2paskaita6

1 2 2 1 

1 2 2 1 

TLS sprendimas 

Antrasis Newton’o dėsnis –judėjimo lygtis 

Antrasis Niutono dėsnis – judėjimo lygtis 

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 

Olga Štikonienė 

Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra, MIF VU 

2013-02-11 

Masių- 

spyruoklių Masių-spyruoklių 

sistema 

Kirchhofo taisyklės Kirchhofo taisyklės 

Pirmoji Kirchhofo taisyklė: 1 Betkad kuriame į mazgą grandinės sutekančių mazge 

srovių stiprių algebrinė suma lygi 

∑ 

srovių 

nuliui: algebrinė suma Elektros lygi nuliui: 

I 5 

k 

Ik 

0. 

I k = 0. 

2 grandinės 

k Bet kuriame elektrinės grandinės 

kontūre įtampų algebrinė suma lygi 

Antroji Kirchhofo taisyklė: bet kokio uždaro kontūro 

šakomis tekančių srovių nuliui: ∑ stiprių ir 

k 

varžų ε k = sandaugų 0. 

algebrinė suma lygi tame kontūre esančių ų šaltinių ų 

ε 

Rezistorius: ε elektrovarų algebrinei sumai: 

k = I 

IR . 

k k 

 

k R k (Omo dėsnis: 

 

j 

stiprio ir varžos sandauga). 

I R 1 R 2 

1 

I 2 

R 5 

I 3 I 4 

R 3 R 4 

I 

k 

j 

Skaitiniai metodai (MIF VU) Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 1 / 75 


Taikymai 



Tiesinė lygčių sistema 

Žaliavos Žal. norma, gaminant 1 batų pora˛ 

Žal. sanaudos 

˛ 

tipai Batai Basutės Aulinukai 1 dienai 

S 1 5 3 4 2700 

S 2 2 1 1 900 

S 3 3 2 2 1600 

Tegul kasdien gaminama x 1 porų batų, x 2 porų basučių ir x 3 porų 

aulinukų. 

5x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 2700 

2x 1 + x 2 + x 3 = 900 

3x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 1600. 

a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1 

a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b 2 

· · · · · · 

a n1 x 1 + a n2 x 2 + · · · + a nn x n = b n , 

Lygčių sistema˛ 

patogu užrašyti matriciniu pavidalu 

Ax = b 

⎛ 

⎞ ⎛ 

a 11 a 12 · · · a 1n 

arba ⎜ a 21 a 22 · · · a 2n 

⎟ ⎜ 

⎝ · · · · · · · · · · · · ⎠ ⎝ 

a n1 a n2 · · · a nn 

x 1 

x 2 

· · · 

x n 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ = ⎜ 

⎝ 

b 1 

b 2 

· · · 

b n 

⎞ 

⎟ 

⎠ . 

Atsakymas: x 1 = 200, x 2 = 300, x 3 = 200. 




Matricų atskiri atvejai (žymėjimai) 


Juostinės matricos 

įstrižaininė matrica 

⎛ 

D = ⎜ 

⎝ 

⎞ 

d 11 0 0 0 

0 d 22 0 0 

⎟ 

0 0 d 33 0 ⎠ 

0 0 0 d 44 

apatinė trikampė matrica 

⎛ 

⎞ 

a 11 0 0 0 

L = ⎜ a 21 a 22 0 0 

⎟ 

⎝ a 31 a 32 a 33 0 ⎠ 

a 41 a 42 a 43 a 44 

vienetinė matrica 

AI = IA = A 

⎛ 

⎞ 

1 0 0 0 

I = ⎜ 0 1 0 0 

⎟ 

⎝ 0 0 1 0 ⎠ 

0 0 0 1 

viršutinė trikampė 

matrica 

⎛ 

U = ⎜ 

⎝ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 a 14 

0 a 22 a 23 a 24 

⎟ 

0 0 a 33 a 34 ⎠ 

0 0 0 a 44 

Matrica A yra juostinė, jei ∃ r ∈ N : r < n, toks, kad a ij = 0, kai 

|i − j| > r, i, j = 1, . . . , n. 

T.y. išskyrus juostas pločio 2r + 1 prie pagrindinės įstrižainės, visi 

kiti elementai yra nuliniai. 

Triįstrižainė matrica– trys nenulinės įstrižainės. 

r = 1 : 

⎛ 

⎞ 

• • 

• • • 

• • • 

⎜ • • • 

⎟ 

⎝ • • • ⎠ 

• • 

r = 2 : 

⎛ 

⎞ 

• • • 

• • • • 

• • • • • 

⎜ • • • • • 

⎟ 

⎝ • • • • ⎠ 

• • • 





Juostinės matricos – išskyrus juostas prie pagrindinės įstrižaines visi 



⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 0 0 

T = ⎜ a 21 a 22 a 23 0 

⎟ 

⎝ 0 a 32 a 33 a 34 ⎠ . 

0 0 a 43 a 44 

Gauso metodas 

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas - mažos matricos 

Kai lygčių sistemoje nedaug galima lengvai išspręsti: 

Grafinis sprendimas; 

Kramerio metodas; 

Kintamųjų 2x xeliminavimas. 

3 x 2x 

3 

Vienintelis sprendinys 

Grafinis 

sprendimas 

 

pertvarkome 

nėra 

Grafinis 

sprendimas 

Sprendinių 

 

x 3 3 

x x x 

 

x 1 + x 2 = 3 

2x 1 – x 2 = 3 

Vienintelis sprendinys 

2x 1 – x 2 = – 1 

Sprendinių nėra 

2x 1 – x 2 = 3 

2 1 

det A 0 

2 1 

|A| = 

∣ 1 1 

2 −1 ∣ = −3; 

|A| = 

∣ 2 −1 

2 −1 ∣ = 0; 

Be galo Grafinis daug sprendinių 

sprendimas 

2x 1 – x 2 = 3 

Be galo daug sprendinių 

6x 1 – 3x 2 = 9 

2 1 

det A 0 

6 3 

|A| = 

∣ 2 −1 

6 −3 ∣ = 0. 


Skaitiniai metodai (MIF VU) Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 8 / 75

Gauso metodas 

Blogai salygotas ˛ uždavinys 

Blogai sąlygotas Grafinis 

uždavinys sprendimas 

2 

det A 

1 0,1 

2,1 1 

Gauso metodas 

Grafinis sprendimas: 3 lygtys 

21 2,1x 1 – x 2 = 3 

2x 1 –x 2 = 3 

{ a11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 

a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 

⇒ 

det A = 

2 −1 

∣ 2, 1 −1 ∣ = 0, 1. 

Analizė 

{ 

x2 = − a11 

a 12 

x 1 + b1 

a 12 

x 2 = − a21 

a 22 

x 1 + b2 

a 22 

. 

Krypčių koeficientai beveik lygus a11 

a 12 

≈ a21 

a 22 

. 

Kas atsitinka, kai TLS determinantas yra mažas? 

det A = 

∣ a ∣ 

11 a 12 ∣∣∣ 

≈ 0 

a 21 a 22 

det A = 0 - tiesiškai priklausoma sistema. 

