Brauno ir stochastiniai procesai
Brauno ir stochastiniai procesai
Brauno ir stochastiniai procesai
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Brauno</strong> judėjimas<br />
• Įvadas<br />
• Emp<strong>ir</strong>inė<br />
• Lanževeno<br />
<strong>Brauno</strong> judėjimo teorija<br />
<strong>Brauno</strong> judėjimas, kaip stochastinis procesas<br />
Elementari <strong>Brauno</strong> judėjimo teorija<br />
Markovo <strong>procesai</strong><br />
<strong>ir</strong> <strong>stochastiniai</strong> <strong>procesai</strong><br />
<strong>Brauno</strong> judėjimas, atsitiktinis klaidžiojimas <strong>ir</strong> centinė<br />
(Langevin) lygtis<br />
Deterministinė<br />
<strong>ir</strong> stochastinė<br />
Tiesioginis Lanževeno<br />
judėjimo lygtys<br />
lygties sprendimas<br />
Spektrinis tankis, Vinerio-Khintčeno<br />
Ergodiškumas<br />
Lanževeno<br />
ribinė<br />
teorema<br />
(Wiener-Khintchine) teorema<br />
lygties sprendimas Furjė transformacijos metodu
<strong>Brauno</strong> judėjimas<br />
• Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis<br />
• Pagrindinė<br />
Gausinis procesas<br />
Fokerio-Planko lygtis<br />
Didelės trinties riba<br />
Trumpalaikė<br />
kinetinė<br />
greičio relaksacija<br />
lygtis (Master<br />
<strong>ir</strong> <strong>stochastiniai</strong> <strong>procesai</strong><br />
equation)<br />
Pagrindinės kinetinės lygties išvedimas<br />
Stacionarus sprendinys <strong>ir</strong> detalusis balansas<br />
Pavyzdys: artėjimas prie pusiausvyros dviejų<br />
Pavyzdys: populiacijų<br />
Pavyzdys: cheminių<br />
kinetika<br />
reakcijų kinetika<br />
indų<br />
modelyje
Įvadas (I)<br />
Eksperimentinis <strong>Brauno</strong> dalelių judėjimo vaizdas Robert Brown (1773-1858)<br />
• 1827 m škotų botanikas Braunas mikroskopu tyrinėjo pam<strong>ir</strong>kytas į vandenį<br />
žiedadulkes <strong>ir</strong> pastebėjo jų netvarkingą judėjimą. Pradžioje jis manė, kad šis judėjimas<br />
yra gyvybės požymis. Norėdamas patikrinti šią hipotezę, jis atliko eilę eksperimentų su<br />
labai senom žiedadulkėm, žuvusioms prieš šimtmetį, <strong>ir</strong> labai nustebo, pamatęs, kad<br />
jos taip pat juda. Šiuos eksperimentus Braunas aiškino nepaprastu žiedadulkių ląstelių<br />
gyvingumu, ilgai išliekančiu po gėlės žuvimo.<br />
• Vėliau jis atliko tyrimus su mažom uolienos dalelėm <strong>ir</strong> priėjo išvados, kad judėjimo<br />
priežastis yra fizikinė, o ne biologinė. Tačiau kokia ta konkreti fizikinė priežastis jis<br />
paaiškinti nesugebėjo.
Įvadas (II)<br />
19 amžiaus pabaigoje dalis mokslininkų <strong>Brauno</strong> dalelės judėjimą aiškino mažų nematomų<br />
molekulių smūgiais. Tačiau kiekybinis šio reiškinio aprašymas nebuvo žinomas.<br />
<strong>Brauno</strong> judėjimo paaiškinimas
• 1905 m. A. Einšteinas<br />
paskelbė<br />
garsų<br />
straipsnį:<br />
A. Einstein „Über die von molekular - kinetischen Theorie<br />
der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden<br />
Flüssigkeiten suspendenten Teilchen,“<br />
Ann. Phys. (Leipzig), 14, 549 (1905),<br />
kuriame pasiūlė kiekybinę <strong>Brauno</strong> judėjimo teoriją (nors<br />
rašydamas šį straipsnį jis nežinojo <strong>Brauno</strong> eksperimentų).<br />
• Šios teorijos rėmuose buvo gautas sąryšis tarp makroskopiškai<br />
matuojamo dydžio – difuzijos koeficiento D –<strong>ir</strong><br />
mikroskopinių medžiagos parametrų:<br />
D<br />
<br />
N<br />
RT<br />
6<br />
A a<br />
Įvadas (III)<br />
Albert Einstein (1879-1955)<br />
R – dujų konstanta, T – temperatūra, – skysčio klampumas,<br />
a – <strong>Brauno</strong> dalelės spindulys.<br />
NA =6.02X1023<br />
–mol-1 Taigi pagal Einšteino teoriją, išmatavus difuzijos koeficientą, galima<br />
apskaičiuoti mikroskopinį medžiagos parametrą – Avagadro skaičių, t.y.<br />
nustatyti kiek yra molekulių 18 – oje gramų vandens.<br />
–<br />
Avagadro<br />
skaičius
• 1910 m. prancūzų<br />
mokslininkas J. Perrin<br />
straipsnyje:<br />
M. J. Perrin „Brownian movement and molecular reality,“<br />
(Tailor and Francis, London, 1910)<br />
aprašė eksperimentinius <strong>Brauno</strong> judėjimo tyrimus,<br />
paremtus Einšteino teorija.<br />
• Difuzijos koeficientą jis nustatė stebėdamas <strong>Brauno</strong> dalelės<br />
judėjimą <strong>ir</strong> skaičiuodamas vidutinį kvadratinį nuokrypį:<br />
x t x0<br />
2Dt<br />
2 <br />
t –<br />
x<br />
<strong>Brauno</strong> dalelės koordinatė<br />
Po Einšteino <strong>ir</strong> Perrino straipsnių molekulinė medžiagos teorija tapo<br />
visuotinai pripažintu mokslu, nors prieš tai buvo nemažai skeptikų.<br />
Įvadas (IV)<br />
Jean Perrin (1870-1942)<br />
laiko momentu<br />
Pritaikęs Einšteino sąryšį J. Perrin ganėtinai tiksliai apskaičiavo Avagadro skaičių.<br />
Laiške Einšteinui jis rašė: „Aš nesitikėjau, kad <strong>Brauno</strong> judėjimą galima t<strong>ir</strong>ti tokiu<br />
tikslumu“<br />
t
Emp<strong>ir</strong>inė<br />
<strong>Brauno</strong> judėjimo teorija (I)<br />
<strong>Brauno</strong> judėjimas, kaip stochastinis procesas<br />
• Tarkime, kad tam tikrą laiką 0
Emp<strong>ir</strong>inė <strong>Brauno</strong> judėjimo teorija (II)<br />
• Stochastiniai <strong>procesai</strong> lengviau suprantami, kai jie nagrinėjami diskretinio laiko<br />
skalėje: 0 t t t T<br />
- kintamojo Xt realizacija.<br />
n x t xt<br />
, ,<br />
xt<br />
t3 t2 t1 t<br />
2<br />
• Bendresnė<br />
Stochastinis procesas<br />
1<br />
n<br />
2<br />
–matė<br />
x<br />
tikimybė<br />
1<br />
, 2<br />
n<br />
• Stochastiniam procesui aprašyti apibrėžiamos<br />
tokios tikimybės:<br />
x, tdx<br />
Prx<br />
xt<br />
x dx<br />
W <br />
1<br />
Tai yra tikimybė, kad momentu t kintamojo Xt vertė bus intervale tarp x <strong>ir</strong> x+dx. Ši tikimybė<br />
nenusako vienareikšmiškai stochastinio proceso.<br />
x , t ; x , t dx dx Prx<br />
xt<br />
x dx , x xt<br />
x dx <br />
W <br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
Reikia dar apibrėžti tokias daugiamates tikimybes:<br />
apibrėžiama taip:<br />
xt; x , t ; , x , t dx dx dx<br />
Prx<br />
xt<br />
<br />
x dx , j 1,<br />
2,<br />
n<br />
Wn 1,<br />
1 2 2 n n 1 2 n<br />
j j j j<br />
X t yra pilnai apibrėžtas, jeigu yra žinomos šios<br />
tikimybės bet kuriai laiko taškų sekai iš n (n =1,2,…, ) .<br />
1<br />
Tai yra tikimybė, kad kintamojo Xt vertė momentu t1 bus intervale tarp x1 <strong>ir</strong> momentu t2 bus intervale tarp x2 <strong>ir</strong> x2+dx2 .<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<strong>ir</strong> x1+dx1
Emp<strong>ir</strong>inė <strong>Brauno</strong> judėjimo teorija (III)<br />
• Akivaizdu, kad integruojant daugiamatę tikimybę pagal vieną iš kintamųjų galima<br />
pažeminti jos eilę:<br />
xt; x , t ; ,<br />
x , t dx W x, t ; x , t ; , x , t <br />
Wn 1 , 1 2 2 n n n n1<br />
1 1 2 2 n1<br />
n1<br />
• Iš aukščiau apibrėžtų tikimybių galima išvesti eilę kitokių tikimybių. Labai svarbi yra<br />
perėjimo (sąlyginė) tikimybė, kuri apibrėžiama kaip tikimybė, kad momentu t1 <strong>Brauno</strong> dalelė ats<strong>ir</strong>as intervale tarp x1 <strong>ir</strong> x1+ dx1, jeigu momentu t0 ji buvo ties x0 :<br />
• Šią<br />
formulę<br />
dx0<br />
• Suintegravę<br />
x, t | x , t <br />
P dx <br />
0<br />
0<br />
1<br />
1<br />
1<br />
W<br />
galima perrašyti taip:<br />
W<br />
2<br />
2<br />
x0, t0;<br />
x1,<br />
t1<br />
W x, t <br />
1<br />
0<br />
0<br />
dx<br />
x , t ; x , t W x , t Px, t | x , t <br />
W <br />
pagal x 0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
dėl W1 gauname<br />
1<br />
xt W x , t Px , t | x , t <br />
1<br />
1<br />
<br />
, dx<br />
1<br />
1 0 0 0 0 1 1 0<br />
• Tikimybė, kad momentu t1 dalelė yra taške x1, gaunama<br />
susumavus visus galimus perėjimus iš visų įmanomų taškų prieš<br />
tai esančiu laiko momentu t0< t1. 0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
(čia sąlyga rašoma ka<strong>ir</strong>ioje<br />
vertikalaus brūkšnio pusėje)<br />
0<br />
1<br />
1<br />
x0<br />
X X<br />
t0 1 t<br />
x1
Emp<strong>ir</strong>inė <strong>Brauno</strong> judėjimo teorija (IV)<br />
• Perėjimo tikimybė tarp dviejų laiko taškų yra dažniausiai naudojamas dydis,<br />
nors galima pateikti <strong>ir</strong> bendresnių perėjimo tikimybės apibrėžimo pavyzdžiui:<br />
Tai tikimybė, kad dalelė būdama pradiniu momentu<br />
,...,tn pereis į atitinkamus taškus ,...,xn .<br />
t 1<br />
P<br />
x, t | x , t ; ;<br />
x , t <br />
0<br />
0<br />
1<br />
1<br />
n<br />
n<br />
dx<br />
1<br />
dx<br />
n<br />
x 1<br />
<br />
W<br />
n1<br />
x0, t0;<br />
x1,<br />
t1;<br />
;<br />
xn,<br />
tn<br />
<br />
W x, t <br />
t 0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
taške x 0<br />
dx<br />
1<br />
dx<br />
laiko momentais<br />
Apibrėžtų tikimybių taikymas nes<strong>ir</strong>iboja <strong>Brauno</strong> judėjimo teorija, jomis<br />
grindžiama žymiai bendresnė stochastinių procesų teorija.<br />
n
Elementari <strong>Brauno</strong> judėjimo teorija<br />
Emp<strong>ir</strong>inė <strong>Brauno</strong> judėjimo teorija (V)<br />
• <strong>Brauno</strong> judėjimas yra labai sudėtingas reiškinys <strong>ir</strong> gali būti nagrinėjamas įva<strong>ir</strong>iais<br />
sudėtingumo lygiais. Mes pradėsime nuo pačio paprasčiausio šio reiškinio modelio.<br />
• Nagrinėsime terpę, kurioje yra daug <strong>Brauno</strong> dalelių <strong>ir</strong> jų tankį aprašysime funkcija<br />
n(x,t). Iš eksperimento žinome, kad bet koks pradinis tankio nehomogeniškumas<br />
pranyksta – sistema artėja prie būsenos su homogeniniu dalelių pasisk<strong>ir</strong>stymu. Toks<br />
procesas aprašomas difuzijos lygtimi. Pagal Fiko (A. Fick) dėsnį bet koks<br />
nehomogeniškumas sukuria dalelių srautą proporcingą koncentracijos gradientui:<br />
j d<br />
n<br />
x<br />
<br />
t<br />
j<br />
<br />
x<br />
n d<br />
2<br />
n<br />
D 2<br />
x<br />
D<br />
– Difuzijos lygtis<br />
tolydumo lygtis<br />
• Jeigu daleles veikia homogeninis laukas, pavyzdžiui gravitacijos laukas, tai<br />
ats<strong>ir</strong>anda papildomas dalelių srautas, sąlygotas šio lauko:<br />
j F<br />
<br />
nu<br />
<br />
nF<br />
m<br />
(u – dalelės greitis, F – išorinėjėga,<br />
m – dalelės masė,<br />
– trinties koeficientas (m =6a))<br />
Tuomet pilnas srautas <strong>ir</strong> tolydumo (difuzijos) lygtis atrodys taip:<br />
j jF<br />
jd<br />
nF n<br />
D<br />
m<br />
x<br />
2<br />
n<br />
nF n<br />
D 2<br />
t<br />
x<br />
<br />
m<br />
<br />
<br />
x
Emp<strong>ir</strong>inė <strong>Brauno</strong> judėjimo teorija (VI)<br />
• Iš statistinės fizikos kurso žinome, kad <strong>Brauno</strong> dalelės gravitaciniame lauke po<br />
pakankamai ilgo laiko turi pasiekti pusiausvyrinį Boltzmano pasisk<strong>ir</strong>stymą:<br />
n<br />
xnx 0<br />
x E<br />
exp<br />
kT<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
n<br />
x 0<br />
F <br />
exp<br />
kT<br />
x x0<br />
<br />
(k – Boltzmano konstanta,<br />
T – skysčio temperatūra)<br />
Šis pasisk<strong>ir</strong>stymas turi tenkinti difuzijos lygtį su nuliniu srautu j=0, t.y. pusiausvyroje<br />
difuzijos <strong>ir</strong> išorinės jėgos srautai kompensuoja vienas kitą (paprastas detaliosios<br />
pusiausvyros pavyzdys):<br />
j jF<br />
jd<br />
<br />
<br />
<br />
F<br />
m<br />
<br />
DF<br />
<br />
kT<br />
nF n<br />
D <br />
m<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
0<br />
kT<br />
D kT<br />
m<br />
<br />
x x x <br />
F <br />
exp<br />
kT<br />
• Einšteino sąryšis yra fundamentalus nepusiausvyrinės statistinės fizikos<br />
rezultatas. Jis nustato ryšį tarp dviejų sk<strong>ir</strong>tingų disipacinių procesu, kurie nusako<br />
sistemos artėjimą prie pusiausvyros. Konstanta D apibūdina nehomogeninių<br />
fluktuacijų difuziją, o konstanta aprašo sistemos atsaką įišorinę jėga <strong>ir</strong><br />
charakterizuoja <strong>Brauno</strong> dalelės energijos praradimą dėl trinties.<br />
<br />
<br />
<br />
F<br />
<br />
m<br />
DF<br />
kT<br />
-Einšteino<br />
sąryšis<br />
<br />
n<br />
<br />
0<br />
m 1<br />
<br />
<br />
u<br />
F<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
–judrumas
Emp<strong>ir</strong>inė <strong>Brauno</strong> judėjimo teorija (VII)<br />
• Grįžkime prie laisvų (be išorinės jėgos) <strong>Brauno</strong> dalelių judėjimo uždavinio. Jeigu<br />
dalelių koncentracija nėra labai didelė, tai galime nepaisyti dalelių sąveikos <strong>ir</strong><br />
tuomet jų koncentraciją sk<strong>ir</strong>tingais laiko momentais galime susieti su pradine<br />
koncentracija. Panaudodami anksčiau apibrėžtą perėjimo tikimybę galime užrašyti:<br />
x, t<br />
nx0<br />
, t0<br />
Px 0,<br />
t0<br />
| x,<br />
tdx0<br />
n <br />
Kadangi n(x,t) tenkina difuzijos lygtį bet kuriai pradiniai sąlygai<br />
difuzijos lygtį turi tenkinti <strong>ir</strong> perėjimo tikimybė:<br />
n<br />
t<br />
2<br />
n<br />
D 2<br />
x<br />
P<br />
<br />
t<br />
P<br />
<br />
x<br />
xt| x,<br />
tDPx,<br />
t | x,<br />
t<br />
x, t | x,<br />
t<br />
0<br />
0<br />
0,<br />
0<br />
2 0 0<br />
Šios lygties sprendinys, tenkinantis pradinę<br />
<br />
1<br />
4D<br />
2<br />
tt 0<br />
<br />
exp<br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
2<br />
x x 0<br />
D t t<br />
n(x0,t0), tai tą<br />
sąlygą, yra Gauso funkcija:<br />
0<br />
<br />
pačią<br />
pradinė sąlyga:<br />
x , t | x,<br />
t<br />
x x <br />
P 0 0 tt<br />
0<br />
0
Markovo <strong>procesai</strong><br />
x t ; ;<br />
x , t ; x , t | x,<br />
t<br />
Px<br />
, t | x,<br />
t<br />
P n<br />
, n<br />
1<br />
1<br />
0 0<br />
0 0<br />
Emp<strong>ir</strong>inė <strong>Brauno</strong> judėjimo teorija (VIII)<br />
• Iš perėjimo tikimybės išraiškos matome, kad tikimybė surasti dalelę taške x<br />
momentu t, kai momentu t0 ji tikrai buvo taške x0, nepriklauso nuo to, kur dalelė<br />
buvo prieš momentą . Šią savybę bendruoju atveju galima suformuluoti taip:<br />
t 0<br />
• Stochastiniai <strong>procesai</strong>, kurie tenkina šią sąlygą vadinami Markovo <strong>procesai</strong>s.<br />
Taigi Markovo <strong>procesai</strong> yra <strong>procesai</strong> be atminties. Perėjimo tikimybė priklauso tik<br />
nuo dalelės padėties prieš tai esančiu laiko momentu t0 <strong>ir</strong> nepriklauso nuo to, kur ta<br />
dalelė buvo ankstesniais laiko momentais. <strong>Brauno</strong> dalelės judėjimas yra Markovo<br />
proceso pavyzdys, nes jo perėjimo tikimybė tenkina šią sąlygą.<br />
Markovo procesas pilnai aprašomas dviem funkcijom:<br />
• Visos aukštesnės eilės tikimybės redukuojamos į<br />
dx1<br />
W<br />
Suintegravę<br />
3<br />
x0, t0;<br />
x1,<br />
t1;<br />
x2,<br />
t2<br />
W2x0, t0;<br />
x1,<br />
t1<br />
Px0<br />
, t0;<br />
x1,<br />
t1<br />
| x2,<br />
t2<br />
<br />
W x, t Px, t | x , t Px, t | x , t <br />
šią<br />
W<br />
2<br />
lygybę<br />
pagal<br />
x 1<br />
1<br />
0<br />
gauname:<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
1<br />
t t t<br />
tn 1<br />
0<br />
x t<br />
W ,<br />
1<br />
1<br />
1<br />
<strong>ir</strong><br />
šias dvi funkcijas, pavyzdžiui:<br />
xt; x , t W x , t Px<br />
, t | x , t Px , t | x , t <br />
0<br />
0<br />
2<br />
2<br />
<br />
2<br />
x t | x t<br />
P ,<br />
0,<br />
0<br />
, dx<br />
1 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 1<br />
2
• Kadangi<br />
P<br />
2<br />
x, t ; x , t / W x , t Px<br />
, t | x , t <br />
W <br />
0<br />
0<br />
tai perėjimo tikimybei gauname integralinę<br />
2<br />
2<br />
1<br />
0<br />
x <br />
0 t0<br />
| x2,<br />
t2<br />
Px0<br />
, t0<br />
| x1,<br />
t1Px1,<br />
t1<br />
