) ir atlikti du judesius kartu.<br />
Materialusis kūnas turi inercines charakteruistikas: masė ir masių<br />
inercijos momentai.<br />
SI vienetų sistemoje kūno masė matuojama kg, o masių inercijos<br />
momentas matuojamas kg/m 2 .<br />
Nagrinėjant kūno slenkamąjį judėjimą reikia žinoti kūnų mases<br />
(pagal antrąjį Niutono dėsnį: m d q n<br />
= Fi<br />
t<br />
2<br />
∑ (), o nagrinėjant kūno<br />
dt i=<br />
1<br />
sukimąsi apie tam tikrą ašį reikia žinoti masių inercijos momentą (pagal<br />
antrąjį Niutono dėsnį): Iz<br />
Mi<br />
t<br />
2<br />
d ϕ n<br />
z<br />
2 = ∑ () .<br />
dt i=<br />
1<br />
Kūno, kurio medžiagos tankis yra ρ( xyz , , ), kūno masė lygi:<br />
m<br />
= ( )<br />
2<br />
∫ ρ x, yzdV , , (3.1)<br />
V<br />
kai medžiagos tankis yra pastovus, kūno masė lygi:<br />
m=ρ V , (3.2)<br />
čia V – kūno tūris, ρ – kūno medžiagos tankis, kg m 3 .<br />
Slenkamojo judesio kūno kinetinė energija lygi:<br />
1 T<br />
E kinetinė = {} v [ M]{}<br />
v , (3.3)<br />
2<br />
T<br />
čia {} v = ⎡ ⎣<br />
vx, vy, vz<br />
⎤ ⎦ – kūno greičio vektorius, M<br />
matrica,<br />
( )<br />
[ ] – kūno masių<br />
⎡∫ρ<br />
xyz , , dV 0 0 ⎤ ⎡m<br />
0 0⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
[ M ]=<br />
⎢<br />
0 ∫ρ( xyz , , ) dV 0<br />
⎥<br />
=<br />
⎢<br />
0 m 0<br />
⎥ .<br />
⎢ ⎥<br />
⎣<br />
⎢ 0 0 ∫ρ( xyz , , ) dV ⎦<br />
⎥<br />
⎣⎢<br />
0 0 m⎦⎥<br />
(3.4)<br />
71
Kiekvienas materialus kūnas turi šešis masių inercijos momentus:<br />
Ixx, Iyy , Izz , Ixy , Ixz , Iyz<br />
.<br />
Pirmieji trys masių inercijos momentai yra ašiniai masių inercijos<br />
momentai Ixx, Iyy , Izz<br />
, o likusieji trys – išcentriniai masių inercijos<br />
momentai Ixy , Ixz , I yz . Visi šeši kūno masių inercijos momentai<br />
sudaro kūno masių inercijos tenzorių<br />
⎡I I I<br />
⎢<br />
[ I ]= ⎢I I I<br />
⎢<br />
⎣⎢<br />
I I I<br />
xx xy xz<br />
yx yy yz<br />
zx zy zz<br />
⎤<br />
⎥ T<br />
⎥ = ∫ ρ[ r] [ r ] dV , (3.5)<br />
⎥ V<br />
⎦⎥<br />
čia<br />
[ r ] – antisimetrinė matrica;<br />
⎡ 0 −rz<br />
ry<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
[ r ]= ⎢ rz<br />
0 −rx⎥<br />
;<br />
⎢<br />
⎣<br />
−ry<br />
r ⎥<br />
x 0<br />
⎦<br />
{} r T = ⎡ ⎣<br />
r r r ⎤ ⎦ ;<br />
x y z<br />
(3.6)<br />
{} r – kūno taško vektorius, užrašytas OXYZ koordinačių sistemoje;<br />
Ixx = ∫ ρ ry 2 + rz<br />
2 dV ; Iyy = ∫ ρ rx 2 + rz<br />
2 dV ;<br />
V<br />
( )<br />
( )<br />
Izz = ∫ ρ rx 2 + ry<br />
2 dV ;<br />
I<br />
xy<br />
V<br />
V<br />
( )<br />
=−∫ ρ r rdV ; I =−∫ ρ r rdV ; I =−∫ ρ r rdV ; (3.7)<br />
V<br />
x y<br />
xz<br />
V<br />
x z<br />
yz<br />
V<br />
y z<br />
I<br />
xy<br />
= I ; I = I ; I = I . (3.8)<br />
yx<br />
xz<br />
zx<br />
yz<br />
zy<br />
72
3.2 pav. Kūno koordinačių sistema OXYZ<br />
Kūno masių inercijos tenzorius yra simetrinė matrica.<br />
Centrinių ašių atžvilgiu kūno masių išcentrinai inercijos momentai<br />
lygūs nuliui, būtent:<br />
I xy = 0 , I xz = 0 , I yz = 0 . (3.9)<br />
Tada kūno masių inercijos tenzorius yra:<br />
⎡Ixx<br />
0 0 ⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
[ I ]= ⎢ 0 I yy 0 ⎥ . (3.10)<br />
⎢<br />
⎣ 0 0 I<br />
⎥<br />
zz ⎦<br />
Besisukančio kūno kinetinė energija lygi:<br />
1 T<br />
E<br />
kinetinė = { } [ I]{ }<br />
2 ω ω , (3.11)<br />
T<br />
{ } = ⎡ ⎣ x y z<br />
⎤ ⎦<br />
čia ω ω , ω , ω – kūno kampinio greičio vektorius.<br />
73
3.1 lentelė. Pagrindinių kūnų masių inercijos momentai<br />
Rutulys<br />
Ixx = Iyy = Izz<br />
= 2 2<br />
ma<br />
5<br />
Ixy = Ixz = I yz = 0<br />
Plonas diskas<br />
Ixx<br />
= Izz<br />
= 1 ma<br />
4<br />
2 ; Iyy = 1 2<br />
ma<br />
2<br />
{ R}= { Rc}+{ r}<br />
Ixy = Ixz = I yz = 0<br />
Cilindras<br />
1<br />
Ixx<br />
= Izz<br />
= m( 3a 2 + h<br />
2 );<br />
12<br />
2 ;<br />
Iyy = 1 ma<br />
2<br />
Ixy = Ixz = I yz = 0<br />
Plona plokštelė<br />
Ixx = 1 ma<br />
2 ;<br />
12<br />
Iyy = 1 2<br />
m a + 2<br />
( b );<br />
12<br />
Izz = 1 mb<br />
2 ;<br />
12<br />
Ixy = Ixz = I yz = 0<br />
74
3.1 lentelės pabaiga<br />
Plonas strypas<br />
Ixx<br />
= Izz<br />
= 1 mL<br />
2 ; I yy = 0 ;<br />
12<br />
Ixy = Ixz = I yz = 0<br />
Kūgis<br />
3<br />
Ixx<br />
= Izz<br />
= m( 4a 2 + h<br />
2 ) ;<br />
80<br />
Iyy = 3 ma<br />
2 ;<br />
10<br />
Ixy = Ixz = I yz = 0<br />
Pirmas pavyzdys: rasti stačiakampio gretasienio (3.3 pav.) masių<br />
inercijos momentus ir užrašyti masių inercijos tenzorių.<br />
3.3 pav. Stačiakampis gretasienis<br />
( )<br />
c b a<br />
= +<br />
0 0 0<br />
( ) = +<br />
2 2 2 2<br />
1 2 2<br />
Ixx = ∫ρ<br />
yi + zi dV ∫ ∫ ∫ρ<br />
yi zi<br />
dxdydz i i i m b c<br />
3 ( );<br />
75
Iyy = 1 2<br />
m a + 2<br />
( c );<br />
3<br />
c b a<br />
Ixy =− ∫ρxiydV i =− ∫ ∫ ∫ρxiydxdydz<br />
i i i i =<br />
c b<br />
1 2<br />
−∫<br />
∫ ρa yidyidz<br />
2<br />
0 0<br />
i<br />
0 0 0<br />
Ixz =−1 mac ; Iyz mbc<br />
4<br />
=−1 4<br />
c<br />
=− ∫ 1 ;<br />
2 2 1<br />
ρabdzi<br />
=− mab<br />
4<br />
4<br />
0<br />
;<br />
⎡1<br />
2 2 1<br />
1 ⎤<br />
⎢ mb ( + c ) − mab − mac<br />
3<br />
4<br />
4 ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
[ I ]= ⎢ 1 1 2 2 1<br />
− mab m( a + c ) − mbc ⎥<br />
⎢ 4 3<br />
4 ⎥<br />
.<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ 1<br />
1 1 2 2<br />
− mac − mbc ma ( + b ) ⎥<br />
⎣⎢<br />
4<br />
4 3 ⎦⎥<br />
Bendroje koordinačių sistemoje OXYZ kūno masių centras nusakomas<br />
vektoriumi { R c } (3.4 pav.). Taško P padėtis i-tojo kūno koordinačių<br />
sistemoje CXYZ i i i i nustatoma vektoriumi {}. r Be to, bendrosios<br />
koordinačių sistemos OXYZ ir i-tojo kūno koordinačių sistemos<br />
ašys yra lygiagrečios.<br />
CXYZ i i i i<br />
3.4 pav. Kūnas bendroje koordinačių sistemoje OXYZ<br />
76
Kūno masių centras bendroje koordinačių sistemoje OXYZ nustomas<br />
vektoriumi { R c }:<br />
1<br />
{ Rc<br />
}= ∫ ρ { RdV }<br />
. (3.12)<br />
m<br />
V<br />
Taško P padėtis bendroje koordinačių sistemoje OXYZ nustoma<br />
vektoriumi R { }:<br />
{ R}= { Rc<br />
}+ {}. r<br />
(3.13)<br />
Kūno masių inercijos tenzorius bendroje koordinačių sistemoje<br />
OXYZ lygus:<br />
nes<br />
⎡I I I<br />
⎢<br />
[ I ]= ⎢I I I<br />
⎢<br />
⎣⎢<br />
I I I<br />
xx xy xz<br />
yx yy yz<br />
zx zy zz<br />
⎤<br />
⎥<br />
T<br />
⎥ = ∫ ρ⎡R<br />
⎣<br />
⎤ ⎦<br />
⎡R<br />
T<br />
⎣<br />
⎤ ⎦<br />
dV = ∫ ρ⎡ ⎣<br />
R ⎤ ⎦<br />
⎡ ⎣<br />
R c c<br />
⎤ ⎦<br />
dV +<br />
⎥ V<br />
V<br />
⎦⎥<br />
T<br />
ρ r r dV ρ R<br />
T<br />
∫ ∫ c r dV ∫ ρ r Rc<br />
dV ; (3.14)<br />
V<br />
V<br />
T<br />
[ ] [ ] + ⎡ ⎣<br />
⎤ ⎦ [ ] + [ ] [ ]<br />
T<br />
∫ρ⎡R R dV R R ρdV m R R<br />
⎣ c<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎡ ⎣ c<br />
⎤<br />
⎦<br />
= ⎡ ⎣ c<br />
⎤ ⎦<br />
⎡ ⎣ c<br />
⎤ ⎦ ∫ = ⎡ ⎣ c<br />
⎤ ⎦<br />
⎡ ⎣ c<br />
⎤ ⎦ ;<br />
V<br />
T<br />
[ ] [ ] = [ ]<br />
T<br />
V<br />
∫ ρ r<br />
r<br />
dV Icc<br />
; (3.15)<br />
V<br />
T<br />
∫ρ⎡R r dV R<br />
⎣ c<br />
⎤<br />
⎦ [ ] = ⎡ ⎣ c<br />
⎤ ⎦ ∫ρ[ r] dV = 0 ; (3.16)<br />
V<br />
T<br />
T<br />
∫ρ[ r] ⎡R ⎣ c<br />
⎤ ⎦<br />
dV = ∫ρ[ r] dV ⎡ ⎣<br />
R c<br />
⎤ ⎦<br />
= 0 ,<br />
V<br />
∫ ρ rdV<br />
V<br />
{} =<br />
V<br />
T<br />
V<br />
V<br />
0 , kadagi kūno koordinačių sistema įvesta masių<br />
kūno centre.<br />
Tada gauname, kad kūno masių inercijos tenzorius bendroje koordinačių<br />
sistemoje OXYZ lygus:<br />
T<br />
77
T<br />
[ I]= [ Icc<br />
]+ m⎡R ⎣ c<br />
⎤ ⎦<br />
⎡ ⎣<br />
R c<br />
⎤ ⎦<br />
, (3.17)<br />
arba išplėstine forma kūno masių inercijos momentai lygūs:<br />
( )<br />
2 2<br />
xx xcxc yc zc<br />
I = I + m R + R<br />
( )<br />
2 2<br />
zz zczc xc yc<br />
I = I + m R + R<br />
( )<br />
2 2<br />
yy ycyc xc zc<br />
; I = I + m R + R<br />
; (3.18)<br />
Ixy = Ixcyc − mRxcRyc<br />
; I = I − mR R ;<br />
Iyz = Iyczc − mRycRzc<br />
.<br />
xz xczc xc zc<br />
Kūno masių inercijos tenzorius masių centro atžvilgiu lygus:<br />
T<br />
[ Icc<br />
]= [ I]− m⎡R ⎣ c<br />
⎤ ⎦<br />
⎡ ⎣<br />
R c<br />
⎤ ⎦ . (3.19)<br />
;<br />
Antras pavyzdys: rasti stačiakampio gretasienio masių inercijos<br />
momentus ir užrašyti masių inercijos tenzorių kūno masių centro<br />
atžvilgiu (3.5 pav).<br />
3.5 pav. Stačiakampis gretasienis<br />
78
Masių centro vektorius lygus:<br />
⎧xc<br />
⎫ ⎧x<br />
c b a i ⎫<br />
⎧a⎫<br />
⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪<br />
{ Rc<br />
}= ⎨yc<br />
⎬ = ∫ ∫ ∫ ρ⎨yi<br />
⎬dxidyidzi<br />
= ⎨b⎬<br />
.<br />
⎪ m<br />
⎩z<br />
⎪ 0 0 0 ⎪<br />
c ⎭ ⎩z<br />
⎪ 2 ⎪<br />
i ⎭<br />
⎩c⎪<br />
⎭<br />
Stačiakampio gretasienio masių inercijos momentai kūno masių<br />
centro atžvilgiu lygūs:<br />
m ⎛ 2<br />
⎛ b⎞<br />
c<br />
Ixcxc = Ixx − m( yc + zc<br />
)= ( b + c )− m ⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+ ⎛ 2<br />
⎝ ⎜<br />
⎞ ⎞<br />
2 2 2 2<br />
⎜ ⎟<br />
3<br />
⎝<br />
2 2 ⎠ ⎟ =<br />
⎠<br />
m b<br />
2 c<br />
2<br />
( + )<br />
12<br />
;<br />
m ⎛ 2<br />
⎛ a⎞<br />
c<br />
Iycyc = Iyy − m( xc + zc<br />
)= ( a + c )− m ⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+ ⎛ 2<br />
⎝ ⎜<br />
⎞ ⎞<br />
2 2 2 2<br />
⎜ ⎟<br />
3<br />
⎝<br />
2 2 ⎠ ⎟ =<br />
⎠<br />
m a<br />
2 c<br />
2<br />
( + )<br />
12<br />
;<br />
m ⎛ 2<br />
⎛ a⎞<br />
b<br />
Izczc = Izz − m( xc + yc<br />
)= ( a + b )− m ⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+ ⎛ 2<br />
⎝ ⎜<br />
⎞ ⎞<br />
2 2 2 2<br />
⎜ ⎟<br />
3<br />
⎝<br />
2 2 ⎠ ⎟ =<br />
⎠<br />
m a<br />
2 b<br />
2<br />
( + )<br />
12<br />
;<br />
m m<br />
Ixcyc = Ixy + mxcyc<br />
=− ab + ab = 0 ;<br />
4 4<br />
m m<br />
Ixczc = Ixz + mxczc<br />
=− ac + ac = 0 ;<br />
4 4<br />
m m<br />
Iyczc = Iyz + myczc<br />
=− bc + bc = 0 .<br />
4 4<br />
Stačiakampio gretasienio masių inercijos tenzorius masių centro<br />
atžvilgiu lygus:<br />
( )<br />
⎡ m b<br />
2 c<br />
2<br />
⎤<br />
⎢ + 0 0<br />
12<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
m<br />
[ Icc<br />
]= ⎢<br />
( a<br />
2<br />
+ c<br />
2<br />
0<br />
⎢<br />
) 0 ⎥<br />
⎥<br />
.<br />
12<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
m<br />
( a<br />
2<br />
0 0<br />
+ b<br />
2)<br />
⎥<br />
⎣⎢<br />
12 ⎥ ⎦<br />
79
Panagrinėsime bedrąjį atvejį, kai i-tojo kūno koordinačių sistemos<br />
CXYZ i i i i ašys nėra lygiargrečios bendrosios koordinačių sistemos<br />
OXYZ ašims.<br />
Taško P padėtis bendroje koordinačių sistemoje OXYZ nustoma<br />
vektorium R { } (žiūrėti 3.4 pav.):<br />
{ R}= { Rc}+ { Rcp}= { Rc}+ [ A]{}, r<br />
(3.20)<br />
čia[ A] – koordinačių transformacijos matrica (posūkio matrica).<br />
Kūno masių inercijos tenzorius bendroje koordinačių sistemoje<br />
OXYZ lygus:<br />
⎡Ixx Ixy Ixz<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
T<br />
[ I ]= ⎢Iyx Iyy I yz ⎥ = ∫ ρ⎡R<br />
⎣<br />
⎤ ⎦<br />
⎡R<br />
⎣<br />
⎤ ⎦<br />
dV =<br />
⎢<br />
⎥ V<br />
⎣⎢<br />
Izx Izy Izz<br />
⎦⎥<br />
T<br />
ρ <br />
T T<br />
R A r A R T<br />
∫ ⎡<br />
⎣ c<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ [ ][ ] [ ] c<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ [ A][ r<br />
][ A]<br />
dV<br />
V<br />
( ) ⎡ ⎣<br />
T<br />
∫ ρ⎡<br />
⎣<br />
R R c<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎡ ⎣ c<br />
⎤<br />
⎦<br />
dV +<br />
V<br />
T T<br />
T<br />
[ ][ ] [ ] [ ][ ][ ] +<br />
∫ ρ A r A A r<br />
A dV<br />
V<br />
T<br />
( ) =<br />
ρ <br />
T<br />
T T<br />
∫ ⎡R A r A dV ρ A r A R<br />
⎣ c<br />
⎤<br />
∫<br />
c dV<br />
V<br />
⎦ [ ][ ][ ] + [ ][ ] [ ] ⎡ ⎣<br />
⎤ ⎦<br />
=<br />
T<br />
ρ <br />
T<br />
∫ ⎡<br />
⎣<br />
Rc<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎡ ⎣<br />
Rc<br />
⎤<br />
⎦<br />
dV A ∫ρ<br />
r r<br />
dV A<br />
V<br />
T<br />
V<br />
V<br />
+ [ ] [ ] [ ] [ ] +<br />
<br />
T T T<br />
⎡R A r dV A A r dV A R<br />
⎣ c<br />
⎤<br />
⎦ [ ] ∫ρ[ ] [ ] + [ ] ∫ρ [ ] [ ] ⎡ ⎣ c<br />
⎤ ⎦ . (3.21)<br />
V<br />
Kadangi kūno koordinačių sistema CXYZ i i i i<br />
centre, tai integralai :<br />
∫ ρ r dV 0 , ∫ ρ r dV 0<br />
V<br />
[ ] =<br />
yra lygūs nuliui.<br />
V<br />
T<br />
[ ] =<br />
V<br />
T<br />
įvesta kūno masių<br />
80
Tada kūno masių inercijos tenzorius bendroje koordinačių sistemoje<br />
OXYZ lygus:<br />
T<br />
T<br />
T<br />
[ I]= m⎡R ⎣ c<br />
⎤ ⎦<br />
⎡R ⎣ c<br />
⎤ ⎦<br />
+ [ A] ∫ ρ[ r] [ r] dV[ A] = m⎡ ⎣<br />
R c<br />
⎤ ⎦<br />
⎡ ⎣<br />
R<br />
c<br />
⎤<br />
⎦ +<br />
T<br />
m⎡R<br />
R<br />
⎣ c<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎡ ⎣ c⎤<br />
⎦<br />
A Icc<br />
A<br />
T<br />
[ ]= [ ] [ ]<br />
V<br />
čia: Icc<br />
∫ ρ r r dV .<br />
V<br />
T<br />
+ [ ][ ][ ] , (3.22)<br />
Iš (3.22) išraiškos galima surasti masių inercijos tenzorių I cc<br />
masių centro ašių atžvilgiu, t. y.<br />
T<br />
[ ]<br />
T<br />
T<br />
[ I ]= [ A] [ I][ A]− m[ A] ⎡R ⎣<br />
⎤ ⎦<br />
⎡ ⎣<br />
R ⎤ ⎦ [ A]<br />
. (3.23)<br />
cc<br />
Kiekviena <strong>transporto</strong> priemonė (TP) sudaryta iš tam tikro skaičiaus<br />
materialiųjų kūnų. Nagrinėjant TP judėjimą reikia žinoti kūnų mases,<br />
masių inercijos tenzorius, masių centrus bendroje kordinačių sistemoje.<br />
Suradus TP masių centro vektorių, galima nustatyti TP masių<br />
inercijos tenzorių masių centro atžvilgiu.<br />
c<br />
T<br />
c<br />
3.7 pav. Transporto priemonė kaip tam tikrų kūnų sistema<br />
Tegu žinome bendroje koordinačių sistemoje OXYZ kiekvieno<br />
kūno masių centro vektorius { R ci }.<br />
81
3.7 pav. Kūnų sistema<br />
Materialiųjų kūnų sistemos masių centro koordinatės yra nustatomos<br />
taip:<br />
n<br />
∑ mi<br />
R<br />
i=<br />
1<br />
{ Rc<br />
}=<br />
n<br />
∑ m<br />
arba<br />
x<br />
n<br />
i=<br />
1<br />
∑ mx<br />
i ci<br />
i<br />
c = = 1<br />
n<br />
∑ mi<br />
i=<br />
1<br />
{ }<br />
i<br />
ci<br />
; y<br />
n<br />
∑ my<br />
i ci<br />
i<br />
c = = 1<br />
n<br />
∑ mi<br />
i=<br />
1<br />
; z<br />
82<br />
n<br />
∑ mz<br />
i ci<br />
i<br />
c = = 1<br />
n<br />
∑ mi<br />
i=<br />
1<br />
(3.24)<br />
. (3.25)<br />
Kūnų sistemos masių inercijos tenzorius bendroje koordinačių<br />
sistemoje OXYZ lygus:<br />
n<br />
[ Icc<br />
]= ∑[ Icci<br />
]+ m⎡R ⎣ ci<br />
⎤ ⎦<br />
⎡ ⎣<br />
R ci<br />
⎤ ⎦ . (3.26)<br />
i=<br />
1<br />
T
a)<br />
b)<br />
3.8 pav. Transporto priemonė kaip tam tikrų kūnų sistema:<br />
a – TP masių išdėstymo schema; b – TP masių išdėstymas erdvėje<br />
83
3.3. Jėgų klasifikacija<br />
Išorinės jėgos, veikiančios TP, taip pat ir vidinės jėgos, atsirandančios<br />
jos ryšiuose, labai skiriasi savo prigimtimi. Jėgos klasifikuojamos<br />
taip pat skirtingai – pagal darbo proceso pobūdį, pagal kilmę ir t. t.<br />
Nagrinėsime labiausiai paplitusių jėgų klasifikavimą, t. y. jėgų klasifikavimas<br />
pagal jėgų fizinę prasmę dinaminiuose procesuose.<br />
Veikiančios jėgos skirstomos:<br />
– Pozicinės jėgos;<br />
– Slopinimo jėgos;<br />
– Žadinimo jėgos;<br />
– Mišriosios jėgos.<br />
Pozicinės jėgos – jėgos, kurias apibrėžia sistemos momentinė<br />
konfigūracija, t. y. nukrypimai nuo pradinės, dažniausiai pusiausvyros,<br />
padėties. Tuo atveju, kai pozicinės jėgos kryptis yra priešinga sistemos<br />
nukrypimui nuo pradinės padėties, tokia jėga vadinama atstatomąja<br />
jėga. Tokio tipo jėga yra standumo jėga, sukelta vidinių ar išorinių<br />
ryšių tamprių deformacijų. Kai galioja Huko dėsnis, standumo jėga<br />
yra lygi: Fp =− kq ; čia k – standumo koeficientas. Atstatomųjų jėgų<br />
atsiradimas nebūtinai sietinas su tamprumo savybe, jos gali būti kitos<br />
kilmės, pavyzdžiui, Archimedo jėga, svorio jėga, elektromagneto<br />
traukos (atostūmio) jėga.<br />
Dėl netiesinio ryšio su apibendrintąja koordinate q atstatomąją<br />
jėgą ne visada galima išreikšti pavidalu Fp =− kq . Tada patogu<br />
naudotis standumo charakteristikomis, kurios parodytos 3.9 pav.<br />
Skiriamos standžiosios ir minkštosios netiesinės standumo charakteristikos.<br />
Standžiosiomis laikomos charakteristikos su tolydžiai didėjančiu<br />
nuolydžiu (3.9 pav. b), o minkštosiomis – su mažėjančiu nuolydžiu<br />
(3.9 pav. c). Kai kurios charakteristikos turi lūžius ir trūkius<br />
(3.9 pav. d, e).<br />
Sudėtingesniais atvejais pozicinės jėgos analitiškai aprašomos<br />
kaip kelių apibendrintų koordinačių funkcijos. Tiesinėse TP kelių laisvės<br />
laipsnių sistemose pozicinės jėgos gali būti išreiškiamos lygčių<br />
sistema:<br />
84
{ Fp}=−[ K]{}, q<br />
(3.27)<br />
čia { Fp} ,{}<br />
q – apibendrintų jėgų ir apibendrintų koordinačių vektoriai;<br />
⎧ Fp,<br />
1 ⎫ ⎧q1<br />
⎫<br />
⎪ ⎪<br />
⎪F<br />
p,<br />
2 ⎪ q<br />
{ Fp}=<br />
⎨ ⎬ ;<br />
⎪ 2 ⎪<br />
{}= q ⎨ ⎬ ,<br />
⎪ ... ⎪ ⎪ ... ⎪<br />
⎪<br />
⎩<br />
F ⎪ q<br />
pn , ⎭ ⎩<br />
⎪ n ⎭<br />
⎪<br />
[ K ] – standumo matrica:<br />
⎡k11 k12 ... k1n<br />
⎤<br />
⎢<br />
k k k n<br />
[ K ]= ⎢ 21 22 ...<br />
⎥<br />
2 ⎥ .<br />
⎢ ... ... ... ... ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣kn1 kn2<br />
... knn<br />
⎦<br />
{ } – potencinės (konservatyviosios jėgos), tai standumo<br />
Kai F p<br />
T<br />
matrica simetrinė, t. y. [ K] = [ K].<br />
a) b) c)<br />
d) e)<br />
3.9 pav. Standumo charakteristikos: a – tiesinė; b – netiesinė standi;<br />
c – netiesinė minkšta; d, e – laiptuotos<br />
85
Slopinimo jėgos. Judant TP tam tikriems elementams, be atstatymo<br />
jėgų, visada veikia pasipriešinimo jėgos { F pas }, kurios dažniausiai<br />
priklauso nuo atitinkamų sistemos kūnų taškų greičių. Jos atlieka<br />
neigiamą darbą, pasireiškiantį mechaninės energijos išsklaidymu. Prie<br />
tokių jėgų priklauso trinties jėgos (kūnų sujungimuose), aplinkos pasipriešinimo<br />
jėgos, vidinės trinties jėgos sistemos elementų medžiagoje<br />
ir jėgos, atsirandančios deformuojant specialius slopintuvus (dempferiai,<br />
amortizatoriai).<br />
Slopinimo jėgų krytis bet kuriuo sistemos elementų judėjimo momentu<br />
yra priešinga judėjimo greičiui.<br />
Vieno laisvės laipsnio sistemai slopinimo jėgos charakteristika<br />
aprašoma funkcija Fpas<br />
( q<br />
). Pasipriešinimo jėgos priklausomybė nuo<br />
greičio gali būti ir netiesinė (3.10 pav.). Sausosios trinties charakteristikos<br />
yra trūkaus pavidalo. Kaip parodyta 3.10 pav. c, trinties charakteristika,<br />
atitinkanti Amontovo ir Kulono dėsnį, priklauso ne nuo greičio<br />
didumo, o tik nuo jo krypties, 3.10 pav. d, e parodytos patikslintos<br />
sausos trinties charakteristikos.<br />
a) b) c)<br />
d) e)<br />
3.10 pav. Slopinimo jėgų charakteristikos:<br />
a – tiesinė; b – netiesinė; c – Amontovo ir Kulono trinties jėgos<br />
charakteristika; d, e – patikslintos sausos trinties charakteristikos<br />
86
Trinties jėga, N<br />
Slopinimo jėgų tiesinės charakteristikos matematinė išraiška yra lygi:<br />
Fsl = cq , (3.27)<br />
netiesinės charakteristikos galima išraiška gali būti tokia:<br />
Fsl = c q + c q , (3.28)<br />
1 3 3<br />
patikslintos sausos trinties charakteristikos gali būti:<br />
Fsl = F sign ( 0 q )+ c1q, (3.29)<br />
Fsl = F sign ( q )− c q + c q , (3.30)<br />
dq<br />
čia c1, c3<br />
– koeficientai; F 0 – rimties trinties jėga; q ≡ – greitis.<br />
dt<br />
Sausos trinties jėgos priklausomybę, atitinkančią paprasčiausią<br />
Amontovo ir Kulono dėsnį, galima užrašyti keliais būdais:<br />
0 1 3 3<br />
1 būdas<br />
q<br />
Ftr = Ftr, 0 = Ftr,<br />
0 sign( q ), (3.31)<br />
q<br />
čia F tr,0 – trinties jėgos reikšmė;<br />
⎧ 1,<br />
kai q<br />
> 0<br />
⎪<br />
sign( q<br />
)= ⎨ 0,<br />
kai q<br />
= 0 .<br />
⎪<br />
− kai q<br />
<<br />
⎩⎪<br />
1,<br />
0<br />
2 būdas<br />
⎡⎛<br />
2 ⎞ ⎛ πq<br />
⎞⎤<br />
⎛ 1 ⎞<br />
Ftr<br />
= Ftr, 0 ⎢⎜<br />
⎟arctan<br />
⎜ ⎟⎥<br />
, kai ⎜ε≤<br />
⎟<br />
⎣⎝<br />
π ⎠ ⎝ ε ⎠⎦<br />
⎝ 4 q max , (3.32)<br />
⎠<br />
čia ε – mažas parametras, ε
Kelių laisvės laipsnių TP sistemose tiesinio slopinimo jėgos, kaip<br />
ir pozicinės jėgos, gali būti pateiktos matricine forma:<br />
{ Fpas}=−[ C]{}<br />
q , (3.33)<br />
{ } {}<br />
[ ] –<br />
čia Fpas<br />
, q – slopinimo jėgų vektorius ir greičių vektorius; C<br />
slopinimo matrica,<br />
⎡c11 c12 ... c1<br />
n ⎤<br />
⎢<br />
c c c n<br />
[ C]=<br />
⎢ 21 22 ...<br />
⎥<br />
2 ⎥ . (3.34)<br />
⎢ ... ... ... ... ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣cn1 cn2<br />
... cnn<br />
⎦<br />
Žadinimo jėgos. Atstatymo ir slopinimo jėgų charakteristikos priklauso<br />
tik nuo TP mechaninės sistemos savybių, o pačios jėgos yra<br />
vienokios poslinkių ir greičių funkcijos, tuo tarpu žadinimo jėgos yra<br />
išreikštinės laiko funkcijos, nepriklausomos nuo sistemos savybių.<br />
Kaip žadinimo jėgų pavyzdžius galima nurodyti neatsvertų rotorių<br />
išcentrines jėgas (inercinis žadinimas); jėgas, sukuriamas periodiškai<br />
kintančio slėgio vidaus degimo variklių cilindruose; periodines elektromagnetines<br />
jėgas ir kt.<br />
Žadinimo jėgų kitimų dėsniai gali būti labai įvairūs. Labiausiai<br />
paplitę yra tokie:<br />
– Harmoninė jėga;<br />
– Periodinė jėga;<br />
– Periodiniai mažos trukmės impulsai;<br />
– Neperiodinės jėgos;<br />
– Atsitiktinės jėgos (procesai).<br />
3.4. Tamprieji elementai, standumo jėgos ir jėgų momentai<br />
TP dinaminį modelį sudaro tamprieji elementai, kurie deformuojasi,<br />
ir kadangi jų masė yra gana maža, jų masė prilyginta nuliui (bemasiai<br />
elementai). Juos deformuojant atsiranda atstatomosios jėgos ir<br />
momentai. Tamprūs elementai stengiasi grąžinti kūną į pradinę padėtį,<br />
kurioje tos jėgos ir jėgų momentai jau neveiktų (statinė pusiausvyra).<br />
Paprasčiausias tokio elemento pavyzdys yra spyruoklė.<br />
88
Cilindrinę spyruoklę dažniausiai galima aproksimuoti tempiamu<br />
(gniuždomu) tampriuoju elementu (3.12 pav.).<br />
3.12 pav. Tamprusis elementas<br />
Atstatomosios jėgos ir atstatomųjų jėgų momentai, kylantys deformuojamuose<br />
tampriuosiuose elementuose, vadinami tamprumo jėgomis<br />
ir tamprumo jėgų momentais.<br />
Tampriųjų elementų tampriaisiais poslinkiais (tiesiniais ir kampiniais)<br />
vadinami tampriųjų elementų deformaciniai poslinkiai, sukeliantys<br />
tamprumo jėgas arba momentus.<br />
Tamprumo jėgų ir momentų veikimo kryptys yra priešingos tampriųjų<br />
poslinkių kryptims; jėgų ir momentų moduliai (dydžiai) yra<br />
tampriųjų elementų poslinkių funkcijos:<br />
F = F ( q), M = M ( q),<br />
t<br />
t<br />
t<br />
t<br />
čia F t , M t – tamprumo jėgos ir tamprumo jėgų momentas; q – tampriojo<br />
elemento tiesinis ar kampinis poslinkis.<br />
Priešingo ženklo tamprumo jėgos tamprumo jėgos projekcijos<br />
į tampriojo tiesinio poslinkio kryptį priklausomybė nuo to poslinkio<br />
