L'ANALOGIA DI MOHR

Facoltàà Facolt di di Architettura Architettura di di Siracusa Siracusa
Corso Corso di di Scienza Scienza delle delle Costruzioni
Costruzioni
LL’’ANALOGIA ANALOGIA DI DI MOHR MOHR
Giuseppe Giuseppe Ricciardi Ricciardi
Nicola Nicola Impollonia
Impollonia
A.A. A.A. 2009--20010
2009 20010
1

Il problema statico
dT
dx
= −q
z
dM T
dx =
LL’’analogia analogia di di Mohr Mohr
Le equazioni che risolvono il problema statico sono le equazioni di equilibrio:
dN
dx
= −q
x
che integrate forniscono la soluzione in termini di sforzi interni interni
N( x) =−∫qx(
x) dx
T( x) =−∫ qz( x) dx M ( x) = ∫T(
x) dx
Nel caso di strutture isostatiche, le tre condizioni al contorno di tipo meccanico
consentono di determinare le tre costanti di integrazione
2

Il problema cinematico
Le equazioni che risolvono il problema cinematico sono quelle di congruenza:
du( x) N
= ε x =
dx κε
dϕ( x) M
= χ =
dx κ χ
LL’’analogia analogia di di Mohr
Mohr
che integrate forniscono la soluzione in termini di rotazioni e spostamenti
N( x)
ux ( ) = ∫εx( xdx ) = ∫ dx
κε
M( x)
ϕ( x) = ∫χ( x) dx = ∫ dx
wx ( ) =−∫ϕ(
xdx )
κ
χ
dw( x)
dx
=−ϕ(
x)
Nel caso di strutture isostatiche, le tre condizioni al contorno di tipo cinematico
consentono di determinare le tre costanti di integrazione
3

Il problema statico Il problema cinematico
∗
dN ( x)
∗
− = qx( x)
dx
∗
dT ( x)
∗
− = qz( x)
dx
∗
dM ( x)
∗
= T ( x)
dx
LL’’analogia analogia di di Mohr Mohr
dϕ( x) M( x)
=
dx κ χ
dw( x)
dx
=−ϕ(
x)
Le coppie di equazioni si presentano “analoghe analoghe”, , nel senso che se la trave
viene soggetta a un carico fittizio pari alla dilatazione e alla curvatura elastica
∗
x
q ( x)
=
∗
N ( x)
N( x)
κε
∗
T ( x)
∗
M ( x)
∗
z
q ( x)
=
du( x) N( x)
=
dx κε
M ( x)
gli sforzi fittizi , e determinano determinano
lo spostamento assiale
(cambiato di segno), la rotazione (cambiato di segno) e lo spostamento spostamento
trasversale
∗
N ( x) =−u(
x)
κ χ
∗
∗
T ( x) =− ϕ(
x)
M ( x) = w( x)
4

LL’’analogia analogia di di Mohr Mohr
Rotazione e spostamenti si determinano tramite tre successive integrazioni integrazioni
che
risolvono un problema statico fittizio, relativo alla trave ausiliaria ausiliaria
di Mohr
∗ ∗ N( x)
N ( x) =− ∫qx( x) dx =− ∫ dx =−u(
x)
κ
∗ ∗ M( x)
T ( x) =− ∫qz( x) dx =− ∫ dx =−ϕ(
x)
κ
∫ ∫
∗ ∗
M ( x) = T ( x) dx=− ϕ(
x) dx= w( x)
In una trave isostatica, le tre costanti di integrazione si determinano determinano
imponendo
le condizioni al contorno della trave ausiliaria
Le condizioni al contorno della trave ausiliaria di Mohr si fissano a partire
dall’analogia dall analogia esistente tra le quantità quantit cinematiche effettive ux ( ) , ( ) e
∗
∗
∗
e le quantità quantit meccaniche fittizie , e
N ( x)
χ
M ( x)
T ( x)
wx ϕ(
x)
La trave ausiliaria di Mohr si determina modificando opportunamente i vincoli
ε
5