Dalyba iš mažo skaičiaus : didelė apvalinimo paklaida. 

Reikšminių skaitmenų praradimas. 


⎧ 

⎨ 3x − 2y − z = −3 

−2x + 3y − z = 2 

⎩ 

x + y − z = 5. 

MATLAB: 

Grafinis 

sprendimas: 3 lygtys 

» xx=-10:1:10; yy=-10:1:10; [x,y]=meshgrid(xx,yy); 

[x,y]=meshgrid(xx,yy); 

» z1=3*x-2*y+3; z2=-2*x+3*y-2; z3=x+y-5; 

» z1=3*x-2*y+3; surf(x,y,z1); hold on; z2=-2*x+3*y-2; surf(x,y,z2); surf(x,y,z3); 

z3=x+y-5; 

» surf(x,y,z1); hold on; surf(x,y,z2); surf(x,y,z3); 


Gauso metodas 

Tiesinių lygčių sistemų (TLS) sprendimas 

Sistemos Ax = b vienintelis sprendinys egzistuoja, jei det A ≠ 0. 

Kramerio taisyklė: 

x i = det A i 

det A . 

Pavyzdys: kompiuteriui, atliekančiam 

10 9 operacijų/sec. (t.y. 1 giga 

flops), reikalinga: 

10 10 operacijų/sec., 

reikalinga: 

n = 15 12 valandų, 

n = 10 10 −5 sec., 

n = 20 3240 metų, 

n = 20 1 3 

n = 100 10 143 4 min., 

metai, 

n = 30 4 · 10 4 metai, 

skaičiuojant determinantus pagal apibrėžima ˛ (arba skleidžiant eilute). 

Alternatyva 

Tiesioginiai sprendimo metodai; 

Iteraciniai metodai. 


Gauso metodas 


TLS Ax = b sprendimo metodų apžvalga 

Tiesioginiai metodai 

(< 10 4 nežinomųjų) 

Tikslus sprendinys 

gaunamas per baigtinį 

žingsnių skaičių. 

Gauso; 

Skaidos; 

Choleckio; 

Perkelties. 

Iteraciniai metodai 


Randamas apytikslis 

sprendinys bet kokiu norimu 

tikslumu. 

Jakobio; 

Zeidelio; 

Relaksacijos; 

Mišrusis; 

Variaciniai metodai 

(> 10 7 nežinomųjų). 


Gauso metodas 


Gauso metodas 

TLS Ax = b tiesioginiai sprendimo metodai 

TLS Ax = b sprendimo metodų apžvalga 

Pasirinkimas tarp tiesioginių ir iteracinių metodų gali priklausyti nuo 

kelių faktorių: 

teorinis metodo efektyvumas, 

matricos tipas, 

atminties laikymo reikalavimai, 

kompiuterių architektūra. 


Tikslus sprendinys gaunamas per baigtinį žingsnių skaičių. 

Tiesioginiai metodai 

Gauso metodas. 

Skaidos metodai Ax i = b i , i = 1, . . . , m. 

Choleckio metodas - taikomas, kai matrica A simetrinė ir teigiamai 

apibrėžta. 

Perkelties algoritmas - sprendžia TLS su triįstrižaine matrica. 



Gauso metodas 

Gauso metodas 

Gauso metodas 

Gauso metodo esmė 

Tiesioginis metodas (nėra iteracijų). 

Nuoseklus nežinomųjų šalinimas; 

Sistemos matricos pertvarkymas į viršutinę trikampę matrica˛ 

⎛ 

⎞ ⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 · · · a 1n 

a 11 a 12 · · · a 1n 

A = ⎜ a 21 a 22 · · · a 2n 

⎟ 

⎝ · · · · · · · · · · · · ⎠ → U = ⎜ 0 ã 22 · · · ã 2n 

⎟ 

⎝ · · · · · · · · · · · · ⎠ . 

a n1 a n2 · · · a nn 0 0 · · · ã nn 

Sprendinys randamas iš pertvarkytosios sistemos. 

Pirmoji lygtis yra pagrindine lygtis, 

a 11 yra pagrindinis elementas (iš jo dalijama visa lygtis) ir t.t. (ã ii ) 

Paprastas Gauso metodas: ã ii ≠ 0. 

Tiesioginė eiga: 

1 Elementų po pagrindine įstrižaine nuoseklus šalinimas 

stulpeliuose; 

2 Suvedimas į viršutinę trikampę matrica. 

˛ 

Atbulinė eiga: 

Gaunamas sprendinys x = (x 1 , x 2 , · · · , x n ). 

Ekvivalentieji pertvarkiai: 

Lygtis dauginama iš skaičiaus, nelygaus nuliui; 

Dvi lygtys keičiamos vietomis; 

Lygtis, padauginta iš skaičiaus, pridedama prie kitos lygties. 



Gauso metodas 

Gauso metodo algoritmas 

Gauso metodas 

Pavyzdys - Gauso metodas 

1 Tiesioginė eiga 

Su visais j : j = 1, . . . , n − 1 

su visais k : k = j + 1, . . . , n 

j-aji lygtis dauginama iš a kj /a jj 

ir atimama iš k-osios lygties 

Gauname viršutinę trikampę matrica. 

˛ 

2 Atbulinė eiga 

1) apskaičiuojame x n : 

x n = b (n−1) 

n /a (n−1) 

nn 

2) įstatome x n į (n − 1)-ajį lygtį ir randame x n−1 ; 

3) analogiškai kartojame 2) ir apskaičiuojame 

x n−2 , x n−3 , . . . x 1 . 

Pažymėkime l kj = akj 

a jj 

. 

⎛ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎜ 

⎝ 

1 0 2 3 

−1 2 2 −3 

0 1 1 4 

6 2 2 4 

1 0 2 3 

0 2 4 0 

0 1 1 4 

0 2 −10 −14 

∣ 

∣ 

1 

0 

2 

−5 

1 

−1 

2 

1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

l 21 = −1 

l 31 = 0 

l 41 = 6 

(2 lygtis) − l 21 (1 lygtis) 





Gauso metodas 

Pavyzdys - kintamųjų šalinimas 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 0 2 3 

0 2 4 0 

0 1 1 4 

0 2 −10 −14 

1 0 2 3 

0 2 4 0 

0 0 −1 4 

0 0 −14 −14 

∣ 

1 

0 

2 

−5 

∣ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

1 

0 

2 

−5 

⎞ 

⎟ 

⎠ l 32 = 1/2 

l 42 = 1 




Gauso metodas 

Pavyzdys - kintamųjų šalinimas ir atbulinė eiga 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 0 2 3 

0 2 4 0 

0 0 −1 4 

0 0 −14 −14 

1 0 2 3 

0 2 4 0 

0 0 −1 4 

0 0 0 −70 

∣ 

1 

0 

2 

−33 

∣ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

1 

0 

2 

−5 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

l 43 = 14 


Sprendinys 

x 4 = −33 

−70 = 33 

70 , x 3 =4x 4 − 2 = − 4 35 , 

⎛ 

x 2 = −2x 3 = 8 35 , x 1 =1 − 2x 3 − 3x 4 = − 13 

70 . X = ⎜ 

⎝ 

33/70 

−4/35 

8/35 

−13/70 


⎞ 

⎟ 

⎠ 

Gauso metodas 

Gauso metodo skaičiavimo apimtis 

Gauso metodas 

Gauso metodo skaiciavimo apimtis 

Svarbi, kai matricos yra dideles. 

