I skyrius. VEKTORIAI

Angelė Baškienė
ANALIZINĖ GEOMETRIJA
I skyrius
(Medžiaga virtualiajam kursui)
Turinys
I skyrius. VEKTORIAI....................................................................................................................................................... 8
1. Vektoriaus sąvoka...................................................................................................................................................... 8
1.1. Kryptinė atkarpa ir vektorius.............................................................................................................................. 8
1.1.1. Kryptinė atkarpa......................................................................................................................................... 8
1.1.2. Vektoriaus apibrėžimas .............................................................................................................................. 8
1.2. Apie vektorius .................................................................................................................................................... 8
1.2.1. Nulinis vektorius ........................................................................................................................................ 8
1.2.2. Vienakrypčiai ir priešpriešiniai vektoriai ................................................................................................... 9
1.2.3. Priešingi vektoriai....................................................................................................................................... 9
1.2.4. Kolinearieji ir komplanarieji vektoriai ....................................................................................................... 9
1.2.5. Statmeni vektoriai....................................................................................................................................... 9
1.3. Savikontrolės klausimai ..................................................................................................................................... 9
2. Vektorių sudėtis ir atimtis........................................................................................................................................ 10
2.1. Vektorių sudėties apibrėžimas, sudėties taisyklės ir savybės........................................................................... 10
2.1.1. Vektorių sudėties trikampio taisyklė ........................................................................................................ 10
2.1.2. Vektorių sudėties lygiagretainio taisyklė.................................................................................................. 10
2.1.3. Vektorių sudėties daugiakampio taisyklė ................................................................................................. 10
2.1.4. Vektorių sudėties savybės ........................................................................................................................ 10
2.2. Vektorių atimtis................................................................................................................................................ 11
2.2.1. Vektorių atimties apibrėžimas ir trikampio taisyklė................................................................................. 11
2.2.2. Vektorių atimties savybė .......................................................................................................................... 11
2.3. Savikontrolės klausimai ir užduotys................................................................................................................. 11
3. Vektorių daugyba iš skaičiaus.................................................................................................................................. 11
3.1. Kryptinės atkarpos ir skaičiaus sandaugos apibrėžimas................................................................................... 12
3.2. Vektoriaus daugybos iš skaičiaus taisyklė ....................................................................................................... 12
3.3. Vektoriaus daugybos iš skaičiaus savybės ....................................................................................................... 12
3.4. Vektoriaus išreiškimas nenuliniu kolineariu vektoriumi.................................................................................. 13
3.5. Vektorinė erdvė ir jos pavyzdžiai..................................................................................................................... 13
3.6. Savikontrolės klausimai ir užduotys................................................................................................................. 13
4. Vektorių koordinatės ir jų savybės........................................................................................................................... 14
4.1. Bazės ir koordinačių apibrėžimai..................................................................................................................... 14
4.1.1. Tiesės linealo L 1 bazė. Tiesės vektorių koordinatės ................................................................................. 14
4.1.2. Plokštumos linealo L 2 bazė. Plokštumos vektorių koordinatės................................................................. 14
4.1.3. Erdvės linealo L 3 bazė. Erdvės vektoriaus koordinatės ............................................................................ 15
4.1.4. Vienodai ir priešingai orientuotos bazės................................................................................................... 15
4.2. Vektorių koordinačių savybės.......................................................................................................................... 16
4.2.1. Lygių vektorių koordinatės....................................................................................................................... 16
4.2.2. Vektorių sumos koordinatės ..................................................................................................................... 16
4.2.3. Vektoriaus ir skaičiaus sandaugos koordinatės ........................................................................................ 16
4.2.4. Bazinių vektorių ir nulinio vektoriaus koordinatės................................................................................... 16
4.3. Vektorių kolinearumo būtina ir pakankama sąlyga, išreikšta vektorių koordinatėmis..................................... 17
4.4. Uždaviniai ........................................................................................................................................................ 17
4.5. Savikontrolės klausimai ir užduotys................................................................................................................. 18
5. Vektorių skaliarinė sandauga................................................................................................................................... 18
5.1. Vektorių skaliarinės sandaugos apibrėžimas ir savybės................................................................................... 18
5.1.1. Vektorių skaliarinės sandaugos apibrėžimas ............................................................................................ 18
5.1.2. Vektorių statmenumo būtina ir pakankama sąlyga................................................................................... 18
5.1.3. Vektoriaus skaliarinio kvadrato savybė. Išvada ....................................................................................... 19
5.2. Vektoriaus skaliarinė projekcija....................................................................................................................... 19
5.2.1. Vektoriaus skaliarinės projekcijos apibrėžimas ir savybės....................................................................... 19
5.2.2. Vektorių skaliarinės sandaugos ir skaliarinės projekcijos ryšio formulės ................................................ 19
5.3. Skaliarinės daugybos komutatyvumas, asociatyvumas ir distributyvumas ..................................................... 19
5.4. Vektorių skaliarinės sandaugos ir jos savybių išraiška koordinatėmis............................................................ 20
3

4
5.4.1. Vektorių skaliarinės sandaugos išraiška dauginamųjų koordinatėmis...................................................... 20
5.4.2. Vektoriaus ilgio išraiška koordinatėmis ................................................................................................... 20
5.4.3. Kampo tarp vektorių išraiška koordinatėmis............................................................................................ 20
5.5. Uždaviniai ........................................................................................................................................................ 21
5.6. Savikontrolės klausimai ir užduotys................................................................................................................. 22
6. Vektorių vektorinė sandauga ................................................................................................................................... 22
6.1. Vektorių vektorinės sandaugos apibrėžimas .................................................................................................... 22
6.2. Paprasčiausios vektorinės sandaugos savybės.................................................................................................. 22
6.3. Esminės vektorinės daugybos savybės............................................................................................................. 23
6.3.1. Vektorių vektorinės sandaugos statmenumas dauginamiesiems vektoriams............................................ 23
6.3.2. Vektorinės sandaugos ilgis ....................................................................................................................... 23
6.3.3. Bazės { a r , b r , a r × b r } orientacija............................................................................................................. 23
6.3.4. Antrasis vektorinės sandaugos apibrėžimas ............................................................................................. 23
6.3.5. Vektorių i r , j r , k r vektorinės ir skaliarinės daugybos lentelės................................................................ 24
6.4. Vektorinės sandaugos ilgio geometrinė prasmė. Trikampio plotas.................................................................. 24
6.5. Uždaviniai ........................................................................................................................................................ 24
6.6. Savikontrolės klausimai ir užduotys................................................................................................................. 25
7. Vektorių mišrioji sandauga ...................................................................................................................................... 25
7.1. Vektorių mišriosios sandaugos apibrėžimas ir paprasčiausios savybės ........................................................... 25
7.1.1. Vektorių mišriosios sandaugos apibrėžimas............................................................................................. 25
7.1.2. Vektorių mišriosios sandaugos išraiška vektorių koordinatėmis.............................................................. 26
7.1.3. Vektorių mišriosios sandaugos paprasčiausios savybės ........................................................................... 26
7.2. Trijų vektorių komplanarumo būtina ir pakankama sąlyga.............................................................................. 26
7.3. Vektorių mišriosios sandaugos geometrinė prasmė ......................................................................................... 26
7.4. Uždaviniai ........................................................................................................................................................ 27
7.5. Savikontrolės klausimai ir užduotys................................................................................................................. 28

A N A L I Z I N Ė
G E O M E T R I J A
I skyrius. VEKTORIAI
1. Vektoriaus sąvoka
1.1. Kryptinė atkarpa ir vektorius
1.1.1. Kryptinė atkarpa
A Jei atkarpos AB galai sunumeruoti, pvz., A yra pirmas taškas arba pradžia, B –
antras taškas arba pabaiga, tuomet ji vadinama kryptine atkarpa.
Kryptinė atkarpa žymima AB , vaizduojama atkarpa su rodykle ties jos pabaiga (1.1 pav.).
Atkarpa AB lygi atkarpai BA. Tačiau kryptinė atkarpa AB ir kryptinė atkarpa BA nėra
lygios. Jos vadinamos priešingomis kryptinėmis atkarpomis.
A Dvi kryptinės atkarpos AB ir CD vadinamos ekvipolenčiomis, jeigu jos yra
vienodo ilgio ir tos pačios krypties (1.1 pav.).
1.1.2. Vektoriaus apibrėžimas
A
1
C
1.1 pav.
B
2
D
A Visų vienodos krypties ir vienodo ilgio kryptinių atkarpų aibė vadinama
vektoriumi.
Vektorius žymėsime taip: a r , b r , ... Kartais vektoriai žymimi pastorintu, pasviruoju
šriftu: a, b,....Vektorių a r sudarančios ekvipolenčios kryptinės atkarpos vadinamos to
vektoriaus atstovais.
Du vektoriai yra lygūs (sutampa) tada ir tik tada, kai jų atstovai ekvipolentūs.
T Bet kuri kryptinė atkarpa AB apibrėžia su ja ekvipolenčių kryptinių atkarpų
klasę, t. y. vektorių.
▲Tarkime, jog turime kurią nors kryptinę atkarpą AB . Paimkime bet kurį erdvės tašką M, per jį nubrėžkime tiesę
l, lygiagrečią su tiese AB. Toje tiesėje atidėkime tašką N taip, kad spinduliai AB ir MN būtų vienakrypčiai, o atstumas
MN būtų lygus atstumui AB (1.2 pav.). Tada kryptinė atkarpa MN yra ekvipolenti su kryptine atkarpa AB . Keisdami
erdvėje tašką M, gausime visas kryptines atkarpas, ekvipolenčias su kryptine atkarpa AB , t. y. vektorių. ▲
Vektorių a r , kurį apibrėžia kryptinė atkarpa AB , žymėsime AB . Suprantame, jog
AB ∈ a r = AB , bet jokiu būdu AB ≠ AB . Remdamiesi įrodyta teorema, vektorių a r B
A
= AB ,
kurį apibrėžia kryptinė atkarpa AB , vaizduosime ta kryptine atkarpa, tik virš jos
rašysime vektoriaus ženklą a r D
C
(1.3 pav.).
1.3 paveiksle kryptinės atkarpos AB ir CD yra ekvipolenčios, todėl jos apibrėžia tą E
patį vektorių a r b
(priklauso tam pačiam vektoriui), o kryptinė atkarpa EF apibrėžia
r r
F
vektorių b ≠ a .
Vektoriaus a r 1.3 pav.
ilgiu, arba moduliu, vadinamas jo bet kurio atstovo ilgis.
Vektoriaus ilgis žymimas | a r | . Pvz., jei a r r
= AB , tuomet a = AB = AB = AB .
1.2. Apie vektorius
1.2.1. Nulinis vektorius
A Jei atkarpos AB galai sutampa, tuomet kryptinė atkarpa AB = AA vadinama nuline kryptine atkarpa.
Nulinė kryptinė atkarpa neapibrėžia jokios krypties, o jos ilgis AA = 0 .
A
M
B
1.2 pav.
N
l
8

