Un uso appropriato e coordinato dei blocchi aritmetici multibase e ...

Un uso appropriato e coordinato
dei blocchi aritmetici multibase e dell’abaco
Domenico Lenzi *
1. Introduzione.
L'ingresso nella scuola dell’obbligo determina una rivoluzione fondamentale nel
modo di imparare da parte del bambino, poiché l’apprendimento – che per lui sino
ad allora è stato spontaneo – si trasforma in parte in apprendimento "imposto", anche
se guidato. Di conseguenza, le difficoltà mnemoniche vengono a svolgere, in
chiave negativa, un ruolo determinante. E quelle riguardanti l'apprendimento matematico
si fanno maggiormente sentire. Infatti, l'immersione in un mondo pieno
di insegne luminose e di cartelloni pubblicitari di ogni tipo rende familiari ai bambini
i primi approcci con l'alfabeto e con la scrittura delle parole, anche se circa il
6% di loro ha problemi di lettura e di scrittura. A ciò si deve aggiungere la spinta
naturale che essi hanno ad acquisire, attraverso il linguaggio, quello che appare
come un mezzo che li avvicina agli adulti, uno strumento essenziale per la “promozione”
e la convivenza civile.
La stessa cosa non si può dire per la matematica; anche perché una certa cultura
attribuisce a questa disciplina un ruolo degno di minor rispetto. Da ciò per gli “addetti
ai lavori” deriva il compito di porre particolare attenzione ai primi approcci
scolastici con l'aritmetica, onde evitare che qualche difficoltà iniziale possa determinare
un atteggiamento di ripulsa e di rigetto nei suoi riguardi.
Tra le prime difficoltà ricordiamo quella legata alla memorizzazione delle cifre
della rappresentazione numerica decimale – per la quale rinviamo a [DML] – che
possono indurre notevoli problemi di discalculia.
Ai problemi di tipo mnemonico va dedicata una cura tutta particolare; e in quest’ambito
un uso appropriato di materiali didattici può aiutare l'alunno a superarli,
offrendogli gli strumenti, i tempi e i modi per poterli affrontare con minor affanno.
Comunque, va tenuto presente che i primi insegnamenti di tipo “strutturato” in
ambito matematico debbono fare i conti con deficit del tutto naturali, legati a una
lenta acquisizione del Principio di Conservazione delle quantità.
Questi deficit – che, secondo i fondamentali studi di Jean Piaget (cf. [PS] ed [L]),
per la maggior parte dei bambini scompaiono intorno ai 6 anni, 6 anni e mezzo –
aggiungono difficoltà a difficoltà e rendono problematico l’avvio ai primi elementi
di aritmetica; onde l’insegnante dovrà attendere l’acquisizione del suddetto
Principio da parte dei suoi allievi (che, come vedremo, potrà essere verificata e in
parte favorita dall’uso dei BAM in base due).
Prima di occuparci del materiale strutturato oggetto di questo intervento, vogliamo
riservare una breve attenzione ai regoli colorati di Georges Cuisenaire.
Recentemente, su di una mailing list, un’insegnante di scuola media ha scritto di
aver trovato proficuo l’uso dei regoli per spiegare ai suoi ragazzi la nozione di
segmento. Non abbiamo ragione di mettere in dubbio quanto detto; anche un martello
può servire per schiacciare delle noci. Tuttavia l’uso sovrabbondante di colori
nei regoli del Cuisenaire (in realtà potrebbero bastarne due o tre; in proposito si
veda ancora [DML]) – con la conseguente necessità di ricordarne il significato –
* Dipartimento di Matematica, Università del Salento-Lecce. domenico.lenzi@unisalento.it

può accentuare le difficoltà mnemoniche di cui stiamo parlando, dovuti anche al
fatto che su quei regoli sono assenti le linee di suddivisione che dovrebbero far distinguere
i vari cubetti unitari di cui sono composti 1 ; il che impedisce una corretta
percezione delle lunghezze, che corrispondono al numero di cubetti che compongono
i vari regoli.