Computational work estimate: one floating-point operation (flop) is one 

multiplication (or division) and possibly addition (or subtraction) as in 

y = a × x + b, where a, x, b and y are computer representations of real 

scalars. 

Tiesioginė eiga O( 2 3 n3 ) aritmetinių veiksmų; 

Atbulinė eiga O( 1 2 n2 ) aritmetinių veiksmų. 


Išorinis ciklas Vidinis ciklas +/− ∗/÷ 

j k veiksmai veiksmai 

1 2, n (n − 1)n (n − 1)(n + 1) 

2 3, n (n − 2)(n − 1) (n − 2)n 

. 

. 

. 

. 

j j + 1, n (n − j)(n − j + 1) (n − j)(n − j + 2) 

. 

. 

. 

. 

n − 1 n, n 1 · 2 1 · 3 

Tiesiogines eigos bendroji skaiciavimo apimtis = 2n 3 /3 + O(n 2 ) 

aritmetiniu operaciju. 

Atbulines eigos bendroji skaiciavimo apimtis = n 2 + O(n) 

aritmetiniu operaciju. 


Gauso metodas 

Skaičiavimo operacijų apimtis 

Gauso metodas 

Apvalinimo paklaidos 

Slankaus kablelio operacijų skaičius Gauso metodui 

2n n Ties. Atbul. Bendras 3 

3 % 

eiga eiga veiksmų sk. Ties. eiga 

10 705 100 805 667 87, 58% 

100 671550 10 4 681550 666667 98, 53% 

1000 6, 67 · 10 8 10 6 6, 68 · 10 8 6, 68 · 10 8 99, 85% 

Augant n sparčiai didėja skaičiavimo laikas. 

Daugiausiai veiksmų reikalauja tiesioginė eiga. 

Metodo efektyvumas labiausiai priklauso nuo tiesioginės eigos. 

Didelė dalis skaičiavimų su 1 3 n3 operacijų. 

Svarbu – paklaida didėja. 

Didelėms sistemoms (virš 100 lygčių), apvalinimo paklaida gali 

būti pakankamai didelė. 

Blogai salygoti ˛ uždaviniai – maži koeficientų pokyčiai lemia 

didelius sprendinių pokyčius. 

Apvalinimo paklaidų analizė ypač svarbi blogai salygotiems 

˛ 

uždaviniams. 



Determinantas 

Gauso metodas 

Gauso metodas 

Pagrindinio elemento parinkimas 

Skaičiuojamas naudojant Gauso metoda: 

˛ 

⎛ 

⎞ ⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 · · · a 1n 

a 11 a 12 a 13 · · · a 1n 

a 21 a 22 a 23 · · · a 2n 

A = 

⎜ a 31 a 32 a 33 · · · a 3n 

⎟ 

⎝ · · · · · · · · · · · · · · · ⎠ → U = 0 ã 22 ã 23 · · · ã 2n 

⎜ 0 0 ã 33 · · · ã 3n 

⎟ 

⎝ · · · · · · · · · · · · · · · ⎠ . 

a n1 a n2 a n3 · · · a nn 0 0 0 · · · ã nn 

det A = det U = a 11 ã 22 · · · ã nn . 

Gauso metodo galimi sunkumai 

Dalyba iš nulio. 

Apvalinimo paklaidos. 

Blogai salygoti ˛ uždaviniai. 

Pagrindinio elemento parinkimas nereikalingas, jei 

Išpildyta pagrindinės įstrižainės vyravimo salyga 

˛ 

|a ii | > 

n∑ 

j=1,j≠i 

|a ji |, i = 1, . . . , n. 

Matrica A yra simetrinė ir teigiamai apibrėžta 

A T = A, ∀x ≠ 0 (Ax, x) = x T Ax > 0. 



Gauso metodas 

Pagrindinio elemento parinkimo būdai 

Gauso metodas 

Pagrindinio elemento parinkimas iš stulpelio elementų 

Pagrindinio elemento parinkimas 

1 iš stulpelio elementų: 

Pagrindinis elementas parenkamas iš stulpelio elementų. Šios dvi 

lygtis sukeičiamos vietomis. 

2 iš eilutes elementų: 

Pagrindinis elementas parenkamas iš pertvarkomos eilutes 

elementų. Sukeičiamos vietomis matricos A stulpeliai ir 

įsimenama naujoji nežinomųjų tvarka. 

3 pagal lygties koeficientų modulių suma: 

˛ 

Kiekvienoje lygtyje randamas didžiausiai koeficientas, iš jo 

padalijama atitinkama lygtis. Lygtys sukeičiamos vietomis, 

pernumeruojami nežinomieji. 

Pertvarkant k-aj ˛ a˛ 

eilutę, randama kita lygtis, kurioje koeficientas prie x k 

yra didžiausias; 

pažymėkime šios lygties numerį m; 

šiuo atveju pagrindinis elementas yra 

|a mk | = max 

kin |a ik|. 

Šios dvi lygtys sukeičiamos vietomis, ir m-osios lygties koeficientas 

prie x k tampa pagrindiniu elementu – iš jo dalijami eilutės elementai. 



Gauso metodas 

Pagrindinio elemento parinkimas iš stulpelio elementų - pavyzdys I 

Gauso metodas 

Pagrindinio elemento parinkimas iš stulpelio elementų - pavyzdys II 

x 1 +2x 3 + 3x 4 = 1 

−x 1 +2x 2 +2x 3 − 3x 4 = −1 

x 2 +x 3 + 4x 4 = 2 

6x 1 +2x 2 +2x 3 + 4x 4 = 1. 