A Visų nulinių kryptinių atkarpų aibė vadinama nuliniu vektoriumi.
Jis žymimas → 0 arba 0. Nulinį vektorių apibrėžia vienas kuris nors jo atstovas, pvz., BB , MM , .... Jei nulinį
vektorių apibrėžia kryptinė atkarpa AA , tuomet jis žymimas AA . Aišku, jog AA = BB = ... = → 0 .
Nulinio vektoriaus ilgis lygus 0: | → 0 |=| AA | = AA = 0 .
1.2.2. Vienakrypčiai ir priešpriešiniai vektoriai
A Du vektoriai vadinami
vienakrypčiais, jei jų atstovai yra
vienakryptės kryptinės atkarpos
(1.4a pav.).
A Vektoriai vadinami
priešpriešiniais, jei jų atstovai
yra priešpriešinės kryptinės
atkarpos (1.4b pav.).
A
a
b
C
1.4a pav.
D
D
b
1.4b pav.
a
B
B
a
1.4c pav.
a
1.2.3. Priešingi vektoriai
Tarkime, jog vektorių a r apibrėžia kryptinė atkarpa AB , t. y. a r = AB . Kryptinė atkarpa BA , priešinga kryptinei
atkarpai AB , apibrėžia vektorių BA , kuris vadinamas vektoriui a r priešingu vektoriumi ir žymimas (- a r ) (1.4c pav.).
Priešingi vektoriai a r = AB ir - a r = BA yra vienodo ilgio, nes atstumai AB ir BA yra lygūs. Jie yra priešpriešiniai
vektoriai, todėl AB ≠ BA ( BA = - AB ).
1.2.4. Kolinearieji ir komplanarieji vektoriai
A Vektoriai vadinami kolineariaisiais, jei jų atstovai yra lygiagretūs su viena tiese l arba yra toje tiesėje (1.5
pav.).
l
N
A
F
B
b
E
C
C
M
A
d
b
d
D
M
N
1.5 pav.
1.6 pav.
Jei nubrėšime tik tuos kolineariųjų vektorių atstovus, kurių pradžios yra tiesėje l, tai jie bus toje tiesėje.
Du nenuliniai kolinearieji vektoriai yra arba vienakrypčiai (rašoma a
r r
↑↑ b
r r
), arba priešpriešiniai (rašoma a ↑↓ b ).
Nulinis vektorius PP laikomas kolineariu su kiekvienu vektoriumi (1.5 pav.).
A Vektoriai vadinami komplanariaisiais, jei jų atstovai lygiagretūs su viena plokštuma π arba priklauso tai
plokštumai (1.6 pav.).
Jei nubrėšime tuos komplanariųjų vektorių atstovus, kurių pradžios yra plokštumoje π, tuomet jie bus toje
plokštumoje.
Du bet kurie vektoriai visada komplanarūs. Trys vektoriai, kurių bent vienas yra nulinis vektorius, laikomi
komplanariais.
Kolinearieji vektoriai yra komplanarieji.
1.2.5. Statmeni vektoriai
A Kampu tarp vektorių a r ir b r vadinamas kampas tarp jų atstovų
OA∈
OB ∈ b r .
Imamas mažesnysis kampas tarp spindulių OA ir OB. Jo dydis α∈[0,π] (1.7 pav.).
a r ir
A
O
A Jei kampas tarp vektorių yra status, t. y. α= 2
π , tuomet vektoriai vadinami
statmenais.
Rašoma: a r ⊥ b r .
1.7 pav.
b
1.3. Savikontrolės klausimai
9

1. Ką vadiname vektoriumi ir ką vadiname kryptine atkarpa
2. Kas apibrėžia vektorių Kodėl
3. Ką vadiname nuliniu vektoriumi
4. Kokie vektoriai vadinami vienakrypčiais, kokie priešpriešiniais, kokie priešingais
5. Kokius vektorius vadiname kolineariaisiais Kokius komplanariaisiais
6. Kokie du vektoriai vadinami statmenais
7. Ką vadiname vektoriaus ilgiu Koks nulinio vektoriaus ilgis
2. Vektorių sudėtis ir atimtis
2.1. Vektorių sudėties apibrėžimas, sudėties taisyklės ir savybės
2.1.1. Vektorių sudėties trikampio taisyklė
Tarkime, jog turime du vektorius a r = MN ir b r = EF . Tų vektorių
sudėtį apibrėšime taip.
Imkime bet kurį erdvės tašką A, atidėkime kryptinę atkarpą AB ,
priklausančią vektoriui a r , t. y. nubrėžkime kryptinę atkarpą,
ekvipolenčią su vektoriaus a r atstovu MN . Iš taško B atidėkime
kryptinę atkarpą BC , priklausančią vektoriui b r , t. y. ekvipolenčią su
jo atstovu EF . Sujunkime taškus A ir C. Gauta kryptinė atkarpa AC
apibrėžia vektorių c r , kuris vadinamas vektorių a r ir b r suma (1.8
pav.). Rašoma: c r = a r + b r .
T Atsakymas c r nepriklauso nuo taško A parinkimo. Įrodykite.
M
A
N
B
= + b
1.8 pav.
E
b
C
b
Kadangi AB =a r , BC = b r , AC =c r =a r + b r , tai bet kuriems trims taškams A, B, C galioja lygybė
AB + BC = AC . (1.1)
Ši formulė vadinama vektorių sudėties trikampio taisykle.
2.1.2. Vektorių sudėties lygiagretainio taisyklė
T Norint sudėti du vektorius a r ir b r , reikia iš bet kurio
taško O nubrėžti vektorių atstovus OA∈
a r ir OB ∈ b r , papildyti
brėžinį iki lygiagretainio OACB; tuomet kryptinė atkarpa OC
apibrėžia vektorių a r ir b r sumą c r (1.9 pav.).
Įrodymas išplaukia iš (1.1) taisyklės ir kryptinių atkarpų OB
bei AC ekvipolentiškumo.
O
A
= + b
b
b
1.9 pav.
B
C
2.1.3. Vektorių sudėties daugiakampio taisyklė
T Bet kuriems taškams
1, A2
An
teisinga
A ,...,
lygybė A1 A2
+ A2
A3
+ ... + An
− 1An
= A1
An
.
Įrodoma (n-2) kartus pasiremiant sudėties
trikampio taisykle (1.1). 1.10 paveiksle pavaizduota
keturių vektorių sudėtis pagal daugiakampio taisyklę.
A 1
A 2
b
+ b + + d
A
A4
3
d
2.1.4. Vektorių sudėties savybės
1.10 pav.
A 5
S 1. Vektorių sudėtis komutatyvi: ∀ a r , b r , a r + b r = b r + a r (1.9 pav.). Įrodymas išplaukia iš vektorių sudėties
lygiagretainio ir trikampio taisyklių.
S 2. Vektorių sudėtis asociatyvi:
∀ a r , b r , c r , ( a r + b r )+ c r = = a r +( b r B b
+ c r C
) (1.11 pav.).
S 3. ∀ a r , a r + → 0 = → 0 + a r = a r a
a c
.
+ b
b + c
10
S 4. ∀ a r , a r +(- a r )= → 0 .
A
( a + b ) + c = a + ( b + c )
1.11 pav.
D

Įrodykime ketvirtąją savybę, t. y. įrodykime, jog prie bet kurio vektoriaus a r pridėję jam priešingą vektorių (- a r )
gauname nulinį vektorių.
▲ Tarkime, jog kryptinė atkarpa AB yra vektoriaus a r atstovas, t. y. a r = AB . Kryptinė atkarpa BA apibrėžia
vektoriui a r priešingą vektorių - a r = BA . Pritaikome (1.1) taisyklę taškams A, B, C=A: AB + BA = AA arba
Trečiąją savybę įrodykite savarankiškai.
2.2. Vektorių atimtis
a r +(- a r )= → 0 . ▲
2.2.1. Vektorių atimties apibrėžimas ir trikampio taisyklė
A Vektorių a r ir b r skirtumu vadinamas toks vektorius x r , kurį pridėję prie
vektoriaus b r gauname vektorių a r : a r - b r = x r ⇔ b r + x r = a r .
Norint iš vektoriaus a r atimti vektorių b r , reikia iš bet kurio taško O nubrėžti kryptines
atkarpas OA∈
a r ir OB ∈ b r . Tada kryptinė atkarpa BA apibrėžia vektorių a r ir b r
skirtumą x r (1.12 pav.).
▲ Įrodymas išplaukia iš vektorių atimties apibrėžimo ir vektorių sudėties trikampio taisyklės. Iš tiesų, b r + x r = a r ,
todėl x r = a r - b r . ▲
2.2.2. Vektorių atimties savybė
O
b
A
1.12 pav.
B
T Vektorių a r ir b r skirtumas lygus vektorių a r ir (- b r ) sumai: a r - b r = a r +(- b r ) (1.13a pav.).
Įrodymą galite rasti knygelėje [1]. Pabandykite įrodyti savarankiškai.
D
A
C
-
b
O
b
B
1.13a pav.
A 4
- d
A 3
A 5
- b
A 1
A 2
1.13b pav.
Pavyzdys. Duoti vektoriai:
b
d
Pavaizduosime vektorių x r = a r - b r + c r - d r .
Sprendimas. Vektorių atimtį pakeičiame sudėtimi su priešingu vektoriumi: x r = a r +(- b r )+ c r +(- d r ). Taikome
vektorių sudėties daugiakampio taisyklę. Nuo bet kurio taško A 1
atidedame kryptinę atkarpą A 1
A 2
∈ a r , nuo A 2
-
A
2
A 3
∈ (- b r ), A 3
A 4
∈ c r , A 4
A 5
∈ (- d r ). Tada x r = A
1
A5
(1.13b pav.).
2.3. Savikontrolės klausimai ir užduotys
1. Paaiškinkite vektorių sudėties trikampio taisyklę.
2. Kaip sudedami vektoriai pagal lygiagretainio taisyklę
3. Pateikite vektorių sudėties daugiakampio taisyklę.
4. Išvardykite vektorių sudėties savybes. Įrodykite 2.1.4. papunkčio trečiąją savybę.
5. Ką vadiname dviejų vektorių skirtumu
6. Pateikite vektorių atimties trikampio taisyklę.
7. Įrodykite 2.2.2 papunktyje pateiktą vektorių atimties savybę.
8. Nubrėžkite vektorių m r , n r , p r atstovus. Raskite vektoriaus m r - n r - p r atstovą.
3. Vektorių daugyba iš skaičiaus
Norėdami vektorių padauginti iš skaičiaus, turime mokėti kryptinę atkarpą dauginti iš skaičiaus.
11

3.1. Kryptinės atkarpos ir skaičiaus sandaugos apibrėžimas
A Kryptinės atkarpos AB ir skaičiaus α∈R sandauga vadinama kiekviena kryptinė atkarpa CD , tenkinanti
sąlygas:
1) jos ilgis CD = α AB ;
2) kryptinės atkarpos CD ir AB yra vienakryptės, jei α>0;
3) CD ir AB yra priešpriešinės kryptinės atkarpos, jei α

