Brauno ir stochastiniai procesai

Brauno judėjimas 

• Įvadas 

• Empirinė 

• Lanževeno 

Brauno judėjimo teorija 

Brauno judėjimas, kaip stochastinis procesas 

Elementari Brauno judėjimo teorija 

Markovo procesai 

ir stochastiniai procesai 

Brauno judėjimas, atsitiktinis klaidžiojimas ir centinė 

(Langevin) lygtis 

Deterministinė 

ir stochastinė 

Tiesioginis Lanževeno 

judėjimo lygtys 

lygties sprendimas 

Spektrinis tankis, Vinerio-Khintčeno 

Ergodiškumas 

Lanževeno 

ribinė 

teorema 

(Wiener-Khintchine) teorema 

lygties sprendimas Furjė transformacijos metodu

Brauno judėjimas 

• Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis 

• Pagrindinė 

Gausinis procesas 

Fokerio-Planko lygtis 

Didelės trinties riba 

Trumpalaikė 

kinetinė 

greičio relaksacija 

lygtis (Master 

ir stochastiniai procesai 

equation) 

Pagrindinės kinetinės lygties išvedimas 

Stacionarus sprendinys ir detalusis balansas 

Pavyzdys: artėjimas prie pusiausvyros dviejų 

Pavyzdys: populiacijų 

Pavyzdys: cheminių 

kinetika 

reakcijų kinetika 

indų 

modelyje

Įvadas (I) 

Eksperimentinis Brauno dalelių judėjimo vaizdas Robert Brown (1773-1858) 

• 1827 m škotų botanikas Braunas mikroskopu tyrinėjo pamirkytas į vandenį 

žiedadulkes ir pastebėjo jų netvarkingą judėjimą. Pradžioje jis manė, kad šis judėjimas 

yra gyvybės požymis. Norėdamas patikrinti šią hipotezę, jis atliko eilę eksperimentų su 

labai senom žiedadulkėm, žuvusioms prieš šimtmetį, ir labai nustebo, pamatęs, kad 

jos taip pat juda. Šiuos eksperimentus Braunas aiškino nepaprastu žiedadulkių ląstelių 

gyvingumu, ilgai išliekančiu po gėlės žuvimo. 

• Vėliau jis atliko tyrimus su mažom uolienos dalelėm ir priėjo išvados, kad judėjimo 

priežastis yra fizikinė, o ne biologinė. Tačiau kokia ta konkreti fizikinė priežastis jis 

paaiškinti nesugebėjo.

Įvadas (II) 

19 amžiaus pabaigoje dalis mokslininkų Brauno dalelės judėjimą aiškino mažų nematomų 

molekulių smūgiais. Tačiau kiekybinis šio reiškinio aprašymas nebuvo žinomas. 

Brauno judėjimo paaiškinimas

• 1905 m. A. Einšteinas 

paskelbė 

garsų 

straipsnį: 

A. Einstein „Über die von molekular - kinetischen Theorie 

der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden 

Flüssigkeiten suspendenten Teilchen,“ 

Ann. Phys. (Leipzig), 14, 549 (1905), 

kuriame pasiūlė kiekybinę Brauno judėjimo teoriją (nors 

rašydamas šį straipsnį jis nežinojo Brauno eksperimentų). 

• Šios teorijos rėmuose buvo gautas sąryšis tarp makroskopiškai 

matuojamo dydžio – difuzijos koeficiento D –ir 

mikroskopinių medžiagos parametrų: 

D 

 

N 

RT 

6 

A a 

Įvadas (III) 

Albert Einstein (1879-1955) 

R – dujų konstanta, T – temperatūra, – skysčio klampumas, 

a – Brauno dalelės spindulys. 

NA =6.02X1023 

–mol-1 Taigi pagal Einšteino teoriją, išmatavus difuzijos koeficientą, galima 

apskaičiuoti mikroskopinį medžiagos parametrą – Avagadro skaičių, t.y. 

nustatyti kiek yra molekulių 18 – oje gramų vandens. 

– 

Avagadro 

skaičius

• 1910 m. prancūzų 

mokslininkas J. Perrin 

straipsnyje: 

M. J. Perrin „Brownian movement and molecular reality,“ 

(Tailor and Francis, London, 1910) 

aprašė eksperimentinius Brauno judėjimo tyrimus, 

paremtus Einšteino teorija. 

• Difuzijos koeficientą jis nustatė stebėdamas Brauno dalelės 

judėjimą ir skaičiuodamas vidutinį kvadratinį nuokrypį: 

x t x0 

2Dt 

2 

t – 

x 

Brauno dalelės koordinatė 

Po Einšteino ir Perrino straipsnių molekulinė medžiagos teorija tapo 

visuotinai pripažintu mokslu, nors prieš tai buvo nemažai skeptikų. 

Įvadas (IV) 

Jean Perrin (1870-1942) 

laiko momentu 

Pritaikęs Einšteino sąryšį J. Perrin ganėtinai tiksliai apskaičiavo Avagadro skaičių. 

Laiške Einšteinui jis rašė: „Aš nesitikėjau, kad Brauno judėjimą galima tirti tokiu 

tikslumu“ 

t

Empirinė 

Brauno judėjimo teorija (I) 

Brauno judėjimas, kaip stochastinis procesas 

• Tarkime, kad tam tikrą laiką 0

Empirinė Brauno judėjimo teorija (II) 

• Stochastiniai procesai lengviau suprantami, kai jie nagrinėjami diskretinio laiko 

skalėje: 0 t t t T 

- kintamojo Xt realizacija. 

n x t xt 

, , 

xt 

t3 t2 t1 t 

2 

• Bendresnė 

Stochastinis procesas 

1 

n 

2 

–matė 

x 

tikimybė 

1 

, 2 

n 

• Stochastiniam procesui aprašyti apibrėžiamos 

tokios tikimybės: 

x, tdx 

Prx 

xt 

x dx 

W 

1 

Tai yra tikimybė, kad momentu t kintamojo Xt vertė bus intervale tarp x ir x+dx. Ši tikimybė 

nenusako vienareikšmiškai stochastinio proceso. 

x , t ; x , t dx dx Prx 

xt 

x dx , x xt 

x dx 

W 

1 

1 

2 

2 

1 

2 

Reikia dar apibrėžti tokias daugiamates tikimybes: 

apibrėžiama taip: 

xt; x , t ; , x , t dx dx dx 

Prx 

xt 

 

x dx , j 1, 

2, 

n 

Wn 1, 

1 2 2 n n 1 2 n 

j j j j 

X t yra pilnai apibrėžtas, jeigu yra žinomos šios 

tikimybės bet kuriai laiko taškų sekai iš n (n =1,2,…, ) . 

1 

Tai yra tikimybė, kad kintamojo Xt vertė momentu t1 bus intervale tarp x1 ir momentu t2 bus intervale tarp x2 ir x2+dx2 . 

1 

1 

1 

2 

 

2 

2 

2 

ir x1+dx1

Empirinė Brauno judėjimo teorija (III) 

• Akivaizdu, kad integruojant daugiamatę tikimybę pagal vieną iš kintamųjų galima 

pažeminti jos eilę: 

xt; x , t ; , 

x , t dx W x, t ; x , t ; , x , t 

Wn 1 , 1 2 2 n n n n1 

1 1 2 2 n1 

n1 

• Iš aukščiau apibrėžtų tikimybių galima išvesti eilę kitokių tikimybių. Labai svarbi yra 

perėjimo (sąlyginė) tikimybė, kuri apibrėžiama kaip tikimybė, kad momentu t1 Brauno dalelė atsiras intervale tarp x1 ir x1+ dx1, jeigu momentu t0 ji buvo ties x0 : 

• Šią 

formulę 

dx0 

• Suintegravę 

x, t | x , t 

P dx 

0 

0 

1 

1 

1 

W 

galima perrašyti taip: 

W 

2 

2 

x0, t0; 

x1, 

t1 

W x, t 

1 

0 

0 

dx 

x , t ; x , t W x , t Px, t | x , t 

W 

pagal x 0 

1 

0 

0 

1 

dėl W1 gauname 

1 

xt W x , t Px , t | x , t 

1 

1 

 

, dx 

1 

1 0 0 0 0 1 1 0 

• Tikimybė, kad momentu t1 dalelė yra taške x1, gaunama 

susumavus visus galimus perėjimus iš visų įmanomų taškų prieš 

tai esančiu laiko momentu t0< t1. 0 

0 

1 

0 

(čia sąlyga rašoma kairioje 

vertikalaus brūkšnio pusėje) 

0 

1 

1 

x0 

X X 

t0 1 t 

x1

Empirinė Brauno judėjimo teorija (IV) 

• Perėjimo tikimybė tarp dviejų laiko taškų yra dažniausiai naudojamas dydis, 

nors galima pateikti ir bendresnių perėjimo tikimybės apibrėžimo pavyzdžiui: 

Tai tikimybė, kad dalelė būdama pradiniu momentu 

,...,tn pereis į atitinkamus taškus ,...,xn . 

t 1 

P 

x, t | x , t ; ; 

x , t 

0 

0 

1 

1 

n 

n 

dx 

1 

dx 

n 

x 1 

 

W 

n1 

x0, t0; 

x1, 

t1; 

; 

xn, 

tn 

 

W x, t 

t 0 

1 

0 

0 

taške x 0 

dx 

1 

dx 

laiko momentais 

Apibrėžtų tikimybių taikymas nesiriboja Brauno judėjimo teorija, jomis 

grindžiama žymiai bendresnė stochastinių procesų teorija. 

n

Elementari Brauno judėjimo teorija 

Empirinė Brauno judėjimo teorija (V) 

• Brauno judėjimas yra labai sudėtingas reiškinys ir gali būti nagrinėjamas įvairiais 

sudėtingumo lygiais. Mes pradėsime nuo pačio paprasčiausio šio reiškinio modelio. 

• Nagrinėsime terpę, kurioje yra daug Brauno dalelių ir jų tankį aprašysime funkcija 

n(x,t). Iš eksperimento žinome, kad bet koks pradinis tankio nehomogeniškumas 

pranyksta – sistema artėja prie būsenos su homogeniniu dalelių pasiskirstymu. Toks 

procesas aprašomas difuzijos lygtimi. Pagal Fiko (A. Fick) dėsnį bet koks 

nehomogeniškumas sukuria dalelių srautą proporcingą koncentracijos gradientui: 

j d 

n 

x 

 

t 

j 

 

x 

n d 

2 

n 

D 2 

x 

D 

– Difuzijos lygtis 

tolydumo lygtis 

• Jeigu daleles veikia homogeninis laukas, pavyzdžiui gravitacijos laukas, tai 

atsiranda papildomas dalelių srautas, sąlygotas šio lauko: 

j F 

 

nu 

 

nF 

m 

(u – dalelės greitis, F – išorinėjėga, 

m – dalelės masė, 

– trinties koeficientas (m =6a)) 

Tuomet pilnas srautas ir tolydumo (difuzijos) lygtis atrodys taip: 

j jF 

jd 

nF n 

D 

m 

x 

2 

n 

nF n 

D 2 

t 

x 

 

m 

 

 

x

Empirinė Brauno judėjimo teorija (VI) 

• Iš statistinės fizikos kurso žinome, kad Brauno dalelės gravitaciniame lauke po 

pakankamai ilgo laiko turi pasiekti pusiausvyrinį Boltzmano pasiskirstymą: 

n 

xnx 0 

x E 

exp 

kT 

 

 

 

 

n 

x 0 

F 

exp 

kT 

x x0 

 

(k – Boltzmano konstanta, 

T – skysčio temperatūra) 

Šis pasiskirstymas turi tenkinti difuzijos lygtį su nuliniu srautu j=0, t.y. pusiausvyroje 

difuzijos ir išorinės jėgos srautai kompensuoja vienas kitą (paprastas detaliosios 

pusiausvyros pavyzdys): 

j jF 

jd 

 

 

 

F 

m 

 

DF 

 

kT 

nF n 

D 

m 

x 

 

 

 

 

0 

0 

kT 

D kT 

m 

 

x x x 

F 

exp 

kT 

• Einšteino sąryšis yra fundamentalus nepusiausvyrinės statistinės fizikos 

rezultatas. Jis nustato ryšį tarp dviejų skirtingų disipacinių procesu, kurie nusako 

sistemos artėjimą prie pusiausvyros. Konstanta D apibūdina nehomogeninių 

fluktuacijų difuziją, o konstanta aprašo sistemos atsaką įišorinę jėga ir 

charakterizuoja Brauno dalelės energijos praradimą dėl trinties. 

 

 

 

F 

 

m 

DF 

kT 

-Einšteino 

sąryšis 

 

n 

 

0 

m 1 

 

 

u 

F 

0 

 

 

 

 

0 

–judrumas

Empirinė Brauno judėjimo teorija (VII) 

• Grįžkime prie laisvų (be išorinės jėgos) Brauno dalelių judėjimo uždavinio. Jeigu 

dalelių koncentracija nėra labai didelė, tai galime nepaisyti dalelių sąveikos ir 

tuomet jų koncentraciją skirtingais laiko momentais galime susieti su pradine 

koncentracija. Panaudodami anksčiau apibrėžtą perėjimo tikimybę galime užrašyti: 

x, t 

nx0 

, t0 

Px 0, 

t0 

| x, 

tdx0 

n 

Kadangi n(x,t) tenkina difuzijos lygtį bet kuriai pradiniai sąlygai 

difuzijos lygtį turi tenkinti ir perėjimo tikimybė: 

n 

t 

2 

n 

D 2 

x 

P 

 

t 

P 

 

x 

xt| x, 

tDPx, 

t | x, 

t 

x, t | x, 

t 

0 

0 

0, 

0 

2 0 0 

Šios lygties sprendinys, tenkinantis pradinę 

 

1 

4D 

2 

tt 0 

 

exp 

 

 

4 

 

2 

x x 0 

D t t 

n(x0,t0), tai tą 

sąlygą, yra Gauso funkcija: 

0 

 

pačią 

pradinė sąlyga: 

x , t | x, 

t 

x x 

P 0 0 tt 

0 

0

Markovo procesai 

x t ; ; 

x , t ; x , t | x, 

t 

Px 

, t | x, 

t 

P n 

, n 

1 

1 

0 0 

0 0 

Empirinė Brauno judėjimo teorija (VIII) 

• Iš perėjimo tikimybės išraiškos matome, kad tikimybė surasti dalelę taške x 

momentu t, kai momentu t0 ji tikrai buvo taške x0, nepriklauso nuo to, kur dalelė 

buvo prieš momentą . Šią savybę bendruoju atveju galima suformuluoti taip: 

t 0 

• Stochastiniai procesai, kurie tenkina šią sąlygą vadinami Markovo procesais. 

Taigi Markovo procesai yra procesai be atminties. Perėjimo tikimybė priklauso tik 

nuo dalelės padėties prieš tai esančiu laiko momentu t0 ir nepriklauso nuo to, kur ta 

dalelė buvo ankstesniais laiko momentais. Brauno dalelės judėjimas yra Markovo 

proceso pavyzdys, nes jo perėjimo tikimybė tenkina šią sąlygą. 

Markovo procesas pilnai aprašomas dviem funkcijom: 

• Visos aukštesnės eilės tikimybės redukuojamos į 

dx1 

W 

Suintegravę 

3 

x0, t0; 

x1, 

t1; 

x2, 

t2 

W2x0, t0; 

x1, 

t1 

Px0 

, t0; 

x1, 

t1 

| x2, 

t2 

 

W x, t Px, t | x , t Px, t | x , t 

šią 

W 

2 

lygybę 

pagal 

x 1 

1 

0 

gauname: 

0 

0 

0 

1 

1 

t t t 

tn 1 

0 

x t 

W , 

1 

1 

1 

ir 

šias dvi funkcijas, pavyzdžiui: 

xt; x , t W x , t Px 

, t | x , t Px , t | x , t 

0 

0 

2 

2 

 

2 

x t | x t 

P , 

0, 

0 

, dx 

1 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 1 

2

• Kadangi 

P 

2 

x, t ; x , t / W x , t Px 

, t | x , t 

W 

0 

0 

tai perėjimo tikimybei gauname integralinę 

2 

2 

1 

0 

x 

0 t0 

| x2, 

t2 

Px0 

, t0 

| x1, 

t1Px1, 

t1 

| x2, 

t2 

 

0 

Empirinė Brauno judėjimo teorija (IX) 

, dx 

Tai yra suderinamumo 

Ši lygtis reiškia kad perėjimą 

0 

lygtį: 

1 

arba Čapmano 

x0 , t0 

x2, t2 

 

x0 , t0 

x1, t1x2, 

t2 

 

būseną x 

0 

2 

2 

ir Kolmogorovo lygtis. 

galima suskaldyti į 

• Galima tiesiogiai patikrinti ir įsitikinti, kad Brauno dalelės perėjimo tikimybė 

 

t t t 

 

 

kurią gavome iš paprastų empirinių dėsnių, tenkina Čapmano ir Kolmogorovo lygtį. 

Tai iš esmės yra pasekmė to, kad ši perėjimo tikimybė aprašoma pirmos eilės pagal 

laiką diferencialine lygtimi (difuzijos lygtis yra pirmos eilė pagal laiką diferenc. lygtis). 

 

2 

1 x x 

 

0 

P x0, 

t0 

| x, 

t 

exp 

 

 

4D 

t t 4D 

t t 

0 

0 

0 

1 

du procesus 

t.y. perėjimas vyksta per tarpinę 

1 . Proceso Markoviškumas 

pasireiškia tuo, kad dviejų nuoseklių procesų tikimybės dauginasi. Tai reiškia, kad 

šie du nuoseklūs procesai yra statistiškai nepriklausomi. Perėjimo x1 t1 

tikimybė nepriklauso nuo prieš tai buvusio perėjimo . 