⎛ 

1 0 2 3 

⎜ 

−1 2 2 −3 

⎝ 0 1 1 4 

6 2 2 4 

∣ 

1 

−1 

2 

1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

Keičiamos 1 ir 4 eilutės 

⎛ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎜ 

⎝ 

6 2 2 4 

−1 2 2 −3 

0 1 1 4 

1 0 2 3 

6 2 2 4 

0 7/3 7/3 −7/3 

0 1 1 4 

0 −1/3 5/3 7/3 

∣ 

∣ 

1 

−1 

2 

1 

1 

−5/6 

2 

5/6 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

f 21 = −1/6 

f 31 = 0 

f 41 = 1/6 

(2 lygtis) − (1 lygtis) · f 21 





Gauso metodas 

Pagrindinio elemento parinkimas iš stulpelio elementų - pavyzdys III 

Gauso metodas 

Pagrindinio elemento parinkimas iš stulpelio elementų - pavyzdys IV 

⎛ 

6 2 2 4 

0 7/3 7/3 −7/3 

⎜ 

⎝ 0 1 1 4 

0 −1/3 5/3 7/3 ∣ 

⎛ 

6 2 2 4 

1 

⎜ 

0 7/3 7/3 −7/3 

−5/6 

⎝ 0 0 0 5 

33/14 

0 0 2 2 

∣ 5/7 

1 

−5/6 

2 

5/6 

⎞ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

keitimų nėra 

f 32 = 3/7 

f 42 = 1/7 

⎟ 

⎠ (3 lygtis) − (2 lygtis) · f 32 


⎛ 

⎜ 

⎝ 

6 2 2 4 

0 7/3 7/3 −7/3 

0 0 2 2 

0 0 0 5 

∣ 

1 

−5/6 

5/7 

33/14 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

x 4 = 33 

70 , x 3 = ( 5 7 − 2x 4) 1 2 = − 4 

35 , 

keičiamos 3 ir 4 eilutės 

f 43 = 0 

Sprendinys 

⎛ 

x 2 = (− 5 6 + 7 3 x 4 − 7 3 x 3) 3 7 = 8 35 , 

x 1 = (1 − 4x 4 − 2x 3 − 2x 2 ) 1 X = ⎜ 

⎝ 

6 = −13 70 . 

− 13 

70 8 

35 

− 4 35 

33 

70 

⎞ 

⎟ 

⎠ 



Gauso metodas 

Pagrindinio elemento parinkimas iš eilutės elementų 

Gauso metodas 

Pagrindinio elemento parinkimas pagal lygties koeficientų modulių suma˛ 

1 Kiekvienoje lygtyje randamas didžiausiai koeficientas ir iš jo 

padalijama atitinkama lygtis: 

Pertvarkant k-aj ˛ a˛ 

eilutę, didžiausias jos koeficientas (pažymėkime jo 

numerį m) yra 

|a km | = max |a kj|. 

kjn 

Radus pagrindinį elementa, ˛ pernumeruojami abu nežinomieji x k ir x m ; 

įsimenama naujoji nežinomųjų tvarka. 

|a imi | = max 

kjn |a ij|, k i j, a ′ ij = a ij 

a imi 

, k i, j n. 

2 Lygtys sukeičiamos vietomis taip, kad k-aja ˛ lygtimi taptų ta 

(pažymėkime jos numerį m), kurios koeficientų modulių suma yra 

mažiausia: 

n∑ n∑ 

min |a ′ ij| = |a ′ mj|. 

kin 

j=k j=k 

3 Nežinomieji pernumeruojami taip, kad nežinomasis su 

didžiausiuoju koeficientu būtu x k . 



Gauso metodas 

Pavyzdys (R. Čiegio, V. Būdos vadov. 68 p. ) 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 Kiekviena lygtis dalijama iš atitinkamo didžiausiojo koeficiento: 

Σ|a ij | 

100 100 1 

0, 2 20 1 

0, 05 0, 2 0, 5 

∣ 

⎞ 

1 

0 

1 

⎛ 

⎠ ⇒ ⎝ 

1 1 0, 01 

0, 01 1 0, 05 

0, 1 0, 4 1 

∣ 

⎞ 

0, 01 

0 ⎠ 

2 

2, 01 

1.06 

1.5 

2 Antra lygtis (mažiaus. koef. modulių suma) sukeičiama su pirmaj ˛ a˛ 

vietomis: x 1 x 2 x 3 

⎛ 

⎝ 

1 - pagrindinis elementas. 

0, 01 1 0, 05 

1 1 0, 01 

0, 1 0, 4 1 

∣ 

⎞ 

0 

0, 01 ⎠ 

2 

Gauso metodas 

3 Pernumeruojami nežinomieji ir atliekamas Gauso metodo 

tiesioginės eigos žingsnis: 

x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 x 3 

⎛ 

⎝ 

1 0, 01 0, 05 

1 1 0, 01 

0, 4 0, 1 1 

∣ 

⎞ 

0 

0, 01 ⎠ 

2 

⎛ 

1 0, 01 0, 05 

⎜ 

⇒ ⎝ 0 0, 99 −0, 04 

0 0, 096 0, 98 ∣ 

4 Analogiškai nustatomas kitas pagrinsinis elementas: 

⎛ 

⎝ 

x 2 x 1 x 3 Σ|a ij | 

1 0, 01 0, 05 

0 1 −0, 0404 

0 0, 98 1 

∣ 

⎞ 

0 

0, 0101 ⎠ 1, 0404 

2, 0408 1, 098 

⎞ 

0 

0, 01 ⎠ 

2 



Gauso metodas 

Triįstrižainės sistemos 


⎛ 

⎝ 

5 

x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 x 3 

1 0, 01 0, 05 

0 1 −0, 0404 

0 0 1, 0040 

Tikslumas 0,001. 

∣ 

⎞ 

0 

0, 0101 

2.0398 

⎛ 

⎠ ⇒ ⎝ 

⎛ ⎞ 

0, 092 

⇒ x ≈ ⎝ −0, 103 ⎠ 

2, 032 

1 0, 01 0, 05 

0 1 −0, 0404 

0 0 1 

∣ 

⎞ 

0 

0, 0101 ⎠ 

2.0317 


⎛ 

⎜ 

⎝ 

Juostinių matricų atskiras atvejis 

Saugojama 3 × n elementų vietoje n × n. 

b 1 c 1 

a 2 b 2 c 2 

. .. . .. . .. 

⎞ ⎛ 

⎟ ⎜ 

a n−1 b n−1 c n−1 ⎠ ⎝ 

a n b n 

a i b i c i 

. .. . .. . .. 

x 1 

x 2 

. 

x i 

. 

x n−1 

x n 

⎞ 

⎛ 

= 

⎟ ⎜ 

⎠ ⎝ 

d 1 

d 2 

. 

d i 

. 

d n−1 

d n 

⎞ 

. 

⎟ 

⎠ 




Perkelties metodas 

Perkelties metodas 

bx 

1 1 

cx 

1 

d 

2 1 

ax 

2 1 

bx 

2 2 

cx 

2 

d 

3 2 

 

ax bx cx d 

 

 

1 1 

i i i i i i i 

 

an1xn2 bn1xn1 cn1xn dn1 

ax 

n n1 

bx 

n n 

dn 

c1 d1 

c1 d1 

x1 x2 

; pažymėkime C1 , D1 

; 

b1 b1 

b1 b1 

c2 d2 a2D1 

c2 d2 a2D1 

x2 

x3 

 

; C2 , 

D2 

 

aC 

2 1 

b2 aC 

2 1 

b2 

aC 

2 1 

b2 aC 

2 1 

b2 

ck 

Ck 

, k 2,3, , n1; 

aC 

k k 

1 

 

b 

k 

dk akDk 

D 1 

k 

 

, k 2,3, , n. 

aC 

k k1 

bk 

xn 

Dn, 

x C x D , k n1, , 2,1. 

k k k1 

k 



Perkelties metodo algoritmas 

Thomas algorithm, tridiagonal matrix algorithm (angl.) 

