transporto priemoniÃ…Â³ dinamika - Vilniaus Gedimino technikos ...

Marijonas BOGDEVIČIUS 

Raimundas JUNEVIČIUS 

Vidmantas VANSAUSKAS 

TRANSPORTO PRIEMONIŲ 

DINAMIKA 

Projekto kodas 

VP1-2.2-ŠMM 07-K-01-023 

Vilnius „Technika“ 2012 

Studijų programų atnaujinimas 

pagal ES reikalavimus, gerinant 

studijų kokybę ir taikant 

inovatyvius studijų metodus

VilniAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS 

Marijonas BOGDEVIČIUS 

Raimundas JUNEVIČIUS 

Vidmantas VANSAUSKAS 

TRANSPORTO PRIEMONIŲ 

DINAMIKA 

Metodiniai praktinių užsiėmimų nurodymai 

Vilnius „Technika“ 2012

M. Bogdevičius, R. Junevičius, V. Vansauskas. Transporto priemonių 

dinamika: metodiniai praktinių užsiėmimų nurodymai. Vilnius: 

Technika, 2012, 90 p. [3,0 aut. l. 2012 09 17] 

Knygoje dėstomos bendros žinios apie dinaminių sistemų elementus ir jų 

taikymą kuriant transporto priemonių modelius. Pateikiami uždavinių sudarymo 

ir sprendimo pavyzdžiai,automobilių pakabų supaprastinimo metodai, 

uždavinio suformavimo ir sprendimo eigos eiliškumas bei užduotys savarankiškam 

darbui. 

Leidinį rekomendavo VGTU Transporto inžinerijos fakulteto studijų komitetas 

Recenzavo: dr. Vladimiras Suslavičius, VGTU Transporto technologinių 

įrenginių katedra 

doc. dr. Olegas Prentkovskis, VGTU Transporto technologinių 

įrenginių katedra 

Leidinys parengtas ir išleistas už Europos struktūrinių fondų lėšas, jomis finansuojant 

VGTU Transporto inžinerijos, Biomechanikos ir Aviacinės mechanikos 

inžinerijos projektą „Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, 

gerinant studijų kokybę ir taikant inovatyvius studijų metodus“ pagal Lietuvos 

2007–2013 m. Žmogiškųjų išteklių veiksmų programos 2 prioriteto „Mokymasis 

visą gyvenimą“ VP1-2.2-ŠMM-07-K priemonę „Studijų kokybės gerinimas, 

tarptautiškumo didinimas“. Projekto kodas Nr. VP1-2.2-ŠMM 07-K-01-023, finansavimo 

ir administravimo sutartis Nr. VP1-2.2-ŠMM-07-K-01-023. 

VGTU leidyklos TECHNIKA 1381-S mokomosios 

metodinės literatūros knyga 

http://leidykla.vgtu.lt 

Redaktorė Stasė Simutytė 

Maketuotoja Daiva Šepetauskaitė 

eISBN 978-609-457-276-0 

doi:10.3846/1381-S 

© Marijonas Bogdevičius, 2012 

© Raimundas Junevičius, 2012 

© Vidmantas Vansauskas, 2012 

© Vilniaus Gedimino technikos universitetas, 2012

Turinys 

Įvadas ........................................................................................................... 4 

1. Spyruoklių parametrų nustatymas ............................................................ 5 

1.1. Spyruokliniai plienai ...................................................................... 5 

1.2. Cilindrinės spyruoklės parametrų nustatymas ................................ 6 

1.3. Spyruoklės, dirbančios susukimui, parametrų nustatymas ............. 9 

2. Standumas .............................................................................................. 12 

3. Slopinimas .............................................................................................. 17 

4. Slopinamieji virpesiai ............................................................................ 19 

5. Q faktorius ............................................................................................. 23 

6. Sausoji trintis ......................................................................................... 24 

7. Amplitudinė-dažnuminė charakteristika ................................................ 25 

8. Transporto priemonės svorio centro ir inercijos momentų nustatymas . 27 

9. Uždavinių sprendimo pavyzdžiai ........................................................... 30 

10. Uždaviniai savarankiškam darbui ........................................................ 40 

Literatūra .................................................................................................... 57 

Priedai ........................................................................................................ 58 

A priedas. Rungės ir Kuto metodo algoritmas ..................................... 58 

B priedas. Lygčių užrašymo paprogramė ............................................ 60 

C priedas. Maple programine kalba parašytos programos pavyzdys .. 61 

D priedas. Maple programinėje kalboje naudojami pagrindiniai 

operatoriai ............................................................................................ 65 

E priedas. Skaičiavimo schemos namų darbams ................................. 66 

F priedas. x i , y i – i-osios masės koordinatės, nuo koordinačių 

ašių X ir Y ............................................................................................ 86 

G priedas. m i – i-osios masės, I i – i-osios masės ašinis inercijos 

momentas, I ixy – i-osios masės išcentrinis inercijos momentas ........... 88 

H priedas. Spyruoklinių plienų markių atitikmenys pagal skirtingus 

standartus ............................................................................................. 90 

3

Įvadas 

Metodiniuose nurodymuose pateikta standžiųjų ir slopinimo elementų 

apskaičiavimo metodika bei nuosavų sistemos kampinių dažnių 

skaičiavimo metodika. Knygelėje pateikiami praktiniai pavyzdžiai, 

kaip suformuoti ir spręsti dinamikos uždavinius. 

Skiriami du skyriai: pirmoje dalyje pateikiama automobilių pakabos 

elementų standumo ir slopinimo elementų geometrinių parametrų 

apskaičiavimo metodika. Modeliuojant transporto priemonių elementus 

dažnai reikia nustatyti tampriųjų elementų standumo ir slopinimo 

konstantas. Tokių nustatymų metodikos pateiktos šioje knygoje. 

Pateikiami medžiagų, iš kurių gaminamos spyruoklės, naudojimą reglamentuojantys 

standartai. 

Antroje dalyje pateikiami didelių uždavinių supaprastinimo ir suskaidymo 

į smulkias dalis pavyzdžiai, standumo ir slopinimo konstantų 

apskaičiavimo bei slopinimo koeficientų apskaičiavimo metodikos. 

Pateikiami pavyzdžiai, kaip paruošti uždavinį sprendimui skaitiniais 

metodais. 

Uždaviniai sprendžiami naudojant Maple programinį paketą. 

Prieduose pateikti lygčių formavimo ir skaitinio metodo, kuriuo uždaviniai 

sprendžiami, algoritmai, parašyti Maple programavimo kalba. 

4

1. Spyruoklių parametrų nustatymas 

1.1. Spyruokliniai plienai 

Spyruoklių plienų markės labai skiriasi priklausomai nuo to, kokiu 

standartu vadovausimės parinkdami jų medžiagą. Pagal GOST 

standartą spyruoklių gamybai galima parinkti šių markių spyruoklinius 

plienus (Борисоич, 1980): 

49A GOST 1435-74; U12A, GOST 1435-74; 

65G GOST 14959-79; 50XGAGOST 14959-79; 

50XFA GOST 14959-79; 65S2VA, GOST 14959-79. 

Pagal Vakarų Europoje galiojančius standartus spyruoklės gaminamos 

iš vielos ruošinių, kurių plieno markės regalmetuojamos 

EN 10270 standartu. Šį standartą sudaro trys dalys: EN 10270–1, 

EN 10270-2, EN 10270-3. Standarte EN 10270-1 pateikiama medžiaga 

apie spyruoklių gamybai naudojamus plienus, kai viela yra šaltai 

tempiama (Steel wire for mechanical springs Part 1: Patented cold 

drawn unalloyed spring steel wire DIN EN 10270-1, 2001). Standarte 

EN 10270-2 pateikiama medžiaga apie spyruoklių gamybai naudojamus 

plienus, kai spyruoklės gamybai naudojamos medžiagos yra 

grūdinamos alyvoje (Steel wire for mechanical springs Part 2: Oil 

hardened and tempered spring steel wire DIN EN 10270-2, 2001). 

Standarte EN 10270-3 pateikiama medžiaga apie spyruoklių gamybai 

naudojamus nerūdijančius plienus (Steel wire for mechanical springs 

Part 3: Stainless spring steel wire DIN EN 10270-3, 2001). 

EN 10270 standartai taip pat reglamentuoja spyruoklių darbinių 

temperatūrų intervalus, medžiagos takumo ribos, stiprumo ribos ir kritinių 

tangentinių įtempimų apskaičiavimo metodiką. 

Spyruoklių plienų markių palyginimas pateiktas H priede. 

Modeliuojant transporto priemonių elementus dažnai reikia nustatyti 

tampriųjų elementų standumo ir slopinimo konstantas. Tokių 

parametrų nustatymo metodikos pateiktos šioje knygoje. 

5

1.2. Cilindrinės spyruoklės parametrų nustatymas 

Cilindrinės spyruoklės skaičiavimo metodika pateikta vadovaujantis 

literatūros šaltiniu (Борисоич 1980). 

1 pav. Cilindrinės spyruoklės skaičiavimo schema 

D – vidutinis spyruoklės skersmuo, m, 

d – vielos, iš kurios padaryta spyruoklė, diametras, m, 

d + D– išorinis spyruoklės skersmuo, m, 

D− d – vidinis spyruoklės skersmuo, m, 

D 

c = – spyruoklės indeksas, 

d 

h – vijų žingsnis, m, 

α – vijos kilimo kampas, ° . Vijos kilimo kampas yra α< 10 ÷ 12 ° . 

h 

tg ( α)= ; (1) 

πD 

čia H p – darbinis spyruoklės ilgis, m, 

H p 

i = – darbinių vijų skaičius. 

h 

Kuo spyruoklė liaunesnė, tuo didesnis spyruoklės indeksas c. 

1 lentelė. Spyruoklės indekso reikšmės 

d, mm iki 2,5 3–5 6–12 

c 5–12 4–10 4–9 

Suspaudimo spyruoklės tarpai tarp vijų sudaro 10–20 % viso cilindro 

skersinio ploto. 

6

Spyruoklės suminis momentas apskaičiuojamas pagal formulę: 

M 

FD = 2 

. (2) 

Spyruoklės momento vektorius yra statmenas spyruoklės ašiai ir 

veikiančiai jėgai F. Šis momentas dalinamas į sukimo T ir lenkimo M l 

momentus. 

Didžiausi sukimo įtempimai skaičiuojami pagal formulę: 

τmax ≈ kc1T 

≈ 8kc1FD 

τ 

π 

≤ [ ] , (3) 

W 

3 s 

0 d 

čia k c1 – koeficientas, įvertinantis vijos kreivumą. 

kc1 = 1+ 145 , . (4) 

c 

Spyruoklės vijos vielos diametras: 

kc1F 

d = 16 

τ 

, 

max 

[ ] 

s 

c 

. (5) 

Ašinė spyruoklės deformacija (suspaudimo eiga) skaičiuojama 

pagal formulę: 

3 

ΘD 8FDi 

λ= = = λi 2 

4 

Gd 

iF , (6) 

čia Θ – spyruoklės vijų užsukimo kampas, λ i – vienos vijos tamprus 

susispaudimas, G – šlyties modulis. 

c 

λ i = 8 3 . (7) 

Gd 

Spyruoklės vijų skaičius nustatomas iš sąlygos – veikiant jėgoms 

nuo F min iki F max spyruoklės darbinė eiga turi būti x. 

x= λii( Fmax −Fmin ). (8) 

x 

i = 

λ Fmax − Fmin . (9) 

i 

( ) 

Spyruoklės ilgis suspaudimo spyruoklei, kai ji neapkrauta, lygus: 

H = i − , d . (10) 

( ) 

0 0 05 

7

Spyruoklės vijos žingsnis tada yra: 

h= d + 

( ) 

11 , ÷ 12 , λmax 

, (11) 

i 

čia λ max – tamprusis spyruoklės suspaudimas (deformacija) nuo veikiančios 

jėgos F max , 1,1–1,2 – koeficientas, užtikrinantis tarpelį tarp 

spyruoklės vijų veikiant jėgai F max . 

Spyruoklės ilgis tempiamajai spyruoklei, kai ji neapkrauta: 

čia h pr –spyruoklės prikabinimo kilpos ilgis, m. 

H 0 = id + 2h pr , (12) 

Spyruoklės didžiausias ištempimo ilgis veikiant jėgai F max : 

( ) 

H = H + λ i Fmax − F , (13) 

0 i 

0 

čia F 0 – spyruoklės pradinio įveržimo jėga. 

2 lentelė. Pagrindinės vytų cilindrinių ir kūginių spyruoklių parametrų skaičiavimo 

formulės (Борисоич 1980) 

Schema 

Vielos 

skerspjūvio 

forma 

Sukimo 

įtempimai 

τ k , 

Pa 

Spyruoklės 

deformacija, x, m 

Spyruoklės 

standumas k, N/m 

16Fr 

2 

3 

πd 

16Fr 

2 

3 

νa 

( ) + 

16Fn r1+ 

r2 r1 2 r2 2 

Gd 

2F∆ n r1+ 

r2 r1 2 r2 2 

Ga 

4 

( ) + 

4 

4 

Gd 

( ) 

16 n( r1+ 

r2) ( r1 2 + r2 2 

) 

4 

( ) 

Ga 

2∆ n( r1+ 

r2) ( r1 2 + r2 2 

) 

8FD 

πd 

3 

3 

8FD n 

Gd 

4 

Gd 

3 

4 

8Dn 

8FD 

πa 

3 

3 

8FD n 

Ga 

4 

Ga 

3 

4 

8Dn 

8

2 lentelės pabaiga 

ab 1 1,5 1,75 2 2,5 3 4 

ν 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 

∆ 5,576 2,67 2,086 1,713 1,256 0,995 0,698 

Čia ν ir ∆ – koeficientai, priklausantys nuo santykio a b 

(2 lentelė), 

F – jėga, spaudžianti spyruoklę, n – darbo vijų skaičius. 