3.4. Vektoriaus išreiškimas nenuliniu kolineariu vektoriumi
Daugindami vektorių a r iš skaičiaus α gauname vektorių b r =α a r , kolinearų su vektoriumi a r . Galioja ir atvirkštinis
teiginys.
T Jei vektoriai a r ir b r yra kolinearūs ir a r ≠ → 0 , tuomet egzistuoja vienintelis skaičius α, su kuriuo teisinga
lygybė b r =α a r .
▲ Galimi trys atvejai.
1. Jei vektorius b r = → 0 , tuomet pagal 3.3 punkto šeštąją vektoriaus daugybos iš skaičiaus savybę turime teisingą
lygybę b r =0⋅ a r . Taigi egzistuoja α=0, tenkinantis teoremos išvadą.
2. Jei vektoriai b r = CD ≠ → 0 ir a r = AB yra vienakrypčiai kolinearūs vektoriai, tuomet teisinga lygybė
b r CD r
= a (1.14a pav.).
AB
3. Jei vektoriai b r = CD ≠ → 0 ir a r = AB yra priešpriešiniai kolinearūs vektoriai, tuomet teisinga lygybė
b r CD r
= - a (1.14b pav.).
AB
Kad skaičiaus α yra vienintelis, įrodykite prieštaros metodu. ▲
Įrodyta teorema bus dažnai naudojama ateityje. Trumpai ją vadinsime vektoriaus išreiškimo teorema.
Iš 3.2 ir 3.4 punktuose pateiktų samprotavimų gauname tokią išvadą.
I Du vektoriai a r ir b r yra kolinearūs tada ir tik tada, kai bent vieną iš jų galima išreikšti kitu vektoriumi.
3.5. Vektorinė erdvė ir jos pavyzdžiai
Iš algebros kurso žinoma [6], jog vektorinė erdvė virš realiųjų skaičių lauko R yra bet kuri netuščioji aibė V,
kurios elementams apibrėžta sudėties operacija ir elementų daugybos iš skaičiaus operacija. Šios operacijos turi tenkinti
tam tikrus reikalavimus (aksiomas):
1) sudėties operacija turi būti komutatyvi ir asociatyvi;
2) aibėje V turi egzistuoti nulinis elementas;
3) kiekvienam aibės elementui turi egzistuoti priešingas elementas;
4) daugyba turi būti asociatyvi, distributyvi; daugindami elementą iš vieneto turime gauti tą patį elementą.
Vektorinės erdvės baze [6] vadinama tiesiškai nepriklausomų jos vektorių aibė, kurios elementais galima išreikšti
bet kurį erdvės vektorių. Bazinių vektorių skaičius vadinamas vektorinės erdvės dimensija arba matavimų skaičiumi.
Žymima dimV.
Pavyzdžiai. I. Visų erdvės vektorių aibė L 3 tenkina vektorinės erdvės aksiomas (žr. 2.1.4 papunktyje vektorių
sudėties 1 – 4 savybes ir 3.3 punkte vektorių daugybos iš skaičiaus 1 – 3 savybes). Vadinasi, visų erdvės vektorių aibė
L 3 yra vektorinės erdvės pavyzdys. Ji vadinama erdvės linealu.
II. Analogiškai galime apibrėžti plokštumos linealą L 2 .
Tarkime, jog turime plokštumą π. Joje visas kryptines atkarpas suskirstykime į ekvipolenčių kryptinių atkarpų
klases. Kiekviena tokia klasė vadinama plokštumos vektoriumi, o jų aibė L 2 – plokštumos linealu. Plokštumos linealo
elementas (vektorius) yra visų plokštumos ekvipolenčių kryptinių atkarpų aibė. Kadangi plokštumos vektoriams taip pat
galioja 2.1.4 papunktyje pateiktos 1 – 4 savybės ir 3.3 punkte pateiktos 1 – 3 savybės, tai plokštumos linealas L 2 yra
vektorinės erdvės pavyzdys.
III. Panagrinėkime visas kryptines atkarpas, esančias tiesėje l. Suskirstykime jas į ekvipolenčių kryptinių atkarpų
klases, kiekvieną klasę pavadindami tiesės vektoriumi.
Visų tiesės vektorių aibėje L 1 galioja 2.1.4 papunktyje išvardytos 1 – 4 savybės ir 3.3 punkte išvardytos 1 – 3
savybės, t. y. vektorinės erdvės savybės, todėl ji yra vektorinės erdvės pavyzdys. Tiesės vektorių aibė L 1 vadinama
tiesės linealu.
3.6. Savikontrolės klausimai ir užduotys
1. Kaip kryptinę atkarpą padauginti iš skaičiaus
2. Kaip vektorių padauginti iš skaičiaus
3. Išvardykite vektoriaus daugybos iš skaičiaus savybes. Įrodykite 3.3 punkto šeštąją savybę.
4. Paaiškinkite pavyzdžiais vektoriaus išreiškimo nenuliniu kolineariu vektoriumi teoremą.
5. Ką vadiname vektorine erdve
6. Ką vadiname erdvės linealu
7. Ką vadiname plokštumos linealu
8. Ką vadiname tiesės linealu
13

9. Nubrėžkite vektorių a r , b r , c r atstovus, o po to vektoriaus x r =2 a r - 2
1 b
r
+3 c
r atstovą.
10. Lygiagretainio ABCD centras – taškas O. Taškas P - kraštinės BC vidurys. Išreikškite vektorių AO vektoriais
AB ir AP .
4. Vektorių koordinatės ir jų savybės
4.1. Bazės ir koordinačių apibrėžimai
4.1.1. Tiesės linealo L 1 bazė. Tiesės vektorių koordinatės
Tarkime, jog turime tiesės linealą L 1 . Jo bazę sudaro vienas bet kuris nenulinis vektorius e r . Pagal 3.4 punkto
vektoriaus išraiškos teoremą kiekvieną tiesės vektorių a r galima išreikšti nenuliniu kolineariu vektoriumi e r vieninteliu
būdu: a r =x e r .
A Vektoriaus a r išraiškos baziniu vektoriumi e r koeficientas vadinamas tiesės vektoriaus a r koordinate
bazės { e r } atžvilgiu.
Rašoma: a r {x} B={ e r }. Skaitoma: vektorius a r turi koordinatę x bazės B={ e r r 1 r
}
e a = 2 e
2 l
atžvilgiu. Suprantama, jog a r =x e r . 1.17 paveiksle a r {2 2
1
}B , b r {-1} B .
Linealo L 1 dimensija dimL 1 =1, nes bazę sudaro vienas vektorius.
4.1.2. Plokštumos linealo L 2 bazė. Plokštumos vektorių koordinatės
b = − e
Plokštumos linealo L 2 bazę sudaro bet kurie du
nekolinearūs vektoriai e r 1
ir e r 2
. Žymima: B={ e r 1
, e r 2
}.
A
A
T Bet kurį plokštumos vektorių a r 2
galima išreikšti
j
baziniais vektoriais e r 1
, e r
i
a
2
vieninteliu būdu.
▲ Duotas plokštumos vektorius a r ir bazė B={ e r 1
, e r B E 2
2
}. b
e 2
c
A 1
Iš bet kurio plokštumos taško O atidedame kryptines atkarpas
OE1
∈ e r 1
, OE 2
∈ e r 2
, OA∈
a r O e E
1
1
(1.18a pav.). Per tašką A
1.18a pav.
1.18b pav
brėžiame tiesę, lygiagrečią su tiese OE 2 , randame jos ir tiesės OE 1 susikirtimo tašką A 1 . Analogiškai per tašką A
brėžiame tiesę, lygiagrečią su tiese OE 1 , ir randame tos tiesės bei tiesės OE 2 susikirtimo tašką A 2 . Bendru atveju
gauname lygiagretainį OA 1 AA 2 . Pagal vektorių sudėties lygiagretainio taisyklę (I, 2.1.2)
OA = OA
1
+ OA
2
.
Kadangi vektoriai OA 1
ir e r 1
yra kolinearūs , o e r 1
≠ → 0 (kitaip e r 1
būtų kolinearus su e r
2
), tai pagal
vektoriaus išreiškimo teoremą (I, 3.4) turime, jog vektorius OA
1
=x e r 1
. Analogiškai gauname, kad vektorius OA
2
=y e r 2
.
Vadinasi, a r = OA =x e r 1
+y e r 2
.
Pastaba. Jei taškas A yra tiesėje OE 1 , tuomet vektorius OA =x e r 1
; kai taškas A yra tiesėje OE 2 , OA =y e r 2
.
Taigi kiekvieną plokštumos vektorių a r galima išreikšti nekolineariais vektoriais e r 1
ir e r 2
.
Kad tokia išraiška galima vieninteliu būdu, įrodykite savarankiškai prieštaros metodu. ▲
A Plokštumos vektoriaus a r koordinatėmis bazės B={ e r 1
, e r 2
} atžvilgiu vadinami vektoriaus a r išraiškos
baziniais vektoriais koeficientai.
Rašoma: a r {x, y} r r
B= { e 1
, e 2
}. Skaitoma: vektorius a r turi koordinates x, y bazės B={ e r 1
, e r 2
} atžvilgiu. Suprantama,
kad a r =x e r 1
+y e r 2
.
Linealo L 2 dimensija dimL 2 =2 (bazę sudaro du vektoriai).
A Plokštumos linealo L 2 bazė, sudaryta iš statmenų vienetinių vektorių (ortų), vadinama ortonormuotąja
baze.
Žymima { i r , r j }. Suprantama, jog | i r |=| r j |=1, i r ⊥ r j .
1.18a paveiksle a r {3,5; 3} { e r 1 , e r
2 } , b r {-1,2; 1} { e r } 1 , e r , 1.18b paveiksle c r 1 r
{- , r -1}{
2
i , j }.
2
Kai bazė aiški, ji nepažymima.
Uždavinys. Pasirinkite bazę. Nubrėžkite vektorių m r {-1, -2}, n r {1, -1}, p r {-1, 0} atstovus.
1.17 pav.
14