1 Tiesioginė eiga 

2 Atbulinė eiga 

C 1 = − c 1 

, D 1 = d 1 

; 

b 1 b 1 

c k 

C k = − 

, k = 2, 3 . . . , n − 1; 

a k C k−1 + b k 

D k = d k − a k D k−1 

a k C k−1 + b k 

, k = 2, 3 . . . , n. 

x n = D n ; 

x k = C k x k+1 + D k , k = n − 1, n − 2 . . . , 1. 



Perkelties metodo pakankama konvergavimo salyga 

˛ 

Pavyzdys 


Pagrindinės įstrižainės vyravimo salyga 

˛ 

Jei 

1 

|b i | |a i | + |c i |, i = 1, · · · , n 

2 ir bent su vienu i galioja griežta nelygybė, 

tai dalyba iš nulio ar labai mažo skaičiaus perkelties metodo eigoje 

negalima. 

Perkelties metodu išspręsime sistema˛ 

⎧ 

⎨ 2x 1 −x 2 = 1 

−x 1 +2x 2 −x 3 = 0 

⎩ 

−x 2 +2x 3 = 1. 

Sprendimas: 

1 Tiesioginė eiga C 1 = − −1 

2 = 1 2 , D 1 = 1 2 ; 

C 2 = − 

−1 

− 1 2 + 2 = 2 3 , D 2 = 0 + 1 2 = 1 3 3 ; 

2 

D 3 = 1 + 1 3 

− 2 3 + 2 = 1. 

2 Atbulinė eiga x 3 = 1, x 2 = C 2 x 3 + D 2 = 1, x 1 = C 1 x 2 + D 1 = 1. 




Perkelties metodo skaičiavimo apimtis 


Perkelties metodas: Skaičiavimo apimtis 

C 1 = − c 1 

, D 1 = d 1 

; 

b 1 b 1 

c k 

C k = − 

, k = 2, 3 . . . , n − 1; 

a k C k−1 + b k 

D k = d k − a k D k−1 

a k C k−1 + b k 

, k = 2, 3 . . . , n. 

x n = D n ; 

x k = C k x k+1 + D k , k = n − 1, n − 2 . . . , 1. 

Pirmojo etapo bendroji skaičiavimo 

apimtis = 6n − 5. 

Antrojo etapo bendroji skaičiavimo 

apimtis = 2n − 2. 

Tiesioginė eiga 

Daugybų / Dalybų: 

2+4(n−2)+3 = 4n−3; 

Sudėčių / Atimčių 

2(n − 2) + 2 = 2n − 2. 

Atbulinė eiga 

Daugybų n − 1; 

Sudėčių n − 1 

Iš viso 

proporcinga 8n, 

kai n ≫ 1. 

Gauso metodas: 

O( 2 3 n3 ) aritmetinių operacijų; 

Perkelties metodas: 

O(8n) aritmetinių operacijų. 

Perkelties metodas 1 12 n2 kartu greičiau nei Gauso metodas sprendžia 

triįstrižaines lygčių sistemos. 



Skaidos metodai 

Gauso metodas - analizė 

Gauso metodas – veiksmai su matricomis A 1 - sistemos matrica po 

pirmojo kintamojo eliminavimo: 

⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 . . . a 1n 

A (1) 0 a 1 22 a 1 23 . . . a 1 2n 

= 

⎜ 0 a 1 32 a 1 33 . . . a 1 3n ⎟ 

⎝ . . . . . . . . . . . . . . . ⎠ , b(1) = {b 1 , b 1 2, . . . , b 1 n} ⊤ . 

0 a 1 n2 a 1 n3 . . . a 1 nn 

Įvedame matrica L 1 

⎛ 

⎞ 

1 0 0 . . . 0 

−l 21 1 0 . . . 0 

L 1 = 

⎜ −l 31 0 1 . . . 0 

⎟ 

⎝ . . . . . . . . . . . . . . . ⎠ . 

−l n1 0 0 . . . 1 

Akivaizdu, kad 

A (1) = L 1 A, b (1) = L 1 b. 



Analogiškai po antro GM žingsnio A (2) x = b (2) , čia A (2) = L 2 A (1) , 

b 2 = L 2 b (1) , 

⎛ 

⎞ ⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 . . . a 1n 

1 0 0 . . . 0 

A (2) 0 a 1 22 a 1 23 . . . a 1 2n 

= 

⎜ 0 0 a 2 33 . . . a 2 3n ⎟ 

⎝ . . . . . . . . . . . . . . . ⎠ , L 0 1 0 . . . 0 

2 = 

⎜ 0 −l 32 1 . . . 0 

⎟ 

⎝ . . . . . . . . . . . . . . . ⎠ , 

0 0 a 2 n3 . . . a 2 nn 

0 −l n2 0 . . . 1 

b (2) = { b 1 , b 1 2, b 2 3, . . . , b 2 n} ⊤ . 




Po n − 1 žingsnio gausime A (n−1) x = b (n−1) , 

A (n−1) = L n−1 · A (n−2) , b (n−1) = L n−1 b (n−2) , 

⎛ 

a 11 a 12 a 13 . . . a 1n 

⎞ 

⎛ 

1 0 . . . 0 0 

⎞ 

0 a 

A (n−1) 22 a 1 23 . . . a 1 2n 

= 

⎜ 0 0 a 2 33 . . . a 2 0 1 . . . 0 0 

3n ⎟ 

⎝ . . . . . . . . . . . . . . . ⎠ , L n−1 = ⎜ . . . . . . . . . . . . . . . ⎟ 

⎝ 

0 0 . . . 1 0 

⎠ , 

0 0 0 . . . a (n−1) 

nn 

0 0 . . . −ln,n − 1 1 

Iš čia 

b (n−1) = {b 1 , b 1 2 , b2 3 , . . . , bn−1 n } ⊤ . Gauname 

A (n−1) = L n−1 . . . L 2 L 1 A, b (n−1) = L n−1 . . . L 2 L 1 b, 

A = L −1 

1 L−1 2 . . . L −1 

n−1 · A(n−1) . 

A = L −1 

1 L−1 2 . . . L −1 

n−1 · A(n−1) . 

Čia 

⎛ 

⎞ 

1 0 0 . . . 0 

L −1 

l 21 1 0 . . . 0 

1 = 

⎜ l 31 0 1 . . . 0 

⎟ 

⎝ . . . . . . . . . . . . . . . ⎠ , 

l n1 0 0 . . . 1 

⎛ 

⎞ 

1 0 0 . . . 0 

0 1 0 . . . 0 

L−1 2 = 

⎜ 0 l 32 1 . . . 0 

⎟ 

⎝ . . . . . . . . . . . . . . . ⎠ , 

0 l n2 0 . . . 1 

⎛ 

⎞ 

1 0 . . . 0 0 

L −1 

n−1 = 0 1 . . . 0 0 

⎜ . . . . . . . . . . . . . . . 

⎟ 

⎝ 0 0 . . . 1 0 ⎠ . 