1.3. Spyruoklės, dirbančios susukimui, 

parametrų nustatymas 

Cilindrinės spyruoklės skaičiavimo metodika pateikta vadovaujantis 

literatūros šaltiniu (Борисоич 1980). 

2 pav. Cilindrinės spyruoklės, dirbančios susukimui, skaičiavimo schema 

M – momentas, sukantis spyruoklę, 

M l – viją lenkiantis momentas, 

T – viją sukantis momentas. 

Momentas, sukantis spyruoklę, skaidomas į dvi dedamąsias – vielą 

lenkiantį momentą ir vielą sukantį momentą. 

Vielą lenkiantis momentas skaičiuojamas pagal formulę: 

Mlenk = M cos( α ). 

Vielą sukantis momentas skaičiuojamas pagal formulę: 

T Msin α . (14) 

Susukimo spyruoklėse vyraujanti yra vielą lenkianti apkrova. 

Tada atsparumo lenkimui sąlyga užrašoma pagal formulę: 

= ( ) 

9

σmax = k1 cMl 

≤[ σ ] , (15) 

W 

lenk 

lenk 

čia k 1c – koeficientas, įvertinantis vijos kreivumą, W lenk – atsparumo 

lenkimui momentas. 

Koeficiento k 1c reikšmės priklauso nuo vielos skerspjūvio formos. 

Kai viela apvali: 

4c 

−1 

kc1 

= 

4c 

− 4 

. (16) 

Kai viela stačiakampė: 

3c 

−1 

kc1 

= 

3c 

− 3 

, (17) 

D 

čia c = – spyruoklės indeksas. 

d 

Spyruoklės vielos diametras apskaičiuojamas pagal formulę: 

k M 

d 

c 1 

= 216 , ⋅ l 

3 . (18) 

σ 

[ ] 

[ σ] = 125[ τ] 

lenk 

lenk 

, . (19) 

Spyruoklės vijos kilimo kampas Θ skaičiuojamas pagal formulę: 

ML Mπ D 

Θ= = , (20) 

EI EI 

čia L – vielos ilgis, E – medžiagos, iš kurios, suvyta spyruoklė, tamprumo 

modulis, I – ašinis vielos skerspjūvio inercijos momentas. 

Spyruoklės darbinių vijų skaičius nustatomas iš sąlygos, kad spyruoklė 

turi susisukti veikiant sukimo momentams nuo M min iki M max ir 

turi būti pasiektas pasirinktas susukimo kampas. 

( Mmax − Mmin ) Di 

Θ= 

π . (21) 

EI 

Tada darbinių vijų skaičius apskaičiuojamas pagal formulę: 

s 

i = 

ΘEI 

. 

Mmax 

− Mmin 

πD 

***** 

10 

( ) 

(22)

Pavyzdys 

Apskaičiuoti cilindrinės spyruoklės vidutinį skersmenį ir vielos 

diametrą, kai reikalingas spyruoklės standumas k = 10 000 N/m, medžiagos, 

iš kurios padaryta spyruoklė, šlyties modulis G = 80 GPa ir 

spyruoklė turi n = 10 darbinių vijų. 

Sprendimas 

Priimam, kad spyruoklės indeksas c = 8. Kadangi spyruoklės 

indeksas skaičiuojamas pagal formulę c = , todėl spyruok- 

D 

d 

lės standumo konstantą galima skaičiuoti pagal formulę 

4 

Gd Gd 

k = = . Iš šios formulės išsireiškiame vielos diametrą: 

3 3 

8Dn 

8cn 

3 3 

k8c n 10 000 ⋅88 ⋅ ⋅10 

d = = 

= 0, 00512 m. 

G 

9 

80 ⋅10 

Žinodami vielos diametrą apskaičiuojame spyruoklės vidutinį 

skersmenį: 

D= c⋅ d = 8000512 ⋅ , = 0, 041m. 

***** 

11

2. Standumas 

Elemento standumo konstantos sukamajam ir slenkamajam judėjimui 

skaičiuojami pagal formules, pateiktas 3 lentelėje. 

3 lentelė. Tampriųjų elementų standumo skaičiavimo metodika 

Slenkamajam judėjimui 

k 

F 

= – spyruoklei 

x 

F – jėga, veikianti spyruoklę 

x – spyruoklės linijinis poslinkis 

(deformacija) 

AE 

k = – strypui 

L 

A – elemento skerspjūvio plotas 

E – medžiagos, iš kuriospadarytas 

kūnas, tamprumo modulis 

L – elemento ilgis 

Sukamajam judėjimui 

k 

M 

= θ 

– spyruoklei 

M – momentas, sukantis spyruoklę 

θ – posūkio kampas 

(kampinė deformacija) 

GI p 

k = – strypui 

L 

I p – polinis skerspjūvio inercijos 

momentas 

E – medžiagos, iš kuriospadarytas 

kūnas, tamprumo modulis 

L – elemento ilgis 

4 pav. Sąryšis tarp spyruoklės standumo konstantos, 

deformacijos ir veikiančios jėgos 

Tempiamai spyruoklei galioja Huko dėsnis: jėga, reikalinga spyruoklei 

ištempti dydžiu x, yra lygi spyruoklės standumo konstantos ir 

šio poslinkio sandaugai, o jos kryptis yra priešinga poslinkiui: 

12

F 

k 

=− kx . (23) 

Jeigu spyruoklė bus suspaudžiama – galioja tas pat dėsnis tik jėgos 

kryptis bus priešinga. 

Sukamai spyruoklei sukimo momentas skaičiuojamas pagal formulę: 

M =−kθ , (24) 

čia spyruoklės susukimo kampas θ imamas prieš laikrodžio rodyklės 

judėjimo kryptį, tada momentas yra neigiamas. Sukant pagal 

laikrodžio rodyklę susukimo kampas θ yra neigiamas, o momentas 

teigiamas. 

Galimi spyruoklių jungimo būdai pateikti 5 paveiksle. 

5 pav. Tampriųjų elementų jungimo schemos: a) lygiagretus, b) nuoseklus 

Jungiant spyruokles lygiagrečiai spyruoklių eiga (deformacija) 

visose spyruoklėse yra vienoda, x1 = x2, ir ekvivalentinis spyruoklių 

standumas skaičiuojamas pagal formulę: 

kekv = k1 + k2, (25) 

o sugeneruota energija: 

E1 

k1 

= , (26) 

E2 

k2 

čia formulių indeksas 1 ir 2 nurodo spyruoklių numerius sistemoje. 

Jungiant spyruokles nuosekliai spyruoklių eigos (deformacijos) 

kiekvienai spyruoklei yra skirtingos – x1 ≠ x2 

– ir ekvivalentinis spyruoklių 

standumas skaičiuojamas pagal formulę: 

1 1 1 

= + , (27) 

k k k 

ekv 

13 

1 2

o sugeneruota energija: 

E 

E 

1 

2 

k2 

= . (28) 

k 

***** 

Pavyzdys 

Apskaičiuoti ekvivalentinį spyruoklės standumą, kai k1 = 100 N / m, 

k2 = 200 N / m, k3 = 200 N / m, o spyruoklės sujungtos pagal schemą 

1 

Sprendimas 

Iš (27) lygties išreiškiamas k ekv . 

k1⋅ 

k2 

kekv12 

= . 

k1+ 

k2 

Apskaičiuojamas nuosekliai sujungtų spyruoklių ekvivalentinis 

standumas 

100 ⋅ 200 

kekv12 

= = 66, 67 N / m . 

100 + 200 

Pagal (25) apskaičiuojamas pateiktos sistemos spyruoklių ekvivalentinis 

standumas. 

kekv 

= kekv12 + k3 = 66, 67 + 200 = 266, 67 N / m . 

***** 

Spyruoklės generuojama potencinė energija 

2 

Π= 1 kx . (29) 

2 

6 pav. Slenkančio kūno su spyruokle dinaminė sistema 

14

6 paveiksle parodytos sistemos svyravimo periodas užrašomas 

formule: 

m 2π 

T = 2π 

= 

k ω , (30) 

čia m – prie spyruoklės galo prikabinta masė, k – spyruoklės standumo 

konstanta. Naudojant šią formulę visada galima apsiskaičiuoti vieną 

kintamąjį iš trijų, kai žinomos likusių dviejų kintamųjų reikšmės. 

Išmatavus svyravimų periodą ir prikabinto kūno masę galima apskaičiuoti 

spyruoklės standumą arba išmatavus spyruoklės standumą ir 

svyravimų periodą galima nustatyti prikabinto kūno masę, arba išmatavus 

kūno masę ir spyruoklės standumą nustatyti svyravimų periodą. 

Svyravimų periodas nepriklauso nuo spyruoklę veikiančios jėgos 

ir taip pat nepriklauso nuo svyravimo amplitudės. 

Kūno svyravimai aprašomi naudojant antrąjį Niutono dėsnį. 

ma =− kx , (31) 

čia dešinėje lygybės pusėje yra užrašyta jėga, apskaičiuojama pagal 

Huko dėsnį. Kairėje lygybės pusėje kūno judėjimo pagreitis a gali būti 

užrašomas kaip poslinkio antroji išvestinė pagal laiką a= x. Tada lygtis 

(31) užrašoma: 

mx =− kx . (32) 

Padalinę (32) lygties abi puses iš m gauname: 

k 

x =− 

m x . (33) 

Svyravimų kampinis dažnis užrašomas formule: 

ω= k m , (34) 

o sistemos savieji virpesiai: 

1 k 1 

f = = . (35) 

2π 

m T 

15

Tada lygtį (33) užrašome taip (Ostaševičius 1998): 

x 

=−ω 2 x. (36) 

Nagrinėjama sistema yra harmoninio žadinimo, todėl lygties (36) 

sprendinys yra: 

x= A cos ωt 

+ ϕ , (37) 

s 

( ) 

čia A s – svyravimų amplitudė, φ – svyravimo fazė, t – laikas. 

Lygties (37) pirmo laipsnio išvestinė aprašo kūno judėjimo greitį: 

x=− A ωsin ωt 

+ ϕ . (38) 

s 

( ) 

Lygties (38) pirmo laipsnio išvestinė aprašo kūno judėjimo pagreitį: 

x=− A ω 

2 cos ωt 

+ ϕ . (39) 

s 

( ) 

16

3. Slopinimas 

Spyruoklės sugeneruojama disipatyvinė energija: 

Spyruoklės slopinimo jėga: 

2 

Φ= 1 cx . (40) 

2 

F =− cx =−cv 

. (41) 

c 

čia c – spyruoklės slopinimo konstanta, kūno judėjimo greitis v gali 

būti užrašomas kaip poslinkio pirmoji išvestinė pagal laiką v= x . 

Kritinio slopinimo konstanta c kr užrašoma lygtimi (Augustaitis 

2000), (Ostaševičius 1998): 

ckr = 2 km . (42) 

Slopinimo koeficientas x užrašomas lygtimi (7 paveikslas): 

ξ= c . (43) 

c kr 

Taip pat slopinimo koeficientą galima išreikšti per logaritminį dekrementą 

δ: 

δ 

ξ = . (44) 

( 2 π ) 

2 + 

2 

δ 

7 pav. Mechaninių sistemų su skirtingais slopinimo 

koeficientais palyginimas 

17

Logaritminis dekrementas – tai greta esančių svyravimo amplitudžių 

santykio natūrinis logaritmas (Augustaitis 2000): 

ξ 

δ= ⎛ ξ 

⎝ ⎜ x0 

⎞ T 

ln ⎟ = ln ( e )= T, (45) 

xn 

⎠ 

čia x 0 , x n atitinkamai didesnioji ir mažesnioji svyravimo amplitudė, 

T – svyravimų periodas. 

18

4. Slopinamieji virpesiai 

Realiomis sąlygomis visos mechaninės sistemos yra slopinamos. 

Jeigu, nagrinėjamoje sistemoje nėra priverstinio žadinimo, sistemą 

galima aprašyti tokio pavidalo lygtimi: 

mx + cx 

+ kx = 0 . (46) 

Padalinę (46) lygtį iš m gauname: 

x + c 

 

m x + k 

m x = 0 . (47) 

Bendruoju atveju lygtį (47) galima užrašyti taip: 

2 

x+ 2ξωx 

+ ω x = 0. (48) 

Pagal tiesinių diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais 

sprendimo teoriją ieškoma tokio pavidalo šios lygties atskirojo sprendinio: 

x= 

Ce λ t , (49) 

čia e – natūrinio logaritmo pagrindas, C – konstanta, priklausanti nuo 

sistemos pradinės padėties, λ – konstanta, randama iš sąlygos, kad 

(49) sprendinys tenkintų (48) lygtį. 

Lygties (49) išvestinės laiko atžvilgiu bus 

λ t 

2 λt 

x 

= Cλe , x= 

Cλ 

e 

. (50) 

Įrašę koordinatės x ir jos išvestinių reikšmes į lygtį (48) ir supaprastinus 

ją iš e λt 

gaunama: 

( 2 2 

) = 

λ + 2ξωλ + ω C 0. (51) 

Jeigu C = 0 sistemoje virpesių nebūtų, todėl imama teigiama C 

reikšmė ir (51) lygtis yra: 

2 2 

λ + 2ξωλ + ω = 0. (52) 

19

Priklausomai nuo kompleksinio skaičiaus reikšmės, lygties (52) 

sprendinys gali būti trejopas. 

Kai ξ>1 sistemos judėjimas aperiodinis, λ – kompleksinis skaičius, 

o lygties (52) sprendinys turi dvi šaknis λ + ir λ − . 

Tada lygties (46) sprendinys užrašomas tokia išraiška: 

λ t t 

xt Ae 

+ λ 

Be 

− , (53) 

()= + 

čia koeficientų A ir B reikšmės nustatomos iš išraiškų: 

( )− ( ) 

λ+ 

x 0 x 

0 

A= x( 0)+ 

λ − λ 

− + 

( )− ( ) 

λ+ 

x 0 x 

0 

B =− 

λ − λ 

− + 

, (54) 

. (55) 

Kai ξ=1 sistemos slopinimas kritinis, λ – realusis skaičius, o lygties 

(52) sprendinys turi tik vieną šaknį l. 