 

x2 

1 ,t 

, , t2 

 

x , t x , t 

0 

0 

1 

1 

2

Brauno judėjimas ir centrinė 

• Nesunku pastebėti, kad Brauno dalelės perėjimo tikimybė 

P 

x, t | x, 

t 

0 

0 

 

1 

4D 

ribinė 

tt 0 

Empirinė Brauno judėjimo teorija (X) 

 

exp 

 

 

4 

teorema 

 

2 

x x 0 

D t t 

sutampa su tikimybės išraiška, kurią gavome atsitiktinio klaidžiojimo uždavinyje. Iš 

tikrųjų, jeigu čia įrašysime x0= 0 ir t0 = 0, t. y., kaip ir klaidžiojimo uždavinyje, pradiniu 

laiko momentu dalelę patalpinsime koordinačių pradžioje, tai gausime tiksliai tą pačią 

tikimybės išraiška, kaip ir atsitiktinio klaidžiojimo uždavinyje: 

P X 

 

x, 

t P 0, 

0 | x, 

t exp 

1 

4Dt 

0 

2 x 

 

4Dt 

• Tai reiškia, kad Brauno dalelės judėjimas gerai aproksimuojamas atsitiktiniu 

klaidžiojimu, kai dalelė mažais žingsniais su vienoda tikimybę juda tai į kairę tai į 

dešinę. Atsitiktinio klaidžiojimo uždavinyje turėjome tokią difuzijos koeficiento išraišką: 

D 

 

Čia yra dalelės elementaraus žingsnio ilgis, o - žingsnio trukmė. 

2 

 

2

Empirinė Brauno judėjimo teorija (XI) 

• Atsitiktinio klaidžiojimo uždavinyje darėme daug specifinių prielaidų apie dalelės 

judėjimą. Mes tarėme kad dalelės judėjimo žingsnis nekinta, be to mes postulavome, 

kad judėjimas į kairę ir dešinę vienodai tikimi. Tačiau Gausinis Brauno dalelės 

pasiskirstymas gaunamas iš žymiai silpnesnių prielaidų. Šis pasiskirstymas, iš esmės 

yra centrinės ribinės teoremos pasekmė. 

• Tarkime, kad Brauno dalelės judėjimas susideda iš daugelio mažų (nebūtinai 

vienodų) žingsnių xi taip, kad atstumas, kurį dalelė nukeliavo iš koordinačių 

pradžios per laiką t =N (N – žingsnių skaičius, – žingsnio trukmė) yra: 

N x x x t 

1 2 

x 

Tuomet: x t x 

x 

 

x 

x 

x 

 

x 

0 

x 

2 

1 2 

N 1 2 

N 

2 N N 

N N 

N 

2 

t x 

x 

j xix 

j 

x 

j N x 

i 1 i 

j1 

i1 

j1 

j1 

Čia mes tariame, kad procesas yra Markovo ir todėl atskiri žingsniai statistiškai 

nepriklausomi, todėl: , kai i 

• Taigi iš 

gana bendrų 

i x j 

x 0 j 

prielaidų 

t 

gauname pažįstamas formules: 

x 2 

x t 2Dt, 

 

2 

D 

x 2 

2

Empirinė Brauno judėjimo teorija (XII) 

• Pažymėkime, kad šiame išvedime mums neprireikė detalių žinių apie atskirų žingsnių 

tikimybės pasiskirstymo funkciją Px (x). Mes panaudojome tik du postulatus: 

2 x i 

j 

x 0 ir 

( i, 

j – kronekiris) 

x ix 

j 

, 

• Ištikrųjų žinios apie atskirų žingsnių pasiskirstymo funkciją nereikalingos ir 

nustatinėjant detalesnę informaciją apie Brauno dalelės judėjimą. Jeigu tas judėjimas 

susideda iš daugelio statistiškai nepriklausomų žingsnių sumos 

X x 

x 

 

x 

1 

2 

tai uždavinys apie atsitiktinio dydžio X tankio funkcijos PX (x) nustatymą yra 

ekvivalentus uždaviniui apie paklaidų pasiskirstymo funkcijos suradimą, kurį mes 

sprendėme aptariant centrinę ribinę teoremą. Skirtumas tik toks, kad ten 

nagrinėjome suvidurkintą sumą, t.y. sumą padalintą iš N. Mes gavome, kad didelių 

N riboje sumos tikimybės tankio funkcija artėja prie Gausinio skirstinio. Taip kad 

čia pakanka tik nusirašyti seną atsakymą (reikia tik atsižvelgti į tai, kad dabar suma 

nedalinama iš N ir kad N=t/): 

P 

X 

2 

1 x 

4 

 

Dt 

4 

Dt 

x, t 

exp 

, 

N 

N 

D 

x Taigi Gausinis Brauno dalelės tikimybės pasiskirstymo dėsnis iš esmės 

išplaukia iš labai bendros centrinės ribinės teoremos. 

2 

2

Lanževeno 

(Langevin) lygtis (I) 

• Iki šiol Brauno dalelės judesius nagrinėjome remiantis statistikos principais ir kai 

kuriomis fenomenologinėmis lygtimis. Mes nenaudojome jokio Brauno dalelės 

judėjimo modelio. Dabar pagrindinius Einšteino rezultatus išvesime startuojant nuo 

Brauno dalelės judėjimo lygties. 

Deterministinė judėjimo lygtis 

• Skystyje judančią Brauno dalelę veikia trinties jėga, kuri pagal Stokso dėsnį 

proporcinga greičiui. Tad galime užrašyti tokią judėjimo lygtį: 

mv FS 

m 

v 

m 6a 

 

(v – dalelės greitis, m – masė, – spindulys 

– trinties koeficientas, – skysčio klampumas) 

Tai yra deterministinė (diferencialinė) judėjimo lygtis – dalelės greičio 

elgesys pilnai nusakomas pradine sąlyga v(0). Greitis eksponentiškai mažėja: 

v 

t 

t 

/ 

t v0e 

v0e 

1/ 

 

• Kokia yra fizikinė trinties jėgos prigimtis? Atsitiktinai judančios skysčio 

molekulės susiduria su dalele. Kriptingai judančios dalelės impulsas yra 

perduodamas atsitiktinai judančioms molekulėms ir dėl to dalelės greitis mažėja. 

Tačiau deterministinis aprašymas galioja tik kol dalelės masė yra pakankamai 

didelė, t.y. kol dalelės šiluminės greičio fluktuacijos yra mažos.

Stochastinė 

Lanževeno lygtis (II) 

• Kai Brauno dalelė yra termodinaminėje pusiausvyroje su skysčiu, jos šiluminį 

greitį galima apskaičiuoti panaudojus tolygaus šiluminės energijos 

pasiskirstymo pagal laisvės laipsnius principą: 

m 

judėjimo lygtis 

v 

2 

2 

kT 

 

2 

v T 

• Jeigu dalelės masė yra maža, tai šiluminis greitis vT gali tapti pastebimas. Todėl 

skysčio poveikio modeliavimas Stokso jėga „mažos“ masės dalelei yra netikslus. 

Jeigu mažos Brauno dalelės masė yra žymiai didesnė už skysčio molekulės masę, 

tai Stokso jėga vis dar apytiksliai aprašys skysčio poveikį. Tačiau judėjimo lygtį reikia 

modifikuoti taip, kad aukščiau užrašyta šiluminio greičio išraiška būtų teisinga. 

• Lanževenas 

(Langevin) pasiūlė 

tokią 

 

v 

2 

 

kT 

m 

judėjimo lygties modifikaciją: 

t m 

v F t mv FS 

FL 

L 

Papildomai prie Stokso jėgos jis pasiūlė pridėti fliuktuojančią jėga FL (t). Ši jėga yra 

stochastinė, arba atsitiktinė, jos savybės užduodamos tik vidurkiams. Diferencialinė 

lygtis su atsitiktine nuo laiko priklausančia jėga vadinama stochastine diferencialine 

lygtimi.

Lanževeno lygtis (III) 

• Kokia yra stochastinės jėgos prigimtis? Jeigu norėtume tiksliai spręsti Brauno 

judėjimo uždavinį, tai tektų užrašyti judėjimo lygtis visoms skysčio molekulėms, kurių 

skaičius yra eilės 1023 . Tokį lygčių kiekį išspręsti neįmanoma. Netgi jeigu pavyktų jas 

išspręsti reiktų užduoti visoms joms pradines sąlygas. Akivaizdu, kad 

eksperimentiškai nustatyti skysčio molekulių pradines sąlygas neįmanoma. Jeigu 

mes nagrinėtume kitą identišką sistemą (skystis ir Brauno dalelė), su vieninteliu 

skirtumu, kad jos vandens molekulių pradinės sąlygos yra kitokios, tai mes gautume 

kitą Brauno dalelės trajektoriją. Kaip paprastai daroma statistinėje mechanikoje, mes 

nagrinėsime tokių sistemų ansamblį (Gibso ansamblį). Tuomet atskiri ansamblio 

nariai turės skirtingas atsitiktinės jėgos FL (t) realizacijas ir vienintelis „protingas“ 

tokios sistemos tyrimo būdas yra šios jėgos poveikio vidurkinimas pagal ansamblį. 

• Bendruoju atveju Gibso ansamblį sunku realizuoti eksperimentiškai - tai tik patogus 

tikimybių vaizdavimo būdas. Nors kartais Gibso ansambliai savaime realizuojasi 

fizinėse sistemose. Taip, jeigu mes nagrinėjame daugelio nesąveikaujančių Brauno 

dalelių judėjimą, tai tokią sistemą galime interpretuoti kaip Gibso ansamblį. Tokiu 

atveju vidurkinimas pagal ansamblį reiškia vidurkinimą pagal atskiras Brauno daleles. 

• Alternatyvus tikimybių vaizdavimo būdas yra statistinis ansamblis (jį jau 

aptarinėjome anksčiau). Brauno dalelės atveju statistinis ansamblis gaunamas daug 

kartų atliekant tą patį eksperimentą su viena Brauno dalele. Vidurkinimai pagal Gibso 

ar statistinį ansamblį iš esmės yra ekvivalentūs, tik statistinis ansamblis yra 

universalesnis eksperimentinės realizacijos prasme.

Tiesioginis Lanževeno 

• Taigi pagal Lanževeną 

lygties sprendimas 

Lanževeno lygtis (IV) 

Brauno dalelės judėjimas modeliuojamas tokiomis lygtimis: 

t v 

 

v 

– 

x 

v 

Lanževeno 

lygtys 

((t)=FL(t)/m – 

atsitiktinė 

Lanževeno jėga) 

Kadangi Lanževeno lygtyse yra atsitiktinis dydis (t), tai dinaminiai kintamieji v(t) ir 

x(t) taip pat bus atsitiktiniai dydžiai. Viršutinė lygtis nepriklauso nuo apatinės, todėl ją 

galima spręsti atskirai. Nuo jos ir pradėsime. 

• Pradžioje reikia postuluoti atsitiktinės jėgos statistines savybes. Du pagrindiniai 

postulatai yra tokie: 

t 0 t t' q 

t t' 

 

 

((.) – delta Dirako funkcija, 

q – Lanževeno šaltinio intensyvumas) 

Čia reiškia vidurkinimą pagal ansamblį, tiksliau kalbant pagal atsitiktinės jėgos 

realizacijų tikimybės tankį: 

t W 

td 

, t 

t' 'W 

, t; 

', 

t'; 

 

 

1 , 

 

2 

dd 

' 

• Pirmas postulatas reiškia, kad jėgos vidurkis pagal ansamblį yra nulis. Iš jo 

išplaukia, kad greičio vidurkis tenkina anksčiau užrašytą deterministinę lygtį: 

d 

v 

v 

 

 

dt

Lanževeno lygtis (V) 

• Antras postulatas t t' 

q 

t t' 

 

nusako atsitiktinės jėgos koreliaciją 

skirtingais laiko momentais. Bendruoju atveju, stochastinio proceso dydis 

, 

t' 

t' 

 

 

 

t, t' 

 

t 

t 

K 

vadinamas dvilaike koreliacine funkcija. Mes jį kartais paprastai vadinsime 

koreliacine funkcija arba dar trumpiau koreliatoriumi. 

• Labai svarbią stochastinių procesų klasę sudaro stacionarieji stochastiniai 

procesai. Tai procesai, kurių statistinės savybės nepriklaus nuo laiko. Matematinis 

stacionaraus atsitiktinio proceso apibrėžimas yra toks: 

t ; , t ; ; 

, t W , t t; 

, t t; 

; 

, t t 

Wn 1, 

1 2 2 n n n 1 1 2 2 

n n 

 

 

n 1, 2, 

, 

 

• Iš šio apibrėžimo išplaukia, kad stacionaraus proceso vienmatė tikimybė nepriklauso 

nuo laiko, o dvimatė – priklauso tik nuo laikų skirtumo: 

W t 

W , t ; , t W ; , t t 

 

1 

1 , W 

Tai reiškia, kad ir vidurkis nepriklauso nuo laiko: t W d const. 

0 

t 

Jeigu vidurkis lygus nuliui , tai dvilaikis 

 

2 

1 

1 

2 

2 

2 

koreliatorius 

1 

2 

lygus: 

2 

1 

1 

 

, 

 

t, t' 

t 

t' 

K

Lanževeno lygtis (VI) 

Nesunku įsitikinti, kad bet kokio stacionaraus stochastinio proceso dvilaikė 

koreliacinė funkcija priklauso tik nuo laikų skirtumo: 

tt'tt' 'W 

, ', 

t't; 

dd ' K t' t 

K 

, 

, 

2 

, 

 

 

• Po šių bendrų teiginių, aptarsime antrą Lanževeno jėgos postulatą: t t' 

q 

t t' 

 

Matome, kad Lanževeno jėgos koreliatorius priklauso tik nuo laikų skirtumo. Tai reiškia, 

kad ši jėga atitinka stacionarų stochastinį procesą. Tai natūrali prielaida, nes termodinaminėje 

pusiausvyroje statistinės sistemos savybės neturi priklausyti nuo laiko. 

• Rašydami, kad Lanževeno jėgos koreliatorius proporcingas Dirako delta funkcijai 

mes turime omenyje, kad molekulių dūžių procesas yra labai greitas. Toks atsitiktinis 

procesas vadinamas delta koreliuotu arba baltu triukšmu. Toliau mes pamatysime, 

kad šio proceso spektras yra tolygus visame dažnio diapazone. Delta koreliuotos 

atsitiktinės jėgos artėjimas yra pateisinamas, jeigu jos koreliacijos laikas yra žymiai 

mažesnis už visus charakteringus sistemos laikus. Brauno daleliai tai atitinka 

nelygybę: 

– charakteringas greičio relaksacijos laikas ) 

v 

1/ 

 

( v 

• Natūralu manyti, kad skirtingų molekulių dūžiai į Brauno dalelę yra nepriklausomi. 

Todėl charakteringas atsitiktinės jėgos koreliacijos laikas pagal eilę lygus 

molekulės dūžio laikui. Ši laikų hierarchija (greiti molekulių dūžiai ir lėta Brauno 

dalelės greičio relaksacija) leidžia atskirti šiuos procesus ir užrašyti suvidurkintas 

lygtis sąlyginai lėtam Brauno dalelės judėjimui.

t 

1 

 

0 

Lanževeno 

v 

Tuomet: 

lygties sprendinys yra 

t 

tt' t v e e 

t' 

0 

t 

 

0 

dt' 

(v 0 

t1 

t2 

' ' 

2 

t1t2 

 

t1t2t1t2 ' ' 

t v t v e e q tt v 

t 

v 

2 

 

0 

1 

e 

 

2 

 

0 

v 

v 

 

0 

 

0 

t – pradinis dalelės greitis) 

1 

2 

dt dt 

' 

1 

' 

2 

Lanževeno lygtis (VII) 

e e 

 

1 2 

' ' 

' 

tttt ' ' ' ' 

 

tt2t ' 

 

t1t 

2 

tt 1 

2 

1 

2 

q 

t 

min( t , t ) 

1 t2 dt1dt2 

 

0 

q 

0 

2 

 

 

q 

2 

qe 

2 

 

t1t2 

t1t 

2 

tvt v e e 

1 

2 

 

1 

2 

1 

dt 

t 

t 

1 

1 

2 

q 

 

2 

1 

1 

v 

t1 

tvt 1 

2 

' 

t1 

1 

2 

t1 

q 

 

2 

 

e 

t2 

1 

' 

t2 

 

t t 

• Matome, kad pakankamai dideliems laikams koreliatorius nepriklauso nuo pradinio 

greičio v0 („pamiršta“ pradinę sąlygą) ir priklauso tik nuo laikų skirtumo t1-t2, t.y. po tam 

tikro pereinamo proceso nusistovi stacionarus atsitiktinis Brauno dalelės judėjimas. 

• Šis rezultatas galioja bet kuriam pradiniam Brauno dalelės greičiui v0. Tačiau, jeigu 

tarsime, kad pradiniu laiko momentu Brauno dalelės yra termodinaminėje pusiausvyroje 

su skysčiu, tai tuomet vidurkindami koreliatorių pagal pradinius greičius v0 turime 

gauti atsakymą priklausantį tik nuo laikų skirtumo. 

2

Lanževeno lygtis (VIII) 

• Šį „temperatūrinį“ vidurkinimą pagal pradinius greičius žymėsime raide T. 

Termodinaminėje pusiausvyroje Brauno dalelės vidutinė energija turi būti kT/2 : 

m 

v 

2 

0 

T kT 

 

2 

Suvidurkintas pagal pradinius greičius koreliatorius 

v 

q 

0 

2 

 

 

2 

 

t1t2 tvt v e 

1 

2 

2 

q 

 

2 

 

Dėl to turime reikalauti, kad 

 

 

 

• Pastaroji išraiška vadinama fluktuaciniu-disipaciniu sąryšiu. Jis suriša fluktuacinio 

(Lanževeno) šaltinio intensyvumą su temperatūra T ir disipaciniu parametru . Šis 

sąryšis papildo Einšteino sąryšį (pastarasis riša difuzijos koeficientą D su T ir . 

• Įrašę įkoreliatorių t1=t2=t, matome kad vidutinis kvadratinis greitis nepriklauso nuo 

laiko ir lygus vidutiniam kvadratiniam šiluminiam greičiui: 

v 

2 

e 

t 

 

t t 

1 

2 

q 

0 

2 

 

 

2 

v0 

T 

T 

kT 

m 

2 

v0 q 

T m 

q kT 

 

 

T 2 

m 

(vidutinis kvadratinis šiluminis 

greitis) 

turi priklausyti tik nuo laikų 

v 

tvt 1 

2 

kT 

2 

q 

 

2 

 

T 

skirtumo: 

e 

 

t t 

Gavome Lanževeno 

šaltinio intensyvumo 

išraišką! 