vadinama jėgine tamprumo charakteristika. Paprasčiausia yra tiesinė<br />
jėginė charakteristika:<br />
arba<br />
Ft = kq ; Mt = kϕ; (3.35)<br />
Ft = k ( q − q ) 2 1 ; M t = k(<br />
ϕ −ϕ<br />
) 2 1 . (3.35)<br />
89
Tamprusis elementas, kurio jėginė tamprumo charakteristika tiesinė,<br />
vadinamas tiesiniu; visi kiti – netiesiniais.<br />
Koeficientas k vadinamas tempiamo (gniuždomo) arba sukamo<br />
elemento standumo koeficientu.<br />
Netiesines jėgines charakteristikas galima linearizuoti tam tikro<br />
taško aplinkoje. Tarkime, kad tamprųjį poslinkį q galima išreikšti taip:<br />
q= q0 + q1, (3.36)<br />
čia q 0 – pastovioji poslinkio dedamoji; q 1 – kintamoji poslinkio dedamoji,<br />
kurios didžiausia reikšmė yra daug kartų mažesnė už pastovųjį<br />
dydį q 0 , t. y. q1
( )<br />
dFt<br />
q<br />
Tada k =<br />
dq<br />
= 3aq<br />
2 0 ;<br />
= 0<br />
q q<br />
( )− ( )= ( )− ≅<br />
F q F q F q aq<br />
dFt<br />
( q)<br />
dq<br />
q = ( 3 aq ) q = kq .<br />
t t 0 t 0 3 1 0 2 1 1<br />
q=<br />
q0<br />
3.5. Tampriųjų elementų jungimas<br />
Sudarant TP dinaminius modelius dažnai tenka jungti keletą tampriųjų<br />
elementų į vieną ir rasti tokio redukuoto elemento standumo<br />
koeficientą.<br />
Lygiagrečiai sujungtus tampriuosius elementus (3.13 pav.), kurių<br />
standumo koeficientai k 1 , k 2 ,..., k n<br />
, galima pakeisti vienu ekvivalentiniu<br />
(redukuotuoju) tampriuoju elementu, kurio standumo koeficientas k.<br />
3.13 pav. Lygiagrečiai sujungtų tampriųjų elementų redukavimas<br />
vienu tampriuoju elementu<br />
n<br />
k = ∑ k = k1+ k2 + k3 + ... + k . (3.38)<br />
i=<br />
1<br />
i<br />
n<br />
Tampraus elemento jėginė tamprumo charakteristika (jėga) yra<br />
lygi:<br />
F = k( q2 −q1 ). (3.39)<br />
Nuosekliai tarp savęs sujungtų tampriųjų elementų ekvivalentinio<br />
(redukuotojo) tampriojo elemento standumo koeficientas k nustatomas<br />
(3.14 pav.):<br />
91
3.14 pav. Nuosekliai sujungtų tampriųjų elementų<br />
redukavimas vienu tampriuoju elementu<br />
1 n 1 1 1 1 1<br />
= ∑ = + + + ... +<br />
(3.40a)<br />
k k k k k k<br />
i=<br />
1 i 1 2 3<br />
arba<br />
kk 1 2k3...<br />
kn<br />
k =<br />
kk... kn + k k ... kn + ... + kk ... kn−<br />
2 3 1 3 1 2 1<br />
n<br />
. (3.40b)<br />
Redukuoto tampriojo elemento jėginė tamprumo charakteristika<br />
(jėga) yra lygi:<br />
F = k( q2 −q1 ) . (3.41)<br />
Tampriojo elemento potencinė energija lygi:<br />
1<br />
2<br />
Π= k( q2 − q 1)<br />
. (3.42)<br />
2<br />
3.6. Slopinimo elementai, slopinimo jėgos ir momentai<br />
TP dinaminį modelį sudaro be masės slopinimo elementai, kurie<br />
deformuojasi. Juos deformuojant, atsiranda atstatomosios jėgos ir momentai,<br />
kurie priklauso nuo deformavimosi greičio. Paprasčiausias tokio<br />
elemento pavyzdys yra hidraulinis cilindras ir stūmoklis (3.15 pav.)<br />
3.15 pav. Slopinimo elementas<br />
92
Atstatomosios jėgos ir atstatomųjų jėgų momentai, kylantys slopinimo<br />
elementuose, vadinami slopinimo jėgomis ir slopinimo jėgų<br />
momentais.<br />
Slopinimo jėgų ir momentų veikimo kryptys yra priešingos greičių<br />
kryptims; jėgų modulis (ir momentų dydis) yra slopinimo elementų<br />
greičių funkcijos:<br />
F F q , M M q ,<br />
s<br />
= ( )<br />
s<br />
s<br />
= ( )<br />
s<br />
čia F s , M s<br />
– slopinimo jėgos ir slopinim jėgų momentas; q – slopinimo<br />
elemento tiesinis ar kampinis greitis.<br />
Priešingo ženklo slopinimo jėgos projekcijos į slopinimo tiesinio<br />
greičio kryptį priklausomybė nuo to greičio vadinama jėgine slopinimo<br />
charakteristika. Paprasčiausia yra tiesinė jėginė charakteristika:<br />
Fs = cq ; Ms = c ϕ ; (3.44a)<br />
arba Fs = c ( q<br />
− q<br />
) 2 1 ; Ms = c ( ϕ<br />
− ϕ<br />
) 2 1 . (3.44b)<br />
Slopinimo elementas, kurio jėginė slopinimo charakteristika tiesinė,<br />
vadinamas tiesiniu; visi kiti – netiesiniais.<br />
Koeficientas c vadinamas tempiamo (gniuždomo) arba sukamo<br />
elemento pasipriešinimo koeficientu.<br />
Netiesines jėgines charakteristikas galima linearizuoti tam tikro<br />
taško aplinkoje. Tarkime, kad tamprųjį poslinkį q galima išreikšti taip:<br />
q = q0 + q<br />
1 (3.45)<br />
čia q 0 – pastovioji greičio dedamoji; q 1 – kintamoji greičio dedamoji,<br />
kurios didžiausia reikšmė yra daug kartų mažesnė už pastovųjį dydį<br />
q 0 , t. y. q1
3<br />
d F<br />
+<br />
3<br />
dq<br />
s<br />
q=<br />
q0<br />
q<br />
3<br />
1<br />
(3.46)<br />
Kadangi q 1 yra mažas dydis, tai dydžiai q 2 1 , q 3 1 , … yra daug<br />
mažesnis už jį ir, apytiksliai interpretuojant funkciją Fs( q)− Fs( q0 ) ,<br />
jų galima nepaisyti. Tada (3.46) lygybėje palikus narį su q 1 , gaunama<br />
linearizuota poslinkio q 0 aplinkoje jėginė tamprumo charakteristika:<br />
F q<br />
F q<br />
s<br />
( )− ( )≅<br />
s<br />
( )<br />
dFs<br />
( q<br />
)<br />
dq<br />
q<br />
0 1 1<br />
q=<br />
q0<br />
= cq<br />
, (3.47)<br />
dFs<br />
q<br />
čia c =<br />
– pasipriešinimo koeficientas.<br />
dq<br />
q=<br />
q 0<br />
Pavyzdys. Linearizuoti funkciją Fs ( q)=<br />
aq<br />
3 taško q 0 aplinkoje.<br />
( )<br />
dFs<br />
q<br />
Tada c =<br />
dq<br />
= 3aq<br />
2 0<br />
;<br />
0<br />
q=<br />
q<br />
( )− ( )= ( )− ≅<br />
F q F q F q aq<br />
dFs<br />
( q )<br />
dq<br />
q 3 aq q<br />
= cq 1 .<br />
= ( )<br />
s s 0 s 0 3 1 0 2 1<br />
q=<br />
q0<br />
3.7. Slopinimo elementų jungimas<br />
Sudarant TP dinaminius modelius dažnai tenka jungti keletą slopinimo<br />
elementų į vieną ir rasti tokio redukuoto elemento pasipriešinimo<br />
koeficientą.<br />
Tiriamus lygiagrečiai sujungtus slopinimo elementus (3.16 pav.),<br />
kurių pasipriešinimo koeficientai c 1 , c 2 ,..., c n , galima pakeisti vienu<br />
ekvivalentiniu (redukuotuoju) slopinimo elementu, kurio pasipriešinimo<br />
koeficientas c.<br />
94
3.16 pav. Lygiagrečiai sujungtų slopinimo elementų redukavimas<br />
vienu slopinimo elementu<br />
n<br />
c= ∑ c = c1+ c2 + c3 + ... + c . (3.48)<br />
i=<br />
1<br />
i<br />
n<br />
Slopinimo elemento jėginė charakteristika (pasipriešinimo jėga)<br />
yra lygi:<br />
Fs = c ( q 2 − q 1 ).<br />
(3.49)<br />
Nuosekliai tarp savęs sujungtų slopinimo elementų ekvivalentinio<br />
(redukuotojo) slopinimo elemento pasipriešinimo koeficientas c<br />
nustatomas (3.17 pav.):<br />
arba<br />
3.17 pav. Nuosekliai sujungtų slopinimo elementų redukavimas<br />
vienu slopinimo elementu<br />
1 n 1 1 1 1 1<br />
= ∑ = + + + ... + , (3.50a)<br />
c c c c c c<br />
i=<br />
1 i 1 2 3<br />
n<br />
95
cc 1 2c3...<br />
cn<br />
c =<br />
cc... cn + c c ... cn + ... + cc ... cn−<br />
2 3 1 3 1 2 1<br />
. (3.50b)<br />
Redukuoto slopinimo elemento jėginė charakteristika (pasipriešnimo<br />
jėga) yra lygi:<br />
Fs = c ( q 2 − q 1 ).<br />
(3.51)<br />
Slopinimo elemento disipatyvinė funkcija lygi:<br />
1<br />
2<br />
Φ= c( q2 − q 1)<br />
. (3.52)<br />
2<br />
3.8. Kūno judėjimo lygčių užrašymo būdai<br />
3.8.1. D’Alambero ir Lagranžo lygtys<br />
Bet kokios materialių taškų sistemos su idealiaisiais ryšiais bendroji<br />
suma aktyviųjų ir inercinių jėgų atliekamo darbo bet kuria galima<br />
kryptimi ir bet kuriuo laiko momentu lygi nuliui (D’Alambero<br />
principas). D’Alambero principo matematinę išraišką, kai materialiųjų<br />
taškų skaičius lygus N , galima užrašyti tokiu pavidalu:<br />
N<br />
T<br />
∑ ({ Fak, i}+ { Fini<br />
, }) δ{ ri<br />
}= 0 , (3.53)<br />
i=<br />
1<br />
{ } { } – i-tąjį tašką veikiančios aktyvioji ir inercinė jė<br />
čia Fak, i , Fini<br />
,<br />
gos; δ{ r i } – galimas poslinkių vektorius, t. y. be galo mažų poslinkių<br />
vektorius ( δ{ r i } – poslinkių vektoriaus variacija).<br />
Tarkime, kūno koordinačių sistema yra O1, X1, Y1, Z1. Tada bet<br />
kokio kūno taško P poslinkių vektoriaus variacija lygi:<br />
{ }= { }+ { }×{ }= { }+ { }×{ }=<br />
δ r δ r δϕ r δ r δ ϕ<br />
r<br />
i 10i 1i 1pi 10i 1i 1pi<br />
= δ{ r }− ⎡ ⎣<br />
r ⎤ ⎦<br />
δ{ ϕ }<br />
, (3.54)<br />
10i 1pi 1i<br />
{ } – pasukimo vektoriaus variacija; δ{ r 10i<br />
} – kūno koordina<br />
čia δϕ 1i<br />
čių pradžios (taškas O 1 ) poslinkių variacija; r 1p<br />
vektorius.<br />
96<br />
{ } – taško P padėties
Įstatę (3.54) išraišką į (3.53) lygtį, gausime:<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
T<br />
N<br />
T<br />
({ Fak, i}+ { Fini<br />
, }) ( δ{ r10i}− ⎡ ⎣<br />
r 1pi⎤ ⎦<br />
δ{ ϕ1i}<br />
)= ∑ ({ Fak, i}+ { Fini<br />
, }) δ{ r10i}−<br />
N<br />
T<br />
− ∑ ({ ak i}+ { ini}<br />
) [ 10 ] δϕ { 1 }=<br />
i=<br />
1<br />
čia M , M<br />
i=<br />
1<br />
N<br />
T<br />
, ,<br />
<br />
i i ({ aki , }+ { Fin,<br />
i}<br />
) δ{ r10i}+<br />
i=<br />
1<br />
T<br />
+ ∑ { Mak, i}+ { Mini<br />
, } δϕ { 10i}<br />
,<br />
F F r ∑ F<br />
( )<br />
,<br />
(3.55)<br />
{ ak, i} { ini , } – aktyviųjų inercinių jėgų pagrindiniai momentai:<br />
{ Mak, i}= ⎡ ⎣<br />
r 1 pi⎤ ⎦ { Faki<br />
, };<br />
{ Min, i}= ⎡ ⎣<br />
r 1 pi⎤ ⎦ { Fini<br />
, }. (3.56)<br />
Tarkime, mechanizmas yra sudarytas iš N g grandžių, ir jo kinematinės<br />
poros yra idealios. Tokiu atveju D’Alambero principo matematinę<br />
išraišką galima užrašyti šiuo būdu:<br />
N<br />
g<br />
T<br />
g<br />
∑( { Fak, i}+ { Fini<br />
, }) δ{ r10i}+ ∑ { Mak, i}+ { Mini<br />
, }<br />
i= 1 i=<br />
1<br />
δϕ { 1 i}= 0 .<br />
N<br />
( )<br />
T<br />
δ{ ϕ }= .<br />
1i<br />
0<br />
(3.57)<br />
Tarkime, mechanizmas turi n laisvės laipsnių; apibendrintųjų<br />
koor dinačių vektorius yra<br />
{} q T = [ q , q ,..., q ], (3.58)<br />
1 2<br />
n<br />
tada i-tojo kūno koordinačių pradžios poslinkių ir pasukimo kampų<br />
variacijos lygios:<br />
∂{ }<br />
n r10i<br />
δ{ r10i}=<br />
∑ δq<br />
j<br />
j=<br />
1 ∂q<br />
,<br />
j<br />
n ∂{ ϕi}<br />
δϕ { i}=<br />
∑ δ q j . (3.59)<br />
∂q<br />
j=<br />
1<br />
j<br />
97
Įstatę (3.59) išraiškas į (3.57) ir įvertinę, kad variacijos δq j ≠ 0 ,<br />
gauname mechanizmo judėjimo lygčių sistemą:<br />
Ng<br />
T<br />
N<br />
∑( { Fak, i}+ { Fini<br />
, })<br />
, ,<br />
i= 1 j i=<br />
1<br />
∂{ }<br />
T<br />
∂{ r i}<br />
g<br />
⎞<br />
10<br />
+ ∑( { Mak i}+ { Mini}<br />
)<br />
∂q<br />
∂<br />
⎠<br />
j =1, 2,..., n. (3.60)<br />
ϕ 10 i<br />
⎟<br />
q j ⎟ = 0 ,<br />
Išskyrus iš veikiančių aktyviųjų jėgų apibendrintąsias jėgas Q j ,<br />
kurių atliekamas darbas galimų poslinkių δq j kryptimi lygus Qjδ qj<br />
,<br />
D’Alambero ir Lagranžo lygtis bus tokia:<br />
Ng<br />
T<br />
Ng<br />
∑( { Fpi<br />
, }+ { Fin, i}<br />
) δ{ r10i}+ ∑ { M pi , }+ { Min,<br />
i}<br />
i= 1 i=<br />
1<br />
( )<br />
T<br />
δ{ ϕ }+ ∑ Q δq<br />
= 0 ,<br />
1i<br />
n<br />
j=<br />
1<br />
j<br />
j<br />
(3.61)<br />
{ } { } – pasipriešinimo jėgų ir momentų pagrindiniai vek<br />
čia Ppi<br />
, , M pi ,<br />
toriai.<br />
Įvertinę, kad poslinkių, pasukimo kampų vektorių bei apibendrintųjų<br />
koordinačių variacijos nelygios nuliui, gauname:<br />
Ng<br />
∑ ({ Fpi}+ { Fin i}<br />
)<br />
i=<br />
1<br />
∂{ r10i}<br />
∂q<br />
( )<br />
T<br />
N<br />
, , , ,<br />
j i=<br />
1<br />
g<br />
+ ∑ { M pi}+ { Min i}<br />
T<br />
∂{ }<br />
ϕ 1 i<br />
∂q<br />
j<br />
+ Q = 0,<br />
j =1, 2,..., n. (3.62)<br />
Lygtis (3.62) gali būti taikoma nustatant apibendrintąsias jėgas Q j .<br />
Lagranžo antrojo laipsnio lygtis apibendrintai koordinatei q k yra<br />
lygi:<br />
j<br />
d<br />
dt<br />
⎛ ∂E<br />
⎜<br />
⎝<br />
∂q<br />
k<br />
k<br />
⎞ E<br />
⎟ − ∂ ⎠<br />
∂q<br />
k<br />
k<br />
+ ∂ Φ<br />
∂q<br />
k<br />
E<br />
+ ∂ ∂q<br />
p<br />
k<br />
= Q , (3.63)<br />
k<br />
čia E k , E p – TP kinetinė, potencinė energijos, atitinkamai; – TP disipatyvinė<br />
funkcija; Q k – apibendrinta jėga, veikianti TP kūną apibendrintos<br />
koordinatės q k kryptimi.<br />
98
3.8.2. Niutono ir Oilerio lygčių sistema<br />
Nagrinėsime kūno judėjimą bendroje koordinačių sistemoje<br />
OXYZ . Tam tikrame kūno taške įvesime koordinačių sistemą<br />
OXYZ 1 1 1 1, kuri judės kartu su kūnu. Bet kokio kūno taško P poslinkių<br />
vektorius OXYZ koordinačių sistemoje lygus:<br />
{ Rp}= { R01}+ { R1p}= { R01}+ [ A]{ r1 p}<br />
, (3.64)<br />
{ } – taško O 1 koordinačių vektorius; R p<br />
{ } – vektorius tarp<br />
čia R 01<br />
1<br />
taškų O 1 ir P; { r 1p<br />
} – vektorius tarp taškų O 1<br />
ir P OXYZ 1 1 1 1 koordinačių<br />
sistemoje; [ A] – koordinačių transformacijos matrica (posūkio<br />
matrica) tarp OXYZ ir OXYZ 1 1 1 1<br />
koordinačių sistemų.<br />
Vektoriaus { R p } variacija yra lygi:<br />
{ p}= { 01}+ [ ]{ 1p}= { 01}+ [ ] [ 1]{ 1p}=<br />
δ R δ R δ A r δ R A δϕ r<br />
R 01 A r 1p<br />
1 , (3.65)<br />
= δ{ }− [ ]⎡ ⎤ ⎣ ⎦<br />
δ{ ϕ }<br />
arba matricine forma:<br />
R<br />
δ{ Rp}= ⎡[ E] −[ A]⎡r<br />
p⎤⎤<br />
{ }<br />
⎣ ⎦<br />
δ S δ x<br />
⎣<br />
, ⎧⎪<br />
01 ⎫⎪<br />
⎦ ⎨ ⎬<br />
⎩⎪ { ϕ } ⎭⎪ = [ ] {}<br />
1<br />
, (3.66)<br />
1<br />
čia<br />
[ S]= ⎡[ E] , −[ A]⎡ ⎣<br />
r p<br />
⎤⎤<br />
⎧⎪<br />
R<br />
⎣<br />
1 ⎦ ⎦ ; { } ⎫<br />
01 ⎪<br />
{}= x ⎨ ⎬ ; (3.67)<br />
⎩⎪ { ϕ 1 } ⎭⎪<br />
{ ϕ 1 } – kūno pasukimo apie OXYZ 1 1 1 1 ašis vektorius.<br />
Taško P greičių ir pagreičių vektoriai lygūs:<br />
{ R ̇ R ̇<br />
p}= { 01}+ [ A ][ ω ̃<br />
1]{ r 1p}<br />
; (3.68)<br />
R ̇̇ R ̇̇ A 2<br />
{ p}= { }+ [ ][ ̃ ] { r p}+ [ A ]⎡ ̇̃ ⎤<br />
01 ω1<br />
1 ⎣<br />
ω 1 ⎦ { r 1p}<br />
, (3.69)<br />
99
arba sutrumpinta forma:<br />
⎧ Ṙ̇<br />
{ Ṙ̇<br />
p}= ⎡[ E] −[ A]⎡r̃<br />
p⎤⎤<br />
⎪{ } ⎫<br />
01 ⎪<br />
, ⎣ ⎦<br />
a S<br />
⎣<br />
1 ⎦ ⎨ ⎬ + { 1}= [ ]{ ̇ẋ1}+ { a1}, (3.70)<br />
⎩⎪ { ω̇<br />
1}<br />
⎭⎪<br />
čia<br />
T T<br />
x R T<br />
{ 1} =<br />
⎡{ 01} { ⎤<br />
2<br />
, ω 1}<br />
; { a 1 }= [ A][ 1 ] { r1<br />
p }<br />
⎣⎢<br />
⎦⎥<br />
ω ; (3.71)<br />
[ ] – kampinio greičio vektoriaus { ω 1 } antisimetrinė matrica.<br />
ω 1<br />
Pagal D’Alambero principą (3.53),<br />
T<br />
{ } { }−{ }<br />
∫ δ R R p p F dm 0 , (3.72)<br />
m<br />
( ) =<br />
{ } – kūną veikianti išorinė jėga, proporcinga kūno masei (tūrinė<br />
čia F<br />
jėga).<br />
Įstatę (3.66) ir (3.69) išraiškas į (3.72) ir įvertinę, kad variacijų vektorius<br />
nelygus nuliui, t. y. δ{}≠ x 0 , gauname:<br />
⎡ E −[ A]⎡ ⎣<br />
r̃<br />
p<br />
⎤ ⎤<br />
1<br />
⎢<br />
⎦ ⎥<br />
T<br />
T<br />
∫ ⎢<br />
T<br />
d<br />
T ⎥<br />
m{ ̇̇1 x }+ ∫[ S] { a 1 } dm − ∫ [ S] { F} dm = 0<br />
m − ([ A]⎡ ⎣<br />
r p<br />
⎤ ⎦ ) ⎡ ⎣<br />
r p<br />
⎤ ⎡ ⎦ ⎣<br />
r p<br />
⎤<br />
⎣⎢<br />
̃1 ̃1 ̃<br />
m<br />
m<br />
1 ⎦ ⎦⎥<br />
(3.73)<br />
Iš lygčių sistemos (3.73) gauname kūno slenkamojo ir sukamojo<br />
judesio judėjimo lygčių sistemas:<br />
čia<br />
[ M11]{ Ṙ̇ 01}− [ M12 ]{ ω̇1}= { F}+ [ A] ω ̃1 2 { S1}<br />
;<br />
[ M ]{ Ṙ̇ }+ [ M ]{ ω̇ }=−[ ω̃][ I ]{ ω }−{ f }, (3.74)<br />
21 01 22 1 1 1 1<br />
[ M11]= ∫ [ E]<br />
dm ; M12<br />
A ∫ r ip dm ;<br />
m<br />
M M T<br />
21 12<br />
[ ]= [ ] ⎡ ⎣<br />
⎤ ⎦<br />
[ ]= [ ] ; [ M ]= ⎡r ⎤ ⎣ ⎦<br />
dm = [ I ]<br />
T T<br />
{ }= ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ [ ] { }<br />
m<br />
∫ ;<br />
22 ip 1<br />
{ }= { }<br />
f1<br />
∫ r ip A F dm ; S1 ∫ r1p<br />
dm ;<br />
100<br />
m
[ I 1 ] – kūno masių inercijos tenzorius kūno taško O 1 atžvilgiu:<br />
⎡ y1 2 + z1 2 −x1 y1 −x1 z1<br />
⎢<br />
[ I1]=<br />
∫ ⎢ − y1 x1 x1 2 + z1 2 −y1 z1<br />
m ⎢<br />
⎢ −z1px1p<br />
− z y x + y<br />
⎣<br />
⎡I I I<br />
⎢<br />
= ⎢I I I<br />
⎢<br />
⎣⎢<br />
I I I<br />
p p p p p p<br />
xx 11 x11 y xz 11<br />
yx 11 y11 y yz 11<br />
z11 x z11 y z11<br />
z<br />
p p p p p p<br />
1p 1p 1 2 p 1 2<br />
p<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥dm<br />
=<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥ . (3.75)<br />
⎥<br />
⎦⎥<br />
Jeigu kūno koordinačių sistema OXYZ 1 1 1 1 įvesta kūno masių centre,<br />
tada (3.74) lygčių sistema supaprastėja:<br />
[ M11]{ R<br />
01}= { F}<br />
; (3.76)<br />
[ M ]{ ω̇<br />
}=−[ ω̃<br />
][ I ]{ ω }−{ f }.<br />
22 1 1 1 1 1<br />
Lygčių sistema (3.74) arba (3.76) vadinama Niutono ir Oilerio lygčių<br />
sistema.<br />
3.8.3. Hamiltono principas<br />
Mechaninės sistemos judėjimo lygtis galima užrašyti taikant<br />
Hamiltono principą, kurį patogu naudoti, jeigu žinoma mechaninės<br />
sistemos energija (kinetinė ir potencinė) ir nekonservatyviųjų jėgų<br />
darbas. Hamiltono principo matematinė išraiška yra:<br />
t2<br />
t2<br />
∫ δLdt+ ∫ δAdt<br />
= 0 , (3.77)<br />
t1<br />
t1<br />
čia δL – Lagranžo funkcijos variacija:<br />
δL= δT<br />
−δΠ ; (3.78)<br />
δT, δΠ – sistemos kinetinės ir potencinės energijų variacijos;<br />
δA – nekonservatyviųjų jėgų darbo variacija:<br />
101
δA F δ q<br />
F k<br />
k<br />
T<br />
= { } {}; (3.79)<br />
{ } – nekonservatyviųjų jėgų vektorius; δ q<br />
{}– apibendrintųjų<br />
koordinačių vektorius.<br />
Nekonservatyviosios jėgos – tai jėgos, kurių darbas priklauso ne<br />
tik nuo sistemos pradinės ir galutinės būsenos. Prie nekonservatyviųjų<br />
jėgų priklauso trinties jėgos ir išorinės jėgos, kurios kinta laike.<br />
Kai kūną veikia klampiosios trinties jėgos, patogu naudotis<br />
Relėjaus disipatyvine funkcija:<br />
1 T<br />
D= {} q [ C]{}<br />
q<br />
2 , (3.80)<br />
čia C<br />
[ ] – slopinimo matrica.<br />
Tada klampiųjų trinties jėgų vektorius lygus:<br />
D<br />
{ Fc<br />
}=− ∂ . (3.81)<br />
∂{ q<br />
}<br />
Tarkime, nagrinėjamos sistemos kinetinė ir potencinė energijos<br />
yra lygios:<br />
1 T<br />
1<br />
T = {} q [ M]{}<br />
q , Π= {} [ ]{}<br />
2 2 q T<br />
K q , (3.82)<br />
čia [ M] , [ K]<br />
– sistemos masių ir standumo matricos; {} q , {} q –<br />
apibendrintųjų koordinačių ir greičių vektoriai.<br />
Lagranžo funkcijos variacija lygi:<br />
t2<br />
t2<br />
⎛<br />
T ⎛ ∂L<br />
⎞ T L<br />
δLdt+ δ{}<br />
q<br />
δ q<br />
⎜<br />
t ⎝ ∂{ q}<br />
⎟ + {}<br />
⎛ ∂ ⎞⎞<br />
t2 T ⎛ ∂L<br />
⎞<br />
∫ ∫<br />
<br />
⎜<br />
dt =<br />
⎜<br />
⎠ ⎝ ∂{ q<br />
} ⎟⎟<br />
∫ δ {} q<br />
⎜<br />
+<br />
1 ⎝<br />
⎠⎠<br />
⎝ ∂{ } ⎟<br />
t<br />
t q<br />
dt<br />
1<br />
1<br />
⎠<br />
⎛ ∂ ⎞ t<br />
T L<br />
2<br />
t d ⎛ ∂L<br />
⎞<br />
+ δ{}<br />
q<br />
2<br />
T<br />
⎜<br />
−<br />
⎝ ∂{ } ⎟ t ∫ δ{}<br />
q<br />
⎜<br />
dt<br />
q<br />
⎠<br />
dt ⎝ ∂{ q}<br />
⎟<br />
, (3.83)<br />
1<br />
t<br />
<br />
1<br />
⎠<br />
čia<br />
∂L<br />
∂{ } = ∂ T<br />
q q<br />
d<br />
dt<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
∂L<br />
q<br />
K q ;<br />
∂{ } − [ ]{}<br />
⎞<br />
d<br />
dt<br />
∂{ } ⎟ = [ ]{}<br />
⎠<br />
( M q ) = [ M]{}<br />
q .<br />
102
Tarkime, nekonservatyviųjų jėgų darbas yra lygus:<br />
( )<br />
T<br />
= {} { }− [ ]{}<br />
δA δ q F C q . (3.84)<br />
Įstatę gautas išraiškas į Hamiltono principo matematinę išraišką<br />
(3.77), gauname:<br />
{}<br />
δ q<br />
T<br />
t2<br />
⎛ ∂T<br />
⎞<br />
∫ − [ K]{}− q [ M]{}+ q { F}− [ C]{}<br />
q<br />
dt q<br />
⎜<br />
t ⎝ ∂{ q} ⎟<br />
3<br />
⎠<br />
+ {}<br />
T<br />
∂T<br />
q<br />
∂{ }<br />
t2<br />
t1<br />
= 0.<br />
(3.85)<br />
Įvertinę tai, kad apibendrintųjų poslinkių variacija nelygi nuliui ir<br />
(3.85) lygties konstanta lygi nuliui, gauname judėjimo lygčių sistemą:<br />
T<br />
[ M]{}+ q [ C]{}+ q [ K]{}= q { F}+ ∂ . (3.86)<br />
q<br />
∂{ }<br />
3.8.4. Dviejų kūnų sujungimo tampriuoju ir<br />
slopinimo elementais, standumo ir slopinimo matricos<br />
Nagrinėsime dviejų kūnų judėjimą bendroje OXYZ koordinačių<br />
sistemoje. Pirmojo (i-tojo) kūno masių centro padėtis apibrėžiama<br />
vektoriumi { R ci }, o antrojo (j-ojo) kūno padėtis apibūdinama vektoriumi<br />
{ R cj }.<br />
Tamprusis elementas prijuntas prie i-tojo ir j-ojo kūnų taškuose Pi<br />
ir Pj, atitinkamai. Taško Pi padėtis i-tojo kūno koordinačių sistemoje<br />
CXYZ i i i i apibrėžiama vektoriumi { r pi}, o taško Pj padėtis j-ojo kūno<br />
koordinačių sistemoje CjX jYZ<br />
j j apibrėžiama vektoriumi { r pj }.<br />
3.18 pav. Dviejų kūnų sujungimas tampriuoju ir slopinimo elementais<br />
103
Pradiniai kūnų pasukimo kampų vektoriai yra: { ϕ i0 }, { ϕ j0 }, atitinkamai.<br />
Priimame, kad kūnų posūkio kampai yra maži, t. y. vektorų<br />
{ ϕ i }, ϕ j<br />
{ } elementai yra maži kampai. Taškų Pi ir Pj koordinačių<br />
vektoriai yra lygūs:<br />
{ }= { }+ ( )<br />
Rpi Rci0 ⎡<br />
⎣Ai ϕi0<br />
⎤<br />
⎦{ rpi}+ { qci}+ ⎡<br />
⎣Ai( ϕi)<br />
⎤<br />
⎦{ rpi}=<br />
{ }+ { }+ [ ]+ [ ]<br />
( ){ }= { }− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ { ϕ }=<br />
R q E ϕ<br />
r R r<br />
ci0 ci i pi pi0<br />
pi i<br />
{ }<br />
⎧ qci<br />
{ Rpi0}+ ⎡[ E] − ⎡rpi<br />
⎤⎤<br />
⎪ ⎫⎪<br />
, ⎣<br />
⎦<br />
Rpi0<br />
Bi q<br />
⎣ ⎦ ⎨ ⎬<br />
i<br />
⎩⎪ { i}<br />
⎭⎪ = { }+ [ ]{ } (3.87)<br />
ϕ<br />
T<br />
<br />
T T T<br />
⎡R A r dV A A r dV A R<br />
⎣ c<br />
⎤<br />
⎦ [ ] ∫ρ[ ] [ ] + [ ] ∫ρ[ ] [ ] ⎡ ⎣ c<br />
⎤ ⎦<br />
V<br />
V<br />
{ Rcj0}+ { qcj}+ ([ E]+ ⎡ ⎣<br />
ϕ<br />
j⎤ ⎦ ){ rpj}= { Rpj0}+ { qcj}− ⎡ ⎣<br />
r<br />
pj⎤ ⎦ { ϕj}=<br />
{ }<br />
{ }<br />
⎧ q<br />
{ Rpj<br />
}+ ⎡[ E] − ⎡ ⎣<br />
rpj<br />
⎤⎤<br />
⎪<br />
, <br />
⎣ ⎦ ⎦ ⎨<br />
⎩<br />
⎪ ϕ<br />
cj<br />
0 0<br />
j<br />
{ }= { }+ ( )<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬ = { Rpj<br />
}+ ⎡Bj<br />
⎤ ⎣ ⎦ { q j}, (3.88)<br />
⎭<br />
⎪<br />
⎦{ }+ { }<br />
čia: Rpi0 Rci0 ⎡<br />
⎣Ai ϕ i0<br />
⎤ rpi rpi<br />
; (3.89)<br />
{ }= { }+ ( ) ⎦{ }+ { }<br />
Rpj0 Rcj0 ⎡ Aj ϕ ⎤<br />
j0<br />
rpj r<br />
⎣<br />
pj ; (3.90)<br />
[ Bi]= ⎡[ E] , − ⎡ ⎣<br />
r pi<br />
⎤⎤<br />
⎣ ⎦ ⎦<br />
; ⎡Bj⎤<br />
⎣ ⎦ = ⎡ [ E ] , − ⎡ ⎣<br />
r pj<br />
⎤⎤<br />
⎣ ⎦⎦<br />
; (3.91)<br />
⎧r<br />
⎪<br />
{ rpi}=<br />
⎨r<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
r<br />
xpi<br />
ypi<br />
zpi<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬ ; ⎡<br />
⎣<br />
r<br />
⎪<br />
⎭⎪<br />
pi<br />
⎡ 0<br />
⎤<br />
⎦ =<br />
⎢<br />
⎢ r<br />
⎢<br />
⎣⎢<br />
−r<br />
zpi<br />
ypi<br />
−r<br />
r<br />
zpi<br />
0<br />
xpi<br />
r<br />
ypi<br />
−r<br />
xpi<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥ ; (3.92)<br />
⎥<br />
⎦⎥<br />
⎧r<br />
⎪<br />
{ rpj}=<br />
⎨r<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
r<br />
xpj<br />
ypj<br />
zpj<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬ ; ⎡<br />
⎣<br />
r<br />
⎪<br />
⎭⎪<br />
pj<br />
⎡ 0<br />
⎤<br />
⎦ =<br />
⎢<br />
⎢ r<br />
⎢<br />
⎣⎢<br />
−r<br />
zpj<br />
ypj<br />
104<br />
−r<br />
r<br />
zpj<br />
0<br />
xpj<br />
r<br />
ypj<br />
−r<br />
xpj<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥ . (3.93)<br />
⎥<br />
⎦⎥
⎧⎪<br />
qci<br />
{ { } ⎫<br />
⎧<br />
⎪<br />
qcj<br />
qi}= ⎨ ⎬ ; q j<br />
⎩⎪ { ϕi}<br />
{ { } ⎫<br />
⎪ ⎪<br />
}= ⎨ ⎬ . (3.94)<br />