Tornando ai BAM, facciamo presente che prima della loro introduzione sarà opportuno
presentare il primo aspetto della nozione di addizione, intesa come conteggio
di palline (o caramelle o altre cose) collocate in un unico cestino, dopo essere
state dislocate (e contate!) in due cestini differenti.
La verifica da parte dell’insegnante dell’acquisizione del concetto di addizione nei
suddetti termini, assicurerà che lo scolaro ha compreso (o, almeno, è avviato a
comprendere) che la nozione di quantità è indipendente dalla dislocazione spaziale
degli oggetti. Di conseguenza, il conteggio complessivo delle palline può avvenire
anche lasciandole separate nei due cestini, senza che nulla cambi. Cosicché,
conoscendo già il numero di palline contenute in ogni cestino, per averne il numero
totale basterà partire dal numero di palline di un cestino (che sarà inutile ricontare)
e proseguire il conteggio con quelle dell’altro.
È chiaro che quando si passerà alla linea dei numeri, ciò corrisponderà a partire da
uno dei due numeri, svolgendo poi sulla linea una quantità di “passi” corrispondente
al secondo numero; onde la somma sarà data dal numero su cui ci si arresta.
Per introdurre la nozione di addizione alcuni insegnanti sono portati a trascurare la
fase dei cestini per passare subito alla linea dei numeri. Il che – per quanto detto
precedentemente – è sconsigliabile. Ma lo è anche perché la fase che si vorrebbe
saltare prelude a un’agevole presa di coscienza della proprietà commutativa dell’addizione
tra numeri naturali, che altrimenti è difficile da acquisire.
A coloro che persistano nell’idea che usare basi diverse da quella decimale possa
costituire una complicazione per gli alunni, facciamo presente che l’attività va
svolta senza gli esercizi inutili che fanno passare da un numero scritto in una base
allo stesso scritto in un’altra. Tali esercizi potranno essere proposti in classi successive,
purché con le giuste motivazioni e le opportune semplificazioni.
Naturalmente, qualora i numeri siano presentati in forma grafica, per semplicità
sarà opportuno transitare sempre dalla base decimale, ove questa non sia una delle
due basi di partenza o di arrivo.
Infine, ci sembra opportuno notare che i blocchi della base due, costituiti da 2, 4, 8
cubetti (e così via moltiplicando per due) o quelli della base tre, costituiti da 3, 9,
27 cubetti (e così via moltiplicando per tre) esprimono una procedura molto più
semplice di quella relativa all’assemblaggio degli euro in riferimento ai vari tagli
monetari. Infatti lì si procede secondo la cadenza 2 / 2,5 / 2:
1 € x 2 = 2 €; 2 € x 2,5 = 5 €; 5 € x 2 = 10 €;
10 € x 2 = 20 €; 20 € x 2,5= 50 €; 50 € x 2 = 100 € …
Tuttavia, nessuno trova ciò complicato, in quanto ci si abitua presto.
2. I blocchi aritmetici multibase.
Negli ultimi anni critiche feroci si sono abbattute sui materiali strutturati per l’insegnamento
della matematica, giustificate dall’utilizzo impropro che a volte si è
1 Non riusciamo a capire su quali basi alcuni autori considerino ciò un pregio.
2

fatto di questi. Per esempio, talora si è finito con l’usare i regoli colorati e i BAM
come se fossero i mattoncini delle costruzioni Lego, trascurando le potenzialità didattiche
di tali materiali. Perciò noi qui vogliamo riservare la nostra attenzione a
un uso appropriato dei BAM, al fine di favorire a poco a poco la comprensione da
parte degli scolari dei concetti che sono alla base della rappresentazione dei numeri.
Concetti che in un secondo momento saranno rinforzati tramite un uso coordinato
dei BAM e dell’abaco, prima di giungere alla rappresentazione grafica usuale,
rispetto alla quale tutta l’attività manipolativa svolta in precedenza potrà costituire
un supporto conoscitivo, spesso latente, ma fondamentale e duraturo.