Tada lygties (46) sprendinys užrašomas tokia išraiška: 

t 

( ) −ω , (56) 

xt A B t e 

()= + ⋅ 

čia koeficientų A ir B reikšmės nustatomos iš išraiškų: 

A= x( 0 ), (57) 

B x 0 ω x 0 . (58) 

= ( )+ ( ) 

Kai 0< ξ < 1 sistemos judėjimas slopinamas, o (47) lygties sprendinys 

yra harmoninis su eksponentiškai gęstančia amplitude: 

( ) 

−ξωt 

()= ( d )+ ( d ) 

xt e Acos ω t Bsin ω t , (59) 

čia slopinamų virpesių kampinis dažnis: 

ω ω 1− 

ξ 

2 . (60) 

d = 

Koeficientų A ir B reikšmės nustatomos iš išraiškų: 

A= x( 0 ), (61) 

20

1 

B= ( ξωx( 0)+ x ( 0) 

). (62) 

ω 

Šiuo atveju slopinimo koeficientą x galima nustatyti pasinaudojant 

logaritminio dekremento išraiška (45). 

***** 

Pavyzdys 

Dinaminės sistemos modelis pateiktas 8 paveiksle. Kūno masė 

m= 446, 5kg, spyruoklės standumo konstanta k1 = 34 000 N / m 

ir k2 = 1610 N / m, sistemos slopinimo konstanta c=1700 Ns/ m. 

Masės m kūnas pradiniu laiko momentu t = 0 perstumiamas į naują 

padėtį iš pusiausvyros padėties ir priimama, kad kūno poslinkis 

qt ( = 0) = 0, 

05 m, o kūno judėjimo greitis pradiniu laiko momentu 

q ( t= 0) = 0 m/ 

s. Nustatyti kūno padėtį po 4 s, kai spyruoklės standumas 

k = k 1 ir k = k 2 

. Nubraižyti kūno poslinkio priklausomybes nuo 

laiko, kai laikas t kinta nuo 0 iki 4 s. 

8 pav. Vieno laisvėslaipsnio mechaninė sistema su standumo ir 

slopinimo elementais 

Kai ξ=1 sistemos judėjimas slopinamas, kūno svyravimo amplitudė 

skaičiuojama pagal (56) formulę, o koeficientai A ir B atitinkamai 

pagal (57) ir (58) formules. 

Kai 0< ξ < 1dinaminė sistema slopinama, kūno svyravimo amplitudė 

skaičiuojama pagal (59) formulę, o koeficientai A ir B atitinkamai 

pagal (61) ir (62) formules. 

Skaičiavimo rezultatai pateikti 4 lentelėje. 

21

4 lentelė. Mechaninės sistemos parametrų skaičiavimai 

Pavadinimas 

Žymėjimai / 

formulės 

0< ξ < 1 ξ=1 

Kūno masė, kg m 446,5 446,5 

Slopinimo konstanta, Ns/m c 1700 1700 

Standumo konstanta, N/m k 34 000 1610 

Sistemos kampinis dažnis, rad/s ω= k m 

8,726 1,899 

Kritinė slopinimo konstanta, Ns/m ckr = 2 km 7792,56 1695,72 

Slopinimo koeficientas 

ξ= c 

0,2183 1,00 

c kr 

Slopinamų virpesių kampinis dažnis, 

rad/s ωd = ω 1− 

2 

ξ 8,516 – 

Koeficientas A 0,05 0,05 

koeficientas B 0,0109 0,0949 

Kūno svyravimo amplitudė, m 

qt ( = 4 ) –0,19e–4 0,22e–3 

Kūno poslinkio grafikai, priklausomai nuo slopinimo koeficiento 

reikšmės, pateikti 9 paveiksle. 

9 pav. Vieno laisvės laipsnio mechaninės sistemos su standumo ir slopinimo 

elementais poslinkiai, kai 0< ξ < 1 ir ξ=1 

***** 

22

5. Q faktorius 

Q faktorius, tai – kokybinis slopinimo, sužadinimo ar svyravimo 

rodiklis (10 paveikslas). 

. (63) 

Mechaninėms sistemoms: 

Q = 

mk 

, 

c 

(64) 

čia m – kūno masė, k – spyruoklės standumo konstanta, c – slopinimo 

konstanta. 

10 pav. Rezonansinės kreivės statumo matavimas (Ostaševičius 1998) 

antros eilės sistemose, kai ξ

6. Sausoji trintis 

Sausoji trintis tarp kietųjų kūnų skirstoma į statinę ir dinaminę 

trintis (Michnevič et al. 2003). 

Statinė trintis – tai trintis tarp nejudančių kūnų. Didžiausia statinės 

trinties jėga atitinka mažiausią jėgą, kuriai veikiant kūnas pradeda 

judėti (11 paveikslas). 

11 pav. Trinties jėga 

Maksimali statinės trinties jėgos reikšmė: 

Ftr 

max =µ sN, (66) 

čia µ s – statinės trinties koeficientas, N – atraminės reakcijos jėga. 

Statinės trinties kampas (12 paveikslas): 

Ftr 

max µ sN 

tg ( α)= = = µ s . (67) 

N N 

Dinaminės trinties jėga pasireiškia kūnui slystant tam tikru paviršiumi. 

Jėga veikia besitrinančių paviršių plokštumoje, yra priešinga 

slydimo krypčiai ir proporcinga normalinei reakcijai: 

FDtr 

=µ DN, (68) 

čia m D – dinaminės trinties koeficientas, priklausantis nuo judėjimo 

greičio, kontakto paviršių apdirbimo ir yra mažesnis už statinį trinties 

koeficientą. 

12 pav. Trinties kampas 

Dinaminės trinties jėga yra mažesnė už didžiausią statinę jėgą 

F trmax (11 paveikslas). 

24

7. Amplitudinė-dažnuminė 

charakteristika 

Harmoninio išorinio žadinimo mechaninės sistemos judėjimo 

lygtį galima užrašyti: 

mx + cx 

+ kx = F0 cos( Ω t) 

, (69) 

čia m – kūno masė, c ir k – atitinkamai slopinimo ir standumo konstantos, 

F 0 – išorinės jėgos amplitudė, W – išorinės jėgos svyravimo 

kampinis dažnis. 

Lygties (69) sprendinys gali būti išreikštas tokiu pavidalu: 

x= A cos Ωt 

−ϕ , (70) 

s 

( ) 

čia A s – svyravimo amplitudė, φ – fazinis kampas. 

Lygties (70) pirmoji ir antroji išvestinė laiko atžvilgiu: 

x=−A Ωsin Ωt 

− ϕ , (71) 

s 

( ) 

x=−A Ω 

2 cos Ωt 

− ϕ . (72) 

s 

( ) 

Įstatę (70), (71), (72) išraiškas į (69) lygtį ir išreiškę A s gauname: 

F 

As = 0 1 

. (73) 

k 

⎛ 2 

2 

⎞ 

− 

⎜ ⎟ + ⎛ 2 

Ω 

⎝ ⎠ ⎝ ⎜ 

Ω⎞ 

1 2ξ 2 ⎟ 

ω ω ⎠ 

Fazinio kampo išraiška: 

tg ( ϕ)= 

2ξω 

⎛ 2 

Ω ⎞ 

. (74) 

1− 

⎜ 2 ⎟ 

⎝ ω ⎠ 

Amplitudinio rezonanso dažnis visada yra mažesnis už neslopinamos 

sistemos dažnį ir skaičiuojamas pagal formulę: 

ω 

a = 

1− 

ξ 

2 . (75) 

25

Tada sistemos reakcijos amplitudė yra: 

A 

s max = 

F 

k 

0 

1 

2ξ 

1 

1− 

ξ 

2 

. (76) 

Fazinis rezonansas atsiranda, kai sužadinimo dažnis sutampa su 

neslopinamos sistemos rezonanso dažniu. Šiuo atveju virpesių amplitudė 

būtų truputį mažesnė už absoliutų maksimumą. 

F 

As = 0 1 

k 2ξ . (77) 

Rezonanso statumas apibūdinamas kokybės kriterijumi – Q faktoriumi. 

26

8. Transporto priemonės svorio centro 

ir inercijos momentų nustatymas 

Turint sudėtingą dinaminę sistemą (pvz., transporto priemonę su 

keleiviais ir kroviniu) reikia žinoti, kiek ją sudaro masių, kad būtų galima 

sudaryti tikslią mechaninės sistemos judėjimo lygtį, nes kiekviena 

masė turės savo svorio centrą, ašinį ir išcentrinį inercijos momentą. 

Kaip pavyzdį paimsime lengvąjį automobilį (13 paveikslas). 

13 pav. Lengvojo automobilio masės, jų svorio centrai, 

ašiniai ir išcentriniai inercijos momentai 

Tad lengvojo automobilio suminė masė nustatoma: 

m 

s 

n 

= ∑ m , (78) 

i= 

1 

čia m s – suminė masė, m i – i-oji masė. 

Svorio centro koordinačių nustatymas: 

x 

n 

C = = i= 

1 

i 

∑ xm i i 

i 1 

, 

n 

(79) 

∑ m 

i 

27

y 

n 

∑ ym 

i i 

i 

C = = 1 

n 

∑ mi 

i= 

1 

, (80) 

čia x C , y C – koordinatės iki suminio svorio centro, x i , y i – i-osios masės 

koordinatės, nuo koordinačių ašies XY. 

Ašinis ir išcentrinis inercijos momentas nustatomas pasinaudojus 

tokiomis formulėmis: 

n 

a 

i= 

1 

i 

Iia 

iš 

n 

i= 

1 

ixy 

2 2 

i C i C i 

I = ∑ ( I + m (( x − x ) + ( y − y ) ), 

I = ∑ ( I + m ( x −x )( y − y )), 

i i C i C 

(81) 

(82) 

čia I a – ašinis dinaminės sistemos inercijos momentas, I iš – išcentrinis 

dinaminės sistemos inercijos momentas, I i – i-osios masės ašinis inercijos 

momentas, I ixy – i-osios masės išcentrinis inercijos momentas. 

Pavyzdys 

Surasti lengvojo automobilio (13 paveikslas) suminę masę m s 

(priedas G), svorio centro koordinates Cxy ( , ) (priedas F), ašinį 

inercijos momentą I a ir išcentrinį inercijos momentą I iš . Čia automobilio 

kėbulo masė m1 = 600kg, ašinis I1 

= 300 kg⋅ m ir iš- 

2 

centrinis inercijos momentas I 1xy 

= 0 , automobilio variklio masė 

2 

m2 = 300 kg, ašinis I2 

= 61 kg⋅ m ir išcentrinis inercijos momentas 

2 

I2xy 

= 05 , kg⋅m 

, vairuotojo ir keleivio masė m3 = 150 kg , ašinis 

2 

2 

I3 

= 35 kg⋅ m ir išcentrinis inercijos momentas I3xy 

= 015 , kg⋅m 

, 

2 

2 

keleivių masė m4 = 150kg 

, ašinis I4 

= 35 kg⋅ m ir I4xy 

= 08 , kg⋅m 

išcentrinis inercijos momentas, krovinio masė m5 = 100 kg, 

2 

ašinis I5 

= 20, 3 kg⋅m 

ir I 5xy 

= 0 išcentrinis inercijos momentas, 

svorio centrai C1( 2012 , ;, ), C2(,; 0807 , ), C3(, 1706 ; , ), C4( 2706 , ; , ), C5(, 3708 ; , ). 

C4( 2706 , ; , ), C5(, 3708 ; , ). Savarankiškam skaičiavimui duomenys pateikiami F ir 

G prieduose. 

28

Sprendimas 

Surandame automobilio suminę masę pagal (78) formulę: 

ms = m1 + m2 + m3 + m4 + m5 = 600 + 300 + 150 + 150 + 100 = 1300 kg. 

Apskaičiuosime svorio centro koordinates pagal (79)ir (80) formules: 

x m x m x m x m x m 

xC = 1⋅ 1+ 2⋅ 2 + 3⋅ 3 + 4⋅ 4 + 5⋅ 

5 

= 

m1 + m2 + m3 + m4 + m5 

20 , ⋅ 600 + 0,8 ⋅ 300 + 17 , ⋅ 150 + 27150 , ⋅ + 37 , ⋅100 

= 

= 

600 + 300 + 150 + 150 + 100 

2470 

1300 

y m y m y m y m y m 

yC = 1⋅ 1+ 2⋅ 2 + 3⋅ 3 + 4⋅ 4 + 5⋅ 

5 

= 

m1 + m2 + m3 + m4 + m5 

12 , ⋅ 600 + 0,7 ⋅ 300 + 06150 , ⋅ + 06150 , ⋅ + 08100 , ⋅ 1190 

= 

= 

600 + 300 + 150 + 150 + 100 

1300 

=19 , m 

= 092 , m. 