4.1.3. Erdvės linealo L 3 bazė. Erdvės vektoriaus koordinatės
Erdvės linealo L 3 bazę sudaro bet kurie trys nekomplanarūs (taigi ir nekolinearūs, ir nenuliniai) vektoriai e r 1
, e r 2
,
e r 3
. Žymima: B={ e r 1
, e r 2
, e r 3
}.
T Bet kurį erdvės vektorių a r galima išreikšti baziniais vektoriais e r 1
, e r 2
, e r 3
vieninteliu būdu.
▲ Pasirenkame bet kurį tašką O ir nuo jo atidedame kryptines atkarpas OE 1
∈ e r 1
, OE 2
∈ e r 2
, OE 3
∈ e r 3
, OA∈
a r .
Per tašką A brėžiame tiesę, lygiagrečią su tiese OE 3 ir randame tos tiesės bei plokštumos OE 1 E 2 susikirtimo tašką A 2 .
Per tašką A 2 brėžiame tiesę, lygiagrečią su tiese OE 2 ir randame tos tiesės bei tiesės OE 1 susikirtimo tašką A 1 .
A Laužtė OA 1 A 2 A vadinama koordinatine laužte (1.19a pav.).
Pagal vektorių sudėties daugiakampio taisyklę (I, 2.1.3) OA = OA 1
+ A 1A2
+ A 2 A . Pritaikę
vektoriaus išreiškimo teoremą (I, 3.4) turime, jog OA 1
=x e r 1
, A 1A2
= y e r 2
, A 2 A = z e r 3
, taigi a r =x e r 1
+ y e r 2
+z e r 3
.
Analogiškai kaip ir plokštumos linealo L 2 atveju įrodykite, jog tokia išraiška įmanoma vieninteliu būdu.
A
E 3
e 3
O
e 1
e 2
E 2
E 1
A 1
1.19a pav.
A Erdvės vektoriaus a r koordinatėmis x, y, z bazės B={ e r 1
, e r 2
,
3
baziniais vektoriais koeficientai.
A 2
k
b
B 1
B 2
j
i
1.19b pav.
e r } atžvilgiu vadinami vektoriaus a r išraiškos
Rašoma: a r {x, y, z} r r r
B= { e , e e }. Skaitoma: vektorius a r turi koordinates x, y, z bazės B ={ e r 1
, e r 2
, e r 3
} atžvilgiu.
1 2 ,
3
Suprantama, jog a r =x e r 1
+y e r 2
+z e r 3
.
Linealo L 3 dimensija dimL 3 =3. Linealo dimensija rodo bazinių vektorių, o kartu ir kiekvieno vektoriaus
koordinačių skaičių.
A Jei erdvės linealo L 3 baziniai vektoriai yra tarpusavyje statmeni vienetiniai vektoriai (ortai), bazė
vadinama ortonormuotąja baze.
Žymima { i r , r j , k r }. Jos vektoriai tenkina sąlygas: | i r |=| r j |=| k r |=1, i r ⊥ r j , r j ⊥ k r , i r ⊥ k r .
1.19a paveiksle a r {2, 1, 3} {
r r r
e , e e } , nes a r =2 e r 1
+ e r 2
+3 e r 3
; 1.19b paveiksle b r = - i r + r j +2 k r , todėl b r {-1, 1, 2} r r r .
1 2 ,
3
Kai bazė aiški, ji nepažymima.
Uždavinys. Naudodami bazės brėžinį ir koordinatinę laužtę pavaizduokite vektorius b r {-1, -2,
d r {3, 1, 1}.
4.1.4. Vienodai ir priešingai orientuotos bazės
A Plokštumos linealo L 2 bazė { e r 1
, e r 2
} vadinama
dešiniąja (kairiąja) baze, jei vektoriaus e r 1
atstovo OE
1
{ i , j,
k}
1 }, c r {1, 0, 1},
3
sukimas link vektoriaus e r 2
atstovo OE
2
trumpiausiu O
e 1
E j
O
1
keliu atliekamas prieš (pagal) laikrodžio rodyklę.
E
1.20a paveiksle bazė yra dešinioji, 1.20b ir 1.20c 1.20a pav.
2
e
1.20b pav.
1
1.20c pav.
paveiksluose bazės – kairiosios.
E
A Erdvės linealo L 3 bazė { e r 1
, e r 2
, e r 1
3
} vadinama dešiniąja (kairiąja) baze, jei žiūrint iš vektoriaus e r 3
atstovo
OE
3
pabaigos E 3 vektoriaus e r 1
atstovo OE
1
sukimas link vektoriaus e r 2
atstovo OE
2
trumpiausiu keliu
atliekamas prieš (pagal) laikrodžio rodyklę.
1.21a ir 1.21b paveiksluose pavaizduotos bazės yra
dešiniosios, 1.21c paveiksle – kairioji.
A Dvi linealų L 2 arba L 3 bazės vadinamos
vienodai orientuotomis, jei jos abi yra dešiniosios arba
abi yra kairiosios atitinkamai L 2 arba L 3 bazės.
A Jei viena bazė yra kairioji, o kita dešinioji,
tuomet sakoma, jog jos yra priešingai orientuotos bazės.
1.20b ir 1.20c paveiksluose plokštumos linealo L 2 bazės yra vienodai orientuotos. Vienodai orientuotos erdvės
linealo L 3 bazės pavaizduotos 1.21a ir 1.21b paveiksluose. Priešingai orientuotos bazės pavaizduotos 1.20a ir 1.20b
paveiksluose bei 1.21a ir 1.21c paveiksluose.
i
E 1
E 3
e 2
k
O
j
1.21a pav.
E 2
E 2
O
O
e 3
i E1
e 1
E 3
e 2
E 1
1.21b pav.
E 2
E 2
e 2
e3
e 1 1
O
E 3
e 2
E
1.21c pav.
E 2
15

Tarkime, jog turime dvi plokštumos linealo L 2 bazes: B={ e r 1
, e r r r r
2
} ir B′={ e′ 1 , e′
2 }. Tarkime, jog e′ 1 {c11 , c 21 } B ,
r ⎛c11
c21
e′
2 {c12 , c 22 } B . Matrica C= ⎟ ⎞
⎜ , sudaryta iš antrosios bazės vektorių koordinačių pirmosios bazės atžvilgiu,
⎝c12
c22
⎠
r r
vadinama perėjimo iš bazės B į bazę B′ matrica. Ji yra neišsigimusi, nes vektoriai e′ 1 ir e′
2 nėra kolinearūs. Vadinasi,
galimi du atvejai: 1) |C|>0; 2) |C|0 (|C|0.
1.22 pav.
⎛1
0 ⎞
Perėjimo iš bazės B 1 į bazę B 3 matricos C=
⎜
⎟ determinantas |C|= -1

Įrodysime trečiąją savybę. Kitas įrodykite savarankiškai.
▲ Pagal vektoriaus daugybos iš skaičiaus savybes (I, 3.3) 1⋅ e r 3
= e r 3
, 0⋅ e r 1
= 0 r , 0⋅ e r 2
= 0 r . Pritaikome vektorių
sudėties savybes (I, 2.1.4): 0⋅ e r 1
+0⋅ e r 2
+1⋅ e r 3
= 0 r + 0 r + e r 3
= e r 3
.
Iš vektoriaus koordinačių apibrėžimo (I, 4.1.3) išplaukia, jog e r 3
{0, 0, 1} { e r 1
, e r ,
2
e r }. ▲
3
Plokštumos linealo L 2 bazės { e r 1
, e r 2
} vektoriai turi tokias koordinates: e r 1
{1, 0} { e 1 ,e r
2 }
analogiškas įrodymui erdvės linealo atveju.
r ,
2
e r {0, 1} { e r r } . Įrodymas
4.3. Vektorių kolinearumo būtina ir pakankama sąlyga, išreikšta vektorių
koordinatėmis
T Nenuliniai vektoriai yra kolinearūs tada ir tik tada, kai jų koordinatės yra proporcingos.
▲ Tarkime, jog turime du nenulinius erdvės vektorius b r {b 1 , b 2 , b 3 } ir a r {a 1 , a 2 , a 3 }.
3.4 punkte įrodėme, jog šie vektoriai yra kolinearūs tada ir tik tada, kai b r =α a r . Pagal vektorių koordinačių savybę
(I, 4.2.3) (α a r ){αa 1 , αa 2 , αa 3 }. Vektoriai α a r ir b r lygūs tada ir tik tada, kai jų koordinatės yra lygios: b 1 =αa 1 , b 2 =αa 2 ,
b1
b2
b3
b 3 =αa 3 , t. y. kai α= = = . ▲
a1
a2
a3
Teorema teisinga ir plokštumos vektoriams.
Pavyzdys. Koks turi būti skaičius µ, kad vektoriai a r {2, -3} ir b r {µ, 1} būtų kolinearūs
2 −3 − 2
Sprendimas. Pagal įrodytą teoremą = , todėl µ= .
µ 1
3
− 2
Ats.: µ= . 3
1 ,e 2
4.4. Uždaviniai
1 uždavinys. Duoti vektoriai a r {1, 2, 3}, b r {0, -1, 1}, c r { 2
1 , 5, 0}. Raskime vektorių d
r
= a
r +3 b
r
-2 c
r .
Sprendimas. Taikome koordinačių savybes (I, 4.2): 3 b r {0, -3, 3}, -2 c r {-1, -10, 0}. d r {0, -11, 6}.
Ats.: d r {0, -11, 6}.
2 uždavinys. Ar vektoriai a r ir b r kolinearūs Ar vektoriai a r , b r , d r komplanarūs (žr. 1 užd.)
1 2 3
Sprendimas. Kadangi ≠ ≠ , vektoriai a r ir b r nekolinearūs. Pamėginkime vektorių d r išreikšti dviem
0 −1
1
nekolineariais vektoriais a r ir b r . Tegul d r =α a r +β b r . Remiantis koordinačių savybėmis (I, 4.2) galima užrašyti tokią
lygčių sistemą:
⎪
⎧ 0 = α,
⎨−
11 = 2α
− β ,
⎪⎩ 6 = 3α
+ β.
Iš pirmųjų dviejų lygčių α=0, β=11. Įrašę jas į paskutiniąją lygtį, gauname 6≠11. Kadangi sistema neturi
sprendinio, vektoriaus d r negalima išreikšti nekolineariais vektoriais a r ir b r . Taigi pagal I skyriaus 4.1.2 papunkčio
teoremą vektoriai a r , b r , d r – nekomplanarūs.
Ats.: vektoriai a r ir b r nekolinearūs; vektoriai a r , b r , d r – nekomplanarūs.
3 uždavinys. Raskime vektoriaus c r koordinates bazės { a r , b r , d r } atžvilgiu (žr. 1 užd.).
Sprendimas. Tarkime, jog ieškomos vektoriaus c r koordinatės yra x, y, z. Tada c r =x a r +y b r +z d r .
Pritaikę vektorių koordinačių savybes turime lygčių sistemą
⎧
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
Ją išsprendę gauname x= 2
1 , y= 2
3 , z= - 2
1 .
1
= x,
2
5 = 2x
− y − 11z,
0 = 3x
+ y + 6z.
A 1
M 1
B 1
C 1
D 1
A
B
C
17
1.23 pav.