1 

2

• Galutinai, termodinaminėje pusiausvyroje greičių 

koreliatorių 

 

 

t, t 

vtvt e K K K v, 

v 

 

v, 

v v, 

v 

T 

 

Lanževeno lygtis (IX) 

galima užrašyti taip: 

Pastaroji lygybė K v, 

v Kv, 

v 

reiškia, kad koreliacija į praeitį ir ateitį sutampa. 

Ši savybė galioja bet kuriems stacionariems atsitiktiniams procesams. 

• Formaliai koreliatorius 

dK 

v, 

v 

d 

Kv, v 

kT 

e 

m 

 

 

Matome, kad pusiausvyroje greičių koreliatorius tenkina tą pačią lygtį kaip ir 

vidutinis greitis, o pradinė sąlyga atitinka vidutinį kvadratinį šiluminį greitį, kurio 

vertė nustatoma pagal žinomus pusiausvyrinės statistinės fizikos principus. 

• Šis rezultatas yra atskiras atvejis labai bendros Onsagerio teorijos, kuri 

nagrinėja mažus fizikinių dydžių nuokrypius nuo termodinaminės pusiausvyros. 

Mažų nuokrypių relaksacija į pusiausvyrinę būseną aprašoma tiesinėmis lygtimis, o 

šiluminės fluktuacijos imituojamos atsitiktine jėga. Tuomet, turint lygtis fizikinių 

dydžių vidurkiams, nesunkiai išvedamos lygtys tų dydžių koreliacinėms funkcijoms. 

Pastarosios aprašo vidutinių dydžių šilumines fluktuacijas. 

kT 

m 

 

 

K v t 2 

v, 

v 

tenkina tokią 

Kv, v 0 

diferencialinę 

 

lygtį 

kT 

m 

ir pradinę sąlygą

Dabar iš 

t 

antros Lanževeno 

lygties nustatysime vidutinį 

Lanževeno lygtis (X) 

kvadratinį 

nuokrypį. 

 

 

t 

 

0 

2 

 

 

 

 

t 

 

0 

t 

 

0 

 

 

 

t t 

 

0 0 

t2 

 

2 q 

t1t2 q 

t1t 

2 

vt1vt2 

v0 

e e 

 

t 

2 x t x0 

vt1dt1 

vt1dt1 

vt2dt2 

vt1vt2 

dt1dt2 

Prisiminkime, kad 

Tuomet 

 

t1t2 e 

dt1dt2 

 

 

 

0 

t 

0 

Galutinai turime 

1e 

 

t 

 

 

 

 

2 

 

ir 

x v 

t 

 

0 

2 

t 

 

0 

 

e 

 

t t 

1 

2 

dt dt 

1 

2 

2 

t t1 

 

2dt1 e 2 

2 

 

0 0 

 

 

t 

2 2 q 

1 e q q 

t 

x t x v 

t 1e 0 

 

 

 

 

0 

 

2 2 3 

 

2 

t1 

tt 2 2 

1 2 

 

t 

dt t 1 e 

Taigi dideliems laikams gaunamas senas rezultatas – vidutinis kvadratinis nuokrypis 

didėja proporcingai laikui: 

q kT Čia Einšteino sąryšis 

2 xt x 2Dt 

D 

0 

gautas iš kitokių 

2 

prielaidų nei anksčiau! 

2 

2 

m 

 

t 

q 

2 

 

t 

t

Trimatis uždavinys 

Lanževeno lygtis (XI) 

• Iki šiol mes nagrinėjome vienmatį Brauno dalelės judėjimo uždavinį. Gautus 

rezultatus nesunku apibendrinti trimačiam uždaviniui. Trimačio uždavinio atveju 

Lanževeno lygtys atrodo taip: 

Čia indeksai i,j atitinka x, y ir z trimatės erdvė kryptis. Kronekeris 

Lanževeno jėgos x, y ir z komponentės yra nekoreliuotos. 

Tuomet vidutiniam nuokrypiui trimatėje erdvėje gauname: 

 

 

3 

q 

 

6kT 

m 

2 

2 

x t x x t x t t 

0 

i1 

i 

i0 

3 2 

i,j 

reiškia, kad 

• Kadangi atskiros Lanževeno jėgos komponentės nekoreliuotos, uždavinys suskyla 

į tris nepriklausomus uždavinius, ir greičių komponentėms išlieka seni rezultatai. 

v 

q 

 

 

T 2 

kT 

m 

2 2 

2 

t 

v t vi 

t 

i 

v 

 

v 

i 

x 

i 

v 

i 

i 

i 

t i 0 it 

j t' qi, 

j 

t t' 

t 

 

 

 

T 

 

q 

3 

2 

3 

 

i1 

 

T 

3 

kT 

m

• Atliktuose tyrimuose mes apsiribojome dvilaike 

t vt 

Jos įvertinimui mums pakako žinoti Lanževeno 

v 

 

1 

t t 

1 

2 

2 

Lanževeno lygtis (XII) 

greičio koreliacine funkcija 

jėgos dvilaikę 

koreliacinę 

funkciją 

Jeigu mes norėtume nustatyti aukštesnės eilės greičio koreliacines funkcijas, tarkime 

trilaikę, keturlaikę, ir t.t. 

mums prireiktų 

v 

t vt vt vt 

vt vt v t , 

1 

2 

, 1 2 3 4 

informacijos apie daugelaikes 

 

3 

Lanževeno 

t t t t 

t tt , 

1 

2 

3 

, 1 2 3 4 

jėgos koreliacines funkcijas 

• Norint nustatyti visų eilių greičio koreliacines funkcijas ( kas yra ekvivalentu 

daugiamatės pasiskirstymo funkcijos nustatymui) reikia pilnai užduoti Lanževeno jėgos 

daugiamatę tikimybės tankio funkciją. Paprastiai Lanževeno jėga modeliuojama 

daugiamačiu Gauso skirstinio (Gausiniu procesu). Tai mes aptarsime vėliau, kai 

išvedinėsime Fokerio-Planko lygtį.

Spektrinis tankis ir Vinerio-Khintčeno 

teorema 

Lanževeno lygtis (XIII) 

• Labai svarbus yra spektrinis stochastinių procesų tyrimo metodas. Čia stochastinis 

kintamasis vaizduojamas harmoninių funkcijų superpozicija. 

• Tarkime, kad turime stacionarų atsitiktinį procesą Zt ir tam tikrame laiko intervale 

–T/2< t< T/2 matuojame jo realizacijas z(t) . Tuomet tas realizacijas galima išskleisti 

Furjė eilute: 

Kadangi z(t) funkcija yra realioji, tai: 

Koeficientai 

z 

a n 

 

t 

n 

• Suvidurkiname Furjė 

a 

n 

T / 2 

1 

 

T 

T 

/ 2 

Matome, kad Furjė 

a 

n 

e 

i 

t 

n 

n 

n T 

2 1 int 

an 

z 

t e dt 

T 

a a 

n 

yra atsitiktiniai dydžiai, nes procesas Z t 

koeficientų 

i 

nt 

z 

t e dt 0 

koeficientų 

* 

n 

T / 2 

T 

/ 2 

yra atsitiktinis. 

išraiškas pagal statistinio ansamblio realizacijas: 

(Stacionaraus proceso kintamojo vidurkis nepriklauso nuo 

laiko . Čia tariame, kad tas vidurkis lygus nuliui) 

t const 

z 

vidurkiai pagal ansamblį lygus nuliui.

• Vidutinė 

1 

T 

T / 2 

 

T 

/ 2 

signalo galia intervale –T/2< 

z 

2 

1 

T 

T / 2 

 

t< 

T/2 yra 

* ik 

t dt a a e 

n t 

* 

n k dt an 

ak 

n, 

k 

T 

/ 2 n 

Jos vidurkis pagal ansamblį 

1 

T 

Išfiltruoto signalo galia 

yra: 

T / 2 

 

T 

/ 2 

= 

 

k 

z 

2 

 

t dt 

 

2n 

 

 

T 

 

n 

a 

n 

S 

 

n 

2 

 

k 

Čia sumuojama pagal visus dažnius pakliuvusius į filtro juostą. 

Dydis S() vadinamas atsitiktinio signalo spektriniu tankiu 

– tai yra išfiltruoto signalo galia normuota į dažnio intervalą. 

a 

n 

2 

Lanževeno lygtis (XIV) 

 

n 

• Eksperimentuose paprastai naudojami juostiniai dažnio filtrai, kurie praleidžia tik 

tam tikrus dažnius pakliuvusius į mažą intervalą ties fiksuotu dažniu . 

an 

a 

n 

2 

 

 

n

Lanževeno lygtis (XV) 

• Jeigu T yra pakankamai didelis, tai galima pasirinkti mažu ir filtro juostoje vis 

dar bus daug harmonikų, nes atstumas tarp harmonikų 2 /T mažėja didinant T. 

Harmonikų 

 

2n 

 

 

T 

skaičius intervale yra /(2T), todėl 

a 

n 

2 

 

 

2 

/ T 

a 

n 

2 

S 

T 

2 

T / 2 

2 T 1 

n 

2 

T 

T 

/ 2 

a z 

t 

Taigi atsitiktinio signalo spektrinio tankio apibrėžimas yra toks: 

S 

T / 2 

1 

it 

lim e dt 

T 

2 

T 

z 

t 

T 

/ 2 

• Pasirodo, kad spektrinį tankį galima išreikškšti per koreliatoriaus Furjė 

transformaciją. Šį sąryšį nustato Vinerio – Khintčeno teorema, kuri teigia, kad: 

S 

 

1 

i 

e d 

2 

 

K 

K 

zt 

z t 

 

2 

K 

 

 

 

S 

e 

i 

t 

i 

e d 

Jeigu koreliatorius yra žinomas tai atlikus jo Furjė transformaciją galima nustatyti 

spektrinį tankį, ir atvirkščiai, iš žinomo spektrinio tankio galima surasti koreliatorių. 

Toliau įrodysime šį sąryšį. 

n 

dt 

2

S 

Vinerio 

– 

Lanževeno lygtis (XVI) 

T / 2 T / 2 

1 

it1t2 

lim dt zt 

dt zte 

zt1 zt2 Kt1 

t2 

 

T 

Khintčeno 

2 

T 

 

T 

/ 2 

1 

1 

 

T 

/ 2 

2 

0 

T 

/ 2 T 

T / 2 

1 

 

i 

i 

lim 

d 

e K 

dt 

 

d 

e K 

dt 

T 

2 

T T 

T 

/ 2 0 

T 

/ 2 

0 

T 

1 i 

i 

lim 

d 

e K T 

 

d 

e K T 

T 

2 

T T 

0 

T 

1 

i 

lim d 

e KT 

T 2 

T 

 

T 

T 

1 i 

 

lim d 

e K 

 

 

T 

2 

 

T 

T 

 

 

Taigi įrodėme Vinerio 

sąryšis įrodomas taip: 

– 

• Toliau spektrinio tankio skaičiavimo techniką pademonstruosime 

Brauno dalelės uždaviniui. Apskaičiuosime Brauno dalelės 

greičio ir Lanževeno šaltinio spektrinius tankius. 

2 

 

1 

1 

2 

Khintčeno sąryšį! 

 

 

 

K 

e 

i 

 

d 

t 

t 

1 

1 

T 

/ 2 

T 

/ 2 

t 

2 

t 

T / 2 

T / 2 

 

Jakobianas=1 

t 

2 

T 

/ 2 

 

T 

/ 2 

T / 2 

T / 2 

t1 

t

Lanževeno 

, 

šaltinio koreliatorius 

tt q 

 

K 

K 

, q 

Brauno dalelės greičio koreliatorius 

K 

v, 

v 

kT 

m 

 

kT 

m 

 

t 

vtvt e 

K v, 

v 

 

 

1/ 

 

 

 

 

 

 

 

 

e 

 

 

e 

 

i 

0 

i 

d 

e e d 

 

e 

 

ir spektrinis tankis: 

 

0 

S 

, 

ir spektrinis tankis: 

S 

v, 

v 

e 

 

i 

 

1 

 

2 

 

K Matome, kad Lanževeno šaltinio 

galia vienodai pasiskirsto 

pagal visus dažnius, dėl to šis 

atsitiktinis procesas vadinamas 

baltu triukšmu. 

 

 

1 

 

2 

 

, 

1 1 2 

 

d 

 

2 2 

i 

i 

 

 

 

Lanževeno lygtis (XVII) 

e 

i 

q kT 

d 

 

2 

m 

kT 

m 

i 

Kv, 

ve 

d 

2 2 

 

Brauno dalelės galios 

spektrinis tankinis aprašomas 

Lorenco kreive. 

kT 

m 

S 

, S v, 

v 

q / 2

Ergodiškumas 

Lanževeno lygtis (XVIII) 

• Svarbu pabrėžti, kad koreliatorius ir spektrinis tankis yra eksperimentiškai matuojami 

dydžiai. Koreliatorių galima apskaičiuoti iš vienos pakankamai ilgos realizacijos, 

vidurkinant signalų sandaugą duotu momentu t ir prastumtu laike momentu t+ : 

z 

t 

z 

t • Toks vidurkinimas pagal laiką bendruoju atveju nesutampa su vidurkinimu pagal 

ansamblį. Procesai, kuriems šie du vidurkiai sutampa vadinami ergodiniais procesais. 

Paprastai stacionarūs procesai yra ergodinai ir jiems galioja lygybė: 

K 

z 

t 

t z t 

lim z 

t z t 

 

T 

1 

T 

t 

ztzt z 

t z t 

 

Todėl stacionariems stochastiniams procesams koreliacinės funkcijos santykinai 

paprastai apskaičiuojamos iš eksperimentinių realizacijų. 

T 

 

0 

dt 

t 

t

Lanževeno lygtis (XIX) 

• Įvertinkime sąlygas, kurioms esant, stacionarus procesas yra ergodinis, t.y. sąlygas, 

kurioms esant, vidurkis pagal laiką sutampa su vidurkiu pagal ansamblį. 

Tarkime Zt yra stacionarus stochastinis 

procesas. Mes matuojame realizacija 

z(t) intervale –T/2< t< T/2 ir vidurkiname 

pagal laiką šiame intervale 

z 

T 

1 

 

T 

T 

/ 2 

 

z 

T 

/ 2 

t 

dt 

Palyginkime šį vidurkį su vidurkiu 

pagal ansamblį 

z t z 

Vidurkis pagal ansamblį nepriklauso nuo 

laiko, nes procesas yra stacionarus. 

Klausymas: 

T 

lim 

zT 

T 

? 

z 

2 0 

z 

z T 

? 

Akivaizdu, kad zT z 

Todėl 

 

T 

 

z 

2 

T 

2 

2 2 

zT 2 zT 

z z zT 

z 

1 

 

T 

T / 2 T / 2 

2 

T 

/ 2 T 

/ 2 

dt dt 

1 

2 

z 

t zt Kt 

t 

 

z 

1 

ttzt 2 

2 

1 

tzt Čia K yra koreliacinė funkcija – ji priklauso 

tik nuo laikų skirtumo 

z zt z 

K 

Taigi 

2 1 1 

2 

 

T 

1 

 

T 

T / 2 T / 2 

2 

T 

/ 2 T 

/ 2 

dt dt 

1 

2 

K 

1 

z 

2 

2 

tt 1 

2 

2

• Pastarasis integralas skaičiuojamas panašiai, kaip Vinerio 

 

T 

1 

 

T 

T / 2 T / 2 

2 

T 

/ 2 T 

/ 2 

dt dt 

1 

2 

K 

tt 1 

0 

T 

/ 2 T 

T / 2 

1 

 

 

d 

K 

dt 

 

d 

K 

2 

dt 

T T 

T 

/ 2 0 

T 

/ 2 

 

0 

T 

1 

 

d 

K T 

 

d 

K T 

2 

T T 

0 

 

T 

T 

1 

1 

d KTdK 

 

1 

2 

T 

T T 

T 

T 

 

 

d 

K 

• Jeigu integralas konverguoja (taip yra, kai 

 

koreliatorius pakankamai greitai mažėja didinant ), tai 

2 

Tuomet sistema yra ergodinė, nes lim z 

zT T 

lim 0 

T 

Lanževeno lygtis (XX) 

–Khintčeno 

T 

t 

t 

1 

1 

T 

/ 2 

T 

/ 2 

t 

t 

teoremoje. 

2 

T / 2 

T / 2 

 

Jakobianas=1 

c 

• Paprastai koreliatoriai eksponentiškai priklauso nuo : 

– charakteringas koreliacijos laikas. Tokios sistemos yra garantuotai ergodinės. 

 

c 

K 

 

e 

 

/ 

t 

2 

T 

/ 2 

 

T 

/ 2 

T / 2 

T / 2 

t1 

t

Lanževeno 

lygties sprendimas Furjė 

Lanževeno lygtis (XXI) 

transformacijos metodu 

• Apibrėžę spektrinį tankį, Lanževeno lygtį galime išspręsti Furjė transformacijos metodu. 

Tačiau pradžioje mums reikalingas tam tikras matematinis pasiruošimas. Mums 

reiks išmokti skaičiuoti atsitiktinio kintamojo Furjė komponenčių sandaugos vidurkį. 

• Tegul z(t) yra stacionaraus atsitiktinio proceso kintamasis (tariame, kad =0). 