| x2,<br />
t2<br />
<br />
0<br />
Emp<strong>ir</strong>inė <strong>Brauno</strong> judėjimo teorija (IX)<br />
, dx<br />
Tai yra suderinamumo<br />
Ši lygtis reiškia kad perėjimą<br />
0<br />
lygtį:<br />
1<br />
arba Čapmano<br />
x0 , t0<br />
x2, t2<br />
<br />
x0 , t0<br />
x1, t1x2,<br />
t2<br />
<br />
būseną x<br />
0<br />
2<br />
2<br />
<strong>ir</strong> Kolmogorovo lygtis.<br />
galima suskaldyti į<br />
• Galima tiesiogiai patikrinti <strong>ir</strong> įsitikinti, kad <strong>Brauno</strong> dalelės perėjimo tikimybė<br />
<br />
t t t <br />
<br />
<br />
kurią gavome iš paprastų emp<strong>ir</strong>inių dėsnių, tenkina Čapmano <strong>ir</strong> Kolmogorovo lygtį.<br />
Tai iš esmės yra pasekmė to, kad ši perėjimo tikimybė aprašoma p<strong>ir</strong>mos eilės pagal<br />
laiką diferencialine lygtimi (difuzijos lygtis yra p<strong>ir</strong>mos eilė pagal laiką diferenc. lygtis).<br />
<br />
2<br />
1 x x <br />
<br />
0<br />
P x0,<br />
t0<br />
| x,<br />
t <br />
exp<br />
<br />
<br />
4D<br />
t t 4D<br />
t t<br />
0<br />
0 <br />
0<br />
1<br />
du procesus<br />
t.y. perėjimas vyksta per tarpinę<br />
1 . Proceso Markoviškumas<br />
pas<strong>ir</strong>eiškia tuo, kad dviejų nuoseklių procesų tikimybės dauginasi. Tai reiškia, kad<br />
šie du nuoseklūs <strong>procesai</strong> yra statistiškai nepriklausomi. Perėjimo x1 t1<br />
tikimybė nepriklauso nuo prieš tai buvusio perėjimo .<br />
<br />
x2<br />
1 ,t<br />
, , t2<br />
<br />
x , t x , t <br />
0<br />
0<br />
1<br />
1<br />
2
<strong>Brauno</strong> judėjimas <strong>ir</strong> centrinė<br />
• Nesunku pastebėti, kad <strong>Brauno</strong> dalelės perėjimo tikimybė<br />
P<br />
x, t | x,<br />
t<br />
0<br />
0<br />
<br />
1<br />
4D<br />
ribinė<br />
tt 0<br />
Emp<strong>ir</strong>inė <strong>Brauno</strong> judėjimo teorija (X)<br />
<br />
exp<br />
<br />
<br />
4<br />
teorema<br />
<br />
2<br />
x x 0<br />
D t t<br />
sutampa su tikimybės išraiška, kurią gavome atsitiktinio klaidžiojimo uždavinyje. Iš<br />
tikrųjų, jeigu čia įrašysime x0= 0 <strong>ir</strong> t0 = 0, t. y., kaip <strong>ir</strong> klaidžiojimo uždavinyje, pradiniu<br />
laiko momentu dalelę patalpinsime koordinačių pradžioje, tai gausime tiksliai tą pačią<br />
tikimybės išraiška, kaip <strong>ir</strong> atsitiktinio klaidžiojimo uždavinyje:<br />
P X<br />
<br />
x,<br />
t P 0,<br />
0 | x,<br />
t exp<br />
1<br />
4Dt<br />
0<br />
2 x<br />
<br />
4Dt<br />
• Tai reiškia, kad <strong>Brauno</strong> dalelės judėjimas gerai aproksimuojamas atsitiktiniu<br />
klaidžiojimu, kai dalelė mažais žingsniais su vienoda tikimybę juda tai į ka<strong>ir</strong>ę tai į<br />
dešinę. Atsitiktinio klaidžiojimo uždavinyje turėjome tokią difuzijos koeficiento išraišką:<br />
D<br />
<br />
Čia yra dalelės elementaraus žingsnio ilgis, o - žingsnio trukmė.<br />
2<br />
<br />
2
Emp<strong>ir</strong>inė <strong>Brauno</strong> judėjimo teorija (XI)<br />
• Atsitiktinio klaidžiojimo uždavinyje darėme daug specifinių prielaidų apie dalelės<br />
judėjimą. Mes tarėme kad dalelės judėjimo žingsnis nekinta, be to mes postulavome,<br />
kad judėjimas į ka<strong>ir</strong>ę <strong>ir</strong> dešinę vienodai tikimi. Tačiau Gausinis <strong>Brauno</strong> dalelės<br />
pasisk<strong>ir</strong>stymas gaunamas iš žymiai silpnesnių prielaidų. Šis pasisk<strong>ir</strong>stymas, iš esmės<br />
yra centrinės ribinės teoremos pasekmė.<br />
• Tarkime, kad <strong>Brauno</strong> dalelės judėjimas susideda iš daugelio mažų (nebūtinai<br />
vienodų) žingsnių xi taip, kad atstumas, kurį dalelė nukeliavo iš koordinačių<br />
pradžios per laiką t =N (N – žingsnių skaičius, – žingsnio trukmė) yra:<br />
N x x x t<br />
1 2 <br />
x <br />
Tuomet: x t x<br />
x<br />
<br />
x<br />
x<br />
x<br />
<br />
x<br />
0<br />
x<br />
2<br />
1 2<br />
N 1 2<br />
N<br />
2 N N<br />
N N<br />
N<br />
2<br />
t x<br />
x<br />
j xix<br />
j <br />
x<br />
j N x<br />
i 1 i <br />
j1<br />
i1<br />
j1<br />
j1<br />
Čia mes tariame, kad procesas yra Markovo <strong>ir</strong> todėl atsk<strong>ir</strong>i žingsniai statistiškai<br />
nepriklausomi, todėl: , kai i <br />
• Taigi iš<br />
gana bendrų<br />
i x j<br />
x 0 j<br />
prielaidų<br />
t<br />
gauname pažįstamas formules:<br />
x 2<br />
x t 2Dt,<br />
<br />
2<br />
D <br />
x 2<br />
2
Emp<strong>ir</strong>inė <strong>Brauno</strong> judėjimo teorija (XII)<br />
• Pažymėkime, kad šiame išvedime mums nepr<strong>ir</strong>eikė detalių žinių apie atsk<strong>ir</strong>ų žingsnių<br />
tikimybės pasisk<strong>ir</strong>stymo funkciją Px (x). Mes panaudojome tik du postulatus:<br />
2 x i<br />
j<br />
x 0 <strong>ir</strong> <br />
( i,<br />
j – kronek<strong>ir</strong>is)<br />
x ix<br />
j <br />
,<br />
• Ištikrųjų žinios apie atsk<strong>ir</strong>ų žingsnių pasisk<strong>ir</strong>stymo funkciją nereikalingos <strong>ir</strong><br />
nustatinėjant detalesnę informaciją apie <strong>Brauno</strong> dalelės judėjimą. Jeigu tas judėjimas<br />
susideda iš daugelio statistiškai nepriklausomų žingsnių sumos<br />
X x<br />
x<br />
<br />
x<br />
1<br />
2<br />
tai uždavinys apie atsitiktinio dydžio X tankio funkcijos PX (x) nustatymą yra<br />
ekvivalentus uždaviniui apie paklaidų pasisk<strong>ir</strong>stymo funkcijos suradimą, kurį mes<br />
sprendėme aptariant centrinę ribinę teoremą. Sk<strong>ir</strong>tumas tik toks, kad ten<br />
nagrinėjome suvidurkintą sumą, t.y. sumą padalintą iš N. Mes gavome, kad didelių<br />
N riboje sumos tikimybės tankio funkcija artėja prie Gausinio sk<strong>ir</strong>stinio. Taip kad<br />
čia pakanka tik nus<strong>ir</strong>ašyti seną atsakymą (reikia tik atsižvelgti į tai, kad dabar suma<br />
nedalinama iš N <strong>ir</strong> kad N=t/):<br />
P<br />
X<br />
2<br />
1 x <br />
4<br />
<br />
Dt<br />
4 <br />
Dt <br />
x, t<br />
exp<br />
,<br />
N<br />
N<br />
D <br />
x Taigi Gausinis <strong>Brauno</strong> dalelės tikimybės pasisk<strong>ir</strong>stymo dėsnis iš esmės<br />
išplaukia iš labai bendros centrinės ribinės teoremos.<br />
2<br />
2
Lanževeno<br />
(Langevin) lygtis (I)<br />
• Iki šiol <strong>Brauno</strong> dalelės judesius nagrinėjome remiantis statistikos principais <strong>ir</strong> kai<br />
kuriomis fenomenologinėmis lygtimis. Mes nenaudojome jokio <strong>Brauno</strong> dalelės<br />
judėjimo modelio. Dabar pagrindinius Einšteino rezultatus išvesime startuojant nuo<br />
<strong>Brauno</strong> dalelės judėjimo lygties.<br />
Deterministinė judėjimo lygtis<br />
• Skystyje judančią <strong>Brauno</strong> dalelę veikia trinties jėga, kuri pagal Stokso dėsnį<br />
proporcinga greičiui. Tad galime užrašyti tokią judėjimo lygtį:<br />
mv FS<br />
m<br />
v<br />
m 6a<br />
<br />
(v – dalelės greitis, m – masė, – spindulys<br />
– trinties koeficientas, – skysčio klampumas)<br />
Tai yra deterministinė (diferencialinė) judėjimo lygtis – dalelės greičio<br />
elgesys pilnai nusakomas pradine sąlyga v(0). Greitis eksponentiškai mažėja:<br />
v<br />
t<br />
t<br />
/ <br />
t v0e<br />
v0e<br />
1/<br />
<br />
• Kokia yra fizikinė trinties jėgos prigimtis? Atsitiktinai judančios skysčio<br />
molekulės susiduria su dalele. Kriptingai judančios dalelės impulsas yra<br />
perduodamas atsitiktinai judančioms molekulėms <strong>ir</strong> dėl to dalelės greitis mažėja.<br />
Tačiau deterministinis aprašymas galioja tik kol dalelės masė yra pakankamai<br />
didelė, t.y. kol dalelės šiluminės greičio fluktuacijos yra mažos.
Stochastinė<br />
Lanževeno lygtis (II)<br />
• Kai <strong>Brauno</strong> dalelė yra termodinaminėje pusiausvyroje su skysčiu, jos šiluminį<br />
greitį galima apskaičiuoti panaudojus tolygaus šiluminės energijos<br />
pasisk<strong>ir</strong>stymo pagal laisvės laipsnius principą:<br />
m<br />
judėjimo lygtis<br />
v<br />
2<br />
2<br />
kT<br />
<br />
2<br />
v T<br />
• Jeigu dalelės masė yra maža, tai šiluminis greitis vT gali tapti pastebimas. Todėl<br />
skysčio poveikio modeliavimas Stokso jėga „mažos“ masės dalelei yra netikslus.<br />
Jeigu mažos <strong>Brauno</strong> dalelės masė yra žymiai didesnė už skysčio molekulės masę,<br />
tai Stokso jėga vis dar apytiksliai aprašys skysčio poveikį. Tačiau judėjimo lygtį reikia<br />
modifikuoti taip, kad aukščiau užrašyta šiluminio greičio išraiška būtų teisinga.<br />
• Lanževenas<br />
(Langevin) pasiūlė<br />
tokią<br />
<br />
v<br />
2<br />
<br />
kT<br />
m<br />
judėjimo lygties modifikaciją:<br />
t m<br />
v F t mv FS<br />
FL<br />
L<br />
Papildomai prie Stokso jėgos jis pasiūlė pridėti fliuktuojančią jėga FL (t). Ši jėga yra<br />
stochastinė, arba atsitiktinė, jos savybės užduodamos tik vidurkiams. Diferencialinė<br />
lygtis su atsitiktine nuo laiko priklausančia jėga vadinama stochastine diferencialine<br />
lygtimi.
Lanževeno lygtis (III)<br />
• Kokia yra stochastinės jėgos prigimtis? Jeigu norėtume tiksliai spręsti <strong>Brauno</strong><br />
judėjimo uždavinį, tai tektų užrašyti judėjimo lygtis visoms skysčio molekulėms, kurių<br />
skaičius yra eilės 1023 . Tokį lygčių kiekį išspręsti neįmanoma. Netgi jeigu pavyktų jas<br />
išspręsti reiktų užduoti visoms joms pradines sąlygas. Akivaizdu, kad<br />
eksperimentiškai nustatyti skysčio molekulių pradines sąlygas neįmanoma. Jeigu<br />
mes nagrinėtume kitą identišką sistemą (skystis <strong>ir</strong> <strong>Brauno</strong> dalelė), su vieninteliu<br />
sk<strong>ir</strong>tumu, kad jos vandens molekulių pradinės sąlygos yra kitokios, tai mes gautume<br />
kitą <strong>Brauno</strong> dalelės trajektoriją. Kaip paprastai daroma statistinėje mechanikoje, mes<br />
nagrinėsime tokių sistemų ansamblį (Gibso ansamblį). Tuomet atsk<strong>ir</strong>i ansamblio<br />
nariai turės sk<strong>ir</strong>tingas atsitiktinės jėgos FL (t) realizacijas <strong>ir</strong> vienintelis „protingas“<br />
tokios sistemos tyrimo būdas yra šios jėgos poveikio vidurkinimas pagal ansamblį.<br />
• Bendruoju atveju Gibso ansamblį sunku realizuoti eksperimentiškai - tai tik patogus<br />
tikimybių vaizdavimo būdas. Nors kartais Gibso ansambliai savaime realizuojasi<br />
fizinėse sistemose. Taip, jeigu mes nagrinėjame daugelio nesąveikaujančių <strong>Brauno</strong><br />
dalelių judėjimą, tai tokią sistemą galime interpretuoti kaip Gibso ansamblį. Tokiu<br />
atveju vidurkinimas pagal ansamblį reiškia vidurkinimą pagal atsk<strong>ir</strong>as <strong>Brauno</strong> daleles.<br />
• Alternatyvus tikimybių vaizdavimo būdas yra statistinis ansamblis (jį jau<br />
aptarinėjome anksčiau). <strong>Brauno</strong> dalelės atveju statistinis ansamblis gaunamas daug<br />
kartų atliekant tą patį eksperimentą su viena <strong>Brauno</strong> dalele. Vidurkinimai pagal Gibso<br />
ar statistinį ansamblį iš esmės yra ekvivalentūs, tik statistinis ansamblis yra<br />
universalesnis eksperimentinės realizacijos prasme.
Tiesioginis Lanževeno<br />
• Taigi pagal Lanževeną<br />
lygties sprendimas<br />
Lanževeno lygtis (IV)<br />
<strong>Brauno</strong> dalelės judėjimas modeliuojamas tokiomis lygtimis:<br />
t v<br />
<br />
v <br />
–<br />
x<br />
v<br />
Lanževeno<br />
lygtys<br />
((t)=FL(t)/m –<br />
atsitiktinė<br />
Lanževeno jėga)<br />
Kadangi Lanževeno lygtyse yra atsitiktinis dydis (t), tai dinaminiai kintamieji v(t) <strong>ir</strong><br />
x(t) taip pat bus atsitiktiniai dydžiai. V<strong>ir</strong>šutinė lygtis nepriklauso nuo apatinės, todėl ją<br />
galima spręsti atsk<strong>ir</strong>ai. Nuo jos <strong>ir</strong> pradėsime.<br />
• Pradžioje reikia postuluoti atsitiktinės jėgos statistines savybes. Du pagrindiniai<br />
postulatai yra tokie:<br />
t 0 t t' q<br />
t t'<br />
<br />
<br />
((.) – delta D<strong>ir</strong>ako funkcija,<br />
q – Lanževeno šaltinio intensyvumas)<br />
Čia reiškia vidurkinimą pagal ansamblį, tiksliau kalbant pagal atsitiktinės jėgos<br />
realizacijų tikimybės tankį:<br />
t W<br />
td<br />
, t<br />
t' 'W<br />
, t;<br />
',<br />
t';<br />
<br />
<br />
1 , <br />
<br />
2<br />
dd<br />
'<br />
• P<strong>ir</strong>mas postulatas reiškia, kad jėgos vidurkis pagal ansamblį yra nulis. Iš jo<br />
išplaukia, kad greičio vidurkis tenkina anksčiau užrašytą deterministinę lygtį:<br />
d<br />
v <br />
v<br />
<br />
<br />
dt
Lanževeno lygtis (V)<br />
• Antras postulatas t t'<br />
q<br />
t t'<br />
<br />
nusako atsitiktinės jėgos koreliaciją<br />
sk<strong>ir</strong>tingais laiko momentais. Bendruoju atveju, stochastinio proceso dydis<br />
, <br />
t'<br />
t'<br />
<br />
<br />
<br />
t, t'<br />
<br />
t <br />
t<br />
K <br />
vadinamas dvilaike koreliacine funkcija. Mes jį kartais paprastai vadinsime<br />
koreliacine funkcija arba dar trumpiau koreliatoriumi.<br />
• Labai svarbią stochastinių procesų klasę sudaro stacionarieji <strong>stochastiniai</strong><br />
<strong>procesai</strong>. Tai <strong>procesai</strong>, kurių statistinės savybės nepriklaus nuo laiko. Matematinis<br />
stacionaraus atsitiktinio proceso apibrėžimas yra toks:<br />
t ; , t ; ;<br />
, t W , t t;<br />
, t t;<br />
;<br />
, t t<br />
Wn 1,<br />
1 2 2 n n n 1 1 2 2<br />
n n<br />
<br />
<br />
n 1, 2,<br />
,<br />
<br />
• Iš šio apibrėžimo išplaukia, kad stacionaraus proceso vienmatė tikimybė nepriklauso<br />
nuo laiko, o dvimatė – priklauso tik nuo laikų sk<strong>ir</strong>tumo:<br />
W t<br />
W , t ; , t W ; , t t<br />
<br />
1<br />
1 , W<br />
Tai reiškia, kad <strong>ir</strong> vidurkis nepriklauso nuo laiko: t W d const.<br />
0<br />
t<br />
Jeigu vidurkis lygus nuliui , tai dvilaikis<br />
<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
koreliatorius<br />
1<br />
2<br />
lygus:<br />
2<br />
1<br />
1<br />
<br />
, <br />
<br />
t, t'<br />
t<br />
t' <br />
K
Lanževeno lygtis (VI)<br />
Nesunku įsitikinti, kad bet kokio stacionaraus stochastinio proceso dvilaikė<br />
koreliacinė funkcija priklauso tik nuo laikų sk<strong>ir</strong>tumo:<br />
tt'tt' 'W<br />
, ',<br />
t't;<br />
dd ' K t' t<br />
K <br />
,<br />
, <br />
2<br />
,<br />
<br />
<br />
• Po šių bendrų teiginių, aptarsime antrą Lanževeno jėgos postulatą: t t'<br />
q<br />
t t'<br />
<br />
Matome, kad Lanževeno jėgos koreliatorius priklauso tik nuo laikų sk<strong>ir</strong>tumo. Tai reiškia,<br />
kad ši jėga atitinka stacionarų stochastinį procesą. Tai natūrali prielaida, nes termodinaminėje<br />
pusiausvyroje statistinės sistemos savybės neturi priklausyti nuo laiko.<br />
• Rašydami, kad Lanževeno jėgos koreliatorius proporcingas D<strong>ir</strong>ako delta funkcijai<br />
mes turime omenyje, kad molekulių dūžių procesas yra labai greitas. Toks atsitiktinis<br />
procesas vadinamas delta koreliuotu arba baltu triukšmu. Toliau mes pamatysime,<br />
kad šio proceso spektras yra tolygus visame dažnio diapazone. Delta koreliuotos<br />
atsitiktinės jėgos artėjimas yra pateisinamas, jeigu jos koreliacijos laikas yra žymiai<br />
mažesnis už visus charakteringus sistemos laikus. <strong>Brauno</strong> daleliai tai atitinka<br />
nelygybę:<br />
– charakteringas greičio relaksacijos laikas )<br />
v<br />
1/<br />
<br />
( v<br />
• Natūralu manyti, kad sk<strong>ir</strong>tingų molekulių dūžiai į <strong>Brauno</strong> dalelę yra nepriklausomi.<br />
Todėl charakteringas atsitiktinės jėgos koreliacijos laikas pagal eilę lygus<br />
molekulės dūžio laikui. Ši laikų hierarchija (greiti molekulių dūžiai <strong>ir</strong> lėta <strong>Brauno</strong><br />
dalelės greičio relaksacija) leidžia atsk<strong>ir</strong>ti šiuos procesus <strong>ir</strong> užrašyti suvidurkintas<br />
lygtis sąlyginai lėtam <strong>Brauno</strong> dalelės judėjimui.