0 0 . . . l n,n−1 1 





Pažymėkime U = A (n−1) ir L = L −1 

1 L−1 2 . . . L −1 

n−1 , čia 

⎛ 

⎞ 

1 0 0 . . . 0 

l 21 1 0 . . . 0 

L = 

⎜ l 31 l 32 1 . . . 0 

⎟ 

⎝ . . . . . . . . . . . . . . . ⎠ , 

l n1 l n2 l n3 . . . 1 

Teorema 

Jei visi matricos A pagrindiniai minorai nelygus nuliui, tai ∃! apatinė 

trikampė matrica L(l ii = 1∀i) ir viršutinė trikampė matrica U tokie, kad 

A = LU. 

Tada A = LU. 

Tiesioginė Gauso metodo eiga yra vienas iš būdu gauti matricos A LU 

skaidinį. 



Skaidos metodas 



Skaidos metodo žingsniai 

Kitas tiesinių lygčių sistemų Ax = b sprendimo metodas. 

LU dekompozicija – matrica A išskaidome į sandauga. 

Egzistuoja tokios matricos L (apatinė trikampė) ir U (viršutinė 

trikampė), kad 

A = LU 

⇒ 

Ax = b ⇔ LUx = b 

Ld = b, Ux = d 

Pranašumas: viena˛ 

karta˛ 

apskaičiavus L ir U, galima spręsti sistemas 

su skirtingais b 1 , · · · , b m nekartojant matricos A išskaidymo. 

1 Išskaidome A į L ir U sandauga; 

2 Žinant b randame d iš Ld = b; 

3 Sprendžiant Ux = d apskaičiuojame x 

(Gauso metodo atbulinė eiga). 

⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 

l 11 0 0 0 d 1 

l 21 l 22 0 0 

d 2 

Ld = b ⇔ ⎜ 

⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ . . . . ⎠ ⎝ . ⎠ = ⎜ 

⎝ 

l n1 l n2 · · · l nn d n 

⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 

u 11 u 12 · · · u 1n x 1 

0 u 22 · · · u 2n 

x 2 

Ux = d ⇔ ⎜ 

⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ . . . . ⎠ ⎝ . ⎠ = ⎜ 

⎝ 

0 0 · · · u nn x n 

1) Skaidimas Skaidos metodo žingsniai 

Ax = b 

b 1 

b 2 

. 

b n 

d 1 

d 2 

. 

d n 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

U 

L 

Ld = b 

d 

Ux = d 

x 

2) Tiesioginis keitimas 

3) Atbulinis keitimas 





pagrįstas Gauso metodu; 

spartesnis (daug kartų sprendžiant sistemas su ta pačia matrica 

A). 

Skaidos metodo dekompozicija (nėra vienintelė) 

Doolittle dekompozicija l ii = 1; 

Crout dekompozicija u ii = 1; 

Cholesky dekompozicija (simetrinėms matricoms) l ii = u ii . 


LU metodo algoritmas: 

LU metodo algoritmas (išskaidymas) 

1)Išskaidymas 

[ A] [ L][ U] 

( N by N matrix) 

Staring the first row of 

U 

, u 1, i a1, 

i 

, for i 1,2,......, , , N 

; 

then the first column of L, lj,1 aj,1 / u1,1 

, for j 2,......, N; 

Then alternatively determine the 2nd row o f 

 

U 

 

, 

u2, i a2, i l2,1u1, 

i for i 2,3,......, N; 

and 2nd column of 

L 

 

; 

lj,2 ( aj,2 lj,1u1,2 ) / u2,2, for j 3,......, N; 

then 

n1 

th 

and n row of U 

, uni , ani , 

lnk , uki 

, for i n,..., N; 

k 1 

n1 

 

th 

and n column of L 

, ljn , ajn , 

ljk , ukn , / unn 

, , 

 

k 1 

 

th 

for j n 

1,..., N ; ..........until N row of [ U 

]. 




LU metodo algoritmas: 2)-3) 

2) Tiesioginė eiga (keitimas) 

∑i−1 

d i = b i − l ij d j 

j=1 

Gauname viršutinę trikampę matrica. 

˛ 

3) Atbulinė eiga (kaip ir Gauso metode): 

x n = d n /a nn 

i = 1, . . . , n 

x i = d i − ∑ n 

j=i+1 u ijx j 

u ii 

, i = n − 1, . . . , 2, 1. 


Doolittle dekompozicija 

Doolittle LU dekompozicija 

a11 a12 a13 a14 1 0 0 0 u11 u12 u13 u14 

 

 

a 21 a 22 a 23 a 24 l 21 1 

0 0 0 

u 22 u 23 u 

24 

A 

 

a31 a32 a33 a 

34 

l31 l32 1 0 0 0 u33 u 

34 

 

a 41 a 42 a 43 a 44 l 41 l 42 l 43 1 

 

0 0 0 

u 

44 

 

 

u11 u12 u13 u14 

 

 

 

l21u11 l21u12 u22 l21u13 u23 l21u14 u24 

A 

 

 

l 31 u 11 l 31 u 12 l 32 u 22 l 31 u 13 l 32 u 23 u 33 l 31 u 14 l 32 u 24 

u 

34 

 

 

 

l41u11 l41u12 l42u22 l41u13 l42u23 l43u33 l41u14 l42u24 l43u34 u44 

 

1 eilutė : u a ; u a ; u a ; u a 

11 11 12 12 13 13 14 14 

1 stulpelis: l a / u ; l a / u ; l a / u 

21 21 11 31 31 11 41 41 11 









u11 

 

l21u 

A 

31 

l u 

l41u 

11 

11 

11 

u 

12 

l u u 

21 

12 

22 

l 

u 

 

l 

u 

31 

41 

12 

12 

32 

42 

22 

l u l u 

22 

u 

13 

l u u 

21 

13 

23 

l 

u 

 

l 

u 

31 

41 

13 

13 

32 

42 

23 

l u l u 

23 

 

u 

33 

l u 

43 

33 

u 

14 

l u u 

21 

14 

24 

l 

u 

 

l 

u 

31 

41 

14 

14 

32 

42 

24 

l u l u 

24 

 

u 

34 

l u 

2eilutė : l u u a ; l u u a ; 

l u u 

a 

43 

34 

u 

21 12 22 22 21 13 23 23 21 14 24 24 

u a l u 

 

22 22 21 12 

u 23 

a 23 

 

l 21 

u 13 

 

 

u a l u 

24 24 21 14 

2 stulpelis: l u l u a ; l u l u a 

l 

31 12 32 22 32 41 12 42 22 42 

a 

l u a 

l u 

 

l 

32 31 12 42 41 12 

32 42 

u22 u22 

44 

 

 

 

 

 

 

u11 

 

l21u 

A 

31 

l u 

l41u 

11 

11 

11 

u 

12 

l u u 

21 

12 

22 

l 

u 

 

l 

u 

31 

41 

12 

12 

32 

42 

22 

l u l u 

22 

u 

13 

l u u 

21 

13 

23 

l 

u 

 

l 

u 

31 

41 

13 

13 

32 

42 

23 

l u l u 

23 

 

u 

33 

l u 

43 

33 

u 

14 

l u u 

21 

14 

24 

l 

u 

 

l 

u 

31 

41 

14 

14 

32 

42 

24 

l u l u 

24 

 

u 

34 

l u 

43 

34 

u 

3eilutė : l u l u u a ; l u l u u a 

u 33 

a 33 

l 31u 13 

l 32u 

23 

 

u34 a34 l31u14 l32u24 

31 13 32 23 33 33 31 14 32 24 34 34 

3 stulpelis: l ( a l u l u ) 

43 43 41 13 42 23 

4 eilutė: u44 a44 l41u14 l42u24 l43u34 

44 

 

 

 

 

 

 





Pavyzdys 


1 LU dekompozicija (skaidimas) Ax = LUx = b 

2 Tiesioginis keitimas Ld = b 

3 Atbulinis keitimas Ux = d 

Tiesioginis keitimas yra spartesnis nei kintamųjų šalinimas (Gauso 

metodas) 

Gauso metodas: 

Tiesioginės eigos etapas turi kartotis sprendžiant sistemos su 

skirtingais b i . 