⎭⎪<br />
⎩<br />
⎪{ ϕ j}<br />
⎭<br />
⎪<br />
Vektorius tarp taškų Pi ir Pj yra lygus:<br />
{ Rpji}= { Rpj0}+ ⎡Bj⎤ ⎣ ⎦ { qj}−{ Rpi0<br />
}− [ Bi]{ qi}=<br />
{ Rpji0}+ ⎡Bj⎤ ⎣ ⎦ { qj}− [ Bi]{ qi}, (3.95)<br />
{ Rpji0}= { Rpj0}−{ Rpi0} . (3.96)<br />
Atstumo tarp taškų Pi ir Pj pailgėjimas yra lygus:<br />
∆L<br />
ij<br />
{ }<br />
1<br />
T<br />
T ⎧ qi<br />
=<br />
⎡<br />
−{ Rpji<br />
} [ Bi] { Rpji<br />
} ⎡Bj<br />
⎤⎤<br />
L<br />
⎣ ⎦ ⎨<br />
⎪<br />
0 0<br />
ij0<br />
⎣⎢<br />
⎦⎥ q<br />
⎩⎪ j<br />
, ⎬<br />
{ }<br />
⎪ = ⎡ ⎣<br />
D ⎤ ⎦ { q }<br />
⎭⎪<br />
⎫<br />
ij ij ,<br />
(3.97)<br />
T<br />
T<br />
čia: ⎡Dij<br />
⎤<br />
⎣ ⎦ = 1 ⎡<br />
Rpji<br />
Bi<br />
Rpji<br />
Bj<br />
L<br />
− { } [ ] { } ⎡ ⎤⎤<br />
0 , 0 ⎣ ⎦ ; (3.98)<br />
ij0<br />
⎣⎢<br />
⎦⎥<br />
T<br />
Lij0 = { Rpji0} { Rpji0} ; q ⎧<br />
⎪ qi<br />
{ { } ⎫<br />
⎪<br />
ij}= ⎨ ⎬ . (3.99)<br />
{ q<br />
⎩⎪ j}<br />
⎭⎪<br />
Tampriojo elemento potencinė energija yra lygi:<br />
1 2 1 T T<br />
1 T<br />
Epij = kij∆Lij = { qij<br />
} ⎡Dij<br />
⎤ kij ⎡ ⎣ ⎦<br />
Dij ⎤ ⎣ ⎦ { qij}= { qij}<br />
⎡Kij⎤<br />
qij<br />
2 2<br />
2 ⎣ ⎦{ },<br />
čia ⎡<br />
⎣<br />
K ij<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎡<br />
⎣<br />
K<br />
ij<br />
– tampriojo elemento standumo matrica.<br />
ij<br />
2<br />
ij<br />
(3.100)<br />
Epij<br />
T<br />
⎤<br />
⎦ =<br />
∂<br />
Dij<br />
kij<br />
Dij<br />
∂{ q }∂{ q } = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />
. (3.101)<br />
Atstumo tarp taškų Pi ir Pj pailgėjimo greitis yra lygus:<br />
105
d∆L<br />
dt<br />
ij<br />
= ∆L ij =⎡Dij ⎤ ⎣ ⎦ { q ij}<br />
. (3.102)<br />
Slopinimo elemento disipatyvinė funkcija yra lygi:<br />
Φ<br />
čia: ⎡<br />
⎣<br />
C ij<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎡<br />
⎣<br />
C<br />
1<br />
T T<br />
= c ∆L 2 1<br />
1<br />
= { q } ⎡Dij<br />
⎤ ⎣ ⎦<br />
cij ⎡ ⎣<br />
Dij ⎤ ⎦ { qij}= { q<br />
ij}<br />
2 2<br />
2<br />
ij ij ij ij<br />
ij<br />
– slopinimo matrica.<br />
ij<br />
2 Φ<br />
ij<br />
106<br />
T<br />
ij<br />
⎤<br />
⎦{ ij}<br />
⎡C ⎣<br />
q ,<br />
(3.103)<br />
ij<br />
T<br />
⎤<br />
⎦ =<br />
∂<br />
Dij<br />
cij<br />
Dij<br />
∂{ q }∂{ q } = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤<br />
<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (3.104)<br />
Nagrinėjant kūnų judėjimą plokštumoje, matrica [ B i ]ir vektorius<br />
{ q i } yra lygūs:<br />
Judėjimas plokštumoje XY:<br />
rypi<br />
[ Bi<br />
]= ⎡ ⎧q<br />
⎡ 1 0<br />
E rpi<br />
⎣ ⎢ ⎤<br />
⎥ − ⎡ ⎤⎤<br />
⎢ ⎢ ⎥⎥<br />
⎡ [ ]<br />
⎦ ⎣⎢<br />
−r<br />
⎣⎢<br />
xpi ⎦⎥<br />
⎦⎥ ⎣ − ⎡ ⎤⎤<br />
0 1 , , ⎣<br />
⎦⎦ ; q ⎪<br />
{ i}=<br />
⎨q<br />
⎪<br />
⎩ ϕ<br />
Judėjimas ploštumoje XZ:<br />
rzpi<br />
[ Bi<br />
]= ⎡ E rpi<br />
⎣ ⎢ ⎤<br />
⎥ − ⎡−<br />
⎧q<br />
⎡ 1 0 ⎤⎤<br />
⎢ ⎢ ⎥⎥<br />
⎡ [ ]<br />
⎦ ⎣⎢<br />
r<br />
⎣⎢<br />
xpi ⎦⎥<br />
⎦⎥ ⎣ − ⎡ ⎤⎤<br />
0 1 , , ⎣<br />
⎦⎦ ; q ⎪<br />
{ i}=<br />
⎨q<br />
⎪<br />
⎩<br />
ϕ<br />
Judėjimas ploštumoje YZ:<br />
rzpi<br />
[ Bi<br />
]= ⎡ ⎧q<br />
⎡ 1 0<br />
E rpi<br />
⎣ ⎢ ⎤<br />
⎥ − ⎡ ⎤⎤<br />
⎢ ⎢ ⎥⎥<br />
⎡ [ ]<br />
⎦ ⎣⎢<br />
−r<br />
⎣⎢<br />
ypi ⎦⎥<br />
⎦⎥ ⎣ − ⎡ ⎤⎤<br />
0 1 , , ⎣<br />
⎦⎦ ; q ⎪<br />
{ i}=<br />
⎨q<br />
⎪<br />
⎩<br />
ϕ<br />
xci<br />
yci<br />
zi<br />
xci<br />
zci<br />
yi<br />
yci<br />
zci<br />
xi<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬ . (3.105)<br />
⎪<br />
⎭<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬ . (3.106)<br />
⎪<br />
⎭<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬ . (3.107)<br />
⎪<br />
⎭
4. Sausumos <strong>transporto</strong> kelių<br />
charakteristikos. Komfortabilumas<br />
4.1. Automobilių kelių nelygumai, jų charakteriskos<br />
Automobilių kelių danga susideda iš kelių asfaltbetonio sluoksnių<br />
(viršutinis, apatinis ir pagrindo sluoksniai), pagrindo sluoksnio ir<br />
žemės sankasos.<br />
Asfaltbetonis – mišinys, gaminamas iš mineralinių medžiagų<br />
ir bitumo. Kiekvienas mišinio komponentas turi skirtingas fizines<br />
mechanines savybes, kurios kinta nuo temperatūros, laiko ir slėgio.<br />
Eksploatacijos metu kelio danga veikiama <strong>transporto</strong> priemonių apkrovomo<br />
bei klimatinių faktorių.<br />
Pagal šiuos poveikius galima skirti tris dangų defektų bei irimo<br />
rūšis:<br />
1) šlities įtempimų atsiradimas veikiant apkrovai;<br />
2) tempimo įtempimų atsiradimas esant temperatūrų skirtumams;<br />
3) dangos irimas veikiant <strong>transporto</strong> priemonių apkrovoms kartu<br />
su kintamomis klimatinėmis sąlygomis.<br />
Šlities įtempimai atsiranda esant aukštai aplinkos temperatūrai.<br />
Kelio dangos paviršius įšila ir gali atsirasti pavojingi šlities įtempimai,<br />
dėl kurių atsiranda šlities deformacijos. Dėl šlities deformacijų dangos<br />
paviršiuje gali atsirasti plyšiai ir bangos. Kelio dangoje išilginės ir<br />
skersinės bangos atsiranda esant dideliam <strong>transporto</strong> priemonių judėjimui<br />
nedideliais greičiais.<br />
Tempimo įtempimai atsiranda esant žemai aplinkos temperatūrai.<br />
Dėl šios priežasties dangoje gali atsirasti mikroplyšių, kurie eksploatacijos<br />
metu gali išvirsti į plyšius. Mikroplyšių, esant žemai aplinkos<br />
temperatūrai, atsiranda naudojant <strong>transporto</strong> priemonių ratus su dygliais.<br />
Žemoje temperatūroje asfaltbetonio danga daug trapesnė (mažėja<br />
bitumo klampis) negu normalioje temperatūroje (20 °C).<br />
Transporto priemonės padangoje esančio dyglio kontaktinis slėgis<br />
į dangos paviršių siekia daugiau kaip 30,0 MPa. Tokio didumo<br />
normaliniai ir tangentiniai slėgiai į dangos paviršių sudaro galimybių<br />
107
kelio dangoje atsirasti nematomiems mikroplyšiams. Patekus vandeniui<br />
į tokius mikroplyšius ir po to jam užšalus, dėl didelio ledo tūrinio<br />
plėtimosi koeficiento β≈152,1·10 -6 1/°C vyksta mikroplyšių didėjimo<br />
procesas.<br />
Asfaltbetonio dangos irimas pasireiškia tiek jos paviršiuje, tiek<br />
jos viduje. Veikiant kintamoms apkrovoms, dangos paviršiuje esančios<br />
smulkios dalelės atitrūksta nuo masyvo. Taip laipsniškai mažėja<br />
dangos storis. Veikiant drėgmei, šalčiui, kintamoms apkrovoms, dangos<br />
viduje vyksta mineralinių medžiagų irimas. Vykstant tokiam procesui<br />
dyla ir yra kelio danga.<br />
Pagal kelio dangos liekamąsias deformacijas galima suskirstyti<br />
jos defektus:<br />
– šlitis pagal visą dangos storį esant lygiam dangos paviršiui<br />
(atsiranda dėl dangos medžiagos nuovargio, keičiasi medžiagos<br />
struktūra);<br />
– viršutinio dangos sluoksnio šlitis esant lygiam dangos paviršiui<br />
(iš apatinių dangos sluoksnių išspausto bitumo susikaupimas<br />
viršutiniame sluoksnyje);<br />
– tam tikro dėsningumo skersinės bangos (bangos ilgis ne didesnis<br />
kaip 0,70 m; defektas atsiranda stabdymo ruožuose dėl<br />
nepakankamo stiprumo šličiai, didelių tangentinių apkrovų ir<br />
paviršiaus įšilimo);<br />
– vienetiniai nelygumai (dėl jų atsiranda paviršiaus bangos);<br />
– vėžės paviršiuje (atsiranda veikiant didelėms <strong>transporto</strong> apkrovoms).<br />
Panagrinėsime kelio dangoje bangų ir vėžių susidarymo procesą.<br />
Riedant <strong>transporto</strong> priemonės (TP) ratui kelio dangos paviršiumi,<br />
rato padangos kontakto su paviršiumi vietoje atsiranda normalinis p n<br />
ir tangentinis p t slėgiai (4.1 pav.). Šių slėgių pasiskirstymas kontakto<br />
plote priklauso nuo oro slėgio padangoje, nuo rato funkcijos (varantysis<br />
ar varomasis ratas), ar ratas stabdomas.<br />
108
a) b)<br />
c) d)<br />
e) f)<br />
4.1 pav. Transporto priemonės rato padangos deformacijos schemos<br />
ir slėgiai, veikiantys kontakto metu:<br />
a – normalinis slėgis, kai padangoje mažas slėgis; b – normalinis slėgis<br />
į kelio dangą, kai padangoje nominalus slėgis; c – varančiojo rato padangos<br />
normalinis slėgis; d – varančiojo rato tangentinis slėgis; e – varomojo rato<br />
kontakto plotas; f – varančiojo rato kontakto plotas.<br />
Veikiant normaliniam ir tangentiniam slėgiui, kelio danga deformuojasi.<br />
Periodiškai apkraunant kelio dangą tokiais slėgiais, joje atsiranda<br />
liekamieji tangentiniai ir normaliniai įtempimai. Dėl šių įtempimų<br />
kelio dangoje atsiranda liekamosios tangentinės ir normalinės<br />
deformacijos. Veikiant tangentiniams įtempimams kelio dangos medžiaga<br />
pasislenka <strong>transporto</strong> priemonės judėjimo kryptimi ir susidaro<br />
skersinės bangos (4.2 a pav.).<br />
Rato su kelio danga kontakto plote veikia normalinis slėgis, dėl<br />
kurio dangoje susidaro tangentiniai įtempimai, kurie išstumia kelio<br />
dangos medžiagą statmena judėjimo kryptimi (4.2 b pav.).<br />
109
Ratas užvažiuoja ant susidariusios kelio dangos paviršiuje bangos,<br />
ją deformuoja ir ji išnyksta. Kiekvienai TP pravažiavus kelio<br />
dangos paviršiuje, statmenai judėjimo kryptimi, atsiranda liekamosios<br />
deformacijos. TP pravažiuojant tuo pačiu kelio dangos paviršiumi,<br />
mažėja dangos sluoksnis ir susidaro liekamosios deformacijos vėžių<br />
pavidalu (4.2 b pav.). Vadinasi, nuo TP rato normalinio slėgio į kelio<br />
dangos paviršių gali susidaryti vėžės.<br />
Veikiant dideliam normaliniam slėgiui ir stabdant ratą, rato ir kelio<br />
dangos paviršiaus kontakto plote atsiranda dideli tangentiniai slėgiai.<br />
Dėl jų veikimo gali atsirasti šlitis tarp dangos sluoksnių (4.2 c pav.).<br />
a) b) c)<br />
4.2 pav. Kelio dangos šlitis veikiant TP rato normaliniams p n<br />
ir tangentiniams p τ slėgiams: a – rato stabdymas; b – provėžų susidarymas;<br />
c – dangos sluoksnių šlitis<br />
Vasaros laikotarpio maksimalios ir minimalios kelio dangos temperatūros<br />
parodytos 4.3 pav.<br />
4.3 pav. Minimalios ir maksimalios asfaltbetonio dangos temperatūros<br />
110
Automobilių kelio paviršius, kad ir labai gero kelio, nėra idealiai<br />
lygus. Laikui bėgant kelias dėvisi, kelio nelygumai didėja. Kelio paviršiaus<br />
nusidėvėjimas ir irimas priklauso nuo kelio paviršiaus būklės<br />
ir kokybės, temperatūros pokyčių, kelio sankasos kokybės ir <strong>transporto</strong><br />
srautų poveikio kelio paviršiui. Visi šie faktoriai veikia nevienodai,<br />
skirtingais laiko momentais, todėl automobilių kelių paviršiaus<br />
nelygumai turi stochastinį (atsitiktinį) pobūdį. Kelio paviršiaus nelygumus,<br />
stochastinius dydžius galima aprašyti tokiais parametrais: vidutiniu<br />
kvadratiniu dydžiu; tikimybės tankio funkcija; autokoreliacine<br />
funkcija; spektriniu tankiu.<br />
Automobilių kelių klasifikacija pagal kategorijas ir reikšmes pateikta<br />
4.1 lentelėje.<br />
4.1 lentelė. Automobilių kelių klasifikacija pagal kategorijas ir reikšmes<br />
(http://e-stud.vgtu.lt/files/dest/2642/skersiniai%20profiliai.pdf)<br />
Kelio paviršiaus nelygumus galima aprašyti funkcija (4.4 pav.):<br />
z<br />
= z( xy , ),<br />
111
t. y. funkcija dviejų nepriklausomų kintamųjų: x – ilgis, y – plotis.<br />
Bendruoju atveju funkcija z(x,y) – nestacionari, t. y. kelio nelygumai<br />
keičiasi kelio eksploatacijos metu. Nagrinėjant kelio paviršių pagal<br />
kelio tipą (asfaltuotas kelias, betoninis kelias, grindinys, žvirkelis ir<br />
kt.), galima neįvertinti kelio nelygumų kitimo laike (kelio nelygumai<br />
kinta lėtai). Tuomet kelio nelygumų funkciją z(x,y) galima apytiksliai<br />
nagrinėti kaip stacionarią, stochastinę, pagal normalinį skirstinį<br />
pasiskirčiusią, ergodinę su nuline vidutine reikšme funkciją. Tokią<br />
funkciją visiškai apibrėžia dvimatė koreliacinė funkcija:<br />
R<br />
ξη , lim 1 ∫ ∫ z x, yzx ( ξ, y η)<br />
dxdy .<br />
4xy<br />
x→∞<br />
y→∞<br />
x<br />
( )= ( ) + +<br />
y<br />
−x<br />
− y<br />
4.4 pav. Automobilių kelio nelygumų funkcija z(x, y)<br />
Išmatuoti kelio nelygumus dviejų koordinačių (x, y) kryptimis<br />
yra sunku ir paskaičiuoti dviejų kintamųjų koreliacinę funkciją yra<br />
imlus procesas. Todėl šią problemą galima suspaprastinti. Kadangi<br />
mus domina kelio charakteristikos išilgine ir skersine kryptimis, kurios<br />
sukelia TP ratų, kėbulo ir keleivių svyravimus, todėl galima nustatyti<br />
tik tas kelio stochastines charakteristikas, kurios sukelia TP<br />
virpesius. Darant tokias prielaidas, kelio nelygumus galima nagrinėti<br />
112
dviem stochastinėmis funkcijomis: z(x) – nelygumų aukštis kelio išilgine<br />
kryptimi ir kelio skerspjūvio pasvirimo kampas ψ( x). TP judėjimas<br />
keliu bus charakterizuojamas tokiais dydžiais:<br />
1<br />
1<br />
z(x) = ( zk<br />
( x)+ zd<br />
( x)<br />
); ψ(x) = ( zk ( x)+ zd ( x)<br />
), (4.1)<br />
2<br />
b<br />
čia zk<br />
( x) , zd<br />
( x)<br />
– kelio profilis po kairiuoju ir dešiniuoju TP ratais,<br />
atitinkamai; b – atstumas tarp TP ratų.<br />
Statistiškai aprašyti kelio nelygumus reikia žinoti dvi koreliacines<br />
funkcijas:<br />
R<br />
z<br />
1<br />
()= l lim ∫<br />
L z ( x ) z ( x + ldl ) ;<br />
L→∞<br />
L<br />
0<br />
1<br />
Rψ ()= l lim ∫ ψ( x) ψ( x+<br />
ldl )<br />
L<br />
L→∞<br />
arba du spektrinius tankius:<br />
∞<br />
L<br />
0<br />
(4.2)<br />
2<br />
Sz( Ω)= ∫ Rz( x)<br />
cos( Ωx) dx ;<br />
π 0<br />
2<br />
∞<br />
Sψ( Ω)= ∫ Rψ( x)<br />
cos( Ωx) dx , (4.3)<br />
π 0<br />
Ω= – 2π kelio nelygumų dažnis (ciklas / m), Ω= 2π , L h – kelio bangos<br />
L h<br />
L h<br />
harmoninė dedamoji, L – kelio ilgis.<br />
Šios charakteristikos ( R z ( τ), R ψ ( τ) arba S z ( Ω), S ψ ( Ω)) visiškai<br />
apibrėžia kelio statistines charakteristikas.<br />
Dažnai naudojama normuota ir tarpusavio normuota koreliacinės<br />
funkcijos:<br />
Rz<br />
( τ)<br />
Rz<br />
( τ)<br />
rz<br />
( τ)=<br />
Rz<br />
( ) = Rψ<br />
( τ)<br />
Rψ<br />
( τ)<br />
; rψ<br />
( τ)=<br />
0 Dz<br />
Rψ<br />
( ) = , (4.4)<br />
0 Dψ<br />
Rzψ<br />
( τ)<br />
Rzψ<br />
( τ)<br />
rzψ<br />
( τ)=<br />
R ( ) R ( ) = .<br />
0 0 DD z ψ<br />
z<br />
ψ<br />
Koreliacinės funkcijos (4.2) ir spektriniai tankiai (4.3) yra kelio<br />
profilio charakteristikos, kurios sukelia TP virpesius. Aprašant kelio<br />
113
nelygumų poveikį TP judėjimui įvairiu greičiu, būtina kelio profilio<br />
stochastines charakteristikas, kurios priklauso nuo išilginės koordinatės,<br />
pereiti prie laiko funkcijų. Koreliacinei funkcijai x ir l pakeičiami<br />
tokiais dydžiais:<br />
x<br />
= vt , l = vτ, (4.5)<br />
čia v – TP judėjimo greitis; t – laikas; τ – laiko argumentas.<br />
Tada korelicinės funkcijos (4.2) bus lygios:<br />
1<br />
L<br />
Rz<br />
( τ)= lim ∫ z( vt) z( vt + τ)<br />
dτ<br />
;<br />
L<br />
čia λ= 1 l<br />
L→∞<br />
0<br />
R ( ψ τ)= 1<br />
lim ∫ vt vt d<br />
L<br />
ψ( ) ψ( + τ)<br />
τ . (4.6)<br />
L→∞<br />
L<br />
0<br />
Ryšis erdvinių koordinačių ir laiko yra:<br />
v<br />
v<br />
f = =λ v ; ω= 2π = 2πf<br />
= Ω v,<br />
l<br />
l<br />
– kelio nelygumų dažnis, 1/m.<br />
Tegu duota kelio profilio spektrinis tankis:<br />
S<br />
z<br />
( λ)=<br />
Aλ<br />
− N<br />
,<br />
tada šį spektrinį tankį užrašysime kaip laiko funkciją:<br />
S ( f )= cf<br />
z<br />
N<br />
−1 ; S<br />
z<br />
( ω)=<br />
Dω<br />
−N<br />
čia C = Av N −1 ; D Av N −1 N −1<br />
2π .<br />
= ( )<br />
Automobilių kelių nelygumus (kelio paviršiaus kokybę) galima<br />
įvertinti pagal nelygumų spektrinį tankį:<br />
2<br />
2 ⎛ L −2πiΩx<br />
⎞<br />
Sz<br />
( Ω)= lim ⎜ ∫ z( x)<br />
e dx⎟<br />
, (4.7)<br />
x→∞<br />
L ⎝ 0<br />
⎠<br />
,<br />
114
čia S z ( Ω) – kelio profilio spektrinis tankis, ( m 3 / ciklas ) ; Ω= – 2π kelio<br />
nelygumų dažnis, ( ciklas / m ); L – kelio ilgis, m; z<br />
L<br />
( x) – kelio nelygumų<br />
aukštis, m.<br />
h<br />
Automobilių kelių nelygumus galima įvertinti pagal kelio profilio<br />
spektrinį tankį S z ( Ω) (ISO standartas1982). 4.2 lentelėje pateikta automobilių<br />
kelių kokybė įvertinant nelygumų spektrinį tankį.<br />
4.2 lentelė. Automobilių kelių nelygumų spektrinis tankis pagal ISO<br />
Automobilių kelių nelygumų spektrinis tankis S z ( Ω)× 10 −6<br />
Kelio būklė Intervalas Geometrinis vidurkis<br />
A (labai geras)
Grindinys<br />
Gruntinis<br />
kelias<br />
Periodiškai<br />
greiderio<br />
lyginamas<br />
kelias<br />
Skreperio<br />
lygintas<br />
kelias<br />
Blogos<br />
kokybės<br />
gruntinis<br />
kelias<br />
Nepagerintas<br />
kaimo<br />
kelias<br />
900<br />
3200<br />
2,5–3,28<br />
1,35–<br />
2,29<br />
r () l<br />
3<br />
= e<br />
−<br />
045 , l<br />
500 6,34 −008 , l −015<br />
, l<br />
r () l = 06 , e + 04 , e cos( 0, 125l)<br />
350<br />
200<br />
350<br />
200<br />
5,6<br />
7,4<br />
4<br />
016 , l<br />
r5<br />
() l = e<br />
−<br />
−012l<br />
0 02 l<br />
r6<br />
() l 065 , e , −<br />
= + 0, 35e , cos( 018 , l)<br />
4,15<br />
011 , l<br />
5,2 r7<br />
() l = e<br />
−<br />
200 8,7 −017l<br />
0 05 l<br />
r () l 065 , e , −<br />
= + 0, 35e , cos( 015 , l)<br />
80–<br />
120<br />
8<br />
4.3 lentelės pabaiga<br />
15–25 r9 () l = e −α cos( βl)<br />
α= 0, 014 ÷ 011 , ; β= 0, 025 ÷ 014 ,<br />
l<br />
Kitas parametras, kuris įvertina kelio nekygumus, yra IRI indeksas<br />
(International Roughness Index) (ASTM). IRI indeksas matuojamas<br />
ilgio vienetais: mm/m, m/km. Jis gerai koreliuoja su TP keleivių pagreičiais<br />
(komforto kriterijus) ir rato padangos apkrovimu (TP valdymas).<br />
Įvairių šalių automobilių keliai turi skirtingus paramaterus, tačiau, panaudojant<br />
IRI indeksus, įvairių šalių tyrėjai gali tarpusavyje lyginti automobilių<br />
kelių kokybę. IRI – universalus, labai paplitęs parametras,<br />
charakterizuojantis kelio būklę ir TP judėjimo charakteristikas.<br />
Norint išmatuoti IRI indeksą, nagrinėjamas ketvirtis TP dinaminis<br />
modelis (dar vadinamas „auksiniu automobiliu“ „golden car“<br />
(4.5 pav.), kurio parametrai parodyti 4.3 lentelėje. „Auksinio automobilio“<br />
dinaminį modelį sudaro: m 1 – automobilio rato ir ašies masė, kg;<br />
m 2 – ketvirčio automobilio kėbulo masė, kg; k 1 – padangos standumo<br />
koeficientas, N/m; k 2 – pakabos standumo koeficientas, N/m; – pakabos<br />
slopinimo koeficientas. Matuojamu keliu TP važiuoja 80 km/val.<br />
greičiu ir matuojami masės m 1 ir masės m 2 pagreičiai, kelio paviršiaus<br />
116
išilginė koordinatė, važiavimo greitis. Skaičiuojant IRI indeksą padangos<br />
ir kelio kontakto ilgis yra lygus Lk=0,250 m .<br />
Matematiškai IRI indeksas skaičiuojamas taip:<br />
Lv /<br />
1<br />
IRI = ∫ q2 −q1dt<br />
, (4.8)<br />
L 0<br />
čia IRI indeksas, matuojams m/km; q1, q2<br />
– pirmos ir antros masės<br />
greičiai; v – judėjimo greitis, v=80 km/val.; L – matuojamo kelio ilgis,<br />
km.<br />
4.5 pav. Ketvirčio automobilio („auksinio automobilio“) dinaminis modelis<br />
4.4 lentelė. Ketvirčio automobilio („auksinio automobilio“) parametrai<br />
Parametrai Reikšmė Vienetas<br />
k2 / m2 = b<br />
63,3<br />
2<br />
1/ s<br />
k1 / m2 = b1<br />
653,0 2<br />
1/ s<br />
c2 / m2 = b3<br />
6,0 1/ s<br />
m1 / m2<br />
=µ 0,15 –<br />
c 1<br />
0 kg / s<br />
„Auksinio automobilio“ judėjimo lygčių sistema yra:<br />
2<br />
117
⎡m<br />
⎢<br />
⎣ 0<br />
1<br />
0 ⎤ q1<br />
c c c<br />
m<br />
⎥ ⎧ ⎫ ⎡ + −<br />
⎨ ⎬⎭ +<br />
2 ⎦ ⎩ q<br />
⎢<br />
2 ⎣ −c2 c2<br />
1 2 2<br />
⎤ q1<br />
⎥ ⎧ ⎫<br />
⎨ ⎬⎭ +<br />
⎦ ⎩ q<br />
2<br />
⎡k + k −k<br />
⎢<br />
⎣ −k2 k2<br />
1 2 2<br />
⎤ q1<br />
kz 1<br />
⎥ ⎧ ⎫<br />
⎨ ⎬⎭ = ⎧ ⎫<br />
⎨ ⎬⎭<br />
⎦ ⎩ q2<br />
⎩ 0<br />
(4.9a)<br />
arba<br />
b1 b2 b2<br />
⎧q1<br />
⎫ ⎡ 0 0⎤<br />
q<br />
1<br />
⎨ ⎬ +<br />
q<br />
⎢<br />
⎩ 2 ⎭ − b3 b<br />
⎥ ⎧ ⎡ + ⎤ ⎧b1<br />
⎫<br />
⎫<br />
⎨ ⎬⎭ +<br />
⎢ −<br />
µ µ<br />
⎥ ⎧q1<br />
⎫ ⎪ z ⎪<br />
⎣ 3⎦<br />
⎩ q<br />
⎢<br />
⎥ ⎨ ⎬ = ⎨ µ ⎬ . (4.9b)<br />
2<br />
⎣⎢<br />
−b2 b2<br />
⎦⎥<br />
⎩q2<br />
⎭ ⎪ ⎪<br />
⎩ 0 ⎭<br />
( ) yra filtruojamas. Kai<br />
Matuojamas kelio nelygumų aukštis z x<br />
išmatuotas kelio nelygumų aukštis yra diskretinis, t. y. aukštis zi( xi)<br />
matuotas tam tikruose kelio taškuose x i , tai sulygintas kelio profilio<br />
aukštis yra lygus:<br />
1 i+ NK −1<br />
zx ( i) = ∑ zx ( j)<br />
, (4.10)<br />
NK<br />
j=<br />
i<br />
čia NK – taškų skaičius, kuriuose skaičiuojama nelygumų aukščio<br />
vidutinė reikšmė.<br />
Apytikslės IRI indekso reikšmės priklausomai nuo kelio tipo pateiktos<br />
4.5 lentelėje.<br />
4.5 lentelė. IRI indekso reikšmė<br />
IRI indekso ribos,<br />
Kelio tipas<br />
mm/m<br />
Važiavimo greičio ribos,<br />
km/val<br />
Oro uosto kelio danga 0–2 >100<br />
Nauja kelio danga 1–3 90–110<br />
Sena kelio danga 2–6 80–100<br />
Neasfaltuotas kelias 3–10 60–90<br />
Prastos kokybė asfaltuotas<br />
kelias<br />
4–11 55–90<br />
Nelygus neasfaltuotas kelias 8–20 30–70<br />
118
4.2. Automobilio kelių nelygumų generavimo būdai<br />
Nagrinėjant stochastines dinamines sistemas, kurios bendru atveju<br />
yra netiesinės, veikiant stochastiniams sužadinimams reikia mokėti<br />
generuoti stochastinius signalus (poveikius į dinaminę sistemą), kai<br />
yra žinomos statistinės charakteristikos. Tam tikslui galima panaudoti<br />
algoritmus, kurie remiasi nepriklausomų skaičių sekos ξ[ n] tiesine<br />
transformacija, kai sekos skaičiai dažniausiai pasiskirsto pagal normalinį<br />
arba tolydinį skirstinį (diskretinis baltas triukšmas), į seką f [ n]<br />
koreliuojantį pagal dėsnį:<br />
R n M f k f k n = R ( nh), n = 012 ,, ,..., (4.11)<br />
ff<br />
{ }<br />
[ ]= [ ] [ = ]<br />
119<br />
ff<br />
čia h – nepriklausomo kintamojo t diskretizacijos žingsnis.<br />
Toliau norint gauti reikiamą f [ n] dėsnį naudojama neinercinė<br />
netiesinė transformacija. Labiausiai paplitusioms koreliacinėms funkcijoms<br />
sudaryti efektyvūs diskretinio modeliavimo algoritmai, kurie<br />
turi tokį pavidalą:<br />
f [ n]= a0ξ[ n]+ a1ξ[ n−1]+ ... + alξ[ n−<br />
l]−<br />
bf[ n−1]−b f [ n−2]−... −b f [ n−<br />
m]=<br />
(4.12)<br />
1 2<br />
l<br />
m<br />
k= 0<br />
k<br />
k=<br />
1<br />
k<br />
∑ a ξ[ n−k]− ∑b f n−k<br />
[ ]<br />
m<br />
Nagrinėjant <strong>transporto</strong> priemonių (TP) dinamiką reikia vertinti<br />
sudėtingą rato ir paviršiaus sąveiką (4.6 pav.): padanga arba vikšrinė<br />
važiuoklė sulygina pradinį stochastinį kelio paviršių, kuris, veikiamas<br />
jėgų, veikiančių kontakte, deformuojasi. Mažai deformuojantiems<br />
gruntams galima vertinti tik padangos ar vikšrinės važiuoklės lyginamąsias<br />
savybes.<br />
Padangos lyginamųjų savybių efektas pasireiškia tuo, kad aukšto<br />
dažnio paviršiaus dedamosios (harmonikos) nevertinamos.<br />
Kelio paviršiaus mikroprofilio aukštis po padanga lygus:<br />
x<br />
1 max<br />
z( x)= ∫ z( ξ)<br />
dξ, (4.13)<br />
L<br />
k xmin<br />
.