Apskaičiuosime ašinį ir išcentrinį inercijos momentą, kuris nustatomas 

pasinaudojus tokiomis formulėmis (81) ir (82): 

I = I + m (( x − x ) + ( y − y ) ) + I + m (( x − x ) + ( y − y ) ) + I + 

a 1 1 C 1 2 C 1 2 2 2 C 2 2 C 2 2 3 

+ m (( x − x ) + ( y − y ) ) + I + m (( x − x ) + ( y − y ) ) + I + 

3 C 3 2 C 3 2 4 4 C 4 2 C 4 2 5 

+ m (( x −x ) + ( y − y ) ) = 300 + 600(, 01 + 028 , ) + 61+ 300(( − 11 ,) + 

5 

+− ( 02 , ) 

C 5 2 C 5 2 2 2 2 

2 2 2 2 2 

) + 35 + 150(( − 02 , ) + ( − 032 , ) ) + 35 + 150( 08 , + ( − 032 , ) ) + 203 , + 

2 2 2 

+ 100(, 18 + ( − 012 , ) ) = 1340, 

02 kg ⋅m 

I iš = I1xy = I+ m1( x1− y1− C)) + I2xy + m2( x −xC)( y2 − yC)) + I3xy 

+ m3( x 

− 

C ) ⋅ 

1xy + m1( x1−xC)( y1− yC)) + I2xy + m2( x2 −xC)( y2 − yC)) + I3xy 

+ m3( x3 

− xC 

) ⋅ 

⋅( y3⋅( − yyC)) + I4xy + m4( x −xC)( y4 − yC)) + I5xy + m5( x −xC)( 

y5 − yC 

)) = 0 + 

3 − yC)) + I4xy + m4( x4 −xC)( y4 − yC)) + I5xy + m5( x5 −xC)( 

y5 − yC 

)) = 0 + 

+ 600 + ( 600 2−( 19 2, −)( 19 1, , 2)( − 1, 02, − 920) , 92 + 05 ), + + 05 , 300 + 300 08(, −08 19 , −)(, 19 07 , )(, 07 − 092 , − 092 ), + 015 ), 

+ 015 + , 15017 + (, 15017 (, −19 

, −) 

19 ⋅, ) ⋅ 

⋅(, 06⋅(, − 06 092 , − 092 ), + 0) , + 8 + 0, 150 8 + ( 150 27 , ( 27 −, 19 , −)( 19 06 ,,)( − 06 , 092 , − 092 ), + 0) + 1000 + (, 137 00 −37 19 , )(, 19 08− 08 092 , 092 ) = 4045 , 4045 kg ⋅m 

2 

(, − , )(, − , ) = , kg ⋅m 

2 

29

9. Uždavinių sprendimo pavyzdžiai 

1. Uždavinys. Sudaryti 14 paveiksle pateiktos automobilio ketvirčio 

pakabos dinaminį modelį. Apskaičiuoti ekvivalentinę spyruoklės 

standumo konstantą ir ekvivalentinę amortizatoriaus slopinimo konstantą, 

kai schemoje pateikti matmenys a, b, φ atitinkamai lygūs 300, 

400, 10. Pakabos spyruoklės standumo konstanta k = 34 000 N / m, 

amortizatoriaus slopinimo konstanta h=1700 Ns/ m. 

14 pav. Vieno laisvės laipsnio automobilio ketvirčio dinaminės sistema: 

a) automobilio ketvirčio schema; 

b) automobilio ketvirčio dinaminis modelis 

Sprendimas 

Supaprastintas sistemos dinaminis modelis pateiktas 14 paveiksle. 

Sudarant šį modelį reikia apskaičiuoti pakabos spyruoklės standumo 

konstantos ir amortizatoriaus slopinimo konstantų ekvivalentines 

reikšmes (Jazar 2008). 

Ekvivalentinė spyruoklės standumo konstanta skaičiuojama pagal 

formulę 

a 

keq = ( ) 

2 

⎛ ⎞ 

⎜ k N m 

⎝ b ⎠ 

⎟ = ⎛ 

⎜ ( ) 

2 

300 ⎞ 

cos α 

cos 10 ⎟ 34000 = 18548 / . 

⎝ 400 ⎠ 

c 

Amortizatoriaus slopinimo konstanta skaičiuojama pagal formulę: 

⎛ a ⎞ 

⎜ c 

Ns m 

⎝ b ⎠ 

⎟ = ⎛ 300 

⎜ ( ) ⎞ 

cos α 

cos 10 ⎟ 1700 = 927, 4 / . 

⎝ 400 ⎠ 

eq = ( ) 

2 2 

30

2. Uždavinys Pagal prieš tai pateikto uždavinio sąlygoje pateiktus 

duomenis ir apskaičiuotą spyruoklės standumo konstantos reikšmę, 

tam pačiam pakabos dinaminiam modeliui apskaičiuoti sistemos savąjį 

kampinį dažnį, kritinę slopinimo konstantą ir slopinimo koeficientą, 

kai automobilio ketvirčio masė lygi 300 kg. 

Sprendimas 

Svyravimų kampinis dažnis skaičiuojamas pagal (34) formulę: 

keq 18548 

ω= = = 786 , rad / s. 

m 300 

Kritinis slopinimo koeficientas skaičiuojamas pagal formulę (42) 

c = 2 k m = 2 18548⋅ 300 = 4717, 84 Ns/ m. 

kr 

eq 

Slopinimo koeficientas x skaičiuojamas pagal formulę (43): 

ceq 

927, 

4 

ξ= = = 0, 197. 

c 4717, 

84 

kr 

3. Uždavinys Užrašyti prieš tai pateikto uždavinio sąlygoje pateiktam 

dinaminiam modeliui Lagranžo antro laipsnio diferencialinę 

judėjimo lygtį. 

Sprendimas 

Lagranžo antro laipsnio diferencialinė lygtis užrašoma tokia forma: 

d ⎛ ∂T 

⎞ T 

⎜ 

F 

dt ⎝ ∂q 

⎠ 

⎟ − ∂ ∂ q + ∂ Φ 

∂ q + ∂ Π 

∂ q 

= { } , (83) 

čia T – sistemos kinetinė energija, F – sistemos slopinimo energija, 

P – sistemos potencinė energija, F – apibendrintų jėgų vektorius 

q, q 

, q– atitinkamai apibendrintas kūno pagreitis, greitis ir poslinkis. 

Lagranžo antro lygties sudarymo algoritmas. 

1. Sprendžiamajam uždaviniui užrašoma sistemos kinetinė energija: 

2 

T = 1 mq . (84) 

2 

31

1a). Skaičiuojama kinetinės energijos dalinė išvestinė pagal 

apibendrintą greitį q : 

∂T 

∂ q 

= mq . (85) 

 

1b). Skaičiuojama paskaičiuotos dalinės išvestinės pagal apibendrintą 

kūno greitį pilnoji išvestinė: 

d ⎛ ∂T 

⎞ 

⎜ ⎟ = mq . (86) 

dt ⎝ ∂q 

⎠ 

1c). Skaičiuojama kinetinės energijos dalinė išvestinė pagal 

apibendrintą poslinkį q: 

∂T 

∂ q 

= 0 . (87) 

2. Sprendžiamajam uždaviniui užrašoma sistemos disipatyvinė 

energija. 

1 

2 

Φ= ceq ( q − z () t ) . (88) 

2 

2a). Skaičiuojama disipatyvinės energijos dalinė išvestinė pagal 

apibendrintą greitį q 

∂Φ 

∂ = c ( − ()) 

eq q z t . (89) 

q 

3. Sprendžiamajam uždaviniui užrašoma sistemos potencinė 

energija 

1 

2 

Π= keq ( q− z() 

t ) . (90) 

2 

3a). Skaičiuojama potencinės energijos dalinė išvestinė pagal 

apibendrintą poslinkį q : 

∂Π 

∂ = k ( − ()) 

eq q z t . (91) 

q 

Apskaičiuotos energijų dalinės išvestinės įstatomos į antro laipsnio 

Lagranžo lygtį (83): 

mq + ceq 

( q − z 

() t )+ keq 

( q− z() 

t )= 0 . (92) 

32

Užrašyta lygtis pertvarkoma į dešinę lygybės pusę perkeliant žadinimo 

funkciją ir priskiriant ją prie išorinių sistemą veikiančių jėgų ir 

papildomai pridedama svorio jėga F=mg. 

mq c q k q c z 

t k z t mg 

+ + = ()+ ()− . (93) 

eq eq eq eq 

Iš (93) lygties išreiškiamas apibendrintas kūno pagreitis q : 

ceqq 

keqq ceq z 

t keq 

z t mg 

q 

= − − + ()+ ()− . (94) 

m 

Norint (94) lygtį spręsti skaitiniais metodais reikia linearizuoti 

lygtį – vietoj antros eilės diferencialinės lygties užrašomos dvi pirmos 

eilės diferencialinės lygtys ir įvedami papildomi kintamieji. 

dq dq 

dq 

= YR1; = YR2; q= Y1; = Y2. 

(95) 

dt dt 

dt 

Naudojant išraiškas (90) lygtis (89) užrašoma tokiomis dviem 

lygtimis: 

YR = Y ; 

1 2 

−ceqY2 − keqY1+ ceqz 

()+ t keqz()− 

t mg 

YR2 

= . (96) 

m 

Užrašyta lygčių sistema (96) gali būti sprendžiama skaitiniais 

metodais (Oilerio, Rungės ir Kuto, kt.). 

4. Uždavinys. (96) lygčių sistemą išspręsti Rungės ir Kuto metodu, 

kai uždaviniui išspręsti naudojamos tokios parametrų reikšmės: 

slopinimo konstanta ceq = 927 , 4 Ns/ m, standumo konstanta 

keq =18 548 N / m, automobilio ketvirčio masė lygi m= 300 kg , laisvo 

2 

kritimo pagreitis g = 981 , m/ s . Kelio paviršius aprašomas, kaip laike 

nekintanti funkcija, kurios poslinkio pokytis nuo laiko z()= t 0 m ir 

greičio pokytis nuo laiko z()= t 0 m/ s. Pradiniu laiko momentu ieškomi 

parametrai q= Y m dq 

1 = 0 , = Y2 

= 0 m/ s. 

dt 

Sprendimas 

Nustatome integravimo žingsnį dt = 10 , E−4 

s ir maksimalų 

skaičiavimo laiką Tmax = 5 s . 

Išsprendę uždavinį gauname tokius rezultatus. 

33

15 pav. Kūno poslinkio priklausomybė nuo laiko vieno 

laisvės laipsnio sistemoje 

16 pav. Kūno judėjimo greičio priklausomybė nuo laiko vieno 


5. Uždavinys. Sudaryti harmoninę funkciją, kuri imituotų kelio 

dangos kitimą ir vertintų tokius parametrus kaip: kelio dangos nelygumo 

aukštis, automobilio judėjimo greitis, nelygumo pasikartojimo 

periodas. Nubraižyti žadinimo funkcijų (poslinkio ir greičio) grafikus, 

kai laikas kinta nuo 0 iki 5 s. 

Sprendimas 

Aprašysime kelio žadinimo funkciją, kurios žadinimo periodas 

kinta priklausomai automobilio judėjimo greičio. Šiuo tikslu įvedami 

tokie kelio parametrai: kelio dangos nelygumo aukščiai hc1 = 001 , m, 

hs1 = 001 , m, automobilio judėjimo greitis v1 = 30 m/ s, nelygumo 

pasikartojimo periodas Lx = 50 m . 

Kelio dangos paviršiaus vertikalaus poslinkio pokytis nuo laiko 

užrašomas tokia lygtimi: 

34

⎛ 2π⋅v1 

⋅t 

⎞ ⎛ 2π⋅v1 

⋅t 

⎞ 

z()= 

t hc1 

cos⎜ 

⎟ + hs1 

sin⎜ 

⎟ . (97) 

⎝ Lx 

⎠ ⎝ Lx 

⎠ 

Lygtis (97) gali būti supaprastinta įvedant išorinio žadinimo dažnį: 

2π ⋅ v 

= . (98) 

L x 

Ω 1 

1 

Tada (97) lygtis įgauna tokį pavidalą: 

z t h cos Ω t h sin Ω t . (99) 

()= ( )+ ( ) 

c1 1 c1 1 

Kelio dangos paviršiaus vertikalaus greičio pokytis nuo laiko užrašomas 

apskaičiuojant (99) lygties išvestinę pagal laiką ir užrašomas 

tokia lygtimi: 

z t h sin Ω t Ω h cos Ω t Ω . (100) 

()=− ( ) + ( ) 

c1 1 1 c1 1 1 

Formulių (99) ir (100) grafikai pateikti17 ir 18 paveiksluose. 

17 pav. Žadinimo funkcijos, kelio dangos vertikalaus poslinkio, 

pokytis nuo laiko 

18 pav. Žadinimo funkcijos, kelio dangos vertikalaus 

greičio, pokytis nuo laiko 

35

6. Uždavinys. (91) lygčių sistemą išspręsti Rungės ir Kuto metodu, 



keq =18548 N / m , automobilio ketvirčio masė lygi m = 300 kg , 

2 

laisvo kritimo pagreitis g = 981 . m/ s . Kelio paviršius aprašomas 

kaip laike kintanti funkcija, kurios poslinkio pokytis nuo laiko 

z() t ir greičio pokytis nuo laiko z() t užrašomi pagal 5 uždavinyje 

pateiktas išraiškas. Pradiniu laiko momentu ieškomi parametrai 

q= Y m dq 

1 = 0 , = Y2 

= 0 m/ s. 

dt 

Sprendimas 

Nustatome integravimo žingsnį dt = 10 , E−4 

s ir maksimalų 

skaičiavimo laiką Tmax = 5 s . 

Išsprendę uždavinį gauname tokius rezultatus. 

19 pav. Kūno poslinkio priklausomybė nuo laiko vieno 


20 pav. Kūno judėjimo greičio priklausomybė nuo laiko 

vieno laisvės laipsnio sistemoje 

36

7. Uždavinys. Sudaryti kelio dangos kitimo funkciją, kuri imituotų 

kelio dangos nelygumą ir vertintų tokius parametrus kaip: kelio 

dangos nelygumo aukštis, automobilio judėjimo greitis, kelio dangos 

nelygumo ilgis. Nubraižyti žadinimo funkcijų (poslinkio ir greičio) 

grafikus, kai laikas kinta nuo 0 iki 5 s. 

Sprendimas 

Aprašysime kelio žadinimo funkciją, kurios žadinimo periodas 

kinta priklausomai automobilio judėjimo greičio. Šiuo tikslu įvedami 

tokie kelio parametrai: kelio dangos nelygumo aukščiai hc1 = 001 , m, 

automobilio judėjimo greitis v1 = 9 m/ s, nelygumo pasikartojimo 

periodas Lx = 50 m . 