 

Suraskime Furjė integralą 

ir apskaičiuokime tokį 

z 

* 

 

z 

' 

dydį: 

1 

2 

 

 

it i't 

' 

z 

t e dt zt'e 

 

 

dt' 

4 

Stacionariam procesui koreliatorius 

z 

1 

 

t 

it 

z e dt 

2 

 

t' t 

 

 

1 

2 

4 

 

i 

dte 

 

priklauso tik nuo laikų 

 

't d 

z 

t z t 

 

 

skirtumo, ir kadangi 

i i't 

t z t K 

d 

Ke 

2 

S 

dte 

2' 

z 

 

 

 

* 

tai z z S' 

analogiškai galima įrodyti, kad z z S 

' 

 

' 

Šios lygybės iš 

 

 

 

esmės reiškia, kad stacionaraus proceso Furjė 

 

' 

komponentės ir 

statistiškai nepriklausomos. Šios lygybės labai naudingos sprendžiant stochastines 

diferencialines lygtis esant stacionariems procesams. 

z 

* 

 

e 

i 

z'

Lanževeno lygtis (XXII) 

• Panaudojant aukščiau nustatytas lygybes, nesunku išspręsti Brauno dalelės Lanževeno 

lygtį 

• Išreiškime greitį 

• Įrašę 

v 

tai į 

t 

v 

Lanževeno 

t v 

v 

t 0 

 

 

ir atsitiktinę 

t 

v e d 

 

jėgą 

lygtį, gauname: 

t 

t' q 

t t' 

Furjė 

integralais: 

i 

t 

 

 

 

• Atitinkamos atvirkštinės transformacijos: 

 

1 

it 

v 

t e dt 

2 

 

 

it 

e d 

 

 

1 

it 

 

t e dt 

2 

 

1 

 

i 

 

i v 

 

 

• Dabar apskaičiuojame greičio Furjė 

Iš 

komponenčių 

v 

 

sandaugos vidurkį. 

* 

vienos pusės, kaip bet kuriam stacionariam procesui: v v S ' 

Iš kitos pusės: 

v 

* 

 

v 

' 

i 

' 

v, 

v 

1 1 * 1 

' 

S 2 2 

i 

 

 

, 

'

1 

2 2 

 

S Sv, v , 

Lanževeno lygtis (XXIII) 

• Sugretinę dvi paskutines lygybes, gauname ryšį tarp Lanžaveno šaltinio ir Brauno 

dalelės spektrinio tankio 

• Lanževeno 

S 

, 

šaltinio spektrinį 

 

tankį 

1 

1 

 

, 

2 

2 

 

i 

K e d 

q 

 

• Tuomet Brauno dalelės greičio spektrinis tankis yra 

ir greičio koreliacinė 

K 

v, 

v 

funkcija 

Sv, v 

jau skaičiavome (tai baltas triukšmas) 

 

 

kT 1 

 

m 

2 2 

e 

i 

 

i 

kT e 

v, 

v 

m 2 2 

 

 

 

q kT 

d 

 

2 

m 

kT 

m 

i 

 

t 

vtvt 

S ed d 

e 

Taigi Furjė transformacijos metodu nesunkiai gauname visus senus rezultatus.

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (I) 

• Spręsdami Lanževeno lygtį mes apsiribojome dvilaikės Brauno dalelės koreliacinės 

funkcijos nustatymu. Dėl to mums pakako ribotos informacijos apie Lanževeno jėgos 

statistines savybes. Mes postulavome tik jos vidurkį ir dvilaikę koreliacinę funkciją. 

• Šio skyriaus tikslas yra nustatyti Brauno dalelės tikimybės tankio funkciją P(x,v,t). 

P(x,v,t)dxdv yra tikimybė, kad momentu t Brauno dalelės koordinatė ir greitis yra 

atitinkamai intervaluose [x, x+dx] ir [v, v+dv]. 

• Čia prireiks detalesnės informacijos apie Lanževeno jėgos statistines savybes. 

Paprastai Lanževeno jėga aprašoma delta-koreliuotu Gausiniu procesu (baltu 

triukšmu). Tuomet Brauno dalelės tikimybės tankio funkcija tenkina Fokerio-Planko 

lygtį. Čia mes tą lygtį išvesime. 


• Gausinis procesas yra Gauso skirstinio apibendrinimas stochastiniams procesams. 

Gausinis procesas yra universalus, panašiai kaip Gauso skirstinys. Jo universalumas 

išplaukia iš apibendrintos centrinės ribinės teoremos. Jeigu priklausantis nuo laiko 

atsitiktinis dydis z(t) yra sudarytas iš nepriklausomų atsitiktinių dydžių (t) sumos 

t z 

t z 

t 

z 

t, z 1 2 

n 

tai panašiai kaip centrinės ribinės teoremos atveju galima įrodyti, kad riboje , 

procesas z(t) yra Gausinis. Panašiai kaip Gauso skirstinys pilnai užduodamas 

antruoju momentu, Gausinis procesas pilnai užduodamas dvilaike koreliacine funkcija. 

z i 

n

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (II) 

• Stochastinis procesas z(t) vadinamas Gausiniu, jeigu n laiko momentais t1, t2, ..., tn stebimų verčių z1, z2, ..., zn daugiamatė tikimybės tankio funkcija yra n-dimensinis 

Gausas: 

z 

j 

B – 

z 

t 

j 

n n 1 

 

 

Wn z1, 

t1; 

z2, 

t2; 

; 

zn, 

tn 

Bexp 

aij 

z j z j zizi 2 j1 

i1 

 

– 

kintamojo z(t) vidurkis momentu t j 

normavimo konstanta. Ji nustatoma iš 

aij A – 

 

 

sąlygos dz dz W zt; ; 

z , t 1 • Toliau įrodysime, kad atvirkštinės matricos A elementai yra proceso z(t) 

dvilaikės koreliacinės funkcijos: 

1 

z z z z zt 

zt ij 

i 

i 

j 

a 

a 

j 

 

1 

 

 

 

zt 

zt 

 

i 

i 

n 

n 

1, 

1 

reali simetrinė ( ij ji ) teigiamai apibrėžta (visos tikrinės vertės 

teigiamos) matrica 

Kt 

t 

A , 

j 

j 

i 

j 

n 

n

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (III) 

• Kad tai įrodytume mums reiks pasinaudoti charakteristine funkcija. Charakteristinę 

funkciją mes buvome įvedę anksčiau vienmačiam skirstiniui. Charakterestinės 

funkcijos apibrėžimas daugiamačiam skirstiniui nesunkiai apibendrinamas: 

 

n 

 

 

n 

f k 

 

 

1, 

, 

kn 

exp 

 

ik 

jz 

j dz1 

dznWn 

z1, 

t1; 

; 

zn, 

tn 

exp 

 

ik 

jz 

j 

j1 

 

 

j1 

 

Atkreipkime dėmesį įtai, kad iš 

Tolimesniam užrašų 

z 

 

z 

 

z 

1 

n 

 

 

 

 

 

Tuomet Gausinį 

f 

 

skirstinį 

sutrumpinimui įvesime vektorinius žymėjimus 

k 

 

k 

 

k 

n 

 

 

 

 

 

T 

1 z z1zn W 

n 

ir jo charakteristinę 

 

 

kk T 

k 1 

funkciją 

1 

 

T 

z1, t1; 

; 

zn, 

tn 

Bexp y Ay 

2 

 

 

exp 1 

n 


k ik z 

dy dy B y Ay 

ik yz T 

T T 

exp 

exp 

 

 

W n 

normavimo išplaukia lygybė: f 

0, , 

0 

1 

 

n 

 

1 

2 

 

 

 

 

 

 

 

y z z 

 

dz 

dy

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (IV) 

 

1 

 

• Pastarajame integrale pakeisime integravimo kintamuosius: y u iA 

k dy 

du 

f 

 

 

 

T 

k du du B u iA k AuiA 

k ik uiA k z 

1 

1 

T 1 

exp 

exp 

 

 

 

exp 

1 

 

Apskaičiuojame išraišką 

 

 

 

n 

 

 

 

k 

1 

2 

 

 

eksponentės rodiklyje po integralu 

 

 

 

T 

u 

 

T T 1 

1 

T 1 

ik 

z k A B du du exp 

ik 

A 

 

1 

 

 

1 

T 

A 

A u 

1 

A 1 

A 

T 

n 

 

2 

 

 

 

 

 

 

T 1 

T 

A u iA 

k ik 

u 

 

1 

 

 

 

 

2 

2 

u ik 

iA k ik 

u u Au 

k A k 

T T 

1 

T 1 T 

T 1 

 

 

Čia panaudojome lygybes (teisinga simetrinėms matricoms) ir 

f 

 

k 

 

 

T 1 

T 1 

 

expik z k A k B 

du1 

du 

1 

exp 

u 

Tuomet n 

 

2 

 

2 

 

 

 

1 

Prisiminkime, kad 0 1 

, todėl konst. B tenkina: B du du exp 

 

T 

 

 

Au 

 

 

u 

T 

 

 

k k 

T 

 

f 1 n u Au 

1 

2 

f 

 

expik 

1 

k 

Galutinai gauname: 

2 

 

k 

T 

 

z 

T 

 

 

1 

A k 

 

T 

 

u 

– Gausinio proceso 

charakteristinė funkcija

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (V) 

• Žinodami charakteristinę funkciją galime apskaičiuoti daugiamačio Gausinio skirstinio 

momentus ir komuliantus. Daugiamačio skirstinio momentų apibrėžimas yra toks: 

Ryšys tarp komuliantų 

r1 

rn 

z, t ; z 

, t zz r1 

rn 

z z 

dz dz W 

 

1 

n 

 

 

 

Šiuos momentus galima nustatyti skleidžiant charakteristinę 

1 

ir momentų 

 

 

 

n 

n 

1 

nustatomas iš 

1 

n 

n 

lygybės: 

1 

n 

funkciją 

 

r1 

rn 

n ik ik 

1 

f exp 

j j 

1 

j 1 

r r r 

10 

rn 0 

1! 

n! 

1 

n r rn 

k i 

k z 

z z 

n 

Teiloro 

r1 

rn 

r1 

rn 

ik ik 

ik ik 

1 n 

1 

f 

eilute 

Skleisdami Teiloro eilute charakteristinės funkcijos logaritmą gauname daugiamačio 

skirstinio komuliantus r r n C z z 

(pagal apibrėžimą, komuliantai yra šio skleidinio 

n 

koeficientai) 

1 

1 

1 n r r 

1 n r r 

k z1 

zn 

exp 

C z1 

zn 

 

r 0 

r 0 

r1! 

rn! 

r 

0 

r 0 

r1! 

rn! 

 

1 

n 

 

ln 

 

 

 

r 

r 

ik1 ikn 

r r 

f k 

Czz 

r 0 

1 

n 

1 

r 0 

1 

r! 

r 

! 

n 

1 

n 

1 

n 

1 

n 

n 

(Šioje sumoje nėra nario 

) 

r 

1 r2 

rn 

0 

n

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (VI) 

• Parodysime, kaip tas sąryšis nustatomas žemos eilės momentams ir komuliantams 

f 

 

k ik z ik 

Sulyginę 

: 

1 

2 ik ik 

ik ik z 

1 2 2 2 

1 1 1 2 z2 

z1 

z2 

1 2 1z2 

2 2 

2 

2 

 

 

ik 

1 2 ik2 

2 

exp ik1 

C z1 

ik2 

C z2 

C z1 

Cz2ik1ik2 

Cz1z2 

2 2 

 

2 

2 

 

ik1 2 ik2 2 

1 ik1 

C z1 

ik2 

C z2 

C z1 

Cz2ik1ik2 

Cz1z2 2 2 

1 2 

2 

ik1 

C z1 

C z1 

ik2 

C z2 

C z2 

2 ik1 

ik2 

C z1 

C z2 

 

2 

narius prie įvairių 

k laipsnių 

2 

ik z Cz 

: 

1 

1 

: ik z1z2 Cz1z2Cz1Cz2Cz1z2z1z2 

1 2 ik 

2 

gauname ieškomus sąryšius, pavyzdžiui 

2 2 

2 2 

ik z1 Cz1 

Cz1 

Cz1 Cz1 

z1 

1 

Išlaikant skleidimo narius iki trečio laipsnio galima gauti trečios eilės momento išraišką: 

1 

2 

2 

z1z2z3z1Cz2z3z2Cz1z3z3Cz1z2 z1 

z2 

z3 

z z z C 

 

z1z2 

z1z2 

z1 

z2 

C

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (VII) 

• Po šio trumpo ekskurso į bendrą daugiamačių skirstinių momentų ir komuliantų teoriją 

grįžkime prie Gausinio proceso. Prisiminkime, kad šio proceso charaktristinė funkcija yra 

f 

 

 

 

 

1 

 

 

T 

T 1 

1 

k expik 

z k A k expik 

j z j Amjk 

jkm 

 

2 j1 

2 j1 

m1 

 

• Kadangi charakteristinės 

 

funkcijos logaritme 

ln 

 

yra tik pirmos ir antros eilės nariai pagal k, tai reiškia, kad daugiamačio Gausinio 

skirstinio tik pirmos ir antros eilės komuliantai nelygus nuliui, o visi aukštesnių eilių 

1 

komuliantai yra nuliai. Iš komuliantų apibrėžimo išplaukia, kad A mj Czmz 

j 

• Kita vertus, iš momentų ir komuliantų sąryšio turime: 

n 

 

n 

n n 1 

1 

f k i k z A 

j1 

j 

j 

2 

 

j1 

1 

n 

 

m1 

1 A mj Czmzjzmzjzmzj 

z zzzt zt 

zt 

zt 

 

m 

m 

j 

j 

m 

m 

n 

mj 

k 

j 

k 

m 

Kt 

t 

z , 

Taigi įrodėme, kad atvirkštinės matricos A elementai yra proceso z(t) koreliacinės 

funkcijos. Matome, kad Gausinis procesas pilnai apibrėžiamas vidurkiu zt 

j ir 

dvilaike koreliacine funkcija . 

t 

K , 

m t j 

j 

j 

 

m 

j

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (VIII) 

Šie parametrai vienareikšmiškai definuoja Gausinio proceso carakteristinę 

Toliau nagrinėsime stacionarų 

f 

 

 

n 

kexpik j ztj 

Ktm, 

t j kjkm j1 

2 j1 

m1 

 

Gausinį 

Be to tarsime, kad Gausinio proceso vidurkis yra lygus nuliui: 

1 

n 

procesą, tuomet 

zt j const Kt m, 

t j Kt 

j tm 

 

 

n 

 

t 0 

funkciją: 

Šiuo atveju koreliacinė funkcija K t 

ir charakteristinės funkcijos 

j tm 

z tm 

z t j 

išraiška supaprastėja 

f 

 

 

1 

n 

kexp Ktjtmkjkm 

2 j1 

m1 

 

n 

Matome, kad esant šioms prielaidoms dvilaikė koreliacinė funkcija (priklausanti nuo 

laikų skirtumo) pilnai charakterizuoja Gausinį procesą. Tai reiškia, kad daugialaikės 

koreliacinės funkcijos turi būti išreiškiamos dvilaikėmis. 

 

n n 1 

exp 

 

2 j1 

m1 

z 

z 

 

tmztj k jkm

Galima įrodyti tokią 

formulę 

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (IX) 

0, 

kai n nelyginis 

 

z t1zt 

ztmztj, 

kai 

visos poros 

n n lyginis 

Pavyzdys: Norėdami pailiustruoti šios formulės taikymą apskaičiuosime trilaikę ir keturlaikę 

koreliacines funkcijas. 

Sprendimas: 

z 

tztzt 0 

1 

2 

3 

tztzt z t zt 

zt zt 

zt zt 

z t zt 

zt zt 

zt zt 

zt 

z 

1 

2 

Ši formulė 

f 

 

3 

4 

gaunama iš 

1 

 

, nes n nelyginis. 

1 

2 

lygybės 

kexp ztmztj 

k jkm 

 

2 j1 

m1 

 

skleidžiant eksponentę 

n 

n 

Teiloro 

3 

4 

 

1 

3 

 

 

r 0 

1 

 

n 

2 

4 

r1 

rn 

ik1 ikn 

r rn 

r 0 

1 

r! 

r 

! 

eilute ir lyginant koeficientus prie vienodų 

n 

1 

z 

1 

1 

4 

z 

n 

2 

3 

k laipsnių.

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (X) 

• Dar aptarsime vieną svarbų klausymą, kuris mums bus reikalingas išvedinėjant 

Fokerio-Planko lygtį. Tai klausymas, kiek narių yra išraiškoje, kuri riša 2n-laikę 

koreliacinę funkciją su dvilaikių koreliacinių funkcijų sandaugomis. 

Pastarajame pavyzdyje matėme, kad keturlaikės (n=2) koreliacinės funkcijos išraiškoje 

yra 3 nariai. Bendras atsakymas į šį klausymą yra toks: 

Narių 

t1zt2zt2nzt1zt2 zt3 

z t4 

zt2n1 

zt n 

 

 

 

 

z 2 

skaičius 2n 

Kiek narių ? 

 

 

laikės koreliacinės funkcijos skleidinyje 

= 

2n n 

! 

n! 

2 

• Šis rezultatas gaunamas taip. Mums reikia suskaičiuoti kiek yra skirtingų porų iš 2n 

2 

laiko taškų. Pirmą porą galima pasirinkti C būdais. Po to, kai pirma 

2n 

2n2n 1 

/ 2 

2 

pora pasirinkta, antrą porą galima pasirinkti C2n2 2n22n3/ 2 būdais, ir t.t. 

Bendras skirtingų porų skaičius yra 

n 1 

 

i 0 

 

 

2n 2i 

2n 2i 

1 

2n2n 1 

2n 22n 

3 

21 2n 2 

Gaminant sandaugas iš 

n 

porų 

 

2 

gausime n! 

2 

sutampančių 

nesikeičia perstatant jos elementus. 2 

Skirtingų sandaugų skaičius iš n porų = 

n 

 

2 

 

2 

sandaugų, nes sandauga 

n ! 

n! 

2 

n 

!

Fokerio-Planko lygtis 

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (XI) 

• Išsiaiškinę Gausinio proceso savybes išvesime lygtį, kurią tenkina Brauno dalelės 

tikimybės tankio funkcija. Mes vėl startuosime nuo Lanževeno lygčių. 

x 

v 

v f x t t 0 t t' q 

t t' 

 

 

v 

 

t – 


• Iki šiol spręsdami Lanževeno lygtis mes domėjomės tik žemos eilės koreliacinėmis 

funkcijomis ir mums pakako tik dviejų pirmų postulatų apie Lanževeno jėgą. Dabar 

mūsų tikslas yra nustatyti Brauno dalelės tikimybės tankio funkciją. Dėl to reikalingas 

papildomas postulatas apie Lanževeno šaltinį, kuris detaliai nusakytų atsitiktinio 

proceso savybes. Čia postuluojame, kad Lanževeno jėga aprašoma Gausiniu 

procesu. Turint omenyje dar du pirmus postulatus, toks procesas vadinamas baltu 

(arba delta koreliuotu) Gausiniu triukšmu su nuliniu vidurkiu. 