t<br />
1<br />
<br />
0<br />
Lanževeno<br />
v<br />
Tuomet:<br />
lygties sprendinys yra<br />
t <br />
tt' t v e e <br />
t'<br />
0<br />
t<br />
<br />
0<br />
dt'<br />
(v 0<br />
t1<br />
t2<br />
' '<br />
2 <br />
t1t2 <br />
<br />
t1t2t1t2 ' '<br />
t v t v e e q tt v <br />
t<br />
v<br />
2<br />
<br />
0<br />
1<br />
e<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
v <br />
v <br />
<br />
0<br />
<br />
0<br />
t – pradinis dalelės greitis)<br />
1<br />
2<br />
dt dt<br />
'<br />
1<br />
'<br />
2<br />
Lanževeno lygtis (VII)<br />
e e<br />
<br />
1 2<br />
' '<br />
'<br />
tttt ' ' ' '<br />
<br />
tt2t '<br />
<br />
t1t<br />
2 <br />
tt 1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
q<br />
t<br />
min( t , t )<br />
1 t2 dt1dt2<br />
<br />
0<br />
q <br />
0 <br />
2<br />
<br />
<br />
q<br />
2<br />
qe<br />
2<br />
<br />
t1t2 <br />
t1t<br />
2<br />
tvt v e e<br />
1<br />
2<br />
<br />
1<br />
2<br />
1<br />
dt<br />
t<br />
t<br />
1<br />
1<br />
2<br />
q<br />
<br />
2<br />
1<br />
1<br />
v<br />
t1<br />
tvt 1<br />
2<br />
'<br />
t1<br />
1<br />
2<br />
t1<br />
q<br />
<br />
2<br />
<br />
e<br />
t2<br />
1<br />
'<br />
t2<br />
<br />
t t<br />
• Matome, kad pakankamai dideliems laikams koreliatorius nepriklauso nuo pradinio<br />
greičio v0 („pam<strong>ir</strong>šta“ pradinę sąlygą) <strong>ir</strong> priklauso tik nuo laikų sk<strong>ir</strong>tumo t1-t2, t.y. po tam<br />
tikro pereinamo proceso nusistovi stacionarus atsitiktinis <strong>Brauno</strong> dalelės judėjimas.<br />
• Šis rezultatas galioja bet kuriam pradiniam <strong>Brauno</strong> dalelės greičiui v0. Tačiau, jeigu<br />
tarsime, kad pradiniu laiko momentu <strong>Brauno</strong> dalelės yra termodinaminėje pusiausvyroje<br />
su skysčiu, tai tuomet vidurkindami koreliatorių pagal pradinius greičius v0 turime<br />
gauti atsakymą priklausantį tik nuo laikų sk<strong>ir</strong>tumo.<br />
2
Lanževeno lygtis (VIII)<br />
• Šį „temperatūrinį“ vidurkinimą pagal pradinius greičius žymėsime raide T.<br />
Termodinaminėje pusiausvyroje <strong>Brauno</strong> dalelės vidutinė energija turi būti kT/2 :<br />
m<br />
v<br />
2<br />
0<br />
T kT<br />
<br />
2<br />
Suvidurkintas pagal pradinius greičius koreliatorius<br />
v<br />
q <br />
0 <br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
t1t2 tvt v e<br />
1<br />
2<br />
2<br />
q<br />
<br />
2<br />
<br />
Dėl to turime reikalauti, kad<br />
<br />
<br />
<br />
• Pastaroji išraiška vadinama fluktuaciniu-disipaciniu sąryšiu. Jis suriša fluktuacinio<br />
(Lanževeno) šaltinio intensyvumą su temperatūra T <strong>ir</strong> disipaciniu parametru . Šis<br />
sąryšis papildo Einšteino sąryšį (pastarasis riša difuzijos koeficientą D su T <strong>ir</strong> .<br />
• Įrašę įkoreliatorių t1=t2=t, matome kad vidutinis kvadratinis greitis nepriklauso nuo<br />
laiko <strong>ir</strong> lygus vidutiniam kvadratiniam šiluminiam greičiui:<br />
v<br />
2<br />
e<br />
t<br />
<br />
t t<br />
1<br />
2<br />
q <br />
0<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
v0 <br />
T<br />
T<br />
kT<br />
m<br />
2<br />
v0 q <br />
T m<br />
q kT<br />
<br />
<br />
T 2<br />
m<br />
(vidutinis kvadratinis šiluminis<br />
greitis)<br />
turi priklausyti tik nuo laikų<br />
v<br />
tvt 1<br />
2<br />
kT<br />
2<br />
q<br />
<br />
2<br />
<br />
T <br />
sk<strong>ir</strong>tumo:<br />
e<br />
<br />
t t<br />
Gavome Lanževeno<br />
šaltinio intensyvumo<br />
išraišką!<br />
1<br />
2
• Galutinai, termodinaminėje pusiausvyroje greičių<br />
koreliatorių<br />
<br />
<br />
t, t <br />
vtvt e K K K v,<br />
v<br />
<br />
v,<br />
v v,<br />
v<br />
T<br />
<br />
Lanževeno lygtis (IX)<br />
galima užrašyti taip:<br />
Pastaroji lygybė K v,<br />
v Kv,<br />
v <br />
reiškia, kad koreliacija į praeitį <strong>ir</strong> ateitį sutampa.<br />
Ši savybė galioja bet kuriems stacionariems atsitiktiniams procesams.<br />
• Formaliai koreliatorius<br />
dK<br />
v,<br />
v<br />
d<br />
Kv, v<br />
kT<br />
e<br />
m<br />
<br />
<br />
Matome, kad pusiausvyroje greičių koreliatorius tenkina tą pačią lygtį kaip <strong>ir</strong><br />
vidutinis greitis, o pradinė sąlyga atitinka vidutinį kvadratinį šiluminį greitį, kurio<br />
vertė nustatoma pagal žinomus pusiausvyrinės statistinės fizikos principus.<br />
• Šis rezultatas yra atsk<strong>ir</strong>as atvejis labai bendros Onsagerio teorijos, kuri<br />
nagrinėja mažus fizikinių dydžių nuokrypius nuo termodinaminės pusiausvyros.<br />
Mažų nuokrypių relaksacija į pusiausvyrinę būseną aprašoma tiesinėmis lygtimis, o<br />
šiluminės fluktuacijos imituojamos atsitiktine jėga. Tuomet, turint lygtis fizikinių<br />
dydžių vidurkiams, nesunkiai išvedamos lygtys tų dydžių koreliacinėms funkcijoms.<br />
Pastarosios aprašo vidutinių dydžių šilumines fluktuacijas.<br />
kT<br />
m<br />
<br />
<br />
K v t 2<br />
v,<br />
v<br />
tenkina tokią<br />
Kv, v 0<br />
diferencialinę<br />
<br />
lygtį<br />
kT<br />
m<br />
<strong>ir</strong> pradinę sąlygą
Dabar iš<br />
t<br />
antros Lanževeno<br />
lygties nustatysime vidutinį<br />
Lanževeno lygtis (X)<br />
kvadratinį<br />
nuokrypį.<br />
<br />
<br />
t <br />
<br />
0<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
t <br />
<br />
0<br />
t<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
t t<br />
<br />
0 0<br />
t2<br />
<br />
2 q <br />
t1t2 q <br />
t1t<br />
2<br />
vt1vt2<br />
v0<br />
e e<br />
<br />
t<br />
2 x t x0<br />
vt1dt1<br />
vt1dt1<br />
vt2dt2<br />
vt1vt2<br />
dt1dt2<br />
Prisiminkime, kad<br />
Tuomet<br />
<br />
t1t2 e<br />
dt1dt2<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
t<br />
0<br />
Galutinai turime<br />
1e <br />
<br />
t<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<strong>ir</strong><br />
x v<br />
t<br />
<br />
0<br />
2<br />
t<br />
<br />
0<br />
<br />
e<br />
<br />
t t<br />
1<br />
2<br />
dt dt<br />
1<br />
2<br />
2<br />
t t1<br />
<br />
2dt1 e 2<br />
2<br />
<br />
0 0<br />
<br />
<br />
t<br />
2 2 q <br />
1 e q q <br />
t<br />
x t x v <br />
t 1e 0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
2 2 3<br />
<br />
2<br />
t1<br />
tt 2 2<br />
1 2<br />
<br />
t<br />
dt t 1 e <br />
Taigi dideliems laikams gaunamas senas rezultatas – vidutinis kvadratinis nuokrypis<br />
didėja proporcingai laikui:<br />
q kT Čia Einšteino sąryšis<br />
2 xt x 2Dt<br />
D <br />
0 <br />
gautas iš kitokių<br />
2<br />
prielaidų nei anksčiau!<br />
2<br />
2<br />
m<br />
<br />
t<br />
q<br />
2<br />
<br />
t<br />
t
Trimatis uždavinys<br />
Lanževeno lygtis (XI)<br />
• Iki šiol mes nagrinėjome vienmatį <strong>Brauno</strong> dalelės judėjimo uždavinį. Gautus<br />
rezultatus nesunku apibendrinti trimačiam uždaviniui. Trimačio uždavinio atveju<br />
Lanževeno lygtys atrodo taip:<br />
Čia indeksai i,j atitinka x, y <strong>ir</strong> z trimatės erdvė kryptis. Kronekeris<br />
Lanževeno jėgos x, y <strong>ir</strong> z komponentės yra nekoreliuotos.<br />
Tuomet vidutiniam nuokrypiui trimatėje erdvėje gauname:<br />
<br />
<br />
3<br />
q<br />
<br />
6kT<br />
m<br />
2<br />
2<br />
x t x x t x t t<br />
0 <br />
i1<br />
i<br />
i0<br />
3 2<br />
i,j<br />
reiškia, kad<br />
• Kadangi atsk<strong>ir</strong>os Lanževeno jėgos komponentės nekoreliuotos, uždavinys suskyla<br />
į tris nepriklausomus uždavinius, <strong>ir</strong> greičių komponentėms išlieka seni rezultatai.<br />
v<br />
q<br />
<br />
<br />
T 2<br />
kT<br />
m<br />
2 2<br />
2<br />
t <br />
v t vi<br />
t<br />
i<br />
v<br />
<br />
v <br />
i<br />
x<br />
i<br />
v<br />
i<br />
i<br />
i<br />
t i 0 it<br />
j t' qi,<br />
j<br />
t t'<br />
t<br />
<br />
<br />
<br />
T<br />
<br />
q<br />
3<br />
2<br />
3<br />
<br />
i1<br />
<br />
T<br />
3<br />
kT<br />
m
• Atliktuose tyrimuose mes aps<strong>ir</strong>ibojome dvilaike<br />
t vt <br />
Jos įvertinimui mums pakako žinoti Lanževeno<br />
v<br />
<br />
1<br />
t t <br />
1<br />
2<br />
2<br />
Lanževeno lygtis (XII)<br />
greičio koreliacine funkcija<br />
jėgos dvilaikę<br />
koreliacinę<br />
funkciją<br />
Jeigu mes norėtume nustatyti aukštesnės eilės greičio koreliacines funkcijas, tarkime<br />
trilaikę, keturlaikę, <strong>ir</strong> t.t.<br />
mums pr<strong>ir</strong>eiktų<br />
v<br />
t vt vt vt<br />
vt vt v t , <br />
1<br />
2<br />
, 1 2 3 4<br />
informacijos apie daugelaikes<br />
<br />
3<br />
Lanževeno<br />
t t t t<br />
t tt , <br />
1<br />
2<br />
3<br />
, 1 2 3 4<br />
jėgos koreliacines funkcijas<br />
• Norint nustatyti visų eilių greičio koreliacines funkcijas ( kas yra ekvivalentu<br />
daugiamatės pasisk<strong>ir</strong>stymo funkcijos nustatymui) reikia pilnai užduoti Lanževeno jėgos<br />
daugiamatę tikimybės tankio funkciją. Paprastiai Lanževeno jėga modeliuojama<br />
daugiamačiu Gauso sk<strong>ir</strong>stinio (Gausiniu procesu). Tai mes aptarsime vėliau, kai<br />
išvedinėsime Fokerio-Planko lygtį.
Spektrinis tankis <strong>ir</strong> Vinerio-Khintčeno<br />
teorema<br />
Lanževeno lygtis (XIII)<br />
• Labai svarbus yra spektrinis stochastinių procesų tyrimo metodas. Čia stochastinis<br />
kintamasis vaizduojamas harmoninių funkcijų superpozicija.<br />
• Tarkime, kad turime stacionarų atsitiktinį procesą Zt <strong>ir</strong> tam tikrame laiko intervale<br />
–T/2< t< T/2 matuojame jo realizacijas z(t) . Tuomet tas realizacijas galima išskleisti<br />
Furjė eilute:<br />
Kadangi z(t) funkcija yra realioji, tai:<br />
Koeficientai<br />
z<br />
a n<br />
<br />
t <br />
n<br />
• Suvidurkiname Furjė<br />
a<br />
n<br />
T / 2<br />
1<br />
<br />
T <br />
T<br />
/ 2<br />
Matome, kad Furjė<br />
a<br />
n<br />
e<br />
i<br />
t<br />
n<br />
n<br />
n T<br />
2 1 int<br />
an<br />
z<br />
t e dt<br />
T <br />
a a<br />
n<br />
yra atsitiktiniai dydžiai, nes procesas Z t<br />
koeficientų<br />
i<br />
nt<br />
z<br />
t e dt 0<br />
koeficientų<br />
*<br />
n<br />
T / 2<br />
T<br />
/ 2<br />
yra atsitiktinis.<br />
išraiškas pagal statistinio ansamblio realizacijas:<br />
(Stacionaraus proceso kintamojo vidurkis nepriklauso nuo<br />
laiko . Čia tariame, kad tas vidurkis lygus nuliui)<br />
t const<br />
z <br />
vidurkiai pagal ansamblį lygus nuliui.
• Vidutinė<br />
1<br />
T<br />
T / 2<br />
<br />
T<br />
/ 2<br />
signalo galia intervale –T/2<<br />
z<br />
2<br />
1<br />
T<br />
T / 2<br />
<br />
t<<br />
T/2 yra<br />
* ik<br />
t dt a a e<br />
n t<br />
*<br />
n k dt an<br />
ak<br />
n,<br />
k <br />
T<br />
/ 2 n<br />
Jos vidurkis pagal ansamblį<br />
1<br />
T<br />
Išfiltruoto signalo galia<br />
yra:<br />
T / 2<br />
<br />
T<br />
/ 2<br />
=<br />
<br />
k<br />
z<br />
2<br />
<br />
t dt <br />
<br />
2n<br />
<br />
<br />
T<br />
<br />
n<br />
a<br />
n<br />
S<br />
<br />
n<br />
2<br />
<br />
k<br />
Čia sumuojama pagal visus dažnius pakliuvusius į filtro juostą.<br />
Dydis S() vadinamas atsitiktinio signalo spektriniu tankiu<br />
– tai yra išfiltruoto signalo galia normuota į dažnio intervalą.<br />
a<br />
n<br />
2<br />
Lanževeno lygtis (XIV)<br />
<br />
n<br />
• Eksperimentuose paprastai naudojami juostiniai dažnio filtrai, kurie praleidžia tik<br />
tam tikrus dažnius pakliuvusius į mažą intervalą ties fiksuotu dažniu .<br />
an<br />
a<br />
n<br />
2<br />
<br />
<br />
n
Lanževeno lygtis (XV)<br />
• Jeigu T yra pakankamai didelis, tai galima pas<strong>ir</strong>inkti mažu <strong>ir</strong> filtro juostoje vis<br />
dar bus daug harmonikų, nes atstumas tarp harmonikų 2 /T mažėja didinant T.<br />
Harmonikų<br />
<br />
2n<br />
<br />
<br />
T<br />
skaičius intervale yra /(2T), todėl<br />
a<br />
n<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
/ T<br />
a<br />
n<br />
2<br />
S<br />
T<br />
2<br />
T / 2<br />
2 T 1<br />
n<br />
2<br />
T <br />
T<br />
/ 2<br />
a z<br />
t<br />
Taigi atsitiktinio signalo spektrinio tankio apibrėžimas yra toks:<br />
S<br />
T / 2<br />
1<br />
it<br />
lim e dt<br />
T<br />
2<br />
T <br />
z<br />
t<br />
T<br />
/ 2<br />
• Pas<strong>ir</strong>odo, kad spektrinį tankį galima išreikškšti per koreliatoriaus Furjė<br />
transformaciją. Šį sąryšį nustato Vinerio – Khintčeno teorema, kuri teigia, kad:<br />
S<br />
<br />
1<br />
i<br />
e d<br />
2<br />
<br />
K<br />
K<br />
zt<br />
z t <br />
<br />
2<br />
K<br />
<br />
<br />
<br />
S<br />
e<br />
i<br />
t<br />
i<br />
e d<br />
Jeigu koreliatorius yra žinomas tai atlikus jo Furjė transformaciją galima nustatyti<br />
spektrinį tankį, <strong>ir</strong> atv<strong>ir</strong>kščiai, iš žinomo spektrinio tankio galima surasti koreliatorių.<br />
Toliau įrodysime šį sąryšį.<br />
n<br />
dt<br />
2
S<br />
Vinerio<br />
–<br />
Lanževeno lygtis (XVI)<br />
T / 2 T / 2<br />
1<br />
it1t2<br />
lim dt zt<br />
dt zte<br />
zt1 zt2 Kt1<br />
t2<br />
<br />
T<br />
Khintčeno<br />
2<br />
T<br />
<br />
T<br />
/ 2<br />
1<br />
1<br />
<br />
T<br />
/ 2<br />
2<br />
0<br />
T<br />
/ 2 T<br />
T / 2<br />
1 <br />
<br />
i<br />
i<br />
lim <br />
d<br />
e K<br />
dt<br />
<br />
d<br />
e K<br />
dt<br />
T<br />
2<br />
T T<br />
T<br />
/ 2 0<br />
T<br />
/ 2 <br />
0<br />
T<br />
1 i<br />
i<br />
lim <br />
d<br />
e K T <br />
<br />
d<br />
e K T <br />
T<br />
2<br />
T T<br />
0<br />
T<br />
1<br />
i<br />
lim d<br />
e KT<br />
T 2<br />
T<br />
<br />
T<br />
T<br />
1 i<br />
<br />
lim d<br />
e K<br />
<br />
<br />
T<br />
2<br />
<br />
T<br />
T<br />
<br />
<br />
Taigi įrodėme Vinerio<br />
sąryšis įrodomas taip:<br />
–<br />
• Toliau spektrinio tankio skaičiavimo techniką pademonstruosime<br />
<strong>Brauno</strong> dalelės uždaviniui. Apskaičiuosime <strong>Brauno</strong> dalelės<br />
greičio <strong>ir</strong> Lanževeno šaltinio spektrinius tankius.<br />
2<br />
<br />
1 <br />
1<br />
2<br />
Khintčeno sąryšį!<br />
<br />
<br />
<br />
K<br />
e<br />
i<br />
<br />
d<br />
t<br />
t<br />
1<br />
1<br />
T<br />
/ 2<br />
T<br />
/ 2<br />
t<br />
2<br />
t<br />
T / 2<br />
T / 2<br />
<br />
Jakobianas=1<br />
t<br />
2<br />
T<br />
/ 2<br />
<br />
T<br />
/ 2<br />
T / 2<br />
T / 2<br />
t1<br />
t
Lanževeno<br />
, <br />
šaltinio koreliatorius<br />
tt q<br />
<br />
K <br />
K<br />
, q<br />
<strong>Brauno</strong> dalelės greičio koreliatorius<br />
K<br />
v,<br />
v<br />
kT<br />
m<br />
<br />
kT<br />
m<br />
<br />
t<br />
vtvt e<br />
K v,<br />
v<br />
<br />
<br />
1/<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
e<br />
<br />
<br />
e<br />
<br />
i<br />
0<br />
i<br />
d<br />
e e d<br />
<br />
e<br />
<br />
<strong>ir</strong> spektrinis tankis:<br />
<br />
0<br />
S<br />
, <br />
<strong>ir</strong> spektrinis tankis:<br />
S<br />
v,<br />
v<br />
e<br />
<br />
i<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
K Matome, kad Lanževeno šaltinio<br />
galia vienodai pasisk<strong>ir</strong>sto<br />
pagal visus dažnius, dėl to šis<br />
atsitiktinis procesas vadinamas<br />
baltu triukšmu.<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
, <br />
1 1 2<br />
<br />
d<br />
<br />
2 2<br />
i<br />
i<br />
<br />
<br />
<br />
Lanževeno lygtis (XVII)<br />
e<br />
i<br />
q kT<br />
d<br />
<br />
2<br />
m<br />
kT <br />
m <br />
i<br />
Kv,<br />
ve<br />
d<br />
2 2<br />
<br />
<strong>Brauno</strong> dalelės galios<br />
spektrinis tankinis aprašomas<br />
Lorenco kreive.<br />
kT<br />
m<br />
S<br />
, S v,<br />
v<br />
q / 2
Ergodiškumas<br />
Lanževeno lygtis (XVIII)<br />
• Svarbu pabrėžti, kad koreliatorius <strong>ir</strong> spektrinis tankis yra eksperimentiškai matuojami<br />
dydžiai. Koreliatorių galima apskaičiuoti iš vienos pakankamai ilgos realizacijos,<br />
vidurkinant signalų sandaugą duotu momentu t <strong>ir</strong> prastumtu laike momentu t+ :<br />
z<br />
t<br />
z<br />
t • Toks vidurkinimas pagal laiką bendruoju atveju nesutampa su vidurkinimu pagal<br />
ansamblį. Procesai, kuriems šie du vidurkiai sutampa vadinami ergodiniais <strong>procesai</strong>s.<br />
Paprastai stacionarūs <strong>procesai</strong> yra ergodinai <strong>ir</strong> jiems galioja lygybė:<br />
K<br />
z<br />
t<br />
t z t <br />
lim z<br />
t z t <br />
<br />
T<br />
1<br />
T<br />
t<br />
ztzt z<br />
t z t <br />
<br />
Todėl stacionariems stochastiniams procesams koreliacinės funkcijos santykinai<br />
paprastai apskaičiuojamos iš eksperimentinių realizacijų.<br />
T<br />
<br />
0<br />
dt<br />
t<br />
t
Lanževeno lygtis (XIX)<br />
• Įvertinkime sąlygas, kurioms esant, stacionarus procesas yra ergodinis, t.y. sąlygas,<br />
kurioms esant, vidurkis pagal laiką sutampa su vidurkiu pagal ansamblį.<br />
Tarkime Zt yra stacionarus stochastinis<br />
procesas. Mes matuojame realizacija<br />
z(t) intervale –T/2< t< T/2 <strong>ir</strong> vidurkiname<br />
pagal laiką šiame intervale<br />
z<br />
T<br />
1<br />
<br />
T<br />
T<br />
/ 2<br />
<br />
z<br />
T<br />
/ 2<br />
t<br />
dt<br />
Palyginkime šį vidurkį su vidurkiu<br />
pagal ansamblį<br />
z t z<br />
Vidurkis pagal ansamblį nepriklauso nuo<br />
laiko, nes procesas yra stacionarus.<br />
Klausymas:<br />
T<br />
lim<br />
zT<br />
T<br />
?<br />
z<br />
2 0<br />
z<br />
z T<br />
?<br />
Akivaizdu, kad zT z<br />
Todėl<br />
<br />
T<br />
<br />
z<br />
2<br />
T<br />
2<br />
2 2<br />
zT 2 zT<br />
z z zT<br />
z<br />
1<br />
<br />
T<br />
T / 2 T / 2<br />
2 <br />
T<br />
/ 2 T<br />
/ 2<br />
dt dt<br />
1<br />
2<br />
z<br />
t zt Kt<br />
t<br />
<br />
z <br />
1<br />
ttzt 2<br />
2<br />
1<br />
tzt Čia K yra koreliacinė funkcija – ji priklauso<br />
tik nuo laikų sk<strong>ir</strong>tumo<br />
z zt z <br />
K <br />
Taigi<br />
2 1 1<br />
2<br />
<br />
T<br />
1<br />
<br />
T<br />
T / 2 T / 2<br />
2 <br />
T<br />
/ 2 T<br />
/ 2<br />
dt dt<br />
1<br />
2<br />
K<br />
1<br />
z<br />
2<br />
2<br />
tt 1<br />
2<br />
2
• Pastarasis integralas skaičiuojamas panašiai, kaip Vinerio<br />
<br />
T<br />
1<br />
<br />
T<br />
T / 2 T / 2<br />
2 <br />
T<br />
/ 2 T<br />
/ 2<br />
dt dt<br />
1<br />
2<br />
K<br />
tt 1<br />
0<br />
T<br />
/ 2 T<br />
T / 2<br />
1 <br />
<br />
<br />
d<br />
K<br />
dt<br />
<br />
d<br />
K<br />
2<br />
dt<br />
T T<br />
T<br />
/ 2 0<br />
T<br />
/ 2 <br />
<br />
0<br />
T<br />
1 <br />
<br />
d<br />
K T <br />
<br />
d<br />
K T <br />
2<br />
T T<br />
0<br />
<br />
T<br />
T<br />
1<br />
1 <br />
d KTdK<br />
<br />
1<br />
2<br />
T<br />
T T<br />
T<br />
T<br />
<br />
<br />
d<br />
K<br />
• Jeigu integralas konverguoja (taip yra, kai<br />
<br />
koreliatorius pakankamai greitai mažėja didinant ), tai<br />
2<br />
Tuomet sistema yra ergodinė, nes lim z<br />
zT T<br />
lim 0<br />
T<br />
Lanževeno lygtis (XX)<br />
–Khintčeno<br />
T<br />
t<br />
t<br />
1<br />
1<br />
T<br />
/ 2<br />
T<br />
/ 2<br />
t<br />
t<br />
teoremoje.<br />
2<br />
T / 2<br />
T / 2<br />
<br />
Jakobianas=1<br />
c<br />
• Paprastai koreliatoriai eksponentiškai priklauso nuo :<br />
– charakteringas koreliacijos laikas. Tokios sistemos yra garantuotai ergodinės.<br />
<br />
c<br />
K<br />
<br />
e<br />
<br />
/ <br />
t<br />
2<br />
T<br />
/ 2<br />
<br />
T<br />
/ 2<br />
T / 2<br />
T / 2<br />
t1<br />
t
Lanževeno<br />
lygties sprendimas Furjė<br />
Lanževeno lygtis (XXI)<br />
transformacijos metodu<br />
• Apibrėžę spektrinį tankį, Lanževeno lygtį galime išspręsti Furjė transformacijos metodu.<br />
Tačiau pradžioje mums reikalingas tam tikras matematinis pas<strong>ir</strong>uošimas. Mums<br />
reiks išmokti skaičiuoti atsitiktinio kintamojo Furjė komponenčių sandaugos vidurkį.<br />
• Tegul z(t) yra stacionaraus atsitiktinio proceso kintamasis (tariame, kad =0).<br />
<br />
Suraskime Furjė integralą<br />
<strong>ir</strong> apskaičiuokime tokį<br />
z<br />
*<br />
<br />
z<br />
'<br />
dydį:<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
it i't<br />
'<br />
z<br />
t e dt zt'e<br />
<br />
<br />
dt'<br />
4<br />
Stacionariam procesui koreliatorius<br />
z<br />
1<br />
<br />
t<br />
it<br />
z e dt<br />
2<br />
<br />
t' t <br />
<br />
<br />
1<br />
2<br />
4<br />
<br />
i<br />
dte <br />
<br />
priklauso tik nuo laikų<br />
<br />
't d<br />
z<br />
t z t <br />
<br />
<br />
sk<strong>ir</strong>tumo, <strong>ir</strong> kadangi<br />
i i't<br />
t z t K<br />
d<br />
Ke<br />
2<br />
S<br />
dte<br />
2'<br />
z <br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
tai z z S'<br />
analogiškai galima įrodyti, kad z z S<br />
'<br />
<br />
'<br />
Šios lygybės iš<br />
<br />
<br />
<br />
esmės reiškia, kad stacionaraus proceso Furjė<br />
<br />
'<br />
komponentės <strong>ir</strong><br />
statistiškai nepriklausomos. Šios lygybės labai naudingos sprendžiant stochastines<br />
diferencialines lygtis esant stacionariems procesams.<br />
z<br />
*<br />
<br />
e<br />
i<br />
z'
Lanževeno lygtis (XXII)<br />
• Panaudojant aukščiau nustatytas lygybes, nesunku išspręsti <strong>Brauno</strong> dalelės Lanževeno<br />
lygtį<br />
• Išreiškime greitį<br />
• Įrašę<br />
v<br />
tai į<br />
t <br />
v<br />
Lanževeno<br />
t v <br />
v <br />
t 0<br />
<br />
<br />
<strong>ir</strong> atsitiktinę<br />
t<br />
v e d<br />
<br />
jėgą<br />
lygtį, gauname:<br />
t<br />
t' q<br />
t t'<br />
Furjė<br />
integralais:<br />
i <br />
t<br />
<br />
<br />
<br />
• Atitinkamos atv<strong>ir</strong>kštinės transformacijos:<br />
<br />
1<br />
it<br />
v<br />
t e dt<br />
2<br />
<br />
<br />
it<br />
e d<br />
<br />
<br />
1<br />
it<br />
<br />
t e dt<br />
2<br />
<br />
1<br />
<br />
i<br />
<br />
i v <br />
<br />
<br />
• Dabar apskaičiuojame greičio Furjė<br />
Iš<br />
komponenčių<br />
v<br />
<br />
sandaugos vidurkį.<br />
*<br />
vienos pusės, kaip bet kuriam stacionariam procesui: v v S '<br />
Iš kitos pusės:<br />
v<br />
*<br />
<br />
v<br />
'<br />
i <br />
'<br />
v,<br />
v<br />
1 1 * 1<br />
'<br />
S 2 2<br />
i<br />
<br />
<br />
, <br />
'
1<br />
2 2<br />
<br />
S Sv, v , <br />
Lanževeno lygtis (XXIII)<br />
• Sugretinę dvi paskutines lygybes, gauname ryšį tarp Lanžaveno šaltinio <strong>ir</strong> <strong>Brauno</strong><br />
dalelės spektrinio tankio<br />
• Lanževeno<br />
S<br />
, <br />
šaltinio spektrinį<br />
<br />
tankį<br />
1<br />
1<br />
<br />
,<br />
2<br />
2<br />
<br />
i<br />
K e d<br />
q<br />
<br />
• Tuomet <strong>Brauno</strong> dalelės greičio spektrinis tankis yra<br />
<strong>ir</strong> greičio koreliacinė<br />
K<br />
v,<br />
v<br />
funkcija<br />
Sv, v<br />
jau skaičiavome (tai baltas triukšmas)<br />
<br />
<br />
kT 1<br />
<br />
m <br />
2 2<br />
e<br />
i<br />
<br />
i<br />
kT e<br />
v,<br />
v<br />
m 2 2<br />
<br />
<br />
<br />
q kT<br />
d<br />
<br />
2<br />
m<br />
kT<br />
m<br />
i<br />
<br />
t<br />
vtvt<br />
S ed d<br />
e<br />
Taigi Furjė transformacijos metodu nesunkiai gauname visus senus rezultatus.