LU dekompozicija: 

išskaidymas A = LU nepriklauso nuo b i ! 

Jau išspręstas Gauso metodu (18-20 skaidrės). Pakartosime jo 

tiesiogines eigos etapa, ˛ kad gauti matricos U ir L. Pažymėkime 

l kj = akj 

a jj 

. 

⎛ 

⎞ 

1 0 2 3 

1 

⎜ −1 2 2 −3 

−1 

⎟ l 21 = −1 

⎝ 0 1 1 4 

2 ⎠ l 31 = 0 

6 2 2 4 ∣ 1 l 41 = 6 

⎛ 

⎞ 

1 0 2 3 

1 

⎜ 

0 2 4 0 

0 

⎟ (2 lygtis) − l 21 (1 lygtis) 

⎝ 0 1 1 4 

2 ⎠ (3 lygtis) − l 31 (1 lygtis) 

0 2 −10 −14 

∣ −5 (4 lygtis) − l 41 (1 lygtis) 



⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 


1 0 2 3 

0 2 4 0 

0 1 1 4 

0 2 −10 −14 

1 0 2 3 

0 2 4 0 

0 0 −1 4 

0 0 −14 −14 

∣ 

1 

0 

2 

−5 

∣ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

1 

0 

2 

−5 

⎞ 

⎟ 

⎠ l 32 = 1/2 

l 42 = 1 





Pavyzdys - kintamųjų šalinimas ir atbulinė eiga 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 0 2 3 

0 2 4 0 

0 0 −1 4 

0 0 −14 −14 

Viršutinė trikampė matrica U: 

⎛ 

1 0 2 3 

U = ⎜ 

0 2 4 0 

⎝ 0 0 −1 4 

0 0 0 −70 

∣ 

Matricos L elementai yra 

tiesioginės Gauso metodo 

eigos daugikliai: 

∣ 

1 

0 

2 

−33 

1 

0 

2 

−5 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

L = ⎜ 

⎝ 

l 43 = 14 


⎛ 

1 0 0 0 

−1 1 0 0 

0 1/2 1 0 

6 1 14 1 


⎞ 

⎟ 

⎠ 


LU metodas - pavyzdys 

Tada 

d 1 = 1, 

⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 

1 0 0 0 d 1 

Ld = ⎜ −1 1 0 0 

⎟ ⎜ d 2 

⎟ 

⎝ 0 1/2 1 0 ⎠ ⎝ d 3 ⎠ = ⎜ 

⎝ 

6 1 14 1 d 4 

d 2 = −1 + d 1 = −1 + 1 = 0, 

d 3 = 2 − 0, 5 ∗ d 2 = 2, 

d 4 = 1 − 6d 1 + d 2 − 14d 3 = −33. 

d = ⎜ 

⎝ 

1 

−1 

2 

1 

⎛ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

1 

0 

2 

−33 

⎞ 

⎟ 

⎠ 


LU metodas - pavyzdys 

⎛ 

Ux = ⎜ 

⎝ 

x 4 = −33 

−70 = 33 

70 , 

1 0 2 3 

0 2 4 0 

0 0 −1 4 

0 0 0 −70 

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 

x 1 

⎟ ⎜ x 2 

⎟ 

⎠ ⎝ x 3 ⎠ = ⎜ 

⎝ 

x 4 

1 

0 

2 

−33 

Sprendinys 

x 3 = 4x 4 − 2 = − 4 35 , 

⎛ 

x 2 = −2x 3 = 8 35 , 

x = ⎜ 

⎝ 

x 1 = 1 − 2x 3 − 3x 4 = − 13 

70 . 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

33/70 

−4/35 

8/35 

−13/70 

⎞ 

⎟ 

⎠ 




Skaidos metodas su pagrindinio elemento parinkimu 

Elementarių perstatymų matrica P (angl. Permutation matrix) - 

vienetinės matricos I eilučių sukeitimas vietomis; 

Rodo, kokios eilutės duotos matricos A buvo perstatyti; 

Perstatytos matricos PA išskaidymas; 


Skaidos metodas su pagrindinio elemento parinkimu - 

pavyzdys 

MATLAB sprendimas: 

A=[1 2 6; 4 8 -1; -2 3 5] det(A) [L,U,P]=lu(A) 

A = det(A) = 175 

1 2 6 

4 8 -1 

-2 3 5 


PA = LU 

LUx = Pb. 

L = U = 

1.0000 0 0 4.0000 8.0000 -1.0000 

-0.5000 1.0000 0 0 7.0000 4.5000 

0.2500 0 1.0000 0 0 6.2500 

P = 

0 1 0 

0 0 1 

1 0 0 




Choleckio metodas 

Jei matrica A yra simetrinė ir teigiamai apibrėžta patogu naudoti 

Choleckio dekompozicija 

A = LL T = U T U 

Kai matrica A yra simetrinė ir teigiamai apibrėžta (visos tikrinės 

reikšmės teigiamos) pagrindinio elemento parinkimas nereikalingas. 

⎛ 

⎞ ⎛ 

⎞ ⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 · · · a 1n u 11 0 · · · 0 u 11 u 12 · · · u 1n 

A = ⎜ a 21 a 22 · · · a 2n 

⎟ 

⎝ · · · · · · · · · · · · ⎠ = ⎜ u 12 u 22 · · · 0 

⎟ ⎜ 0 u 22 · · · u 2n 

⎟ 

⎝ · · · · · · · · · · · · ⎠ ⎝ · · · · · · · · · · · · ⎠ 

a n1 a n2 · · · a nn u 1n u 2n · · · u nn 0 0 · · · u nn 


Matricos L elementus apskaičiuojame iš matricų lygybės LL T = A, 

prilygindami LL T ir A atitinkamus elementus. 

Gauname lygčių sistema˛ 

l 2 11 = a 11 , ⇒ l 11 = √ a 11 , 

l k1 l 11 = a k1 , ⇒ l k1 = a k1 /l 11 , k = 2, . . . , n, 

√ 

l21 2 + l22 2 = a 22 , ⇒ l 22 = a 22 − l21 2 , 

l k1 l 21 + l k2 l 22 = a k2 , ⇒ l k2 = (a k2 − l k1 l 21 )/l 22 , k = 3, . . . , n, 

. . . 