Kelio dangos paviršiaus vertikalaus poslinkio pokytis nuo laiko 

užrašomas pasinaudojant Maple pakete naudojama funkcija Heviside 

tokia lygtimi: 

⎛ 2π 

⋅v1 

⋅t 

⎞ 

z()= t Heaviside( t−const)⋅ 

hc1 

cos⎜ 

⎟. (101) 

⎝ Lx 

⎠ 

Lygtis (101) gali būti supaprastinta įvedant išorinio žadinimo 

dažnį (93). Tada (101) lygtis įgauna tokį pavidalą: 

()= ( − )⋅ ( ) 

z t Heaviside t const h cos Ω t , (102) 

c1 1 

čia const – laisvai pasirenkama konstanta. Nuo jos reikšmės priklauso, 

kuri funkcijos dalis bus uždengiama, o jos vietoje turėsim 0. (102) 

Lygties grafikas, kai const = 0, pateiktas 21 paveiksle. 


pokytis nuo laiko, kai const = 0 

(102) lygties grafikas, kai const = 4,16, pateiktas 22 paveiksle. 

37


pokytis nuo laiko, kai const = 4,16 

(102) lygties grafikas, kai const = –4,16, pateiktas 23 paveiksle. 

23 pav. Žadinimo funkcijos, kelio dangos vertikalaus 

poslinkio, pokytis nuo laiko, kai const = – 4,16 

Žadinimo funkcija taip pat gali būti apribojama iš abiejų pusių. 

Tokiu atveju lygtis (102) gali būti užrašoma taip: 

( )⋅ ( )− 

z()= t Heaviside t−const1 hc1cos Ω1t 

−Heaviside( t−const 

)⋅ h cos ( Ω t) 

. 

2 

c1 1 

(103) 

Šios lygties grafikas pateiktas 24 paveiksle. Konstantos 

const 1 = 416 , , const 2 = 695 , . 

38

24 pav. Žadinimo funkcijos, kelio dangos vertikalaus poslinkio, pokytis 

nuo laiko, kai žadinimo funkcijos reikšmė apribojama iš abiejų pusių 

Kelio dangos paviršiaus vertikalaus greičio pokytis nuo laiko užrašomas 

apskaičiuojant (103) lygties pirmo laipsnio išvestinę pagal 

laiką. Žadinimo funkcijos grafinis vaizdas pateiktas 25 paveiksle. 

25 pav. Žadinimo funkcijos, kelio dangos vertikalaus greičio, pokytis 

nuo laiko, kai žadinimo funkcijos reikšmė apribojama iš abiejų pusių 

39

10. Uždaviniai savarankiškam darbui 

1. Nustatyti spyruoklės (cilindrinė, kūginė) geometrinius parametrus, 

kai žinomas darbinis spyruoklės ilgis ir reikiamas spyruoklės 

standumas 

2. Nustatyti spyruoklės standumo konstantą (26 paveikslas), kai 

spyruoklė, veikiant kūno svorio jėgai, gali susispausti dydžiu ..... 

26 pav. Vieno laisvės laipsnio mechaninės sistemos modelis 

3. Nustatyti 27 paveiksle pateiktos dinaminės sistemos standumo 

ir slopinimo konstantas, kai kūnas veikiant svorio jėgai spaudžia 

spyruokle ... mm. 


4. Nustatyti 26 paveiksle pateiktos mechaninės sistemos savuosius 

dažnius, svyravimų amplitudę ir nubrėžti amplitudės priklausomybės 

nuo dažnio grafiką, kai mechaninės sistemos žadinimo dažnis ..., 

slopinimo konstanta ..., kūno masė ..., standumo konstanta ... . 

5. Parinkti 27 paveiksle pateiktos mechaninės sistemos standumo 

ir slopinimo konstantas taip, kad slopinimo koeficientas būtų lygus ..., o 

mechaninės sistemos savasis dažnis kistų intervale ω ≤ω≤ ω . 

40 

min 

max

6. Nustatyti spyruoklės standumo konstantą 28 paveiksle, kai 

spyruoklė, veikiant kūno svorio jėgai, gali susispausti dydžiu ..... 


7. Nustatyti 29 paveiksle pateiktos dinaminės sistemos standumo 

ir slopinimo konstantas, kai kūnas veikiant svorio jėgai suspaudžia 

spyruoklę ... mm. 


8. Nustatyti 28 paveiksle pateiktos mechaninės sistemos savuosius 

dažnius, svyravimų amplitudę ir nubrėžti amplitudės priklausomybės 

nuo dažnio grafiką, kai mechaninės sistemos žadinimo dažnis ..., 

slopinimo konstanta ..., kūno masė ..., standumo konstanta ... . 

9. Parinkti 29 paveiksle pateiktos mechaninės sistemos standumo 

ir slopinimo konstantas taip, kad slopinimo koeficientas būtų lygus ..., o 

mechaninės sistemos savasis dažnis kistų intervale ωmin 

≤ω≤ ωmax. 

10. Pagal 30 paveiksle pateikto automobilio pakabos ketvirčio dinaminį 

modelį apskaičiuoti ekvivalentinę spyruoklės standumo konstantą 

ir ekvivalentinę amortizatoriaus slopinimo konstantą, kai schemoje 

pateikti matmenys a, b, φ atitinkamai lygūs 300, 400, 10. Pakabos 

spyruoklės standumo konstanta k2 = 34 000 N / m , amortizatoriaus 

slopinimo konstanta h2 = 1700 Ns/ m, padangos standumo konstanta 

k1 = 120 000 N / m , padangos slopinimo konstanta h2 = 100 Ns/ m. 

41

30 pav. Vieno laisvės laipsnio automobilio ketvirčio dinaminė sistema: 

a) automobilio ketvirčio schema; b) automobilio ketvirčio dinaminis modelis 

11. Pagal 10 uždavinio sąlygoje pateiktus duomenis ir apskaičiuotą 

spyruoklės standumo konstantos reikšmę, tam pačiam pakabos 

dinaminiam modeliui, apskaičiuoti sistemos savąjį kampinį dažnį, 

kritinę slopinimo konstantą ir slopinimo koeficientą, kai automobilio 

ketvirčio masė lygi 300 kg. 

12. Užrašyti 11 uždavinio sąlygoje pateiktam dinaminiam modeliui 

Lagranžo antro laipsnio diferencialinę judėjimo lygtį. 

13. 12 uždavinio lygčių sistemą išspręsti Rungės ir Kuto metodu, 


slopinimo konstanta ceq = 927, 4 Ns / m, standumo konstanta 

keq =18 548 N / m, automobilio ketvirčio masė lygi m= 300 kg, laisvo 

2 

kritimo pagreitis g = 981 , m/ s . Kelio paviršius aprašomas kaip laike 

nekintanti funkcija, kuriosposlinkio pokytis nuo laiko z()= t 0 m ir 

greičio pokytis nuo laiko z()= t 0 m/ s. 

14. Sudaryti harmoninę funkciją, kuri imituotų kelio dangos kitimą 

ir vertintų tokius parametrus kaip: kelio dangos nelygumo aukštis, automobilio 

judėjimo greitis, nelygumo pasikartojimo periodas. Nubraižyti 

žadinimo funkcijų (poslinkio ir greičio) grafikus, kai laikas kinta nuo 0 

iki 5 s ir išspręsti 13 uždavinį su šiomis žadinimo funkcijomis. 

15. Sudaryti 31paveiksle pateiktos automobilio ketvirčio pakabos 

dinaminį modelį. Apskaičiuoti ekvivalentinę spyruoklės standumo 

konstantą ir ekvivalentinę amortizatoriaus slopinimo konstantą, kai 

schemoje pateikti matmenys a, b atitinkamai lygūs 300 mm, 400 mm. 

Pakabos spyruoklės standumo konstanta k = 34 000 N / m , amortizatoriaus 

slopinimo konstanta h=1700 Ns/ m. 

42

31 pav. Vieno laisvės laipsnio automobilio ketvirčio dinaminės sistema 





ketvirčio masė lygi 300 kg. F = 100 N. 






keq =18 548 N / m, automobilio ketvirčio masė lygi m = 300 kg , 

2 

laisvo kritimo pagreitis g = 981 , m/ s . Kelio paviršius aprašomas, 

kaip laike nekintanti funkcija, kurios poslinkio pokytis nuo laiko 

z()= t 0 m ir greičio pokytis nuo laiko z()= t 0 m/ s. 






20. Sudaryti 32 paveiksle pateiktos automobilio ketvirčio pakabos 



schemoje pateikti matmenys a, b, φ atitinkamai lygūs 300 mm, 400 mm, 

10 o . Pakabos spyruoklės standumo konstanta k2 = 34 000 N / m, 

amortizatoriaus slopinimo konstanta h2 = 1700 Ns/ m, padangos stan- 

43

dumo konstanta k1 = 120 000 N / m, padangos slopinimo konstanta 

h2 = 100 Ns/ m. 

32 pav. Dviejų laisvės laipsnių automobilio ketvirčio dinaminės sistema 





ketvirčio masė lygi 300 kg, rato masė 30 kg. 







2 

kritimo pagreitis g = 981 , m/ s . Kelio paviršius aprašomas kaip laike 







iki 5 s, ir išspręsti 23 uždavinį su šiomis žadinimo funkcijomis. 

25. Sudaryti 33 paveiksle pateiktos automobilio ketvirčio pakabos 



44

schemoje pateikti matmenys a, b, φ atitinkamai lygūs 300 mm, 400 mm, 

10 o . Pakabos spyruoklės standumo konstanta k = 34 000 N / m, amortizatoriaus 

slopinimo konstanta h=1700 Ns/ m. 

33 pav. Dviejų laisvės laipsnių automobilio ketvirčio dinaminės sistema 





ketvirčio masė lygi 300 kg, rato masė 30 kg. 







2 

kritimo pagreitis g = 981 , m/ s . Kelio paviršius aprašomaskaip laike 








30. Uždavinys. Sudaryti skaičiavimo schemą pateiktam 34 paveikslui 

pagal užduoties variantą (5 lentelė). Pagal sudaryta schemą rasti 

ekvivalentinio (redukuoto) elemento standumą (k E ) ir slopinimą (c E ). 

45

34 pav. Standumo ir slopinimo elementų sudarymo schema 

5 lentelė. Variantai standumo ir slopinimo schemai sudaryti 

Varianto Nr. 

Užduoties schemos Nr. 

I II III IV V 

1 1 2 3 4 5 

2 1 5 3 4 2 

3 1 2 5 4 3 

4 1 2 3 5 4 

5 5 2 3 4 1 

6 5 1 3 4 2 

7 5 2 1 4 3 

8 5 2 3 1 4 

9 5 1 2 3 4 

10 5 1 3 2 4 

11 5 1 3 4 2 

12 5 1 2 4 3 

13 5 1 4 2 3 

14 1 5 3 2 4 

15 1 5 3 4 2 

16 1 5 2 4 3 

17 1 2 5 3 4 

18 1 3 5 2 4 

19 2 1 5 3 4 

20 2 3 5 1 4 

21 2 4 5 1 3 

22 2 4 5 3 1 

23 2 3 5 4 1 

24 3 2 5 1 4 

25 3 1 5 2 4 

26 3 2 1 5 4 

27 3 2 1 4 5 

28 3 1 2 5 4 

46

5 lentelės pabaiga 

29 3 2 4 1 5 

30 3 2 4 5 1 

31 3 5 2 1 4 

32 3 5 1 2 4 

33 3 5 2 4 1 

34 4 3 1 5 2 

35 4 3 1 2 5 

36 4 3 2 5 1 

37 4 3 2 1 5 

38 4 2 3 1 5 

39 4 2 1 3 5 

40 4 2 1 5 3 

41 4 5 1 2 3 

42 4 5 1 3 2 

43 4 5 2 3 1 

44 4 5 3 2 1 

45 4 5 3 1 2 

46 4 1 5 3 2 

47 4 1 5 2 3 

48 4 1 2 5 3 

49 4 1 2 3 5 

50 4 1 5 3 2 

Sprendimas 

Sudaroma schema, kuriosstandumo ir slopinimo elementai išsidėsto 

pagal tokia skaičių seką: 34125. Gauname tokią skaičiavimo 

schemą: 

47

Pasinaudoę 25 ir 27 lygtimis atliekame skaičiavimus sudarytai 

schemai. Kad butų paprasčiau skaičiuoti, atskiriame standumus ir slopinimus 

į atskiras schemas. 

Pirmiausia bus apskaičiuojamas standumas. 

Skaičiavimai pradedami nuo arčiausiai tarpusavyje sujungtų elementų: 

k = k + k ; 

45 4 5 

k = k + k ; 

23 2 3 

1 1 1 k + k 

= + = 

k k k kk 

67 6 7 

k 

67 

kk 6 7 

= . 

k + k 

6 7 

48 

6 7 

6 7 

;

Atlikus skaičiavimus supaprastėja schema: 

Gautai schemai atliekame tolesnius skaičiavimus: 

1 1 1 1 kk 1 23 + k45k23 + k45k1 

= + + = 

; 

k k k k kk k 

12345 45 1 23 

k 

12345 

1 23 45 

kk 1 23k45 

= 

. 

kk + k k + k k 

1 23 45 23 45 1 

Po atliktų skaičiavimų schema visai supaprastėjo ir liko apskaičiuoti 

tik paskutinį lygiagretų sujungimą: 

kk 1 23k45 

k1234567 = k12345 + k67 

= 

kk + k k + k k 

1 23 45 23 45 1 

kk 6 7 

+ 

k + k 

= kk 1 23 k 45( k 6 + k 7) + k 6 k 7( k 1 k 23 + k 45 k 23 + k 45 k 1) 

= 

( kk + k k + k k )( k + k ) 

1 23 45 23 45 

1 6 7 

6 7 

kk 1 23k45k6+ kk 1 23k45k7+ kkkk 6 7 1 23 + kkk 6 7 45k23 + k6kk 7 45k1 

= 

. 

kk k + k k k + k k k + k k k + k k k + k kk 

1 23 6 45 23 6 45 1 6 1 23 7 45 23 7 45 1 7 

Atlikę paskutinį skaičiavimą gauname ekvivalentinį sistemos 

standumą k E : 

= 

kk k k kk k k kkkk kkk k kkk k 

kE = 1 23 45 6+ 1 23 45 7+ 6 7 1 23 + 6 7 45 23 + 6 7 45 1= 

kk k + k k k + k k k + k k k + k k k + k kk 

1 23 6 45 23 6 45 1 6 1 23 7 45 23 7 45 1 7 

kk 1 6kk 

2 4 + kk 1 6kk 3 4+ kk 1 6kk 2 5+ kk 1 6kk 3 5+ k1kkk 7 2 4 + kk 1 7kk 3 4+ k1kkk 7 2 5+ kk 1 7kk 

3 4 + 

= 

kk k + k kk + kkk + kkk + k kk + kkk + k kk + k kk + kk k + 

1 6 2 1 6 3 2 4 6 3 4 6 2 5 6 3 5 6 4 1 6 5 1 6 1 7 2 

+ kkkk 6 7 1 2+ kkkk 6 7 1 3+ kkkk 2 4 6 7 + k3kkk 4 6 7 + k2kkk 

5 6 7 + kkkk 3 5 6 7 + kk 1 6kk 7 4 + kk 1 6kk 

7 5. 