Ats.: c r 1 3 1
{ , , - } r r r
{ a,
b,
d}
.
2 2 2
4 uždavinys ([5], p. 8). Trikampėje prizmėje ABCA 1 B 1 C 1 taškas M 1 yra trikampio A 1 B 1 C 1 pusiaukraštinių
susikirtimo taškas. Išreikškite vektorių AM
1
vektoriais AB , AC , AA
1
(1.23 pav.). Raskite vektoriaus
AM
1
koordinates bazės { AB , AC , AA
1
} atžvilgiu.
1 1
Nurodymas. A 1
M = A 1D 1
= ( A 1B1
+ A 1C1
).
3 3
1 1 1 1
Ats.: AM
1
= AB + AC + AA
1
, AM
1
{ , , 1}.
3 3 3 3
5 uždavinys. Lygiagretainio ABCD centras – taškas O; taškas P yra kraštinės BC vidurys. Raskite vektoriaus AO
koordinates bazės { AB , AP } atžvilgiu.
Nurodymas. Panaudokite I, 3.6 punkto 10 uždavinio rezultatą.
1
Ats.: AO {- , 1} 2
{ , AP}
AB
.
6 uždavinys. Duoti vektoriai a r =2 m r +3 n r - p r , b r = m r + n r ; c r = m r - n r ; m r {1, 0, -2} B , n r {-2, 0, 4} B , p r {1, 1, 0} B .
Ar vektoriai a r , b r , c r kolinearūs Ar komplanarūs
Ats.: b r , c r , kaip ir m r , n r , – kolinearūs vektoriai, a r ir b r bei a r ir c r – nekolinearūs vektoriai. Vektoriai a r , b r , c r
– komplanarūs.
4.5. Savikontrolės klausimai ir užduotys
1. Ką vadiname tiesės linealo L 1 vektoriaus koordinate bazės atžvilgiu
2. Ką vadiname plokštumos linealo L 2 vektoriaus koordinatėmis bazės atžvilgiu Pateikite pavyzdžių.
3. Ką vadiname ortonormuotąja plokštumos linealo L 2 baze Kaip ji žymima
4. Ką vadiname erdvės linealo L 3 vektoriaus koordinatėmis bazės atžvilgiu Pateikite pavyzdžių.
5. Kokią erdvės linealo L 3 bazę vadiname ortonormuotąja jos baze Kaip ji žymima
6. Kokia plokštumos linealo L 2 bazė vadinama kairiąja, kokia dešiniąja Pateikite pavyzdžių.
7. Kokia erdvės linealo L 3 bazė vadinama kairiąja, kokia dešiniąja Pateikite pavyzdžių.
8. Kokios dvi plokštumos linealo L 2 bazės vadinamos vienodai orientuotomis, kokios priešingai orientuotomis
Kaip tai sužinoti algebriškai
9. Kokios dvi erdvės linealo L 3 bazės vadinamos vienodai orientuotomis, kokios priešingai orientuotomis Kaip tai
sužinoti algebriškai
10. Išvardykite vektorių koordinačių savybes. Vieną įrodykite. Pateikite pavyzdžių.
11. Įrodykite, jog nulinio vektoriaus koordinatės bet kurios bazės atžvilgiu yra nuliai.
12. Kokia vektorių kolinearumo būtina ir pakankama sąlyga, išreikšta vektorių koordinatėmis Pateikite pavyzdžių.
5. Vektorių skaliarinė sandauga
5.1. Vektorių skaliarinės sandaugos apibrėžimas ir savybės
5.1.1. Vektorių skaliarinės sandaugos apibrėžimas
Anksčiau susipažinome su vektorių sudėties trikampio, lygiagretainio ir daugiakampio taisyklėmis, su vektorių
atimties ir vektoriaus daugybos iš skaičiaus taisyklėmis. Operacijų (jos vadinamos tiesinėmis) rezultatas visada buvo
vektorius.
Šiame poskyryje erdvės arba plokštumos vektorių dauginsime iš vektoriaus. Atsakymas bus skaičius, todėl tokia
daugyba vadinama skaliarine daugyba.
A Dviejų vektorių a r ir b r skaliarine sandauga vadinamas skaičius, lygus tų vektorių ilgių ir kampo tarp
vektorių kosinuso sandaugai.
Skaliarinė sandauga žymima įvairiai: a r ּ b r , a r b r , ( a r , b r ).
Pagal skaliarinės sandaugos apibrėžimą
a r ּ b r =| a r || b r ∧
r
|cos( a b
r
, ). (1.2)
Toliau tirsime skaliarinės sandaugos savybes.
5.1.2. Vektorių statmenumo būtina ir pakankama sąlyga
T Nenulinių vektorių skaliarinė sandauga lygi 0 tada ir tik tada, kai vektoriai yra statmeni.
18

Įrodant ekvivalentiškumą, tenka įrodyti dvi teoremas.
I. Jei vektoriai statmeni (tokiu atveju jie nenuliniai), tai jų skaliarinė sandauga lygi 0.
II. Jei nenulinių vektorių skaliarinė sandauga lygi 0, tai tie vektoriai statmeni.
Įrodysime I teoremą.
Duota: a r ⊥ b r .
Įrodyti: a r ּ b r =0.
▲ Kadangi a r ir b r statmeni, tai kampas tarp jų α lygus 90˚, o cosα=0. Pagal skaliarinės sandaugos apibrėžimą
a r ּ b r =| a r || b r |cosα=0. ▲
Įrodysime II teoremą.
Duota: a r ≠ 0 r , b r ≠ 0 r , a r b r =0.
Įrodyti: a r ⊥ b r .
▲ Pagal skaliarinės sandaugos apibrėžimą ir teoremos sąlygą a r ּ b r =| a r || b r |cosα=0.
Kadangi | a r |≠0, | b r |≠0 (duota), tai cosα=0 arba α=90˚. Taigi a r ⊥ b r . ▲
5.1.3. Vektoriaus skaliarinio kvadrato savybė. Išvada
A Vektoriaus skaliariniu kvadratu vadinama to vektoriaus skaliarinė sandauga iš jo paties: a r 2 = a r · a r .
T Vektoriaus skaliarinis kvadratas lygus jo modulio kvadratui: a r 2 =| a r | 2 .
Savybė išplaukia iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo ir lygybės cos 0=1.
I Vektoriaus ilgis lygus kvadratinei šakniai iš vektoriaus skaliarinio kvadrato:
5.2. Vektoriaus skaliarinė projekcija
5.2.1. Vektoriaus skaliarinės projekcijos apibrėžimas ir savybės
2
a
r r = a .
A Vektoriaus a r skaliarine
C
projekcija į ašį l, kurios teigiamą kryptį
apibrėžia vienetinis vektorius (ortas) e r , B
A
2a
vadinamas skaičius |a r r
∧r
b
A
|cos ( a, e ).
Žymima pr
r
l( e ) a r -
l
+
. 1.24 paveiksle
pr l( e r ) a r =2,5; pr
r
l( e ) b r B 1
O
A 1
O b B
= -0,8.
1.24 pav.
1.25 pav.
Pateikiame skaliarinių projekcijų savybes (įrodymą galima rasti vadovėlyje [8]).
S 1. Vektorių sumos skaliarinė projekcija lygi vektorių skaliarinių projekcijų sumai:
pr l( e r ) ( a r + b r )=pr l( e r ) a r + pr l( e r ) b r .
1.24 paveiksle 2,5+(-0,8)=1,7.
S 2. Vektoriaus ir skaičiaus sandaugos projekcija lygi vektoriaus projekcijos ir to skaičiaus sandaugai:
pr l( e r ) (λ a r )=λ⋅pr
r
l( e ) a r .
1.25 paveiksle λ=2, pr l( e r ) a r =2, pr l( e r )2 a r =4=2⋅2.
l +
5.2.2. Vektorių skaliarinės sandaugos ir skaliarinės projekcijos ryšio formulės
Sakykime, turime du vektorius a r ir b r , o e r =
b
b r
r
yra vektoriaus b r ortas. Tada ašį l, kurios teigiamą kryptį
apibrėžia vektorius b r , galima laikyti ašimi, kurios kryptį apibrėžia ortas e r : l( b r )=l( e r ) (1.25 pav.).
Vektorių skaliarinė sandauga ir skaliarinė projekcija susijusios tokiomis formulėmis:
a) pr
r
l( e ) a r r r
a ⋅ b
= r ; b) a r ⋅ b r =| b r r
| pr l( b ) a r =| a r | pr
r
l( a ) b r . (1.3)
b
T Dviejų vektorių skaliarinė sandauga lygi vieno iš jų moduliui, padaugintam iš antrojo vektoriaus skaliarinės
projekcijos į ašį, kurios kryptį apibrėžia pirmasis vektorius.
Įrodymas išplaukia iš skaliarinės sandaugos (I, 5.1.1) ir skaliarinės projekcijos (I, 5.2.1) apibrėžimų bei lygybės
∧
r r r∧r
( a,
b)
= ( a,
e)
.
5.3. Skaliarinės daugybos komutatyvumas, asociatyvumas ir distributyvumas
S 1. Skaliarinė vektorių daugyba komutatyvi: ∀ a r , b r , a r ּ b r = b r ּ a r . Įrodykite savarankiškai.
19

S 2. Skaliarinė vektorių daugyba asociatyvi: ∀ a r , b r , ∀λ∈R, (λ a r )⋅ b r =λ( a r ⋅ b r ).
Savybė leidžia skaičių λ iškelti prieš skaliarinę sandaugą.
Remdamiesi skaliarinės projekcijos antrąja savybe, įrodykite asociatyvumą savarankiškai.
S 3. Skaliarinei vektorių daugybai galioja distributyvumo dėsnis: ∀ a r , b r , c r , ( a r + b r )⋅ c r = a r · c r + b r ⋅ c r .
Savybė leidžia skaliariškai dauginant „atskliausti“. Skaliarinės daugybos distributyvumą įrodykite savarankiškai.
5.4. Vektorių skaliarinės sandaugos ir jos savybių išraiška koordinatėmis
Iki šio punkto mes kalbėjome apie vektorių skaliarinę sandaugą ir jos savybes nenaudodami vektorių koordinačių.
Dabar mes skaliarinę sandaugą ir jos savybes išreikšime vektorių koordinatėmis. Kadangi skaliarinei sandaugai
apibrėžti vartojamos ilgio ir kampo sąvokos, mes nuo šio punkto iki skyriaus pabaigos naudosime tik ortonormuotąsias
bazes.
5.4.1. Vektorių skaliarinės sandaugos išraiška dauginamųjų koordinatėmis
Tarkime, jog turime erdvės linealo L 3 ortonormuotąją bazę B={ i r , r j , k r } (I, 4.1.3). Sakykime, vektoriai a r , b r turi
tokias koordinates: a r {a 1 , a 2 , a 3 }, b r {b 1 , b 2 , b 3 }. Apskaičiuosime vektorių skaliarinę sandaugą.
▲ Pagal vektoriaus koordinačių apibrėžimą (I, 4.1.3) a r =a 1 i r + a r 2 j +a 3 k r , b r =b 1 i r +b r 2 j +b 3 k r , todėl a r ּ b r =
=(a 1 i r +a r 2 j +a 3 k r )ּ(b 1 i r +b r 2 j +b 3 k r )= a 1 i r ⋅ b 1 i r +a 1 i r ⋅ b r 2 j +a 1 i r ⋅ b 3 k r +a r 2 j ⋅ b 1 i r + ... +a 3 k r ⋅ b r 2 j +a 3 k r ⋅
b 3 k r 2
=a 1 b 1 i r +a 1 b 2 i r ּ r j +a 1 b 3 i r k r +a 2 b 1 i r ּ jr r
2
+a 2 b 2 ּ j +a2 b r 3 j ּ k r +a 3 b 1 i r ּ k r + a 3 b r 2 j ּ k r 2
+ a 3 b 3 k r .
Čia naudojome skaliarinės daugybos komutatyvumo, distributyvumo ir asociatyvumo savybes (I, 5.3).
2
Pritaikome vektoriaus skaliarinio kvadrato savybę (I, 5.1.3): i r =| i r r
| 2 2
=1, j =1,
2
k r =1. Pagal vektorių statmenumo
būtiną ir pakankamą sąlygą (I, 5.1.2) i r ⋅ r j = r j ⋅ k r = i r ⋅ k r =0. Vadinasi,
a r ⋅ b r =a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 .▲ (1.4)
T Vektorių skaliarinė sandauga lygi vektorių atitinkamų koordinačių sandaugų sumai.
5.4.2. Vektoriaus ilgio išraiška koordinatėmis
Pagal vektoriaus skaliarinio kvadrato savybės išvadą (I, 5.1.3) vektoriaus a r 2
ilgis a
r r = a .
Tarkime, jog a r {a 1 , a 2 , a 3 }. Pritaikę (1.4) formulę, kai b r = a r , turime a r 2 = a r ⋅ a r =a 2 1 +a 2 2 +a 2 3 . Taigi
| a r 2 2 2
|= a
1
+ a2
+ a3
. (1.5)
T Vektoriaus ilgis lygus kvadratinei šakniai iš to vektoriaus koordinačių kvadratų sumos.
5.4.3. Kampo tarp vektorių išraiška koordinatėmis
Raskime kampą α tarp vektorių a r {a 1 , a 2 , a 3 }, b r {b 1 , b 2 , b 3 }.
r r
a ⋅ b
▲ Iš vektorių skaliarinės sandaugos apibrėžimo (I, 5.1.1) cosα= r r . Į šią formulę įrašę vektorių skaliarinės
a b
sandaugos ir vektoriaus ilgio išraiškas koordinatėmis gauname, jog
a1b1
+ a2b2
+ a3b3
cosα=
.▲ (1.6)
2 2 2 2 2 2
a + a + a b + b + b
1
Iš (1.6) formulės randamas kampas α tarp vektorių a r {a 1 , a 2 , a 3 } ir b r {b 1 , b 2 , b 3 }.
I Vektoriai a r {a 1 , a 2 , a 3 } ir b r {b 1 , b 2 , b 3 } yra statmeni tada ir tik tada, kai
2
3
1
a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 =0. (1.7)
Įrodoma remiantis (1.6) formule.
Pastaba. (1.4), (1.5), (1.6), (1.7) formules išvedėme erdvės vektoriams. Jei a r , b r , ... yra plokštumos vektoriai, (1.4)
– (1.7) formules galima naudoti tariant, kad vektorių trečiosios koordinatės lygios 0: a 3 =b 3 = … =0.
1 pavyzdys. Raskime vektoriaus a r r r
{-4, 3} { i , j}
ortą, a r 0
.
Sprendimas. a r r
a
0
= r ; | a r 2 2
|= ( − 4) + 3 =5, todėl a r 4 3
0
{ − , }.
a 5 5
Ats.: a r 4 3
0
{ − , }.
5 5
2 pavyzdys. Raskime kampą tarp vektorių a r {-1, 2} ir b r {4, 2}.
2
3
20