Sarà cura dell’insegnante partire da una base piccola. Per facilitare l’attività, in
una primo momento – quello che consiste nell’aggregazione dei cubetti unitari
(detti anche sciolti) nei vari pezzi – sarà opportuno usare la base due. In tal modo
l’alunno potrà realizzare – a seconda del numero degli sciolti che gli si mettono a
disposizione – uno, qualcuno o anche tutti i pezzi fondamentali mostrati in fig. 1.
cubo piatto lungo sciolto (o cubetto)
fig. 1
In fig.1 i cubetti sono stati assemblati secondo la regola che, operando in una determinata
base m (nel caso in questione la base due), m blocchi uguali (due nel
caso esaminato) debbono essere “attaccati” per formare il pezzo di livello immediatamente
superiore. I precedenti blocchi sono quelli che normalmente si trovano
in commercio. Tuttavia, all’occorrenza, due cubi (tre nella base tre, e così via)
possono essere assemblati tramite un elastico. In tal modo si ottiene un pezzo che
va sotto il nome di lungo-blocco.
È chiaro che con i blocchi di fig. 1 – ciascuno usato una volta sola – si possono
avere quantità di cubetti che vanno da 1 a 15. In figg. 1, 2 e 3 2 si riconoscono rispettivamente
gli assemblaggi di 15, di 6 e di 7 sciolti, e quindi una prima rappresentazione
dei numeri 15, 6 e 7. Mentre in fig. 4 si ha l’assemblaggio ottenuto
mettendo prima insieme i blocchi di fig. 2 e fig. 3, ottenendo in tal modo la somma
6 + 7 (6 cubetti più 7 cubetti). Dopodiché, due dei tre piatti ottenuti (uno dei
quali è stato ricavato dai due lunghi) sono stati assemblati a loro volta.
In questa prima fase l’attività potrà essere condotta da coppie di scolari, ciascuno
dei quali all’inizio avrà in una sua scatola alcuni cubetti da assemblare. Per semplicità,
i cubetti in dotazione ai due bambini complessivamente non dovrebbero
essere più di 15. Dei due alunni, uno svolgerà il ruolo di cassiere che via via sostituisce
due pezzi uguali del compagno con un pezzo in cui quelli (o meglio, loro
copie) risultano essere saldati.
Una volta assemblati i pezzi, l’insegnante verificherà se ci sono dubbi sul fatto
che – in termini contabili – non è cambiato nulla. Un’eventuale esitazione potrà
essere superata ribadendo che nel corso di ogni scambio non c’è stato né guadagno
né perdita di cubetti, dal momento che si è proceduto con “scambi alla pari”;
onde si ha una conservazione della quantità degli sciolti iniziali, anche se ora risultano
“aggregati”.
2 Ove la collocazione dei blocchi prefigura l’attività che si svolgerà con l’abaco.
3

cubo piatto lungo sciolto
fig. 2 +
cubo piatto lungo sciolto
fig. 3
cubo piatto lungo sciolto
fig. 4
Ciò sarà confermato dal conteggio dei cubetti riuniti, che darà un risultato uguale
al numero dei cubetti presenti prima dell’inizio dell’attività. Quindi i blocchi ottenuti
saranno riposti nella scatola dove erano collocati quando erano ancora sciolti.
Dopodiché i due scolari ripeteranno l’attività a ruoli scambiati, usando gli sciolti
della seconda scatola. E li si inviterà a riporre i pezzi ottenuti in quest’altra.
L’insegnante poi accerterà se gli allievi hanno coscienza che anche in termini di
somma non è cambiato nulla, poiché nulla è cambiato in termini numerici.
Una volta compresi i concetti in base due, si provvederà al loro rinforzo nelle base
tre (ed eventualmente quattro), onde sarà più semplice trasferirli e farli comprendere
in base decimale. In fig. 5 abbiamo gli usuali pezzi della base tre.
cubo piatto lungo sciolto
fig. 5
Però, in base tre, le verifiche tramite conteggio si faranno limitatamente all’utilizzo
dei piatti; diversamente esse diventerebbero laboriose, dato che i numeri in gioco
sarebbero relativamente grandi per alunni di una prima classe di scuola primaria.