čia L k – kontakto ilgis; xmin = x − 2 ; xmax = x + 2 .<br />
L k<br />
L k<br />
L<br />
4.6 pav. Padangos sąveika su kelio paviršiumi<br />
x<br />
Kai TP juda v greičiu, įvertinę, kad t = , išraišką (11) galime<br />
v<br />
užrašyti:<br />
t<br />
1 max<br />
z()= t ∫ z()<br />
t dt, (4.14)<br />
Lk tmin<br />
Lk<br />
čia tmin = t − 2 v<br />
; t t Lk<br />
max = + 2 v<br />
.<br />
Padangos lyginamosios savybės gali nuslopinti aukšto dažnio kelio<br />
profilio virpesius iki tam tikro ribinio dažnio:<br />
ω<br />
rib<br />
2π 2π 2πv<br />
= = = . (4.15)<br />
T L v L<br />
k<br />
k<br />
Iš (4.15) išraiškos matome, kad ribinis dažnis tiesiog proporcingas<br />
judėjimo greičiui ir atvirkščiai proporcingas kontakto ilgiui. Kai<br />
L k → 0 (kontaktas – taškas), ribinis dažnis ω→∞ , t. y. padanga praleidžia<br />
visus stochastinio proceso qt () dažnius. Didėjant kontakto ilgiui<br />
L k , ribinis dažnis mažėja, t. y. stochastinio proceso S q ( ω) vis<br />
didesnė aukšto dažnio dalis yra slopinama.<br />
120
Kelio paviršiaus mikroprofilio aukštis po padanga diskretiniu<br />
atveju yra lygus:<br />
1 n+<br />
k<br />
z( n)= ∑ z()<br />
l , n= k + 1, k + 2,..., N −k<br />
, (4.16)<br />
nl<br />
l= n−k<br />
čia k = 1 nl ; nl – taškų skaičius kontakte ( Lk nl h<br />
2<br />
= * , h – diskretizacijos<br />
žingsnis).<br />
Padanaga nėra tokia elastinga, kad užpildytų kiekvieną kelio<br />
profilio įdubimą. Todel kelio nelygumų aukštis apskaičiuotas pagal<br />
(4.1.12) formulę yra apytikslis. Žinodami kelio nelygumų statistines<br />
charakteristikas (autokoreliacinė funkcija, spektrinis tankis) galime<br />
sužinoti, kaip šios charakteristikos pasikeis įvertinus padangos savybę<br />
lyginti kelio nelygumus.<br />
Išdiferncijuosime (4.1.12) išraišką pagal išilginę koordinatę:<br />
d<br />
dl z l z l 1 ⎡ ⎛ Lk<br />
⎞ Lk<br />
p()= ′<br />
p()= z l+<br />
z l<br />
L<br />
⎜ ⎟<br />
k ⎝ ⎠<br />
− ⎛<br />
⎢<br />
⎜<br />
⎝<br />
−<br />
⎣ 2 2<br />
⎞⎤<br />
⎟⎥<br />
. (4.17)<br />
⎠⎦<br />
Autokoreliacinė funkcija šios verikalių nelygumų išvestinės yra lygi:<br />
R<br />
zp ′<br />
⎡ ⎛ Lk ⎞ Lk Lk<br />
( l)= z⎜l+<br />
⎟ z l z l<br />
L→∞<br />
LL ⎝ ⎠<br />
− ⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
− ⎞⎤<br />
∆ lim 1 L<br />
⎡ ⎛ ⎞ Lk<br />
⎢<br />
⎟⎥ + + ∆l<br />
z l ∆ dl<br />
2<br />
⎣ 2 2<br />
⎜<br />
⎠⎦<br />
⎝ 2<br />
⎟<br />
⎠<br />
− ⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
− + ⎞⎤<br />
∫<br />
⎢<br />
⎟⎥<br />
,<br />
0<br />
⎣<br />
2 ⎠⎦<br />
k<br />
(4.18)<br />
čia L – kelio ilgis.<br />
Suintegravę kiekvieną narį atskirai, gauname:<br />
R<br />
zp ′<br />
⎧L<br />
⎛ Lk<br />
⎞ ⎛ Lk<br />
⎞<br />
( ∆l)= lim 1 ⎨∫<br />
z⎜l+<br />
⎟ z⎜l+ + ∆l⎟dl<br />
−<br />
L→∞<br />
2<br />
LL ⎩a<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />
k<br />
L<br />
⎛ L ⎞<br />
z⎜l−<br />
⎝ ⎠<br />
⎟ ⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
+ L<br />
+ ⎞<br />
⎠<br />
⎟ − L<br />
k<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
+ ⎞<br />
⎠<br />
⎟ ⎛<br />
∫ z l<br />
k<br />
Lk<br />
l dl ∫z l z l<br />
⎝<br />
− Lk<br />
+ ⎞<br />
∆<br />
∆l<br />
2 2 2<br />
⎜<br />
2<br />
⎟ dl +<br />
⎠<br />
0 0<br />
L<br />
⎛ Lk<br />
⎞<br />
+ ⎜ −<br />
⎝ ⎠<br />
⎟ ⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
− L<br />
+ ⎞<br />
∫ z l z l<br />
k<br />
∆ l⎟dl. (4.19)<br />
2 2 ⎠<br />
0<br />
121
Nagrinėjant stacionarę stochastinę funkciją, perkeliant koordinačių<br />
pradžią, pati autokoreliacinė funkcija nesikeičia. Todėl išraiškos<br />
(4.19) pirmas ir ketvirtas integralai yra kelio profilio autokoreliacinės<br />
funkcijos:<br />
1<br />
L<br />
k<br />
k<br />
k<br />
lim<br />
lim<br />
L L z ⎛<br />
l L ⎞ L z l l dl<br />
→∞ L→∞ L z l L<br />
⎜ +<br />
⎝ ⎠<br />
⎟ ⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
+ + ⎞<br />
⎠<br />
⎟ + 1<br />
L<br />
⎛<br />
∫<br />
2 2<br />
⎜<br />
⎝<br />
− ⎞<br />
∆<br />
0<br />
2 ⎠<br />
⎟ ⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
− Lk<br />
+ ⎞<br />
∫ z l ∆l⎟ dl =<br />
0<br />
2 ⎠<br />
1<br />
L<br />
2 lim ∫ ()( + ) = 2 ( )<br />
L→∞<br />
L z l z l ∆ l dl R ∆ .<br />
z<br />
(4.20)<br />
0<br />
Išraiškoje (4.19) antrą ir trečią narius galima supaprastinti:<br />
lim<br />
L→∞<br />
1<br />
L<br />
k<br />
k<br />
L z ⎛<br />
l L ⎞ ⎛ L<br />
∫ ⎜ − z ⎜ l<br />
0 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2<br />
⎟ + + ⎞<br />
∆l⎟ dl =<br />
⎠<br />
1<br />
L<br />
k<br />
lim<br />
L L z ⎛<br />
l L ⎞ ⎡⎛<br />
L<br />
= ∫ ⎜ −<br />
→∞ ⎝ 2<br />
⎟z⎢<br />
l−<br />
⎠ ⎜<br />
⎣⎢<br />
⎝<br />
lim<br />
L→∞<br />
k<br />
0 2<br />
1<br />
L<br />
k<br />
L z ⎛<br />
l L<br />
∫ ⎜ +<br />
0 ⎝<br />
⎞<br />
⎟ + ( + )<br />
⎤<br />
Lk ∆l ⎥ dl = Rq( ∆l+<br />
Lk<br />
)<br />
⎠ ⎦⎥<br />
(4.21)<br />
⎞ Lk<br />
z l l dl Rz<br />
l Lk<br />
⎠<br />
⎟ ⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
− + ⎞<br />
∆ ⎟ = ( ∆ − ). (4.22)<br />
2 2 ⎠<br />
Įstatę visus rezultatus (4.20), (4.21), (4.22) į (4.19), gausime padangos<br />
sulygintų kelio vertikalių nelygumų išvestinės autokoreliacinę<br />
funkciją:<br />
2Rz( ∆l)− Rz( ∆l+<br />
Lk)−Rz( ∆l−Lk<br />
)<br />
Rz<br />
( ∆l)=<br />
. (4.23)<br />
p′ 2<br />
Lk<br />
Norėdami nustatyti padangos sulygintų kelio vertikalių nelygumų<br />
išvestinės spektrinį tankį, pasinaudosime pagrindine priklausomybe<br />
tarp spektrinio tankio ir autokoreliacinės funkcijos:<br />
Sz ′ λ, Lk 2∫<br />
Rz<br />
′ ∆l cos λ∆l d ∆ l , (4.24)<br />
p<br />
∞<br />
( )= ( ) ( ) ( )<br />
0<br />
p<br />
čia λ – bangos dažnis.<br />
Kai kelio profilio nelygumai registruojami kaip laiko funkcija<br />
z(), t spektrinis tankis priklauso nuo bangos kampinių dažnių ω .<br />
122
Ryšis tarp bagos dažnio ir dažnio f, yra f =λ v a , v a – TP judėjimo<br />
greitis.<br />
Įstatę (4.24) išraišką į (4.19), gauname:<br />
S<br />
∞<br />
∫<br />
0<br />
'<br />
zp<br />
2 ⎧∞<br />
∞<br />
λ, Lk<br />
∫2Rz l cos λ l d l ∫ Rz( l Lk<br />
) cos( λ l)<br />
d<br />
2 ⎨ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆l<br />
−<br />
L ⎩ 0 0<br />
( )= ( ) ( ) − +<br />
k<br />
( ) ( ) }<br />
Rz<br />
∆l−<br />
Lk<br />
cos λ ∆ ld∆l<br />
.<br />
(4.25)<br />
Paskutinis narys (4.25) išraiškoje yra nesulyginto kelio nelygumų<br />
spektrinis tankis, t. y.<br />
∞<br />
∫ 2Rz( ∆l) cos( λ∆l) d( ∆l)= Sz( λ )<br />
. (4.26)<br />
0<br />
Įvedus pagalbinį pakeitimą<br />
∆l 1 = ∆l+<br />
L k<br />
antras narys (4.26) išraiškoje yra lygus:<br />
∞<br />
( ) ( ) = ( ) ( − ) =<br />
J2<br />
= ∫ Rz ∆l+<br />
Lk cos λ∆l d∆l ∫ Rz ∆l cos λ(<br />
∆l Lk<br />
d∆l<br />
∞<br />
0<br />
0 0<br />
∫ Rz( ∆l1) cos ( λ( ∆l1−<br />
Lk) cos( λLk<br />
) d∆l1<br />
+<br />
∞<br />
∫ Rz( ∆l1) cos ( λ∆l1)cos(<br />
λLk) d∆l1<br />
+<br />
0<br />
∞<br />
∫ z( 1) ( 1) ( k)<br />
1<br />
0<br />
∞<br />
1 1 1<br />
R ∆l sin λ∆l sin λ L d∆l<br />
. (4.27)<br />
Įvertinus (4.24) išraišką, galutinė (4.27) išraiškos forma:<br />
L k<br />
1<br />
J2<br />
Sz λ cos( λLk) ∫ Rz<br />
∆l cos λ∆l cos( λ∆l ) d∆l<br />
2<br />
∞<br />
= ( ) − ( ) ( ) −<br />
0<br />
1 1 1 1<br />
∫ Rz ∆l1 sin λ∆l1)sin( λLk d∆l1<br />
∫ Rz ∆l1 sin λ∆l1<br />
sin λ Lk)d∆l<br />
1 .<br />
0<br />
( ) ( ) + ( ) ( ) (<br />
∞<br />
0<br />
123
Išraiškoje (4.26) trečiasis narys, pakeitus L k a į −L k , yra lygus:<br />
−L<br />
1<br />
k<br />
J3<br />
Sz λ cos( λLk) ∫ Rz<br />
∆l cos λ∆l cos( λLk<br />
) d∆l<br />
2<br />
−Lk<br />
∫<br />
= ( ) − ( ) ( ) +<br />
0<br />
( ) ( ) − ( ) ( ) ( )<br />
Rz<br />
∆l sin λ∆l)sin( λLk d∆l ∫ Rz ∆l sin λ∆l sin λLk<br />
d∆l .<br />
0 0<br />
Sudėję J 2 ir J 3 integralus, gausime:<br />
J J S λ cos( λL<br />
) . (4.28)<br />
+ = ( )<br />
2 3<br />
z<br />
k<br />
Įstatę (4.27) ir (4.28) išraiškas į (4.26), gausime:<br />
S<br />
'<br />
zp<br />
∞<br />
2<br />
λ, Lk<br />
L S z λ ( 1 cos( λ L k)<br />
). (4.29)<br />
2<br />
( )= ( ) −<br />
k<br />
Žinoma, kad stacionarinė stochastinė funkcija su normaliniu<br />
skirstiniu, o tokia funkcija yra kelio mikroprofilio nelygumai,<br />
funkcijos ir jos išvestinės spektriniai tankia skiriasi tik daugikliu, kuris<br />
lygus dažnio kvadratui λ 2 , t. y.<br />
S<br />
zp<br />
2<br />
λ, Lk<br />
Sz<br />
λ 1 cos( λLk)<br />
L λ<br />
( )= ( )( − )<br />
Kai L k → 0 , tada<br />
lim S λ,<br />
L S λ .<br />
L→∞<br />
zp<br />
k z<br />
2 2<br />
.<br />
k<br />
( )= ( )<br />
, (4.30)<br />
Iš (4.30) išraiškos plaukia, kad padangos sulyginto kelio profilio<br />
nelygumų spektrinis tankis nepriklauso nuo TP važiavimo greičio.<br />
Spektrinį tankį galima išreikšti per apskritiminį dažnį f, ( 1/ s )<br />
arba kampinį dažnį ω ,<br />
tada<br />
f<br />
=λ v a ir ω= 2πλv a , (4.31)<br />
124
S<br />
S<br />
z<br />
z<br />
2va<br />
⎛ f<br />
f, Lk<br />
Sz<br />
f cos(<br />
L f<br />
v L ⎞<br />
⎜1<br />
k )<br />
2 2 ⎟ ; (4.32)<br />
⎝ a ⎠<br />
( )= ( ) −<br />
k<br />
2<br />
8π<br />
va<br />
⎛ ω<br />
ω Lk<br />
Sz<br />
ω<br />
L<br />
v L ⎞<br />
, ⎜1<br />
cos( k ) ⎟ . (4.33)<br />
2 2<br />
ω ⎝ 2π<br />
a ⎠<br />
( )= ( ) −<br />
k<br />
2 2<br />
Padangos ir kelio kontakto ploto ilgį L k<br />
apytiksliai galima nustatyti:<br />
L 2 aH D − aH , (4.34)<br />
k =<br />
( )<br />
čia a – parametras, kinta intervale, a = 01 , ... 011 , ; D – padangos<br />
išorinis skersmuo; H – padangos profilio aukštis.<br />
Diskretinio modeliavimo algoritmai naudojant skirtingas autokoreliacines<br />
funkcijas parodyti 4.6 lentelėje.<br />
1<br />
iωτ<br />
4.6 lentelė. Autokoreliacinės funkcijos Rff<br />
( τ)= ∫ Sff<br />
( ω)<br />
e dω<br />
2π<br />
Eilės<br />
Nr.<br />
Autokoreliacinė funkcija<br />
R τ ( )<br />
∞<br />
−∞<br />
Modeliavimo algoritmas<br />
Rekurentinė išraiška:<br />
[ ]= [ ]+ [ − ]<br />
f n a ξ n bf n<br />
0 1 1<br />
1<br />
De −α τ<br />
2<br />
čia a 0 = σ 1−ρ ; b 1 =ρ; ρ<br />
= e −γ ;<br />
γ = αh ; σ= D .<br />
h – diskretizacijos žingsnis nepriklausomo<br />
kintamojo t<br />
125
2<br />
De − ατ<br />
cos( βτ)<br />
4.6 lentelės tęsinys<br />
Rekurentinė išraiška:<br />
[ ]= [ ]+ [ − ]<br />
f n a ξ n bf n<br />
0 1 1<br />
( )<br />
čia a = σc= σ c ± c −4c<br />
/ 2 ;<br />
0 1 1 0 2<br />
a1 =σ c0<br />
/ c ; b 1 2ρcos γ 0 ;<br />
b 2<br />
2<br />
= ( )<br />
( ) ( 0 )<br />
2<br />
=−ρ ; c 0 = ρρ −1 cos γ ;<br />
ρ = e −γ<br />
4<br />
; c 1 = 1−ρ ; γ = αh ;<br />
λ0 = β h ; σ= D .<br />
h – diskretizacijos žingsnis nepriklausomo<br />
3<br />
De − cos( βτ)+<br />
α<br />
β<br />
kintamojo t<br />
Rekurentinė išraiška:<br />
f [ n]= a0ξ[ n]+ bf 1 [ n −1]<br />
čia a0 c c1 c1 c0 2<br />
a1 c0<br />
c 2ρ<br />
γ<br />
2<br />
b 2 =−ρ ;<br />
(<br />
2<br />
c 0 = ρρ ( −1) cos( γ0<br />
)+<br />
sin ( βτ) ⎞ α 2<br />
( 1+<br />
ρ ) ρsin [ γ<br />
⎠ ⎟ 0 ];<br />
β<br />
ατ<br />
( )<br />
= σ = σ ± −4 / 2 ;<br />
=σ / ; b 1 cos 0 ;<br />
4<br />
c 1 1<br />
= ( )<br />
( ) ( );<br />
= − ρ + 4ρ 2 α sin γ0 cos γ0<br />
β<br />
ρ = e −γ ; γ = αh ; λ0 = β h ;<br />
σ= D .<br />
h – diskretizacijos žingsnis nepriklausomo<br />
kintamojo t<br />
126
4<br />
Rekurentinė išraiška:<br />
f [ n]= a0ξ[ n]+ a1ξ<br />
n−<br />
bf 1 [ n−1]+ b2f [ n−2]<br />
a1 c0<br />
c 2ρ<br />
2<br />
(<br />
b 2 =−ρ ;<br />
2<br />
c 0 = ρρ −1 cos γ0<br />
sin ( βτ) ⎞ ⎠ ⎟ 2<br />
ατ<br />
De − cos( βτ)−<br />
α<br />
β<br />
[ 1]+<br />
( )<br />
čia a = σc= σ c ± c −4c<br />
/ 2 ;<br />
0 1 1 0 2<br />
=σ / ; b 1 cos γ 0 ;<br />
α<br />
β<br />
4<br />
c 1 1<br />
= ( )<br />
( ) ( )−<br />
( 1+<br />
ρ ) ρsin ( γ0<br />
);<br />
4.6 lentelės tęsinys<br />
( ) ( );<br />
= − ρ + 4ρ 2 α sin γ0 cos γ0<br />
β<br />
ρ = e −γ ; γ = αh ; λ0 = β h ;<br />
σ= D .<br />
h – diskretizacijos žingsnis nepriklausomo<br />
kintamojo t<br />
Rekurentinė išraiška:<br />
p<br />
f [ n]= ∑ ckξ[ n−k]<br />
,<br />
k=<br />
0<br />
( )<br />
sin ατ<br />
5 D<br />
ατ<br />
σ 2γ<br />
−2γ<br />
k<br />
čia ck<br />
= e<br />
2 2 1<br />
, γ ≤ ;<br />
4<br />
π<br />
2<br />
γ<br />
= αh ; σ= D .<br />
h – diskretizacijos žingsnis nepriklausomo<br />
kintamojo t<br />
127
6<br />
⎧<br />
⎪<br />
D 1−<br />
ατ , kai τ<br />
⎨<br />
⎪<br />
1<br />
0 kai τ ><br />
⎩<br />
α<br />
( ) ≤<br />
1<br />
α<br />
4.6 lentelės pabaiga<br />
Rekurentinė išraiška:<br />
p<br />
f [ n]= c ∑ ξ [ n−k]<br />
,<br />
čia c0<br />
=<br />
N = ⎡ ⎣ ⎢ 1 ⎤ γ ⎦ ⎥ +<br />
1<br />
0<br />
k=<br />
0<br />
σ<br />
N e<br />
−2γ<br />
2 k<br />
2<br />
;<br />
; γ = αh ; σ= D .<br />
h – diskretizacijos žingsnis nepriklausomo<br />
kintamojo<br />
1 pavyzdys. Nagrinėjamas betonis kelias, kurio nelygumų aukštis<br />
aprašomas autokoreliacine finkcija:<br />
−α τ −α τ<br />
( )= 1 2 + 2 2 ( )<br />
1 2<br />
Rz τ σ e σ e cos βτ ,<br />
−3<br />
−3<br />
kai: σ 1 = 10 ⋅10<br />
m ; σ 2 = 38710 . ⋅ m ; α 1 = 20 ; α2= 15 ; β=60 .<br />
Rato padangos kontakto ilgis L k =0,25 m.<br />
Panaudojant duotą betoninio kelio autokoreliacinę funkcuiją,<br />
sugeneruoto pradinio kelio profilio aukštis z(x) ir sulyginto profilio<br />
aukštis, priklausomai nuo važiavimo greičio, parodyti 4.7 pav., o<br />
aukščio kitimo greitis:<br />
dz dz<br />
dt<br />
= dx dz<br />
dx dt<br />
= dx v ,<br />
parodytas 4.8 pav.<br />
128
a)<br />
b)<br />
c)<br />
4.7 pav. Betoninio kelio ir sulyginto kelio nelygumų aukštis:<br />
a – v=60 km/val.; b – 90 km/val.; c – 200 km/val.<br />
129
a)<br />
b)<br />
c)<br />
4.8 pav. Betoninio kelio ir sulyginto kelio nelygumų aukščio kitimo greitis:<br />
a – v=60 km/val.; b – 90 km/val.; c – 200 km/val.<br />
130
Vienas iš galimų kelio nelygumų spektrinis tankis (kelias yra<br />
grindinys) gali būti ( 4.9 pav.):<br />
S<br />
q i<br />
=<br />
4 2 3 5<br />
183, 21 ω v− 545, 2 ω v + 413,<br />
2 v<br />
, (4.35)<br />
6 4 2 2 3<br />
ω + 9, 004 ω v − 38, 15 ω v + 27,<br />
17 v<br />
6<br />
čia v – judėjimo greitis, m/s; ω−kaminis dažnis, rad/s.<br />
arba<br />
4.9 pav. Spektrinis tankis: kelias – grindinys<br />
Kitas kelio paviršiaus nelygumų aukščio generavimo būdas gali būti:<br />
z t<br />
()=<br />
⎡<br />
N ⎛ 15 ,<br />
dfv<br />
⎞ ⎤<br />
⎢ π<br />
∑ 2 ⎜ ⎟ ⎥ ( Azs<br />
sin 2 kdft +<br />
⎢<br />
k ⎜<br />
25<br />
⎝ ( kdf ) ⎟ ⎥<br />
( π ψ<br />
,<br />
sk )+ Bzc cos( 2πkdft<br />
+ ψck<br />
)<br />
= 1<br />
⎣⎢<br />
⎠ ⎦⎥<br />
(4.36a)<br />
⎡<br />
N ⎛ 15 ,<br />
dfv<br />
⎞ ⎤<br />
x<br />
z( x)=<br />
⎢ π<br />
⎜ ⎟ ⎥ ⎛ ⎛ ⎞<br />
∑ 2 ( Azs<br />
sin 2πkdf<br />
⎢<br />
k ⎜<br />
25 ,<br />
( kdf ) ⎟ ⎥<br />
⎜ ⎟<br />
= 1<br />
v<br />
⎣⎢<br />
⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠<br />
+ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞<br />
⎜<br />
⎟ +<br />
⎜ ⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
⎝ ⎠<br />
+ ⎞<br />
ψsk Bzc cos⎜<br />
2 πkd x ψck<br />
⎟ ,<br />
⎝ v ⎠<br />
⎦⎥<br />
(4.36b)<br />
čia A zs , B zs – amplitudės, m; df – dažnio žingsnis, Hz; ψ sk , ψ ck –<br />
pradinės fazės, N – bendras narių skaičius.<br />
Pradinė fazė – tai atsitiktinis dydis, kuris tolygiai pasiskirstęs intervale<br />
ψ∈−π.. π .<br />
[ ]<br />
131
Pats paprasčiausias būdas sugeneruoti kelio paviršiaus profilį gali<br />
būti:<br />
NH 2π z x Azsk<br />
L kx A 2π ( )= ∑ sin( ) + zck cos(<br />
L kx )<br />
(4.37a)<br />
k=<br />
1<br />
arba<br />
NH 2π z t Azsk<br />
L kvt A 2π ()= ∑ sin( ) + zck cos(<br />
L kvt ), (4.38b)<br />
k=<br />
0<br />
čia A zsk , B zsk<br />
– koeficientai prie sinuso ir kosinuso, atitinkamai, m;<br />
v – judėjimo greitis, m/s; L – kelio makroprofilio periodas; – harmonikų<br />
skaičius.<br />
Turėdami kelio profilio funkciją z( x), sulygintą kelio profilio<br />
aukštį su koordinate x i galime apskaičiuoti:<br />
z x<br />
i<br />
1<br />
L<br />
xi+<br />
Lk<br />
/ 2<br />
( )= ( )<br />
∫<br />
k xi−Lk<br />
/ 2<br />
z x dx . (4.39)<br />
4.3. Geležinkelio nelygumai, jų charakteristikos<br />
ir nelygumų generavimo būdai<br />
Bėgiai yra pagrindinis laikantysis viršutinės bėgių kelio konstrukcijos<br />
elementas. Šis viršutinės bėgių kelio konstrukcijos elementas<br />
yra tiesiogiai veikiamas apkrovų, kurias sukelia riedmenų ratai,<br />
todėl bėgiai turi atlaikyti dideles dinamines apkrovas vertikalia, išilgine<br />
ir skersine kryptimi. Siekiant užtikrinti saugų traukinių eismą, bėgiai<br />
turi būti reikiamo stiprumo ir atsparūs dilimui. Bėgiai negali būti<br />
eksploatuojami, jei juose atsiranda defektų, keliančių pavojų saugiam<br />
traukinių eismui [11].<br />
Bėgių defektai klasifikuojami pagal jų rūšį, vietą, pagal bėgio<br />
aukštį ir ilgį, pagrindinę defekto atsiradimo priežastį, o esant defektui<br />
suvirinimo siūlėje – pagal suvirinimo būdą.<br />
Bėgių nuodyla – tai bėgių galvutės nudilimas, atsirandantis dėl<br />
riedmenų ratų ir bėgio galvutės sąveikos [12] (4.10 pav.).<br />
132
Vagonui stabdant arba pagreitėjant, kai aširatis praslysta bėgių<br />
paviršiumi, aširatyje ir bėgio paviršiuje atsiranda iščiuožų (4.11 pav.).<br />
4.10 pav. Bėgių defektai<br />
Nagrinėjant vagono judėjimo dinamiką labai svarbu vertinti bėgių<br />
nelygumus išilgine, skersine kryptimis, lokalinius nelygumus (bėgių<br />
suvirinta vieta, bėgių sandūra ir kt.) ir aširačių paviršiaus nelygumus.<br />
Dažniausiai pasitaikantys bėgių nelygumai ir jų matematinės išraiškos<br />
parodytos 4.7 ir 4.8 lentelėse.<br />
4.11 pav. Aširačio defektas (iščiuoža)<br />
133
4.7 lentelė. Bėgių nelygumai ir jų matematinės išraiškos<br />
1<br />
Tipas Lygtis Forma<br />
Jokių pažeidimų<br />
Nulis<br />
__________________<br />
2<br />
Plokštuma<br />
ant rato<br />
d ⎛ ⎛ x⎞⎞<br />
f ( x)= ⎜ − ⎜ ⎟⎟<br />
2 ⎝<br />
1 2π<br />
cos<br />
⎝ L ⎠⎠<br />
3<br />
4<br />
Sinusinis<br />
d ⎛ 2πx⎞<br />
gofruotumas f ( x)=<br />
sin ⎜ ⎟<br />
2 ⎝ L ⎠<br />
Įlinkęs<br />
⎛ ⎛ 2πx<br />
⎞⎞<br />
sujungimas f ( x)= d ⎜1±<br />
cos⎜<br />
⎟⎟<br />
⎝ ⎝ L ⎠⎠<br />
5<br />
6<br />
7<br />
8<br />
Įdubęs<br />
suvirinimas<br />
Iškilęs suvirinimas<br />
Atsitiktinio<br />
profilio rato<br />
paviršiaus<br />
kontūras<br />
Atsitiktinio<br />
profilio bėgio<br />
paviršius<br />
d ⎛ ⎛ x⎞⎞<br />
f ( x)= ⎜ − ⎜ ⎟⎟<br />
2 ⎝<br />
1 2π<br />
cos<br />
⎝ L ⎠⎠<br />
d ⎛ ⎛ x⎞⎞<br />
f ( x)= ⎜ − ⎜ ⎟⎟<br />
2 ⎝<br />
1 2π<br />
cos<br />
⎝ L ⎠⎠<br />
Turi būti nustatytos rato paviršiaus<br />
x ir y koordinatės<br />
Turi būti nustatytos rato paviršiaus<br />
x ir y koordinatės<br />
Čia f (x) – pažeidimo formos funkcija; x – esamo taško bėgio koordinatė;<br />
d – pažeidimo gylis; L – visas pažeidimo ilgis.<br />
134
4.8 lentelė. Lygtys, naudojamos nudėvėtų ratų plokštumų, bėgių įlinkimui ir<br />
suvirinimo profiliams aprašyti<br />
Modelio<br />
pavadinimas<br />
DARTS<br />
DIFF<br />
Nudėvėtų ratų plokštumas<br />
d ⎛ ⎛ x⎞⎞<br />
z( x)= ⎜ − ⎜ ⎟⎟<br />
2 ⎝<br />
1 2π<br />
cos<br />
⎝ a ⎠⎠<br />
0 < x<<br />
a<br />
d ⎛ ⎛ x⎞⎞<br />
z( x)= ⎜ + ⎜ ⎟⎟<br />
2 ⎝<br />
1 2π<br />
cos<br />
⎝ a ⎠⎠<br />
− a/ 2< x<<br />
a / 2<br />
⎛ ⎛ πx<br />
⎞⎞<br />
z( x)= d ⎜1−cos ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ L ⎠⎠<br />
0< x<<br />
L/<br />
2<br />
⎛ ⎛ πx<br />
⎞⎞<br />
z( x)= d ⎜1+<br />
cos ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ L ⎠⎠<br />
L/<br />
2< x<<br />
L<br />
z x<br />
2 d<br />
L x d L / 2 x 0<br />
2 d<br />
L x d 0 x L / 2<br />
( )= ( )+ − < <<br />
( )=− ( )+ < <<br />
z x<br />
Bėgių įlinkimas ar suvirinti profiliai<br />
NU-<br />
CARS*<br />
SUBTTI<br />
z( x)= d −<br />
z x<br />
x x<br />
⎡<br />
a a<br />
d⎢e + e −2e<br />
⎣<br />
⎢<br />
− −<br />
x<br />
−a3<br />
1 2<br />
a2<br />
−a1<br />
1+ e −2e<br />
a3<br />
−a1<br />
d = 038 , mma ; = 50mm;<br />
a = 5mm<br />
2 1<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎥<br />
d ⎛ x ⎞⎞<br />
x<br />
⎜ ⎜ ⎟⎟ a r ⎝ ⎝ r ⎠⎠<br />
− ⎛ ⎞<br />
cos cos⎜<br />
⎟<br />
1 cos / 2 ⎝ 2r<br />
⎠<br />
( )= − ( )<br />
⎛<br />
− a/ 2< x<<br />
a / 2<br />
r – rato spindulys<br />
Ä L 2 L Ä L 2<br />
⎡ [ − ] 2 −[ − ]<br />
2 2<br />
⎢ −L1<br />
−L1<br />
d⎢e + e −2e<br />
⎢<br />
z( x)= d −<br />
⎣<br />
L2<br />
L2<br />
−L1<br />
− L1<br />
1+<br />
e − 2e<br />
2<br />
L = 1000 mmL ; = 216,<br />
22mm<br />
2 1<br />
z( x)= 00 .<br />
L x < x<br />
m<br />
− 2<br />
L2<br />
−2L1<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
2d<br />
⎛<br />
z x<br />
L x x L ⎞ L<br />
( )= ⎜ m<br />
− − ⎟ xm<br />
− < x < x<br />
m<br />
⎝ 2 ⎠ 2 <br />
2d<br />
⎛<br />
z x<br />
L x x L ⎞<br />
L<br />
( )= ⎜ −<br />
m<br />
− ⎟ xm<br />
< x< xm<br />
+<br />
⎝ 2 ⎠<br />
2<br />
z( x)= 00 .<br />
L x < x<br />
m<br />
+ 2<br />
TRACK<br />
VICT<br />
d ⎛ ⎛ x⎞⎞<br />
( x)= ⎜ − ⎜ ⎟⎟<br />
2 ⎝<br />
1 2π<br />
cos<br />
⎝ a ⎠⎠<br />
0 < x<<br />
a<br />
d ⎛ ⎛ x⎞⎞<br />
( x)= ⎜ − ⎜ ⎟⎟<br />
2 ⎝<br />
1 2π<br />
cos<br />
⎝ a ⎠⎠<br />
0 < x<<br />
a<br />
135<br />
α L⎛<br />
⎛ πx⎞⎞<br />
z( x)= ⎜1−cos ⎜ ⎟⎟ 2π<br />
⎝ ⎝ L ⎠⎠<br />
0< x<<br />
L/<br />
2<br />
α L⎛<br />
⎛ πx⎞⎞<br />
z( x)= ⎜1−cos ⎜ ⎟⎟ 2π<br />
⎝ ⎝ L ⎠⎠<br />
L/<br />
2< x<<br />
L<br />
α – bėgio įlinkio kampas<br />
d ⎛ ⎛ x⎞⎞<br />
z( x)= ⎜ − ⎜ ⎟⎟<br />
2 ⎝<br />
1 2π<br />
cos<br />
⎝ L ⎠⎠<br />
0 < x<<br />
L<br />
NUCARS nudėvėtų ratų plokštumas yra imamas kaip rato spindulio<br />
variacija. Visi kiti modeliai rato nudėvėjimą aprašo kaip funkciją<br />
nuo kelio nelygumo.
