Teoria Spettrale in Spazi di Hilbert e Struttura Matematica delle ... - Infn

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Indice 1 Introduzione 6 1.1 La MQ come teoria matematica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 La MQ nel panorama della Fisica attuale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Convenzioni generali e prerequisiti fisico matematici. . . . . . . . . . . . . . . . . 10 I Elementi di teoria degli operatori su spazi di Hilbert 11 2 Alcune nozioni e teoremi generali nella teoria degli spazi normati e di Banach. 12 2.1 Spazi normati, di Banach e algebre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Operatori, spazi di operatori, norme di operatori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 I tre teoremi fondamentali negli spazi di Banach e le topologie deboli. . . . . . . 25 2.3.1 Il teorema di Hahn-Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.2 Il teorema di Banach-Steinhaus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.3 Il teorema dell’applicazione aperta e dell’operatore inverso continuo. . . . 32 2.4 Proiettori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5 Norme equivalenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Spazi di Hilbert ed operatori limitati. 40 3.1 Nozioni elementari, teorema di Riesz e riflessività. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2 Basi hilbertiane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Nozione di aggiunto e applicazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.1 L’operazione di coniugazione hermitiana o aggiunzione. . . . . . . . . . . 61 3.3.2 ∗ -algebre e C ∗ -algebre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3.3 Operatori normali, autoaggiunti, isometrici, unitari, operatori positivi. . . 64 3.4 Proiettori ortogonali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.5 Radici quadrate di operatori positivi e decomposizione polare di operatori limitati. 71 3.6 La trasformata di Fourier-Plancherel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4 Proprietà elementari degli operatori compatti, di Hilbert-Schmidt e di classe traccia nello spazio di Hilbert. 89 4.1 Generalità sugli operatori compatti in spazi normati, di Banach e Hilbert. . . . . 89 2
4.2 Operatori compatti in spazi di Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.3 Operatori di Hilbert-Schmidt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.4 Operatori di classe traccia (o nucleari). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5 Operatori non limitati con domini densi in spazi di Hilbert. 117 5.1 Operatori non limitati con dominio non massimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.1.1 Operatori non limitati con dominio non massimale in spazi normati e di Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.1.2 La definizione generale di operatore aggiunto in spazi di Hilbert. . . . . . 119 5.2 Operatori hermitiani, simmetrici, autoaggiunti ed essenzialmente autoaggiunti. . 121 5.3 Alcune importanti applicazioni: operatore posizione e operatore impulso. . . . . . 125 5.3.1 L’operatore posizione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.3.2 L’operatore impulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.4 Criteri di esistenza ed unicità per le estenzioni autoaggiunte. . . . . . . . . . . . 132 5.4.1 La trasformata di Cayley e gli indici di difetto. . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.4.2 Criteri di Von Neumann e di Nelson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 II Il formalismo della Meccanica Quantistica e la Teoria Spettrale 144 6 Brevi cenni di fenomenologia dei sistemi quantistici e di Meccanica Ondulatoria. 145 6.1 Generalità sui sistemi quantistici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.2 Alcune proprietà particellari delle onde elettromagnetiche. . . . . . . . . . . . . . 147 6.2.1 Effetto Fotoelettrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.2.2 Effetto Compton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.3 Cenni di Meccanica ondulatoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.3.1 Onde di de Broglie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.3.2 Funzione d’onda di Schrödinger e interpretazione probabilistica di Born. . 151 6.4 Principio di indeterminazione di Heisenberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.5 Le grandezze compatibili ed incompatibili. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7 Il formalismo matematico di base della MQ: proposizioni, stati quantistici e osservabili. 157 7.1 Le idee che stanno alla base dell’interpretazione standard della fenomenologia quantistica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.2 Stati classici come misure di probabilità sulla σ-algebra delle proposizioni elementari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.2.1 Stati e misure di Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.2.2 Proposizioni e insiemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.2.3 Interpretazione insiemistica dei connettivi logici. . . . . . . . . . . . . . . 161 7.2.4 Proposizioni “infinite” e grandezze fisiche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 3
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