+ kk k + kkk + kkk + k kk + k kk + kkk + k kk 

1 7 3 2 4 7 3 4 7 2 5 7 3 5 7 4 1 7 5 1 7 

49

Apskaičiavę sistemos ekvivalentinį standumą, toliau skaičiuosime 

ekvivalentinį slopinimą. 

Skaičiavimai pradedami nuo arčiausiai tarpusavyje sujungtų elementų: 

c = c + c ; 

45 4 5 

c = c + c ; 

12 1 2 

1 1 1 c + c 

= + = 

c67 c6 c7 

cc 6 7 

cc 6 7 

c67 

= . 

c + c 

6 7 

6 7 

Atlikus skaičiavimus supaprastėja schema: 

; 

Gautai schemai atliekame tolesnius skaičiavimus: 

1 1 1 1 c c + c c + c c 

= + + = 

c12345 c45 c3 c12 

c12c3c45 

c12c3c45 

c12345 

= 

. 

c c + c c + c c 

12 3 45 3 45 12 

12 3 45 3 45 12 

Po atliktų skaičiavimų schema visai supaprastėjo ir liko apskaičiuoti 

tik paskutinį lygiagretų sujungimą: 

; 

50

c12c3c45 

c1234567 = c12345 + c67 

= 

c c + c c + c c 

12 3 45 3 45 12 

cc 6 7 

+ 

c + c 

6 7 

= c 12 c 3 c 45( c 6 + c 7) + c 6 c 7( c 12 c 3+ c 45 c 3 + c 45 c 12) 

= 

( c12c3 + c45c3+ c45c12)( c6 + c7) 

c12c3c45c6+ c12c3c45c7+ c12c3cc 6 7 + c45c3cc 6 7 + c45c12c6c7 

= 

. 

c c c + c cc + c c c + c cc + c c c + c c c 

12 3 6 45 3 6 45 12 6 12 3 7 45 3 7 45 12 7 

Atlikę paskutinį skaičiavimą gauname ekvivalentinį sistemos slopinimą 

c E : 

= 

c c c c c c c c c c cc c c cc c c cc 

cE = + + + + 

c cc + c c c + c c c + c c c + c cc + c c c 

12 3 45 6 12 3 45 7 12 3 6 7 45 3 6 7 45 12 6 7 

12 3 6 45 3 6 45 12 6 12 3 7 45 3 7 45 12 7 

cc 1 4cc 

3 6+ cccc 2 4 3 6+ c1ccc 5 3 6+ c2ccc 5 3 6+ c1ccc 4 3 7+ cccc 2 4 3 7+ c1ccc 5 3 7+ c2c5cc 

3 7+ 

= 

ccc + c cc + ccc + c cc + cc c + c cc + ccc + c cc + ccc + 

1 3 6 2 3 6 4 3 6 5 3 6 1 4 6 1 5 6 2 4 6 2 5 6 1 3 7 

+ cccc 1 3 6 7+ cccc 2 3 6 7+ cccc 4 3 6 7+ cccc 5 3 6 7 + cc 1 4cc 

6 7+ cccc 2 4 6 7+ c1ccc 5 6 7+ 

c2ccc 

5 6 7 

. 

+ ccc + c cc + ccc + c cc + c cc + ccc + ccc 

2 3 7 4 3 7 5 3 7 1 4 7 2 5 7 1 5 7 2 4 7 

33. Uždavinys. 34 paveiksle pateiktai schemai užrašyti dinaminio 

modelio Lagranžo antro laipsnio diferencialines judėjimo lygtis (daugiau 

schemų skaičiavimams pateikiama E priede). 

= 

35 pav. Dinaminio modelio schema 

51

Sprendimas 

Lagranžo antro laipsnio diferencialinė lygtis užrašoma tokia forma 

(83): 

d ⎛ ∂T 

⎞ T 

⎜ 

F 

dt ⎝ ∂q 

⎠ 

⎟ − ∂ ∂ q + ∂ Φ 

∂ q + ∂ Π 

∂ q 

= { } , 

čia T – sistemos kinetinė energija, F – sistemos slopinimo energija, 

P – sistemos potencinė energija, F – apibendrintų jėgų vektorius, 

q, q 

, q– atitinkamai apibendrintas kūno pagreitis, greitis ir poslinkis. 

Lagranžo antro laipsnio lygtis sudaroma taip: 

1. Sprendžiamajai schemai užrašoma sistemos kinetinė energija (84). 

1 1 1 1 1 1 1 

T = m1q1 2 + m2q2 2 + m3q3 2 + I1ϕ 2 + mq 44 2 + mq 55 2 + m6q6 2 1 

+ m7q7 2 . 

2 2 2 2 2 2 2 2 

1.1. Skaičiuojama kinetinės energijos išvestinė kiekvienam kūnui 

pagal apibendrintus kūnų greičius q , q , q , q , q , q , q ,ϕ : 

1 2 3 4 5 6 7 

d ⎛ ∂T 

⎞ 

⎜ ⎟ = mq 11+ mq 22 + mq 33 + I1 + m4q4 + m5q5 

+ m q 

dt ⎝ ∂q 

i ⎠ 

+ . 

ϕ 6 6 m7q7 

1.2. Skaičiuojama kinetinės energijos dalinė išvestinė pagal apibendrintą 

poslinkį q. Kadangi sistemoje nėra poslinkio, todėl visos 

išvestinės bus lygios nuliui. 

∂T 

∂ q 

= 0. 

2. Sprendžiamajai schemai užrašoma sistemos disipatyvinės 

energijos (88): 

1 

2 

Φ 1 = c 1 ( q 1 − z 1 () t ) ; 

2 

2 

Φ 2 = 1 c 2 ( q 3 −q 1 − ϕ a 1 ) ; 

2 

1 

2 

Φ 3 = c 3 ( q 2 − z 2 () t ) ; 

2 

2 

Φ 5 = 1 c 5 ( q 4 − q 3 + ϕ a 3 ) ; 

2 

52

1 

= ( − ) ; 

2 

= 1 c ( q −q − ϕ a ) ; 

2 

1 

= c ( q −q ) . 

2 

2 

Φ 6 c 6 q 5 q 4 

Φ 7 7 6 3 4 

2 

Φ 8 8 7 6 

2 

2.1. Skaičiuojama disipatyvinės energijos dalinės išvestinės pagal 

apibendrintus greičius q1 , q2, q3, q4, q5, q6, q 7,ϕ : 

∂Φ 

= c1( q 1− z 1() 

t )−c2( q3 −q1− 

ϕ a1 

); 

∂q 

1 

∂Φ 

= c3( q 2 − z 2() 

t )−c4( q3 − q2 + ϕ a2 

); 

∂q 

2 

∂Φ 

= c2( q3 −q1− 

ϕ a1)+ c4( q3 − q2 + ϕ a2)−c5( q4 − q3 + ϕ a3) 

; 

∂q 

3 

∂Φ 

= c5( q4 − q3 + ϕ a3)−c6( q5 −q4 

); 

∂q 

4 

∂Φ 

= c6( q5 −q4 ) 

∂q 

; 

5 

∂Φ 

= c7( q6 −q3 − ϕ a4)−c8( q7 −q6 

); 

∂q 

6 

∂Φ 

= c8( q7 −q6 ) 

∂q 

; 

7 

∂Φ 

∂ =− ac ( − − )+ ( 1 2 q3 q1 ϕ a1 a2c4 q3 

− q2 + ϕ a2 )+ ac 3 5( q4 − q3 + ϕ 

a3 

)− 

ϕ 

( ) 

−ac q −q − ϕ a . 

4 7 6 3 4 

3. Sprendžiamajai schemai užrašoma sistemos potencinės energijos 

(90): 

1 

2 

Π 1 = k 1 ( q 1 − z 1 () t ) ; 

2 

2 

Π 2 = 1 k 2 ( q 3 −q 1 − ϕ a 1 ) ; 

2 

53

1 

= k ( q − z () t ) ; 

2 

= 1 k ( q − q + ϕ a ) ; 

2 

= 1 k ( q − q + ϕ a ) ; 

2 

1 

= k ( q −q ) ; 

2 

= 1 k ( q −q − ϕ a ) ; 

2 

1 

= k ( q −q ) . 

2 

Π 3 3 2 2 

2 

Π 4 4 3 2 2 

2 

Π 5 5 4 3 3 

2 

Π 6 6 5 4 

2 

Π 7 7 6 3 4 

2 

Π 8 8 7 6 

2 

3.1. Skaičiuojama potencinės energijos dalinės išvestinės pagal 

apibendrintus poslinkius q1 , q2, q3, q4, q5, q6, q7 

,ϕ (91): 

∂Π 

= k1( q1− z1() 

t )−k2( q3 −q1− 

ϕa1 

) 

∂q1 

∂Π 

= k3( q2 − z2() 

t )−k4( q3 − q2 + ϕa2 

) 

∂q2 

∂Π 

= k ( q −q − ϕa )+ k ( q − q + ϕa )−k q − q + ϕa 

∂q 

3 

54 

( ) 

2 3 1 1 4 3 2 2 5 4 3 3 

∂Π 

= k ( q − q + ϕa )−k q −q 

∂q 

4 

( ) 

5 4 3 3 6 5 4 

∂Π 

= k6( q5 −q4 

) 

∂q5 

∂Π 

= k ( q −q − ϕa )−k q −q 

∂q 

6 

4 7 6 3 4 

( ) 

7 6 3 4 8 7 6 

∂Π 

= k8( q7 −q6 

) 

∂q7 

∂Π 

=−ak 1 2( q3 −q1−ϕa1)+ a2k4( q3 − q2 + ϕa2)+ ak 3 5( q4 − q3 + ϕa3 

)− 

∂ϕ 

−ak 

( q −q −ϕa 

)

4. Apskaičiuotos energijų dalinės išvestinės įstatomos į antro 

laipsnio Lagranžo lygtį (83). Kadangi pateiktoje schemoje turime aštuonis 

( q1 , q2, q3, q4, q5, q6, q7 

,ϕ ) poslinkius, tai ir turėsime iš viso aštuonias 

lygtis: 

mq 11+ c1( q 1− z 1() 

t )−c2( q3 −q1− 

ϕ 

a1)+ k1( q1− z1() 

t )−k2( q3 

−q1− 

ϕa1)= 

0 

mq 22 + c3( q 2 − z 2() 

t )−c4( q3 − q2 + ϕ 

a2)+ k3( q2 − z2() 

t )− 

−k4( q3 

−q2 + ϕa2)= 

0 

mq 33 + c2( q3 −q1− 

ϕ a1)+ c4( q3 − q2 + ϕ a2)−c5( q4 − q3 + ϕ 

a3)+ 

+ k ( q −q − ϕa )+ k ( q − q + ϕa )−k ( q − q + ϕa 

)= 

2 3 1 1 4 3 2 2 5 4 3 3 0 

I1ϕ +−a1c2( q3 −q1−ϕ a1)+ ac 2 4( q3 − q2 + ϕ a2)+ a3c5( q4 − q3 

+ϕ 

a3 

)− 

−ac 4 7( q6 −q3 − ϕ a4)−a1k2( q3 −q1− 

ϕa1)+ ak 2 4( q3 − q2 + ϕa2 

) + 

+ ak ( q − q + ϕa )−a k ( q −q − ϕa 

)= 

3 5 4 3 3 4 7 6 3 4 0 

mq + c ( q − q + ϕ a )−c ( q −q 

)+ k ( q − q + ϕ a )−k ( q −q 

) = 0 

4 4 5 4 3 3 6 5 4 5 4 3 3 6 5 4 

mq + c ( q −q 

)+ k ( q −q 

)= 

5 5 6 5 4 6 5 4 0 

mq + c ( q −q − ϕ a )−c ( q −q 

)+ k ( q −q − ϕ a )−k ( q −q 

) = 0 

6 6 7 6 3 4 8 7 6 7 6 3 4 8 7 6 

mq + c ( q −q 

)+ k ( q −q 

)= . 