Formulių, pateiktų 4.8 lentelėje, žymėjimai: d – rato nudėvėtos<br />
vietos gylis, sujungimo ar virintos vietos įlinkio gylis; a – nudėvėtos<br />
rato plokštumos ilgis; L – įlinkusio bėgio sudūrimo ar suvirintos įlinkusios<br />
bėgio vietos ilgis.<br />
Kitas būdas tiksliau matematiškai aprašyti aširačių defektus (pažaidas)<br />
yra realųjį aširačių profilį skleisti Furjė eilute. Aširačio spindulys<br />
užrašomas kaip centrinio kampo α funkcija:<br />
R R ( α( ) α= ) = R R – ∆ R ∆R ( α( ) α, )<br />
(4.1.20)<br />
R R R0 R0 R R<br />
čia R R0 – pradinis aširačio spindulys; ∆R R ( α ) – aširačio spindulio<br />
pokytis.<br />
Generuojant aširačio iščiuožas galima nurodyti centrinius kampus<br />
α i ir α i+1 , tarp kurių yra iščiuoža (4.12 pav).<br />
4.12 pav. Aširačio profilis su keliomis iščiuožomis<br />
Aširačio spindulio funkciją R R ( α ) skleidžiame Furjė eilute:<br />
R α A ∑ A sin kα ∑ B cos kα<br />
, (4.40)<br />
R<br />
NH<br />
∞<br />
k<br />
k= 1 k=<br />
1<br />
( )= + ( )+ ( )<br />
0<br />
k<br />
136
čia A0<br />
= 1<br />
2π<br />
∫ f ( α ) dα; Ak f k d<br />
2π<br />
= 1<br />
∫ ( α ) sin( α) α ;<br />
π<br />
0<br />
2π<br />
2π<br />
Bk = 1<br />
∫ f ( α ) cos( kα) dα<br />
; NH – harmonikų skaičius.<br />
π<br />
0<br />
0<br />
4.4. Virpesių poveikis žmogaus organizmui<br />
Virpesių poveikis žmogui visų pirma susijęs su svyravimais, kurie<br />
atsiranda veikiant kintamai jėgai. Tokių svyravimų priežastys gali<br />
būti susijusios ne tik su jėginiu, bet ir kinematiniu žadinimu.<br />
Pagrindiniai virpesių parametrai: svyravimų amplitudė Amm , ,<br />
svyravimų dažnis f, Hz , svyravimų greitis vms , ir svyravimo pagreitis<br />
ams ,<br />
2 .<br />
Pagal svyravimų dažnį virpesiai skirstomi:<br />
– ypač žemo dažnio – iki 11 Hz<br />
– žemo dažnio – nuo 30–250 Hz<br />
– aukšto dažnio – daugiau nei 250 Hz.<br />
Virpesių spektro pobūdis analogiškas triukšmo spektrams.<br />
Įvertinus tai, kad absoliučios parametrų reikšmės kinta labai plačiu<br />
intervalu, vibroakustinių tyrimų praktikoje analogiškai triukšmui naudojamos<br />
parametrų lygio sąvokos.<br />
Pagreičio lygis – tai charakteristika, lyginanti pagreičio vidutinę<br />
kvadratinę reikšmę su pagreičio etalonine reikšme:<br />
avkr<br />
La<br />
= 20lg , (4.41)<br />
a0<br />
čia L a – pagreičio lygis, dB; a vkr – pagreičio vidutinė kvadratinė<br />
reikšmė, m/s 2 −6 2<br />
m/s2; a 0 – pagreičio etaloninė reikšmė, lygi 10 m/s .<br />
Greičio lygis – tai charakteristika, lyginanti greičio vidutinę kvadratinę<br />
reikšmę su greičio etalonine reikšme:<br />
vvkr<br />
Lv<br />
= 20lg , (4.42)<br />
v0<br />
čia L v – greičio lygis, dB; v vkr – greičio vidutinė kvadratinė reikšmė,<br />
−8<br />
m/s; v 0 – greičio etaloninė reikšmė, lygi m/s. v = 510 ⋅ m s .<br />
137<br />
0
Fizikinio dydžio f ()vidutinė t kvadratinė reikšmė laiko intervale<br />
t∈[ t , t ] yra lygi:<br />
1 2<br />
f<br />
vkr<br />
=<br />
t<br />
1<br />
− t<br />
t2<br />
2 1 t1<br />
()<br />
∫ ⎡⎣ f t ⎤ ⎦<br />
2<br />
dt . (4.43)<br />
Pagal atsiradimo šaltinį darbo vietose virpesiai skirstomi į tris kategorijas:<br />
– I – <strong>transporto</strong>;<br />
– II – <strong>transporto</strong>-technologinė („a“ tipo, kai žmogus yra veikiamas<br />
vibracijos darbo vietoje prie stacionarių mašinų, „b“ tipo, kai<br />
vibracija veikia žmogų protinio darbo vietose);<br />
– III – technologinė.<br />
Vibracija dar skiriama į:<br />
– viso kūno – kai ji perduodama per stovinčio ar gulinčio žmogaus<br />
atramos paviršius į jo kūną ir veikia organizmą;<br />
– rankas veikianti vibracija – kai vibracija vibruojančių įrenginių<br />
/ priemonių perduodama į rankas.<br />
Pagal veikimo kryptį viso kūno vibracija skirstoma ortogonalinės<br />
koordinačių sistemos ašių kryptimis (4.13 pav.) :<br />
– vertikaliąją nuo kojų galvos link (Z ašis);<br />
– horizontaliąją, einančią nuo nugaros į krūtinę (X ašis);<br />
– horizontaliąją, einančią nuo kūno dešinės pusės į kairę (Y ašis).<br />
138
4.13 pav. Žmogaus kūno vibracijų kryptys<br />
Dažniausiai leidžiami pagreičio ir greičio lygiai Z ašies kryptimi<br />
didesni negu X–Y ašių kryptimis; I – kategorijos virpesiams didesni<br />
negu II kategorijos virpesiams.<br />
Virpesių poveikis priklauso nuo svyravimo proceso galios kontakto<br />
vietoje, poveikio laiko, kontakto vietos, poveikio krypties, kūno<br />
audinių slopinimo savybių, rezonanso veiksnių ir daugelio kitų savybių.<br />
Ypač kenksmingi žmogui virpesiai, kurių dažnis artimas skirtingų<br />
kūno dalių savajam dažniui (4.14 pav.). Daugumos vidaus organų<br />
savasis dažnis – 3–9 Hz (širdies dažnis artimas 5–6 Hz), pečių juostos<br />
– 16–20 Hz. Ypač didelę reikšmę rezonansas turi regos organams.<br />
Regėjimo sutrikimai kyla veikiant 60–90 Hz virpesiams, kurie atitinka<br />
akių obuolių savąjį dažnį.<br />
139
4.14 pav. Žmogaus kūno dalių savieji dažniai<br />
Tarp profesinių susirgimų vibracijų patologija yra antroje vietoje<br />
(po dulkių).<br />
Veikiant vibracijai pirmiausia nukenčia nervų sistema ir analizatoriai:<br />
vestibuliarinis, regos, jutiminis. Ilgalaikis virpesių poveikis<br />
skatina vibroligos vystimąsi, kuri pasireiškia biologinių audinių pažeidimais:<br />
rankų drebėjimas; raumenų atrofija (baltų pirštų sindromas); kraujagyslių<br />
elastingumo sumažėjimas; 4) nervų jautrumo sumažėjimas;<br />
kaulų audinių išsigimimas.<br />
Ligos vystimąsi skatina padidėjusi raumenų įtampa, žema temperatūra<br />
ir psichoemocinis stresas. Vibroliga priklauso prie profesinių<br />
susirgimų, kurių efektyvus gydymas galimas tik ankstyvoje stadijoje.<br />
Žmogaus kūną galima nagrinėti kaip dinaminę sistemą arba tam tikros<br />
sistemos dalį, pvz., sistemos „Žmogus – <strong>transporto</strong> priemonė“. Tokiai<br />
sistemai virpant vyksta energijos pasidalijimas tarp žmogaus ir <strong>transporto</strong><br />
priemonės.<br />
140
Sprendžiant gyvo organizmo dinamikos problemas visų pirma<br />
reikia parinkti dinaminį modelį. Paprastai tokiems tikslams sudaroma<br />
mechaninė sistema, susidedanti iš tam tikro skaičiaus koncentruotų<br />
masių, sujungtų tarpusavyje tampriais ir slopinimo ryšiais (4.15 pav.).<br />
Turi būti daroma prielaida, kad dinaminio modelio parametrai nekinta<br />
tyrimo metu. Kiekvienas tokios sistemos elementas paprastai turi tik<br />
vieną savybę, pavyzdžiui, kūnas turi masę, tačiau jis nedeformuojamas,<br />
idealiai tamprus; ryšiai – sukuria pasipriešinimą, proporcingą<br />
sistemos judesio greičiams, ir t. t. Tokie labai supaprastinti modeliai<br />
gali būti naudojami žemų virpesių dažnių tyrimams.<br />
4.15 pav. Žmogaus, kaip biomechaninės sistemos, dinaminis<br />
modelis, turintis 15 laisvės laipsnių<br />
Visą kūną veikiančius virpesius (vibracijos poveikį) reglamentuoja<br />
HN 51:1994, rankas veikiančią vibraciją – HN 59:1996.<br />
LST EN ISO 5349-1:2004 Mechaniniai virpesiai. Per rankas perduodamos<br />
vibracijos matavimas ir poveikio žmogui įvertinimas.<br />
1 dalis. Bendrieji reikalavimai<br />
LST EN ISO 5349-2:2004 Mechaniniai virpesiai. Per rankas perduodamos<br />
vibracijos matavimas ir poveikio žmogui įvertinimas.<br />
141
2 dalis. Praktiniai matavimo darbo vietoje nurodymai (ISO 5349-<br />
2:2001).<br />
Higienos požiūriu virpesiai charakterizuojami:<br />
– komfortas, kai virpesiai nesukelia neigiamo erzinančio poveikio;<br />
– darbingumo išlaikymas, kai virpesiai nesukelia neigiamo poveikio<br />
arba darbigumo galimybių praradimo;<br />
– virpesių sauga, kai virpesiai nesukelia organizmui kenksmingo<br />
poveikio;<br />
– sužalojimas virpesiais, kai virpesių poveikis nepakenčiamas<br />
arba atsiranda traumų pavojus.<br />
Mašinų ar sudėtingų įrenginių higieninis virpesių normavimas<br />
apribojamas jų arba jų elementų virpesių lygiu. Galiojantys virpesių<br />
intensyvumo lygio normatyvų reikalavimai sudaryti įvertinant žmogaus<br />
subjektyvaus virpesių poveikio pojūčius, taip pat fiziologines,<br />
biochemines, funkcines ir biomechanines organizmo reakcijas.<br />
Virpesių poveikis žmogaus organizmui nusakomas keturiomis<br />
pagrindinėmis charakteristikomis:<br />
– intensyvumu;<br />
– spektrine sudėtimi;<br />
– poveikio trukme;<br />
– poveikio kryptimi.<br />
Intensyvumo rodikliai:<br />
– vidutinės aritmetinės arba amplitudinės pagreičių reikšmės;<br />
– virpesių greitis arba virpesių amplitudės.<br />
Intensyvumą galima vertinti dviem būdais: tikraisiais absoliučiais<br />
dydžiais arba virpesių dydžio logaritminiais vienetais – decibelais.<br />
L<br />
p =<br />
⎛ p ⎞<br />
20lg ⎜ ⎟<br />
, (4.44)<br />
⎝ p0<br />
⎠<br />
čia p – virpesių matuojamo parametro reikšmė; p 0 – pradinė matuojamo<br />
parametro reikšmė.<br />
142
Normuojant virpesių lygį jo spektrinė sudėtis vertinama oktavomis<br />
arba 1/3 oktavos pločio juostomis.<br />
4.9 lentelė. Vidutiniai geometriniai dažniai ir juos atitinkančių juostų ribinės<br />
reikšmės<br />
Vidutiniai geometriniai Dažnių juostų ribinės reikšmės, Hz<br />
dažniai, Hz<br />
1/3 oktavos Oktava<br />
0,8 0,7–0,89 0,7–1,4<br />
1,0 0,89–1,12 0,7–1,4<br />
1,25 1,12–1,40 0,7–1,4<br />
1,6 1,40–1,78 1,4–2,8<br />
2,0 1,78-2,24 1,4–2,8<br />
2,5 2,24–2,8 1,4–2,8<br />
3,15 2,8-3,5 2,8–5,6<br />
4,0 3,5–4,4 2,8–5,6<br />
5,0 4,4–5,6 2,8–5,6<br />
6,3 5,6–7,1 5,6–11,2<br />
8,0 7,1–8,9 5,6–11,2<br />
10,0 8,9–11,2 5,6–11,2<br />
12,5 11,2–14,1 11–22<br />
16,0 14,1–17,8 11–22<br />
20,0 17,8–22,4 11–22<br />
25,0 22,4–28,2 22–44<br />
31,5 28,2–35,5 22–44<br />
40,0 35,5–44,7 22–44<br />
50,0 44,7–56,2 44–88<br />
63,0 56,2–70,8 44–88<br />
80,0 70,8–89,1 44–88<br />
100,0 89,1–112,2 88–177<br />
125,0 112,2–141,8 88–177<br />
160,0 141,8–177,8 88–177<br />
Vipresių poveikiui nustatyti dar galima naudoti energetinį dažninį<br />
įvertinimą. Šis vertinimas pagrįstas mechaninės virpesių energijos<br />
įvertinimu:<br />
143
nv<br />
∑ 2<br />
i=<br />
0<br />
A T v ω Z ω , (4.45)<br />
= ( ) ( )<br />
čia T – virpesių poveikio trukmė, v<br />
harmonikos amplitudės, Z ωi<br />
modulio reikšmė.<br />
i<br />
i<br />
( ωi<br />
) – virpesių greičio i-tosios<br />
( ) – įėjimo mechaninio impedanso<br />
Pagal žmogaus kūno sugertą vidutinį galingumą:<br />
nv<br />
2<br />
= ( ) ( )<br />
N T∑ k ω a ω<br />
i=<br />
0<br />
i<br />
i<br />
i<br />
,<br />
( ) – virpesių pagreičio i-tosios harmonikos amplitudės;<br />
čia a ωi<br />
k i ( ω i ) – koeficientas, įvertinanatis žmogaus savybių dažnines charakteristikas.<br />
Leistini virpesių lygiai normatyvinėje medžiagoje nustatyti vertinant,<br />
kad jų poveikio trukmė – 8 valandos, t. y. visa darbo diena.<br />
Negalima projektuoti ir eksploatuoti įrenginių, kurių virpesių lygis<br />
viršija leistinas normas. Vis dėlto, kai būtina eksploatuoti įrenginius,<br />
kurių virpesių lygis viršija leistinas normas, tuomet reikia trumpinti jų<br />
poveikio trukmę.<br />
4.10 lentelė. Darbo laiko reikalavimai viršijant virpesių lygio normas<br />
Normos viršijimas darbo<br />
vietoje, ne daugiau kaip<br />
dB<br />
kartais<br />
Leidžiama virpesių poveikio trukmė<br />
minutėmis, ne daugiau kaip<br />
dirbant su stacionariais<br />
įrenginiais<br />
laivuose,<br />
katilų skyriuose<br />
0 1 480 1400<br />
3 1,4 120 –<br />
6 2 60 120<br />
9 2,8 30 60<br />
12 4 15 –<br />
Tarptautinės normatyvų leistinos normos reglamentuojamos ISO<br />
standartais.<br />
144
Virpesių poveikis priklauso nuo virpesių spektro sudėties, jų<br />
krypties, poveikio vietos, poveikio trukmės ir nuo žmogaus individualių<br />
savybių (4.16 pav.).<br />
4.16 pav. Virpesių žalingas poveikis žmogaus organizmui<br />
Automobiliu važiavimo komfortas vertinamas pagreičio vidutine<br />
kvadratine reikšme:<br />
a<br />
vkr<br />
=<br />
t<br />
1<br />
− t<br />
t2<br />
∫ a<br />
2 1 t1<br />
2<br />
()<br />
t dt, (4.46)<br />
at ()– svertinis pagreitis (slenkamasis judesys, m/<br />
s<br />
2 ar sukamasis<br />
2<br />
judesys, rad / s ) .<br />
Pagal gautą pagreičio vidutinę kvadratinę reikšmę a vkr ir virpesių<br />
trukmę T = t2 −t1, panaudojant standartą ISO 2631 (1997), nustatoma<br />
leidžiama virpesių trukmė.<br />
145
Matavimo trukmė turi būti tokia, kad būtų užtikrintas priimtas<br />
statistinis tikslumas ir virpesių metu pasireikštų tipiškas poveikis, kuris<br />
turi būti įvertintas. Matavimo trukmė turi būti registruojama.<br />
Kai pagreičio virpesiai vyksta pagal harmoninį dėsnį:<br />
at ()= Asin ( ω t)<br />
, ω= 2πf , (4.47)<br />
čia A – amplitudė, ms 2 ; f – dažnis, Hz.<br />
Tada pagreičio vidutinė kvadratinė reikšmė lygi:<br />
a<br />
vkr<br />
=<br />
t<br />
1<br />
− t<br />
t2<br />
∫ a<br />
2 1 t1<br />
2<br />
() t dt =<br />
A<br />
2<br />
. (4.48)<br />
Vertikalių virpesių poveikis žmogaus organizmui nustatomas parametru<br />
K:<br />
K =10 avkr<br />
f , kai<br />
1< f ≤4<br />
K<br />
= 20 a vkr , kai<br />
4< f ≤8<br />
K =160 avkr<br />
f , kai<br />
8< f ≤ 80, (4.49)<br />
o horizontalių virpesių poveikis žmogaus organizmui nustatomas:<br />
K<br />
= 28 a vkr<br />
, kai<br />
1< f ≤2<br />
K = 56 avkr<br />
f , kai<br />
2< f ≤ 80. (4.50)<br />
Funkcijos (4.49) ir (4.50) gali būti naudojamos nustatant virpesių<br />
poveikį panaudojant eksperimentų išmatuotus pagreičius (4.17 pav.).<br />
146
4.17 pav. Virpesių poveikio įvertinimas: a – vertikalus poveikis;<br />
b – horizontalus poveikis<br />
Iš 4 pav. matoma, kad didžiausias vertikalių virpesių poveikis<br />
žmogaus organizmui yra dažnių intervale f = 4−8Hz. Į šį dažnių intervalą<br />
patenka kai kurių žmogaus organų savieji dažniai, pavyzdžiui,<br />
širdies savasis dažnis yra 5–6 Hz.<br />
Kelių <strong>transporto</strong> priemonių parametras K turi tenkinti tokią sąlygą<br />
(4.18 pav.): 2< K < 10 (4.51).<br />
4.18 pav. Virpesių poveikio įvertinimas įvertinant poveikio trukmę<br />
147
Panaudojant 4.18 pav., virpesių poveikį galima įvertinti taip:<br />
– sritis C1-C2 – tinkama;<br />
– sritis D1-D2 – netinkama;<br />
– sritis E1-E4 – labai netrinkama.<br />
Vertikaliųjų virpesių poveikio žmogaus organizmui izolinijos pateiktos<br />
4.19 pav.<br />
4.19 pav. Vertikaliųjų virpesių jutimo izolinijos: a – pagreitis;<br />
f – dažnis, Hz; 1 – virpesiai nejuntami; 2 – virpesiai juntami; 3 – virpesiai<br />
juntami aiškiai; ė – nemalonus poveikis; 5 – nepakeliamas poveikis<br />
ISO 2631 standarto pateiktos vertikaliųjų virpesių jutimo izolinijos<br />
pateiktos 4.20 pav.<br />
4.20 pav. Vertikaliųjų virpesių įtaka pagal ISO 2631 standartą:<br />
a –pagreitis; f – dažnis, Hz<br />
148
Tais atvejais, kai pagrindiniame vertinimo metode gali būti nepakankamai<br />
įvertintas vibracijos poveikis (atsitiktiniai smūgiai, laikini<br />
virpesiai) m, nustatoma slenkamoji vidutinė kvadratinė vertė arba virpesių<br />
dozės vertės ketvirtasis laispnis.<br />
Taikant slenkamosios vidutinės kvadratinės vertės įvertinimo<br />
metodą, taikomas trumpas integravimo laikas. Virpesių dydis apibrėžiamas<br />
kaip didžiausia pereinamųjų virpesių vertė (DPVV), kuri yra<br />
didžiausia a t<br />
( ) vertė, kuri yra lygi:<br />
w 0<br />
⎛ t<br />
1<br />
aw<br />
t 0 2<br />
⎞<br />
( 0 )= a () t dt<br />
⎜ ∫<br />
⎝ τ ⎟<br />
t0−τ<br />
⎠<br />
12<br />
arba<br />
⎛ t t t<br />
1<br />
aw<br />
t 0 − 0 ⎞<br />
2<br />
( 0 )= ⎜ a () t e τ<br />
∫ dt ⎟<br />
⎜ τ<br />
⎟<br />
⎝<br />
−∞<br />
⎠<br />
12<br />
149<br />
(4.52a)<br />
, (4.52 b)<br />
čia at () – momentinis svertinis pagreitis; τ – slenkamojo vidurkio<br />
integravimo laikas; t 0 – stebėjimo laikas; t – laikas.<br />
Didžiausia pereinamųjų virpesių vertė (DPVV) išreiškiama taip:<br />
( w )<br />
DPVV max a t0 . (4.53)<br />
Tai reiškia didžiausią aw ( t0<br />
) dydį, išmatuotą matavimo laiku<br />
T = t2 −t1.<br />
= ( )<br />
Matuojant DPVV rekomenduojama takyti τ=1 s.<br />
Virpesių dozės ketvirtuoju laipsniu metodas yra geresnis įvertinant<br />
smailes nei nustatant pagrindiniu įvertinimo metodu, nes vidurkinimo<br />
pagrindu vietoj pagreičio laiko funkcijos antrojo laipsnio taikomas<br />
ketvirtas laipsnis. Kai TP juda nelygiu keliu (duobėtas kelias,<br />
grindinys), virpesių poveikį žmogui įvertinti labiau tinka naudoti virpesių<br />
dozės vertę VDV, kuri yra lygi:<br />
⎛<br />
VDV =<br />
⎜<br />
⎝<br />
t<br />
1<br />
− t<br />
t2<br />
∫ a<br />
2 1 t1<br />
4<br />
⎞<br />
t dt<br />
⎟<br />
⎠<br />
()<br />
14<br />
čia at ()– momentinis svertinis pagreitis.<br />
, (4.54)
VDV parametras įvertina ne tik vidutinę signalo reikšmę, bet ir<br />
poveikio trukmę, jautrus pagreičio staigiems kitimams, tinkamesnis,<br />
kai matuojamas signalas yra statistiškai nestacionarus. VDV parametro<br />
mato vienetas yra ms (–1,75) .<br />
Kai virpesių poveikis susideda iš dviejų ar daugiau skirtingos<br />
apimties laiko trukmių i, virpesių dozės vertė, apibūdinanti bendrą<br />
poveikį, turi būti apskaičiuota taip:<br />
VDV<br />
bendra<br />
= ⎛ VDV<br />
⎝ ⎜ ⎞ 4<br />
⎟ . (4.55)<br />
i ⎠<br />
∑ 1 4 1<br />
Pagal Didžiosios Britanijos standartą BS 6841, kai VDV parametras<br />
pasiekia reikšmę 15 ms –1,75 , važiavimo komfortas yra labai blogas.<br />
TP važiavimo laikas, kai parametras VDV pasiekia reikšmę<br />
15 ms –1,75 , yra lygus:<br />
T<br />
15<br />
4<br />
15<br />
= ⎛ t<br />
⎝ ⎜ ⎞<br />
⎟ , (4.56)<br />
VDVt<br />
⎠<br />
čia T 15 – laikas, s; t – laikas, s.<br />
Laikas T 15 gali būti važiavimo diskomforto kriterijumi.<br />
Kai galima išmatuoti pagreičius X, Y ir Z ašių kryptimis, VDV<br />
parametras nustatomas taip:<br />
( )<br />
4 4 4 14 VDV = VDV + VDV + VDV . (4.57)<br />
bendras x y z<br />
Laiko T 15 reikšmės priklausomai nuo kelio tipo ir važiavimo<br />
greičio parodytos 4.11 lentelėje.<br />
4.11 lentelė. Laiko T 15 reikšmės priklausomai nuo kelio tipo ir važiavimo<br />
greičio<br />
Kelio tipas<br />
Greitis, km/val<br />
20 40 60 80<br />
Grindinys 1940 min. 770 min. 660 min. 375 min.<br />
Priemiesčio kelias 2160 min. 730 min. 540 min. 315 min.<br />
Duobėtas kelias 225 min. – – –<br />
150
Egzistuoja ryšis tarp kelio nelygumus charakterizuojančio parametro<br />
IRI indekso ir TP bazinio vertikalaus pagreičio a b (Ahlin, K.<br />
and Granlund)<br />
2<br />
a b ⎛ v ⎞<br />
= 016 ,<br />
IRI<br />
⎜ ⎟ , (4.58)<br />
⎝ 80 ⎠<br />
čia v – TP važaivimo greitis, km/val.<br />
Kai kurių kelių baziniai pagreičiai parodyti 4.12 lentelėje.<br />
4.12 lentelė. Bazinių pagreičių reikšmės<br />
Kelių<br />
tipas<br />
Bazinis pagreitis, ms 2<br />
20 km/val. 40 km/val. 60 km/val. 80 km/val.<br />
151<br />
IRI<br />
Indeksas,<br />
mm/m<br />
Automagistralė<br />
0,14 0,24 0,30 0,35 2,08<br />
Grindinys 0,5 0,65 0,71 0,80 5,46<br />
Priemiesčio<br />
kelias<br />
0,51 1,0 1,08 1,3 8,65<br />
Duobėtas<br />
kelias<br />
0,78 – – – 9,75<br />
Kitas parametras, kuris gali būti naudojamas įvertinti virpesių poveikį<br />
žmogui, yra ekscesas K a :<br />
4<br />
1 N<br />
Ka = ∑ ( ai −avid<br />
) , (4.59)<br />
4<br />
Nσ<br />
i=<br />
1<br />
čia a vid – vidutinė pagreičių reikšmė; σ – vidutinis kvadratinis pagreitis;<br />
N – matavimo taškų skaičius. Kai ekscesas lygus 3, pagreitis<br />
pasiskirsto pagal normalinį skirstinį.<br />
Vertinant keleivių vežimo komfortabilumą geležinkeliu naudojamas<br />
Šperlingo kriterijus:<br />
a<br />
Sp = c ( f )<br />
3<br />
089 , 10 , (4.60)<br />
f<br />
čia c(f) – dažnio ir virpesių krypties koeficientas; a – pagreičio amplitudė,<br />
cm / s<br />
2 ; f – dažnis, Hz.