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (I)<br />
• Spręsdami Lanževeno lygtį mes aps<strong>ir</strong>ibojome dvilaikės <strong>Brauno</strong> dalelės koreliacinės<br />
funkcijos nustatymu. Dėl to mums pakako ribotos informacijos apie Lanževeno jėgos<br />
statistines savybes. Mes postulavome tik jos vidurkį <strong>ir</strong> dvilaikę koreliacinę funkciją.<br />
• Šio skyriaus tikslas yra nustatyti <strong>Brauno</strong> dalelės tikimybės tankio funkciją P(x,v,t).<br />
P(x,v,t)dxdv yra tikimybė, kad momentu t <strong>Brauno</strong> dalelės koordinatė <strong>ir</strong> greitis yra<br />
atitinkamai intervaluose [x, x+dx] <strong>ir</strong> [v, v+dv].<br />
• Čia pr<strong>ir</strong>eiks detalesnės informacijos apie Lanževeno jėgos statistines savybes.<br />
Paprastai Lanževeno jėga aprašoma delta-koreliuotu Gausiniu procesu (baltu<br />
triukšmu). Tuomet <strong>Brauno</strong> dalelės tikimybės tankio funkcija tenkina Fokerio-Planko<br />
lygtį. Čia mes tą lygtį išvesime.<br />
Gausinis procesas<br />
• Gausinis procesas yra Gauso sk<strong>ir</strong>stinio apibendrinimas stochastiniams procesams.<br />
Gausinis procesas yra universalus, panašiai kaip Gauso sk<strong>ir</strong>stinys. Jo universalumas<br />
išplaukia iš apibendrintos centrinės ribinės teoremos. Jeigu priklausantis nuo laiko<br />
atsitiktinis dydis z(t) yra sudarytas iš nepriklausomų atsitiktinių dydžių (t) sumos<br />
t z<br />
t z<br />
t <br />
z<br />
t, z 1 2<br />
n<br />
tai panašiai kaip centrinės ribinės teoremos atveju galima įrodyti, kad riboje ,<br />
procesas z(t) yra Gausinis. Panašiai kaip Gauso sk<strong>ir</strong>stinys pilnai užduodamas<br />
antruoju momentu, Gausinis procesas pilnai užduodamas dvilaike koreliacine funkcija.<br />
z i<br />
n
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (II)<br />
• Stochastinis procesas z(t) vadinamas Gausiniu, jeigu n laiko momentais t1, t2, ..., tn stebimų verčių z1, z2, ..., zn daugiamatė tikimybės tankio funkcija yra n-dimensinis<br />
Gausas:<br />
z <br />
j<br />
B –<br />
z<br />
t <br />
j<br />
n n 1<br />
<br />
<br />
Wn z1,<br />
t1;<br />
z2,<br />
t2;<br />
;<br />
zn,<br />
tn<br />
Bexp<br />
aij<br />
z j z j zizi 2 j1<br />
i1<br />
<br />
–<br />
kintamojo z(t) vidurkis momentu t j<br />
normavimo konstanta. Ji nustatoma iš<br />
aij A –<br />
<br />
<br />
sąlygos dz dz W zt; ;<br />
z , t 1 • Toliau įrodysime, kad atv<strong>ir</strong>kštinės matricos A elementai yra proceso z(t)<br />
dvilaikės koreliacinės funkcijos:<br />
1<br />
z z z z zt<br />
zt ij<br />
i<br />
i<br />
j<br />
a <br />
a<br />
j<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
zt<br />
zt<br />
<br />
i<br />
i<br />
n<br />
n<br />
1,<br />
1<br />
reali simetrinė ( ij ji ) teigiamai apibrėžta (visos tikrinės vertės<br />
teigiamos) matrica<br />
Kt<br />
t <br />
A ,<br />
j<br />
j<br />
i<br />
j<br />
n<br />
n
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (III)<br />
• Kad tai įrodytume mums reiks pasinaudoti charakteristine funkcija. Charakteristinę<br />
funkciją mes buvome įvedę anksčiau vienmačiam sk<strong>ir</strong>stiniui. Charakterestinės<br />
funkcijos apibrėžimas daugiamačiam sk<strong>ir</strong>stiniui nesunkiai apibendrinamas:<br />
<br />
n<br />
<br />
<br />
n <br />
f k<br />
<br />
<br />
1,<br />
,<br />
kn<br />
exp<br />
<br />
ik<br />
jz<br />
j dz1<br />
dznWn<br />
z1,<br />
t1;<br />
;<br />
zn,<br />
tn<br />
exp<br />
<br />
ik<br />
jz<br />
j<br />
j1<br />
<br />
<br />
j1<br />
<br />
Atkreipkime dėmesį įtai, kad iš<br />
Tolimesniam užrašų<br />
z<br />
<br />
z <br />
<br />
z<br />
1<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Tuomet Gausinį<br />
f<br />
<br />
sk<strong>ir</strong>stinį<br />
sutrumpinimui įvesime vektorinius žymėjimus<br />
k<br />
<br />
k <br />
<br />
k<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
T<br />
1 z z1zn W<br />
n<br />
<strong>ir</strong> jo charakteristinę<br />
<br />
<br />
kk T<br />
k 1<br />
funkciją<br />
1 <br />
<br />
T<br />
z1, t1;<br />
;<br />
zn,<br />
tn<br />
Bexp y Ay<br />
2 <br />
<br />
<br />
exp 1 <br />
n<br />
galima užrašyti taip:<br />
k ik z<br />
dy dy B y Ay<br />
ik yz T<br />
T T<br />
exp<br />
exp<br />
<br />
<br />
W n<br />
normavimo išplaukia lygybė: f<br />
0, ,<br />
0<br />
1<br />
<br />
n<br />
<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
y z z<br />
<br />
dz<br />
dy
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (IV)<br />
<br />
1<br />
<br />
• Pastarajame integrale pakeisime integravimo kintamuosius: y u iA<br />
k dy<br />
du<br />
f<br />
<br />
<br />
<br />
T<br />
k du du B u iA k AuiA<br />
k ik uiA k z <br />
1<br />
1<br />
T 1<br />
exp<br />
exp<br />
<br />
<br />
<br />
exp<br />
1<br />
<br />
Apskaičiuojame išraišką<br />
<br />
<br />
<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
k<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
eksponentės rodiklyje po integralu<br />
<br />
<br />
<br />
T<br />
u<br />
<br />
T T 1<br />
1<br />
T 1<br />
ik<br />
z k A B du du exp<br />
ik<br />
A <br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
1<br />
T<br />
A <br />
A u <br />
1<br />
A 1<br />
A<br />
T<br />
n<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
T 1<br />
T <br />
A u iA<br />
k ik<br />
u<br />
<br />
1 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
u ik<br />
iA k ik<br />
u u Au<br />
k A k <br />
T T<br />
1<br />
T 1 T<br />
T 1<br />
<br />
<br />
Čia panaudojome lygybes (teisinga simetrinėms matricoms) <strong>ir</strong><br />
f<br />
<br />
k<br />
<br />
<br />
T 1 <br />
T 1<br />
<br />
expik z k A k B<br />
du1<br />
du<br />
1 <br />
exp<br />
u<br />
Tuomet n<br />
<br />
2 <br />
<br />
2 <br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
Prisiminkime, kad 0 1<br />
, todėl konst. B tenkina: B du du exp<br />
<br />
T<br />
<br />
<br />
Au<br />
<br />
<br />
u<br />
T<br />
<br />
<br />
k k<br />
T<br />
<br />
f 1 n u Au<br />
1<br />
2 <br />
f<br />
<br />
expik<br />
1 <br />
k<br />
Galutinai gauname: <br />
2 <br />
<br />
k<br />
T<br />
<br />
z<br />
T<br />
<br />
<br />
1 <br />
A k<br />
<br />
T<br />
<br />
u<br />
– Gausinio proceso<br />
charakteristinė funkcija
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (V)<br />
• Žinodami charakteristinę funkciją galime apskaičiuoti daugiamačio Gausinio sk<strong>ir</strong>stinio<br />
momentus <strong>ir</strong> komuliantus. Daugiamačio sk<strong>ir</strong>stinio momentų apibrėžimas yra toks:<br />
Ryšys tarp komuliantų<br />
r1<br />
rn<br />
z, t ; z<br />
, t zz r1<br />
rn<br />
z z<br />
dz dz W<br />
<br />
1<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
Šiuos momentus galima nustatyti skleidžiant charakteristinę<br />
1<br />
<strong>ir</strong> momentų<br />
<br />
<br />
<br />
n<br />
n<br />
1<br />
nustatomas iš<br />
1<br />
n<br />
n<br />
lygybės:<br />
1<br />
n<br />
funkciją<br />
<br />
r1<br />
rn<br />
n ik ik<br />
1<br />
f exp<br />
j j <br />
1 <br />
j 1<br />
r r r<br />
10<br />
rn 0<br />
1!<br />
n!<br />
1<br />
n r rn<br />
k i<br />
k z <br />
z z<br />
n<br />
Teiloro<br />
r1<br />
rn<br />
r1<br />
rn<br />
ik ik<br />
ik ik<br />
1 n<br />
1<br />
f <br />
eilute<br />
Skleisdami Teiloro eilute charakteristinės funkcijos logaritmą gauname daugiamačio<br />
sk<strong>ir</strong>stinio komuliantus r r n C z z<br />
(pagal apibrėžimą, komuliantai yra šio skleidinio<br />
n<br />
koeficientai)<br />
1<br />
1<br />
1 n r r<br />
1 n r r<br />
k z1<br />
zn<br />
exp<br />
C z1<br />
zn<br />
<br />
r 0<br />
r 0<br />
r1!<br />
rn!<br />
r<br />
0<br />
r 0<br />
r1!<br />
rn!<br />
<br />
1<br />
n<br />
<br />
ln <br />
<br />
<br />
<br />
r<br />
r<br />
ik1 ikn<br />
r r<br />
f k <br />
Czz<br />
r 0<br />
1<br />
n<br />
1<br />
r 0<br />
1<br />
r!<br />
r<br />
!<br />
n<br />
1<br />
n<br />
1<br />
n<br />
1<br />
n<br />
n<br />
(Šioje sumoje nėra nario<br />
)<br />
r <br />
1 r2<br />
rn<br />
0<br />
n
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (VI)<br />
• Parodysime, kaip tas sąryšis nustatomas žemos eilės momentams <strong>ir</strong> komuliantams<br />
f<br />
<br />
k ik z ik <br />
Sulyginę<br />
:<br />
1<br />
2 ik ik <br />
ik ik z <br />
1 2 2 2<br />
1 1 1 2 z2<br />
z1<br />
z2<br />
1 2 1z2<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
ik <br />
1 2 ik2<br />
2<br />
exp ik1<br />
C z1<br />
ik2<br />
C z2<br />
C z1<br />
Cz2ik1ik2<br />
Cz1z2 <br />
2 2<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
ik1 2 ik2 2<br />
1 ik1<br />
C z1<br />
ik2<br />
C z2<br />
C z1<br />
Cz2ik1ik2<br />
Cz1z2 2 2<br />
1 2<br />
2<br />
ik1<br />
C z1<br />
C z1<br />
ik2<br />
C z2<br />
C z2<br />
2 ik1<br />
ik2<br />
C z1<br />
C z2<br />
<br />
2<br />
narius prie įva<strong>ir</strong>ių<br />
k laipsnių<br />
2<br />
ik z Cz<br />
:<br />
1<br />
1<br />
: ik z1z2 Cz1z2Cz1Cz2Cz1z2z1z2<br />
1 2 ik<br />
2<br />
gauname ieškomus sąryšius, pavyzdžiui<br />
2 2<br />
2 2<br />
ik z1 Cz1<br />
Cz1<br />
Cz1 Cz1<br />
z1<br />
1<br />
Išlaikant skleidimo narius iki trečio laipsnio galima gauti trečios eilės momento išraišką:<br />
1<br />
2<br />
2<br />
z1z2z3z1Cz2z3z2Cz1z3z3Cz1z2 z1<br />
z2<br />
z3<br />
z z z C<br />
<br />
z1z2 <br />
z1z2<br />
z1<br />
z2<br />
C
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (VII)<br />
• Po šio trumpo ekskurso į bendrą daugiamačių sk<strong>ir</strong>stinių momentų <strong>ir</strong> komuliantų teoriją<br />
grįžkime prie Gausinio proceso. Prisiminkime, kad šio proceso charaktristinė funkcija yra<br />
f<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
T<br />
T 1<br />
1<br />
k expik<br />
z k A k expik<br />
j z j Amjk<br />
jkm<br />
<br />
2 j1<br />
2 j1<br />
m1<br />
<br />
• Kadangi charakteristinės<br />
<br />
funkcijos logaritme<br />
ln<br />
<br />
yra tik p<strong>ir</strong>mos <strong>ir</strong> antros eilės nariai pagal k, tai reiškia, kad daugiamačio Gausinio<br />
sk<strong>ir</strong>stinio tik p<strong>ir</strong>mos <strong>ir</strong> antros eilės komuliantai nelygus nuliui, o visi aukštesnių eilių<br />
1<br />
komuliantai yra nuliai. Iš komuliantų apibrėžimo išplaukia, kad A mj Czmz<br />
j <br />
• Kita vertus, iš momentų <strong>ir</strong> komuliantų sąryšio turime:<br />
n<br />
<br />
n<br />
n n 1<br />
1<br />
f k i k z A <br />
j1<br />
j<br />
j<br />
2<br />
<br />
j1<br />
1<br />
n<br />
<br />
m1<br />
1 A mj Czmzjzmzjzmzj<br />
z zzzt zt<br />
zt<br />
zt<br />
<br />
m<br />
m<br />
j<br />
j<br />
m<br />
m<br />
n<br />
mj<br />
k<br />
j<br />
k<br />
m<br />
Kt<br />
t <br />
z ,<br />
Taigi įrodėme, kad atv<strong>ir</strong>kštinės matricos A elementai yra proceso z(t) koreliacinės<br />
funkcijos. Matome, kad Gausinis procesas pilnai apibrėžiamas vidurkiu zt<br />
j <strong>ir</strong><br />
dvilaike koreliacine funkcija .<br />
t <br />
K ,<br />
m t j<br />
j<br />
j<br />
<br />
m<br />
j
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (VIII)<br />
Šie parametrai vienareikšmiškai definuoja Gausinio proceso carakteristinę<br />
Toliau nagrinėsime stacionarų<br />
f<br />
<br />
<br />
n<br />
kexpik j ztj<br />
Ktm,<br />
t j kjkm j1<br />
2 j1<br />
m1<br />
<br />
Gausinį<br />
Be to tarsime, kad Gausinio proceso vidurkis yra lygus nuliui:<br />
1<br />
n<br />
procesą, tuomet<br />
zt j const Kt m,<br />
t j Kt<br />
j tm<br />
<br />
<br />
n<br />
<br />
t 0<br />
funkciją:<br />
Šiuo atveju koreliacinė funkcija K t<br />
<strong>ir</strong> charakteristinės funkcijos<br />
j tm<br />
z tm<br />
z t j<br />
išraiška supaprastėja<br />
f<br />
<br />
<br />
1<br />
n<br />
kexp Ktjtmkjkm<br />
2 j1<br />
m1<br />
<br />
n<br />
Matome, kad esant šioms prielaidoms dvilaikė koreliacinė funkcija (priklausanti nuo<br />
laikų sk<strong>ir</strong>tumo) pilnai charakterizuoja Gausinį procesą. Tai reiškia, kad daugialaikės<br />
koreliacinės funkcijos turi būti išreiškiamos dvilaikėmis.<br />
<br />
n n 1<br />
exp<br />
<br />
2 j1<br />
m1<br />
z<br />
z<br />
<br />
tmztj k jkm
Galima įrodyti tokią<br />
formulę<br />
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (IX)<br />
0,<br />
kai n nelyginis<br />
<br />
z t1zt <br />
ztmztj,<br />
kai<br />
visos poros<br />
n n lyginis<br />
Pavyzdys: Norėdami pailiustruoti šios formulės taikymą apskaičiuosime trilaikę <strong>ir</strong> keturlaikę<br />
koreliacines funkcijas.<br />
Sprendimas:<br />
z<br />
tztzt 0<br />
1<br />
2<br />
3<br />
tztzt z t zt<br />
zt zt<br />
zt zt<br />
z t zt<br />
zt zt<br />
zt zt<br />
zt <br />
z <br />
1<br />
2<br />
Ši formulė<br />
f<br />
<br />
3<br />
4<br />
gaunama iš<br />
1<br />
<br />
, nes n nelyginis.<br />
1<br />
2<br />
lygybės<br />
kexp ztmztj<br />
k jkm<br />
<br />
2 j1<br />
m1<br />
<br />
skleidžiant eksponentę<br />
n<br />
n<br />
Teiloro<br />
3<br />
4<br />
<br />
1<br />
3<br />
<br />
<br />
r 0<br />
1<br />
<br />
n<br />
2<br />
4<br />
r1<br />
rn<br />
ik1 ikn<br />
r rn<br />
r 0<br />
1<br />
r!<br />
r<br />
!<br />
eilute <strong>ir</strong> lyginant koeficientus prie vienodų<br />
n<br />
1<br />
z<br />
1<br />
1<br />
4<br />
z<br />
n<br />
2<br />
3<br />
k laipsnių.
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (X)<br />
• Dar aptarsime vieną svarbų klausymą, kuris mums bus reikalingas išvedinėjant<br />
Fokerio-Planko lygtį. Tai klausymas, kiek narių yra išraiškoje, kuri riša 2n-laikę<br />
koreliacinę funkciją su dvilaikių koreliacinių funkcijų sandaugomis.<br />
Pastarajame pavyzdyje matėme, kad keturlaikės (n=2) koreliacinės funkcijos išraiškoje<br />
yra 3 nariai. Bendras atsakymas į šį klausymą yra toks:<br />
Narių<br />
t1zt2zt2nzt1zt2 zt3<br />
z t4<br />
zt2n1<br />
zt n<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z 2<br />
skaičius 2n<br />
Kiek narių ?<br />
<br />
<br />
laikės koreliacinės funkcijos skleidinyje<br />
=<br />
2n n<br />
!<br />
n!<br />
2<br />
• Šis rezultatas gaunamas taip. Mums reikia suskaičiuoti kiek yra sk<strong>ir</strong>tingų porų iš 2n<br />
2<br />
laiko taškų. P<strong>ir</strong>mą porą galima pas<strong>ir</strong>inkti C būdais. Po to, kai p<strong>ir</strong>ma<br />
2n<br />
2n2n 1<br />
/ 2<br />
2<br />
pora pas<strong>ir</strong>inkta, antrą porą galima pas<strong>ir</strong>inkti C2n2 2n22n3/ 2 būdais, <strong>ir</strong> t.t.<br />
Bendras sk<strong>ir</strong>tingų porų skaičius yra<br />
n 1<br />
<br />
i 0<br />
<br />
<br />
2n 2i<br />
2n 2i<br />
1<br />
2n2n 1<br />
2n 22n<br />
3<br />
21 2n 2<br />
Gaminant sandaugas iš<br />
n<br />
porų<br />
<br />
2<br />
gausime n!<br />
2<br />
sutampančių<br />
nesikeičia perstatant jos elementus. 2 <br />
Sk<strong>ir</strong>tingų sandaugų skaičius iš n porų =<br />
n<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
sandaugų, nes sandauga<br />
n !<br />
n!<br />
2<br />
n<br />
!