• Čia mes nagrinėjame bendresnį nei anksčiau Brauno dalelės judėjimo uždavinį. 

Mes tariame, kad Brauno dalelė juda potenciniame lauke Vx 

, t.y. ją veikia ne tik 

atsitiktinė Lanževeno jėga, bet dar ir išorinio lauko jėga Fx V 

x/ x 

. Kad būtų 

paprastesnės išraiškos, Lanževeno lygtyse tą jėgą mes normavome į masę 

F x / 

m f x .

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (XII) 

• Mes parodysime, kad esant aukščiau išvardintiems postulatams, Brauno dalelės 

tikimybės tankio funkcija tenkina antrosios eilės (difuzijos tipo) diferencialinę lygtį, 

kuri vadinama Fokerio-Planko lygtimi. 

• Fokerio-Planko lygtį išvesime dviem etapais. Pradžioje mes užrašysime 

Lanževeno lygtis kitokiu pavidalu. Mes nagrinėsime vienodų sistemų ansamblio 

judėjimą (x,v) plokštumoje. Pirmame etape tarsime, kad atsitiktinės jėgos realizacija 

(t) visose ansamblio nariuose yra ta pati. Ansamblio nariai skiriasi tik pradinėmis 

Brauno dalelės koordinatės ir greičio (x ir v) reikšmėmis. Mes apibrėšime (x,v) 

plokštumoje ansamblio tankį (x,v,t) ir užrašysime tam tankiui tolydumo lygtį. 

• Antrame etape tolydumo lygtį suvidurkinsime pagal atsitiktinės jėgos 

realizacijas ir suvidurkintam tankiui =P(x,v,t) gausime Fokerio-Planko lygtį. 

Suvidurkintas tankis P(x,v,t) kaip tik atitinka Brauno dalelės tikimybės tankio funkciją, 

t.y. P(x,v,t)dxdv yra tikimybė, kad momentu t Brauno dalelės koordinatė ir greitis bus 

atitinkamai intervaluose [x, x+dx] ir [v, v+dv]. 

• Fokerio-Planko lygties išvedimas reikalauja nemažai algebrinių veiksmų. Tačiau 

reikia pažymėti, kad šis išvedimas yra centrinis šiuolaikinės Brauno judėjimo 

teorijos momentas. Jis svarbus ne tik Brauno judėjimo teorijai, bet ir bendresnei 

stochastinių procesų bei stochastinių diferencialinių lygčių teorijai.

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (XIII) 

• Pirmas etapas (tolydumo lygtis). Tarkime, kad mes turime N vienodų sistemų 

ansamblį. Kiekvienos sistemos būsena charakterizuojama dviem skaičiais (xi, vi ), 

i=1,…,N, kuriuos vaizduosime taškais fazinėje (x,v) plokštumoje. 

v 

v 

 

dx 

x 

x, v, 

t 

dv 

dN 

dxdv 

lim 

N x 

dN 

N 

Kiekvienas taškas juda fazinėje plokštumoje pagal Lanževeno 

lygtis (tariame, kad visas sistemas veikia ta pati 

Lanževeno jėga (t)) 

(x,v,t) – 

 

x 

v 

x t v 

 

v f 

ansamblio tankis taške (x,v) momentu t 

 

 

 

 

 

dx dv 

 

x, v, 

t 

Įveskime vektorinius žymėjimus: z x, v 

z x , v 

v, 

v f x t 

 

Kadangi faziniai taškai savaime neatsiranda ir neišnyksta tai jų skaičius išskirtame 

fazinės erdvės tūrelyje gali kisti tik dėl atėjimo ir išėjimo pro tūrelio sieneles ir todėl 

tankis tenkina tolydumo lygtį 

 

 

 

t 

z, t 

zz, 

t 

z 

 

 

 

 

1

• Grįžtant nuo vektorių 

Tegul pradiniu laiko momentu fazinių 

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (XIV) 

prie komponenčių, tolydumo lygtį 

 

 

 

 

t 

x 

v 

taškų 

 

 

z, 0 

z tankis yra 

0 

 

galima užrašyti taip 

x, v, 

tvx, 

v, 

tvfx 

tx, 

v, 

t 

Ši lygtis yra ekvivalenti Lanževeno lygtims. Čia tik nagrinėjama dinamika ne vienos 

sistemos, o sistemų ansamblio, tariant, kad atskiri ansamblio nariai turi skirtingas 

pradines sąlygas. 

• Tolydumo lygtį galima išvesti daugeliu skirtingų būdų. Standartinis būdas yra 

apskaičiuoti srautus pro išskirto fazinėje erdvėje tūrelio sieneles ir surišti juos su 

fazinių taškų skaičiaus pokyčiu tame tūrelyje. Čia mes pateiksime nelabai tradicišką, 

formalų matematinį tolydumo lygties išvedimą, tinkantį bet kurios dimensijos 

dinaminei sistemai. 

• Tarkime, kad atskirų 

ansamblio narių 

dinamika aprašoma diferencialinėmis lygtimis 

z , 

 

t z 

t 

(mūsų atveju tai Lanževeno lygtys). Pažymėkime jų sprendinį, atitinkantį pradinę 

 

sąlygą : 

z 

0 

z0 

 

z , 

t Zz 

t 

0

Tuomet, panaudojant Dirako delta funkciją, taškų 

Diferencijuojame šią 

lygybę 

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (XV) 

pagal laiką: 

tankį 

 

, z 

 

z t 

dz 

z Zz 

, t 

 

0 

0 0 0 

momentu t 

 

 

 

z, 

t dz0 

z Z z0, 

t 0z0 

t 

t 

 

Z 

 

 

 

dz0 

 

z 

z Z z0, 

t 0z0 

t 

 

 

 

 

 

dz0 Z, 

t 

z 

z Zz0, 

t0z0 

 

 

 

 

z dz0 

Z, 

t z Zz0, 

t0z0 

 

 

z z, 

t 

dz0 

z Zz0, 

t 

0 

z 

 

 

 

, t z, 

t 

z 

z, 

t 

 

 

 

 

0 

z 

 

 

z z 

galimą 

užrašyti taip: 

Taigi išvedėme tolydumo lygtį. Ji yra ekvivalenti sistemos dinaminėms lygtims ir teisinga 

bet kurios dimensijos dinaminiai sistemai. Tolydumo lygtis aprašo vienodų sistemų 

ansamblio dinamiką, kai atskirų ansamblio narių pradinės sąlygos yra skirtingos.

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (XVI) 

• Antras etapas (vidurkinimas pagal atsitiktinę jėgą). Antras Fokerio-Planko 

lygties išvedimo etapas yra ilgesnis ir sudėtingesnis. Šio etapo tikslas yra gauti 

Brauno dalelės tikimybės tankio funkcijos lygtį. Brauno dalelės tikimybės tankio 

funkciją P(x,v,t) gausime, suvidurkinę funkciją (x,v,t) pagal atsitiktinės jėgos 

realizacijas 

x, v, 

t 

x, v t 

 

P , 

Lygtį dėl P(x,v,t) gausime iš tolydumo lygties, vidurkindami ją pagal atsitiktinę jėgą. 

Čia mums prireiks postulatų apie atsitiktinės jėgos statistines savybes. Pradžioje 

užrašysime tolydumo lygtį patogesne forma 

 

 

t 

 

x 

 

v 

 

L 

ˆ x, 

v, 

t Lˆ 

x, 

v, 

t 

Lˆ 

0 

x, v, 

tvx, 

v, 

tvfx 

tx, 

v, 

t 

 

v 

 

v 

x 

v 

0 

 

Čia mes įvedėme du tokius diferencialinius operatorius: 

f 

1 

 

x v 

Lˆ 

1 

 

 

t 

v 

Pirmasis operatorius yra grynai deterministinis, o į antrą įeina atsitiktinė jėga (t), 

kuri pagal prielaidą yra baltas (delta koreliuotas) Gausinis triukšmas.

• Apibrėžkime pagalbinę 

 

t 

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (XVII) 

tankio funkciją 

 

(t), 

L0t t e t 

 

ˆ 

 

 

L 

t 

Lˆ 

0 

t 

e t Lˆ 

0 e 

t 

kuri siejasi su tankiu (t) 

 

Lˆ 

t 

L e t 

ˆ ˆ 

0 

1 

0 

tokia lygybe 

Čia, kad būtų paprasčiau, mes nerašome funkcijų argumentuose x ir v kintamųjų, o 

išskiriam tik priklausomybę nuo t. Gaukime lygtį pagalbinei funkcijai (t). 

Lˆ 

0 

 

Lˆ 

0t 

Lˆ 

t 

Lˆ 

0 

0t 

e t e 

t Lˆ 

 

e 

t 

t 

 

t 

t 

0 

 

Lˆ 

t 

Lˆ 

 

e t 

L t ˆ Lˆ 

t Lˆ 

Lˆ 

t 

Lˆ 

0 0t 

 

t e Lˆ 

 

0 ˆ 0t 

e 

t 

 

 

e 0 

Pastarosios lygties sprendinį 

e 

 

 

t 

L e 

t 

1 

t Vˆ 

t 

t 

1 

Vˆ 

formaliai galima užrašyti taip: 

 

 

t 

 

0 

 

 

t exp dt'Vˆ 

t' 0 

0 

 

t 

Lˆ 

t Lˆ 0 t 

t e Lˆ 

0 e 

t 1 

1

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (XVIII) 

• Šiame atsakyme eksponentę išskleidžiame Teiloro eilute ir suvidurkiname šią lygtį 

pagal atsitiktinę jėgą. 

n t 

n 

 

1 

' ˆ 

 

t 

' 

0 

0 ! 

dt V t 

 

 

t 

n 

n 0 

 

t t Vˆ 

 

 

 

 

 

 

1 n! 

 

 

 

 

 

n 

n0 

0 

t 

dt'Vˆ 

 

 

 

n 

t' 

 

0 Prisiminkime, kad . Čia (t) yra baltas (delta koreliuotas) Gausinis 

triukšmas su nuliniu vidurkiu. Apskaičiuokime išraišką: 

Qˆ 

n 

 

 

 

 

 

t 

 

0 

dt'Vˆ 

 

 

 

n 

t t 

t' 

dt dt Vˆ 

tVˆt 

1 

0 0 

Gausinio proceso daugialaikė koreliacinė funkcija lygi nuliui, jeigu n nelyginis. Jeigu 

n=2m lyginis, tai daugialaikę koreliacinę funkciją galima išreikšti suma sudaryta iš 

dvilaikių koreliacinių funkcijų sandaugų 

ˆ 

t VˆtVˆtm Vˆ 

t Vˆ t Vˆ 

t Vˆt Vˆ 

t m 

Vˆ 1 2 2 

1 2 3 4 

2 1 t m 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m! Viso narių 

m 

V 2 

n 

1 

m! 

2 

n 

 

 

n 

 

Q ˆ

Qˆ 

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (XIX) 

• Daugiamatis integralas nuo pastarosios išraiškos lygus sumai 

sutampančių integralų. 

2m 

 

t t 

tVˆt 

2m t t 

tVˆt Vˆ 

tVˆt dt1dt2m V 1 2m 

m dt1dt2m V 1 2 

2m 

0 0 

Taigi dydžiui Q 2m 

t 

 

Qˆ 

1 

2m 

ˆ 

 

gauname tokią 

t 

dt'Vˆ 

 

0 

t' 

n 

 

 

 

 

Qˆ 

n 

0 n0 

n! 

m0 

 

 

 

 

! 

m! 

2 

2m 0 0 

 

t t 

! 

dt m 

m 

1 

! 2 

0 0 

išraišką 

2m 

1 

2 

m 

 

2m 

dt 

2 

t t 

! 

dt m 

m 

1 

! 2 

0 0 

 

Qˆ 

! 

2m 

Vˆ 

ˆ 

tVˆt ir dabar galime apskaičiuoti pagalbinės tankio funkcijos vidurkį 

dt 

2 

1 

 

 

0 

1 1 

 

! 

m 

m 

2 

 

Vˆ 

2 

 

 

 

 

 

 

m 

tVˆt 1 

t t 

dt 

1 

0 0 0 

2 

dt 

2 

2m m 

! 

m! 

2 

 

Vˆ 

 

 

 

 

m 

1 

2m 

 

tVˆt 0 

1 

2 

 

m

Pastaroji suma yra eksponentės Teiloro 

 

1 

 

2 

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (XX) 

eilutė, todėl 

t exp dt dt Vˆ 

tVˆt 0 

 

t t 

 

1 

0 0 

Dabar apskaičiuosime integralą 

1 

2 

t t 

dt1 0 0 

dt 

2 

Vˆ 

t t 

2 

1 

2 

 

 

 

 

eksponentės argumente 

Lˆ 

t Lˆ 

tt tVˆ 0 1 0 2 1 

t dt dt tt 

e e 

1 

2 

 

 

 

1 

2 

q 

2 

q 

2 

1 

0 0 

t t 

dt1 2 

dt 

2 

0 0 

t 

Lˆ 

0t1 

dt1e 

0 

 

v 

1 

2 

 

 

v 

 

v 

Lˆ 

t Lˆ 

0 1 0 t2t1 ttee 2 

2 

1 

e 

2 

Lˆ 

t 

Todėl pagalbinės tankio funkcijos vidurkis yra 

0 1 

t 

2 

q 

 

1 2 

2 

v 

0 

 

Lˆ 

ˆ 

0t1 L0t1 

t exp dt e e 0 

 

Vˆ 

 

 

 

v 

Lˆ 

t 

Lˆ 0 

0t 

t e t e 

v 

 

e 

 

v 

Lˆ 

t 

e 

0 2 

Lˆ 

t 

0 2

Diferencijuodami šią 

išraišką 

 

t 

Dabar jau galime gauti lygtį 


t 

lygybę 

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (XXI) 

t 

 

gauname, kad tenkina tokią 

2 

q 

t 

2 v 

Lˆ 0t 

Lˆ 

0t 

t e e 

 

2 

 

ir suvidurkintam tankiui 

Lˆ 

0t 

t e 

 

 

t 

pagal laiką 

t 

ir panaudojame viršutinę 

Lˆ t 

t Lˆ 

0 e 

0 

Lˆ 

t 0 

t e 

 

t 

 

t 

Lˆ 

0 t 

2 

Lˆ 

t q Lˆ 

t 

0 0 Lˆ 

0t 

e 

e e 

 

2 

2 v 

t 

2 

q 

Lˆ 

0 t 2 

2 v 

 

t 

 

 

 

 

 

 

diferencialinę lygtį 

lygtį 

Prisiminę, kad Lˆ 

0 v 

 

v f x ir t 

Px, 

v, 

t 

 

x v v 

 

dėl 

t

galutinai gauname Lygtį 

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (XXII) 

Brauno dalelės tikimybės tankio funkcijai P=P(x,v,t) 

P 

P 

 

v 

 

t 

x v 

2 

q P 

2 v 

vfxP2 Tai yra Fokerio-Planko lygtis. P(x,v,t)dxdv yra tikimybė kad momentu t Brauno 

dalelės koordinatė ir greitis bus atitinkamai intervaluose [x, x+dx] ir [v, v+dv]. 

• Svarbu pažymėti, kad tikimybei P galioja tvermės dėsnis, nes Fokerio-Planko 

lygtį galima užrašyti, kaip tolydumo lygtį. 

P 

 

t 

/ x, 

v 

x, v 

/ 

Čia r 

yra gradiento operatorius fazinėje plokštumoje. 

Tikimybės srautas šioje plokštumoje yra 

 

 

 

 

r 

 

J 

q P 

 

Jx, J vP, vP 

f xP 

2 v 

 

J v 

 

 

 

q kT 2 

D 

2 m 

• Bendruoju atveju Fokerio-Planko lygtis yra gana sudėtinga ir ją nepaprasta išspręsti. 