a
r r
⋅ b
Sprendimas. cosα= r r =
a b
Ats.: 90˚.
5.5. Uždaviniai
( −1)
( −1)
⋅ 4 + 2⋅
2
2
+ 2
2
4
2
+ 2
2
=
5
0
=0, α=90˚.
20
1 uždavinys. Duoti du vektoriai a r {2, -3, 6} ir b r {3, 0, -4}. Raskime vektorių c r , kuris dalytų kampą tarp vektorių
a r ir b r pusiau.
Sprendimas. Sudedant vektorius a r ir b r pagal lygiagretainio taisyklę suma c r = a r + b r dalija kampą tarp vektorių a r
ir b r pusiau tada ir tik tada, kai lygiagretainis yra rombas. Galimi du sprendimo būdai.
I. Lygiagretainio kraštines „trumpiname“ iki vienodo vienetinio ilgio. Randame vektorių a r ir b r ortus a r 0
ir b r 0
.
a r r
a
0
= r , | a r |= 4 + 9 + 36 =7, a r 2 3 6
0
{ − }; b r r
b
0
= r ,| b r |= 9 + 16 =5, b r 4
0
{ 0, − }. c r = a r 0
+ b r 0
,
a b
,
7
,
7
7
c r 31 −15
2
{ , , }.
35 35 35
Vektorius 35 c r {31, -15, 2} taip pat dalys kampą tarp vektorių a r ir b r pusiau.
r r r r r
II. Lygiagretainio kraštines „ilginame“ iki vienodo ilgio. Vektorius c′ =|a|⋅ b +| b |⋅ a dalys kampą tarp vektorių
a r ir b r pusiau.
r r r r
c′ =5 a +7 b , c′ {31, -15, 2}.
Ats.: {31, -15, 2}.
2 uždavinys. Raskime trikampio ABC kampus, jei AB {1, 2, 3}, AC {0, 1, -2}.
Sprendimas. Kampą B sudaro spinduliai BA, BC. Surandame vektorius BA = - AB ir BC = AC - AB : BC {-1, -1,
BA ⋅ BC
-5}, BA {-1, -2, -3}. Pagal (1.6) formulę cosB= =
BA BC
Kitus kampus raskite analogiškai.
4 42 9
Ats.: A=π-arccos , B=arccos , C=arccos .
70
7
135
1 + 2 + 15
=
1 + 4 + 9 1 + 1 + 25
14
18
27
3
,
5
5
42 42
= , B=arccos .
7 7
3 uždavinys. Raskime vektoriaus a r = m r + n r projekciją į ašį, kurios teigiamą kryptį apibrėžia vektorius b r = m r - n r ,
jei m r {1, 2, 3} ir n r {3, 0, -1}.
Sprendimas. Pagal (1.3) formulę pr
r
l( e ) a r r r
a ⋅ b
= r . Pritaikę vektorių koordinačių savybes randame vektorių a r ir b r
b
koordinates: a r {4, 2, 2}, b r {-2, 2, 4}. Taikome (1.4) ir (1.5) formules: pr l( m r - n r ) ( m r + n r 4⋅(
−2)
+ 2⋅
2 + 2⋅(
−4)
) =
=
2 2 2
( −2)
+ 2 + 4
4 6
= = .
2 6 3
6
Ats.: .
3
4 uždavinys. Apskaičiuokime skaliarinę sandaugą (3 a r -2 b r )ּ(2 a r + b r ), kai | a r |=3, | b r |=4, o kampas tarp vektorių a r
ir b r ϕ=120˚.
Sprendimas. Pasinaudoję skaliarinės daugybos distributyvumu ir asociatyvumu randame 3 a r -2 b r )ּ(2 a r + b r )=
=6 a r 2 - 4 b r ּ a r +3 a r ּ b r -2 b r 2 . Toliau taikome skaliarinio kvadrato savybę ir skaliarinės sandaugos apibrėžimą bei
komutatyvumo savybę: (3 a r -2 b r )ּ(2 a r + b r )=6| a r | 2 - a r ּ b r -2| b r | 2 =6ּ9-3ּ4⋅cos120º-2⋅16=28.
Ats.: 28.
5 uždavinys. ([5], p. 20). Raskite vektoriaus a r =2 m r +5 n r projekciją į ašį, kurios teigiamą kryptį apibrėžia
vektorius b r =3 n r - m r , jei:
a) m r , n r yra statmeni ortai; b) m r {-1, 2, 3}
r r { i , j , k r } ir n r {1, -1, 0}
r r { i , j , k r }.
Ats.: a)
13 1 ; b) - .
10 5 2
21

6 uždavinys. Duotas lygiagretainis ABCD, AB {3, -5, 8}, AD {-1, 1, 4}. Apskaičiuokite įstrižainių ilgius.
Nurodymas. Raskite vektorius AC = AB + AD ir CD = AD - AC .
Ats.: 2 17 , 2 41 .
5.6. Savikontrolės klausimai ir užduotys
1. Pateikite vektorių skaliarinės sandaugos apibrėžimą.
2. Išvardykite vektorių skaliarinės sandaugos savybes. Vieną įrodykite.
3. Ką vadiname vektoriaus skaliarine projekcija į ašį. Pateikite pavyzdžių.
4. Koks ryšys tarp vektorių skaliarinės sandaugos ir vektoriaus skaliarinės projekcijos
5. Kaip vektorių skaliarinė sandauga išreiškiama vektorių koordinatėmis ortonormuotosios bazės atžvilgiu
6. Kaip vektoriaus ilgis išreiškiamas to vektoriaus koordinatėmis ortonormuotosios bazės atžvilgiu
7. Kaip randamas kampas tarp vektorių, duotų koordinatėmis ortonormuotosios bazės atžvilgiu
8. Kokia vektorių statmenumo būtina ir pakankama sąlyga Kaip ji išreiškiama vektorių koordinatėmis
ortonormuotosios bazės atžvilgiu
6. Vektorių vektorinė sandauga
6.1. Vektorių vektorinės sandaugos apibrėžimas
Penktajame poskyryje vektorius dauginome skaliariškai. Šiame poskyryje vektorius dauginsime kitu būdu.
Daugindami du vektorius atsakymą gausime vektorių, t. y. dauginsime vektorius vektoriškai.
Tarkime, jog turime du erdvės vektorius a r {a 1 , a 2 , a 3 } ir b r {b 1 , b 2 , b 3 }. Vektorių koordinatės duotos
ortonormuotosios bazės { i r , r j , k r } atžvilgiu. Paprastai naudojame dešiniąją bazę.
A Vektorių a r ir b r vektorine sandauga vadinamas vektorius
c r a
{
b
Žymima: c r = a r × b r arba c r =[ a r , b r ].
2
2
a
b
3
3
a
,-
b
1
1
a
b
3
3
a
,
b
Pagal vektoriaus koordinačių apibrėžimą (I, 4.1.3) c r =
sandaugą simboliškai galima užrašyti tokiu pavidalu:
r
i
c r = a
b
1
1
1
1
r
j
a
b
2
2
a
b
a
b
2
2
2
2
a
b
}. (1.8)
r
k
3
3
a
b
.
3
3
i r -
a
b
1
1
a
b
3
3
r a
j + 1
a2
b1
b
2
k r , todėl vektorinę
6.2. Paprasčiausios vektorinės sandaugos savybės
Remiantis determinantų savybėmis nesunku įrodyti vektorinės daugybos savybes.
S 1. Vektorinė daugyba yra antikomutatyvi: ∀ a r , b r , a r × b r = - b r × a r .
S 2. Skaičių galima iškelti prieš vektorinės sandaugos ženklą: ∀λ∈R, (λ a r )× b r =λ[ a r × b r ].
S 3. Vektorinė daugyba distributyvi: ∀ a r , b r , c r , ( a r + b r )× c r = a r × c r + b r × c r .
Ši savybė leidžia vektoriškai dauginant „atskliausti“ (nekeičiant dauginamųjų tvarkos).
S 4. Du vektoriai a r ir b r kolinearūs tada ir tik tada, kai jų vektorinė sandauga lygi nuliniam vektoriui:
a r || b r ⇔ a r × b r = 0 r .
Įrodysime šią savybę.
▲ Kai bent vienas iš vektorių lygus 0 r , teoremos teisingumas yra akivaizdus. Tarkime, kad a r ≠ 0 r , b r ≠ 0 r .
a1
a2
a3
Nenuliniai vektoriai yra kolinearūs tada ir tik tada, kai jų koordinatės yra proporcingos (I, 4.3): = = .
b b b
Iš algebros kurso žinoma [6], jog tai atsitinka tada ir tik tada, kai
vektorius c r = 0 r . ▲
a
b
2
2
a
b
3
3
a
=
b
1
1
a
b
3
3
a
=
b
1
1
1
a
b
2
2
2
3
=0, t. y. kai
22