D’altro canto il principale scopo di queste ultime verifiche è quello di rinforzare
e accertare il possesso definitivo (si spera!) del Principio di Conservazione
delle quantità. Ove così non fosse per qualche alunno, sarà opportuno rivedere il
percorso effettuato a partire dall’avvio al contare, anche perché si potrebbe essere
in presenza di difficoltà cognitive.
Acquisito l’uso delle basi due e tre, si possono già riconoscere in maniera immediata
e tangibile proprietà di tipo generale. Ciò perché quantità fino a tre sono immediatamente
percepibili, onde lo scolaro è sgravato da problemi di conteggio
6
7
=
13
4

troppo complicati; il che gli permette di concentrare la sua attenzione sugli aspetti
fondamentali della rappresentazione numerica.
Osservazione 1. Una volta che il discente abbia preso coscienza del significato
del termine doppio [e poi triplo] 3 – con le varie sfaccettature, tra cui, importantissima,
quella secondo cui raddoppiare [e poi triplicare] i vari cubetti è indipendente
da come essi siano aggregati; cosa di cui può materialmente accertarsi replicando
ciascuno degli aggregati comunque costituiti con gli sciolti di partenza –
egli si renderà conto che raddoppiare i suoi sciolti aggregati in base due corrisponde
a sostituire ognuno dei blocchi ottenuti in precedenza, col blocco di livello superiore.
▄
Concludiamo il paragrafo osservando che il livello aggregativo corrispondente al
migliaio (quello relativo al blocco denominato cubo), in base due e in base tre si
realizza usando rispettivamente 8 e 27 cubetti.
3. Uso dell’abaco nella rappresentazione dei numeri naturali.
A questo punto l’abaco – con le sue asticelle verticali che si susseguono da destra
verso sinistra – svolge semplicemente il ruolo di strumento di registrazione della
situazione finale a cui si è pervenuti attraverso l’uso dei BAM, onde un anello collocato
su di un’asticella individua blocchi di un ben determinato tipo, dato che
sulla prima asticella da destra si collocherà una quantità di anelli pari al numero di
sciolti rimasti dopo l’attività di aggregazione; sulla seconda asticella si collocherà
una quantità di anelli pari al numero di lunghi rimasti dopo l’attività di aggregazione,
e così via. Ovviamente, questo numero sarà al massimo 1 in base due e al
massimo 2 in base tre.
Successivamente l’alunno potrà capire come si esegue l’addizione tra due numeri
naturali rappresentati su due abaci diversi, facendogli fare quello che poi svolgerà
graficamente, mettendolo in condizione di capire più facilmente la procedura.
L’operazione sarà opportuno eseguirla in tandem con i BAM, adoperando le due
corrispondenti aggregazioni riprodotte con essi, che permetteranno all’alunno di
capire il fatto fondamentale che i vari “passi” svolti sull’abaco per effettuare l’addizione
non fanno altro che riprodurre quello che si fa con i BAM (si vedano figg.
6, 7 e 9 della pagina seguente, dove al di sotto dei pezzi considerati precedentemente
sono stati riportati in forma stilizzata gli abaci e gli anelli che li rappresentano;
in fig. 8 è stata inserita la fase intermedia della procedura). Perciò quando
due pezzi uguali vengono aggregati in un pezzo del livello successivo, i due anelli
che corrispondono a essi sull’abaco vengono collocati insieme sul primo abaco e
poi sostituiti con un anello collocato sull’asticella successiva.
In definitiva, si giunge a esprimere su di un abaco [ad esempio, quello di fig. 9]
l’unico aggregato in BAM che corrisponde ai due aggregati e ai due abaci di partenza
[ad esempio, quelli di fig. 6 e di fig.7]. Tutto ciò senza l’assillo di dover memorizzare
una “tabellina” dell’addizione.