7 7 8 7 6 8 7 6 0 

5. Užrašytas lygtis pertvarkome į dešinę lygybės pusę perkeldami 

žadinimo funkciją ir priskirdami ją prie išorinių į sistemą veikiančių 

jėgų. 

mq + cq − cq + cq + c ϕ a + kq − kq + kq+ k ϕa = cz 

()+ t k z () t 

1 1 1 1 2 3 2 1 2 1 1 1 2 3 2 1 2 1 1 1 

mq + cq − cq + cq − c ϕ a + kq − kq + kq − k ϕa = cz 

t k z t 

2 2 3 2 4 3 4 2 4 2 3 2 4 3 4 2 4 2 3 2 

1 1 

()+ () 

mq 33 + cq 23 −cq 21− c2ϕ a1+ cq 43 − cq 42 + c4ϕ a2 − cq 54 + cq 53 

− c5ϕ 

a3 + k2q3 −k2q1− 

− k ϕa + kq − kq + k ϕa − kq + kq − k ϕa 

= 

2 1 4 3 4 2 4 2 5 4 5 3 5 3 0 

3 2 

55

I ϕ − a cq + ac q + a c ϕ + a cq − acq + a c ϕ 

+ a c q − a cq + acϕ 

− 

1 1 2 3 1 2 1 1 2 2 2 4 3 2 4 2 2 2 4 3 5 

56 

4 3 5 3 3 2 5 

− acq + a cq + ac 

− ak q + a kq+ akϕ+ akq − a kq + akϕ+ 

4 7 6 4 7 3 4 2 7ϕ 1 2 3 1 2 1 1 2 2 2 4 3 2 4 2 2 2 4 

+ akq − a kq + akϕa −a k q + a kq + akϕ 

= 

3 5 4 3 5 3 3 5 3 4 7 

6 4 7 3 4 2 7 0 

mq 44 + cq 54 − cq 53 + c5ϕ a3 − cq 65 + cq 64 + kq 5 4 − kq 5 3 + k5ϕ a3 − kq 6 5 + kq = 

mq 55 + cq 65 − cq 64 + kq 6 5 − kq 6 4 = 0 

6 4 0 

mq 66 + cq 76 −cq 73 −c7ϕ a4 − cq 87 + cq 86 + kq 7 6 −kq 7 3 −k7ϕ a4 − kq 8 7 + kq 8 6 = 0 

mq 77 + cq 87 − cq 86 + kq 8 7 − kq 8 6 = 0 . 

6. Iš užrašytų lygčių sudarome vieną apibendrintą matricinės formos 

antro laipsnio Lagranžo lygtį: 

m1 

0 0 0 0 0 0 06q 

1 

 

 

 

 

0 m2 

0 0 0 0 0 0 

 

q 

2 

0 0 m 

 

 

2 

0 0 0 0 0 q 

3 

 

 

 

0 0 0 I 0 2 0 0 

 

1 

 

 

 

 

0 0 0 0 m 

 

4 0 0 0 q 

 

4 

 

 

0 0 0 0 0 m 

5 

0 0 q 

5 

 

 

0 0 0 0 0 0 m 

6 

0 q 

6 

 

 

 

 

0 0 0 0 0 0 0 m7 

 

q 

7 

c1 

c2 

0 

c2 

a1c 

2 

0 

 

 

0 c3 

c4 

c4 

a2c4 

0 

c2 

c4 

c2 

c4 

c5 

a1c 

2 a2c4 

a3c5 

c5 

 

2 2 2 2 

a1c 

2 a2c4 

a1c2 

a2c4 

a3c5 

a4c7 

a1 

c2 

a2c4 

a3c5 

a4c7 

a3c5 

 

0 0 

c5 

a3c5 

c5 

c6 

 

0 0 

0 

0 

c6 

 

 

0 0 

c7 

a4c7 

0 

 

0 0 

0 

0 

0 

k1 

k2 

0 

k2 

a1k 

2 

0 

 

 

0 k3 

k4 

k4 

a2k4 

0 

k2 

k4 

k2 

k4 

k5 

a1k 

2 a2k4 

a3k5 

k5 

 

2 2 2 2 

a1k 

2 a2k4 

a1k 

2 a2k4 

a3k5 

a4k7 

a1 

k2 

a2k4 

a3 

k5 

a4k7 

a3k5 

 

0 0 

k5 

a3k5 

k5 

k6 

 

0 0 

0 

0 

k6 

 

 

0 0 

k7 

a4k7 

0 

 

0 0 

0 

0 

0 

c1 

0 0 0 0 0 0 0z 

1( 

t) 

k1 

0 0 0 0 0 0 0z1( 

t) 

 

 

 

 

 

 

 

0 c3 

0 0 0 0 0 0 

 

z 

2( 

t) 

 

0 k3 

0 0 0 0 0 0 

 

z2( 

t) 

 

0 0 0 0 0 0 0 0z 

( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 

( ) 

3 t 

z3 

t 

 

 

 

 

 

0 0 0 0 0 0 0 0 

z 

4( 

t) 

0 0 0 0 0 0 0 0 

z4( 

t) 

 

 

 

 

 

 

0 0 0 0 0 0 0 0 

 

z 

5( 

t) 

0 0 0 0 0 0 0 0 

 

z5( 

t) 

 

0 0 0 0 0 0 0 0z 

( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 

( ) 

6 t 

z6 

t 

 

 

 

 

 

0 0 0 0 0 0 0 0 

 

z 

7( 

t) 

0 0 0 0 0 0 0 0 

 

z7( 

t) 

 

 

 

 

 

 

0 0 0 0 0 0 0 0z 

8( 

t) 

0 0 0 0 0 0 0 0z8( 

t) 

 

0 0 0 q 

1 

0 0 0 

 

 

 

q 

2 

0 0 0 q 

3 

 

 

 

0 a4c 

0 

 

7 

 

c 

 

6 

0 0 q 

4 

 

c 

 

6 

0 0 q 

5 

 

0 c 

7 c8 

c8 

q 

6 

 

0 c 

 

8 c8 

q 

7 

0 0 0 q1 

 

0 0 0 

 

 

 

q2 

 

0 0 0 q 

 

3 

 

 

0 a4k7 

0 

 

 

k 0 0 

6 

 

q4 

 

k 0 0 

 

6 

q5 

 

0 k7 

k8 

k8q6 

 

0 k 

 

8 k8 

q7

Literatūra 

Augustaitis, K. V. 2000. Mechaninių virpesių pagrindai. Vilnius: Žiburio leidykla. 

Jazar, R. N. 2008. Vehicle Dynamics: Theory and Aplications. Springer 

Science +Bisns Media, LLC. 

Michnevič, E.; Syrus, L.; Belevičius, R. 2003. Teorinė mechanika. Statika. 

Vilnius: Technika. 

Ostaševičius, V. 1998. Mechaninių konstrukcijų dinamika ir modeliavimas. 

Kaunas: Technologija. 

Steel Wire for Mechanical Springs Part 1: Patented Cold Drawn Unalloyed 

Spring Steel Wire DIN EN 10270-1. 2001. 

Steel Wire for Mechanical Springs Part 2: Oil Hardened and Tempered Spring 

Steel Wire DIN EN 10270-2. 2001. 

Steel Wire for Mechanical Springs Part 3: Stainless Spring Steel Wire DIN 

EN 10270-3. 2001. 

Борисоич, Б. И. 1980. Конструирование и расчет тракторов. Ленинград: 

Машиностроение. 

57

Priedai 

A priedas. Rungės ir Kuto metodo algoritmas 

Priede pateiktas Maple programine kalba užrašytas skaitinio metodo 

algoritmas. 

Užrašius pateiktą procedūrą, atliekant skaičiavimus, yra rašomas 

toks kreipinys: 

>runkut45(N,H,T,X); 

čia: 

runkut45 – sučia: tos procedūros vardas; 

N – lygčių skaičius; 

H – integravimo žingsnis; 

T – laikas; 

X– kintamojo reikšmė. 

Kreipinys rašomas po programos tekste po procedūros. 

Procedūros užrašymo tvarka 

>runkut45:=proc(N,H,T,X) 

> 

>local TE, i1, i, j, k, Y, YR, YF, A; 

> 

>A[1]:=0.5*H; 

>A[2]:=A[1]; 

>A[3]:=H; 

>A[4]:=H; 

>A[5]:=A[1]; 

> 

>TE:=T; 

> 

58

for i1 to N do 

> Y[i1]:=X[i1]; 

> YF[i1]:=X[i1]; 

>end do; 

> 

>for i to 4 do 

> 

>lygtys(TE,Y,YR,N); 

> TE:=T+A[i]; 

> 

> for k to N do 

> Y[k] :=X[k]+A[i]*YR[k]; 

> YF[k]:=YF[k]+A[i+1]*YR[k]/3.0; 

> end do; 

> 

>end do; 

> 

>for j to N do 

> X[j]:=YF[j]: 

>end do: 

> 

>end proc; 

Skaičiavimo algoritmo procedūra visada į darbinį dokumentą dedama 

prieš kreipinį. 

59

B priedas. Lygčių užrašymo paprogramė 

Priede pateikta Maple programine kalba užrašyta procedūra, kurioje 

surašomos sistemą aprašančios lygtys. 

Užrašius pateiktą procedūrą, atliekant skaičiavimus, yra rašomas 

toks kreipinys: 

lygtys (TE,Y,YR,N) 

čia: 

TE – laikas; 

Y – kintamasis parametras; 

YR – kintamojo parametro pirmoji išvestinė pagal laiką; 

N – lygčių skaičius. 

Kreipinys rašomas programos tekste po procedūros. 

Procedūros užrašymo tvarka 

>lygtys:=proc(TE,Y,YR,N) 

> 

> YR[1]:= Y[2]; 

> 

> YR[2]:= (-h[1]*(Y[2]-dz[1])-k[1]*(Y[1]-z[1])-m[1]*g)/m[1]; 

> 

> end proc; 

Procedūra lygtys į darbinį dokumentą visada dedama prieš kreipinį. 

60

C priedas. Maple programine kalba parašytos programos 

pavyzdys 

Komanda, išvalanti laikiną atmintį. Ją patartina naudoti naujo 

lango pirmoje eilutėje. 

>restart: 

Procedūra, kurioje aprašytas Rungės ir Kuto skaitinio metodo algoritmas 

> runkut45:=proc(N,H,T,X) 

> 

> local TE, i1, i, j, k, Y, YR, YF, A; 

> 

> A[1]:=0.5*H; 

> A[2]:=A[1]; 

> A[3]:=H; 

> A[4]:=H; 

> A[5]:=A[1]; 

> 

> TE:=T; 

> 

> for i1 to N do 

> Y[i1]:=X[i1]; 

> YF[i1]:=X[i1]; 

> end do; 

> 

> for i to 4 do 

> 

>lygtys(TE,Y,YR,N); 

> TE:=T+A[i]; 

> 

> for k to N do 

> Y[k] :=X[k]+A[i]*YR[k]; 

> YF[k]:=YF[k]+A[i+1]*YR[k]/3.0; 

> end do; 

61

> end do; 

> 

> for j to N do 

> X[j]:=YF[j]: #YF[j]:=NULL: Y[j]:=NULL: 

> end do: 

> 

> end proc: 

Procedūra, į kurią surašytos dinaminę sistemą aprašančios lygtys: 

>lygtys:=proc(TE,Y,YR,N) 

> 

> YR[1]:= Y[2]; 

> 

> YR[2]:= (-h[1]*(Y[2]-dz[1])-k[1]*(Y[1]-z[1])-m[1]*g)/m[1]; 

> 

> end proc: 

Žadinimo funkcija 

> z[1]:=hc[1]*cos(Omega[1]*T)+hs[1]*sin(Omega[1]*T); 

dz[1]:=diff(z[1],T); 

Išorinio harmoninio žadinimo dažnis 

> Omega[1]:=evalf(2*Pi*v[1]/Lx); 

Sistemos parametrai 

> m[1]:=300;h[1]:=927.4;k[1]:=18548; g:=9.81; hc[1]:=0.01: 

hs[1]:=0.01: v[1]:=9.0: Lx:=50.0: 

Sistemos pradiniai parametrai, reikalingi spręsti uždavinį skaitiniu 

metodu. 

Lygčių (kintamųjų) skaičius 

> N:=2; 

Integravimo žingsnis 

62

H:=1.0e-4; 

Skaičiavimo laikas 

Tmax:=15.0. 

Pradinės reikšmės priskyrimo kintamajam algoritmas 

>for i to N do X[i]:= 0.0: end do: 

Komanda algebrinei lygčiai arba lygčių sistemai nubraižyti, kai 

kintamasis yra laikas kintantis nuo 0 iki 15 s. 

> plot([dz[1]],T=0..15,color=[blue,red],thickness=3,labe 

ls = [“laikas, s”, “greitis, m/s”], labeldirections = [“horizontal”, 

“vertical”], labelfont = [“TIMES”, “ROMAN”, 17],axesfont = 

[“TIMES”, “ROMAN”, 15]); 

Skaitliuko sukūrimas. Naudojamas, kai norime išsaugoti ne visas, 

o tik tam tikras apskaičiuotas kintamojo reikšmes. 

> isk:=0: 

Rezultatų masyvų sukūrimas. Naudojami apskaičiuotoms kintamoms 

reikšmėms talpinti. Šie masyvai vėliau gali būti atspausdinti 

dgrafikų pavidalu. 

for i to N do G[i]:=NULL: end do: 

Pagrindinis ciklas, kuriame kreipiamasi į lygčių ir skaitinio metodo 

procedūras (lygtys, runkur45) 

> for T from 0 by H to Tmax do 

>nstep:=Tmax/H: 

63

unkut45(N,H,T,X): 

> if (isk=100) then 

> G[1]:=G[1],[T,X[1]]: 

> G[2]:=G[2],[T,X[2]]: 

> 

>printf(“time= %g, X[1]= %e, X[2]= %e\n”, T, X[1], X[2] ); 

>isk:=0: 

> else 

>isk:=isk+1: 

> end if: 

> end do: 

Apskaičiuotų rezultatų spausdinimas. Spausdinami prieš tai sukurti 

masyvai G[1] ir G[2].>plot([[G[1]],[G[2]]],color=[red,blue],th 

ickness=3,labels = [“laikas, s”, “greitis, poslinkis”], labeldirections 

= [“horizontal”, “vertical”], labelfont = [“TIMES”, “ROMAN”, 

17],axesfont = [“TIMES”, “ROMAN”, 15]); 

64

D priedas. Maple programinėje kalboje naudojami pagrindiniai 

operatoriai 

:= – priskyrimo operatorius 

Vector(n) – masyvas vektorius su n elementų 

Matrix(n,m)– masyvas matrica su n eilučių ir m stulpelių 

NULL – operatorius, kuriuo kintamajam arba masyvui gali būti 

priskirta reikšmė nieko. 