Carrello
orizzontale
Cerniera
Doppio
bipendolo
LL’’analogia analogia di di Mohr Mohr
Vincoli trave reale Vincoli trave fittizia
u ≠ 0
ϕ ≠ 0
w = 0
u = 0
ϕ ≠ 0
w = 0
u ≠ 0
ϕ = 0
w ≠ 0
u = 0
ϕ = 0
Bipendolo
orizzontale w ≠ 0
T 0
∗ ≠
M 0
∗ N 0
=
∗ ≠
T 0
∗ ≠
M 0
∗ N 0
=
∗ =
T 0
∗ =
M 0
∗ N 0
≠
∗ ≠
T 0
∗ =
M 0
∗ N 0
≠
∗ =
Cerniera
Carrello
orizzontale
Bipendolo
orizzontale
Doppio
bipendolo
6

Estremo
libero
Incastro
Carrello
verticale
Bipendolo
verticale
LL’’analogia analogia di di Mohr Mohr
Vincoli trave reale Vincoli trave fittizia
u ≠ 0
ϕ ≠ 0
w ≠ 0
u = 0
ϕ = 0
w = 0
u = 0
ϕ ≠ 0
w ≠ 0
u ≠ 0
ϕ = 0
w = 0
T 0
∗ ≠
M 0
∗ N 0
≠
∗ ≠
T 0
∗ =
M 0
∗ N 0
=
∗ =
T 0
∗ ≠
M 0
∗ N 0
≠
∗ =
T 0
∗ =
M 0
∗ N 0
=
∗ ≠
Incastro
Estremo
libero
Bipendolo
verticale
Carrello
verticale
7

Cerniera
interna
Carrello
esterno
intermedio
Pendolo
interno
Cerniera
intermedia
LL’’analogia analogia di di Mohr Mohr
Vincoli trave reale Vincoli trave fittizia
u ≠ 0, ∆ u = 0
∆ϕ ≠ 0
w≠0, ∆ w=
0
u ≠ 0, ∆ u = 0
ϕ ≠ 0, ∆ ϕ = 0
w = 0
∆u ≠ 0
∆ϕ ≠ 0
w≠0, ∆ w=
0
u = 0
ϕ ≠ 0, ∆ ϕ = 0
w = 0
T 0
∗
∗
N
∗
≠ 0, ∆ N = 0
∆ ≠
∗
M
∗
≠ 0, ∆ M = 0
∗
T
∗
≠0, ∆ T = 0
M 0
∗ ∗
N
∗
≠0, ∆ N = 0
=
T 0
∗
N 0
∆ ≠
∗
M
∗
≠0, ∆ M = 0
∗
∆ ≠
∗ ∗
T ≠0, ∆ T = 0
M 0
∗ N 0
=
∗ =
Carrello
esterno
intermedio
Cerniera
interna
Cerniera
intermedia
Pendolo
interno
8

Bipendolo
orizzontale
interno
Doppio
bipendolo
intermedio
Doppio
bipendolo
interno
Bipendolo
orizzontale
intermedio
LL’’analogia analogia di di Mohr Mohr
Vincoli trave reale Vincoli trave fittizia
u ≠ 0, ∆ u = 0
ϕ ≠ 0, ∆ ϕ = 0
∆w ≠ 0
u ≠ 0, ∆ u = 0
ϕ = 0
w≠0, ∆ w=
0
∆u ≠ 0
ϕ ≠ 0, ∆ ϕ = 0
∆w ≠ 0
u = 0
ϕ = 0
w≠0, ∆ w=
0
∗
T
∗
≠ 0, ∆ T = 0
M 0
∗
∗
N
∗
≠ 0, ∆ N = 0
∆ ≠
T 0
∗ ∗
N
∗
≠0, ∆ N = 0
=
∗
M
∗
≠0, ∆ M = 0
∗
T
∗
≠0, ∆ T = 0
M 0
∗
N 0
∆ ≠
∗
∆ ≠
T 0
∗ N 0
=
∗ ∗
M ≠0, ∆ M = 0
∗ =
Doppio
bipendolo
intermedio
Bipendolo
orizzontale
interno
Bipendolo
orizzontale
intermedio
Doppio
bipendolo
interno
9