Osservazione 2. Tenendo conto dell’Osservazione 1, possiamo dire che sull’abaco
moltiplicare per la base corrisponde a slittare verso sinistra di un posto i vari
anelli. Il che in seguito sarà come aggiungere uno zero alla rappresentazione grafica
del numero che si sta considerando. ▄
3 Preludio alla nozione di moltiplicazione.
5

cubo piatto lungo sciolto
♠
6
fig. 6 +
cubo piatto lungo sciolto
fig. 7
cubo piatti lunghi sciolto
♠
fig. 8
cubo piatto lungo sciolto
♠
fig. 9
♠
7
13
13
6

Facciamo notare che il cappuccetto rosso messo sulla prima asticella di destra,
può svolgere un ruolo essenziale in presenza di un leggero difetto di lateralizzazione.
Infatti, grazie ad esso, la rappresentazione numerica sull’abaco si può svolgere
senza focalizzare necessariamente la procedura sull’andamento da destra verso
sinistra, bensì sul progressivo allontanamento dal cappuccetto.
In definitiva, l’abaco può essere collocato anche come in fig. 10 o in una qualsiasi
altra posizione. Quel che conta è che l’asticciola col cappuccetto serve per registrare
gli sciolti, quella al suo fianco serve per registrare i lunghi, e così via.
sciolto lungo piatto cubo
♠
fig. 10
4. L’abaco nel sistema metrico decimale.
Il cappuccetto – se collocato in una qualsiasi delle asticelle – può servire a fissare
un’unità di misura relativa al sistema metrico decimale (per esempio, di lunghezza
o di capacità); dando dignità alle equivalenze svolte attraverso le tanto osteggiate
scale. Come? Facciamo un esempio.
Supponiamo che la misura di una lunghezza abbia dato il risultato registrato nelle
figure che seguono. La misura effettuata corrisponde a 3 dam più 1 m più 2 dm
più 1 cm.
Il cappuccetto in questa fase è superfluo. Esso ci dice semplicemente che, nell’usuale
rappresentazione in cifre, nel primo caso la virgola la si vuol collocare dopo
la cifra dei metri, nel secondo caso la si vuol collocare dopo la cifra dei decimetri
e così via.
♠
dam m dm cm
(decametri) (metri) (decimetri) (centimetri)
dam m dm cm
♠
13
7

♠
dam m dm cm
dam m dm cm
Perciò la nostra lunghezza misura: 31,21 m = 312,1 dm = 3,121 dam = 3121 cm, e
così via. Viceversa, la virgola ci fa capire su quale asticella è situata l’unità di misura
a cui essa corrisponde.
Concludiamo facendo notare che analogo discorso può essere fatto per le misure
di superficie e per quelle di volume; tenendo presente, però, che – se riferite alle
precedenti unità di misura lineari – le prime si susseguono secondo multipli di
cento e le altre secondo multipli di mille.
Nella figura seguente si mostra la misura di una superficie. Per evitare di rappresentare
i vari casi, il cappuccetto è stato sottinteso, dovendo ormai essere chiaro
che esso serve solo a segnalare l’unità di misurà prescelta e quindi la posizione
della virgola nella rappresentazione grafica della misura considerata.
hm 2 dam 2 m 2
(ettari) (are) (centiare)
Perciò la nostra superficie misura: 1,2131 hm 2 = 121,31 dam 2 = 12131 m 2 , e così
via.
Bibliografia
[DML] Cosimo De Mitri, Domenico Lenzi, Fiammiferi e cifre decimali, Education
2.0, 2010.
http://www.educationduepuntozero.it/racconti-ed-esperienze/fiammiferi-cifre-decimali-3078923784.shtml
[L] Domenico Lenzi, Primi passi in aritmetica, Education 2.0, 2010.
http://www.educationduepuntozero.it/racconti-ed-esperienze/primi-passi-aritmetica-3055506299.shtml
[PS] Jean Piaget, Alina Szeminska, La genesi del numero nel bambino, La nuova
Italia, 1968.
♠
8