Teoria Spettrale in Spazi di Hilbert e Struttura Matematica delle ... - Infn

Teoria Spettrale in Spazi di Hilbert e Struttura
Matematica delle Teorie Quantistiche
Dispense per il Corso di Metodi Geometrici in Fisica Matematica
(Lauree Specialistiche in Matematica ed in Fisica)
Valter Moretti 1
Dipartimento di Matematica
Facoltà di Scienze M.F.N
Università di Trento
1 E-mail: moretti@science.unitn.it
Anno accademico 2004-2005
1

Indice
1 Introduzione 6
1.1 La MQ come teoria matematica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 La MQ nel panorama della Fisica attuale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Convenzioni generali e prerequisiti fisico matematici. . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I Elementi di teoria degli operatori su spazi di Hilbert 11
2 Alcune nozioni e teoremi generali nella teoria degli spazi normati e di Banach. 12
2.1 Spazi normati, di Banach e algebre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Operatori, spazi di operatori, norme di operatori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 I tre teoremi fondamentali negli spazi di Banach e le topologie deboli. . . . . . . 25
2.3.1 Il teorema di Hahn-Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2 Il teorema di Banach-Steinhaus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.3 Il teorema dell’applicazione aperta e dell’operatore inverso continuo. . . . 32
2.4 Proiettori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Norme equivalenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Spazi di Hilbert ed operatori limitati. 40
3.1 Nozioni elementari, teorema di Riesz e riflessività. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Basi hilbertiane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Nozione di aggiunto e applicazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.1 L’operazione di coniugazione hermitiana o aggiunzione. . . . . . . . . . . 61
3.3.2 ∗ -algebre e C ∗ -algebre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.3 Operatori normali, autoaggiunti, isometrici, unitari, operatori positivi. . . 64
3.4 Proiettori ortogonali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5 Radici quadrate di operatori positivi e decomposizione polare di operatori limitati. 71
3.6 La trasformata di Fourier-Plancherel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4 Proprietà elementari degli operatori compatti, di Hilbert-Schmidt e di classe
traccia nello spazio di Hilbert. 89
4.1 Generalità sugli operatori compatti in spazi normati, di Banach e Hilbert. . . . . 89
2

4.2 Operatori compatti in spazi di Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3 Operatori di Hilbert-Schmidt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.4 Operatori di classe traccia (o nucleari). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5 Operatori non limitati con domini densi in spazi di Hilbert. 117
5.1 Operatori non limitati con dominio non massimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.1.1 Operatori non limitati con dominio non massimale in spazi normati e di
Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.1.2 La definizione generale di operatore aggiunto in spazi di Hilbert. . . . . . 119
5.2 Operatori hermitiani, simmetrici, autoaggiunti ed essenzialmente autoaggiunti. . 121
5.3 Alcune importanti applicazioni: operatore posizione e operatore impulso. . . . . . 125
5.3.1 L’operatore posizione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.3.2 L’operatore impulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.4 Criteri di esistenza ed unicità per le estenzioni autoaggiunte. . . . . . . . . . . . 132
5.4.1 La trasformata di Cayley e gli indici di difetto. . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.4.2 Criteri di Von Neumann e di Nelson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
II Il formalismo della Meccanica Quantistica e la Teoria Spettrale 144
6 Brevi cenni di fenomenologia dei sistemi quantistici e di Meccanica Ondulatoria.
145
6.1 Generalità sui sistemi quantistici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.2 Alcune proprietà particellari delle onde elettromagnetiche. . . . . . . . . . . . . . 147
6.2.1 Effetto Fotoelettrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.2.2 Effetto Compton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.3 Cenni di Meccanica ondulatoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3.1 Onde di de Broglie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3.2 Funzione d’onda di Schrödinger e interpretazione probabilistica di Born. . 151
6.4 Principio di indeterminazione di Heisenberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.5 Le grandezze compatibili ed incompatibili. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7 Il formalismo matematico di base della MQ: proposizioni, stati quantistici e
osservabili. 157
7.1 Le idee che stanno alla base dell’interpretazione standard della fenomenologia
quantistica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.2 Stati classici come misure di probabilità sulla σ-algebra delle proposizioni elementari.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.2.1 Stati e misure di Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.2.2 Proposizioni e insiemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.2.3 Interpretazione insiemistica dei connettivi logici. . . . . . . . . . . . . . . 161
7.2.4 Proposizioni “infinite” e grandezze fisiche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3