6.3. Esminės vektorinės daugybos savybės
6.3.1. Vektorių vektorinės sandaugos statmenumas dauginamiesiems vektoriams
Įrodysime, kad vektorius c r = a r × b r statmenas vektoriui a r .
▲ Raskime vektorių c r ir a r skaliarinę sandaugą pagal (1.4) formulę:
c r ⋅ a r a
=
b
2
2
a
b
3
3
a
a 1 -
b
1
1
a
b
3
3
a
a 2 +
b
1
1
a
b
2
2
a
1
a 3 = = a
Determinantas, turintis dvi vienodas eilutes, lygus 0, todėl c r ⋅ a r =0. Pagal vektorių statmenumo būtiną ir
pakankamą sąlygą (I, 5.1.2) c r ⊥ a r . ▲
Vektorių c r ir b r statmenumas įrodomas analogiškai.
Taigi vektorius c r statmenas vektoriams a r ir b r .
6.3.2. Vektorinės sandaugos ilgis
T Vektorinės sandaugos a r × b r ilgis | a r × b r | lygus dauginamųjų vektorių ilgių ir kampo tarp tų vektorių sinuso
sandaugai:
| a r × b r |=| a r |⋅| b r ∧
|sin( a r b
r
, ). (1.9)
Įrodymą galima rasti knygelėje [4].
6.3.3. Bazės { a r , b r , a r × b r } orientacija
T Nekolinearūs vektoriai a r , b r ir jų vektorinė sandauga a r × b r sudaro bazę, kuri yra orientuota kaip ir bazė { i r ,
r r
j , k } (1.26 pav.).
▲ Dvi bazės { i r , r j , k r } ir { a r , b r , a r × b r } yra vienodai orientuotos tada ir tik tada, kai perėjimo iš bazės { i r , r j ,
k r } į bazę {a r , b r , a r × b r } matricos C determinantas |C| yra teigiamas (I, 4.1.4). Matricą C sudaro antrosios bazės
vektorių koordinatės pirmosios bazės atžvilgiu.
Apskaičiuokime jos determinantą.
a a a
|C|=
a
b
2
2
b
1
1
a3
b3
b
a1
−
b
1
2
2
a
b
3
3
b
1
1
3
b3
a a
b
2
2
a
=
b
2
2
a
b
2
3
3
a
+
b
1
1
a
b
2
3
3
a
+
b
1
1
a
b
2
2
2
>0.
b
1
1
a
a
b
2
2
2
a ×b
a
a
b
3
3
3
B
.
D
k
Kadangi |C|>0, bazės { i r , j r , k r } ir { a r , b r , a r × b r } yra vienodai
orientuotos. ▲
1.26 paveiksle abi bazės yra dešiniosios.
O
b
H
A
1.26 pav.
i
j
6.3.4. Antrasis vektorinės sandaugos apibrėžimas
6.3.1–6.3.3 papunkčiuose įrodytos vektorinės sandaugos savybės yra esminės. Jei kuris nors vektorius c r tenkina
sąlygas: 1) yra statmenas nekolineariems vektoriams a r {a 1 , a 2 , a 3 } ir b r {b 1 , b 2 , b 3 }; 2) sudaro su vektoriais a r ir b r
bazę, orientuotą kaip ir ortonormuotoji bazė {i r , r j , k r }; 3) | c r |=| a r |⋅| b r ∧
r
|⋅sin( a b
r
, ), tuomet galima įrodyti [7], jog
vektoriaus c r a2
a3
a1
a3
a1
a2
koordinatės yra: c 1 = , c 2 = - , c 3 = , t. y. c r = a r × b r .
b2
b3
b1
b3
b1
b2
Iš čia išplaukia antrasis, geometrinis, vektorinės sandaugos apibrėžimas.
A Vektorių a r ir b r vektorine sandauga vadinamas vektorius c r , kuris statmenas vektoriams a r ir b r , sudaro
su jais bazę, orientuotą kaip ir duotoji erdvės linealo ortonormuotoji bazė, ir kurio ilgis lygus dauginamųjų
vektorių ilgių bei kampo tarp vektorių sinuso sandaugai.
23

6.3.5. Vektorių i r , r j , k r vektorinės ir skaliarinės daugybos lentelės
Remdamiesi geometriniu vektorinės sandaugos apibrėžimu (I, 6.3.4), įrodykite ortonormuotosios bazės vektorių i r ,
r r
j , k vektorinės daugybos lentelės teisingumą (1.27a pav.). Nepainiokite su skaliarinės daugybos lentele (1.27c pav.).
i r r j k r i r r j k r
i r →
0
k r k
- r j i r 1 0 0
r
j -k r →
0
i r j
r j 0 1 0
k r r j - i r i
→
0
k r 0 0 1
1.27a pav. 1.27b pav. 1.27c pav.
Įsidėmėti vektorinės daugybos lentelę padeda 1.27b paveikslas.
6.4. Vektorinės sandaugos ilgio geometrinė prasmė. Trikampio plotas
Tarkime, jog turime lygiagretainį OADB (1.26 pav.), kurio kraštinės apibrėžia vektorius a r = OA ir b r = OB . Rasime
lygiagretainio plotą S.
▲ Žinome, jog S=OA⋅BH=| a r |⋅| b r |sinα. Pagal (1.9) formulę S=| a r × b r |. ▲
T Taigi dviejų nekolinearių vektorių a r ir b r vektorinės sandaugos a r × b r ilgio | a r × b r | geometrinė prasmė –
lygiagretainio, kurio gretimų kraštinių kryptinės atkarpos priklauso tiems vektoriams, plotas.
Trikampio OAB plotas lygus pusei lygiagretainio OADB ploto (1.26 pav.). Todėl
S ∆OAB = 2
1 | OA × OB |. (1.10)
Pavyzdys. Duotos plokštumos vektorių koordinatės ortonormuotos bazės { i r , j r } atžvilgiu: AB {x 1 , y 1 }, AC {x 2 ,
y 2 }. Raskime trikampio ABC plotą.
Sprendimas. Į vektorius AB ir AC galima žiūrėti kaip į erdvės vektorius: AB {x 1 , y 1 , 0}
r r
{ i , j,
k}
ir AC {x 2 , y 2 ,
0}
r r r
{ i , j,
k}
. Čia { i r , r j , k r } – erdvės linealo bazė.
Trikampio ploto S ∆ ieškosime pagal (1.10) formulę
1 ⎪⎧
y
⎪
S ∆ = | AB × AC |, [ AB × AC ]
1
0 x1
0 x1
x2
⎫
⎪⎧
x1
y1
⎪⎫
⎨ , − , ⎬ arba [ AB × AC ] ⎨0,
0, ⎬ , todėl
2 ⎪⎩ y2
0 x2
0 y1
y2
⎪ ⎭ ⎪⎩ x2
y2
⎪⎭
1 2 2
x1
y1
1 x1
y1
S ∆ABC = 0 + 0 + = | | ,
2
x y 2 x y
2
2
2
2
2
1 x1
y1
S ∆ABC = | | . (1.11)
2 x y
2
2
r
6.5. Uždaviniai
1 uždavinys. Žinomi vektorių a r ir b r ilgiai: | a r |=3, | b r |=4; kampas tarp vektorių α= 6
π . Raskime |( a
r + b
r
)×( a
r - b
r
)|.
Sprendimas. Panaudoję vektorinės daugybos distributyvumo ir antikomutatyvumo savybes randame
( a r + b r )×( a r - b r )= a r × a r - a r × b r + b r × a r - b r × b r =2( b r × a r ). Čia dar pritaikome I skyriaus 6.2 punkto ketvirtą teoremą. Pagal
trečią teoremą ir I skyriaus 6.3.2 papunkčio teoremą |( a r + b r )×( a r - b r )|=2| b r × a r |=2| b r |⋅| a r r∧
|sin ( b,
a
r 1
) = 2⋅3⋅4⋅ =12. 2
Ats.: |( a r + b r )×( a r - b r )|=12.
2 uždavinys. Raskime vektorius d r 1
=[ a r × b r ]× c r ir d r 2
= a r ×[ b r × c r ], jei a r {0, 1, 1}, b r {1, 0, -1}, c r {2, 1, 0}.
24

Sprendimas. [ a r × b r ]
[( a r × b r )× c r ]
[ b r × c r ]
⎧
⎨
⎩
0
1
[ a r ×( b r × c r )]
⎧
⎨
⎩
1
1
⎧
⎨
⎩
− 1 1
, −
0 2
⎧
⎨
⎩
1
0
−1
−1
, −
0 2
1 0 1 0 1
, − ,
− 1 1 − 1 1 0
− 1 1
,
0 2
−1
,
0
0
1
−1
2
⎫
⎬
⎭
1 1 0 1 0 1
, − ,
− 2 1 1 1 1 − 2
1
1
⎫
⎬
⎭
⎫
⎬
⎭
arba [ a r × b r ]{-1, 1, -1}.
arba d r 1
{1, -2, -3},
arba [ b r × c r ]{1, -2, 1},
⎫
⎬
⎭
arba d r 2
{3, 1, -1}.
Matome, jog d r 1
≠ d r 2
. Taigi asociatyvumo dėsnis vektorinei daugybai negalioja.
3 uždavinys. Raskime trikampio ABC aukštinę AH, jei AB {1, 0, 2}, AC {4, 1, -1}.
Sprendimas. Pagal (1.10) formulę randame trikampio plotą S= 2
1
| AB × AC |. Kadangi
[ AB × AC ]
⎧
⎨
⎩
0
1
2 1 2 1 0
, − ,
− 1 4 − 1 4 1
⎫
⎬
⎭
arba [ AB × AC ]{-2, 9, 1}, tai S= 1 2 2 1
( − 2) + 9 + 1
2 = 86 .
2
2
Toliau randame vektorių BC = AC - AB . Kadangi BC {3, 1, -3}, todėl | BC |= 9 + 1+
9 = 19 .
1 2S
86
Žinome kitą trikampio ploto formulę: S= BC⋅AH, iš kurios AH= = .
2 BC 19
86
Ats.: AH= .
19
4 uždavinys ([5], p. 28). Raskite trikampio ABC aukštinę AH, pusiaukraštinę AM, plotą S ir kampą A, jei AB {2,
1}, CD {3, -1}.
10 5
Ats.: AH=AM= , S= , A=90°.
2 2
5 uždavinys. Raskite vektoriaus r =(2 m r +2 n r -5 p r )×( m r + n r ) ilgį, jei m r , n r , p r – poromis statmeni ortai.
Nurodymas. r = u r × v r r
, u{2,
2, 5} r r r
r
−
{ m,
n,
p}
, v{1,
1, 0} r r r
{ m,
n,
p}
.
Ats.: | r r |= 50 .
6 uždavinys. Apskaičiuokite vektoriaus a r {3, -12, 4} projekciją į ašį, kurios teigiamą kryptį apibrėžia vektorius
u r × v r , jei u r {1, 0, -2}, v r {1, 3, -4}.
Ats.: pr l( u
r × v
r ) a r =6/7.
6.6. Savikontrolės klausimai ir užduotys
1. Suformuluokite vektorių vektorinės sandaugos apibrėžimus.
2. Išvardykite paprasčiausias vektorinės daugybos savybes. Įrodykite distributyvumo savybę.
3. Išvardykite esmines vektorinės sandaugos savybes.
4. Išmokite bazės vektorių i r , j r , k r vektorinės ir skaliarinės daugybos lenteles. Pasitikrinkite.
5. Kokia vektorinės sandaugos geometrinė prasmė
6. Kaip apskaičiuoti trikampio plotą
7. Vektorių mišrioji sandauga
7.1. Vektorių mišriosios sandaugos apibrėžimas ir paprasčiausios savybės
7.1.1. Vektorių mišriosios sandaugos apibrėžimas
Septintajame poskyryje vektorius dauginsime trečiuoju, mišriuoju, būdu.
A Trijų vektorių a r , b r , c r mišriąja sandauga vadinamas skaičius, kuris lygus pirmųjų dviejų vektorių a r ir
b r vektorinės sandaugos a r × b r ir trečiojo vektoriaus c r skaliarinei sandaugai.
25