Osservazioni
LL’’analogia analogia di di Mohr Mohr
Ad un vincolo nella trave reale di molteplicità molteplicit corrisponde un vincolo nella
trave fittizia di molteplicità
molteplicit
∗
µ = 3 − µ
Se la trave reale è isostatica, lo sarà sar anche la trave fittizia; se, invece la trave
reale è iperstatica, con grado di iperstaticità iperstaticit r, la trave fittizia sarà sar labile, con
grado di labilità labilit r; viceversa, se, invece la trave reale è labile, con grado di
labilità labilit r, la trave fittizia sarà sar iperstatica, con grado di iperstaticità iperstaticit r
Ad un vincolo interno nella trave reale corrisponde un vincolo intermedio intermedio
nella
trave fittizia; viceversa, ad un vincolo intermedio nella trave reale corrisponde
un vincolo interno nella trave fittizia
µ
10

Esempio
Trave reale (isostatica)
A
B
Trave fittizia (isostatica)
A
LL’’analogia analogia di di Mohr Mohr
C
� � � � �
B
C
D
D
E
E
F
F
11

Esercizio
Calcolare spostamento e rotazione
dell’estremo dell estremo libero B della trave
soggetta al momento di estremità estremit
Legge del Momento
Carico fittizio
M( x ) =−M
∗ M( x)
qz( x)
= =−
EI EI
M
Trave di Mohr
LL’’analogia analogia di di Mohr Mohr
A
M ( x)
A
z
z
x
x
�
ϕB
M
B
− M
wB
∗ M
qz
=
EI
B
12

Legge dello spostamento
∗ M �
wB = MB
=
2EI
ϕ
2
∗ ∗ x
= = z = M
wx ( ) M ( x) q x
2 2EI
Legge della rotazione
∗ ∗
ϕ(
x) =− T ( x) =− qzx=− x
EI
M
M �
=− T =−
EI
∗
B B
2
LL’’analogia analogia di di Mohr Mohr
2
A
z
∗
T ( x)
∗
M ( x)
x
Q
∗
z =
M�
EI
� /2 � /2
+
TB ∗
+
∗ M
qz
=
EI
B
TB ∗
M B
∗
M B
∗
13

Esercizio
Calcolare spostamento e rotazione
dell’estremo dell estremo libero B della trave
soggetta ad una forza concentrata
all’estremo all estremo libero
Legge del Momento
M ( x) =−F( � −x)
Carico fittizio
∗ M ( x) F ( � − x)
qz( x)
= =−
EI EI
Trave di Mohr
LL’’analogia analogia di di Mohr Mohr
F�
A x
ϕB
B
z
�
M ( x)
A
z
−
x
F
wB
∗ F
( � − x)
qz( x)
=−
EI
B
14

Spostamento
∗ F �
wB = MB
=
3EI
Rotazione
ϕ
2
T
∗ F �
=− =−
EI
B B
3
2
LL’’analogia analogia di di Mohr Mohr
A
z
T ( x)
M ( x)
∗
q ( x)
z
x
� /3
R
∗
z =
2
F�
2EI
2 � /3
TB ∗
∗ B
∗ B
+
+
B
∗
T
∗
M
M B
∗
15

Esercizio
Risultante dei carichi fittizi
Q
∗ =
Reazioni fittizie
M�
2EI
∗
∗ Q M�
RA
= =
3 6EI
∗
∗ 2Q
M�
RB
= =
3 3EI
Rotazioni
ϕ
ϕ
∗ ∗ M�
=− T = R =
6EI
A A A
∗ ∗ M�
=− T =− R =−
3EI
B B B
LL’’analogia analogia di di Mohr Mohr
A
z
M ( x)
A
z
ϕ A
x
x
RA ∗
2 � /3
�
Q ∗
ϕB
M
B
− M
� /3
RB ∗
M
EI
B
16