4.13 lentelėje pateiktos Šperligo kriterijaus S p reikšmes.<br />
4.13 lentelė. Šperligo kriterijaus S p reikšmės<br />
Eilės<br />
Nr.<br />
Būsenos pobūdis<br />
S p reikšmė<br />
1 Labai gera 2,0<br />
2 Gera 2,0–2,5<br />
3 Pakankama keleiviniams vagonams 2,5–3,0<br />
4 Ribinė keleiviniams vagonams 3,0–3,25<br />
5 Ribinė lokomotyvams 3,5–3,75<br />
6 Ribinė atsižvelgiant į žmogaus fiziologiją 4,5<br />
Literatūra<br />
ASTM Standard Practice for Computing International Roughness Index of Roads<br />
from Longitudinal Profile Measurements, ASTM Standards 04.03, Road and<br />
Paving Materials; Vehicle-Pavement Systems, E1926-98 (2003), 2008.12.<br />
Железнодорожный транспорт: Энциклопедия / Гл. ред. Конарев Н. С.<br />
Москва: Большая Российская энциклопедия, 1994. 559 c.<br />
Bėgių defektų ir pažeidimų klasifikatorius. 2004. Vilnius: SPAB „Lietuvos<br />
geležinkeliai“. 135 p.<br />
Blakely, K. 1993. MSC/NASTRAN Basic Dynamic Anglysis. Vers. 68, The<br />
MacNeal-Schwendler Corp.<br />
Bommer, A. L. G. 2005. Non-linear Car-Model for Smooth-Road Behavior.<br />
Master’s Thesis.<br />
BS 6841 Measurement and Evaluation of Human Exposure to Whole-body<br />
Mechanical Vibration and Repeated Shock. British Standards Institution,<br />
1987.<br />
Causemann, P. 1999. Automotive Shock Absorbers. ZF Sachs technical paper,<br />
Verlag Moderne Industrie.<br />
Cucuz, S. 1993. Schwingempfindung von Pkw-Insazzen. Dissertation<br />
University Braunschweig.<br />
Dossing, O. 1988. Structural Testing. Part 1 and 2: Mechanical Mobility<br />
Measurements, Bruel and Kjear.<br />
Fahy, F.; Walker, J. G. 1998. Fundamentals of Noise and Vibration.<br />
Routledge, New York.<br />
152
Franklin, G. F.; Powell, J. D.; Emami-Naeini, A. 1994. Feedback Control of<br />
Dynamic Systems. Addison-Wesley Publishing Company.<br />
French, P. J. 1997. Intelligent Dumper and Hauler Suspension System<br />
(IDHSS). ACARP Project no. C4013, Australian Coal Research Limite.<br />
Geležinkelio kelio priežiūros taisyklės. 2000. Vilnius: SPAB „Lietuvos geležinkeliai“.<br />
213 p.<br />
Geluk, C. T. T. 2005. Vehicle Vibration Comfort: the Influence of Dry Friction<br />
in the Suspension. Master’s Thesis [interaktyvus]. Prieiga per internetą:<br />
http://www.mate.tue.nl/mate/pdfs/5813.pdf.<br />
Gillespie, T. D. 1992. Fundamentals of Vehicle Dynamics. SAE-International.<br />
Heylen, W.; Lamens, S.; Sas, P. 1997. Modal Analysis Theory and Testing.<br />
KUL Press, Leuven.<br />
ISO 2631 Mechanical Vibration and Shock-Evaluation of Human Exposure<br />
to Whole-body Vibration. International Organization for Standardization,<br />
1997.<br />
ISO 2631 Mechanical Vibration and Shock – Evaluation of Human Exposure<br />
to Wholebody Vibration, ISO 2631-2:2003. International Organisation<br />
for Standardization, 2003.<br />
ISO 8608 Mechanical Vibration, Road Surface Profiles, Reporting of<br />
Measured Data, ISO 8608:1995, International Organisation for<br />
Standardization, 1995.<br />
ISO Reporting Vehicle Road Surface Irregularities. Technical Report, ISO,<br />
ISO/TC108/SC2/WG4 N57, 1982.<br />
King, R.; Crolla, D.; Ash, H. 2002. Identification of Subjective-Objective<br />
Vehicle Handling Links Using Neural Networks for the Foresight Vehicle.<br />
SAE paper, 2002-01-1126.<br />
Kolm, H.; Kudritzki, D.; Wachinger, M. 1997. Optimiering des Fahrkomforts<br />
durch betrachtung der Dampfungseigenschaften der Radaufhangung.<br />
VDI-Berichte 1350. 101–122 p.<br />
Kreuger, H.; Neukum, A. A. 2000. Workload Approach to the Evaluation of<br />
Vehicle Handling Characteristics. SAE paper.<br />
Leurs, W.; Gielen, L.; Brughmans, M.; Dierckx, B. 1997. Calculation of<br />
Rigid Body Properties From FRF Data: Practical Implementation and<br />
Test Case. 15th IMAC Japan.<br />
Lewitzke, C.; Lee, P. 2001. Application of Elastomeric Components for Noise<br />
and Vibration Isolation in the Automotive Industry. Sae-paper, 2001-01-<br />
1447.<br />
153
Milliken, W. F.; Milliken, D. L. 1995. Race Car Vehicle Dynamics. SAE-<br />
International.<br />
Mitschke, M. 1997. Dynamik der Kraftfahrzeuge. Band B: Schwingungen,<br />
Springer Verlag.<br />
P. v. d. Loo. 2003. The Development of the Smart Strut Improved Sliding Pillar<br />
Front Active Suspension System for Mining Trucks. Birrana Engineering<br />
Technical Paper.<br />
Pare, C. 1998. Experimental Evaluation of Semiactive Magneto-Rheologial<br />
Suspensions for Passenger Vehicles. Master’s Thesis.<br />
Pielemeier, W.; Greenberg, J.; Meier, R.; Jeyabalan, V.; Otto, N. 2001. Some<br />
Factors in the Subjective Evaluation of Laboratory Simulated Drive.<br />
SAE paper.<br />
Schmechtig, K.; Lennarsson, B. A. 2000. Simple and Efficient Description<br />
of Car Body Movements for the Use in Virtual Prototyping and Ride<br />
Comfort Evaluation. SAE paper.<br />
Shaver, R. M.; Liu, K. J. 2005. Body/Chassis Dynamic Response Under<br />
Experimental Modal Test. SAE-paper 2005-01-2463.<br />
Singh, R. 2000. Dynamic Design of Automotive Systems: Engine Mounts and<br />
Structural Joints. Sadhana, Vol. 25, Part 3. Printed in India. 319–330 p.<br />
VDI-2057 Einwirkungen Mechanischer Schwingungen auf denMenschen –<br />
Ganzkorperschwingungen, VDI 2057 Blatt 1:2002, Beuth Verlag GmbH,<br />
2002.<br />
Verver, M. 2004. Numerical Tools for Comfort Analysis of Automotive<br />
Seating. Phd-Thesis.<br />
White, R. G.; Walker, J. G. 1982. Noise and Vibration. Ellis Horwood<br />
Limited, Chichester.<br />
Zong, C.; Guo, K.; Guan, H. 2000. Research on Closed-loop Comprehensive<br />
Evaluation Method of Vehicle Handling and Stability. SAE paper.<br />
154
5. Automobilio rato sąveika su keliu<br />
5.1. Padanga ir jos sandara<br />
Padanga yra sudėtingas inžinerinis objektas, sudarytas iš gumos<br />
mišinio ir įvairiausių sintetinių medžiagų, sujungtų tarpusavyje karštos<br />
vulkanizacijos būdu. Gumos mišinių sudėtis, jos ingredientai, dozės<br />
ir gamybos technologijos yra kiekvieno gamintojo itin saugomos<br />
paslaptys.<br />
Karkasas / karkaso gijos<br />
5.1 pav. Radialinės padangos struktūros bendras vaizdas<br />
5.2 pav. Diagonalinės padangos struktūros bendras vaizdas<br />
155
5.3 pav. Radialinės padangos detali struktūra<br />
Padangos struktūrinės sudedamosios dalys yra daugmaž visų gamintojų<br />
panašios ir lengviau atpažįstamos, tačiau viešai ir detaliai apie<br />
jas nėra niekur skelbiama. Padangos sudedamosios dalys yra:<br />
– Gumos sluoksnis (angl. rubber coating) – vienalytis gumos<br />
mišinio sluoksnis, gaubiantis padangos vidinę struktūros dalį ir pasižymintis<br />
būtent tai padangai ir jos paskirčiai būdingomis charakteristikomis,<br />
leidžiančiomis išsiskirti iš kitų padangų;<br />
– Vidinis ratas (angl. innerliner) – padangos vidinę dalį dengiantis<br />
plonas gumos mišinio sluoksnis, pasitaikantis padangose, kuriose<br />
naudojama papildoma dujų kamera ir be jos; užtikrina vidinės<br />
ertmės, užpildytos oru, hermetizavimą<br />
– Karkaso gijų sluoksnis (angl. body ply) – padangos karkasą<br />
dengiantis plonas gumos mišinio sluoksnis ir radialinių gijų sluoksnis,<br />
apimantis briaunos lanką ir borto užpildą; suteikia padangai formą ir<br />
užtikrina jos charakteristikas<br />
– Karkasas (angl. body plies) – karkaso gijos, gaubiančios ir<br />
jungiančios vieną ir kitą, priešais esančius, padangos kraštus; suteikia<br />
padangai formą, užtikrina struktūros stiprumą, reikalingą oro slėgiui,<br />
smūgiams ir apkrovoms atlaikyti, nulemia maksimalų padangos kam<br />
156
pinį greitį ir valdomumo savybes. Karkasą sudaro vienas (5.1 pav.) ar<br />
keletas plonų sintetinių siūlų ar audinių sluoksnių, pagamintų iš viskozės,<br />
nailono, poliefiro, plieno ir kt medžiagų. Diagonalinės padangos<br />
karkaso gijų orientacija gali būti įstriža, o radialinės padangos – skersa<br />
padangos riedėjimo krypčiai;<br />
– Briaunos lankas (angl. bead bundle) – bronza dengtų, pintų ir<br />
tarpusavyje supintų bei susuktų, lanką sudarančių plieninių vielų masyvas<br />
(lankas gali būti sudarytas ir iš anksčiau minėtų siūlų), įterptas į<br />
gumos mišinio sluoksnį; tvirtai laiko padangą reikiamoje padėtyje ant<br />
ratlankio ir užtikrina jos sandarumą;<br />
– Briaunos sandarinimo paviršius (angl. abrasion gum strip) –<br />
elastingo gumos mišinio sluoksnis tarp briaunos lanko ir ratlankio;<br />
užtikrina padangos sandarumą ir sukibimą su ratlankiu, suteikia papildomą<br />
briaunos lanko standumą;<br />
– Briaunos lanko užpildas (angl. bead filler) – ertmės užpildas<br />
tarp padangos briaunos lanko ir karkaso gijų, dėl savo formos dar vadinamas<br />
viršūne; užpildo geometriniai matmenys ir mechaninės savybės<br />
turi įtakos padangos charakteristikoms;<br />
– Šoninė sienelė (angl. sidewall) – agresyvioms eksploatacijos<br />
sąlygoms ir ultravioletiniams saulės spinduliams atsparus gumos mišinio<br />
sluoksnis; apsaugo karkaso gijas nuo aplinkos išorinių poveikių<br />
ir mechaninių deformacijų. Šoninė sienelė dažnai turi informacinius<br />
užrašus, baltas juostas ar kt. dekoratyvus;<br />
– Šoninės sienelės sutvirtinimai (angl. sidewall reinforcements) –<br />
papildomas, storesnis gumos mišinio sluoksnis, kartais dar vadinamas<br />
plaukmenimis; padanga gali turėti papildomus pastiprinimus šoninių sienelių<br />
apatinėje dalyje ratlankių apsaugai nuo deformacijų, maksimaliai<br />
leistinai ašinei apkrovai padidinti, padėti išlaikyti taisyklingą formą esant<br />
mažesniam už rekomenduojamą arba išvis nesant oro slėgio padangoje;<br />
– Stabilizuojantis gijų (diržų) sluoksnis (angl. stabilizer ply<br />
skim arba belt skim) – gumos mišiniu dengtas gijų sluoksnis, kuriame<br />
gijos išdėstytos persiklojant viena kitos atžvilgiu (karkaso gijoms);<br />
apsaugo padangą nuo deformacijų ir suteikia papildomo tvirtumo;<br />
– Stabilizuojančios gijos (diržai) (angl. stabilizer plies (belts)) –<br />
plieninių gijų arba sintetinių siūlų sluoksnis, persiklojantis vienas kito<br />
157
atžvilgiu į skirtingas puses; sutvirtina karkasą ir suteikia papildomą<br />
padangos atsparumą smūgiams į atraminį, besiliečiantį su pagrindu,<br />
paviršių. Padangos savybes veikia gijų storis, išdėstymo tankis bei<br />
persiklojimo kampas;<br />
– Gumos intarpai (angl. belt wedges) – elastingo gumos mišinio<br />
juostelių intarpai tarp stabilizuojančių gijų (diržų) padangos besiremiančios<br />
plokštumos kraštuose; sumažina trintį ir pažaidų atsiradimo galimybę<br />
tarp stabilizuojančių gijų (diržų) padangai riedant ir/arba deformuojantis;<br />
– „Petukai“ (angl. shoulder inserts) – elastingo gumos mišinio<br />
juostelių intarpai tarp besiremiančios plokštumos padangos kraštuose stabilizuojančių<br />
(diržų) ir karkaso gijų; užtikrina besiremiančios plokštumos<br />
padangos vientisumą radialine kryptimi, išlaiko sluoksnių vientisumą;<br />
– Protektorius (angl. tread) – sintetinių, kompozicinių ir natūralios<br />
gumos mišinių sluoksnis, turintis specialų raštą: griovelius, formuojančius<br />
blokelių formą ir skiriančius vieną protektoriaus blokelį nuo<br />
kito, lameles, įrėžtas į padangos protektoriaus bloką (dažniau pasitaiko<br />
žieminėse padangose); užtikrina sankibumą su atraminiu paviršiumi<br />
padangai riedant, stabdant, greitėjant, keičiant judėjimo trajektoriją.<br />
Protektorius ant padangos uždedamas karštos vulkanizacijos būdu ir<br />
yra suprojektuotas norint užtikrinti nepageidaujamų elementų šalinimą<br />
iš tarpbesiremiančių atraminio ir padangos plokštumų, sumažinti<br />
keliamą triukšmą ir užtikrinti tolygų dėvėjimąsi;<br />
– Papildomas sluoksnis po protektoriumi (angl. undertread) –<br />
pasitaiko ne visose padangose, tačiau papildomas gumos mišinio<br />
sluoksnis po protektoriumi leidžia sumažinti padangos riedėjimo varžą,<br />
kuro sąnaudas ir pagerinti kt. padangos savybes;<br />
– Adhezijos sluoksnis po protektoriumi (angl. subtread) – plonas<br />
rišantysis gumos mišinio sluoksnis sluoksnių sujungimui, priklijavimui<br />
vienam prie kito pagerinti; užtikrina protektoriaus sluoksnio ir papildomo<br />
sluoksnio po protektoriumi arba stabilizuojančių gijų sluoksnių pritvirtinimą<br />
prie padangos karkaso, uždengia stabilizuojančių gijų galus;<br />
– Nailoninės gijos (nailoninė kepurė) (angl. nylon cap ply) –<br />
nailoninių gijų sluoksnis sutvirtina stabilizuojančių gijų sluoksnį arba<br />
besiremiančios plokštumos kraštuose stabilizuojančių gijų dalį; apsaugo<br />
padangą nuo deformacijų ir suteikia formos reikiamą elastingu<br />
158
mą ir užtikrina jos stabilumą veikiant didelėms išcentrinėms jėgoms<br />
riedant maksimaliu greičiu.<br />
5.2. Padangos kontakte veikiančios jėgos ir momentai<br />
Viena iš pagrindinių rato charakteristikų yra išilginio sankybio<br />
koeficiento µ x priklausomybė nuo išilginio santykinio slydimo s x ,<br />
vadinamoji µ x − s x diagrama (5.4 pav.).<br />
5.4 pav. Charankteringa µ x − s x diagrama<br />
Kad suprastume šios diagramos esmę ir su ja susijusius fizinius<br />
procesus, vykstančius sistemoje „Ratas-kelias“, nagrinėsime judančios<br />
<strong>transporto</strong> priemonės ratą. Ratas su pneumatine padanga nagrinėjamas<br />
kaip kietas deformuojamas kūnas, kuris sąveikauja su kelio<br />
paviršiumi. Sąveikos sritis yra plotas, kuris vadinamas „kontakto pėdsaku“,<br />
kurio geometrinis centras nukrypęs tam tikru atstumu nuo vertikalios<br />
ašies, pereinančios per rato centrą.<br />
Rato ir kelio kontakte apskritimine kryptimi atsiranda dvi zonos:<br />
padangos protektorius suspaudžiamas (kontakto pradžioje); kita<br />
zona – protektorius ištempiamas (po kontakto). Kontakto plote vyksta<br />
praslydimas arba padangos sluoksnių šlitis, kuriuose tangentiniai<br />
įtempimai didesni už sankibio jėgų įtempimus. Transporto priemonės<br />
rato linijinis greitis v a rato centre nesutampa su apskritiminiu rato<br />
greičiu R d ω R kontakte ( R d –rato dinaminis spindulys, ω R – rato kampinis<br />
greitis). Dėl šių greičių nesutapimo atsiranda praslydimo greitis<br />
(5.5 pav.). Praslydimo greitis v s rato ir kelio kontakte yra lygus:<br />
Pagreitėjimas: v = R ω −v<br />
, (5.2a)<br />
s d R a<br />
159
Stabdymas: vs = va −Rdω R. (5.2b)<br />
a)<br />
b)<br />
5.5 pav. Padangos deformacija: a – stabdymas; b – pagreitėjimas<br />
Rato teorijoje įvedama santykinio išilginio ir skersinio slydimo<br />
koeficientų sąvokos:<br />
s<br />
x<br />
vs<br />
= , (5.3a)<br />
v<br />
a<br />
vy<br />
sy<br />
= . (5.3b)<br />
va<br />
čia v y – rato greitis, statmenas išilginiam rato greičiui.<br />
160
Priklausomai nuo <strong>transporto</strong> priemonės judėjimo kinematinių parametrų<br />
(greičių) galimi penki santykinio išilginio slydimo koeficiento<br />
atvejai (5.6 pav.).<br />
Laisvai riedantis ratas<br />
Pagreitėjimas<br />
s x = 0 su praslydimu s x
Išilginės jėgos F x ir vertikalios jėgos F z ,veikiančios į ratą, santykis<br />
vadinamas santykine išilgine jėga arba išilginiu sankybio koeficientu:<br />
Fx<br />
µ x = . (5.4)<br />
Fz<br />
Skersinės F y ir vertikalios jėgos F z , veikiančios į ratą, santykis<br />
vadinamas santykine skersine jėga arba skersiniu sankybio koeficientu:<br />
Fy<br />
µ y = . (5.5)<br />
Fz<br />
Iš µ x − s x diagramos matoma, kad didėjant santykiniam išilginiam<br />
slydimo koeficientui s x išilginis sankybio koeficientas µ x didėja beveik<br />
tiesiškai. Šioje srityje, pavyzdžiui, s x ∈[ 0... 01 ,], praslydimas yra nedidelis<br />
ir jis šiek tiek turi įtakos <strong>transporto</strong> priemonės stabilumui ir<br />
jos valdymui. Kai yra tam tikra s x reikšmė ( s x = 010 , ... 0, 20 ), išilginis<br />
sankybio koeficientas pasiekia maksimalią reikšmę µ x , max . Rato santykinis<br />
išilginis slydimo koeficientas, kuriam esant pasiekiama maksimali<br />
išilginio sankybio koeficiento reikšmė, vadinamas kriziniu s xkr , . Toliau<br />
didėjant santykiniam išilginiam slydimo koeficientui s x ( s x > s xkr , ) išilginis<br />
sankybio koeficientas µ x mažėja. Kai s x =1 – ratas visiškai užblokuotas<br />
(nesisuka, ω R = 0 ), o kai s x =−1, tada ratas visiškai prasisuka<br />
( v a = 0 ). Kai sx<br />
> sx, kr , <strong>transporto</strong> priemonė praranda stabilumą,<br />
ji yra nevaldoma.<br />
Mokslininkai bandė analitiškai aprašyti µ x − s x kreivę, t. y. gauti<br />
matematines priklausomybes µ x = µ x( sx<br />
), tačiau iki šiol nėra gauta<br />
universaliųjų µ x = µ x( sx<br />
) funkcijų. Diagramos µ x − s x maksimumas<br />
priklauso nuo:<br />
– vertikalios prispaudimo jėgos;<br />
– kelio paviršiaus būklės;<br />
– TP pradinio stabdymo ar pagreitėjimo greičio;<br />
– slėgio padangoje.<br />
Transporto priemonės judėjimo stabilumui įtakos turi jėga, veikianti<br />
rato ir kelio kontakte statmenai rato judėjimo krypčiai (skersinė<br />
jėga). Skersinė jėga atsiranda veikiant:<br />
162
– šoniniam vėjui;<br />
– išcentrinei jėgai, kai TP daro posūkį;<br />
– TP svorio jėgos dedamajai skersine kryptimi.<br />
Skersinė jėga F y deformuoja padangą ir rato skersine kryptimi atsiranda<br />
papildomas slydimas, kuris apibrėžiamas skersiniu sankibio koeficientu<br />
s y (5.6 pav). Skersinės jėgos poveikis ratui parodytas 5.7 pav.<br />
5.7 pav. Skersinės jėgos poveikis ratui:<br />
a – stabdymas ({ v∑}= { va}−{ Rdω R}<br />
);<br />
b – pagreitėjimas{ v∑}= { RdωR}−{ va}<br />
Rato ir kelio kontakte kampas tarp rato sukimosi plokštumos ir rato<br />
judėjimo krypties vadinamas įstrižojo riedėjimo kampu α (arba skersridės<br />
kampas). Įstrižai riedančio rato kontakto užpakalinėje dalyje kelio reakcija<br />
į ratą yra didesnė negu priekinėje kontakto dalyje. Todėl šios reakcijos<br />
generuoja sukimos momentą apie vertikalią ašį z ir sukimos momentas<br />
M z suka riedanti ratą taip, kad rato trajektorija sutaptų su rato sukimosi<br />
plokštuma. Toks momentas vadinamas stabilizuojamuoju rato momentu.<br />
Reali rato ir kelio kontakte veikianti sankybio jėga F µ yra lygi:<br />
F = ∫ dA , (5.6)<br />
µ τxy<br />
A kontaktas<br />
čia τ xy – kontakto plote veikiantys tangentiniai įtempimai; A kontaktas –<br />
kontakto plotas.<br />
Vertikali kelio reakcija, veikianti kontakte, yra lygi:<br />
F = ∫ σ dA , (5.7)<br />
z<br />
A kontaktas<br />
z<br />
čia σ z – kontakto plote veikiantys normaliniai įtempimai.<br />
163
Apytiksliai normalinius įtempimus σ z ir tangentinius įtempimus<br />
τ xy , τ xy galima išreikšti tokiu pavidalu:<br />
σ<br />
τ<br />
z<br />
x<br />
⎛ n<br />
x y<br />
= σzm<br />
− ⎛ ⎝ ⎜ ⎞<br />
⎟ − ⎛ a ⎠ ⎝ ⎜ ⎞<br />
1<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝<br />
a ⎠<br />
=−τ<br />
xm<br />
⎛ x ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
2n+<br />
1<br />
2 2n<br />
⎞<br />
, (5.8a)<br />
⎟<br />
⎠<br />
2 ⎛ πx<br />
⎞ ⎛ πy<br />
⎞<br />
sin ⎜ ⎟cos , (5.8b)<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ a ⎠ ⎝ 2b<br />
⎠<br />
⎛ 2n<br />
⎛ x ⎞ ⎞ ⎛ πy<br />
⎞<br />
τy<br />
=−τym<br />
⎜ ⎟ −1sin ⎜<br />
⎝⎝<br />
a ⎠ ⎟ ⎜ ⎟<br />
, (5.8c)<br />
⎠ ⎝ b ⎠<br />
čia σ zm , τ xm , τ ym – normalinių ir tangentinių įtempimų amplitudės,<br />
atitinkamai; 2a ir 2b – kontakto ilgis ir plotis.<br />
Normalinių σ z ir tangentinių τ x , τ y įtempimų pasiskirstymas<br />
kontakto plote parodyti 5.8 pav.<br />
a)<br />
b)<br />
164
c)<br />
5.8 pav. Normalinių σ z ir tangentinių τ x , τ y įtempimų pasiskirstymas<br />
kontakto plote: a = 0,05 m; b = 0,12 m; σ zm = 0, 204 MPa ,<br />
= 0, 1021 MPa , τ ym = 0,<br />
613 MPa<br />
τ xm<br />
Realiąją sankybio jėgą, veikiančią rato ir kelio kontakte, galima nustatyti<br />
energijos balanso metodu. TP rato mechaninis darbas, atliktas per<br />
laiko vienetą , N R yra lygus pasipriešinimo jėgų galingumui N P :<br />
N<br />
R<br />
= N , (5.9)<br />
P<br />
čia NR<br />
= mRvv<br />
a a ; NP = Nµ + ∆ Nm + Nst<br />
,<br />
dv<br />
m R – rato masė; v<br />
a<br />
a , v a = – TP greitis ir pagreitis, atitinkamai;<br />
N µ – sankybio jėgų galingumas; ∆N m – kitų pasipriešinimo jėgų<br />
dt<br />
(aerodinaminė jėga, trinties jėga; sunkio jėgos dedamoji ir kt.) galingumas;<br />
N st<br />
– stabdymo jėgų galingumas:<br />
N<br />
= F v a ; (5.10)<br />
µ µ<br />
( )<br />
N = M −I<br />
st st R R R<br />
ω ω . (5.11)<br />
Todėl sankybio jėga lygi:<br />
1 1<br />
Fµ = ( NR −Nst − ∆Nm)= mRvava −( Mst − IRωR) ωR − Nm<br />
va<br />
v<br />
⎡⎣<br />
∆ ⎤ ⎦<br />
.<br />
a<br />
(5.12)<br />
165
Kontakte veikiančią jėgą galima suskaidyti į dedamąsias<br />
{ Fµ }= { Fµ x}+ { Fµ<br />
y}, (5.13)<br />
arba<br />
µ Σ µ x µ y . (5.14)<br />
{ }= { }+ { }<br />
TP rato teorijoje naudojamas sankybio jėgų apskritimas, kuris<br />
išreiškia išilginės ir skersinės sankybio jėgų tarpusavio priklausomybes.<br />
Vienas iš pirmųjų mokslininkų, kuris nagrinėjo išilginių ir skersinių<br />
sankybio jėgų tarpusavio priklausomybes, buvo vokiečių mokslininkas<br />
V. Kamas (V. Kamm). Todėl sankybio jėgų apskritimas dar<br />
vadinamas Kamo apskritimu.<br />
5.9 pav. Kamo sankybio jėgų apskritimas<br />
Kamo apskritimas apibrėžia rato sankybio jėgų kraštines sąlygas:<br />
2 2<br />
{ Fµ }= Fµ x + Fµ y ≤ µ max Fz<br />
(5.15)<br />
čia µ max – maksimalus sankybio koeficientas,<br />
2 2<br />
( )= ( )+ ( )<br />
µ max s µ µ x s µ µ y s<br />
. (5.16)<br />
Nelygybę (5.15) galima naudoti tik apytiksliam slydimo ribų<br />
įvertinimui, kadangi µ max reikšmė priklauso nuo slydimo ir gali kisti<br />
plačiose ribose. Kartais naudojamas apytikslus sankybio koeficientas:<br />
⎛ µ<br />
⎜ µ<br />
⎝ x<br />
2 2<br />
⎞<br />
µ x<br />
µ y<br />
max<br />
⎞ µ<br />
⎟ + ⎛ ⎜ µ<br />
⎠ ⎝ y<br />
max<br />
⎟ = 1, (5.17)<br />
⎠<br />
166
čia µ x max , µ y max – sankybio koeficientai esant pilnam slydimui išilgine<br />
ir skersine kryptimis.<br />
Įvedamas ir skersinės jėgos atsargos koeficientas:<br />
Fµ<br />
y<br />
K = . (5.18)<br />
µ y<br />
Fµ<br />
Σ<br />
Kai K µ y → 0 , tai TP judėjimas yra stabilus, o kai K y<br />
µ →1, tai TP<br />
praranda stabilumą.<br />
Rato ir kelio kontakte veikiančios jėgos ir momentai pagal SAE ir<br />
ISO standartus parodyti 5.1 lentelėje<br />
5.1 lentelė. Pagal SAE ir ISO standartus rato ir kelio kontakte veikiančios<br />
jėgos ir momentai<br />
V x > 0<br />
SAE<br />
Pritaikytas<br />
SAE<br />
ISO<br />
Pritaikytas<br />
ISO<br />
Šoninis<br />
kampas<br />
(vaizdas iš<br />
viršaus)<br />
Išvirtimo<br />
kampas<br />
(vaizdas iš<br />
galo)<br />
Šoninis<br />
slydimas<br />
Išilginis<br />
slydimas<br />
tanα = V sy<br />
Vx<br />
κ =− V sx<br />
Vx<br />
tanα =− V sy<br />
Vx<br />
κ =− V sx<br />
Vx<br />
tanα = V sy<br />
Vx<br />
κ =− V sx<br />
Vx<br />
tanα =− V sy<br />
Vx<br />
κ =− V sx<br />
Vx<br />
Posūkio<br />
slydimas<br />
Nėra<br />
apibrėžta<br />
ψ<br />
ϕ =− <br />
V x<br />
Nėra<br />
apibrėžta<br />
ψ<br />
ϕ =− <br />
V x<br />
________ γ = 0 --------- γ > 0<br />
167