Fokerio-Planko lygtis<br />
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (XI)<br />
• Išsiaiškinę Gausinio proceso savybes išvesime lygtį, kurią tenkina <strong>Brauno</strong> dalelės<br />
tikimybės tankio funkcija. Mes vėl startuosime nuo Lanževeno lygčių.<br />
x<br />
v<br />
v f x t t 0 t t' q<br />
t t'<br />
<br />
<br />
v<br />
<br />
t –<br />
Gausinis procesas<br />
• Iki šiol spręsdami Lanževeno lygtis mes domėjomės tik žemos eilės koreliacinėmis<br />
funkcijomis <strong>ir</strong> mums pakako tik dviejų p<strong>ir</strong>mų postulatų apie Lanževeno jėgą. Dabar<br />
mūsų tikslas yra nustatyti <strong>Brauno</strong> dalelės tikimybės tankio funkciją. Dėl to reikalingas<br />
papildomas postulatas apie Lanževeno šaltinį, kuris detaliai nusakytų atsitiktinio<br />
proceso savybes. Čia postuluojame, kad Lanževeno jėga aprašoma Gausiniu<br />
procesu. Turint omenyje dar du p<strong>ir</strong>mus postulatus, toks procesas vadinamas baltu<br />
(arba delta koreliuotu) Gausiniu triukšmu su nuliniu vidurkiu.<br />
• Čia mes nagrinėjame bendresnį nei anksčiau <strong>Brauno</strong> dalelės judėjimo uždavinį.<br />
Mes tariame, kad <strong>Brauno</strong> dalelė juda potenciniame lauke Vx<br />
, t.y. ją veikia ne tik<br />
atsitiktinė Lanževeno jėga, bet dar <strong>ir</strong> išorinio lauko jėga Fx V<br />
x/ x<br />
. Kad būtų<br />
paprastesnės išraiškos, Lanževeno lygtyse tą jėgą mes normavome į masę<br />
F x /<br />
m f x .
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (XII)<br />
• Mes parodysime, kad esant aukščiau išvardintiems postulatams, <strong>Brauno</strong> dalelės<br />
tikimybės tankio funkcija tenkina antrosios eilės (difuzijos tipo) diferencialinę lygtį,<br />
kuri vadinama Fokerio-Planko lygtimi.<br />
• Fokerio-Planko lygtį išvesime dviem etapais. Pradžioje mes užrašysime<br />
Lanževeno lygtis kitokiu pavidalu. Mes nagrinėsime vienodų sistemų ansamblio<br />
judėjimą (x,v) plokštumoje. P<strong>ir</strong>mame etape tarsime, kad atsitiktinės jėgos realizacija<br />
(t) visose ansamblio nariuose yra ta pati. Ansamblio nariai sk<strong>ir</strong>iasi tik pradinėmis<br />
<strong>Brauno</strong> dalelės koordinatės <strong>ir</strong> greičio (x <strong>ir</strong> v) reikšmėmis. Mes apibrėšime (x,v)<br />
plokštumoje ansamblio tankį (x,v,t) <strong>ir</strong> užrašysime tam tankiui tolydumo lygtį.<br />
• Antrame etape tolydumo lygtį suvidurkinsime pagal atsitiktinės jėgos<br />
realizacijas <strong>ir</strong> suvidurkintam tankiui =P(x,v,t) gausime Fokerio-Planko lygtį.<br />
Suvidurkintas tankis P(x,v,t) kaip tik atitinka <strong>Brauno</strong> dalelės tikimybės tankio funkciją,<br />
t.y. P(x,v,t)dxdv yra tikimybė, kad momentu t <strong>Brauno</strong> dalelės koordinatė <strong>ir</strong> greitis bus<br />
atitinkamai intervaluose [x, x+dx] <strong>ir</strong> [v, v+dv].<br />
• Fokerio-Planko lygties išvedimas reikalauja nemažai algebrinių veiksmų. Tačiau<br />
reikia pažymėti, kad šis išvedimas yra centrinis šiuolaikinės <strong>Brauno</strong> judėjimo<br />
teorijos momentas. Jis svarbus ne tik <strong>Brauno</strong> judėjimo teorijai, bet <strong>ir</strong> bendresnei<br />
stochastinių procesų bei stochastinių diferencialinių lygčių teorijai.
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (XIII)<br />
• P<strong>ir</strong>mas etapas (tolydumo lygtis). Tarkime, kad mes turime N vienodų sistemų<br />
ansamblį. Kiekvienos sistemos būsena charakterizuojama dviem skaičiais (xi, vi ),<br />
i=1,…,N, kuriuos vaizduosime taškais fazinėje (x,v) plokštumoje.<br />
v<br />
v<br />
<br />
dx<br />
x<br />
x, v,<br />
t<br />
dv<br />
dN<br />
dxdv<br />
lim<br />
N x<br />
dN<br />
N<br />
Kiekvienas taškas juda fazinėje plokštumoje pagal Lanževeno<br />
lygtis (tariame, kad visas sistemas veikia ta pati<br />
Lanževeno jėga (t))<br />
(x,v,t) –<br />
<br />
x<br />
v<br />
x t v<br />
<br />
v f <br />
ansamblio tankis taške (x,v) momentu t<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dx dv<br />
<br />
x, v,<br />
t<br />
Įveskime vektorinius žymėjimus: z x, v<br />
z x , v<br />
v, <br />
v f x t<br />
<br />
Kadangi faziniai taškai savaime neats<strong>ir</strong>anda <strong>ir</strong> neišnyksta tai jų skaičius išsk<strong>ir</strong>tame<br />
fazinės erdvės tūrelyje gali kisti tik dėl atėjimo <strong>ir</strong> išėjimo pro tūrelio sieneles <strong>ir</strong> todėl<br />
tankis tenkina tolydumo lygtį<br />
<br />
<br />
<br />
t<br />
z, t<br />
zz,<br />
t<br />
z<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1
• Grįžtant nuo vektorių<br />
Tegul pradiniu laiko momentu fazinių<br />
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (XIV)<br />
prie komponenčių, tolydumo lygtį<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
t<br />
x<br />
v<br />
taškų<br />
<br />
<br />
z, 0<br />
z tankis yra<br />
0<br />
<br />
galima užrašyti taip<br />
x, v,<br />
tvx,<br />
v,<br />
tvfx<br />
tx,<br />
v,<br />
t<br />
Ši lygtis yra ekvivalenti Lanževeno lygtims. Čia tik nagrinėjama dinamika ne vienos<br />
sistemos, o sistemų ansamblio, tariant, kad atsk<strong>ir</strong>i ansamblio nariai turi sk<strong>ir</strong>tingas<br />
pradines sąlygas.<br />
• Tolydumo lygtį galima išvesti daugeliu sk<strong>ir</strong>tingų būdų. Standartinis būdas yra<br />
apskaičiuoti srautus pro išsk<strong>ir</strong>to fazinėje erdvėje tūrelio sieneles <strong>ir</strong> surišti juos su<br />
fazinių taškų skaičiaus pokyčiu tame tūrelyje. Čia mes pateiksime nelabai tradicišką,<br />
formalų matematinį tolydumo lygties išvedimą, tinkantį bet kurios dimensijos<br />
dinaminei sistemai.<br />
• Tarkime, kad atsk<strong>ir</strong>ų<br />
ansamblio narių<br />
dinamika aprašoma diferencialinėmis lygtimis<br />
z ,<br />
<br />
t z<br />
t<br />
(mūsų atveju tai Lanževeno lygtys). Pažymėkime jų sprendinį, atitinkantį pradinę<br />
<br />
sąlygą :<br />
z<br />
0 <br />
z0<br />
<br />
z ,<br />
t Zz<br />
t<br />
0
Tuomet, panaudojant D<strong>ir</strong>ako delta funkciją, taškų<br />
Diferencijuojame šią<br />
lygybę<br />
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (XV)<br />
pagal laiką:<br />
tankį<br />
<br />
, z<br />
<br />
z t<br />
dz<br />
z Zz<br />
, t<br />
<br />
0<br />
0 0 0<br />
momentu t<br />
<br />
<br />
<br />
z,<br />
t dz0<br />
z Z z0,<br />
t 0z0<br />
t<br />
t<br />
<br />
Z<br />
<br />
<br />
<br />
dz0 <br />
<br />
z<br />
z Z z0,<br />
t 0z0<br />
t<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dz0 Z,<br />
t <br />
z<br />
z Zz0,<br />
t0z0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z dz0<br />
Z,<br />
t z Zz0,<br />
t0z0<br />
<br />
<br />
z z,<br />
t<br />
dz0<br />
z Zz0,<br />
t<br />
0<br />
z<br />
<br />
<br />
<br />
, t z,<br />
t <br />
z<br />
z,<br />
t<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
z<br />
<br />
<br />
z z<br />
galimą<br />
užrašyti taip:<br />
Taigi išvedėme tolydumo lygtį. Ji yra ekvivalenti sistemos dinaminėms lygtims <strong>ir</strong> teisinga<br />
bet kurios dimensijos dinaminiai sistemai. Tolydumo lygtis aprašo vienodų sistemų<br />
ansamblio dinamiką, kai atsk<strong>ir</strong>ų ansamblio narių pradinės sąlygos yra sk<strong>ir</strong>tingos.
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (XVI)<br />
• Antras etapas (vidurkinimas pagal atsitiktinę jėgą). Antras Fokerio-Planko<br />
lygties išvedimo etapas yra ilgesnis <strong>ir</strong> sudėtingesnis. Šio etapo tikslas yra gauti<br />
<strong>Brauno</strong> dalelės tikimybės tankio funkcijos lygtį. <strong>Brauno</strong> dalelės tikimybės tankio<br />
funkciją P(x,v,t) gausime, suvidurkinę funkciją (x,v,t) pagal atsitiktinės jėgos<br />
realizacijas<br />
x, v,<br />
t<br />
x, v t<br />
<br />
P ,<br />
Lygtį dėl P(x,v,t) gausime iš tolydumo lygties, vidurkindami ją pagal atsitiktinę jėgą.<br />
Čia mums pr<strong>ir</strong>eiks postulatų apie atsitiktinės jėgos statistines savybes. Pradžioje<br />
užrašysime tolydumo lygtį patogesne forma<br />
<br />
<br />
t<br />
<br />
x<br />
<br />
v<br />
<br />
L<br />
ˆ x,<br />
v,<br />
t Lˆ<br />
x,<br />
v,<br />
t<br />
Lˆ<br />
0<br />
x, v,<br />
tvx,<br />
v,<br />
tvfx<br />
tx,<br />
v,<br />
t<br />
<br />
v <br />
<br />
v <br />
x<br />
v<br />
0<br />
<br />
Čia mes įvedėme du tokius diferencialinius operatorius:<br />
f<br />
1<br />
<br />
x v<br />
Lˆ<br />
1<br />
<br />
<br />
t<br />
v<br />
P<strong>ir</strong>masis operatorius yra grynai deterministinis, o į antrą įeina atsitiktinė jėga (t),<br />
kuri pagal prielaidą yra baltas (delta koreliuotas) Gausinis triukšmas.
• Apibrėžkime pagalbinę<br />
<br />
t<br />
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (XVII)<br />
tankio funkciją<br />
<br />
(t),<br />
L0t t e t<br />
<br />
ˆ <br />
<br />
<br />
L<br />
t<br />
Lˆ<br />
0<br />
t<br />
e t Lˆ<br />
0 e <br />
t<br />
kuri siejasi su tankiu (t)<br />
<br />
Lˆ<br />
t<br />
L e t<br />
ˆ ˆ<br />
0<br />
1<br />
0<br />
tokia lygybe<br />
Čia, kad būtų paprasčiau, mes nerašome funkcijų argumentuose x <strong>ir</strong> v kintamųjų, o<br />
išsk<strong>ir</strong>iam tik priklausomybę nuo t. Gaukime lygtį pagalbinei funkcijai (t).<br />
Lˆ<br />
0<br />
<br />
Lˆ<br />
0t<br />
Lˆ<br />
t <br />
Lˆ<br />
0<br />
0t<br />
e t e <br />
t Lˆ<br />
<br />
e <br />
t<br />
t<br />
<br />
t<br />
t<br />
0<br />
<br />
Lˆ<br />
t<br />
Lˆ<br />
<br />
e t<br />
L t ˆ Lˆ<br />
t Lˆ<br />
Lˆ<br />
t<br />
Lˆ<br />
0 0t<br />
<br />
t e Lˆ<br />
<br />
0 ˆ 0t<br />
e <br />
t<br />
<br />
<br />
e 0<br />
Pastarosios lygties sprendinį<br />
e<br />
<br />
<br />
t<br />
L e <br />
t<br />
1<br />
t Vˆ<br />
t <br />
t<br />
1<br />
Vˆ<br />
formaliai galima užrašyti taip:<br />
<br />
<br />
t<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
t exp dt'Vˆ<br />
t' 0 <br />
0<br />
<br />
t<br />
Lˆ<br />
t Lˆ 0 t<br />
t e Lˆ<br />
0 e <br />
t 1<br />
1
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (XVIII)<br />
• Šiame atsakyme eksponentę išskleidžiame Teiloro eilute <strong>ir</strong> suvidurkiname šią lygtį<br />
pagal atsitiktinę jėgą.<br />
n t<br />
n<br />
<br />
1 <br />
' ˆ<br />
<br />
t <br />
' <br />
0<br />
0 ! <br />
dt V t<br />
<br />
<br />
t<br />
n<br />
n 0 <br />
<br />
t t Vˆ <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 n!<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
n<br />
n0<br />
0<br />
t<br />
dt'Vˆ<br />
<br />
<br />
<br />
n<br />
t'<br />
<br />
0 Prisiminkime, kad . Čia (t) yra baltas (delta koreliuotas) Gausinis<br />
triukšmas su nuliniu vidurkiu. Apskaičiuokime išraišką:<br />
Qˆ<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
t<br />
<br />
0<br />
dt'Vˆ<br />
<br />
<br />
<br />
n<br />
t t<br />
t'<br />
dt dt Vˆ<br />
tVˆt <br />
1 <br />
0 0<br />
Gausinio proceso daugialaikė koreliacinė funkcija lygi nuliui, jeigu n nelyginis. Jeigu<br />
n=2m lyginis, tai daugialaikę koreliacinę funkciją galima išreikšti suma sudaryta iš<br />
dvilaikių koreliacinių funkcijų sandaugų<br />
ˆ<br />
t VˆtVˆtm Vˆ<br />
t Vˆ t Vˆ<br />
t Vˆt Vˆ<br />
t m<br />
Vˆ 1 2 2<br />
1 2 3 4<br />
2 1 t m<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2m! Viso narių<br />
m<br />
V 2<br />
n<br />
1<br />
m!<br />
2<br />
n<br />
<br />
<br />
n<br />
<br />
Q ˆ
Qˆ<br />
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (XIX)<br />
• Daugiamatis integralas nuo pastarosios išraiškos lygus sumai<br />
sutampančių integralų.<br />
2m<br />
<br />
t t<br />
tVˆt <br />
2m t t<br />
tVˆt Vˆ<br />
tVˆt dt1dt2m V 1 2m<br />
m dt1dt2m V 1 2<br />
2m<br />
0 0<br />
Taigi dydžiui Q 2m<br />
t<br />
<br />
Qˆ<br />
1<br />
2m<br />
ˆ<br />
<br />
gauname tokią<br />
t <br />
dt'Vˆ<br />
<br />
0<br />
t'<br />
n <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Qˆ<br />
n<br />
0 n0<br />
n!<br />
m0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
!<br />
m!<br />
2<br />
2m 0 0<br />
<br />
t t<br />
!<br />
dt m<br />
m <br />
1<br />
! 2 <br />
0 0<br />
išraišką<br />
2m<br />
1<br />
2<br />
m<br />
<br />
2m <br />
dt<br />
2<br />
t t<br />
!<br />
dt m<br />
m <br />
1<br />
! 2 <br />
0 0<br />
<br />
Qˆ<br />
!<br />
2m<br />
Vˆ<br />
ˆ<br />
tVˆt <strong>ir</strong> dabar galime apskaičiuoti pagalbinės tankio funkcijos vidurkį<br />
dt<br />
2<br />
1<br />
<br />
<br />
0 <br />
1 1<br />
<br />
! <br />
m<br />
m<br />
2<br />
<br />
Vˆ<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
m<br />
tVˆt 1<br />
t t<br />
dt <br />
1<br />
0 0 0<br />
2<br />
dt<br />
2<br />
2m m<br />
!<br />
m!<br />
2<br />
<br />
Vˆ<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
m<br />
1<br />
2m<br />
<br />
tVˆt 0<br />
1<br />
2<br />
<br />
m
Pastaroji suma yra eksponentės Teiloro<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (XX)<br />
eilutė, todėl<br />
t exp dt dt Vˆ<br />
tVˆt 0<br />
<br />
t t<br />
<br />
1<br />
0 0<br />
Dabar apskaičiuosime integralą<br />
1<br />
2<br />
t t<br />
dt1 0 0<br />
dt<br />
2<br />
Vˆ<br />
t t<br />
2<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
eksponentės argumente<br />
Lˆ<br />
t Lˆ<br />
tt tVˆ 0 1 0 2 1<br />
t dt dt tt<br />
e e<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
2<br />
q<br />
2<br />
q<br />
2<br />
1<br />
0 0<br />
t t<br />
dt1 2<br />
dt <br />
2<br />
0 0<br />
t<br />
Lˆ<br />
0t1<br />
dt1e<br />
0<br />
<br />
v<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
v<br />
<br />
v<br />
Lˆ<br />
t Lˆ<br />
0 1 0 t2t1 ttee 2<br />
2<br />
1<br />
e<br />
2<br />
Lˆ<br />
t<br />
Todėl pagalbinės tankio funkcijos vidurkis yra<br />
0 1<br />
t<br />
2<br />
q<br />
<br />
1 2 <br />
2<br />
v<br />
0<br />
<br />
Lˆ<br />
ˆ<br />
0t1 L0t1<br />
t exp dt e e 0<br />
<br />
Vˆ<br />
<br />
<br />
<br />
v<br />
Lˆ<br />
t<br />
Lˆ 0<br />
0t<br />
t e t e <br />
v<br />
<br />
e<br />
<br />
v<br />
Lˆ<br />
t<br />
e<br />
0 2<br />
Lˆ<br />
t<br />
0 2
Diferencijuodami šią<br />
išraišką<br />
<br />
t<br />
Dabar jau galime gauti lygtį<br />
Diferencijuojame šią<br />
t<br />
lygybę<br />
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (XXI)<br />
t<br />
<br />
gauname, kad tenkina tokią<br />
2<br />
q <br />
t<br />
2 v<br />
Lˆ 0t<br />
Lˆ<br />
0t<br />
t e e <br />
<br />
2<br />
<br />
<strong>ir</strong> suvidurkintam tankiui<br />
Lˆ<br />
0t<br />
t e <br />
<br />
<br />
t<br />
pagal laiką<br />
t <br />
<strong>ir</strong> panaudojame v<strong>ir</strong>šutinę<br />
Lˆ t<br />
t Lˆ<br />
0 e<br />
0<br />
Lˆ<br />
t 0 <br />
t e<br />
<br />
t<br />
<br />
t<br />
Lˆ<br />
0 t<br />
2<br />
Lˆ<br />
t q Lˆ<br />
t <br />
0 0 Lˆ<br />
0t<br />
e<br />
e e<br />
<br />
2<br />
2 v<br />
t<br />
2<br />
q<br />
Lˆ <br />
0 t 2<br />
2 v<br />
<br />
t <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
diferencialinę lygtį<br />
lygtį<br />
Prisiminę, kad Lˆ<br />
0 v <br />
<br />
v f x <strong>ir</strong> t<br />
Px,<br />
v,<br />
t<br />
<br />
x v v<br />
<br />
dėl<br />
t
galutinai gauname Lygtį<br />
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (XXII)<br />
<strong>Brauno</strong> dalelės tikimybės tankio funkcijai P=P(x,v,t)<br />
P<br />
P<br />
<br />
v<br />
<br />
t<br />
x v<br />
2<br />
q P<br />
2 v<br />
vfxP2 Tai yra Fokerio-Planko lygtis. P(x,v,t)dxdv yra tikimybė kad momentu t <strong>Brauno</strong><br />
dalelės koordinatė <strong>ir</strong> greitis bus atitinkamai intervaluose [x, x+dx] <strong>ir</strong> [v, v+dv].<br />
• Svarbu pažymėti, kad tikimybei P galioja tvermės dėsnis, nes Fokerio-Planko<br />
lygtį galima užrašyti, kaip tolydumo lygtį.<br />
P<br />
<br />
t<br />
/ x,<br />
v<br />
x, v<br />
/<br />
Čia r<br />
yra gradiento operatorius fazinėje plokštumoje.<br />
Tikimybės srautas šioje plokštumoje yra<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
r<br />
<br />
J<br />
q P<br />
<br />
Jx, J vP, vP<br />
f xP <br />
2 v<br />
<br />
J v<br />
<br />
<br />
<br />
q kT 2 <br />
D<br />
2 m <br />
• Bendruoju atveju Fokerio-Planko lygtis yra gana sudėtinga <strong>ir</strong> ją nepaprasta išspręsti.<br />
Toliau panagrinėsime du atsk<strong>ir</strong>us atvejus, kai tikimybės tankio funkcija priklauso tik nuo<br />
vieno (x,v,) fazinės plokštumos kintamojo, t.y., kai P=P(x,t) <strong>ir</strong> kai P=P(v,t)
Didelės trinties riba<br />
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (XXIII)<br />
• Pradžioje panagrinėsime didelės trinties ribą, kai galima nepaisyti <strong>Brauno</strong> dalelės<br />
greičio nusistovėjimo proceso. Kai labai didelis, p<strong>ir</strong>moje Lanževeno lygtyje galima<br />
atmesti narį v <strong>ir</strong> užrašyti ją taip<br />
x t v <br />
v f <br />
1<br />
x v <br />
<br />
fxt x t 0 <br />
v f <br />
Šis artėjimas atitinka begalo greitą greičio nusistovėjimo procesą. Tuomet Lanževeno<br />
lygtys įgyja tokį pavidalą<br />
t 0 t t' q<br />
t t'<br />
<br />
t –<br />
<br />
Gausinis procesas<br />
fxt v <br />
<br />
1<br />
• Su šiomis lygtimis reikia pakartoti tai, ką darėme bendresniu atveju <strong>ir</strong> gauti atitinkamą<br />
Fokerio-Planko lygtį didelės trinties riboje. P<strong>ir</strong>miausiai pažymėkime, kad dabar <strong>Brauno</strong><br />
dalelės judėjimas aprašomas p<strong>ir</strong>mos eilės diferencialinę lygtimi. Todėl dabar tolydumo<br />