Toliau panagrinėsime du atskirus atvejus, kai tikimybės tankio funkcija priklauso tik nuo 

vieno (x,v,) fazinės plokštumos kintamojo, t.y., kai P=P(x,t) ir kai P=P(v,t)

Didelės trinties riba 

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (XXIII) 

• Pradžioje panagrinėsime didelės trinties ribą, kai galima nepaisyti Brauno dalelės 

greičio nusistovėjimo proceso. Kai labai didelis, pirmoje Lanževeno lygtyje galima 

atmesti narį v ir užrašyti ją taip 

x t v 

v f 

1 

x v 

 

fxt x t 0 

v f 

Šis artėjimas atitinka begalo greitą greičio nusistovėjimo procesą. Tuomet Lanževeno 

lygtys įgyja tokį pavidalą 

t 0 t t' q 

t t' 

 

t – 

 


fxt v 

 

1 

• Su šiomis lygtimis reikia pakartoti tai, ką darėme bendresniu atveju ir gauti atitinkamą 

Fokerio-Planko lygtį didelės trinties riboje. Pirmiausiai pažymėkime, kad dabar Brauno 

dalelės judėjimas aprašomas pirmos eilės diferencialinę lygtimi. Todėl dabar tolydumo 

lygtis priklausys tik nuo vieno dinaminio kintamojo x 

 

xt vxt Lˆ 

xt Lˆ 

1 

, , x, 

t 

f 

x f x t 

, 0 

1 

x 

ˆ 0 

L 

 

 

x 

 

 

 

 

x 

Lˆ 

1 

 

 

 

t 

x

Kaip ir anksčiau, įvedame pagalbinę 

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (XXIV) 

 

tankio funkciją 

L0t t e t 

 

ˆ 

 

(t) 

Šios funkcijos vidurkiui, kaip ir anksčiau, teisinga tokia išraiška 

t t 1 

ˆ 

ˆ 

t exp 1 2 1 2 

0 

 

 

2dt 

dt 

V t V t 

Vˆ 

t e 

0 0 

 

Apskaičiuojame integralą 

1 

2 

t t 

dt1 0 0 

dt 

2 

Vˆ 

eksponentės argumente 

t t 

Lˆ 

0t 

Lˆ 

1 

Lˆ 

t Lˆ 

tt tVˆ 0 1 0 2 1 

t dt dt tt 

e e 

1 

2 

 

 

1 

2 

2 

 

q 

2 

2 

q 

2 

2 

1 

0 0 

t t 

dt1 0 0 

t 

Pagalbinės tankio funkcijos vidurkis: 

 

0 

dt e 

1 

2 

dt 

2 

Lˆ 

t 

0 1 

1 

2 

 

 

x 

 

x 

Lˆ 

t Lˆ 

0 1 0 t2t1 ttee 1 

 

x 

2 

2 

e 

2 

Lˆ 

t 

0 1 

t 

2 

q 

2 1 2 

2 

x 

0 

 

e 

 

x 

 

 

 

t 

e 

x 

Lˆ t 

Lˆ 

t Lˆ 

t 

0 

 

x 

Lˆ 

ˆ 

0t1 L0t1 

t 

exp dt e e 0 

e 

e 

Lˆ 

t 

0 2 

Lˆ 

t 

0 2 

e 

0 

0

Diferencijuodami šią 

Dabar galime gauti lygtį 


t 

išraišką 

 

t 

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (XXV) 

t 

 

gauname, kad tenkina tokią 

2 

q 

t 

2 

x 

Lˆ 0t 

Lˆ 

0t 

t e e 

2 2 

 

suvidurkintam tankiui 

lygybę 

Lˆ 

0t 

t e 

 

 

t 

pagal laiką 

 

t 

ir panaudojame viršutinę 

Lˆ t 

t Lˆ 

0 e 

0 

Lˆ 

t 0 

t e 

 

t 

 

t 

Lˆ 

0 t 

Lˆ 

t q Lˆ 

0 

0t 

e 

e 

 

2 

2 

2 

Lˆ 

0t 

e 2 

x 

t 

q 

Lˆ 

0 t 2 

2 

2 

 

2 

x 

 

t 

diferencialinę lygtį 

lygtį 

 

1 f 

x f x 

Prisiminę, kad ir t 

Px, 

t 

Lˆ 

0 

 

 

x 

 

 

 

x 

 

dėl 

t

galutinai gauname Lygtį 

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (XXVI) 

Brauno dalelės tikimybės tankio funkcijai P=P(x,t) 

P 

1 

 

t 

x 

fxP22 Tai yra Fokerio-Planlo lygtis didelės trinties riboje, arba Einšteino-Smoluchovskio 

lygtis. P(x,t)dx yra tikimybė kad momentu t Brauno dalelės koordinatė bus 

intervale [x, x+dx]. 

q 

2 

2 

P 

x 

 

 

 

q kT 2 

D 

2 m 

• Čia, kaip ir anksčiau tikimybei P galioja tvermės dėsnis, nes Einšteino-Smoluchovskio 

lygtį galima užrašyti, kaip tolydumo lygtį. 

P 

J 

 

t 

x 

J 

1 

f 

 

x P 

P D 

x 

• Laisvai Brauno dalelei (f(x)=0) Einšteino-Smoluchovskio lygtis virsta paprasta 

difuzijos lygtimi. 

2 

P 

P 

D 2 

t 

x 

P x, 

0 

x 

 

Jos sprendinys, esant pradinei sąlygai , yra Gauso skirstinys 

P 

1 

2 x 

 

4Dt 

 

x, 

t exp 

4Dt

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (XXVII) 

Šis sprendinys aprašo erdvinę Brauno dalelės difuziją. Nors pradiniu laiko momentu 

dalelė yra koordinačių pradžioje, su laiku jos tikimybės tankio funkcija artėja prie 

homogeninio pasiskirstymo. Kai didelis, charakteringas laikas, per kurį tikimybės 

tankis tampa erdviškai homogeniškas, yra ilgas, nes proporcingas 

2 

2 

L mL 

x 

D kT 

(L 

– charakteringas sistemos ilgis ) 

Tai reiškia, kad didelės trinties riboje erdvinės fliuktuacijos relaksuoja 

lėtai. 

• Tačiau Einšteino-Smoluchovskio lygtis neaprašo Brauno dalelių greičio relaksacijos 

procesų, nes išvedinėjant ją buvo tariama, kad tas procesas yra begalo greitas. Dėl 

to Einšteino-Smoluchovskio lygtis yra neteisinga trumpiems laikams, kai t yra 

mažesnis už charakteringą greičio relaksacijos laiką 

t 

1 

 

 

v 

Norint įsitikinti tuo, kad Einšteino-Smoluchovskio lygtis yra nekorektiška trumpiems 

laikams reikia panagrinėti jos sprendinius, kai . 

t 

0

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (XXVIII) 

Iš Einšteino-Smoluchovskio lygties sprendinio išplaukia, kad vidutinis kvadratinis 

nuokrypis didėja proporcingai t: 

Iš 

2 

 

2 t x t 2Dt 

čia gauname, kad standartinio nuokrypio kitimo greitis diverguoja 

t 2Dt 

 

d 2 t t 

dt t 0 

• Toliau kaip tik panagrinėsime, kaip relaksuoja prie pusiausvyros Brauno dalelės 

greičio fluktuacijos. Mes jau žinome, kad vidutinio greičio charakteringas relaksacijos 

laikas 

1 

v 

 

mažiems t: 

Tai reiškia, kad dalelės judėjimas yra netolydus. Tai yra pasekmė to, kad 

Einšteino-Smoluchovskio lygtyje neatsižvelgta į greičio relaksacijos procesą. 

t.y. didelės trinties riboje vidutinio greičio relaksacija yra trumpalaikė. Nagrinėdami 

greičio fluktuacijos dinamiką, mes nepaisysime erdvinės tikimybės funkcijos 

priklausomybės ir išvesime lygtį tikimybės tankiui P(v,t). Čia P(v,t)dv yra tikimybė, 

kad momentu t Brauno dalelės greitis yra intervale [v, v+dv]. Mes pamatysime, kad ši 

funkcija labai greitai (kai didelis) artėja prie Maksvelo skirstinio. 

1

Trumpalaikė 

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (XXIX) 

greičio relaksacija 

• Laisvos (f(x)=0) Brauno dalelės greičio dinamika aprašoma tokiomis Lanževeno 

lygtimis 

v 

v 

t t 0 t t' q 

t t' 

 

t – 

• Su šiomis lygtimis galima vėl pakartoti visas operacijas, kurias atlikome išvedinėdami 

bendrą Fokerio-Planko lygtį arba Einšteino-Smoluchovskio lygtį, ir gauti lygtį tikimybės 

tankiui P(v,t). Tačiau lygtį dėl P(v,t) galima gauti ir kitaip. Kadangi 

tai lygtį 

 

dx 

 

dėl P(v,t) galime išvesti iš 

Suintegruojame šią 

lygtį 

 

 

 

v, t 

dxPx, 

v t 

P , 

 


bendros Fokerio-Planko lygties (tariame, kad f(x)=0) 

P 

P 

 

v 

 

t 

x v 

2 

q P 

2 v 

vP 2 

x, v, 

t 

0 

pagal x ir pasinaudojame tuo, kad . 

P 

x

Taip gauname Fokerio-Planko lygtį 

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (XXX) 

tikimybės tankio funkcijai P(v,t 

2 

P 

q P q kT 

vP 2 

t 

v 

2 v 

2 m 

Priminsiu, kad P(v,t)dv yra tikimybė, kad momentu t Brauno dalelės greitis yra 

intervale [v, v+dv]. 

v, 0 

v v 

P 

• Išspręsime šią lygtį su pradine sąlyga 0 , kuri reiškia, kad pradiniu 

laiko momentu t=0 Brauno dalelės greitis yra v0. Pradžioje surasime stacionarų 

 

t 

P 0 

0 

() 

 

 

v 

() 

vP 

2 

q P 

2 

2 v 

P st 

šios lygties sprendinį 

kT P 

P 

m 

vP 0 vdv 

m v 

P kT 

 

2 

1 mv 

v exp 

 

2 

kT m 2kT 

 

Taigi matome, kad stacionarus Fokerio-Planko lygties sprendinys yra 

pusiausvyrinis Maksvelo skirstinys. Toliau parodysime, kad nestacionarus 

lygties () 

sprendinys asimptotiškai artėja prie pusiausvyrinio Maksvelo skirstinio. 

)

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (XXXI) 

• Pastebėsime, kad Maksvelo skirstinys yra Gauso skirstinys, t.y. ta pati 

matematinė išraiška vadinama dviem skirtingais vardais: fizikai dažniau vartoja 

Maksvelo vardą, o matematikai – Gauso. Užrašykime stacionarų sprendinį (), 

kaip 

paprastai bendruoju pavidalu užrašomas Gauso skirstinys 

P 

st 

v 

Parametrų 

v 

v 

1 

2 v v 

st 

 

 

 

 

exp 

2 

st 

2 

2 

st 

priklausomybę 

t 

nuo laiko nustatysime iš 

 

v 

st 

0, 

2 

st 

 

Lanževeno 

v v 

• Nestacionarų Fokerio-Planko lygties () 

sprendinį ieškosime Gauso skirstinio 

pavidalo, kurio parametrai priklauso nuo laiko 

 

( 

 

 

 

 

 

2 

1 

 

v v t 

2 

P v, 

t exp 

t v 

t v 

t 

) 2 

2 

t 2 

t 

t v 

t 

2 

v 

e 

2 t 

0 

v 

 

t 

 

lygties 

st 

2 

st 

 

kT 

m 

2 

t 

t t' 

 

t 

t v e e 

dt'e 

t' 

vt 

v e 

0 

 

 

 

0 

t 

 

t t' 

e dt'e 

 

 

0 

t' 

 

 

 

 

2 

e 

 

t 

t t 

dt1 0 0 

dt 

2 

e 

 

2 2 

0 

t1t tt 

1 

2

t t 

2 

t 

t1t t e dt dt e q 

tt 1 

2 

1 

2 2 

0 0 

q 2 

t kT 2 

t 

1e1e 2 

• Įrašome gautas išraiškas ir į 

m 

Gausinis procesas ir Fokerio-Planko lygtis (XXXII) 

2 

vt t 

 

qe 

 

t 

t 2 

t q 2 t 2 

t 

dt1e 

e e 1 

0 2 

2 1 

ieškomą 

sprendinį 

 

t v v 

e 

() 

 

 

2 

m 

 

m 0 

P v, 

t exp 

2 t 

 

2 

t 

2 

kT 1 e 

 

2kT 

1 

e 

 

ir gauname 

Nesunku tiesiogiai patikrinti, kad šis sprendinys tenkina Fokerio-Planko lygtį 

Jis taip pat tenkina ir pradinę sąlygą, nes . 

t 

t0 

v, tv 

 

limP v 

• Kai šis sprendinys asimptotiškai artėja prie stacionaraus sprendinio () 

 

2 

1 mv 

P v, 

t P v 

 

 

st 

exp 

t 2 

kT m 2kT 

 

t.y. prie pusiausvyrinio Maksvelo skirstinio. Kai didelis, Brauno dalelės „maksvelizacijos“ 

laikas yra labai trumpas v 1 

, tuo tarpu erdvinių fluktuacijų relaksacijos laikas 

– labai ilgas x 

. Dideliems laikams t 

v Einšteino-Smoluchovskio lygties 

taikymas yra pateisinamas, tačiau ji netesinga trumpiems laikams, kol nenusistovėjo 

Maksvelo pasiskirstymas pagal greitį. 

0 

().

Markovo grandinės, pagrindinė 

kinetinė 

lygtis (I) 

• Šiame skyriuje plačiau panagrinėsime Markovo procesus. Mes pradėsime nuo 

paprasčiausio Markovo proceso – Markovo grandinės. Markovo grandinėmis 

aprašomi procesai, kuriuose stochastinis kintamasis yra diskretinis ir perėjimai 

tarp įvairių diskretinio kintamojo verčių vyksta diskretiniais laiko momentais, 

panašiai, kaip atsitiktinio klaidžiojimo uždavinyje. Panaudojus Markovo grandinių 

teoriją pademonstruosime elegantišką klaidžiojimo uždavinių sprendimo būdą. 

Markovo grandinių dinamika pilnai nusakoma perėjimo matrica, kuri 

bendruoju atveju yra nesimetrinė. Mes pamatysime, kad Markovo grandinės lygtis 

galima išspręsti skleidžiant tikimybės funkciją tikriniais perėjimo matricos vektoriais 

(spektrinės dekompozicijos metodas). 

• Kai laiko intervalai tarp įvykių yra maži mes išvesime vadinamąją pagrindinę 

kinetinę lygtį (master equation). Tai diferencialinė laiko atžvilgiu lygtis, nes 

diskretinis laikas Markovo grandinėje pakeičiamas tolydžiuoju. Kai perėjimo greičiai 

tenkina detalųjį balansą, stacionarus kinetinės lygties sprendinys nesunkiai 

surandamas iteracijų metodu. Detalaus balanso principą tenkina daugelis sistemų, kai 

jos yra arti termodinaminės pusiausvyros. Mes panagrinėsime kai kuriuos atsiradimo 

ir išnykimo (birth-death) procesus aprašomus pagrindinę kinetinę lygtimi. 

Pateiksime pavyzdžių iš idealių dujų kinetikos, populiacijų dinamikos ir cheminių 

reakcijų kinetikos. Pademonstruosime kinetinės lygties sprendimo būda taikant 

generuojančios funkcijos ir charakteristikų metodą.

Markovo grandinės 

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (II) 

• Markovo grandinė (arba diskretinis Markovo procesas) yra paprasčiausias 

Markovo proceso pavyzdys. Šiame procese laikas t ir stochastinis kintamasis Y yra 

diskretiniai dydžiai . 

{y(n)} 

t=s – 

P 

– 

ns W , 

stochastinio kintamojo Y 

realizacijos, n=1,2,…,M 

laiko momentai, kuriais sistema pereina iš 

n, s n , s 

1 

1 

– 

2 

tikimybė, kad Y 

2 

– 

vienos būsenos į 

kitą, s=1,2…, 

tikimybė, kad Y vertė momentu s2 yra y(n2), jeigu momentu s1 ) (tai yra perėjimo arba sąlyginė tikimybė) 

y(n 1 

vertė 

momentu s 

yra y(n) 

ji buvo 

• Šios dvi tikimybės pilnai aprašo Markovo grandinę. Jos tenkina panašias lygtis, kaip 

Markovo procese su tolydiniu Y kintamuoju, kurias mes užrašėme, kai nagrinėjome 

empirine Brauno judėjimo teoriją. Čia tik integralus reikia pakeisti sumomis. 

() 

() 

P 

W 

M 

n, s 1Wm, 

sPm, 

s n, 

s 1 

 

m1 

M 

n, s n, 

s 1Pn, 

s m, 

sPm, 

s n, 

s 1 

0 

0 

 

m1 

0 

0 

Čapmano-Kolmogorovo 

(suderinamumo) lygtis

Spektrinės savybės 

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (III) 

• Tiriant Markovo grandines patogu apibrėžti perėjimo (arba sąlyginių tikimybių) 

matricą: 

Qm, ns 

Pm, 

s n, 

s 1 

Bendruoju atveju ši matrica 

yra nesimetrinė 

• Toliau nagrinėsime nepriklausomos nuo laiko perėjimo matricos atvejį 

Qm, n 

m, 0n, 

1 

Pm, 

s n, 

1 

P 

s 

• Tuomet įrašius į Čapmano-Kolmogorovo lygtį 

P 

n0=m ir s=s0+1 gauname 

M 

M 

2 

m, s n, 

s 2Pm, 

s m', 

s 1Pm', 

s 1n, 

s 2QQQ 

0 

0 

 

m'1 

Analogiškai įrašius s=s0+2 gauname 

P 

0 

0 

M 

M 

2 

3 

m, s n, 

s 3Pm, 

s m', 

s 2Pm', 

s 2n, 

s 3Q 

Q Q 0 

0 

 

m'1 

0 

0 

• Taip tęsiant iteracijas surandame Čapmano-Kolmogorovo lygties sprendinį 

ss 

0 

m, 

s0 

n, 

s Q m n 

P , 

0 

0 

0 

0 

 

m'1 

 

m'1 

m, 

m' 

m', 

n 

m, 

m' 

m', 

n 

m, 

n 

m, 

n

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (IV) 

• Žinant tikimybes W(m,0) pradiniu laiko momentu s=0 galima apskaičiuoti 

tikimybes bet kuriuo laiko momentu s. Čia patogu taikyti Dirako žymėjimus. 

Apibrėšime tikimybės vektorių, kaip vektorių eilutę 

Tuomet lygtį 

() 

s W 1, s 

W2, 

sWMs 

W , 

M 

M 

W , 

m1 

m1 

n, sWm, 

s 1Pm, 

s 1n, 

sWm, 

s 1Qmn 

galima užrašyti matriciniu pavidalu 

W 

s s Ws 

Q 

W 1 

Šios lygties sprendinys randamas iteracijų 

W 

0 Čia - 

metodu 

() 

s 

s Ws 

1 

Q Ws 

2 

QQ 

 

W 

Q 

W 0 

t.y., s 

pradinė 

W s W 0 

tikimybės vektoriaus vertė. 

Mūsų tikslas išreikšti perėjimo matricos Q tikrinėmis vertėmis ir vektoriais. 

Q 

().