7.2.5 Il reticolo distributivo, limitato, ortocomplementato e σ-completo delle
proposizioni elementari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.3 Le proposizioni relative a sistemi quantistici come insiemi di proiettori ortogonali. 167
7.3.1 Reticoli di proiettori ortogonali su spazi di Hilbert. . . . . . . . . . . . . . 168
7.4 Le proposizioni e gli stati relativi a sistemi quantistici. . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.4.1 Proposizioni e stati di sitemi quantistici: il teorema di Gleason. . . . . . . 176
7.4.2 Stati puri, stati misti, regole di superselezione, ampiezze di transizione. . 183
7.4.3 Stati successivi ai processi di misura e preparazione degli stati. . . . . . . 190
7.5 Le osservabili come Misure a Valori di Proiezione (PVM) su R. . . . . . . . . . . 192
7.5.1 La nozione di osservabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.5.2 Operatori autoaggiunti associati ad osservabili: esempi elementari. . . . . 195
7.5.3 Misure di probabilità associate a coppie stato - osservabile. . . . . . . . . 199
7.5.4 Un accenno alle osservabili generalizzate in termini di “POVM”. . . . . . 202
8 Elementi di Teoria Spettrale su spazi di Hilbert: integrazione rispetto a
misure spettrali e teorema spettrale per operatori normali limitati. 204
8.1 Spettro, risolvente, operatore risolvente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.1.1 Nozioni fondamentali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.1.2 Il raggio spettrale e la formula di Gelfand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.1.3 Spettri di operatori autoaggiunti, unitari e normali in spazi di Hilbert. . . 211
8.2 ∗-omomorfismi continui di C ∗ -algebre di funzioni indotti da operatori limitati
autoaggiunti in spazi di Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.3 Misure a valori di proiezione e teorema spettrale per operatori limitati normali. . 224
8.3.1 Misure a valori di proiezione (su spazi topologici a base numerabile) dette
anche misure spettrali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8.3.2 Proprietà degli operatori ottenuti integrando funzioni limitate rispetto a
PVM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.3.3 Teorema di decomposizione spettrale per operatori limitati normali. . . . 239
9 Elementi di Teoria Spettrale per operatori autoaggiunti non limitati. 257
9.1 Teorema spettrale per operatori autoaggiunti non limitati. . . . . . . . . . . . . . 257
9.1.1 Integrazione di funzioni non limitate rispetto a misure spettrali. . . . . . 257
9.1.2 Teorema di decomposizione spettrale per operatori autoaggiunti non limitati.262
9.2 Gruppi unitari ad un parametro fortemente continui e Teorema di Stone. . . . . 263
9.3 Prodotto tensoriale hilbertiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
9.3.1 Prodotto tensoriale di spazi di Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
9.3.2 Prodotto tensoriale di operatori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10 La formulazione matematica della Meccanica Quantistica non relativistica. 275
10.0.3 Riassunto ed osservazioni generali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
10.1 Sistemi elementari non relativistici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
10.1.1 Sistemi elementari: particella a spin 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
4

10.1.2 CCR e conseguenze nella teoria elementare. . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
10.1.3 L’algebra di Weyl ed il teorema di Stone - von Neumann. . . . . . . . . . 282
10.1.4 Principio di corrispondenza di Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
10.2 Nozione di simmetria: teoremi di Wigner e di Kadison, gruppi di simmetria e
teoremi di Nelson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
10.3 Evoluzione temporale: equazione di Schrödinger e rappresentazione di Heisenberg.
Stati legati. Teorema di Eherenfest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
10.4 Sistemi composti: sistemi con struttura interna e sistemi a più particelle. . . . . 295
10.4.1 Assioma A7: Sistemi quantistici composti (sistemi con struttura interna
ed a molte particelle). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10.4.2 Lo spazio di Hilbert della particella non relativistica con spin. . . . . . . . 295
10.4.3 Stati entangled e un accenno al cosiddetto “paradosso EPR”. . . . . . . . 296
10.4.4 Sistemi di particelle identiche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
11 Appendice A: Relazioni d’ordine e Insiemi Parzialmente Ordinati. 305
12 Appendice B: Dimostrazione di alcuni teoremi. 307
13 Appendice C: Integrale di funzioni a valori spazi di Banach. 308
Ringraziamenti.
Vorrei ringraziare varie persone che hanno contribuito a correggere gli errori di vario genere presenti
nelle diverse versioni preliminari di questo trattato: Gianmarco Bramanti, Valerio Marini,
Germano Tessaro ed in particolare Riccardo Aramini che ha letto con cura tutto il testo.
Ringrazio Riccardo Aramini, Luca Di Persio Andrea Franceschetti, Alex Giacomini, Andrea
Pugliese e Giacomo Ziglio per vari suggerimenti ed osservazioni che hanno contribuito a migliorare
il contenuto del trattato e sono particolarmente grato a Nicola Pinamonti per molteplici
utili discussioni su molti degli argomenti trattati.
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