lygtis priklausys tik nuo vieno dinaminio kintamojo x<br />
<br />
xt vxt Lˆ<br />
xt Lˆ<br />
1<br />
, , x,<br />
t<br />
f<br />
x f x t<br />
, 0<br />
1<br />
x<br />
ˆ 0<br />
L<br />
<br />
<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
Lˆ<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
t <br />
x
Kaip <strong>ir</strong> anksčiau, įvedame pagalbinę<br />
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (XXIV)<br />
<br />
tankio funkciją<br />
L0t t e t<br />
<br />
ˆ <br />
<br />
(t)<br />
Šios funkcijos vidurkiui, kaip <strong>ir</strong> anksčiau, teisinga tokia išraiška<br />
t t 1<br />
ˆ<br />
ˆ <br />
t exp 1 2 1 2<br />
0<br />
<br />
<br />
2dt<br />
dt<br />
V t V t<br />
Vˆ<br />
t e<br />
0 0<br />
<br />
Apskaičiuojame integralą<br />
1<br />
2<br />
t t<br />
dt1 0 0<br />
dt<br />
2<br />
Vˆ<br />
eksponentės argumente<br />
t t<br />
Lˆ<br />
0t<br />
Lˆ<br />
1<br />
Lˆ<br />
t Lˆ<br />
tt tVˆ 0 1 0 2 1<br />
t dt dt tt<br />
e e<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
1<br />
2<br />
2<br />
<br />
q<br />
2<br />
2<br />
q<br />
2<br />
2<br />
1<br />
0 0<br />
t t<br />
dt1 0 0<br />
t<br />
Pagalbinės tankio funkcijos vidurkis:<br />
<br />
0<br />
dt e<br />
1<br />
2<br />
dt <br />
2<br />
Lˆ<br />
t<br />
0 1<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
x<br />
<br />
x<br />
Lˆ<br />
t Lˆ<br />
0 1 0 t2t1 ttee 1<br />
<br />
x<br />
2<br />
2<br />
e<br />
2<br />
Lˆ<br />
t<br />
0 1<br />
t<br />
2<br />
q <br />
2 1 2 <br />
2<br />
x<br />
0<br />
<br />
e<br />
<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
t <br />
e<br />
x<br />
Lˆ t<br />
Lˆ<br />
t Lˆ<br />
t<br />
0<br />
<br />
x<br />
Lˆ<br />
ˆ<br />
0t1 L0t1<br />
t<br />
exp dt e e 0<br />
e<br />
e<br />
Lˆ<br />
t<br />
0 2<br />
Lˆ<br />
t<br />
0 2<br />
e<br />
0<br />
0
Diferencijuodami šią<br />
Dabar galime gauti lygtį<br />
Diferencijuojame šią<br />
t<br />
išraišką<br />
<br />
t<br />
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (XXV)<br />
t<br />
<br />
gauname, kad tenkina tokią<br />
2<br />
q <br />
t<br />
2<br />
x<br />
Lˆ 0t<br />
Lˆ<br />
0t<br />
t e e <br />
2 2<br />
<br />
suvidurkintam tankiui<br />
lygybę<br />
Lˆ<br />
0t<br />
t e <br />
<br />
<br />
t<br />
pagal laiką<br />
<br />
t <br />
<strong>ir</strong> panaudojame v<strong>ir</strong>šutinę<br />
Lˆ t<br />
t Lˆ<br />
0 e<br />
0<br />
Lˆ<br />
t 0 <br />
t e<br />
<br />
t<br />
<br />
t<br />
Lˆ<br />
0 t<br />
Lˆ<br />
t q Lˆ<br />
0<br />
0t<br />
e<br />
e<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
Lˆ<br />
0t<br />
e 2<br />
x<br />
t<br />
q<br />
Lˆ<br />
0 t 2<br />
2<br />
2<br />
<br />
2<br />
x<br />
<br />
t <br />
diferencialinę lygtį<br />
lygtį<br />
<br />
1 f<br />
x f x <br />
Prisiminę, kad <strong>ir</strong> t<br />
Px,<br />
t<br />
Lˆ<br />
0<br />
<br />
<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
<br />
dėl<br />
t
galutinai gauname Lygtį<br />
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (XXVI)<br />
<strong>Brauno</strong> dalelės tikimybės tankio funkcijai P=P(x,t)<br />
P<br />
1 <br />
<br />
t<br />
x<br />
fxP22 Tai yra Fokerio-Planlo lygtis didelės trinties riboje, arba Einšteino-Smoluchovskio<br />
lygtis. P(x,t)dx yra tikimybė kad momentu t <strong>Brauno</strong> dalelės koordinatė bus<br />
intervale [x, x+dx].<br />
q<br />
2<br />
2<br />
P<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
q kT 2 <br />
D<br />
2 m <br />
• Čia, kaip <strong>ir</strong> anksčiau tikimybei P galioja tvermės dėsnis, nes Einšteino-Smoluchovskio<br />
lygtį galima užrašyti, kaip tolydumo lygtį.<br />
P<br />
J<br />
<br />
t<br />
x<br />
J<br />
1<br />
f<br />
<br />
x P<br />
P D<br />
x<br />
• Laisvai <strong>Brauno</strong> dalelei (f(x)=0) Einšteino-Smoluchovskio lygtis v<strong>ir</strong>sta paprasta<br />
difuzijos lygtimi.<br />
2<br />
P<br />
P<br />
D 2<br />
t<br />
x<br />
P x,<br />
0 <br />
x<br />
<br />
Jos sprendinys, esant pradinei sąlygai , yra Gauso sk<strong>ir</strong>stinys<br />
P<br />
1<br />
2 x<br />
<br />
4Dt<br />
<br />
x,<br />
t exp<br />
4Dt
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (XXVII)<br />
Šis sprendinys aprašo erdvinę <strong>Brauno</strong> dalelės difuziją. Nors pradiniu laiko momentu<br />
dalelė yra koordinačių pradžioje, su laiku jos tikimybės tankio funkcija artėja prie<br />
homogeninio pasisk<strong>ir</strong>stymo. Kai didelis, charakteringas laikas, per kurį tikimybės<br />
tankis tampa erdviškai homogeniškas, yra ilgas, nes proporcingas <br />
2<br />
2<br />
L mL<br />
x <br />
D kT<br />
(L<br />
– charakteringas sistemos ilgis )<br />
Tai reiškia, kad didelės trinties riboje erdvinės fliuktuacijos relaksuoja<br />
lėtai.<br />
• Tačiau Einšteino-Smoluchovskio lygtis neaprašo <strong>Brauno</strong> dalelių greičio relaksacijos<br />
procesų, nes išvedinėjant ją buvo tariama, kad tas procesas yra begalo greitas. Dėl<br />
to Einšteino-Smoluchovskio lygtis yra neteisinga trumpiems laikams, kai t yra<br />
mažesnis už charakteringą greičio relaksacijos laiką<br />
t<br />
1<br />
<br />
<br />
v<br />
Norint įsitikinti tuo, kad Einšteino-Smoluchovskio lygtis yra nekorektiška trumpiems<br />
laikams reikia panagrinėti jos sprendinius, kai .<br />
t<br />
0
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (XXVIII)<br />
Iš Einšteino-Smoluchovskio lygties sprendinio išplaukia, kad vidutinis kvadratinis<br />
nuokrypis didėja proporcingai t:<br />
Iš<br />
2<br />
<br />
2 t x t 2Dt<br />
čia gauname, kad standartinio nuokrypio kitimo greitis diverguoja<br />
t 2Dt<br />
<br />
d 2 t t<br />
dt t 0<br />
• Toliau kaip tik panagrinėsime, kaip relaksuoja prie pusiausvyros <strong>Brauno</strong> dalelės<br />
greičio fluktuacijos. Mes jau žinome, kad vidutinio greičio charakteringas relaksacijos<br />
laikas<br />
1<br />
v <br />
<br />
mažiems t:<br />
Tai reiškia, kad dalelės judėjimas yra netolydus. Tai yra pasekmė to, kad<br />
Einšteino-Smoluchovskio lygtyje neatsižvelgta į greičio relaksacijos procesą.<br />
t.y. didelės trinties riboje vidutinio greičio relaksacija yra trumpalaikė. Nagrinėdami<br />
greičio fluktuacijos dinamiką, mes nepaisysime erdvinės tikimybės funkcijos<br />
priklausomybės <strong>ir</strong> išvesime lygtį tikimybės tankiui P(v,t). Čia P(v,t)dv yra tikimybė,<br />
kad momentu t <strong>Brauno</strong> dalelės greitis yra intervale [v, v+dv]. Mes pamatysime, kad ši<br />
funkcija labai greitai (kai didelis) artėja prie Maksvelo sk<strong>ir</strong>stinio.<br />
1
Trumpalaikė<br />
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (XXIX)<br />
greičio relaksacija<br />
• Laisvos (f(x)=0) <strong>Brauno</strong> dalelės greičio dinamika aprašoma tokiomis Lanževeno<br />
lygtimis<br />
v <br />
v <br />
t t 0 t t' q<br />
t t'<br />
<br />
t –<br />
• Su šiomis lygtimis galima vėl pakartoti visas operacijas, kurias atlikome išvedinėdami<br />
bendrą Fokerio-Planko lygtį arba Einšteino-Smoluchovskio lygtį, <strong>ir</strong> gauti lygtį tikimybės<br />
tankiui P(v,t). Tačiau lygtį dėl P(v,t) galima gauti <strong>ir</strong> kitaip. Kadangi<br />
tai lygtį<br />
<br />
dx<br />
<br />
dėl P(v,t) galime išvesti iš<br />
Suintegruojame šią<br />
lygtį<br />
<br />
<br />
<br />
v, t<br />
dxPx,<br />
v t<br />
P ,<br />
<br />
Gausinis procesas<br />
bendros Fokerio-Planko lygties (tariame, kad f(x)=0)<br />
P<br />
P<br />
<br />
v<br />
<br />
t<br />
x v<br />
2<br />
q P<br />
2 v<br />
vP 2<br />
x, v,<br />
t<br />
0<br />
pagal x <strong>ir</strong> pasinaudojame tuo, kad .<br />
P<br />
x
Taip gauname Fokerio-Planko lygtį<br />
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (XXX)<br />
tikimybės tankio funkcijai P(v,t<br />
2<br />
P<br />
q P q kT <br />
vP 2 <br />
t<br />
v<br />
2 v<br />
2 m <br />
Priminsiu, kad P(v,t)dv yra tikimybė, kad momentu t <strong>Brauno</strong> dalelės greitis yra<br />
intervale [v, v+dv].<br />
v, 0<br />
v v <br />
P <br />
• Išspręsime šią lygtį su pradine sąlyga 0 , kuri reiškia, kad pradiniu<br />
laiko momentu t=0 <strong>Brauno</strong> dalelės greitis yra v0. Pradžioje surasime stacionarų<br />
<br />
t<br />
P 0<br />
0<br />
()<br />
<br />
<br />
v<br />
()<br />
vP<br />
2<br />
q P<br />
2<br />
2 v<br />
P st<br />
šios lygties sprendinį<br />
kT P<br />
P<br />
m<br />
vP 0 vdv<br />
m v<br />
P kT<br />
<br />
2<br />
1 mv <br />
v exp<br />
<br />
2<br />
kT m 2kT<br />
<br />
Taigi matome, kad stacionarus Fokerio-Planko lygties sprendinys yra<br />
pusiausvyrinis Maksvelo sk<strong>ir</strong>stinys. Toliau parodysime, kad nestacionarus<br />
lygties ()<br />
sprendinys asimptotiškai artėja prie pusiausvyrinio Maksvelo sk<strong>ir</strong>stinio.<br />
)
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (XXXI)<br />
• Pastebėsime, kad Maksvelo sk<strong>ir</strong>stinys yra Gauso sk<strong>ir</strong>stinys, t.y. ta pati<br />
matematinė išraiška vadinama dviem sk<strong>ir</strong>tingais vardais: fizikai dažniau vartoja<br />
Maksvelo vardą, o matematikai – Gauso. Užrašykime stacionarų sprendinį (),<br />
kaip<br />
paprastai bendruoju pavidalu užrašomas Gauso sk<strong>ir</strong>stinys<br />
P<br />
st<br />
v<br />
Parametrų<br />
v <br />
v <br />
1<br />
2 v v <br />
st <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
exp <br />
2<br />
st <br />
2<br />
2<br />
st<br />
priklausomybę<br />
t<br />
nuo laiko nustatysime iš<br />
<br />
v<br />
st<br />
0, <br />
2<br />
st<br />
<br />
Lanževeno<br />
v v <br />
• Nestacionarų Fokerio-Planko lygties ()<br />
sprendinį ieškosime Gauso sk<strong>ir</strong>stinio<br />
pavidalo, kurio parametrai priklauso nuo laiko<br />
<br />
(<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
1 <br />
<br />
v v t<br />
2<br />
P v,<br />
t exp <br />
t v<br />
t v<br />
t<br />
) 2<br />
2<br />
t 2<br />
t<br />
t v<br />
t<br />
2 <br />
v<br />
e<br />
2 t<br />
0<br />
v<br />
<br />
t<br />
<br />
lygties<br />
st<br />
2<br />
st<br />
<br />
kT<br />
m<br />
2<br />
t <br />
t t'<br />
<br />
t<br />
t v e e<br />
dt'e<br />
t'<br />
vt<br />
v e<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
t<br />
<br />
t t'<br />
e dt'e<br />
<br />
<br />
0<br />
t'<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
e<br />
<br />
t<br />
t t<br />
dt1 0 0<br />
dt<br />
2<br />
e<br />
<br />
2 2<br />
0<br />
t1t tt<br />
1<br />
2
t t<br />
2<br />
t<br />
t1t t e dt dt e q<br />
tt 1<br />
2<br />
1 <br />
2 2<br />
0 0<br />
q 2<br />
t kT 2<br />
t<br />
1e1e 2<br />
• Įrašome gautas išraiškas <strong>ir</strong> į<br />
m<br />
Gausinis procesas <strong>ir</strong> Fokerio-Planko lygtis (XXXII)<br />
2<br />
vt t<br />
<br />
qe<br />
<br />
t<br />
t 2<br />
t q 2 t 2<br />
t<br />
dt1e<br />
e e 1<br />
0 2<br />
2 1<br />
ieškomą<br />
sprendinį<br />
<br />
t v v<br />
e <br />
()<br />
<br />
<br />
2<br />
m <br />
<br />
m 0<br />
P v,<br />
t exp <br />
2 t<br />
<br />
2<br />
t<br />
2<br />
kT 1 e<br />
<br />
2kT<br />
1<br />
e<br />
<br />
<strong>ir</strong> gauname<br />
Nesunku tiesiogiai patikrinti, kad šis sprendinys tenkina Fokerio-Planko lygtį<br />
Jis taip pat tenkina <strong>ir</strong> pradinę sąlygą, nes .<br />
t <br />
t0<br />
v, tv<br />
<br />
limP v<br />
• Kai šis sprendinys asimptotiškai artėja prie stacionaraus sprendinio ()<br />
<br />
2<br />
1 mv <br />
P v,<br />
t P v <br />
<br />
<br />
st<br />
exp <br />
t 2<br />
kT m 2kT<br />
<br />
t.y. prie pusiausvyrinio Maksvelo sk<strong>ir</strong>stinio. Kai didelis, <strong>Brauno</strong> dalelės „maksvelizacijos“<br />
laikas yra labai trumpas v 1<br />
, tuo tarpu erdvinių fluktuacijų relaksacijos laikas<br />
– labai ilgas x <br />
. Dideliems laikams t <br />
v Einšteino-Smoluchovskio lygties<br />
taikymas yra pateisinamas, tačiau ji netesinga trumpiems laikams, kol nenusistovėjo<br />
Maksvelo pasisk<strong>ir</strong>stymas pagal greitį.<br />
0<br />
().
Markovo grandinės, pagrindinė<br />
kinetinė<br />
lygtis (I)<br />
• Šiame skyriuje plačiau panagrinėsime Markovo procesus. Mes pradėsime nuo<br />
paprasčiausio Markovo proceso – Markovo grandinės. Markovo grandinėmis<br />
aprašomi <strong>procesai</strong>, kuriuose stochastinis kintamasis yra diskretinis <strong>ir</strong> perėjimai<br />
tarp įva<strong>ir</strong>ių diskretinio kintamojo verčių vyksta diskretiniais laiko momentais,<br />
panašiai, kaip atsitiktinio klaidžiojimo uždavinyje. Panaudojus Markovo grandinių<br />
teoriją pademonstruosime elegantišką klaidžiojimo uždavinių sprendimo būdą.<br />
Markovo grandinių dinamika pilnai nusakoma perėjimo matrica, kuri<br />
bendruoju atveju yra nesimetrinė. Mes pamatysime, kad Markovo grandinės lygtis<br />
galima išspręsti skleidžiant tikimybės funkciją tikriniais perėjimo matricos vektoriais<br />
(spektrinės dekompozicijos metodas).<br />
• Kai laiko intervalai tarp įvykių yra maži mes išvesime vadinamąją pagrindinę<br />
kinetinę lygtį (master equation). Tai diferencialinė laiko atžvilgiu lygtis, nes<br />
diskretinis laikas Markovo grandinėje pakeičiamas tolydžiuoju. Kai perėjimo greičiai<br />
tenkina detalųjį balansą, stacionarus kinetinės lygties sprendinys nesunkiai<br />
surandamas iteracijų metodu. Detalaus balanso principą tenkina daugelis sistemų, kai<br />
jos yra arti termodinaminės pusiausvyros. Mes panagrinėsime kai kuriuos ats<strong>ir</strong>adimo<br />
<strong>ir</strong> išnykimo (b<strong>ir</strong>th-death) procesus aprašomus pagrindinę kinetinę lygtimi.<br />
Pateiksime pavyzdžių iš idealių dujų kinetikos, populiacijų dinamikos <strong>ir</strong> cheminių<br />
reakcijų kinetikos. Pademonstruosime kinetinės lygties sprendimo būda taikant<br />
generuojančios funkcijos <strong>ir</strong> charakteristikų metodą.
Markovo grandinės<br />
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (II)<br />
• Markovo grandinė (arba diskretinis Markovo procesas) yra paprasčiausias<br />
Markovo proceso pavyzdys. Šiame procese laikas t <strong>ir</strong> stochastinis kintamasis Y yra<br />
diskretiniai dydžiai .<br />
{y(n)}<br />
t=s –<br />
P<br />
–<br />
ns W ,<br />
stochastinio kintamojo Y<br />
realizacijos, n=1,2,…,M<br />
laiko momentai, kuriais sistema pereina iš<br />
n, s n , s <br />
1<br />
1<br />
–<br />
2<br />
tikimybė, kad Y<br />
2<br />
–<br />
vienos būsenos į<br />
kitą, s=1,2…, <br />
tikimybė, kad Y vertė momentu s2 yra y(n2), jeigu momentu s1 ) (tai yra perėjimo arba sąlyginė tikimybė)<br />
y(n 1<br />
vertė<br />
momentu s<br />
yra y(n)<br />
ji buvo<br />
• Šios dvi tikimybės pilnai aprašo Markovo grandinę. Jos tenkina panašias lygtis, kaip<br />
Markovo procese su tolydiniu Y kintamuoju, kurias mes užrašėme, kai nagrinėjome<br />
emp<strong>ir</strong>ine <strong>Brauno</strong> judėjimo teoriją. Čia tik integralus reikia pakeisti sumomis.<br />
()<br />
()<br />
P<br />
W<br />
M<br />
n, s 1Wm,<br />
sPm,<br />
s n,<br />
s 1<br />
<br />
m1<br />
M<br />
n, s n,<br />
s 1Pn,<br />
s m,<br />
sPm,<br />
s n,<br />
s 1<br />
0<br />
0<br />
<br />
m1<br />
0<br />
0<br />
Čapmano-Kolmogorovo<br />
(suderinamumo) lygtis
Spektrinės savybės<br />
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (III)<br />
• T<strong>ir</strong>iant Markovo grandines patogu apibrėžti perėjimo (arba sąlyginių tikimybių)<br />
matricą:<br />
Qm, ns<br />
Pm,<br />
s n,<br />
s 1<br />
Bendruoju atveju ši matrica<br />
yra nesimetrinė<br />
• Toliau nagrinėsime nepriklausomos nuo laiko perėjimo matricos atvejį<br />
Qm, n<br />
m, 0n,<br />
1<br />
Pm,<br />
s n,<br />
1<br />
P<br />
s<br />
• Tuomet įrašius į Čapmano-Kolmogorovo lygtį<br />
P<br />
n0=m <strong>ir</strong> s=s0+1 gauname<br />
M<br />
M<br />
2<br />
m, s n,<br />
s 2Pm,<br />
s m',<br />
s 1Pm',<br />
s 1n,<br />
s 2QQQ<br />
0<br />
0<br />
<br />
m'1<br />
Analogiškai įrašius s=s0+2 gauname<br />
P<br />
0<br />
0<br />
M<br />
M<br />
2<br />
3<br />
m, s n,<br />
s 3Pm,<br />
s m',<br />
s 2Pm',<br />
s 2n,<br />
s 3Q<br />
Q Q 0<br />
0<br />
<br />
m'1<br />
0<br />
0<br />
• Taip tęsiant iteracijas surandame Čapmano-Kolmogorovo lygties sprendinį<br />
ss<br />
0<br />
m,<br />
s0<br />
n,<br />
s Q m n<br />
P ,<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
<br />
m'1<br />
<br />
m'1<br />
m,<br />
m'<br />
m',<br />
n<br />
m,<br />
m'<br />
m',<br />
n<br />
m,<br />
n<br />
m,<br />
n
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (IV)<br />
• Žinant tikimybes W(m,0) pradiniu laiko momentu s=0 galima apskaičiuoti<br />
tikimybes bet kuriuo laiko momentu s. Čia patogu taikyti D<strong>ir</strong>ako žymėjimus.<br />
Apibrėšime tikimybės vektorių, kaip vektorių eilutę<br />
Tuomet lygtį<br />
()<br />
s W 1, s<br />
W2,<br />
sWMs<br />
W ,<br />
M<br />
M<br />
W ,<br />
m1<br />
m1<br />
n, sWm,<br />
s 1Pm,<br />
s 1n,<br />
sWm,<br />
s 1Qmn<br />
galima užrašyti matriciniu pavidalu<br />
W<br />
s s Ws<br />
Q<br />
W 1<br />
Šios lygties sprendinys randamas iteracijų<br />
W<br />
0 Čia -<br />
metodu<br />
()<br />
s<br />
s Ws<br />
1<br />
Q Ws<br />
2<br />
QQ<br />
<br />
W<br />
Q<br />
W 0<br />
t.y., s<br />
pradinė<br />
W s W 0<br />
tikimybės vektoriaus vertė.<br />
Mūsų tikslas išreikšti perėjimo matricos Q tikrinėmis vertėmis <strong>ir</strong> vektoriais.<br />
Q<br />
().