5.1 lentelės pabaiga<br />
Išilginės<br />
jėgos<br />
Šoninės jėgos<br />
Statmenos<br />
jėgos<br />
F z < 0 F z > 0 F z > 0 F z > 0<br />
Momentas<br />
apie x ašį<br />
Momentas<br />
apie y ašį<br />
M y >0 M y >0 M y
5.2 lentelės pabaiga<br />
Skaldyto akmens tašeliai<br />
sausi 0,4–0,6 0,02–0,03<br />
šlapi 0,25–0,40 0,025–0,035<br />
Gruntkelis<br />
sausas, kietas 0,5–0,6 0,03–0,05<br />
drėgnas 0,2–0,4 0,04–0,10<br />
ištižęs 0,15–0,30 0,06–0,30<br />
Smėlis<br />
sausas 0,2–0,3 0,10–0,30<br />
drėgnas 0,4–0,5 0,06–0,20<br />
Molis<br />
sausas 0,4–0,5 0,03–0,05<br />
drėgnas, plastiškas 0,2–0,4 0,20–0,35<br />
ištižęs 0,15–0,25 0,30–0,50<br />
natūrali pieva 0,10–0,40 0,05–0,15<br />
sausas arimas 0,40–0,70 0,15–0,30<br />
sausas ledas 0,06–0,15 0,015–0,020<br />
Sniegas:<br />
sausas, purus 0,2–0,4 0,10–0,30<br />
suplaktas 0,1–0,4 0,07–0,10<br />
5.3 lentelė. Sankybio koeficientas, kai kelias padengtas sniegu ir ledu<br />
Kelio danga<br />
Suvažinėtas sniegas<br />
Nesuvažinėtas<br />
sniegas<br />
Sniegas ir ledas,<br />
padengtas tik iškritusiu<br />
sniegu<br />
Detalesnis dangos būklės aprašymas<br />
Transporto priemonių suvažinėtas<br />
sniegas, nesudarantis sutrombuoto<br />
sniego ir ledo sluoksnio<br />
Tik iškritęs ant asfalto sniegas, nesuvažinėtas<br />
<strong>transporto</strong> priemonių ratais –<br />
pirmasis pervažiavimas<br />
Suvažinėtas sniegas ir ledas, kurį dengia<br />
tik iškritęs nesuvažinėtas iki 10 cm<br />
storio sniego sluoksnis<br />
Sankibumo<br />
koeficientas φ<br />
0,24÷0,37<br />
0,15÷0,42<br />
0,18÷0,45<br />
169
Sniegas ir ledas,<br />
sumaišytas su<br />
smėliu ir purvu<br />
Sniegas ir ledas<br />
Sniegas ir ledas<br />
prieš sankryžas<br />
Gilus sniegas<br />
Sausas asfaltas<br />
žiemos sąlygomis<br />
Apšerkšnijęs asfaltas<br />
Glotnus ledas<br />
Ledas ir padangos<br />
su grandinėmis<br />
„Juodas“ ledas<br />
Suvažinėtas sniegas ir ledas, sumaišytas<br />
su smėliu ir purvu, kurių detalių<br />
skersmuo 3÷6 mm<br />
Ištisas sniego sluoksnis, suvažinėtas<br />
iki ledinio paviršiaus pavidalo<br />
Ištirpintas stovinčių automobilių variklių<br />
bei užšalęs glotnaus paviršiaus<br />
sniegas, nupoliruotas stabdomų automobilių<br />
ratų<br />
Toks gilus ir nepažeistas sniegas, kad<br />
<strong>transporto</strong> priemonė „sėda ant dugno“,<br />
bet neužstringa<br />
Niekuo nepadengtas sausas asfaltas<br />
žiemos sąlygomis<br />
Balta danga ant asfalto, matoma vairuotojui<br />
ir lengvai atpažįstama kaip<br />
šerkšnas<br />
Storas užšalusio vandens sluoksnis,<br />
nepažeistas dyglių ir grandinėlių<br />
Storas nepažeistas užšalusio vandens<br />
sluoksnis važiuojant ratais su plieninėmis<br />
grandinėmis<br />
Storas ištisinis ledo sluoksnis, atrodantis<br />
kaip šlapia, juoda važiuojamoji<br />
dalis, sunkiai pastebimas vairuotojui<br />
5.3. Padangos modeliai<br />
5.3 lentelės pabaiga<br />
Priklausomai<br />
nuo purvo<br />
kiekio (mažai<br />
– daug)<br />
0,15÷0,45<br />
0,12÷0,39<br />
0,09÷0,22<br />
0,92÷0.95<br />
0,59÷0,72<br />
0,48÷0,58<br />
0,054÷0,19<br />
0,12÷0,18<br />
0,12÷0,26<br />
5.3.1. Lugre padangos modelis<br />
Koncentruotų parametrų Lugre padangos modelis<br />
Įvertinami šie Lugre (LuGre) padangos modelio parametrai: normalinė<br />
jėga F z ; išilginis sankybio koeficientas statikoje µ c ir sankybio koeficientas,<br />
kai prasideda slydimas µ s , padangos išorinio paviršiaus standumo<br />
σ 0 ir slopinimo σ 1 koeficientai, protektoriaus poslinkis z (5.10 pav.).<br />
170
5.10 pav. Lugre padangos modelio schema<br />
Pagal Lugre padangos modelį padangos kontakte veikianti išilginė<br />
sankybio jėga yra lygi:<br />
⎛ dz ⎞<br />
Fx = ⎜σ0z+ σ1 + σ2 vs⎟<br />
Fz<br />
, (5.19)<br />
⎝ dt ⎠<br />
dz vs<br />
= vs<br />
−σ 0 z ,<br />
dt g( vs<br />
)<br />
−<br />
gv ( s)= θµ ( c + ( µ s − µ c)<br />
e<br />
δ ), δ= ⎛ 05 ,<br />
⎝ ⎜ vs<br />
⎞<br />
⎟ ,<br />
vstr<br />
⎠<br />
čia gv ( s ) – Stribeckio funkcija; θ – parametras, įvertinantis padangos<br />
viršutinių sluoksnių įtaką ( θ= 04 , ... 1)<br />
, v str<br />
– Stribeckio greitis; v s<br />
–<br />
slydimo greitis,<br />
vs = ω RRd<br />
−v<br />
, kai vyksta rato pagreitėjimas;<br />
vs = v−ω RRd<br />
, kai vyksta rato stabdymas.<br />
ω R – rato kampinis greitis; R d – dinaminis ratos spindulys; v –<br />
rato linijinis greitis.<br />
Lugre modelio parametrų reišmės parodytos į 5.4 lentelėje.<br />
5.4 lentelė. Lugre padangos modelio parametrų reikšmės<br />
Parametras σ 0 σ 1 σ 2 µ c µ s v str<br />
Reikšmė 40 4,9487 0,0018 0,5 0,9 12,5<br />
Vienetas 1/m s/m s/m – – m/s<br />
171
Vienmatis išskirstytų parametrų Lugre padangos modelis<br />
Išskirstytų parametrų Lugre padangos modelyje įvertinamas padangos<br />
protektoriaus poslinkio z( t,ξ)kitimas laike ir išilgai padangos<br />
ir kelio kontakto (5.11 pav.).<br />
5.11 pav. Išskirstytų parametrų Lugre padangos modelio schema<br />
Kontakte slydimo greitis yra lygus:<br />
vs = v−ω RRd<br />
.<br />
Išilginis santykinis slydimo koeficientas lygus:<br />
n<br />
RRd<br />
kai RRd<br />
v<br />
sx<br />
= − ⎛ n<br />
⎝ ⎜ ω ⎞<br />
⎧⎪<br />
1,<br />
ω ≤<br />
1<br />
v<br />
⎟ , kai = ⎨<br />
.<br />
⎠<br />
⎩⎪ − 1,<br />
kai ωRRd<br />
> v<br />
Išskirstytų parametrų Lugre padangos modelio pagrindinės priklausomybės<br />
yra:<br />
L<br />
Fx<br />
= ∫ dFx( t,ξ<br />
, (5.20)<br />
)<br />
0<br />
( ) +<br />
⎛<br />
dz t,<br />
ξ ⎞<br />
dFx( t, ξ)= ⎜σ0z( t,<br />
ξ)+<br />
σ1 σ2 vs⎟ dFz<br />
( t,<br />
ξ)<br />
,<br />
⎝<br />
dt ⎠<br />
(5.21)<br />
dz ( t,<br />
ξ) v =<br />
s<br />
vs<br />
− σ0 z( t,<br />
ξ)<br />
,<br />
dt<br />
g( v )<br />
(5.22)<br />
( )<br />
gv ( )= µ + µ − µ<br />
s c s c<br />
s<br />
e<br />
v<br />
− ⎛ s<br />
⎝ ⎜<br />
⎞<br />
⎟<br />
v str ⎠<br />
γ , (5.23)<br />
172
čia L – padangos ir kelio paviršiaus kontakto ilgis.<br />
Protektoriaus poslinkio z diferencialas ir greitis yra lygūs:<br />
z t z t<br />
dz = ∂ ( , ξ ) dt + ∂ ( , ξ ) dξ ,<br />
∂t<br />
∂ξ<br />
( ) ∂ =<br />
( )<br />
+ ∂ ( )<br />
dz t, ξ z t, ξ z t,<br />
ξ<br />
dt<br />
∂t<br />
∂ξ<br />
dξ<br />
. (5.24)<br />
dt<br />
Nagrinėdami padangos slydimą, sakykime, kad<br />
dξ<br />
= R d ω R . (5.25)<br />
dt<br />
Tada panaudoję priklausomybes (5.4.1.4), (5.4.1.6), (5.4.1.7),<br />
gausime<br />
∂ z( t, ξ)<br />
+ ∂ z ( t,<br />
ξ )<br />
∂t<br />
∂ξ<br />
Rw<br />
d R s<br />
vs<br />
= v −σ0 z( t,<br />
ξ)<br />
. (5.26)<br />
g v<br />
173<br />
( )<br />
Sakykime, kad kontakto zonoje vertikali jėga yra kintama, jos diferencialas<br />
lygus:<br />
dF ξ f ξ dξ<br />
z<br />
( )= ( ) . (5.27)<br />
z<br />
Tada padangos kontakte veikianti išilginė sankybio jėga yra lygi:<br />
( ) +<br />
L⎛<br />
dz t,<br />
ξ ⎞<br />
dFx( t, ξ)= ⎜σ z( t,<br />
ξ)+<br />
σ σ vs⎟ fz<br />
( ξ)<br />
dξ<br />
. (5.28)<br />
∫ 0 1 2<br />
0 ⎝<br />
dt ⎠<br />
Praktikoje naudojamos šios prispaudimo f z ( ξ) funkcijos:<br />
• Eksponentinė priklausomybė<br />
f ( ξ)=<br />
f e L<br />
0 , kai λ≥0 ; (5.29)<br />
z<br />
z<br />
λξ<br />
−<br />
• Parabolės priklausomybė<br />
F ⎡<br />
2<br />
3 z ⎛ 2ξ<br />
− L ⎞ ⎤<br />
fz<br />
( ξ)= ⎢1<br />
−⎜<br />
⎟ ⎥ ; (5.30)<br />
2L<br />
⎣⎢<br />
⎝ L ⎠ ⎦⎥<br />
• Sinuso priklausomybė:<br />
f<br />
z<br />
πFz<br />
⎛ πξ ⎞<br />
( ξ)=<br />
⎜ ⎟<br />
2L<br />
sin . (5.31)<br />
⎝ L ⎠<br />
s
Kai padangos kontakte veikiantys greičiai Rw d R, vv , s yra pastovūs,<br />
tada gauname, kad lokalinė koordinatės z išvestinė yra lygi<br />
nuliui, t. y. ∂ z ( t,ξ<br />
)<br />
0 ir lygtis, aprašanti z( t,ξ) koordinatės kitimą<br />
=<br />
∂t<br />
pagal išskirstytų parametrų Lugre padangos modelį, yra:<br />
čia C<br />
vs<br />
Rw d R = vs<br />
−σ0 z( t,<br />
ξ)<br />
. (5.32)<br />
∂ξ<br />
g( vs<br />
)<br />
Esant kraštinei sąlygai z( t,ξ= 0)=<br />
0, lygties sprendinys yra lygus:<br />
∂ z( t,<br />
ξ)<br />
C<br />
2 ( 1<br />
1<br />
)<br />
z( ξ)= C −e<br />
2<br />
σ0<br />
vs<br />
=−<br />
g ( v ) Rw<br />
s<br />
d<br />
( )<br />
g v<br />
` ξ s<br />
sign( vs<br />
), (5.33)<br />
σ<br />
Nusistovėjusiam rato judėjimui dz t ,ξ<br />
veikianti išilginė sankybio jėga F dt<br />
x lygi:<br />
L<br />
R<br />
.<br />
( ) ( )<br />
0<br />
174<br />
( ) = 0 , padangos kontakte<br />
Fx()= t ∫ σ0z( t, ξ)+<br />
σ2vs fz<br />
ξ dξ<br />
. (5.34)<br />
0<br />
Pastoviam prispaudimo jėgos pasiskirstymui, kai sumarinė vertikali<br />
jėga lygi F z0 , padangos kontakte veikianti išilginė sankybio jėga<br />
F x yra lygi:<br />
⎡⎛<br />
⎛ L<br />
− ⎞⎞<br />
⎤<br />
C C<br />
Fx<br />
= ⎢⎜<br />
2<br />
1− ⎜1−<br />
e<br />
2 ⎟⎟<br />
g( vs) sign( vs)+<br />
σ v ⎥<br />
⎢<br />
2 s F<br />
⎜ L ⎜ ⎟⎟<br />
⎥⎥ z0<br />
, (5.35)<br />
⎣⎢<br />
⎝ ⎝ ⎠⎠<br />
⎦<br />
g vs Rw d R<br />
čia C2<br />
= ( ) .<br />
σ0<br />
vs<br />
Kai prispaudimo funkcija f z ( ξ)yra pasiskirsčiusi pagal eksponentės<br />
dėsnį (5.29), padangos kontakte veikianti išilginė sankybio<br />
jėga F x yra lygi:<br />
Lfz0<br />
Fx<br />
=<br />
LC ( C + vs)−<br />
vs Fz<br />
LC −<br />
⎡⎣ 1 σ0 2 σ2 λσ2<br />
⎤ ⎦ 0 +<br />
λ λ<br />
( )<br />
1
−λ<br />
Lfz0e<br />
⎡<br />
LC<br />
C LC e<br />
1<br />
0 2( − 1−<br />
)+ 2vs<br />
( −LC1<br />
) ⎤<br />
λ LC − λ ⎣<br />
σ λ λ σ λ ⎦<br />
. (5.36)<br />
( )<br />
1<br />
( )<br />
Kai prispaudimo funkcija f z ξ pasiskirsto pagal sinuso dėsnį<br />
(5.31), padangos kontakte veikianti išilginė sankybio jėga F x yra lygi:<br />
F<br />
x<br />
Fz<br />
=<br />
LC + π<br />
2<br />
1<br />
2 2<br />
( )<br />
⎡ 2 2<br />
2 2 LC<br />
2LC ( C + vs)+ vs<br />
+ C − e ⎤<br />
⎣ 1 σ0 2 σ2<br />
2πσ 1<br />
2 πσ 0 2<br />
⎦ .<br />
( )<br />
(5.37)<br />
Kai prispaudimo funkcija f z ξ pasiskirsto pagal parabolės dėsnį<br />
(5.30) , padangos kontakte veikianti išilginė sankybio jėga F x yra lygi:<br />
F<br />
x<br />
Fz<br />
LC<br />
= ⎡<br />
3 3<br />
3 3<br />
− σ C ( + LC −L C )+ C e ( −LC )+ vsLC<br />
3 3 0 2 12 6 1 1 6σ 1<br />
0 2 2 1 σ ⎤<br />
2 1<br />
LC ⎣<br />
⎦ .<br />
1<br />
(5.38)<br />
Išskirstytų parametrų Lugre modelio parametrų reikšmės parodytos<br />
5.5 lentelėje.<br />
5.5 lentelė. Išskirstytų parametrų Lugre padangos modelio parametrų reikšmės<br />
Parametras σ 0 σ 1 σ 2 µ c µ s v str<br />
Reikšmė 181,54 0 0,0018 0,8 1,55 12,5<br />
Vienetas 1/m s/m s/m – – m/s<br />
5.3.2. Paceikos modelis<br />
Mokslinkas Pacejka H.B. pasiūlė padangos modelį (Pacejka<br />
Magic Formula), kuriame įvertinami sekantys parametrai: normalinė<br />
jėga; išilginis santykinis slydimas; skersridės kampas; išvirtimo kampas.<br />
Pacejkos pateikta bedroji formulė nustatyti kontakte veikiančias<br />
jėgas priklauso nuo keturių parametrų (B, C, D, E) yra lygi:<br />
čia y x<br />
( ( ( )))<br />
( )= − − ( )<br />
( ) – kontakte veikianti jėga arba momentas;<br />
y x Dsin Carctg Bx E Bx arctg Bx , (5.39)<br />
175
Y( X)= y( x)+ S v , x= X + S h , (5.40)<br />
čia: S v<br />
, S h<br />
– atitinkamo parametro postumis vertikale arba horizontalia<br />
kryptimi; B, C, D, E – parametrai, kurie priklauso nuo modelio<br />
pagrindinių parametrų; X – argumentas (išilginis santykinis slydimas<br />
s x arba skersridės kampas α).<br />
Parametrų B, C, D, E išraiškos yra lygios:<br />
C = 0 ; D= bF + b F<br />
B =<br />
b x<br />
( ) −<br />
2<br />
bF<br />
3 z<br />
+ bF<br />
4 z<br />
e<br />
CD<br />
( )<br />
1 z 2 z;<br />
bF 5 z<br />
, (5.41)<br />
2<br />
E = bF<br />
6 z<br />
+ bF<br />
7 z<br />
+ b8; Sh<br />
= b9Fz<br />
+ b ; S = 0.<br />
10 v<br />
Trijų parametrų sandaugą BCD lygi standumo koeficientui išilgine<br />
padangos kryptimi arba skersridės kampo kryptimi, atitinkamai.<br />
Sankybio jėga veikianti išilgai padangos yra lygi:<br />
F = Dsin Carctg( B Φ ) , (5.42)<br />
( )<br />
x x x x x<br />
čia: B x<br />
, C x<br />
, D x<br />
, Φ x parametrai nustatomi pagal tokias išraiškas:<br />
( )<br />
C x<br />
=165 , ; D = b F z<br />
+ b F ;<br />
B<br />
=<br />
x x1 0 x2 z0<br />
( ) −<br />
b F 2<br />
x3 z0<br />
+ bx4Fz0<br />
e<br />
CD<br />
x<br />
x x<br />
2<br />
E x<br />
= b x 6F z 0<br />
+ b x<br />
F z<br />
+ b x<br />
x<br />
Φ x<br />
= −E<br />
x<br />
Bx<br />
čia: σ=100 λ; F<br />
bx5Fz0<br />
176<br />
;<br />
7 0 8 (5.43)<br />
E<br />
1 σ arctg B σ ,<br />
( ) − ( )<br />
z0<br />
x<br />
Fz<br />
= ; F<br />
1000<br />
z<br />
– vertikali jėga, N.<br />
Sankybio jėgos F x priklausomybė nuo išilginio santykinio slydimo<br />
koeficiento s x prie skirtingų vertikalių jėgų F z<br />
parodytos 5.12 pav.
5.12 pav. Jėgos F x priklausomybė nuo išilginio santykinio slydimo<br />
koeficiento λ prie skirtingų vertikalių jėgų F z<br />
Sankybio jėga veikianti padangos skersine kryptimi yra lygi:<br />
Fy = Dsin<br />
y ( Carctg<br />
x ( ByΦ y)<br />
)+ S<br />
yv, (5.44)<br />
čia: B y<br />
, C x<br />
, D y<br />
, Φ y<br />
parametrai nustatomi pagal tokias išraiškas:<br />
( )<br />
( )<br />
C y<br />
=130 , ; D = b F z<br />
+ b F ;<br />
B<br />
S<br />
y<br />
yh<br />
y y1 0 y2 z0<br />
( )<br />
b sin b arctg b F<br />
=<br />
CD<br />
y3 y4 y5 z0<br />
y<br />
y<br />
( )<br />
2<br />
; E y<br />
= b y 6F z 0<br />
+ b y<br />
F z<br />
+ b y<br />
7 0 8<br />
= by<br />
9<br />
γ ; S b F<br />
2<br />
yv<br />
=<br />
y10<br />
z<br />
+ b<br />
y11 F<br />
z<br />
γ (5.44)<br />
Φ y<br />
= −E<br />
y<br />
S yh<br />
By<br />
( B( Syh<br />
))<br />
E<br />
1 ( α )+ arctg α+<br />
( ) +<br />
∆By =−by 12<br />
γ By<br />
.<br />
Sankybio jėgos F y<br />
priklausomybės nuo skersridės kampo α prie<br />
skirtingų vertikalių jėgų F z<br />
parodytos 5.13 pav. Sankybio jėgos F y<br />
priklausomybės nuo skersridės kampo α prie skirtingų padangos išvirtimo<br />
kampo γ parodytos 5.14 pav.<br />
177
5.13 pav. Jėgos F y priklausomybė nuo skersridė kampo α<br />
prie skirtingų vertikalių jėgų F z<br />
5.14 pav. Jėgos F y<br />
priklausomybė nuo skersridės kampo α<br />
prie skirtingų vertikalių jėgų F z<br />
Stabilizuojantis sukimo momentas yra lygus:<br />
Mz = Dsin<br />
m ( Carctg<br />
m ( BmΦ m)<br />
)+ Smv, (5.45)<br />
čia: B m , C m , D m , Φ m<br />
parametrai nustatomi pagal tokias išraiškas:<br />
( )<br />
C m<br />
= 240 , ; Dm = bm 1F z 0<br />
+ bm2 Fz0;<br />
bm<br />
Fz<br />
( b F 2<br />
m z<br />
+ bm Fz<br />
) e<br />
− 5 0<br />
3 0 4 0<br />
Bm<br />
=<br />
;<br />
C D<br />
m<br />
m<br />
178
2<br />
E m<br />
= b x 6F z 0<br />
+ b m<br />
F z<br />
+ b ;<br />
7 0 m 8<br />
S<br />
mh<br />
= b γ 9 ; 2<br />
S = b F + b F<br />
m<br />
( )<br />
mv m10<br />
z m11 z<br />
γ;<br />
E<br />
1 ( α )+ arctg α+<br />
B<br />
( ) +<br />
m<br />
Φ m<br />
= −E<br />
m<br />
S mh<br />
∆By =−bm 12<br />
γ B ; ∆E<br />
m<br />
m<br />
m<br />
Em<br />
= − Em<br />
1 − b γ .<br />
13<br />
m<br />
( Bm( Smh<br />
))<br />
Stabilizuojančio momento M z<br />
priklausomybės nuo skersridės<br />
kampo α prie skirtingų vertikalių jėgų F z<br />
parodytos 5.15 pav.<br />
5.15 pav. Jėgospriklausomybė nuo skersridės kampo prie skirtingų<br />
vertikalių jėgų<br />
Koeficientų bij (i = x, y, m; j = 0..13) reikšmės parodytos<br />
5.6 lentelėje.<br />
5.6 lentelė. Koeficientų bij reikšmės<br />
b x0 b x1 b x2 b x3 b x4 b x5 b x6 b x7 b x8 b x9 b x10 b x11 b x12 b x13<br />
1,25 –21,3 1114 49,6 226,0 0,208 –0,006 –0,056 0,486 0,0 0,0 0 0,0 0,0<br />
b y0 b y1 b y2 b y3 b y4 b y5 b y6 b y7 b y8 b y9 b y10 b y11 b y12 b y13<br />
1,30 –22,1 1011 1078 1,820 0,208 0 –0,354 0,707 0,028 0 14,80 0,022 0<br />
b m0 b m1 b m2 b m3 b m4 b m5 b m6 b m7 b m8 b m9 b m10 b m11 b m12 b m13<br />
2,40 –2,72 –2,28 –1,860 –2,73 0,110 –0,070 0,643 –4,04 0,015 –0,066 0,945 0,030 0,070<br />
179
5.3.3. HSRI modelis<br />
Greitkelio saugumo tyrimo instituto ( JAV) (Highway Safety<br />
Research Institute, USA) mokslininkai L. Segel, H. Dugoff, P. Favcher<br />
sukūrė padangos modelį, kuriame įvertinama: normalinė jėga; išilginis<br />
santykinis slydimas; išilginis ir kampinis kontakto standumas; sankybio<br />
koeficientas.<br />
Išilginis santykinis slydimo koeficientas yra lygus:<br />
s<br />
x<br />
n<br />
vx<br />
kai RRd vx<br />
= − ⎛ kai n<br />
⎝ ⎜ ⎞<br />
⎧⎪<br />
1,<br />
ω ≥<br />
1 ⎟ , = ⎨<br />
ωRRd<br />
⎠<br />
⎩⎪ − 1,<br />
kai ω R < v<br />
n<br />
180<br />
R d x<br />
(5.46a)<br />
RRd<br />
kai RRd vx<br />
sx<br />
= − ⎛ kai n<br />
⎝ ⎜ ω ⎞<br />
⎧⎪<br />
1,<br />
ω ≤<br />
1 ⎟ , = ⎨<br />
,(5.46b)<br />
vx<br />
⎠<br />
⎩⎪ − 1,<br />
kai ωRRd > vx<br />
čia v x – išilgai padangos linijinis greitis; ω, R d – padangos kampinis<br />
greitis ir dinaminis spindulys, atitinkamai.<br />
Sankybio koeficientas išilgai padangos yra lygus:<br />
µ = µ<br />
⎛<br />
2 2<br />
⎜ − + ( α<br />
⎞<br />
max<br />
1 Av<br />
s x<br />
sx<br />
tg ) ⎟ , (5.47)<br />
⎝<br />
⎠<br />
čia: µ max<br />
– maksimalus sankybio koeficientas (statinis µ max<br />
= 083 , );<br />
A s – koeficientas, įvertinantis sankybio koeficiento sumažėjimą<br />
( A s<br />
≈ 0, 0115)<br />
Sankybio jėga, veikianti išilgai padangos, yra lygi:<br />
⎧ ⎛ ⎞ 1<br />
C»<br />
⎜ ⎟ Fz<br />
, kai H ≥<br />
⎪ ⎝1−<br />
λ ⎠ 2<br />
Fx<br />
=<br />
, (5.48)<br />
⎨<br />
⎪ ⎛ λ ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1<br />
C»<br />
⎜ ⎟ Fz<br />
⎜ − ⎟ , kai H<<br />
2<br />
⎩⎪<br />
⎝1−<br />
λ ⎠ ⎝ H 4H<br />
⎠ 2<br />
o sankybio jėga, veikianti padangos skersine kryptimi, yra lygi:<br />
⎧ ⎛ 1 ⎞<br />
1<br />
C∝<br />
⎜ ⎟ Fz<br />
tg( α) , kai H <<br />
⎪ ⎝1−<br />
λ ⎠<br />
2 , (5.49)<br />
Fy<br />
= ⎨<br />
⎪ ⎛ λ ⎞ ⎛ 1 1 ⎞<br />
C∝<br />
⎜ ⎟ Fz<br />
tg( α) ⎜ −<br />
⎝1−<br />
λ ⎠ ⎝ H 4H<br />
2 ⎟,kai H ≥<br />
1<br />
⎩⎪<br />
⎠ 2
čia ∝ skersridės kampas; C s , C ∝ – standumo koeficientai išilgine<br />
padangos kryptimi ir skersridės kampo kryptimi, atitinkamai<br />
⎛<br />
C = dF<br />
s<br />
C = dF ⎞<br />
x<br />
y<br />
⎜ ,<br />
; H – modelio parametras,<br />
∝ ⎟<br />
⎝ dSx<br />
d ∝ ⎠<br />
H =<br />
2 2<br />
⎛ C<br />
Ctg<br />
ss<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
x<br />
α<br />
α<br />
. (5.50)<br />
⎜<br />
⎝ ( 1−<br />
s ) F ⎜<br />
⎠ ⎝ ( − ) F ⎟<br />
x<br />
µ<br />
z<br />
1 λ µ<br />
z ⎠<br />
⎟ + ( )<br />
Kai H < 1 2<br />
nedidelis sukibimas, o kai H ≥ 1 2<br />
, tai padangos ir kelio pavirčiaus kontakte egzistuoja<br />
, tai kontakte egzistuoja sukibimas<br />
(adhezija) ir slydimas.<br />
Kai išilginis santykinis slydimo koeficientas λ ir skersridės<br />
kampas ∝ yra pakankamai dideli (vyksta didelis slydimas x ir y ašių<br />
kryptimis), tada kontakte veikiančias sankybio jėgas ( Fx, Fy ) galima<br />
nustatyti taip:<br />
Cssx<br />
Fx<br />
= FR<br />
;<br />
2 2<br />
( C s ) + ( C α α )<br />
s<br />
x<br />
F = Cαα<br />
∝<br />
F<br />
2 2<br />
R<br />
( C s ) + ( C α)<br />
, (5.51)<br />
s<br />
x<br />
α<br />
2<br />
čia FR = Fx0<br />
+ F<br />
02 y<br />
, jėgos Fx0, Fy0<br />
nustatomos iš (5.48) ir (5.49)<br />
išraiškų.<br />
Sankybio jėgos, veikianti išilgai padangos F x priklausomybė nuo<br />
išilginio santykinio slydimo koeficiento λ prie skirtingų skersridės<br />
kampų α parodyta 5.16 pav.<br />
Sankybio jėgos veikianti skersai padangos F y priklausomybė nuo<br />
išilginio santykinio slydimo koeficiento λ prie skirtingų skersridės<br />
kampų α parodyta 5.17 pav.<br />
181
Sankybio jėgos veikianti skersai padangos F y priklausomybė<br />
nuo sankybio jėgos, veikiančios išilgai padangos F x prie skirtingų<br />
skersridės kampų parodyta α 5.18 pav.<br />
5.16 pav. Sankybio jėgos veikianti išilgai padangos F x priklausomybė nuo<br />
išilginio santykinio slydimo koeficiento s x prie skirtingų skersridės kampų<br />
α , kai F = 3000 z<br />
N ; C = 40000 N ; C s α<br />
=15000 N / rad ;<br />
v = 60 x km/val.; /<br />
A = 0, 0115;<br />
µ = 083 ,<br />
s max<br />
5.14 pav. Sankybio jėgos veikianti skersai padangos F y priklausomybė nuo<br />
išilginio santykinio slydimo koeficiento s x prie skirtingų skersridės kampų<br />
α α , kai F = 3000 z<br />
N ; C = 40000N ; C s α<br />
=15000N / rad ;<br />
v = 60 x km/val.; /<br />
A = 0, 0115 ; µ = 083 ,<br />
s max<br />
182
5.15 pav. Sankybio jėgos veikianti skersai padangos F y<br />
priklausomybė nuo<br />
sankybio jėgos veikiančios išilgai padangos F x<br />
prie skirtingų skersridės<br />
kampų α α , kai F = 3000 z<br />
N ; C = 40000 N ; C s α<br />
=15000 N / rad ;<br />
v = 60 x km/val.; /<br />
A = 0, 0115 ; µ = 083 ,<br />
s max<br />
5.3.4. Dugofo modelis<br />
Dugofo modelis (1969) labai panašus į Pacejkos ir Šarpo padangų<br />
modelius. Dugofo modelyje priimta, kad padangos ir kelio sąveikos<br />
kontakto plote slėgis yra pastovus. Tačiau tokia priimta prielaida nesumažina<br />
šio padangos modelio efektyvumo, nes padangos standumai<br />
išilgai padangos ir skersridės kampo kryptimi yra nepriklausomi.<br />
Dugofo padangos medelyje įvertinama: normalinė jėga; išilginis santykinis<br />
slydimas; išilginis ir kampinis kontakto standumas; sankybio<br />
koeficientas.<br />
Išilginis santykinis slydimo koeficientas yra lygus:<br />
s<br />
x<br />
⎧ RdωR − vx<br />
, kai kai vyksta vyksta stabdymas<br />
⎪ vx<br />
= ⎨<br />
⎪ RdωR − vx<br />
, kai vyksta pagreitėjimas<br />
t ⎩<br />
⎪ RdωR<br />
(5.52)<br />
Sankybio jėga,veikianti išilgai padangos, yra lygi:<br />
183
F<br />
x<br />
=<br />
C λ<br />
⎛ sx<br />
⎜<br />
⎝1+<br />
s<br />
x<br />
⎞<br />
f<br />
⎠<br />
⎟ ( σ)<br />
, (5.53)<br />
o sankybio jėga, veikianti padangos skersine kryptimi,yra lygi:<br />
( )<br />
⎛ ∝ ⎞<br />
Fy<br />
= C ⎜<br />
∝ ⎟ f ( σ ), ⎝ 1+<br />
sx<br />
⎠<br />
(5.54)<br />
čia σ – parametras, kuris yra lygus:<br />
µFz( 1−<br />
sx)<br />
σ =<br />
2<br />
2 ( Cs<br />
s x) + C 2<br />
α ( α)<br />
, (5.55)<br />
funkcija f ( σ) yra lygi:<br />
( )<br />
( ) <<br />
⎧ 2−<br />
σ σ,<br />
kai σ 1<br />
f ( σ)=<br />
⎨<br />
, (5.56)<br />
⎩ 1,<br />
kai σ ≥1<br />
C s , C ∝ – standumo koeficientai išilgine padangos kryptimi ir<br />
skersridės kampo kryptimi, atitinkamai; µ – išilginis sankybio koeficientas;<br />
F z<br />
normalinė jėga.<br />
Panaudojant Dugofo padangos modelį, galima nustatyti trinties<br />
jėgų apskritimo paramatrus:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
čia F<br />
x<br />
F<br />
F<br />
x<br />
+ F<br />
2 2<br />
x y<br />
⎛ sx<br />
= C s ⎜<br />
⎝1−<br />
s<br />
2<br />
⎞ ⎛ Fy<br />
⎟<br />
⎟ + ⎜<br />
⎜<br />
⎠ ⎝<br />
Fx<br />
+ F<br />
x<br />
⎞<br />
⎟ ; F<br />
⎠<br />
y<br />
2 2<br />
y<br />
Sankybio koeficientas tada lygus:<br />
2 2<br />
x y<br />
µ a<br />
=<br />
F<br />
+ F<br />
184<br />
2<br />
⎞<br />
⎟ 1<br />
⎟ = , (5.57)<br />
⎠<br />
( )<br />
⎛ ∝ ⎞<br />
= C ⎜<br />
tg ∝ ⎟ . (5.58)<br />
⎝ 1−<br />
sx<br />
⎠<br />
. (5.59)<br />
Fz<br />
Kai parametras yra σ >1, tada išilginio ir skersinio sankybio jėgos<br />
yra mažesnės už jėgą µF z<br />
/2 ir nustomos pagal (5.58) išraiškas.