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (V) 

• Matrica Q bendruoju atveju yra nesimetrinė kvadratinė MxM matrica. Jos tikrinės 

vertės bendruoju atveju kompleksinės. Reikia spręsti du tikrinius uždavinius – 

kairiesiems vektoriams eilutėms ir dešiniesiems vektoriams stulpeliams: 

i 

1 2 M 

 

i 

i 

 

Tikrinių verčių lygtis abiem 

uždaviniams yra ta pati: 

i 

i 

i 

Q 

i 

j 

 

j 

j 

 

 

j 

Q 

Q Q 

0 

i j i j i j i j 

j 

j 

j 

1 

M 

• Nesunku įsitikinti, kad kairieji ir dešinieji tikriniai vektoriai yra ortogonalūs. Dėl 

to kairę lygtį padauginame iš dešinės iš j 

vieną lygtį iš kitos: 

, o dešinę iš kairės iš i 

ir atimame 

0 

i 

Jeigu tai . Tikrinius vektorius galima normuoti, tuomet 

i 

j 

i j 

Q I 

0 

det 

 

i j i, 

j 

Todėl abu uždaviniai turi tą patį 

tikrinių verčiu rinkinį.

• Kokios tikrinių 

j 

Į 

Q 

j 

pradinę 

j 

verčių 

j 

j 

M 

j j n n, 

m j 

m1 

m 

 

m j 

Q m 0 

N 

Qn, 

m 

j j 

N 

0 n, 

m j 

m1 

m1 

nelygybę įrašome n=m 0 

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (VI) 

savybės? Pirmiausiai galima įrodyti nelygybę 

M 

j j n n, 

m j 

m1 

Q m (Čia panaudojome nelygybę 

– čia indeksas m0 atitinka maksimalią 

nelygybė galioja visiems m. Tuomet 

m m Q m j 

galioja bet kuriems kompleksiniams skaičiams 

j 

1 

1 

M 

M 

z 

j j z 

1 

j1 

j 

zj m 

 

m0 j 

ir gauname arba 

Taigi visos perėjimo matricos tikrinės vertės pagal modulį 

0 

čia 

N 

 

m1 

Q 

, n m 

j 

1 

 

j 

M 

j j n n, 

m j 

m1 

j 

m Q m vertę 

0 

ne didesnės už 

: 

taip, kad ši 

) 

, kuri 

(iš būsenos n sistema būtinai 

perina į kurią nors būseną m 

arba lieka būsenoj n) 

vienetą.

Atitinkamas kairysis vektorius turi tenkinti lygtį 

i 

M 

 

m1 

n m i 

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (VII) 

• Dabar įrodysime, kad yra tikrinė vertė lygi vienetui, i . Nesunku įsitikinti, kad 

dešinysis tikrinis vektorius su visom komponentėm lygiom vienetui i 

n 1, 

n1, 

, 

atitinka tikrinę vertę , nes 

M 

i i n n, 

m i 

m1 

Q m Q 

Q 

n, 

m 

arba 

Pastebėsime, kad ši lygtis aprašo stacionarų tikimybės vektorių, t.y. 

vektorių, kuris nekinta laike W ir pagal 

ST s WST 

s 1 

consts 

apibrėžimą tenkina lygybę 

WST WST 

Taigi, kairysis tikrinis vektorius atitinkantis vienetinę tikrinę vertę 

sutampa su stacionariuoju tikimybės vektoriumi 

Q 

consts 

arba W 

n consts 

i 

1 

i 

W ST 

1 

1 

M 

 

m1 

Q 

n, 

m 

i 

1 

1 

i 

1 

i 

n ST 

M 

(iš būsenos n sistema būtinai 

perina į kurią nors būseną m 

arba lieka būsenoj n)

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (VIII) 

• Dabar grįšime prie tikimybės vektoriaus dinaminės lygties () 

: 

Išskleisime tikimybės vektorių 

Iš 

W 

čia : 

M 

 

j1 

0 0 j j 

m 

W s W0 

s 

s W 

Q 

W 0 

 

Įrašome ir skleidinius 

M 

 

j1 

 

j 

 

j 

M 

padauginame lygtį 

iš dešinės iš m 

į 

lygtį 

(): 

(). 

s 

s 

s 0Q 0 j 

tikriniais kairiaisiais vektoriais: 

W 

 

j1 

j 

M 

 

j1 

s s 

j 

M 

 

j1 

s 

s 

s j 

j 0jW j 0 

j 

j 

j 

(). 

j 

0 m 

0 

j 

m W

Įrašę 

šią 

išraišką į 

lygtį 

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (IX) 

() 

galutinai gauname 

M 

 

j1 

s 

s j j 

W0 

j 

W 

(). 

Ws W0 

Ši formulė išreiškia tikimybės vektorių momentu s per pradinę vertę 

bei tikrinius perėjimo matricos vektorius ir tikrines vertes. 

• Detali tikimybės vektoriaus dinamika priklauso nuo perėjimo tikimybės matricos Q 

struktūros. Kai perėjimo matrica yra reguliari (Q yra reguliari matrica, jeigu ji neturi 

nulinių elementų) tai tikimybės vektorius Ws 

asimptotiškai artėja prie 

stacionarios vertės , kai . 

W s 

ST 

• Pastarasis teiginys plaukia iš formulės (). 

Iš tikrųjų, mes žinome, kad visos 

tikrinės vertės, išskyrus vieną, pagal modulį mažesnės už 1 ir viena tikrinė vertė lygi 

vienetui. Tegul tai būna pirma vertė, t.y., 1 

1 , o kitos tikrinės vertės tenkina 

nelygybę 

. Tuomet, kai visi nariai gęsta, išskyrus pirmą: 

1, 

j 2, 

, 

M 

s 

j 

s 

s 1 

1 

W0 

1 

1 

WST 

W 

s 

Čia pasinaudojome tuo, 

kad visiems n, todėl: 

W 0 

, 0 

, 0 

1 

n 1 

1 W n 

1 

1 n W n 

n 

n 1 

1 

M 

 

M

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (X) 

• Šio skyriaus pabaigoje išreikšime dar tikriniais vektoriais perėjimo matricą Qs . 

Lygtį () 

galima formaliai užrašyti taip: 

Tuomet sulyginus šią 

lygtį 

M 

j1 

s 

s W0 

j 

j j 

W 

su (), 

t.y. su 

s 

Q 

 

M 

 

j1 

m 

 

s 

j 

 

j 

s 

s W 

Q 

W 0 

Dabar galime išreikšti tikriniais vektoriais perėjimo tikimybę 

P 

 

j 

gauname 

 

M 

M 

ss0 

ss0 

ss0 

m, 

s n, 

s Q m n mn 0 

m, 

n 

 

j1 

j 

Čia panaudojome Dirako žymėjimus ir atsitiktinio kintamojo realizacijoms 

žymėti, bei m ir n m j j 

 

j 

j 

n 

n j 

• Galima nesunkiai parodyti, kad perėjimo tikimybė taip pat asimptotiškai artėja prie 

stacionarios vertės: 

m, s n, 

s 

W n lim P 0 

ST 

s 

j 

 

j1 

j 

j 

j

P 

Atsitiktinis klaidžiojimas 

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XI) 

• Čia dar kartą panagrinėsime atsitiktinio klaidžiojimo uždavinį. Markovo 

grandinių teorijos rėmuose jis sprendžiasi labai elegantiškai. 

• Nagrinėsime atsitiktinį klaidžiojimą vienmatėje begalinėje gardelėje. Tarsime 

kad gardelės konstanta yra , o charakteringas dalelės perėjimo laikas tarp 

įvairių gardelės mazgų yra . 

ns – 

m, s 

n, 

s1 W , 

tikimybė 

surasti dalelę 

x n 

taške po s 

žingsnių. 

– tikimybė, kad per laiką dalelė iš taško 

x m 

pereis į tašką x n 

. 

Markovo grandinės dinamika aprašoma lygtimi 

W 

 

n, s1Wm, s 

Pm, s 

n, 

s1 

m 

Tarsime, kad dalelė vienoda tikimybe gali pajudėti vienu žingsniu į kairę ir į dešinę 

(bendruoju atveju šis formalizmas leidžia nagrinėti ir sudėtingesnius variantus ), 

tuomet: 

1 1 

P 

2 2 

m, s 

n, 

s1n, m1 

n, 

m1

Tuomet tikimybės dinamika užrašoma tokia lygtimi 

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XII) 

1 

1 

W , 

2 

2 

n, s1Wn1, s 

Wn1s • Riboje mažų ir ši lygtis virsta diferencialine. Kad tuo įsitikintume, atimame iš 

abiejų pusių W n, 

s 

ir padaliname iš : 

W 

 

2 

n, s 1 

Wn, s 

Wn 

, 

s 

W n , 

s 

2W 

n, s 

 

2 

 

 

2 

 

 

2 

 

x n, 

t s 

0, 0 D const 

2 

Prisiminkime, kad . Riboje tariant, kad 

gauname difuzijos lygtį: 

W 

t 

2 x, t 

Wx, 

t 

D 

x 

2 

Tarkime, kad pradinė 

W x, 0 

x sąlyga yra: 

• Nors mes jau žinome šios lygties sprendinį, dar kartą išspręsime šią lygtį Furjė 

transformacijos metodu: 

1 ~ 

W , 

2 

 

x, t 

dkW 

kt 

W 

ikx 

e 

~ 

Wk, 

t 

2 ~ 

Dk 

W k, 

t 

t 

 

1 

 

2 

 

1 

4Dt 

2 

 

Dk 

t ikx 

4Dt 

x, t 

dke e e 

 

~ 

, Wk, 

01 

x 

2 

~ 

W 

2 

Dk t k, t 

 

e 

(Gauso skirstinys)

Pagrindinė 

kinetinė 

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XIII) 

lygtis (master 

equation) 

• Fizikoje ir kituose moksluose dažnai tenka nagrinėti procesus, kuriuose laiko 

intervalai tarp įvykių kinta tolygiai ir atsitiktinai, o stochastinio kintamojo Y 

realizacijos yra diskretinės, Y=Yn. Tokiu atveju tikimybės tankio funkcijos W(n,t) 

laiko evoliuciją galima aprašyti diferencialinę lygtimi. Čia panagrinėsime atvejį, kai 

elementarūs įvykiai arba perėjimai pasireiškia per labai trumpus laiko intervalus 

ir kiekvieno įvykio metu tikimybės tankio funkcija kinta nežymiai. Tokiems procesams 

aprašyti taikoma vadinamoji pagrindinė kinetinė lygtis (master equation). 

Pagrindinės kinetinės lygties išvedimas 

• Mes startuojame nuo pirmosios Markovo grandinės lygties (), 

tačiau tariame, kad 

laikas yra tolydusis kintamasis ir užrašome ją tokiu pavidalu: 

• Mažiems t 

W 

t 

iš 

šios lygties galima tokiu būdu sukonstruoti diferencialinę 

n, t 

Wn, 

t t 

Wn, 

t 

 

lim 

t0 

W 

M 

n, t tWm, 

tPm, 

t n, 

t t 

 

m1 

t 

1 

lim 

t0 

t 

M 

 

m1 

W 

() 

lygtį: 

m, tPm, 

t n, 

t t 

m, 

n

• Mažų 

t 

riboje, perėjimo tikimybę 

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XIV) 

 

 

 

skleidžiame Teiloro 

Čia pats bendriausias skleidimo pavidalas, kuris 

tenkina perėjimo tikimybės normavimo sąlygą: 

Šioje lygtyje p m,n 

m n: 

m 

n: 

eilute 

M 

m, t n, 

t ttp 

t p t t 

 

P m , n 1 m, 

l m, 

n 

l1 

Tuomet Markovo grandinės lygtį 

nt yra perėjimo tikimybės greitis, tiksliau 

pm, n 

 

1 

t 

 

l 

 

 

M 

1 

lm tt p 

M 

 

mn 

m, 

l 

t 

 

 

 

 

 

 

 

M 

 

n1 

P 

() 


Wm, tp 

t Wn, 

tp 

t 

W 

, – 

 

m, 

n 

n, 

m 

t 

m, t n, 

t t1 

– perėjimo tikimybė iš būsenos m į būseną n 

laiko intervale 

– 

t t 

t 

tikimybė kad laiko intervale 

nebus jokio perėjimo 

t t 

t 

pagrindinė kinetinė lygtis 

(master equation) 

Perėjimai iš visų būsenų įbūseną n Perėjimai iš būsenos n į visas kitas būsenas

Stacionarus sprendinys ir detalusis balansas 

 

t 

W 

n, t0 

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XV) 

• Stacionarus pagrindinės kinetinės lygties sprendinys surandamas iš 

M 

 

mn 

WmpWnp0 ST 

m, 

n 

ST 

n, 

m 

sąlygos: 

Labai dažnai fizikiniuose uždaviniuose galioje detalaus balanso principas, kai 

perėjimo tikimybės tenkina sąlygą: 

W 

ST 

mp W np 0 

m, 

n ST n, 

m 

Detalusis balansas visada galioje sistemoms esančioms termodinaminėje 

pusiausvyroje. Detalaus balanso principas taip pat dažnai būna tenkinamas ir 

nepusiausvyrinėms sistemoms. 

Kai galioja detalusis balansas tai stacionarus sprendinys surandamas 

paprastomis iteracijomis: 

W 1 p p , W 3 W 

2 p p , 

WST 2 ST 1, 

2 2, 

1 ST ST 2, 

3 3, 

2 

Nestacionarus uždavinys šiuo atveju irgi sąlyginai paprastas, nes susiveda į 

kinetinę lygtį su simetrine perėjimo matrica.

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XVI) 

Pavyzdys: artėjimas prie pusiausvyros dviejų 

indų 

modelyje 

• Pagrindinė kinetinė lygtis labai dažnai naudojama aprašant chemines reakcijas, 

populiacijų dinamiką ir kitus atsitiktinius atsiradimo ir išnykimo (birth-death) 

procesus. Pradžioje pademonstruosime jos taikymą molekulių fizikai. 

• Tarkime, kad turime indą, pertvara sudalintą įdvi lygias dalis. Pertvaroje yra 

plona skylutė pro kurią gali praeiti tik viena molekulė. Pradžioje molekulių skaičiai 

vienoje ir kitoje indo pusėje yra skirtingi. Dėl molekulių atsitiktinio judėjimo per 

pertvarą molekulių skaičiai turi susilyginti. Mūsų tikslas aprašyti šį artėjimą prie 

pusiausvyros pagrindine kinetine lygtimi. 

n N-n 

• Vienas iš galimų šio procesų modelių galėtų būti toks: kiekviename laiko žingsnyje 

atsitiktinai pasirenkama molekulė ir permetama į kitą indo pusę. Tuomet tikimybė, 

kad molekulė bus pasirinkta duotoje indo pusėje bus proporcinga molekulių skaičiui 

toje pusėje. Toks procesas turi vesti prie molekulių skaičiaus susilyginimo (animacija). 

• Šį uždavinį pirmą kartą nagrinėjo Paulis ir Tatjana Erenfestai. Kad būtų 

linksmesnė šio uždavinio analizė jie pasiūlė kitokią jo interpretaciją – su blusomis ir 

šunimis. Kai šalia yra du šunys – blusuotas ir neblusuotas – tai blusos šokinėja 

nuo vieno šuns prie kito ir ilgainiui abu tampa vienodai blusuoti.

• Užrašysime šiam procesui pagrindinę 

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XVII) 

kinetinę 

lygtį. Dėl to apibrėšime tokius dydžius: 

n – kairiojo šuns blusų skaičius (molekulių skaičius kairioje indo pusėje) 

N-n – dešiniojo šuns blusų skaičius (molekulių skaičius dešinėje indo pusėje) 

W(n,t) 

t 

– 

– 

tikimybė, kad momentu t kairysis šou turi n 

tikimybė, kad per laiką 

p n+1,n t=(n+1)t 

p n-1,n t=(N-n+1)t 

1 

p t pn, n1 

n, 

n1 

nNnt 1 

1 N t 

– 

t 

blusų 

viena konkreti blusa pakeis šeimininką 

tikimybė, kad per laiką t bet kuri viena kairiojo šuns 

blusa peršoks į dešinį šunį taip kad kairiojo šuns 

blusų skaičius pasikeis iš n+1 į n. 

– tikimybė, kad per laiką t bet kuri viena dešiniojo šuns 

blusa peršoks į kairįjį šunį taip kad kairiojo šuns 

blusų skaičius pasikeis iš n-1 į n. 

– 

tikimybė, kad per laiką t kairiojo šuns blusų 

skaičius nepakis, t.y. išliks lygus n. 

Laiko intervalą t pasirenkame pakankamai mažą taip kad per jį 

įvyksta ne daugiau, kaip vienos blusos šuolis !

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XVIII) 

• Dabar šiam procesui galime užrašyti Markovo grandinės lygtį: 

lim 

t0 

n, t t1pp 

t 

Wn, tWn1, 

tptWn1, 

tp 

t 

W n, 

n 

1 n, 

n1 

n1, 

n 

n1, 

n 

Mažų 

W 

t 

1NtWn, tW 

n 1, 

tN 

n 

1t 

Wn 

1, 

tn 

1 

t 

 

0 

n, t t 

Wn, 

t 

 

W 

t 

t 

riboje ši lygtis virsta pagrindinę 

kinetinę 

lygtimi: 

n, tWn1, 

tNn1Wn1, 

tn 

NW 

1 

n, tWn1, 

tNn1Wn1, 

tn1NWn, 

t 

• Nesunku tiesiogiai patikrinti, kad šios lygties stacionarus (pusiausvyrinis) 

sprendinys yra binominis skirstinys, kurio p=q=1/2: 

Wn1, tNn1Wn1, 

tn 

1 

NWn, 

t 

0 n 1 

2 

WST N 

– 

pagrindinė 

kinetinė 

lygtis 

N! 

n! 

Nn!

Stacionarų 

sprendinį 

Prob(kairiojoje pusėje n 

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XIX) 

galima buvo išsamprotauti iš 

1 

1 

molekulių) 

2 

2 

n 

kombinatorikos. Iš 

Nn 

n! 

N ! 

 

1 

tikrųjų, 

N ! 

N 

Nn! 2 n! 