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (V)<br />
• Matrica Q bendruoju atveju yra nesimetrinė kvadratinė MxM matrica. Jos tikrinės<br />
vertės bendruoju atveju kompleksinės. Reikia spręsti du tikrinius uždavinius –<br />
ka<strong>ir</strong>iesiems vektoriams eilutėms <strong>ir</strong> dešiniesiems vektoriams stulpeliams:<br />
i<br />
1 2 M <br />
<br />
i<br />
i<br />
<br />
Tikrinių verčių lygtis abiem<br />
uždaviniams yra ta pati:<br />
i<br />
i<br />
i<br />
Q<br />
i<br />
j<br />
<br />
j <br />
j <br />
<br />
<br />
j<br />
Q<br />
Q Q<br />
0<br />
i j i j i j i j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
1 <br />
M<br />
• Nesunku įsitikinti, kad ka<strong>ir</strong>ieji <strong>ir</strong> dešinieji tikriniai vektoriai yra ortogonalūs. Dėl<br />
to ka<strong>ir</strong>ę lygtį padauginame iš dešinės iš j<br />
vieną lygtį iš kitos:<br />
, o dešinę iš ka<strong>ir</strong>ės iš i<br />
<strong>ir</strong> atimame<br />
0<br />
i<br />
Jeigu tai . Tikrinius vektorius galima normuoti, tuomet<br />
i<br />
j<br />
i j<br />
Q I<br />
0<br />
det <br />
<br />
i j i,<br />
j<br />
Todėl abu uždaviniai turi tą patį<br />
tikrinių verčiu rinkinį.
• Kokios tikrinių<br />
j<br />
Į<br />
Q<br />
j<br />
pradinę<br />
j<br />
verčių<br />
j<br />
j<br />
M<br />
j j n n,<br />
m j<br />
m1<br />
m <br />
<br />
m j<br />
Q m 0<br />
N<br />
Qn,<br />
m<br />
j j<br />
N<br />
0 n,<br />
m j<br />
m1<br />
m1<br />
nelygybę įrašome n=m 0<br />
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (VI)<br />
savybės? P<strong>ir</strong>miausiai galima įrodyti nelygybę<br />
M<br />
j j n n,<br />
m j<br />
m1<br />
Q m (Čia panaudojome nelygybę<br />
– čia indeksas m0 atitinka maksimalią<br />
nelygybė galioja visiems m. Tuomet<br />
m m Q m j<br />
galioja bet kuriems kompleksiniams skaičiams<br />
j<br />
1<br />
1<br />
M<br />
M<br />
z <br />
j j z<br />
1<br />
j1<br />
j<br />
zj m <br />
<br />
m0 j<br />
<strong>ir</strong> gauname arba<br />
Taigi visos perėjimo matricos tikrinės vertės pagal modulį<br />
0<br />
čia<br />
N<br />
<br />
m1<br />
Q<br />
, n m<br />
j<br />
1<br />
<br />
j<br />
M<br />
j j n n,<br />
m j<br />
m1<br />
j<br />
m Q m vertę<br />
0<br />
ne didesnės už<br />
:<br />
taip, kad ši<br />
)<br />
, kuri<br />
(iš būsenos n sistema būtinai<br />
perina į kurią nors būseną m<br />
arba lieka būsenoj n)<br />
vienetą.
Atitinkamas ka<strong>ir</strong>ysis vektorius turi tenkinti lygtį<br />
i<br />
M<br />
<br />
m1<br />
n m i<br />
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (VII)<br />
• Dabar įrodysime, kad yra tikrinė vertė lygi vienetui, i . Nesunku įsitikinti, kad<br />
dešinysis tikrinis vektorius su visom komponentėm lygiom vienetui i<br />
n 1,<br />
n1,<br />
,<br />
atitinka tikrinę vertę , nes<br />
M<br />
i i n n,<br />
m i<br />
m1<br />
Q m Q<br />
Q<br />
n,<br />
m<br />
arba<br />
Pastebėsime, kad ši lygtis aprašo stacionarų tikimybės vektorių, t.y.<br />
vektorių, kuris nekinta laike W <strong>ir</strong> pagal<br />
ST s WST<br />
s 1<br />
consts<br />
apibrėžimą tenkina lygybę<br />
WST WST<br />
Taigi, ka<strong>ir</strong>ysis tikrinis vektorius atitinkantis vienetinę tikrinę vertę<br />
sutampa su stacionariuoju tikimybės vektoriumi<br />
Q<br />
consts<br />
arba W<br />
n consts<br />
i<br />
1<br />
i<br />
W ST<br />
1<br />
1<br />
M<br />
<br />
m1<br />
Q<br />
n,<br />
m<br />
i<br />
1<br />
1<br />
i<br />
1<br />
i<br />
n ST<br />
M<br />
(iš būsenos n sistema būtinai<br />
perina į kurią nors būseną m<br />
arba lieka būsenoj n)
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (VIII)<br />
• Dabar grįšime prie tikimybės vektoriaus dinaminės lygties ()<br />
:<br />
Išskleisime tikimybės vektorių<br />
Iš<br />
W<br />
čia :<br />
M<br />
<br />
j1<br />
0 0 j j<br />
m<br />
W s W0<br />
s<br />
s W<br />
Q<br />
W 0<br />
<br />
Įrašome <strong>ir</strong> skleidinius<br />
M<br />
<br />
j1<br />
<br />
j<br />
<br />
j<br />
M<br />
padauginame lygtį<br />
iš dešinės iš m<br />
į<br />
lygtį<br />
():<br />
().<br />
s<br />
s<br />
s 0Q 0 j<br />
tikriniais ka<strong>ir</strong>iaisiais vektoriais:<br />
W<br />
<br />
j1<br />
j<br />
M<br />
<br />
j1<br />
s s<br />
j<br />
M<br />
<br />
j1<br />
s<br />
s<br />
s j<br />
j 0jW j 0<br />
j<br />
j<br />
j<br />
().<br />
j<br />
0 m<br />
0<br />
j<br />
m W
Įrašę<br />
šią<br />
išraišką į<br />
lygtį<br />
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (IX)<br />
()<br />
galutinai gauname<br />
M<br />
<br />
j1<br />
s<br />
s j j<br />
W0<br />
j<br />
W <br />
().<br />
Ws W0<br />
Ši formulė išreiškia tikimybės vektorių momentu s per pradinę vertę<br />
bei tikrinius perėjimo matricos vektorius <strong>ir</strong> tikrines vertes.<br />
• Detali tikimybės vektoriaus dinamika priklauso nuo perėjimo tikimybės matricos Q<br />
struktūros. Kai perėjimo matrica yra reguliari (Q yra reguliari matrica, jeigu ji neturi<br />
nulinių elementų) tai tikimybės vektorius Ws<br />
asimptotiškai artėja prie<br />
stacionarios vertės , kai .<br />
W s <br />
ST<br />
• Pastarasis teiginys plaukia iš formulės ().<br />
Iš tikrųjų, mes žinome, kad visos<br />
tikrinės vertės, išskyrus vieną, pagal modulį mažesnės už 1 <strong>ir</strong> viena tikrinė vertė lygi<br />
vienetui. Tegul tai būna p<strong>ir</strong>ma vertė, t.y., 1<br />
1 , o kitos tikrinės vertės tenkina<br />
nelygybę<br />
. Tuomet, kai visi nariai gęsta, išskyrus p<strong>ir</strong>mą:<br />
1,<br />
j 2,<br />
,<br />
M<br />
s <br />
j<br />
s<br />
s 1<br />
1<br />
W0<br />
1<br />
1<br />
WST<br />
W <br />
s <br />
Čia pasinaudojome tuo,<br />
kad visiems n, todėl:<br />
W 0 <br />
, 0<br />
, 0<br />
1<br />
n 1<br />
1 W n <br />
1<br />
1 n W n <br />
n<br />
n 1<br />
1<br />
M<br />
<br />
M
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (X)<br />
• Šio skyriaus pabaigoje išreikšime dar tikriniais vektoriais perėjimo matricą Qs .<br />
Lygtį ()<br />
galima formaliai užrašyti taip:<br />
Tuomet sulyginus šią<br />
lygtį<br />
M<br />
j1<br />
s<br />
s W0<br />
j<br />
j j<br />
W <br />
su (),<br />
t.y. su<br />
s<br />
Q<br />
<br />
M<br />
<br />
j1<br />
m<br />
<br />
s<br />
j<br />
<br />
j<br />
s<br />
s W<br />
Q<br />
W 0<br />
Dabar galime išreikšti tikriniais vektoriais perėjimo tikimybę<br />
P<br />
<br />
j<br />
gauname<br />
<br />
M<br />
M<br />
ss0<br />
ss0<br />
ss0<br />
m,<br />
s n,<br />
s Q m n mn 0<br />
m,<br />
n<br />
<br />
j1<br />
j<br />
Čia panaudojome D<strong>ir</strong>ako žymėjimus <strong>ir</strong> atsitiktinio kintamojo realizacijoms<br />
žymėti, bei m <strong>ir</strong> n m j j<br />
<br />
j<br />
j<br />
n<br />
n j<br />
• Galima nesunkiai parodyti, kad perėjimo tikimybė taip pat asimptotiškai artėja prie<br />
stacionarios vertės:<br />
m, s n,<br />
s<br />
W n lim P 0<br />
ST<br />
s<br />
j<br />
<br />
j1<br />
j<br />
j<br />
j
P<br />
Atsitiktinis klaidžiojimas<br />
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XI)<br />
• Čia dar kartą panagrinėsime atsitiktinio klaidžiojimo uždavinį. Markovo<br />
grandinių teorijos rėmuose jis sprendžiasi labai elegantiškai.<br />
• Nagrinėsime atsitiktinį klaidžiojimą vienmatėje begalinėje gardelėje. Tarsime<br />
kad gardelės konstanta yra , o charakteringas dalelės perėjimo laikas tarp<br />
įva<strong>ir</strong>ių gardelės mazgų yra .<br />
ns –<br />
m, s<br />
n,<br />
s1 W ,<br />
tikimybė<br />
surasti dalelę<br />
x n<br />
taške po s<br />
žingsnių.<br />
– tikimybė, kad per laiką dalelė iš taško<br />
x m<br />
pereis į tašką x n<br />
.<br />
Markovo grandinės dinamika aprašoma lygtimi<br />
W<br />
<br />
n, s1Wm, s<br />
Pm, s<br />
n,<br />
s1 <br />
m<br />
Tarsime, kad dalelė vienoda tikimybe gali pajudėti vienu žingsniu į ka<strong>ir</strong>ę <strong>ir</strong> į dešinę<br />
(bendruoju atveju šis formalizmas leidžia nagrinėti <strong>ir</strong> sudėtingesnius variantus ),<br />
tuomet:<br />
1 1<br />
P <br />
2 2<br />
m, s<br />
n,<br />
s1n, m1<br />
n,<br />
m1
Tuomet tikimybės dinamika užrašoma tokia lygtimi<br />
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XII)<br />
1<br />
1<br />
W ,<br />
2<br />
2<br />
n, s1Wn1, s<br />
Wn1s • Riboje mažų <strong>ir</strong> ši lygtis v<strong>ir</strong>sta diferencialine. Kad tuo įsitikintume, atimame iš<br />
abiejų pusių W n,<br />
s<br />
<strong>ir</strong> padaliname iš :<br />
W<br />
<br />
2<br />
n, s 1<br />
Wn, s<br />
Wn<br />
,<br />
s<br />
W n ,<br />
s<br />
2W<br />
n, s<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
x n,<br />
t s<br />
0, 0 D const<br />
2<br />
Prisiminkime, kad . Riboje tariant, kad<br />
gauname difuzijos lygtį:<br />
W<br />
t<br />
2 x, t<br />
Wx,<br />
t<br />
D<br />
x<br />
2<br />
Tarkime, kad pradinė<br />
W x, 0<br />
x sąlyga yra:<br />
• Nors mes jau žinome šios lygties sprendinį, dar kartą išspręsime šią lygtį Furjė<br />
transformacijos metodu:<br />
1 ~<br />
W ,<br />
2<br />
<br />
x, t<br />
dkW<br />
kt <br />
W<br />
ikx<br />
e<br />
~<br />
Wk,<br />
t<br />
2 ~<br />
Dk<br />
W k,<br />
t<br />
t<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
4Dt<br />
2<br />
<br />
Dk<br />
t ikx<br />
4Dt<br />
x, t<br />
dke e e<br />
<br />
~<br />
, Wk,<br />
01<br />
x<br />
2<br />
~ <br />
W<br />
2<br />
Dk t k, t<br />
<br />
e<br />
(Gauso sk<strong>ir</strong>stinys)
Pagrindinė<br />
kinetinė<br />
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XIII)<br />
lygtis (master<br />
equation)<br />
• Fizikoje <strong>ir</strong> kituose moksluose dažnai tenka nagrinėti procesus, kuriuose laiko<br />
intervalai tarp įvykių kinta tolygiai <strong>ir</strong> atsitiktinai, o stochastinio kintamojo Y<br />
realizacijos yra diskretinės, Y=Yn. Tokiu atveju tikimybės tankio funkcijos W(n,t)<br />
laiko evoliuciją galima aprašyti diferencialinę lygtimi. Čia panagrinėsime atvejį, kai<br />
elementarūs įvykiai arba perėjimai pas<strong>ir</strong>eiškia per labai trumpus laiko intervalus<br />
<strong>ir</strong> kiekvieno įvykio metu tikimybės tankio funkcija kinta nežymiai. Tokiems procesams<br />
aprašyti taikoma vadinamoji pagrindinė kinetinė lygtis (master equation).<br />
Pagrindinės kinetinės lygties išvedimas<br />
• Mes startuojame nuo p<strong>ir</strong>mosios Markovo grandinės lygties (),<br />
tačiau tariame, kad<br />
laikas yra tolydusis kintamasis <strong>ir</strong> užrašome ją tokiu pavidalu:<br />
• Mažiems t<br />
W<br />
t<br />
iš<br />
šios lygties galima tokiu būdu sukonstruoti diferencialinę<br />
n, t<br />
Wn,<br />
t t<br />
Wn,<br />
t<br />
<br />
lim<br />
t0<br />
W<br />
M<br />
n, t tWm,<br />
tPm,<br />
t n,<br />
t t<br />
<br />
m1<br />
t<br />
1<br />
lim<br />
t0<br />
t<br />
M<br />
<br />
m1<br />
W<br />
()<br />
lygtį:<br />
m, tPm,<br />
t n,<br />
t t<br />
m,<br />
n
• Mažų<br />
t<br />
riboje, perėjimo tikimybę<br />
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XIV)<br />
<br />
<br />
<br />
skleidžiame Teiloro<br />
Čia pats bendriausias skleidimo pavidalas, kuris<br />
tenkina perėjimo tikimybės normavimo sąlygą:<br />
Šioje lygtyje p m,n<br />
m n:<br />
m <br />
n:<br />
eilute<br />
M<br />
m, t n,<br />
t ttp<br />
t p t t<br />
<br />
P m , n 1 m,<br />
l m,<br />
n<br />
l1<br />
Tuomet Markovo grandinės lygtį<br />
nt yra perėjimo tikimybės greitis, tiksliau<br />
pm, n<br />
<br />
1<br />
t<br />
<br />
l<br />
<br />
<br />
M<br />
1<br />
lm tt p<br />
M<br />
<br />
mn<br />
m,<br />
l<br />
t<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
M<br />
<br />
n1<br />
P<br />
()<br />
galima užrašyti taip:<br />
Wm, tp<br />
t Wn,<br />
tp<br />
t <br />
W<br />
, –<br />
<br />
m,<br />
n<br />
n,<br />
m<br />
t<br />
m, t n,<br />
t t1<br />
– perėjimo tikimybė iš būsenos m į būseną n<br />
laiko intervale<br />
–<br />
t t<br />
t<br />
tikimybė kad laiko intervale<br />
nebus jokio perėjimo<br />
t t<br />
t<br />
pagrindinė kinetinė lygtis<br />
(master equation)<br />
Perėjimai iš visų būsenų įbūseną n Perėjimai iš būsenos n į visas kitas būsenas
Stacionarus sprendinys <strong>ir</strong> detalusis balansas<br />
<br />
t<br />
W<br />
n, t0<br />
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XV)<br />
• Stacionarus pagrindinės kinetinės lygties sprendinys surandamas iš<br />
M<br />
<br />
mn<br />
WmpWnp0 ST<br />
m,<br />
n<br />
ST<br />
n,<br />
m<br />
sąlygos:<br />
Labai dažnai fizikiniuose uždaviniuose galioje detalaus balanso principas, kai<br />
perėjimo tikimybės tenkina sąlygą:<br />
W<br />
ST<br />
mp W np 0<br />
m,<br />
n ST n,<br />
m<br />
Detalusis balansas visada galioje sistemoms esančioms termodinaminėje<br />
pusiausvyroje. Detalaus balanso principas taip pat dažnai būna tenkinamas <strong>ir</strong><br />
nepusiausvyrinėms sistemoms.<br />
Kai galioja detalusis balansas tai stacionarus sprendinys surandamas<br />
paprastomis iteracijomis:<br />
W 1 p p , W 3 W<br />
2 p p , <br />
WST 2 ST 1,<br />
2 2,<br />
1 ST ST 2,<br />
3 3,<br />
2<br />
Nestacionarus uždavinys šiuo atveju <strong>ir</strong>gi sąlyginai paprastas, nes susiveda į<br />
kinetinę lygtį su simetrine perėjimo matrica.
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XVI)<br />
Pavyzdys: artėjimas prie pusiausvyros dviejų<br />
indų<br />
modelyje<br />
• Pagrindinė kinetinė lygtis labai dažnai naudojama aprašant chemines reakcijas,<br />
populiacijų dinamiką <strong>ir</strong> kitus atsitiktinius ats<strong>ir</strong>adimo <strong>ir</strong> išnykimo (b<strong>ir</strong>th-death)<br />
procesus. Pradžioje pademonstruosime jos taikymą molekulių fizikai.<br />
• Tarkime, kad turime indą, pertvara sudalintą įdvi lygias dalis. Pertvaroje yra<br />
plona skylutė pro kurią gali praeiti tik viena molekulė. Pradžioje molekulių skaičiai<br />
vienoje <strong>ir</strong> kitoje indo pusėje yra sk<strong>ir</strong>tingi. Dėl molekulių atsitiktinio judėjimo per<br />
pertvarą molekulių skaičiai turi susilyginti. Mūsų tikslas aprašyti šį artėjimą prie<br />
pusiausvyros pagrindine kinetine lygtimi.<br />
n N-n<br />
• Vienas iš galimų šio procesų modelių galėtų būti toks: kiekviename laiko žingsnyje<br />
atsitiktinai pas<strong>ir</strong>enkama molekulė <strong>ir</strong> permetama į kitą indo pusę. Tuomet tikimybė,<br />
kad molekulė bus pas<strong>ir</strong>inkta duotoje indo pusėje bus proporcinga molekulių skaičiui<br />
toje pusėje. Toks procesas turi vesti prie molekulių skaičiaus susilyginimo (animacija).<br />
• Šį uždavinį p<strong>ir</strong>mą kartą nagrinėjo Paulis <strong>ir</strong> Tatjana Erenfestai. Kad būtų<br />
linksmesnė šio uždavinio analizė jie pasiūlė kitokią jo interpretaciją – su blusomis <strong>ir</strong><br />
šunimis. Kai šalia yra du šunys – blusuotas <strong>ir</strong> neblusuotas – tai blusos šokinėja<br />
nuo vieno šuns prie kito <strong>ir</strong> ilgainiui abu tampa vienodai blusuoti.
• Užrašysime šiam procesui pagrindinę<br />
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XVII)<br />
kinetinę<br />
lygtį. Dėl to apibrėšime tokius dydžius:<br />
n – ka<strong>ir</strong>iojo šuns blusų skaičius (molekulių skaičius ka<strong>ir</strong>ioje indo pusėje)<br />
N-n – dešiniojo šuns blusų skaičius (molekulių skaičius dešinėje indo pusėje)<br />
W(n,t)<br />
t<br />
–<br />
–<br />
tikimybė, kad momentu t ka<strong>ir</strong>ysis šou turi n<br />
tikimybė, kad per laiką<br />
p n+1,n t=(n+1)t<br />
p n-1,n t=(N-n+1)t<br />
1<br />
p t pn, n1<br />
n,<br />
n1<br />
nNnt 1 <br />
1 N t<br />
–<br />
t<br />
blusų<br />
viena konkreti blusa pakeis šeimininką<br />
tikimybė, kad per laiką t bet kuri viena ka<strong>ir</strong>iojo šuns<br />
blusa peršoks į dešinį šunį taip kad ka<strong>ir</strong>iojo šuns<br />
blusų skaičius pasikeis iš n+1 į n.<br />
– tikimybė, kad per laiką t bet kuri viena dešiniojo šuns<br />
blusa peršoks į ka<strong>ir</strong>įjį šunį taip kad ka<strong>ir</strong>iojo šuns<br />
blusų skaičius pasikeis iš n-1 į n.<br />
–<br />
tikimybė, kad per laiką t ka<strong>ir</strong>iojo šuns blusų<br />
skaičius nepakis, t.y. išliks lygus n.<br />
Laiko intervalą t pas<strong>ir</strong>enkame pakankamai mažą taip kad per jį<br />
įvyksta ne daugiau, kaip vienos blusos šuolis !
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XVIII)<br />
• Dabar šiam procesui galime užrašyti Markovo grandinės lygtį:<br />
lim<br />
t0<br />
n, t t1pp<br />
t<br />
Wn, tWn1,<br />
tptWn1,<br />
tp<br />
t<br />
W n,<br />
n<br />
1 n,<br />
n1<br />
n1,<br />
n<br />
n1,<br />
n<br />
Mažų<br />
W<br />
t<br />
1NtWn, tW<br />
n 1,<br />
tN<br />
n<br />
1t<br />
Wn<br />
1,<br />
tn<br />
1<br />
t<br />
<br />
0<br />
n, t t<br />
Wn,<br />
t<br />
<br />
W<br />
t<br />
t<br />
riboje ši lygtis v<strong>ir</strong>sta pagrindinę<br />
kinetinę<br />
lygtimi:<br />
n, tWn1,<br />
tNn1Wn1,<br />
tn<br />
NW<br />
1<br />
n, tWn1,<br />
tNn1Wn1,<br />
tn1NWn,<br />
t<br />
• Nesunku tiesiogiai patikrinti, kad šios lygties stacionarus (pusiausvyrinis)<br />
sprendinys yra binominis sk<strong>ir</strong>stinys, kurio p=q=1/2:<br />
Wn1, tNn1Wn1,<br />
tn<br />
1<br />
NWn,<br />
t<br />
0 n 1<br />
2<br />
WST N<br />
–<br />
pagrindinė<br />
kinetinė<br />
lygtis<br />
N!<br />
n!<br />
Nn!