Kai parametras yra σ
5.17 pav. Sankybio jėgos veikianti skersai padangos F y priklausomybė<br />
nuo skersridės kampo α prie skirtingų vertikalių jėgų F z<br />
,<br />
kai C λ<br />
= 40000 N; C α<br />
=15000 N / rad ; λ = 010 , ; µ = 010 ,<br />
5.3.5. Elastingos padangos modelis<br />
Elastingos padangos modelį sukūrė Fiala (Fiala, 1954). Detalus<br />
elastingos padangos modelio pristatymas pateiktas R. Rajamani knygoje<br />
„Transporto priemonių <strong>dinamika</strong> ir valdymas“ (Springer, 2006).<br />
Elastingos padangos modelis vienas iš paprasčiausių padangos<br />
modelių, tačiau juo remiantis galima gauti įvairių padangos charakteristikų.<br />
Esant nedideliam skersridės kampui α, kontakte padanga<br />
deformuojasi skersine kryptimi. Kontakte padanga nagrinėjama kaip<br />
tamprus kūnas, kurio standumo koeficientas skersine kryptimi, tenkantis<br />
ilgio vienetui, yra ky ( x), skersinis poslinkis – γ( x) 5 (18 pav.).<br />
Bendras kontakto ilgis yra 2a , o kontakto plotis – 2b. Kontakte skersinis<br />
poslinkis yra lygus:<br />
( )= = ( )<br />
γ x sx tg α x,<br />
čia α – skersridės kampas.<br />
Kontakte veikianti elementari skersinė jėga lygi:<br />
186<br />
(5.63)<br />
dF k γ x dx<br />
(5.64)<br />
y<br />
= ( )<br />
y<br />
ir, suintegravę pagal kontakto ilgį 2a , gausime kontakte veikiančią<br />
skersinę jėgą ir stabilizavimo momentą:
2a<br />
2a<br />
Fy<br />
= ∫ kyγ( x) dx= ∫ kysxdx = 2 kysa<br />
, (5.65)<br />
0<br />
2a<br />
0<br />
2a<br />
2 3<br />
M k x x a dx k sx x a dx k sa F a<br />
z = ∫ yγ( )( − ) = ∫ y ( − ) = y = . (5.66)<br />
y<br />
0<br />
0<br />
3 3<br />
Standumo koeficientas skersridės kampo kryptimi yra lygus:<br />
dFy<br />
Cα<br />
= =2ka<br />
y<br />
2 . (5.67)<br />
dα<br />
2<br />
5.21 pav. Elstingos padangos modelio schema<br />
Esant dideliam skersridės kampui, slėgis kontakte yra pastovus:<br />
p x<br />
µ Fz<br />
2a<br />
2b<br />
( )= ( )( )<br />
. (5.68)<br />
Maksimali skersridės jėga gali pasiekti dydį µF z .<br />
187
Kontakte slydimo nėra, kai įvykdoma sąlyga:<br />
2ak γ ( x)≤ µ F . (5.69)<br />
y<br />
z<br />
Iš (5.69) sąlygos plaukia, kad maksimalus skersinis poslinkis lygus:<br />
µ<br />
γmax = F z<br />
. (5.70)<br />
2ak<br />
y<br />
Nagrinėjamas atvejis, kad skersinis poslinkis yra didesnis už<br />
maksimalų poslinkį γ max (5.22 pav.):<br />
⎧ γ<br />
⎪<br />
γ( x)=<br />
⎨ x<br />
⎪<br />
⎩γ<br />
max<br />
s<br />
max<br />
,<br />
,<br />
0 ≤ x≤<br />
x<br />
s<br />
x ≤ x≤2a<br />
s<br />
, (5.71)<br />
čia x s – kontakto taškas, kuriame prasideda slydimas.<br />
Skersridės jėga lygi:<br />
x<br />
2a<br />
s γ<br />
2a<br />
max<br />
Fy<br />
= ∫ kyγ( x) dx= ∫ ky<br />
xdx+ ∫ γmaxkydx<br />
=<br />
x<br />
1<br />
γ<br />
2<br />
0<br />
max<br />
0<br />
s<br />
xs<br />
k x + k γ ( 2a−x<br />
). (5.72)<br />
Sakykime, kad<br />
γ<br />
tg( α)= s =<br />
x<br />
s<br />
y s y max s<br />
max ,<br />
x s<br />
γ max µ Fz<br />
= = . (5.73)<br />
s 2ak s<br />
y<br />
Tada skersridės (5.72) jėga yra lygi:<br />
F<br />
y<br />
Fz<br />
= Fz<br />
− ( )<br />
2<br />
µ<br />
µ<br />
. (5.74)<br />
2<br />
8aks<br />
y<br />
188
5.22 pav. Skersinis poslinkis ir slydimo zona<br />
Stabilizavimo momentas yra lygus:<br />
x<br />
2a<br />
⎛ 1 ⎞<br />
s γ<br />
2a<br />
max 2<br />
Mz = ∫ kyγ( x) ⎜ x−<br />
xs<br />
⎟ dx= ∫ ky<br />
xdx− ∫ kyγmax<br />
xadx =<br />
⎝ 2 ⎠ x<br />
0<br />
0<br />
5 2 1<br />
2<br />
kyγmaxxs − kyγmax<br />
2a<br />
. (5.75)<br />
6 2<br />
M 1 1 2 µ Fz<br />
µ Fz<br />
z kyaγmaxxs kyγmax<br />
xs<br />
2<br />
6 8kas<br />
48aks<br />
= − = ( ) − ( )<br />
s<br />
y<br />
xs<br />
2 3<br />
3 2 2<br />
y<br />
. (5.76)<br />
Sakykime, kad kontakte slėgis pasiskirsto pagal parabolės dėsnį<br />
⎛ u<br />
p( x)= p − ⎛ 2<br />
⎝ ⎜ ⎞ ⎞<br />
0<br />
1<br />
⎜ ⎟<br />
, u = a− x . (5.77)<br />
⎝<br />
a ⎠ ⎟<br />
⎠<br />
Vertikali jėga, veikianti kontakte, yra lygi:<br />
a<br />
8<br />
Fz<br />
= ∫ 2bpudu ( ) = bp0 a . (5.78)<br />
3<br />
−a<br />
Ir slėgio konstantą galima nustatyti iš (5.78):<br />
p<br />
0<br />
3Fz<br />
= .<br />
8ba<br />
Galutinė slėgio pasiskirstymo kontakte funkcija yra lygi:<br />
189
3F<br />
⎛<br />
z ⎛ a−<br />
x⎞<br />
p( x)= 1−⎜<br />
⎟<br />
8ba<br />
⎜<br />
⎝ ⎝ a ⎠<br />
2<br />
⎞ Fz<br />
x a x<br />
⎟ = 3<br />
( ( 2<br />
⎠ ba<br />
− ))<br />
3 . (5.79)<br />
8<br />
Įveskime skersinio standumo į ploto vienetą koeficientą k ya<br />
N/m 3 :<br />
ky<br />
kya<br />
= . (5.80)<br />
2 b<br />
Tada galioja ryšis:<br />
( ) = ( )<br />
kya γ x µ p x<br />
slydimas<br />
z<br />
,<br />
3Fz<br />
kyaγ( x) = ( x( 2a−x<br />
slydimas<br />
)), (5.81)<br />
3<br />
8ba<br />
θ = 4 2<br />
ba kya<br />
1<br />
; γ( x) = ( x( 2 a−x<br />
slydimas<br />
)).<br />
3µ F<br />
2aθ<br />
Taške x s prasideda slydimas<br />
1<br />
γ( xs)= sxs = ( xs( 2 a−<br />
xs)<br />
);<br />
2aθ<br />
x 2 a 1−θ<br />
s . (5.82)<br />
s =<br />
( )<br />
Slydimo sritis yra xs < x ≤2 a .<br />
Skersridės jėga lygi:<br />
( )<br />
xs<br />
γ x<br />
2a<br />
s<br />
kya<br />
Fy<br />
= 2b∫<br />
kya<br />
x dx + 2b<br />
∫<br />
x<br />
a x 2 a −<br />
2 θ<br />
x dx<br />
8bk<br />
ya<br />
a<br />
6aθ<br />
0<br />
s<br />
⎛ xs<br />
1− ⎛ ⎝ ⎜<br />
⎞<br />
⎜ 2a<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
xs<br />
⎞<br />
x<br />
s<br />
µ Fz<br />
1<br />
⎟ = ⎛<br />
−⎛ 2a<br />
⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎞<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎝ ⎠ ⎟ ,<br />
⎠<br />
3 3 3<br />
bet x 2a 1 − sθ , tada skersridės jėga lygi:<br />
s =<br />
190<br />
( ) =<br />
F = µ F 1− 1−<br />
sθ<br />
3 . (5.83)<br />
y<br />
( )<br />
z( ( ) )
Kai 0< x ≤2a<br />
tada s ≤ 1 θ ir F<br />
s ,<br />
o kai s = 1 θ , tada F<br />
Kai s ≥ 1 θ , tada<br />
F<br />
y<br />
y<br />
<br />
⎩⎪<br />
θ<br />
2<br />
z<br />
ya<br />
.<br />
Stabilizavimo momentas lygus:<br />
1<br />
θ<br />
(5.85)<br />
kai s > 0 ,<br />
a<br />
⎛<br />
M b F a x dx F a x s ⎞ ⎛ xs<br />
z =− y( − ) = z ⎜<br />
a<br />
⎝ a<br />
⎟ − ⎛<br />
⎠ ⎝ ⎜ ⎞⎞<br />
2 ∫<br />
µ ⎜1<br />
a<br />
⎟⎟, (5.86a)<br />
−<br />
2 ⎝ 2 ⎠⎠<br />
Esant sąlygai F<br />
y<br />
≤µ F ;<br />
z<br />
3<br />
kai s > 1 θ , M z = 0;<br />
(5.86b)<br />
kai s ≤ 1 θ ,<br />
( )<br />
2 3 4<br />
Mz<br />
µ Fza θs 3 θs 3 θs θs<br />
. (5.86c)<br />
= − ( ) + ( ) − ( )<br />
191
Pagal Pacejka ir Šarpa (1991), bendroji kontakte veikianti jėga yra lygi:<br />
⎧ ⎛ 1<br />
⎞<br />
µ Fz<br />
− ( ) + ( ) − ( s)<br />
kai<br />
F =<br />
⎜3σθ θσ θσ θ ⎟ σ≤<br />
σ<br />
⎝ 3 3 2 1<br />
27 3 3 4<br />
⎪<br />
,<br />
⎨<br />
⎠<br />
⎪<br />
⎩<br />
µ Fz,<br />
kai σ><br />
σm<br />
čia σm = 1 θ = 4 ba k<br />
θ 3µ F<br />
2<br />
σ m – slydimo pradžios koeficientas.<br />
Kontakte veikiančios jėgos yra lygios:<br />
F<br />
čia σ<br />
σ<br />
σ<br />
x<br />
x<br />
x<br />
y<br />
z<br />
ya<br />
2<br />
; σ= σ + σ<br />
2 , (5.87)<br />
y<br />
x<br />
= σ F ; Fy<br />
= F<br />
σx<br />
σ , (5.88)<br />
σ<br />
R ω − v<br />
=<br />
R ω<br />
d R x<br />
d<br />
R<br />
– pagreitėjimas;<br />
RdωR − vx<br />
=<br />
– stabdymas; (5.89)<br />
vx<br />
vx<br />
= tg ( α).<br />
R ω<br />
d<br />
R<br />
5.3.6. Kiti padangos modeliai<br />
Mokslininkai M. Nagai, S. Yamatak ir Y. Hirano pasiūlė paprastą<br />
priklausomybę nustatyti padangos sankybio jėgą, veikiančią padangos<br />
skersine kryptimi:<br />
2 ⎛<br />
F K F<br />
F C ⎞<br />
y<br />
=<br />
x z ⎜ ⎟<br />
π µ π<br />
arctg<br />
⎝ 2µ<br />
α α , (5.90)<br />
z ⎠<br />
čia ∝ , – skersridės kampas; K x , – koeficientas, įvertinantis išilginės<br />
jėgos įtaką; C ∝<br />
– standumo koeficientas skersridės kampo kryptimi,<br />
⎛ dFy<br />
⎞<br />
atitinkamai ⎜C ∝<br />
= ⎟ ; µ – išilginis sankybio koeficientas.<br />
⎝ d ∝ ⎠<br />
Sankybio jėgos F y<br />
priklausomybės nuo skersridės kampo α prie<br />
skirtingų vertikalių jėgų F z<br />
parodytos 5.23 pav.<br />
192<br />
y<br />
m
5.23 pav. Jėgos F y<br />
priklausomybė nuo skersridės kampo α prie skirtingų<br />
vertikalių jėgų F z<br />
, kai K x<br />
= 9; C ∝<br />
=10 3 rad / N µ = 01 ,<br />
Penkto skyriaus literatūra<br />
Andrejewski, R. 2010. Dynamika pneumatycznego kola jednego Naukowo-<br />
Techniczne. Warszawa.<br />
Canudus, de Wit C.; Tsiotras, P.; Velenis, E.; Basset, M.; Gissenger, G.<br />
Dynamic Friction Model for Road/Tire Longitudinal Interaction. Vehicle<br />
system dynamics. October 14, 2002.<br />
Dugoff, H.; Fanchrer, P. S.; Segel, L. Tire Performance Characteristics<br />
Affecting Vehicle Response to Steering and Braking Control Inputs.<br />
Highway Safety Research Institute, University of Michigan, Ann Arhor<br />
(1969) Final Report National Bureau of Standarts Contact CST-460.<br />
Nagai, M.; Yamatak, S.; Hirano, Y. 1996. Integrated Control Law of<br />
Active Rear Steering Control. In Proc. 3rd International Symposium on<br />
Advanced Vehicle Control. 451–469 p.<br />
Pacejka, H. B.; Sharp, R. S. 1991. Shear Force Generation by Pneumatics<br />
Tyres in Steady State Conditions: a Review of Modeling Aspects. Vehicle<br />
system dynamics, 20, 121–176 p.<br />
Rajesh Rajamani. 2006. Vehicle Dynamics and Control. Springer.<br />
Reza, N. Jazar. 2008. Vehicle Dynamics: Theory and Applications. Springer.<br />
193
6. Geležinkelio aširačio sąveikos su<br />
bėgiu teorijos<br />
6.1. Herco ir Kalkerio teorija<br />
Tampriųjų kūnų tarpusavio kontakte veikiantys įtempimai nustatomi<br />
panaudojant Herco sukurtą teoriją. H. Hercas (Heinrich Hertz)<br />
(1857–1894) – vokiečių fizikas. Jis patikslino šviesos teoriją ir pirmasis<br />
įrodė elektromagnetinių bangų egzistavimą.<br />
Dviejų tampriųjų kūnų kontakte veikia tangentiniai τzx, τzy<br />
ir normaliniai<br />
σ zz įtempimai. Kai vyksta dviejų kūnų slydimas vienas kito<br />
atžvilgiu, kontakte tam tikruose taškuose atsiranda slydimas, t. y. dviejų<br />
kūnų kontakto taške kūnų greičiai yra skirtingi. Tarp dviejų kūnų trinties<br />
jėga nelygi nuliui, kai yra tarp kūnų kontaktas, kūnų greičiai yra<br />
skirtingi ir prispaudimo jėga nelygi nuliui. Todėl kontakto plote atsiranda<br />
trinties jėgos ir šių jėgų momentas. Nagrinėjant aširačio ir bėgio<br />
paviršiaus sąveiką, panaudojant Herco teoriją, reikia žinoti kreivumo<br />
kūnų spindulius. Aširačio ir bėgio geometrija yra gana sudėtinga, t. y.<br />
kiekvieno kūno paviršiuje kreivumo spindulys yra kintamas 6.1 pav.<br />
6.1 pav. Bėgio ir aširačio geometrija ir sąveika<br />
194
Aširačio ir bėgio kontakto geometrija – elipsė, kurios pusašės yra<br />
a ir b. Priklausomai nuo judėjimo sąlygų, aširačio ir bėgio kontakte atsiranda<br />
sritys, kuriose nėra slydimo ir yra nedidelis slydimas 6.2 pav.<br />
6.2 pav. Aširačio ir bėgio kontakto geometrija ir slydimo ir sukibimo sritys<br />
Aširačio ir bėgio kontakto centre įvedama koordinačių sistema<br />
xk, yk, zk<br />
. Ašis x k nukreipta aširačio judėjimo kryptimi, z k nukreipta<br />
statmenai bėgio paviršiui, o y k – statmena plokštumai, kurią<br />
sudaro x k ir z k ašys. Iš koordianačių<br />
<br />
centro<br />
<br />
kiekvienos ašies kryptimi<br />
nukreipti<br />
<br />
vienetiniai<br />
<br />
vektoriai e1, e2, e , be to, galioja priklausomybė<br />
3<br />
e2 = e1 × e .<br />
3<br />
Įvesime kreivumo spindulius: RR1, RB1<br />
ir RR2, RB2. Aširačio spinduliai:<br />
RR1, RR2<br />
ir bėgio spinduliai: RB1, RB2. Spinduliai su indeksu<br />
„1“ guli plokštumoje, kurią sudaro vienetiniai vektoriai e1, e3, spinduliai<br />
su indeksu „2“ guli plokštumoje, kurią sudaro vienetiniai vektoriai<br />
e1, e2<br />
.<br />
Kontakto ploto pusašių reikšmės yra lygios:<br />
195
a=<br />
m<br />
3<br />
2<br />
31 ( − ν ) F<br />
( )<br />
E A+<br />
B<br />
z<br />
; b=<br />
n<br />
3<br />
2<br />
31 ( − ν ) F<br />
( )<br />
E A+<br />
B<br />
z<br />
, (6.1)<br />
čia F z – prispaudimo jėga; AB , – parametrai, kurie yra lygūs:<br />
1 1 1 1<br />
A = + ; B = + ; (6.2)<br />
R R R R<br />
R2 B2<br />
R1 B1<br />
m, n – Herco parametrai, kurie priklauso nuo kampo ϑ :<br />
−<br />
ϑ= arr cos( A B<br />
A+<br />
B<br />
) (6.3)<br />
π<br />
2<br />
π<br />
,<br />
2<br />
0 ≤ϑ<br />
≤ , tai a><br />
b<br />
π<br />
2<br />
ϑ = tai a=<br />
b<br />
< ϑ≤ π,<br />
tai a<<br />
b<br />
ir nustatomi iš 6.1 lentelės; E – tamprumo modulis; ν – Puasono<br />
koefi cientas.<br />
Kai aširačio ir bėgio medžiagų mechaninės savybės yra skirtingos,<br />
tada tamprumo, šlities moduliai ir Puasono koeficiento atitinkamos<br />
išraiškos yra lygios:<br />
E<br />
G =<br />
2( ( 1+<br />
ν )<br />
; 1 1 ⎛ 1 1<br />
= ⎜ +<br />
G 2 ⎝ GR<br />
G<br />
ν 1 ⎛ νR<br />
ν<br />
= ⎜ +<br />
G 2 ⎝ GR<br />
G<br />
B<br />
B<br />
⎞<br />
⎟ ;<br />
⎠<br />
2<br />
B<br />
⎞<br />
⎟ ; G GG R B<br />
=<br />
⎠ GR<br />
+ G<br />
1−<br />
ν 1 1−<br />
1<br />
=<br />
⎛ νR<br />
⎜ + − ν<br />
E 4 ⎝ GR<br />
GB<br />
B<br />
B<br />
; (6.4)<br />
⎞<br />
⎟ .<br />
⎠<br />
Kontakte veikiančios sankibio jėgos ir momentas yra lygūs:<br />
f<br />
xk<br />
= ∫ τ zxdA<br />
; f yk = ∫ τ zy dA ; Mzk ∫ τzy xk−τ zxyk<br />
dA . (6.5)<br />
A<br />
A<br />
= ( )<br />
Pagal Herco teoriją, kontakte veikiantis slėgis pasiskirsto pagal<br />
dėsnį (6.3 pav.):<br />
A<br />
196
2 2<br />
3Fz xk yk<br />
p( xk,<br />
yk)= − ⎛ ab ⎝ ⎜ ⎞<br />
a<br />
⎟<br />
⎠<br />
− ⎛ ⎝ ⎜<br />
⎞<br />
1<br />
2π<br />
b<br />
⎟<br />
⎠<br />
(6.6)<br />
6.3 pav. Slėgio pasiskirstymas aširačio ir bėgio kontakte: Fz =120 KN<br />
6.1 lentelė Herco kontakto teorijos parametrų reikšmės<br />
q m n g=b/a=n/m q m n<br />
g=b/<br />
a=n/m<br />
0 ∞ 0 0 90 1 1 1<br />
0,5 61,40 0,1018 0,00166 95 0,944 1,061 0,890<br />
1 36,89 0,1314 0,00356 100 0,893 1,128 0,792<br />
1,5 27,48 0,1522 0,00554 105 0,846 1,202 0,704<br />
2 22,26 0,1691 0,00760 110 0,802 1,284 0,625<br />
3 16,50 0,1964 0,0119 115 0,759 1,378 0,551<br />
4 13,31 0,2188 0,0164 120 0,717 1,486 0,483<br />
6 9,79 0,2552 0,0261 125 0,678 1,611 0,421<br />
8 7,86 0,2850 0,0363 130 0,641 1,754 0,365<br />
10 6,604 0,3112 0,0471 135 0,604 1,926 0,314<br />
20 3,813 0,4123 0,108 140 0,567 2,136 0,265<br />
30 2,731 0,493 0,181 145 0,530 2,397 0,221<br />
35 2,397 0,530 0,221 150 0,493 2,731 0,181<br />
40 2,136 0,567 0,265 160 0,4123 3,813 0,108<br />
197
45 1,926 0,604 0,314 170 0,3112 6,604 0,0471<br />
50 1,754 0,641 0,365 172 0,2850 7,86 0,0363<br />
55 1,611 0,678 0,421 174 0,2552 9,79 0,0261<br />
60 1,486 0,717 0,483 176 0,2188 13,31 0,0164<br />
65 1,378 0,759 0,551 178 0,1964 16,50 0,0119<br />
70 1,284 0,802 0,625 178 0,1691 22,26 0,00760<br />
75 1,202 0,846 0,704 178,5 0,1522 27,48 0,00554<br />
80 1,128 0,893 0,792 179,0 0,1314 36,89 0,00365<br />
85 1,061 0,944 0,890 179,5 0,1018 61,40 0,00166<br />
90 1,00 1,00 1 180 0 ∞ 0<br />
Pagal Kalkerio teoriją, kontakte veikiančių jėgų vektorius yra lygus:<br />
{ F }=−[ H]{ V }, (6.7)<br />
k<br />
čia { Fk}= ⎡ ⎣<br />
Fxk Fyk Mzk<br />
⎤ ⎦ ; V s<br />
⎡ f<br />
[ H<br />
⎢<br />
]=<br />
⎢<br />
0<br />
⎣⎢<br />
0<br />
11<br />
s<br />
T<br />
0 0 ⎤<br />
f f<br />
⎥<br />
22 23 ⎥ ;<br />
− f23 f33<br />
⎦⎥<br />
{ } – slydimo greičių vektorius;<br />
f<br />
f<br />
= abGC<br />
= abGC<br />
11 11<br />
22 22<br />
32<br />
23 = ( ) 23<br />
2<br />
f33<br />
= ( ab)<br />
GC33<br />
f ab GC<br />
; (6.8)<br />
C ij – Kalkerio parametrai, Cij<br />
Cij<br />
ab,ν nustatomi iš 6.2 lentelės.<br />
= ( )<br />
6.1 lentelės pabaiga<br />
198
6.2 lentelė. Kalkerio C ij parametrai<br />
C11 C22 C23 C33<br />
g n=0 0,25 0,5 0 0,25 0,5 0 0,25 0,5 0 0,25 0,5<br />
0,0<br />
2<br />
π /( 41 ( −ν))<br />
≠ 2 / 4 π g /( 31 ( −ν))<br />
⋅<br />
[ 1+ ν( Λ/ 2+ ln 4−5)]<br />
2<br />
π /( 16( 1−<br />
ν ) g)<br />
a/b<br />
b/a<br />
0,1 2,51 3,31 4,85 2,51 2,52 2,53 0,33 0,473 0,73 6,42 8,28 11,7<br />
0,2 2,59 3,37 4,81 2,59 2,63 2,66 0,48 0,603 0,81 3,46 4,227 5,66<br />
0,3 2,68 3,44 4,80 2,68 2,75 2,81 0,61 0,715 0,89 2,49 2,96 3,72<br />
0,4 2,78 3,53 4,82 2,78 2,88 2,98 0,72 0,823 0,98 2,02 2,32 2,77<br />
0,5 2,88 3,62 4,83 2,88 3,01 3,14 0,83 0,929 1,07 1,74 1,93 2,22<br />
0,6 2,98 3,72 4,91 2,98 3,14 3,31 0,93 1,03 1,18 1,56 1,68 1,86<br />
0,7 3,09 3,81 4,97 3,09 3,28 3,48 1,03 1,14 1,29 1,43 1,50 1,60<br />
0,8 3,19 3,91 5,05 3,19 3,41 3,65 1,13 1,25 1,40 1,34 1,37 1,42<br />
0,9 3,29 4,01 5,12 3,29 3,54 3,82 1,23 1,36 1,51 1,27 1,27 1,27<br />
1,0 3,40 4,12 5,20 3,40 3,67 3,98 1,33 1,47 1,63 1,21 1,19 1,16<br />
0,9 3,51 4,22 5,30 3,51 3,81 4,16 1,44 1,59 1,77 1,16 1,11 1,06<br />
0,8 3,65 4,36 5,42 3,65 3,99 4,39 1,58 1,75 1,94 1,10 1,04 0,95<br />
0,7 3,82 4,54 5,58 3,82 4,21 4,67 1,76 1,95 2,18 1,05 0,97 0,85<br />
0,6 4,06 4,78 5,80 4,06 4,50 5,04 2,01 2,23 2,50 1,01 0,90 0,75<br />
0,5 4,37 5,10 6,11 4,37 4,90 5,56 2,35 2,62 2,96 0,96 0,82 0,65<br />
0,4 4,84 5,57 6,57 4,84 5,48 6,31 2,88 3,24 3,70 0,91 0,75 0,55<br />
0,3 5,57 6,34 7,34 5,57 6,40 7,51 3,79 4,32 5,01 0,87 0,67 0,45<br />
0,2 6,96 7,78 8,82 6,96 8,14 9,79 5,72 6,63 7,89 0,83 0,60 0,34<br />
0,1 10,7 11,7 12,9 10,7 12,8 16,0 12,2 14,6 18,0 0,80 0,53 0,23<br />
Aširačio ratų (kairiojo ir dešiniojo) kontakte su bėgiais slydimo<br />
greičiai lygūs:<br />
T<br />
T<br />
{ V }= [ A ] { V }+ [ A ][ ω ][ A ] { r }, (6.9a)<br />
sk<br />
31 c 31 c 31<br />
T<br />
T<br />
{ V }= [ A ] { V }+ [ A ][ ω ][ A ] { r }, (6.9b)<br />
sd<br />
31 c 31 c 31<br />
{ } – aširačio masių centro greičių vektorius bendroje koordina<br />
[ ] – antisimetrinė matrica, sugeneruota iš aširačio<br />
čia V c<br />
čių sistemoje; ω c<br />
masių centro kampinio greičio vektoriaus { ω }=[ ϕ<br />
−Ω ϕ<br />
],<br />
199<br />
ck<br />
cd<br />
c<br />
1 3
⎡ 0<br />
ω̃<br />
⎢<br />
[ c ]= ϕ̇<br />
⎢<br />
⎣⎢<br />
Ω<br />
−ϕ̇<br />
0<br />
ϕ̇<br />
3<br />
3 1<br />
apie X c , Y c ir Z c ašis, atitikamai;<br />
1<br />
−Ω<br />
⎤<br />
−ϕ̇<br />
⎥<br />
⎥ ; ϕ 1 , ⏐ , ϕ 3 – aširačio kampiniai greičiai<br />
0 ⎦⎥<br />
[ A 31 ] – koordinačių transformacijos matrica,<br />
[ ]= ( )<br />
( ) − ( )<br />
⎡cos<br />
ϕ3 sin ϕ3<br />
0⎤<br />
⎡1 0 0 ⎤<br />
⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥<br />
A31 ⎡<br />
⎣A3 ϕ3 ⎤<br />
⎦ ⎡⎣ A1( ϕ1)<br />
⎤ ⎦ = ⎢sin( ϕ3) cos( ϕ3)<br />
0⎥<br />
⎢0<br />
cos( ϕ1) − sin( ϕ1)<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎣ 0 0 1⎥<br />
⎢<br />
⎦ ⎣0<br />
sin( ϕ1) cos( ϕ1)<br />
⎥<br />
⎦<br />
{ r ck }, r d<br />
{ } – aširačio kairiojo ir dešiniojo ratų kontakto vektoriai<br />
užrašyti aširačio koordinačių sistemoje,<br />
[ ]<br />
{ rck<br />
}= 0 −a −RRk<br />
; { r }= 0 a −R<br />
.<br />
cd<br />
200<br />
[ ]<br />
Rd<br />
6.2. Euristinis netiesinis modelis<br />
Euristinis netiesinis aširačio ir bėgio sąveikos modelis buvo sukurtas<br />
mokslininkų Z. Shen, J. Hendrick, J. Elkins (1983). Pirmu priartėjimu<br />
sankybio jėgos skaičiuojamos panaudojant tiesinį Kalkerio<br />
modelį (6.7), t. y.<br />
⎧ F ⎫<br />
xk<br />
⎪ ⎪<br />
{ Fk<br />
}= ⎨ Fyk<br />
⎬ =−[ H]{ Vs}.<br />
⎪ ⎪<br />
⎩M<br />
zk ⎭<br />
Po to skaičiuojama atstojamoji jėga:<br />
FΣ = 2<br />
Fxk<br />
+ 2<br />
Fyk<br />
. (6.10)<br />
Slydimo jėga yra lygi:<br />
⎧ ⎡<br />
F F F<br />
Fz<br />
− ⎛ 2 3<br />
Fs<br />
= Fz ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤<br />
⎢ Σ 1 Σ 1 Σ<br />
⎪µ<br />
⎟ + ⎜ ⎟ ⎥<br />
⎨ ⎢µ 3 µ Fz ⎠ 27 ⎝ µ Fz<br />
⎣<br />
⎠ ⎥, kai FΣ ≤3 µ Fz<br />
,(6.11)<br />
⎪<br />
⎦<br />
⎩⎪<br />
µ Fz<br />
, FΣ<br />
> 3µ<br />
Fz<br />
;
čia µ – trinties koeficientas,<br />
⎡( ) −<br />
−B ε<br />
µ = µ − ⎤<br />
0 1 Ae A , (6.12)<br />
⎣<br />
⎦<br />
čia µ 0 – statinis trinties koeficientas, ε – kontakto taško bendras<br />
santykinis slydimas, ε=0... 0, 2 ; AB , – parametrai,<br />
µ ∞<br />
A = , ( A= 04 , ; B= 060 , ; µ 0 = 0,<br />
55 , kai sausa trintis;<br />
µ 0<br />
A= 04 , ; B= 020 , ; µ = 0,<br />
30 , kai drėgnas paviršius).<br />
0<br />
Pagal euristinį netiesinį modelį sankybio jėgos lygios:<br />
Fs<br />
FxkN<br />
F<br />
F<br />
F<br />
=<br />
s<br />
xk ; FykN<br />
=<br />
F<br />
F yk . (6.13)<br />
Σ<br />
Σ<br />
6.3. Miulerio modelis<br />
Pagal Miulerio modelį sankybio jėgos lygios:<br />
F<br />
=−ξ F ; F =−ξ F , (6.14)<br />
x x xy<br />
y y xy<br />
čia ξ x , ξ y – santykiniai slydimai x ir y ašių kryptimis,<br />
V V<br />
x<br />
y<br />
ξ x = ; ξ y = ; (6.15)<br />
Vcx<br />
Vcx<br />
V cx – aširačio masių centro judėjimo greitis ; V x , V y – greičiai<br />
kontakto taške;<br />
F<br />
xy<br />
1000Kc<br />
=<br />
⎡<br />
m<br />
Kc<br />
+ ⎛ ⎝ ⎜ ξ ⎞ ⎤<br />
⎢1<br />
P<br />
⎟ ⎥<br />
⎣<br />
⎢ µ ⎠ ⎦<br />
⎥<br />
1<br />
m<br />
Kc = P ( 235 − P ( 24 , − 001 , P )) .<br />
−<br />
; P=<br />
10 3 F z ; (6.16)<br />
201
6.4. Kitos aširačio sąveikos su bėgiu teorijos<br />
Kairysis ir dešinysis bėgių paviršiai suskaidyti į tam tikrą skaičių<br />
erdvinių devynių mazgų izoparametrinių baigtinių elementų (6.4 pav.).<br />
6.4 pav. Bėgio R65 paviršius<br />
Aširačio rato profilis aproksimuojamas tam tikrų taškų skaičiumi.<br />
Priklausomai nuo aširačio padėties geležinkelyje ieškoma kiekvieno<br />
rato profilio penetracija ∆ P į bėgio paviršių (6.5 pav.).<br />
202
6.5 pav. Aširačių ir bėgio R65 sąveika<br />
Suradus rato profilio taško P penetraciją ∆ P , normalinė bėgio<br />
profiliui jėga, veikianti aširatį, lygi:<br />
F<br />
N<br />
= k∆ , (6.17)<br />
P n<br />
čia k – bėgio standumas; n – laipsnio rodiklis, n=3/2 (pagal Herco<br />
teoriją). Kairiojo kontakto jėgos dedamosios, užrašytos aširačio koordinačių<br />
sistemoje, yra lygios:<br />
203
F<br />
= F cos( α ) ; F = F sin( α ) , (6.18)<br />
YK N N<br />
ZK N N<br />
čia α N – kampas tarp normalės, pravestos bėgio paviršiui, ir aširačio<br />
rato Y ašies.<br />
Aširačio kairiojo rato ir bėgio kontakto taške P veikiančios trinties<br />
jėgos yra lygios:<br />
čia ε<br />
F<br />
F<br />
TRXK<br />
TRYK<br />
⎧ K<br />
TKsign<br />
K kai<br />
= − ε1<br />
⎪<br />
( ε ) , ε<br />
⎨ ε<br />
≠<br />
⎪<br />
⎩ 0,<br />
kai ε = 0<br />
⎧ ε2K<br />
⎪ TKsign<br />
ε K , kai ε<br />
⎨ ε<br />
⎪<br />
⎩ 0,<br />
kai ε = 0<br />
1 0<br />
2 0<br />
= − ( ) ≠<br />
, (6.19)<br />
, (6.20)<br />
, ε – kontakto taško santykinis slydimas X ir Y ašimis<br />
1K<br />
2K<br />
vXK<br />
vYK<br />
2 2<br />
ε 1 K = ; ε 2 K = ; ε= εiK<br />
+ ε2K<br />
; (6.21)<br />
vC1<br />
vC1<br />
v C1 – aširačio masių centro greitis; vXK<br />
, vYK<br />
– kontakto taške P<br />
aširačio greičiai.<br />
i-ojo aširačio kairiojo rato kontakto su bėgiu taške P greičio vektorius<br />
lygus:<br />
⎧vXK<br />
⎫<br />
⎪ ⎪<br />
{ vP}=<br />
⎨vYK<br />
⎬ = { q Vi }+ ⎡A ⎣ ( ϕ ) Vi<br />
⎤<br />
⎦ { r } KP , (6.22)<br />
⎪<br />
⎩v<br />
⎪<br />
ZK ⎭<br />
{ } – vektorius nuo aširačio masių centro iki kontakto taško P.<br />
čia r KP<br />
Kontakto taške veikianti trinties jėga lygi<br />
T<br />
K<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜ 1 ⎟<br />
= Fε⎜<br />
⎟<br />
4<br />
⎜ ⎛ ε<br />
F<br />
⎜ ( F z ) + ⎞<br />
⎜<br />
⎟ +<br />
⎟<br />
1 1<br />
⎟<br />
⎝ ⎝ µ ⎠ ⎠<br />
14 /<br />
, (6.23)<br />
204
−3 2 −6 3<br />
z z z<br />
čia F = 235F −24010 , ⋅ F + 0, 01⋅10<br />
F ; µ – trinties koeficientas.<br />
Šešto skyriaus literatūra<br />
Polach, O. 2005. Creep Forces in Simulations of Traction Vehicles Running<br />
on Adhesion Limit. Wear, 258. 992–1000 p.<br />
Popp, K.; Schiehlen, W. 1993. Ground Vehicle Dynamics.<br />
205