Žymima: a r b r c r , ( a r , b r , c r ). Taigi a r b r c r =[ a r × b r ]⋅ c r .
7.1.2. Vektorių mišriosios sandaugos išraiška vektorių koordinatėmis
Sakykime, turime tris vektorius: a r {a 1 , a 2 , a 3 }, b r {b 1 , b 2 , b 3 }, c r {c 1 , c 2 , c 3 }.
▲ Pagal vektorinės sandaugos apibrėžimą (1.8) [ a r × b r ⎪⎧
a2
a3
a
] ⎨ , −
⎪⎩ b2
b3
b
skaliarinės sandaugos išraišką koordinatėmis (1.4) a r b r c r =[ a r × b r ]⋅ c r a
=
b
Pasinaudoję determinanto skleidimo eilute savybe turime, jog
a a a
a r b r c r = b
1
1
b
2
2
3
3
2
2
a
b
3
3
1
1
a
a
b
3
3
,
a
1 3
c 1 -
b1
b3
c1
c2
c3
T Vektorių mišrioji sandauga lygi determinantui, sudarytam iš vektorių koordinačių.
7.1.3. Vektorių mišriosios sandaugos paprasčiausios savybės
b
a
b
1
1
a
c 2 +
b
a ⎪⎫
2
⎬ , o pagal vektorių
b2
⎪⎭
.▲ (1.12)
S 1. Vektorių mišrioji sandauga antikomutatyvi: ∀ a r , b r , c r , a r b r c r = - b r a r c r = - a r c r b r = - c r b r a r .
S 2. Mišrioji sandauga yra cikliška: a r b r c r = b r c r a r = c r a r b r .
S 3. Skaičių galima iškelti prieš mišriosios sandaugos ženklą: ∀λ∈R, (λ a r , b r ,c r )=λ( a r , b r , c r ).
S 4. Mišriajai sandaugai galioja distributyvumo dėsnis: ∀ a r , b r , c r , d r , ( a r + b r ) c r d r =a r c r d r + b r c r d r .
Įrodymas analogiškas vektorinės sandaugos savybių įrodymui. Jis remiasi (1.12) formule ir determinantų savybėmis.
7.2. Trijų vektorių komplanarumo būtina ir pakankama sąlyga
T Trys vektoriai komplanarūs tada ir tik tada, kai jų mišrioji sandauga lygi 0.
Įrodymas susideda iš dviejų dalių.
I. Duota: a r , b r , c r – komplanarūs.
Įrodyti: a r b r c r =0.
▲ Jei a r ir b r – kolinearūs vektoriai, tuomet jų vektorinė sandauga a r × b r = 0 r , o tada ir [ a r × b r ]⋅ c r = 0 r ⋅ c r =0. Jei a r ir
b r nekolinearūs, o a r , b r , c r – komplanarūs vektoriai, tuomet jų atstovai OA∈
a r , OB ∈ b r , OC ∈ c r yra vienoje
plokštumoje. Toje plokštumoje vektoriai OA , OB sudaro bazę, o vektorių OC galima vienareikšmiškai išreikšti bazės
vektoriais (I, 4.1.2): OC =α a r +β b r . Iš čia c r =α a r +β b r , o pagal vektorių koordinačių savybes (I, 4.2) vektoriaus c r
koordinatės c 1 , c 2 , c 3 yra vektorių a r ir b r koordinačių tiesinės kombinacijos: c 1 =αa 1 +βb 1 , c 2 =αa 2 +β 2 , c 3 =αa 3 +βb 3 .
Pritaikę (1.12) formulę turime, jog a r b r c r a1
a2
a3
= b b b =0.
1
1
αa
+ βb
1
2
2
αa
+ βb
2
3
3
αa
+ βb
Rėmėmės iš algebros kurso žinoma determinanto savybe: jei determinanto eilutė yra kitų eilučių tiesinė
kombinacija, tai toks determinantas lygus 0. Pastarąjį tvirtinimą galima įrodyti tiesiogiai apskaičiavus determinantą. ▲
II. Duota: a r b r c r = 0 r .
Įrodyti: a r , b r , c r – komplanarūs.
Įrodymas analogiškas I teoremos įrodymui, tik samprotavimus reikia pateikti atvirkščia tvarka.
3
1
1
a
b
2
2
c 3 .
7.3. Vektorių mišriosios sandaugos geometrinė prasmė
T Gretasienio ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 tūris V lygus vektorių AB , AD , AA
1
mišriosios sandaugos moduliui:
▲ Galimi du atvejai.
V=|( AB , AD , AA
1
)|. (1.13)
26

I. Bazės { AB , AD , AA
1
} ir { i r , r j , k r } yra vienodai orientuotos. Tarkime, jog jos abi yra dešiniosios (1.28a
pav.).
D 1
C
a ×b
1
D1
C1
A 1
b
D
B 1
C
i
k
O
j
A 1
c
D
B 1
C
A
1.28a pav.
a ×b
1.28b pav.
Pažymėkime AB = a r , AD = b r , AA
1
= c r . Tada kampas α tarp vektorių c r ir a r × b r yra smailusis, nes vektorius
a r × b r su vektoriais a r ir b r taip pat sudaro dešiniąją bazę.
Gerai žinoma, jog gretasienio tūris V lygus pagrindo ploto S ir aukštinės h sandaugai. Pagal vektorinės sandaugos
geometrinę prasmę (I, 6.4) V=Sh=| a r × b r |⋅|c r |cosα=[ a r × b r ]⋅ c r = a r b r c r .
Čia dar pritaikėme skaliarinės ir mišriosios sandaugų apibrėžimus (I, 5.1.1 ir I, 7.1.1).
II. Bazės { AB , AD , AA
1
} ir { i r , r j , k r } yra orientuotos priešingai (1.28b pav.). Tada kampas α′ tarp vektorių c r
ir a r × b r yra bukasis. Apskaičiuosime gretasienio tūrį.
V=Sh=| a r × b r |⋅| c r |cosα=| a r × b r |⋅| c r |cos(180-α′) =-| a r × b r |⋅| c r |cosα′= - [ a r × b r ]⋅ c r = - ( a r b r c r ).
Kadangi V>0, tai V=| a r b r c r |=|( AB , AD , AA
1
)|. ▲
T Nekomplanarių vektorių a r , b r , c r mišriosios sandaugos modulio | a r b r c r | geometrinė prasmė – gretasienio,
kurio gretimų kraštinių kryptinės atkarpos priklauso tiems vektoriams, tūris.
Pastebime, jog a r b r c r >0 tada ir tik tada, kai bazės { a r , b r , c r } ir { i r , r j , k r C1 D
1
} yra vienodai
orientuotos; a r b r c r

4. Vektorius CF statmenas vektoriui AB , todėl jų skaliarinė sandauga CF ⋅ AB =0. Vektoriai AF = AC + CF ir
AB yra kolinearūs, todėl jų koordinates yra proporcingos. Vektoriaus CF koordinates x, y, z rasime iš
ekvivalenčių sistemų
⎪
⎧
⎨
⎪⎩
2x
− z = 0,
⎧z
= 2x,
⎧x
= −1,
⎪ ⎪
3 + x 3 + y 1 + z ⇔ ⎨y
= −3,
⇔ ⎨y
= −3,
⇒ CF {-1, -3, -2}.
= = , ⎪
2 0 − 1 ⎩x
= −1,
⎪
⎩z
= −2,
5. Analogiškai randame vektoriaus DE {α, β, γ} koordinatės iš sistemos
2}= - DA (atsitiktinai E=A).
6. Pritaikę (1.6) formulę randame cosα=
Ats.: V tetr. = 2
7 ; S∆ABC =
1+
18 + 4
=
1+
36 + 4 1+
4 + 9
23
.
41 14
35 21 70 ; H= ; CF {-1, -3, -2}; DE {-1, -6, -2}; α=arccos
2 70
⎪
⎧
⎨
⎪⎩
2α
− γ = 0,
1 + α 6 + β 2 + γ DE {-1, -6, -
= = .
2 0 − 1
23 .
574
2 uždavinys. Ar vektoriai a r {2, -1, 0}, b r {0, 1, -3}, c r {1, 0, -1} yra komplanarūs Jei ne, kokia bazės { a r , b r , c r }
orientacija Koordinatės duotos ortonormuotosios bazės { i r , r j , k r } atžvilgiu.
Sprendimas. Randame vektorių a r , b r , c r mišriąją sandaugą pagal (1.12) formulę.
2 −1
0
a r b r c r = 0
1
1
0
− 3 =1>0.
Vektoriai a r , b r , c r – nekomplanarūs, todėl sudaro bazę. Kadangi perėjimo iš bazės { i r , j r , k r } į bazę {a r , b r ,c r }
determinantas teigiamas, bazės yra vienodai orientuotos.
Ats.: a r , b r , c r – nekomplanarūs vektoriai, bazės { a r , b r , c r } ir { i r , j r , k r } vienodai orientuotos.
3 uždavinys ([5], p. 35). Raskite trikampės prizmės ABCA 1 B 1 C 1 tūrį V, pagrindo plotą S, aukštinę H, jei AB {1,
0, -3}, AC {2, -2, -2}, AA
1
{3, -2, -4}.
Ats.: V=1, S= 14 , H=
1 .
14
4 uždavinys. Raskite gretasienio ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 tūrį V, pagrindo plotą S, aukštinę H, kampą ϕ tarp briaunos AB ir
įstrižainės B 1 D, jei AB {4, 3, 0}, AD {2, 1, 2}, AA
1
{-3, -2, 5}.
Nurodymas: taikyti (1.12), (1.10), (1.6) formules.
Ats.: V=12; S= 2 26 ; H=
6 4 ; cosϕ= .
26 5 10
−1
7.5. Savikontrolės klausimai ir užduotys
1. Suformuluokite mišriosios sandaugos apibrėžimą.
2. Kaip vektorių mišrioji sandauga išreiškiama vektorių koordinatėmis
3. Išvardykite mišriosios sandaugos paprasčiausias savybes. Vieną įrodykite.
4. Kokia trijų vektorių komplanarumo būtina ir pakankama sąlyga
5. Kokia mišriosios sandaugos geometrinė prasmė
6. Kaip apskaičiuoti gretasienio ir tetraedro tūrius
28