Nn! Iš pirmos šio kurso dalies, kurioje buvo dėstoma tikimybių teorija mes žinome, kad 

binominio skirstinio pirmieji du momentai tokie: 

n 

Iš 

N 

 

n0 

nW 

ST 

N 

2 

n pN ; 

2 

2 N 

n n , N 

4 

 

 

N 

2 

n 

, 

2 

N 

 

n 0 

n 

 

n 

N 

2 

W 

 

ST 

nNp 

 

 

 

n 

N 

 

1 

2 

 

 

 

2 

2 

 

Npq 

čia vidutinis kvadratinis nuokrypis, standartinis nuokrypis ir santykinis nuokrypis: 

 

1 

N 

 

N 

2 

N 

4 

Taigi matome, kad pusiausvyroje kairėje pusėje yra vidutiniškai pusė visų molekulių ir 

didinant molekulių skaičių santykinis nuokrypis nuo šio rezultato mažėja kaip 1/ 

N. 

Dideliems N binominį skirstinį galima aproksimuoti Gausu ir stacionarų sprendinį 


W ST 

n 

2 

 

N 

2 

exp 

 

 

N 

2 nN2

Artėjimas prie pusiausvyros 

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XX) 

Dabar panagrinėsime, kaip sistema artėja prie stacionaraus (pusiausvyrinio) 

sprendinio. Mes mėginsime surasti dinamines lytis pirmiems dviems momentams. 

Dėl to padauginsime kinetinę lygtį iš n ir susumuosime pagal visus n. 

 

n 

n 

 

 

n 

 

W 

t 

W 

n, tWn1, 

tNn1Wn1, 

tn1NWn, 

t 

Tuomet: W n, tnn 

 

 

n 

W 

 

n 

 

 

 

2 

n1, tNn1nWn, 

tNnn1NnNnn 

 

n 

 

2 

n1, tn1nWn, 

tnn1nn 

 

n 

Čia sumuojame nuo minus begalybės iki plius begalybė, kadangi žinome, kad W(n,t)=0, 

kai nN. Įrašę šias išraiškas į kinetinę lygtį pirmam momentui gauname: 

d 

n 

dt 

 

2 

 

 

n 

 

N 

2 

 

 

 

Matome, kad vidutinis molekulių skaičius kairėje indo pusėje eksponentiškai artėja 

prie pusiausvyrinės vertės, n t n N , kai . 

ST 

t 

2 

n 

N 

2 

 

 

 

N 

2 

 

2 

t 

t 

n0 

e

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXI) 

Analogiškai surandama dinaminė lygtis antram momentui. Dėl to kinetinę lygtį reikia 

padauginti iš n2 ir susumuoti pagal visus n. Atlikę panašius veiksmus, kaip ir 

aukščiau, gauname 

Įrašome į 

n 

2 

N 

šią 

2 

 

4 

lygtį 

N 

d 

n 

dt 

2 

jau surastą 

 

 

 

 

4 

 

 

 

sprendinį 

N 

2 

 

n 

2 

 

 

 

 

 

N 

2 

n 

 

N 

 

4 

 

ir išsprendžiame ją: 

2 

t 2 

4 

t 

t n0 

Ne n 0 n0 

N e 

Nesunku nustatyti, kaip kinta laike vidutinis kvadratinis nuokrypis 

2 

 

N 

2 

 

4 

2 

2 

2 

4 

t 

t n t n 

t 0 e 

N 

4 

 

 

 

N 

N 

 

4 

 

 

 

N 

 

2 

Matome, kad antrasis momentas taip pat artėja prie pusiausvyrinės vertės, kai t 

2 2 

t n N N 4 

2 

n ST 

4 

2 

2 

Jis artėja prie pusiausvyrinės vertės t ST N dvigubai didesniu greičiu, 

nei vidurkis . Vidurkio artėjimo prie pusiausvyros charakteringasis laikas yra 

, o vidutinio kvadratinio nuokrypio – 

 

n 

t 

1 

2 

1 

4 

n

• Žinodami (t) 

Pavaizduosime , +(t)/2, -(t)/2 ir (t)/ kitimo dinamiką 

skirtingiems N, kai =0, (0)=0 ir =1: 

+(t)/2 

-(t)/2 

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXII) 

ir nesunkiai apskaičiuojame santykinio nuokrypio dinamiką: 

n 

 

t 

 

(t)/ 

0 n0 

2 

t 1 

 

 

4 t 

t 

1 

 

 

1 

e 

1 

 

1 

 

e 

2 

 

N ST 

nST 

 

2 

N=100 N=1000 N=10000 

• Santykinis nuokrypis (t)/ yra didelis tik pradžioje, kai kairioje indo pusėje yra 

mažai dalelių. Kai N →∞, santykinis nuokrypis yra mažas (proporcingas N-1/2 ) 

beveik visiems t, išskyrus labai trumpą pradinį pereinamąjį procesą. Tai reiškia, kad 

didelių skaičių dėsnis galioje ne tik pusiausvyroje, bet yra teisingas ir aprašant 

artėjimą prie pusiausvyros. Šis faktas leidžia relaksacijos į pusiausvyrą 

procesą aprašyti makroskopine teorija (nepusiausvyrine termodinamika).

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXIII) 

• Šiame modelyje geras makroskopinis parametras yra vidutinis dalelių skaičius 

kairioje indo pusėje. Jis tenkina paprastą dinaminę lygtį: 

d 

n 

dt 

 

2 

 

 

Kai pilnas dalelių skaičius N didelis, ji gana tiksliai aprašo dalelių kitimo dinamiką, nes 

tikras dalelių skaičius n(t) beveik tiksliai lygus vidurkiui . Santykinis nuokrypis 

Kinetinės lygties transformacija į 

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXIV) 

Fokerio-Planko lygtį 

didelių 

N riboje 

• Nagrinėdami stacionarų (pusiausvyrinį) kinetinės lygties sprendinį, mes matėme, 

kad jis artėja prie Gausinio skirstinio didelio dalelių skaičiaus riboje. Dabar 

pažiūrėsime, kaip transformuojasi pati kinetinė lygtis riboje N . 

Tiriant šią 

Šiame keitinyje x yra dalelių skaičiaus nuokrypis nuo pusiausvyrinės vertės 

normuotas į N1/2 . Tuomet kinetinė lygtis įgauna tokį pavidalą 

 

t 

~ 

W 

ribą 

patogu pakeisti kintamąjį 

N 

W 

2 

n, tW 

x N , t W x, t, 

~ 

 

 

1 

 

N 

 

2 

 

~ 

 

 

 

N 

 

2 

x, tWx 

, t 

x N 1 

W 

x , t 

x N 1 

NWx, 

t 

N 

Tariant, kad N>>1, skleidžiame tikimybes Teiloro 

 

N 

n x 

2 

1 

N 

N , 

eilute iki antros eilės narių 

~ 

~ 

~ 

W 

N N x 

2N 

x 

~ 

2 ~ 

~ 1 ~ 1 W 

x, 

t 1 W x, 

t 

W 

x , t 

Wx, 

t 

 

2 

N N x 

2N 

x 

~ 

2 

1 ~ 1 W 

 

x, t 

1 Wx, 

t 

x 

, t 

W 

x, 

t 

 

 

2 

 

 

n N / 2 

x 

N 

 

 

~

Įraše šias išraiškas į 

kinetinę 

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXV) 

lygtį 

~ 

W 

t 

gauname Fokerio-Planko lygtį 

~ 

 

2xW 

 

x 

 

~ 

W 

x 

• Aprašytas čia metodas, kuriuo kinetinę lygtį pakeitėme Fokerio-Planko lygtimi, 

vadinamas Kramerso-Moialo skleidimu (Kramers-Moyal expansion). Toks 

skleidimas dažnai sutinkamas įvairiuose fizikinės kinetikos uždaviniuose. 

• Nesunku surasti stacionarų 

~ 

~ 1 dW 

2xW 0 

2 dx 

Gautasis Gausinis skirstinys tiksliai sutampa su anksčiau nustatytu stacionariu 

pagrindinės kinetinės lygties sprendiniu didelių N riboje! 

1 

2 

Fokerio-Planko lygties sprendinį 

W ST 

 

 

 

2 

2 

x exp2x 

 

• Nestacionarų šios lygties sprendinį taip pat nesunku surasti, jeigu pastebėti, kad ši 

lygtis pagal formą sutampa su Brauno dalelės Fokerio-Planko lygtimi, kurią gavome 

nagrinėdami trumpalaikę greičio relaksaciją. Tad čia jos sprendinį galime nusirašyti: 

 

 

2 

t 2 

x x e 

0 

4 

1 

e 

~ 

2 

 

2 

W x, 

t exp 

4 t 

t 

1 e 

 

 

n 

x 

 

N / 

2 

N 

kai pradinė sąlyga: 

~ 

W 

 

 

 

x, 0 

x x 

0

Pavyzdys: populiacijų 

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXVI) 

kinetika 

• Pagrindinė kinetinė lygtis dažnai naudojama populiacijų dinamikai aprašyti. 

Pademonstruosime jos taikymą šio mokslo srityje konkrečiu uždaviniu. Nagrinėsime 

bakterijų kinetiką. Pažymėkime: 

W(n,t) 

– 

tikimybė, kad momentu t populiacijoje 

yra n 

bakterijų 

dt – tikimybė, kad per laiką t viena konkreti bakterija žus. 

bt – tikimybė, kad per laiką t viena konkreti bakterija pasidaugins. 

pn-1,nt=(n-1)bt – tikimybė, kad per laiką t populiacija iš n-1 

bakterijos pagausės viena bakterija. 

pn+1,nt=(n+1)dt – tikimybė, kad per laiką t populiacijoje iš n+1 

bakterijos žus viena bakterija. 

n(b+d)t – tikimybė, kad per laiką t populiacijoje iš n 

bakterijų žus arba atsiras viena bakterija. 

Tuomet: 

 

W 

t 

n, tWn1, 

tn1bWn1, 

tn1dWn, 

tnbd 

Šią kinetinę lygtį galima tirti panašiai, kaip praeitame pavyzdyje. Ją galima dauginti iš 

n, n2 , sumuoti pagal n ir nustatyti diferencialines lygtis pirmam ir antram momentui. 

– 

pagrindinė 

kinetinė 

lygtis

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXVII) 

• Tačiau čia mes pademonstruosime kitą tyrimo būdą. Mes parodysime kad galima 

išspręsti pačią kinetinę lygtį, t.y. nustatyti visos W(n,t) funkcijos laikinę priklausomybę, 

o ne atskirų jos momentų. 

• Nestacionarus kinetinės lygties sprendinys ieškomas generuojančios funkcijos 

metodu. Generuojanti funkcija apibrėžiama taip: 

 

Čia suma imama nuo , nes ties n = 0 tikimybė turi natūralią kraštinę sąlygą, 

W(t,n) =0 , kai n

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXVIII) 

• Generuojančios funkcijos lygtis nustatoma padauginus kinetinę lygtį iš 

ir susumavus pagal visus n: 

 

n 

z 

n 

Tuomet: 

 

 

n 

 

 

n 

 

 

n 

 

W 

t 

z 

z 

z 

n 

n 

n 

W 

W 

W 

n, tWn1, 

tn1bWn1, 

tn1dWn, 

tnbd 

 

z 

n 

n 

n 1, t n 1 

z 

z 

2 

n1 

n1, tn1zzWn1, 

t 

 

1 

W n1, t 

 

z 

n 

 

z 

n 

n, tn 

z z W n, tz 

Fz, 

t 

n 

2 F 

z 

z 

Fz, 

t 

 

z 

z, t 

Tokiu būdu generuojančiai funkcijai gauname diferencialinę lygtį dalinėmis 

išvestinėmis 

F 

t 

 

F 

z1bz d 

z 

z n

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXIX) 

• Generuojančios funkcijos lygtys sprendžiamos charakteristikų metodu. 

Pademonstruosime šį metodą gautai lygčiai 

Metodo idėja paremta lygties charakteristikų nustatymu. Charakteristikos, pagal 

apibrėžimą, yra (z,t) plokštumos kreivės, kuriose funkcija F(z,t) yra pastovi. Jos 

tenkina tokią sąlygą: 

dz 

z1bz d 

dt 

F 

t 

Nesunku įsitikinti, kad bet kuri funkcija 

F 

 

F 

z 

z1bz d 

0 

z 1 

 

ln 

z d b 

 

 

 

z, t 

b 

F 

bz d 

bdtlnC z 1 

bdt e 

z 1 bd b t 

bz d 

yra generuojančios lygties sprendinys, t.y. tenkina viršutinę šios skaidrės lygtį. 

Iš šio sprendinio matome, kad funkcijos F(z,t) kintamieji z ir t yra susieti tam tikra 

sudėtinga priklausomybe, tačiau pati funkcija F lieka nežinoma. 

e 

C

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXX) 

• Pačios funkcijos F(z,t) pavidalas nustatomas iš pradinės sąlygos. Tarkime, 

kad pradiniu laiko momentu t=0 populiacijoje yra tiksliai m bakterijų. Tuomet 

W n, 0 

 

n, 

m 

 

n 

F z, 

0 z m, 

n 

n 

Pažymėkime 

u 

z 1 

b 

 

bz d 

 

. Tuomet ir 

z 

m 

du b 

Generuojančios lygties sprendinys, tenkinantis duotą 

F 

z, t 

b 

F 

bz d 

z 1 

bdt e 

z1 z1 z 

bu1 

u bd 

 

b 

d 

bz d 

b 

b 

bz d 

t 

d e bz d 

Fzt bdt b e bz d 

 

 

, 

 

 

 

 

z 1 

m 

b 

F 

bz d 

z 

du b 

F 

bu 

 

 

1 

 

pradinę, sąlygą 

z1 bd e 

z1 bd m 

e 

t 

t 

yra 

m 

 

b 

 

 

1 

 

 

m 

Tai yra tikslus 

generuojančios 

lygties sprendinys !!!

2 

 

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXXI) 

• Generuojanti funkcija turi visą informaciją apie tikimybes W(n,t). Tikimybės 

W(n,t) nustatomos skleidžiant generuojančią funkciją Teiloro eilute. Jos tiesiog yra 

Teiloro eilutės koeficientai: 

F 

 

n z, tzWn, 

t 

Pavyzdžiui, 

n0 

1 

! 

F 

 

 

n 

n 

z 

n0 

n 

n z 

 

 

z 

0 

• Mes jau žinome, kad iš generuojančios funkcijos nesunku nustatyti ir momentus. 

Vidutinė vertė ir vidutinis kvadratinis nuokrypis yra tokie: 

n 

2 F 

2 

z 

 

bdt 1 

e 

bdt d 

W t 

F 

t 

d be 

 

0, 

0, 

 

 

 

 

F 

 

 

z 

 

bdt t me 

z1 

W 

n, t 

1 

 

! 

 

n 

n 

F 

z 

z, t 

2 

2 

2 

bdt bd t n t n 

t n( 

t) 

n( 

t) 

m e 1 

e 

z1 

b d 

 

d b 

n 

 

 

 

 

z0 

t 

Iš šių rezultatų matome, kad jeigu gimimo greitis yra didesnis negu žuvimo, b>d, tai 

bakterijos eksponentiškai gausėja, o jei mažesnis, b

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXXII) 

• Čia, kaip ir praeitame pavyzdyje, santykinis nuokrypis yra atvirkščiai 

proporcingas šakniai iš bakterijų skaičiaus. 

 

t 

t 1 b d 

1 

n m b d 

Todėl, kai bakterijų skaičius yra didelis, vietoje mikroskopinės kinetinės lygties 

galima patikimai taikyti makroskopinę lygtį vidutiniam bakterijų skaičiui 

d 

n 

dt 

b 

n 

d 

n 

bdt 

e 

Ši lygtis aprašo vidutinio bakterijų skaičiaus balansą. Pirmas narys aprašo bakterijų 

prieaugį dėl dauginimosi, o antras – mažėjimą dėl žuvimo. Jos sprendinys sutampa 

su anksčiau gautu rezultatu, panaudojus kinetinės lygties sprendinį. 

n 

bdt t 

me

Pavyzdys: cheminių 

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXXIII) 

reakcijų 

kinetika 

• Pagrindinė kinetinė lygtis plačiai taikoma cheminių reakcijų kinetikai aprašyti. 

Panagrinėkime tokią cheminę reakciją: 

k1t W(n,t) 

–tikimybė, kad per laiką 

– 

A X A Y 

1 k 

 

t 

k2 • Tarkime, kad A molekulių kiekis nA palaikomas pastoviu, o X ir Y molekulių skaičiai 

nX ir nY yra kintami, tačiau jų suma yra pastovi 

k2t nX nY 

N const nX 

n, 

nY 

–tikimybė, kad per laiką 

t 

įvyks reakcija, kai X 

įvyks reakcija, kai Y 

N n 

susidurs su A 

tikimybė, kad momentu t sistemoje yra n X-molekulių. 

pn-1,n t=(N-n+1)nAk2t pn+1,n t=(n+1)nAk1t nnAk1t +(N-n)nAk2t 

susidurs su A 

ir virs Y 

ir virs X 

– tikimybė, kad per laiką t populiacijoje iš n-1 X-molekulių 

įvyks reakcija, kurios metu viena Y molekulė virs X 

– 

– 

tikimybė, kad per laiką t populiacijoje iš n-1 X-molekulių 

įvyks reakcija, kurios metu viena X molekulė virs Y 

tikimybė, kad per laiką t populiacijoje iš nX-molekulių įvyks 

tiesioginė arba atvirkštinė reakcija, kurios metu viena X 

molekulė virs Y arba viena Y molekulė virs X.

• Susumavę 

 

W 

t 

Markovo grandinės, pagrindinė kinetinė lygtis (XXXIV) 

Panašiai kaip praeitame pavyzdyje šią lygtį galima išspręsti generuojančios funkcijos 

ir charakteristikų metodu. Čia to sprendimo nepateiksime. 

• Makroskopinę lygtį vidutiniam X-molekulių skaičiui galima gauti padauginus 

kinetinę lygtį iš n ir susumavus pagal visus n, arba tiesiog išsamprotauti iš 

cheminės reakcijos formulės: 

arba 

atėjimo ir išėjimo procesus gauname tokią 

d 

n 

dt 

d 

n 

dt 

k1nA 

n k2n 

n 

A 

Nn kNkk n 

A 2 1 2 

pagrindinę 

kinetinę 

lygtį: 

n, tnWn1, 

tNn1kWn1, 

tn1kWn, 

tnk 

Nnk 

A 

2 

1 

1 

2

Brauno ir stochastiniai procesai

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?