Stacionarų<br />
sprendinį<br />
Prob(ka<strong>ir</strong>iojoje pusėje n<br />
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XIX)<br />
galima buvo išsamprotauti iš<br />
1<br />
1<br />
molekulių) <br />
2<br />
2<br />
n<br />
kombinatorikos. Iš<br />
Nn<br />
n!<br />
N !<br />
<br />
1<br />
tikrųjų,<br />
N !<br />
N<br />
Nn! 2 n!<br />
Nn! Iš p<strong>ir</strong>mos šio kurso dalies, kurioje buvo dėstoma tikimybių teorija mes žinome, kad<br />
binominio sk<strong>ir</strong>stinio p<strong>ir</strong>mieji du momentai tokie:<br />
n<br />
Iš<br />
N<br />
<br />
n0<br />
nW<br />
ST<br />
N<br />
2<br />
n pN ;<br />
2<br />
2 N<br />
n n , N<br />
4<br />
<br />
<br />
N<br />
2<br />
n<br />
,<br />
2<br />
N<br />
<br />
n 0<br />
n<br />
<br />
n<br />
N<br />
2<br />
W<br />
<br />
ST<br />
nNp <br />
<br />
<br />
<br />
n<br />
N<br />
<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
Npq<br />
čia vidutinis kvadratinis nuokrypis, standartinis nuokrypis <strong>ir</strong> santykinis nuokrypis:<br />
<br />
1<br />
N<br />
<br />
N<br />
2<br />
N<br />
4<br />
Taigi matome, kad pusiausvyroje ka<strong>ir</strong>ėje pusėje yra vidutiniškai pusė visų molekulių <strong>ir</strong><br />
didinant molekulių skaičių santykinis nuokrypis nuo šio rezultato mažėja kaip 1/<br />
N.<br />
Dideliems N binominį sk<strong>ir</strong>stinį galima aproksimuoti Gausu <strong>ir</strong> stacionarų sprendinį<br />
galima užrašyti taip:<br />
W ST<br />
n <br />
2<br />
<br />
N<br />
2 <br />
exp<br />
<br />
<br />
N<br />
2 nN2
Artėjimas prie pusiausvyros<br />
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XX)<br />
Dabar panagrinėsime, kaip sistema artėja prie stacionaraus (pusiausvyrinio)<br />
sprendinio. Mes mėginsime surasti dinamines lytis p<strong>ir</strong>miems dviems momentams.<br />
Dėl to padauginsime kinetinę lygtį iš n <strong>ir</strong> susumuosime pagal visus n.<br />
<br />
n<br />
n<br />
<br />
<br />
n<br />
<br />
W<br />
t<br />
W<br />
n, tWn1,<br />
tNn1Wn1,<br />
tn1NWn,<br />
t<br />
Tuomet: W n, tnn<br />
<br />
<br />
n<br />
W<br />
<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
n1, tNn1nWn,<br />
tNnn1NnNnn<br />
<br />
n<br />
<br />
2<br />
n1, tn1nWn,<br />
tnn1nn<br />
<br />
n<br />
Čia sumuojame nuo minus begalybės iki plius begalybė, kadangi žinome, kad W(n,t)=0,<br />
kai nN. Įrašę šias išraiškas į kinetinę lygtį p<strong>ir</strong>mam momentui gauname:<br />
d<br />
n<br />
dt<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
n<br />
<br />
N<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
Matome, kad vidutinis molekulių skaičius ka<strong>ir</strong>ėje indo pusėje eksponentiškai artėja<br />
prie pusiausvyrinės vertės, n t n N , kai .<br />
ST <br />
t <br />
2<br />
n<br />
N<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
N <br />
2 <br />
<br />
2<br />
t<br />
t <br />
n0<br />
e
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXI)<br />
Analogiškai surandama dinaminė lygtis antram momentui. Dėl to kinetinę lygtį reikia<br />
padauginti iš n2 <strong>ir</strong> susumuoti pagal visus n. Atlikę panašius veiksmus, kaip <strong>ir</strong><br />
aukščiau, gauname<br />
Įrašome į<br />
n<br />
2<br />
N<br />
šią<br />
2<br />
<br />
4<br />
lygtį<br />
N<br />
d<br />
n<br />
dt<br />
2<br />
jau surastą<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
sprendinį<br />
N <br />
2 <br />
<br />
n<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
N<br />
2<br />
n<br />
<br />
N <br />
<br />
4 <br />
<br />
<strong>ir</strong> išsprendžiame ją:<br />
2<br />
t 2<br />
4<br />
t<br />
t n0<br />
Ne n 0 n0<br />
N e<br />
Nesunku nustatyti, kaip kinta laike vidutinis kvadratinis nuokrypis<br />
2<br />
<br />
N<br />
2<br />
<br />
4<br />
2<br />
2<br />
2<br />
4<br />
t<br />
t n t n<br />
t 0 e<br />
N<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
N<br />
N <br />
<br />
4 <br />
<br />
<br />
<br />
N <br />
<br />
2 <br />
Matome, kad antrasis momentas taip pat artėja prie pusiausvyrinės vertės, kai t <br />
2 2<br />
t n N N 4<br />
2<br />
n ST <br />
4<br />
2<br />
2<br />
Jis artėja prie pusiausvyrinės vertės t ST N dvigubai didesniu greičiu,<br />
nei vidurkis . Vidurkio artėjimo prie pusiausvyros charakteringasis laikas yra<br />
, o vidutinio kvadratinio nuokrypio –<br />
<br />
n<br />
t<br />
1<br />
2<br />
1<br />
4<br />
n
• Žinodami (t)<br />
Pavaizduosime , +(t)/2, -(t)/2 <strong>ir</strong> (t)/ kitimo dinamiką<br />
sk<strong>ir</strong>tingiems N, kai =0, (0)=0 <strong>ir</strong> =1:<br />
+(t)/2<br />
-(t)/2<br />
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXII)<br />
<strong>ir</strong> nesunkiai apskaičiuojame santykinio nuokrypio dinamiką:<br />
n<br />
<br />
t<br />
<br />
(t)/<br />
0 n0<br />
2<br />
t 1<br />
<br />
<br />
4 t<br />
t<br />
1<br />
<br />
<br />
1<br />
e<br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
e<br />
2<br />
<br />
N ST <br />
nST<br />
<br />
2<br />
N=100 N=1000 N=10000<br />
• Santykinis nuokrypis (t)/ yra didelis tik pradžioje, kai ka<strong>ir</strong>ioje indo pusėje yra<br />
mažai dalelių. Kai N →∞, santykinis nuokrypis yra mažas (proporcingas N-1/2 )<br />
beveik visiems t, išskyrus labai trumpą pradinį pereinamąjį procesą. Tai reiškia, kad<br />
didelių skaičių dėsnis galioje ne tik pusiausvyroje, bet yra teisingas <strong>ir</strong> aprašant<br />
artėjimą prie pusiausvyros. Šis faktas leidžia relaksacijos į pusiausvyrą<br />
procesą aprašyti makroskopine teorija (nepusiausvyrine termodinamika).
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXIII)<br />
• Šiame modelyje geras makroskopinis parametras yra vidutinis dalelių skaičius<br />
ka<strong>ir</strong>ioje indo pusėje. Jis tenkina paprastą dinaminę lygtį:<br />
d<br />
n<br />
dt<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
Kai pilnas dalelių skaičius N didelis, ji gana tiksliai aprašo dalelių kitimo dinamiką, nes<br />
tikras dalelių skaičius n(t) beveik tiksliai lygus vidurkiui . Santykinis nuokrypis<br />
Kinetinės lygties transformacija į<br />
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXIV)<br />
Fokerio-Planko lygtį<br />
didelių<br />
N riboje<br />
• Nagrinėdami stacionarų (pusiausvyrinį) kinetinės lygties sprendinį, mes matėme,<br />
kad jis artėja prie Gausinio sk<strong>ir</strong>stinio didelio dalelių skaičiaus riboje. Dabar<br />
pažiūrėsime, kaip transformuojasi pati kinetinė lygtis riboje N .<br />
T<strong>ir</strong>iant šią<br />
Šiame keitinyje x yra dalelių skaičiaus nuokrypis nuo pusiausvyrinės vertės<br />
normuotas į N1/2 . Tuomet kinetinė lygtis įgauna tokį pavidalą<br />
<br />
t<br />
~<br />
W<br />
ribą<br />
patogu pakeisti kintamąjį<br />
N <br />
W <br />
2 <br />
n, tW<br />
x N , t W x, t,<br />
~ <br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
N<br />
<br />
2<br />
<br />
~ <br />
<br />
<br />
<br />
N<br />
<br />
2<br />
x, tWx<br />
, t<br />
x N 1<br />
W<br />
x , t<br />
x N 1<br />
NWx,<br />
t<br />
N<br />
Tariant, kad N>>1, skleidžiame tikimybes Teiloro<br />
<br />
N<br />
n x<br />
2<br />
1<br />
N<br />
N ,<br />
eilute iki antros eilės narių<br />
~<br />
~<br />
~<br />
W<br />
N N x<br />
2N<br />
x<br />
~<br />
2 ~<br />
~ 1 ~ 1 W<br />
x,<br />
t 1 W x,<br />
t<br />
W<br />
x , t<br />
Wx,<br />
t<br />
<br />
2<br />
N N x<br />
2N<br />
x<br />
~<br />
2<br />
1 ~ 1 W<br />
<br />
x, t<br />
1 Wx,<br />
t<br />
x<br />
, t<br />
W<br />
x,<br />
t <br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
n N / 2<br />
x <br />
N<br />
<br />
<br />
~
Įraše šias išraiškas į<br />
kinetinę<br />
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXV)<br />
lygtį<br />
~<br />
W<br />
t<br />
gauname Fokerio-Planko lygtį<br />
~<br />
<br />
2xW<br />
<br />
x<br />
<br />
~<br />
W<br />
x<br />
• Aprašytas čia metodas, kuriuo kinetinę lygtį pakeitėme Fokerio-Planko lygtimi,<br />
vadinamas Kramerso-Moialo skleidimu (Kramers-Moyal expansion). Toks<br />
skleidimas dažnai sutinkamas įva<strong>ir</strong>iuose fizikinės kinetikos uždaviniuose.<br />
• Nesunku surasti stacionarų<br />
~<br />
~ 1 dW<br />
2xW 0<br />
2 dx<br />
Gautasis Gausinis sk<strong>ir</strong>stinys tiksliai sutampa su anksčiau nustatytu stacionariu<br />
pagrindinės kinetinės lygties sprendiniu didelių N riboje!<br />
1<br />
2<br />
Fokerio-Planko lygties sprendinį<br />
W ST<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
x exp2x<br />
<br />
• Nestacionarų šios lygties sprendinį taip pat nesunku surasti, jeigu pastebėti, kad ši<br />
lygtis pagal formą sutampa su <strong>Brauno</strong> dalelės Fokerio-Planko lygtimi, kurią gavome<br />
nagrinėdami trumpalaikę greičio relaksaciją. Tad čia jos sprendinį galime nus<strong>ir</strong>ašyti:<br />
<br />
<br />
2<br />
t 2<br />
x x e <br />
0<br />
4<br />
1<br />
e<br />
~<br />
2 <br />
<br />
2<br />
W x,<br />
t exp <br />
4 t <br />
t<br />
1 e<br />
<br />
<br />
n <br />
x <br />
<br />
N /<br />
2<br />
N<br />
kai pradinė sąlyga:<br />
~<br />
W <br />
<br />
<br />
<br />
x, 0<br />
x x <br />
0
Pavyzdys: populiacijų<br />
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXVI)<br />
kinetika<br />
• Pagrindinė kinetinė lygtis dažnai naudojama populiacijų dinamikai aprašyti.<br />
Pademonstruosime jos taikymą šio mokslo srityje konkrečiu uždaviniu. Nagrinėsime<br />
bakterijų kinetiką. Pažymėkime:<br />
W(n,t)<br />
–<br />
tikimybė, kad momentu t populiacijoje<br />
yra n<br />
bakterijų<br />
dt – tikimybė, kad per laiką t viena konkreti bakterija žus.<br />
bt – tikimybė, kad per laiką t viena konkreti bakterija pasidaugins.<br />
pn-1,nt=(n-1)bt – tikimybė, kad per laiką t populiacija iš n-1<br />
bakterijos pagausės viena bakterija.<br />
pn+1,nt=(n+1)dt – tikimybė, kad per laiką t populiacijoje iš n+1<br />
bakterijos žus viena bakterija.<br />
n(b+d)t – tikimybė, kad per laiką t populiacijoje iš n<br />
bakterijų žus arba ats<strong>ir</strong>as viena bakterija.<br />
Tuomet:<br />
<br />
W<br />
t<br />
n, tWn1,<br />
tn1bWn1,<br />
tn1dWn,<br />
tnbd<br />
Šią kinetinę lygtį galima t<strong>ir</strong>ti panašiai, kaip praeitame pavyzdyje. Ją galima dauginti iš<br />
n, n2 , sumuoti pagal n <strong>ir</strong> nustatyti diferencialines lygtis p<strong>ir</strong>mam <strong>ir</strong> antram momentui.<br />
–<br />
pagrindinė<br />
kinetinė<br />
lygtis
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXVII)<br />
• Tačiau čia mes pademonstruosime kitą tyrimo būdą. Mes parodysime kad galima<br />
išspręsti pačią kinetinę lygtį, t.y. nustatyti visos W(n,t) funkcijos laikinę priklausomybę,<br />
o ne atsk<strong>ir</strong>ų jos momentų.<br />
• Nestacionarus kinetinės lygties sprendinys ieškomas generuojančios funkcijos<br />
metodu. Generuojanti funkcija apibrėžiama taip:<br />
<br />
Čia suma imama nuo , nes ties n = 0 tikimybė turi natūralią kraštinę sąlygą,<br />
W(t,n) =0 , kai n
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXVIII)<br />
• Generuojančios funkcijos lygtis nustatoma padauginus kinetinę lygtį iš<br />
<strong>ir</strong> susumavus pagal visus n:<br />
<br />
n<br />
z<br />
n<br />
Tuomet:<br />
<br />
<br />
n<br />
<br />
<br />
n<br />
<br />
<br />
n<br />
<br />
W<br />
t<br />
z<br />
z<br />
z<br />
n<br />
n<br />
n<br />
W<br />
W<br />
W<br />
n, tWn1,<br />
tn1bWn1,<br />
tn1dWn,<br />
tnbd<br />
<br />
z<br />
n<br />
n<br />
n 1, t n 1<br />
z<br />
z<br />
2<br />
n1<br />
n1, tn1zzWn1,<br />
t<br />
<br />
1<br />
W n1, t<br />
<br />
z<br />
n<br />
<br />
z<br />
n<br />
n, tn<br />
z z W n, tz<br />
Fz,<br />
t<br />
n<br />
2 F<br />
z<br />
z<br />
Fz,<br />
t<br />
<br />
z<br />
z, t<br />
Tokiu būdu generuojančiai funkcijai gauname diferencialinę lygtį dalinėmis<br />
išvestinėmis<br />
F<br />
t<br />
<br />
F<br />
z1bz d<br />
z<br />
z n
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXIX)<br />
• Generuojančios funkcijos lygtys sprendžiamos charakteristikų metodu.<br />
Pademonstruosime šį metodą gautai lygčiai<br />
Metodo idėja paremta lygties charakteristikų nustatymu. Charakteristikos, pagal<br />
apibrėžimą, yra (z,t) plokštumos kreivės, kuriose funkcija F(z,t) yra pastovi. Jos<br />
tenkina tokią sąlygą:<br />
dz<br />
z1bz d <br />
dt<br />
F<br />
t<br />
Nesunku įsitikinti, kad bet kuri funkcija<br />
F<br />
<br />
F<br />
z<br />
z1bz d<br />
0<br />
z 1<br />
<br />
ln <br />
z d b<br />
<br />
<br />
<br />
z, t<br />
b<br />
F<br />
bz d<br />
bdtlnC z 1<br />
bdt e <br />
z 1 bd b t<br />
bz d<br />
yra generuojančios lygties sprendinys, t.y. tenkina v<strong>ir</strong>šutinę šios skaidrės lygtį.<br />
Iš šio sprendinio matome, kad funkcijos F(z,t) kintamieji z <strong>ir</strong> t yra susieti tam tikra<br />
sudėtinga priklausomybe, tačiau pati funkcija F lieka nežinoma.<br />
e<br />
C
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXX)<br />
• Pačios funkcijos F(z,t) pavidalas nustatomas iš pradinės sąlygos. Tarkime,<br />
kad pradiniu laiko momentu t=0 populiacijoje yra tiksliai m bakterijų. Tuomet<br />
W n, 0<br />
<br />
n,<br />
m<br />
<br />
n<br />
F z,<br />
0 z m,<br />
n<br />
n<br />
Pažymėkime<br />
u<br />
z 1<br />
b<br />
<br />
bz d<br />
<br />
. Tuomet <strong>ir</strong><br />
z<br />
m<br />
du b<br />
Generuojančios lygties sprendinys, tenkinantis duotą<br />
F<br />
z, t<br />
b<br />
F<br />
bz d<br />
z 1<br />
bdt e <br />
z1 z1 z <br />
bu1<br />
u bd <br />
<br />
b<br />
d<br />
bz d<br />
b<br />
b<br />
bz d<br />
t<br />
d e bz d<br />
Fzt bdt b e bz d <br />
<br />
<br />
, <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z 1<br />
m<br />
b<br />
F <br />
bz d <br />
z<br />
du b<br />
F<br />
bu<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
pradinę, sąlygą<br />
z1 bd e<br />
z1 bd m<br />
e<br />
t<br />
t<br />
yra<br />
m<br />
<br />
b <br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
m<br />
Tai yra tikslus<br />
generuojančios<br />
lygties sprendinys !!!
2<br />
<br />
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXXI)<br />
• Generuojanti funkcija turi visą informaciją apie tikimybes W(n,t). Tikimybės<br />
W(n,t) nustatomos skleidžiant generuojančią funkciją Teiloro eilute. Jos tiesiog yra<br />
Teiloro eilutės koeficientai:<br />
F<br />
<br />
n z, tzWn,<br />
t<br />
Pavyzdžiui,<br />
n0<br />
1 <br />
!<br />
F<br />
<br />
<br />
n<br />
n<br />
z<br />
n0 <br />
n<br />
n z<br />
<br />
<br />
z<br />
0<br />
• Mes jau žinome, kad iš generuojančios funkcijos nesunku nustatyti <strong>ir</strong> momentus.<br />
Vidutinė vertė <strong>ir</strong> vidutinis kvadratinis nuokrypis yra tokie:<br />
n<br />
2 F <br />
2<br />
z <br />
<br />
bdt 1<br />
e <br />
bdt d<br />
W t<br />
F<br />
t<br />
d be <br />
<br />
0,<br />
0,<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
F<br />
<br />
<br />
z<br />
<br />
bdt t me<br />
z1<br />
W<br />
n, t<br />
1 <br />
<br />
! <br />
<br />
n <br />
n<br />
F<br />
z<br />
z, t<br />
2<br />
2<br />
2<br />
bdt bd t n t n<br />
t n(<br />
t)<br />
n(<br />
t)<br />
m e 1<br />
e<br />
z1<br />
b d <br />
<br />
d b <br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z0<br />
t <br />
Iš šių rezultatų matome, kad jeigu gimimo greitis yra didesnis negu žuvimo, b>d, tai<br />
bakterijos eksponentiškai gausėja, o jei mažesnis, b
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXXII)<br />
• Čia, kaip <strong>ir</strong> praeitame pavyzdyje, santykinis nuokrypis yra atv<strong>ir</strong>kščiai<br />
proporcingas šakniai iš bakterijų skaičiaus.<br />
<br />
t<br />
t 1 b d <br />
1<br />
n m b d <br />
Todėl, kai bakterijų skaičius yra didelis, vietoje mikroskopinės kinetinės lygties<br />
galima patikimai taikyti makroskopinę lygtį vidutiniam bakterijų skaičiui<br />
d<br />
n<br />
dt<br />
b<br />
n<br />
d<br />
n<br />
bdt<br />
e <br />
Ši lygtis aprašo vidutinio bakterijų skaičiaus balansą. P<strong>ir</strong>mas narys aprašo bakterijų<br />
prieaugį dėl dauginimosi, o antras – mažėjimą dėl žuvimo. Jos sprendinys sutampa<br />
su anksčiau gautu rezultatu, panaudojus kinetinės lygties sprendinį.<br />
n<br />
bdt t <br />
me
Pavyzdys: cheminių<br />
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXXIII)<br />
reakcijų<br />
kinetika<br />
• Pagrindinė kinetinė lygtis plačiai taikoma cheminių reakcijų kinetikai aprašyti.<br />
Panagrinėkime tokią cheminę reakciją:<br />
k1t W(n,t)<br />
–tikimybė, kad per laiką<br />
–<br />
A X A Y<br />
1 k<br />
<br />
t<br />
k2 • Tarkime, kad A molekulių kiekis nA palaikomas pastoviu, o X <strong>ir</strong> Y molekulių skaičiai<br />
nX <strong>ir</strong> nY yra kintami, tačiau jų suma yra pastovi<br />
k2t nX nY<br />
N const nX<br />
n,<br />
nY<br />
–tikimybė, kad per laiką<br />
t<br />
įvyks reakcija, kai X<br />
įvyks reakcija, kai Y<br />
N n<br />
susidurs su A<br />
tikimybė, kad momentu t sistemoje yra n X-molekulių.<br />
pn-1,n t=(N-n+1)nAk2t pn+1,n t=(n+1)nAk1t nnAk1t +(N-n)nAk2t <br />
susidurs su A<br />
<strong>ir</strong> v<strong>ir</strong>s Y<br />
<strong>ir</strong> v<strong>ir</strong>s X<br />
– tikimybė, kad per laiką t populiacijoje iš n-1 X-molekulių<br />
įvyks reakcija, kurios metu viena Y molekulė v<strong>ir</strong>s X<br />
–<br />
–<br />
tikimybė, kad per laiką t populiacijoje iš n-1 X-molekulių<br />
įvyks reakcija, kurios metu viena X molekulė v<strong>ir</strong>s Y<br />
tikimybė, kad per laiką t populiacijoje iš nX-molekulių įvyks<br />
tiesioginė arba atv<strong>ir</strong>kštinė reakcija, kurios metu viena X<br />
molekulė v<strong>ir</strong>s Y arba viena Y molekulė v<strong>ir</strong>s X.
• Susumavę<br />
<br />
W<br />
t<br />
Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXXIV)<br />
Panašiai kaip praeitame pavyzdyje šią lygtį galima išspręsti generuojančios funkcijos<br />
<strong>ir</strong> charakteristikų metodu. Čia to sprendimo nepateiksime.<br />
• Makroskopinę lygtį vidutiniam X-molekulių skaičiui galima gauti padauginus<br />
kinetinę lygtį iš n <strong>ir</strong> susumavus pagal visus n, arba tiesiog išsamprotauti iš<br />
cheminės reakcijos formulės:<br />
arba<br />
atėjimo <strong>ir</strong> išėjimo procesus gauname tokią<br />
d<br />
n<br />
dt<br />
d<br />
n<br />
dt<br />
k1nA<br />
n k2n<br />
n<br />
A<br />
Nn kNkk n <br />
A 2 1 2<br />
pagrindinę<br />
kinetinę<br />
lygtį:<br />
n, tnWn1,<br />
tNn1kWn1,<br />
tn1kWn,<br />
tnk<br />
Nnk<br />
A<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2