∑j−1 

∑j−1 

lij 2 + ljj 2 = a jj , ⇒ l jj = √ ajj − lij 2, 

i=1 

∑j−1 

l ki l ji + l kj l jj = a kj , ⇒ l kj = a kj − ∑ j−1 

i=1 l kil ji 

, k = j + 1, . . . , n. 

l jj 

i=1 

1 

i=1 



Choleckio metodas 


Choleckio 

io metodas 


Choleckio metodo rekurentinės formulės 

2 

u 11 

u11u12 u11u13 u11u 

 

14 

 

2 2 

 

u11u12 u12 u22 u13u12 u23u22 u14u12 u24u22 

A 

 

 

2 2 2 

u11u13 u13u12 u23u22 u13 u23 u33 u14u13 u24u23 u34u33 

 

 

2 2 2 2 

u11u14 u14u12 u24u22 u14u13 u24u23 u34u33 u14 u24 u34 u 

 

 

44 

1 stulpelis/eilutė: u a ; u a / a ; u a / a ; u a / a 

11 11 12 12 11 13 13 11 14 14 11 

2 2 

2 stulpelis/eilutė: u12 u22 a ; u13 u12 u23 u22 a ; 

u14 u12 u24 u22 

a 

22 23 24 

u a u ; u ( a u u ) / u ; u ( a u u ) / u 

2 

22 22 12 23 23 13 12 22 24 24 14 12 22 

3 stulpelis/eilutė: u u u a ; u u u u u u a 

2 2 2 

13 23 33 33 13 14 23 24 33 34 34 

u a u u ; u ( a u u u u ) / u 

2 2 

33 33 13 23 34 34 14 13 24 23 33 

4eilutė: u u u u a u a u u u 

2 2 2 2 2 2 2 

14 24 34 44 44 44 44 14 24 34 

A = U T U 

∑i−1 

u ii = √ aii − u 2 ki ; 

k=1 

u ij = a ij − ∑ i−1 

k=1 u kiu kj 

u ii 

, j = i + 1, . . . , n. 




Choleckio 

metodo pavyzdys 

y 

Choleckio metodas - pavyzdys 

2 

9 6 12 3 

u11 u11u12 u11u13 u11u14 

 

 

6 5 9 2 u u u u u u u u u u u u 

A 

 

12 9 21 0 

 

 

 

 

3 2 0 6 

 

 

 

2 2 

11 12 12 22 13 12 23 22 14 12 24 22 

u11 u13 u13 u12 u23 u22 u13 u23 u33 u14 u13 u24 u23 u34 u33 

2 2 2 

u11u14 u14u12 u24u22 u14u13 u24u23 u34u33 u14 

u24 u34 u44 

2 2 2 2 

1 stulpelis/eilutė: li il tė u 9 3; u 6 / 3 2; u 12/ 3 4; u 3/ 

3 

1 

11 12 13 14 

2 stulpelis/eilutė: u u 5; u u u u 9; u u 

u u 2 

2 2 

12 22 13 12 23 22 14 12 24 22 

u 5 ( 2) 1; u ( 9 4( 2)) / 1 1; u (2 ( 1)( 2)) / 1 0 

2 

22 23 24 

3 stulpelis/eilutė : u u u 21; u u u u u u 0 

2 2 2 

13 23 33 13 14 23 24 33 34 

u 21 (4) ( 1) 2; u (0 ( 1)(4) (0)( 1)) / 2 2 

2 2 

33 34 

4eilutė: u u u u 6 u 6 ( 1) (0) (2) 1 

2 2 2 2 2 2 2 

14 24 34 44 44 


 

 

 

 

 

 


Skaičiavimo apimčių palyginimas (m lygčių sistemų 

atvejis) 

Skaidos metodo skaičiavimo apimtis 

Gauso metodas (m lygčių sistemų): O( 2 3 mn3 ) aritmetinių veiksmų. 

Skaidos metodas O( 2 3 n3 + 2mn 2 ) aritmetinių veiksmų. 

Jei m = n skaidos metodas - O( 8 3 n3 ) aritmetinių veiksmų (tik 4 kartus 

daugiau nei sprendžiant viena˛ 

sistema). 

˛ 

Choleckio metodo skaičiavimo apimtis 

Saugomi tik matricos U koeficientai (sutaupoma atmintis, nes A 

yra simetrinė). 

Skaidimas O( 1 3 n3 ) aritmetinių veiksmų. 

Sistemu sprendimas O(2n 2 ) aritmetinių veiksmų. 

Panašai kaip ir skaidos metodas. 



Išretintos matricos 


Išretintos matricos – taikymai 

Dažnai reikia spręsti labai dideles TLS Ax = b (n = 10 5 yra mažas 

šiame kontekste!), kur beveik visi elementai lygūs nuliui. Tokia matrica 

vadinama išretinta (angl. sparse matrix). 

A sparse matrix is a matrix that allows special techniques to take 

advantage of the large number of zero elements. (Wilkinson) (1969) 

Reikalinga, kad: 

1 matricos L ir U paveldėtų kiek įmanoma didesnį išretinima, 

˛ 

2 skaičiavimo apimtis turi priklausyti nuo nenulinių elementų 

skaičiaus, o ne nuo matricos elementų skaičiaus (n 2 ). 

Įrankis – eilučių ir/arba stulpelių sukeitimas siekiant sumažinti matricų 

L ir U užpildymus. 

TLS Ax = b efektyvus sprendimas turėtų išnaudoti išretinta˛ 

struktūra. 

˛ 

Sparse matrices arise in ... 

computational fluid dynamics, finite-element methods, statistics, 

time/frequency domain circuit simulation, dynamic and static modeling 

of chemical processes, cryptography, magneto-hydrodynamics, 

electrical power systems, differential equations, quantum mechanics, 

structural mechanics (buildings, ships, aircraft, human body parts...), 

heat transfer, MRI reconstructions, vibroacoustics, linear and 

non-linear optimization, financial portfolios, semiconductor process 

simulation, economic modeling, oil reservoir modeling, astrophysics, 

crack propagation, Google page rank, 3D computer vision, cell phone 

tower placement, tomography, multibody simulation, model reduction, 

nano-technology, acoustic radiation, density functional theory, 

quadratic assignment, elastic properties of crystals, natural language 

processing, DNA electrophoresis, ... 





Matrica A yra juostinė, jei ∃ r ∈ N : r < n, toks, kad a ij = 0, kai 

|i − j| > r, i, j = 1, . . . , n. 

T.y. išskyrus juostas pločio 2r + 1 prie pagrindinės įstrižainės, visi 


Šiuo atveju A = LU reiškia, kad l ij = u ij = 0, kai |i − j| > r. 

⇒ LU faktorizacija irgi turi išretinta˛ 

struktūra. 

˛ 

r = 1 : 

⎛ 

⎞ 

• • 

• • • 

• • • 

⎜ • • • 

⎟ 

⎝ 

• • • ⎠ 

• • 

r = 2 : 

⎛ 

⎞ 

• • • 

• • • • 

• • • • • 

⎜ • • • • • 

⎟ 

⎝ • • • • ⎠ 

• • •

2paskaita6

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?