A[ ] – masyvo elementas 

proc() – procedūra 

end proc – procedūros užbaigimo operatorius 

for i to n do ką atlikti end do – ciklo operatorius 

end do – ciklo uždarymo operatorius 

if (i>a) then ką atlikti end if – sąlygos tikrinimo operatorius 

end if – ciklo uždarymo operatorius; 

plot() – grafikų spausdinimo operatorius 

print() – kintamųjų arba masyvų išvedimo nurodytu formatu 

operatorius 

65

E priedas. Skaičiavimo schemos namų darbams 

1 schema 

66

2 schema 

3 schema 

67

4 schema 

5 schema 

68

6 schema 

7 schema 

69

8 schema 

9 schema 

70

10 schema 

11 schema 

71

12 schema 

13 schema 

72

14 schema 

15 schema 

73

16 schema 

17 schema 

74

18 schema 

19 schema 

75

20 schema 

21 schema 

76

22 schema 

23 schema 

77

24 schema 

25 schema 

78

26 schema 

27 schema 

79

28 schema 

29 schema 

80

30 schema 

31 schema 

81

32 schema 

33 schema 

82

34 schema 

35 schema 

83

36 schema 

37 schema 

84

38 schema 

85

F priedas. x i , y i – i-osios masės koordinatės, 

nuo koordinačių ašiųX ir Y 

Eil. C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 

Nr. x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 4 y 4 x 5 y 5 

1. 1,94 1,05 0,77 0,76 1,53 0,51 2,51 0,51 3,86 0,77 

2. 1,93 1,25 0,86 0,66 1,78 0,56 2,93 0,56 4,14 0,86 

3. 2,09 1,18 0,87 0,63 1,77 0,64 2,87 0,64 3,65 0,87 

4. 1,95 1,24 0,78 0,79 1,63 0,58 3,01 0,58 3,81 0,78 

5. 2,13 0,97 0,79 0,58 1,73 0,62 2,63 0,62 3,65 0,79 

6. 1,85 1,25 0,75 0,66 1,56 0,59 2,96 0,59 3,47 0,75 

7. 1,92 1,13 0,74 0,72 1,66 0,58 2,49 0,58 3,79 0,74 

8. 1,90 1,31 0,77 0,71 1,90 0,57 2,37 0,57 3,79 0,77 

9. 2,07 1,22 0,84 0,62 1,56 0,54 2,89 0,54 3,69 0,84 

10. 1,85 1,32 0,82 0,68 1,74 0,62 2,85 0,62 3,72 0,82 

11. 2,04 1,22 0,81 0,71 1,72 0,61 2,70 0,61 3,48 0,81 

12. 1,98 1,02 0,77 0,74 1,69 0,67 2,80 0,67 3,62 0,77 

13. 2,00 1,11 0,77 0,75 1,52 0,57 2,81 0,57 3,86 0,77 

14. 1,99 1,04 0,78 0,71 1,83 0,57 2,59 0,57 3,41 0,78 

15. 1,95 1,15 0,76 0,69 1,63 0,65 2,81 0,65 3,54 0,76 

16. 2,12 1,27 0,78 0,74 1,65 0,56 2,65 0,56 3,61 0,78 

17. 2,08 1,11 0,83 0,67 1,74 0,54 3,13 0,54 3,76 0,83 

18. 1,86 1,16 0,79 0,73 1,51 0,63 2,61 0,63 3,91 0,79 

19. 1,96 1,11 0,87 0,66 1,66 0,56 2,91 0,56 3,99 0,87 

20. 2,02 1,12 0,80 0,69 1,61 0,60 2,67 0,60 3,82 0,80 

21. 2,05 1,24 0,78 0,65 1,80 0,62 2,73 0,62 3,46 0,78 

22. 1,90 1,13 0,82 0,76 1,75 0,67 2,72 0,67 3,76 0,82 

23. 1,80 1,26 0,77 0,71 1,83 0,62 2,20 0,62 3,38 0,77 

24. 2,15 1,23 0,80 0,75 1,60 0,53 2,72 0,53 3,74 0,80 

25. 2,04 1,27 0,86 0,74 1,76 0,63 2,82 0,63 3,52 0,86 

26. 1,92 1,31 0,74 0,68 1,75 0,61 2,62 0,61 3,52 0,74 

27. 1,95 1,28 0,83 0,69 1,68 0,60 2,77 0,60 3,61 0,83 

28. 1,95 1,18 0,76 0,71 1,57 0,64 2,43 0,64 3,59 0,76 

29. 1,98 1,09 0,82 0,70 1,84 0,59 2,61 0,59 3,67 0,82 

30. 1,87 1,27 0,77 0,71 1,91 0,63 2,99 0,63 3,58 0,77 

86

F priedo lentelės pabaiga 

31. 2,00 1,18 0,79 0,82 1,80 0,60 2,58 0,60 3,74 0,79 

32. 2,13 1,05 0,81 0,61 1,61 0,60 2,51 0,60 3,63 0,81 

33. 1,89 1,15 0,75 0,70 1,81 0,46 2,87 0,46 3,41 0,75 

34. 1,87 1,17 0,79 0,66 1,59 0,56 2,89 0,56 3,69 0,79 

35. 2,06 1,18 0,80 0,69 1,71 0,56 2,62 0,56 3,67 0,80 

36. 2,10 1,20 0,80 0,61 1,53 0,56 2,67 0,56 3,48 0,80 

37. 1,98 1,13 0,85 0,76 1,61 0,58 2,63 0,58 4,08 0,85 

38. 2,09 0,94 0,87 0,75 1,44 0,59 2,39 0,59 3,67 0,87 

39. 2,20 1,12 0,78 0,70 1,45 0,57 2,50 0,57 3,66 0,78 

40. 1,83 1,14 0,78 0,56 1,65 0,68 3,11 0,68 3,64 0,78 

41. 2,00 1,13 0,79 0,66 1,60 0,59 2,70 0,59 3,68 0,79 

42. 2,05 1,31 0,78 0,69 1,69 0,63 2,54 0,63 4,09 0,78 

43. 1,90 1,16 0,73 0,67 1,89 0,57 2,39 0,57 4,03 0,73 

44. 1,98 1,12 0,75 0,67 1,77 0,61 2,51 0,61 3,79 0,75 

45. 1,85 1,19 0,92 0,80 1,56 0,61 2,79 0,61 3,97 0,92 

46. 2,05 1,15 0,72 0,64 1,68 0,66 2,70 0,66 3,76 0,72 

47. 1,81 1,11 0,81 0,78 1,72 0,59 2,90 0,59 3,52 0,81 

48. 2,03 1,20 0,70 0,65 1,76 0,59 2,82 0,59 3,46 0,70 

49. 2,00 1,21 0,81 0,76 1,55 0,65 2,83 0,65 3,83 0,81 

50. 2,07 1,18 0,78 0,72 1,75 0,57 2,64 0,57 3,46 0,78 

87

Eil. 

Nr. 

G priedas. m i – i-osios masės, I i – i-osios masės ašinis 

inercijos momentas, I ixy – i-osios masės išcentrinis 

inercijos momentas 

m 1 I 1 I 1xy m 2 I 2 I 2xy m 3 I 3 I 3xy m 4 I 4 I 4xy m 5 I 5 I 5xy 

1. 525 295 0,3 389 70 0,4 181 15 0,14 181 15 0,9 80 46 0,3 

2. 443 122 0 323 58 0,6 208 39 0,21 208 39 0,9 93 14 0 

3. 663 253 0,3 307 54 0,5 136 37 0,17 136 37 0,6 110 32 0,3 

4. 710 142 0 313 58 0,5 220 45 0,20 220 45 0,9 82 43 0 

5. 860 319 0,3 336 57 0,3 223 34 0,19 223 34 0,7 101 24 0,3 

6. 839 392 0 248 50 0,4 167 32 0,21 167 32 0,9 99 33 0 

7. 342 365 0 232 62 0,4 112 32 0,10 112 32 0,8 66 39 0 

8. 378 401 0 295 48 0,5 157 41 0,22 157 41 0,8 106 42 0 

9. 554 249 0 298 57 0,6 213 39 0,19 213 39 0,9 70 31 0 

10. 345 293 0,5 255 56 0,5 191 24 0,07 191 24 0,8 102 13 0,5 

11. 454 218 0 316 42 0,4 179 24 0,20 179 24 0,9 122 27 0 

12. 569 253 0,8 342 70 0,6 155 37 0,12 155 37 0,6 76 25 0,8 

13. 485 325 0 210 58 0,7 124 22 0,18 124 22 0,7 104 34 0 

14. 378 276 0,0 270 61 0,6 208 44 0,23 208 44 0,8 85 17 0,0 

15. 701 19 0 331 50 0,6 263 37 0,18 263 37 0,6 91 30 0 

16. 409 300 0,3 399 74 0,5 155 23 0,13 155 23 0,6 123 25 0,3 

17. 727 220 0 281 35 0,6 134 38 0,18 134 38 0,7 137 31 0 

18. 771 133 0 338 67 0,6 120 20 0,15 120 20 0,8 71 24 0 

19. 507 364 0 227 69 0,5 156 27 0,05 156 27 0,8 83 11 0 

20. 639 481 0,1 293 50 0,5 143 35 0,15 143 35 0,9 103 33 0,1 

21. 660 227 0,1 277 63 0,6 220 14 0,15 220 14 0,8 131 12 0,1 

22. 475 537 0 283 57 0,5 156 39 0,22 156 39 0,8 122 11 0 

23. 715 432 0,1 219 58 0,5 165 29 0,11 165 29 1,0 92 14 0,1 

24. 588 278 0,7 326 67 0,4 96 49 0,00 96 49 0,8 99 43 0,7 

25. 552 203 0,3 346 28 0,5 167 38 0,23 167 38 0,7 78 24 0,3 

26. 283 201 0,3 374 82 0,5 156 30 0,34 156 30 0,7 76 43 0,3 

27. 187 423 1,0 339 66 0,4 180 52 0,20 180 52 0,7 94 42 1,0 

28. 664 311 0,4 176 73 0,5 99 27 0,18 99 27 0,8 103 25 0,4 

29. 768 349 0 220 50 0,5 161 48 0,20 161 48 0,7 111 45 0 

30. 921 554 0 331 63 0,6 214 20 0,15 214 20 0,8 94 17 0 

88

G priedo lentelės pabaiga 

31. 538 151 0,1 251 65 0,5 107 29 0,02 107 29 0,8 104 35 0,1 

32. 868 252 0,1 323 62 0,6 165 42 0,16 165 42 0,7 102 27 0,1 

33. 557 220 0,0 260 62 0,5 204 23 0,12 204 23 0,8 104 27 0,0 

34. 460 303 0,3 336 53 0,5 151 42 0,26 151 42 0,8 91 19 0,3 

35. 339 340 0,4 312 81 0,4 197 34 0,09 197 34 0,7 112 22 0,4 

36. 707 262 0 375 45 0,4 134 21 0,23 134 21 0,8 85 39 0 

37. 580 343 0,1 299 74 0,4 139 36 0,16 139 36 0,9 106 16 0,1 

38. 357 322 0,5 273 74 0,5 169 24 0,26 169 24 0,8 121 29 0,5 

39. 410 328 0 259 64 0,6 218 45 0,30 218 45 0,8 108 10 0 

40. 1043 302 0 307 43 0,5 158 41 0,16 158 41 0,8 102 44 0 

41. 245 212 0 321 55 0,5 146 26 0,14 146 26 0,9 86 30 0 

42. 170 402 0 277 58 0,5 179 32 0,04 179 32 0,8 57 36 0 

43. 150 313 0 256 43 0,6 163 43 0,17 163 43 0,6 114 25 0 

44. 735 289 0 288 51 0,5 207 38 0,22 207 38 0,9 133 35 0 

45. 495 291 0 297 75 0,4 216 40 0,09 216 40 0,9 105 15 0 

46. 637 332 0,1 181 57 0,5 180 29 0,18 180 29 0,7 94 28 0,1 

47. 724 344 0 343 47 0,6 215 39 0,23 215 39 1,0 143 32 0 

48. 685 442 0 296 52 0,5 93 43 0,08 93 43 0,9 106 35 0 

49. 1098 366 0,4 259 66 0,6 120 41 0,24 120 41 0,9 103 32 0,4 

50. 736 109 0,1 247 59 0,5 149 29 0,24 149 29 0,9 105 31 0,1 

89

H priedas. Spyruoklinių plienų markių atitikmenys pagal 

skirtingus standartus 

Table B.1 – Cross references of steel grade designations 

Designation in EN 

10270-3 

According 

to EN 

10027-1 

X10CrNi 

18-8 

X5CrNiMo 

17-12-2 

X7CrNiAl 

17-7 

According 

to EN 

10027-2 

1,4310 X 12 CrNi 

17-7 

Corresponding former designation 

DIN 17224: 1982 

1,4401 X 5 CrNiMo 

18-10 

1,4568 X 7 CrNiAl 

17-7 

AFNOR 

1,4310 Z 12 CN 

18-09 

1,4401 Z 7 CND 

17-11-02 

1,4568 Z 9 CNA 

17-07 

BS 

2056: 

1991 

302S26 

316S42 

301S81 

MMS 

900 

ISOdesignation 

SSsteel 

2331 

SSsteel 

2347 

SSsteel 

2388 

ISO 6931-1: 

1994 

Number 1 

X 9 CrNi 

18-8 

Number 2 

X 5 CrNiMo 

17-12-2 

Number 3 

X 7 CrNiAl 

17-7 

90

transporto priemoniÃ…Â³ dinamika - Vilniaus Gedimino technikos ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?